Page 1

ROBERT JOHANSSON LARS-DANIEL ÖHMAN

LARS-DANIEL ÖHMAN är lektor i matematik vid Umeå universitet. Utöver sin egen forskning och undervisning är han engagerad i didaktiska och populärvetenskapliga frågor, kursutveckling samt utveckling av kursmaterial.

Introduktion till högre studier i matematik

ROBERT JOHANSSON är lektor i matematik och prefekt för institutionen för matematik och matematisk statistik vid Umeå universitet. Han har ett brett intresse för matematik och gränslandet mellan matematik och datavetenskap. Han har tidigare som studierektor varit involverad i utvecklings- och kvalitetsarbete inom grundutbildningen.

JOHANSSON ÖHMAN

Denna lärobok är i första hand en introduktion till matematikstudier på universitetsnivå. Bevis ingår som en central del och boken lägger stor vikt vid att förmedla och lära ut innebörden av matematiska begrepp. Boken innehåller därför utförliga förklaringar och exempel, och presenterar ofta metoder och formler från flera olika synvinklar. Boken repeterar även valda delar av gymnasiets matematikkurser, men behandlar matematiken på ett mer stringent sätt. En vanlig missuppfattning är att matematik bara handlar om tal och beräkningar. I denna bok tar författarna fasta på att resonemang och argumentation är en minst lika viktig del av matematiken. Boken riktar sig i första hand till nybörjarstudenter på civilingenjörsutbildningar och kandidat- eller magisterprogram i matematik, matematisk statistik och närliggande ämnen.

Introduktion till högre studier i

MATEMATIK Best.nr 47-10536-6 Tryck.nr 47-10536-6

4710536 omslag.indd 1-3

08/02/12 7:56 PM


2012-01-31 – sida 1 – # 1

1

Robert johansson lars-daniel öhman

Introduktion till högre studier i

matematik Liber


2012-01-31 – sida 3 – # 3

Förord

Syftet med denna bok är i huvudsak att tjäna som en introduktion till hur matematikämnet hanteras på universitetsnivå. En central del i detta är bevis, och stor vikt läggs även vid begreppsförståelse. Boken repeterar vissa delar av gymnasiets kurser i matematik, men på nytt sätt med ökad stringens. Boken innehåller även en del material som antagligen är nytt för de flesta nybörjarstudenter. I största möjliga utsträckning har vi försökt att förklara och exemplifiera alla koncept och metoder, så att så lite av bokens innehåll som möjligt skall bära ”kokboksprägel”, med metoder eller formler utan förklaring. Vi har alltså försökt att komplettera varje ”vad” med ett ”varför”. Vi har även försökt att presentera samma material från olika synvinklar i så stor utsträckning som möjligt. Ett exempel på detta är avsnittet om trigonometri, där det geometriska synsättet delvis redovisas parallellt med ett funktionsinriktat synsätt. Vi välkomnar alla kommentarer, förslag och rättelser.

Kommentarer till innehållet Huvudsyftet med kapitel 1 är att införa ett antal definitioner, skrivsätt och tänkesätt som sedan används i resten av boken. I avsnitt 1.3 introducerar vi bevisföringsmetodik, och gör ett försök att avdramatisera bevisets status i universitetets matematikkurser. Därefter följer kapitel 2 om ekvationer och absolutbelopp, som närmast är att se som en ren repetition av gymnasiematematiken. Behandlingen av detta material i denna bok har dock ett större mått av stringens än gymnasiets kurser, och gör bruk av vissa skrivsätt som inte förekommer i gymnasieböcker. I kapitel 3 introduceras ny notation för summor. Stoffet i sig ingår till stor del i gymnasiets kurser.


