9789147115006

KARLEBO

h a ndbok Redaktion: Stefan Bjรถrklund Gรถran Gustafsson Lennart Hรฅgeryd Bengt Rundqvist

ISBN 978-91-47-11500-6 © 2015 Författarna och Liber AB Förläggare: Peter Rajan Redaktör: Lennart Köhler, Ord & Vetande Projektledare: Kajsa Lindroth Grafisk form och omslag: Nette Lövgren Sättning: Monica Schmidt, Exakta Produktion: Jürgen Borchert Sextonde upplagan 1 Repro: Exaktaprinting, Malmö Tryck: People Printing, Kina 2015

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningssamordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se Kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08–690 93 01 E-post kundservice.liber@liber.se

Förord

Förord Karlebo handbok har varit verkstadsfolkets ”bibel” sedan 1936. Målgruppen har efter hand vidgats till framför allt maskintekniker, och boken riktar sig idag till tekniker på alla nivåer från skolelev till civilingenjör. Ambitionen är som förut att den ska tjäna både som lärobok och som uppslagsverk med särskilt fokus på produktion och dess förutsättningar.

Den nya, 16:e upplagan, är kraftigt omarbetad och utvidgad. Nya områden har tillkommit, och all text är granskad och uppdaterad. Avsnitt om t.ex. material, maskinelement, tribologi, produktionssystem, arbetsmätning, simulering och limning är nyskrivna.

Helt nya avsnitt har införts om verktygsmaskiner, NC-teknik, industrirobotar, underhåll, kommunikation och information, mekatronik, elbilar, batterier och miljöteknik.

Tabeller och hänvisningar till standarder är uppdaterade till vad som gäller vid utgivningen av boken. Men då standardummer ofta ändras, rekommenderar vi läsaren att ändå kontrollera giltigheten.

Redaktionskommittén har bestått av civilingenjör Lennart Hågeryd, tekn. lic. Stefan Björklund, tekn. dr Göran Gustafsson och docent Bengt Rundqvist. Kommittén har gjort merparten av arbetet med den nya upplagan och har haft ansvar för innehållet.

Flera nya medförfattare och granskare har medverkat. En lista över samtliga medarbetare finns på sidan 5. Respektive kapitels författare är angivet med signatur. I samarbete med Lennart Köhler på Ord & Vetande har språket förnyats och moderniserats.

Eftersom vi strävar efter att ständigt förbättra handboken är vi tacksamma för alla förslag till förbättringar.

Göteborg, Linköping och Stockholm, 2015 Stefan Björklund Lennart Hågeryd

Göran Gustafsson Bengt Rundqvist

3

4

Medarbetare

Medarbetare Namn Signatur P.A. Almström, Peter, docent H.A. Andersson, Hans E.B., docent Apelskog Killander, Lena, tekn.dr L.A.K. Backman, Ragnar, överingenjör R.B. Berglund, Lars, professor L.B. B.B. Bergman, Bo, professor Bertilsson, Tore, ingenjör T.B. Björklund, Stefan, tekn.lic.

S.B. Björklöf, Dag, professor D.B. P.B. Blomstedt, Per, MSc. M.B. Broddegård, Mattias, civ.ing.

R.C. Carlsson, Roger, professor Carlsson, Torgny, docent T.C. Dolk, Åke, civilingenjör Å.D. A.E. Enqvist, Arne, fil.dr Frelin, Bengt, ingenjör B.F. P.F. Fryklund, Per, direktör Glavatskih, Sergei, professor S.G. Gralén, Klas, universitetslektor K.G. H.G Gren, Hans, ingenjör Gröndahl, Peter, docent P.G. G.G. Gustafsson, Göran, tekn.dr Hjalmarsson, Åke, civilingenjör Å.H. Hådeby, Håkan, tekn.dr H.H. L.H. Hågeryd, Lennart, civilingenjör Häggström, Joachim, civilingenjör J.H. E.H. Höglund, Erik, professor Hölcke, Jan, universitetsadjunkt J.H-e.

Ivarsson, Jan, fil.dr J.I. H.J. Johansson, Hans, tekn.dr Kaminski, Jacek, docent?

J.K. Karlsson, Matts, professor M.K. Karlsson, Per-Olof, ingenjör P-O.K. Kjellberg, Lars, ingenjör L.K B.K. Klefsjö, Bengt, professor Leijon, Willy W.L. Lensvall, Elve, ingenjör E.L. Lindahl, Mattias, docent M.L. Lindahl, Per-Erik, högskolelektor P.-E.L. Lindén, Gunnar, tekn.lic.

G.L. Lindström, Bo, professor B.L. Loyd, Dan, professor D.L. Lund, Knut, överingenjör K.L. Lundgren, Sven G., civilingenjör S.G.L. Lundkvist, Bo, överingenjör B.L-t Lövgren, Alf, civilingenjör A.L. Melkersson, Kjell, tekn.lic.

K.M. Mundt, Börje, universitetslektor B.M. Nilsson, Fred, professor F.N. F.N-n Nilsson, Fredrik, tekn.lic.

5

6



Nilsson, Larsgunnar, professor Nyborg, Lars, bitr. professor Odenrick, Per, docent Olsson, Karl-Olof, professor Onori, Mauro, professor Rundqvist, Bengt, docent Sethson, Magnus, tekn.dr.

Svenningsson, Inge, dr. professor Svensson, Barbro, tekn.lic.

Svensson, Ingemar, civilingenjör Terselius, Björn, docent Ullman, Erik, civilingenjör Wallin, Hans Peter, universitetslektor Weman, Klas, professor Wibom, Roger, universitetsadjunkt Wiklund, Greger, civilingenjör Öjmertz, Christian, tekn.dr Österberg, Lars, civilingenjör

Lg.N. L.N. P.O. K.O.O. M.O. B.R. M.S. I.S. B.S. I.S-n B.T. E.U. H.P.W. K.W. R.W. G.W. C.Ö.

L.Ö.

Förlaget vill tacka alla tidigare medarbetare för deras arbete att hålla verket levande och aktuellt genom åren.

Innehåll Förord .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Medarbetare.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1. Matematik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.

Matematiska beteckningar och symboler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2. Talsystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3. Logaritmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.

Derivator, integraler och differentialekvationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.

Linjära ekvationssystem.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.6.

Sannolikhet och statistik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.7.

Tekniska beräkningar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.8. Vinkelfunktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.9. Trigonometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.10. Plangeometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.11. Rymdgeometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.12. Avrundning av siffertal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2. Måttsystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.1. SI-systemet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.

Tekniska måttsystemet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.3.

Brittiska och amerikanska måttenheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4. Äldre svenska måttenheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3. Mekanik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1. Rörelser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2. Rörelselagarna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3. Rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4. Masströghetsmoment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.

Kinetisk energi (rörelseenergi). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6.

Centripetalkraft och centrifugalkraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7. Friktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.8. Fallrörelse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.9. Stötar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.10. Jämviktsvillkor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.11. Mekaniska svängningar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.12. Tillämpningar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 64 64 64 65 65 65 66 67 68 68 73

4. Värmeteknik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.1. Värmeöverföring. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.

Smältning, stelning och förångning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.

Specifik värmekapacitet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4. Värmeutvidgning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5. Förbränning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6.

Värmetekniska data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 82 83 83 83 84

5. Materiallära.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.1.

Data för grundämnen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.

Grundämnenas periodiska system. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.

Data för gaser och ångor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4. Densitet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 94 97 99

8



5.5. Resistivitet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.6.

Industriella och kemiska benämningar på tekniskt viktiga ämnen. . . . . . . . . . . . . . 107 5.7.

Metallografiska grundbegrepp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.8. Stål. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.9. Gjutjärn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.10. Gjutstål. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.11. Koppar och kopparlegeringar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.12. Aluminium och övriga lättmetaller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.13. Zink. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5.14. Pulvermetallurgiska material. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.15. Ugnar för värmebehandling.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.16. Provningsmetoder för metaller.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.17. Plaster. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.18. Elaster. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.19. Polymera fiberkompositer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 5.20. Keramer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 5.21. Trä och träprodukter.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 5.22. Europeisk samordning av material.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 5.23. Nanoteknik.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

6. Hållfasthetslära.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.1.

Grundläggande belastningsfall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Samtidig böjning och vridning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.

6.3. Kälverkan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4. Utmattning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Statistisk behandling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5.

6.6. Kontakthållfasthet.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Beräkning av balkar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.7.

6.8. Yttröghetsmoment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.9. Materialprovning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

233 237 238 239 243 245 245 254 254

7 Maskinelement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

7.1 Skruvförband. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 7.2. Axel-nav-förband.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 7.3. Fjädrar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 7.4. Lager.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 7.5. Översikt över mekaniska transmissioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 7.6. Kuggväxlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 7.7. Remväxlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 7.8. Kedjeväxlar.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 7.9. Kuggremsväxlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 7.10. Axelkopplingar.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 7.11. Bromsar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 7.12. Kättingar och stållinor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

8.

Hydrauliska och pneumatiska system. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

8.1. Hydraulik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 8.2. Pneumatik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 8.3. Strömningslära. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

Innehåll

9.

Tribologi och smörjmedel.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

9.1.

Tribologiska grundbegrepp och tillämpningar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 9.2. Smörjmedel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

10. Bearbetningsteknik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 10.1. Plastiska bearbetningsmetoder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 10.2. Klippande bearbetningsmetoder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 10.3. Spånskärande bearbetningsmetoder.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 10.4. Övriga bearbetningsmetoder.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 10.5. Friformsframställning, FFF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553 10.6. Tillverkning av speciella formelement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558 10.7. Uppspänningsdon vid spånskärande bearbetning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578 10.8. Moduluppbyggda verktygshållarsystem för spånskärande bearbetning. . . . . . . . 587 10.9. Provning av verktygsmaskiner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588

11. Gjuteriteknik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 11.1. Gjutmetoder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597 11.2. Val av gjutmetod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 11.3. Gjutna material. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 11.4. Rensning av gjutgods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619 11.5. Modellutrustning och modellberedning.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619 11.6. Smältning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621 11.7. Dimensionsnoggrannhet hos gjutgods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 11.8. Gjutsimulering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624 11.9. Konstruktion av gjutgods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625

12. Sammanfogningsmetoder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630 12.1. Svetsning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 12.2. Motståndsvärmning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651 12.3. Lödning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651 12.4 Limning.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664

13.

Ytbehandling av metaller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674

13.1. Korrosion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.2. Förbehandling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.3. Ytbehandlingsmetoder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.4. Provning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.5. Miljöfrågor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

675 675 676 683 683

14. Arbetsmätning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686 14.1. Användningsområden och begrepp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.2. Prestationsbedömning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.3. Elementartidssystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.4. Jämförelse mellan arbetsmätningsmetoderna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

687 687 690 695

15. Produktionssystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696 15.1. Allmänna begrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15.2. Produktionsfilosofier och produktionskoncept. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15.3. Komponenttillverkning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15.4. Tillverkningsutrustning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15.5. Montering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15.6. Material- och produktionsstyrning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

697 698 702 705 734 736

9

10



15.7. Informationshantering och kommunikation i produktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15.8. Simulering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15.9. Datorstöd och integration i produktframtagningen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15.10. Investeringsbedömning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15.11. Driftsäkerhet och underhåll. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

739 748 753 759 770

16. Verkstadsmätteknik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780

16.1. Mätning och kontroll – allmänt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781 16.2. Mätdon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788 16.3. Tillämpad mätteknik.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821 16.4. Givare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865

17. Kvalitetsteknik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886 17.1. Kvalitetsbegreppet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17.2. Statistisk processtyrning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17.3. Duglighet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17.4. Kvalitetssystem och miljöledningssystem.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17.5. Produktansvar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17.6. EUs maskindirektiv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17.7. Offentlig upphandling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

887 891 900 904 907 908 909

18. Elektroteknik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910 18.1. Inledning.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911 18.2. Elektricitetslära.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912 18.3. Elektronik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927 18.4. Elmätteknik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960 18.5. Eldistributionsanläggningar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971 18.6. Elmotorutrustningar.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982 18.7. Elmotordrift av bilar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997

19. Arbetsvetenskap. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012

19.1. Ergonomi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013 19.2. Buller – Ljud och vibrationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019 19.3. Luftföroreningar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035 19.4. Belysning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049

20.

Miljörelaterade frågor vid produktutveckling.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062

21.

Tabeller, standard och förkortningar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082

20.1. Produkter i fokus.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063 20.2. Miljödriven produktutveckling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063 20.3. Produktplanering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064 20.4. Fastställande av miljörelaterade produktkrav. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066 20.5. Strategier vid produktutvecklingen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067 20.6. Återtillverkning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069 20.7. Metoder för att hantera miljörelaterade produktkrav. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1070 20.8. Kommunikation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078

21.1. Tabeller för massa (vikt) och dimensioner.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083 21.2. Materialbeteckningar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099 21.3. Geometriska produktspecifikationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102

Innehåll

21.4. Lastprofiler på järnväg och containerdimensioner.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1121 21.5. Förkortningar.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123

Register. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128

11

12

1. Matematik

1. Matematik Det här kapitlet behandlar grundläggande matematiska symboler, definitioner, primitiva funktioner och deras derivator samt differentialkalkyl och statistik.

1.2. Talsystem

1.1. Matematiska beteckningar och symboler Tabell 1.1.

Symbol/tecken

Tillämpning

Benämning

Betydelse/anmärkning

∧

p∧q

konjunktionstecken

p och q

∨

p∨q

disjunktionstecken

p eller q (eller båda)

¬

¬x

negationstecken

icke x

⇔

p⇔r

ekvivalenstecken

p är ekvivalent med r

⇒

p⇒q

implikationstecken

p medför q

∀

∀ x ∈ A p(x)

allkvantor

för alla x som tillhör A gäller utsagan p(x)

∃

∃ x ∈ A p(x)

existenskvantor

det existerar ett x som tillhör A för vilket utsagan p(x) är sann

∈

x∈A

x tillhör A

∪

A∪B

A union B

∩

A∩B

A snitt B

{ } A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

A∪B= x|x∈A∨x∈B

varav följer



alltså (är)

∴ n

∑

∑a

∏

∏a

i

summatecken

summan av talen a1 … an

produkttecken

produkten av talen a1 … an

i =1 n

i

i =1

1.2. Talsystem Det decimala talsystemet, eller tiosystemet, är det talsystem vi använder mest. Det har tio siffror, och systemets bas är 10. Ett tal med flera siffror tolkar vi därför som att varje siffra är tio gånger mer värd än siffran omedelbart till höger. Det betyder att för varje positions­förflyttning åt vänster multipliceras positionsvärdet av siffran med basen 10, och för varje förflyttning åt höger divideras det med basen tio. Hela talets värde fås genom addition av varje siffra, multi­ plicerad med sitt positionsvärde.

Exempel: Talet 123 i det decimala systemet byggs upp enligt: Positionsvärde 102 101 100 Siffra 1 2 3 Detta utläses 123 (eller egentligen 12310 där indexet visar att det är ett tal i det decimala systemet) och består av termerna 1 · 102 + 2 · 101 + 3 · 100 = 100 + 20 + 3 (alla tal som har potensen 0 är lika med 1). Även decimaler hanteras på samma sätt.

Exempel: Talet 4 532,10.

Positionsvärde 103 102 101 100 10−1 10−2 …

Siffra 4 5 3 2 1 0 vilket är =

4 · 1 000 + 5 · 100 + 3 · 10 + 2 · 1 +

1·

1 10

+

0·

1 100

= 4 532,10

13

14

1. Matematik

I det binära talsystemet finns endast två siffror, 1 och 0, och basen är 2. Detta är praktiskt att använda då man arbetar med komponenter som bara har två tillstånd, till–från, magnetisk– omagnetisk eller liknande. Systemet är uppbyggt på samma sätt som det decimala talsystemet.

Exempel: Det binära talet 10101.

Positionsvärde 24 23 22 21 20 Siffra 1 0 1 0 1 vilket utläses 101012 och betyder i decimalt tal: 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21+ 1 · 20 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 2110 Talet 100 i det decimala talsystemet blir i det binära talsystemet 1 · 64 + 1 · 32 + 1 · 4 = 1 · 26 + 1 · 25 + 0 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20 = 11001002.

Tabell 1.2. Binära–decimala tal.

Binärt tal

Decimalt tal

Positionsvärde 12 102 112 1002 1012 1102 1112 10002 10012 10102 100002 osv.

24

23

22

21

20

0

0

0

1 1 1 0

1 1 1 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0

1

= = = = = = = = = = =

110 210 310 410 510 610 710 810 910 1010 1610

Det binära talet 11111001100 är exempelvis detsamma som det decimala talet 1996. Det går alltså åt fler siffror för att beskriva tal i talsystem med lägre bas.

I datorsammanhang samlar vi ofta ihop 3 eller 4 binära siffror och ger en samlingssiffra för hela gruppen. Med tre binära tecken kan vi särskilja 8 olika kombinationer. Vi kan då göra ett talsystem med basen 8. Detta kallas oktalt.

Exempel: De oktala talen 123, 144, 77 och 100.

Positionsvärde 82 81 80 Siffra 1 2 3 = 1238 = 1 · 64 + 2 · 8 + 3 · 1 = 8310

1 4 4 = 1448 = 1 · 64 + 4 · 8 + 4 · 1 = 10010 7 7 = 778 = 7 · 8 + 7 · 1 = 6310

1 0 0 = 1008 = 1 · 64 = 6410 I en dator med 8 bitars (bit = binärt tecken) ordlängd blir det största tal vi kan skriva i ett ord = 11 111 111 = 3778 = 3 · 64 + 7 · 8 + 7 = 25510.

I det hexadecimala talsystemet används fyra binärtecken för varje siffra, det vill säga att basen = 16. Dessa 16 siffror kallas 0–9, A–F, där A står för 10, B står för 11, och så vidare.

Exempel: Det hexadecimala talet 2A4E. Positionsvärde 163 162 161 160 Siffra 2 A 4 E vilket är

2 · 163 + 10 · 162 + 4 · 16 + 14 · 1 = 10 83010

Det vill säga 2A4E16 = 10 83010

1.3. Logaritmer

Vid så kallad BCD-kod (Binary Coded Decimal) behåller du det decimala talsystemets grunder, men skriver varje siffra med binära tecken. Fyra binärtecken ska alltid vara med – även inledande nollor.

Exempel: 199610 = 0001 1001 1001 0110 Genom att inledande nollor är med och att siffrorna skrivs i grupper om fyra och fyra framgår det oftast av sammanhanget när det är fråga om BCD-kod. Denna förekommer ofta vid utgångar på elektriska apparater, instrument m.m.

1.3. Logaritmer Logaritmen för ett tal a är den exponent x till vilken ett givet tal b, basen, måste upphöjas för att anta värdet a, dvs. a = bx. En speciell bas är talet e, basen för den naturliga logaritmen. n ∞  1 1 1 1 1 Talet e kan definieras på olika sätt, som e = lim 1+  eller e = ∑ = 1+ + + +  , som n →∞ 1! 2! 3!  n k =0 k ! kan användas för att beräkna e med önskad noggrannhet.

Den naturliga logaritmen, ln x, har de enklaste egenskaperna. Den definieras på följande sätt: a = ex ⇔ x = loge a, som skrivs ln a.

Logaritmfunktionen är definierad för alla positiva tal x och antar alla reella värden. Den viktigaste räknelagen är: ln xy = ln x + ln y, x > 0, y > 0 (Andra logaritmfunktioner definieras av: loga x =

ln x ln a

om (x > 0 och a > 0; a ≠ 1).

Exponentialfunktionen, ex, är inversen till den naturliga logaritmen och ges alltså av sambandet x = ln ex för alla reella x. Vi vill också ha tillgång till exponentialfunktionen för andra baser och sätter därför ax = exlna om a är ett positivt tal.

Räknelagar

ln xy = ln x + ln y, x > 0, y > 0 ln

x = ln x − ln y , x > 0, y > 0 y

x = ln ex, för alla x x = eln x, x > 0 ln x p = p · ln x, x > 0 ex+y = ex · ey ex− y =

ex ey

a · b = (ab)x, a > 0, b > 0 x

x

(ax)y = axy, a > 0

15

16

1. Matematik

1.4. Derivator, integraler och differentialekvationer Många förlopp i naturen och inom tekniken är dynamiska. För att beskriva sådana förlopp med en matematisk modell använder man funktioner av olika slag. Dessa funktioners egenskaper studeras bäst med vissa matematiska hjälpmedel, som till exempel derivata, integral och differentialekvation. Nedan följer en kortfattad beskrivning av derivator, integraler, differentialekvationer och Laplace­transformer.

1.4.1. Derivator Derivatan ger ett uttryck för en funktions förändring, det vill säga hur mycket funktionen växer eller avtar. Om funktionens tillväxt mellan P och Q kallas Δy och motsvarande förändring i x ∆ y f ( x + ∆ x) − f ( x) kallas Δx, gäller att kordan PQ har riktningskoefficienten kPQ = = . Om den∆x ∆x na kvot har ett gränsvärde då Δx → 0, så säger man att f(x) är deriverbar i x. Gränsvärdet kal�las funktionens derivata, f′(x). Vi har alltså f ′(x) = lim x →0

∆y ∆x

= lim

f ( x + ∆ x) − f ( x)

∆x

x →0

Andra beteckningar för derivatan (förstaderivatan) är y′(x), Δy och

dy

. dx För tangenten i P gäller att riktningskoefficienten k = f ′(xp). Tangentens ekvation blir alltså: y – yp = f ′(xp) · (x – xp).

Om f ′(x) > 0 i ett intervall är f(x) växande i intervallet, och avtagande om f ′(x) < 0. Om f ′(x) = 0 i en punkt så säger man att f(x) är stationär i punkten. Är teckenväxlingen för f ′(x) + 0 – så befinner man sig i en max.-punkt. För en min.-punkt är derivatans teckenväxling – 0 +, medan den för terrasspunkterna är – 0 – eller + 0 +. y tangent P

(xp,yp ) x

Figur 1.1.

Figur 1.2.

Efter ytterligare en derivering fås andraderivatan med någon av beteckningarna: d2 y f ″(x), y″(x), Δ2y, Δ2f(x) eller . En funktionskurva är konvex i ett intervall om f ″(x) > 0 i inter­ dx 2 vallet och konkav om f ″(x) < 0. I det första fallet ligger alla kordor i intervallet, ovanför grafen och i det andra ligger de under grafen. Detta förhållande kan användas för att bestämma en extrempunkts karaktär. Om f ′(xp) = 0 och samtidigt f ″(xp) < 0 är punkten P en max.-punkt, men om f ″(xp) > 0 är P en min.-punkt.

Deriveringsregler

Allmänna regler: Funktionerna u(x) och v(x) antas vara deriverbara. Då gäller f (x)

f ′(x)

k · u(x)

k · u′(x)

f (x)

u

v ⋅ u′ − u ⋅ v ′

u(x) ± v(x)

u′(x) ± v′(x)

v

v2

u·v

u · v′ + v · u′

u v ( x)

( )

f ′(x)

u′(x) · v′(x)

1.4. Derivator, integraler och differentialekvationer

Speciella regler: f (x)

f (x)

f ′(x)

a

a−1

x

ax

sin x

cos x

cos x

–sin x

In x logax

1

tan x

−

1 x 1 x ln a 1

arcsin x

cos2 x

cot x

f ′(x)

1− x 2

1

arccos x

sin2 x

ex

ex

ax (a > 0)

ax · ln a

arctan x

1

−

1− x 2 1

1+ x 2

Några exempel på derivering f (x)

1 x

f ′(x)

= x −1

−

1 x

2

f ′(x)

sin(3x + 5)

3 cos(3x + 5)

e

1

x = x1/2

f (x)

x2

x2 · ln x

2 x

2x ⋅ e x x2 ⋅

1 x

2

+ 2 x ⋅ ln x = x + 2 x ln x

Exempel på användning av derivator

Exempel 1: Vi avsätter en längdkoordinat x utefter en given bana. Om en partikel rör sig utefter banan och partikelns läge (x) är känt som en funktion av tiden, x = f(t), kan vi beräkna partikelns momentana hastighet utefter banan (v) som derivatan av partikelns läge med avseende på tiden. v = lim

∆x

=

dx

∆t dt Vidare är partikelns acceleration i banriktningen t →0

a = lim t →0

∆v ∆t

=

dv

=

dt

d2 x dt 2 x

∆x

v Figur 1.3.

Sifferexempel: En partikel rör sig utefter en rätlinjig bana så att läget (x) för partikeln är 0 för t ≤ 0. För t > 0 gäller x = 3t2 m, det vill säga att partikeln accelererar. Hur stor är partikelns hastighet och acceleration efter 10 s? x = 3t2 m ⇒ v =

dx dt

= 6t

 v(t = 10) = 6 ⋅ 10 = 60

m s m s

⇒ a=

dv dt

=6

; a(t = 10) = 6

m s2 m s2

17

18

1. Matematik

Exempel 2: Vid rotationsrörelse är vinkelfrekvensen (w) tidsderivatan av vinkelläget (ϕ)

w=

dϕ rad

dt s Vidare är rotationsrörelsens vinkelacceleration (av) tidsderivatan av vinkelhastigheten (w) av =

dw dt

=

d2ϕ rad dt 2

s2

Sifferexempel: En roterande axel accelereras från stillastående så att vridningsvinkeln ϕ = t3 rad. Hur stor är vinkelfrekvensen efter 14 varv?

ϕ = 14 ·2π rad ⇒ t = 3 28p = 4, 45 s

w=

dϕ dt

= 3t 2

rad s

w(t = 4, 45) = 3 ⋅ 4, 452 = 59, 4

rad s

1.4.2. Integraler Många fysikaliska storheter kan representeras av en area i ett diagram. Om till exempel en kropps hastighet, v, är konstant under tiden t1 blir den tillrygga­lagda sträckan s = v · t1. Rektangelarean i figur 1.4 a representerar sträckan. Även om v varierar under tiden t, represent2

teras s av arean under grafen v = f(t) i figur 1.4 b. Vi beräknar s med hjälp av integralen ∫ f (t)dt. t1

En integral, som liksom derivatan är ett gränsvärde, existerar alltid i ett intervall där funktionen är kontinuerlig. I fall där det är svårt att beräkna integralen exakt, får man tillgripa appro­xi­mativa metoder.

En funktion f(x) har en primitiv funktion F(x) om F ′(x) = f(x). Om en primitiv funktion existerar gäller följande formel: b

b

a

a

∫ f (x) dx = F (x)

= F (b) − F (a) v

v s = ytan

s = ytan t1

Figur 1.4. a.

t

t1

t2

t

Figur 1.4. b.

Integralsymbolen utan gränser används för att beteckna en godtycklig primitiv funktion:

∫ f (x)dx = F (x) + C , eftersom derivatan av en konstant är noll och F(x) + C är en primi-

tiv funktion till f(x).

