y 6
1
5 4
3
3 2 1
Exponent svart för yrkesprogrammen (kurserna 1a, 2a) Exponent gul för EK, ES, HU och SA (kurserna 1b, 2b, 3b) Exponent röd för NA och TE (kurserna 1c, 2c, 3c, 4c, 5c) Till de olika böckerna finns även en webb för eleverna som innehåller teorigenomgångar, interaktiva laborationer, självrättande tester och prov m.m. Gå gärna in på www.laromedelswebbar.se och prova en demo.
–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
1c
Exponent 1c är ett läromedel i matematik för gymnasieskolans program NA och TE. Exponent finns för alla kurser och för alla program i gymnasieskolan.
2
3
–2 –3 –4 –5 –6
Till Exponent finns även ett rikt material till läraren på en lärarwebb. Här finns extra uppgifter, prov, laborationsförslag och annat kompletterande material. Exponent tas fram i samarbete med lärare och elever. Du kan följa utvecklingen av detta arbete genom att gå in på www.gleerups.se/labexponent
,
1c Författare till Exponent 1b är Susanne Gennow, Ing-Mari Gustafsson och Bo Silborn. Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av undervisning i matematik på gymnasienivå.
1
2
4
5
6
x
2
Algebra
Algebra i olika sammanhang,
. Repetition av grundläggande begrepp 1
Taluppfattning
Uttryck och formler, Ekvationer,
Tal i olika sammanhang,
. Algebraiska uttryck
. Repetition av grundläggande begrepp
. Linjära ekvationer och olikheter
Formulera uttryck och formler,
De fyra räknesätten, Heltal, Rationella tal, Reella tal,
Linjära ekvationer, Lösa ut variabler ur formler, Linjära olikheter,
. Heltal
Kvadratrötter och andragradsekvation, Kubikrötter och tredjegradsekvation, Potensekvation,
Talföljd, Primtal och delbarhet, Delbarhetsregler, Problemlösning,
. Rationella tal Stam- och kedjebråk , Bråkform och decimalform,
. Reella tal Potensform, Räkneregler för potenser med heltalsexponenter, Potens med rationell exponent, Kvadratroten ur en produkt eller kvot, Storheter, mätetal, enheter och gällande siffror,
. Talsystem Romerska tal, Det decimala talsystemet, Babyloniska tal, Binära talsystemet, Andra baser,
. Potensekvationer
3
Geometri
Geometri i olika sammanhang,
. Repetition av grundläggande begrepp Omkrets och area, Fyrhörningar och trianglar, Andra månghörningar, Pythagoras sats, Cirkeln, Volymenheter, Formler för volym, Prismor, Pyramid, kon och klot, Vinklar och sträckor, Likformighet, Koordinatsystemet,
. Trigonometri Trigonometriska samband för en spetsig vinkel, Trigonometriska värden på räknaren eller datorprogram, Sidor och vinklar i en rätvinklig triangel,
. Vektorer Vad är en vektor?, Beräkningar med vektorer, Koordinater och komposanter för vektorer, Räknelagar,
. Argumentation, definition, axiom, sats och bevis Definition, axiom, sats och bevis, Implikation och ekvivalens, 4
Procent
Procenträkning i olika sammanhang,
. Repetition och grundläggande procenträkning Procent-, bråk- och decimalform, Andelen, delen och hela mängden, Procentenheter,
. Förändringsfaktor – procentuell förändring Upprepad förändring,
. Index Konsumentprisindex,
. Lån Avbetalningsköp och krediter, Lån, räntor och amorteringar, Effektiv ränta,
. Naturvetenskapliga tillämpningar Radioaktivt sönderfall, Tillväxter, 5
Funktioner
Funktioner i olika sammanhang,
. Repetition Koordinataxlarnas gradering och avläsning i en graf,
. Egenskaper hos olika typer av funktioner Linjära funktioner, Potensfunktioner, Grafisk lösning av linjära ekvationer, olikheter och potensekvationer, Exponentialfunktioner,
Sannolikhetslära och statistik 6
Sannolikhetsberäkningar inom olika ämnesområden,
. Begrepp och enkla slumpförsök . Relativa frekvenser Spelet ”Kasta gris”, Simulering av försök med räknaren, Simulering av försök med dator,
. Försök i flera steg Försök i två steg med likformig sannolikhetsfördelning, Betydelsen av orden och respektive eller, Träddiagram, Komplementhändelse, Försök i många steg, Mer om multiplikationsprincipen och riskbedömningar,
. Beroende händelser och betingad sannolikhet . Statistik Statistik i samhället, Statistik inom vetenskap,
Tips Lösningar Facit
. Vad är en funktion? Olika sätt att beskriva funktioner, Mer om definitionsmängd och värdemängd ,
1
Taluppfattning
;
Centralt innehåll Egenskaper hos heltal Olika talbaser Primtal och delbarhet Reella tal på olika former Strategier för problemlösning
Tal i olika sammanhang Dagligen möts vi av tal i olika sammanhang, t.ex. i tider, priser, börskurser och i statistik i massmedia. Det gäller att kunna tolka och förstå den information som talen ger och kunna göra egna beräkningar och jämförelser. Feltolkningar och felberäkningar kan ge problem. Man kan t.ex. tycka att en nolla inte betyder något, men nollor i slutet av tal har stor betydelse. Att räkna fel på en nolla i ekonomiska sammanhang, eller vid dosering av medicin, kan få stora konsekvenser. Tal i olika former har funnits under lång tid i olika kulturer – i de äldre babyloniska, indiska, egyptiska och kinesiska kulturerna, för att nämna några. Längre fram i detta kapitel kommer du att få bekanta dig med babylonska och romerska tal, samt tal i det binära talsystemet.
