9789147015573 by Smakprov Media AB

– om barns tidiga matematiska tänkande

undervisar vid Enheten för barnpedagogik i Jakobstad, Finland.

En, två, många

Camilla Björklund är barnträdgårdslärare i botten och pedagogie doktor.Hon forskar om de yngsta barnens matematiklärande och

Camilla Björklund

n, två, många – om barns tidiga matematiska tänkande handlar om det lilla barnets matematiska utveckling och lärarens roll i barnets lärande. I boken sammanfattar författaren Camilla Björklund den forskning och teoribildning som i dag finns om små barns matematiska tankeutveckling och matematiklärande och ger exempel på hur lärare kan arbeta med matematik i förskolan. Även riktigt små barn har förmågor och färdigheter som är grundläggande för att räknefärdigheten ska utvecklas.I takt med att barnet får fler erfarenheter, och möter en mångfald fenomen och företeelser i omvärlden, utvecklas tänkandet mot en allt mer komplex förståelse av samband som kan beskrivas med matematiska begrepp och symboler. Läraren har en viktig roll i denna utveckling och kan skapa möjligheter men även begränsningar för barns lärande i förskolan. Boken är tänkt att inspirera blivande och yrkesverksamma lärare som vill fördjupa sin förståelse av små barns matematiklärande och hur det matematiska tänkandet växer fram.

Camilla

jörklund

En,två, många – om barns tidiga matematiska tänkande

Best.nr 47-01557-3 Tryck.nr 47-01557-3

OS orig Björklund.indd 1

09-10-19 13.16.46

ISBN 978-91-47-01557-3

Första upplagan 1 Repro: Repro 8 AB, Stockholm Tryck: Sahara Printing, Egypten 2009

Kopieringsförbud

Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

Innehåll

Förord 8 Matematiken i vardagen 10

Matematik i knapplådan 14 Matematikens väsen och kunskapandets natur 17

Att upptäcka en objektiv kunskap 18 Att erfara empirisk kunskap 20 Att processa kunskap 22 Att skapa subjektiv kunskap 24 Att ta del av social kunskap 26 Sammanfattning 28 Små barns lärandestrategier 30

Strategiska småbarn 33 Lärande samspel 36 En gemensam idé och unika särdrag 38 Att beakta ﬂera aspekter och perspektiv 40 Att tänka vidare 41 Med strävan mot kvalitet i lärandet 43 Räknefärdighetens utveckling i ett nötskal 46

Fem grundläggande principer 46 Kontextberoende färdigheter 47 Räknandets idé 49

Grunderna för det matematiska tänkandet 56

Att urskilja likheter och olikheter 57 Varaktighet 60 Att uppskatta mängder och antal 62 Fokus för uppmärksamheten 66 Att upptäcka samband 68 Intuitiva matematiska uttryck 70 Konstansbegreppet 72 Reversibelt tänkande 76 Perspektivtagande 77 Med stöd av en referenspunkt 79 Att abstrahera och kategorisera 84 Generaliserade gemensamma drag 85 Underordnade kategorier 87 Abstrakt innebörd 89 Små barns begynnande räknefärdigheter 93

Relationen mellan delar och helhet 94 Samtidig fokusering 94 Avgränsade delar 99 En samling delar 101 Ett-till-ett-korrespondens 103 Seriering 110 Ordnade följder 111 Ordinalitet 113 Begynnande talförståelse 114 Tidiga aritmetiska färdigheter 121 Talbegrepp som sammansatta delar 126 Motsvarighet inom talmängden 128 Mönster av sammansatta delar 132 Dela lika eller olika 134 Matematiken och språket

Generaliserade innebörder 137 Numerär begreppsbildning 139

137

Räknesystemet 140 Språk och talförståelse 143 Kulturellt inﬂytande på matematiklärandet 145 Matematik i meningsfull kontext 146 Kommunicerbar matematik 148 Med pedagogiskt fokus på det numerära 149

Spontan fokusering på antal 150 Att utveckla små barns uppfattning av antal 157 Lärstudier 160 Referenser 164 Register 173

