Matematikboken
I Matematikboken Gamma hittar du: • Centralt innehåll i enlighet med kursplan 2011 • Tydlig struktur • Målsidor • Gemensamma genomgångar med typexempel • Uppgifter på tre färdighetsnivåer • Väl avvägd progression • Sammanfattningar av begrepp och formler
gamma
efter varje kapitel • Träning av olika matematiska förmågor • Uppgifterna är av varierande karaktär och växlar mellan: ellan: Färdighetstränande | Kommunikativa | Laborativa | Undersökande | Problemlösande | Tematiska
gamma Matematikboken
gamma
Har du frågor om metodik eller innehåll är du välkommen att kontakta Lennart Undvall på mail eller telefon, lennart.undvall@gmail.com respektive 070-320 38 62. Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.
Till Matematikboken Gamma hör följande böcker: • Grundbok (med Facit) • Utmaningen • Bashäfte • A-boken
A-boken
Matematikboken finns för hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9. Matematikboken Alfa, Beta, Gamma är avsedda för årskurserna 4–6.
n e k
o b -
A
• B-boken • Lärarhandledning • Onlinebok Grundbok
Best.nr 47-10991-3 Tryck.nr 47-10991-3
Gamma_A_OMSL_tryck.indd 1
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén
2013-06-25 12.40
gamma Matematikboken
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny WelĂŠn
Liber
001-064 GAMMA Kapitel 1 med linje.indd 1
2013-06-25 13.09
ISBN 978-91-47-10991-3 © 2013 författarna och Liber AB Redaktion: Sara Ramsfeldt, Mats Juhlin Formgivning och omslag: Sara Ånestrand, Jan Holtz, Bånges Grafiska Form AB Bildredaktör: Nadia Boutani Werner Produktion: Eva Runeberg Påhlman Illustrationer: Johan Unenge Matematiska figurer: Björn Magnusson Första upplagan 1 Repro Repro 8 AB, Stockholm Tryck Kina 2013
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningssamordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuspresskopia.se. Liber AB, 113 98 Stockholm Tfn 08-690 92 00 www.liber.se Kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se
001-064 GAMMA Kapitel 1 med linje.indd 2
2013-06-25 13.09
BILDFÖRTECKNING Omslag Lena Johansson/Mira/NordicPhotos omslag Inlaga Susanne Walström/Johnér 5 Alexander Hassenstein/Bongarts/Getty Images 6 (1) Jonas Ekströmer/Scanpix 10 Stuart Minzey/Photographer’s Choice/Getty Images 17 Thomas Marent/Visuals Unlimited/Getty Images 25 (1) Jim Esposito Photography/Photodisc/Getty Images 25 (2) Arthur Selbach/Getty Images 25 (3) Jakob Fridholm/Getty Images 25 (4) Helge Sunde/Samfoto/Scanpix 26 Claudio Bresciani/Scanpix 32 Anders Wiking/Scanpix 37 Lars Pehrson/SvD/Scanpix 47 Primoz Jeroncic / PhotoSI/Scanpix 57 Roger Turesson/DN/Scanpix 59 Johan Willner/Etsabild/Johnér 65 Ulf Rennéus/Mary Square Images 66 Riksbanken 76 Nasa 83 Paul Simcock /Blend Images/Getty Images 108 Susanne Walström/Johnér 110 Magnus Hartman/Scanpix 122 Roger Schederin/IBL 128 Övriga fotografier från Haléns, Liber arkiv, OPV-Online, Photodisc, Shutterstock och Thinkstock.