Dina första uppgifter 1. Varje heltal från 1 till och med 20 skrivs på tavlan. En elev suddar ut två av talen och skriver istället deras summa minskad med 1. Därefter suddar en annan elev ut två tal och skriver istället deras summa minskad med 1 osv. Eleverna fortsätter tills det bara finns ett tal kvar på tavlan. Vilket tal är det? 2. I rutnätet är de nio positiva heltalen a, b, c, d, e, f, g, h och k inskrivna a
b
c
d
e
f
g
h
k
Lertavla med kilskrift från det antika Babylon.
öljande gäller för radernas och kolumnernas produkter: a · b · c = 108, d · e · f = 105, g · h · k = 240, a · d · g = 144, b · e · h = 63, c · f · k = 300. Bestäm det minsta värdet som produkten a · e · k kan ha. ;
A ER ET EP R
. Repetition av grundläggande begrepp Från grundskolan förväntas du kunna använda de fyra räknesätten addition, subtraktion, multiplikation och division vid beräkningar med tal skrivna i olika former. Du förväntas också kunna utföra beräkningar med hjälp av huvudräkning, överslagsräkning, skriftliga metoder samt med räknare. Här följer en kort repetition av taluppfattning och användningen av tal. Det kan vara lämpligt att testa dina kunskaper från grundskolan i det här avsnittet innan du går vidare till nya områden. Studera teorigenomgångarna och exemplen och gör sedan övningarna!
De fyra räknesätten
Teorigenomgång
För de fyra räknesätten gäller: Addition 4+3=7 term
summa
Subtraktion 4–3=1 term
Multiplikation 3 · 4 = 12
differens
Många beräkningar innehåller flera räknesätt. Det är därför viktigt att veta i vilken ordning beräkningarna ska utföras.
Prioriteringsreglerna Beräkna a) 11 + 13 · 5
b) (11 + 13) · 5
faktor
produkt
Division täljare nämnare
12 =3 4
kvot
Beräkningar ska utföras i följande ordning: 1. innehållet i parenteser 2. multiplikation och division 3. addition och subtraktion
c) 10 – 25 + 11 4
: a) 11 + 13 · 5 = 11 + 65 = 76
Multiplikationen utförs före additionen.
b) (11 + 13) · 5 = 24 · 5 = 120
Parentesen beräknas före multiplikationen.
c) 10 –
25 + 11 36 = 10 – = 10 – 9 = 1 4 4
: a) 76
;
b) 120
Bråkstreck i ett numeriskt uttryck fungerar som en parentes, alltså 25 och 11 ska adderas innan summan divideras med 4.
c) 1
R EP ET ER A
Heltal 1, 2, 3, 4 … kallas de positiva heltalen. Låt oss markera dem på en tallinje. De positiva heltalen och talet 0 är tillsammans de naturliga talen (N). 0 1 2 3 4
Om ett tal är större än ett annat tal befinner sig det större talet till höger om det andra talet på tallinjen. 4 är större än 1 och ligger alltså till höger om 1 på tallinjen. Det kan även skrivas med olikhetstecken: 4 > 1. Om ett tal är mindre än ett annat tal så befinner sig det mindre talet till vänster om det andra talet på tallinjen. 3 är mindre än 61, vilket kan skrivas 3 < 61. Till vänster om talet 0 finns de negativa heltalen, –1, –2, –3, –4, … De negativa heltalen är de motsatta talen till de positiva heltalen. T.ex. är –2 det motsatta talet till 2. Vi markerar även dem på tallinjen. De negativa heltalen och de naturliga talen är tillsammans de hela talen (Z). –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
Addition och subtraktion med positiva och negativa tal Beräkna a) 5 + 7
b) 5 + (–7)
c) –7 + 5
d) 5 – (–7)
e) –7 + (–5)
f) –5 – (–7)
: a) 5 + 7 = 12 b) 5 + (–7) = 5 – 7 = –2
Addition med ett negativt tal blir en subtraktion.
c) –7 + 5 = –2 d) 5 – (–7) = 5 + 7 = 12
Subtraktion med ett negativt tal blir en addition.
e) –7 + (–5) = –7 – 5 = –12
Addition med ett negativt tal blir en subtraktion.
f) –5 – (–7) = –5 + 7 = 2
Subtraktion med ett negativt tal blir en addition.
: a) 12
b) –2
c) –2
d) 12
e) –12
f) 2
;
A ER ET EP R
Multiplikation med negativa tal Beräkna a) 5 · 15
b) –5 · 15
c) 5 · (–15)
d) (–5) · (–15)
: a) 5 · 15 = 75 b) –5 · 15 = –75
Multiplikation av en negativ och en positiv faktor ger en negativ produkt.
c) 5 · (–15) = –75
Multiplikation av en positiv och en negativ faktor ger en negativ produkt.
d) (–5) · (–15) = 75
Multiplikation av två negativa faktorer ger en positiv produkt.
: a) 75
b) –75
c) –75
d) 75
Division med negativa tal Beräkna a)
81 3
b)
81 –3
c)
–81 3
d)
–81 –3
: a)
81 = 27 3
d)
–81 = 27 –3
b)
81 = –27 –3
c)
–81 = –27 3
Täljare och nämnare med olika tecken ger en negativ kvot.
Täljare och nämnare med lika tecken ger en positiv kvot.
