■ ■
Till de olika böckerna finns även en webb för eleverna som innehåller teorigenomgångar, interaktiva laborationer, självrättande tester och prov m.m. Gå gärna in på www.gleerups.se och prova en demo. Till Exponent finns även ett rikt material till läraren på en lärarwebb. Här finns extra uppgifter, prov, laborationsförslag och annat kompletterande material. Exponent tas fram i samarbete med lärare och elever. Du kan följa utvecklingen av detta arbete genom att gå in på www.gleerups.se/lab
µ– 3σ
34,1 %
34,1 % 2,3 %
µ– 2σ
µ– 1σ
13,6 %
Exponent svart för yrkesprogrammen (kurserna 1a, 2a) Exponent gul för EK, ES, HU och SA (kurserna 1b, 2b, 3b) Exponent röd för NA och TE (kurserna 1c, 2c, 3c, 4, 5)
13,6 %
■
2b
Exponent 2b är ett läromedel i matematik för gymnasieskolans program EK, ES, HU och SA. Exponent finns för alla kurser och för alla program i gymnasieskolan.
e ponent
e ponent
µ
µ +1 1σ
2,3 %
µ +2 2σ
µ +3σ
e ponent
,
2b Författare till Exponent 2b är Susanne Gennow, Ing-Mari Gustafsson och Bo Silborn. Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av undervisning i matematik på gymnasienivå.
e2b_omslag_120705.indd 1
2012-07-09 19.14
Räta linjen och analytiskgeometrı 1
Räta linjen i olika sammanhang,
. Funktioner och räta linjer – en repetition Olika sätt att beskriva funktioner, Graf och ekvation,
. Räta linjens ekvation Lutningen för en rät linje, Ange ekvationen för en rät linje , Vinkelräta linjer,
. Linjära ekvationssystem Grafisk lösning av ekvationssystem, Algebraisk lösning,
. Analytisk geometri Avståndsformeln, Koordinatgeometri,
Potenser,budgetering och algebra 2
Matematik i olika sammanhang,
. Potenser Potenser med heltalsexponent, Potenser med rationella exponenter, Kvadratroten ur en produkt eller kvot,
. Budgetering Intäkter, Kostnader,
e2b.indb 8
2012-07-09 18.29
. Algebra Multiplikation av parentesuttryck, Konjugatregeln , Kvadreringsreglerna, Konjugat- och kvadreringsreglerna i uttryck och ekvationer, Faktorisering, Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna,
5
Geometri
Geometri i olika sammanhang,
. Grundläggande geometriska begrepp Vinklar, Månghörningar,
. Geometriska satser
3
Likformighet och kongruens, Triangelsatser, Randvinkelsatsen,
Andragradsekvationer i Babylonien,
6
. Andragradsekvationer
Statistik i olika sammanhang,
Reella tal och räkneregler, Enkla andragradsekvationer, Andragradsekvationer i faktoriserad form, Lösning med hjälp av faktorisering, En formel för lösning av andragradsekvationer, Konjugat- och kvadreringsregeln i samband med ekvationslösning, Andragradsekvationer med komplexa rötter,
. Statistiska metoder
. Andragradsfunktioner
Lägesmått, Spridningsmått och lådagram, Varians och standardavvikelse,
Andragradsekvationer och andragradsfunktioner
Andragradsfunktioner på formen f (x) = ax + bx + c,
Exponentialfunktioner och exponentialekvationer 4
Statistik
Att göra och rapportera en statistisk undersökning, Svarsbortfall, Korrelation, Kausalitet, Regressionsanalys,
. Lägesmått och spridningsmått
. Normalfördelning Histogram och normalfördelning,
Tips
Bakgrund,
Lösningar
. Exponentialfunktioner och grafisk lösning av exponentialekvationer
Facit
. Algebraisk lösning av exponentialekvationer Logaritmen lg x, En viktig logaritmisk lag, Algebraisk lösning av exponentialekvationer,
e2b.indb 9
2012-07-09 18.29
1
Räta linjen och analytisk geometrı
e2b.indb 10
2012-07-09 18.29
Centralt innehåll n
Räta linjens ekvation
n
Konstruktion av grafer till linjära funktioner
n
Linjära ekvationssystem
n
Analytisk geometri
Räta linjen i olika sammanhang Funktioner används bl.a. för att skapa matematiska modeller av verkliga företeelser. De kallas linjära om de vid en grafisk illustration ger en rät linje. Leonard Euler införde år 1748 termen analys för läran om funktioner. Han menade att en funktion både kan uttryckas algebraiskt som en formel och grafiskt i form av en kurva. Euler var den förste som använde beteckningen f(x) för en funktion samt begreppet graf.
Din första uppgift Markera punkterna (2, 3) och (4, 7) i ett koordinatsystem. n
Rita en linje genom punkterna och ange var den skär y-axeln.
n
Rita en rätvinklig triangel mellan punkterna ovan samt punkten (4, 3).
n
Bestäm hypotenusans lutning genom att dividera triangelns höjd med dess bredd.
n
Rita linjen y = 2x – 1 i samma koordinatsystem genom att välja några samhörande värden på x och y och jämför de två linjerna.
n
Kan du, i ekvationen y = 2x – 1, hitta den lutning och den skärningspunkt med y-axeln som du tidigare bestämde?