1.4. Derivator, integraler och differentialekvationer

Integreringsregler

Allmänna regler: b

c

a

a

b

∫ f (x) dx = ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx (a < c < b) c

b

b

a

a

∫ k ⋅ f (x) dx = k ∫ f (x) dx b

b

a

a

b

∫ f (x) + g(x) dx = ∫ f (x) dx + ∫ g(x) dx a

b

b

a

a

b

∫ f ′(x) ⋅ g(x) dx = f (x) ⋅ g(x) − ∫ f (x) ⋅ g′(x) dx b

1

∫ f (kx + m) dx = k F (kx + m) a

a

b a

Speciella regler: f (x)

f ′(x)

x a+1

xa

a +1 −1

x =

1 x

sin x 1 sin2 x sin2 x 2

cos x ex

ln x

f (x)

f ′(x)

cos x

sin x

tan x

− ln cos x

1

−cos x

ax

ax, (a > 0)

–cot x x − sin x cos x

1

x + sin x cos x

1− x 2

2

In a

ln x, (x > 0)

2

ex

tan x

cos2 x

1 1+ x 2

,

( x < 1)

x · ln x – x arcsin x arctan x

19

20

1. Matematik

Några exempel på integralberäkningar 1. Area b

A=

∫ f (x) − g(x) dx

y

y = f(x)

a

a

b

A

x

y = g(x)

Figur 1.5.

2. Rotationsvolym Då området B roterar ett varv kring xaxeln, uppstår en rotationskropp med volymen b

V=π

∫ ( f ( x)) a

2

y

y = f(x) B a

dx

b

x

(Se Pappos-Guldins regler, avsnitt 1.8)

Figur 1.6.

3. Båglängd Båglängden s mellan P och Q är: b

s=

∫ a

Q

y

S

P

2

1+ (f ′(x)) dx

y = f(x) (b;f(b))

(a;f(a)) x

b

a

Figur 1.7.

4. Tyngdpunkt Areans tyngdpunkt TA (xT; yT): b

∫

xT ⋅ A = yT ⋅ A =

a

1 2

TA

b

∫a f (x)2 − g(x)2  dx

y = f(x)

A

x  f (x) − g(x) dx

A fås ur 1 ovan.

a

TR

y = g(x) b

x V

Rotationskroppens tyngdpunkt TR (xR; O) b

xR ⋅ V = π ∫  f (x)2 − g(x)2  dx a V fås ur 2 ovan.

y

Figur 1.8.

1.4. Derivator, integraler och differentialekvationer

Exempel på användning av integraler

Exempel 1: Spänningen U över en kondensator med kapacitansen C fås som integralen av strömmen i.

U=

1 C

t

∫ i dt + U

0

t0

där U0 är spänningen över kondensatorn vid uppladdningens början. i C

U Figur 1.9.

Sifferexempel: Du tillför strömmen 2 mA till en oladdad kondensator med kapacitansen 10 µF under 3 s.

Hur stor blir då spänningen över kondensatorn?

U (t = 3) =

1 10

−5

3

∫ 2 ⋅ 10 0

3

−3

3

dt + 0 = 200 ∫ dt = 200 t  = 200(3 − 0) = 600 V 0

0

Exempel 2: Hur stort arbete (A) uträttas om en partikel flyttas från x = x1 = 3 m till x = x2 = 7 m då förflytt1 ningen sker med hjälp av en kraft i x-led (Fx) som varierar som N. x Arbetet bestäms genom integrering (= summering) av de differentiellt små arbetena dA enligt x2 x2 7 7 7  1 A = ∫ dA = ∫ Fx ⋅ dx = ∫ dx = ln x  = ln7 − ln3 = ln   = 0, 85 Nm 3 x1 x1 3 x 3 1.4.3. Differentialekvationer Många naturvetenskapliga och tekniska lagar formuleras som ekvationer som innehåller en eller flera derivator. Sådana ekvationer kallas differentialekvationer. Vi kan till exempel nämna Newtons kraftlag, F = m · a, där accelerationen a är vägens andraderivata med avseende på tiden: a = s″(t). En differentialekvation som innehåller y′-termer (och eventuellt även y-termer) är av första ordningen. Om den innehåller y″-termer (och eventuellt y- och/eller y′-termer) är den av andra ordningen osv. Lösningen till en differentialekvation av första ordningen innehåller en obestämd konstant, medan lösningen till en differentialekvation av andra ordningen innehåller två obestämda konstanter osv. Dessa konstanter kan bestämmas med hjälp av givna villkor, randvillkor eller begynnelsevillkor.

Exempel på differentialekvationer som är användbara i tekniska sammanhang

Anm. I framställningen och exemplen nedan är ekvationerna av högst andra ordningen.

Fall där lösningsmetodiken är generellt användbar, oavsett ordningen, har markerats med ett avslutande ”kan generaliseras”.

1. Direkt integrerbar.

Om differentialekvationen har formen y″ = f(x) så ger det: d2 y d  dy    = f (x) eller y ′′ = 2 = dx  dx  dx  dy  d   = f (x)dx  dx 

21

22

1. Matematik

Om bägge leden integreras får man:  dy  ∫ d  dx  = ∫ f (x)dx   dy dx

= F (x) + C1

∫ F (x)dx + C x + C

y=

1

2

Kan generaliseras (om f(x), F(x) osv. är integrerbara).

Exempel: y ″ = cos x + 3 ⇒ y ′ = sin x + 3x + C1 ⇒ ⇒ y = − cos x +

3 2

x 2 + C1x + C2

2. Separabla variabler.

Om differentialekvationen kan skrivas på formen g(y) · y ′ = f(x) där g(y) är en funktion av enbart y och f(x) är en funktion av enbart x, blir lösningen av formen G(y) = F(x) + C Exempel: y ′ = 3x2 · e–y ⇒ e y · y ′ = 3x2 ⇒ e y = x3 + C ⇒ y = In x 3 + C 3. Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter.

En linjär differentialekvation med konstanta koefficienter och av andra ordningen har i tekniska sammanhang ofta formen: d2 y dt 2

+a

dy dt

+ by = f (x)

Då x och y normalt är funktioner av tiden, det vill säga x = f(t) och y = f(t), brukar tidsberoendet ofta markeras genom att derivatorna skrivs som så kallade prickderivator, nämligen dx

= x (utläses x-prick);

d2 x

= x (utläses x-prick-prick) osv. dt dt 2 Vidare är x oftast instorhet (störstorhet) till ett överföringssystem, och y betraktas som utstorhet, det vill säga x → system → y Den tekniska frågeställningen är då: Om vi känner x = f(t) och systemets egenskaper – vad blir då y = f(t)? För att besvara den frågan måste man lösa differentialekvationen som beskriver sambandet mellan y och x.

Lösningen y = f(t) sönderfaller naturligen i två delar, nämligen den homogena lösningen (yH) och den partikulära lösningen (yP). yH kallas i tekniska problem transient del (yt) och har i princip endast med systemets egenskaper att göra. yP kallas av tekniker stationär del (ys) och beror av störstorheten x.

Allmänt gäller y = yH + yP = yt + ys y =  y t +  y s osv., så den ursprungliga (fullOm man deriverar uttrycket får man y = y t + y s och  ständiga) differentialekvationen kan delas upp i två ekvationer som kan lösas var och en för sig.  y + ay + by = f (x) ⇒ (  y t +  y s ) + a( y t + y s ) + b( y t + y s ) = f (x) + 0

1.4. Derivator, integraler och differentialekvationer

eller 1)  y s + ay s + by s = f (x) och 2)  y t + ay t + by t = 0 1. Lösning av den stationära ekvationen.

Antagande: ys har samma form som x. Om exempelvis x(t) = a sin wt antar vi att ys = A sin w t + B cos w t; om x = b · t + g, antar vi att ys = C · t + D osv.

A, B, C och D bestäms sedan genom att ekv. 1) återbildas och att man vet att ekvationen måste gälla för oändligt många t-värden.

2. Lösning av den transienta ekvationen.

Först bildas den så kallade karakteristiska ekvationen, KE, som i vårt fall får formen a 2 + aa + b = 0, det vill säga en ekvation av samma gradtal som differentialekvationens ordning och med samma koefficienter.

Därefter söks rötterna till KE, vilka är lika många som gradtalet, det vill säga i vårt fall a t 2 rötter, a 1 och a 2. Varje rot till KE ger sedan upphov till en term i yt av formen C0 ⋅ e 0 , där C0 är en konstant som beror av begynnelsevillkoren för utstyrningsförloppet och a o är roten. I vårt fall får man alltså 2 sådana termer, C1 ⋅ ea1t + C2 ⋅ ea2t. Anm. Om a = 0 får man två lika rötter och en något avvikande lösning. Detta hypotetiska fall har liten teknisk betydelse och behandlas därför inte här.

Avslutningsvis får man y genom att summera ys och yt, och man kan bestämma C1 och C2 genom att utnyttja begynnelsevillkoren för y.

Kan generaliseras.

Exempel:  y + 4 y + 3 y = 3x x = 0 för t ≤ 0; x = t2 för t > 0; 2

y (0) = y (0) = 0

2

ys: Ansats: H.L. = 3x = t ⇒ ys = At + Bt + C ⇒ y s = 2 At + B ⇒  ys = 2A Ekvationen återbildas: 2A + 4 (2At + B) + 3 (At2 + Bt + C) = 3t2 som skall gälla för oändligt många t-värden, så    2 A + 4B + 3C = 0  8 26  8 A + 3B = 0  ⇒ A = 1, B = − , C = 3 9    3A = 3  ys = t2 −

8 3

t+

26 9

2

yt: KE: a + 4a + 3 = 0 ⇒ a1,2 = −2 ± 4 − 3 = −2 ± 1 y t = C1 ⋅ e−t + C2e−3t 8 26 y = y s + y t = t 2 − t + + C1 ⋅ e−t + C2e−3t 3 9 8 −t y = 2t − − C1e − 3C2e−3t 3 Randvillkoren y(0) = y(0) = 0 sätts in och ger   0 = 26 + C1 + C2  9  8   0 = − − C1 − 3C2 3 

   1  ⇒ C1 = −3, C2 = 9   

Alltså är y = yt + ys =

1 9

8 26 e−3t − 3e−t + t 2 − t + 3 9

23

24

1. Matematik

Exempel på användning av linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter.

Exempel 1: Nm En linjär fjäder med fjäderkonstanten k och försumbar massa är lagrad i sin ena ände rad Nm ⋅ s med en viskös dämpare som har karakteristiken f (figur 1.10). Om fjädern i sin fria ände rad påtvingas vridningsrörelsen Ji, där Ji = f (t), kommer sambandet mellan vinkellägena hos fjäderns bägge ändar att beskrivas av en linjär differentialekvation av första ordningen, nämligen f ⋅ J u + kJ u = kJ i Sifferexempel: Den fria änden (Ji) hos fjädern i systemet ovan påtvingas en språngartad förändring från viloläget till Ji = π rad (figur 1.11). Hur kommer utaxeln att röra sig som funktion av tiden? f = 0,1

Nm ⋅ s rad

och k = 0,2

Nm rad

.

Jus (= Ju stationär): Ji = π för t > 0 Ansats: Jus = C ⇒ J us = 0 f

ϑu

k

π

ϑi ϑu t

ϑi Figur 1.10.

Figur 1.11.

Ekvationen återbildas: 0,1 · 0 + 0,2 · C = 0,2 · p ⇒ C = Jus= p Jut (= Ju transient): KE: 0,1a + 0,2 = 0 ⇒ a = –2 Ju = Jus + Jut = π + A · e–2t Ju(0) = 0 ⇒ 0 = p + A ⇒ A = –p Ju = p(1 – e–2t) Exempel 2:

N Ns , massan m kg och dämpningen f beskrivs sambandet m m mellan fjäderns båda ändlägeskoordinater, x och y, av en linjär differentialekvation av andra ordningen, den så kallade svängningsekvationen I ett system med fjädringen k

m ⋅ ÿ + f ⋅ y + k ⋅ y = x Den allmänna lösningen till ekvationen blir som tidigare y = yt + ys, där yt (= insvängningsförloppet) enbart beror av systemkonstanterna m, f och k, och där ys (= det stationära tillståndet) har samma form som x (= störfunktionen), figur 1.12. x

y f

k m

Figur 1.12.

1.4. Derivator, integraler och differentialekvationer

Sifferexempel:

N och k = 6 samt en påtvingad rörelse för m m rad får vi genom att sätta x som är sinusformad så att x = a · sin w t, där a = 0,1 m och w = 0,5 s in de givna värdena i svängningsekvationen För ett svängande system med m = 2 kg, f = 8

Ns

2  y + 8 y + 6 y = 10 ⋅ 0,1sin0,5t ⇒  y + 4 y + 3 y = 0,5 sin0,5t ys: Ansats: ys = A sin 0,5t + Bcos 0,5t ⇒ ⇒ y s = 0,5 A cos 0,5t − 0,5B sin0,5t ⇒

y s = −0,25 A sin0,5t − 0,25B cos 0,5t ⇒  Ekvationen återbildas: –0,25Asin 0,5t – 0,25Bcos 0,5t + 4(0,5Acos 0,5t – 0,5Bsin 0,5t) + + 3(Asin 0,5t + Bcos 0,5t) = 0,5sin 0,5t Denna likhet ska gälla för oändligt många t-värden, så koefficienterna framför sinus- och cosinus­termerna i V.L. och H.L. måste vara lika. Detta ger: –0,25A – 2B + 3A = 0,5

⇒ A=

–0,25B – 2A + 3B = 0 ys =

22 185

sin0,5t −

16 185

22 185

, B=−

16 185

cos 0,5t

Detta kan omformas till y s = yˆ sin(0, 5t + ϕ s ) , där yˆ = 2

2

 22   16   är amplituden och ϕ är fasvridningen relativt störsignalen x.  +   s  185   185  yt: KE:

a2 + 4a + 3 = 0 ⇒ a1,2 = −2 ± 4 − 3 a1 = –1 a2 = –3 a1 ⋅ t

y t = C1 ⋅ e

a2 ⋅ t

+ C2 ⋅ e

= C1 ⋅ e− t + C2 ⋅ e−3 t

22

16

Alltså är y = ys + yt =

185

⋅ sin0,5t −

185

cos 0,5t + C1 ⋅ e−t + C2 ⋅ e−3t

C1 och C2 kan fås ur begynnelsevillkoren y = 0, y = 0 för t = 0 y =0=− y = 0 =

16 185

11 185

⋅ 1+ C1 + C2

⋅ 1− C1 − 3C2

⇒ C1 =

1 10

, C2 =

1 74

25

26

1. Matematik

1.4.4. Laplacetransformer Laplacetransformen har flera egenskaper som gör den användbar för analys av linjära dynamiska system. Den mest betydande fördelen är att differentiering och integration av s övergår till lösning av polynomekvationer, som ofta är enklare att behandla och som sedan kan transformeras tillbaka till den ursprungliga domänen.

I verkliga tekniska system tolkas ofta laplacetransformen som en transformering från tidsdomänen, där indata och utdata ses som funktioner av tiden, till frekvensdomänen, där data istället betraktas som funktioner av komplexa vinkelfrekvenser. Det är en kraftfull metod för analys av till exempel elektriska kretsar, harmoniska oscillatorer, optiska instrument och mekaniska system. Genom att laplacetransformera en diffentialekvation omvandlar man den till en algebraisk ekvation, som kan vara lättare att lösa. Detta är speciellt värdefullt om problemet är diskontinuerligt och varje intervall måste behandlas för sig. Efter transformeringen blir varje tidsintervall en term i den algebraiska ekvationen.

Om f(t) är definierad för t ≥ 0 så definierar man den (unilaterala) laplacetransformen samt −1 dess invers som:

{f(t )} (s) = ∫ e f(t)dt, = {F(s )} (t) = 21πi ∫ F(s)e ∞

: f (t) F (s) = −1

: F (s) f (t)

− st

0

−1

a + i∞

a − i∞

st

ds

I tillämpningar hämtar man oftast de inversa transformationerna från tabellverk. Se tabell 1.3.

Med de två funktionerna f (t) och g(t) och deras respektive laplacetransformer F(s) och G(s):

{F(s )} {G(s )}

f (t) =

−1

g(t) =

−1

ger nedanstående tabell egenskaperna för den unilaterala laplacetransformen.

1.4. Derivator, integraler och differentialekvationer

Tabell 1.3. Laplacetransformer Räkneregler

Tidsdomän

Frekvensdomän

Linearitet

af(t) + bg(t)

aF(s) + bG(s)

Skalning

f(at)

Frekvensderivering

tf(t)

Kommentar

1 F  s   a a –F′(s)

Generell ­frekvensderivering

n

t f(t)

(−1)n F (n)(s)

Derivering

f′

sF(s) – f(0)

f antas vara deriverbar och derivatan av exponentialtyp

Andraderivatan

f ″(t)

s 2F(s) – sf(0) – f ′(0)

f antas vara två gånger deriverbar, och andraderivatan av exponentialtyp

Generell derivata

f (n)(t)

snF(s) – sn–1f(0) – – sn–2f ′(0) … – f(n–1)(0)

Kan visas genom induktion

Teckenbyte

f(–t)

F(–s)

Tidsförskjutning

f(t – a) · u(t – a)

e–asF(s)

Dämpning

e–at f(t)

F(s + a)

(f ∗ g)(t) =

F(s) · G(s)

f(t) och g(t) har utökats med noll för t<0

Frekvensdomän

Kommentar

Faltning

= Transformpar

∫

t 0

f (t )g(t − t )dt

Tidsdomän

Konstant

1

Exponent

eat

Potens

tn

Trigonometriska

sin at

–1

Fördröjt enhetssteg

u(t − a)

Fördröjd impuls

d(t – t)

Felfunktion

erf t =

s>0

s

1 s−a n! s n+1 a s 2 + a2 s

cos at

u(t) är Heavisides stegfunktion

s 2 + a2 e − as s

s>a n ∈ Z + och s > 0 s>0 s>0 s>0

e–ts 2

p

∫

t 0

2

e− z dz

1 s 1+ s

s>0

27

28

1. Matematik

Exempel: I kärnfysiken kan vi beräkna halveringstiden för antalet radioaktiva atomer (isotoper) N i materialet, som sönderfaller med en konstant l som är proportionell mot N. Förloppet kan beskrivas med en linjär differentialekvation av första ordningen dN

= −l N dt där l är sönderfallskonstanten. Vi kan arrangera om ekvationen som dN

+ lN = 0 dt Nu kan vi tillämpa laplacetransformering på båda sidor

( sN (s) − N ) + lN (s) = 0 , där N (s) = L {N(t )} och N = N(0) 0

o

Om vi löser ekvationen får vi No N (s) = s+l och slutligen använder vi invers laplacetransformering för att få lösningen till det ursprungliga problemet  N  N(t) = −1 N (s ) = L −1  o  = Noe− λt  s + λ 

{

}

1.5. Linjära ekvationssystem Ett ekvationssystem av formen a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm kallas linjärt. Vi löser numera ofta mycket stora linjära ekvationssystem. En bra lösnings­ metod är gausseliminering.

Exempel: 2x1 +

x2 + x3 = 1

4x1 +

x2 = –2

–2x1 +

2x2 + x3 = 7

Behåll första raden. Subtrahera två gånger första raden från den andra och addera den första raden till den tredje.

2x1 + x2 + x3 = 1 – x2

– 2x3 = –4

3x2 + 2x3 = 8 I detta system adderar vi tre gånger den andra ekvationen till den tredje.

2x1 + x2 + x3 = 1 – x2

– 2x3 = –4

– 4x3 = –4

1.6. Sannolikhet och statistik

Den tredje ekvationen ger nu x3 = 1. Den andra ekvationen ger sedan x2 = 2 och den första x1 = –1.

Små ekvationssystem kan handräknas på detta sätt, men större system löser man med fördel med mjukvara utvecklad för ekvationslösning.

A.E.

1.6. Sannolikhet och statistik Sannolikheten för att något visst ska inträffa ligger i intervallet 0–1, där 1 innebär att det helt säkert inträffar och 0 inte alls. Sannolikheten för att till exempel i blindo dra ett ess ur en kortlek är 4 genom 52 eller 1 på 13 = 7,6 %. Förr eller senare råkar en maskin ut för stillestånd på grund av fel. Sannolikheten R för att den ska fungera avtar med tiden, vanligen efter en exponential­funktion enligt R(t) = e–lt.

Det finns olika typer av sannolikhetsfördelningar, till exempel exponential, poisson med flera.

Men vanligast är normalfördelning.

Normalfördelning Begreppet standardavvikelse är ett statistiskt mått på utspridningen av data eller en fördelning.

Vid beskrivande statistik för ett observerat material ur en diskret fördelning

∑( n −1 1

n

i

= x1, x2 , … , xn

i =1

1 ∑ xi . Variansen från medelvärdet x n i =1 2 xi − x . Standard­avvikelsen s definierar vi som kvadratroten ur van

kan vi bestämma följande lägesmått: Medelvärdet m = definieras av s 2 =

n

∑x

)

i =1

0,3

0,4 f(x)

riansen s = s 2 . Median är mittobservationen då materialet har storleksordnats. Typvärde är vanligast förekommande värde om materialet har klassindelats. Variationsbredd är skillnaden mellan största och minsta observerade värde.

Med hjälp av statistik kan vi uppskatta säkerheten i en bestämning. Det kan gälla upprepade mätvärden av något slag. Till exempel medellängden hos befolkningen. Noggrannheten i hur en NC-maskin eller industrirobot kan ställa in bestämda slutpositioner. Ju fler mätvärden, desto noggrannare blir bestämningen.

0,1

0,2

34,1% 34,1%

0,0

0,1%

2,1% 13,6%

σ —2σ σ —3σ

—1σ σ

13,6%

µ

1σ

2,1%

2σ σ

0,1% 3σ σ

x

Figur 1.13. En normalfördelningskurva med väntevärdet µ och standardavvikelsen s.

Kring medelvärdet har vi en spridning med de minst vanliga utfallen åt sidorna i diagrammet (normalfördelning, se figur 1.13). De vanligasta mätvärdena samlas kring medelvärdet i mitten och de mindre förekommande ligger längre ut åt sidorna. Y-axeln anger antalet (frekvensen) av de olika mätvärdena.

Om vi vill ange sannolikheten för att ett visst värde ska finnas inom denna utfallsrymd sätter vi gränser för fördelningen. Vid gränserna X+/–s ligger 68 % av värdena inom intervallet. Vid X +/–2s ligger ca 95 % innanför och vid X+/–3s 99,73 %.

29

30

1. Matematik

De här begränsningsområdena kallar vi konfidensintervall. Begreppet kommer av ordet confidence som betyder tilltro, ”att vara säker på”.

Se tillämpningar av detta i avsnitt 16.1.4 och 17.2.2.7.

1.6.1. Centrala gränsvärdessatsen Normalfördelningen är en av de mest fundamentala statistiska fördelningarna. En av anledningarna är att centrala gränsvärdessatsen säger att summor av oberoende och likafördelade stokastiska variabler är approximativt normalfördelade.

Centrala gränsvärdessatsen lyder: Låt X1, X2, X3, … vara en sekvens av oberoende, likaför­ delade slumpvariabler med väntevärde E(Xi) = m och standardavvikelsen D(Xi) = s, där 0 < s < ∞, n X och låt X n = ∑ i =1 i . För godtyckliga a < b gäller då att n   n Pa< X n − m ≤ b  → F(b) – F(a), då n → ∞ s  

(

)

där F är fördelningsfunktionen för N(0,1). Hur stort värdet på n ska vara beror på fördelningen. Symmetriska fördelningar konvergerar fortare än asymmetriska.

För att du ska kunna göra beräkningar av hur sannolikt ett utfall är ur statistisk synvinkel behöver du använda matematiska modeller. Dessa utgår från att fördelningen utgörs av en kontinuerlig stokastisk variabel.

En kontinuerlig slumpvariabel X ∼ N(m, s2) sägs vara normalfördelad med parametrarna m 2

1

1

och s om täthetsfunktionen ges av fX (x) = 2

s

2p

e

−

( x − m )2 2s 2

för alla reella x.

Om X ∼ N(m, s ) så gäller det att väntevärdet är E(X) = m, variansen V (X) = s2 och standard­ avvikelsen D( X ) = s 2 = s .

En normalfördelad stokastisk variabel med väntevärdet m = 0 och variansen s 2 = 1 sägs vara standardnormalfördelad. Dess täthetsfunktion betecknas med j(x) och dess fördelningsfunktion  X −m x−m  x−m F ( x) = P ( X ≤ x) = P  ≤  =F . s   s  s  f(x) area = Φ Φ(x)

X

x

Figur 1.14.

För att du ska kunna räkna ut fördelningsfunktionens värde i en punkt för en godtycklig normal­ fördelning översätter du den till motsvarande punkt för en standardnormalfördelning. Den fördelningen tabelleras ofta för att användas vid beräkning av fördelningsfunktionen för ett givet x. Se tabell 1.5.

1 Den kurva som beskriver hur stor proportion av en population som ligger inom vissa intervall (hur tätt observationerna ligger).

1.6. Sannolikhet och statistik

Problem som vi vill lösa är ofta av typen: för ett givet a, finn det värde z så att 1. P(Z > z) = P(Z ≥ z) = a 2. P(Z < z) = P(Z ≤ z) = a 3. P( Z > z) = P( Z ≥ z) = a Dessa värden på z bestäms av kvantiler2 la i standardnormalfördelningen av 1 – F(la) = a, se figur 1.15–1.16 och värdena angivna i tabell 1.4. Du kan notera att F(–x) = 1 – (F(x)) så att l1–a = –la. f(x)

area = α

λα

x

Figur 1.15. f(x)

area = αα/2

−λ λαα/2

λαα/2

x

Figur 1.16.

Det innebär att 1. P(Z > z) = P(Z ≥ z) = a ger z = la 2. P(Z < z) = P(Z ≤ z) = a ger z = l1–a = –la 3. P( Z > z) = P( Z ≥ z) = a ger z = la/2 Tabell 1.4. Normalfördelningens kvantiler P(X > la ) = a, där X ∈ N(0, 1)

a

la

a

la

0,1

1,2816

0,001

3,0902

0,05

1,6449

0,0005

3,2905

0,025

1,9600

0,0001

3,7190

0,01

2,3263

0,00005

3,8906

0,005

2,5758

0,00001

4,2649

2 Ett värde som i en statistisk fördelning avgränsar en bestämd mängd sannolikhet eller proportion. NE.

31

32

1. Matematik

Ett beräkningsexempel En industri förpackar pellets. Varje säck väger 25 kg. Massan blir inte exakt 25,000 kg utan varierar. Vi kan anta att för en enskild säck är m = 25 kg och s = 0,23 kg. De säckar som väger mindre än 24,5 kg behöver efterfyllas och de som väger mer än 25,5 kg tömmas. Hur stor del av alla säckar behöver efterbehandlas?

