001 - Описивање кретања тачке

TEHNOART BEOGRAD

OPISIVAWE KRETAWA TA^KE [KOLA ZA MA[INSTVO

I UMETNI^KE ZANATE

Циљ теме је упознавање са основним појмовима који дефинишу кретање тачке

TEHNOART BEOGRAD

OPISIVAWE KRETAWA TA^KE [KOLA ZA MA[INSTVO

I UMETNI^KE ZANATE

Декартов правоугли координатни систем y

Ox - апсциса

М K

координатне осе

Oy - ордината x

0

O – координатни почетак

координате тачака:

L

М (3;4) N (1;-4) L (-3;-2) ( ; ) K (-5;3)

N

У простору тачка је одређена са 3 координате. z

А (4;4;5) A

Ако се тачка креће по правој линији њен правац можемо да поклопимо са једном од координатних оса.

y B x

0

C

x

B (-3) C (5)

TEHNOART BEOGRAD

OPISIVAWE KRETAWA TA^KE [KOLA ZA MA[INSTVO

I UMETNI^KE ZANATE

Природни координатни систем... ...уводимо ако се тачка креће криволинијски, а познат је облик линије кретања. Положај тачке М на путањи одређен   . је лучном координатом OM

B

M O+ -

T

 N C

Координатни р почетак О и смер р кретања р тачке одређујемо произвољно. Овај координатни систем разликује 3 основна правца: 

T  правац нормале N  правац бинормале B

правац тангенте

Сви правци пролазе кроз тачку М и међусобно заклапају прав угао. Смер р тангенте јје у смеру ру кретања р тачке. Смер нормале је ка центру криве линије.

TEHNOART BEOGRAD

OPISIVAWE KRETAWA TA^KE [KOLA ZA MA[INSTVO

I UMETNI^KE ZANATE

Једначине кретања тачке У току кретања, координате тачке се мењају у зависности од времена. Овакве зависности називамо коначне једначине кретања тачке. Примери: р р

x  f t  x  f1  t  y  f2 t 

Кретање тачке по правој линији

xt2

Кретање тачке у равни xOy.

x  2t -1 y  -3t  4

Кретање тачке у простору

x  -t  1 y  2t  2 z  3t

x  f1  t  y  f2 t  z  f3  t 

TEHNOART BEOGRAD

OPISIVAWE KRETAWA TA^KE [KOLA ZA MA[INSTVO

I UMETNI^KE ZANATE

Линија путање То је права или крива линија по чијем се делу креће тачка. Представљена је једначином, која би за раванско кретање гласила y  f x

 

Ако су дате коначне једначине кретања, једну од њих решимо по времену, а затим то време убацимо у другу једначину и добићемо линију путање. пример: Дате су коначне једначини кретања. Наћи линију путање!

x  3t -1 1 y t2 решење:

t  y-2 x  3  y - 2  -1  3 y - 6 -1

x  3y - 7 3y  x  7

x7 y 3

TEHNOART BEOGRAD

OPISIVAWE KRETAWA TA^KE [KOLA ZA MA[INSTVO

I UMETNI^KE ZANATE

Путања (трајекторија) То је део линије по којој се креће тачка.

2

3

0-3 линија путање 1-2 путања у

1

Путања је краћа од линије путање.

0

Путања јје једнака П ј или дужа од линије путање.

TEHNOART BEOGRAD

OPISIVAWE KRETAWA TA^KE [KOLA ZA MA[INSTVO

I UMETNI^KE ZANATE

Почетни положај тачке То је Т ј положајј тачке на путањи у тренутку када почињемо да меримо време. У том тренутку узимамо да је t  0 Координате почетног положаја тачке (x0;y0) добијамо из једначине кретања, р , када д у њих убацимо у ц вредност р д t=0. Пример: За дате једначине кретања наћи почетни положај тачке! y

x  3t -1 1 y t2

M0

x

Решење:

x0  3  0 -1 1  -1 1 y0  0  2  2

2

-1

M 0  -1;2 

TEHNOART BEOGRAD

OPISIVAWE KRETAWA TA^KE [KOLA ZA MA[INSTVO

I UMETNI^KE ZANATE

Закон пута То је једначина која нам омогућава да у сваком тренутку одредимо положај тачке на путањи.

S  S0  f  t  0





S0

M

M0

S

Ако се тачка креће праволинијски једначина постаје

x  x0  f  t 

Пример: Тачка се креће праволинијски по закону S  3  2t  m  . Наћи њен положај на почетку кретања и после 6 секунди! Решење: S  0   3  2  0  3m S  S  f t 

S  6   3  2  6  15m

0

S  3  2t  m

Почетни положај тачке можемо да одредимо и упоређивањем једначина тј. изједначавањем чланова који нису везани за време.

TEHNOART BEOGRAD

OPISIVAWE KRETAWA TA^KE [KOLA ZA MA[INSTVO

I UMETNI^KE ZANATE

Пређени пут То је укупна дужина пута који је тачка прешла по путањи. Посматрамо тачку која прелази пут ОМ1, а затим М1М2.

-

О

+

М2

М1

x

Пређени пут је: S  OM 1  M 1M 2

S



Иако се други део пута тачка креће у супротном смеру од првобитног, тј. приближава се почетној тачки, пређени ђ пут се не смањује него се повећава сабирањем апсолутних вредности свих пређених делова пута. пута 

TEHNOART BEOGRAD

OPISIVAWE KRETAWA TA^KE [KOLA ZA MA[INSTVO

I UMETNI^KE ZANATE

Вектор положаја тачке Поред Декартовог и природног координатног система, система положај тачке могуће је одредити и вектором положаја тачке. Посматрајмо кретање тачке кроз њена 3 положаја на правој или кривој линији! Вектори положаја тачака М1,М2, М3:

y

y3

M1

rr r

y1 y2

 1

 2 

  OM 1  r1

M2 M3

  OM 2  r2

y

3

O

x x1 x2

 r

x3

Вектор е ор положаја о о аја може о е се разложити на 2 компоненте које су паралалне осама.

   r  x y

  OM 3  r3

O

 x

M  y

Интензитет вектора положаја

x 2

r x y

2

TEHNOART BEOGRAD

OPISIVAWE KRETAWA TA^KE [KOLA ZA MA[INSTVO

I UMETNI^KE ZANATE

Ходограф вектора положаја Крајеви вектора положаја покретне тачке, одређују њену путању коју зовемо ХОДОГРАФ ВЕКТОРА ПОЛОЖАЈА тачке. На овај начин можемо свако кретање да раставимо на праволинијска кретања дуж координатних оса. Закони ових кретања су једначине кретања тачке

y y1 y2 y3 O

M1

 r1  r2  r3

M2

x1 x2

M3 x x3

x  f1  t 

y  f2 t 