9789127429390 by Smakprov Media AB

MAT TE

MAT TE MAT TE

Ingrid Olsson · Margareta Forsbäck ELDORADO grundlägger en god matematisk förståelse på ett sätt som väcker lust för matematik. Eleverna får upptäcka matematiken i en undervisning som synliggör begrepp, strukturer och samband.

Olsson · Forsbäck

Grundbok Skriva är en bok som eleverna skriver direkt i. Den följer grundbokens upplägg och innehåller grundkursen samt uppgifter på blå sidor för fortsatt träning. Introduktioner, utforskasidor och inforutor i kapitlen är likadana som i grundboken och varje kapitel avslutas på samma sätt med utvärdering, fördiagnos, repetition och klurig problemlösning. Facit finns att skriva ut på www.nok.se/eldorado. ELDORADO är ett läromedel i matematik med genomtänkt progression och samma författare för FK–åk 6. Åk 6 består av: MAT TE

MAT TE

Ingrid Olsson Margareta Forsbäck

• Grundböcker – finns även som Digitalbok med ljud och Skriva, en grundbok som eleverna skriver direkt i. • Lärarböcker • Facit

Mer om ELDORADO och de olika komponenterna hittar du på www.nok.se/eldorado. ISBN 978-91-27-42939-0

Grundbok 6 B Skriva

Ingrid Olsson Margareta Forsbäck

9 789127 429390

Omslag_Skriva6B_hela.indd 1

2013-11-11 13:25

Skriva6B.indb 3

2013-11-11 13:00

Innehåll Kapitel 5

Repetition

Samband och förändring Geometri Volym

Taluppfattning och tals användning Algebra

Geometri

Utvärdering 41 Repetition 42 Kul med matte 44

93 100

Sannolikhet och statistik

118

Samband och förändring

128

Problemlösning

Hastighet

Statistik och lägesmått Sannolikhet

Utvärdering

Repetition

144

Extrauppgifter kapitel 5–6 154 Viktigt att kunna Register

Kul med matte

Skriva6B.indb 3

138

Matematik i vardagen

Kapitel 6

158

168

2013-11-11 13:00

Välkommen till Eldorado 6 B! Här får du läsa lite om det som du möter i 6 B.

Nytt i grundbok 6 B i kapitel 5 och 6 Ju mer matematik du lär dig, desto viktigare är det att se hur kunskapen är en utveckling av dina tidigare kunskaper. Du kan ofta utnyttja tidigare kunskaper till att förenkla både innehållet i och beräkningen av en uppgift. Nu får du använda dina kunskaper om koordinater och proportionella samband (som t ex kilopriser) och rita och tolka grafer. Du kan då enkelt avläsa kostnaden för t ex 2 kg, 3kg och 4 kg äpplen för 18,90 kr/kg. Inom området geometri får du beräkna arean av cirklar, samt använda linjal och passare för att konstruera t ex liksidiga trianglar. Du får också bestämma volymen av rätblock och använda volymenheter med kubik. Då är det bra att veta att 1 dm³ motsvarar 1 liter. Du har tidigare arbetat med sträcka och tid och möter nu hastighet, vilket innebär sträcka per tidsenhet, t ex kilometer per timme (km/h). Här får du t ex beräkna hur långt man hinner på 1 timme, 2 timmar och ½ timme om man färdas med medelhastigheten 80 km/h. Inom statistik har du tidigare arbetat med olika slags diagram. Nu möter du även stolpdiagram som kan användas vid redovisning av tal. Du har också använt lägesmåtten medelvärde och typvärde och nu tillkommer median, samt träning på att välja lämpligt lägesmått i olika sammanhang.

Repetition i 6 B På s 74 presenteras repetitionsdelen. Här tillkommer inget nytt, utan allt är repetition av den matematik som du mött tidigare. Till vart och ett av kursplanens områden finns här dels en eller två sidor Utforska med diskussionsuppgifter att lösa i grupp, dels uppgifter som du arbetar med på egen hand. Därefter följer textuppgifter inom olika teman, där du tränar såväl kunskaper som förmågor. De olika delarna kan klassen arbeta med i valfri ordning.

Vad ska man ha allt räknande till? Alla kunskaper i räknande, geometri, statistik, algebra m m kan jämföras med olika verktyg. För att bygga ett hus behövs olika verktyg och när man ska lösa ett matematiskt problem i vardagen, på en mattelektion eller i ett framtida yrke behövs

 Välkommen till Eldorado 6 B!