;
e2b.indb 11
2012-07-09 18.29
A ER ET EP R
. Funktioner och räta linjer – en repetition En funktion är en regel som beskriver ett samband mellan olika variabler. När man t.ex. säger att resultatet (vinst eller förlust) är en funktion av antalet sålda biljetter på en konsert menar man att resultatet beror på antalet sålda biljetter. Både resultatet och antalet sålda biljetter kan variera och kallas därför variabler. Resultatet beror på antalet sålda biljetter och kallas därför beroende variabel. Antalet sålda biljetter kallas oberoende variabel.
Olika sätt att beskriva funktioner I kurs 1 lärde du dig att funktioner kan beskrivas på olika sätt. De vanligaste sätten är tabell, formel och graf. Tabell
Formel
x
y
–1
–3
0
0
1
3
Tabellen ger en översikt över ett samband, men visar bara vissa utvalda värden.
Graf
y 4 3
y = 3x En formel ger ett generellt samband mellan olika variabler, t.ex. x och y, och genom att ersätta exempelvis x med ett värde kan y beräknas.
Graf och ekvation
2 1 –4 –3 –2 –1 –1
1
2
3
4 x
–2 –3 –4
En graf kan ritas med hjälp av en tabell eller en formel. Den ger en bra översikt och kan användas för att avläsa efterfrågade värden.
Teorigenomgång
Olika typer av funktioner ingick i kurs 1, bl.a. linjära funktioner. Grafen till en linjär funktion är alltid en rät linje. Vi ska i detta kapitel studera sambanden mellan formeln för en rät linje, den räta linjens ekvation, och dess graf. I exemplet som följer visar vi hur man ritar grafen till en linjär funktion för hand, med grafräknare eller med dator.
e2b.indb 12
;
2012-07-09 18.29
R EP ET ER A
Rita graf Rita grafen till funktionen y = x + 2. : : 1 Gör en tabell. Välj tre godtyckliga x-värden och beräkna motsvarande y-värden. x
y
−4
−2
0
2
4
6
Ur tabellen kan koordinaterna för tre punkter avläsas: (−4, −2), (0, 2) och (4, 6). 2 Markera dessa tre punkter i ett koordinatsystem. 3 Sammanbind punkterna till en rät linje. När man ritar grafen till en linjär funktion för hand bör man markera tre punkter. Egentligen räcker det med två för att rita linjen, men den tredje är bra som kontroll. Om man räknat rätt ligger dessa tre punkter på en rät linje, som kan förlängas genom hela koordinatsystemet.
y 6 5 4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
1
2
3
4
5
6 x
–2 –3 –4 –5 –6
: Skriv in ekvationen y = x + 2 i ett grafritande program eller i räknaren och rita grafen.
;
e2b.indb 13
2012-07-09 18.29
A ER ET EP R
1 2
1001
Rita graferna till följande funktioner och beskriv med egna ord vad som är utmärkande för var och en. a) y = 2x b) y = –2x c) y = 2
1002
Rita graferna till följande funktioner och besvara frågorna. 1) y = 2x 2) y = 2x + 2 3) y = 2x – 2 a) Vilken likhet finns det mellan graferna? b) Vilken likhet finns det mellan ekvationerna? c) Vad betyder koefficienten framför x för grafernas utseende? d) Vad skiljer graferna åt? e) Hur ser man denna skillnad i ekvationerna? f) Vad kallas funktionerna till graferna ovan med ett gemensamt namn?
5
1003
1004
e2b.indb 14
1005
a) Rita graferna till följande funktioner och jämför deras utseende. 1) y = 2x 2) y = 0,5x 3) y = 4x 4) y = –4x b) Hur påverkar koefficienten framför x grafens utseende? c) Vad innebär det att koefficienten är ett negativt tal? a) Rita graferna till följande funktioner och beskriv grafernas utseende. 1) y = 2x + 3 2) y = –x + 3 3) y = x + 3 b) Vad innebär det för grafen att konstanttermen är 3?
Rita graferna till följande funktioner på din räknare eller med dator och jämför grafernas utseende med ekvationerna. 1) y = 2x 2) y = –2x 3) y = 0,5x 4) y = 4x 5) y = –2x + 3 6) y = 2x – 3 a) Hur påverkar koefficienten framför x grafens utseende? b) Vad innebär konstanttermen i ekvationerna för grafernas utseende?
1006
1007
1 2
Genom vilken punkt på y-axeln passerar grafen till den linjära funktionen a) y = 3x – 4 b) y = 2 + 5x c) y = –6x
5
Vilken av följande linjära funktioners grafer är brantast? Motivera ditt svar. a) y = 3x – 4 b) y = 2 + 5x c) y = –6x
Om en linjär funktion är skriven på formen y = kx + m där k och m är konstanter, gäller: Koefficienten framför x anger grafens lutning. Konstanttermen anger y-koordinaten för grafens skärningspunkt med y-axeln.