Förord syftet med boken är att sammanställa den forskning som finns om småbarns lärande av matematik. Framför allt lyfter jag fram och problematiserar förståelse och användning av räkneprinciper och talbegrepp. Huvudsyftet är att klargöra vad som gör att räknefärdigheten utvecklas hos barn. Det innebär att en stor del handlar om spädbarnsforskning och människans tidiga färdigheter och förmågor. Forskningen om barns kognitiva förmågor är relativt bred men antar ofta karaktären av ”att kunna eller inte kunna”, vilket mäts och beskrivs i kvantitativa termer. Under de senaste decennierna har den kvalitativa forskningen fått allt starkare fotfäste och det fördjupar kunskapen och de praktiska tillämpningarna av forskningsresultaten. I den här boken beskrivs och diskuteras därför forskning om barns matematiklärande, framför allt i 1–4-årsåldern, med autentiska exempel ur vardagen. De flesta är tagna ur min tidigare forskning, Björklund (2007) och Öhberg (2000, 2004). I boken gör jag en genomgång av den forskning och teoribildning som i dag finns om småbarns matematiska tankeutveckling och matematiklärande. Vissa förmågor och färdigheter kan upptäckas redan hos de riktigt små barnen som visar sig vara grundläggande för att räknefärdigheten ska utvecklas. I takt med att barnet får fler erfarenheter, och möter en mångfald fenomen och företeelser i omvärlden, utvecklas tänkandet mot en allt mer komplex förståelse av samband som kan beskrivas med matematiska begrepp och symboler. Därför poängteras lärarens roll i barnets erfarande och lärande, eftersom läraren till stor del skapar möjligheter och begränsningar för barns lärande i förskolan. 8

Att lyfta fram all forskning som ﬁnns på området skulle vara både övermäktigt och opraktiskt. Därför har jag som författare egenmäktigt valt att hänvisa till sådan forskning som bidragit till att förståelsen för matematiklärande i de tidiga barnaåren ökat och fördjupats. Naturligtvis hamnar en del forskning på så sätt i skymundan, trots att dess betydelse kunde ha lyfts fram. Urvalet är tänkt att i första hand synliggöra det kompetenta matematiska barnet som strävar efter att förstå och göra sig förstått när det gäller matematiska samband, begrepp och principer. I början av boken tar jag upp matematik som ämne, kunskap och redskap. Beroende på hur en lärare betraktar och förstår matematik agerar hon eller han på olika sätt gentemot barn i olika åldrar. På samma sätt har synen på lärande betydelse för hur läraren närmar sig barnet, och hur hon eller han uppmärksammar lärandemöjligheterna i vardagen. Därför går jag in på olika sätt att se och förstå matematik och lärande, samt konsekvenserna för det lärande barnet. På slutet beskriver jag hur den matematiska begreppsbildningen gestaltar sig och hur det verbala språket hänger ihop med den matematiska tankeutvecklingen. Dessutom beskrivs olika forskningsprojekt och verksamheter som har visat sig vara framgångsrika för utvecklandet av små barns matematiska tänkande. Boken vänder sig främst till blivande och yrkesverksamma lärare som önskar fördjupa sin förståelse av matematiklärande och hur det matematiska tänkandet växer fram hos de yngsta förskolebarnen. De exempel som beskrivs är tagna ur vardagen i förskolan och noga utvalda för att läsaren ska känna igen sig själv, barnen och situationerna, och även upptäcka möjligheterna till lärande i vardagen. Jag vill rikta ett tack till de lärarstuderande som jag möter i utbildningen och likaså till mina två underbara barn. Med era många frågor och funderingar som inte alltid har enkla svar ger ni mig nya perspektiv på olika fenomen och motivation att fortsätta fråga och förundras. Tack – sluta aldrig fråga! jakobstad, september  Camilla Björklund

