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METODO DEL ANIQUILADOR PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES Una ecuaci´on diferencial lineal de orden n de la forma an

dn−1 y dy dn y + a + ... + a + a0 y = g(x) n−1 1 dxn dxn−1 dx

(1)

se escribe f´acilmente como an Dn y + an−1 Dn−1 y + ... + a1 Dy + a0 y = g(x)

(2)

dk y

en donde Dk = dxk para k = 0, 1, ..., n representa un operador diferencial lineal y de orden k. Por conveniencia, una ecuaci´on diferencial como (2) se expresa como Ln (x) = g(x), en donde Ln es un operador diferencial lineal y de orden n descrito como: Ln =

n X

ak Dk

(3)

k=0

La notaci´on de operador mas que un lenguaje matem´atico bastante poderoso y u ´til, simplifica la resoluci´on de una ecuaci´on diferencial. Pero para utilizarlos correctamente es necesario conocer antes algunas propiedades de los mismos. Factorizaci´ on de operadores.- Cuando las ak , k = 0, 1, ..., n de (3) son constantes reales, el operador diferencial lineal Ln se puede factorizar, siempre que se factorice el polinomio caracter´ıstico Pn (m) = an mn + an−1 mn−1 + ... + a1 m + a0 . Dicho de otra manera, siempre que suceda que Pn (m) =

n Y

(m − αk ) = 0

(4)

k=1

entonces el operador diferencial (3) se podr´a factorizar como Ln =

n Y

(D − αk ).

(5)

k=1

Observe que la ecuaci´on (5) indica conmutatividad, esto significa que si se tiene un operador L2 = D2 + 3D + 2 este se puede expresar como el producto de (D + 2)(D + 1) ´o (D + 1)(D + 2). Tambien observe que estos operadores actuan sobre las funciones por la 1

elaboro: MC. Roberto Ivan Cabrera Munguia

email: ricmx1981@yahoo.com


2 izquierda (esto significa que Dk f (x) 6= f (x)Dk ). Entonces podemos enunciar sin temor a equivocarnos la siguiente propiedad general: ”Los factores de un operador lineal de la forma (5) son conmutativos” Operador aniquilador.- Si Ln es un operador diferencial con coeficientes constantes como (5) y f (x) es una funci´on suficientemente diferenciable de modo tal modo que Ln (f (x)) = 0

(6)

entonces Ln es un operador aniquliador de la funci´on f (x). Enunciaremos algunos operadores aniquiliadores y las funciones que se anulan por los mismos. i).- El operador diferencial Dn aniquila a las siguientes funciones: 1, x, x2 , ..., xn−1 ii).- El operador diferencial (D − α)n aniquila cada una de las siguientes funciones: eαx , xeαx , x2 eαx , ..., xn−1 eαx iii).- El operador diferencial [D2 − 2αD + (α2 + β 2 )]n aniquila cada una de las siguientes funciones: eαx cos(βx), xeαx cos(βx), x2 eαx cos(βx), ..., xn−1 eαx cos(βx) eαx sen(βx), xeαx sen(βx), x2 eαx sen(βx), ..., xn−1 eαx sen(βx) Por u ´ltimo el operador diferencial que anula a una funci´on no es u ´nico, ya que si se tiene un operador aniquilador Ln que anule a una funci´on f (x), tambien el operador Ln Lm podr´ıa hacerlo. Sin embargo, siempre se estar´a interesado en conocer el operador aniquilador m´ınimo. En la siguiente secci´on se dar´a soluci´on detallada a 2 problemas diversos y posteriormente se proponen varios problemas con solucion para inter´es del lector. Problemas 1.-Resuelva la siguiente ecuaci´on diferencial usando el m´etodo del operador aniquilador. 000

00

0

y − 3y + 3y − y = ex − x + 16 ´ SOLUCION: Vemos que ´esta ecuaci´on diferencial se puede expresar como (D3 − 3D2 + 3D − 1)y = ex − x + 16