Skriva6B.indb 4

2013-11-11 13:00

olika ”matteverktyg”. I åk 1 kunde du inte hantera så många ”matteverktyg”, utan du fick möta problemsituationer som löstes med enbart addition och subtraktion. Nu i åk 6 kan en problemuppgift behöva lösas med många olika ”matteverktyg”, som t ex bråk, procent, decimaltal, volymberäkning med m³, medelvärde och sedan kanske du avslutar med att skriva ett uttryck som du löser med hjälp av en ekvation. Komplicerade uppgifter kräver ofta att du använder många olika ”verktyg”.

Strukturer, mönster, samband och generalisering Ju mer du lär dig, ju viktigare blir det att kunna se mönster i det nya och att kunna se samband mellan det nya och tidigare kunskaper. När du möter något nytt så reflektera alltid över hur det kan höra ihop med något som du redan kan. Då blir det enklare att förstå matematik och att sedan kunna generalisera och hantera symboler, vilket är matematikens styrka.

Betyg Nu är det en ny termin och du kanske vill förbättra ditt betyg i matematik från höstterminen. Fundera på vad du vill bli ännu bättre på och diskutera detta med din lärare. Kanske bör du träna lite extra på t ex tabeller, enheter eller bråk. På webbsidan www.nok.se/eldorado/raknamera kan du träna många olika moment, även hemifrån. Våga fråga om det är något som du inte förstår på mattelektionerna. Ju fler saker som man inte förstår, ju svårare blir det att förstå fortsättningen. Får man hjälp med att förstå en sak, så är det ofta fler moment som också klarnar.

Inför nationella ämnesprovet i matematik Ta nu chansen och visa dina kunskaper på det nationella provet. Visa att du behärskar samband och resonemang och skriv hellre för mycket än för lite när du ska redovisa dina lösningar. Tänk på att det ofta underlättar att rita enkelt. Våga pröva att lösa alla uppgifter! Känner du inte igen en uppgiftstyp, så tänk efter om du kanske mött något liknande tidigare. Läs uppgiften en gång till, kanske förstår du då hur du ska lösa den. Vi hoppas att du ska lyckas bra på det nationella provet. Vi hoppas också att du ska ha god nytta av dina kunskaper i matematik och att de ska vara en stabil grund för ditt fortsatta lärande. Lycka till i fortsättningen! Ingrid och Margareta

Välkommen till Eldorado 6 B! 

Skriva6B.indb 5

2013-11-11 13:00

Kapitel

Vad måste du tänka på när du graderar axlarna i ett koordinatsystem?

Samband och förändring • Koordinater. Ålder

B D

• Punktdiagram.

C A Äppeljuice

Kostnad (kr) 50

Längd

40 30 20 10

• Grafer – läsa av, rita egna och gradera axlarna.

Volym (liter)

Koncentrerad saft 3 2

• Proportionella samband, tabeller och grafer.

Saft

1 dl

1,5 dl

2 dl

Vatten

3 dl

4,5 dl

6 dl

Vatten

• Icke proportionella samband.

6 Skriva6B.indb 6

2013-11-11 13:00

Hur många cm2 är 1 dm2 ?

Geometri

m²

• Areaenheterna m², dm², cm² och mm². Enhetsbyten med areaenheter.

dm² 0

cm²

mm²

0 1

• Cirkelns area.

2,5 m

• Beräkna area. 3m

• Använda samma enheter i en beräkning.

• Konstruera med passare och linjal: - trianglar - mittpunktsnormal

Vad måste du göra här innan du beräknar den här arean? 5 cm 1 dm

Volym m³

• Volymenheterna l, dl, cl och ml, samt m³, dm³ och cm³. Enhetsbyten med volymenheter.

dm³ l

cm³ dl

0 1

• Sambanden l – dm³ och ml – cm³.

• Beräkna volymen av rätblock. • Använda samma enheter i en beräkning.

Vilket samband finns mellan cm, cm2 och cm3 ? Är 1 liter lika mycket som 1 dm3 ?

7 Skriva6B.indb 7

2013-11-11 13:00

Samband och förändring Utforska

y 7 6

A Koordinatsystem

5 4

a) Rita av koordinatsystemet och gradera axlarna.

b) Ange koordinaterna för origo, samt för punkterna A och B.

