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C I T A in Á M t E

6

SEXTO GRADO

Hugo René Pérez Caal Manuel Rodríguez Figueroa Autores guatemaltecos

EQUIPO DIDÁCTICO - TÉCNICO

DIRECCIÓN EDITORIAL

Julio César Barillas Coo AUTORÍA

Hugo René Pérez Caal Manuel Rodríguez Figueroa ASESORÍA Y MEDIACIÓN PEDAGÓGICA

Carla Ilonka Monterroso Archila Silvio Adolfo Herrera Guerra REVISIÓN Y VALIDACIÓN

Carla Ruth Orellana de Aguilar DIAGRAMACIÓN

Ana Luisa Quiñónez Rodas BANCO DE IMÁGENES

Archivo Susaeta Ediciones Shutterstock.com DIGITALIZACIÓN DE IMÁGENES

®TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS. Son propiedad del editor. Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida o transmitida mediante ningún sistema o método electrónico o mecánico (incluyendo fotocopiado, la grabación o cualquier sistema de reproducción y almacenamiento de información), sin el consentimiento del editor.

Registros de Derechos de Autor en el Ministerio de Economía, Registro de La Propiedad Intelectual, y amparado por el Decreto 3398-2000, la Ley de Derecho de Autor y Derechos Conexos.

ISBN:978-9929-589-35-3

© SUSAETA ediciones S.A.

Angel Fernando Barrios Rodríguez

Tabla de contenidos En el desarrollo de los contenidos científicos, las competencias están concebidas y estructuradas para el fortalecimiento de las habilidades para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto para producir e interpretar distintos tipos de información, como para ampliar el conocimiento sobre aspectos cuantitativos y espaciales de la realidad, y para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana.

Basado en el constructivismo, metodología propuesta por la Reforma Educativa actual, el desarrollo de los contenidos de aprendizaje propicia la ejecución de acciones interpretativas, argumentativas y propositivas para el logro de aprendizajes significativos.

Unidad 1 Lógica proposicional y conjuntos

Sistemas de numeración

Proposiciones simples y su negación........................ 12 Proposiciones compuestas y conectivos lógicos.......... 14 Tablas de verdad de los conectivos lógicos............... 16 Conjuntos y sus representación............................... 18 Clases de conjuntos.............................................. 20 Conjunto universo y operación complemento............. 22 Operaciones unión e intersección de conjuntos............................................................ 24 Operaciones diferencia y diferencia simétrica............ 26 Producto cartesiano y plano coordenado.................. 28

Sistema de numeración......................................... 36 Valor absoluto y valor relativo................................. 38 Notación desarrollada.......................................... 40 Notación científica............................................... 42 Aproximación de cantidades enteras....................... 44 Numeración romana............................................. 46 Conversión de sistema maya a sistema decimal.......... 48 Conversión de sistema decimal a sistema vigesimal.... 50 Sistema de numeración binario: conversión de binario a decimal................................................. 52 Conversión de número decimal a número binario......... 54 Sistema de numeración octal y hexadecimal.............. 56

Compruebo lo aprendido..................................... 30 Mis nuevos saberes............................................. 31 A la 1, a las 2 y a las 3...................................... 33

© SUSAETA ediciones S.A.

Unidad 2

Compruebo lo aprendido..................................... 58 Mis nuevos saberes............................................. 59 A la 1, a las 2 y a las 3...................................... 61

Operaciones con números naturales Adición y sustracción de números naturales.............. 64 Estimación de adiciones y sustracciones................... 66 Multiplicación de cantidades mayores...................... 68 Propiedades de la adición y la multiplicación............ 70 División de números naturales................................. 72 Cálculo mental de cocientes................................... 74 Estimación de productos y cocientes........................ 76 Potenciación y sus propiedades.............................. 78 Potencias de 10................................................... 80 Cuadrados perfectos y raíces cuadradas exactas....... 82 Raíz cuadrada de números mayores........................ 84 Operaciones combinadas...................................... 88 Compruebo lo aprendido..................................... 90 Mis nuevos saberes............................................. 91 A la 1, a las 2 y a las 3...................................... 93

Unidad 4 Teoría de números y fracciones Múltiplos y divisores de los números......................... 96 Criterios de divisibilidad........................................ 98 Factorización prima............................................ 100 Máximo común divisor (MCD).............................. 104 Mínimo común múltiplo (mcm)............................... 106 Fracciones y su representación.............................. 108 Fracción propia e impropia.................................. 110 Fracciones equivalentes....................................... 112 Adición de fracciones......................................... 114 Sustracción de fracciones.................................... 116 Multiplicación de fracciones................................. 120 División de fracciones......................................... 122 Potenciación y radicación de fracciones................. 124 Operaciones combinadas con fracciones............... 128

Compruebo lo aprendido................................... 130 Mis nuevos saberes........................................... 131 A la 1, a las 2 y a las 3.................................... 133

Unidad 5 Números decimales y proporcionalidad Fracciones decimales y números decimales............. 136 Lectura de escritura de números decimales.............. 138 Conversiones entre fracción y número decimal......... 140 Clasificación de los números decimales.................. 142 Adición y sustracción de números decimales........... 144 Multiplicación con números decimales.................... 146 División de un número natural entre un decimal y viceversa............................................ 148 División de un número decimal entre otro decimal...................................................... 150 División cuando el divisor es mayor que el dividendo......................................................... 152 División abreviada............................................. 154 Operaciones combinadas con números decimales............................................. 156 Solución de situaciones con números decimales......................................................... 158 Razones y proporciones...................................... 160 Ley fundamental de las proporciones...................... 162 Proporcionalidad directa e inversa......................... 164 Porcentajes....................................................... 166 Interés simple..................................................... 168 Compruebo lo aprendido................................... 170 Mis nuevos saberes........................................... 171 A la 1, a las 2 y a las 3.................................... 173