Ord och begrepp Koll på avsnittet
;
2012-07-09 18.29
. Räta linjens ekvation
Teorigenomgång
I föregående övningar har du undersökt hur konstanttermen och koefficienten framför x påverkar grafens utseende för en rät linje. Om vi betecknar konstanttermen med m och x-koefficienten med k, kan varje rät linje skrivas med ekvationen y = kx + m. Värdet på k styr grafens lutning medan värdet på m ger y-koordinaten för skärningspunkten med y-axeln. Räta linjens ekvation i k-form: y = kx + m lutningen
konstanttermen (y-koordinaten för skärningspunkten med y-axeln)
Om konstanttermen m = 0 är funktionen en proportionalitet.
Grafen till en proportionalitet är en rät linje genom origo. Proportionalitet: y = k · x Grafen till en proportionalitet är en rät linje genom origo.
En rät linjes ekvation i k-form skrivs t.ex. y = 2x − 3. Om istället alla termer placeras i vänsterledet enligt skrivsättet y − 2x + 3 = 0 kallas det allmän form. Om det är möjligt ska koefficienter och konstantterm vara heltal i den allmänna formen. Räta linjens ekvation i allmän form: ax + by + c = 0 där a, b och c är konstanter och om möjligt heltal. Dessutom gäller att a och b inte båda får ha värdet 0.
Räta linjens ekvation i k-form Ange k och m för följande linjära funktioner: a) y = 2x – 3 b) y = –3x
c) y = 3
: Genom att jämföra ekvationerna med räta linjens ekvation i k-form, y = kx + m, kan vi bestämma k och m. : a) k = 2, m = –3
b) k = –3, m = 0
c) k = 0, m = 3
;
e2b.indb 15
2012-07-09 18.29
Räta linjens ekvation i allmän form Ange k och m i funktionen 3y – 6x + 3 = 0 : Skriv om funktionen i k-form: Addera 6x – 3 till båda leden. 3y – 6x + 3 = 0 3y = 6x – 3. Alla termer divideras med 3. y = 2x – 1 k=2 m = –1 : k = 2 och m = –1
Omvandla från k-form till allmän form.
2 1 Skriv om ekvationen y = x − till allmän form. 3 6 : y =2x− 1 Multiplicera båda leden med 6 för att bli av med nämnarna. 3 6 6⋅2 6⋅ y = x − 6⋅1 Förkorta. 3 6 6y = 4x – 1 Addera båda leden med −4x + 1 6y − 4x + 1 = 0 : 6y − 4x + 1 = 0
1 2
1011
Skriv om följande ekvationer från allmän form till k-form. a) y + 2x + 3 = 0 b) 2y − 6x + 2 = 0
1012
Ange k och m för följande linjära funktioner. T a) y + x – 3 = 0 b) 2y – 4x + 2 = 0 c) 3y + 6x + 1 = 0 d) 2y + 8x – 6 = 0
Ange k och m för de linjära funktionerna i 1008–1009. 1008
1009
a) y = 3x + 1 c) y = x – 3
b) y = –2x – 4 d) y = 0,5x
a) y = –x
b) y = 5 x d) y = 3 + 4
c) y = 2 – 4x 1010
e2b.indb 16
Vad kallas en linjär funktion om m = 0?
;
2012-07-09 18.29
1013
Skriv om följande ekvationer från k-form till allmän form. a) y = 4x + 3 1 b) y = − x + 2 3 1 1 c) y = x − 6 9
1014
Ange k och m för följande linjära funktioner. a) x – y = 3 b) 5y + 2x = 4
1017
Vid ett väderomslag ändrades temperaturen y °C under några timmar enligt ekvationen y = 30 – 3x, där x är tiden i timmar efter kl.13.00. a) Vad innebär talet 30 i ekvationen? b) Ange funktionens k-värde, och tolka dess innebörd.
1018
En bensinstation hyr ut bilar. Att hyra en bil under ett dygn kostar 200 kronor i fast avgift samt 20 kr för varje körd mil. a) Bestäm en ekvation för kostnaden y kr att hyra en bil och köra den x mil. b) Ange k och m för ekvationen. c) Hur stor blir kostnaden för en kund som hyr bilen en dag och kör 12 mil? d) Hur långt kan en person köra som endast har råd att betala 500 kronor?
1019
En cyklist färdas 480 m på 2 minuter. T a) Bestäm en ekvation för sträckan s meter som funktion av tiden t sekunder. b) Ange k och m för ekvationen. c) Vad innebär k i ekvationen? d) Bestäm en ekvation för sträckan s km som funktion av tiden t h.
c) 4y – x = 0 d) 1 2 3 4
y + 3x = 4 2
1015
Sara bestämmer sig för att låta håret växa under några månader utan att klippa det. Funktionen y = 2x + 25 beskriver längden y cm, x månader efter att hon bestämt sig för att låta håret växa. a) Hur långt är Saras hår efter två månader? b) Ange k och m för funktionen. c) Vilken innebörd har k respektive m?
1016
Sambandet mellan framställningskostnaderna y kr och antalet tillverkade enheter x stycken av en produkt är 4x – 2y + 100 = 0. Bestäm den fasta kostnaden och den rörliga kostnaden per styck? L
6
;
e2b.indb 17
2012-07-09 18.29
Lutningen för en rät linje
Teorigenomgång
De räta linjer vi studerat har haft olika lutning precis som många företeelser i vår omgivning. Exempelvis kan en vandringsled ha varierande lutning uppåt och nedåt. En vandringsled kan också beskrivas med matematiska termer som i figuren nedan. Höjd
Sträcka
Trappor kan också ha olika lutning. Lutningen för en trappa kan beskrivas som förhållandet mellan höjden och djupet för ett trappsteg.