110-160 GAMMA Kapitel 3 med linjer.indd 159
2013-06-25 13.42
2
Innehåll 1
Tal och räkning
65
2.1 Multiplikation med 10, 100 och 1 000 66 2.2 Multiplikation med tal som slutar på noll 72 2.3 Division med 10, 100 och 1 000 79 Tänk och räkna: Så räknade Babylonierna 84 2.4 Multiplikation med decimaler i båda faktorerna 86 Taluppfattning och huvudräkning 90 2.5 Mer om division 91 2.6 Födelsedagsfesten 95 Sammanfattning 2 98 Blandade uppgifter 99 Kan du begreppen? 102 Kan du förklara? 102 Träna mera 103 Problemlösning 107
5
1.1 Olika slags tal 6 Tänk och räkna: Binära tal 12 1.2 Bråkform och blandad form 14 1.3 Bråkform och decimalform 21 Taluppfattning och huvudräkning 27 1.4 Hur stor är delen? 28 1.5 De fyra räknesätten 35 1.6 Räkna med miniräknare 42 1.7 På utflykt med kanot 48 Sammanfattning 1 51 Blandade uppgifter 53 Kan du begreppen? 56 Kan du förklara? 56 Träna mera 57 Problemlösning 61
Multiplikation och division
3
Samband och förändring
110
3.1 Procent 111 3.2 Sannolikhet 117 Tänk och räkna : Kombinatorik 123 3.3 Hur stor är delen? 125 Taluppfattning och huvudräkning 130 3.4 Koordinatsystemet 131 3.5 Proportionalitet 136 3.6 Världen i siffror 141 Sammanfattning 3 144 Blandade uppgifter 146 Kan du begreppen? 148 Kan du förklara? 148 Träna mera 149 Problemlösning 154
001-064 GAMMA Kapitel 1 med linje.indd 3
2013-06-25 13.09
Förord ETT TVÅ TRE FYRA
Boken innehåller sex kapitel som i sin tur är uppdelade i avsnitt. I varje avsnitt finns det uppgifter på fyra nivåer. På nivå ett finns lätta uppgifter medan uppgifterna på nivå fyra ger rejäla utmaningar. Du kan starta på olika nivåer i olika avsnitt eller kapitel, men ta för vana att räkna minst två nivåer. Om du tycker att nivå ett är för svår finns Bashäfte Gamma med enklare uppgifter. Om nivå fyra inte är tillräckligt utmanande finns en bok som heter Utmaningen Gamma. Sista uppgiften på varje nivå är en ”pratbubbleuppgift”. Den är tänkt som en diskussionsuppgift som du kan lösa med en kamrat. Pratbubbleuppgifterna har inget facit. De uppgifter där du bör använda miniräknare är markerade med en streckad linje. I kapitel 1–5 återkommer följande avsnitt: Målsida Här beskrivs vad du får möjlighet att utveckla i kapitlet. Aktiviteter Praktiska uppgifter att lösa i par eller grupp. Taluppfattning och huvudräkning Tränar grundläggande matematik. Räkna och häpna Spännande uppgifter som ger överraskande svar. Tänk och räkna Uppgifter av undersökande karaktär. Sammanfattning Sammanfattar kapitlets centrala innehåll. Blandade uppgifter Blandad repetition av kapitlet. Kan du begreppen? Repetition av centrala begrepp. Kan du förklara? Här får du använda begreppen. Träna mera För dig som behöver träna mera. Fördjupning För dig som klarat diagnosen bra. Problemlösning Kluriga problem att lösa individuellt eller parvis. I kapitel 6, Alfa, Beta, Gamma – med sikte på framtiden, repeteras momenten från Alfa, Beta och Gamma. Kapitlet ger därmed en omfattande repetition inför det nationella provet i matematik – och inför fortsatta matematikstudier i åk 7 till 9. I avsnittet Repetition är uppgifterna hämtade från bokens lösta typexempel. Om du behöver hjälp kan du titta tillbaka på exemplet. Boken avslutas med Läxor. Det finns fyra läxor till varje kapitel. I läxorna finns även repetition från tidigare kapitel. Lennart, Christina, Kristina och Conny
001-064 GAMMA Kapitel 1 med linje.indd 4
2013-06-25 13.09
Tal och räkning
1
När d
u arb
et
un Av r
m
al
dn
in
fo r
g
m
ta l De ci
