Gunilla Viklund · Birgit Gustafsson · Anna Norberg
Trianglar C
Triangelns vinkelsumma Vinkelsumman i en triangel är 180°. ^A + ^B + ^C = 180° CC
A
B
Likformiga trianglar
4,0 4,0
5,0 5,0
FF
2,0 2,0
Matematik 1a Grön för Barn- och fritidsprogrammet, Naturbruksprogrammet och Vård- och omsorgsprogrammet.
CC
Matematik 1a – program, uppdrag, modeller har
EE AA
BB
Pythagoras sats a +b =c 2
2
2
katet a
FF
PROGRAM • UPPDRAG • MODELLER
Matematik 1a
DD I likformiga trianglar är a motsvarande vinklar lika EE AA BB a förhållandet mellan motsvarande sidor lika. AC BC AB = = FE DE DF
Matematik 1a
• en Modell för varje viktigt delmoment DD
• typexempel och övningsuppgifter till varje modell
• Uppdrag med problemlösning, resonemang och kommunikation • Blandade övningar på tre nivåer
hypotenusa c
• två kontrollstationer Välj rätt svar och Test.
b katet
I samma serie fi nns
Skala
Matematik 1a Gul (Bygg- och anläggningsprogrammet, El- och energiprogrammet, Fordons- och transportprogrammet, VVS- och fastighetsprogrammet)
Längd i bild:Längd i verklighet 30:1 är en förstoring. 1:1 000 är en förminskning. Symmetri a Om en fi gur har spegelsymmetri delar en symmetrilinje fi guren i två lika delar. a Om en fi gur har rotationssymmetri kan den rotera θ° utan att ändras. 360 där n är rotationsordningen n = θ Stjärnan har n = 5 eftersom θ = 72°.
❤
Matematik 1a Orange (Handels- och administrationsprogrammet, Hantverksprogrammet, Hotell- och turismprogrammet, Restaurang- och livsmedelsprogrammet)
«
ISBN 91-523-0809-7
www.bonnierutbildning.se
MatematikA_omslag1gron.indd 1
(523-0809-7)
PROGRAM
UPPDRAG MODELLER
PROGRAM UPPDRAG MODELLER
Skala och symmetri
Matematik 1a
Gunilla Viklund Birgit Gustafsson Anna Norberg
GRÖN
2011-07-05 10.03
Bonnier Utbildning Postadress: Box 3159, 103 63 Stockholm Besöksadress: Sveavägen 56, Stockholm Hemsida: www.bonnierutbildning.se E-post: info@bonnierutbildning.se Order/Läromedelsinformation Telefon 08-696 86 00 Telefax 08-696 86 10
Redaktör: Lena Bjessmo, Karolina Danström Grafisk form, layout och omslag: Kolofon, Lena Eklund Illustrationer: Ingrid Flygare Bildredaktör: Lena Eklund, Lena Nistell
Matematik 1a Grön program, uppdrag, modeller (för BF, N B, VO) isbn 523-0809-7 © 2011 Gunilla Viklund, Birgit Gustafsson, Anna Norberg och Bonnier Utbildning ab, Stockholm Tredje upplagan Första tryckningen
Kopieringsförbud!
Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt bonus-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Printed in Lettland by Livonia Print, 2011
Matematik1a_Inledning_gron.indd 2
2011-07-05 09.36
Till läsaren Denna bok är skriven för dig som ska läsa kursen Matematik 1a i gymnasieskolan och som går på ett omsorgsinriktat yrkes program. Boken innehåller 8 kapitel med samma struktur. Varje kapitel inleds med en beskrivning av det centrala innehåll som behand las i kapitlet. Där hittar du också viktiga begrepp som du bör känna till mer om efter att ha studerat kapitlet. Varje kapitel introduceras med ett Uppdrag. Uppdragen är mer omfattande uppgifter som du kan välja att göra. Dessa finns på flera ställen i kapitlet. Uppdragen kan med fördel lösas i grupp och ger dig möjlighet att utveckla olika matematiska förmågor som att lösa matematiska problem, både teoretiskt och praktiskt och att kommunicera matematik. Det matematiska innehållet i kapitlet presenteras i Modeller. Varje modell består av en kortfattad teorigenomgång med lösta exempel samt uppgifter på olika nivåer. Många uppgifter anknyter till dina karaktärsämnen. Efter kapitlets Modeller kommer en första kontrollstation i form av en tipsrad: Välj rätt svar. Där kan du testa dina kunskaper innan du går vidare till Blandade övningar. Blandade övningar finns på tre nivåer, grundnivå, + och ++. Här finns mer krävande uppgifter som ibland är riktiga utmaningar. I slutet av varje kapitel finns en sammanställning av de begrepp som behandlats i kapitlet. Kapitlet avslutas med ett test där du ska visa dina kunskaper med fullständiga lösningar. Lycka till med dina matematikstudier! Författarna
3
Matematik1a_Inledning_gron.indd 3
2011-07-05 09.36
Innehåll 1 • ta l o c h rä k n i n g
Modell 1 Prioriteringsreglerna...................................................................8 Modell 2 Teckna sammansatta uttryck................................................. 10 Modell 3 Avrundning och överslagsräkning........................................12 Modell 4 Negativa tal..................................................................................15 Modell 5 Bråkräkning.................................................................................. 18 Modell 6 Potenser och kvadratrot...........................................................21 Modell 7 Tid och tidsenheter....................................................................23 Modell 8 Problemlösning.......................................................................... 25 Blandade övningar........................................................................................28 Begrepp och test.....................................................................................36–37
2 • pro c e nt o c h l å n
Modell 1 Procenträkning med stödanteckningar............................. 40 Modell 2 Procentberäkningar................................................................... 41 Modell 3 Promille och ppm.......................................................................44 Modell 4 Förändringsfaktor..................................................................... 46 Modell 5 Beräkna ränta............................................................................. 49 Modell 6 Procentenheter............................................................................51 Modell 7 Rak amortering av lån.............................................................. 53 Modell 8 Kreditköp......................................................................................56 Modell 9 Indexserie.....................................................................................59 Blandade övningar....................................................................................... 64 Begrepp och test...................................................................................... 71–73