: a) 27
b) –27
c) –27
d) 27
Produkter och kvoter med negativa tal Beräkna a) –5 · (–3) · 6 · (–1)
b) −3 ·
4 · (–10) −1
: a) –5 · (–3) · 6 · (–1) = 15 · 6 · ( –1) = 90 · (–1) = –90 b) –3 ·
4 · (–10) –40 = –3 · = –3 · 40 = –120 −1 –1
: a) –90
;
b) –120
Ett udda antal negativa faktorer ger en negativ produkt.
Täljare och nämnare med lika tecken ger en positiv kvot. Två faktorer med olika tecken ger en negativ produkt.
R EP
Regel
Exempel
–a a =– b b
–18 18 =– = –6 3 3
a a =– –b b
18 18 =– = –6 –3 3
–a a = –b b
–18 18 = =6 –3 3
2 · (–7) = –14 (–2) · 7 = –14 (–2) · (–7) = 14
Beräkna utan räknare a) 4 · 5 − 3 · 4 b) 4 − 3 + 2 · (–4) 42 c) 8 · 5 – d) 9 · (5 − 8) + 11 · (–3) 7 6 − 3 ⋅11 15 e) 10 − f) 20 − ⋅ (2 − 14) 9 3 144 = −24. Bestäm 1002 − 6 −144 144 b) a) −6 −6 −14400 288 c) d) 6 12 1001
Sätt ut rätt tecken mellan talen, < eller > eller = a) 4 och 8 b) –4 och –8 c) 0 och –0,02 d) –2,3 och –2,29 1 e) –2 · 7 och 7 · (–2) f) och 0,3 3 1004 Beräkna utan räknare 9 · 8 · 4 a) 25 – 7–3 5 · 6 – 39 b) 5(4 + 7)– 3
Talet n är produkten 180 · 50. n⋅ 825 Bestäm 825 ⋅180 1008 Termerna i en summa är sex och nio. Summan multipliceras med differensen av fem och åtta. Beräkna produkten. 1007
1009
Summan av termerna 120 och 40 divideras med differensen av samma termer. Bestäm kvoten.
1010
Maria tittar på sitt kontoutdrag som hon fått från banken. Överst står den överförda summan på 18 750 kr från det förra kontoutdraget. Därunder följer en löneinsättning på 19 526 kr, ett uttag på 5 000 kr och räkningar betalade via Internet på totalt 8 626 kr. Beräkna saldot (behållningen på kontot).
1011
Alex satt på tåget hem från skolan och lade märke till hur många som steg av och på. Tåget startade i Malmö. Vid nästa hållplats, i Burlöv, steg tre av och två gick på. Åkarp var nästa hållplats och där steg fem av och sex gick på. I Hjärup steg Alex och elva andra av, tre steg på. Det var då 24 personer som fortsatte till Lund. Hur många satt på tåget när det lämnade Malmö?
1003
1005
Beräkna utan räknare a) 5 · (–12) − 11 · (–4) b)
1 2 3 5 6
−3 · (–15) 9 · (–5)
c) 12 –
−27 ⋅ (−5) −9
1006
Den romerske kejsaren Augustus föddes 63 f. Kr och dog 14 e.Kr. Hur gammal blev kejsare Augustus om vi vet att år 0 saknas i kalendern?
A
a · (–b) = –ab (–a) · b = –ab (–a) · (–b) = ab
ER
ET
1 2
;
A ER ET EP R
REFLEKTERA OCH DISKUTERA 1.0
1
Avgör för varje påstående om det är sant eller falskt eller sant om (sant under vissa förutsättningar). Motivera svaren med ord eller beräkningar där det är möjligt. 1 När man multiplicerar två tal är produkten större än varje faktor. 2 Produkten av två tal är ett heltal. 3 Summan av två tal är större än skillnaden. 4
Att addera ett negativt tal är det samma som att subtrahera ett positivt tal.
Svar med motiveringar finns på lärarwebben.
Alla bokstäver representerar olika positiva heltal. Om S = 5, A = 9 och X = 4 så är SAX = 180. Bestäm värdet på ELIT om TITEL = 66 och TULL = 28.
;
1 2 3 5 6
5 6
. Heltal De första talsystemen som människan använde innehöll endast positiva heltal. Ca 1900 f.Kr. började babylonierna markera en tom plats i positionssystemet för att beteckna noll. Siffran noll anses vara en uppfinning av indierna från 500-talet e.Kr. och beskrivs i ett verk av astronomen och matematikern al-Khwarizmi, 825 e.Kr. Det indiska namnet för noll var sunuya (tomrum) som översattes till latin med zephirium vilket gett ordet siffra till svenskan och zero till engelskan. Babylonierna och egyptierna kände inte till de negativa talen. Det var först på 600-talet e.Kr som indiska matematiker införde dessa. I Kina använde man två uppsättningar stickor för att representera tal, röda för positiva och svarta för negativa.
Kineserna hade miniräknare redan för 2000 år sedan.
Även sedan de negativa talen införts var det många som undrade om de verkligen existerade eftersom ”ingenting kunde vara mindre än ingenting”. Man betraktade nämligen noll som ingenting.
Heltalen kan vi dela upp i flera olika delmängder. Man kan prata om positiva och negativa heltal, men också om jämna och udda heltal. Jämna tal är tal som är delbara med 2, de kan vi allmänt skriva som 2 · k, där k är ett heltal. Udda tal är inte delbara med 2, vilket kan skrivas som 2 · k + 1. De fem första jämna icke-negativa heltalen är 0, 2, 4, 6 och 8. De fem första udda positiva heltalen är 1, 3, 5, 7 och 9. Jämna tal skrivs 2k, och udda tal skrivs 2k + 1, k heltal.
