Matematika 7

Tematický okruh vymezený RVP Číslo a proměnná

Závislosti, vztahy a práce s daty Geometrie v rovině a v prostoru

Nestandardní aplikační úlohy a problémy

Rozšiřující učivo

Kapitola Zlomky Celá čísla Racionální čísla Poměr Procenta Přímá úměrnost Nepřímá úměrnost Grafy a diagramy s procenty Shodnost, konstrukce trojúhelníků Středová souměrnost Čtyřúhelníky Hranoly Osová souměrnost Trojúhelník Tělesa úlohy typu Pro chytré hlavy, úlohy využívající více poznatků, úlohy, k jejichž řešení je třeba zjistit údaje doma nebo na internetu (uvedené typy úloh jsou v textu označeny) Další shodná zobrazení (posunutí, otáčení)

V učebnici jsou použity následující symboly: úlohy pro práci s kalkulačkou nebo počítačem, resp. tabletem náročnější úlohy, ve kterých použijete více poznatků úlohy, k jejichž řešení musíte zjistit údaje doma nebo na internetu úlohy vhodné i pro práci s programem dynamické geometrie

 na konci učebnice je uveden výsledek

 symbolický zápis  čtení symbolického zápisu



upozornění, důležitá poznámka

Rozšiřující učivo pro žáky s hlubším zájmem o matematiku je označeno svislou čarou podél textu.

Obsah 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

Opakování Desítková soustava................................................................................... 9 Početní výkony......................................................................................... 12 Dělitelnost................................................................................................ 15 Úhel.......................................................................................................... 17 Osová souměrnost.................................................................................... 20 Trojúhelník............................................................................................... 23 Tělesa ...................................................................................................... 27

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22

Zlomky Zlomky – opakování a doplnění ............................................................. 31 Krácení zlomků........................................................................................ 34 Rozšiřování zlomků................................................................................. 36 Rovnost zlomků....................................................................................... 38 Vyjádření zlomků desetinným číslem...................................................... 40 Zobrazování zlomků na číselné ose......................................................... 44 Porovnávání zlomků se stejným jmenovatelem....................................... 47 Porovnávání zlomků na číselné ose......................................................... 48 Společný jmenovatel zlomků................................................................... 50 Porovnávání zlomků s různými jmenovateli............................................ 53 Sčítání a odčítání zlomků se stejným jmenovatelem............................... 56 Sčítání a odčítání zlomků s různými jmenovateli.................................... 58 Násobení zlomků přirozenými čísly........................................................ 64 Násobení dvou zlomků............................................................................. 66 Převrácená čísla........................................................................................ 71 Dělení přirozeného čísla zlomkem........................................................... 72 Dělení zlomků.......................................................................................... 74 Smíšená čísla............................................................................................ 78 Porovnávání smíšených čísel................................................................... 84 Sčítání a odčítání smíšených čísel............................................................ 85 Složené zlomky........................................................................................ 87 Opakování................................................................................................ 89

3 3.1 3.2 3.3

Shodnost, konstrukce trojúhelníků Shodnost geometrických útvarů............................................................... 92 Věty o shodnosti trojúhelníků.................................................................. 95 Stručný slovníček česko-geometrický................................................... 101

3.4 3.5

Konstrukce trojúhelníků......................................................................... 104 Opakování.............................................................................................. 113

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

Celá čísla Čísla kladná a záporná........................................................................... 116 Navzájem opačná čísla........................................................................... 119 Absolutní hodnota celého čísla.............................................................. 121 Porovnávání celých čísel........................................................................ 122 Sčítání celých čísel................................................................................. 124 Odčítání celých čísel.............................................................................. 128 Násobení celých čísel............................................................................. 131 Dělení celých čísel................................................................................. 135 Opakování.............................................................................................. 137

5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Racionální čísla Záporná desetinná čísla.......................................................................... 141 Záporné zlomky..................................................................................... 142 Racionální čísla...................................................................................... 144 Početní výkony s racionálními čísly...................................................... 147 Opakování.............................................................................................. 150

