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Pagina VI

Indice

Geometria e misura Per orientarti

2

esercizi

unità di apprendimento 1

Per rappresentare la realtà Dagli oggetti alle figure geometriche Tre, due, una, zero... dimensioni Gli enti fondamentali I primi assiomi della geometria Posizioni reciproche di una retta e un piano Posizioni reciproche di due rette

mi autovaluto

5

190-196

6 7 8 10 12 13

191 191 192 193 193 193

14

Esercizi per verificare gli obiettivi

195

unità di apprendimento 2

esercizi

Semirette, segmenti e angoli

15

Semiretta e segmento Confronto di segmenti

16 17

198 199

20

201

23

203

197-210

Somma e differenza di segmenti, p. 18; Segmenti multipli e sottomultipli, p. 19

Gli angoli Angolo concavo e angolo convesso, p. 20; Angoli consecutivi, adiacenti e opposti al vertice, p. 21; Angolo giro, piatto e retto, p. 22; Angoli acuti e ottusi, p. 23

Confronto di angoli Angoli multipli e sottomultipli, p. 24; Angoli complementari, supplementari, esplementari, p. 25

mi autovaluto

26

Esercizi per verificare gli obiettivi

206

unità di apprendimento 3

Perpendicolarità e parallelismo

27

Rette perpendicolari Asse di un segmento Distanza e proiezioni

28 29 30

esercizi 211-218 212 213 213


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Pagina VII

Indice

Rette parallele

mi autovaluto

32

216

34

Esercizi per verificare gli obiettivi

217

esercizi

unità di apprendimento 4

La misura delle grandezze

35

219-263

Grandezze e misura Il sistema di misura decimale

36 37

220 223

44

237

47

243

49

245

Le misure di lunghezza, p. 37; Le misure di superficie, p. 38; Le misure di volume, p. 39; Le misure di capacità, p. 40; Le misure di massa (peso), p. 41; Osservazioni sulle unità di misura, p. 43

La misura degli angoli Le operazioni con le misure degli angoli, p. 45

La misura del tempo Le operazioni con le misure del tempo, p. 48

Problemi sulle misure Problemi sulle misure non decimali, p. 50

mi autovaluto

52

Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero

253 259

esercizi

unità di apprendimento 5

Poligoni: i triangoli e le loro proprietà

53

264-293

I poligoni

54

265

59

270

61

273

Angoli interni e angoli esterni, p. 55; Considerazioni sui lati e sulle diagonali di un poligono, p. 57

I triangoli e le loro proprietà Elementi di un triangolo, p. 60; Classifichiamo i triangoli, p. 60

Punti notevoli di un triangolo Altezze e ortocentro, p. 61; Bisettrici e incentro, p. 63; Mediane e baricentro, p. 64; Assi e circocentro, p. 65

Particolari proprietà e classificazione generale

67

Triangolo isoscele, p. 67; Triangolo equilatero, p. 67; Triangolo rettangolo, p. 68; Classificazione generale, p. 68

Calcoliamo il perimetro

mi autovaluto

Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero

VII

69 70 285 290

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VIII

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Indice

esercizi

unità di apprendimento 6

I quadrilateri

71

294-324

Proprietà e classificazione I trapezi

72 74

295 295

77

299

80 80

303

Trapezio isoscele, p. 74; Trapezio scaleno, p. 75; Trapezio rettangolo, p. 76

I parallelogrammi Il rettangolo, p. 78; Il rombo, p. 78; Il quadrato, p. 79

Il deltoide Calcoliamo il perimetro

mi autovaluto

82

Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero

315 321

esercizi

unità di apprendimento 7

I movimenti e la congruenza

83

325-339

Trasformazioni: varianti e invarianti Congruenza e isometrie La traslazione La rotazione La simmetria assiale Figure geometriche e simmetria

84 85 88 89 90 92

326 326 329 332 333

mi autovaluto

94

Esercizi per verificare gli obiettivi

337

esercizi

unità di apprendimento 8

Il calcolo delle aree

95

340-387

Equivalenza di figure piane

96

341

102

344

115

373

Figure piane prevalenti e subvalenti, p. 101

Calcoliamo le aree Area del rettangolo, p. 102; Area del quadrato, p. 103; Area del parallelogramma, p. 104; Area del triangolo, p. 105; La formula di Erone, p. 106; Area del rombo, p. 107; Area del trapezio, p. 109; Area dei poligoni regolari, p. 111; Area di un poligono qualsiasi, p. 114

Isoperimetria ed equiestensione

mi autovaluto

Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero

118 378 381


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Indice

Il teorema di Pitagora

119

sercizi e388-419

Particolari terne numeriche Il teorema di Pitagora Le terne pitagoriche Applicazioni del teorema di Pitagora

120 122 125 127

389 389 391

unità di apprendimento 9

Triangolo isoscele, p. 127; Triangolo equilatero, p. 127; Triangolo rettangolo isoscele, p. 127; Quadrato, p. 128; Rettangolo, p. 128; Rombo, p. 128; Trapezio rettangolo, p. 128; Trapezio isoscele, p. 129; Poligono regolare, p. 129

mi autovaluto

130

Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero

412 415

esercizi

unità di apprendimento 10

Le coordinate cartesiane

131

420-430

Coordinate e assi cartesiani Punto medio e distanza fra punti Figure nel piano cartesiano Isometrie nel piano cartesiano