kapitel 

Matematiken i vardagen

ad är det första du tänker på när du hör ”matematik”? De flesta brukar svara ”siff ror”, ”räknesätt”, ”former”, ofta också ”formler” och ”ekvationer”. De tänker på en abstrakt och formaliserad matematik som kan kännas långt från vardagens problemlösning och matematiska färdigheter. Faktum är att vi tänker matematiskt i nästan alla sammanhang, men kanske mer sällan reflekterar över att det faktiskt är matematik vi använder oss av. Matematik är ett redskap som vuxit fram under tusentals år i och med att människan haft behov av att strukturera, dokumentera och kommunicera information om sin omvärld. Små mängder på ett par, tre objekt är lätta att komma ihåg, men så snart en mängd handlar om fler är det bra att ha ett system för att komma ihåg och hålla ordning på att inget objekt försvinner eller tillkommer. På så sätt har räkneord och räknesystem utvecklats nära kopplat till samhälle och kultur. Människan uppfattar lätt mönster och utvecklar strategier för att underlätta vardagens problemlösning. Matematik handlar i hög grad om att urskilja förhållanden mellan föremål och företeelser när det gäller rum, tid och kvantiteter. I vardagen konkretiseras det matematiska tänkandet till exempel genom att man uppskattar hur lång tid det tar att koka frukostägget (tid), om det behövs en pall för att nå upp till översta hyllan (rum) eller beräknar hur många liter mjölk det går åt för fyrapersonersfamiljen under veckan (kvantitet). Människan 10

är tvungen att förhålla sig till sin omvärld varje dag och att göra rimliga bedömningar för att klara vardagen. Matematik är på så sätt ett nödvändigt redskap för att förstå och bemästra dagliga problem och utmaningar. Med utgångspunkt i att matematiskt tänkande i grunden handlar om att urskilja relationer mellan föremål och företeelser i omvärlden, är det även betydelsefulla kunskaper och färdigheter som barn behöver ta del av och utveckla förståelse för. Observerar man riktigt små barn upptäcker man också att de är ständigt upptagna av att undersöka rummet, tiden och mängder som omger dem. Grunderna läggs alltså tidigt, och de siﬀ ror och formler som vuxna ofta förknippar med matematik kräver en grundläggande förståelse för idéerna bakom det abstraherade tänkandet. Här har läraren en betydelsefull uppgift att stödja barn i utforskandet, och inte minst i möjligheterna, att upptäcka likheter och olikheter som framträder i rummet, tiden och bland mängder. Barn tar till sig begrepp och innebörder i alla sina möten med miljö och människor, men för att alla barn ska få en god grund för att utveckla sitt tänkande behöver de erfara matematik medvetet och fokuserat som en meningsfull del av sin vardag. Räknande är en komplex färdighet som bygger på en stor variation grundläggande färdigheter, som barn bör ha tillägnat sig innan de kan använda räkneord och symboler i konventionell mening. Vilka är dessa grundläggande färdigheter och hur sker detta lärande hos de yngsta barnen? Barns tänkande skiljer sig på ﬂera sätt från vuxnas. I många fall är det inte alldeles lätt att förstå idén bakom ett litet barns handlande eller verbala resonemang. Som lärare är det dock viktigt att kunna tolka och försöka förstå vad som ligger bakom de yngsta barnens handlingar och olika uttryck för att kunna stödja deras begynnande matematiska förståelse. Bokens titel, En, två, många, säger något om den mångfald möjliga tolkningar som ett barns utsagor rymmer. Barn uppfattar tidigt likheter och olikheter mellan exakta antal, men att sätta ord på skillnaden är en relativt sen färdighet. Räkneorden är de verbala uttryck man oftast förknippar med numeriska färdigheter, men det är en förståelse och färdighet som framträder sent i barnets tankeutveckling. Därför är det 11