6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

Středová souměrnost, další shodná zobrazení Středová souměrnost.............................................................................. 152 Středová souměrnost na čtvercové síti................................................... 157 Středově souměrné útvary...................................................................... 158 Posunutí.................................................................................................. 162 Otáčení................................................................................................... 169 Opakování.............................................................................................. 172

7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

Poměr Určování poměru.................................................................................... 177 Zvětšování a zmenšování čísla v daném poměru................................... 181 Měřítko plánu a mapy............................................................................ 183 Dělení celku na části v daném poměru.................................................. 187 Přímá úměrnost...................................................................................... 190 Nepřímá úměrnost.................................................................................. 193 Opakování.............................................................................................. 197

8 8.1 8.2

Čtyřúhelníky Vnitřní úhly čtyřúhelníka....................................................................... 202 Rovnoběžníky........................................................................................ 204

8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10

Druhy rovnoběžníků.............................................................................. 207 Obsah rovnoběžníka............................................................................... 210 Obsah trojúhelníka................................................................................. 217 Konstrukce rovnoběžníka...................................................................... 221 Lichoběžníky.......................................................................................... 223 Obsah lichoběžníka................................................................................ 225 Konstrukce lichoběžníka........................................................................ 229 Opakování.............................................................................................. 232

9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8

Procenta Procento................................................................................................. 235 Výpočet procentové části....................................................................... 237 Výpočet základu..................................................................................... 239 Výpočet počtu procent........................................................................... 241 Úrok....................................................................................................... 242 Procenta v úlohách z praxe.................................................................... 243 Grafy a diagramy s procenty.................................................................. 246 Promile................................................................................................... 251

10 Hranoly 10.1 Hranoly a jejich sítě............................................................................... 254 10.2 Povrch a objem hranolu......................................................................... 256 11 Závěrečné opakování 11.1 Aritmetika.............................................................................................. 262 11.2 Geometrie............................................................................................... 269 12

Výsledky .................................................................................... 275

2.2 Krácení zlomků Maminka dala na stůl rozkrájený koláč. Kuba s Bárou se pustili do jídla. Když každý snědl jeden kousek, Kuba povídal: „Na talíři je ještě Bára dodala: „Vždyť jsou to přece

3 koláče.“ 4

6 koláče.“ 8

Krácením zlomku 6 dvěma dostaneme zlomek 3 .

8 4 Krácení zlomku provádíme tak, že čitatele a jmenovatele zlomku vydělíme jejich společným dělitelem.

Jak zkrátíme zlomek 68 ?

Určíme společného dělitele čísel v čitateli a ve jmenovateli.

6=?

8

Čitatele i jmenovatele vydělíme společným dělitelem.

6:2=3 8:2 4

Společným dělitelem čísel 6 a 8 je číslo 2.

6=3 8 4 1

Proveďte krácení zlomků a porovnejte výsledky se svými kamarády.

16 , 24

35 , 50

15 90 , , 75 100

28 , 84

36 , 51

56 8 200 , , , 64 14 1000

34

63 , 63

33 , 44

66 42

2

Zkontrolujte, zda krácení zlomků bylo provedeno správně. Které zlomky můžete krátit ještě dále? a)

40 1 = 80 2

b)

81 9 = 96 32

c)

72 8 = 18 2

d)

84 7 = 108 9

95 19 = 100 20

250 25 = 1000 10

77 10 = 110 7

160 16 = 240 24

32 4 = 48 6

60 12 = 85 17

72 3 = 96 4

84 21 = 120 20

Základní tvar zlomku Zlomky, které nemůžeme krátit (v čitateli a ve jmenovateli jsou nesoudělná čísla), nazýváme zlomky v základním tvaru.

1 12 25 jsou v základním tvaru. , , 9 17 19 18 4 35 , , nejsou v základním tvaru.