132 134 136 138

421 421 423 425

mi autovaluto

140

Esercizi per verificare gli obiettivi

427

esercizi

unità di apprendimento 11

Similitudine e omotetia

141

431-456

Figure simili

142

432

144

432

146

435

150

443

Proprietà dei poligoni simili, p. 143

Criteri di similitudine nei triangoli 1° criterio, p. 145; 2° criterio, p. 145; 3° criterio, p. 146

I teoremi di Euclide Primo teorema di Euclide, p. 146; Secondo teorema di Euclide, p. 147; Interpretazione geometrica dei due teoremi di Euclide, p. 148

L’omotetia Proprietà dell’omotetia, p. 151

mi autovaluto

Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero

154 446 451

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Indice

Aspetti storici della matematica • Le origini della geometria

156

• Pitagora e la sua scuola

161

• Erano bravissimi… “ingegneri”

157

• René Descartes, Cartesio

162

• Talete, il primo vero matematico

159

• Antichi sistemi di misura

163

• Il grande Euclide

160

Il laboratorio matematico 166

• Il disegno geometrico (seconda parte)

172

• Strumenti per il disegno geometrico

167

• Poligoni in... poligoni equivalenti

174

• Il disegno geometrico (prima parte)

169

• Una particolare simmetria

177

• Il geopiano

171

• Misuriamo per... similitudine

179

• I fiammiferi

182

• Un tesoro, capre e cavoli

185

• Il cruciverba

183

• Percorsi

186

• Quale...?

184

• Il labirinto

187

Giochiamo con la matematica

Apparati Mi autovaluto: soluzioni Glossario Tavole numeriche

458 461 463

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• Errori nelle misurazioni


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Geometria e misura unità di apprendimento

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Per rappresentare la realtà Semirette, segmenti e angoli Perpendicolarità e parallelismo La misura delle grandezze Poligoni: i triangoli e le loro proprietà I quadrilateri I movimenti e la congruenza Il calcolo delle aree Il teorema di Pitagora Le coordinate cartesiane Similitudine e omotetia


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Geometria e misura

Per orientarti • Dagli oggetti alle figure geometriche • Gli enti fondamentali • I primi assiomi della geometria • Posizioni reciproche di una retta e un piano • Posizioni reciproche di due rette

Per rappresentare la realtà

• Semiretta e segmento • Confronto di segmenti • Gli angoli • Confronto di angoli

Semirette, segmenti e angoli

La misura delle grandezze

Perpendicolarità e parallelismo

• Grandezze e misura • Il sistema di misura decimale • La misura degli angoli • La misura del tempo • Problemi sulle misure

• Rette perpendicolari • Asse di un segmento • Distanza e proiezioni • Rette parallele

Le coordinate cartesiane

• Coordinate e assi cartesiani • Punto medio e distanza fra punti • Figure nel piano cartesiano • Isometrie nel piano cartesiano


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3

I quadrilateri

Il calcolo delle aree

• Proprietà e classificazione • I trapezi • I parallelogrammi • Il deltoide • Il calcolo del perimetro

• Equivalenza di figure piane • Le aree • Isoperimetria ed equiestensione

I movimenti e la congruenza

Il teorema di Pitagora

• Trasformazioni: varianti e invarianti • Congruenza e isometria • La traslazione • La rotazione • La simmetria assiale • Figure geometriche e simmetria

• Particolari terne numeriche • Il teorema di Pitagora • Le terne pitagoriche • Applicazioni del teorema

Similitudine e omotetia

• Figure simili • Criteri di similitudine nei triangoli • I teoremi di Euclide • L’omotetia

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Poligoni: i triangoli

• I poligoni • I triangoli e le loro proprietà • Punti notevoli • Classificazione • Il calcolo del perimetro


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unità apprendimento di

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1

Per rappresentare la realtà • Dagli oggetti alle figure geometriche • Tre, due, una, zero... dimensioni • Gli enti fondamentali • I primi assiomi della geometria • Posizioni reciproche di una retta e un piano • Posizioni reciproche di due rette

Che cosa saprò e che cosa saprò fare dopo aver studiato questi argomenti? Con lo studio di questa unità di apprendimento imparerai: • gli enti fondamentali della geometria euclidea; • gli assiomi su punti, rette e piani; • le posizioni reciproche di una retta e un piano e di due rette; e alla fine saprai: • rappresentare geometricamente un oggetto; • individuare nella rappresentazione geometrica gli enti fondamentali della geometria; • individuare e disegnare rette complanari, incidenti, parallele e coincidenti.

Incomincerai lo studio della geometria rivedendo prima cose che già sai e approfondendo poi le tue conoscenze. Verificherai quindi se ricordi ciò che hai fatto e approfondirai certi argomenti.