en utmaning för barn att tolka vad som avses med begrepp som en, två, eller tre. Också andra begrepp med en matematisk innebörd, såsom många, långa eller ﬂera, inbegriper en fokusering på egenskaper som barn inte alltid spontant uppmärksammar. Trots utmaningen att skapa mening i begrepp som man möter dagligen, har barn uppenbarligen en tidig uppfattning av mängder och antal. Men för att barnets förståelse ska få utrymme att växa i den dagliga verksamheten i förskolan krävs en lyhörd vuxen och möjligheter att variera sina uttryck. Då öppnar sig också en väg för läraren att förstå barnets tänkande och framväxande förståelse. ”Hur tänker små barn?” är en genomgående fråga i boken. Vad är det som pågår i deras medvetande när de möter matematik och matematiska problem i det vardagliga livet? I förskolan dyker det upp oändligt många tillfällen för barn att uttrycka och utveckla sitt matematiska tänkande. Ett exempel på detta ses i följande episod: Teo (3:5) väntar på att det ska bli färre barn i tamburen så att han får gå och klä på sig. ”Inte alla på en gång”, säger han till Gun (lärare). Hon uppmanar Teo att se om där ännu är barn i tamburen. Teo går iväg. När han kommer tillbaka säger han: ”Där är en och en och en... (upprepar ’en’ tretton gånger) där.” ”Det var ganska många det”, säger Gun. ”Jo”, säger Teo. ”Eller var där bara en?” frågar Gun. ”Tim och Elisa och Adam och Hanna och så det var så där många”, säger Teo.

Teo uppfattar alldeles tydligt att han förväntas ge ett exakt svar på frågan hur många barn som ﬁnns i tamburen. Att han svarar som han gör kan tolkas på olika sätt och läraren han kommunicerar med är mycket uppmärksam och sensitiv för hans gestaltningar och verbala uttryck. Hon bemöter Teo så att han varierar sitt sätt att beskriva antalet. Detta ger honom utmärkta möjligheter att dels skapa mening i de begrepp han använder, dels att skilja ut det centrala i frågeställningen. I kommunikationen skapar barnet och läraren en gemensam förståelse som öppnar upp för möjligheterna till fortsatt lärande och fördjupad förståelse.

Lärare som arbetar med de yngre barnen i förskolan möter ofta liknande händelser, där samtalandet om matematik dels kan vara en länk till att förstå barns tänkande, dels ett sätt att utmana deras tänkande och uttrycksförmåga. Matematik är nämligen på många sätt social och kulturell kunskap, där innebörden i begrepp och räkneprinciper blir synlig först i användning tillsammans med andra. Förskolans uppgift är bland annat att handleda barn i att använda sådana kulturellt förmedlade begrepp och redskap, men även att utmana deras eget lärande och meningsskapande. Därför är det nödvändigt att läraren har kunskap om barns matematiska tänkande, hur tänkandet utvecklas och hur mötet med omvärlden påverkar lärandet. Många läroböcker i matematikdidaktik ger förslag på verksamhetsformer som gynnar barns matematiska utveckling. Men mer sällan motiveras didaktiken på ett utförligt sätt med hänvisning till dagens kunskap om tankeutveckling och småbarns lärande. Ändå har det visat sig att lärare som är insatta i ett ämnesområde också oftare upptäcker hur exempelvis matematik är en vardaglig företeelse. Lärare som är insatta i forskning om lärande, och uppdaterade när det gäller ny forskning, ser dessutom möjligheterna att ta tillvara situationer som uppkommer under dagen och förmår göra dem till lärandetillfällen. Jag är övertygad om att dessa kunskaper och färdigheter går hand i hand. En kompetent lärare har kunskaper i såväl lärande som matematisk tankeutveckling, och kan effektivt stödja barn i deras strävan att ta till sig, använda och utveckla matematiska färdigheter. Den här boken har tillkommit för att ge den nyfikna och kompetenta läraren en påminnelse och uppdatering om vad som lägger grunden för räknefärdigheterna och det logisk matematiska tänkandet hos barn i åldrarna 1–4 år. De flesta förknippar alltså matematik och matematiskt tänkande med numeriska fakta, räkneprinciper och siff ror. Visserligen är talbegrepp och deras representationer, i form av skrivna, talade eller på annat sätt gestaltade symboler, en betydelsefull del av de matematiska färdigheterna. Men grunden till detta läggs redan tidigt hos det lilla barnet i erfarenheter som kan tyckas långt från att förstå och representera uttryck som 3+2=5. Grundläggande färdigheter i matematik 13

kan observeras och tolkas i aktiviteter där barn utforskar mönster, tänker logiskt, gör serier och generaliserar på olika sätt (Metz, 1996). Det innebär att barn, innan de blir undervisade i matematik, har en begynnande förståelse för de principer som senare lärs och utvecklas i undervisningssammanhang. Matematiklärande och undervisning för de yngsta barnen i förskolan handlar då om att utveckla och förﬁna barns kunskaper och känsla för mönster och ordning, liksom att nyansera logiskt tänkande och förståelse för jämförelser, ihopparande och kategorisering av fenomen i omvärlden.