2012-01-31 – sida 4 – # 4

4

Kapitel 4 om induktion och Binomialsatsen, är antagligen helt nytt material för de flesta nyblivna studenter. Särskilt avsnitt 4.1 om induktion är viktigt för senare matematikkurser, och är av erfarenhet ett teoriavsnitt som för många nya studenter kräver lite extra tid. Kapitel 5 om trigonometriska funktioner är i sin helhet att betrakta som en repetition av gymnasiematematiken, även om teorin här utvecklas mer noggrant och stringent. Kapitel 6 behandlar komplexa tal, och borde vara välbekant för de studenter som läst gymnasiets matematikkurs E. I de nya kursplanerna från 2011 behandlas de komplexa talen helt kort i kurs 2, och mer ingående i kurs 4. För övriga studenter är detta material antagligen nytt, och kapitlet kan därför upplevas som ansträngande. Boken innehåller även ett sakregister. Sidhänvisningar i fetstil pekar på den plats i boken där begreppet införs. Boken behandlar endast i begränsad utsträckning funktionslära, logaritmer samt potensregler och liknande grundläggande räkneregler. Viss kännedom om detta förutsätts dock i vissa avsnitt. Text i fetstil markerar att ordet i fråga är en teknisk term med en precis betydelse. Denna betydelse bestäms antingen genom en uttrycklig definition, eller genom det sammanhang som termen förekommer i. Sådana tekniska termer är i normalfallet bara fetstilta första gången de förekommer i texten. Lägg alla fetstilta ord och deras betydelse på minnet! Ord i kursiv stil är betonade.

Något om matematisk kommunikation En vanlig missuppfattning är att matematik endast handlar om tal, eller beräkningar. Tal och beräkningar utgör naturligtvis en viktig del av vad matematik handlar om, men en minst lika viktig del av matematiken utgörs av resonemang och argumentation. Sådana resonemang och argument kan alla uttryckas mycket kompakt (och svårläst!) med formell matematisk notation. En ambition med denna bok är att bidra med en lättsam introduktion till ett mer formaliserat skrivsätt, för att underlätta övergången från gymnasiematematiken till universitetsmatematiken. För studenter på inledande nivå av universitetsstudier är det inte en bra idé att alltid göra fullt bruk av dessa formaliserade skrivsätt. Bättre är att delvis uttrycka sig i vardagsspråket. En följd av beräkningar, ekvationer eller algebraiska uttryck är sällan en fullständig lösning på ett problem. En oundgänglig del av en lösning på ett problem är att redovisa vilka resonemang du fört, och vilka principer och räkneregler


2012-01-31 – sida 5 – # 5

5

du förlitat dig på. En ”lösning” på ett problem eller en övningsuppgift är ingen fullständig lösning innan alla dessa resonemang fästs på papper. Man brukar säga att ”det dunkelt sagda är det dunkelt tänkta” och risken är stor att man inte är fullt på det klara med vad de beräkningar man genomfört egentligen innebär, varför man genomfört dem, eller om de över huvud taget är hållbara och relevanta, om man inte uttryckligen skrivit ned sina resonemang. Vi vill därför rekommendera dig som ny student i matematik att lägga dig till med den goda vanan att i skrift förklara varför du utför de beräkningar du utför, och även redovisa vilka räkneregler, satser och metoder du använt dig av. Det tjänar du på i längden.