lla ne tio Ra
na re äm N
re ja Tä l
Bl
an
da
d
m
fo r
fo r Br åk fo r
ve ck
la d
ta l rl at u
N
Ut
ig a
P EP R EG B
m
m
ar m hur v ed de årt ta t här lsyst kapit em o samb c let få h and m någr r du a and ellan lära ra ta uttry tal i b dig: l cka a s r y åkfor stem ndel m oc är up ar i b samb h pbyg decim råkfo ande gda rm o alfor t me c m h l l d an br samb ecim åkfor alfor ande m m oc t me llan h berä d ecim ande knin alfor len, d gar m m skrif elen ed de tliga o c h det fyra meto rä hela der o förkl ch m knesätte ara o n i n med ch m iräkn om b otive are egre ra ut ppen i från i kap dina itlet kuns kape r
5
001-064 GAMMA Kapitel 1 med linje.indd 5
2013-06-25 13.09
1.1
Olika slags tal Naturliga tal Det finns tio siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. Med siffrorna kan vi bilda hur många tal som helst. Talet 0 och de positiva heltalen bildar tillsammans de naturliga talen. Dessa är alltså: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6… Av de naturliga talen kallar vi 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 … för jämna tal och 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 … för udda tal. Tal i decimalform Vid en tävling i längdhopp hoppade Michel Tornéus 8,22 m. Talet 8,22 är ett exempel på ett tal i decimalform. Vi läser talet som ”åtta komma tjugotvå” eller ”åtta hela och tjugotvå hundradelar”. Platsvärden Det värde en siffra representerar beror av vilken plats siffran har i talet. I till exempel talet 5 895 representerar siffran 8 värdet 800. tusentalssiffra som representerar värdet 5 · 1 000 = 5 000 hundratalssiffra som representerar värdet 8 · 100 = 800 tiotalssiffra som representerar värdet 9 · 10 = 90 entalssiffra som representerar värdet 5 · 1 = 5
5 8 9 5 En ostbit väger 0,457 kg. Talet 0,457 är ett tal med tre decimaler. Även här beror det värde en siffra representerar av var i talet den står. entalssiffra som representerar värdet 0 · 1 = 0 tiondelssiffra som representerar värdet 4 · 0,1 = 0,4 hundradelssiffra som representerar värdet 5 · 0,01 = 0,05 tusendelssiffra som representerar värdet 7 · 0,001 = 0,007
0, 4 5 7
6
1 • Tal och räkning
001-064 GAMMA Kapitel 1 med linje.indd 6
2013-06-25 13.10
Utvecklad form Talet 3 657 kan skrivas som en summa: 3 657 = 3 000 + 600 + 50 + 7. Vi säger att talet är skrivet i utvecklad form. När ett tal i decimalform skrivs i utvecklad form ser det ut så här: 27,83 = 20 + 7 + 0,8 + 0,03
Alla talen innehåller 6 tiondelar. Vilket tal innehåller flest hundradelar? Jo, det är 0,69. Alltså vet du att det talet är störst.
EXEMPEL
Vilket tal är störst och vilket är minst? 0,65 0,649 0,6 0,69 0,675
0,650
0,649
0,600
0,690
0,675
En bra metod är att skriva talen så att de får lika många Du har 0 ental och ska ta bort 8 ental. decimaler. En nolla efter den sista decimalen förändrar Det går inte utan att du växlar ner 1 tiotal till inte talets värde. Då ser du lättare att 0,69 (690 tusen10 ental: 10 – 8 = 2 delar) är störst och 0,6 (600 tusendelar) är minst. Du har 7 tiotal kvar: 7 – 4 = 3 Subtrahera hundratalen: 2 – 0 = 2
Svar: 0,69 är störst och 0,6 är minst.
EXEMPEL
Vilket värde representerar siffran 3 i följande tal? a) 731
b) 8 356
c) 1,36 36
I talet 731 står 3:an I talet 8 356 står 3:an på på tiotalssiffrans hundratalssiffrans plats. plats. Värdet den Värdet den representerarr Du har 0 ental och ska ta bort 8 ental. 3 · 100 Det gårrepresenterar inte utan att duärväxlar ner 1ärtiotal till= 300. därför 10 ental: 10 – 83 =· 10 2 = 30.
