9789147093229

Modern Reglerteknik Bertil Thomas

Modern Reglerteknik

ÖVNINGSBOK

Den här övningsboken följer faktaboken och behandlar reglertekniken, såväl ur en teoretisk som en tillämpad synvinkel.

Boken består av fem huvuddelar. Den första delen ger en allmän introduktion till ämnet. Del 2–4 behandlar grundläggande reglerteori.

Här finns bland annat avsnitt om modellering, laplacetransformering, frekvensanalys, dimensionering av reglersystem, tillståndsmodeller, tidsdiskret reglering och fuzzy control. Övningsboken innehåller frågor och uppgifter samt facit.

+

+

+

Bertil Thomas är universitetslektor vid Chalmers Tekniska Högskola.

FUZZY

Best.nr 47-09322-9 Tryck.nr 47-09322-9

O vningsbok Mod reglerteknik.indd 1

ÖVNINGSBOK 08-05-28 08.24.44

ISBN 91-47-09322-9 © 2008 Bertil Thomas och Liber AB Redaktör: Teckningar:

Björn Magnusson Eva Henningsson Ingvar Andersson Björn Magnusson Ombrytning: Björn Magnusson Omslag: Nette Lövgren Fjärde upplagan 1 Repro: Repro 8 AB, Nacka Tryck: Korotan, Ljubljana, Slovenien 2008

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t ex kommuner/universitet.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 92 00 www.liber.se Kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

Innehåll 1. Inledning till reglertekniken .................................................1 2. Användningsområden för reglerteknik .................................1 3. Egenskaper hos processer och reglersystem .........................2 4. Klassiska reglerprinciper ......................................................3 5. Differentialekvationer ...........................................................5 6. Laplacetransformer och överföringsfunktioner ....................6 7. Modellering och identifiering ...............................................8 8. Blockschemareduktion .......................................................13 9. Frekvensanalys ...................................................................15 10. Beräkning av egenskaper hos reglersystem ........................18 11. Dimensionering av analoga reglersystem ...........................25 12. Mer om dimensionering av analoga reglersystem ..............29 13. Multivariabel reglering .......................................................32 14. Tillståndsmodeller ..............................................................34 15. Tidsdiskret reglering – introduktion ...................................39 16. z-transformen och tidsdiskreta överföringsfunktioner........39 17. Bestämning av tidsdiskreta överföringsfunktioner .............41 18. Beräkning av egenskaper hos tidsdiskreta system ..............43 19. Dimensionering av tidsdiskreta regulatorer ........................44 20. Fuzzy Control .....................................................................48 21. Givare och mätdon ..............................................................49 22. Praktiska regulatorer, fältbussar mm ..................................50 23. Styrdon, reglerventiler, instrumentsymboler ......................51 24. Matlab och Simulink...........................................................53 25. Blandade uppgifter..............................................................60 Facit...........................................................................................62

Förord Denna övningsbok innehåller uppgifter i grundläggande reglerteknik och är främst avsedd att användas tillsammans med upplaga fyra av faktaboken Modern Reglerteknik. I denna nya upplaga av övningsboken har ett antal räkneuppgifter tillkommit, främst sådana som handlar om tillståndsmodeller (kapitel 14). Utöver detta har ett antal kontrollfrågor tillkommit i kapitel 22–23, bl a om instrumentsymboler och fältbussar.

Jämfört med upplaga tre av övningsboken har följande kapitel numrerats om: • Kapitel 14–20 i gamla övningsboken har blivit kapitel 15–21 i den nya.

• Kapitel 21 i gamla övningsboken har delats upp i kapitel 23 och 24 i den nya.

• Kapitel 22–23 i gamla övningsboken har blivit kapitel 24–25 i den nya.

Lycka till med uppgifterna!

Göteborg, januari 2008 Bertil Thomas

1. Inledning till reglertekniken

2. Användningsområden för reglerteknik

1.1 Figuren nedan föreställer ett reglersystem för konstanthållning av temperaturen från en värmeväxlare, där tilloppstemperaturen är varierande.

2.1 Figuren nedan visar schematiskt ett system för nivåreglering och ett system för temperaturreglering. Tänk igenom funktionen hos systemen och rita upp deras blockscheman.

a) Förklara hur systemet fungerar. b) Rita ett blockschema över systemet.

a)

c) Ange vad som är reglerad storhet, störning, styrdon och reglerobjekt. Vilken sorts givare används i systemet?

b)

1.2 Ett garage ska uppvärmas med ett elektriskt element.

Rita en figur över hur systemet kan vara uppbyggt i nedanstående två fall. Rita även blockschema i båda fallen. a) Systemet ska byggas som ett öppet system, dvs ingen automatisk reglering ska förekomma. Effekten till elementet ska ställas in manuellt med en vridpotentiometer.

2.2 Figurerna nedan och på nästa sida visar ett system för flödesreglering och ett system för koncentrationsreglering. Rita blockschemat för systemen.

b) Systemet ska byggas som ett slutet system med temperaturgivare, jämförare och regulator. För inställningen av önskad temperatur används en vridpotentiometer.

a)

1.3 Förklara vad som menas med följande reglertekniska begrepp: – återkoppling och återkopplade reglersystem – enkelvariabla/multivariabla reglersystem – börvärde/ärvärde – störningar i ett reglersystem – jämförare, styrsignal, regulator

1

b)

b)

Figurerna visar den statiska karakteristiken för två olika likströmsmotorer, dvs sambandet mellan spänning och varvtal i statiskt tillstånd.