Zlomky 24 28 20

Zlomky

3

Upravte zlomky na základní tvar.

100 , 50

4

63 , 81

49 90 , , 70 120

100 10 * 54 6 * = = 72 * 4

54 , 84

35 230 , , 77 1000

69 2 , , 69 108

54 36

b) 48 = * = 4

132 44 * 63 9 * = = 84 * 4

c) 200 = * = 20 10 5 * 81 27 * = = 18 * 2

Vyjádřete různými zlomky údaj v minutách jako část hodiny. & (Návod: 15 min = a) 20 min 25 min

6

30 , 63

Doplňte tak, aby platila rovnost. a) 50 = * = 1

5

40 , 15

1 15 3 h= h = h) 4 60 12

b) 45 min 50 min

c) 10 min 40 min

d) 30 min 5 min

Kolik půlových not musí hudebník zahrát místo čtyř osminových? & 35

3 Shodnost, konstrukce trojúhelníků

3.1 Shodnost geometrických útvarů Nejprve jen odhadem a potom také pomocí měřítka porovnejte úsečky AB a CD. Jaké symboly doplníte do rámečků? Vyberte si z nabízených možností.

AB AB

CD CD

<, >, =, ¿

Říkáme, že dva geometrické útvary jsou shodné, jestliže mají stejný tvar a velikost. Shodnost jsme ověřovali přenesením jednoho rovinného obrazce na druhý. K tomu jsme používali průsvitku.

1

Porovnejte úhly AVB a CUD pomocí průsvitky. Znáte i jiné způsoby, jak lze porovnat dva úhly? &

92

2

Pomocí průsvitky porovnejte útvary na obrázku. Jsou shodné?

a)

b)

Jestliže porovnáváme dva rovinné útvary pomocí průsvitky, v některých případech je nutné průsvitku obrátit. Potom říkáme, že útvary jsou nepřímo shodné (úloha 2b). Není-li nutné průsvitku obracet, potom dané útvary jsou přímo shodné (úloha 2a).

3

Pomocí průsvitky porovnejte trojúhelníky ABC a MNP na obrázku. Doplňte údaje do tabulek. |AB| = AB ¿ |BC| BC |CA| CA ®CAB ®ABC ®BCA

¿

|®CAB| = |®ABC| |®BCA|

Shodné trojúhelníky se shodují ve všech třech odpovídajících si stranách a ve všech třech odpovídajících si vnitřních úhlech. @ DABC ¿ DMNP

$ 93

Trojúhelník ABC je shodný s trojúhelníkem MNP.

I. Rozbor Rozbor slouží k úvodnímu zamyšlení nad úlohou. Nejprve zkontrolujeme, zda lze ze zadaných údajů trojúhelník sestrojit (zde využijeme trojúhelníkovou nerovnost). Potom si rozmyslíme postup rýsování.

5 + 7 > 6,

7 + 6 > 5,

6 + 5 > 7 trojúhelníková nerovnost je splněna

Jak bude sestrojený trojúhelník vypadat?

Načrtneme hledaný trojúhelník ABC a zvýrazníme všechny zadané údaje.

Jak budeme postupovat při rýsování?

Rozmyslíme si, které body umístíme a které hledáme. U hledaných bodů zapíšeme, co o nich víme.

Umístíme úsečku AB, AB = 5 cm.

Hledáme bod C. - Vzdálenost bodu C od A je 6 cm ( AC = 6 cm), a proto bod C leží na kružnici k(A, 6 cm).

- Vzdálenost bodu C od B je 7 cm ( BC = 7 cm), a proto bod C leží na kružnici l(B, 7 cm).

F

1. Náčrtek v rozboru je obvykle od ruky.

2. Během rozboru postupně doplňujeme do obrázku geometrické útvary (body, kružnice, přímky, polopřímky, ...), které potom využijeme při konstrukci. Zde jsou to kružnice k a l.