P(X < 24,5) + P(X > 25,5) = 1 – P(24,5 < X < 25,5) =  25, 5 − 25   24, 5 − 25   − F  ≈ 1 − [F (2,17)] − [F (2,17)] = 0, 030 = 1−  F 0, 23   0, 23  

(

)

(

)

som fås ur tabell 1.5. Sannolikheten för att en säck ska väga mindre än 24,7 kg ges av:  24,7 − 25  P( X < 24,7) = FX (24,7) = F   ≈ F (−1, 30) = 1 − F (1, 30) = 0, 0968  0, 23  På samma sätt kan vi beräkna sannolikheten för att säcken väger mer än 25,3 kg till:  25, 3 − 25  P( X > 25, 3) = 1 − FX (25, 3) = 1 − F   ≈ 1 − F (1, 30) = 1 − 0, 9032 = 0, 0968  0, 23  Ibland vill man ta reda på sannolikheten utgående från m och s, till exempel beräkna sannolikheten för att variabeln avviker mer än 1s. Man vill alltså beräkna P(X < m – s) + P(X > m – s).  m −s − m   m +s − m  F  + 1− F   = F (−1) + 1 − F (1) = 2[1 − F (1)] ≈ 0, 3173 s s    

1.6. Sannolikhet och statistik

Tabell 1.5. x

,00

,01

,02

03

,04

,05

,06

,07

,08

,09

0,0

,5000

,5040

,5080

,5120

,5160

,5199

,5239

,5279

,5319

,5359

0,1

,5398

,5438

,5478

,5517

,5557

,5596

,5636

,5675

,5714

,5753

0,2

,5793

,5832

,5871

,5910

,5948

,5987

,6026

,6064

,6103

,6141

0,3

,6179

,6217

,6255

,6293

,6331

,6368

,6406

,6443

,6480

,6517

0,4

,6554

,6591

,6628

,6664

,6700

,6736

,6772

,6808

,6844

,6879

0,5

,6915

,6950

,6985

,7019

,7054

,7088

,7123

,7157

,7190

,7224

0,6

,7257

,7291

,7324

,7357

,7389

,7422

,7454

,7486

,7517

,7549

0,7

,7580

,7611

,7642

,7673

,7704

,7734

,7764

,7794

,7823

,7852

0,8

,7881

,7910

,7939

,7967

,7995

,8023

,8051

,8078

,8106

,8133

0,9

,8159

,8186

,8212

,8238

,8264

,8289

,8315

,8340

,8365

,8389

1,0

,8413

,8438

,8461

,8435

,8503

,8531

,8554

,8577

,8599

,8621

1,1

,8643

,8665

,8686

,8708

,8729

,8749

,8770

,8790

,8810

,8830

1,2

,8849

,8869

,8888

,8907

,8925

,8944

,8962

,8980

,8997

,9015

1,3

,9032

,9049

,9066

,9082

,9099

,9115

,9131

,9147

,9162

,9177

1,4

,9192

,9207

,9222

,9236

,9251

,9265

,9279

,9292

,9306

,9319

1,5

,9332

,9345

,9357

,9370

,9382

,9394

,9406

,9418

,9429

,9441

1,6

,9452

,9463

,9474

,9484

,9495

,9505

,9515

,9525

,9535

,9545

1,7

,9554

,9564

,9573

,9582

,9591

,9599

,9608

,9616

,9625

,9633

1,8

,9641

,9649

,9656

,9664

,9671

,9678

,9686

,9693

,9699

,9706

1,9

,9713

,9719

,9726

,9732

,9738

,9744

,9750

,9756

,9761

,9767

2,0

,97725

,97773

,97831

,97882

,97932

,97982

,98030

,98077

,98124

,98169

2,1

,98214

,98257

,98300

,98341

,98382

,98422

,93461

,98500

,98537

,98574

2,2

,98610

,98645

,98679

,98713

,98745

,98778

,98809

,98840

,98870

,98899

2,3

,98928

,98956

,98983

,99010

,99036

,99061

,99086

,99111

,99134

,99158

2,4

,99180

,99202

,99224

,99245

,99266

,99286

,99305

,99324

,99343

,99361

2,5

,99379

,99396

,99413

,99430

,99446

,99461

,99477

,99492

,99506

,99520

2,6

,99534

,99547

,99560

,99573

,99585

,99598

,99609

,99621

,99632

,99643

2,7

,99653

,99664

,99674

,99683

,99693

,99702

,99711

,99720

,99728

,99736

2,8

,99744

,99752

,99760

,99767

,99774

,99781

,99788

,99795

,99801

,99807

2,9

,99813

,99819

,99825

,99831

,99836

,99841

,99846

,99851

,99856

,99861

33

34

1. Matematik

 x−m Om X ∼ N(m, s 2) så gäller FX (x) = F   , och sannolikheten för att X finns i intervallet (a, b)  s   b−m  a− m P(a < X ≤ b) = F   −F   s    s  Tabellen ger F(x). Det gäller att F(–x) = 1 – F(x) och F(x) – F(–x) = 2F(x) – 1

1.7. Tekniska beräkningar Datorer, numeriska metoder och datorprogram är ingenjörens viktigaste beräkningshjälpmedel. Med datormodeller kan ett verkligt system simuleras så noggrant att det ofta ersätter fysisk provning. Det här kapitlet beskriver modeller och beräkningsmetoder samt simulering och optimering.

1.7.1. Modeller För att kunna analysera ett system krävs en matematisk modell av det. Den matematiska modellen beskriver en fysisk/mekanisk idealisering/modell av det verkliga systemet, se figur 1.17.

Verkligt system Fysisk/mekanisk idealisering Matematisk modell

Lösningsmetod

Resultat

Figur 1.17. Modellidealiseringar.

Det är alltid viktigt att kunna bedöma beräkningarnas begränsningar och noggrannhet så att man förstår resultatens användbarhet. Det gäller även vid datorberäkningar, eftersom den som är oerfaren lätt ger felaktiga indata och använder felaktiga eller i vart fall olämpliga metoder.

Vid användning av enkla modeller gör man ofta grova approximationer för att det ska gå snabbt att räkna. Enkla beräkningar används främst vid – preliminär analys för att bedöma storleksordningar i resultat – preliminär design för grov dimensionering – bedömningar av rimligheten i resultat från detaljerade modeller.

Beräkningsmodellens komplexitet ökar om man tar hänsyn till – komplex geometri – olineariteter i deformation, material, belastning, randvillkor etcetera – komplexa belastningar och randvillkor.

Vid beräkningar med till exempel finita element-metoden (FEM) kan modellens noggrannhet successivt ökas genom valet av elementtyp: stång-, balk-, skal- och solidelement, genom att öka elementindelningens finhet och genom att använda avancerade materialmodeller. För att arbeta med de detaljerade beräkningsmodellerna krävs genomgående numeriska beräkningsmetoder och datorer.

1.7. Tekniska beräkningar

1.7.2. Beräkningsmetoder Idealiseringen av en fysikalisk/mekanisk modell till en matematisk modell leder i de flesta fall fram till en differentialekvation. Det är ofta svårt att finna analytiska lösningar till sådana, så det är därför vanligt att använda numeriska beräkningsmetoder.

Vid enkla beräkningar kan datorprogram typ kalkylprogram vara både lättanvända och ­effektiva. Det finns även flera varianter av datorprogram för att lösa matematikproblem, speciellt linjär algebra och differentialekvationer. När systemets storlek och komplexitet ökar, ­måste vi använda effektivare programvaror baserade på finita differens-metoden (FDM) eller finita element-metoden (FEM).

I moderna datorprogram som baseras på FDM och FEM separeras den geometriska och topo­logiska modellen från lösningsmetoden. Modellens geometri, materialegenskaper, randvillkor, begynnelsevillkor etcetera ges som så kallade indata till datorprogrammet. Programvarornas begränsningar beror främst av vilka teoretiska fysiska/mekaniska modeller som används, till exempel om modellerna tar hänsyn till stora deformationer och transienta fenomen.

1.7.2.1. Finita differens-metoden Finita differens-metoden (FDM) används ofta inom strömningsmekanik men sällan inom fast kroppsmekanik. Med FDM approximerar man differentialekvationen genom att ersätta partiella derivator med differenskvoter. Om man separerar rumsberoendet och tidsberoendet så reduceras den partiella differentialekvationen först till ett system av ordinära differentialekvationer, vilket integreras med avseende på tiden. Alternativt används differenskvoter direkt även för tidsderivatorna, och då reduceras lösningen till en sekvens av algebraiska ekvationer.

1.7.2.2. Finita element-metoden Finita element-metoden (FEM) är den helt dominerande lösningsmetoden inom fast kroppsmekanik, men används allt mer även inom strömningsmekanik och för att lösa andra typer av fältproblem.

Vid FEM formuleras differentialekvationen som en integralekvation, så kallad svag formulering. Det geometriska området delas in i ändliga segment, så kallade finita element. Varje elements geometri, övriga egenskaper och de primärt obekanta fältvariablerna beskrivs genom att interpolera respektive storhet uttryckt i dess värden i så kallade noder.

Normalt använder man så kallad semidiskretisering, och då separeras de primärt obekanta fältvariablerna med avseende på rums- och tidsberoende. Rumsdiskretiseringen görs med FEM, och då reduceras det kontinuerliga systemet till ett system av ordinära differential­ekvationer vid tidsberoende problem, eller ett linjärt ekvationssystem vid tidsoberoende problem. Systemet av ordinära differentialekvationer direktintegreras i tiden utgående från kända begynnelsevillkor.

För linjära problem kan man alternativt använda så kallad modalanalys.

1.7.3. Simulering och optimering Det är viktigt att tidigt identifiera syftet med analysen eftersom det påverkar: – Val av data och idealisering – Vilka resultat som ska beräknas – Krav på noggrannhet, verifiering och validering Analysen ingår ofta i en produktutvecklingsprocess och blir då en del av en iterativ process. Det system som ska analyseras förändras av många olika och ibland motsägelsefulla skäl under processens gång. Så småningom leder iterationerna fram både till en bättre beräknings­modell och till en bättre produktutformning. Inom den moderna produktutvecklings­metodik som k ­ allas multilösningsteknik (eng. Set-Based Concurrent Engineering, SBCE) arbetar man mer l­ injärt och med många och kontinuerliga modeller än iterativt och med få och diskreta modeller.

Ofta gör man en analys för att undersöka det mekaniska skeendet i en process, till exempel för att bestämma orsaken till ett haveri eller ett materialbrott. Beräkningsmodellens omfatt-

35

36

1. Matematik

ning bestäms liksom tidigare av den önskade noggrannheten hos de sökta storheterna, men modellen genomgår endast en eller ett fåtal förbättrande iterationer.

1.7.3.1 Optimering Det finns olika metoder för matematisk optimering av mekaniska system. De vanligaste baseras på gradienter av målfunktion och bivillkor med avseende på designvariablerna och används i allmänhet för linjära system. Om man har ett olinjärt system måste gradienterna ofta bestämmas genom numerisk differentiering. Det kan leda till försämrad noggrannhet. Det kan då vara fördelaktigt att använda en global optimeringsmetod som är baserad enbart på funktionsvärden av målfunktion och bivillkorsfunktioner. De beräknade funktionsvärdena används för att approximera målfunktionen och bivillkorsfunktionen med reguljära ytor, som man sedan löser det reducerade optimeringsproblemet för.

1.7.3.2. Noggrannhet Beräkningens noggrannhet bestäms av många faktorer. De viktigaste är: – Idealiseringar och antaganden – Randvillkor – Materialegenskaper – Geometribeskrivning – Lastbeskrivning – Beräkningsmodellens finhet (antal noder/element) – Valda elementtyper – Valda elementformuleringar – Numeriska fel Alla faktorer som påverkar noggrannheten måste undersökas. Ibland går det inte att hantera vissa fel. En belastning går till exempel inte alltid att specificera, och ett materials egenskaper kan vara dåligt kända. Man måste ta hänsyn till sådana onoggrannheter när man väljer lösningsmetod och utvärderar beräkningsresultat.

Med hjälp av särskilda beräkningsmetoder kan man ”adaptivt” förbättra lösningens noggrannhet, vanligen genom att höja interpolationsordningen eller förfina elementindelningen baserat på värdet av en indikator. Vid linjära system kan indikatorn vara ett mate­matiskt mått på lösningens fel i någon storhet. De indikatorer som används vid olinjära system är oftast baserade på lösningens variation i rumsdimensionen.

1.7.3.3. Validering Validering genomförs för att verifiera att beräkningsmodellen beskriver det verkliga systemet tillräckligt väl. Den kan till exempel göras genom att – kontrollera modellens data så att de överensstämmer med givna data – kontrollera gjorda idealiseringar – kontrollera att vi uppnår tillräckligt hög noggrannhet, till exempel genom att lösa ett delproblem med känd lösning 1.7.3.4. Specifikation av beräkningar Vid mera omfattande beräkningar är det viktigt att beräkningsprojektet planeras och specificeras väl. Specifikationen bör minst innehålla: – Syfte med analysen – Omfattning av kontroll av data och validering – Specifikation av önskade resultatstorheter och presentationsform Specifikationen bör även innehålla:

1.8. Vinkelfunktioner

– Typ av analys (dynamisk, kvasistatisk eller statisk) – Vilken programvara som ska användas – Modellens omfattning och symmetriegenskaper – Rand- och begynnelsevillkor – Materialegenskaper, till exempel standarddata eller specifika provdata – Källa för data, till exempel kopplingar till CAD-geometri – Belastningar och lastkombinationer – Acceptabel noggrannhet – Möjligheter till förnyade analyser baserade på modellförändringar – Milstolpar för analyser – Färdigdatum – Kostnader Lg.N.

1.8. Vinkelfunktioner Vinkelfunktioner eller trigonometriska funktioner är en klass av funktioner vars funktionsvärden beror av en vinkel. Funktionerna beskriver samband mellan vinklar och sidor hos trianglar. De används inom flera grenar av matematiken liksom inom många tillämpade vetenskaper. De trigonometiska funktionerna är periodiska. De är viktiga inom matematisk analys för att studera såväl periodiska som icke-periodiska funktioner.

Vinklar och förtecken för de fyra kvadranterna

(cos α α, sin α α)

I r=

1

II

III

α

(1,0)

IV

Kvad­ rant

sin a

cos a

tan a

cot a

I

+

+

+

+

II

+

–

–

–

III

–

–

+

+

IV

–

+

–

–

Figur 1.18.

Tabell 1.6. Enkla vinklars funktioner.

sin cos tan cot

–a

90° ± a

180° ± a

270° ± a

360° ± a

−sin a cos a −tan a −cot a

cos a ± sin a ± cot a ± tan a

sin a − cos a ± tan a ± cot a

− cos a ± sin a ± cot a ± tan a

sin (±a) cos (±a) tan (±a) cot (±a)

±

37

38

1. Matematik

Tabell 1.7. Gränsvärden och ofta förekommande värden.

0° 360°

90°

180°

270°

sin

0

1

0

−1

cos

1

0

−1

tan

0

±∞

0

±

cot

±

0

∞

30°

1

60°

2

1 2 2

1 3 2

0

1 3 2

1 2 2

2

±∞

1 3 3

1

3

3

1

1 3 3

0

∞

45°

1

tan och cot går språngvis från + ∞ till − ∞ resp. från − ∞ till + ∞ vid angivna vinklar.

Tabell 1.8. Samband mellan vinkelfunktioner. sin a

sin a = cos a =

± 1 − sin2 a

tan a =

±

cot a =

±

sin a 2

1 − sin a 1 − sin2 a sin a

cos a

tan a

± 1 − cos2 a

± ±

± ±

cot a

tan a 2

1+ tan a 1 1+ tan2 a

cos a

1 tan a

Formler för dubbla och halva vinkeln

1. sin 2a = 2 sin a · cos a 2. cos 2a = cos2 a – sin2 a = 1 – 2 sin2 a = 2 cos2 a – 1 tan a 2 = 3. tan2a = 2 1 − tan2 a cot a − tan a

5. sin

cot2 a − 1 2 cot a

1 = (cot a − tan a ) 2

a 1 = ± (1 − cos a ) 2 2

a 1 = ± (1+ cos a ) 2 2 a sin a 1 − cos a 7. tan = = 2 1+ cos a sin a a sin a 1+ cos a 8. cot = = 2 1 − cos a sin a a a 9. 2 ⋅ sin ⋅ cos = sin a 2 2 6. cos

1+ cot2 a cot a 1+ cot2 a

cot a

Vilket tecken som skall gälla beror på vilken kvadrant det är fråga om. sin a cos a = tan a 2. = cot a 3. tan a ⋅ cot a = 1 1. cos a sin a

4. cot 2a =

±

1

1

1 − cos2 a cos a 1 − cos2 a

±

1.8. Vinkelfunktioner

sin- och cos-potenser

1. 2 sin2 a = 1 – cos 2a 2. 2 cos2 a = 1 + cos 2a a 3. 2 sin2 = 1 − cos a 2 2 a 4. 2 cos = 1+ cos a 2 3 5. 4 sin a = 3 sin a – sin 3a 6. 4 cos3 a = 3 cos a + cos 3a Funktioner för två vinklar

1. sin (a ± b) = sin a · cos b ± cos a · sin b 2. cos (a ± b) = cos a · cos b ± sin a · sin b 3. tan (a ± b) = (tan a ± tan b) / (1 ± tan a · tan b) 4. cot (a ± b) = (cot a · cot b ± 1) / (cot b ± cot a) a −b a+b ⋅ cos 5. sin a + sin b = 2 ⋅ sin 2 2 a+b a −b 6. sin a − sin b = 2 ⋅ cos ⋅ sin 2 2 a+b a −b 7. cos a + cos b = 2 ⋅ cos ⋅ cos 2 2 a+b a −b 8. cos a − cos b = −2 ⋅ sin ⋅ sin 2 2 sin(a ± b ) 9. tan a ± tan b = cos a ⋅ cos b sin(a ± b ) 10. cot a ± cot b = sin a ⋅ sin b 11. sin2 a – sin2 b = cos2 b – cos2 a = sin (a + b) · sin (a – b) 12. cos2 a – sin2 b = cos2 b – sin2 a = cos (a + b) · cos (a – b) 13. sin a · sin b = 1/2[cos (a – b) – cos (a + b)] 14. cos a · cos b = 1/2[cos (a – b) + cos (a + b)] 15. sin a · cos b = 1/2[sin (a + b) + sin (a – b)] 16. tan a ⋅ tan b = 17. cot a ⋅ cot b = 18. cot a ⋅ tan b =

tan a + tan b cot a + cot b cot a + cot b tan a + tan b cot a + tan b tan a + cot b

39

40

1. Matematik

Trigonometriska samband mellan triangelns vinklar a + b + g = 180°

a b g ⋅ cos ⋅ cos 2 2 2

a b g 2. cos a + cos b + cos g = 4 ⋅ sin ⋅ sin ⋅ sin + 1 2 2 2 a b g 3. sin a + sin b − sin g = 4 ⋅ sin ⋅ sin ⋅ cos 2 2 2 a b g 4. cos a + cos b − cos g = 4 ⋅ cos ⋅ cos ⋅ sin − 1 2 2 2 5. sin2 a + sin2 b + sin2 g = 2 · cos a · cos b · cos g + 2 1. sin a + sin b + sin g = 4 ⋅ cos

6. sin2 a + sin2 b – sin2 g = 2 · sin a · sin b · cos g 7. tan a + tan b + tan g = tan a · tan b · tan g a b g a b g 8. cot + cot + cot = cot ⋅ cot ⋅ cot 2 2 2 2 2 2 9. cot a · cot b + cot a · cot g + cot b · cot g = 1 10. sin 2a + sin 2b + sin 2g = 4 · sin a · sin b · sin g 11. sin 2a + sin 2b – sin 2g = 4 · cos a · cos b · sin g 12. cos 2a + cos 2b + cos 2g = –4 · cos a · cos b · cos g – 1 13. cos 2a + cos 2b – cos 2g = –4 · cos a · cos b · cos g + 1 Triangelfunktioner, uttryckta genom den omskrivna cirkelns radie och vinkeln (se även s. 28–29) a+b+c ; δ = a – b; ha = höjden på sidan a) (s = 2

g d 1. a + b = 4 ⋅ r ⋅ cos ⋅ cos 2 2 g d 2. a − b = 4 ⋅ r ⋅ sin ⋅ cos 2 2 a b g 3. s = 4 ⋅ r ⋅ cos ⋅ cos ⋅ cos 2 2 2 a b g 4. s − a = 4 ⋅ r ⋅ cos ⋅ sin ⋅ sin 2 2 2 b a g s − b = 4 ⋅ r ⋅ cos ⋅ sin ⋅ sin 2 2 2 g a b s − c = 4 ⋅ r ⋅ cos ⋅ sin ⋅ sin 2 2 2 5. ha = 2 · r · sin b · sin g hc = 2 · r · sin a · sin b hb = 2 · r · sin a · sin g 6. Triangelytan A = 2 ⋅ r 2 ⋅ sin a ⋅ sin b ⋅ sin g = 7. r =

a 2 ⋅ sin a

=

b 2 ⋅ sin b

=

c 2 ⋅ sin g

=

a⋅b⋅c 4⋅ A

a⋅b⋅c 4r

1.9. Trigonometri

1.9. Trigonometri Trigonometri är läran om förhållandet mellan vinklar och sidor i en triangel. För trianglar som inte är rätvinkliga finns det trigonometriska formler som gör att du kan räkna ut alla sidor och vinklar bara du känner till två sidor och en vinkel eller två vinklar och en sida.

Beräkning av rätvinkliga och snedvinkliga trianglar

A = ytan Givet

Sökt

Lösning

a

a

tan a =

b

tan b =

c

c = a2 + b2

A

A=

a

sin a =

b

cos b =

b

b = c 2 − a2 = (c + a) ⋅ (c − a) = c ⋅ cos a = c ⋅ sin b

A

A=

b

b = a · cot a

c

c=

A

A=

c

c = a2 + b2 − 2a ⋅ b ⋅ cos g

a

sin a =

b

c=

a sin a

=

b cos a

a⋅b 2

a, c

a, b, g

a = 90° – b

a

a, b

a, a

b = 90° – a

b

a

a

b = 90° – a

c a

a = 90° – b

c

(c + a) ⋅ (c − a) =

2

1 2

a ⋅ c ⋅ sin b

a

c b a

sin a a2 2

b

sin b =

A

A=

a

⋅ cot a

a ⋅ sin g c b ⋅ sin g c

b

tan a = tan b =

a ⋅ sin g b − a ⋅ cos g b ⋅ sin g a − b ⋅ cos g

a ⋅ b ⋅ sin g 2

a = 180° – (b + g)

g = 180° – (a + b) b = 180° – (a + g)

41

1. Matematik

Beräkning av snedvinkliga trianglar

A = ytan Givet

Sökt

Lösning

b=

b

a, b, g eller a, a, b

A=

c

c=

A

a ⋅ sin b sin a

=

a ⋅ sin b sin(b + g )

2

a ⋅ sin b ⋅ sin g 2 ⋅ sin a a ⋅ sin g sin a

=

=

2

a

2(cot b + cot g )

a

γ

b

42

α

β c

a ⋅ sin g sin(b + g )

a > b, därför b alltid spetsig; b < a

 a+b+c   s = sidornas halva längd =  2   cos a =

a

sin

a 2

=

cos b =

b a, b, c

sin

b 2

=

cos g =

g

sin

g 2

=

b2 + c 2 − a2 2bc (s − b) ⋅ (s − c) bc a2 + c 2 − b2 2ac (s − a) ⋅ (s − c) a⋅c b2 + a2 − c 2 2ab (s − a) ⋅ (s − b) a⋅b

cos

a 2

=

cos

2

b⋅c

=

cos

2

ac

a⋅c

=

sin g =

s(s − b) 2A

sin b =

g

bc 2A

sin a =

b

s(s − a)

s(s − c) ab 2A

a⋅b

A = s(s − a) ⋅ (s − b) ⋅ (s − c)

A

Beräkning av regelbundna månghörningar

s s/2

180/n 360/n

r

Figur 1.19.

R

Benämning

Beteck­ ning

Antal sidor

n

Månghörningens sidor

s

Den omskrivna cirkelns radie

R

Den inskrivna cirkelns radie

r

Månghörningens yta

A

1.10. Plangeometri

Beteckning

Beräkning

s

= 2 ⋅ R ⋅ sin

R

 180°  180° = s  2 ⋅ sin  = r cos n  n 

r

=

A

=

s 2 n 2

⋅ cot

180°

180° n

R 2 ⋅ sin

= 2 ⋅ r ⋅ tan

n

= R ⋅ cos

360° n

180° n

180° n

= n ⋅ r 2 ⋅ tan

180° n

=

n 4

⋅ s2 ⋅ cot

180° n

1.10. Plangeometri Plangeometri är läran om geometriska figurer i planet. Ett plan definieras av tre punkter. Ett plan är en yta som är sådan att en rät linje som förbinder två punkter i planet ligger i ytan i hela sin längd. s

s b

r

h

ϕ

r

r

d

b

O

O Figur 1.20.

Cirkel Benämning

Beteckning

Beräkning

Radien

r

Diametern

d

O O ; ; 1,128 38 A p 3,1416

Omkretsen

O

2p ⋅ r; r ⋅ 6,283 18; 3,1416 ⋅ d;

Ytan

A

π · r2; 3,1416r2; 0,785d2; 0,079578O2

O

;

O

2p 6,283 18

; 0,564 19 A

d 0, 3183

Talvärdet för π är approximativt 3,141 59.

Båglängden vid en centrumvinkel av 1° = 0,008 726 5 · d.

Båglängden vid en centrumvinkel av n° = 0,008 726 5 · n · d.

Centrumvinkeln för b = r är 57,2958° = 3437,75′ = 206 265″ och benämns en radian. (Se nedan under Vinkelmått.)

43

44

1. Matematik

Cirkelsektor och cirkelsegment

r ⋅ϕ ⋅ p

; 0,017 453 ⋅ r ⋅ ϕ ;

2A

Båglängd

b

Centrumvinkel i grader

F

57,296 ⋅

Radie

r

A b s 2 + 4h2 2 ; 57,296 ; b 8h ϕ

Kordans längd

s

2 h(2r − h);

Bågens höjd

h

1 ϕ r − ⋅ 4r 2 − s 2 ; 2r sin2 2 4

Sektorns yta

A1

Segmentets yta

A2

180°

r ⋅b 2

r

b r

2r sin

; 0,008 726 5 ⋅ ϕ ⋅ r 2 ;

r (b − s) + s ⋅ h r 2 ; 2 2

ϕ 2

r2 ⋅ p ⋅ϕ 360°

ϕ ⋅p   − sin ϕ   180° 

Cirkelperiferins delning i n delar

Delningssträckan s = kordan = diametern ⋅ sin

180° n

Exempel: Periferin hos en cirkel med diametern d = 24 cm ska delas i 33 lika delar. Den delsträcka som tas med passaren ska vara 24 ⋅ sin

180° 33

= 2, 28 cm

Vinkelmått

En vinkel mäts i 1. grader. 1 varv = 360° (grader), 1° = 60′ (minuter), 1′ = 60″ (sekunder). p 2. gon. 1 varv = 400 gon, 1 gon = rad 200 3. radianer. 1 varv = 2π rad. 1 radian är en vinkel som upptar en cirkelbåge som är lika lång som radien.