2.3 Nämn några reglersystem som förekommer i: – kemisk processindustri – verkstadsindustri – flygplan och båtar – bilar och bussar – människokroppen 2.4 Reglersystem kan i princip byggas på två olika sätt, dels som öppna system (utan återkoppling), dels som slutna system med återkoppling. Den senare principen är utan tvekan den vanligaste. a) Vilka fördelar har ett återkopplat system jämfört med ett öppet system (normalt sett)?

a) Vilken av de båda motorerna är olineär? b) Hur stor är den statiska förstärkningen för motor A? c) Hur stor är den statiska förstärkningen för motor B? Räkna dels på fallet då spänningen U är mellan 0 och 6 volt, dels på fallet då U är mellan 12 och 18 volt.

3.2 Figuren nedan visar stegsvaret för två processer med en tidskonstant. Hur stor är tidskonstanten T för de båda processerna? a)

b) Vilka nackdelar kan det återkopplade systemet ha jämfört med det öppna systemet?

3. Egenskaper hos processer och reglersystem 3.1 a)

2

b)

3.3 Figuren nedan visar stegsvaret för en process med dödtid och en tidskonstant. Hur lång är dödtiden och hur stor är tidskonstanten?

3.4 En process har dödtiden 5 sekunder och tidskonstanten 10 sekunder. Skissera stegsvaret för processen.

3.5 Nedanstående figur visar stegsvaret för ett helt reglersystem vid börsvärdesändringar. Bestäm stigtiden tr, insvängningstiden (till ± 5 %) och översvängen M (räknat i %).

3.6 a) För en viss process med en tidskonstant fastställde man vid en mätning att det tog 12 sekunder för utsignalen att nå upp till 50 % av sitt slutvärde vid en stegformad insignaländring. Hur stor är processens tidskonstant? b) För en annan process med en tidskonstant tog det 10 minuter att komma upp till 90 % av slutvärdet.

Hur stor var tidskonstanten för denna process?

4. Klassiska reglerprinciper 4.1 a) Rita i figurerna nedan in hur sambandet mellan inoch utsignalen kan se ut för en P-regulator, en tvålägesregulator respektive en trelägesregulator. b) Förklara varför man inte kan rita samma typ av diagram för en regulator med I-verkan eller D-verkan, t ex en PI-regulator eller en PD-regulator.

4.2 Figuren nedan visar ett specialutformat reglersy-stem för temperaturreglering i en ugn. a) Förklara hur systemet fungerar. b) Vilken reglerprincip är det frågan om? c) Vad används som givare, styrdon respektive jämförare?

3.7 Ge några exempel på processer med: – dödtid – integration – översväng – instabila processer 3.8 Förklara vad som menas med följande begrepp: a) Stabilitet b) Instabilitet c) Robusthet d) Stigtid och insvängningstid e) Störningsdämpning f) Styrsignalaktivitet g) Processer med omvänt stegsvar

4.3 För en viss P-regulator u = u0 + K · e gäller att styrsignalens normalvärde är u0 = 120 enheter och att förstärkningen K är 2,5 ggr. Beräkna hur stor regulatorns styrsignal u blir i följande fall: a) Om e = 0 b) Om e = – 2 enheter c) Om e = + 2 enheter d) Om e = + 4 enheter

3.9 Nämn några typer av processer där det kan vara viktigt att klara rampformade börvärdesändringar utan att få något kvarstående fel.

3

4.4 För en viss PD-regulator u = u0 + K · e + TD · e⬘(t) gäller att styrsignalens normalvärde är u0 = 120 enheter, förstärkningen K = 2,5 ggr och derivatatiden TD = 3 sekunder. Beräkna hur stor regulatorns styrsignal blir i följande fall:

4.8 Figuren nedan visar hur insignalen e till en ideal PIDregulator såg ut vid en registrering.

a) Om e = 0 samtidigt som e⬘(t) = 0 b) Om e = 0 samtidigt som e⬘(t) = + 2 enheter/s c) Om e = 0 samtidigt som e⬘(t) = – 2 enheter/s d) Om e = 5 samtidigt som e⬘(t) = + 2 enheter/s 4.5 Figuren nedan visar sambandet mellan insignalen e och utsignalen u för en viss P-regulator. Bestäm det matematiska sambandet mellan e och u inom det lineära området. Hur stor är regulatorns förstärkning?

4.6 En PI-regulator har förstärkningen K = 2,5 och integrationstiden TI = 5 s. Rita en figur på hur regulatorns stegsvar ser ut (antag att steghöjden har storleken = 1).

Rita diagram över hur utsignalen från P-delen, D-delen och I-delen såg ut vid samma tillfälle. Antag att ut signalen från I-delen var noll från början.

4.9 Insignalen till den deriverande delen av en PID-regulator såg vid ett visst tillfälle ut enligt figuren nedan.

Rita en figur som visar hur utsignalen såg ut till följd av den aktuella insignalen (schematiskt).

4.10 Insignalen e(t) till en PD-regulator hade vid ett visst tillfälle nedanstående utseende. PD-regulatorns förstärkning var K = 1 och dess deriveringstid var TD = 0,5. Rita en figur på hur utsignalen från regulatorn såg ut till följd av den aktuella insignalen.

(Antag att u0 = 0.)

4.7 Figuren nedan visar stegsvaret för en PI-regulator. Bestäm integrationstiden TI och förstärkningen K.

4.11 Diskussionsfrågor: Avgör vilka av nedanstående påståenden som är sanna respektive falska: a) Höga värden på förstärkningen K leder ofta till dålig stabilitet hos ett reglersystem med P-reglering. b) Processer med lång dödtid är vanligen svårare att reglera än processer med kort dödtid. c) Tvålägesreglering används främst i samband med enklare temperaturreglering. d) Med hjälp av deriverande verkan kan man ofta eliminera kvarstående fel hos ett reglersystem.