Övningsuppgifter, facit och lärande Man lär sig naturligtvis matematik (och andra ämnen) bättre om man aktivt arbetar med materialet. Därför innehåller detta kompendium ett antal övningsuppgifter. Vår förhoppning är att de inte skall vara för få, för lätta eller för svåra. Att lösa en stor mängd uppgifter som du redan på förhand vet exakt hur du skall hantera är knappast att effektivt utnyttja studietiden (hoppa över dem!). Det är knappast heller meningsfullt att kämpa med en uppgift där du inte ens förstår vad som efterfrågas. I sådana fall bör du återvända till texten för att reda ut begreppen innan du gör ett nytt försök. Modern kognitionsforskning har visat att lärande stimuleras av prövningsliknande situationer. Under studierna kan du uppnå detta genom att lösa uppgifter utan tillgång till lösningar eller svar. Med denna arbetsmetod övar du även ditt matematiska självförtroende – en uppgift är inte fullständigt löst förrän du själv är övertygad om att du har gjort rätt! Med alltför god tillgång till fullständiga lösningar är risken överhängande att man alltför ofta sneglar på dessa. Då kan man lätt förledas att tro att man förstår, men när man sedan vid examination skall återkalla kunskapen ur minnet, så finns den inte där. Av denna anledning har vi valt att vara sparsamma med lösningsförslag. Ibland finns i stället ledningar, som syftar till att stimulera det egna tänkandet, och bruket av de metoder, förmågor och kunskaper du redan besitter. I andra fall ger vi endast ett svar, som du kan använda för att kontrollera att resultatet av dina beräkningar är riktigt. Vissa enstaka uppgifter ”lämnas till läsaren”. En god idé är att diskutera dessa uppgifter med en studiekamrat eller lärare.


2012-01-31 – sida 6 – # 6

6

Vi vill även påpeka att övningsuppgifter i matematik på universitetsnivå skiljer sig något från gymnasiematematiken. Du kan som student inte alltid kan vänta dig att du utan ansträngning kan lösa uppgifterna efter att endast ha lyssnat på tillhörande föreläsning eller genomgång. Ofta måste du i stället gå tillbaka till texten, studera definitioner och exempel, samt dra dina egna slutsatser.

Tack Delar av manuskriptet till denna bok har lästs och kommenterats av Daniel Andrén, Per Bylund, Per-Anders Boo, Peter Wingren, Thomas Önskog och Linus Carlsson, för vilket vi är mycket tacksamma. Manuskriptet har även lästs av alla de årskullar på civilingenjörsprogrammen och kandidatprogrammet i fysik och tillämpad matematik som började vid Umeå universitet höstterminerna 2009–2011, och ett antal fel uppdagades då. Vi vill även tacka Lars Hellström för hjälp med teknisk behandling av manuskriptet samt vår redaktör Kim Bergström för många kloka råd. Alla kvarvarande felaktigheter ansvarar vi naturligtvis själva för. Umeå, januari 2012 Robert Johansson och Lars-Daniel Öhman


2012-01-31 – sida 7 – # 7

Innehåll

Förord 1 Grunder 1.1 Tal . . . . . . . . . . . 1.2 Mängdlära . . . . . . . 1.3 Logik . . . . . . . . . 1.4 Definitioner, satser och Svar till övningar till kapitel

3 . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

9 10 13 19 29 36

2 Ekvationer och olikheter 2.1 Ekvationer . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Polynomdivision och Faktorsatsen 2.3 Olikheter . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Absolutbelopp . . . . . . . . . . . Svar till övningar till kapitel 2 . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

41 42 47 54 56 62

. . . . . . . . . . . . bevis 1 . .

. . . . .

. . . . .

3 Summor och summatecken 65 3.1 Grundläggande notation och räkneregler . . . . . . . . . . 65 3.2 Några viktiga summor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Svar till övningar till kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4 Induktionsbevis och Binomialsatsen 4.1 Induktionsbevis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Binomialsatsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Svar till övningar till kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79 79 86 94

5 Trigonometri 97 5.1 Vinklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.2 Pythagoras sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100


2012-01-31 – sida 8 – # 8

8

Innehåll

5.3 5.4 5.5 5.6 Svar

Trigonometriska funktioner . . . De trigonometriska funktionernas Trigonometriska ekvationer . . . Triangelsatserna . . . . . . . . . till övningar till kapitel 5 . . . .

6 Komplexa tal 6.1 Definition av de komplexa talen 6.2 Det komplexa talplanet . . . . 6.3 Polär form . . . . . . . . . . . . 6.4 Exponentialfunktionen . . . . . 6.5 Avstånd och absolutbelopp . . 6.6 Rötter till polynomekvationer . Svar till övningar till kapitel 6 . . . Sakregister

. . . . . . .