Matematik i knapplådan Med kunskap om hur matematiklärandet kan gestalta sig, och vad matematisk kunskap egentligen handlar om, öppnar sig en värld av möjligheter att utmana det lilla barnets tänkande. Att lära sig räkna omfattar så mycket mer än att ramsräkna från ett till tio. De yngsta barnen i förskolan skapar ofta sina egna lärandetillfällen, som en uppmärksam lärare kan ta tillvara. Om man ser möjligheterna, och har kunskap om vad det egentligen innebär att kunna räkna, kan också 2-åringar ges tillfällen att få grundläggande färdigheter som så småningom kan utvecklas till räknekonst. En låda med knappar kan öppna för oanade möjligheter till lärande i matematik, förutsatt att läraren uppfattar komplexiteten i matematiken och vad barnet fokuserar på. Låt oss anta att knapplådans innehåll har samlats under en längre tid, vilket gör att det ﬁnns knappar i olika storlekar, färger, material och former. Dessutom ﬁnns det knappar med två eller fyra hål, liksom knappar med en ring på undersidan. Det vanligaste sättet att arbeta med matematik i förskolan är att uppmana barn att räkna föremål. Läraren kan mycket väl ha ett pedagogiskt mål och en avsikt med att uppmana barnet att räkna knappar, och att räkna objekt är alldeles utmärkt träning i ramsräknande och att para ihop räkneord med objekt. Men frågan är om det lilla barnet verkligen kan ta till sig den utmaningen? I alla möten med nya material bör barn få möjlighet att själva bekanta sig med materialet, även det som ska användas i ett pedagogiskt syfte. Barnet måste först få 14

undersöka och lära känna materialet för att kunna öppna sina sinnen, urskilja och uppfatta olika aspekter av det. En del barn fokuserar på färgen, andra på formen, någon är intresserad av stora knappar och andra av blanka metallknappar. Det är i denna fokusering som möjligheterna till grundläggande räknefärdigheter öppnar sig! Låt oss anta att en flicka är uppenbart intresserad av knapparnas färger. Ur hennes perspektiv är en uppmaning att räkna hur många knappar det finns vare sig naturlig eller meningsfull. Att rabbla upp räkneramsan är kanske ingen meningsfull aktivitet för ett barn som just håller på att upptäcka hur enskilda objekt (knappar) kan bilda grupper av olika slag. För att räknandet ska bli meningsfullt (och meningsfyllt) måste man först vara på det klara med vilken grupp det är som ska räknas. Det som är självklart för läraren behöver inte alls vara lika tydligt för barnet. Att räkna innebär att avgränsa en grupp och bestämma exakt antal delar inom den gruppen. Barnet behöver därför först kunna forma grupper av knappar, till exempel röda, blå och gröna. Först därefter kan räknandet få mening som ett redskap för att jämföra gruppernas antal. Lärare som uppmärksammar flickans fokusering, i det här fallet färgerna, och som har kunskap om räknefärdighetens utveckling, ser med stor sannolikhet andra möjligheter att utmana hennes matematiska tänkande. Kategorisering och seriering hör till de färdigheter som lägger grunden för räknandet. Med stöd i fokuseringen på färger kan barnet få goda erfarenheter av hur man kan gruppera och kategorisera egenskaper, såsom färgen hos föremål. Att gruppera eller kategorisera är betydelsefulla färdigheter som ytterligare kan problematiseras i utforskandet av knappar. Inom en grupp knappar, till exempel gröna, kan också underkategorier bildas såsom ljusgröna och mörkgröna. Kanske finner barnet tillsammans med läraren mer beskrivande namn på färgkategorierna, till exempel grönt som gräset eller grönt som ett äpple, för att ytterligare nyansera olikheterna i färg. Med fler nyanser kan alltså kategorier och underkategorier bildas, vilket är en förutsättning för att barnet ska uppfatta att delar kan ingå i en helhet och också i större helheter. Idén är densamma 15