4

e) Med hjälp av deriverande verkan kan man ofta förbättra stabiliteten hos ett reglersystem.

5. Differentialekvationer

f) Integrerande verkan kan aldrig användas ensam, den måste kombineras med andra reglerformer.

5.1 Sambandet mellan insignalen u och utsignalen y för ett antal processer beskrivs med nedanstående differentialekvationer. Bestäm stegsvaret för processerna och skissera utseendet på motsvarande funktioner. Antag att stegen har höjden = 1 och utsignalen = 0 från början.

g) En fördel med integrerande verkan är att kvarstående fel vid stegstörningar normalt elimineras. h) Ju större förstärkning en P-regulator har, desto större blir också det proportionella bandet. i) Deriverande verkan bör användas med försiktighet om man har processer med kraftiga mätstörningar.

4.12 En P-regulator används för att reglera temperaturen i en industriell torkkammare. Kammaren är utrustad med ett värmeelement vars effekt kan ställas in mellan 0 och 8 kW. Effekten bestäms av en regulator med tillhörande effektförstärkare. Regulatorns insignal är felet e, utsignalen är effekten P. Se figur.

Följande gäller: – Normalt börvärde i kammaren är 65 grader.

– Normalt behövs en grundeffekt på ca 4 kW för att hålla temperaturen 65 grader. Styrsignalens normalvärde skall alltså vara 4 kW. a) Rita ett blockschema över reglersystemet. Rita in alla variabler med tillhörande enheter. b) Antag att vi ska använda en P-regulator med förstärkningen K = 0,4 kW/°C. Hur ser algoritmen för regulatorn ut? c) Rita ett diagram för sambandet mellan temperatur T och effekt P. d) Hur stort är det proportionella bandet? e) Hur ser sambandet ut om förstärkningen ökar till 0,8 kW/°C? f) Hur stort blir det proportionella bandet nu? g) Vad skulle hända om förstärkningen var oändligt stor?

2

1 = Värmeelement 2 = Temperaturgivare 3 = Regulator med effektförstärkare, börvärdesgivare och jämförare

Torkkammare

1

a) y⬘+ y = u b) 2y⬘ + 5y = u c) 10y⬘ = u 5.2 Bestäm den karakteristiska ekvationen för nedanstående processer. a) 5y⬙ + 3y⬘ + 2y = 2u b) 6y⬙ + 7y⬘ + y = u c) 3y⬙ + 2y⬘ – 8y = 10u 5.3 Bestäm stegsvaret för de processer, där sambandet mellan insignalen u och utsignalen y beskrivs med följande differentialekvationer. Antag att steghöjden = 1 och att utsignalen startar från vila med värdet noll. a) y⬙ – 6y⬘ + 9y = 2u b) y⬙ + 4y⬘ + 4y = u c) 2y⬙ + 3y⬘ + y = 2u d) y⬙ + 2y⬘ + 2y = u e) y⬙ – 4y⬘ + 13y = u 5.4 Betrakta nedanstående tank med ett inflöde och ett utflöde. Man kan visa att sambandet mellan temperaturen T1 (inloppstemperaturen) och temperaturen T2 (temperaturen i tanken) beskrivs med följande differentialekvation (se kapitel 7). dT2 Q Q + ⋅ T2 = ⋅ T1 dt Ah Ah

[ ]

där

⎧A = tankarean m 2 ⎪ ⎨h = vattennivån i tanken [ m ] ⎪Q = flödet genom tanken m 3 /s ⎩

[

]

3

5

Bestäm hur stegsvaret för tanken ser ut i följande två fall. a) Om A = 4 m2, h = 1 m och Q = 0,02 m3/s b) Om A = 4 m2, h = 2 m och Q = 0,01 m3/s

6.2 Triangelpulsen f(t) har laplacetransformen F(s) =

(1 − 2e −s + e −2s ) s2

6. Laplacetransformer och överföringsfunktioner 6.1 Använd definitionen och givna regler för att bestämma laplacetransformen till följande tidsfunktioner: a) Exponentialfunktionen f (t) = e–at

Hur ser laplacetransformen för signalen g(t) ut?

6.3 Bestäm laplacetransformen för nedanstående tidssignal (en oändlig sågtandsfunktion).

b) En rektangelpuls med längden 1 sekund

c) En fördröjd rampfunktion r (t – 2)

6.4 Rörelsen hos en robotarm enligt figuren nedan erhålls med hjälp av en ± 24 V likströmsmotor. Överföringsfunktionen för elmotorn samt robotarmen framgår av blockschemat nedan. Följande beteckningar används: ⎧U G = Spänning till motorn [V] ⎪ M = Av motorn utvecklat vridmoment [Nm] ⎨ ⎪Q G = Utvridning av robotarmen [rad] ⎩

–at

d) Funktionen f (t) = 1 – e , för t > 0.

⎧G = 3 ⎪ 1 1 + Tf s ⎨ ⎪G2 = 2 1 Js + bs ⎩

Motsvarande laplacetransformer betecknas U, M resp Θ

e) Funktionen f (t) = r (t) – r (t – 1)

f) En cosinusfunktion f (t) = cos ω t = e 6

jω t

+ e − jω t 2

Beräkna med slutvärdessatsen robotarmens sluthastighet uttryckt i varv/minut då en spänning U = + 6 V läggs på till motorn. Antag att J = 0,45 kg m2, b = 1,3 Nms/rad och T1 = 0,7 s.

