2a
Matematik
5000
Lärarhandledning till Kurs 2a Röd & Gul lärobok
Innehåll Inledning Lärarhandledningens uppläggning Matematik 5000 och ämnesplanen Aktiviteter i Matematik 5000 Tidsplan 1 Algebra och linjära modeller 10 Kommentarer och svar till lärobokens aktiviteter Kopieringsunderlag: Aktiviteter (3)/Träna mera (3) Uppgiftsbank 2 Algebra och ickelinjära modeller 48 Kommentarer och svar till lärobokens aktiviteter Kopieringsunderlag: Aktiviteter (2)/Träna mera (4) Uppgiftsbank 3 Geometri 90 Kommentarer och svar till lärobokens aktiviteter Kopieringsunderlag: Tema (1)/Aktivitet (1)/Träna mera (1) Uppgiftsbank 4 Utrustningslista 120 Materiel som används i lärobokens och lärarhandledningens aktiviteter
Innehåll
4
Lärarhandledningens uppläggning Lärarhandledningens kapitel består av två delar: Kommentarer och svar till lärobokens Aktiviteter samt Kopieringsunderlag.
Kommentarer och svar till lärobokens Aktiviteter Till samtliga Aktiviteter i läroboken finns en didaktisk kommentar. Där finns t ex svar och lösningar samt information om materiel och genomförande.
Kopieringsunderlag Kopieringsunderlaget består av Aktiviteter, Träna mera, Tema och en Uppgiftsbank. Aktiviteter I läroboken finns många Aktiviteter. I lärarhandledningen finns ytterligare några. Aktiviteterna presenteras dels som elevinstruktioner, dels som ett lärarmaterial med en beskrivning av aktiviteten. Varje aktivitet beskrivs med materiel, genomförande, kommentar och svar. Tanken med aktiviteterna är bland annat att eleverna under vissa matematik lektioner ska få arbeta mer undersökande och kreativt. Vid arbete med aktiviteterna får eleverna även möjlighet att bearbeta matematiska begrepp. Arbete parvis eller i grupp är lämpligt. Träna mera I Träna mera finns uppgifter till några avsnitt där många elever behöver mer träning. Uppgifterna är av sådan karaktär att eleverna främst får utveckla sin begrepps- och procedurförmåga. Uppgiftsbank Till varje kapitel finns förslag på uppgifter som kan användas som underlag vid konstruktion av prov. Uppgiftsbanken innehåller både uppgifter som ska lösas utan räknare och uppgifter som ska lösas med räknare. Uppgifterna är kategoriserade efter de förmågor som eleverna kan redovisa i sina lösningar. Till samtliga uppgifter finns svar och till vissa uppgifter finns även en kommentar och/eller en lösning.
Lärarhandledningens uppläggning
5
Matematik 5000 och ämnesplanen I ämnesplanen för matematik står bland annat: ”Undervisningen i ämnet matematik ska syfta till att eleverna utvecklar förmåga att arbeta matematiskt. Det innefattar att utveckla förståelse av begrepp och metoder samt att utveckla olika strategier för att kunna lösa matematiska problem och använda matematik i samhälls- och yrkesrelaterade situationer.” ”Undervisningen i ämnet matematik ska ge eleverna förutsättningar att utveckla förmåga att 1 använda och beskriva innebörden av matematiska begrepp samt samband mellan begreppen. 2 hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg. 3 formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och resultat. 4 tolka en realistisk situation och utforma en matematisk modell samt använda och utvärdera en modells egenskaper och begränsningar. 5 följa, föra och bedöma matematiska resonemang. 6 kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling. 7 relatera matematiken till dess betydelse och användning inom andra ämnen, i ett yrkesmässigt, samhälleligt och historiskt sammanhang.” Matematik 5000 ger eleverna mycket goda förutsättningar att utveckla förmågorna ovan. I läroboken finns pedagogiskt genomtänkta Teoriavsnitt, Övningsuppgifter (i tre nivåer), Aktiviteter (i fem kategorier), Teman, Historik och Problemlösning. Varje kapitel avslutas med Sammanfattning, Kan du det här?, Diagnos och Blandade övningar (i två varianter). Boken avslutas med Repetitionsuppgifter samt ett Facit med svar, ledtrådar och lösningar. I lärarhandledningen finns Träna mera, ytterligare Aktiviteter och Teman samt en Uppgiftsbank. Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elever till en variation av arbetssätt och arbetsformer och erbjuder eleverna många olika möjligheter att nå de kunskapsmål som beskrivs i ämnesplanen. På nästa sida har vi i en matris sammanställt förmågorna och kunskapskraven för kurs 2a.