Du har säkerligen märkt att om du adderar två jämna tal får du en jämn summa. Samma sak om du adderar två udda tal. Adderar du ett jämnt och udda tal får du en udda summa.
;
Teorigenomgång
Talföljd
Vi kan också betrakta heltalen som en talföljd där differensen mellan varje tal är konstant, i detta fall är differensen 1. En talföljd med konstant differens kallas en aritmetisk talföljd. De jämna talen och de udda talen bildar varsin aritmetisk talföljd där differensen är 2. Talföljden 2, 6, 10, 14, … är exempel på en aritmetisk talföljd med differensen 4. Om vi låter a vara det första talet och d differensen så kan vi beteckna talen på följande sätt: a, a + d, a + 2d, a + 3d, … Talet på plats nr k i följden kan allmänt skrivas som a + (k – 1) · d.
Aritmetisk talföljd I en aritmetisk talföljd är första talet 1. Differensen mellan varje tal är 5. Skriv upp de fem första talen.
En aritmetisk talföljd är en följd av tal där differensen d mellan två på varandra följande godtyckligt valda tal alltid är lika stor. Talen kan betecknas a, a + d, a + 2d, a + 3d, … Tal nummer k i talföljden kan skrivas a + (k – 1) · d
: De fem första talen blir 1 , 6, 11, 16 och 21.
Bestäm första talet och differensen 4, 7 och 10 är andra, tredje och fjärde talet i en aritmetisk talföljd. Bestäm a) differensen b) första talet c) tionde talet : a) 7 – 4 = 3, 10 – 7 = 3, alltså är differensen 3 b) Första talet är 4 – 3 = 1 c) Tionde talet är 1 + (10 – 1) · 3 = 1 + 9 · 3 = 1 + 27 = 28 : a) 3
b) 1
c) 28
Bildar vi successiva summor av de positiva heltalen får vi tal som brukar benämnas triangeltal. Eftersom heltalen är summor av ett antal ettor kan vi tydliggöra denna benämning med en figur. Följande figur visar de fem första heltalen och deras successiva summor. Om vi kopierar figuren, roterar den ett halvt varv och lägger de två figurerna bredvid varandra får vi en rektangel med basen 6 och höjden 5. Rektangelns area 5 · 6 = 30 är dubbla summan av de fem första positiva 5 · 6 = 15 . Detta kan vi generalisera heltalen. Summan av dessa är 2 n (n + 1) till summan av de n första positiva heltalen, 1 + 2 + 3 + …+ (n – 1) + n = . 2
;
1 3=1+2 6=1+2+3 10 = 1 + 2 + 3 + 4 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
Det här var ett geometriskt bevis, men vi kan även göra ett direkt bevis. Vi skriver summan två gånger under varandra men andra gången skriver vi den i omvänd ordning, dvs. som n + (n – 1) + … + 3 + 2 + 1. Vi summerar termerna som står rakt över varandra. Det ger 1
+
n
2
+
3
+
...
+ (n –1) +
...
+
3
(n + 1) + (n + 1) +
...
+
...
+ (n –1) +
n
+
1
2
+
+ (n + 1) + (n + 1)
Nu har vi den dubbla summan, alltså är 1 + 2 + 3 + …+ (n – 1) + n =
Summan av de n första positiva heltalen är 1 + 2 + 3 + …+ (n – 1) + n =
=
n(n + 1)
n (n + 1) 2
n (n + 1) 2
Med ord kan vi beskriva summan som antal termer (n) gånger medelvärdet av första och (n + 1) sista termen . Detta gäller för alla aritmetiska summor. 2
Bestämma summa Bestäm summan av de 20 första positiva heltalen. : 20 · (20 + 1) 20 · 21 1 + 2 + 3 + … +19 +20 = = = 10 · 21 = 210 2 2 : Summan är 210.
Aritmetisk summa En aritmetisk följd består av 50 tal. Det första talet är 10 och differensen är –5. Bestäm följdens summa. : Det första talet är 10. Det femtionde talet och sista talet är 10 + 49 · (–5) = 10 – 245 = –235. Medelvärdet av första och sista talet är (10 + (–235))/2 = –225/2. Summan är antalet tal gånger medelvärdet dvs. 50 · (–225/2) = –25 · 225 = –5625 : Summan är –5625.
;
1 2
1047
5 6
1048
1049
1050
1051
1052
1053
Bestäm –99 + 97 − 95 +… + 5 − 3 + 1 genom att para ihop termerna två och två. Vilken är a) summan av b) differensen mellan det minsta tresiffriga jämna heltalet och det minsta tvåsiffriga jämna heltalet? I en kö har du lika många framför dig som bakom dig. Är det ett udda eller jämnt antal personer i kön? Motivera ditt svar. Bestäm summan a) 1 + 2 + 3 + … + 1000 b) 2 + 4 + 6 + … + 1000 c) 5 + 10 + 15 + … + 1000 På hur många olika sätt kan du skriva a) talet 8 som en summa av tre olika ensiffriga tal större än noll? Skriv ut summorna. b) talet 34 som en summa av fem olika ensiffriga tal större än noll? Skriv ut summorna. En aritmetisk följd består av 100 tal. Det första är 17 och differensen är −2. Bestäm a) de fem första talen b) det hundrade talet c) följdens summa. Beräkna summan 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − …−2010 + 2011
;
1054
Bestäm differensen mellan summan av de 1000 första jämna positiva heltalen och summan av de 1000 första udda positiva heltalen.