6.5 Bestäm överföringsfunktionerna för de processer, som beskrivs med följande differentialekvationer.

6.9 Bestäm impulssvaret för de system, som beskrivs med följande överföringsfunktioner. a) G(s) =

b) G(s) = 12 + s

s +4

a) y⬘+ 5y = x b) y⬙ + 3y = 4x

c) G(s) = 3

1+ s 2 d) G(s) = s(1 + 5s)

c) y⬙ – 5y⬘ + 6y = x d) y⬙ – 3y⬘ + 2y = 3x⬘ + x e) ˙˙y + 3y˙ + 2y – x˙ + 3x = 0

6.10 En viss temperaturgivare har överföringsfunktionen:

f) 4(˙˙y + 3y˙ + x˙ ) + 8˙˙x = 0

G(s) = 0, 2 1 + 10s

y + y˙ + 3y = 2 x˙ g) ˙˙

6.6 Ställ upp överföringsfunktionen för följande system, (x = insignal, y = utsignal)

∫ b) y = 5x + 3∫ xdt

a) y = x + 5 xdt + 2 x˙

(PI-regulator) (Dödtidsprocess)

d) y⬘(t) + y(t) = 2x(t – 10)

(Dödtidsprocess)

6.7 Ett antal processer har överföringsfunktionerna G(s) enligt nedan. Hur ser motsvarande differentialekvationer ut?

Y (s) = 3+s U(s) s 2 + 4s + 1

b) G(s) =

Y (s) 2e –3s = U(s) 5s + 1

c) G(s) =

Y (s) = 3 + 4s U(s)

d) G(s) =

Y (s) = s+4 U(s) 2s 2 + 3

Insignalen utgörs av den temperatur som ska mätas, medan utsignalen är en elektrisk spänning. Bestäm med hjälp av tabell systemets stegsvar och rita en skiss på dess utseende.

(PID-regulator)

c) y(t) = x(t – 5)

a) G(s) =

2 2 s + 5s + 6

6.11 För en viss elektriskt driven robotarm gäller att sambandet mellan den pålagda spänningen u och utvridningen hos robotarmen y kan beskrivas med följande differentialekvation: 2˙˙ y + y˙ = u

Bestäm stegsvaret för robotarmen och rita en skiss av stegsvarets utseende.

6.8 Bestäm stegsvaret för de system som beskrivs med följande överföringsfunktioner.

G(s) = 3 s

6.12 Uppdela följande överföringsfunktioner i partialbråk:

a) G(s) =

1 s + 16

d)

b) G(s) =

3 s +9

e) G(s) =

1 s(s + 1)

a) G(s) =

9 – 3s (s + 1)(s + 7)

f) G(s) =

4 s(s + 4)

b) G(s) =

4s + 2 s(s + 1)(s + 2)

2

2

c) G(s) = 1

s+2

2

7

c) G(s) =

4s 2 + 7s + 4 2 (s + 2)(s + s + 1)

d) G(s) =

3s2 – 2s + 1 (s – 3)(s – 2)(s – 1)

e) G(s) =

s 2 + 4s + 5 2 s + 2s + 3s + 2 3

5s + 12 f) G(s) = 2

s + 5s + 6

6.13 En viss process har nedanstående överföringsfunktion.

Bestäm följande parametrar för processen: – den relativa dämpningen ζ – den odämpade egensvängningen ωo – maximal översväng Mp – tid för maximal översväng tp Skissera processens stegsvar!

G(s) =

7. Modellering och identifiering Teoretisk modellering 7.1 Ställ upp differentialekvationen och ange överföringsfunktion för nedanstående mekaniska system. k = fjäderkonstant [N/m] M = massa [kg] b = dämpkoefficient [Ns/m] u(t) = insignal (fjäderns högra fästpunkt) y(t) = utsignal (massans läge) a)

2 s2 + 0, 96s + 2

b) 6.14 Nedanstående differentialekvationer beskriver ett antal reglertekniska processer, där y är utsignal och u är insignal: a) y⬙+ 9y⬘+ 14y = 3u b) y⵮+ 6y⬙+ 11y⬘+ 6y = u⬘+ 4u c) y⬙+ 4y⬘+ 3y= u⬘+ u Bestäm 1) Processernas överföringsfunktioner.

2) Processernas poler och nollställen.

3) Processernas statiska förstärkning.

4) Processernas tidskonstanter.

Matlabuppgifter kapitel 6: Följande uppgifter rekommenderas att även lösas med Matlab/Simulink: 6.4 (studera stegsvaret med Matlab) 6.8 (studera stegsvaren) 6.9 (studera impulssvaren) 6.10, 6.11, 6.13 (studera stegsvaren) Följande Matlabuppgifter (i kap 24) hör till teorin i kapitel 6: 24.11 24.12 24.13

8

7.2 Ett mekaniskt system består av två massor, tre likadana fjädrar (med fjäderkonstanten k), och en dämpare (med dämpkonstanten b). Fjädrarna antas ha sin naturliga längd då x = 0, y = 0 och z = 0. Bestäm överföringsfunktionen från x till z.

Rullningsfriktionen är försumbar.

[Ledning: Ställ upp Newtons andra lag, en ekvation för vardera massan. Laplacetransformera ekvationerna. Eliminera därefter mellanvariabeln Y.] 7.3 Ett mekaniskt system består av två massor, tre likadana fjädrar och en dämpare. Fjädrarna antas ha sin naturliga längd då x = 0, y = 0 och z = 0. Bestäm överföringsfunktionen från X till Z. Fjädrarnas fjäderkonstant = k och dämpkonstanten = b.

z = läget (massan M1) y = läget (massan M2) x = läget (den yttre fjäderns ”fästpunkt”)

Tanken är isolerad och omröringen i tanken är god.

