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Hola compañeros, compañeras y asesor Jaime dejo mi aportación del foro actividad III “Clasificación de ecuaciones diferenciales” 1.- ¿Cómo se clasifican las ecuaciones diferenciales? Los apuntes y textos de ecuaciones diferenciales1 centran su atención a tres conceptos el tipo, su orden y su linealidad. Respecto al tipo de derivada (que se vio en los cursos de cálculo) tiene que ver si la ecuación diferencial contiene únicamente derivadas ordinarias de una o más variables dependientes respecto a una sola variable independiente, esto es que el cambio solo se mida con respecto a una sola variable a las que se denomina Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, abreviadas como EDO en español, y las ecuaciones en donde se presentan las derivadas parciales de una o más variables independientes a las que se les denomina Ecuaciones Diferenciales Parciales o EDP. Respecto al orden de una ecuación diferencial se refiere simplemente al orden de la derivada más alta que se presenta en el ecuación diferencial (primer orden, segundo orden u orden superior), la cual no debe confundirse con su grado que es la potencia a la que aparece la derivada de mayor orden. Y el tercero y más complejo de observar (acordarse del curso de algebra lineal) la linealidad, ya que algunos de los textos solo afirman que por que la ecuación es lineal, asentado por hecho (suponiendo) que ya a estas alturas debe conocerse lo que es la linealidad, lo que no es del todo cierto, es lineal si se puede escribir como: an(x)y(n)+an-1(x)y(n-1)+….+a1(x)y’+a0(x)y=g(x), pero hay dos características que aparecen en el texto de Zill que ayudan a clasificarlas según su linealidad, siendo estas las siguientes para que sean lineales: a) La variable dependiente y así como todas sus derivadas y´,y´´, …,y(n) son de primer grado, es decir, la potencia de cada uno de los términos que involucran a y es 1. b) Los coeficientes a0,a1,…,a(n) de y’,y’’,…,y(n) dependen solo de la variable x.1 Aunque algunos agregan que ak(x) sean funciones de x, o incluso funciones reales de x, aunque pregunto ¿no podría ser una curva de x? por ejemplo 1/x. De acuerdo al tipo de estos coeficientes se realiza una subclasificación en coeficientes constantes o no constantes, así como si g(x) es o no cero para ser homogénea o no.

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Los textos que se consultaron son los siguientes por orden alfabético de sus primeros autores: 1. Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores de frontera, William E. Boyce y Richard C. DiPrima, cuarta edición 1998, Limusa Noriega Editores. 2. Ecuaciones diferenciales para ingeniería y ciencias de Yunus A. Cengel y William J. Palm III, primera edición en español 2014, Mc Graw Hill. 3. Matemáticas 5 Ecuaciones Diferenciales, Joel Ibarra Escutia, primera edición 2013, Mc Graw Hill. 4. Matemáticas avanzadas para ingeniería, Vol. 1 Ecuaciones Diferenciales, Dennis G. Zill y Michael R. Culen, Tercera edición 2008, Mc Graw Hill.

2.- ÂżCuĂĄl es la diferencia entre una ecuaciĂłn diferencial exacta y no exacta? 1. Una ED (EcuaciĂłn Diferencial) de primer orden de la forma đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś = 0 es una ecuaciĂłn diferencial exacta si proviene de una expresiĂłn đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś, la cual a su vez es una diferencial exacta en una regiĂłn R del plano xy, esto es, si corresponde al diferencial de alguna funciĂłn z=f(x,y) (funciĂłn de dos variables independientes y una dependiente, si observamos bien z es dy/dx). 2. Otra forma de ver lo que anteriormente dijimos es la prueba o criterio para una ecuaciĂłn diferencial de primer orden exacta es que si tenemos đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) y đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) son funciones continuas que tienen primera derivadas parciales continuas en una regiĂłn rectangular definida por a<x<b, c<y<d. Entonces una condiciĂłn necesaria y suficiente para que đ?›żđ?‘€

đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś sea una diferencial exacta es đ?›żđ?‘Ś =

đ?›żđ?‘ (derivadas parciales cruzadas đ?›żđ?‘Ľ

sean iguales). PREGUNTAS DEL FORO TEOREMA FUNDAMENTAL El teorema fundamental que se encontrĂł en el texto de Boyce DiPrima es el siguiente: Si las funciones p y g son dos funciones continuas en un intervalo abierto I: Îą<x<βque contenga el punto x=x0, entonces existe una Ăşnica funciĂłn y=φ(x) que satisface la ecuaciĂłn diferencial y’+p(x)y=g(x) (1) para toda x en I, y que tambiĂŠn satisface la condiciĂłn inicial y(x0)=y0 , (2) en donde y0 es un valor inicial arbitrario prescrito. Aunque este Teorema asegura la existencia y unicidad de la soluciĂłn del problema (1) con valor inicial (2). En este sentido en el texto de Zill aparece lo siguiente: Establecemos R como una regiĂłn rectangular en el plano xy definida por đ?‘Ž ≤ đ?‘Ľ ≤ đ?‘?, đ?‘? ≤ đ?‘Ś ≤ đ?œ•đ?‘“

