Matematika 7

Tematický okruh vymezený RVP

Číslo a proměnná

Závislosti, vztahy a práce s daty

Geometrie v rovině a v prostoru

Nestandardní aplikační úlohy a problémy

Kapitola

Zlomky

Celá čísla

Racionální čísla

Poměr

Procenta

Přímá úměrnost

Nepřímá úměrnost

Grafy a diagramy s procenty

Shodnost, konstrukce trojúhelníků

Středová souměrnost

Čtyřúhelníky

Hranoly

Osová souměrnost

Trojúhelník

Tělesa

úlohy typu Pro chytré hlavy, úlohy využívající více poznatků, úlohy, k jejichž řešení je třeba

zjistit údaje doma nebo na internetu

(uvedené typy úloh jsou v textu označeny)

Rozšiřující učivo

Další shodná zobrazení (posunutí, otáčení)

V učebnici jsou použity následující symboly:

úlohy pro práci s kalkulačkou nebo počítačem, resp. tabletem

náročnější úlohy, ve kterých použijete více poznatků

úlohy, k jejichž řešení musíte zjistit údaje doma nebo na internetu

úlohy vhodné i pro práci s programem dynamické geometrie

na konci učebnice je uveden výsledek

symbolický zápis

čtení symbolického zápisu

upozornění, důležitá poznámka

Rozšiřující učivo pro žáky s hlubším zájmem o matematiku je označeno svislou čarou podél textu.

2 Zlomky

4 Celá

4.3

5 Racionální

8 Čtyřúhelníky

8.1

11 Závěrečné opakování

2.2 Krácení zlomků

Maminka dala na stůl rozkrájený koláč. Kuba s Bárou se pustili do jídla. Když

každý snědl jeden kousek, Kuba povídal: „Na talíři je ještě 6 8 koláče.“

Bára dodala: „Vždyť jsou to přece 3 4 koláče.“

Krácením zlomku 6 8 dvěma dostaneme zlomek 3 4 .

Krácení zlomku provádíme tak, že čitatele a jmenovatele zlomku vydělíme jejich společným dělitelem.

Jak zkrátíme zlomek 6 8 ?

Určíme společného dělitele

čísel v čitateli a ve jmenovateli.

Čitatele i jmenovatele vydělíme společným dělitelem.

= ?

Společným dělitelem čísel 6 a 8 je číslo 2.

Proveďte krácení zlomků a porovnejte výsledky se svými kamarády. 1 16 24

, , , , , , , , , , ,

Zkontrolujte, zda krácení zlomků bylo provedeno správně. Které zlomky můžete krátit ještě dále? 2

3

Základní tvar zlomku

Zlomky, které nemůžeme krátit (v čitateli a ve jmenovateli jsou nesoudělná čísla), nazýváme zlomky v základním tvaru.

Zlomky 1 9 12 17 25 19 , , jsou v základním tvaru. Zlomky 18

, , nejsou v základním tvaru.

Upravte zlomky na základní tvar.

Doplňte tak, aby platila rovnost. 4

Vyjádřete různými zlomky údaj v minutách jako část hodiny. 

(Návod: 15 min = 15 60 h = 3 12 h = 1 4 h) a) 20 min b) 45 min c) 10 min d) 30 min 25

Kolik půlových not musí hudebník zahrát místo čtyř osminových? 

3 Shodnost, konstrukce trojúhelníků

3.1 Shodnost geometrických útvarů

Nejprve jen odhadem a potom také pomocí měřítka porovnejte úsečky AB a CD. Jaké symboly doplníte do rámečků? Vyberte si z nabízených možností.

ŽABŽ AB ŽCDŽ CD <, >, =, ¿

Říkáme, že dva geometrické útvary jsou shodné, jestliže mají stejný tvar a velikost. Shodnost jsme ověřovali přenesením jednoho rovinného obrazce na druhý. K tomu jsme používali průsvitku.

1

Porovnejte úhly AVB a CUD pomocí průsvitky. Znáte i jiné způsoby, jak lze porovnat dva úhly? 

2 Pomocí průsvitky porovnejte útvary na obrázku. Jsou shodné?

Jestliže porovnáváme dva rovinné útvary pomocí průsvitky, v některých případech je nutné průsvitku obrátit. Potom říkáme, že útvary jsou nepřímo shodné (úloha 2b). Není-li nutné průsvitku obracet, potom dané útvary jsou přímo shodné (úloha 2a).