Bestäm överföringsfunktionen från inloppstemperaturen T1 till utloppstemperaturen T2.

7.4 Två fordon med massorna m1 och m2 är sammankopplade med en ideal fjäder som har fjäderkonstanten k.

Motorn i det främre fordonet ger framdrivningskraften F. I det bakre fordonet finns ingen motor. På båda fordonen verkar ett vindmotstånd som är proportionellt mot deras hastighet.

Bestäm överföringsfunktionen från kraften F till hastigheten v2 hos det andra fordonet.

7.7 Figuren visar en ugn som uppvärms med en elektrisk värmespiral. Värmeförlusten genom ugnens väggar antas vara proportionell mot temperaturskillnaden inne i ugnen och utanför enligt sambandet Put = α (T2 – T2)

Massa m2 Vindmotstånd F2 = – bv2 Hastighet v2

Massa m1 Vindmotstånd F1 = – bv1 Hastighet v1 Framdrivningskraft F

α = 0,05 W/grad

där α är det s k värmegenomgångstalet.

7.5 Bestäm överföringsfunktionen för nedanstående tre elektriska filter.

Insignal = u1 [V] Utsignal = u2 [V] a)

Värmekapaciteten hos den inneslutna luften är C = c · V · ρ = 25 J/grad.

Processen kan beskrivas med nedanstående blockschema. Bestäm överföringsfunktionerna G1 och G2.

b) ⎧P = Värmeeffekt (styrsignal) ⎨T = Omgivningens temperatur (störning) ⎩ 1

c)

7.8 Figuren nedan visar en välisolerad vattentank, där inflödet Q (m3/s) är lika stort som utflödet. Volymen i tanken är V (m3). Den elektriska värmespiralen avger effekten P (kW) till vattnet. Omröringen i tanken är så god att temperaturen kan anses vara densamma överallt i tanken.

7.6 För denna tank gäller följande data: Area = 3 m2 Vätskehöjd = 0,5 m Genomflöde = 0,1 m3/s

9

a) Processen kan beskrivas med nedanstående blockschema, där T0 är inloppstemperaturen och T är utloppstemperaturen (°C).

Bestäm överföringsfunktionerna G1 och G2.

7.11 Figuren visar ett reglersystem för nivån i en tank. Alla variabler i figuren anger avvikelser från en arbetspunkt. Utflödet från tanken styrs av en pump och har storleken V (m3/s). Inflödet bestäms av ventilläget, vilket styrs av en P-regulator med förstärkningen K.

b) Antag att processens utsignal (temperaturen T ) mäts med en temperaturgivare som har tidskonstanten 10 s. Antag vidare att en PI-regulator används för att reglera processen, samt att volymen V = 3 m3 och flödet Q = 0,01 m3/s. Rita ett fullständigt blockschema för systemet under dessa förutsättningar!

7.9 En elektrisk temperaturgivare, avsedd för att mäta temperaturen i vätskor, har följande överföringsfunktion: G(s) =

För att bestämma reglerventilens överföringsfunktion (dvs sambandet mellan x och u) har man mätt upp dess stegsvar. Utseendet framgår av figuren nedan.

1 (1+ Ts)

där insignalen är temperaturen och utsignalen är det skalvärde som temperaturgivaren visar.

Vid en viss mätning visade temperaturgivaren 0 °C då dess avkännande del sattes ned i ett hett vattenbad med temperaturen 80 °C. Efter 20 sekunder visade givaren 65 °C. Bestäm med hjälp av detta tidskonstanten T. 7.10 Figuren visar en kemikalietank i en kemisk fabrik.

Tankens area är 6,2 m2. Utflödet u2 från tanken kan approximativt antagas vara proportionellt mot vätskehöjden h enligt sambandet: u2 = 0,05 h

a) Rita ett principiellt blockschema för reglersystemet där det framgår hur olika variabler påverkar varandra. b) Bestäm överföringsfunktionen för de ingående blocken.

7.12 En process består av två vattentankar med ventiler enligt figuren. Ventilerna antas vara lineära, dvs flödet genom en ventil är proportionellt mot vattennivån i behållaren ovanför. Följande samband gäller: U10 =

h1 R 10

U11 =

h1 R 11

U2 =

h2 R2

där R10 , R11 och R2 är ventilresistanserna för de tre ventilerna. a) Hur hög är vätskenivån i tanken vid jämvikt om inflödet är 0,1 m3/s? b) Hur hög är vätskenivån i tanken vid jämvikt om inflödet är 0,15 m3/s? c) Bestäm differentialekvationen för sambandet mellan u1 och h. d) Bestäm överföringsfunktionen från U1 till H. e) Hur ser processens stegsvar ut?

10

Bestäm överföringsfunktionen från U0 till U3, där U3 = U10 + U2. Det förutsätts att ingen av behållarna är tom och att dödtiden i rören kan försummas.

7.15 Figuren nedan visar konstruktionen hos en accelerometer för mätning av accelerationen hos ett fordon.

Anordningen är avsedd att monteras in i ett fordon vars acceleration A man vill mäta. När fordonet accelererar kommer massan pga sin tröghet att röra sig bakåt. Massans utslag blir därvid ett mått på accelerationen.