1rad =

180°

p

= 57, 3° 1° =

p 180°

rad

1.10. Plangeometri

Ytan A B

A= h

Tyngdpunktens läge S

2

S O

A

C

b/2

b

AO = OC SO = 1/3 BO (Tyngdpunkten = ­medianernas (mittlinjernas) ­skärningspunkt)

b⋅h

a. Triangel b

a/2 a/2

A=

O

ha

S

a+ b 2

h

⋅h

hb a

b/2

b/2

ha =

h a + 2b ; ha < SO ⋅ 3 a+b

hb =

h 2a + b ⋅ 3 a+b

b. Trapets A=b⋅h a

S b

SO =

h h/2

O

h 2

c. Romboid

A= S O

r

p 2

r2

SO =

4 3⋅ p

r = 0, 42r

r

d. Halvcirkel b

S

A=π⋅b⋅a

Axlarnas ­skärningspunkt

b a

a

e. Ellips b

s

A= S

= r

ϕ O

b⋅r

SO =

2

ϕ 360°

2 r ⋅s ⋅ 3 b

⋅ p ⋅ r2

f. Cirkelsektor b

s

A= h

S O

r

g. Cirkelsgment

r (b − s) + s ⋅ h 2

SO =

s3 12 A

45

1. Matematik

1.11. Rymdgeometri Rymdgeometri behandlar geometriska egenskaper hos figurer i rymden (längd, area, volym etcetera).

Mantelyta M Total yta O M = 2πrh = πdh

d O h/2

S

Tyngdpunktens läge S SO =

h

Volym V V = p r2h =

h 2

=

p d2 4

⋅h

r

a. Cylinder O = omkretsen · · höjden + 2 basytor

h

S

V = längd · bredd · · höjd

c

a

Diagonalernas skärningspunkt

b

46

h

b

a

b. Prisma (rätvinkligt och snedvikligt) O = summan av de begränsande trianglarna + basytan

h S

SO =

1 4

h

V=

h

× 3 basytan

O

c. Pyramid M= = inre + yttre ­manteln 2πh ⋅ (r + r1)

O h/2

S

h r1

d. Hålcylinder

α

V=p⋅h⋅ ⋅ (r2 – r12)

h 2

O = M + 2π(r + r1) ⋅ (r + r1)

r

h1

SO =

h

S

M = πr(h+h1)

SO1 =

O1 O S1

e. Snett avskuren ­cylinder

r

⋅

h + h1 4

+

1 4

⋅

r 2 ⋅ tan2 a h + h1

1 r 2 ⋅ tan a S1O = ⋅ 2 h + h1

V=

p 2

⋅ (h + h1) ⋅ r 2

1.11. Rymdgeometri

Mantelyta M Total yta O

Tyngdpunktens läge S

O = 4πr2 = πd2

I mittpunkten

Volym V V=

r S d

=

4 3 p 6

p ⋅ r3 = ⋅ d3

a. Sfär s h S

(4h + s) r

SO =

h 3  ⋅  r −  4  2

V=

M = 2πrh = p = ⋅ (s 2 + 4h2 ) 4

SO =

3 (2r − h)2 ⋅ 4 3r − h

 h V = p ⋅ h2 ⋅  r −  = 3 

O=

p 2

2 3

p ⋅ r2 ⋅ h

r O

b. Sfärisk sektor s h

S

 s 2 h2  = p h ⋅  −  8 6

r O

c. Sfärisk segment M=π⋅r⋅s s

h

2 2 = p ⋅ r r + h

1 SO = h 4

V=

h SO = ⋅ 4

V=

p 3

⋅ hr 2

S O r

d. Kon O = summan av de begränsande trapetserna + övre + undre basytan

A2

h

S A1

O

⋅

e. Stympad pyramid r1

s

M = πs(r + r1)

h

S O

r

e. Stympad kon

A1 + 2 A1 ⋅ A2 + 3 A2 A1 + A1 ⋅ A 2 + A2

SO = ⋅

h 4

⋅

r 2 + 2r ⋅ r1 + 3r12 r 2 + r ⋅ r1 + r12

h 3

⋅

⋅ ( A1 + A2 + A1 + A2 ) (A2 övre, A1 undre basytan) V = (r 2 + r12 + r ⋅ r1) ⋅ ⋅

p 3

h

47

48

1. Matematik

a1

b

1

Mantelyta M Total yta O

Volym V

O = summan av de 4 trapetserna och de båda basytorna

h V = [(2a + a1)) ⋅ b + 6

h

+ (2a1 + a) ⋅ b1 ] =

b

=

a

a. Obelisk

h 6

[a ⋅ b + a1 ⋅ b1 +

+ (a + a1) ⋅ (b + b1)]

a

M=2⋅π·r⋅h h

V=

p 6

⋅h⋅

⋅ (3a2 + 3b2 + h2)

r

b

b. Sfärisk zon a1

M = summan av de två trapetserna och de båda sido­trianglarna

h

V = (2a + a1) ⋅

b⋅h 6

b a

c. Kil Kan inte uttryckas i enkla formler

I

d

D

approx. p V = ⋅l ⋅ 15 ⋅ (2D2 + D ⋅ d + 0,75d2)

d. Tunna a

c

Kan inte uttryckas i enkla formler

V=

Kan inte uttryckas i enkla formler

Va =

b

4 3

⋅ a⋅b⋅c ⋅ p

e. Ellipsoid b

a b

f. Rotationsellipsoid

a

4 3

⋅ p ⋅ ab2

(2a är rotationsaxel) 4 Vb = ⋅ p ⋅ a2b 3 (2b är rotationsaxel)

1.11. Rymdgeometri

Sfären

Sfärens yta: A = 4 π r2 = 12,566 r2 = π pd2.

Kalottens yta: A = 2 π rh.

Sfärens volym: V =

4 3

⋅ p r 3 = 4,1888r 3 = 0,5236d 3; radien r = 0, 62035 3 V .

p ⋅ h ⋅ (3a2 + h2 ) = ⋅ h2 ⋅ (3r − h), om r är sfärens radie, 6 3 a genomskärningsytans radie och h segmentets höjd.

Sfäriska segmentets volym: V =

p

p Sfäriska zonens volym: V = ⋅ h ⋅ (3a2 + 3b2 + h2 ), om a och b är den övre respektive den 6 undre ytans radier.

Sfäriska sektorns volym: V =

2 3

⋅ p r 2h, om h är den motsvarande kalottens höjd.

Massa = volym · densitet.

Rotationsytor och rotationsvolymer

När vi bestämmer rotationsytor och volymer tillämpar vi Pappos-Guldins regler enligt figur 1.21 a–c.

Om en plan kurva med längden L roterar kring en axel M i kurvans plan och r är avståndet från kurvans tyngdpunkt till axeln, blir rotationsytan Y: Y = L · 2πr M L×

r M

L×

M M

Figur 1.21. a. Pappos-Guldins regler.

yta rmed

Om en plan arean A roterar kring axeln M i ytans plan och r är avståndet från ytans L× tyngdpunkt till axeln, blir rotationsvolymen V: r A V = A · 2πrr M M

A A

r R

r

Figur 1.21. b. Pappos-Guldins regler. d

Exempel: För en cylindrisk ring blir rotationsytan 2π2dR = 19,74 dR p2 2 Rotationsvolymen d R = 4,93d 2R 2 R R

d d Figur 1.21. c. Pappos-Guldins regler.

49

1. Matematik

Yta hos oregelbunden figur

Simpsons regel enligt figur 1.22 kan användas för att bestämma ytan för en oregel­bunden figur.

A h

h

h

y2n

y2n–2

C y2n–1

y1

y2

B

y0

50

h D

BC = godtycklig kurva Begränsning av ytan genom: BA = y0 AD CD = y2n AD Figur 1.22.

Ytan delar man i ett jämnt antal delar genom att på lika avstånd h dra parallella linjer till y0 (2n är ett jämnt tal).

A=

h 3

( y 0 + 4 y 1 + 2 y 2 + 4 y 3 +  + 2 y 2 n − 2 + 4 y 2 n −1 + y 2 n )

1.12. Avrundning av siffertal Nedanstående regler anger hur, men inte när, tal ska avrundas. Svensk standard SS 01 41 41, utgåva 2, ge utförligare information.

Att avrunda ett heltal eller ett decimaltal framför decimaltecknet, innebär att ersätta de siffror i talet som följer på avrundningssiffran med nollor, och att i vissa fall även addera 1 till avrundningssiffran. Enligt standarden bör man i Sverige företrädesvis avrunda som i tabell 1.8 (regel A). Siffrorna inom parentes i tabellen anger avrundning enligt en annan regel, B. Man bör avrunda endast en gång eftersom man annars kan få onödigt stora fel. Om till ­exempel 12,349 ska avrundas till en decimal ska detta göras direkt till 12,3 och inte först till 12,35 och sedan till 12,4.

Ofta kan man inte avgöra om ett tal är avrundat eller inte. Om det är viktigt för läsaren att få veta det så bör man ange det. (ISO saknar regler för det här.)

1.12. Avrundning av siffertal

Tabell 1.9. Avrundningsregler.

Siffran efter avrundningssiffran i det ursprungliga talet är

<5

5 5 följs inte av andra siffror

>5 5 följs av enbart nollor

5 följs av andra siffror än enbart nollor

Avrundningssiffran förblir oförändrad

A: förblir oförändrad om den är jämn och ökas med 1 om den är udda (B: ökas med 1)

ökas med 1

Exempel (pilen anger avrundningssiffran) 12 345 ↑ 12 300

12 345 ↑ 12 340 (12 350)

123 450 ↑ 123 400 (123 500)

35 000 ↑ 34 506

3 460 ↑ 3 456

3,4543 ↑ 3,45

0,2325 ↑ 0,232 (0,233)

0,2355 ↑ 0,236 (0,236)

1 400 ↑ 1 351

2,346 ↑ 2,3456

2,1049 ↑ 2,10

0,058

↑ 0,0575 (0,058)

0,078

↑ 0,0775 (0,078)

0,35 ↑ 0,3453

0,25 ↑ 0,246

51

52

2. Måttsystem

2. Måttsystem Det här kapitlet handlar om olika måttsystem. Vi börjar med det moderna SI. Det används i Sverige och större delen av världen sedan ca femtio år. Därefter tittar vi på det tekniska måttsystemet, en av SIs föregångare. Slutet av kapitlet behandlar brittiska och amerikanska måttenheter, samt äldre svenska måttenheter.

2.1. SI-systemet

2.1. SI-systemet SI – Système International d’Unités – är det internationella måttsystem som används i de flesta länder. Det är lämpligt för alla tekniska och vetenskapliga områden. SIS har fastställt en svensk standard för SI-storheter och -enheter. Det här kapitlet sammanfattar de viktigare delarna av SI. Du kan hitta mer utförlig information om systemet i SIS – STG handbok 103, Storheter och enheter: SI måttenheter.

2.1.1. Enheter De olika enheterna klassificeras i följande principiella grupper: Grundenheter Supplementenheter Härledda enheter Dessa tre grupper benämns SI-enheter.

Tillsammans med SI-multipelenheter (= multipelenheter bildade av SI-enheter med hjälp av prefix) kallas grupperna även enheter i SI. Dessutom finns: Tilläggsenheter Blandade enheter Multipelenheter i övrigt Dessa tre grupper är inte enheter i SI men har ändå tagits med i både internationell och svensk standard.

Lägg märke till de här viktiga skrivreglerna: – Beteckningar för enheter skrivs med rak stil. Beteckningar för storheter skrivs med kursiv stil. Exempel: meter, m; massa, m.

– Enheternas namn skrivs med liten bokstav utom i början av en mening: 10 kelvin, inte 10 Kelvin.

– De korrekta enhetsbeteckningarna ska alltid användas. Därför skrivs till exempel kg med liten begynnelsebokstav även i början av en mening. Parentes måste användas om nämnaren innehåller mer än en enhet. Exempel: Enheten watt per meter kelvin skrivs W/(m · K).

2.1.1.1. Grundenheter SI bygger på sju grundenheter. Alla övriga enheter i systemet uttrycks i dem.

Storhet

Enhet

längd, l

meter, m

massa, m

kilogram, kg

tid, t

sekund, s

elektrisk ström, I

ampere, A

temperatur, T

kelvin, K

ljusstyrka, I

candela, cd

substansmängd, n

mol, mol

53

54

2. Måttsystem

2.1.1.2. Supplementenheter Supplementenheterna är: Storhet

Enhet

plan vinkel, a, b, g

radian, rad

rymdvinkel, ϕ

steradian, sr

2.1.1.3. Härledda enheter Härledda enheter bildas som potens eller produkt av potenser av grundenheter och supple­ ment­enheter enligt vissa bestämda fysikaliska lagar för samband mellan olika storheter.

Nitton härledda enheter har egna namn, se tabell 2.1.

Tabell 2.1. Härledda enheter med egna namn.

Storhet

Enhet

Härledning

frekvens, f, ν

hertz, Hz

s–1

kraft, F

newton, N

kg·m/s2

tryck, mekanisk spänning, p

pascal, Pa

N/m2

energi, arbete, E, W

joule, J

N·m

effekt, P

watt, W

J/s

elmängd, laddning, Q

coulomb, C

As

volt, V

W/A

kapacitans, C

farad, F

C/V

resistans, R

ohm, Ω

V/A

elektrisk potential, V elektrisk spänning, U

konduktans, G

siemens, S

A/V

magnetiskt flöde, Φ

weber, Wb

V·s

magnetisk flödestäthet, B

tesla, T

Wb/m2

induktans, L

henry, H

Wb/A

celsiustemperatur, t

grad Celsius, °C

K1)

ljusflöde, Φ

lumen, lm

cd · sr

illuminans, belysning, E

lux, lx

lm/m2

becquerel, Bq

s–1

gray, Gy

J/kg

sievert, Sv

J/kg

2)

aktivitet , A absorberad dos2), D 2)

dosekvivalent , H 1)

1 °C = 1 K gäller temperaturdifferenser.

2) Inom radiologin.

2.1.1.4. SI-multipelenheter Multipelenheter bildas genom att man kombinerar ett prefix med en enhet. Det innebär en multiplikation med en potens av 10. Det finns 16 standardiserade prefix, se i tabell 2.2.

Välj prefix så att mätetalet blir större än 0,1 och mindre än 1 000. Exempel: 2,5 kJ, inte 2 500 J. Undvik prefix i nämnaren. Exempel: kg/m3, inte g/dm3. Undvik sammansatta prefix. Exempel: GWh, inte MkWh. Multipelenheter av kilogram (kg) skrivs med prefix före enheten gram (g).

Exempel: mg, inte μkg.

2.1. SI-systemet

Tabell 2.2. Prefix.

Talfaktor

Prefix

18

Talfaktor –1

Prefix

10

exa, E

10

(deci, d)

1015

peta, P

10–2

(centi, c)

12

–3

10

tera, T

10

milli, m

109

giga, G

10–6

mikro, µ

6

mega, M

10

3

–9

nano, n

–12

10

10

kilo, k

10

piko, p

102

(hekto, h)

10–15

femto, f

(deka, da)

–18

1

10

10

atto, a

Av prefixen inom parentes bör man undvika hekto, h, och deka, da. Deci, d, och centi, c, ska användas endast när andra prefix är olämpliga.

2.1.1.5. Tilläggsenheter Det finns enheter som egentligen inte hör till SI men som behövs av olika praktiska skäl. De kallas för tilläggsenheter och du kan använda dem tillsammans med enheter i SI. Storhet

Enhet

omräkningsfaktor

tid

minut, min

1 min = 60 s

timme, h

1 h = 3 600 s (= 60 min)

dygn, d

1 d = 86 400 s (= 24 h)

grad, °

1° =

minut, ′

1′ =

sekund, ″

1′′ =

gon, gon

1 gon =

volym

liter, l

1 l = 1 dm3

massa

ton, t

1 t = 103 kg

plan vinkel

 1  rad  = varv  180  360  p

1° 60 1′ 60  1  rad  = varv  200  400  p

Två tilläggsenheter har accepterats för användning i vetenskapliga sammanhang. De är för Storhet

Enhet

omräkningsfaktor

massa

atommassenhet, u

1 u ≈ 1,660 57 · 10–27 kg

energi

elektronvolt, eV

1 eV ≈ 0,160 219 · 10–18 J

Dessutom förekommer vissa tidsbegränsade tilläggsenheter.

2.1.1.6. Blandade enheter Enheter som har bildats av SI-enheter och tilläggsenheter kallas blandade enheter. Exempel på sådana är amperetimme, Ah, och meter per timme, m/h.

55

56

2. Måttsystem

2.1.1.7. Multipelenheter i övrigt Multipelenheter i övrigt bildas genom att enheter som inte ingår i SI får ett prefix. Ett exempel är milliliter, ml.

2.1.2. Skrivregler och omräkningsfaktorer (Omräkningsfaktorerna är i allmänhet avrundade. Vid noggrann beräkning bör du läsa SIS – STG handbok 103, Storheter och enheter – SI måttenheter.) Se även avsnitten 2.3. och 2.4. storhet

skrivregler och omräkningsfaktor

Plan vinkel, a, b, γ

På ritningar använder du enheten grad (°), som bör decimal­ indelas. Exempel: 5,5°, inte 5°30′.

Radian, 1 rad ≈ 57,3°

Längd, l

Använd km, m, mm och μm.

1 m = 39,37 in = 3,28 ft = 1,094 yd 1 nautisk mil (sjömil) = 1,852 · 103 m 1 ångström (Å) = 10–10 m

Area, A

Vanliga multipler är mm2, cm2, dm2 och km2.

Undvik ar (a), acre och tunnland. För landarea kan du använda hektar (ha).

1 m2 = 1 550 in2 = 10,76 ft2 = 1,196 yd2 1 a = 100 m2 1 ha = 10 000 m2

Volym, V

Vanliga multipler är mm3, cm3 och dm3. Använd i första hand m3 i tekniska sammanhang. För fluider kan du använda tilläggs­ enheterna liter (l), cl och ml, men undvik dl.

1 l = 1 dm3 = 61,02 in3 Skriv dm3/s, inte l/s.

Tid, t

Föredra i tekniska sammanhang sekund (s) och undvik tilläggs­ enheterna min, h och d. Det gäller särskilt vid beräkningar.

Frekvens, f, ν

Använd hertz (Hz), inte cykler/s.

Varvfrekvens, n

Använd r/s för varv per sekund och r/min för varv per minut.

Undvik rpm.

Hastighet, v

Använd m/s utom för fordon, där du istället använder km/h.

1 m/s = 3,6 km/h = 3,28 ft/s = 2,24 mph = 1,94 kn (1 knop = 1 nautisk mil/h)

Acceleration, a

m/s2 (meter per sekundtvå).

Den fastställda normalaccelerationen vid fritt fall är gn = 9,806 65 m/s2.

Massa, m

Du kan bestämma massan genom att väga med balansvåg.

Kilogram, kg, är grundenhet för massa. Multipelenheter bildas på gram. Exempel: mg, inte μkg.

1 ton (t) = 1 Mg = 1 000 kg 1 kg = 2,205 lb 1 lb = 0,454 kg

Densitet, ρ

Densitet ersatte för länge sedan benämningen täthet. Benämningen ”specifik vikt” ska inte heller användas. Använd i första hand kg/m3. Du kan också använda g/cm3 och g/ml.

1 g/cm3 = 1 g/ml = 1 000 kg/m3

2.1. SI-systemet

storhet

skrivregler och omräkningsfaktor

Kraft, F

Du kan bestämma kraft med en dynamometer (fjädervåg).

Förväxla inte kraft och massa: Tyngd är en kraft.

1 newton (N) = 1 kg·m/s2 1 N = 0,102 kp = 0,225 lbf 1 kp = 9,81 N

Kraftmoment, M

Newtonmeter (Nm). Förväxla den inte med energi­enheten joule (J).

Skriv inte mN, som kan tolkas som millinewton.

1 kpm = 9,81 Nm

Rörelsemängd, p

Kilogrammeter per sekund, kg · m/s. p = m · v (massa · hastighet)

Energi, E, W

1 J = 1 Nm = 1 Ws, använd J. För elenergi kan du använda Wh. 1 kJ = 0,278 · 10–3 kWh = 0,239 kcal 1 kcal = 4,19 kJ = 1,16 · 10–3 kWh

Effekt, P

Använd alltid watt, 1 W = 1 J/s.

1 W = 0,102 kp · m/s = 0,86 kcal/h = 1,36 · 10–3 hk 1 hk (hästkraft) = 735,5 W = 75 kp · m/s = 632 kcal/h 1 hp (horsepower) = 745,7 W

Tryck, p

1 pascal (Pa) = 1 N/m2. Använd Pa för absolut tryck (pa eller pabs) samt för övertryck (pe) och undertryck (pe med negativt mäte­tal).

Du kan använda index i anslutning till enheten: pe = 600 kPa eller 600 kPa (e).

I vissa länder är bar accepterad som enhet vid sidan av pascal.

1 bar = 100 kPa = 0,1 MPa (exakt) 1 Pa = 10,2 · 10–6 kp/cm2 = 0,145 · 10–3 lbf/in2 = = 7,5 · 10–3 torr (≈ mm Hg) 1 kp/cm2 (at) = 98,07 · 103 Pa = 14,22 lbf/in2 = 735,6 torr 1 mm vattenpelare = 9,81 Pa

Dynamisk viskositet, η

Pascalsekund (Pa · s).

Ibland används pois (uttalas ”påjs”).

1 pois (P) = 0,1 Pa · s 1 centipois (cP) = 1 mPa · s

Kinematisk viskositet, ν

Metertvå per sekund (m2/s).

Ibland används stok (uttalas ”ståk”).

1 stok (St) = 100 mm2/s 1 centistok (cSt) = 1 mm2/s Den kinematiska viskositeten är lika med den dynamiska dividerad med fluidens densitet (uttryckt i kg/m3).

Normalspänning, σ Skjuvspänning, τ Elasticitetsmodul, E Skjuvmodul, G

1 pascal (Pa) = 1 N/m2.

Vanliga multipler: kPa, MPa för spänning MPa, GPa för modul I specifikationer för metaller används ofta N/mm2.

Observera att N/mm2 = MPa. Använd alltid Pa i beräkningar.

1 kp/mm2 = 9,81 MPa

57

58

2. Måttsystem

storhet

skrivregler och omräkningsfaktor

Temperatur, T

Kelvin (K) är grundenhet.

Enheten kelvin är lika stor som enheten grad Celsius.

Du kan använda kelvin i alla sammanhang och °C i de flesta tekniska sammanhang. Du kan även använda °C i övrigt där det är lämpligt.

Beteckningen för temperatur är T då du använder K och t då du använder °C. 0 K = –273,15 °C Kelvin (XK) till grader Fahrenheit (XF): XF = 1,8 · (XK – 273,15) + 32 Grader Celsius (XC) till grader Fahrenheit (XF): XF = 1,8 · XC + 32

Värmekonduktivitet, värmelednings­förmåga, λ

Watt per meter kelvin, W/(m·K).

1 kcal/(m · h · K) = 1,16 W/(m·K)

Värmegenomgångs­ koefficient, k

Watt per kvadratmeter kelvin, W/(m2 · K).

1 kcal/(m2 · h · K) = 1,16 W/(m2 · K)

2.1.3. Tillämpningsexempel Exempel 1

Vilken rörelseenergi (E) har en gevärskula med massan (m) 8,5 g när den lämnar geväret med utgångshastigheten (v) 750 m/s?

E=

1 2

mv 2

1 m2 E = ⋅ 8,5 ⋅ 10−3 ⋅ 7502 kg ⋅ 2 = 2 391 J = 2, 39 kJ 2 s Exempel 2

Vilken effekt (P) måste en elektrisk motor med verkningsgrad (η) 80 % utveckla för att kunna driva en kran som ska lyfta massan (m) 2 000 kg till höjden (h) 25 m på tiden (t) 30 s?  m⋅ g⋅h m N η ⋅P =  g = 9, 81 2 = 9, 81  t kg  s  P=

2000 ⋅ 9, 81⋅ 25 0, 80 ⋅ 30

kg ⋅

N m Nm ⋅ = 20 438 = 20, 4 kW kg s s

Exempel 3

Vilken tyngd (G) har en betongbalk med längden (l) 3,0 m och tvärsnittet b × h 0,30 · 0,40 m2 samt densiteten ρ = 2 400 kg/m3? Tyngdaccelerationen g = 9,81 m/s2.

G = mg = ρ · l · b · h · g G = 2400 ⋅ 3,0 ⋅ 0, 30 ⋅ 0, 40 ⋅ 9, 81

kg m3

⋅m⋅m⋅m⋅

m s2

= 8 476

kg ⋅ m s2

= 8,5 kN

2.2. Tekniska måttsystemet

Exempel 4

Hur mycket längre blir en stålstång med längden (l) 4,15 m och elasticitetsmodulen (E) = 210 GPa om du belastar den med dragspänningen (σ) 175 MPa? Förlängningen ∆ l =

∆l =

175 ⋅ 106 ⋅ 4,15 9

210 ⋅ 10

s ⋅l E

Pa ⋅ m ⋅

m2 N

= 3, 46 ⋅ 10−3 m = 3,5 mm

Exempel 5

Hur mycket längre blir en stålbalk med längden (l) 650 cm om du höjer temperaturen från 300 K till 383 K? Längdutvidgningskoefficienten a = 12 · 10–6 K–1.

Förlängningen Δl = l · a · ΔT Δl = 650 · 10–2 · 12 · 10–6 · (383 – 300) = 7,8 · 10–5 · 83 = 6,474 · 10–3 = 6,5 mm

2.2. Tekniska måttsystemet Det tekniska måttsystemet dominerade tidigare inom det tekniska området. I det används: storhet

enhet, tekn. måttsystemet

längd

meter, m

kraft

kilopond, kp

tid

sekund, s

1 kp definieras som den kraft som ger massan 1 kg en acceleration av 9,806 65 m/s2. 1 kp · s2/m motsvarar då en massa av 9,806 65 kg.