3 • stati sti k o c h u n d e rs ö k n i n ga r
Modell 1 Tolka och granska diagram......................................................76 Modell 2 Rita diagram med kalkylprogram.........................................82 Modell 3 Lägesmått.....................................................................................87 Modell 4 Granska en statistisk undersökning.................................... 91 Modell 5 Bortfall.......................................................................................... 94 Modell 6 Felmarginal................................................................................. 96 Blandade övningar......................................................................................100 Begrepp och test....................................................................................111–113
4 • san n o l i k h e ts l ä ra
Modell 1 Utfall och sannolikhet..............................................................116 Modell 2 Odds..............................................................................................120 Modell 3 Sannolikhet och riskbedömning......................................... 123 Modell 4 Sannolikheter med diagram................................................ 128 Modell 5 Sannolikheter för slumpförsök i flera steg...................... 132 Modell 6 Beroende händelser................................................................ 137 Blandade övningar...................................................................................... 142 Begrepp och test...................................................................................151–153
4
Matematik1a_Inledning_gron.indd 4
2011-07-05 09.36
5 • e kvati o n e r och formler
Modell 1 Hitta talet x med hjälp av övertäckning........................... 156 Modell 2 Att lösa ekvationer................................................................... 158 Modell 3 Andra typer av ekvationer.....................................................160 Modell 4 Teckna och tolka uttryck........................................................162 Modell 5 Räkna med parenteser............................................................164 Modell 6 Räkna med formler..................................................................166 Modell 7 Problemlösning med ekvationer.........................................168 Blandade övningar.......................................................................................172 Begrepp och test..................................................................................180–181
6 • g e om e tr i o c h e n h e te r
Modell 1 Tiopotenser och prefix............................................................ 185 Modell 2 Omvandla enheter med olika prefix.................................. 187 Modell 3 Beräkna omkrets och area.....................................................189 Modell 4 Beräkna volym..........................................................................192 Modell 5 Omvandla area- och volymenheter...................................194 Modell 6 Omvandla mellan olika volymmått................................... 195 Modell 7 Problemlösning.........................................................................196 Blandade övningar.....................................................................................200 Begrepp och test............................................................................... 206–207
7 • mate mati s ka sam ba n d
Modell 1 Koordinatsystem.......................................................................210 Modell 2 Proportionalitet........................................................................ 214 Modell 3 Linjära samband....................................................................... 218 Modell 4 Exponentiella samband.........................................................222 Modell 5 Problemlösning.........................................................................225 Blandade övningar..................................................................................... 230 Begrepp och test................................................................................ 239–241
8 • vi n k l a r o c h sym m e tr i e r
Modell 1 Beräkna vinklar i trianglar och fyrhörningar...................245 Modell 2 Skala.............................................................................................247 Modell 3 Likformighet och kongruens............................................... 249 Modell 4 Symmetri....................................................................................253 Modell 5 Pythagoras sats och andragradsekvationer................... 256 Blandade övningar.....................................................................................260 Begrepp och test................................................................................267–269 Facit ................................................................................................................ 270 Register..........................................................................................................296
5
Matematik1a_Inledning_gron.indd 5
2011-07-05 09.36
2
procent
och lån
C e n t r a lt i n n e h å l l a Fördjupning av procentbegreppet: promille, ppm och procentenheter. a Begreppen förändringsfaktor och index samt metoder för beräkning av räntor och amorteringar för olika typer av lån. a Strategier för problemlösning inklusive digitala medier och verktyg. a Problem av betydelse för privatekonomi, samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen. Då m å st e d u k u n n a a genomföra procentberäkningar a använda promille och ppm a beräkna procentuella förändringar a använda förändringsfaktorn a beräkna ränta och amortering för olika typer av lån a skillnaden mellan procent och procentenheter a använda index. B EGR EPP Procent Procentform Det hela Andelen Promille Ppm Moms
Förändringsfaktor Ränta Procentenhet Amortering Index KPI
38
2_Matte1a_gron_Procent.indd 38
2011-07-05 09.40
BAR N PÅ FÖRSKOL AN u ppdrag
På förskolan Snöstjärnan finns 3 grupper med barn i olika åldrar. I gruppen 1–2 år är det 12 barn, i gruppen 3–4 år 18 barn och i gruppen med 5-åringar 20 barn. a Hur stor andel av barnen är 5-åringar?