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Unidad 3

Unidad 6 Medición y geometría Sistemas de medidas.......................................... 176 Conversiones entre sistemas de medidas................. 178 Medidas de tiempo............................................ 180 Medidas de temperatura..................................... 182 Adición y sustracción de números complejos........... 184 Conversiones entre unidades monetarias................ 186 Elementos básicos de geometría........................... 188 Ángulos y su medición........................................ 190 Clasificación de los ángulos................................. 192 Polígonos.......................................................... 194 Teorema de Pitágoras.......................................... 196 Cuadriláteros..................................................... 198 Perímetros......................................................... 200 Áreas............................................................... 202 Sólidos geométricos............................................ 206 Compruebo lo aprendido................................... 208 Mis nuevos saberes........................................... 209 A la 1, a las 2 y a las 3.................................... 211

Unidad 7 Estadística y probabilidad

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Tablas estadísticas.............................................. 214 Gráficas estadísticas........................................... 216 El diagrama circular............................................ 217 Medidas de tendencia central.............................. 220

Probabilidad de un evento simple.......................... 222 Eventos compuestos............................................ 224 Compruebo lo aprendido................................... 226 Mis nuevos saberes........................................... 227 A la 1, a las 2 y a las 3.................................... 229

Unidad 8 Álgebra Conjuntos numéricos........................................... 232 Adición y sustracción de números enteros............... 234 Lenguaje algebraico........................................... 238 Reducción de términos semejantes......................... 240 Ecuaciones de la forma x ± a = b......................... 242 Compruebo lo aprendido................................... 244 Mis nuevos saberes........................................... 245 A la 1, a las 2 y a las 3.................................... 247 Programación................................................... 248

Fundamentación de acuerdo con el CNB El libro de texto Matemática interactiva 6, para Sexto Grado del ciclo de educación primaria, está constituido en las competencias educacionales; desarrolla y complementa los contenidos de aprendizaje del Currículum Nacional Base del Ministerio de Educación de Guatemala.

El desarrollo del área, integra los siguientes componentes desplegados en ocho unidades didácticas.

Formas, patrones y relaciones

Matemática, ciencia y tecnología

Propicia la construcción de elementos geométricos y la aplicación de sus propiedades en la resolución de problemas.

Desarrolla la capacidad de identificar patrones y relaciones, de observarlas y analizarlas, no solo en situaciones matemáticas sino en actividades cotidianas.

Constituye la aplicación de los conocimientos de la ciencia y la tecnología en la realización de acciones productivas.

Utiliza métodos alternativos de la ciencia para construir nuevos conocimientos.

Sistemas numéricos y operaciones

lncer tidumbre, comunicación e investigación

Comprende las propiedades de los números y sus operaciones para facilitar la adquisición de conceptos y la exactitud en el cálculo mental. Estudia los fundamentos de las teorías axiomáticas para expresar las ideas por medio de signos, símbolos gráficos y términos matemáticos.

Establece el uso de la estadística para la organización, análisis y representación gráfica, y la probabilidad para hacer inferencias de hechos y datos propios del contexto.

Propone la construcción de predicados matemáticos y la utilización del razonamiento en la investigación.

2

Sistemas de numeración

5

Decimales y proporcionalidad

6

Medición y geometría

3

Operaciones con números naturales

4

7

Estadística y probabilidad

8

Teoría de números y fracciones

Álgebra

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1

Lógica proposiconal y conjuntos

El área de Matemática y su aprendizaje basado en competencias El aprendizaje del área de Matemática implica el desarrollo de Competencias básicas y específicas que son Acciones que el sujeto realiza cuando interactúa de manera significativa en un contexto se clasifican en Competencias interpretativas

Competencias argumentativas

Para relacionar significados, uso de números y operaciones

Competencias propositivas

Para contextualizar, generalizar, formular y sustentar procedimientos

Para fortalecer la autonomía e iniciativa personal para potenciar

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Estrategias en la solución de problemas

Conoce tu libro El libro de texto Matemática interactiva integra estrategias innovadoras para el trabajo de actividades en el aula que permitan a las y los estudiantes desarrollar habilidades científicas para explorar y resolver problemas, atendiendo las dimensiones relacionadas con el saber, saber hacer, saber ser y saber convivir. En el desarrollo de los contenidos del libro se propone una serie de actividades interactivas para realizar a través de nuestra página web www.susaetaguatemala.com.gt En cada unidad encontrarás las siguientes secciones:

Aper tura de Unidad Introduce al tema generador; constituye una página interactiva que contiene las competencias de área y un espacio informativo con una sinopsis sobre los contenidos de aprendizaje correspondientes. Incluye una exploración de conocimientos previos mediante una serie de preguntas o actividades relacionadas con la ilustración. Representa una propuesta de evaluación diagnóstica y la activación de saberes.

a

Fracción propia e impropi

y por tanto tiene una de naranjas o 5 mitades, Lesbia dice que tiene no es una fracción porque fracción. Víctor afirma que varias de una unidad sino de no se refiere a la parte 5 2

¿Por qué?

•

Investiga y escribe la fracción

cinco medios

o. cómo un número mixto.

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2

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Trab ajem os 1. Respondan

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. Justifiquen

las respuestas.

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¿Todos los números pares son compuestos?

d

los primeros

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¿Todo factor de un número primo también es divisor? ¿Cuál de todos los números no es primo ni compuesto?

2

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D16

D45

3. Lean la

información y resuelvan.

El postulado conocido como conjetura de Goldbach propo ne que…“ Todo númer o par mayo r que 2, puede escribirse como la adición de dos números primos”.

Expresa cada número de la tabla como adición de la dos números primos. Es válido utilizar dos veces el mismo númer o primo.

mínima ar a su sta lleg la mínima?

12 100 , ha a de 150 alente • cación ón equiv 18 simplifi fracci s por nde. alente encontrar otra y respo s equiv le aliza r ccione no es posib bia fra 4. An las ya le cam uentra posib r qué • Enc ión. ¿Po s, ¿es sencillas? s ccione expres con fra alentes má ación equiv una situ por otras s tienes ccione ando • Cu tituir las fra 113 o sus ? ¿Por qué

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¿Cuántos factore tiene un númer s o primo?

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D12

5

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Aprende

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2

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es equivalente a la unidad.

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2. Escriban

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5

denominador, la fracción el numerador es igual al

2

5 La solución de situaciones una regla relacionadas de tres; que con propo consiste en rcionalidad, hallar el cuarto requieren de la aplica término de ción de una propo rción.

164

4 6 8 10 12 14

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11 + 7 ediciones S.A.