De här storheterna, storhetsbeteckningarna och enheterna användes i systemet: Storhet

Beteckning

Enhet

längd

l

m

yta

A = l2

m2

volym

V = l3

m3

vinkel

a

rad

rymdvinkel

ω

sr

tid

t

s

hastighet

v=l/t

m/s

acceleration

a = l / t2

m/s2

vinkelhastighet (numera vinkelfrekvens)

w=a/t

rad/s

massa

m

kp · s2/m

kraft

F

kp

tryck

p=F/A

kp/m2

täthet

r=m/V

kp · s2/m4

2

kp · m · s2

tröghetsmoment

J=m·l

kraftmoment

M=F·l

kp · m

energi

W=F·l

kp · m

59

60

2. Måttsystem

Storhet

Beteckning

Enhet

effekt

P=W/t

kp · m/s

temperatur

ϑ

°C

värmeledningsförmåga

λ = P · l / (ϑ ⋅ A)

kcal/(m · h · °C)

dynamisk viskositet

η=F·t/A

kp·s/m2

kinematisk viskositet

ν=η/ρ

m2/s

2.3. Brittiska och amerikanska måttenheter Längd

1 yard (yd) = 3 ft = 36 in = 0,9144 m 1 foot (ft) = 0,3048 m 1 inch (in) = 25,4 mm 1 mil (= 0,001 in) = 0,0254 mm 1 mile (eng. mil) = 1 760 yd = 1 609,34 m Area

1 square mile (mile2) = 640 acres = 2,5900 km2 1 acre = 4 840 yds2 = 4 047 m2 1 square yard (yd2) = 9 ft2 = 1 296 in2 = 0,8361 m2 1 square foot (ft2) = 144 in2 = 9,290 dm2 1 square inch (in2) = 6,452 cm2 Volym

1 cubic yard (yd3) = 27 ft3 = 0,7646 m3 1 cubic foot (ft3) = 1 728 in3 = 28,32 dm3 1 cubic inch (in3) = 16,39 cm3 Brittiska volymenheter: 1 quarter = 8 bushels = 64 UK gallons = 290,9 l 1 UK gallon = 4 quarts = 8 pints = 32 gills = 4,546 l 1 UK fluid ounce (fl oz) = 28,4131 ml Amerikanska volymenheter: 1 US gallon (våt vara) = 4 US quarts = 8 US pints = 32 US gills = 3,785 l 1 bushel (torr vara) = 35,24 l 1 US fluid ounce (fl oz) = 29,5735 ml Massa

1 ton (i USA long ton) = 20 cwt (i USA long cwt) = 80 quarters = 2 240 lb = 1 016 kg 1 short ton (sh tn, USA) = 2 000 lb = 907,2 kg 1 hundredweight (cwt, UK) = 112 lb = 50,8 kg 1 US centerweight (US cwt) = 100 lb = 45,4 kg 1 pound (lb) = 16 oz = 7 000 troy grains = 0,4536 kg 1 ounce (oz) = 16 drams = 28,35 g 1 troy pound = 12 troy ounces = 5 760 troy grains = 0,3732 kg 1 stone = 14 lb = 6,35 kg Tryck

1 lbf/in2 (pound-force per square inch, psi) = 6 895 N/m2

2.4. Äldre svenska måttenheter

2.4. Äldre svenska måttenheter Längd

1 gammal mil = 6 000 famnar = 18 000 alnar = 36 000 fot = 10 689 m 1 famn = 3 alnar = 1,78 m 1 fot = 297 mm 1 verktum = 24,7 mm Area (yta)

1 tunnland = 32 kappland = 56 000 sv. kvadratfot = 4 936 m2 Volym

1 åm = 4 ankare = 60 kannor = 157,0 l 1 tunna (våt vara) = 4 fjärdingar = 48 kannor = 125,6 l 1 kappe = 1 ¾ kanna = 4,58 l 1 kanna = 2 stop = 8 kvarter = 32 jungfrur = 2,617 l 1 kubikfot = 26,2 dm3 1 famn (för ved), varierande mått: 1 kubikfamn = 5,65 m3, 1 skogsfamn = 2,83 m3, 1 storfamn = 3,77 m3 Massa (vikt)

1 skeppund = 20 lispund = 400 skålpund = 170,0 kg 1 skålpund = 32 lod = 100 ort = 0,4251 kg 1 gammal centner = 120 skålpund = 51,04 kg 1 ny centner = 100 skålpund = 42,51 kg

61

62

3. Mekanik

3. Mekanik Det här kapitlet behandlar grundläggande mekanik. Det omfattar Newtons rörelselagar, translation och rotation, masströghetsmoment, kinetisk energi, centripetal- och centrifugalkraft, friktion, fallrörelse, stöt, jämviktsvillkor och svängningar. Kapitlet avslutas med några tillämpningar. Strömningslära behandlas i avsnitt 8.3. Ljud och vibrationer diskuteras i avsnitt 19.2, som handlar om Buller.

3.1. Rörelser En stel kropp kan röra sig på två sätt, translation och rotation. Translationsrörelse kallas också parallellrörelse och kännetecknas av att alla punkter i kroppen i varje ögonblick rör sig med samma hastighet, det vill säga i samma riktning och med samma fart. Rotationsrörelse är den vridningsrörelse som en kropp utför kring en axel, rotationsaxeln, som går genom två fixerade punkter i kroppen.

Vi kan se en allmän rörelse hos en kropp som en kombination av translation och rotation.

Vi väljer lämpligen tyngdpunktens rörelse som translation och överlagrar rotationen på tyngdpunktsaxlarna för att få kroppens rörelse.

Tyngdpunkten hos en stel kropp rör sig som om hela kroppens massa är samlad där och alla yttre krafter angriper där.

Hastighet (förflyttning per tidsenhet) v=

ds

dt Hastigheten är första derivatan av vägen s med avseende på tiden t. Medelhastigheten under tidsintervallet t1 − t0 är s −s vm = 1 0 t1 − t0 Acceleration respektive retardation (hastighetsändring per tidsenhet) a=

dv

=

d2 s

=v

dv

dt dt ds Accelerationen är förstaderivatan av hastigheten och andraderivatan av vägen, i båda fallen med avseende på tiden. Observera att både hastighet och acceleration är vektorstorheter, vilket innebär att de har både storlek och riktning.

Medelaccelerationen under tidsintervallet t1 − t0 är am =

2

v1 − v 0

t1 − t0 Vinkelfrekvensen (vinkelvridning per tidsenhet; äldre benämning vinkelhastighet) är, om ϕ betecknar vridningsvinkeln,

w=

dϕ

dt Vinkelfrekvensen är alltså förstaderivatan av vridningsvinkeln med avseende på tiden. Om röϕ relsen är likformig så blir w = . t Vinkelacceleration respektive vinkelretardation (vinkelfrekvensändring per tidsenhet) dw

d2ϕ

dw =w⋅ dt dt 2 dϕ Vinkelaccelerationen är förstaderivatan av vinkelfrekvensen och andraderivatan av vinkel­ vägen med avseende på tiden.

ε=

=

63

64

3. Mekanik

3.2. Rörelselagarna Isaac Newton lade grunden för den klassiska mekaniken. Han publicerade 1687 tre rörelselagar i sitt banbrytande verk Principia: 1. En kropp ändrar sitt tillstånd av vila eller rätlinjig rörelse bara om en yttre kraft tvingar den att göra det.

2. Rörelsens förändring är proportionell mot den yttre kraften och riktad längs dess verkningslinje. Den här lagen är känd som Newtons andra lag och säger att kraften = massan · accelerationen. Den betyder alltså att F=m·a 3. Två kroppar påverkar alltid varandra med lika stora men motriktade krafter.

Den klassiska mekanikens lagar är mycket generella. Men de gäller inte för rörelseförlopp som utspelas nära ljushastigheten. Då måste du istället räkna med relativitetsteorin, där massan är en funktion av hastigheten. Den klassiska mekanikens lagar gäller inte heller för problem som rör materiens innersta struktur. I de fallen får du använda dig av kvantmekaniken.

Begreppen vikt och tyngd ser vi ofta i tekniska tillämpningar. Vikt är detsamma som massa, med beteckningen m och SI-enheten kilogram, kg. Tyngd är gravitationens påverkan på en kropp, och alltså en kraft. Beteckningen är G och SI-enheten newton, N. Tyngden av en kropp med massan m som befinner sig i ett gravitationsfält med den lokala gravitationen g är alltså G=m·g

3.3. Rotation Analogt med kraftekvationen F = m · a gäller det att dw M = J ⋅ε = J ⋅ dt för en kropps rotation kring en fix axel. M är det verkande vridande momentet och J är kroppens masströghetsmoment med avseende på rotationsaxeln.

3.4. Masströghetsmoment Masströghetsmomentet (eller vanligen bara tröghetsmomentet) för en kropp med avseende på en axel är J =∑ r 2dm. J är alltså summan av varje massenhet, dm, multiplicerad med kvadraten på dess avstånd r till axeln.

För en ihålig cylinder (svänghjul), med massan m samt ytterradien R och innerradien r, som roterar runt sin axel är 1 J = m R2 + r 2 2 För en massiv cylinder med radien R får man alltså 1 J = mR 2 2 Anta att tröghetsmomentet med avseende på tyngdpunktsaxeln är J0. Då blir tröghetsmomentet med avseende på en parallell axel på avståndet a från tyngdpunktsaxeln

(

)

J = J0 + ma2 Det här sambandet kallas Steiners sats.

3.7. Friktion

3.5. Kinetisk energi (rörelseenergi) En kropp i translationsrörelse har den kinetiska energin 1 W = mv 2 2 Vid rotation med konstant vinkelfrekvens är rörelseenergin 1 W = Jw 2 2 Rörelseenergin är lika med det arbete som behövs för att accelerera kroppen från noll upp till v respektive w. Samma arbetsmängd frigörs då kroppen stannas.

3.6. Centripetalkraft och centrifugalkraft För att en kropp ska kunna röra sig i en cirkelformad bana, måste den påverkas av en kraft som är riktad mot centrum. Den kallas centripetalkraft Fcp och för den gäller sambandet v2 Fcp = m ⋅ r där v är banhastigheten och r är banradien.

När du studerar kroppens jämvikt kan du ersätta rörelsens inverkan med en utåtriktad kraft.

Den är en så kallad tröghetskraft som kallas centrifugalkraft. Centrifugalkraften är lika stor som centripetalkraften.

3.7. Friktion I kontaktytan mellan två kroppar verkar både normalkrafter och friktionskrafter. Friktionskraften F är i stort sett direkt proportionell mot normalkraften N. Proportionalitetsfaktorn kallas friktionstal och beror av flera andra faktorer. Bland annat har kropparnas material och ytbeskaffenhet betydelse. Eftersom proportionalitetsfaktorn även beror av om kropparna är i vila eller i rörelse så brukar vi skilja på vilofriktionstalet mv och glidfriktionstalet mg. I regel är mv > mg.

Vid vila är F ≤ mv N. F = mv N gäller vid fullt utbildad friktion. Då är också tan ν = Vid rörelse är F = mgN. N

F N

= mv .

R

υ F Figur 3.1. Vinkeln ν kallas friktionsvinkeln. Den är kontaktkraftens R vinkel mot normalkraften N.

Tabell 3.1 innehåller riktvärden för mv och mg. Vid noggranna beräkningar bör de fastställas experimentellt under så verklighetstrogna förhållanden som möjligt. Glidfriktionstalet avtar i allmänhet med ökande hastighet upp till 0,1–0,2 m/s.

65

66

3. Mekanik

Tabell 3.1. material

µv (vilofriktionstal) torr

smord

fuktad

torr

smord

fuktad

bromsbelägg mot stål

–

–

–

0,5

0,2

–

brons mot brons

–

0,11

–

0,20

0,06

0,10

gjutjärn mot brons " ek ” gjutjärn

0,15–0,21 – – – 0,2–0,3 0,16

– 0,65 –

0,15–0,21 0,3–0,5 –

0,07–0,08 0,08 0,08–0,1

– 0,22 0,31

glidmaterial, plaster, vid 10 N/cm2 och 0,001 m/s

0,05

–

–

0,1

–

–

läder mot ek ” gjutjärn ” metall ” trä

– 0,56 0,6 0,27

– – 0,25 –

– 0,36 0,62 –

0,27– 0,38 0,28 0,25 0,4

– 0,12 0,12 –

– 0,36 0,36 –

metall mot ek ” metall ” trä

– – 0,5–0,6

– – 0,1

– – –

– 0,15–0,20 0,2–0,5

– – 0,02–0,07

0,24–0,26 0,3 0,22–0,26

stål mot agat ” ferodo ” gjutgods, rödgods eller brons

– ≈0,3

– –

– –

0,20 –

0,107 –

– –

0,18

0,1

–

0,16

0,1

–

stål mot is ” sten

0,027 –

– –

– –

0,014 –

– –

– 0,3–0,7

stål mot stål (upp till 1 N/cm2) v = 3 m/s 1 N/cm2) v = 27 m/s

0,15 0,15

0,11–0,12 0,11–0,12

– –

0,09 0,03

– –

– –

trä mot sten ” trä

– –

– –

– –

0,04 0,25–0,5

– 0,14–0,16

– 0,25

µg (glidfriktionstal)

3.8. Fallrörelse Vid måttliga fallhöjder kan du räkna med att tyngdaccelerationen är konstant, g, under fallet.

Om vi försummar luftmotståndet så får rörelseekvationen följande utseende F = m⋅ g = m⋅

d2 s dt 2

F = kroppens tyngd d2 s

=g dt 2 Om vi integrerar så får vi hastigheten v=

ds dt

= gt + c1

och vägen 1 2 gt + c1 ⋅ t + c2 2 Om vi sätter vägen s = 0 vid tiden t = 0 så blir c2 = 0. Om begynnelsehastigheten = v0 vid tiden t = 0 så blir c1 = v0 och s=

3.9. Stötar

1 2 gt + v 0 ⋅ t 2 Vid fritt fall med begynnelsehastigheten v0 = 0 får vi s=

1

gt 2 och v = gt 2 Med fallhöjden h blir s=

h=

1 v2 2 g

, den höjd som en kropp som har kastats uppåt med hastigheten v stiger till.

v = 2gh , den hastighet som en fritt fallande kropp har när den har fallit sträckan h.

3.9. Stötar En stöt innebär att två kroppar träffar varandra. Om stöten är central, passerar stötnormalen genom kropparnas tyngdpunkter. I en rak stöt finns det inga hastigheter tvärs stöt­normalen.

Det enklaste fallet är då två klot stöter samman. Stötförloppet är i allmänhet mycket kort och sker med stora krafter. Alla andra krafter är då små i jämförelse. Man kan därför för­summa dem. Se figur 3.2. v 1′

v 2′

m1

v 1″

v 2″

m2 före stöten

efter stöten

Figur 3.2

Två kroppar med massorna m1 och m2 har före stöten hastigheterna v1′ respektive v2′. För att de ska stöta ihop måste v1′ > v2′. Efter stöten har de hastigheterna v1″ respektive v2″, där v2″ ≥ v1″.

Under stöten bevaras den sammanlagda rörelsemängden, det vill säga m1 · v1′ + m2 · v2′ = m1 · v1″ + m2 · v2″ För att kunna bestämma kropparnas hastigheter efter stöten behöver vi ytterligare ett samband. Det får vi med hjälp av den så kallade stötkoefficienten e som v1′′= och v 2′′ =

m1 ⋅ v1′ + m2 ⋅ v 2′ − m2 ⋅ (v1′ − v 2′ ) ⋅ e m1 + m2 m1 ⋅ v1′ + m2 ⋅ v 2′ + m1 ⋅ (v1′ − v 2′ ) ⋅ e m1 + m2

Stötkoefficienten e är ett mått på energiförlusten under stöten. Vi kan notera två specialfall: 1. e = 1 vid en helt elastisk stöt. Det är en stöt utan energiförlust. Då ändras inte kropparnas sammanlagda kinetiska energi.

2. e = 0 vid en helt inelastisk (plastisk) stöt. Då hänger kropparna ihop efter stöten.

Om stöten inte är rak och central, blir förloppet mer komplicerat. Då måste vi bland annat också ta hänsyn till kropparnas rotationsrörelse.

67

68

3. Mekanik

3.10. Jämviktsvillkor Ett system är i jämvikt när de verkande krafterna och momenten har resultanter som båda är noll. Det betyder att ΣF = 0 ΣM = 0 Om massorna i systemet accelererar så måste vi ta med de tröghetskrafter som uppstår. Vi kan skriva kraftekvationen F – ma = 0. Vi kan alltså behandla tröghetskrafterna som van­liga yttre krafter, om vi för in dem med storleken ma och riktade motsatt accelerationen.

Analogt för masströghetsmoment och vinkelacceleration gäller det att M – Jε = 0. Vi kan då skriva jämviktsvillkoren som ΣF – Σma = 0 ΣM – ΣJε = 0 Lägg märke till att både krafter och moment är vektorstorheter.

3.11. Mekaniska svängningar Det här avsnittet handlar om svängningar, alltså periodiska rörelser. Först presenteras en enkel grundmodell för ett svängande system och sedan teori för – fria, odämpade svängningar – fria, dämpade svängningar – tvungna, odämpade svängningar – tvungna, dämpade svängningar – rotorvibrationer.

3.11.1. Grundmodell Här behandlar vi bara svängningar i ett en-masse-system, alltså svängningar med en frihetsgrad. Se figur 3.3. Systemet har en stel massa m som sitter ihop med en stel kropp P med hjälp av en (linjär) fjäder med fjäderkonstanten k och en (viskös) dämpare med dämpkonstanten c. Massan påverkas av en excitationskraft F: F = F0 cos w t

där

F0 = kraftamplituden ω = vinkelfrekvensen t = tiden Upphängningen kan också röra sig. Koordinaten x beskriver upphängningens svängnings­ rörelse som xp = x0 cos w t.

Vi behandlar nu fyra olika typfall och grupperar dem efter om de är fria eller påtvungna, och om de är odämpade eller dämpade. Fria svängningar har vi när det inte finns någon kraft eller rörelse som påverkar dem. Vid odämpade svängningar är dämpkonstanten c noll. xp x k F

P

m c

Figur 3.3. En-masse-modell för svängning.

3.11. Mekaniska svängningar

3.11.2. Fria, odämpade svängningar Här är c = F0 = x0 = 0. Vi får då en svängningsrörelse enligt x = xc cos wet + xs sin wet = xa cos(wet – a) där egenvinkelfrekvensen we är

we =

k

m Egenvinkelfrekvensen är den egenskap hos ett svängningssystem som är mest fundamental.

Vi ser den ofta uttryckt som egenfrekvensen fe (Hz, hertz). Sambandet är f = ω / 2π Faktorerna xc och xs kan vi beräkna med hjälp av begynnelsevillkoren. De anger hur rörelsen har satts igång. Som alternativ kan vi beskriva rörelsen med den alternativa formuleringen, där xa är amplituden och a fasvinkeln. Mellan xc, xs, xa och a gäller sambanden xc = xa cos a och xs = xa sin a eller xa = xc2 + xs2 och tan a = xs / xc 3.11.3. Fria, dämpade svängningar Här är c ≠ 0. Om vi för in den kritiska dämpningen ckr och dämpfaktorn ς enligt ckr = 4k ⋅ m = 2 k ⋅ m och ς = så blir rörelsen x =e

−ςwet

(xc cos w dt + xs sin w dt) = e

c ckr

−ςwet

=

c 2 k⋅m

xa cos(w dt − a )

där w d = w e 1− ς 2 och begynnelsevillkoren bestämmer xc och xs. Uttrycken för sambanden mellan xc, xs, xa och a enligt 3.11.2 gäller här också. Lösningen enligt uttrycket ovan är en oscillerande rörelse som avtar med tiden. Den visas i figur 3.4. x

ζ = 0,01

1

ζ = 0,05 ζ = 0,1 ζ = 0,2

0,5

ζ = 0,5

5

10

15

20

25

ω/ω ωeε t 30 ω

−0,5

−1 Figur 3.4. Fri, dämpad svängning för dämpfaktorerna ς = 0,01, 0,05, 0,1, 0,2 och 0,5.

69

70

3. Mekanik

Ett annat mått på dämpningen är det logaritmiska dekrementet. Det är kvoten mellan ampli­ tuderna för två svängningsmaxima som följer direkt på varandra: logaritmiska dekrementet Λ = ln

xn xn+1

=

2pς 1− ς 2

3.11.4. Tvungna, odämpade svängningar Här är c = 0 och excitationskraften F ≠ 0. Lösningen är F0

F cos wt k Förstärkningsfunktionen Φ är x = xa cos w t =

F=

1 2

w  1−    we 

Vi ser att Φ → ∞ då ω → we. Då går alltså också svängningens amplitud mot oändligheten.

Det kallas resonans.

3.11.5. Tvungna, dämpade svängningar Här är c ≠ 0 och excitationskraften F ≠ 0. Lösningen är x = xa cos(wt − a ) =

F0

F cos(wt − a ) k Förstärkningsfunktionen Φ är nu 1 Φ= 2 2   2    1−  ω   + 4ς 2  ω     ω    ωe    e   Fasvinkeln a ges av w we tan a = 2ς 2 w  1 −    we  Funktionerna Φ och a visas i figurerna 3.5 och 3.6.

Vi ser av figur 3.5 att förstärkningsfunktionen, och alltså också svängningsamplituden, har ett maximum nära (strax under) egenfrekvensen. Vi ser också att den minskar när dämpningen ökar. Fasvinkeln i figur 3.6 börjar med värdet 0 vid låga frekvenser och stiger sedan. Vid egenfrekvensen är den 90° och sedan ökar den mot 180°. Fasvinkeln ändras snabbare ju lägre dämpningen är.

3.11. Mekaniska svängningar

Förstärkningsfunktion Φ 5

ζ = 0,01

4

ζ = 0,1

3

ζ = 0,2 ζ = 0,5

2

ζ= 1 ζ= 2

1

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

ω /ωe Frekvensförhållande ω Figur 3.5. Förstärkningsfunktion för dämpfaktorerna ς = 0,01, 0,1, 0,2, 0,5, 1 och 2.

Fasvinkel α 200 175

ζ = 0,01

150

ζ = 0,1

125 100

ζ = 0,2

75

ζ = 0,5

50 25 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Frekvensförhållande ω /ωe Figur 3.6. Fasvinkel för dämpfaktorerna ς = 0,01, 0,1, 0,2 och 0,5.

Om vi exciterar systemet genom att lägga på en rörelse xp (se figur 3.3) i stället för en kraft så gäller samma formler som tidigare om vi byter F0 / k mot rörelsens amplitud xp. Se avsnitt 3.11.1.

Kraften FT som överförs till upphängningen av systemet är ofta intressant att veta. Den ges av FT = F0 · Ψ

Ψ kallas transmissionsfaktor och ges av 2

Ψ =

w  1+ 4ς 2    we  2

2   2    1−  w   + 4ς 2  w     w    we    e  

71

72

3. Mekanik

Transmissionsfaktorn visas i figur 3.7. Vi ser att även den har ett maximum nära egenfrekvensen och att den minskar med ökad dämpning för frekvenser upp till ett visst värde över egenfrekvensen. Vid höga frekvenser blir den större om dämpningen ökar. Orsaken till det är att kraften i dämparen ökar med hastigheten.

Transmissionsfaktor Ψ 5

ζ = 0,1 4 3

ζ = 0,2 ζ = 0,5

2 1

0

1

0,5

1,5

2,5

2

3

Frekvensförhållande ω /ω ωee Figur 3.7. Transmissionsfaktor för dämpfaktorerna ς = 0,1, 0,2 och 0,5.

3.11.6. Rotorvibrationer Rotorvibrationer är en av de vanligaste formerna för svängningar i mekaniska system. De kan ha många olika ursprung. Det i särklass vanligaste är att det är obalanser i en rotor som orsakar dem. En enkel rotor med en koncentrerad massa på en masslös axel har stora lik­heter med de ”normala” svängningar som vi studerade tidigare. Vi antar då att axeln är isotrop. Det betyder att den är lika styv i alla riktningar. Det villkoret är uppfyllt för de flesta rotorer. Vi förutsätter också att även lagringen är isotrop. Det innebär en grov förenkling i många fall. För det mesta blir resultatet ändå användbart, som vi snart ska se. I det här exemplet har axeln en styvhet k (= fjäderkonstant, se avsnitt 3.11.1) där massan befinner sig. Den styvheten inkluderar också lagrens inverkan. För en rotor som har en jämntjock axel, ofjädrande lager och centralt belägen massa, se figur 3.8, får man k = 48 där

E ⋅I l3

E = elasticitetsmodulen I = yttröghetsmomentet l = axelns längd massa m obalans e

lager

l/2 Figur 3.8. Enkel rotor.

l/2

3.12. Tillämpningar

Massan har en obalans som beror av dess tyngdpunktsexcentricitet e. Excentriciteten är avståndet från massans tyngdpunkt till rotorns axel. Massan roterar med vinkelfrekvensen Ω.

Då blir amplituden hos axeln där massan sitter r =e

Ω2 2 e

w −Ω2

Vi ser att amplituden → ∞ då rotationsfrekvensen → egenfrekvensen. Det stämmer med svängningarna enligt avsnitt 3.11.4. Tillståndet Ω = we kallas rotorns kritiska vinkelfrekvens.

Vi ser också att då rotationshastigheten blir mycket stor, Ω → ∞, så går amplituden mot värdet –e. Det betyder att rotorns tyngdpunkt går in till rotationscentrum och att axeln snurrar i ett utböjt läge.

Anta att lagren är anisotropa. Det betyder att de har olika styvhet i olika riktningar. Då kommer rotorns massa att känna olika styvheter i motsvarande riktningar. Styvheten kan till exempel vara olika i horisontell och i vertikal led. Resultaten här ovanför gäller då fortfarande. Men vi får en egenfrekvens i vardera riktningen, weh respektive wev. Ekvationen för amplituden finns också i två upplagor rh = e

Ω2

respektive rv = e

2 −Ω2 weh

Ω2 w ev2 − Ω 2

3.12. Tillämpningar Det här avsnittet innehåller två exempel på tillämpningar av mekanik. Det första exemplet handlar om rotation och det andra om centripetalkraft.

3.12.1. Rotation En motor ska accelerera en maskin med ett system av rörliga delar från stillestånd till full varvfrekvens. Vi vill beräkna accelerationstiden och accelerationsarbetet.

Vi har data för: Mm = motorns vridande moment som funktion av varvfrekvensen.

Ml = systemets moment med avseende på motoraxeln som funktion av varvfrekvensen.

J = alla rörliga delars tröghetsmoment med avseende på motoraxeln.

Rörelseekvationen blir p dn = ⋅J⋅ dt 30 dt Accelerationstiden Ta i sekunder från varvfrekvensen n1 till n2 blir Mm − Ml = J ⋅

Ta =

π 30

n2

⋅J∫

n1

dw

dn Mm − Ml

Stillestånd innebär n1 = 0 och full varvfrekvens n2 = nm. Accelerationsarbetet på motoraxeln p från stillestånd till vinkelfrekvensen w = nm är 30 1 W = ⋅ Jwm2 2

73

74

3. Mekanik

Vi kan beräkna J så här: J1, J2 … betecknar tröghetsmomenten för de olika roterande massorna. w1, w2 … betecknar massornas vinkelfrekvenser. Det finns också massor m1, m2 …, till exempel hissar, som rör sig rätlinjigt med hastigheterna v1, v2 …. Då får vi att 1 2

1 1 1 1 ⋅ Jwm2 = ⋅ J1w12 + ⋅ J2w 22 +  + ⋅ m1v12 + ⋅ m2v 22 +  2 2 2 2

eller 2

2

2

2

v  v  w  w  J = J1  1  + J2  2  +  + m1  1  + m2  2  +   wm   wm   wm   wm  3.12.2. Centripetalkraft Hur stor kraft påverkar en kropp med massan 1 g = 1 · 10–3 kg som befinner sig på avståndet 0,3 m från rotationsaxeln och roterar kring den med varvfrekvensen 4 000 r/min?

2  p ⋅ 4 000  v2  = 53 N Fc = m ⋅ = mrw 2 = 1⋅ 10−3 ⋅ 0, 3  r  30  Kraften är riktad mot rotationscentrum. Om kroppen är fäst i ett snöre som påverkar kroppen med centripetalkraften säger Newtons tredje lag att kroppen påverkar snöret med en lika stor men motriktad kraft. Den kallas centrifugalkraften och verkar alltså utåt i snörets riktning.

Dragspänningen i tangentiell led i en tunn ring som roterar är

sϕ = ρ(rω)2 Om vi ersätter rω (ringens periferihastighet) med v så får vi

sϕ = rv2 I en ring av gjutjärn med ρ = 7 250 kg/m3 och v = 20 m/s blir tangentialspänningen

sϕ = 7 250 · (20)2 = 2,9 · 106 N/m2 = 2,9 N/mm2 = 2,9 MPa Den här ekvationen gäller bara för tunna ringar. Vi får ett noggrannare värde på tangentialspänningen genom att använda sambandet

s ϕ r = ρ ⋅ v 02 ⋅ där r0 = v0 = r = sj r =

r0 r

radien för ringsektionens tyngdpunkt hastigheten hos ringsektionens tyngdpunkt radien där man vill veta spänningen tangentiella spänningen vid radien r S.G.L./K.O.O.