som att inse hur tre enskilda delar bildar en grupp eller helhet som i sin tur är en del av till exempel fem eller tio. Räknefärdigheten är också till stor del beroende av förmågan att seriera och att uppfatta ordningsföljder. Det betyder att knapparna konkret kan ordnas från den ljusaste till den mörkaste gröna, men också från den minsta till den största. Varje knapp kan alltså sorteras i en följd där placeringen är beroende av de andra knapparnas motsvarande egenskaper. Med fokus på kategorisering och seriering kan barn alltså redan i 2-årsåldern få goda möjligheter att erfara grunderna i räknekonsten, men ofta krävs en vuxen som uppmärksammar vad barnet fokuserar på och förmår vidga hennes eller hans tänkande till att beakta fler aspekter. Detta förutsätter dock att läraren inser att räknande bygger på mer och fler färdigheter än att rabbla räkneramsan. Det matematiska tänkandet är omfattande och komplext till sin karaktär. Forskningen visar att matematiskt tänkande tar sin början redan från födelsen i och med förmågan att uppfatta likheter och olikheter. I mötet med omvärlden uppmärksammas barn på allt fler och mer nyanserade likheter och olikheter som kan beskrivas som relationer mellan fenomen och företeelser. När barn samspelar med andra människor tillägnar de sig begrepp och uttryckssätt som de skapar mening och innebörd i. Samspelet med andra människor är oerhört viktigt för det matematiska tänkandet, eftersom matematik på många sätt är ett kommunikativt redskap som hjälper människor att beskriva sin omvärld och förstå begrepp och symboler som används. Matematik är på så sätt en mycket viktig färdighet att behärska för att kunna kommunicera och samspela med andra människor på ett kompetent sätt. Det kompetenta barnet behöver dock en kompetent lärare som kan möta henne eller honom och skapa möjligheter till lärande.

kapitel 

Matematikens väsen och kunskapandets natur

bland ses matematik som ett ämne, ibland som ett kunskapsobjekt eller som ett redskap för problemlösning. Synen på matematik får direkta återkopplingar på undervisning och lärande, eftersom lärarens kunskapssyn påverkar hans eller hennes förhållningssätt, både till det som ska läras och till den lärande personen. Därför är det både intressant och nödvändigt att synliggöra olika sätt att se, tolka och förstå matematik, och hur kunskapssynen utvecklats från ett platonskt ”absolut” lärandeobjekt mot en wittgensteinsk individuell och social förståelse av matematik. Matematik kan deﬁnieras på olika sätt, men i stort sett handlar matematik om att beskriva mätbara relationer i omvärlden. Siﬀ ror och talbegrepp är exakta beskrivningar, men också begrepp som lång, kort, stor eller liten är matematiska till sin karaktär. Barn har på så sätt en omfattande uppgift i att skapa mening och förståelse för matematiska begrepp och symboler som de möter i vardagen. De perspektivskiften som skett under hundratals år ger först och främst en förståelse för varför matematikundervisningen har sett så olika ut, och fortfarande gör det. Men än mer intressant är att en social syn på matematik öppnar möjligheter även för de yngsta barnen i förskolan att tillägna sig någon form av förståelse som utvecklas till 17

ett aritmetiskt kunnande. Experimentell forskning visar att kunskapen grundläggs tidigt, men det är alltid lärarens grundläggande syn på barnet, kunskapen och matematiken som avgör vilka möjligheter till lärande det lilla barnet erbjuds. Följande episod kan tolkas och förstås på olika sätt, beroende på vilken kunskapssyn observatören har. Linnea (4:5) sitter vid ett bord och ritar. Hon börjar skriva siff ror och frågar läraren som sitter bredvid: ”Hur ser sex ut?” Läraren visar Linnea på ett papper hur sexan ser ut: ”Jag tror du vet, som en upp-och-nervänd nia.” Linnea skriver siff ran 6: ”Nu är det som en upp-och-ner-vänd nia för mig.” Sedan frågar hon den som sitter mitt emot henne: ”Är det en nia för dig?” Linnea fortsätter skriva siff ror. Plötsligt säger hon: ”Fem är som en upp-och-ner tvåa!”