1055
En aritmetisk talföljd består av 26 tal. Det första talet är 30 och det tredje är 10. Bestäm följdens summa.
1056
De första fyra talen i en konstant växande talföljd är 103, 117, 131 och 145. Bestäm summan av de 47 första talen.
1057
I en aritmetisk talföljd är det femte talet 21 och det åttonde talet 3. Bestäm a) talföljdens första tal. b) summan av de sexton första talen.
1058
I talföljden som börjar 2, 3, 5, 10… är varje tal efter det andra talet, summan av de föregående talen. Vilket är det tionde talet i talföljden?
1059
Visa generellt att summan av L T a) två jämna tal är jämn b) två udda tal är jämn
De tre första talen i en följd är
5 6
1 1 1 , och . 4 3 2
1 1 1 – + 2 3 4 Varje följande tal beräknas genom att man tar det närmaste föregående talet, subtraherar det tal som var före det talet och därefter adderar talet som var ännu ett tal före. Bestäm det tusende talet i följden. Det fjärde talet är
1 2 3
1 2 3 5 6
Teorigenomgång
Primtal och delbarhet
Alla heltal kan skrivas som en produkt av 1 och sig själv. Många heltal kan även faktoriseras på andra sätt. Talet 12 kan faktoriseras som 1 · 12 = 2 · 6 = 4 · 3. Talen 1, 2, 3, 4, 6 och 12 är alla delare i talet 12. Talen 1 och 12 kallas triviala delare medan talen 2, 3, 4, 6 och 12 kallas äkta delare. Dividerar man 12 med dessa tal blir kvoten ett heltal. Vi kan även säga att 12 är en multipel av 2, av 3, av 4 och av 6. Däremot kan talet 17 endast faktoriseras som 1 · 17. Delarna i talet 17 är 1 och 17. Ett naturligt tal större än 1 som bara har 1 och sig själv som delare kallas för ett primtal.
Bestämma delarna i ett heltal Bestäm samtliga delare till talet 30.
Heltalet p > 1 är ett primtal om det endast kan faktoriseras som p = 1 · p. Ett primtal p har bara de triviala delarna 1 och p.
: Vi har alltid de triviala delarna 1 och 30, men vi kan även faktorisera 30 som 2 · 15 = 3 · 10 = 5 · 6. : Delarna är 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 och 30.
Alla positiva heltal, som inte är primtal kan skrivas som en produkt av två eller flera primtal, primtalsfaktorisering. Talet 12 kan primtalsfaktoriseras som 12 = 2 · 2 · 3.
Primtalsfaktorisering Dela upp talet 56 i primtalsfaktorer : Vi vet att 56 = 7 · 8. 7 är ett primtal. 8 är ett jämnt tal och det kan alltid delas med 2. Det ger 8 = 2 · 4 = 2 · 2 · 2. Alltså är 56 = 2 · 2 · 2 · 7 : 56 = 2 · 2 · 2 · 7
Bestämma multipel Bestäm det minsta tal som är en multipel av 6, 8 och 9. : Det tal vi söker ska vara delbart med 6, med 8 och med 9. Vi primtalsfaktoriserar de tre talen. 6 = 2 · 3, 8 = 2 · 2 · 2 och 9 = 3 · 3. Det sökta talet måste då ha tre tvåor och två treor som faktorer. Talet är 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72 : Den minsta gemensamma multipeln (MGM) är 72.
;
En korrekt beräkning med en hemlig bas ses nedan. Observera att även svaret är skrivet med den hemliga basen. Bestäm basen. 351 + 35 = 430
1 2 3 5 6
REFLEKTERA OCH DISKUTERA 1.4 Avgör för varje påstående om det är sant eller falskt eller sant om (sant under vissa förutsättningar). Motivera svaren med ord eller beräkningar där det är möjligt. 1 Ett tal kan alltid skrivas som en summa av 10-potenser. 2 I basen 2 kan man bara skriva heltal. 3 I babyloniska talsystemet betyder 4
3600.
För att skriva tal i basen b behövs b stycken olika tecken. Svar med motiveringar finns på lärarwebben.
;
1
5 6
TESTER 1.1
1
Bestäm samtliga delare till 36.
2
Primtalsfaktorisera a) 128 b) 180
c) 2012
3
a) Bestäm alla tal mellan 100 och 200 vars enda primtalsfaktorer är 2 och 3. b) Hur många delare har en produkt av tre primtal?
4
I en aritmetisk talföljd är de tre första talen, 100, 96 och 92. a) Bestäm de tre följande talen. b) Bestäm summan av de 100 första talen.
5
Bestäm SGD och MGM till 150 och 800.
6
I en lång trappa finns 10 lampor utplacerade. Det tar 5 sekunder att gå från den första lampan till den andra, 6 sekunder att gå från den andra lampan till den tredje osv., där tiden för att gå mellan två på varandra följande lampor hela tiden ökar med 1 sekund. Hur lång tid tar det att gå från den första lampan till den sista?
7
På julmarknaden säljs strutar med brända mandlar, polkagrisar och chokladkolor. En strut med mandlar kostar 20 kr, en med polkagrisar kostar 30 kr och en med chokladkolor 40 kr. Mormor Greta handlar en strut var till sina barnbarn. Hon betalar med en 100-lapp och får en tia tillbaka. Vilka strutar kan finnas i hennes kasse?
8
Siffrorna i det femsiffriga talet N är antingen 1, 2 eller 3 och det finns minst en av varje i talet. N är delbar med 2 och 3 men inte med 4. Bestäm talet N.