I talet 1,36 står 3:an på tiondelssiffrans plats. Värdet den representerar är 3 · 0,1 = 0,3.
Du har 7 tiotal kvar: 7 – 4 = 3 Subtrahera hundratalen: 2 – 0 = 2
Svar: a) 30
b) 300
c) 0,3
1 • Tal och räkning
001-064 GAMMA Kapitel 1 med linje.indd 7
7
2013-06-25 13.10
ETT 1
2
3
Skriv talen med siffror. a) sjuhundraelva b) niotusen etthundra
Svar: a) _____________
b) _____________
Vilket tal är störst? a) 2 020 eller 2 200
b) 1 eller 0,9
Svar: a) _____________
b) _____________
Vilken siffra är tiotalssiffra i talen? a) 725 b) 5 213
Svar: a) _____________ 4
c) 0,5 eller 0,3
c) _____________ c) 78,9
c) _____________ 5
7
2
8
b) _____________
Skriv talen med siffror i decimalform. a) fem tiondelar b) fem hundradelar
Svar: a) _____________ 6
c) _____________
Använd alla siffror i rutan och skriv a) ett tal som är så nära 6 000 som möjligt b) ett udda tal som är så litet som möjligt
Svar: a) _____________ 5
b) _____________
c) tjugotvåtusen femtio
b) _____________
Skriv talen i utvecklad form. a) 753 b) 2,95
c) fem tusendelar
c) _____________ c) 2 643
Svar: a) ____________________________________________________ b) ____________________________________________________ c) ____________________________________________________
ZZ 8
7
a) Ge exempel på ett tal som är större än 1 men mindre än 1,1. b) Hur många sådana tal finns det?
1 • Tal och räkning
001-064 GAMMA Kapitel 1 med linje.indd 8
2013-06-25 13.10
TVÅ 8
Vilka tal pekar pilarna på? a
0
1
b
2
3
c
4
5
d
6
7
e
8
f
9
10
11
Svar: a) ______ b) ______ c) ______ d) ______ e) ______ f) ______ 9
Vilket tal är störst och vilket är minst? a) 1 0,99 0,9 b) 8,1 7,99 8,0
0,909 8,9
Svar: a) Störst: _____________ Minst: _____________ b) Störst: _____________ Minst: _____________ 10
Skriv talen i utvecklad form. a) 235,7 b) 87,64
c) 1,034
Svar: a) ____________________________________________________ b) ____________________________________________________ c) ____________________________________________________
9
001-064 GAMMA Kapitel 1 med linje.indd 9
2013-06-25 13.10
11
Vilken siffra i Moa Hjelmers segerlopp är a) entalssiffra b) hundradelssiffra
Svar: a) _____________
b) _____________
c) tiotalssiffra
c) _____________
För några år sen vann den svenska friidrottaren Moa Hjelmer EM-guld på 400 m med segertiden 51,13 s. Tiden innebar att det svenska rekordet förbättrades med 27 hundradels sekunder.
12
Skriv hur mycket det svenska rekordet förbättrades med som ett tal i decimalform.
Svar: 13
Låt tiondelssiffran byta plats med tiotalssiffran i talet 83,57. Vilket tal får du då?
Svar:
ZZ 14
_______________________________________________________________
_________________
Hur mycket högre värde representerar 5:an än 2:an i talet 5 283? Förklara hur du tänker.
