Triángulos líneas notables

Antonio Ugarte Profesor de geometría

GEOMETRÍA Grupo academia PITÁGORAS

“El 90% del éxito se basa simplemente en insistir” -Woody Allen-

Tema: Triángulos Se denomina triángulo a la figura geométrica determinada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.

Se llama perímetro de un triángulo a la suma de las medidas de sus lados, y se llama región triangular a la reunión del triángulo con su interior.

Notación: Elementos:

Vértices: Lados: Ángulos internos: Ángulos externos:

Perímetro (2p): donde “p” es el semiperímetro

Tema: Triángulos Teoremas fundamentales Teorema 1 En todo triángulo se cumple que la suma de las medidas de los ángulos internos es igual a 180°.

Teorema 2 La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ángulos internos no adyacentes.

Teorema 3 La suma de las medidas de los ángulos externos de un triángulo, uno en cada vértice, siempre es igual a 360°.

Tema: Triรกngulos Teoremas fundamentales Teorema 4: de correspondencia En un mismo triรกngulo se cumple que a mayor lado se opone mayor รกngulo.

Teorema 5: desigualdad triangular En todo triรกngulo la medida de un lado esta comprendida entre la suma y la diferencia de las medidas de los dos lados.

Tema: Triรกngulos Propiedades auxiliares

Tema: Triángulos Clasificación A. Según la medida de sus ángulos 1. Triángulo rectángulo: Es aquel que tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos. Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el que se le opone recibe el nombre de hipotenusa

Cateto

Hipotenusa

Cateto

Tema: Triángulos Clasificación A. Según la medida de sus ángulos 2. Triángulo oblicuángulo: Es aquel que no tiene ángulo recto, puede ser: Triángulo acutángulo: Es aquel que tiene tres ángulos agudos.

Triángulo obtusángulo: Es aquel que tiene un ángulo obtuso y dos ángulos agudos Lado mayor

Ángulo mayor

Tema: Triángulos Clasificación B. Según la congruencia de sus lados 1. Triángulo escaleno: Es aquel que tiene lados de diferentes medidas.

2. Triángulo isósceles: Es aquel que tiene dos lados congruentes.

3. Triángulo equilátero: Es aquel que tiene sus lados congruentes.

Base

Tema: Líneas notables 1. Mediana: Es el segmento que une un vértice y el punto medio del lado opuesto.

2. Altura: Es el segmento perpendicular trazado de un vértice a la recta que contiene al lado opuesto.

Tema: Líneas notables 3. Bisectriz: Es el rayo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes.

4. Mediatriz: Es la recta perpendicular en el punto medio de un lado.

Tema: Líneas notables Propiedades 1. Ángulo formado por dos bisectrices interiores 2. Ángulo formado por una bisectriz interior y una exterior

3. Ángulo formado por dos bisectrices exteriores

Ejercicios Solución Del gráfico

En el triángulo rectángulo CBD: … (1) En el triángulo ADC: entonces de (1) y (2)

… (2) Como piden los valores enteros, entonces ∴ La suma de los valores enteros es 12

Ejercicios 2. Dos lados de un triรกngulo escaleno miden 5 y 9. Calcular la suma de los valores impares que asume el tercer lado.

Soluciรณn Del triรกngulo por desigualdad triangular

como debe de ser escaleno, entonces: como debe de ser impar, entonces:

โ ด La suma de los valores impares es 31

Ejercicios Solución Efectuando el gráfico

En el triángulo acutángulo entonces entonces … (1)

además … (2) De (1) y (2)

∴ La suma de los valores enteros es 39

Ejercicios 4. Se tiene un triángulo isósceles y un triángulo equilátero de igual perímetro. Si en el isósceles uno de los lados congruentes excede a la base en 6 y el lado del equilátero mide el doble de lo que mide la base del isósceles, calcular el perímetro de uno de los triángulos.

Solución Como “el lado del equilátero mide el doble de lo que mide la base del isósceles”, entonces, sea “b” la medida de la base del triángulo isósceles, entonces el lado del triángulo equilátero es “2b” Representando en un gráfico Como “en el isósceles uno de sus lados congruentes excede a la … (1) base en 6”, entonces, Como los perímetros son iguales, entonces de (1) y (2)

… (2)

entonces ∴ El perímetro de uno de los triángulos es 24

Ejercicios Solución Representando en un gráfico En el triángulo rectángulo ABC aplicamos el teorema de Pitágoras entonces entonces Del triángulo MBC por teorema del ángulo exterior Del triángulo isósceles BAM

∴

Ejercicios Soluciรณn Prolongando las bisectrices, como se muestra en la figura En el triรกngulo ABD:

E : excentro

entonces โ ด

Ejercicios Soluciรณn

De la figura:

de donde ademรกs

de donde

โ ด

Ejercicios Solución De los datos se puede graficar

entonces …(1)

Del triángulo ABC, por propiedad como reemplazando en (1)

restando ∴

Ejercicios Soluciรณn De los datos se puede graficar entonces como el triรกngulo es isรณsceles, entonces entonces ademรกs entonces โ ด

Ahora resuelve tú

“MANOS A LA OBRA”

GRACIAS