75

76

4. Värmeteknik

4. Värmeteknik Kapitel 4 innehåller följande områden: – Värmeöverföring (4.1–4.3) – Värmeutvidgning (4.4) – Förbränning (4.5) – Värmetekniska data (4.6)

4.1. Värmeöverföring

4.1. Värmeöverföring Värmeöverföring kan ske genom ledning, konvektion och strålning. Vid fasomvandlingar, det vill säga förångning/kondensation eller smältning/stelning, går det åt eller avges värme. Det totala värmeflödet beror normalt av flera av de här fenomenen och påverkas av många faktorer. Det är ofta oklart vilka faktorer som påverkar. Det innebär att noggrannheten i olika formler är begränsad. Därför måste de framräknade storheterna användas med omdöme.

4.1.1. Värmeledning Värmeledning orsakas av en temperaturskillnad inom ett material. Den sker på mikro­skopisk nivå genom atom- och molekylrörelser. Värmeflödet P W tvärs en stor platta med arean A m2, tjockleken δ m och yttemperaturerna J1 och J2 °C på respektive sidor är enligt Fouriers värme­ ledningsekvation P=

l A(J 1 − J 2 )

d där λ = värmekonduktiviteten i W/(m · K). Se nedan.

Värmeflödet P W genom en rörvägg med rörlängden L m, ytterdiametern dy m, inner­dia­ metern di m och yttemperaturerna Jy resp. Ji °C är P = 2pl

L(J 1 − J 2 ) ln

dy di

Värmekonduktiviteten för ett ämne, λ, (som tidigare kallades värmeledningstal) är det värme­ flöde i watt som passerar genom 1 m2 av en 1 m tjock platta vid en temperaturdifferens av 1 K (1 °C). Värmekonduktiviteten beror normalt av ämnets temperatur. Om ämnet är poröst inverkar bland annat fuktighet och porositet. Värmekonduktiviteten för metaller påverkas också av legeringsämnen. Tabell 4.1 visar värmekonduktiviteten för några olika ämnen.

4.1.2. Konvektion Konvektiv värmetransport betyder att värme transporteras med en strömmande gas och/ eller vätska (fluid). Det konvektiva värmeutbytet mellan en fast kropp och en fluid som omger den ges av P = a A(J1 – J2)

där P a A J1 J2

= = = = =

det konvektiva värmeflödet i W värmeövergångskoefficienten i W/(m2 · K) värmeöverförande area i m2 yttemperaturen hos kroppen i oC temperaturen hos omgivande fluid i oC

Vi måste skilja mellan påtvingad konvektion och egenkonvektion. Med egenkonvektion, som även kallas naturlig konvektion eller fri konvektion, menar vi värmetransport i en strömmande fluid som rör sig på grund av att dess densitet ändras med temperaturen. En uppvärmd fluid strävar att stiga och en avkyld att sjunka.

4.1.2.1. Påtvingad konvektion Värmetransport genom påtvingad (eller forcerad) konvektion sker genom att man sätter en fluid i rörelse med hjälp av exempelvis en pump, en fläkt eller en nivåskillnad.

77

78

4. Värmeteknik

4.1.2.1.1. Påtvingad konvektion inuti rör

Vi kan göra en överslagsmässig beräkning av påtvingad konvektion vid fullt utbildad turbulent strömning inuti rör (Re > ca 2 300) med

a = 0,023

l Re 0,8Pr 0,4

där

d

a = värmeövergångskoefficienten i W/(m2 · K) l = värmekonduktiviteten hos fluiden i W/(m · K) v ⋅d , dimensionslös storhet Re = Reynolds tal = ν ν ⋅ ρ ⋅ cp Pr = Prandtls tal = , dimensionslös materialstorhet l d = rörets innerdiameter i m v = strömningshastighet i m/s r = densitet hos fluiden i kg/m3 cp = specifik värmekapacitet hos fluiden vid konstant tryck i J/(kg · K) ν = kinematisk viskositet hos fluiden i m2/s (en temperaturberoende storhet som ­visas i tabell 4.2).

Man kan använda följande överslagsvärden för några vanliga rörströmningsfall vid fullt ­utbildad turbulent strömning: luft, a = (4,13 + 0,00195J ) ⋅

v 03 d

överhettad ånga, a = (4,2 + 0,0035J ) ⋅

v 03 d

rökgaser (utan luftöverskott), a = (4,2 + 0,0025J ) ⋅

v 03 d

0,75 0

vatten, a = 3370(1 + 0,014ϑ) · v där

v0 = strömningshastigheten i m/s, för gaser gäller den för volymen vid 0 °C och trycket 0,101 MPa (1 atm) J = fluidens temperatur i °C 4.1.2.1.2. Påtvingad konvektion vid omströmmade kroppar

Vid ett gas- eller vätskeflöde som är vinkelrätt mot en cylinder varierar värmeövergångs­ koefficienten med läget runt cylindern. Om du bara är intresserad av den effekt P som överförs mellan fluiden och cylindern – värmeflödet – kan du utnyttja ett medelvärde av värme­ övergångskoefficienten, a och det här sambandet P = π · a · D · L · (Jfluid – Jcyl)

a = (Nu · λ) / D Nu = 0,43 + C · Pr1/3 · Ren där P = värmeflödet i W a = medelvärdet av värmeövergångskoefficienten i W/(m2 · K) D = cylinderns diameter i m Jfluid = fluidtemperaturen i oC Jcyl = cylinderns temperatur i oC Nu = (a · D)/λ = Nusselts tal (dimensionslöst) λ = fluidens värmekonduktivitet i W/(m · K) Pr = (n · r · cp) / λ = Prandtls tal (dimensionslöst)

4.1. Värmeöverföring

ν ρ cp Re v C och n

= fluidens kinematiska viskositet i m2/s (se tabell 4.2) = fluidens densitet i kg/m3 = fluidens specifika värmekapacitet i J/(kg · K) = (v · D) / ν = Reynolds tal (dimensionslöst) = anströmningshastigheten i m/s = (dimensionslösa) koefficienter enligt Re

C

1–4 · 103

0,53 0,50

n

4 · 103–4 · 104 0,19 0,62 4 · 104–4 · 105 0,027 0,81 Du kan beräkna Nusselts tal, Nu, utifrån aktuella värden på Reynolds tal, Re, och Prandtls tal, Pr. Sedan kan du beräkna värmeövergångskoefficienten, a, med hjälp av uttrycket för Nusselts tal. Slutligen kan du beräkna värmeflödet P. Densiteten, kinematiska viskositeten, specifika värmekapaciteten och värmekonduktiviteten hos fluiden varierar med temperaturen. När du bestämmer de storheterna bör du använda värdet för medeltemperaturen Jmedel = ½(Jfluid + Jcyl).

Om den strömmande fluiden är luft, är Pr = 0,72 i temperaturintervallet –40 °C < ϑ < +100 °C. Uttrycket för värmeövergångskoefficienten bygger både på experimentella data och många förutsättningar. Därför bör beräkningsresultatet användas med försiktighet.

För andra geometrier och strömningsfall anger litteraturen olika samband för att beräkna den påtvingade konvektionen. Sambanden för ett och samma strömningsfall kan ibland ge olika resultat. Det beror oftast på att de som har konstruerat sambanden har använt olika förutsättningar. Beräkningarna görs i princip på samma sätt som för den anströmmade cylindern ovan. Liksom för cylindern bygger sambanden för Nusselts tal på experimentella data och ett antal antaganden. Du måste därför alltid använda resultaten med omdöme.

4.1.2.2. Egenkonvektion vid bland annat horisontell cylinder En temperaturdifferens mellan en kropp och en omgivande fluid orsakar densitetsskillnader i fluiden, som i sin tur åstadkommer en rörelse i den och därmed en värmetransport – egenkonvektion. Vid en horisontell cylinder varierar värmeövergångskoefficienten med läget runt cylindern. Om du bara vill veta den överförda effekten – värmeflödet – kan du utnyttja ett medel­värde av värmeövergångskoefficienten och följande samband: P = π · a · D · L · (J1 – J2) Nu = C · (Gr · Pr)n där P = a = D = J1 = J2 = Nu = λ = Pr = ν = ρ = cp = Gr = b = Δϑ =

värmeflöde i W medelvärdet av värmeövergångskoefficienten i W/(m2 · K) cylinderns diameter i m cylinderns temperatur i °C fluidtemperaturen i °C (a · D) / λ = Nusselts tal (dimensionslöst) fluidens värmekonduktivitet i W/(m·K) (n · r · cp) / λ = Prandtls tal (dimensionslöst) fluidens kinematiska viskositet i m2/s (se tabell 4.2) fluidens densitet i kg/m3 fluidens specifika värmekapacitet i J/(kg · K) (g · b · ΔJ · D3)/n2 = Grashofs tal (dimensionslöst) volymsutvidgningskoefficienten för fluiden i K–1 temperaturdifferensen (J1 – J2) i oC

79

80

4. Värmeteknik

C och n = (dimensionslösa) koefficienter enligt Gr · Pr 4

C

n

9

10 –10 0,47 0,25 > 109 0,1 0,33 För gaser är b = 1/T2, där T2 är fluidtemperaturen i K. Se litteraturreferenserna för b i andra fall. Densiteten, ρ, kinematiska viskositeten, ν, specifika värmekapaciteten, cp, och värmekonduktiviteten, λ, hos fluiden varierar alla med temperaturen. Bestäm därför storheterna för ett medelvärde av temperaturen; ½(J1 + J2). Om fluiden är luft kan du sätta Pr = 0,72 i temperaturintervallet –40 °C < ϑ < +100 °C. För Gr · Pr < 109 är strömningen runt cylindern laminär och för Gr · Pr > 109 är den både laminär och turbulent – se vidare avsnitt 8.3 om strömningslära. Om cylindern värms av den omgivande fluiden kan du använda samma uttryck, men med (J2 – J1). Beräkningsgången liknar den i det föregående fallet. Det är också samma restriktioner för giltigheten, och av samma skäl.

Om temperaturen är nära rumstemperaturen och temperaturdifferenserna inte är stora så är ofta strålningen av samma storleksordning som egenkonvektionen. Du kan i många fall ta hänsyn till strålningen (se avsnitt 4.1.3) genom att beräkna värmeflödet P med hjälp av en ”total” värmeövergångskoefficient, atotal, istället för a. För atotal gäller atotal = a + as, där du kan beräkna strålningsvärmeövergångskoefficienten, as, enligt avsnitt 4.1.3 och a är den konvektiva värmeövergångskoefficienten.

I litteraturen hittar du olika samband för att beräkna egenkonvektionen för andra geo­metrier och strömningsfall – se litteraturreferenserna. Beräkningarna görs i princip på samma sätt som för den horisontella cylindern ovan. Många uttryck för Nusselts tal vid andra geo­metrier är dessutom uppbyggda på samma sätt som uttrycket för den horisontella cylindern, och det enda som varierar är storheterna C och n. Sambanden för ett och samma fall kan ibland ge olika resultat, vilket återigen ofta beror på att de som konstruerat sambanden har använt olika förutsättningar. Även här bygger alla samband för Nusselts tal på experimentella data och antaganden. Du måste därför vara lika försiktig när du använder de här sambanden som de tidigare.

4.1.3. Strålning För värmeutbytet mellan två kroppar, 1 och 2, gäller: P = ε12s s A1(T14 − T24 )

där P ss e12 A1 T1 T2

= = = = = =

värmeflödet i W 5,67 · 10–8 = Stefan-Boltzmanns konstant i W/(m2 · K4) resulterande emissionsförhållande den strålande kroppens area i m2 den strålande kroppens yttemperatur i K den bestrålade kroppens yttemperatur i K

För två stora planparallella ytor med emissionsförhållandet e1 resp. e2 är

ε12 =

1 1 1 + −1 ε1 ε 2

För emissionskoefficienten gäller ε ≤ 1. För en absolut svart kropp gäller: ε = 1. Om kroppen med ytan A2 helt omsluter kroppen med ytan A1 gäller:

ε12 =

1 1 A1  1  + −1 ε1 A2  ε 2 

4.1. Värmeöverföring

Se tabell 4.3 för riktvärden för emissionsförhållanden. För övriga geometrier och för strålande gaser gäller andra lagar än för fasta kroppar. Se litteraturreferenserna.

I vissa fall är det vanligt att räkna med en strålningsvärmeövergångskoefficient, as, som ges av P = as A1(T1 – T2) med P, T1 och T2 enligt ovan. Se vidare 4.1.5 och 4.1.2.2, När det gäller strålning ska du i princip alltid använda temperaturen i K vid beräkningar.

4.1.4. Totalt värmemotstånd Värmeflödet P tvärs en stor plan vägg med arean A m2 och flera skikt är P = k · A(ϑA – ϑB) 1 där

k

=

1

aA

+

∆1 l1

+

∆2 l2

++

1

aB

P = värmeflödet i W k = värmegenomgångskoefficienten i W/(m2 · K) ϑA och ϑB = fluidtemperaturen utanför plattans båda sidor i °C aA och aB = motsvarande värmeövergångskoefficienter i W/(m2 · K) ∆j = tjockleken för skikt j i m lj = värmekonduktiviteten för skikt j i W/(m · K) Det är vanligt att både strålning och konvektion förekommer samtidigt. Vid rumstemperatur och egenkonvektion har ofta strålningen och konvektionen ungefär lika stor inverkan. Du kan ta hänsyn till strålning i det här och liknande fall genom att använda aAapprox = aA + asA respek­ tive aBapprox = aB + asB med strålningsvärmeövergångskoefficienten as enligt avsnitt 4.1.3. Men as är mycket temperaturberoende, så du måste vara mycket försiktig när du använder metoden.

I plana, icke ventilerade luftskikt transporteras värme genom ledning, egenkonvektion och strålning. Överslagsmässigt går det att använda värden enligt tabell 4.4.

En speciell typ av värmegenomgång äger rum i värmeväxlare. Sådana överför värme från en varm till en kall strömmande fluid. Mellan fluiderna finns en vägg. Fluidernas temperatur varierar. Det gör att det inte går att använda uttrycket här ovanför för värmegenomgång. Det gäller ju för konstanta fluidtemperaturer. Tillverkarnas kataloger och litteraturreferenserna ger anvisningar om beräkningar.

4.1.5. Dynamiska problem I dynamiska värmeöverföringsproblem varierar temperaturen och därmed värmeflödet med tiden. I många fall måste du göra en numerisk beräkning av förloppet. För några tekniskt viktiga fall finns det dock analytiska lösningar. Ett sådant är uppvärmning eller avkylning av fasta kroppar. Där är ofta värmemotståndet mellan kroppen och omgivningen mycket större än värme­motståndet inom kroppen. I det fallet kan du approximativt anta att alla delar av kroppen har samma temperatur. Det betyder att temperaturen bara beror av tiden och inte av läget i kroppen. Ett sådant exempel är när du värmer eller kyler en metallkropp i luft. Den här beräkningsmetoden kallas ofta ”klumpmetoden” (lumped-heat-capacity method).

Om kroppens temperatur, ϑ, enbart beror av tiden när du värmer den, kan du använda följande beräkningsmetod. Vi antar att kroppen har temperaturen Jo °C från början och att den värms i en omgivning som har den konstanta temperaturen Jomg oC, där Jomg > Jo. Vi förutsätter att de båda temperaturerna Jo och Jomg är konstanta. Vi kan beräkna kroppens temperatur under uppvärmningsförloppet ur följande samband

81

82

4. Värmeteknik

ϑ = Jomg – (Jomg – Jo) · e–(A· a ·t)/(r ·c·V)

där A V ρ c a t

= = = = = =

kroppens värmeöverförande area i m2 kroppens volym i m3 kroppens densitet i kg/m3 kroppens specifika värmekapacitet i J/(kg · K) värmeövergångskoefficienten mellan kroppen och omgivningen i W/(m2 · K) tiden i s

Om det gäller ett avsvalningsförlopp, där Jo > Jomg, är det bättre att skriva uttrycket som

ϑ = Jomg + (Jo – Jomg) · e–(A· a ·t)/(r ·c·V) Storheten τ = (r · c · V) / (A · a) kallas tidskonstanten. När t = τ i ett avsvalningsförlopp är temperatur­differensen (ϑ – Jomg) ungefär lika med 37 % (1 / e) av den totala temperaturdifferensen (Jo – Jomg). Vid ett uppvärmningsförlopp är temperaturdifferensen (ϑ – Jo) ungefär lika med 63 % (1 – 1 / e) av den totala temperaturdifferensen (Jomg – Jo) vid tiden t = τ.

En förutsättning för ”klumpmetoden” är alltså att värmemotståndet mellan kroppen och omgivningen är mycket större än värmemotståndet inom själva kroppen. Om det är så, kan du kontrollera med hjälp av det dimensionslösa Biottalet, Bi där

Bi = (a · V) / (A · λ)

λ = värmekonduktiviteten i kroppen i W/(m · K) Om Bi < 0,1 ger ”klumpmetoden” en tillräcklig noggrannhet för de flesta ingenjörsmässiga tillämpningar. Du bör också kontrollera strålningens inverkan på värmeöverföringen, speciellt vid egenkonvektion. Det går att ta hänsyn till strålningen genom att använda en ”total” värmeövergångskoefficient, atotal, istället för a vid beräkningen. Det gäller att atotal = a + as där strålningsvärmeövergångskoefficienten, as, går att beräkna enligt avsnitt 4.1.3. Du måste dock vara försiktig om du använder den här metoden eftersom as är kraftigt temperaturberoende.

Förutom ”klumpmetoden” finns det ytterligare några icke numeriska metoder som är praktiskt användbara. Om temperaturen i kroppen varierar med såväl läget som tiden finns det analytiska lösningar för bland annat en stor plan platta, en lång cylinder och en sfär. Det är vanligt att visa lösningarna i diagram – se litteraturreferenserna. Där det inte finns någon analytisk lösning eller om en analytisk metod är för komplicerad måste du använda en lämplig numerisk metod, till exempel finita element-metoden, FEM. 4.1.6. Förångning och kondensation Värme transporteras genom förångning och kondensation i många processer. Några exempel är i tuberna i en ångpanna och i kondensorn i en ångturbin- eller kylmaskinanläggning.

Värme­övergångskoefficienten är oftast mycket stor. För vatten kan vi, vid förångning och kondensation, mycket överslagsmässigt räkna med att den är 10 000–20 000 W/(m2 · K).

4.2. Smältning, stelning och förångning Specifik smältentalpi (specifikt smältvärme), lf , är det antal joule som behövs för att överföra 1 kg av ett ämne från fast till flytande fas utan att ändra temperaturen. Samma värmemängd frigörs när det flytande ämnet stelnar. Se tabell 4.5.

Specifik ångbildningsentalpi (specifikt ångbildningsvärme), lv eller r, är det antal joule som behövs för att överföra 1 kg av ett ämne från vätske- till gasfas utan att ändra temperaturen.

Samma värmemängd frigörs när gasen kondenserar. Se tabell 4.6.

Kokpunkt och smältpunkt för några olika ämnen finns i tabell 4.7 resp. 4.8.

4.3. Specifik värmekapacitet Specifik värmekapacitet, c, som tidigare kallades specifikt värme, är det antal joule som behövs för att ändra temperaturen hos 1 kg av ett ämne med 1 K (1 °C). Specifika värmekapaciteten beror ofta av temperaturen. Se vidare tabell 4.9.

För att värma m kg av ett ämne Δϑ °C behövs det Q J Q = m · c · ΔJ

4.4. Värmeutvidgning Längdutvidgningskoefficienten, a, är den relativa längdökningen hos ett ämne då dess temperatur ökar 1 K. Se tabell 4.10.

Mellan 0 °C och 100 °C är längdutvidgningskoefficienten för stål i genomsnitt lika med 11,5 · 10–6/K. Vid högre temperatur är den (11,5 + 0,008ϑ) · 10–6/K, där ϑ är temperaturökningen över 100 °C. För stålgjutgods är a i hårt tillstånd 14 · 10–6/K men sjunker vid glödgning så att a får normalt värde för stål. För gjutjärn är a = 9 · 10–6/K. Volymutvidgningskoefficienten, g, är den relativa volymökningen hos ett ämne då dess temperatur ökar 1 K. För fasta kroppar går det ofta att använda g ≈ 3 · a. Volymutvidgningskoefficienten för några vätskor finns i tabell 4.11. För gasformiga ämnen kan du normalt använda g = 1 / T, där T är temperaturen i K. Formeln gäller endast när T ligger långt över kritiska temperaturen, det vill säga den högsta temperatur vid vilken ett ämne kan befinna sig i vätskefas.

4.5. Förbränning Värmevärdet är det antal joule som är kemiskt bundet i 1 kg av ett ämne. Hela eller en del av den här energin frigörs vid förbränning. Detta kallas fullständig respektive ofullständig förbränning.

Det är skillnad mellan kalorimetriskt och effektivt värmevärde. Med kalorimetriskt värmevärde menar vi all frigjord energi. Vid effektivt värmevärde finns det vatten som bildades vid förbränningen i ångform. I moderna anläggningar är det vanligt att kyla så mycket att också det värme som är bundet i vattenångan frigörs. Effektivt värmevärde för några olika bränslen finns i tabell 4.12 och 4.13.

Litteratur Holman, J.P.: Heat Transfer. 10 uppl., McGraw-Hill, New York 2010.

Alvarez, H: Energiteknik. 3 uppl., Studentlitteratur AB, Lund 2006.

Mörtstedt, S.-E. & Hellsten, G.: Data och diagram – Energi- och kemitekniska tabeller. 7 uppl., Liber, Stockholm 1999. (Boken innehåller fysikaliska data för olika ämnen, tabeller och diagram för vatten och kylmedia, förbränningsdata m.m. En kortfattad formelsamling behandlar termodynamik, strömningslära och värmeöverföring.)

83

84

4. Värmeteknik

4.6. Värmetekniska data Tabell 4.1. Värmekonduktivitet, l. Ämne

Aluminiumlegering

Värme­ konduktivitet λ W/(m · K)

160

Värme­ konduktivitet λ W/(m · K)

Ämne

Plast, cell-

Asbest

0,1–0,2

” styren- med flera

0,035–0,04

Betong

1,8

” uretan-

0,025–0,03

Bly

35

Plast, homogen

Filt

0,035

” acetat-

0,43

Glas

0,7

” akryl-

0,17

” eten-, HD

0,43

Guld

310

” eten-, LD

0,36

Hårdmetall, K

70–80

” karbon-

0,23

” M

50–60

” propen-

0,21

” P

30–60

” styren-

0,16

Keramiskt skärmaterial

10–30

” vinylklorid (PVC)

0,16

Gummi

Kiselgur Koksaska Koppar

0,15–0,30

0,06–0,09

Platina

0,25

Porslin

70 1–1,5

370–400

Sand

Kork, expanderad

0,04

Silver

” naturlig

0,08

Sten, natur

Kutterspån

0,08–0,14

Stål, olegerat

Kvicksilver

8

” 1 % C

Lera, expanderad

0,12

” låglegerat

30–50

Luft

0,025

” höglegerat

16–24

Lättbetong

0,10–0,20

” rostfritt (”18/8”)

Magnesiamassa

0,06–0,07

Tegel

Magnesium

170

0,4 420 2,5–3,5 40–60 43

15 0,40–0,80

Tenn

65

Masugnsslagg

0,1

Trä, vinkelrätt fibrerna

0,10–0,16

Mineralolja

0,11–0,14

” parallellt

0,25–0,40

Mineralull

0,035–0,045

” kryssfaner

0,11

0,9–1,2

Träfiberskiva, hård

0,13

”

0,04

Murbruk Mässing Nickel Papp, papper

110–150 60 0,15

porös

Vadd

0,05

Vatten 20 °C

0,60

4.6. Värmetekniska data

Tabell 4.2. Kinematisk viskositet, n, i m2/s.

Kinematisk viskositet i m2/s · 10–6 Temperatur i °C

0

20

40

60

80

100

120

140

Luft

14

16

18

20

22

24

26

28

Vatten

1,8

1,0

0,66

0,48

0,36

0,29

0,25

0,22

22

24

27

13

14

Ånga, 100 kPa ” 200 kPa

–6

2

Exempel: Luft av 20 °C har kinematiska viskositeten 16 · 10 m /s.

Tabell 4.3. Emissionsförhållande, e, riktvärden.

(Observera att inverkan av korrosion gör att värdena ändras med tiden.) Ämne

ε

Absolut svart kropp

1,00

Icke-metaller

ca 0,9–0,96

Metaller, aluminium blankt

0,04–0,06

” ” rått

0,07–0,14

” ” bronserat

0,4–0,7

” stål förtent

0,1

” ” galvaniserat

0,2–0,3

” ” målat

0,90–0,95

” ” nybearbetat

0,25–0,45

” ” oxiderat

0,9

” ” rostigt

0,7

” ” rått (vals- eller gjuthud)

0,7–0,8

” koppar nybearbetad

0,1

” ” oxiderad

0,8

” ” lackerade och målade

0,9–0,95

” zink

0,25

” titan

0,08–019

Uranoxid

0,79

Sotad yta

0,97

85

86

4. Värmeteknik

Tabell 4.4. Värmemotståndet, 1 / k, för luftskikt.