(7)


3 de modo tal que al aplicar el operador D2 (D − 1), en ambos lados de la expresi´on anterior con el fin de anular el segundo miembro nos encontramos que D2 (D − 1)(D3 − 3D2 + 3D − 1)y = 0

(8)

si y es de la forma emx la ecuaci´on auxiliar de (7) se convierte en: m2 (m − 1)(m3 − 3m2 + 3m − 1) = 0 que al factorizar y agrupar obtenemos: m2 (m − 1)4 = 0

(9)

de ´esta u ´ltima ecuaci´on, vemos que se pueden obtener las raices m1 = m2 = 0, m3 = m4 = m5 = m6 = 1. Siendo la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial lo siguiente: y(x) = yc (x) + yp (x) = c1 ex + c2 xex + c3 x2 ex + c4 x3 ex + c5 + c6 x

(10)

Los primeros 3 t´erminos corresponden a la soluci´on de la ecuaci´on diferencial homogenea yc (x). Siendo la soluci´on particular yp (x) = c4 x3 ex + c5 + c6 x, que al sustituir en (7) y simplificar un poco nos da que 6 c4 ex − c6 x + 3 c6 − c5 = ex − x + 16

(11)

que al igualar coeficientes se encuentra que c4 = 1/6, c5 = −13, c6 = 1. De tal modo que la soluci´on general de (7) finalmente es: y(x) = c1 ex + c2 xex + c3 x2 ex +

1 3 x x e + x − 13 6

(12)

2.-Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales. (D − 2)x − y = −et

(13)

−3x + (D − 4)y = −7et ´ SOLUCION: Expresando (13) en forma matricial obtenemos: ¶ µ ¶µ ¶ µ D − 2 −1 x −et = −7et −3 D − 4 y al usar la regla de Cramer encontramos que ¯ ¯ ¯ t ¯ ¯ D − 2 −1 ¯ −1 ¯ x = ¯ −e t ¯ ¯ −7e D − 4 ¯ −3 D − 4 ¯

¯ ¯ ¯ ¯

(14)

(15)


4 ¯ ¯ D − 2 −1 ¯ ¯ −3 D − 4

¯ ¯ t ¯ ¯ ¯ y = ¯ D − 2 −e t ¯ ¯ −3 −7e

¯ ¯ ¯ ¯

(16)

Recordando que el operador diferencial siempre actua por la izquierda (15) y (16) se simplifican como: (D2 − 6D + 5)x = −4et (17) (D2 − 6D + 5)y = 4et

(18)

usando coeficientes indeterminados uno encuentra que la soluci´on de (17) y (18) es respectivamente. x(t) = xc (t) + xp (t) = c1 e5t + c2 et + tet (19) y(t) = yc (t) + yp (t) = c3 e5t + c4 et − tet

(20)

al sustituir (19) y (20) en la primer ecuaci´on de (13) encontramos que (3c1 − c3 )e5t + (2 − c2 − c4 )et = 0

(21)

c3 = 3c1 , c4 = 2 − c2 . Con lo cual finalmente la soluci´on general del sistema de ecuaciones (13) ser´a: x(t) = c1 e5t + c2 et + tet y(t) = 3c1 e5t + (2 − c2 )et − tet Problemas propuestos Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales usando el m´etodo del operador aniquilador. 00

0

1.- y +y +y = xsenx 000

00

SOL. y(x) = e−x/2 (c1 cos

2.- y + 8y = −6x2 + 9x + 2

3 x+c2 2

sen

3 x)+senx+2cosx−xcosx 2

SOL. y(x) = c1 + c2 x + c3 e−8x +

3.- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales. 2Dx + (D − 1)y = t Dx + Dy = t2 SOL. x(t) = −c1 e−t + c2 + 31 t3 − 2t2 + 5t y(t) = c1 e−t + 2t2 − 5t + 5

11 2 x 256

+

7 3 x 32

1 4 x 16


Ivan