. . . . . . . egenskaper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

104 107 118 119 125

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

131 132 134 135 141 144 147 151

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

157


2012-01-31 – sida 9 – # 9

Kapitel 1

Grunder

Matematik är ett mycket ”vertikalt” ämne, i den bemärkelsen att nytt material ofta direkt bygger på tidigare material. Man kan alltså inte enkelt förstå det nya utan att ha en solid grund att stå på. Därför inför vi i detta kapitel nya, mer exakta skrivsätt för en del begrepp som känns igen från gymnasiematematiken och en del nya grundläggande begrepp. All högre matematik använder sig i stor utsträckning av dessa begrepp och sådana formaliserade skrivsätt. I linje med detta använder vi sedan dessa nya skrivsätt genomgående i resten av boken. En del av materialet i detta kapitel kan alltså upplevas som repetition av gymnasiematematiken, men sättet att behandla materialet är nytt och syftar till att förbereda inför följande kapitel. Tal uppfattas ofta som de mest grundläggande objekten i matematiken, och vi inleder med att diskutera olika talsystem och hur de förhåller sig till varandra. Ett annat begrepp, som faktiskt kan ses som mer grundläggande än talbegreppet är mängdbegreppet, som vi inför därefter. Vi definierar där även ett slags räkneoperationer för mängder som i olika former förekommer i matematikens alla delområden. Matematik är dock mer än sina objekt: det är även centralt att argumentera och resonera på ett strukturerat och hållbart sätt. Vi inför därför sedan grundläggande logisk terminologi och notation, och tillämpar detta i en diskussion om vilka resonemang som är hållbara. Vi avslutar kapitlet med en genomgång av matematisk texts grundstruktur; definition-sats-bevis. Särskilt bevis uppfattas ibland som något mycket svårt, men ambitionen med detta avsnitt är att skingra mystiken och att avdramatisera bevisföring.


2012-01-31 – sida 10 – # 10

10

Kapitel 1 Grunder

1.1 Tal I detta avsnitt inför och diskuterar vi de naturliga talen, heltalen, de rationella talen och de reella talen. För att fastställa deras inbördes förhållanden ger vi även exempel på ett reellt tal som inte är rationellt, och hur man omvandlar mellan decimalform och bråkform. Vi berör avslutningsvis helt kort talsystemens kopplingar till olika typer av ekvationer. De mest grundläggande talen är de tal som används för att ange antal, de så kallade naturliga talen, eller räknetalen 1, 2, 3, . . .. Denna klass av tal betecknar vi med symbolen N, som är den första bokstaven i ordet ”naturlig”. Ibland räknas talet noll till de naturliga talen, ibland inte. Här ska vi anta att noll inte är ett naturligt tal. Nästa uppsättning tal är de så kallade heltalen ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ..., som betecknas med symbolen Z, som är den första bokstaven i tyskans ”Zahl”, vilket helt enkelt betyder tal. Det är uppenbarligen så att alla naturliga tal är heltal, och att det finns vissa heltal, exempelvis −1, som inte är naturliga. Den tredje uppsättningen tal är de rationella talen, alltså kvottalen eller bråktalen. Detta är alla de tal som kan skrivas som en kvot, a/b, där a är ett heltal, och b är ett naturligt tal (och därmed alltså skilt från noll enligt vår definition). De rationella talen betecknar vi med symbolen Q, som är första bokstaven i exempelvis engelskans ”quotient”, kvot. Exempel på rationella tal är −1/2, 7/4 och 99/100. Dessa tre exempel är uppenbarligen varken heltal eller naturliga tal. Tal som inte är rationella kallas irrationella. Nästa uppsättning tal är de reella talen, alltså mätetalen eller decimaltalen. Dessa tal betecknas med symbolen R, vilket är första bokstaven i ordet ”reell”. De reella talen är alla de tal som kan skrivas som ett decimaltal, exempelvis 23,84049685938290. . . , där antalet decimaler tillåts vara obegränsat. Att formellt definiera vad som menas med ett reellt tal är inte helt enkelt, och inte något vi ska göra här. Vi nöjer oss med att konstatera att alla rationella tal (och därmed även alla naturliga tal och heltal) är reella. Finns det tal som är reella, men inte är rationella? Svaret på denna fråga är ”ja”, men det verkar inte lika enkelt att fastslå som att 1/2 inte är ett heltal. Även tal som på ytan inte ser rationella ut kan visa sig vara rationella, som följande exempel illustrerar.