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Geometria e misura

Dagli oggetti alle figure geometriche

Alcune di queste proprietà, esattamente la forma, l’estensione, la posizione e le trasformazioni, sono dette proprietà geometriche del corpo e vengono studiate dalla geometria, quella parte della matematica che si occupa di esaminare: • le diverse forme degli oggetti:

• la loro diversa estensione:

• le trasformazioni che possono subire:

Quando di un oggetto esaminiamo la forma, l’estensione e le eventuali trasformazioni che può subire, lo consideriamo un corpo geometrico e ne studiamo le proprietà proprio attraverso i concetti della geometria, che possiamo definire dicendo che: La geometria è la scienza che studia la forma e l’estensione dei corpi e le trasformazioni che questi possono subire.

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Un’infinità di oggetti attira quotidianamente la nostra attenzione e se li osserviamo ci accorgiamo che ciascuno di essi ha una sua forma, è fatto di un certo materiale, ha un colore, un’estensione, un peso, occupa una posizione ecc.; inoltre può essere sottoposto a spostamenti, ingrandimenti, riduzioni, deformazioni ecc.


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1 • Per rappresentare la realtà Esercizi da pag. 190 a pag. 196

Per osservare la forma e valutare l’estensione di un corpo, come sai, ne diamo una rappresentazione geometrica attraverso i solidi; i corpi sotto disegnati, per esempio, sono rappresentati geometricamente da alcuni solidi che conosci:

p i r a m i d e

p r i s m a

c i l i n d r o

c o n o

s f e r a

c u b o

Tre, due, una, zero... dimensioni lung hez za

la rg he zz a

Tutti gli oggetti che ci circondano hanno tre dimensioni; il tuo libro per esempio è lungo, è largo e ha uno spessore (Fig. 1).

spessore

Figura 1

Diciamo che gli oggetti reali sono tutti tridimensionali e geometricamente corrispondono appunto ai solidi, figure che occupano una parte di spazio e hanno quindi tre dimensioni: la lunghezza, la larghezza e lo spessore o altezza (Fig. 2a). Se osserviamo un solido possiamo anche dire che esso è formato da tre elementi: le facce, gli spigoli e i vertici (Fig. 2b). vertice faccia

la

rg h

ez z

a

altezza

spigolo

a)

lunghezza

b) Figura 2

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Geometria e misura

Se adesso osserviamo il foglio di un libro, una banconota, una foto, la tela di un quadro ecc., notiamo che il loro spessore è talmente trascurabile rispetto alle altre due dimensioni che possiamo dire che questi oggetti hanno due sole dimensioni. Diciamo che sono delle figure bidimensionali che poggiano su un piano e che geometricamente corrispondono alle figure piane; queste occupano una parte di piano e hanno quindi due sole dimensioni: la lunghezza e la larghezza (Fig. 3a). Una figura piana è formata da due elementi: gli spigoli e i vertici (Fig. 3b). b)

vertice

lar gh

ez

za

a)

lunghezza

Nella realtà esistono oggetti reali per i quali due delle tre dimensioni sono trascurabili. Pensa a uno stuzzicadenti, a un ago, a un filo, al segno lasciato da una matita ben appuntita che scorre su un foglio ecc. Siamo alle figure lineari che, geometricamente, corrispondono alle linee, alle rette, alle semirette e ai segmenti; esse hanno una sola dimensione: la lunghezza.

spigolo

Figura 3

Figura 4

Pensa adesso a un granellino di sabbia o al segno che lascia la punta di una matita ferma su un foglio; quante dimensioni hanno queste figure? Rispetto a una qualsiasi altra figura, queste forme hanno tutte e tre le dimensioni talmente piccole... da essere trascurabili; siamo ai punti geometrici, enti privi di una qualsiasi dimensione. Figura 5

Gli enti fondamentali Dall’analisi di un oggetto a tre dimensioni siamo arrivati al punto, che ha zero dimensioni. È proprio in un solido che complessivamente troviamo i tre enti fondamentali della geometria: il punto, la retta e il piano, essenziali nello studio di una qualsiasi figura. Osserviamo il modello di un corpo geometrico, cioè la rappresentazione o il


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Geometria e misura

Posizioni reciproche di una retta e un piano Rispetto a un piano una retta può essere giacente, parallela o incidente. Osserva. • Tutti i punti della retta a appartengono al piano α; si dice che la retta è giacente nel piano (Fig. 20).

α a

Esattamente diremo che: Se una retta ha due punti in comune con un piano, essa giace per intero nel piano. • La retta b non ha alcun punto in comune con il piano β; si dice che la retta è parallela al piano (Fig. 21).

b

Esattamente diremo che: Una retta è parallela a un piano se non ha alcun punto in comune con esso.

β

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Figura 20

Figura 21

• La retta c ha un solo punto in comune con il piano δ; si dice che la retta è incidente al piano (Fig. 22).

c

Esattamente diremo che:

P

Una retta è incidente a un piano se ha un solo punto in comune con esso.

δ

Figura 22

Per un primo controllo 1.

Completa: • I solidi occupano una parte di .............. e hanno .............. dimensioni. • Le figure piane occupano una parte di .............. e hanno .............. dimensioni. • Le figure lineari hanno ............... dimensione.

2.

Quali sono gli enti fondamentali della geometria?

...................................................

........................................................................................................................................................................

3.

Completa: • Per un punto passano ......................................... rette. • Per un punto passano ......................................... piani. • Per tre punti allineati passa ......................................... piano.