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Es fracción propia porque 5>2

5

impropia a número Para trasladar una fracción r entre denominador, el mixto, divide numerado natural y el residuo será cociente será el número con denominador el numerador de la fracción igual a la fracción dada.

© SUSAETA ediciones

mixto a fracción Para trasladar un número por el denominador impropia, multiplica el natural r r, esto será el numerado y adiciona el numerado cuyo denominador es el de la fracción resultante mismo de la fracción dada.

b

Co ns

2

fracciones de varias La fracción impropia representa que el numerador es mayor unidades; es decir, que impropia constituye un el denominador. Una fracción 2½ número mixto. 5/2 =

10

Unidades

Costo x minuto 15 0.85 1.70 Magnitud 8.50 es una propie dad de la materia, que Proporciona puede medir lidad direct se o expre da entre dos a, sarse con magnitudes es aquella que se una cantid una aumen , de tal forma ad.

Proporciona ta, que si lidad invers la otra magn la otra también; y si da entre dos a, es aquel disminuye, itud tambié la que magn n disminuye. itudes, de una aumen tal forma que se ta, la otra Para resolv si disminuye; er problemas o viceversa. directa se Para resolv utiliza la ley de proporcionalidad er problemas fundamenta proporcione inversa se de proporciona l de las s. sustituye la razón en donde lidad incógnita por Calcula el fundamenta su recíproco y se aplica está la valor desco l de las propo nocido a través regla de tres. la ley rciones. de una Recíproco 40

Es fracción propia porque 1<2

1

una parte de la La fracción propia representa el numerador es menor que unidad; es decir, que el denominador.

Precio (Q.)

Javier paga Q0.85 por internaciona minuto al realiza l. r una llamad a Completa la tabla con el costo de de duración. la llamada según los minutos Minutos 1

Doss enteros, un medio

Contiene ideas clave o definiciones sintetizadas que los alumnos deben recordar, reflexionar o relacionar para fijar los contenidos de aprendizaje.

© SUSAETA ediciones S.A.

¿Quién crees que tiene

•

Construyo mis conocimientos – trabajemos juntos Serie de actividades que integran los contenidos de aprendizaje para alcanzar las competencias propuestas.

Se realizan de forma personal o grupal y propician el desarrollo de destrezas de aprendizaje, procesos mentales, análisis y síntesis y el logro de competencias argumentativas, interpretativas y propositivas.

la razón?

•

es S.A.

Los diferentes contenidos de aprendizaje inician con la demostración ilustrada del concepto matemático desarrollado en tres momentos: introducción, situación para análisis y definición. La introducción es la relación de los conceptos matemáticos con eventos de la vida cotidiana. La situación para análisis propone ejemplos inducidos con respuestas parciales para propiciar la construcción del conocimiento que se concreta a través de las definiciones.

ta e inver

A edicion

unidades.

nalid ad direc

sa Al comparar magnitudes la proporciona Analiza las lidad puede situaciones ser directa o inversa. y resuelve.

Sandy tiene Q 20.00 para compr precio de ar chocolates; los chocolates pero si el de unidades aumenta, disminuye por comprar. el número Completa la tabla, gastan do siempre Q.20.00.

responde.

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© SUSAET

Presentación de contenidos

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La serie de libros Matemática interactiva propone actividades interactivas relacionadas con los contenidos de aprendizaje y con la finalidad de estimular habilidades y destrezas matemáticas a través de la tecnología.

Pueden ser identificadas a través del siguiente cintillo, que se compone por el nombre de la página y el código de la actividad correspondiente.

Visita www.susaetaguatemala.com.gt, ingresa el código

y realiza la actividad.

mi6–01

Compru ebo lo aprendido 1. completa cada recta numérica.

Compruebo lo aprendido

–7

–6

–5

–3

–4

–2

–1

2

1

0

2. Convierte las fracciones en decimales.

5

4

3

Lenguaje algebraico

Lenguaje aritmético

Lenguaje Común

Constituye el repaso de la unidad, con una miscelánea de actividades relacionadas con los contenidos desarrollados; se enfocan en afianzar los aprendizajes en los alumnos y alumnas.

3

2

1

0

–1

–2

–3

Un número cualquiera más 7 El triple de un número menos 28 La mitad de un número La diferencia de dos números 3. Completa el cuadro con los términos semejantes que faltan, de tal manera que las columnas, filas y diagonales

i t ficiente l coefi 4. Completa la tabla. Identifica el y la parte literal de cada término algebraico.

sume 15xy.

Término

6xy

Coeficiente

Parte literal

5ab 5xy

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3xy

12

a2bc2 17p4r s

m 8 2

2. Efectúa las

operaciones

(5.98 + 7.98)

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2 min sa b e 20 de y otras u ev os uelve. da una Mis nla siguiente situaciónnciony esresde 3 minpautoras0caminutos. s minuto 3 5

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0 80.

20 y D de y 25. el MC m de 20 lcula 3. Ca mina el mc 25 Deter 20

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operaciones

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con decimales.

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33 12.02

172

Ejercicios para la evaluación de los contenidos desarrollados durante la unidad. Puede ser utilizada como evaluación sumativa. Permite la opción de ser desprendible para usarla de forma práctica, tanto para la ejecución de las actividades, como para el registro del docente.

131

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D= • MC m = • mc

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Mis nuevos saberes

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3

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244

con decimales.

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A la 1, a las 2 y a las 3…

© SUSAETA ediciones S.A.

© SUSAETA ediciones S.A.

4 4

5. Resuelve las ecuaciones.

Esta sección se localiza al final de cada unidad. Propone diferentes actividades como: juegos matemáticos, para el cálculo, la predicción, acertijos, adivinanzas, que promueven el juicio lógico y la imaginación para el descubrimiento de la solución a partir de elementos dados.

Cada una de las secciones está diseñada según la teoría de las Inteligencias Múltiples, con el objetivo de brindar a los alumnos y alumnas, mayores oportunidades de aprender, utilizando sus capacidades, reconociendo sus fortalezas y debilidades, así como favoreciendo el desarrollo de talentos y habilidades especiales.

1

Lógica proposicional y conjuntos

Infórmate Por fin llegó la fecha tan esperada. Hoy haremos dos de mis actividades favoritas: acampar y observar una lluvia de estrellas.