2012-01-31 – sida 11 – # 11

1.1 Tal

11

Exempel 1.1.1

Är talet Fn =



√ n 1+ 5 2



− √ 5

−2 √ 1+ 5

n

ett rationellt tal, om n är ett naturligt tal? I detta fall är svaret ”ja”. Talet Fn , som även kallas det n:te Fibonaccitalet, är till och med ett naturligt tal, trots att det kan skrivas på denna form. Pröva gärna att räkna ut F0 = 0, F1 = 1 och F2 = 1. Alla decimaltal som är periodiska, det vill säga att följden av decimaler upprepar sig, är rationella. Skrivsättet 0,abc innebär att de tal som har ett streck över sig skall upprepas. Exempelvis gäller att 0,10 = 0,1010101010 . . .. Exempel 1.1.2

Decimaltalet 7,237967967967967... = 7,23796 kan skrivas som ett rationellt tal genom att observera att 1000 · 7,23796 − 7,23796 = 7237,96796 − 7,23796 = 7230,73 Alltså gäller 999 · 7,23796 = 7230,73, så 7,23796 =

7230,73 723073 = . 999 99900

Det existerar reella√tal som inte är rationella. Vi nöjer oss med att ge som som exempel talet 2. Detta tal är reellt eftersom det kan skrivas √ ett decimaltal, 1,41421356..., men inte rationellt. Att talet 2 inte är rationellt innebär att det inte kan skrivas som en kvot a/b av ett heltal a och ett naturligt tal b. Vi formulerar detta som en sats. Sats 1.1.3

Talet

2 är inte rationellt.

Vi återkommer med en grundlig genomgång av denna sats och dess bevis i avsnitt 1.3, om satser, bevis och bevismetodik.


2012-01-31 – sida 12 – # 12

12

Kapitel 1 Grunder

Exempel 1.1.4

√ Är talet 1 + 2 rationellt? √ Lösning: √ Om vi antar att 1 + 2 är rationellt, så kan det skrivas som 1 + 2 = a/b, för några lämpliga heltal a och b. Då kan vi även skriva om denna likhet som √

2=

a a−b a b −1= − = . b b b b

√ Både a − b och b är heltal, så då skulle vi ha lyckats skriva 2 som ett bråk, vilket motsäger√ Sats 1.1.3. Vi√drar slutsatsen att antagandet 2 som 1 + 2 = a/b var felaktigt, och att att vi kunde skriva 1 + √ 1 + 2 därför är irrationellt. Det sätt att resonera som vi använde oss av i ovanstående exempel kallas motsägelsebevis. Vi återkommer till detta i avsnitt 1.3. Den sista uppsättningen tal som ska behandlas i denna bok är de komplexa talen, som betecknas med symbolen C. Dessa inför vi i kapitel 6. De olika talsystemen kan förknippas med de olika typer av ekvationer som kan lösas med hjälp av dem. ⊲ Alla ekvationer i variabeln x av typen a + x = b där a och b är naturliga tal kan lösas med hjälp av heltal, nämligen x = b − a. ⊲ Alla ekvationer av typen ax = b där a , 0 och b är heltal kan lösas med hjälp av rationella tal, nämligen x = b/a. ⊲ Alla ekvationer av typen ax2 + bx + c = 0 där a, b och c är reella tal kan lösas med hjälp av komplexa tal (om inte a = b = 0, c , 0), nämligen √ −b ± b2 − 4ac x= . 2a Den sista punkten på listan återkommer vi till i kapitel 2 och 6.

