72
CAPÍTULO 4
Gradiente
Luego derivamos (4.10) con respecto a x y obtenemos la igualdad 1 + sen (x + f (x, y )) Q1 +
∂2 f ∂f ∂f R − cos (x + f (x, y )) = 0. ∂x ∂y ∂x∂y
En (4.11) sustituimos x = y = 0, f (0, 0) = 0, ∂2 f obtenemos que ∂x∂y (0, 0) = 1.
4.5 Definición 4.2
(4.11)
∂f ∂f (0, 0) = −1, (0, 0) = 0 y ∂y ∂x
Derivadas direccionales y el vector gradiente (Derivada direccional). Sea f : D ⊆ 2 S , (x, y) ↦ f (x, y) ∈ , donde D es un conjunto abierto, una función escalar en las variables x y y. La derivada direccional respecto a un vector unitario S u = (a, b), en un punto (x0, y0) ∈ D, la denotaremos por D u f (x0, y0), y se define como el límite, S
D u (x 0 , y 0 ) = lim S
h S0
f (x 0 + ha, y 0 + hb) − f (x 0 , y 0 ) , h
(4.12)
donde % uS % = wa2 + b2 = 1, en el caso de que este límite exista. S Nota 4.3. Si uS = (1, 0), Du f (x 0 , y 0 ) = ∂f ∂x (x 0 , y 0 ), y, para u = (0, 1), ∂f D u f (x 0 , y 0 ) = ∂y (x 0 , y 0 ), es decir las derivadas parciales son casos particulares de la derivada direccional de una función en un punto. S
S
Nota 4.4. La fórmula (4.12) que define la derivada direccional la podemos interpretar de la siguiente manera: en el punto (x0, y0) trazamos una recta / S por este punto en la dirección del vector unitario u = (a, b). La parametrización de / es x = x0 + ha, y = y0 + hb. Ahora restringimos la función f a esta recta y llamamos a esta restricción g, por lo tanto
g(h) = f (x0 + ha, y0 + hb).
(4.13)
La derivada direccional de f en la dirección del vector unitario uS , Du f (x 0 , y 0 ) es igual a la derivada de g en h = 0, g′ (0). Esto justifica el nombre derivada direccional. S
Teorema 4.4.
Si una función f (x, y) es derivable en un punto (x0, y0) de su dominio, entonces, para un vector unitario uS = (a, b), se tiene que Du f (x 0 , y 0 ) = S
∂f ∂f (x 0 , y 0 )a + (x 0 , y 0 )b. ∂x ∂y
(4.14)