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1.

2.

3.

4.

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mi auto

valuto

Segna i completamenti esatti. Le proprietà geometriche di un corpo sono: a) la forma;  b) il colore;  c) il materiale di cui è fatto;  d) la posizione;  e) l’estensione;  f) il peso;  g) le trasformazioni che può subire.  Completa. a) Un solido occupa una parte di ................... e ha quindi ............ dimensioni. b) Una figura piana occupa una parte di ................. e ha quindi .............. dimensioni. c) Le figure lineari hanno .................................. dimensione/i. d) I punti geometrici hanno ............................. dimensioni. Quali sono gli enti fondamentali della geometria? Segna la risposta esatta. a) Punto, solido, figura piana.  b) Solido, figura piana, retta.  c) Punto, retta, piano.  d) Punto, retta, solido.  Completa in modo opportuno. a) Il punto è geometricamente privo di ............................................................. b) La retta ha ................................. dimensione. c) Il piano ha .............................................................. dimensioni.

Mettiti alla prova eseguendo quanto richiesto. Verifica i risultati alla fine del volume e segna 1 punto per ogni risposta esatta. Completa poi la tua autovalutazione.

5.

6.

7.

8.

9.

Segna il completamento esatto. Per un punto nello spazio: a) passano infinite rette; b) passa una e una sola retta; c) non passa alcuna retta.

  

Segna il completamento esatto. Per due punti nello spazio: a) passano infinite rette; b) passa una e una sola retta; c) non passa alcuna retta.

  

Segna il completamento esatto. Per un punto nello spazio: a) passano infiniti piani; b) passa uno e un solo piano; c) non passa alcun piano.

  

Segna il completamento esatto. Per tre punti non allineati: a) passano infiniti piani; b) passa uno e un solo piano; c) non passa alcun piano.

  

Completa con i termini “incidenti” o “paralleli”. a) Una retta e un piano che non hanno alcun punto in comune sono ..................... .

.........................................................

b) Una retta e un piano che hanno un solo punto in comune sono ............................. c) Due rette complanari che non hanno alcun punto in comune sono .................... .

...................................................

Su 20 risposte, ne ho indovinate ................... Secondo me è stato un risultato * ............................................................................................ Su questa unità di apprendimento penso quindi di **..................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................................................................

Mi piacerebbe sapere che cosa ne pensa il mio insegnante ............................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................................................................

* Ottimo; buono; discreto; sufficiente; appena sufficiente; insufficiente. ** Aver capito bene tutto; avere ancora qualche dubbio; avere molte incertezze.


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Aspetti storici della matematica • Le origini della geometria • Erano bravissimi... “ingegneri” • Talete, il primo vero matematico • Il grande Euclide • Pitagora e la sua scuola • René Descartes, Cartesio • Antichi sistemi di misura


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Aspetti storici della matematica

Le origini della geometria

La popolazione dell’Egitto era concentrata soprattutto lungo la valle del Nilo, le cui periodiche inondazioni cancellavano gran parte dei confini delle varie proprietà e costringevano la popolazione a “misurare” ogni anno i propri terreni e a ridisegnarne i confini. Ciò portò la civiltà egizia a sviluppare le prime nozioni di geometria. Ai tempi dei faraoni si arrivò a conoscenze geometriche sicuramente complesse tali da permettere la costruzione delle grandiose piramidi, le tombe dei faraoni. La costruzione di queste imponenti opere richiedeva infatti approfondite conoscenze geometriche per poter predisporre i progetti, squadrare i blocchi di pietra e disporli opportunamente. Nonostante ciò, presso gli Egizi, la geometria non era ancora una scienza ma un enorme e imponente bagaglio di conoscenze, spesso frammisto a credenze religiose e magiche. È in Grecia nel V secolo a.C. che, con la nascita delle prime scuole matematiche, anche la geometria diventa una disciplina vera e propria, anzi la più importante fra le varie discipline.

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La “geometria”, intesa come abilità di misurare e di stabilire forme e relazioni spaziali, si sviluppò nei nostri antenati sicuramente molto più tardi dell’abilità di “contare”. Presumibilmente, la “geometria”, così come la intendiamo oggi, nacque nel XIII secolo a.C. con l’antica civiltà egizia.


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Aspetti storici della matematica