Lutningen = 3
höjden av ett trappsteg 3 = = 0,6 djupet avv ett trappsteg 5
: Lutningen är 0,6 5
Beräkna lutning med hjälp av koordinater Lägg in trappan i ett koordinatsystem och beräkna lutningen med hjälp av koordinater.
y 10
Höjden av ett trappsteg beräknas som skillnaden mellan y-koordinaterna: 6 − 3 = 3. Djupet kan beräknas som skillnaden mellan x-koordinaterna: 5 – 0 = 5. Lutningen =
höjden av ett trappsteg 3 = = 0,6 djupet avv ett trappsteg 5
: Lutningen är 0,6
e2b.indb 18
(5, 6) 5
(0, 3)
(5, 3)
0 0
5
10
15 x
;
2012-07-09 18.29
Lutningen för en rät linje kan bestämmas på liknande sätt som lutningen för trappan ovan. Om man väljer två punkter på linjen kan man tänka sig en förflyttning från den ena punkten till den andra längs ett ”trappsteg”. Det innebär dels en förändring i x-led, ∆x och dels en förändring i y-led, ∆y. Symbolen ∆ är den grekiska bokstaven delta och inom matematiken används den för att ange en förändring. Linjens lutning ges av kvoten mellan ∆y och ∆x. Kvoten motsvarar beteckningen k i räta linjens ekvation och kallas linjens riktningskoefficient. Det innebär att vi kan beräkna k med sambandet:
Riktningskoefficienten
k=
Om linjen stiger från vänster till höger (lutar uppåt höger) är k positiv. Funktionen till den räta linjen är då växande.
förändring i y-led ∆y = förändring i x-led ∆x
y 7
(8, 6)
6 5
Δy = 3
4
(4, 3)
3
positiv riktning
k=
Δx = 4
2
förändring i y-led ∆y 3 = = förändring i x-led ∆x 4
1 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 x
positiv riktning
Om linjen faller från vänster till höger (lutar nedåt höger) är k negativ. Funktionen till den räta linjen är då avtagande. y 7
Δx = 4
6 5
(1, 5)
4
negativ riktning
Δ y = –3
3
k=
förändring i y-led ∆y −3 3 = = =– förändring i x-led ∆x 4 4
(5, 2)
2 1 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 x
positiv riktning
Med hjälp av koordinaterna för de två punkterna på vardera linjen ovan kan motsvarande beräkningar också skrivas:
k=
∆y 6 − 3 3 = = ∆x 8 − 4 4
respektive
k=
∆y 2 − 5 −3 3 = = =− ∆x 5 − 1 4 4
;
e2b.indb 19
2012-07-09 18.29
Riktningskoefficienten k för en rät linje y
y
y
y
y
( x 2, y 2) Δy
x
Δx ( x 1, y 1)
k>0 Funktionen är växande
x
x
x
x
k<0 Funktionen är avtagande
k=0 Funktionen är konstant
k saknas En vertikal linje är inte graf till en funktion
Bestämma k (I) En linje går genom punkterna (3, 1) och (5, 4). Vilken riktningskoefficient har linjen? : Resultatet blir detsamma om man kastar om ordningen på punkterna.
k=
y2 − y1 x2 − x1
=
y − y 1− 4 −3 4−1 3 = = 1, 5 eller k = 1 2 = = = 1, 5 x 1 − x 2 3 − 5 −2 5− 3 2
: k = 1,5 y
Bestämma k (II)
4
Vilken riktningskoefficient har linjen? Välj två punkter på linjen, t.ex.(3, 0) och (0, 3).
2
k=
y2 − y1 3− 0 = = −1 x2 − x1 0 − 3
: k = −1
3
1 –4 –3 –2 –1 –1
1
2
3
–3 –4
Rita en rät linje med trappstegsmetoden Rita linjen y = 2x + 3 : Eftersom m = 3 skär linjen y-axeln vid värdet 3. Koefficienten framför x anger att linjens riktningskoefficient k har värdet 2. Det ger oss följande steg: 1 2
3 4
e2b.indb 20
4 x
–2
Markera först punkten (0, 3) på y-axeln (m = 3). Eftersom k = 2 ska varje trappsteg vara dubbelt så högt som det är djupt. Gå ett steg åt höger och två steg uppåt och markera en ny punkt. Upprepa detta ett par gånger och markera nya punkter. Förbind punkterna med en rät linje.
y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0
1
2
3
4
5 x
;
2012-07-09 18.29
1 2
1020
1024
Vilken riktningskoefficient har följande grafer? y a)
Bestäm k och m för följande grafer. y a) 4 3 2 1
4
–4 –3 –2 –1 –1
3 2
2
3
4 x
1
2
3
4 x
1
2
3
4 x
–2
1 –4 –3 –2 –1 –1
1
–3 1
2
3
–4
4 x
–2
b)
–3
y 4
–4
3 2
b)
1
y 4 3
–4 –3 –2 –1 –1
2
–2
1
–3
–4 –3 –2 –1 –1
1
2
3
–4
4 x
c)
–2 –3
y 4
–4
3 2
1021
1022
1023
1
Vilken lutning har en linje som går genom origo och punkten (–2, 5)?