Pomocí průsvitky porovnejte trojúhelníky ABC a MNP na obrázku. Doplňte údaje do tabulek. 3 AB ¿ BC CA ®CAB ¿ ®ABC ®BCA |AB| = |BC| |CA| |®CAB| = |®ABC| |®BCA|

Shodné trojúhelníky se shodují ve všech třech odpovídajících si stranách a ve všech třech odpovídajících si vnitřních úhlech.

@ DABC ¿ DMNP  Trojúhelník ABC je shodný s trojúhelníkem MNP. a) b)

I. Rozbor

Rozbor slouží k úvodnímu zamyšlení nad úlohou. Nejprve zkontrolujeme, zda lze ze zadaných údajů trojúhelník sestrojit (zde využijeme trojúhelníkovou nerovnost). Potom si rozmyslíme postup rýsování.

trojúhelníková nerovnost je splněna 5 + 7 > 6, 7 + 6 > 5, 6 + 5 > 7

Jak bude sestrojený trojúhelník vypadat?

Načrtneme hledaný trojúhelník

ABC a zvýrazníme všechny zadané údaje.

Jak budeme postupovat při rýsování?

Rozmyslíme si, které body umístíme a které hledáme. U hledaných bodů zapíšeme, co o nich víme.

Umístíme úsečku AB, ŽABŽ = 5 cm.

Hledáme bod C.

- Vzdálenost bodu C od A je 6 cm (ŽACŽ = 6 cm), a proto bod C leží na kružnici k(A, 6 cm).

- Vzdálenost bodu C od B je 7 cm (ŽBCŽ = 7 cm), a proto bod C leží na kružnici l(B, 7 cm).

1. Náčrtek v rozboru je obvykle od ruky.

2. Během rozboru postupně doplňujeme do obrázku geometrické útvary (body, kružnice, přímky, polopřímky, ...), které potom využijeme při konstrukci. Zde jsou to kružnice k a l.

Všimněte si, že v náčrtku nejsou zachyceny celé kružnice k a l, ale pouze takové jejich části (ty nazýváme oblouky kružnic), které se protínají.

II. a) Postup konstrukce

Postup konstrukce (konstrukční předpis) zachycuje jednotlivé kroky konstrukce. Způsob zápisu může být slovní nebo symbolický. Výhodou symbolického zápisu je jeho stručnost (porovnejte v tabulce) a sro-zumitelnost nezávisle na tom, jakým jazykem mluvíme.

Slovní vyjádření Symbolický zápis Grafický význam

1. Sestrojíme úsečku AB o délce 5 cm.

2. Sestrojíme kružnici k se středem v bodě A a poloměrem 6 cm.

1. AB,ŽABŽ= 5 cm

3. Sestrojíme kružnici l se středem v bodě B a poloměrem 7 cm.

2. k, k(A; r =ŽACŽ= 6 cm)

4. Najdeme průsečík C kružnic k a l.

3. l, l(B; r =ŽBCŽ= 7 cm)

5. Sestrojíme chybějící strany a tím i celý trojúhelník.

4. C, C ∈k ∩ l

5. D ABC

a) Zlomky převeďte na desetinná čísla:

b) Desetinná čísla převeďte na zlomky: –0,16; –1,5; 0,43; –2,56; –0,6

5.3 Racionální čísla

Následující čísla rozdělte do skupin tak, aby v každé skupině byla čísla, která jsou si rovna.

Všechna čísla ve skupině můžeme na číselné ose znázornit jedním bodem. 5

Uvedená čísla se nazývají racionální čísla.

Každé číslo ze stejné skupiny představuje totéž racionální číslo.

Každé číslo, které můžeme zapsat ve tvaru zlomku, se nazývá racionální číslo.

1

Každé z čísel 3 4 ; –5; – 0,8; 0; 4; –1 5 ; 7 se pokuste zapsat čtyřmi jinými způsoby (zlomky, desetinným číslem).

Celá čísla jsou zároveň čísla racionální.

Racionální čísla znázorněná na číselné ose vlevo od nuly se nazývají záporná racionální čísla (– 3; –11 4 ; –0,5).

Racionální čísla znázorněná na číselné ose vpravo od nuly se nazývají kladná racionální čísla (2; 37 10 ; 2,75).

Jaká racionální čísla jsou znázorněna na číselných osách? Zkuste každé vyjádřit zlomkem i desetinným číslem. 2

3

4 5

Znázorněte na číselné ose racionální čísla –2,5; –3 2 ; 2; –1 1 4 ; 5 10 ; –0,4. Zvolte vhodné měřítko.

Známe již

– čísla přirozená 0, 1, 2, 3, 4, ...