;
TESTER 1.2
1
Beräkna 1 1 1 1 a) + + + 2 3 5 7
b)
1 1 1 1 ⋅ + ⋅ 2 3 5 7
c)
1 1+1 1 2 3 5 7
Skriv som en summa av stambråk 7 7 10 a) b) c) 8 12 13 2012 3 Skriv som kedjebråk. 2002 1 4 Beräkna 1 + 1 2+ 3+ 1 4+ 1 5 5 Bestäm perioden i decimalutvecklingarna c) 0, 0244 a) 1,0717171… b) 1, 07 2
6
Vilket rationellt tal har den periodiska decimalutvecklingen c) 0, 0244 a) 1,0717171… b) 1, 07
7
Skriv om följande tal till decimalform genom att förlänga täljare och nämnare. 5 13 99 b) c) a) 16 40 1600
8
Uttryck differensen mellan 0, 36 och 0,36 som ett rationellt tal förkortat så långt det går.
1.3
1
2
Förenkla utan att använda räknare. Svara i potensform. 38 1 1 25 ⋅ 2 4 b4 a) 73 · 72 c) (32 )3 d) 7 b) 3 6 e) 5 · 5 2 · 5 3 2 ⋅2 b
f) ( 34 ) · 3 4
Beräkna utan att använda räknare. 10 −4 a) (–4)2 b) –42 c) −6 10
125 3 f) 27
;
1 2
d) 144
1 5
e) 1024
1 3
( )
( ) 1
1
3
TESTER 3
4
Beräkna utan att använda räknare. 4 26 + 23 26 ⋅ 23 23 b) 2 c) (23 )4 a) 2
d)
Beräkna a) 50000 · 1,0152
c) 1,1047
b) 1500 · 0,955
49 81
3, 6 · 10–15
e)
d) 5,6 0,2
f)
2 · 32
e) 1,06 1,1
5
Bestäm (–3)–2 + (–2)–1 + (–1)0 + 12 + 23 + 34
6
Skriv 185 000 g med enheten kg och så att det framgår att närmevärdet har fyra gällande siffror.
7
Skriv 27 ⋅ 4 9 ⋅ 3 9 som en potens av 3.
8
a) Hastigheten hos ett flygplan är 930 km/h. Uttryck hastigheten i m/s. b) Vilken medelhastighet i km/h och m/s har en elitskidåkare som kör 30 km på 75 minuter.
1.4
1
2
3
Skriv summan som ett tal a) 2 · 103 + 5 · 10 + 7 · 10–1
b) 3 +
3 33 333 + + 10 100 1000
Tolka följande romerska tal. a) XXXVIII b) CCCLXIV Skriv som romerska tal a) 1 050 b) 1 179
c) MDCLXVI c) 749
d) DCIX
d) 1986
4
Ange antalet sekunder i tiden 17 h 22 min 36 sek med babyloniska kiltecken.
5
Skriv om till tal i det binära talsystemet a) 17 b) 95 c) 789
6
Skriv i basen 10. a) 110012
b) 101100112
d) 1 520 c) 11100012
7
Skriv i basen 10 a) BEE16 b) DEF16 c) 20128 d) 32,114
8
Beräkna 99 + 889 +778 + 667 + 556 + 445 + 334 + 223 + 112
d) 110,0112
;
Blandade övningar
1 2
Den 30/6 2010 var den svenska statsskulden 1 115 miljarder kronor. a) Skriv statsskulden med tiopotenser. b) Skriv statsskulden med lämpligt prefix. c) Hur stor var skulden per invånare om det bodde 9,37 miljoner människor i Sverige vid tidpunkten?
5
Isabellah Andersson (SWE) vann Stockholm Marathon 2010 för kvinnor. Hon kom i mål efter att ha sprungit i 9 095 sekunder. Skriv det på babyloniskt vis.
6
Vilket värde har x i 10 =
1
5 6 7
4
Transsibiriska järnvägen går mellan Moskva och Peking. a) Tåget stannade i Omsk, där 43 passagerare steg av och 77 steg på. När tåget lämnade Omsk fanns det 319 passagerare ombord. Hur många passagerare var det när tåget anlände till Omsk? b) Hela sträckan Moskva–Peking är 7 800 km. En tågresa denna sträcka tar 5 dygn och 10 timmar. Beräkna tågets medelfart i km/h. c) Snabbtåget X2000 kan hålla en medelfart på 200 km/h. Hur lång tid skulle resan ta om man åkte med X 2000? (NP, MaA, ht 00)
2
Förenkla utan räknare. Svara i potensform. 54 a) 29 · 211 · 2–3 b) (33)4 · 3–7 c) −2 5
3
Hur många gällande siffror har a) 1,3 miljarder kronor b) 1 534 W c) 310 mm
;
likheten ska gälla?
103 om 10 x
(NP, MaA vt 05)
7
Bestäm utan räknare värdet av 16 − 25 + 34 − 43 + 52 − 60
8
Ordna följande tal i storleksordning: 1 1 1 1 1 − − − 7 6 5 4 3
9
Bestäm summan av två tiondelar, tre hundradelar och produkten av fyra ental och fem hundradelar.
10
Beräkna värdet av 2 · 104 + 5 · 103.
17
(NP, MaA, ht 99)
11
Ordna i storleksordning: 1 1 1 1 1 1 1 1 + − · 2 4 2 4 2 4 2 4
12
Om linjen här nedanför är 0,2 mm tjock, hur lång i meter behöver linjen vara för att täcka en area av en kvadratmeter?