Aunque se nos advirtió que acamparíamos sí y solo si no llovía, esta noche parece ser perfecta.

Nuestro guía asignó los grupos por colores y a cada uno le corresponde aportar un conjunto de objetos. Entonces, los amarillos traerán los alimentos; los azules, los juegos de entretenimiento y nosotros; los rojos, telescopios. Además; medicina por si hubiera una emergencia. ¿Qué nos queda? Tomar los mejores asientos, identificar las agrupaciones de estrellas y disfrutar de un espectáculo inolvidable.

Exploración de conocimientos previos 1. Determina si las proposiciones son verdaderas o falsas. Escribe V o F según corresponda. Área Matemática Competencias de área • Aplica, con autonomía, signos, símbolos gráficos, algoritmos y términos matemáticos, para dar respuesta a diversas situaciones y problemas en los diferentes ámbitos en los que se desenvuelve.

• Aplica el pensamiento lógico, reflexivo, crítico, y creativo para impulsar la búsqueda de solución a situaciones problemáticas en los diferentes ámbitos en los que se desenvuelve.

• Hay más niñas que niños.

• Cada carpa representa un color primario.

• Las estrellas constituyen un conjunto infinito.

2. Sí A = { niños } y B = { niñas } A y B son conjuntos equivalentes. ¿Por qué?

3. Escribe el conjunto solución: A

B={

}

4. Circula y nombra tres conjuntos unitarios.

Proposiciones simples y su negación Existen enunciados, oraciones o expresiones matemáticas que afirman o niegan algo acerca de la realidad.

Lee la situación y responde.

Juan llegó a la meta después que Karla; Lorena cruzó la meta después de un hombre, Arturo llegó de último. El primer lugar fue para una mujer.

Determina en cada afirmación, si es verdadera (V) o falsa (F).

• Juan llegó en tercer lugar.

• Karla llegó en primer lugar.

• Arturo llegó en cuarto lugar.

• Los varones ganaron lugares impares.

• Lorena llegó en tercer lugar.

Proposición es una oración declarativa; es decir, que predica algo de un sujeto; por ejemplo: Juan llegó en segundo lugar. Se simboliza con letras minúsculas: p, q, r…

Valor de verdad es la posibilidad que tiene toda proposición, de ser verdadera o de ser falsa. Si es verdadera se simboliza V, si es falsa, se simboliza F. Negación es una operación que cambia el valor de verdad de una proposición. El símbolo de la negación es ~ y se antepone al símbolo de la proposición: ~p. Gramaticalmente se niega al agregar o eliminar la palabra no a la proposición.

Construyo mis conocimientos 1. Escribe a la par de cada enunciado, si es o no, una proposición.

•

El cuerpo humano tiene 256 huesos.

•

La película “Madagascar”.

•

Guatemala es el país más bello del mundo.

•

10 + 25 – 11 = 24

•

m: Juan está jugando.

•

q: Ellos no practican deporte.

•

y: Los ojos de Lucía son azules.

•

v: Guatemala tiene 23 departamentos.

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2. Escribe la negación de cada proposición.

12

3. Lee las proposiciones del conjunto M. Resuelve y descubre las proposiciones falsas.

M

• p: En el conjunto hay siete letras.

• h: Hay más vocales que consonantes.

• t: Las vocales o y u pertenecen al conjunto.

• ~t:

.

• n: En el conjunto hay cuatro letras de la palabra amigo.

• Las proposiciones falsas son:

.

i

a e

g

m x

d

4. Completa la tabla con ejemplos de proposiciones y su respectivo valor de verdad.

Valor de verdad

Proposición

El sol es un planeta.

Negación de la proposición

Valor de verdad

El sol no es un planeta

F

Zacapa es de Guatemala

Zacapa no es de Guatemala V

24 – 5 ≠ 19

F

Trabajemos juntos Lean y realicen los conteos necesarios para determinar los valores que se solicitan.

El futbol es un deporte popular en todo el mundo. ¡Vaya emociones que provoca!, los goles motivan los gritos de la afición. Cada estadio se llena de seguidores de los equipos, y cada equipo alinea sus doce jugadores, ¿Cuál es tu equipo favorito?

Las selecciones entrenan duro, los árbitros dirigen los encuentros, y los jugadores compiten para ganar. Siempre tiran a las tres porterías, y los goles no se hacen esperar.

• ¿Cuántas oraciones hay en total?

© SUSAETA ediciones S.A.

• ¿Cuántas proposiciones hay?

• ¿Cuántas proposiciones son falsas?

• ¿Cuántas son verdaderas?

• Toma una proposición y niégala: • Toma una proposición falsa y niégala, ¿Es ahora verdadera? Sí

No 13

Proposiciones compuestas y conectivos lógicos Es posible unir dos proposiciones simples y formar una proposición compuesta.

Analiza el siguiente diálogo y resuelve.

Sara y su padre sostienen la siguiente conversación.

— Sara: Yo quiero un teléfono celular y también quiero un perro.

— Don Hugo: Te compro el teléfono celular o te compro el perro.

• ¿Cuántas proposiciones tiene este diálogo?

• Subraya con rojo las dos proposiciones de Sara y subraya con azul las dos proposiciones de su papá.

• La proposición compuesta de Sara está unida por el conectivo lógico: • La proposición compuesta de Don Hugo está unida por el conectivo lógico: • ¿Cuál es la diferencia que se establece en el uso de la y/o?

Proposición simple es aquella que solo tiene un sujeto y un predicado.

Proposición compuesta es la unión de dos o más proposiciones simples.

Conectivos lógicos son las letras o palabras que unen o conectan dos o más proposiciones simples para formar proposiciones compuestas. Cada conectivo lógico tiene un nombre, una expresión en el idioma y un símbolo matemático.

Se lee

Conjunción

y

Disyunción

o

Implicación o condicional

si... entonces

Equivalencia o bicondicional

sí y sólo si 14

Símbolo matemático © SUSAETA ediciones S.A.

Nombre del conectivo

Construyo mis conocimientos 1. Completa la tabla con ejemplos de proposiciones.