Matematik 5000 och ämnesplanen
6
Aktiviteter i Matematik 5000 Varför? I ämnesplanen för matematik står bland annat: ”Undervisningen ska innehålla varierade arbetsformer och arbetssätt, där undersökande aktiviteter utgör en del. Undervisningen ska ge eleverna möjlighet att kommunicera med olika uttrycksformer.” Vi ser elevernas arbete med lärobokens och lärarhandledningens Aktiviteter som ett sätt att utveckla främst begrepps-, problemlösnings- och kommunikationsförmågan. Aktiviteterna finns i fem olika kategorier: Undersök, Upptäck, Diskutera, Laborera och Modellera. I de flesta av lärobokens kapitel finns också en Inledande aktivitet med syfte att introducera kapitlets innehåll. De flesta av Aktiviteterna är skrivna med tanke på ”pararbete” eller ”arbete i grupp”. I de arbetsformer som vi kallar ”pararbete” och ”arbete i grupp” ligger tonvikten på själva processen, att vara delaktig, att kommunicera och att tillsammans med andra bearbeta problemställningar som sedan redovisas skriftligt av varje elev individuellt eller muntligt av gruppen inför övriga kurskamrater. Genom den kommunikation som sker inom gruppen vid arbete med Aktiviteterna så bearbetas begrepp och frågeställningar utifrån elevernas egna förutsättningar och erfarenheter. Vi rekommenderar att varje elev samlar sina skriftliga redovisningar av Aktiviteterna i en mapp. Mappen ger en bra bild av vad eleven presterat under kursen och utgör en del av underlaget vid betygssättning. Vi ser arbete med Aktiviteterna som en möjlighet att variera lektionernas innehåll och som en integrerad del till ett mera ”traditionellt” arbetssätt utifrån lärobokens teoriavsnitt och övningsuppgifter. Vår uppfattning är att en balans mellan dessa arbetssätt stimulerar elevens intresse för matematikämnet och ökar elevens möjligheter att utveckla de sju förmågor som beskrivs i ämnesplanen.
Hur? Gruppsammansättningen har stor betydelse. Vi rekommenderar därför att gruppindelningen sker på ett strukturerat sätt. Man kan t ex göra en gruppindelning genom lottning. Under kursens gång kommer då eleverna att ha arbetat tillsammans med de flesta av sina kurskamrater någon gång. Förutom att få många tillfällen att öva sig att kommunicera om frågor med matematiskt innehåll, har eleverna även tränat sig att samarbeta.
När? Lärobokens kapitel börjar med en Inledande Aktivitet. En sådan (ofta ganska kort och enkel) Aktivitet introducerar en del av teorin i det kommande kapitlet. Även många av de andra Aktiviteterna i läroboken leder in mot kommande teoriavsnitt och är tänkta att genomföras när man kommer till den aktuella sidan. Lärahandledningens Aktiviteter genomförs vid lämplig tidpunkt och i mån av tid. Aktiviteter i Matematik 5000
8
Tidsplan till Matematik 5000 kurs 2a Röd & Gul Lärobok Ämnesplanen för Matematik ger ett poängtal för varje kurs. Kursen Matematik 2b ger 100 poäng. Någon direkt koppling till timtal finns inte. Vi ger här ett förslag till en tidsplan där 90 klocktimmar fördelas på de olika momenten. Det är ej möjligt att inom ramen för en kurs på 90 timmar, hinna med att göra allt som läromedlet erbjuder. I det enskilda fallet får man, med utgångspunkt i kursens centrala innehåll och kunskapskrav, anpassa innehåll och tidsplan till det faktiska timtalet och till klassens nivå. Kap 1 Algebra och linjära modeller 1.1 Algebra 1.2 Funktioner 1.3 Räta linjens ekvation 1.4 Linjära ekvationssystem
29 6 6 9 8
Kap 2 Algebra och icke-linjära 26 modeller 2.1 Potenser och potensekvationer 5 2.2 Mer algebra 3 2.3 Andragradsekvationer 5 2.4 Andragradsfunktioner 5 2.5 Exponential- och potensfunktioner 8
Kap 3 Geometri 12 – 14 3.1 Geometri och algebra 8 3.2 Likformighet och symmetrier* 4 3.3 Trigonometri och vektorer* 6 Övrigt Diagnos/Repetition/Prov
21 – 23
Summa 90
* Fördjupningsmoment. Välj avsnitt utifrån karaktärsämnenas behov.