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Erano bravissimi... “ingegneri” Gli antichi Egizi, come hai appena visto, costruirono maestosi templi e altari e le imponenti e grandiose piramidi, perché le loro conoscenze geometriche, sia pure frammiste a credenze religiose e magiche, erano sicuramente di alto livello. Possiamo considerare gli Egizi, in particolare i sacerdoti dell’antico Egitto, i primi “ingegneri” e “architetti” della storia. Ai sacerdoti si deve infatti la “direzione dei lavori” per la costruzione delle piramidi; per fare ciò, essi dovevano essere in grado di preparare e disegnare i progetti, e dovevano conoscere le tecniche per squadrare i blocchi, trascinarli e sistemarli nella giusta posizione. Dovettero quindi scoprire le più importanti applicazioni della geometria e dell’arte della misurazione. I primi progetti venivano tracciati sull’argilla ed erano semplici diagrammi che mostravano la forma della costruzione finita. Quando il progetto era terminato, incominciava il lavoro dei muratori, gli schiavi, che dovevano livellare innanzi tutto il terreno e trasportare i blocchi di pietra sul posto di lavoro. Ogni blocco di pietra doveva essere squadrato: inizialmente veniva solo sbozzato con pezzi di silice, poi ne venivano livellate le superfici con scalpelli di metallo e piccole mazze di legno a forma di campana, infine veniva lisciato sfregandolo con un’altra pietra a forma di pialla. Il problema più difficile, molto probabilmente, sarà stato quello di dare alla base della piramide una forma perfettamente quadrata; il più piccolo errore era inammissibile perché avrebbe mutato la struttura dell’intera costruzione. I progettisti dovevano quindi essere in grado di tracciare alla perfezione degli angoli retti sul terreno in modo da ottenere la perfetta squadratura delle fondamenta. Inoltre, per controllare l’esatta perpendicolarità delle murature, dovevano saper tracciare anche angoli retti nello spazio.

La piramide Rossa.


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• Errori nelle misurazioni • Strumenti per il disegno geometrico • Il disegno geometrico (prima parte) • Il geopiano • Il disegno geometrico (seconda parte) • Poligoni in... poligoni equivalenti • Una particolare simmetria • Misuriamo per... similitudine

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Il laboratorio matematico


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Il laboratorio matematico

Errori nelle misurazioni È lunga 2 m, 2,09 m, 2,05 m o... Tre amici hanno misurato la lunghezza di una stessa canna da pesca, ma le misure sono tutte diverse. Ma c’è di più! Misura tu uno stesso oggetto più volte: quasi certamente non otterrai la stessa misura. Se stai pensando che è colpa tua, o di chi in generale effettua una misurazione, ti stai sbagliando. Almeno, non sempre è colpa nostra. Si tratta di un evento per noi imprevedibile, ma matematicamente previsto ed esaminato. Le misurazioni che noi effettuiamo, afferma la matematica, non sono completamente esatte in quanto dipendono in modo imprevedibile dagli strumenti usati, da chi effettua la misurazione e dal momento in cui si effettua tale misurazione.

È lunga 2 m.

È lunga 2,09 m.

Nelle scienze sperimentali, dove è particolarmente importante la misura delle grandezze, esiste una teoria, la teoria degli errori, volta a risolvere il problema di determinare il valore di una misura con la maggior precisione possibile. Esaminiamo i primissimi elementi di questa teoria per avere, anche noi, la possibilità di ottenere misure il più vicino possibile a quelle esatte, a quanto pare, irraggiungibili. Supponi di aver pesato più volte un bel coniglietto e di aver ottenuto i seguenti valori: 3,55 kg; 3,56 kg; 3,52 kg; 3,50 kg; 3,54 kg; 3,51 kg. Tra queste misure, qual è la più attendibile, cioè quella che più si avvicina a quella teoricamente esatta? Secondo la teoria degli errori la misura attendibile è data dalla media aritmetica dei valori ottenuti, cioè dalla misura che si ottiene sommando tutti i valori e dividendo tale somma per il numero di misurazioni eseguite. Nel nostro caso avremo quindi: • numero misurazioni eseguite = 6 • misure ottenute → 3,55 kg; 3,56 kg; 3,52 kg; 3,50 kg; 3,54 kg; 3,51 kg 3,55 + 3,56 + 3,52 + 3,50 + 3,54 + 3,51 kg = 3,53 kg 6 Osserviamo che 3,53 kg, pur non essendo la misura esatta, è preferibile a ciascuna delle misure ottenute singolarmente e, ovviamente, è tanto più attendibile quanto maggiore è il numero di misurazioni che si effettuano. Se adesso consideriamo la semidifferenza tra il massimo e il minimo valore delle misure ottenute troviamo l’errore assoluto della misura: errore assoluto = (3,56 – 3,50) kg : 2 = 0,03 kg = 30 g.

• misura attendibile =

Organizza un lavoro simile con i tuoi compagni e, mi raccomando, occhio alle misure!

No, è lunga 2,05 m.


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Il laboratorio matematico

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Strumenti per il disegno geometrico Nello studio della geometria sono molto importanti i disegni delle figure che si vogliono esaminare. Quanto più preciso è il disegno, tanto più semplice è lo studio della figura e delle sue proprietà. A tale scopo una parte della geometria è proprio dedicata al disegno geometrico, detto anche disegno con riga e compasso. Sono proprio riga, squadra e compasso gli strumenti necessari per il disegno geometrico. • Righe e righelli vengono utilizzati per tracciare linee rette. 0

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riga 10

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righello

• Le squadre, a 45° o a 60°, vengono utilizzate per tracciare rette perpendicolari, rette parallele e per costruire angoli. squadra a 60° 45°

squadra a 45°

cateto cateto

60°

30° 45°

• Il compasso, che sicuramente conosci, serve per tracciare circonferenze o archi di circonferenza e per riportare misure di lunghezza.

ipotenusa


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Giochiamo con la matematica • • • • • •

I fiammiferi Il cruciverba Quale...? Un tesoro, capre e cavoli Percorsi Il labirinto


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Giochiamo con la matematica

I fiammiferi • Spostando solo 4 fiammiferi e senza toglierne alcuno, sei in grado di ridurre il numero dei quadrati da 4 a 3?