TRE 15 Skriv talen med siffror.
a) femtiotusen sjuttiofem c) sju tusendelar
b) en miljon trettiotusen
Svar: a) ____________________ b) ____________________ c) ____________________ 10
1 • Tal och räkning
001-064 GAMMA Kapitel 1 med linje.indd 10
2013-06-25 13.10
16
17
Vilka tal skrivs så här i utvecklad form? a) 50 + 6 + 0,8 b) 200 + 70 + 5 + 0,8
c) 5 + 0,03
Svar: a) _____________
c) _____________
b) _____________
Vilka tal pekar pilarna på? a
0,0
0,1
0,2
b
0,3
c
0,4
0,5
d
0,6
0,7
e
0,8
f
0,9
1,0
1,1
Svar: a) ______ b) ______ c) ______ d) ______ e) ______ f) ______ 18
Ludvig hade feber en dag. På morgonen visade termometern 38,7 °C. På kvällen hade temperaturen stigit med fem tiondelar. Vilken var temperaturen då?
Svar: 19
_____________________________________________________________
Vilket tal ligger mitt emellan talen? a) 5 och 10 b) 1,5 och 1,8
Svar: a) _____________ 20
c) _____________
Addera talen med en tiondel. Vilka tal får du då? a) 2,35 b) 0,809 c) 0,4
Svar: a) _____________
ZZ 21
b) _____________
c) 0,12 och 0,2
Så här subtraherar Sofia: Förklara hur hon tänker.
b) _____________
c) _____________
8,7–3,9=8,8–4=4,8
Uppgifterna 22–28 finns i Gamma grundbok
1 • Tal och räkning
001-064 GAMMA Kapitel 1 med linje.indd 11
11
2013-06-25 13.10
Tänk och räkna Binära tal Tiosystemet Vårt talsystem bygger på talet 10 och består av 10 siffror – tiosystemet. Kanske beror det på att vi har 10 fingrar. Vilket värde en siffra representerar beror på dess plats, position, i talet. De ”byggbitar” vi använder oss av när vi skriver naturliga tal är: 1 10 10 · 10 = 100 10 · 10 · 10 = 1 000 och så vidare... Det betyder till exempel att talet 6 042 kan skrivas så här: 6 042 = 6 · 1 000 + 0 · 100 + 4 · 10 + 2 · 1
Binära talsystemet I datorer används ett talsystem där man bara använder två siffror, 0 och 1. Talen bygger på talet 2 och kallas för det binära talsystemet. Talen byggs upp av följande ”byggbitar”: 1 2 2·2=4 2·2·2=8 2 · 2 · 2 · 2 = 16 och så vidare... Talet 5 kan byggas upp med de binära ”byggbitarna” så här: 1·4+0·2+1·1 Talet 5 skrivs så här i det binära talsystemet: 1012. Den lilla 2:an talar om att talet är skrivet i det binära talsystemet. Lägg märke till att även i det binära talsystemet så representerar siffrorna olika värden beroende på sin position.
12
1 • Tal och räkning
001-064 GAMMA Kapitel 1 med linje.indd 12
2013-06-25 13.10
Talet 13 kan byggas upp så här: 1·8+1·4+0·2+1·1 Det betyder att talet 13 skrivs så här: 11012. Det kan underlätta med den här tabellen när du ska skriva och tolka binära tal. 16 5= 13 = 30 =
1
8 1 1
4 1 1 1
2 0 0 1
1 1 1 0
= 1012 = 11012 = 111102
Nu går vi åt andra hållet. Vilket tal skrivs så här i det binära talsystemet 10012? Vi använder oss av ”byggbitarna” och får då att talet är: 1·8+0·4+0·2+1·1=8+1=9
1
De fem första ”byggbitarna” i det binära talsystemet är 1, 2, 4, 8 och 16. Vilka är de två följande?
2
Det binära talet 1002 är lika med 1 · 4 + 0 · 2 + 0 · 1. Vilket naturligt tal är alltså 1002?
3
Vilka är de naturliga tal som skrivs så här i det binära talsystemet? a) 1102 = 1 · 4 + … b) 10102
4
Vilka naturliga tal är dessa binära tal? a) 11112 b) 11002
5
Talet 14 byggs upp så här: 14 = 1 · 8 + 1 · 4 + 1 · 2 + 0 · 1 Hur skrivs talet 14 i det binära talsystemet?