13
14
15
16
1 1 4 2
T
18
Karl och Gustav skulle avrunda 2,748 till tiondelar. Karl fick 2,7 och Gustav 2,8. a) Vem gjorde rätt? b) Förklara hur det felaktiga svaret kan ha uppstått.
19
Vilka delare har a) (1 · 2) · (3 · 4) b) (1 · 2) + (3 · 4) c) (1 · 2) · (3 + 4) d) (1 + 2) · (3 · 4) e) (1 + 2) · (3 + 4)
20
Motivera utan att använda räknare om följande tal är delbara med något eller några av heltalen 2, 3, 4, 5, 6, 8 eller 9. a) 852 b) 1520 c) 54321 d) 201312
21
Skriv som binära tal. a) 79 b) 394
Beräkna utan räknare a)
3, 6 ⋅105
b)
0, 0121
c)
7 ⋅ 63
d)
169 625
Beräkna a) 2,52,5
b) 7, 0 ⋅ 0, 971,2
c) 0, 25−0,5
d) 0,22 · 0,4–4
I en tidning kunde man läsa följande: ”Klart med skatten för 2,7 miljoner svenskar. Drygt 1,3 miljoner får pengar tillbaka medan 800 000 ska betala in kvarskatt. För övriga har det gått jämnt upp.” a) För hur många svenskar har det gått jämnt upp? b) Om man utgår från att 2,7 är ett avrundat värde, hur många kan det vara egentligen? Beräkna 2 +
1 2+
1
2+ 1 2+ 1 2
x = 0,121212… och y = 0, 45 a) Skriv x och y som rationella tal. b) Skriv x + y som ett rationellt tal. c) Bestäm decimalutvecklingen för x · y. x d) Bestäm decimalutvecklingen för . y
22
Skriv i basen 10 a) 20134 c) BBC16
c) 1 234
b) 56218 d) 1011,1012
23
Skriv 1 100 110 0012 i basen a) 4 b) 8 c) 16 d) 10
24
Beräkna 101012 + 111012. Svara både i basen 2 och basen 10.
25
I följden 2, 3, 5, 10,… är varje tal från och med det tredje summan av samtliga föregående tal. Bestäm det tionde talet i följden. ;
26
Om du vet att produkten av 2 786 och 231 är 643 566, vad blir då kvoten om du dividerar 643 566 med 27,86? Motivera ditt svar utan att använda räknare.
27
Vilket tal ska stå istället för ? om lika heten 100 · a = ska gälla för alla tal a? ?
29
(NP, MaA, ht 00)
28
En radarsignal skickas iväg mot månen. Efter 2,560 s registreras ett eko. Signalen färdas med ljusets hastighet, 3,00 · 108 m/s. Beräkna avståndet till månen.
Adam ska under en fysiklektion bestämma densiteten på en liten kula. Han mäter upp kulans diameter till 4π r 3 1,4 cm. Med hjälp av formeln V = 3 beräknar Adam kulans volym till 1,437 cm3. När han lägger kulan på vågen visar den 11,21 g. Därefter beräknar han kulans densitet genom att dividera massan med volymen, 11,21 g / 1,437 cm3 = = 7,799 g/cm3. Adam visar upp sina beräkningar och svar för läraren. Läraren är inte nöjd med svaret. Varför?
30
31
Bestäm utan räknare hur många nollor som talet 34 · 45 · 56 slutar med. Ordna följande tal i storleksordning om p är ett positivt tal och q är ett negativt tal: p – q q – p p + q –p – q
Talet n är ett negativt heltal. Ordna följande heltal i storleksordning: n + 1 2n –2n 6n + 2 n – 2 1 33 Skriv som summan av två stambråk 6 på fyra olika sätt. 32
Visa utan hjälp av räknare att 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + = 2 6 12 20 30 42 56 72 90 9 T = 10 35 p, q och p − q är alla positiva heltal. Ordna följande tal i storleksordning. q p q2 p2 q 2 , 2 , , , p q p q p 34
70-metersantennen vid the Goldstone Deep Space Communications Complex, i Mojaveöknen i Kalifornien. Antennen används bl.a. till radarobservationer av planeter och månar i vårt solsystem. Lägg märke till ingenjören som klättrar i mitten av bilden.
;
36
Till vilken potens ska man upphöja 44 för att få 22?
1 2 3 5 6 7
37
Bestäm x −x om x = (1 / 4)1/2
38
Den engelske matematikern Isaac Newton föddes 1642. Skriv 1642 a) i utvecklad form b) i basen 2 c) i basen 8 d) med romerska siffror
39
Juan har bilder på ett minneskort. Bilderna är på 6,5 GB tillsammans. Juan, som befinner sig i Malmö behöver få bilderna till en kompis i Skanör. Juans bredband har en hastighet på 1 MB/s. Vilket av nedanstående alternativ går fortast? 1. Överföra bilderna via bredbandet. 2. Cykla med minneskortet hela vägen till Skanör (3,1 mil). Räkna med att 1 GB = 1 000 MB, och att Juan cyklar i genomsnitt 25 km/h.
T
44
Rad 1 2 3 4 5 6 osv
45
Ett tal har åtta delare, 1 och själva talet inräknat. Två av delarna är 21 och 35. Vilket är talet? T
43
För hur många tresiffriga heltal är tiotalssiffran lika med summan av entalssiffran och hundratalssiffran. L
För vilka värden på talet n är produkten
(1 + 12 ) ⋅ (1 + 13 ) ⋅ (1 + 14 )...(1 + n1 )
ett heltal? 46
Beräkna a) 111,102 + 1011,012 b) 101010102 + 1011012 c) 110112 · 1102
47
100101 är ett datum som kan tolkas binärt. Bestäm summan av alla datum under 2010 och 2011 som kan tolkas binärt.