Conectivo

q: Proposición simple

Proposición compuesta en símbolos

m: Hoy es lunes

y

n: Mañana es martes.

m∧n

s:

o

t:

s∨t

k:

sí y solo si

l:

r:

y

h:

p: Proposición simple

Si

∧

entonces

2. Escribe a la par de cada proposición compuesta, el nombre del conectivo que contiene.

• Guatemala está en América o Guatemala está en África.

• Siete es un número impar y también es un número primo.

• Si algo se quema entonces se produce humo.

• Un número es negativo sí y solo si es menor que cero.

•

Si Fernanda no estudia entonces no ganará la prueba.

3. Escribe las palabras correspondientes para hacer verdaderas las proposiciones compuestas.

• Si metes la pelota en la portería entonces • Una persona es de género masculino o • Permaneceré sano si hago ejercicio y • Karla obtendrá éxito en su vida sí y solo si • Si soy bondadoso y caritativo entonces

© SUSAETA ediciones S.A.

4. Expresa con oraciones cada proposición compuesta.

• p

r

• k∧h∧f • r∨s • m

n

• p

(r ∧ z) 15

Tablas de verdad de los conectivos lógicos Analiza la situación y resuelve.

Un grupo de amigos leyó el siguiente artículo en el periódico.

¿Quieres TRABAJAR con nosotros?

Se contratarán jóvenes con diploma de sexto grado o jóvenes con diploma de tercero básico.

Interesados enviar currículo a solopollo@frito.com Marcos afirma que contratarán SOLO jóvenes que tengan los dos diplomas; Carlos dice que con solo uno de los dos diplomas será suficiente y Hugo asevera que ambos tienen razón.

• ¿Quién piensas que tiene la razón?

• ¿Por qué?

El valor de verdad de una proposición simple es Verdadero o es Falso. Pero en el caso de una proposición compuesta, el valor de verdad depende de qué conectivo lógico la conforme.

Tabla de verdad de un conectivo lógico es aquella que contiene el valor de verdad de una proposición compuesta con ese conectivo. Esto hace necesario que cada conectivo tenga su tabla de verdad.

Conjunción ∧

Disyunción ∨

p

q

p∧q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

p q es verdadera solo cuando ambas proposiciones son verdaderas.

p

q

p∨q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Equivalencia

p

q

p∨q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

p q es falsa solo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa.

16

p

q

p∨q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

p q es verdadera cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

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Implicación

p ∨ q es falsa solo cuando ambas proposiciones son falsas.

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mi6–01

y realiza la actividad.

Construyo mis conocimientos 1. Escribe con símbolos las proposiciones compuestas.

• Vamos al cine o vamos a nadar.

• Realizo mis tareas y repaso la lección.

• Si hoy es sábado entonces me levantaré tarde.

• Te ayudo en Matemáticas sí y solo si me prestas tu libro.

2. Descubre las cuatro proposiciones compuestas cuyo valor de verdad es incorrecto y corrígelas.

El valor de las proposiciones simples es: p: V q: F r: V t: F. No.

Proposición compuesta

No.

Proposición compuesta

1

p∨t

V

2

p

r

F

3

t∧q

V

4

q

t

F

5

(p ∧ r)

t

V

6

(r

t) ∨ t

F

7

(r ∧ p)

r

V

8

q ∨ (t

p)

V

3. Determina el valor de verdad de las proposiciones compuestas.

• V

F

• V

V

• F

V

• V

V

• V

F

• F

V

• V

V

• V

F

• V

V

4. Analiza y responde las interrogantes.

• Si p: Hoy es jueves, es falsa y q: Es un día lluvioso, es verdadera, ¿p q es verdadera o falsa?

• Si m: Los jóvenes son dinámicos, es falsa, entonces k: Los jóvenes son estudiosos, es verdadera, ¿m k es verdadera o falsa?

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• Si d: 16 2 5 511 es verdadera y s: 111 5 5 16, es verdadera, ¿d s es verdadera o falsa?

5. Haz una propuesta de una proposición compuesta llamada cadena deductiva. Analiza el ejemplo y crea una cadena con hechos de tu área de estudio preferida.

Si naciste en Guatemala entonces eres ciudadano guatemalteco, si Guatemala es país americano entonces eres ciudadano de América, si América es parte del mundo, eres ciudadano del mundo, y si el mundo es parte del universo, eres ciudadano del universo.

17

Conjuntos y su representación Un conjunto es una colección de personas, animales o cosas que tienen algo en común.

Se llama elemento a cada integrante que pertenece (∈) al conjunto.

El número de elementos que tiene es su cardinalidad y se representa como n( ).

Analiza la situación y completa la tabla.

A Sandra le gusta nadar, jugar baloncesto y dibujar. Luisa prefiere jugar ajedrez, caminar y cantar. José es practica baloncesto, canta y dibuja. Fidel ama el teatro, el ajedrez y dibuja muy bien. Silvia juega baloncesto, dibuja y está en el coro escolar. Forma los conjuntos que se solicitan y sus características.

Representación descriptiva 1

Representación enumerativa

Representación gráfica o Diagrama de Venn

n( )

N = {niños y niñas que les gusta el canto} G = {Luisa, Fidel}

2

A

3

Luisa

4

4

Los conjuntos se pueden representar de diferentes formas: • La forma descriptiva o comprensiva de un conjunto es cuando se escribe la característica común a todos sus elementos.

• La forma enumerativa o extensiva es cuando se

escriben los nombres de todos los elementos.

• La forma gráfica o diagrama de Venn es cuando se colocan los elementos dentro de una figura geométrica plana y cerrada.

Utiliza los siguientes símbolos para establecer relaciones entre conjuntos.

Símbolo pertenece

no pertenece

contenido

no contenido

Utiliza estos símbolos y los conectivos lógicos para abreviar la escritura de un conjunto.

Fíjate en el ejemplo: B 5 {x/x  N ∧ x . 10 ∧ x , 18} B 5 { 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} Se lee: x tal que x pertenece a los números naturales y x es mayor que 10 y menor que 18.

Observa los siguientes conjuntos.

F 5 {x/x es un animal mamífero } F 5 { vaca, ratón, oveja, perro... } T 5 {x/x es un número entero negativo} T 5 { 23, 27, 28, 211...} 18

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Significado

Construyo mis conocimientos 1. Convierte los conjuntos expresados en forma enumerativa a forma descriptiva y viceversa.