–3 –2 –1 –1

c) Sätt ut punkterna C (0, 3), D (3, 0) och E (–2, 4).

x 1

–2 –3

B Punktdiagram Ålder och pris på Pålle och Blacken Pris

• P och B i punktdiagrammet motsvarar de två hästarna Pålle och Blacken.

a) På vilken axel kan du läsa av åldern? B

b) På vilken axel kan du läsa av priset? c) Vilken av hästarna är äldst? Hur vet du det? Ålder

d) Jämför priserna på hästarna.

• Punkterna i diagrammet visar personerna A, B, C och D.

Ålder

C A

a) Vem är lika lång som A?

b) Vem är lika många år som A? c) Vem är hälften så gammal som C?

Längd

• Båda diagrammen visar eleverna A och B. Är följande påståenden sanna eller falska?

Ålder

a) Den som är längst har flest syskon. b) Den som har flest syskon är yngst. c) Den som är äldst har flest sällskapsdjur.

Längd Antal sällskapsdjur

A B Antal syskon

KAPITEL 5  Samband och förändring

Skriva6B.indb 8

2013-11-11 13:00

C Grafer Tilda åker buss till skolan. Den blå grafen visar hur långt hon åker och hur lång tid det tar.

Sträcka (km)

a) Vad visar den lodräta axeln?

b) Vad visar den vågräta axeln? c) Skolbussen stannar en gång. Vid vilken bokstav är det?

7 6

5 4

d) Hur långt är det till skolan (D) från busshållplatsen där Tilda stiger på (A)?

e) Hur lång tid tar hela resan?

f) Hur länge står bussen och väntar?

A 3

Tid (min)

g) Kör bussen lika fort efter som före stoppet? Hur vet du det?

D Proportionalitet och linjära samband

Äppeljuice

Kostnad (kr) 50

• Grafen visar kostnaden för äppeljuice. a) Vad kostar 4 liter äppeljuice? b) Vad kostar 6 liter äppeljuice? c) Ungefär hur mycket äppeljuice får du för 25 kr? d) Vad kostar äppeljuicen per liter?

40 30 20 10

e) Hur ändras grafen om priset per liter höjs respektive sänks? • Eleverna säljer kaffe med bulle på idrottsplatsen. För att förenkla när de ska ta betalt har de gjort en tabell med pris för olika antal portioner.

Volym (liter)

Värdetabell Portioner Pris

12 kr

24 kr

36 kr

a) Hur ska tabellen fortsätta? b) Är priset proportionellt mot antalet portioner? Jämför bråken: 12 1

24 36 2 3

• Gör ett koordinatsystem och lägg in priset på y-axeln och antalet portioner på x-axeln. Gradera axlarna på lämpligt sätt. Det behöver inte vara samma gradering på x-axeln som på y-axeln. Dra sedan en linje från origo genom alla punkter som du lagt in. KAPITEL 5  Samband och förändring

Skriva6B.indb 9

2013-11-11 13:00

KOORdINATSYSTEM, PUNKTdIAGRAM OcH GRAFER Koordinatsystem: Här anges en punkts läge med två tal. Det talparet kallas punktens koordinater. Det första talet anger läget i relation till x-axeln och det andra läget i relation till y-axeln, t ex A (2, 3). Koordinatsystemet är indelat i fyra kvadranter. X-axeln och y-axeln korsar varandra i nollpunkten, origo. Tal till vänster om origo på x-axeln är negativa liksom talen nedanför origo, på y-axeln.

2:a kvadranten

y-axel

1:a kvadranten

(2, 3) A

(–3, 1)

2 1

–4 –3 –2 –1 –1

(–3, –2)

–2

(4, –1)

origo

–3

x-axel

–4 3:e kvadranten

4:e kvadranten

Ålder och pris på Pålle och Blacken Pris

Punktdiagram: Varje punkt i ett punktdiagram beskriver punktens relation till de egenskaper som finns på x- respektive y-axeln. Man kan enkelt jämföra två punkters egenskaper och visa samband eller skillnader.

P B

Ålder Vattenmängd

D E

Grafer: En graf är oftast en kurva eller en linje. Grafen kan visa händelser eller samband.

B A

Tid

1 Rita ett koordinatsystem där både x-axeln och y-axeln går från –3 till 7. Sätt ut punkterna A (3, 1), B (5, 2), C (4, 0), D (1, 3), E (–1, 4) och F (2, –1). Dra streck från A till B, från B till C och från C till A.

2 A och B är två cyklister som jämför hur de cyklar olika dagar. Vilken dag gäller vart och ett av påståendena? a) A har cyklat längre sträcka än B. ��

Sträcka

b) B har cyklat längre sträcka än A. �� c) A har cyklat längre tid än B.