Värmemotstånd i luftskikt, m2 · °C/W

Luftskiktets läge

Emissionskoefficienten ε hos ytorna

0,005

0,01

0,02

0,05

0,1

Vertikalt

Båda ytorna 0,94

0,10

0,13

0,16

0,16

0,16

Ena ytan 0,94, andra 0,06

0,19

0,36

0,57

0,64

0,70

Luftskiktets tjocklek, m

Båda ytorna 0,06

0,19

0,38

0,63

0,71

0,79

Horisontellt med varma sidan nedåt

Båda ytorna 0,94

0,12

0,13

0,14

0,15

0,15

Ena ytan 0,94, andra 0,06

0,27

0,32

0,36

0,45

0,52

Båda ytorna 0,06

0,28

0,33

0,39

0,48

0,57

Horisontellt med varma sidan uppåt

Båda ytorna 0,94

0,10

0,13

0,16

0,18

0,19

Ena ytan 0,94, andra 0,06

0,19

0,36

0,65

1,25

1,8

Båda ytorna 0,94

0,19

0,38

0,71

1,5

2,5

Tabell 4.5. Specifik smältentalpi, lf . Ämne

kJ/kg

Ämne

kJ/kg

Aluminium

340

Naftalin

150

Ammoniak

140

Paraffin

150

Bensen

125

Platina

110

Bly

23

Silver

110

Fosfor

20

Stål

200

Is (vatten)

333

Kadmium

60

Koppar Kvicksilver Masugnsslagg

180 12

Svavel

38

Tenn

58

Vismut

55

Zink

120

210

Tabell 4.6. Specifik ångbildningsentalpi, lv eller r, vid 101,3 kPa (1 atm). Ämne

Alkohol Ammoniak (vid 0 °C)

kJ/kg

870 1 430

Ämne

Kvicksilver

kJ/kg

280

Metylbensen

360

Anilin

480

Nitrogen (kväve)

200

Bensen

400

Oxygen (syre)

210

Eter

370

Perkloreten (per)

Hydrogen (väte)

460

Svavel

220

Klor

280

Svavelsyrlighet

400

Klormetyl (vid 0 °C)

400

Terpentin

300

Kloroform

240

Trikloreten (tri)

240

Kolsvavla

350

Vatten

Kolsyra

600

1 510

2 256

4.6. Värmetekniska data

Tabell 4.7. Kokpunkt vid 101,3 kPa (1 atm). Ämne

°C

Ämne

°C

+2 580

Aceton

+56

Koppar

Acetylen

–84

Kvicksilver

+357

Linolja

+316

Aluminium Ammoniak Anilin Bensen

+2 057 –33 +184 +80

Luft

–193

Magnesium

+1 120

Mangan

+1 900

+1 620

Metylalkohol

+65

Etylalkohol

+78

Metylbensen

+111

Etyleter

+35

Naftalin

+218

+287

Nitrobensen

+210

Glycerin

+290

Nitrogen (kväve)

–196

Helium

–269

Oxygen (syre)

–183

Hydrogen (väte)

–253

Paraffin

+767

Stål

Bly

Fosfor

Kadmium Klor Klorkalciumlösning, mättad Kloroform Koksaltlösning, stark Koldioxid (subl.-punkt) Kolmonoxid Kolsvavla

–34

Svavel Svavelsyrlighet

+180 +60

Tenn Terpentinolja

+300 +2 400 +445 –10 +2 200 +160

+108

Vatten

+100

–78

Vismut

+1 420

–190 +46

Zink

+906

Ättiksyra

+118

87

88

4. Värmeteknik

Tabell 4.8. Smältpunkt vid 101,3 kPa (1 atm). Ämne

°C

Ämne

°C

–57 (0,5 MPa)

Alkohol

–114

Kolsyra

Aluminium

+658

Koppar

Ammoniak

–78

Anilin Antimon Bauxitsten

–6 +630 +1 565 – +1 785

Bensin

< –100

Bensen

+6

Bly

+327

Bor

+2 400

Borax

+878

Brons

ca +900

+1 083

Krom

+1 900

Kromjärnmalm

+2 180

Kvicksilver Lera Linolja Magnesium Mangan Masugnsslagg Metylbensen

–39 +2 000 –20 +650 +1 210 +1 300 – +1 430 –95

Molybden

+2 500

Deltametall

+950

Mässing

ca +900

Emaljfärger

ca +960

Naftalin

+80

Eter

–124

Fosfor Glycerin, torr Glykol 62 % Guld

+44 0 –47 +1 063

Gummi

+125

Natrium Nickel Nitrogen (kväve) Oxygen (syre) Platina

+1 771 ca +1 550

+1 425

Porslin

+1 530

Saltvatten (havs-)

”

gråjärn

+1 200

Silver

”

vitjärn

+1 130

Kalcium Kalium Kisel

ca +850 +62

Stearin Stål Svavel Svavelsyrlighet

+1 420

Tantal

Klorbarium

+860

Tenn

Klorkalcium

+720

Terpentin

Klorkalciumlösning 29,6 % Klornatrium (koksalt) Kloroform Kobolt Koksalt

–55 +801

–2 – –3 +961 ca +70 +1 300 – +1 400 +113 –72 +2 850 +232 –10

Titan

+1 800

Vanadin

+1 800

–64

Vatten

+1 480

Vismut

+801

–218 ca +55

Järn, ferrit (α-järn)

+321

–210

Paraffin

Invar

Kadmium

+97 +1 450

0 +271

Volfram

ca +3 400 +65 – +70

Koksaltlösning 21,3 %

–21

Woods metall

Kolsvavla

–112

Zink

+420

4.6. Värmetekniska data

Tabell 4.9. Specifik värmekapacitet, cp, vid rumstemperatur. Ämne

kJ/(kg · K)

Ämne

kJ/(kg · K)

Alkohol

2,43

Luft

1,00

Aluminium

0,90

Marmor

0,85

Bensen

1,72

Mineralolja

1,7–2,1

Bly

0,13

Mässing

0,38

Brons

0,38

Nickel

0,44

Eter

2,34

Platina

0,13

Fotogen

2,14

Silver

0,23

Gips

0,85

Stenkol

1,30

Glas

0,80

Stål

0,48

Grafit

0,85

Tenn

0,23

Granit

0,85

Terpentin

1,76

Guld

0,13

Träkol

0,8

Is (vid 0 °C)

1,94

Vatten

4,19

Koppar

0,39

Vattenånga

1,84

Kvicksilver

0,14

Zink

0,39

Tabell 4.10. Längdutvidgningskoefficient, a, vid rumstemperatur. Ämne

10–6/K

Ämne

10–6/K

Aluminium

23,8

Mässing

18,5

Bly

29,2

Nickel

13,1

Brons

17,5

Nickelstål, 36 % nickel

1,6

Elektron

24,0

” 58 % nickel

12,0

Gips

25

Nysilver

18

Glas

8,0

Plast, armerad

10–40

Guld

14,4

” hård

30–200

Hårdgummi

75

” mjuk

50–250

Hårdmetall, K

5,5

Platina

9,0

” M

5,5

Platiniridium

8,8

” P

5,5–6,5

Porslin

5,5

Silver

19,7

Stål

11,5

18

Svavel

9,0

Kobolt

12,7

Tantal

6,5

Konstantan

15,2

Tenn

23,0

Koppar

18,5

Vismut

13,4

Zink

26,7

Invar* Iridium Keramiskt skärmaterial

Kvartsglas Magnesium

≈0 6,5

0,5 26

Exempel: Aluminium har a = 23,8 · 10–6/K. *Legeringen Invar har tagits fram för att ha en längdutvidgningskoefficient som är ≈ 0.

89

90

4. Värmeteknik

Tabell 4.11. Volymutvidgningskoefficient, g, mellan 20 °C och 100 °C. Ämne

10–3/K

Ämne

10–3/K

Aceton

1,43

Metylalkohol

1,20

Anilin

0,85

Mineralolja

0,92

Bensen

1,15

Nitrobensen

0,83

Etylalkohol

1,10

Olivolja

0,72

Etyleter

1,62

Svavelsyra

0,56

Glycerin

0,50

Terpentin

1,00

Kloroform

1,27

Toluen

1,09

Kolsvavla

1,22

Trikloreten

1,19

Koltetraklorid

1,22

Xylen

0,99

Kvicksilver

0,182

Exempel: Aceton har g = 1,43 · 10–3/K. Tabell 4.12. Effektivt värmevärde samt luftbehov per m3 brännbar gas vid 15 °C och 101,3 kPa (1 atm).

Bränsle

Effek­ tivt värme­ värde MJ/m3

Erforderlig specifik luftmängd Teoretiskt kg/m

3

Praktiskt 3

m /m

3

kg/m3

m3/m3

Acetylen

55

13,7

11,5

16

14

Gasol, butan

110

37

31

45

40

” propan

85

29

24

35

30

Generatorgas från kol (antracit)

4,5

1,2

1,0

1,5

1,3

” koks

3,5

0,8

0,7

1,0

0,8

” brunkolsbriketter

7

1,7

1,4

2,2

1,8

” trä (bok)

5,5

1,4

1,2

1,7

1,5

Koksugnsgas

18

5

4

6

5

Lysgas

20

6

5

7

6

0,8

0,7

1

0,8

Masugnsgas

3,5

Naturgas

35

10

8

12

10

Vattengas, renad

18

6

5

7

6

” ej renad

10

3

2,5

3,5

3

4.6. Värmetekniska data

Tabell 4.13. Effektivt värmevärde samt luftbehov hos fasta och flytande bränslen.

Bränsle

Effektivt värme­ värde MJ/kg

Alkohol 97 %

28

Erforderlig specifik luftmängd Teoretiskt

Praktiskt

kg/kg

m3/kg

kg/kg

m3/kg

9,3

7,8

12

16

Antracit

33

11,4

9,5

20

17

Bensin

45

15,2

12,8

20

17

Brunkol, jordig

10

3,6

3

6

5

”

i stycken, 4 % vatten och 10 % aska

21

7,2

6

12

10

” i briketter

20

6,2

5,2

9

8

Dieselolja

44

13,8

11,7

18

15

Eldningsfotogen

43

13,8

11,7

18

15

Eldningsolja, 1

42,5

13,7

11,5

18

15

” 3

42

13,5

11,4

17

14

” 4

41

13,2

11,2

17

14

” 5

40,5

13,1

11

17

14

40,5

13,0

10,8

” Bunker C Koks

25–30

Stenkol

20–30

Tjära, olje-

38

7,8–10,2

6,2–8,7

7–11

6–9,5

12,4

10,5

17

13

14–18

12–15

12–20

10–16

16

14

15

13

” stenkols-

34–36

11,3–11,7

9,5–9,9

Torv, lufttorkad

8–17

2,9–5,7

2,5–4,8

5–10

Trä

10–15

4–8

3,6–5,2

3,0–4,4

8

6,5

” 20 % vatten

13,5

4,5

4,0

8

6,5

Träkol, torr

30

11,4

9,5

20

17 D.L. och M.K.

91

92

5. Materiallära

5. Materiallära Det här kapitlet handlar om material, främst sådana som används för konstruktions­ ända­mål, och hur de produceras. Först diskuteras grundämnen och det periodiska systemet, ämnens benämningar, densitet och resistivitet, samt metallografi och europeisk samordning av metaller. Sedan behandlas gjutjärn och gjutstål, andra stål, koppar och kopparlegeringar, aluminium och övriga lättmetaller, zink, pulvermetallurgiska material, ugnar för värmebehandling av material, provningsmetoder för metaller, plaster, elaster, polymera fiberkompositer, keramer, trä och träprodukter samt nanoteknik.

5.1. Data för grundämnen

5.1. Data för grundämnen Tabell 5.1. Data för grundämnen Atomnr

Kemiskt tecken

Hydrogen ............ (väte) Helium ................ (ädelgas)

H

1,0080

He

4,003

3 4 5 6

Litium .................

Beryllium ...........

Bor .....................

Kol ......................

Li Be B C

6,939 9,01 10,81 12,011

534 1 840 2 460 2 250

7

Nitrogen.............. (kväve) Oxygen ............... (syre) Fluor ...................

N

14,007

0

15,9994

F

19,00

10

Neon ................... (ädelgas)

Ne

20,183

1,251 (812) 1,43 (1 120) 1,69 (1 100) 0,9 (1 210)

11 12 13 14 15 16 17

Natrium ..............

Magnesium ........

Aluminium ..........

Kisel ...................

Fosfor .................

Svavel .................

Klor......................

Na Mg AI Si P S CI

22,990 24,31 26,98 28,09 30,97 32,06 35,453

18

Argon .................. (ädelgas)

Ar

39,948

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

Kalium ............

Kalcium ..........

Skandium ......

Titan ...............

Vanadin ..........

Krom ..............

Mangan ..........

Järn ................

Kobolt ............

Nickel .............

Koppar ...........

Zink ................

Gallium ..........

Germanium ...

Arsenik ...........

K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As

34 35 36

Selen ..............

Brom ..............

Krypton .......... (ädelgas)

Se Br Kr

1 2

8 9

Relativ atom­ massa (atom­ vikt)

Densitet1 vid 20 °C kg/m3

Grundämne

0,09 (71) 0,1785 (122)

Smält­ punkt2 °C

Kok­ punkt 2 °C

−259,04

−252,61

−272,23

−268,78

180 1 283 2 000 − −210,0 −218,8 −219,5

1 347 2 477 3 675 3 700 (subl.) −195,8 −182,97

−248,7

−188 −245,9

971 1 740 2 700 2 330 1 830 2 070 3,214 (1560) 1,78 (1420)

97,5 651 660 1 412 44,1 115 −101,6 −189,2

882,9 1 110 2 057 3 310 280,5 444,6 −33,9 −185,7

39,102 40,08 44,96 47,90 50,94 52,00 54,94 55,85 58,93 58,71 63,54 65,37 69,72 72,59 74,92

860 1 550 3 020 4 500 5 960 7 190 7 420 7 870 8 900 8 910 8 930 7 130 5 903 5 323 5 730

63,2 850 1 539 1 677 1 910 1 903 1 244 1 535 1 492 1 453 1 083 419,5 29,75 958 814

78,96 79,909 83,80

4 810 3 119 3,74 (2 450)

765 1 440 2 400 3 270 3 380 2 480 2 041 2 750 2 900 2 732 2 580 907 1 980 2 700 613 (subl.)

685 58,4 −153,25

220 −7,1 −157

93

94

5. Materiallära

Grundämne

Kemiskt tecken

Relativ atom­ massa (atom­ vikt)

Densitet1 vid 20 °C kg/m3

Smält­ punkt2 °C

Kok­ punkt 2 °C

37 38 39 40 41 42 *43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53

Rubidium .......

Strontium ......

Yttrium ...........

Zirkonium ......

Niob ...............

Molybden ......

Teknetium ......

Rutenium .......

Rodium ..........

Palladium .......

Silver ..............

Kadmium .......

Indium ............

Tenn ...............

Antimon .........

Tellur ..............

Jod .................

Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I

85,47 87,62 88,91 91,22 92,91 95,94 99 101,1 102,91 106,4 107,870 112,40 114,82 118,69 121,75 127,60 126,90

1 530 2 600 4 570 6 500 8 570 10 200 11 460 12 200 12 440 12 000 10 500 8 650 7 280 7 280 6 684 6 240 4 930

38,8 770 1 509 1 850 2 468 2 625 2 250 2 427 1 960 1 552 960,8 320,9 156,4 231,9 630,5 452 113,5

680 1 370 3 200 4 370 3 300 4 800 (4 700) 4 900 4 500 3 100 2 180 765 2 050 2 275 1 380 1 390 184,4

54

Xenon ............ (ädelgas)

Xe

131,30

5,85 (3080)

−112

−107,1

55 56 57 58 59 60 *61 62 63 64 65 66

Cesium ...........

Barium ...........

Lantan ............

Cerium ...........

Praseodym ....

Neodym .........

Prometium .....

Samarium ......

Europium .......

Gadolinium ....

Terbium .........

Dysprosium ...

Cs Ba La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy

132,91 137,34 138,91 140,12 140,91 144,24 145 150,35 152,0 157,25 158,92 162,50

1 900 3 580 6 180 6 750 6 770 7 000 − 7 530 5 200 7 870 8 253 8 440

28,6 710 920 795 935 1 024 1 168 1 052 826 1 312 1 356 1 407

Atomnr

685 1 500 3 470 2 927 3 017 3 127 (2 700) 1 900 1 439 3 000 2 480 2 300

1

Värdena inom parentes avser densiteten för ämnet i flytande tillstånd vid normala kokpunkten. Värdena för gastillståndet gäller vid 0 °C och 101,3 kPa (1 atm).

2 Siffror inom parentes anger att värdena endast är uppskattade eller är mycket osäkra.

3 Gäller vid trycket 2,63 MPa (26 atm). Helium kan bara existera i fast form under övertryck.

Vid lägsta temperatur är gränstrycket 2,53 MPa, och det ökar med stigande temperatur. *Radioaktiv isotop. Siffran under relativ atommassa anger masstalet för den.

5.2. Grundämnenas periodiska system Med grundämnen menas substanser som är uppbyggda av enbart samma sorts atomer, till exempel väte, syre, järn och koppar. Ämnena kan inte sönderdelas eller bildas genom van­ liga kemiska reaktioner. I naturen förekommer de normalt som blandningar av sina isotoper, det vill säga atomer av ämnet som har olika antal partiklar (nukleoner) i kärnan (olika antal neutroner utan laddning men samma antal positivt laddade protoner). Isotoperna har lika antal negativa elektroner i höljet (= antalet protoner), och därför samma kemiska egenskaper.

Grundämnenas förmåga att bygga upp ett stort antal material – som utgör vår jord, vår atmosfär, oss själva och vår omgivning – har gett dem karaktären av byggelement. Vissa grundämnen – de tyngsta – kan genom radioaktivt sönderfall omvandlas till element med annat atom-

5.2. Grundämnenas periodiska system

nummer. I den processen frigörs energi i form av radioaktiv strålning1. Den tid det tar för ett ämne att omvandla halva antalet atomer kallas halveringstiden. För naturligt radioaktiva ämnen varierar den mellan några dygn och miljontals år.

I Bohrs atomteori representeras atomen av en kärna med ett eller flera omgivande elektronskal (= ett tänkt sfärisk-ellipsoidiskt ”skal” på visst avstånd från atomkärnan, och på vilket en eller flera elektroner kretsar runt kärnan samtidigt som de rör sig som vågor i sin omkrets­ bana). Antalet elektroner i varje skal kan vara max. 2 · n2, där n är skalets nummer inifrån. Skalen kallas även K = 1:a, L = 2:a, M = 3:e skalet och så vidare.

Inom varje skal finns olika ”energinivåer” (s, p, d och f), som elektronerna kan flytta sig språngvis mellan samtidigt som de avger eller tar upp bestämda energikvanta.

I det periodiska systemet (se nästa sida) upptar varje period (vågrät rad) ämnen med samma antal elektron­skal. De yttre skalen är mer eller mindre utfyllda med elektroner. Ämnen i olika perioder kan ha samma fyllnadsgrad (antal valenselektroner), vilket medför likheter i egenskaper och atomspektra. Dessa ämnen kan därför sammanställas i grupper (lodräta rader). I huvudgrupperna 1–7 är gruppnumret lika med antalet valenselektroner, som alla tillhör det yttersta skalets två lägsta energinivåer (s och p). Grupp 0, utom helium (He), har på samma sätt 8 valenselektroner. Hos undergrupperna 3A-2B medverkar, i de kemiska reaktionerna, ofta elektroner ur d- och f-nivåerna i elektronskalen närmast innanför de yttersta. Här är antalet valenselektroner inte lika entydigt bestämt. Systemet (schemat) visar detta enligt följande: Ämnets namn står mitt i rutan. Ovanför står den kemiska beteckningen (som också kallas det kemiska tecknet) i fetstil, och framför den står ämnets ordningstal (= antalet protoner i kärnan).

Ovanför ordningstalet står i vissa fall masstalet (= antalet protoner + antalet neutroner) för ämnets vanligaste isotop. I schemat anges endast masstalen för vissa av de tyngsta ämnena. Nedtill till höger i rutan står ämnets relativa atommassa (för stabila element) eller halveringstid T (för den vanligaste isotopen av icke stabila material). (Beteckningar: s = sekunder, m = minuter, d = dygn och a = år.) Nedtill till vänster står ”elektronkonfigurationen”, dvs. antalet elektroner i de olika skalen, varvid man utgår från föregående ”ädelgas” (grupp 0).

Antalet elektroner anges fördelade dels på de olika skalen och dels på de olika energinivåerna, exempelvis M:3s2p6d10, som anger att i det 3:e skalet (M-skalet) finns 18 elektroner fördelade med 2 på s-nivån, 6 på p-nivån och 10 på d-nivån.

Exempel: Nr 29, koppar (Cu), tillhör period 4 (under)-grupp 1 B, och har relativa atommassan 63,5. De tre inre skalen har samma antal elektroner som argon (Ar) (sist i period 3), och dessutom finns det 10 d-elektroner i skal 3 och 1 s-elektron i skal 4. Sammanlagt alltså 29 elektroner, fördelade som: s-nivå Skal

p-nivå

1 = K-skalet

2

2 = L-skalet

2

6

3 = M-skalet

2

6

4 = N-skalet

1

Summa elektroner

7

12

d-nivå

10 10

summa

max. enl. Bohr

2

2

8

8

18

18

1

32

= 29

Grundämnet koppar har alltså ”elektronvakanser” i 4:e skalet.

1 Vid radioaktiv strålning mäts sönderfallshastigheten i becquerel (1 Bq = 1 sönderfall per sekund) och den absorberade energidosen i gray (1 Gy = 1 J/kg materia).

95

Tabell 5.2. Periodiska systemet.

96 5. Materiallära

5.3. Data för gaser och ångor

På samma sätt för nr 79, guld (Au): s-nivå Skal

p-nivå

d-nivå

1 = K-skalet

2

2 = L-skalet

2

6

3 = M-skalet

2

6

10

4 = N-skalet

2

6

10

5 = O-skalet

2

6

10

6 = P-skalet

1

Summa elektroner

11

24

f-nivå

14

30

14

summa

max. enl. Bohr

2

2

8

8

18

18

32

32

18

50

1

72

= 79

Guld har elektronvakanser i både 5:e och 6:e skalen. De två yttersta skalen har samma ”elektronkonfiguration” som hos koppar, och ämnena tillhör därför samma grupp trots att de finns i 4:e resp. 6:e perioden.

Det framgår av periodiska systemet att grundämnena indelas i metaller (nr 3, 4, 11–13, 19–31, 37–49, 55–84, 87–103), halvmetaller (nr 2, 33, 50-52, 85) och icke-metaller (nr 1, 2, 5–10, 14–18, 34–36, 53–54, 86). De olika grupperna har också fått vissa sammanfattande namn, exempelvis grupp 1: väte och alkalimetaller (vätets inplacering här är något oegentlig), grupp 2: alkaliska jord­arts­metaller och grupp 7: halogener.

5.3. Data för gaser och ångor Värdena i tabellen vid 0 °C och 101,3 kPa (1 atm).

Gas eller ånga

Formel

Aceton

C3H6O

Acetylen

C2H2

Aldehyd

C2H4O

Ammoniak

NH3

Bensen Brom Butan

Relativ molekyl­ massa1 kg/m3

Densitet kg/m3

Densitet relativt luft

Vätskans densitet i förhållande till vatten

2,58

2,00

0,792

26

1,16

0,910

44

1,96

1,53

17

0,76

0,596

0,675 vid –33 °C2

C6H6

78

3,48

2,69

0,8991

Br2

160

6,87

5,39

3,186 vid 0 °C

C4H10

58

2,6

2,06

0,57 vid 27 °C

Cyan

(CN)2

52

2,32

1,81

Cyanväte

HCN

27

1,22

0,95

Etan

C2H6

30

1,34

1,049

58

Eter

C4H10O

74

3,30

2,56

Eten

C2H4

28

1,25

0,975

Etylalkohol

C2H6O

46

2,05

1,61

Fosforväte

PH3

34

1,53

1,18

Gruvgas

CH4

16

0,71

0,55

Helium

He

4

0,18

0,14

Jod

I2

254

11,22

8,72

0,898 0,806

4,93 fast

97

98

5. Materiallära

Gas eller ånga

Formel

Klor

Cl2

Klorkoloxid Kloroform Klorväte

Relativ molekyl­ massa1 kg/m3

Densitet kg/m3

Densitet relativt luft

Vätskans densitet i förhållande till vatten

71

3,16

2,491

1,558 vid –34 °C2

COCl2

99

4,42

3,42

CHCl3

119,5

5,30

4,12

HCl

36,5

1,63

1,268

1,527

Koldioxid

CO2

44

1,96

1,529

Koloxid

CO

28

1,25

0,967

1,73 till –78 °C fast

Kolsvavla

CS2

76

3,42

2,64

1,292

Kvicksilver

Hg

200

9,02

6,98

13,596

Kväveoxid

NO

30

1,34

1,037

Kvävgas (nitrogen)

N2

28

1,25

0,967

44

1,97

1,530

1,29

1,00

Dikväveoxid (lustgas)

N2O

Luft

–

Metan

CH4

16

0,71

0,555

Naftalin

C10H8

128

5,72

4,43

1,145 fast

Pentan

C5H12

72

3,22

2,49

0,6263

Propan

C3H8

44

1,96

1,562

0,49 vid 27 °C

Svavel

S2

64

2,85

2,20

1,957 till 2,07 fast

Svaveldioxid

SO2

64

2,87

2,23

1,46 vid –11 °C2

Svavelsyra

H2SO4

98

2,78

2,15

1,842 vattenfri

–

Svavelväte

H2S

34

1,54

1,191

Syrgas (oxygen)

O2

32

1,43

1,105

Toluen

C7H8

92

4,10

3,18

0,882

18

0,80

0,62

1,00 flytande

2

0,09

0,070

106

4,72

3,67

Vattenånga

H2O

Vätgas (Hydrogen)

H2

Xylen

C8H10

1 2

= 22,41 · densiteten.

I flytande tillstånd.

0,756

5.4. Densitet

5.4. Densitet Det här avsnittet handlar om ämnens densitet, alltså förhållandet mellan en materialmängds massa och dess volym.

5.4.3.1. Densitet för fasta ämnen Ett ämnes densitet definieras som kvoten mellan en materialmängds massa och volym. SIenheten för densitet är kg/m3.