Conjuntos por extensión

Conjuntos por comprensión

W= {Jalapa, Jutiapa, Quetzaltenango} G= { deportistas guatemaltecos} N= {Comunicaciones, Municipal, Aurora} B= { x/x es múltiplo de 7 ∧ x < 49 } 2. Observa las conjuntos y realiza las actividades.

A = { 1, 2, 3, 4, 5}

B = { 1, 2, 3}

C = { 2, 3, 4}

E = {animales reptiles}

S = { cóndor, águila}

D = {1, 8}

T = { x/x es un animal}

• Determina si existe relación de pertenencia o no ( ó ).

Cóndor

T

Tigre

B

6

C

Jirafa

T

Águila

S

Gato

E

1

D

4

S

Tortuga

E

9

A

8

B

23

D

• Determina si existe relación de contención o no ( ó ).

A

B

C

D

E

S

T

S

B

C

D

E

S

T

A

T

B

A

C

A

E

T

C

E

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3. Propón un conjunto para cada diagrama de Venn. Coloca por elementos pequeños recortes, luego escribe su forma descriptiva o comprensiva.

F

R

F = { x / x es

R = { x / x es 19

Clases de conjuntos La clasificación de los conjuntos se basa en el análisis de sus elementos o miembros.

Escribe la cardinalidad de los conjuntos.

• A = {planetas del sistema Solar}

n(A) =

• B = {números pares}

n(B) =

• C = {números naturales mayores

que cuatro y menores que dos} n( C ) =

• D = {volcanes activos del

departamento de Sololá}

n( D ) =

A los conjuntos que es posible determinar su cardinalidad se les llama finitos.

Los conjuntos que no es posible contar o determinar su cardinalidad se les llama infinitos. El infinito se simboliza como ∞.

Los conjuntos que sólo tienen un elemento se llaman unitarios y aquellos que no tienen elementos se llaman vacíos. Un conjunto vacío se simboliza así: ∅ o { }

Construyo mis conocimientos 1. Clasifica los diferentes conjuntos en finitos e infinitos.

•

S 5 {x/x sea un color primario}

• V 5 {4, 8, 12, 16, 20, 24…}

H

• N 5 {animales marinos} • K 5 {x/x  N ∧ x . 21 ∧ x , 287}

2. Completa la tabla con ejemplos de conjuntos vacíos y unitarios.

Conjuntos vacíos

5 10 25 15 20

Conjuntos unitarios L = {x/x es Presidente de Guatemala}

Y = {x/x es satélite del planeta Tierra } K = {meses del año con más de 31 días}

Aprende Los conjuntos que tienen igual cardinalidad se llaman conjuntos equivalentes.

20

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M = {x/x es pez que puede volar }

Trabajemos juntos 1. Estimen la cardinalidad de los conjuntos finitos. Elijan y circulen la opción adecuada. Comparen los resultados y justifiquen su respuesta.

•

•

•

¿Si una jaula de un zoológico tiene aproximadamente un conjunto de 37 aves, ¿cuántas aves aproximadamente forman el conjunto de todo el zoológico si cuenta con 10 jaulas similares?

En un frasco de un litro cabe más o menos un conjunto de 130 dulces, ¿cuál es la cardinalidad del conjunto de dulces en un vaso?

El conjunto de butacas de un teatro es 600.

En una función, una fila está llena y la otra vacía a lo largo de todo el teatro, ¿cuántos espectadores asistieron a la función?

•

100

•

400

•

300

•

5

•

30

•

60

•

600

•

400

•

300

2. Propongan un ejemplo de conjunto unitario, vacío y otro finito para cada campo. Representen los conjuntos en forma descriptiva.

Campo

Vacío

Unitario

Finito

Deportes Ciencias naturales Arte Lenguaje y comunicación

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3. Analicen y comenten con sus compañeros y compañeras.

•

El conjunto formado por los granos de arena de una playa, ¿es finito o infinito?

•

Existe la idea de conjuntos finitos no numerables, es decir que son conjuntos con cantidades muy grandes de elementos, pero no infinitos. ¿Qué opinan al respecto? Propongan un conjunto de este tipo: 21

Conjunto universo y operación complemento El conjunto universo depende de la situación que se quiera analizar. Es un conjunto cuyo objeto de estudio son los subconjuntos del mismo.

Analiza la situación y responde.

Angélica está empezando quinto grado. El conjunto de los grados que ha aprobado es: • A = {primero,

,

,

}.

• Si se toma como conjunto universo, los grados del nivel primario, en forma enumerativa es: P = {primero, segundo, ,

, cuarto,

}.

• El conjunto complemento para Angélica; es decir, los grados que le faltan para cursar toda la primaria es Ac = {

}.

• Tomando el mismo conjunto universo, para ti, ¿cuál es el conjunto complemento?

.

Un conjunto universo está formado por todos los elementos que se utilizan como referencia en una situación o problema determinado. Su símbolo es una ∪ y su diagrama de Venn generalmente es un rectángulo con los conjunto dentro de él.

El complemento se forma con con los elementos que hacen falta a un conjunto M para ser igual al conjunto universo. En símbolos se escribe: Mc = {x/x A ∧ x U}.

Construyo mis conocimientos 1. Anota el conjunto universo para los siguientes conjuntos.

•

F = {do, re, mi, fa, sol}

∪= {

}

•

G = {Lunes, miércoles, sábado}

∪= {

}

•

H = {verde, amarillo}

∪= {

}

•

K = {b, c, f, h, j, m, p, r, s, v, w, z}

∪= {

}

•

L = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28}

∪= {

}

•

∪ = {las estaciones del año}

M={

}

•

∪ = {animales vertebrados}

P ={

}

•

∪ = {países de América del Norte}

Q={

}

•

∪ = {los números naturales}

Y ={

}

•

∪ = {Volcanes de Guatemala}

H ={

}

22

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2. Escribe un subconjunto para cada conjunto universo.

