2017-06-09 – sida 34 – # 42
34
KAPITEL 1 GRUNDBEGREPP I R2 , R3 , . . .
v
y
(0, 2)
(2, 2)
(1, 1)
f
(x, y)
(u, v) Df
(0, 0)
(0, 0) f −1
(2, 0) u
(2, 0) x
Vf (1, −1)
Fig 1.39
Genom f avbildas punkter (u, v) i denna kvadrat på motsvarande punkter u + v u − v (x, y) = f (u, v) = (f1 (u, v), f2 (u, v)) = , (1.43) 2 2 i värdemängden Vf , som är kvadraten i x-y -systemet till höger i fig 1.39. Ty ur sambanden mellan x och y och u och v i (1.43) kan vi lösa ut u och v så att u= x+y
och
och alltså 0≤u≤2
och
0≤v≤2
⇐⇒
(1.44)
v =x−y
0 ≤ x + y ≤ 2 och
0 ≤ x − y ≤ 2.
Visa att olikheterna för x och y beskriver kvadraten i x-y -systemet. Avbildningen illustreras med den övre kurvan från punkten (u, v) till punkten (x, y) i fig 1.39. Speciellt ser vi att (0, 0) 7→ (0, 0), (2, 0) 7→ (1, 1), (2, 2) 7→ (2, 0) och (0, 2) 7→ (1, −1). (1.44) ger den inversa avbildningen mellan R2 och R2 , som kan betecknas med f −1 och definieras genom (u, v) = f −1 (x, y) = (x + y, x − y)
för
(x, y) ∈ Df −1 = Vf .
Den illustreras med den undre kurvan från punkten (x, y) till punkten (u, v) i fig 1.39. En avbildning f = (f1 , f2 ) mellan R2 och R2 , som ges av ett samband av formen f (u, v) = (f1 (u, v), f2 (u, v)) = (a1 u + b1 v + c1 , a2 u + b2 v + c2 ) med reella konstanter a1 , b1 , c1 , a2 , b2 och c2 , kallas affin. Den kallas linjär om c1 = c2 = 0. Avbildningen f i exempel 1.28 är alltså linjär.