–4 –3 –2 –1 –1 –2
Rita en rät linje för hand genom punkten (–3, 0) med lutningen a) 2 b) –1 c) 0,5 d) 0 a) Bestäm lutningen mellan det andra och det tredje trappsteget i exemplet med trappan på s. 18. b) Jämför resultatet i a) med lutningen mellan det första och det andra trappsteget. Vilken slutsats drar du? c) Bestäm lutningen mellan det första och det tredje. Vilken slutsats drar du?
–3 –4
1025
En linje går genom två punkter. Ange dess lutning om de två punkterna är: a) (2, 1) och (4, 5) b) (0, 3) och (1, 6) c) (1, 4) och (2, 2) d) (0, 4) och (2, 4) e) ( 2, 1) och (3, 5) f) (2, –2) och ( 3, 3)
;
e2b.indb 21
2012-07-09 18.29
1 2
1031
1026
Vilken lutning har en linje som skär x-axeln då x = −2 och y-axeln då y = −1?
1027
Ligger punkterna (0, 3), (3, 7) och (−4, −5) på en rät linje? Motivera ditt svar. L
5
1028
1029
Saldo (kr) 2000
Välj två punkter så att den räta linjen som går genom punkterna får lutningen a) k = 2 b) k = −2 c) k = 0
1800 1600 1400 1200 1000 800 600
I ett koordinatsystem finns de tre punkter som markerats i figuren.
400 200 0
y
0
(10, 8)
(NP Ma B vt 02)
1030
e2b.indb 22
En rät linje går genom punkterna (20, 145) och (15, −25). Ange ytterligare en punkt som ligger på samma linje. T
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24
Antal besök
Vilket värdet ska a ha för att en rät linje med riktningskoefficienten −3 ska gå genom punkterna a) (a, 2) och (3, 5)? b) (1 – a, 3) och (3, 2 + a)?
1033
En viss sorts äpplen väger 0,6 kg/liter och kostar 15 kr/kg. a) Ange massan m kg som funktion av volymen V liter. b) Ange kostnaden K kr som funktion av massan m kg. c) Ange kostnaden K kr som funktion av volymen V liter. d) Vad beskriver riktningskoefficienten i c)-uppgiften?
x
Wilma anser, att dessa tre punkter ligger på en rät linje. Madeleine menar, att punkterna inte alls ligger på en rät linje utan att det bara ser ut så. Undersök vem som har rätt.
2
1032
(3, 4) (–6, –1)
Grafen visar hur saldot på Viktorias gymkort förändras. a) Hur mycket hade Viktoria på kortet från början? b) Hur mycket kostade inträdet varje gång till gymmet?
;
2012-07-09 18.29
Teorigenomgång Laboration
Ange ekvationen för en rät linje
Som vi har sett tidigare kan alla linjära funktioner beskrivas med ekvationen y = kx + m, där x och y är variabler medan k och m är konstanter. I förra avsnittet beräknades k för några olika räta linjer. För att ange ekvationen för en rät linje måste man även veta värdet på m.
Räta linjens ekvation ur en graf Bestäm ekvationen för linjen till höger. y
: 1 Bestäm k och m. Värdet på y där linjen skär y-axeln. m = −2 2−0 Utgå från punkterna (1, 0) och (2, 2). k= 2−1 2 Sätt in k och m i ekvationen y = kx + m. y = 2x + (−2) y = 2x − 2
4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 –1
1
2
3
4 x
–2 –3 –4
: y = 2x − 2
Räta linjens ekvation med hjälp av två punkter Bestäm ekvationen för en rät linje som går genom punkterna (1, 3) och (2, 7). : 1 Beräkna k. y −y k = 2 1 = 7−3 = 4 = 4 x2 − x1 2 − 1 1 2 Beräkna m. Sätt in k = 4 och koordinaterna för en punkt på linjen, t.ex.(1, 3), i räta linjens ekvation. x = 1, y = 3 och k = 4 sätts in i y = kx + m 3 = 4 · 1 + m m=3–4 m = −1 3 Sätt in k = 4 och m = −1 i räta linjens ekvation. y = 4x − 1 Kontroll: Man kan kontrollera om linjen y = 4x − 1 går genom punkten (2, 7). V. L. = y = 7 H. L. = 4 x − 1 = 4 · 2 − 1 = 7 V. L. = H. L. Linjen går genom punkten (2, 7). : y = 4x − 1
;
e2b.indb 23
2012-07-09 18.29
Räta linjens ekvation vid parallella linjer Bestäm ekvationen för den räta linje som är parallell med linjen y = 3x + 3 och skär x-axeln där x = 2. : Parallella linjer har samma k-värde. Eftersom k = 3 för y = 3x + 3 så är den sökta linjens k-värde också 3. Linjen skär x-axeln där y = 0. Linjen går genom punkten (2, 0) Sätt in k = 3, x = 2 och y = 0 i räta linjens ekvation: y = kx + m 0 = 3 · 2 + m 0=6+m –6 = m m = –6 : y = 3x – 6 y
Om man ska bestämma ekvationen för en rät linje med känd riktningskoefficient, finns det ytterligare en metod. Vi låter (x, y) vara en godtycklig punkt och (x1, y1) en given punkt på linjen. Kvoten för riktningskoefficienten skrivs då y − y1 k= x − x1 Om båda leden multipliceras med (x – x1) får vi k(x − x1) = y − y1 Vi byter plats på vänsterled och högerled och får då y − y1 = k(x − x1) Detta kallas räta linjens ekvation i enpunktsform.