3. Observa el conjunto y resuelve las operaciones.

Sea U 5 {1, 2, 3, … 9}

•

A = {1, 3, 5, 7, 9}

Ac 5 {

}

•

B = {2, 4, 6, 8}

Bc 5 {

}

•

C = {1, 5, 9}

Cc 5 {

}

•

D ={9}

Dc 5 {

}

•

E = {1, 2, 3, ... 8}

Ec 5 {

}

4. Encuentra el complemento de cada conjunto. Escribe su nombre en el círculo.

•

U = {a, b, c, d, e, f, g, h} G = {c, a, f, e}

•

U = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} H = {5, 10, 15, 30}

•

U = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24} M = {0, 12, 24}

= {

}

= {

}

= {

}

Trabajemos juntos Resuelvan la situación e inventen otra de cualquier área de estudio. Por ejemplo, en el área de Comunicación y Lenguaje.

Situación: ¿Cuál es el complemento de las letras de la palabra murciélago en el universo del abecedario?

Solución:

M = { m, u, r, c, i, e, l, a, g, o}, conjunto U = {x/x es letra del abecedario}

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Mc = { •

Situación:

•

Solución:

}

U

c

= {

}

= {

}

= {

} 23

Operaciones unión e intersección de conjuntos Las operaciones entre conjuntos son: unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento. Estas operaciones constituyen lo que se llama álgebra de conjuntos.

Observa las ilustraciones. Analiza la situación y resuelve.

A Edgardo le han indicado que los objetos de arriba pertenecen a dos conjuntos:

A = {x/x es pelota}

y

B = {x/x es implemento deportivo}

Le solicitan fotografiar los objetos que sean implemento deportivo o pelota; es decir, la unión de A con B. Luego los objetos que sean implemento deportivo y pelota; es decir, la intersección de A con B. • A∪B={

}

• A∩B={

} Unión de conjuntos

Intersección de conjuntos

Es el resultado de tomar todos los elementos de dos o más conjuntos sin repetir los comunes.

Es el resultado de tomar solo los elementos que tienen en común los conjuntos.

En símbolos: A  B 5 {x/x  A ∧ x  B}

En símbolos: A  B 5 {x/x  A ∨ x  B}

Ejemplo:

A

B

1 3

7 9 5 2 6

4

8

A

A∪ B

5

C = {león, tigre, puma}

7

1

1 3 9 5

3

2

5

7 9

2 4 6

4 8

A ∩ B = {5}

8

C = {león, tigre, puma}

D = {jirafa, tigre, lobo}

D = {jirafa, tigre, lobo}

C ∪ D = {león, tigre, puma, jirafa, lobo}

C ∩ D = {tigre} 24

B

6

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Ejemplos:

Construyo mis conocimientos 1. Resuelve las operaciones entre conjuntos.

F 5 {2, 4, 6, 8}

I 5 {1, 5, 9}

L 5 {Guatemala}

G 5 {2, 3, 4, 5, 6}

J 5 {Guatemala, Bogotá, Caracas}

M 5 {Bogotá, Tegucigalpa, Lima}

H 5 {1, 3, 5, 7, 9}

K 5 {Quito, Tegucigalpa, Lima}

• FH5

• JL5

• GI5

• MK5

• FI5

• MK5

• GH5

• JM5

• FG5

• LK5

2. Analiza los conjuntos y responde.

A

• ¿Cuáles son los elementos de A? B

A={

}

• ¿Cuáles son los elementos de B? B={

}

• ¿Cuáles son los elementos de C? C={

C • A∪B=

• B∪C=

• A∪C=

• A∩B=

• B∩C=

• A∩C

}

3. Representa con diagramas de Venn, las siguientes operaciones. Colorea las regiones que representan las operaciones.

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• La unión entre los números pares y los números impares.

25

• La intersección entre los números pares y los números impares.

Operaciones diferencia y diferencia simétrica Observa los elementos de cada conjunto y resuelve.

A

A la abuelita de Pedro, el médico le indicó que debe dejar de consumir carbohidratos por un tiempo.

Si A es el conjunto de alimentos de la abuelita y B el conjunto de los carbohidratos, se debe establecer la diferencia entre A y B; es decir, restar de A los alimentos que pertenecen a B.

A  B 5 { •

}

Responde ¿Qué alimentos consume la abuela que no son carbohidratos y qué alimentos son carbohidratos y no acostumbra comer la abuela?

Eso equivale a la diferencia simétrica entre ambos conjuntos: A  B.

B

Dados dos conjuntos A y B, la operación diferencia (A  B) se define como otro conjunto al que pertenecen los elementos de A que no pertenecen al conjunto B. A  B 5 {x/x  A ∧ 3  B.}.

Dados dos conjuntos A y B, la operación diferencia simétrica (A  B) se define como otro conjunto al que pertenecen los elementos de A que no pertenecen al conjunto B y los elementos de B que no pertenecen a A. A  B = (A  B) ∪ (B  A) 5 {(x/x  A ∧ x  B) ∨ (x/x  B ∧ x  A)}

Construyo mis conocimientos

A

B

C 26

•

A2 B 5 {

}

•

B 2 A 5 {

}

• A 2C 5 {

}

•

B 2C 5 {

}

•

B  A 5 {

}

• A  B 5 {

}

•

B  C 5 {

}

• A  C 5 {

}

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1. Observa el diagrama y realiza las operaciones indicadas.

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mi6–02

y realiza la actividad.

2. Escribe el nombre y la simbolización de la operación que representa cada gráfica.

Diferencia A

B

A

B

A

Complemento B

A U

A

B

A∪B 3. Analiza los diagramas y colorea la operación que se indica.

A  C

B ∩ C

A

B

A

C

B

C

4. Analiza el ejemplo y resuelve las operaciones combinadas. Efectúa primero las operaciones de los paréntesis y con los conjuntos obtenidos realiza las operaciones externas.

A = {x/x ∈ N ∧ x ≤ 5}

A = {1, 2, 3, 4, 5}

C = {x/x ∈ N ∧ x < 7} C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

B = {x/x ∈ N ∧ 10 > x >3} U = {x/x ∈ N ∧ x ≤ 9}

B = {4, 5, 6, 7, 8, 9 } U = {1, 2, 3, 4, 5 … 9}

(A – B) ∪ (B – C) → {1, 2, 3} ∪ {9, 8, 7} = {1, 2, 3, 7, 8, 9}

( B  C ) U Ac

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( A U B ) – (B ∩ C )

27

( C – B) ∩ A

Producto cartesiano y plano coordenado Existe un conjunto de dos elementos en el cual se tiene en cuenta el orden de sus elementos.