I kapitlet kommer konsekvenserna av kunskapssynen att diskuteras utifrån det här exemplet. Lärarens kunskapssyn – och inte minst människosyn – har stor betydelse för hur hon eller han agerar i en situation. Det påverkar också vilka förväntningar som ställs på barnen, och i förlängningen vilka möjligheter de har att utvecklas och lära sig matematik.

Att upptäcka en objektiv kunskap Redan omkring 400 f.Kr. funderade filosoferna kring Medelhavet över matematikens väsen och mening. Platon, en av de mest kända filosoferna, ansåg att matematik existerar som ett oberoende objekt, det vill säga att människan och hennes verksamhet inte inverkar på den. Matematiken existerar då som struktur och objekt som människan kan upptäcka (Ernest, 1998; Shapiro, 2000). Hersch (1997) menar att Platons idéer grundar sig på pythagoréernas omvärldssyn där matematiken antogs vara gudomlig. Gudomligheten ansågs framträda i de mönster och återkommande strukturer som kan finnas i naturen, exempelvis det spiralmönster som bildas av solrosens frön eller de harmonier som uppkommer när en sträng spelas, 18

vilket kan relateras till sambandet mellan tal och intervall. Enligt den här synen på matematik ger förståelsen av dessa strukturer en skymt av gudomlig visdom. Kunskapen är på så sätt skild från människan och hennes individuella upplevelser och det är svårt att riktigt greppa hur människan kan tillägna sig den. Platon (i översättning av Stolpe, 2001) försöker åskådliggöra kunskapstillägnandet i en berättelse om en slavpojke som upptäcker, eller snarare återupptäcker, kunskaper i geometri. Genom skicklig handledning av den mer lärde Sokrates finner pojken det rätta svaret utan tidigare skolning. Enligt Platons idé om kunskapens väsen finns kunskapen redan hos pojken sedan ett tidigare liv, och lärande innebär att återerinra och känna igen svaret. ... det är lika omöjligt för människan att söka det hon vet som det hon inte vet. För det som hon vet skulle hon aldrig söka – det vet hon nämligen, och när hon vet behöver hon inte söka – och inte heller skulle hon söka det som hon inte vet, för då vet hon inte vad hon ska söka. Platon/övers. J. Stolpe (2001, sid. 31) Enligt Platons resonemang är sökande efter kunskap detsamma som lärande i och med att själen anses odödlig och bär med sig all kunskap, som den outtröttliga människan alltså kan återerinra sig. Enligt Platon är matematiken den viktigaste formen av vetenskap i och med dess exakta och absoluta sanningar. Ur Platons perspektiv är episoden med Linnea och siff rorna ett exempel på hur ett barn under handledning av en lärare leds mot att finna sanningen i de symboliska uttrycken. Det finns en absolut sanning och Linnea behöver stöd för att finna den. Läraren lär på så sätt inte ut någon kunskap eller färdighet, utan påminner henne bara om det hon redan vet. Genom lämplig handledning upptäcker Linnea kunskap om motsatta förhållanden och symmetri mellan de former symbolerna utgörs av. Kunskapen antas ha legat dold hos henne och upptäckten innebär en skymt av gudomligheten som framkommer i olika mönster. Även Frege (2002/1884) hävdar att någon subjektiv uppfattning av 19