Dag 1

Dag 2

Sträcka

Dag 3

A Tid

B Tid

Tid

��

d) A och B har cyklat lika lång sträcka.

��

e) A och B har cyklat lika lång tid, men olika lång sträcka.

Sträcka

��

KAPITEL 5  Samband och förändring

Skriva6B.indb 10

2013-11-11 13:00

3 Samira, Emil, Tilda och Anton packar ned böcker som de lånat i sina ryggsäckar. a) Vem har lånat flest böcker?

Antal böcker

Anton

��

b) Vad kan du säga om vikten på Antons och Tildas ryggsäckar?

Samira

Emil

Tilda

��

c) Jämför Emils och Samiras ryggsäckar. Vad kan du säga om antalet böcker och om vikten? Vikt

�� Ålder

4 Några elever jämför sina cyklar. De har olika storlek på hjulen. Rita in i punktdiagrammet att a) elev A är lika gammal som elev B, men har större cykelhjul. b) elev B är yngre än elev C och de har lika stora cykelhjul.

Hjuldiameter

5 Båtaffären säljer ut restbitar av olika rep. Markera de olika repen A, B, C, D och E i punktdiagrammet.

Kostnad

a) B är dyrare än A, men repet är lika långt.

Repbitar

b) C är kortare än A och billigare. c) D är längre än A, men kostar lika mycket som A. d) Bestäm själv hur E förhåller sig till A. Skriv det och rita in E.

��

Längd

�� KAPITEL 5  Samband och förändring

Skriva6B.indb 11

2013-11-11 13:01

6 Anton och Samira går från skolan till biblioteket. Para ihop händelserna med rätt bokstav. a) Efter ungefär halva vägen stannar Samira och pratar med en kamrat. b) De är framme.

Sträcka

��

c) Anton kommer ifatt Samira och de gör sällskap resten av vägen. �� d) Samira startar före Anton.

��

e) Anton startar från skolan.

��

7 Anton tappar upp vatten i badkaret. Medan vattnet rinner i händer det olika saker som gör att han måste ändra på vattenflödet. Para ihop händelserna med rätt bokstav. a) Det ringer på dörren. Anton stänger av och går och öppnar. b) Anton minskar vattenflödet. c) Anton drar ur proppen och tappar ur en del av vattnet.

B Tid

Vattenmängd

D E B A

��

Tid

��

d) Anton kommer tillbaka och fortsätter att tappa upp vattnet. 8 Emil och Tilda gör sällskap till biblioteket. Efter en kort stund vänder Emil för att hämta sitt lånekort. Tilda väntar på honom. Sedan fortsätter de tillsammans.

��

Sträcka

Rita in grafen för Tildas promenad i diagrammet.

Tid

KAPITEL 5  Samband och förändring

Skriva6B.indb 12

2013-11-11 13:01

PROPORTIONALITET OcH LINJäRA SAMBANd Proportionalitet betyder att förhållandet mellan t ex pris och vikt är konstant. Kvoten mellan priset och vikten är samma, t ex 1 hg kostar 6 kr, 2 hg kostar 12 kr 6 = 12 = 18 = 24 1 2 3 4 Proportionalitet kan visas på olika sätt. När man t ex ska blanda koncentrerad saft och vatten kan proportionaliteten visas – som förhållande: 1 dl saft och 3 dl vatten ger 4 dl saft, förhållandet är 1:3. 4 dl saft och 12 dl vatten ger 16 dl saft, förhållandet är 1:3. Koncentrerad saft

– som en graf:

3 2 1

Vatten

Ett linjärt samband är en graf som visar proportionalitet, dvs en rät linje. Ett icke linjärt samband är en kurva eller en linje som är delad.

9 Emil och hans kompisar ska blanda olika sorters saft. a) Flädersaften ska blandas 1:5. De häller 3 dl koncentrerad saft i kannan. Hur mycket vatten behövs? �� b) Hallonsaften ska blandas 2:3, dvs 2 delar saft och 3 delar vatten. Hur mycket färdigblandad saft får de om de tar 6 dl koncentrerad saft? ��

c) De ska ha 16 dl färdigblandad apelsinsaft. Hur mycket koncentrerad saft behövs om apelsinsaften ska blandas 1:7? �� 10 Fyll i kostnaderna för de olika viktsatserna. Vikt Kostnad

1 hg

2 hg

3 hg

4 hg

6 hg

8 hg

1 kg

48 kr

KAPITEL 5  Samband och förändring

Skriva6B.indb 13

2013-11-11 13:01

11 a) Rita in värdena från varje tabell i var sitt koordinatsystem. A

b) Vilken eller vilka av dina grafer visar proportionalitet?