Este conjunto se denomina par ordenado.

Analiza la situación. Observa el diagrama y completa las combinaciones.

En una cafetería desean determinar todas las combinaciones entre tres platos que ofrecen para almuerzo con cuatro sabores de refresco natural.

A

B

A x B = {(pollo, fresa), (pollo, uva), (pollo, limón), (pollo, piña), (res, (res, (pescado,

), (

}

,

), (

), (

,

), ,

), (

), , limón),

(pescado, piña)

fresa uva limón piña pollo

res

pescado

Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano (A x B) se define como el conjunto de parejas ordenadas (x, y) en las cuales x pertenece a A & y pertenece a B, simbólicamente:

A x B = {(x, y) / x ∈ A ∧ y ∈ B} Plano coordenado cartesiano es un sistema para ubicar o localizar puntos sobre una superficie plana previamente graduada en un sistema de medidas. Cada punto del plano es único y se representa por una pareja ordenada de coordenadas, una sobre el eje x y la otra sobre el eje y.

28

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Un producto cartesiano se puede representar en un plano coordenado, en el ejemplo:

Construyo mis conocimientos 1. Escribe los productos cartesianos que se indican.

•

C = {do, re, mi}

D = {sa, co}

C 3 D = { D 3 C = { •

E = {2, 4}

} }

F = {rojo, amarillo, azul}

E 3 F = { F 3 E = {

} }

2. Resuelve los productos cartesianos. Localiza cada par ordenado en el plano cartesiano.

A = {2, 4, 6, 8} B = {1, 3, 5, 7} C = {1, 2} A 3 B =

7 6 5 4 3 2 1 1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

7

B 3 C =

6 5 4 3 2

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1

3. Encuentra el camino hacia el tesoro sin atravesar las montañas.

6 • Propón la secuencia de parejas ordenadas necesarias para ir del 5 punto de partida , al tesoro .

4 Compara tu propuesta.

3 2 1 0

0

1

29

2

3

4

5

6

7

8

Compruebo lo aprendido 1. Escribe F o V para determinar el valor de verdad de las proposiciones.

• Ningún mamífero vuela.

5. Encierra en un recuadro los conjuntos finitos y colorea los infinitos.

• A = { x/x es un número dígito}

• Los triángulos tienen ángulos.

• B = {estrellas del universo}

• Cristóbal Colón descubrió América

• C = {x/x es estudiante de sexto grado}

• 45 + 16 – 25 = 36.

• D = {x/x es un continente}

• El cuádruplo de 12 es 48.

6. Realiza las operaciones entre conjuntos.

2. Subraya las proposiciones compuestas.

• Si Carlos Ruiz anota un gol entonces Carlos Ruiz es buen jugador.

U 5 {1, 2, 3, … 9}

W5 {1, 2, 3, 4}

X 5 {3, 4}

Y 5 {3, 5, 6, 7}

Z 5 {8, 9}

• Irás al cine sí y solo si te ganas el boleto.

• Colombia pertenece a Suramérica.

(W ∪ Y) – Z

• Panamá es un país centroamericano o es suramericano.

• El 8 es múltiplo de 2 y divisor de 64.

3. Completa la tabla.

Nombre

(Y  X) – WC

Conectivo lógico

Símbolo

y

∧

disyunción

∨

implicación

⟹

7. Calcula el producto cartesiano y localiza las parejas en un plano.

sí y sólo si

M 5 {0, 1, 2}

negación

F 5 {0, 3}

M 3 F 5

4. Escribe por extensión los conjuntos.

• D = {x/x es un divisor de 20}

3

}

2

• P = {tejidos del cuerpo humano} P ={

}

1

• N = {x/x es ciudad de América Insular} N={

0

}

0

30

1

2

3

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D ={

Mis nuevos saberes 1. Analiza los conjuntos y resuelve cada planteamiento.

B

A

C

U

• Escribe la cardinalidad de cada conjunto y responde. n(A)

n(B)

n(C)

¿Cuáles son equivalentes?

¿Por qué?

• Determina si existe relación de pertenencia o no (∈ o ) entre los elementos y cada conjunto que se indica. cerdo

A

ballena

U

perro

C

cerdo

B

ballena

B

perro

U

• Escribe en forma descriptiva cada conjunto.

U = {

}

A = {

}

B = {

}

C = {

}

• Presenta en forma enumerativa el conjunto universo.

U = {

}

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• Desarrolla en forma enumerativa el resultado de cada operación.

A ∪ B = {

}

BC = {

}

C B = {

}

B  C = {

} 31

• Escribe el valor de verdad de cada proposición simple.

El pato es un animal doméstico.

La ballena es un animal mamífero

El cocodrilo es mamífero.

El avestruz es un animal salvaje.

• Escribe la negación de cada proposición.

Los dinosaurios no se extinguieron.

El cerdo es un animal salvaje.

Las serpientes son buenas mascotas.

La gallina es carnívora.

• Escribe con símbolos las proposiciones.

El cerdo es una animal doméstico y mamífero.

El avestruz es un animal doméstico o salvaje.

La gallina es un ave entonces vuela.

La ballena es salvaje sí y solo si no se puede domesticar.

2. Resuelve la siguiente situación.

Don Roberto tiene tres roedores y cuatro aves de corral: un hamster, un topo, un conejo, un pato, un pavo, un gallo y una gallina.

Combinar todas las posibles parejas que se pueden formar con los diferentes animales.

Escribe todas las combinaciones posibles. A x J = n( A ) x n ( J ) = 4 x 3 = 12

{(

), (

),

(

), (

),

(

), (

),

(

), (

),

(

), (

),

(

), (

)} 32

pato

pavo

gallo

gallina

hamster

topo

conejo

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•

A la 1, a las 2 y a las 3...

Unos químicos muy complicados Integren equipos de trabajo.

• Al contar hasta 3, identifiquen el recorrido de la sustancia química desde el vertimiento hasta el envasado.

• Coloreen el recorrido con color rojo y comparen los resultados.

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•

33