11 10 9 8
(x, y)
7 6 5 4 3 2
(x1, y1)
1 0 0
1
2
3
4
5
6
7 x
Räta linjens ekvation i enpunktsform. En rät linje har riktningskoefficienten k = −2 och går genom punkten (2, 1). Bestäm dess ekvation. : Räta linjens ekvation i enpunktsform: y − y1 = k(x − x1) Punkten (x1, y1) ersätts med (2, 1) och riktningskoefficienten k ersätts med värdet –2. y − 1 = −2(x − 2) y − 1 = −2x + 4 y = −2x + 5 : y = −2x + 5
e2b.indb 24
;
2012-07-09 18.29
1 2
1034
Bestäm ekvationen för en rät linje där a) k = 2 och m = −3 b) k = −1 och m = 0 c) k = 0 och m = 2
1035
En rät linje har riktningskoefficienten k = 2 och går genom punkten (3, 1). Bestäm dess ekvation.
1036
Bestäm ekvationen för den räta linje som skär y-axeln då y = 5 och har riktningskoefficienten k = 3. L
1037
1038
Bestäm en ekvation för de räta linjer som går genom punkterna a) (0, 1) och (2, 9) b) (–1, 2) och (1, –2) c) (2, 3) och (–4, 3) d) (2, –7) och (–3, –2)
1039
En linjär funktion har ekvationen y = 3x – 5. Vilka av punkterna (2, 1), (3, 4), (4, 5) och (1, 2) ligger på linjen? T
1040
Bestäm linjernas riktningskoefficienter genom att välja två punkter på vardera linjen.
Bestäm ekvationer för graferna. y a)
A
4
4
2
3 2
–4 –3 –2 –1 –1
C B
1 1
2
3
4 x
–6 –5 –4 –3 –2 –1 –2 –3
–2 –3
1
2
3
4
5 6 x
–4
–4
–5 –6
y 4
1041
3 2 1 –4 –3 –2 –1 –1
1
2
3
4 x
1
2
3
4 x
–2 –3 –4
c)
y 6 5
3
1
b)
D
y 4 3 2
Erik och Agnes diskuterar om det spelar någon roll vilken punkt som väljs som (x1, y1) respektive (x2, y2) när man använder formeln y –y k= 2 1 x 2 – x1 Erik säger att det inte spelar någon roll, medan Agnes säger att man måste börja med den punkt som har största y-koordinaten. Vem har rätt? Motivera med ett exempel.
1 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4
;
e2b.indb 25
2012-07-09 18.29
1042
d) Hur stor var den fasta kostnaden? e) Hur stor var den rörliga kostnaden?
y 6 5 4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
1
2
3
4
5
6 x
–2 –3 –4 –5 –6
a) Bestäm ekvationen för linjen som är inritad i koordinatsystemet. b) Ligger punkten (4, 11) på linjen? Motivera ditt svar.
1 2 3 4
1043
1044
e2b.indb 26
Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom (2, 4) och är parallell med y = 3x + 2. T För att hyra en bil får en familj betala en fast kostnad och en rörlig kostnad per mil. På tisdagen körde man 20 mil och kostnaden blev 800 kr. Under torsdagen hyrde man samma bil men körde 30 mil och för det fick man betala 950 kr. Låt kostnaden K kr vara en funktion av sträckan s mil. a) Vilken är beroende respektive oberoende variabel? b) Värdena i texten skulle kunna visas som två punkter i ett koordinatsystem. Ange punkternas koordinater. c) Ange en ekvation för den räta linjen genom dessa båda punkter.
1045
Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkten (−1, −3) och är parallell med linjen y = −2x + 5.
1046
Vilken ekvation har en rät linje där följande gäller? 2 a) Lutningen är och linjen går 3 genom punkten (0, –3). b) Linjen går genom punkterna (–2, –5) och (–5, –2). c) Linjen går genom punkterna (10, 14) och (12, 14). d) f (0) = 5 och f (–5) = 0.
1047
Bestäm en ekvation för den räta linje som är parallell med linjen 2x + 2y + 1 = 0 och a) skär y-axeln där y = 3 b) skär x-axeln där x = –3
;
2012-07-09 18.29
1048
Bestäm ekvationen för en rät linje genom punkten P parallell med den ritade linjen. L y 6 5
P
4 3 2 1
–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
1
2
3
4
5
6 x
–2 –3 –4 –5 –6
1049
Ekvationen för en rät linje ges av y = 2x + 1. a) Rita linjen i ett koordinatsystem. b) Ligger punkten (3, 8) på linjen?