48
Skriv summan 294 + 447 + 4 · 831 i potensform med basen 16. T
49
Beräkna utan räknare differensen mellan 310 · 53 · 73 och 310 · 1225 och skriv den som en produkt av primtal.
40
42
Mönster 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 – – – – – – – – – – – – –
a) Hur stor är summan av alla talen i rad nr 6? b) Hur stor är summan av alla talen i rad nr 100? (NP, MaA, ht 98)
(NP, MaA vt 98)
Den första och den tredje siffran i det femsiffriga talet s6s41 är lika. Bestäm talets siffersumma om talet är delbart med 9. 1 3 41 Talen , a, b och är ordnade i stor2 4 leksordning. Differensen mellan successiva tal är konstant. Bestäm summan av de fyra talen.
Här nedan finns ett mönster av tal.
;
1 2 3 5 6 7
50
Gamla mynt
Förr fanns det många olika mynt i Sverige. Nu har vi bara enkronor, femkronor och tiokronor kvar. Tidigare har det funnits ettöringar, tvåöringar, femöringar, tioöringar, tjugofemöringar, femtioöringar och tvåkronor. Så sent som 2010 avskaffades femtioöringen. I en kartong hittar Thérèse gamla mynt. Där finns ettöringar, tvåöringar, femöringar, tioöringar, tjugofemöringar, femtioöringar, enkronor och tvåkronor. Hon räknar antal mynt och deras sammanlagda värde. Hon får det till 260 mynt till ett sammanlagt värde av 2011 öre. Din uppgift är att undersöka hur många mynt det finns av varje sort om du vet att det finns minst ett av varje. Du kan börja med att beräkna det sammanlagda värdet i öre om det är en av varje sort. Vilken slutsats drar du? Undersök vad som händer om du har dubbelt så många enkronor som tvåkronor, dubbelt så många femtioöringar som enkronor osv. Kapitelprov
;
Naturliga tal N. Mängden av talen 0, 1, 2, 3, … Hela tal Z. Mängden av de naturliga talen och deras motsatta tal, …−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,… Rationella tal Q. Mängden av tal som kan skrivas i formen
a där a och b är heltal och b ≠ 0. b
Irrationellt tal. Ett tal som inte är rationellt. Reella tal R. Mängden av rationella och irrationella tal. Positiva tal. Tal större än noll. Negativa tal. Tal mindre än noll. Större än. Talet a är större än b, a > b, om talet a − b är positivt. Mindre än. Talet a är mindre än b, a < b, om talet a − b är negativt. Primtal. Ett naturligt tal större än 1 som är delbart endast med 1 och talet självt. Sammansatt tal. Ett naturligt tal som kan faktoriseras i primtal.
a är ett heltal. b a Multipel. Heltalet a är en multipel av heltalet b om kvoten är ett heltal. b Siffersumma. Summan av siffrornas talvärde i ett tal. Delare. Heltalet b är en delare i heltalet a om kvoten
Stambråk. Bråk där talet i täljaren är 1. Kedjebråk. Ett bråk på formen a0 + a1 + och täljarna i bråken är 1. Potens. Ett tal i potensform a består av en bas a och en exponent x. x
1 1
a2 +
där där a0, a1, a2, a3,… är positiva heltal och
1 a3 +...
Potenslagarna. ax · ay = ax+y, ax/ay = ax-y, (ax)y = axy, a−x = Kvadratrötter. a · a = a , a >0
a b = a 2b , a, b > 0
1 , a0 = 1 ax
a · b = ab , a, b > 0
a a = , a, b > 0, b b
Grundpotensform. Tal skrivna på formen a⋅10 b där 1 ≤ a < 10 och b är ett heltal. Storheter, mätetal och enheter. En storhet består av ett mätetal och en enhet, t.ex. hastigheten 50 km/h, där hastighet är storhet, 50 är mätetal och km/h är enheten. Gällande siffror. Antalet gällande siffror i ett mätetal anger mätetalets noggrannhet. Binära talsystemet. Det talsystem som har basen 2 och använder de två siffrorna 0 och 1. ;
y 6
1
5 4
3
3 2 1
Exponent svart för yrkesprogrammen (kurserna 1a, 2a) Exponent gul för EK, ES, HU och SA (kurserna 1b, 2b, 3b) Exponent röd för NA och TE (kurserna 1c, 2c, 3c, 4c, 5c) Till de olika böckerna finns även en webb för eleverna som innehåller teorigenomgångar, interaktiva laborationer, självrättande tester och prov m.m. Gå gärna in på www.laromedelswebbar.se och prova en demo.
–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
1c
Exponent 1c är ett läromedel i matematik för gymnasieskolans program NA och TE. Exponent finns för alla kurser och för alla program i gymnasieskolan.
2
3
–2 –3 –4 –5 –6
Till Exponent finns även ett rikt material till läraren på en lärarwebb. Här finns extra uppgifter, prov, laborationsförslag och annat kompletterande material. Exponent tas fram i samarbete med lärare och elever. Du kan följa utvecklingen av detta arbete genom att gå in på www.gleerups.se/labexponent
,
1c Författare till Exponent 1b är Susanne Gennow, Ing-Mari Gustafsson och Bo Silborn. Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av undervisning i matematik på gymnasienivå.
1
2
4
5
6
x