Övningar till avsnitt 1.1 Bokens uppgifter syftar till att pröva och stärka läsarens förståelse för det material som presenterats i respektive avsnitt. Du skall inte förvänta dig att du kan lösa alla dessa uppgifter utan ansträngning utan att ha läst texten noggrant och reflekterat över definitioner, satser, bevis och exempel. Om du fastnar på en uppgift, bör den första åtgärden vara att


2012-01-31 – sida 13 – # 13

1.2 Mängdlära

13

gå tillbaka till texten för att stärka din förståelse för de begrepp som ingår i uppgiften. 1. Är summan av två rationella tal rationell? Om man kan skriva talet a som ett bråk, a = k/ℓ och talet b som b = m/n där k, ℓ, m och n är heltal, kan man då skriva a + b som ett bråk? 2. Är produkten av två rationella tal rationell? 3. Visa att följande tal är rationella, genom att skriva dem som ett bråk där både täljare och nämnare är heltal. √ √ √ a) 5 b) 4 c) 0,1 d) 0,6 e) (1 + 2) · (1 − 2) 7 f) 0,111111111111. . .

4. 5. 6. 7. 8. 9.

g) −0,31 h) 0,123123123123 . . . √ √ Argumentera för varför talet 2 · 2 är irrationellt, givet att 2 är irrationellt. Låt r vara ett rationellt tal och p vara ett irrationellt tal. Är talet r · p rationellt eller irrationellt? Ge exempel på två irrationella tal p√och q sådana att p·q är rationellt. √ Argumentera för varför talet 2 + 2 är irrationellt, givet att 2 är irrationellt. Låt r vara ett rationellt tal och p vara ett irrationellt tal. Argumentera för varför talet r + p är irrationellt. Är talet c = log2 (3) rationellt?

1.2 Mängdlära Två grundläggande aspekter av all matematik är generalisering och förenkling. Detta yttrar sig bland annat i att man så långt som möjligt försöker uttrycka olika saker med grund i samma begrepp. Ett mycket viktigt sådant grundbegrepp är mängdbegreppet. Alla matematiska objekt kan beskrivas helt och hållet i termer av mängder. I detta avsnitt inför vi därför begreppet mängd och tillhörande grundläggande terminologi och operationer. Vi beskriver sedan ett sätt att visualisera mängder och deras inbördes förhållanden, nämligen så kallade Venn-diagram. Vi avslutar med att formulera de Morgans lagar, som är ett klassiskt resultat om hur vissa av mängdoperationerna hänger ihop. Begreppet mängd är ett grundläggande begrepp, och kan därför inte i strikt mening definieras. Vi använder begreppet för att beteckna en samling objekt, eller element, där objektens inbördes ordning inte har någon betydelse.