đ?‘‘, la cual contiene al punto (x0,y0). Si f(x,y) y đ?œ•đ?‘Ś son continuas en R, entonces existe un cierto intervalo I0: x0-h<x<x0+h, h>0, contenido en a ≤ x ≤ b, y una funciĂłn Ăşnica y(x) definida en I0 que representa una soluciĂłn del problema de valor inicial

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ

= đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)sujeto a y(x0) =y0.

Esto es si queremos checar la existencia y unicidad de una ED de primer orden bastarĂĄ con đ?œ•đ?‘“

checar la continuidad de f(x,y) y đ?œ•đ?‘Ś , y que cumpla con la condiciĂłn inicial (se dice fĂĄcil pero checar la continuidad de una funciĂłn no es sencillo en ocasiones). ÂżCuĂĄles son las aplicaciones de una ecuaciĂłn diferencial homogĂŠnea? La clase mĂĄs conocida de ecuaciones diferenciales que pueden reducirse a la forma separable es la ecuaciĂłn homogĂŠnea. Se dice que una ecuaciĂłn diferencial de primer orden es homogĂŠnea si es posible expresarla como y´=f(y/x), aunque la forma mĂĄs comĂşn de probar la homogeneidad es que dada đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś = 0 esta serĂĄ homogĂŠnea sĂ­, ambos coeficientes M y N son funciones homogĂŠneas del mismo grado, esto es, đ?‘€(đ?‘Ąđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ś) = đ?‘Ą âˆ? đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) y đ?‘ (đ?‘Ąđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ś) =

đ?‘Ą âˆ? đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś), como regla prĂĄctica una ecuaciĂłn es homogĂŠnea si las sumas de la potencias de x y y son idĂŠnticas en el lado derecho de y´=f(y/x), asĂ­ por ejemplo: đ?‘Śâˆ’đ?‘Ľ

� ′ = �+� , sí es homogÊnea mientras � ′ =

đ?‘Śâˆ’đ?‘Ľ+1 đ?‘Ś+đ?‘Ľ

no lo es, ya que en la primera todos son de

grado1 y en la segunda 1 ya es de grado cero. Sus aplicaciones pueden ser en los siguientes tipos de problemas: 1. Problemas de crecimiento y decaimiento, por ejemplo el crecimiento poblacional de bacterias (ecuaciones logĂ­sticas de poblaciĂłn), o encontrar la edad de un fĂłsil 2. Problemas de la ley de Newton sobre enfriamiento y calentamiento. 3. Problemas de mezclas de fluidos. 4. Circuitos en serie (fuerza electromotriz) 5. Resistencia del aire 6. Paracaidismo 7. DifusiĂłn de un medicamento 8. Marcapasos de un corazĂłn, viendo al corazĂłn como un resistor. Los anteriores son los mĂĄs clĂĄsicos pero puede haber muchos mĂĄs. ÂżCuĂĄles serĂ­an las condiciones iniciales? El concepto de valor inicial o condiciĂłn inicial se deriva de los sistemas fĂ­sicos donde la variable independiente es el tiempo, representando la posiciĂłn y la velocidad en algĂşn principio o tiempo inicial. De acuerdo al tipo de problemas (checar la pregunta anterior): 1. Para los problemas de crecimiento poblacional la condiciĂłn inicial es la cantidad de poblaciĂłn en algĂşn momento inicial arbitrario t0, para los de vida media se toma en cuenta el porcentaje que se tiene de vida promedio del carbono 14 o del plutonio, para determinar la edad de un fĂłsil u otra sustancia. 2. En problemas de temperatura la condiciĂłn inicial es la temperatura con la que se inicia o finaliza un proceso de calentamiento o calentamiento respectivamente. 3. En problemas de mezclas se refiere a la cantidad inicial de alguna sustancia disuelta en un fluido. 4. En los circuitos se referirĂĄ usualmente a la cantidad de corriente al inicio del proceso. 5. En los de resistencia del aire se refiere a la velocidad inicial del objeto en el aire. 6. En los de paracaidismo se refiere a la altitud de donde se avienta o bien a la altitud donde se abre el paracaĂ­das. 7. En los de difusiĂłn de un medicamento se refiere a que en el momento t=0 no se tendrĂĄ nada en la corriente sanguĂ­nea de algĂşn medicamento. 8. En los de marcapasos se puede considerar como condiciones iniciales o bien la corriente 0, o el pico que se da en pulsaciĂłn.

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