U0 = Inflöde tank 1 U10 , U11 = Utflöden tank 1 U2 = Utflöde tank 2 A1 = Area, tank 1 A2 = Area, tank 2 h1 = Nivå, tank 1 h2 = Nivå, tank 2 7.13 En isotermisk process består av en ventil som är ansluten till en gastank med konstant volym V. Betrakta trycket p0 som insignal till processen och trycket p1 som utsignal. Antag att massflödet (kg/s) genom ventilen är k (p0 – p1) där k är en konstant. Antag också att gasen uppför sig som en ideal gas för vilken gäller:

pV = nRT

⎧ p = trycket ⎪⎪V = volymen där ⎨n = antalet mol ⎪R = allmänna gaskonstanten ⎪⎩T = temperaturen

Uppgift: Bestäm överföringsfunktionen G från p0 till p1 .

7.14 Figuren visar en koleldad ugn, där ventilen styrs av en PID-regulator. Transportbandet har längden 13 meter och hastigheten 3,7 meter per sekund. Kolmängden på bandet kan varieras från noll till 8 kg/sekund. Bestäm överföringsfunktionen för transportbandet.

a) Bestäm överföringsfunktionen hos accelerometern (från accelerationen A till massans position X). b) Antag att massan M är 0,3 kg. Vilket värde ska i så fall väljas på dämpkonstanten B (Ns/m) och fjäderkonstanten k (N/m) för att accelerometerns stegsvar ska få en översväng på (max) 5 %, samtidigt som maxvärdet ska inträffa efter högst 1 sekund. Se figur. c) Rita upp stegsvaret för accelerometern. Hur stort blir massans utslag (stationärt) vid en acceleration på 1 m/s2?

Stegsvarsanalys 7.16 I diagrammen nedan visas stegsvaret för ett antal processer. (Insignalen var stegformad med höjden 1.) Bestäm med hjälp av tabellen i formelsamlingen motsvarande överföringsfunktioner.

11

b)

c)

c)

d) d)

7.17 Figurerna nedan visar stegsvaret för ett antal processer, där insignalen hade höjden = 1. Bestäm motsvarande överföringsfunktioner med hjälp av bokens formler och diagram.

Linearisering 7.18 Ett reglersystem för automatisk konstanthållning av hastigheten på en bil enligt nedan ska konstrueras (en s k farthållare). För ändamålet behöver man ställa upp en överföringsfunktion, som beskriver bilens dynamik.

För systemet gäller följande: • Bilens totala massa (inkl förare och en passagerare) är M = 1300 kg.

• Bilen påverkas av ett luftmotstånd Fv , som är proportionellt mot kvadraten på hastigheten enligt nedanstående samband: Fv = – kv2, där v är hastigheten (m/s) och k är en konstant, som genom modellförsök i vindtunnel bestämts till k = 3,69 Ns2/m2.

• Den maximala dragkraften från motorn är vid fullt gaspådrag F = 6 kN. (Detta är ett förenklat antagande; i verkligheten är den maximala dragkraften en funktion av motorns varvtal, temperatur m m).

12

Uppgifter: a) Ställ upp en (olineär) differentialekvation, som beskriver sambandet mellan kraft och hastighet för bilen, då den framförs på en plan väg. Bestäm bilens maxhastighet. b) Bestäm bilens maximala acceleration vid följande hastigheter: v = 0 km/tim, v = 55 km/tim respektive v = 110 km/tim. Bestäm också vilken kraft F som i stationärtillståndet behövs för att ge hastigheten v = 55 km/tim respektive v = 110 km/tim. c) Linearisera differentialekvationen ovan vid hastigheten v = 55 km/tim respektive v = 110 km/tim. Bestäm därefter den lineariserade överföringsfunktionen från F till v, vid ovanstående två hastigheter. d) Diskutera modellens begränsningar. Vilka faktorer har vi bortsett från? Vilka ytterligare detaljer bör tas med i modellen om vi vill göra en noggrannare beskrivning av bilens dynamik?

7.19 I tanken nedan försiggår en kemisk reaktion där värme utvecklas. Den energi som bildas per tidsenhet är beroende av temperaturen enligt sambandet: k1 T

3

där T är reaktionstemperaturen (°C). Värmeförlusterna till omgivningen per tidsenhet är proportionella mot temperaturskillnaden till omgivningen enligt sambandet:

Matlabuppgifter kapitel 7: Följande Matlabuppgifter (i kap 24) hör till teorin i kapitel 7: 24.14 24.15 24.16

8. Blockschemareduktion 8.1 Figuren visar två parallellkopplade länkar med givna överföringsfunktioner. Bestäm den totala överföringsfunktionen från U till Y och förenkla så långt som möjligt.

8.2 Bestäm överföringsfunktionen från U till Z för de seriekopplade länkarna: Block 1: ˙˙y + 2 y˙ + 3y = 5u˙ + u Block 2: 3z˙ + 2z = 6y

k2 (T – T0) där T0 är omgivningens temperatur, som antas vara 0 °C. Tanken är vidare försedd med ett styrorgan, med vilket processen kan värmas upp eller kylas ned. Detta styrorgan avger effekten P till tanken (som kan vara positiv eller negativ).

8.3 Bestäm överföringsfunktionen från R (börvärde) till Y (utsignal) för nedanstående tre återkopplade system.

(Observera att vi har positiv återkoppling i det tredje fallet.) a)

Uppgifter: a) Ställ upp värmebalansekvationen för processen.

Antag därvid att k1 = 0,1 att k2 = 5 och att värmekapaciteten hos de reagerande ämnena är C = 100 J/°C.

b)

b) Linearisera värmebalansekvationen kring den stationära punkt, vid vilken reaktionen kan fortgå med konstant hastighet, då P = 0.

c)

c) Bestäm motsvarande överföringsfunktion G och visa att den motsvarar en instabil process.