2012-01-31 – sida 14 – # 14

14

Kapitel 1 Grunder

Exempel på mängder är mängden träd i en viss skog, mängden distinkta lösningar till en ekvation och mängden heltal. En mängd A som innehåller objekten 1, 2 och 3 skrivs på formen A = {1, 2, 3}. Detta skrivsätt utläses ”A är lika med mängden av talen 1, 2 och 3”. Eftersom den inbördes ordningen inte spelar någon roll gäller exempelvis att {1, 2, 3} = {2, 1, 3}. Parenteserna { och } kallas i detta sammanhang mängdklamrar. Den grundläggande relationen i mängdlära är tillhörighetsrelationen, som säger om ett objekt förekommer i en mängd. Relationen skrivs med symbolen ∈, så exempelvis gäller att 1 ∈ {1, 2, 3}, vilket utläses ”1 tillhör mängden . . . ”. Vanligen låter man varje objekt förekomma högst en gång i en mängd; ytterligare förekomster är överflödiga. Vi skulle exempelvis säga att {1, 2, 3} = {1, 1, 2, 3}. Dessa två mängder är lika, eftersom de innehåller samma objekt, nämligen 1, 2 och 3. Om ett objekt inte ingår i en viss mängd använder vi symbolen √ < för att ange detta. √Exempelvis gäller alltså enligt Sats 1.1.3 att 2 < Q, vilket utläses ” 2 tillhör inte mängden Q”. En speciell mängd är den så kallade tomma mängden, som kännetecknas av att den inte innehåller några objekt alls. Den betecknas med symbolen ∅, och man kan skriva ∅ = {}. För varje objekt a gäller alltså att a < ∅. Exempel 1.2.1

De typer av tal vi talade om i avsnitt 1.1 kan med mängdbeteckningar skrivas som följer. N = {1, 2, 3, ...}

Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}

Q = { ab sådana att a ∈ Z, b ∈ N} R = {Alla reella tal}

I ovanstående exempel ser vi att det ibland kan gå bra att genom en uppräkning antyda vilka element en mängd innehåller. När vi ser att N = {1, 2, 3, ...} inser vi utan större problem hur resten av uppräkningen av elementen skulle se ut. I försöket att specificera vilka element mängden Q innehåller skulle det vara svårt att skriva ned början på en lista, där man lätt kunde förstå hur listan skulle fortsätta. Då kan man som i exemplet ovan använda sig av någon entydig beskrivning av vad objekten i mängden har för egenskaper.


2012-01-31 – sida 15 – # 15

1.2 Mängdlära

15

Ett vanligt skrivsätt är {x : A(x)}, där A(x) är en beskrivning av vilka egenskaper x ska uppfylla för att vara ett element i mängden. Skrivsättet utläses ”mängden av alla de x som uppfyller A(x)”. Ibland vill man bara tala om sådana x som är hämtade ur en viss grundmängd, exempelvis de reella talen. Då skriver man vanligtvis detta som {x ∈ R : A(x)}, och utläser det som ”mängden av alla reella tal x som uppfyller A(x)”. Exempel 1.2.2

Mängden {x ∈ R : x > 4} är mängden av alla reella tal som är strikt större än 4.

Definition 1.2.3

Två mängder A och B är identiska, A = B, om varje element som tillhör A även tillhör B, och vice versa.

Definition 1.2.4

Vi säger att en mängd B är en delmängd till mängden A om varje element x som tillhör B även tillhör A. Vi skriver då B ⊆ A. Om B ⊆ A och B , A säger vi att B är en äkta delmängd till A, och skriver B ⊂ A. Om både A ⊆ B och B ⊆ A, så följer att A = B. Detta tas ibland som definitionen av att A = B. Observera att symbolen ⊂ ibland används även då man inte talar om äkta delmängder. Detta är vanligast i sammanhang där skillnaden mellan delmängd och äkta delmängd bara sällan spelar roll. För att ytterligare poängtera att B är en äkta delmängd av A skriver man ibland B ( A. Exempelvis gäller att {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}, och att varje mängd är en delmängd av sig själv, men {1, 2, 3} 1 {1, 2, 3}, eftersom de två mängderna är lika. Sats 1.1.3 bevisar alltså att R * Q, och i själva verket gäller att Q ⊂ R. För talsystemen från avsnitt 1.1 gäller att N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. För den tomma mängden ∅ gäller per definition att ∅ ⊆ A, oavsett vilken mängd A betecknar.