• La stella, costruita con 18 fiammiferi, è formata da 6 triangoli piccoli, 2 grandi e un esagono. Spostando solo due fiammiferi, sai ottenere 4 triangoli piccoli, 2 grandi e 2 trapezi?

• Spostando solo 4 fiammiferi, da 4 rombi sai ottenere 6 triangoli?

• Il pesciolino sta nuotando verso destra; spostando solo 4 fiammiferi, sai farlo nuotare verso sinistra?


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Giochiamo con la matematica

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Il cruciverba Completa il cruciverba scrivendo in cifre le aree delle figure assegnate.

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Orizzontali

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Verticali

1. Area

(b = 16; h = 3)

2. Area

(b = 14; h = 12)

3. Area

(l = 16)

4. Area

(h = 9; b = 6)

6. Area

(b = 7; h = 6)

5. Area

(h = 13; b = 50)

8. Area

(d1 = 9; d2 = 10)

7. Area

(l = 5)

10. Area

(bmax = 10; bmin = 6;

9. Area

(b = 15; h = 9)

h = 6,5) 12. Area

(b = 10; h = 7)

11. Area

(b = 10; h = 5)

14. Area

(d1 = 12; d2 = 9)

13. Area

(b = 39; h = 15)

16. Area

(b = 40; h = 29)

15. Area

(b = 11; h = 4)

17. Area

(l = 7)

18. Area

(b = 18; h = 10)

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esercizi

... per contenuti ... per verificare gli obiettivi ... di recupero

1• 2• 3• 4• 5• 6• 7• 8• 9• 10 • 11 •

Per rappresentare la realtà Semirette, segmenti e angoli Perpendicolarità e parallelismo La misura delle grandezze Poligoni: i triangoli e le loro proprietà I quadrilateri I movimenti e la congruenza Il calcolo delle aree Il teorema di Pitagora Le coordinate cartesiane Similitudine e omotetia

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Geometria e misura


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esercizi

unità apprendimento 1 di

Per rappresentare la realtà Da ricordare • La geometria è la scienza che studia la forma e l’estensione dei corpi e le trasformazioni che questi possono subire.

c u b o

• • • • • • • •

Per Per Per Per Per Per Per Per

• Gli enti fondamentali della geometria sono: – il punto, primo ente geometrico, privo di qualsiasi dimensione; – la retta, secondo ente geometrico, con una sola dimensione: la lunghezza; – il piano, terzo ente geometrico, con due sole dimensioni: la lunghezza e la larghezza.

un punto passano infinite rette, esattamente un fascio di rette. due punti passa una e una sola retta. tre punti non allineati non passa alcuna retta. tre punti allineati passa una e una sola retta. un punto passano infiniti piani, esattamente una stella di piani. due punti passano infiniti piani, esattamente un fascio di piani. tre punti allineati, o una retta, passa un fascio di piani. tre punti non allineati passa uno e un solo piano.

A

• Se una retta ha due punti in comune con un piano, essa giace per intero nel piano. • Una retta è parallela a un piano se non ha alcun punto in comune con esso. • Una retta è incidente a un piano se ha un solo punto in comune con esso.

• Due rette si dicono incidenti se giacciono sullo stesso piano e hanno un solo punto in comune. • Due rette si dicono parallele se giacciono sullo stesso piano e non hanno alcun punto in comune. • Due rette sono coincidenti se giacciono sullo stesso piano e hanno tutti i punti in comune.

a

a A b


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1 • Per rappresentare la realtà Teoria da pag. 5 a pag. 14

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Esercizi per contenuti Oggetti, figure geometriche e dimensioni 1.

Scrivi le proprietà geometriche e alcune proprietà non geometriche dei seguenti oggetti: a) Proprietà geometriche:

..................................................................................

......................................................................................................................................

b) Proprietà non geometriche:

........................................................................

......................................................................................................................................

a) Proprietà geometriche:

..................................................................................

......................................................................................................................................

b) Proprietà non geometriche:

........................................................................

......................................................................................................................................

a) Proprietà geometriche:

..................................................................................

......................................................................................................................................

b) Proprietà non geometriche:

........................................................................

......................................................................................................................................

2.

Completa le seguenti affermazioni: a) Un corpo è considerato “corpo geometrico” quando di esso si considerano la ......................................, l’...................................................... e le ...................................................... che può subire. b) La geometria è la scienza che studia la ...................................................... di un corpo.

3.

......................................,

l’...................................................... e le

Con quale solido (prisma, piramide, cono, cilindro, sfera, cubo) rappresenteresti geometricamente i seguenti oggetti? Scrivilo sotto a ciascuno di essi.

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................


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per contenuti

4.

Disegna sul tuo quaderno degli oggetti che possano essere rappresentati dai solidi sotto assegnati:

5.

Completa le seguenti affermazioni: a) Gli oggetti tridimensionali geometricamente corrispondono ai .................................., che sono figure che occupano una parte

b) Un solido è formato da tre elementi: le ............................., gli............................................... e i .................................................................................. 6.

