7.2
B =
139
Cambio de variables en integrales dobles: jacobiano
A −1 T
2 − ∂(x, y ) = ≥ 3 = 1 ∂(u, v) − 3
2 3 ¥ ⇒ J (u, v) = p − 2 p = 2 . 4 3 3 3
Finalmente usando el teorema de cambio de variables tenemos,
(x 2 − y) dA = D
f (u, v) J (u, v) dA R
=
3 12
0 −3
2
2 1 2 4 2 c a v − ub − v + u d a b dvdu 3 3 3 3 3
0
7 = . 2
Ejemplo 7.9.
(Ejercicio resuelto). Calcular el valor de la integral doble y2 dA x2
(7.22)
D
donde D es la región descrita en el ejemplo (7.7). En este caso tenemos que ambas regiones D y R están en el primer cuadrante, es decir x > 0, y > 0, u > 0, v > 0, por lo tanto,
e
u = yyx v = xy
J (x, y) = p
y ∂ (u, v) − p = p x2 ∂ (x, y) y
1 y x p = ` −2 ` = − 2u = 2u. x x
Entonces, J (u, v ) =
1 . 2u
(7.23)
Usando el teorema de cambio de variables (7.3), tenemos y2 dA = x2 D
u2 Q R
1 1 R dA = 2u 2
4 1/ 3
4 1
u dvdu =
143 . 12