2012-01-31 – sida 16 – # 16

16

Kapitel 1 Grunder

Definition 1.2.5

Låt A och B vara två godtyckliga mängder. Unionen av A och B är en ny mängd C som innehåller alla element som tillhör A, B eller båda dessa mängder. Vi skriver C = A ∪ B = {x : x ∈ A eller x ∈ B}. Snittet av A och B är en ny mängd D som innehåller alla element som tillhör både A och B. Vi skriver D = A ∩ B = {x : x ∈ A och x ∈ B}. Differensen mellan A och B är en ny mängd E som innehåller alla element som tillhör A men inte tillhör B. Vi skriver E = A \ B = {x : x ∈ A och x < B}. Definition 1.2.5 kan tolkas som att den definierar tre räkneoperationer mellan mängder, på liknande sätt som +, − och · definierar räkneoperationer för talen. Exempel 1.2.6

Låt A = {1,2,3} och B = {2,4,5}. Då är unionen A ∪ B = {1,2,3,4,5}, snittet A ∩ B = {2} och de två möjliga differenserna A \ B = {1,3} och B \ A = {4,5}. I vissa sammanhang kan en grundmängd, eller ett univers vara explicit angivet, eller implicit underförstått. För att beteckna universet använder man vanligen bokstaven U , men även andra beteckningar kan förekomma. Universet anger vilken samling av element som avses i det aktuella resonemanget. Om exempelvis U = N, så talar vi bara om naturliga tal. När det finns ett univers är följande definition meningsfull. Definition 1.2.7

Låt A vara en delmängd av ett univers U . Komplementet till A relativt U är en ny mängd F som består av alla de element i U som inte tillhör A. Vi skriver F = Ac = {x : x < A}.


2012-01-31 – sida 2 – # 2

2

ISBN 978-91-47-10536-6 © 2011 Robert Johansson, Lars-Daniel Öhman och Liber AB Redaktör: Kim Bergström Förläggare: Peter Rajan Illustrationer: Författarna Omslag: Nette Lövgren Omslagsbild: Anton Belovodchenko/Shutterstock Produktion: Jürgen Borchert Första upplagan 1 Repro: OKS Prepress Services, Indien Tryck: Kina 2012

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningssamordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuspresskopia.se. Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se Kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08–690 93 01 E-post kundservice.liber@liber.se


ROBERT JOHANSSON LARS-DANIEL ÖHMAN

LARS-DANIEL ÖHMAN är lektor i matematik vid Umeå universitet. Utöver sin egen forskning och undervisning är han engagerad i didaktiska och populärvetenskapliga frågor, kursutveckling samt utveckling av kursmaterial.

Introduktion till högre studier i matematik

ROBERT JOHANSSON är lektor i matematik och prefekt för institutionen för matematik och matematisk statistik vid Umeå universitet. Han har ett brett intresse för matematik och gränslandet mellan matematik och datavetenskap. Han har tidigare som studierektor varit involverad i utvecklings- och kvalitetsarbete inom grundutbildningen.

JOHANSSON ÖHMAN

Denna lärobok är i första hand en introduktion till matematikstudier på universitetsnivå. Bevis ingår som en central del och boken lägger stor vikt vid att förmedla och lära ut innebörden av matematiska begrepp. Boken innehåller därför utförliga förklaringar och exempel, och presenterar ofta metoder och formler från flera olika synvinklar. Boken repeterar även valda delar av gymnasiets matematikkurser, men behandlar matematiken på ett mer stringent sätt. En vanlig missuppfattning är att matematik bara handlar om tal och beräkningar. I denna bok tar författarna fasta på att resonemang och argumentation är en minst lika viktig del av matematiken. Boken riktar sig i första hand till nybörjarstudenter på civilingenjörsutbildningar och kandidat- eller magisterprogram i matematik, matematisk statistik och närliggande ämnen.

Introduktion till högre studier i

MATEMATIK Best.nr 47-10536-6 Tryck.nr 47-10536-6

4710536 omslag.indd 1-3

08/02/12 7:56 PM

9789147105366