– čísla celá ... –8, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

– čísla racionální

Doplňte do předchozí řádky místo teček mezi dvěma racionálními čísly alespoň jedno další racionální číslo.

a) K celým číslům –5, 4, 3, –7, –9, 7 najděte čísla opačná. Co je to opačné číslo? b) K racionálním číslům najděte čísla opačná.

–7 8 ; –3,7; 4 2 3 ; 7 10 ; 0,8; –2,9; –7; –2 3 5 ; 16 9 ; 0; –100; 10 7

U každé mapy nebo plánu je uvedené měřítko. Měřítko je poměr rozměrů na mapě (plánu) a skutečných rozměrů.

1 : a měřítko ➞

1 cm na mapě a cm ve skutečnosti

Na mapě jsou vzdálenosti akrát menší než ve skutečnosti.

Ve skutečnosti jsou vzdálenosti akrát větší než na mapě.

Určení skutečné vzdálenosti

Příklady

1 : 50 000 (topografická mapa)

Význam

1 cm na mapě je 50 000 cm = 500 m = = 0,5 km ve skutečnosti

1 : 10 000 (plán města)

1 : 200 000 (autoatlas)

1 : 300 (plán pozemku)

1 cm na plánu je 10 000 cm = = 100 m ve skutečnosti

1 cm na mapě je 200 000 cm = = 2 000 m = 2 km ve skutečnosti

1 cm na plánu je 300 cm = 3 m ve skutečnosti

Poznámka: Jarka přišla na to, že v zápisu měřítka stačí posunout desetinnou čárku o 5 míst vlevo a vidíme, kolik kilometrů ve skutečnosti je znázorněno jedním centimetrem na mapě.

1 : 200 000

1 : 2,00 000 1 cm = 2 km

Na plánu Prahy s měřítkem 1 : 18 000 je vzdálenost Hradčanského náměstí a Malostranského náměstí 2 cm. Jak daleko od sebe jsou obě náměstí ve skutečnosti?

Měřítko vyjadřuje zmenšení skutečné vzdálenosti v poměru 1 : a.

Skutečnou vzdálenost získáme zvětšením vzdálenosti na mapě v obráceném poměru, tj. a : 1.

Měřítko 1 : 18 000

Vzdálenost 2 cm zvětšíme v poměru 18 000 : 1

Vzdálenost na mapě vynásobíme akrát. 18 000 · 2 = 36 000

Skutečnou vzdálenost vyjádříme ve vhodných jednotkách.

1

2 Určení skutečné vzdálenosti Příklad

36 000 cm = 360 m

Obě náměstí jsou vzdálená 360 m.

Měřítko mapy je 1 : 100 000.

a) Kolikrát je každá vzdálenost ve skutečnosti větší než na mapě?

b) Kolik kilometrů měří tok potoka, který je na mapě dlouhý 2,6 cm? 

Turisté si na mapě s měřítkem 1 : 50 000 zakreslili trasu své cesty. Jak dlouhá bude ve skutečnosti celá trasa?

Lesy na území ČR

Výměra lesa (v tisících hektarů)

Zásoby dřeva (v milionech m3 bez kůry)

a) Sledujte údaje v grafu a odpovězte na tyto otázky: – O kolik hektarů se zvýšila výměra lesa od roku 1910 do roku 1950? – O kolik hektarů se zvýšila výměra lesa za dalších 40 let? – Kolikrát větší je přírůstek zásob dřeva v letech 1990–1997 než za celé předchozí desetiletí?

b) Upravte graf tak, aby údaje byly vyjádřeny v procentech. První uvedenou hodnotu vždy zvolte jako 100 %.

c) Zjistěte na internetu, jaká je v současné době v České republice výměra lesa a jaká je zásoba dřeva. Vytvořte podobné otázky, jaké jsou v zadání úlohy, a odpovězte na ně.

9.8 Promile

Víte, co znamenají procenta napsaná na dopravních značkách?

nebezpečné stoupání

rozdíl nadmořských výšek míst B, C vodorovná vzdálenost míst A, B

Stoupání silnice 12 % znamená, že na vodorovné vzdálenosti stoupne silnice o 12 100 této vzdálenosti.

nebezpečné klesání

Klesání silnice 14 % znamená, že na vodorovné vzdálenosti klesne silnice o 14 100 této vzdálenosti.

Podobné značky se používají na železnici.

Čísla 12, 18 na značkách vyjadřují stoupání (klesání) v promile.

stoupání železniční tratě klesání železniční tratě

Tisícinu celku lze vyjádřit několika způsoby. 1

1000 = 0,001 = 1 ‰ 1 ‰ jedno promile