tal och matematik inte kan förekomma, eftersom den generella innebörden då skulle gå förlorad. Om tal och andra matematiska begrepp är subjektiva kan de inte användas på ett enhetligt sätt. Tal skiljer sig dessutom på ett väsentligt sätt från andra egenskaper hos objekt. Ett tal är nämligen ingen egentlig egenskap i sig, utan beskriver i stället en relation mellan objekt och omvärlden. ”Tre” är på så sätt alltid förknippat med tre stycken av något, medan egenskapen ”grön” kan föreställas på ett annat sätt. Enligt Frege är tal därför abstrakta och generaliserande till sin karaktär. Frege menar också att matematik är nära sammankopplad med logik i och med att förhållanden som beskrivs i matematiska termer bevisas genom logisk slutledning. Det är relativt enkelt att bevisa hur 2+1 blir 3, men desto svårare att med säkerhet säga (och bevisa) vad 3245+9638 blir. Mindre tal kan lätt konkretiseras, till exempel med handens uppsträckta ﬁngrar, medan större tal är mycket svårare att föreställa sig i konkret form. Men idén med additionsuppgifter, och tal överhuvudtaget, är ändå densamma oavsett om det handlar om stora eller små tal. Delar sätts samman och bildar en helhet som gestaltas med en överenskommen symbol. Varje helhet kan delas upp i mindre helheter, till exempel 3 som 2+1 eller 1+1+1. Så även om det är svårt att synligt visa 12883 hjälper det logiska resonemanget människan att tro på sanningen i det matematiska uttrycket. Detta objektiva sätt att se på matematik skapar dock svårigheter att förstå lärandet på djupet. Hur kan människan få kunskap om något som är helt och hållet avskuret från hennes upplevelser och sinnesintryck?

Att erfara empirisk kunskap Till skillnad från det platonska sättet att tolka matematik växer det under 1700-talet fram ett empiristiskt synsätt som anser att människan föds som ett tomt blad, en tom kruka, men redo att skapa sin egen kunskap utifrån de intryck miljön erbjuder. Varje sinnesintryck anses lämna spår hos människan, vilket gör att all kunskap och alla 20

begrepp har sin grund i en fysiskt upplevt värld. På så sätt hänvisar begreppen alltid till speciﬁka objekt; ”grönt” till det gröna gräset och ”mjukt” till kattens päls. På motsvarande sätt hänvisar begreppet ”lång” till barns konkreta erfarenheter av till exempel vuxna som är längre än de själva och därför når högre. Med ﬂer erfarenheter förändras kunskapen och blir allt mer omfattande och komplex. Att undervisa en annan människa betyder i detta sammanhang att läraren förser eleven med lämpliga erfarenheter som leder kunskapandet i önskad riktning. Den empiristiska kunskapssynen innebär också att det är fostran och undervisning som gör människan till den hon är. Lärarens roll är oerhört betydelsefull genom möjligheten att styra riktningen på utvecklingen, dämpa oönskade personlighetsdrag och gynna framväxten av andra. Empiristen John Locke (1916/1693) anser att övning och vana är betydelsefullt i lärandet, eftersom regler lätt glöms bort men det som blivit en vana sitter kvar. Enligt en sådan syn går undervisning alltså ut på konkreta erfarenheter och övningar i en given ordning, där matematik främst blir ett redskap för att förstå andra vetenskaper. Matematiklärandet ser då ut så att barnet tränar på ett begrepp eller en princip tills han eller hon behärskar det väl och sedan går vidare till andra övningar. Här ser man klara kopplingar till det behavioristiska sättet att undervisa och se på lärande. Ur empiristens synvinkel kan människan inte veta något om världen om hon inte erfarit fenomenet genom sinnesintryck och erfarenheter. I och med att upprepade erfarenheter av 2+3 visat sig vara 5 så många gånger, tar man för givet att det är sant också nästa gång man möter 2+3, utan att nödvändigtvis behöva konkretisera fenomenet en gång till (Shapiro, 2000). Resonemanget stöter dock på vissa svårigheter när idéer grundade på konkreta erfarenheter inte är möjliga att direkt överföra till andra fenomen. En konkret erfarenhet av till exempel en vattendroppe, och ytterligare en, ses inte längre som två vattendroppar utan som en något större vattendroppe. Men idén är inte generaliserbar när det gäller att sätta samman till exempel en sten och ytterligare en sten. Erfarenheten är alltså inte möjlig att bygga en generell förståelse av mängd och massa på (Engström, 1998). 21