Všimněte si, že v náčrtku nejsou zachyceny celé kružnice k a l, ale pouze takové jejich části (ty nazýváme oblouky kružnic), které se protínají.

II. a) Postup konstrukce Postup konstrukce (konstrukční předpis) zachycuje jednotlivé kroky konstrukce. Způsob zápisu může být slovní nebo symbolický. Výhodou symbolického zápisu je jeho stručnost (porovnejte v tabulce) a sro-zumitelnost nezávisle na tom, jakým jazykem mluvíme.

106

Slovní vyjádření Symbolický zápis 1. Sestrojíme úsečku AB 1. AB, AB = 5 cm o délce 5 cm.

2. Sestrojíme kružnici k 2. k, k(A; r = AC = 6 cm) se středem v bodě A a poloměrem 6 cm.

3. Sestrojíme kružnici l se středem v bodě B a poloměrem 7 cm.

3. l, l(B; r = BC = 7 cm)

4. Najdeme průsečík C kružnic k a l.

4. C, C ∈k ∩ l

5. Sestrojíme chybějící strany a tím i celý trojúhelník.

5. D ABC

107

Grafický význam

5

a) Zlomky převeďte na desetinná čísla:

3 10 7 8 13 9 − ,− , ,− , ,− 8 4 500 5 2 15

b) Desetinná čísla převeďte na zlomky: –0,16; –1,5; 0,43; –2,56; –0,6 5.3 Racionální čísla Následující čísla rozdělte do skupin tak, aby v každé skupině byla čísla, která jsou si rovna.

3 24 3 12 9 30 6 6 3 − ; ; 1,5; ; − ; ; 3; − 0,75; ; ; − ; 4 8 1 16 6 20 2 8 2 Všechna čísla ve skupině můžeme na číselné ose znázornit jedním bodem.

Uvedená čísla se nazývají racionální čísla.

Každé číslo ze stejné skupiny představuje totéž racionální číslo.

Každé číslo, které můžeme zapsat ve tvaru zlomku, se nazývá racionální číslo.

1

Každé z čísel

3 1 ; –5; – 0,8; 0; 4; – ; 7 se pokuste zapsat čtyřmi jinými 4 5

způsoby (zlomky, desetinným číslem).

Celá čísla jsou zároveň čísla racionální.

144

Racionální čísla znázorněná na číselné ose vlevo od nuly se 11 nazývají záporná racionální čísla (– 3; – ; –0,5).

4 Racionální čísla znázorněná na číselné ose vpravo od nuly se 37 nazývají kladná racionální čísla (2; ; 2,75).

10 2

Jaká racionální čísla jsou znázorněna na číselných osách? Zkuste každé vyjádřit zlomkem i desetinným číslem.

3

Znázorněte na číselné ose racionální čísla –2,5; – ; 2; –1 ; ; –0,4.

2 4 10 Zvolte vhodné měřítko.

3

1

5

Známe již – čísla přirozená 0, 1, 2, 3, 4, ...

– čísla celá ... –8, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

– čísla racionální 5 5 1 ...–8 ... –7,5 ... –7 ... –6 ... –4 ... – ... –1 ... – ...

7 2 3 1 7 0 ... ... 1 ... ... 2 ...

7 4 4

Doplňte do předchozí řádky místo teček mezi dvěma racionálními čísly alespoň jedno další racionální číslo.

5

a) K celým číslům –5, 4, 3, –7, –9, 7 najděte čísla opačná. Co je to opačné číslo? b) K racionálním číslům najděte čísla opačná.

7 8

2 7 3 16 10 ; 0,8; –2,9; –7; –2 ; ; 0; –100; 3 10 5 9 7

– ; –3,7; 4 ;

145

U každé mapy nebo plánu je uvedené měřítko. Měřítko je poměr rozměrů na mapě (plánu) a skutečných rozměrů.

1 : a

➞

1 cm na mapě

➞ ➞

měřítko

a cm ve skutečnosti

Na mapě jsou vzdálenosti akrát menší než ve skutečnosti.