Tidsplan till Matematik 5000 kurs 2a Röd & Gul Lärobok Tidsplan till Matematik 5000 kurs 2a Röd & Gul Lärobok
9
1
ALGEBRA OCH LINJÄRA MODELLER
Innehåll Kommentarer och svar till lärobokens aktiviteter Inledande aktivitet Aktivitet – Diskutera Aktivitet – Diskutera Aktivitet – Upptäck Aktivitet – Laborera Aktivitet – Diskutera
Positiva och negativa tal 11 Vilka uttryck är lika? 12 Graf, formel, tabell och beskrivning 14 Torghandel 19 Trästavar med skruv 21 Sant eller falskt? 22
Kopieringsunderlag Aktivitet – Laborera Karamellburken 23 Aktivitet – Diskutera Grupparbete med linjära funktioner 25 Aktivitet – Laborera Vilket är det tredje priset? 27 Träna mera Algebraiska uttryck och ekvationer 29 Träna mera Räta linjens ekvation 31 Träna mera Ekvationssystem 33
Uppgiftsbank Kapitel 1, Algebra och linjära modeller 36
1 Algebra och linjära modeller
10
Uppgiftsbank kapitel 1, Algebra och linjära modeller Tanken med uppgiftsbanken är att den kan användas som underlag vid konstruktion av prov. Lärarna väljer ett antal uppgifter ur banken och kompletterar med egna uppgifter så att provet får en lämplig omfattning och svårighetsgrad. Vi har här gjort ett försök att kategorisera uppgifterna utifrån de förmågor som beskrivs i ämnesplanen. En gränsdragning mellan de olika förmågorna kan ibland vara svår att göra och för att underlätta kategoriseringen har vi slagit samman förmågorna två och två. B/P (Begrepp/Procedur) PL /M (Problemlösning/Modellering) R /K (Resonemang/Kommunikation) 1.1 Algebra Negativa tal och prioriteringsregler /Tal i bråkform /Algebraiska uttryck / Formler /Ekvationer /Lösa ut ur formler 1.2 Funktioner Koordinatsystem /Funktion, formel, värdetabell och graf /Mer om funktioner / Grafritande räknare /Skillnader mellan begreppen uttryck, ekvation och funktion 1.3 Räta linjens ekvation Inledning / k-värde och m-värde /En formel för linjens lutning / Räta linjens ekvation /Linjära modeller /Mer om räta linjer 1.4 Linjära ekvationssystem Grafisk lösning /Substitutionsmetoden /Additionsmetoden /Några speciella ekvationssystem /Tillämpningar och problemlösning Del I Utan räknare Uppgift
Svar (Kommentar)
1001 (B/P) Jonas arbetar med en fast timlön. På 2 timmar tjänar a) 375 kr b) 125x han 250 kr. c) 125x = 3 000 a) Hur mycket tjänar han på 3 timmar? b) Skriv ett uttryck som beskriver hur mycket han tjänar på x timmar. c) På x timmar tjänar han 3 000 kr. Beskriv detta med en ekvation.
1 Algebra och linjära modeller
36
2
ALGEBRA OCH ICKE LINJÄRA MODELLER
Innehåll Kommentarer och svar till lärobokens aktiviteter Inledande aktivitet Aktivitet – Upptäck Aktivitet – Upptäck Aktivitet – Undersök Aktivitet – Undersök Aktivitet – Upptäck Aktivitet – Laborera Aktivitet – Diskutera
Olika beräkningar – samma resultat 49 Kvadreringsreglerna 50 Samband mellan rötter och koefficienter 52 Andragradsfunktioner 53 Rektanglar med given omkrets 54 Exponentialfunktionen y = C ∙ a x 56 Termosen 57 Sant eller falskt? 58
Kopieringsunderlag Aktivitet – Laborera Aktivitet – Undersök Träna mera Träna mera Träna mera Träna mera
A-serien 59 Linjära och kvadratiska funktioner 61 Potenser och potenslagar 65 Förenklingar av algebraiska uttryck 68 21 st andragradsekvationer 70 Exponential- och potensfunktioner 72
Uppgiftsbank Kapitel 2, Algebra och icke-linjära modeller 75
2 Algebra och ickelinjära modeller
48
Aktivitet Olika beräkningar – samma resultat
INLEDANDE UNDERSÖK
(Lärobok s. 93)
Kommentar Eleverna får möjlighet att upptäcka och bevisa ett matematiskt samband. Avsluta med en gemensam redovisning/genomgång.