6
Hur skrivs dessa tal i det binära talsystemet? a) 22 = 1 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 + … b) 23 = 1 · 16 + 0 · 8 + …
7
Skriv talen som binära tal. a) 19 b) 25 c) 42
1 • Tal och räkning
001-064 GAMMA Kapitel 1 med linje.indd 13
13 13
2013-06-25 13.10
1.2
Bråkform och blandad form Hur stor är andelen? Cajsa har delat en pizza i fyra lika stora bitar. Varje bit är en fjärdedel av hela pizzan. En fjärdedel skrivs
1 . 4
Eftersom hela pizzan består av fyra fjärdedelar kan 4 . 4 Cajsa äter en bit. Kvar av pizzan finns då tre fjärdedelar. Vi kan räkna ut det så här: du skriva 1 =
1 4 1 3 = – = 4 4 4 4 Pizzan kan naturligtvis delas även i andra delar som till exempel halvor och tredjedelar.
1–
1
=
2 2
=
3 3
=
5 5
Tal i bråkform 2 3 och är exempel på tal i bråkform. Tal som kan skrivas i bråkform 5 5 kallas för rationella tal.
2 femtedelar av rektangeln är röd.
14
3 femtedelar av rektangeln är blå.
1 • Tal och räkning
001-064 GAMMA Kapitel 1 med linje.indd 14
2013-06-25 13.10
De båda talen i ett bråk kallas täljare och nämnare. Strecket mellan talen kallas bråkstreck. täljare
3 5
bråkstreck nämnare
Från hela till delar Två pizzor kan delas i 8 fjärdedelar. 8 4 12 16 Tre pizzor kan delas i 12 fjärdedelar ( ), fyra pizzor i 16 fjärdedelar ( ) 4 4 och så vidare.
2=
Tal i blandad form Efter ett biobesök gick Johan och två kompisar till en pizzeria. De beställde två pizzor och bad att få dem delade i fjärdedelar. När alla tagit var sin bit så fanns det fem fjärdedelar kvar. Man kan också säga att det fanns en hel och en fjärdedels pizza kvar. 5 Talet 5 fjärdedelar kan skrivas i bråkform så här: . 4 1 Om talet skrivs som hela och delar, 1 , så är det skrivet i blandad form. 4 1 5 =1 Blandad form 4 4 Bråkform
Här finns det en hel och tre åttondels pizza kvar. Räknar man pizzabitarna så finns det 11 bitar. Man kan därför säga att det finns 11 åttondelar kvar. 1
3 11 = 8 8
1 • Tal och räkning
001-064 GAMMA Kapitel 1 med linje.indd 15
15
2013-06-25 13.10
Matematikboken
I Matematikboken Gamma hittar du: • Centralt innehåll i enlighet med kursplan 2011 • Tydlig struktur • Målsidor • Gemensamma genomgångar med typexempel • Uppgifter på tre färdighetsnivåer • Väl avvägd progression • Sammanfattningar av begrepp och formler
gamma
efter varje kapitel • Träning av olika matematiska förmågor • Uppgifterna är av varierande karaktär och växlar mellan: ellan: Färdighetstränande | Kommunikativa | Laborativa | Undersökande | Problemlösande | Tematiska
gamma Matematikboken
gamma
Har du frågor om metodik eller innehåll är du välkommen att kontakta Lennart Undvall på mail eller telefon, lennart.undvall@gmail.com respektive 070-320 38 62. Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.
Till Matematikboken Gamma hör följande böcker: • Grundbok (med Facit) • Utmaningen • Bashäfte • A-boken
A-boken
Matematikboken finns för hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9. Matematikboken Alfa, Beta, Gamma är avsedda för årskurserna 4–6.
n e k
o b -
A
• B-boken • Lärarhandledning • Onlinebok Grundbok
Best.nr 47-10991-3 Tryck.nr 47-10991-3
Gamma_A_OMSL_tryck.indd 1
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén
2013-06-25 12.40