§ 2.2 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού Θεωρία: Σε μια εξίσωση 2ου βαθμού, κάνουμε πρώτα τις απαιτούμενες πράξεις, αν χρειάζεται, και μετά: ► Φέρνουμε όλους τους όρους στο 1ο μέλος και στο δεύτερο γράφουμε το μηδέν. ► Συναντάμε με αυτόν τον τρόπο 3 είδη όρων: 1. Τα x2 , 2. τα x και 3. τους σταθερούς όρους, δηλαδή τους καθαρούς αριθμούς. Έτσι μια εξίσωση 2ου βαθμού μετά τις απαιτούμενες πράξεις θα έχει γενικά τη μορφή:
αx2 + βx + γ = 0 , με α ≠ 0
πχ: 5x2 + 4x – 9 = 0
Ο παρακάτω πίνακας μας δείχνει πως λύνουμε γενικά όλες τις μορφές των εξισώσεων 2ου βαθμού: Μορφή:
1. Πλήρης: αx2 + βx + γ = 0 με α ≠ 0
Τρόπος λύσης: Με τη μέθοδο της Διακρίνουσας**: ☻ Εντοπίζουμε τους αριθμούς α, β και γ. ☻ Υπολογίζουμε τη Διακρίνουσα:
Δ = β2 – 4αγ ☻ Υπολογίζουμε τις λύσεις με τον τύπο: x=
−β ± ∆ 2α
(αντιστοιχεί στις 2 γενικά λύσεις)
2. Με β = 0 αx2 + γ = 0
(λείπουν τα x)
3. Με γ = 0 αx2 + βx = 0
Κάνουμε παραγοντοποίηση* χρησιμοποιώντας την διαφορά τετραγώνων και αν χρειάζεται στην αρχή κοινό παράγοντα. Κάνουμε παραγοντοποίηση με κοινό παράγοντα το x .
Πλήθος λύσεων: (θα βρούμε στο τέλος) ► Αν Δ > 0 θα βρούμε 2 διαφορετικές πραγματικές λύσεις. ► Αν Δ = 0 θα βρούμε 1 διπλή λύση. (τότε αν παρατηρήσουμε προσεχτικά την εξίσωση θα διαπιστώσουμε κάποια ταυτότητα τετραγώνου) ► Αν Δ < 0 θα σταματήσουμε γράφοντας αδύνατη. (καμία λύση) ► 2 λύσεις αντίθετες μεταξύ τους (πχ: x = 2 ή x = -2) ή ► Θα είναι αδύνατη. ► 2 λύσεις όπου η μία θα είναι σίγουρα η x = 0.
(λείπει ο αριθμός) Παρατηρήσεις: * Η μορφή αυτή λύνεται και με τετραγωνική ρίζα αν θέλουμε. ** Τα «μυστικά» της Διακρίνουσας είναι ότι: Το πρώτο κομμάτι της, ό πρώτος όρος της, πάντα θα είναι θετικό. Το αποτέλεσμά της, μάλλον θα βγαίνει τέλειο τετράγωνο τουλάχιστον στις πρώτες ασκήσεις που θα αντιμετωπίσετε… Επίσης, η πλήρης μορφή λύνεται αν μπορούμε και με παραγοντοποίηση, ειδικά αν είναι κάποια ταυτότητα τετραγώνου.