1050
I science-fictionserien Star Trek The Next Generation blir kapten Picard och chefsingenjör La Forge instängda i ett rum med radioaktiv strålning. När La Forge avläser sitt mätinstrument har de redan fått stråldosen 93 rad. Stråldosen ökar med 4 rad/minut. Stråldosen 350 rad är dödlig. a) Ställ upp ett uttryck som beskriver stråldosen y rad som funktion av tiden x minuter. Tiden räknas från den tidpunkt La Forge avläser sitt mätinstrument. b) Hur lång tid har de båda hjältarna på sig att komma ut ur rummet? (NP Ma B ht 98)
c) Är den punkt som ges av x = 1 y = 3 en lösning till ekvationen y = 2x + 1? d) Ge ytterligare två lösningar till ekvationen. e) Hur många lösningar finns det till ekvationen y = 2x + 1 och hur framgår dessa av grafen?
;
e2b.indb 27
2012-07-09 18.29
Problemlösning Vid problemlösning med funktioner ska man ofta själv teckna den aktuella funktionen och med hjälp av den bestämma något efterfrågat samband. För linjära funktioner gäller alltid räta linjens ekvation, y = kx + m där m = 0 om det är en proportionalitet. n n n n
n n
1 2 3
1051
5 6
e2b.indb 28
Vad är det som söks? Vad är givet och vad är obekant? Inför lämplig variabel och teckna en lämplig funktion. Använd funktionen för att till exempel bestämma k, m eller variabelns värde för ett givet funktionsvärde. Kontrollera ditt svar genom att återgå till problemets förutsättningar. Skriv ett tydligt svar, där frågan besvaras. Om du själv har infört variabeln x, ska du inte avsluta med att ge värdet på x utan istället besvara frågan genom att ge värdet på det som efterfrågas.
Axel ska bygga en rektangelformad pool i sin trädgård. Den ska vara 40 m i omkrets och minst 4 m bred. a) Ge exempel på vilka mått poolen kan ha. b) Bestäm en funktion för poolens längd som funktion av dess bredd. c) Vilken är den största längd poolen kan ha?
1052
Ett hus har en vägg med tegelsten och fönster. I de delar av väggen där fönster saknas används 120 tegelstenar per löpmeter medan i delarna med fönster används bara 80 tegelstenar per löpmeter. På en vägg som är 20 m används 2120 tegelstenar. Hur många meter saknar fönster?
1053
Johanna är utbytesstudent i USA. En dag ser hon att temperaturen ute är 86 °F. Hon undrar då vilken
temperatur det motsvarar i °C. Vatten fryser vid 0 °C eller 32 °F och kokar vid 100 °C eller 212 °F. Sambandet mellan °C och °F är linjärt. Hur många °C motsvarar 86 °F? 1054
Daniel cyklar varje arbetsdag 3 km från sin hemort till järnvägsstationen. Tågresan till staden tar 36 minuter. Han cyklar sedan från stationen 2 km i nedförsbacke till jobbet med en medelhastighet av 24 km/h. Tågets medelhastighet är 100 km/h. Den första cykelturen tar 9 minuter. a) Hur lång sträcka är tågresan? b) Vilken medelhastighet har Daniel på hela resan? c) En dag kör Daniel bil till jobbet. Sträckan var då 2 km kortare, men medelhastigheten var 36 km/h lägre. Hur mycket längre tid tar bilturen?
;
2012-07-09 18.29
Vinkelräta linjer
Teorigenomgång
Parallella linjer har samma värde på riktningskoefficienten k. Vi ska undersöka vad som gäller för vinkelräta linjer.
y 8 7
Linjerna i figuren är vinkelräta mot varandra. Vi bestämmer först deras k-värden.
k1 = k2 =
6
(3, 5)
5
5−3 2 = =2 3−2 1
4
2 − 3 −1 1 = =− 4−2 2 2
1
(2, 3)
3
(4, 2)
2
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
Sedan multiplicerar vi deras k-värden. k 1 ⋅ k 2 = 2 ⋅ (− 1) = −1 2 Att produkten av k-värdena är −1 gäller för alla vinkelräta linjer utom då en av dem är vertikal och den andra horisontell. Detta kan vi bevisa med hjälp av likformighet. Vi ritar de båda vinkelräta linjerna med riktningskoefficienterna k1 och k2. Sträckan AC är parallell med x-axeln och sträckorna BC och CD är vinkelräta mot sträckan AC. Vi får då de tre vinkelräta trianglarna ABD, CBA och CAD. Triangeln ABD och triangeln CBA är likformiga eftersom de har varsin rät vinkel och vinkeln B gemensam. Triangeln ABD och triangeln CAD är också likformiga eftersom de också har varsin rät vinkel och vinkel D gemensam. Då är också trianglarna CBA och CAD likformiga. Då kan vi ställa upp följande förhållande: ∆y 2
∆x 1
=
∆x 1
y 11
∆y 1
B
9
Linjernas riktningskoefficienter: ∆y k1 = 1 ∆x 1
k2 = −
k1
10
8 7
Δ y1
6 5
∆y 2
4
∆x 1
3
Vi tecknar riktningskoefficienternas produkt: ∆y ∆y ∆y ∆x ∆y ⋅ ∆x 1 k 1 ⋅ k 2 = 1 ⋅ − 2 = 1 ⋅ − 1 = − 1 = −1 ∆x 1 ∆x 1 ∆x 1 ∆y 1 ∆x 1 ⋅ ∆y 1
Δ x1
A
C Δ y2
2
k2
D
1 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
Två linjer med riktningskoefficienterna k1 och k2 är vinkelräta ⇔ k1 · k2 = −1 ;
e2b.indb 29
2012-07-09 18.29
Undersökning av vinkelräta linjer En triangel i ett koordinatsystem ges av punkterna A (−1, 3), B (2, 2) och C (4, 8). Är triangeln rätvinklig? : Vi ritar en figur för att se var den räta vinkeln kan finnas. Vinkeln vid punkten B ser ut att vara rät. Om triangeln är rätvinklig blir produkten av riktningskoefficienterna för kateterna −1 under förutsättning att kateterna inte är parallella med koordinataxlarna.