13

8.4 Figuren beskriver ett system för positionsreglering.

Givaren är så snabb att dess dynamik kan försummas.

Dess överföringsfunktion kan sättas G(s) = 1.

f)

a) Bestäm överföringsfunktionen från yref till y. b) Bestäm överföringsfunktionen från M till y.

8.5 Bestäm överföringsfunktionen från R till Y för nedanstående system:

g)

8.6 Blockschemat för ett reglersystem för automatisk styrning av ett lastfartyg visas i figuren.

a)

b)

c)

yref e r Mr Mv y

= = = = = =

börvärde felsignal rodervinkel vridmoment på grund av roderverkan vridmoment på grund av störningar kursvinkel

a) Bestäm den totala överföringsfunktionen från Yref till Y, och från Mv till Y. b) Bestäm differentialekvationen för sambandet mellan Yref och Y.

d)

8.7 Blockschemat nedan visar ett system för reglering av temperaturen i en värmeväxlare. Nu vill man undersöka hur stora styrsignalerna u blir vid olika typer av störningar v i systemet. Beräkna därför överföringsfunktionen G(s) från signalen V till signalen U.

e) 8.8 En process med överföringsfunktionen G(s) = 1/(1 + 10s) ska regleras enligt nedanstående blockschema.

Bestäm den totala överföringsfunktionen i följande fall:

14

a) Om regulatorn är en P-regulator GR (s) = 5

9. Frekvensanalys

b) Om regulatorn är en PI-regulator GR (s) = 3 ⎛⎝ 2 +

1 ⎞ 10s ⎠

9.1 Bestäm amplitudfunktionen A(ω) och fasfunktionen ϕ (ω) till följande processer:

8.9 Kurvan nedan visar stegsvaret för det system Y/R, vars blockschema visas i undre figuren. Bestäm storleken på regulatorns förstärkning K.

a) G(s) =

5 1 + 2s

b) G(s) = 4 s

c) G(s) =

10 s(1 + 3s)

–3s d) G(s) = e 1 + 2s

e) G(s) =

(6 + s) (4 + 2s)(3 + 7s)

f ) G(s) =

g) G(s) =

2 1 + 0, 4s + 2s2

h) G(s) = 52 s

e–2s (1 + 3s)(5 + s)

i) G(s) = 4(1 + 2s) 9.2 Här nedan visas överföringsfunktionerna för ett antal processer. Insignalen till processerna antas utgöras av en sinusformad signal.

Bestäm hur stor amplitudförstärkningen A = G(jω) och fasvridningen ϕ = G(jω) blir för processerna vid de angivna frekvenserna. a) b)

8.10 Bestäm överföringsfunktionen från R till Y i nedanstå-

c)

1

ende system, där det gäller att G = 1 + s .

d) e)

9.3 En process av andra ordningen beskrivs med överföringsfunktionen enligt figuren. Bestäm amplituden hos utsignalen om insignalen är sinusformad med amplituden 3 enheter och frekvensen ω = 2 rad/s.

Matlabuppgifter kapitel 8: Följande uppgifter rekommenderas att även lösas med Matlab/Simulink: 8.1 8.3 8.4 8.6 8.7 8.8 Följande Matlabuppgifter (i kap 24) hör till teorin i kapitel 8: 24.17 24.18

9.4 Processen i följande system är utsatt för en sinusformad störning med frekvensen ω = 0,2 rad/s och amplituden A = 1. Hur stor blir amplituden på den sinusformade komponenten i utsignalen som uppstår till följd av denna störning? Räkna på fallet med och utan regulatorn inkopplad.

15

9.7 En viss kemisk process har överföringsfunktionen G(s) = 4/(1 + 2s). a) Rita Bodediagrammet för processen genom att beräkna amplitudförstärkningen och fasvridningen för ett antal frekvenser. Använd t ex frekvenserna ω = 0,1 0,16 0,25 0,4 0,625 1 1,6 och 2,5 rad/s.

9.5 En viss process kan beskrivas med följande överföringsfunktion.

– L ⋅s

G(s) = K ⋅ e 1 + Ts

För processen har man bestämt dess amplitudförstärkning A(ω) vid frekvenserna ω = 1 rad/s och ω = 2 rad/ s samt fasvridningen ϕ (ω) vid frekvensen ω = 1 rad/s.

Resultatet framgår av nedanstående tabell: Frekvens

A(ω)

ϕ (ω)

ω = 1 rad/s

5 ggr

– 100°

ω = 2 rad/s

3,6 ggr

–

Bestäm med hjälp av ovanstående data parametrarna K, L och T. 9.6 För en viss process har man med hjälp av en sinusgenerator och ett oscilloskop bestämt fasvridningen och amplitudförstärkningen vid ett antal frekvenser. Resultatet framgår av tabellen nedan.

Rita med hjälp av tabellens data upp hur Bodediagrammet för processen ser ut.

16

ω

G

G

0,1 0,2 0,4

1,6 1,7 2,2

–10° –20° –40°

0,625 0,8 1

2,7 2 1,3

–65° –80° –97°

1,6 2,5 4

0,5 0,15 0,05

–130° –162° –190°

b) Rita Bodediagrammet för processen genom att först skissa dess asymptoter och därefter korrigera vid brytfrekvensen.