Med kompaktdensitet menar vi kvoten mellan en materialmängds massa och kompakt­volym (till exempel för ett poröst block). Ämne

kg/m3

Ämne

kg/m3

Agat

2 500–2 800

Fosfor, vit

1 800

Aluminium, rent

2 700

” röd

2 200

”

2 600–2 800

” kristallin

2 300

Aluminiumbrons

7 700

Fosforbrons

8 800

Antimon

6 600

Fältspat

2 500

Arsenik

5 700

Gips, bränd

1 800

Asbest

2 100–2 800

” gjuten

1 000

Asbestpapp

1 200

Gjutjärn

7 600

Asfalt

1 100–1 500

Glas, fönster-

2 400–2 700

Bakelit, pressad

1 400

” kristall-

2 900–3 000

Barium

3 800

Glimmer

2 600–3 200

Bariumklorid

3 700

Grafit

1 800–2 300

Basalt

2 700–3 200

Granit

2 500–3 100

Beck

1 100

Guld

19 300

Ben

1 700

Gummi

1 000–2 000

Bergkristall

2 600

Harts

1 100

Bergsalt

2 150

Hårdmetall

11 000–15 000

Bly

11 300

Is vid 0 °C

916,7

Bly(II)oxid (blyglete)

9 300

Jod

4 900

Bly(IV)oxid

8 900

Järn (ferrit) rent

7 860

Blyvitt

6 700

Järnoxid (trematit)

5 200

Borax

1 700

Järn(II)sulfat

1 900

Brons

7 400–8 900

Kadmium

8 600

Brunsten

3 700–4 700

Kalcium

1 600

Cement

1 100–1 800

Cinnober

8 100

Kalciumkarbid (1 kg ger 0,3 m3 acetylen)

2 300

Diamant

3 500–3 600

Kalciumklorid

2 200

Elfenben

1 900

Fett

900

Flusspat

3 100–3 200

legerat

Kalium

860

Kalk, bränd

900–1 300

” släckt

1 100–1 300

99

100

5. Materiallära

Ämne

kg/m3

Ämne

kg/m3

Kalksandsten

1 900

Nickelmässing (nysilver)

8 400–8 700

Kaolin

2 200

Papper

700–1 200

Kautschuk

900–1 000

Paraffin

900

Kiseljord

2 700

Plast

900–2 200

Kobolt

8 800

Platina

21 400

Koksalt

2 150

Porslin

2 200–2 500

Kol, sten-

1 200–1 500

Retortkol

1 900

Kolstavar

1 600

Salmiak

1 500

Koppar, elektrolyt-

8 900

Salpeter, natron-

2 200

Kopparglans

5 500–5 800

” kali-

2 100

Kopparkis

4 100–4 300

Sandsten

2 200–2 500

Kopparsulfat

2 200–2 300

Silver

10 500

Kork

240

Sjöskum

1 300

Korund

3 900–4 000

Skiffer

2 600–2 700

Krita

1 800–2 600

Socker

1 600

Krom

7 100

Stearin

1 000

Kvarts

2 500–2 800

Stenkol

1 200–1 500

Lera, vattenmättad

1 500–1 800

Stål, kol-

7 800

Litium

500

” snabb-

8 100–9 000

Läder

1 000

Svavel

1 900–2 100

Magnesium

1 700

Talk

2 700

Magnetit

5 100

Tantal

16 600

Magnetkis

4 500–4 600

Tenn

7 300

Mangan

7 300

Topas

3 500

Marmor

2 500–2 800

Uran

18 700

Molybden

9 000

Vanadin

5 700

Mässing

8 100–8 600

Vax

970

Mönja, bly-

8 600–9 100

Vismut

9 800

Natrium

970

Volfram

19 100

Natriumklorid (koksalt)

2 150

Zink

7 100

Nickel

8 900

Zinksulfat

2 000

5.4. Densitet

5.4.2. Densitet för flytande ämnen Vid

kg/m3

Aceton

18 °C

790

Ammoniak

18 °C

880

Bensin

15 °C

680–720

Bensen

18 °C

881

Brom

0 °C

3 187

Etylalkohol

18 °C

789

Etyleter

18 °C

714

Fotogen

15 °C

Glycerol

18 °C

1 260

Hartsolja

15 °C

960

Havsvatten, 3,5 % salter

4 °C

1 026

790–820

Hydraulvätskor, eldsäkra:1 Emulsion av vatten i olja

20 °C

Lösning av etylenglykol i vatten

20 °C

1 050–1 080

900

Fosforsyraestertyp

20 °C

1 060–1 220

Silikontyp

20 °C

940–1 070

Syntetiska:

1

Hydraulvätskor, icke eldsäkra:

Mineralolja för industrihydraulik

20 °C

870–890

Mineralolja för flyghydraulik

20 °C

850

Kalilut, 10 % KOH

18 °C

1 091

”

30 %

18 °C

1 290

”

50 %

18 °C

1 510

Koksaltlösning, 5 % NaCl

18 °C

1 034,5

” 15 %

18 °C

1 109,0

” 20 %

18 °C

1 148,5

” 25 %

18 °C

1 189,7

Kolsyra

0 °C

940

Kopparsulfat, 5 % CuSO4

18 °C

1 051

” 10 %

18 °C

1 107

” 15 %

18 °C

1 167

Kvicksilver

0 °C

13 595

”

20 °C

13 546

Mjölk

15 °C

1 028

Natronlut, 10 % NaOH

18 °C

1 109,8

” 30 %

18 °C

1 329,0

” 50 %

18 °C

1 526,8

101

102

5. Materiallära

Vid

kg/m3

Cylinderolja

20 °C

895–940

Linolja

15 °C

930

Maskinolja

20 °C

900–930

Mineralolja

15 °C

800–1 100

Olivolja

18 °C

915,0

Ricinolja

18 °C

961

Rovolja

15 °C

920

Smörjolja, tjock

20 °C

905–920

Spindelolja

20 °C

Salpetersyra, 25 % HNO3

18 °C

1 151

850–900

” 50 %

18 °C

1 314

” 75 %

18 °C

1 418

” 100 %

18 °C

1 520

Saltsyra, 10 % HCl

18 °C

1 048,2

” 20 %

18 °C

1 098,9

” 30 %

18 °C

1 150,8

” 40 %

18 °C

1 199

Svavelsyra, 25 % H2SO4

18 °C

1 179,6

” 50 %

18 °C

1 397

” 75 %

18 °C

1 671,0

” 100 %

18 °C

1 833,0

Stenkolstjära

18 °C

1 100–1 260

Terpentin

18 °C

870

Vatten, destillerat

0 °C

999,87

”

4 °C

1 000,00

”

15 °C

999,13

”

20 °C

998,23

”

25 °C

Äggvita

15 °C

1 040

Ättiksyra

18 °C

1 053

Öl

12 °C

1 020–1 040

” rykande

1

Se även kapitel 9.

997,07

5.4. Densitet

5.4.3. Densitet för byggnadsmaterial: trä, kol och vissa andra material kg/m3

Byggnadsmaterial

Betong: med granitgrus

2 200

” kalkstensgrus

2 000

” tegelgrus

1 800

” masugnsslagg

2 200

Cement, lös

1 400

” blandad

2 000

Grus, torkat

1 500–2 100

Kalksten och obearbetad sten

2 000

Lera (vattenmättad)

1 400–1 800

Murbruk (kalk o. sand)

1 700

Sand och grus, fuktig

1 600–2 400

Tegelsten, vanlig

1 800

” klinker

1 900

Kol

kg/m3

Kol, brun-

750

” trä-

180

” brikett-

1 000

” sten-

900

Koks, gas-

450

” gruv-

500

Träslag

Lufttorkat till fuktig­ hetshalt 15 % kg/m3

kg/m3

Bok

730

800

Ek

690

900

Furu

520

700–800

Gran

470

600

Lärkträ

590

650

Diverse material

Aska Halm

Nyfällt

kg/m3

900 45

Papper (vattenmättat)

1 100

Salt

1 250

Snö, nyfallen

80–190

” fuktig

200–800

Torvströ

230

103

104

5. Materiallära

5.4.4. Skrymdensitet för fasta ämnen Skrymdensitet definieras som kvoten mellan en materialmängds massa och dess skrym­ volym, det vill säga i volymen räknar vi med både öppna och slutna håligheter (som till exempel för sand).

Material

kg/m3

Material

kg/m3

Betong

1 800–2 500

Trä, lufttorkat

Brunkol

1 200–1 500

” Balsa

ca 130

Koks

600

” Björk

ca 650

” krossad

1 250–1 400

” Bok

ca 730

Kol, trä-

400

” Ek

ca 690

Sand, torr

1 500–2 100

” Furu

ca 520

” fuktig

1 600–2 400

” Gran

ca 470

Slagg, masugns-

2 500–3 000

” Hickory

ca 810

Snö, torr

100

” Lärkträ

ca 590

Tegelsten

1 700–2 000

” Mahogny

ca 600

Tegelmur, torr

1 400–1 500

” Pockenholts

ca 1 230

Trä, cellvävnad

1 560

” Teak

ca 670

” Valnöt

ca 680

” Träkol

400

5.5. Resistivitet I svensk metallstandard SS 16601 definieras (elektrisk) resistivitet, ρ, som ett materials motstånd mot att leda elektricitet. För likström uttrycks den som elektrisk resistans (R) gånger tvärsnittsarea (A) per längd (l) hos ett objekt av materialet, alltså som

ρ =R ⋅

A l

Resistivitet kan även definieras som det inverterade värdet av den elektriska konduktiviteten. Resistiviteten är temperaturberoende och anges vanligen för 20 °C. SI-enheten för resistivitet är ohmmeter (Ωm).

5.5.1. Resistivitet för elledningsmaterial Material

μΩm

Material

μΩm

Aluminium

0,029

Nickel

0,086

Aluminiumbrons

0,130

Platina

0,107

Bly

0,210

Silver

0,016

Brons

0,170

Stål, härdat

0,4–0,5

Järn

0,086

” mjukt

0,1–0,2

Koppar, ren

0,017

Tantal

0,120

” vanlig

0,018

Tenn

0,12

Kvicksilver

0,958

Zink

0,060

5.5. Resistivitet

5.5.2. Resistivitet för motståndsmaterial Material

μΩm

Elektrografit

15–50

Gaskol

50,00

Grafit från Grönland

4,00

Grafit från Sibirien

12,00

Konstantan

0,50

Kruppin

0,85

Manganin

0,43

Nickelin

0,40

Nysilver (nickelmässing)

0,36–0,40

Patentnickel

0,34

Reotan

0,45

5.5.3. Resistivitet för flytande isolermaterial Flytande isolermaterial, med egenskaper som varierar kraftigt med den kemiska sammansättningen och ingående föroreningar.

Material

MΩm

Material

MΩm

14 · 104

Ammoniak, 1,6 %

15,22 · 10–2

Paraffinolja, tung

8 · 104

” 8,0 %

9,63 · 10–2

Trätjära

17 · 106

” 16,2 %

15,82 · 10–2

Bensin

Material vid 18 °C

MΩm

Svavelsyra, 5 %

4,80 · 10–2

” 10 %

2,55 · 10–2

” 20 %

1,53 · 10–2

” 30 %

1,35 · 10–2

Koksaltlösning, 5 %

14,92 · 10–2

” 10 %

8,27 · 10–2

” 15 %

6,10 · 10–2

” 20 %

5,11 · 10–2

Zinksulfatlösning, 5 %

52,4 · 10–2

” 10 %

31,2 · 10–2

” 15 %

24,1 · 10–2

” 20 %

21,3 · 10–2

Kopparsulfatlösning, 5 %

52,9 · 10–2

” 10 %

31,3 · 10–2

” 15 %

23,8 · 10–2

Magnesiumsulfatlösning, 5 %

83,0 · 10–2

” 10 %

24,2 · 10–2

” 15 %

20,8 · 10–2

” 20 %

21,0 · 10–2

105

106

5. Materiallära

5.5.4. Resistivitet för fasta isolermaterial Material

MΩm

Bakelitharts

2 · 108

Bakelitpressmassa

2 · 103

Bivax, gult

2 · 107

Bärnsten

5 · 108

Celluloid, vit

2 · 102

Fiber, röd

50

Glas, vanligt

5 · 105

Glimmer, klar

3 · 108

Gummi

1 · 106

Hårdgummi

1 · 1010

Kvarts, ⊥ optiska axeln

3 · 108

Kvarts, || optiska axeln

1 · 106

Kvarts, smält

5 · 1010

Lack

8 · 107

Lera, bränd, med utvändig glasyr

1 · 103

Linoleum

1 · 104

Lönn

3 · 102

Mahogny

4 · 105

Paraffin

3 · 1010

Paraffinvax

11 · 105

Poppel

5 · 103

Porslin, oglaserat

3 · 106

Presspan

1 · 103

Shellack

1 · 108

Skiffer

1 · 10

Stearinsyra

35 · 105

Steatit vid 200 °C

6 · 107

” 600 °C

3 · 103

Svavel

1 · 109

5.6. Industriella och kemiska benämningar på tekniskt viktiga ämnen

5.5.5. Genomslagsmotstånd En växelström (50 Hz) med spänningen 20 000 V slår igenom ett isoleringsskikt av följande tjocklek: Asbestbakelit

3,0 mm

Bakelitharts

2,0 mm

Bivax

0,25 mm

Gummi, ej vulkat

0,85 mm

” vulkat

1,20 mm

Guttaperka

0,34 mm

Kabelimpregneringsmassa

0,20 mm

Linolja

7,50 mm

Luft

34,00 mm

Tjockolja

9,64 mm

Ozokerit

0,65 mm

Pappersbakelit, ⊥ skikten

1,0 mm

Paraffin

0,50 mm

Stenkolsparaffin

2,20 mm

Terpentin

0,50 mm

Transformatorolja

2,00 mm

Transformatorolja (vattenfri)

0,8–1,0 mm

Trämjölsbakelit

4,5 mm

Bakelit (pressad): 90 000 V per 1 mm

122 000 V per 4 mm Kanfasbakelit: 500–1 000 V per mm

5.6. Industriella och kemiska benämningar på tekniskt viktiga ämnen Industriell ­b enämning

Kemisk benämning

Kemisk beteckning

Aceton

Dimetylketon

(CH3)2CO

Acetylen

Etyn

C2H2

Alun

Kalium-aluminium-sulfat

KAl(SO4)2 + 12H2O

Ammoniakalun

Ammonium-aluminium-sulfat

(NH4)Al(SO4)2 + 12H2O As2O3

Arsenik (vit)

Arseniktrioxid

Asbest

Asbest (Ca-Mg-silikat)

Bensin

Bensin

≈ CnH2n+2

Bensol

Bensen

C6H6

Blodlutsalt, gult

Kalium-ferro-cyanid

K4Fe(CN)6 + 3H2O

” rött

Kalium-ferri-cyanid

K3Fe(CN)6

Blymönja

Blyortoplumbat (jfr mönja)

Pb3O4

Blysocker

Neutralt blyacetat

Pb(C2H3O2)2 + 3H2O

Blyvitt

Basiskt blykarbonat

≈ Pb3(CO3)2(OH)2

Bläckpulver (rostpulver)

Surt kaliumoxalat

KHC2O4

Borax

Natriumtetraborat

Na2B4O7 + 10H2O

Brunsten

Mangandioxid

MnO2

Cellulosa

Cellulosa

(C6H10O5)n

Chilesalpeter

Natriumnitrat

NaNO3

Cyankalium

Kaliumcyanid

KCN

Eter

Etyleter

(C2H5)2O

Fett

Glycerinestrar av högre fettsyror

Varierar

107

108

5. Materiallära

Industriell ­b enämning

Kemisk benämning

Kemisk beteckning

Fixersalt

Natriumtiosulfat eller natriumhyposulfit

Na2S2O3 + 5H2O

Gips

Kalciumsulfat

CaSO4 + 2H2O

Glaubersalt

Natriumsulfat

Na2SO4 + 10H2O

Glycerin

Glycerol

C3H8O3

Järnoxid, saltsyrlig

Järn(III)klorid

FeCl3

Järnoxidul, saltsyrlig

Järn(II)klorid

FeCl2(4H2O)

(Järn)-rost

–

Vanligen FeOOH

Järnvitriol

Järnsulfat eller ferrosulfat

FeSO4 + 7H2O

Kalcinerad soda

Natriumkarbonat

Na2CO3

Kalciumkarbid

Kalciumkarbid

CaC2

Kalilut (kaustikt kali)

Kaliumhydroxid

KOH

Kalisalpeter

Kaliumnitrat

KNO3

Kalk, bränd

Kalciumoxid

CaO

” släckt

Kalciumhydroxid

Ca(OH)2

Kalksten

Kalciumkarbonat

CaCO3

Karborundum

Kiselkarbid

SiC

Kaustikt kali

Kaliumhydroxid

KOH

”

Natriumhydroxid

NaOH

Kimrök

natron, (soda)

Kol

C

Klorkalcium

Kalciumklorid

CaCl2 + 6H2O

Klorkalk

Klorkalk

CaCl(OCI)

Klortenn

Tenn(IV)klorid

SnCl4

Klorvatten

Klorvatten

Cl2 i vattenlösning

Koksalt (bergsalt)

Natriumklorid

NaCl

Koloxid

Koloxid eller kolmonoxid

CO

Kolsyra

Kolsyra (eller koldioxid)

H2CO3 (eller CO2)

Kopparoxid, saltsyrlig

Kopparklorid

CuCl2 + 2H2O

Kopparvitriol

Kopparsulfat

CuSO4 + 5H2O

Korund (smärgel)

Aluminiumoxid

Al2O3

Krita

Kalciumkarbonat

CaCO3

Kromkali, gult

Kaliumkromat

K2CrO4

” rött

Kaliumbikromat

K2Cr2O7

Kungsvatten

Kungsvatten eller 3 delar saltsyra + 1 del salpetersyra

HCl + HNO3 ZnCl2 + 2NH4Cl

Lödsalt

Zinkammoniumklorid

Lödvatten

Vattenlösning av lödsalt

Manganoxidul, saltsyrlig

Manganklorur

MnCl2

Marmor

Kalciumkarbonat

CaCO3

5.6. Industriella och kemiska benämningar på tekniskt viktiga ämnen

Industriell ­b enämning

Kemisk benämning

Kemisk beteckning

Mönja

Bly(II, IV)oxid

Pb3O4

Natron (natronlut)

Natriumhydroxid

NaOH

Natronalun

Natrium-aluminiumsulfat

NaAl(SO4)2 + 12H2O

Oxalsyra

Oxalsyra

C2H2O4 + 2H2O

Pinksalt

Tenn-ammoniumklorid

SnCl4 + 2NH4Cl

Pottaska

Kaliumkarbonat

K2CO3

Rödfärg (Falu-)

Järnoxid

Fe2O3

Salmiak

Ammoniumklorid

NH4Cl

Salmiaksprit

Ammoniak

NH3 + H2O

Salpeter

Kaliumnitrat

KNO3

Salpetersyra

Salpetersyra

HNO3

Saltsyra

Klorvätesyra eller saltsyra

HCl

Skedvatten

Salpetersyra

HNO3

Soda, kristall-

Natriumkarbonat

Na2CO3 + 10H2O

Sot

Kol

C

Sumpgas

Metan

CH4

Svavelsyra

Svavelsyra

H2SO4

Svavelväte

Svavelväte

H2S

Såpa

Kaliumsalter av fettsyror

Tennsalt

Tennklorur

SnCl2 + 2H2O

Toluen

Metylbensen, toluol

C6H5CH3

Tri

Trikloretylen

C2HCl3

Tvål

Natriumsalter av fettsyror

Vattenglas

Natriumsilikat, ev. kaliumsilikat

Varierande

Vitriol, blå

Kopparsulfat

CuSO4 + 5H2O

” grön

Ferrosulfat eller järnsulfat

FeSO4 + 7H2O

Xylen, xylol

Dimetylbensol

C6H4(CH3)2

Zinksmör

Zinkklorid

ZnCl2

Zinkvitt

Zinkoxid

ZnO

Ärg

Koppar(II)hydroxidkarbonat eller -sulfat

Varierande

Ättika

Ättiksyra

C2H4O2

109

5. Materiallära

5.7. Metallografiska grundbegrepp Det här avsnittet handlar om tillståndsdiagrammet för järn-kol, strukturbeståndsdelarna i stål och hur du kan värmebehandla stål och gjutjärn.

5.7.1. Tillståndsdiagram för järn-kol De flesta järnlegeringar (stål) innehåller kol, så tillståndsdiagrammet för järn-kol är det viktigaste. Se fig. 5.1.

Järnet uppträder i tre modifikationer: alfa, gamma och delta. Av dessa har alfajärnet och deltajärnet samma atomanordning. I själva verket är det samma struktur. Alfajärnet omvandlas till gammajärn vid 910 °C, och gammajärn till deltajärn vid 1 400 °C. Alfajärnet är magnetiskt upp till 768 °C, och dess struktur benämns ferrit, gammajärnets austenit samt deltajärnets delta-ferrit. (Vid rumstemperatur förekommer austenit endast i vissa höglegerade stål.)

Vid tillsats av kol kommer omvandlingstemperaturen att ändras i enlighet med tillståndsdiagrammet (fig. 5.1). Med kol bildar järnet en karbid, Fe3C, med 6,67 % C. De heldragna linjerna utgör fasgränserna för systemet järn-järnkarbid och kan tillämpas för stål och vitjärn. De streckade linjerna är fasgränserna för systemet järn-grafit och kan til�lämpas för gråjärn och segjärn. De strukturer som uppträder mellan de olika gränserna framgår av diagrammet.

1 600

0

2,5

5,0

7,5

Kolhalt i atomprocent 12,5 15,0 17,5

10,0

20,0

22,5

25,0

_D'

A smälta + δ-järn 1536°C B 1493°C 1500 Η I δ -järn 1 400 1392°C N δ -järn + austenit 1 300

Fe3C (cementit)

smälta

D smälta + austenit smälta + cementit

1 200

E'

γ-järn + (austenit)

1 100

CI

1153°C 1147°C

E

austenit + ledeburit

1 000 911°C G 900

cementit + ledeburit

austenit + ferrit

+ 600 ferrit perlit

perlit

800 769°C O M S' α -järn P' (ferrit)700 P S

500 O

0

F' F

C ledeburit

Temperatur i °C

110

austenit + cementit

K

723°C cementit + perlit

1

10

K'

738°C

2

20

3 4 Kolhalt i viktprocent

30

40

50

60

5

70

80

Cementithalt i viktprocent

Figur 5.1. Tillståndsdiagram för järn-kol.

Heldragna linjer = metastabila systemet järn-cementit Långstreckade linjer = stabila systemet järn-grafit (Osäkert parti av metastabila faser har betecknats med kortstreckade linjer)

6

L

90

100

7

5.7. Metallografiska grundbegrepp

5.7.2. Stålets strukturbeståndsdelar Ferrit (fig. 5.2). Alfajärn. Utgör grundmassan i kolstål med låg kolhalt oberoende av glödgnings­ tillståndet och i de flesta glödgade stål med högre kolhalt. Hårdheten ligger omkring HV 60–70 hos rent järn, men ökar något då andra ämnen är lösta i stålet.

Cementit. Järnkarbid med 6,67 % C. Förekommer utskild i ferriten som korn eller lameller.

Hårdheten ligger något över HV 1 000.

Austenit (fig. 5.3). Gammajärn. Finns vid rumstemperatur i härdade stål i mindre mängd och kan lösa upp till 2 % C vid 1 150 °C. Förekommer även i stål med höga halter av Mn eller Ni. Hårdheten beror av legeringshalten och ligger vid HV 200–400.

Perlit utgörs av lameller av cementit i ferrit, fig. 5.4. Aggregatets hårdhet beror på hur fin­ lamellärt det är och kan variera mellan cirka HV 170 och HV 370, beroende på svalnings­hastig­ heten och vid vilken temperatur som omvandlingen har skett. Genom lämplig glödgnings­ temperatur, omkring 700 °C, kan den lamellära perliten omformas till så kallad kornig perlit, fig. 5.5, och då får vi en hårdhet mellan cirka HV 150 och HV 200 hos stål med kolhalter över cirka 0,50 %. Strukturen har betydelse vid skärande bearbetning.

Ledeburit. Eutektisk blandning av cementit och perlit i ungefärliga förhållandet 1,5:1. HV omkring 700. Förekommer i vitt tackjärn. Se fig. 5.6.

Bainit. Aggregat av ferrit och karbid i mycket fin fördelning. Bildas vid temperaturer från 500 °C och ned till martensitomvandlingen, vid isoterm omvandling och, i lågkolhaltiga stål, även vid kontinuerlig omvandling. Hårdheten beror av dels vid vilken temperatur omvandlingen sker och dels av kol- och legeringshalten. Vi får hårdheter upp till HRC 60 (ca HV 700) efter omvandling strax över martensitpunkten Ms hos stål med höga kolhalter och vid tunna dimen­sioner.

Ms är den temperatur vid vilken martensitbildningen vid en viss kolhalt börjar.

Martensit. Fast lösning av kol i deformerat alfajärnsgitter. Martensiten utskiljs skivformigt i austeniten och ser nålformig eller lansettliknande ut i ett tvärsnitt efter etsning. Se fig. 5.7.

Strukturen kan hålla en del restaustenit mellan martensitlamellerna. Hårdheten stiger med ökad kolhalt, som visas i fig. 5.8. Andra legeringsämnen inverkar obetydligt på hårdheten.

Anlöpt martensit. Lösningen av karbid i ferrit kvarstår från martensiten när den återupphettas (anlöps) till en temperatur under 700 °C. Den anlöpta martensiten består då av ferrit och fin karbid. Karbidkornen tilltar i storlek och avtar i antal med ökad temperatur. Vid stål som är legerade med Cr, W, Mo och V bildas alltid först cementit vid 200–450 °C, som vid högre temperatur övergår till legerade karbider. Anlöpningstemperaturens inverkan på hårdheten hos härdat stål med 1 % C och 0,45 % C vid 1 h anlöpning framgår av fig. 5.9. Hårdheten varierar från full martensithårdhet till hårdheten för kornig perlit.

111

112

5. Materiallära

Figur 5.2. Ferrit.

Figur 5.4. Perlit.

Figur 5.6. Ledeburit.

Figur 5.3. Austenit.

Figur 5.5. Sfäroidiserad cementit (kor-

nig perlit).

Figur 5.7. Martensit.

5.7. Metallografiska grundbegrepp

1 000 68 900

66 64

800

Hårdhet HV

700

Härdat Martensit

600

55 50

500

45

50%

40

400 Normaliserat Perlit

300

Hårdhet HRC

62 60

99,9%

35 25 15

200

Figur 5.8. Sambandet mellan kolhalt och hårdhet hos kolstål i härdat, normaliserat och glödgat tillstånd.

Mjukglödgat Sfäroidiserad karbid

100

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

Kolhalt C %

70

C ≈ 1,0 % Mn ≈ 0,6 %

Hårdhet HRC

50

Figur 5.9. Sambandet mel-

lan hårdhet och anlöpningstemperatur hos kolstål med något förhöjd manganhalt.

Anlöpningstid 1 h.

40

C ≈ 0,45 % Mn ≈ 0,6 %

500 400

30

300

Hårdhet HV

60

900 800 700 600

20 200 10

100

200

300

400

500

600

Anlöpningstemperatur °C

5.7.3. Värmebehandling av stål och gjutjärn (Se avsnitt 5.15 för information om ugnar för värmebehandling.)

Normalisering är en glödgning som man för stål gör vid en temperatur strax över A3 respekt­ ive Acm i fig. 5.10. Efteråt får ämnet svalna i luft. Den används i regel för kolstål och låglegerade stål och ger en finkornig blandning av ferrit och lamellär perlit. Den finkorniga strukturen ger mera homogena hållfasthetsegenskaper och segheten blir bättre.

Normalisering ersätts numera ofta av normaliserande valsning, och då slutvalsar man inom ett temperaturområde där resultatet blir ett materialtillstånd som motsvarar det som man får efter ugnsnormalisering.

113

K arlebo

h a n d b o k har varit verkstadsfolkets bibel sedan 1936.

Idag riktar sig boken till tekniker på alla nivåer, från skolelev till civil­ ingenjör. Den tjänar som lärobok och uppslagsverk med särskilt fokus på produktion och dess förutsättningar.

Boken ger en bra och lättillgänglig kunskap i ämnen som en ingenjör bör kunna – allt från matematik till miljöfrågor, fysikaliska begrepp, värmeteknik, hållfasthetslära, ellära, material med mera. Den ger också stöd till annan ämneslitteratur och för att friska upp minnet av tidigare kunskaper. Om boken används som handbok hittar du här det mesta från gamla måttenheter till materialtabeller och senaste standard inom olika områden.

Den 16:e upplagan är kraftigt omarbetad och utvidgad. Nya områden har tillkommit och all text och bild är granskad och uppdaterad. Avsnitt om exempelvis material, maskinelement, tribologi, produktionssystem, arbetsmätning, simulering och limning är nyskrivna. Helt nya avsnitt har införts om verktygsmaskiner, NC-teknik, industrirobotar, under­ håll, kommunikation och information, mekatronik, elbilar, batterier och miljöteknik. Tabeller och hänvisningar till standarder är uppdaterade.

Redaktionskommittén har bestått av tekn. lic. Stefan Björklund, tekn. dr Göran Gustafsson, civilingenjör Lennart Hågeryd och docent Bengt Rundqvist. Den har gjort merparten av arbetet med den nya upp­ lagan och har haft ansvaret för innehållet, men flera nya medförfattare och granskare har medverkat. Många av landets främsta experter inom sina områden medverkar. Redaktionskommittén har också i samverkan med förlaget förnyat och moderniserat språket.

Karlebo-serien består av kvalificerade tekniska handböcker som blivit ett begrepp inom svensk industri och utbildning. Böckerna produceras i samarbete med ledande svenska experter. I Karlebo-serien ingår även

Karlebo materiallära och Karlebo svetshandbok.

Best.nr 47-11500-6 Tryck.nr 47-11500-6