k AB =
y
C (4, 8)
8 7 6 5 4
A (–1, 3)
2−3 −1 1 = =– 2 − (−1) 3 3
3 2
B (2, 2)
1 –2 –1
8−2 6 = =3 4−2 2 1 k AB · k BC = – · 3 = –1 3
k BC =
0
1
2
3
4
5
6 x
: Triangeln är rätvinklig.
1 2
1055
1056
1057
Beräkna riktningskoefficienten för en linje som är vinkelrät mot linjen y = 4x − 2. Bestäm ekvationen för den linje som går genom origo och är vinkelrät mot linjen a) x − y +1 = 0 b) x + y − 2 = 0 c) 3x + 2y + 2 = 0 Rita en romb med hörnen i punkterna (0, 0), (5, 0), (3, 4), (8, 4). Visa att rombens diagonaler är vinkelräta mot varandra. L
Ord och begrepp Koll på avsnittet
e2b.indb 30
1058
Rita linjen y = −2x + 2. Dess normal är en rät linje som är vinkelrät mot den ursprungliga linjen. Rita en normal till linjen i punkten (2, −2) och bestäm normalens ekvation.
1059
Bestäm konstanten a så att linjen 3x + ay + 4 = 0 blir vinkelrät mot linjen 4x + 5y + 8 = 0. T
1060
a) Rita linjen 3x + 2y = 0 i ett koordinatsystem. b) Rita en normal till linjen i origo. c) Bestäm normalens riktningskoefficient. d) Försök att hitta ett samband mellan normalens riktningskoefficient och den ekvation som ges i a-uppgiften.
1 2 3 5 6
;
2012-07-09 18.29
Gruppaktivitet Bilda två grupper med 3 – 4 personer i varje grupp. n
n
1
Båda grupperna antecknar exempel på några samband som kan beskrivas av linjära funktioner. Grupperna byter exemplen med varandra och ska ange ekvationer för dessa linjära samband. Diskutera sedan rimlighet i exemplen, definitionsmängd och värdemängd.
5 6
Båda grupperna antecknar andra ekvationer för några linjära funktioner. Grupperna byter exempel med varandra och ska fundera ut problem som kan lösas med de nu erhållna funktionerna. Diskutera sedan rimlighet i exemplen, definitionsmängd och värdemängd.
Två bilar kör från Malmö mot Stockholm. Den ena startar 8.00 och kör med hastigheten 80 km/h. Den andra startar 40 minuter senare och kör med hastigheten 90 km/h. Hur dags kommer den andra bilen ikapp den första och hur långt har de kört då?
1 2 3 4
REFLEKTERA OCH DISKUTERA 1.1–1.2 Avgör för varje påstående om det är sant eller falskt eller sant om (sant under vissa förutsättningar). Motivera svaren med ord eller beräkningar där det är möjligt.
1
1 Den räta linjen y = –2x + 2 skär x-axeln där x = 2. 5
2 Den räta linjen x – y + 1 = 0 har riktningskoefficienten 1.
6
3 Funktionen y = 2x – 5 är avtagande. 4
Den räta linjen y = 5 saknar k-värde.
5
Värdet på k byter tecken om punkterna (x2, y2) och (x1, y1) byter plats i formeln k =
y2 − y1 x2 − x1
Svar med motiveringar finns på lärarwebben.
;
e2b.indb 31
2012-07-09 18.30
■ ■
Till de olika böckerna finns även en webb för eleverna som innehåller teorigenomgångar, interaktiva laborationer, självrättande tester och prov m.m. Gå gärna in på www.gleerups.se och prova en demo. Till Exponent finns även ett rikt material till läraren på en lärarwebb. Här finns extra uppgifter, prov, laborationsförslag och annat kompletterande material. Exponent tas fram i samarbete med lärare och elever. Du kan följa utvecklingen av detta arbete genom att gå in på www.gleerups.se/lab
µ– 3σ
34,1 %
34,1 % 2,3 %
µ– 2σ
µ– 1σ
13,6 %
Exponent svart för yrkesprogrammen (kurserna 1a, 2a) Exponent gul för EK, ES, HU och SA (kurserna 1b, 2b, 3b) Exponent röd för NA och TE (kurserna 1c, 2c, 3c, 4, 5)
13,6 %
■
2b
Exponent 2b är ett läromedel i matematik för gymnasieskolans program EK, ES, HU och SA. Exponent finns för alla kurser och för alla program i gymnasieskolan.
e ponent
e ponent
µ
µ +1 1σ
2,3 %
µ +2 2σ
µ +3σ
e ponent
,
2b Författare till Exponent 2b är Susanne Gennow, Ing-Mari Gustafsson och Bo Silborn. Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av undervisning i matematik på gymnasienivå.
e2b_omslag_120705.indd 1
2012-07-09 19.14