9.8 Rita Bodediagrammet för följande överföringsfunktioner: (1 + 5s) (1+2s) (1+10s)

a)

5 (1+s) (1+10s)

b)

c)

1 2 s(1+s)

d) 2(1 + s) s

–2s e) 3, 2 ⋅ e (1 + 3s)

–s f) e s

9.9 Rita Nyquistdiagram för följande överföringsfunktioner: a)

0, 5 2 s(1 + 2s)

–2 b) e s

9.10 En process G(s) har en asymptotisk amplitudkurva (se överst nästa sida). Processen har ingen dödtid. Bestäm hur överföringsfunktionen G(s) ser ut.

9.11 För en mekanisk process med viss dödtid har man experimentellt (med en frekvenssvarsanalysator) bestämt Bodediagrammet som visas längst ner på nästa sida.

Bestäm vilken överföringsfunktion som processen har.

Matlabuppgifter kapitel 9: Följande uppgifter rekommenderas att även lösas med Matlab/Simulink: 9.3 9.4 9.8 9.9 Följande Matlabuppgifter (i kap 24) hör till teorin i kapitel 9: 24.19 24.20

9.10

9.11

17

10. Beräkning av egenskaper hos reglersystem

10.5 Den karakteristiska ekvationen för ett visst system är s4 + s3 + s2 + as + b = 0

Stabilitet

där a och b är konstanter. Bestäm det område i ab-planet som motsvarar ett stabilt system.

10.1 Använd valfri metod för att avgöra vilka av följande system som är stabila.

Insignal = x resp u, utsignal = y.

10.6 Figurerna nedan visar Nyquistdiagrammet för ett antal olika processer G(s).

a) ˙˙y + y˙ – 6y = x˙ + x b) 2˙˙y + 6 y˙ – 8y = 3x˙ c) ˙˙y + 10 y˙ + 21y = x˙ + 4x d) y⵮+3y⬙ – 2y⬘ + y = u⬘ + 5u e) y⵮+7y⬙ + y⬘ + 4y = u⬙ + 3u f) y⵮+3y⬙ + y⬘ + 6y = u⬘ + 7u g)

a) Vilka av systemen är stabila då processerna återkopplas enligt blockschemat ovan? b) Hur stor är fasmarginalen respektive amplitudmarginalen för de system som är stabila? (Bestäm approximativt.) a)

b)

c)

d)

e)

f)

h)

10.2 Avgör om vidstående system är stabilt eller ej genom att bestämma det slutna systemets poler.

10.3 Bestäm maximalt värde på förstärkningen K innan nedanstående system blir instabila. Det förutsätts att K > 0. a)

b)

10.4 Den karakteristiska ekvationen för två olika system framgår nedan; a och b är konstanter. Bestäm de områden i ab-planet som motsvarar stabila system. a) s3 + as2 + s + b = 0 b) as3 + bs2 + s + 1 = 0 18

10.7 Rita Bodediagram för G(s) och avgör därefter om detta system är stabilt eller ej. Om systemet är stabilt, bestäm dess fasmarginal Øm och dess amplitudmarginal Am .

10.8 Avgör med hjälp av Bodediagram om detta reglersystem är stabilt eller ej då K = 1. Hur stort K-värde kan man ha innan systemet blir instabilt? Vilket K-värde ger fasmarginalen 45 grader?

10.9 Bestäm förstärkningen K i det återkopplade system som visas i figuren så att amplitudmarginalen Am blir lika med två.

[Ledning: Uppgiften löses enklast med hjälp av Rouths metod.]

10.10 Nedanstående blockschema visar ett reglersystem för reglering av en process Gp(s). I systemet används en proportionell regulator med förstärkningen K. Givaren som mäter processens utsignal beskrivs med en första ordningens överföringsfunktion med tidskonstanten T. För regulatorn gäller att K > 1 och för givaren att T > 0.

Statisk noggrannhet 10.11 Bestäm för nedanstående två reglersystem de kvarstående felen vid stegformade respektive rampformade börvärdesändringar.

a) GR = 2s + 3 s+2 b) GR = s + 2 s +1

GP =

2 s(5s + 1)

GP = 10 s+4

10.12 Bestäm följande storheter för reglersystemet enl figuren.

a) Det kvarstående felet e0 vid stegformade börvärdesändringar. b) Det kvarstående felet e1 vid rampformade börvärdesändringar. c) Det kvarstående felet ev vid stegstörningar.

10.13 Blockschemat visar ett reglersystem för temperaturreglering i en ugn. Bestäm e0, e1 och ev.

a) Hur lång får givarens tidskonstant maximalt vara om man önskar en amplitudmarginal på minst två gånger, Am = 2? (Bestäm Tmax som funktion av K.) b) Beräkna ett numeriskt värde på hur stor tidskonstanten ska vara för att få amplitudmarginalen Am = 2 i fallet K = 3.

19

Modern Reglerteknik Bertil Thomas

Modern Reglerteknik

ÖVNINGSBOK

Den här övningsboken följer faktaboken och behandlar reglertekniken, såväl ur en teoretisk som en tillämpad synvinkel.

Boken består av fem huvuddelar. Den första delen ger en allmän introduktion till ämnet. Del 2–4 behandlar grundläggande reglerteori.

Här finns bland annat avsnitt om modellering, laplacetransformering, frekvensanalys, dimensionering av reglersystem, tillståndsmodeller, tidsdiskret reglering och fuzzy control. Övningsboken innehåller frågor och uppgifter samt facit.

+

+

+

Bertil Thomas är universitetslektor vid Chalmers Tekniska Högskola.

FUZZY

Best.nr 47-09322-9 Tryck.nr 47-09322-9

O vningsbok Mod reglerteknik.indd 1

ÖVNINGSBOK 08-05-28 08.24.44