Kopieringsunderlag + CD
Kluringar 2
Paul Vaderlind
Kluringar 2 I din hand håller du ett läromedel från Gleerups. Gleerups författare är lärare med erfarenhet från klassrummet. Lärare och elever hjälper till att utveckla våra läromedel genom värdefulla synpunkter på både innehåll och form. Vi förankrar våra läromedel i skolan där de hör hemma. Gleerups läromedel är alltid utvecklade i samarbete med dig! Har du som användare frågor eller åsikter, kontakta oss gärna på telefon 040-20 98 00 eller via www.gleerups.se
Gleerups Utbildning AB Box 367, 201 23 Malmö Kundservice tel. 040-20 98 10 Kundservice fax. 040-12 71 05 e-post info@gleerups.se www.gleerups.se
Kluringar 2 © 2010 Paul Vaderlind och Gleerups Utbildning AB Gleerups grundat 1826 Redaktör Marcus Ander, Per-Olof Bergmark Formgivning Daniel Karlsson Omslag Daniel Karlsson
Första upplagan, första tryckningen ISBN 978-91-40-67047-2
Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering och spridning av materialet är tillåten endast inom skolenheten. På kopierade sidor ska © och upphovsrättinnehavarnas namn anges. Ingen del av materialet får spridas i elektronisk (digital) form. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Prepress Holmbergs i Malmö AB, 2010. Kvalitet ISO 9001/Miljö ISO 14001 Tryck Holmbergs i Malmö AB, 2010. Kvalitet ISO 9001/Miljö ISO 14001
Förord Här kommer en samling av 125 kluringar, dvs. matematiska problem, gåtor och tankenötter. Även om kluringarna inte är jättesvåra så har de i regel inga omedelbara svar utan kräver lite tankearbete. Du behöver dock inte ha större kunskaper i matematik än det som du lärt dig i grundskolans årskurs åtta. En sak bör du dock utrusta dig med: tålamod. Har du tålamod, papper, penna och lite entusiasm så får du här ett tidsfördriv som räcker länge. Lite klurigare uppgifter markeras med efter kluringens nummer.
*
I första delen presenteras samtliga kluringar. Till en del av kluringarna finns det ledtrådar som är samlade i den andra delen. De kluringar som det finns ledtrådar till är markerade med L efter uppgiftens nummer. Utförliga lösningar och svar finns i den tredje delen. Det finns även separata arbetsblad på den medföljande CD-skivan. Här kan du skriva ut varje kluring för sig med tillhörande ledtrådar och svar. Jag vill dock gärna uppmana dig att inte alltför snabbt konsultera ledtrådarna eller mina förslag till lösningar. Klarar du inte av någon fråga så lägg uppgiften åt sidan och återkom till den senare, om några timmar eller nästa dag. Kanske kommer du då att uppfatta kluringen annorlunda, kanske har den ”mognat” inom dig medan du sysslade med något annat och då kan det hända att du klarar av att lösa det alldeles på egen hand. I flertalet av uppgifterna kan man finna svaret på många olika sätt. Även om du har löst uppgiften så titta sedan gärna på mitt lösningsförslag. Ofta kan man lära sig där visa knep och trick som snabbare leder till svaret. Så, fram med papper och penna! Och jag önskar dig mycket nöje!
Paul
Innehåll
Förord
3
Kluringar
5
Blandade kluringar
5
Tesselering
25
Udda och jämna tal
26
Delbarhet
28
Lögnare och sanningssägare
29
Balansvågen
30
Ledtrådar
31
Lösningar och svar
35
Kluringar Blandade kluringar 1
Rita av (och klipp ut) femton kopior av rektangeln i figuren intill. Använd dessa brickor för att lägga upp en 5×6-rektangel. Det är lätt att göra det men det blir svårare om man kräver att rektangeln som man får inte ska gå att dela upp i två mindre rektanglar, som i figuren.
2
Rita av (och klipp ut) åtta kopior av brickan i den första figuren nedan och använd dessa för att lägga upp en 4×6-rektangel. Gör det så att två brickor inte bildar någon rektangel som i den andra figuren intill.
3
L
Jag har sågat itu ett vanligt schackbräde (8×8-rutor) i fyra bitar som är lika stora och identiska till formen. Dessa fyra bitar har jag satt ihop som i figuren nedan. Kan du komma på var delningslinjerna finns, alltså hur de fyra bitarna ser ut?
4
I en kub som består av 27 små kuber med kantlängden 1 cm har man avlägsnat alla hörnkuber. Vilken figur har den största ytarean, den ursprungliga kuben eller den nya figuren?
Kluringar 2 KLURINGAR
5
5
Vi har en figur som består av tre små kvadrater, se till höger. Försök konstruera var och en av de nedanstående månghörningarna med tre sådana figurer. Är alla dessa månghörningar möjliga att konstruera?
6
Klipp ut sju kopior av bricka A och två kopior av bricka B. Använd dessa brickor för att fylla i hela figuren nedan. Brickorna kan roteras men får inte vändas.
A
6
B
Kluringar 2 KLURINGAR
Ledtrådar L3
L 18
På ett schackbräde ligger aldrig två svarta eller två vita rutor intill varandra. På så sätt kan vi genast finna en del av snitten. Det gäller att finna de övriga snitten och därefter åter bygga upp schackbrädet med dessa fyra bitar. Glöm inte att de fyra bitarna är lika stora och identiska till formen.