7.

Completa la seguente frase: Le figure che poggiano completamente su un piano sono figure ............................; esse geometricamente corrispondono alle figure .......... ................ e quindi hanno ............................. dimensioni, che sono ............................................................. Completa le seguenti affermazioni: a) Linee, rette, semirette e segmenti sono figure ........................................................................... b) Esse hanno ............................. dimensione:

.....

.........................................................................................

c) I punti geometrici sono enti privi di

8.

Quali sono gli enti fondamentali della geometria?

9.

Completa: Il punto è il primo ...................................................., è privo di qualsiasi .................................... e possiamo solo immaginarlo come ..............................

10. Che cosa indica la scrittura A ≡ B?

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di .................................................... e hanno quindi .................................................... dimensioni, che sono ....................................................................

Gli enti fondamentali

11. Completa: La retta è il secondo ................................................, ha una sola .............................................................., la

................................................................................................

e possiamo immaginarla come

.............................

12. Come si indica una retta?

13. Completa: Il piano è il terzo ...................................................., ha ............................ dimensioni, la ........................... e la ............................ e possiamo immaginarlo come ...................................................................................

........

.........................................................................................

14. Come si indica un piano?

15. A quale ente geometrico ti fanno pensare le figure evidenziate nei seguenti disegni?

...............................................

...............................................

...............................................

...............................................


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1 • Per rappresentare la realtà Teoria da pag. 5 a pag. 14

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Esercizi per verificare... ... ciò che sai Quali delle seguenti proprietà di un corpo sono proprietà geometriche? Segnale: a) La forma.  b) Il colore.  c) La grandezza.  d) Il materiale di cui è fatto.  e) Il peso. 

2.

Completa. La geometria è la scienza che studia

Completa con i termini “è giacente“, “è parallela”, “è incidente”: a) Una retta che non ha alcun punto in comune con un piano ........................................... al piano. b) Una retta che ha due punti in comune con un piano .................................... nel piano. c) Una retta che ha un solo punto in comune con un piano ................................. al piano.

9.

Completa. Due rette complanari sono: a) incidenti se .............................................................. b) parallele se ............................................................... c) coincidenti se .........................................................

..............

................................................................................................

3.

Che cos’è il punto? Fai qualche esempio corrispondente al concetto geometrico di punto.

4.

Che cos’è la retta? Fai qualche esempio corrispondente al concetto geometrico di retta.

5.

Che cos’è il piano? Fai qualche esempio corrispondente al concetto geometrico di piano.

6.

8.

... ciò che sai fare 1.

Individua nelle seguenti figure quelle tridimensionali, bidimensionali e lineari:

Vero o falso? Scrivilo accanto a ciascuna affermazione: a) Per un punto passa una e una sola retta. ............................

b) Per due punti passano infinite rette.

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1.

...........................................

...........................................

...........................................

...........................................

...........................................

...........................................

...........................................

...........................................

.......

............................

c) Per tre punti non allineati non passa alcuna retta. ............................ d) Per tre punti allineati passa una e una sola retta. ............................ 7.

Completa: a) Per un punto passano ............................ piani. b) Per due punti passano ......................... piani. c) Per una retta passa un piani.

............................

d) Per tre punti non allineati passa .................... piano.

di

............


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per verificare...

Osserva la figura e indica ciò che ti fa pensare a un punto, a una retta e a un piano: a) Punto:

.........................................................................

.........................................................................................

b) Retta:

..........................................................................

.........................................................................................

c) Piano:

..........................................................................

.........................................................................................

3.

Individua nelle seguenti figure la stella di piani, il fascio di rette e il fascio di piani:

A

..............................................................

4.

..............................................................

Nel piano dato disegna:

5.

..............................................................

Nel piano dato disegna:

a

a

a) una retta a giacente in esso; b) una retta b incidente; c) una retta c parallela. 6.

A

B

A

a) due rette fra loro incidenti; b) due rette parallele; c) due rette coincidenti.

Individua la posizione reciproca delle coppie di rette disegnate e scrivi le proprietĂ che le caratterizzano: r

c

s a

d b

a) a e b sono

....................................................................................................................................................................................,

b) c e d sono

....................................................................................................................................................................................,

c) r e s sono

......................................................................................................................................................................................


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4 • La misura delle grandezze Teoria da pag. 35 a pag. 52

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Esercizi di recupero Se hai ancora qualche difficoltà, segui gli esercizi svolti (quelli nel riquadro) e poi completa gli altri. 1.

Completare le seguenti uguaglianze: 26 hm = ......... m; 2,35 km = ......... dam; 7,9 m = ......... dam. 563 cm = ......... m; Per trasformare le unità di misura delle lunghezze basta moltiplicare o dividere per 10, 100, 1 000, ...; quindi: • 563 cm = (563 : 100) m = 5,63 m • 26 hm = (26 × 100) m = 2 600 m • 2,35 km = (2,35 × 100) dam = 235 dam • 7,9 m = (7,9 : 10) dam = 0,79 dam

Completa le uguaglianze date nei seguenti esercizi. 2.