��

12 Vilken eller vilka av graferna visar proportionalitet, dvs linjära samband? Ringa in. A

13 Anton och Emil får 240 kr för att de har rensat ogräs. De fördelar pengarna efter hur mycket de har arbetat. Hur mycket får var och en om Emil har arbetat dubbelt så mycket som Anton? ��

KAPITEL 5  Samband och förändring

Skriva6B.indb 14

2013-11-11 13:01

Körsbär

Kostnad (kr) 70 60 50 40 30 20 10 1

Vikt (hg)

a) Vad kostar 5 hg körsbär?

��

b) Hur många hekto körsbär får du för 14 kr?

��

c) Vad kostar 1 kg körsbär?

��

d) Hur många hekto skulle du köpa och vad skulle det kosta? ��

15 Hur mycket kostar 4 hg ost om 7 hg kostar 62,30 kr? ��

16 Två personer, A och B, köper en lott tillsammans och vinner 10 000 kr. Vinsten ska fördelas i proportion till hur mycket var och en har betalat. Hur mycket får var och en om A har betalat 25 kr och B 75 kr? ��

KAPITEL 5  Samband och förändring

Skriva6B.indb 15

14b 2013-11-11 13:01

Blå

8 7 6 5 4 3 2 1

17 Ange koordinaterna för punkterna A, B, C, D och E. A

��

B D

��

–3 –2 –1 D –1 –2 –3

��

y B A

1 2 3 4 5 6 7 8

18 Punkterna i de två diagrammen beskriver tre matkassar A, B och C. a) Vilken av matkassarna är dyrast?

b) Vilken av matkassarna väger mest? c) Vilken av matkassarna väger minst?

�� Vikt

Kostnad ��

B Antal varor

e) Vilka matkassar innehåller lika många varor?B ��

��

d) Vilken matkasse är hälften så tung som C?

f) Vilka matkassar kostar lika mycket?

Vikt

Kostnad

��

C Antal varor

Antal varor

19 Punkterna i diagrammet visar fruktpåsarna A, B, C, D och E. a) Vilken påse är dyrast?

��

b) Vilken påse väger minst? c) Vilken påse väger mest?

Fruktpåsar

Kostnad

��

D C

��

d) Vilka påsar kostar lika mycket? e) Vilka påsar väger lika mycket?

��

�� Vikt

KAPITEL 5  Samband och förändring

Skriva6B.indb 16

2013-11-11 13:01

20 Vilken eller vilka av graferna A, B, C och D visar linjära samband. Motivera.

A B

��

C ��

��

21 Två personer, A och B, cyklar olika vägar från en plats till en annan. A cyklar först långsamt på en krokig väg. Sedan blir vägen rak och han cyklar fortare. Sista biten är en lång uppförsbacke som går sakta. B cyklar på en väg som är rak och fin till att börja med. Då går det fort och han hinner långt. Sedan kommer en brant uppförsbacke som går långsamt att ta sig upp för. När backen slutar är det en kort nedförsbacke innan han är framme. Vilken graf visar cykelfärden för person A respektive för person B? Sträcka

Sträcka Graf 1

Graf 1

Sträcka

person

Tid

Sträcka Graf 2

Tid

a) Vad kostar 10 häften?

��

b) Vad kostar 25 häften?

��

c) Vad kostar 15 häften?

��

e) Hur många häften får man för 400 kr?

person

��

22 Grafen visar priset för faktahäften.

d) Hur många häften får man för 600 kr?

Graf 2

��

Tid

Kostnad (kr) 700 600 500 400 300

��

200 100

��

Antal

KAPITEL 5  Samband och förändring

Skriva6B.indb 17

2013-11-11 13:01

MAT TE

MAT TE MAT TE

Olsson · Forsbäck

MAT TE

Ingrid Olsson Margareta Forsbäck

• Grundböcker – finns även som Digitalbok med ljud och Skriva, en grundbok som eleverna skriver direkt i. • Lärarböcker • Facit

Mer om ELDORADO och de olika komponenterna hittar du på www.nok.se/eldorado. ISBN 978-91-27-42939-0

Grundbok 6 B Skriva

Ingrid Olsson Margareta Forsbäck

9 789127 429390

Omslag_Skriva6B_hela.indd 1

2013-11-11 13:25