Beteckna sidan i kvadraten A i figuren intill med x. Då är sidan i kvadraten B lika med x + 1, den i kvadraten C är då lika med (x + 1) + 1 = x + 2 och sidan i kvadraten D är lika med (x + 2) + 1 = x + 3. Vad kan vi säga om sidan i kvadraten E? B
C
L7
1
Vad kan Sanna göra om Sören klippte triangeln längs en linje som går genom ett hörn och mitten av motsatta sidan?
D
A
E
L 14 Med beteckningarna i rektangeln intill vet vi att a · c = 18,6 cm2 b · c = 8,4 cm2 b · d = 12,6 cm2 Vi söker produkten a · d.
12,6
d
18,6
8,6
c
a
b
L 21 Vik rektangeln längs de streckade linjerna i figuren nedan. Kan figuren som man får vikas till en kub?
L 15 Börja med att markera sidorna i de två mindre rektanglarna med bokstäverna a, b, c, d, e, f, g och h, som i den första figuren nedan. Då är förstås a + b + + c + d + e + f + g + h = 10 + 12 = 22. Flytta därefter på sträckorna a, c, f och e till den stora rektangelns kant, som i den andra figuren nedan. Vad kan vi säga om sträckorna som bildar omkretsen till den skuggade rektangeln?
L 32
a b
10 c
d
Tänk på triangelolikheten som nämndes i förra ledtråden.
e f
12
h
L 34
g a
b
e
d
10
f
L 31 För att tre sträckor ska kunna bilda sidor i en triangel så måste den så kallade triangelolikheten vara uppfylld: Längden av varje sträcka måste alltid vara kortare än summan av längderna av de övriga två sträckorna. Kan man rita 10 linjesegment så att denna olikhet inte blir uppfylld hur man än väljer tre av dessa tio sträckor?
12 c
g
h
a) Först skär verktyget bort två kvadrater av storleken 13×13 cm2 och kvar blir en 13×9-rektangel. Nästa gång skärs en 9×9-kvadrat bort och kvar blir en 4×9-rektangel. Fortsätt på samma sätt ytterligare fyra gånger. b) Denna uppgift bör lösas ”från slutet till början”. Rita gärna en figur. För att få plats för figuren, rita den i skala 1:10, dvs. låt de minsta kvadraterna ha sidan 2 mm på papperet.
L 37 Visa att den våning som man kan komma till från våning 3 alltid är ett tal som är delbart med 3.
Kluringar 2 LEDTRÅDAR
31
Lösningar & svar S 1 Ett förslag till lösningen finns i figuren intill.
S5 Den femte, näst sista månghörningen är inte möjlig att konstruera. De övriga lösningarna finns i figuren nedan.
S 2 En av flera lösningar finns i figuren intill.
S 6 S3
En lösning finns i figuren intill.
Efter att ha följt anvisningarna i Ledtråden är det inte svårt att finna snitten och därefter återskapa hela schackbrädet (se figuren).
S 7
S 4 Tar vi bort en av hörnkuberna (se figuren) så ”förlorar” vi tre sidor av denna kub som ingår i den stora kubens yta. Samtidigt tillkommer tre nya lika stora sidor i det hålet som då uppstår. Slutsatsen är därmed att den nya figuren har samma yta som den ursprungliga kuben.
Kluringar 2 LÖSNINGAR & SVAR
C
Nej, det är inte nödvändigt att det måste vara samma triangel. Beteckna hörnen i Sannas triangel med A, B och C. Om Sören A väljer punkten D precis i mitten på sidan C AB (se första figuren intill där AD = DB) och delar triangeln längs sträckan CD så kan Sanna sätta ihop delarna till en anA=B norlunda triangel, där delarna sammanfogas längs sidorna AD = DB (se andra figuren intill).
D
B
D
C
35
Kluringar 2 Kluringar 2 är en samling av 125 matematiska problem, gåtor och tankenötter skrivna av Paul Vaderlind. I första delen presenteras samtliga problem. Till en del av problemen finns det ledtrådar som är samlade i andra delen. De problem som det finns ledtrådar till är markerade med L efter problemets nummer. Utförliga lösningar och svar finns i den tredje delen. Det finns även separata arbetsblad på den medföljande CD-skivan. Här kan du skriva ut varje problem för sig med tillhörande ledtrådar och svar. I serien Kluringar ingår följande kopieringsunderlag: • • • •
Kluringar 1 Kluringar 2 Kluringar 3 Kluringar 4
Kluringar 1 är lättast och i de följande häftena stiger svårighetsgraden successivt. Ett urval av kluringarna är också utgivna i bokformat, så att man lätt kan ta dem med sig till soffan eller hängmattan. Dessa böcker är: • Kluringar 1:a boken • Kluringar 2:a boken Paul Vaderlind är lektor i matematik vid Stockholms Universitet. Han har skrivit en mängd böcker för både barn och vuxna, och är expert på Sudoku och andra sifferpussel. Förutom arbetet på universitetet har han engagerat sig i matematiktävlingar för ungdomar.
ISBN 978-91-40-67047-2
9
7 8 9 1 4 0
6 7 0 4 7 2