Ve skutečnosti jsou vzdálenosti akrát větší než na mapě.

Určení skutečné vzdálenosti Příklady

Význam

1 : 50 000 (topografická mapa) 1 cm na mapě je 50 000 cm = 500 m = = 0,5 km ve skutečnosti 1 : 10 000 (plán města)

1 cm na plánu je 10 000 cm = = 100 m ve skutečnosti

1 : 200 000 (autoatlas)

1 cm na mapě je 200 000 cm = = 2 000 m = 2 km ve skutečnosti

1 : 300 (plán pozemku)

1 cm na plánu je 300 cm = 3 m ve skutečnosti

Poznámka: Jarka přišla na to, že v zápisu měřítka stačí posunout desetinnou čárku o 5 míst vlevo a vidíme, kolik kilometrů ve skutečnosti je znázorněno jedním centimetrem na mapě.

1 : 200 000

1 : 2,00 000 1 cm = 2 km 184

Na plánu Prahy s měřítkem 1 : 18 000 je vzdálenost Hradčanského náměstí a Malostranského náměstí 2 cm. Jak daleko od sebe jsou obě náměstí ve skutečnosti?

Určení skutečné vzdálenosti

Příklad

Měřítko vyjadřuje zmenšení skutečné vzdálenosti v poměru 1 : a.

Měřítko 1 : 18 000

Skutečnou vzdálenost získáme zvětšením vzdálenosti na mapě v obráceném poměru, tj. a : 1.

Vzdálenost 2 cm zvětšíme v poměru 18 000 : 1

Vzdálenost na mapě vynásobíme akrát.

18 000 · 2 = 36 000

Skutečnou vzdálenost vyjádříme ve vhodných jednotkách.

36 000 cm = 360 m Obě náměstí jsou vzdálená 360 m.

1

Měřítko mapy je 1 : 100 000. a) Kolikrát je každá vzdálenost ve skutečnosti větší než na mapě? b) Kolik kilometrů měří tok potoka, který je na mapě dlouhý 2,6 cm? &

2

Turisté si na mapě s měřítkem 1 : 50 000 zakreslili trasu své cesty. Jak dlouhá bude ve skutečnosti celá trasa?

185

Lesy na území ČR Výměra lesa (v tisících hektarů)

Zásoby dřeva (v milionech m3 bez kůry)

a) Sledujte údaje v grafu a odpovězte na tyto otázky: – O kolik hektarů se zvýšila výměra lesa od roku 1910 do roku 1950?

– O kolik hektarů se zvýšila výměra lesa za dalších 40 let?

– Kolikrát větší je přírůstek zásob dřeva v letech 1990–1997 než za celé předchozí desetiletí? b) Upravte graf tak, aby údaje byly vyjádřeny v procentech. První uvedenou hodnotu vždy zvolte jako 100 %. c) Zjistěte na internetu, jaká je v současné době v České republice výměra lesa a jaká je zásoba dřeva. Vytvořte podobné otázky, jaké jsou v zadání úlohy, a odpovězte na ně.

250

9.8 Promile Víte, co znamenají procenta napsaná na dopravních značkách? rozdíl nadmořských výšek míst B, C

nebezpečné stoupání

vodorovná vzdálenost míst A, B

Stoupání silnice 12 % znamená, že na vodorovné vzdálenosti stoupne 12 této vzdálenosti. silnice o 100

nebezpečné klesání

Klesání silnice 14 % znamená, že na vodorovné vzdálenosti klesne 14 této vzdálenosti. silnice o 100 Podobné značky se používají na železnici. Čísla 12, 18 na značkách vyjadřují stoupání (klesání) v promile. stoupání železniční tratě

klesání železniční tratě

Tisícinu celku lze vyjádřit několika způsoby.

1 = 0,001 = 1 ‰ 1000

@ 1‰ 251

$ jedno promile