Svar 1 Rebecka: 10 ∙ 11 = 110 Marco: 10 + 102 = 10 + 100 = 110 2 Rebecka: 75 ∙ 76 = 5 700 Marco: 75 + 752 = 75 + 5 625 = 5 700 3 Rebecka: 2,5 ∙ 3,5 = 8,75 Marco: 2,5 + 2,52 = 2,5 + 6,25 = 8,75 4 Rebecka: x ∙ (x + 1) = x ∙ x + x ∙ 1 = x2 + x Marco: x + x2
2 Algebra och ickelinjära modeller
49
Sid 1 (2)
Aktivitet Linjära och kvadratiska funktioner
UNDERSÖK
Kommentarer Låt eleverna arbeta parvis, eller i grupp, med denna aktivitet. Låt eleverna arbeta med grafritande räknare. I denna Aktivitet får eleven möjlighet att reflektera över sina erfarenheter av linjära och kvadratiska funktioner. Aktiviteten är mycket lämplig för arbete i par eller i grupp. Här får eleven stora möjligheter att uttrycka sig med hjälp av matematikens språk och att öva sig på att argumentera för sina tankar om matematiska begrepp.
Svar 1 a) – x 2 + 6 x – 5 b) y = – x 2 + 6 x – 5 c)
y 5 4 3 2 1 −2 −1 −1
x 1
2
3
4
5
6
7
8
−2 −3 −4 −5
3 a) Andragradsfunktionens nollställen sammanfaller med de linjära funktionernas nollställen. b) Symmetrilinjen ligger mitt mellan nollställena. c) Andragradsfunktionen skär y-axeln där y-värdet är lika med produkten av linjernas m-värden.
Algebra och ickelinjära modeller
63
Sid 1 (2)
Kapitel 2 Exponential- och potensfunktioner
TRÄNA MERA
1 Lös ekvationen a) x3 = 6 b) 2x3 = 16 2 Ett exempel på en potensfunktion är y = 10x 3 a) Beräkna y då x = 4 b) Beräkna x då y = 20 3
y 200 y = 20 · 1,25
x
100
20
x 5
10
Figuren visar grafen till en expotentialfunktion. a) Bestäm med hjälp av grafen värdet på y då x = 4. Kontrollera svaret med formeln och räknaren. b) Bestäm med hjälp av grafen lösningen till ekvationen x 20 ∙ 1,25 = 60. Kontrollera svaret med räknaren. 4 f ( x) = 20 √ x och g ( x) = 52 är två potensfunktioner. x a) Beräkna f (2) och avrunda svaret till heltal. b) Är det sant att f (0,6) är större än g (0,6)? Motivera ditt svar. c) Funktion f ( x) kan skrivas f ( x) = 20 x a. Vilket tal är a? d) Funktion g ( x) kan skrivas g ( x) = 5 x b. Vilket tal är b?
Kopieringsunderlag © 2013 Författarna och Natur och Kultur · MATEMATIK 5000 Kurs 2a Lärarhandledning · 978-91-27-42981-9
72
3
GEOMETRI
Innehåll Kommentarer och svar till lärobokens aktiviteter Inledande aktivitet Aktivitet – Diskutera
Trianglar och månghörningar 91 Sant eller falskt? 92
Kopieringsunderlag Tema Aktivitet – Undersök Träna mera
Topptriangelsatsen och transversalsatsen 93 Dynamisk geometri 99 Geometri och algebra 102
Uppgiftsbank Kapitel 3, Geometri 106
3 Geometri
90
LENA ALFREDSSON
HANS HEIKNE
Matematik 5000
är ett helt nytt läromedel, anpassat till läroplanen Gy2011. Det täcker alla program på gymnasieskolan och finns nu även för introduktionsprogrammen och vuxenutbildningen. Den här lärarhandledningen är avsedd för avsedd för Kurs 2a Röd & Gul lärobok. Varje kapitel omfattar kommentarer och svar till lärobokens Aktiviteter. Här finns också kopieringsunderlag till ytterligare Aktiviteter, Träna Mera samt Tema. Dessutom ingår för varje kapitel en Uppgiftsbank med uppgifter kategoriserade efter de förmågor som kan redovisas i lösningarna, ett utmärkt hjälpmedel vid t ex provkonstruktion. För aktuell information om serien och digitalt material, besök www.nok.se/matematik5000
ISBN 978-91-27-42981-9
9 789127 429819