34 m = ......... hm 230 cm = ......... m 5,82 km = ......... m

  

34 m = (34 : 100) hm = ......... hm; 230 cm = (230 : .........) m = ......... m; 5,82 km = (5,82 × .........) m = ......... m.

3.

4 km = ......... hm 9,56 cm = ......... dm 428,9 m = ......... km

  

4 km = (..................) hm = ......... hm; 9,56 cm = (..................) dm = ......... dm; 428,9 m = (..................) km = ......... km.

Completa le seguenti uguaglianze. 4.

55 m = ......... dm;

345 cm = ......... mm.

6. 7,05 mm = ......... m;

0,36 hm = ......... dm.

5.

23 mm = ......... cm;

128 m = ......... km.

7. 7,2 dm = ......... m;

3 697 m = ......... km.

8.

Completare le seguenti uguaglianze: 32 cm2 = ......... m2; 1 200 m2 = ......... dam2; 3,56 dm2 = ......... mm2. 23 km2 = ......... hm2; Per trasformare le unità di misura delle superfici basta moltiplicare o dividere per 100, 10 000, 1 000 000 ...; quindi: • 23 km2 = (23 × 100) hm2 = 2 300 hm2 • 32 cm2 = (32 : 10 000) m2 = 0,0032 m2 • 1 200 m2 = (1 200 : 100) dam2 = 12 dam2 • 3,56 dm2 = (3,56 × 10 000) mm2 = 35 600 mm2

Completa le uguaglianze date nei seguenti esercizi. 9.

23 m2 = ......... dm2  423 cm2 = ......... m2  5,23 hm2 = ......... dam2 

10. 45,3 dm2 = ......... mm2  0,451 m2 = ......... dam2  325 dm2 = ......... hm2 

23 m2 = (23 × 100) dm2 = ......... dm2; 423 cm2 = (423 : .........) m2 = ......... m2; 5,23 hm2 = (5,23 × .........) dam2 = ......... dam2. 45,3 dm2 = (..................) mm2 = ......... mm2; 0,451 m2 = (..................) dam2 = ......... dam2; 325 dm2 = (..................) hm2 = ......... hm2.


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esercizi

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di recupero

Completa le seguenti uguaglianze. 11. 3 km2 = ......... dam2;

45 m2 = ......... hm2.

13. 43,7 cm2 = ......... m2; 41,8 hm2 = ......... dam2.

12. 345 mm2 = ......... m2; 0,87 cm2 = ......... mm2.

14. 419 dm2 = ......... hm2; 2,978 km2 = ......... m2.

15. Completare le seguenti uguaglianze: 140 000 mm3 = ......... dm3; 2,578 km3 = ......... dam3; 23 dm3 = ......... m3. 3 m3 = ......... cm3; Per trasformare le unità di misura dei volumi basta moltiplicare o dividere per 1 000, 1 000 000, 1 000 000 000, ...; quindi: • 3 m3 = (3 × 1 000 000) cm3 = 3 000 000 cm3 • 140 000 mm3 = (140 000 : 1 000 000) dm3 = 0,14 dm3 • 2,578 km3 = (2,578 × 1 000 000) dam3 = 2 578 000 dam3 • 23 dm3 = (23 : 1 000) m3 = 0,023 m3 16. Completa le seguenti uguaglianze: 2 m3 = ......... cm3  326 hm3 = ......... km3  23 cm3 = ......... mm3 

2 m3 = (2 × 1 000 000) cm3 = ......... cm3; 326 hm3 = (326 : .........) km3 = ......... km3; 23 cm3 = (23 × .........) mm3 = ......... mm3.

Completa le seguenti uguaglianze. 17. 56 m3 = ......... cm3;

340 mm3 = ......... dm3.

19. 8,07 dam3 = ......... m3;

715,2 hm3 = ......... km3.

18. 35 hm3 = ......... m3;

20,6 dm3 = ......... m3.

20. 3,416 dm3 = ......... cm3;

4,068 hm3 = ......... m3.

21. Completare le seguenti uguaglianze: 7,93 dl = ......... hl; 5 kg = ......... hg; 542 mg = ......... g. 28 l = ......... cl; Per trasformare le unità di misura della capacità e della massa basta moltiplicare o dividere per 10, 100, 1 000, ...; quindi: • 28 l = (28 × 100) cl = 2 800 cl • 7,93 dl = (7,93 : 1 000) hl = 0,00793 hl • 5 kg = (5 × 10) hg = 50 hg • 542 mg = (542 : 1 000) g = 0,542 g Completa le uguaglianze date nei seguenti esercizi. 22. 7,8 l = ......... cl 45 dl = ......... l

 

7,8 l = (7,8 × 100) cl = ......... cl; 45 dl = (45 : .........) l = ......... l

23. 765 mg = ......... dg 32,87 hg = ......... g

 

765 mg = (..................) dg = ......... dg; 32,87 hg = (..................) g = ......... g.

Completa le seguenti uguaglianze. 24. 0,56 dl = ......... dal; 54 cl = ......... dal;

87,4 hl = ......... l; 3,9 l = ......... ml.

25. 34 mg = ......... cg; 43 dg = ......... hg;

2,56 g = ......... mg; 0,76 kg = ......... dg.

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