a Till hösten måste man öka barnantalet med 20 %. Hur många barn ska det vara i de olika åldersgrupperna om andelarna ska vara samma som tidigare?
a Antalet barn ökar med 20 % . Till nästa höst minskar antalet med 20 %. Vad är sant om antalet barn på förskolan? Motivera. A Antalet barn är lika många som det var från början. B Antalet barn är färre än det var från början. C Antalet barn är fler än det var från början.
Ordet procent betyder hundradel eller per hundra och skrivs med specialtecknet %. Uttrycket ”35 % av invånarna är under 30 år” betyder alltså samma sak som att 35 av 100 invånare är under 30 år. Procent används ofta vid jämförelser, men säger inte något om antalet. Även om man vet att 35 % är under 30 år, så vet man alltså inte hur många personer det gäller. I procenträkning finns tre viktiga begrepp, andelen i procentform (procenttalet), delen och det hela: a I Ninas klass är 75 % av eleverna tjejer. Det går 24 elever i klassen. Alltså är det 18 tjejer i klassen. 75 %
andelen
av 24 elever
är 18 elever
det hela
delen
a I Gustafs klass går det 20 elever. Av dessa jobbar 5 elever extra på helgerna. Det är 25 % av eleverna som jobbar extra. 5 elever
delen
av 20 elever
är 25 %
det hela
andelen
Motsvarande uttryck finns för tusendelar, som kallas promille och skrivs med tecknet ‰. Att 12 ‰ av befolkningen lider av en viss allergi betyder att det gäller 12 personer av 1 000. När man ska mäta riktigt små mängder som t.ex. halter av giftiga ämnen använder man uttrycket parts per million, miljondelar som skrivs ppm.
2 • procent och lån
2_Matte1a_gron_Procent.indd 39
39
2011-07-05 09.40
modell 4
Beräkna volym Figuren visar en kub. Alla sidorna är 1 m. volymen = sida · sida · sida Kubens volym: 1 m · 1 m · 1 m = 1 m3
eller 10 dm · 10 dm · 10 dm = 1 000 dm3 1 m3 = 1 000 dm3
När du beräknar volym måste alla sidor ha samma enhet.
1 dm3 = 1 liter När du ska beräkna volymer av geometriska kroppar måste du i de fl esta fall veta både basarean (B) och höjden (h). exempel A lösn i ng
Ç
Lekrummet på en förskola har formen av ett rätblock. Längden är 5,5 m, bredden 4,6 m och takhöjden 2,3 m. Beräkna lokalens volym. Leta reda på formeln för rät blockets volym i formelbladet: V=B·h
Basarea betecknas med B medan man använder b för att beteckna bredden, som är en sträcka.
Rätblockets basarea
(m)
B = l · b = 5,5 · 4,6 m2 = 25,3 m2 h = 2,3 m V = B · h = 25,3 · 2,3 m3 ≈ 58 m3 Svar: Lekrummets volym är ungefär 58 m3.
exempel B lösn i ng
5,5
2,3
4,6
Ett tresidigt prisma har basarean 2,7 cm2 och höjden 13,2 mm. Beräkna prismats volym.
h
Prismats volym V = B · h Basarean B = 2,7 cm2 h = 13,2 mm = 1,32 cm V = 2,7 · 1,32 cm3 ≈ 3,6 cm3
B
B
Enheterna ska ha samma prefix.
Svar: Prismats volym är ungefär 3,6 cm3.
192
6 • geometri och enheter
6_matte_1a_gron_Geometri.indd 192
2011-07-05 09.51
exempel C
Beräkna volymen av ett klot med radien 3,0 cm. Avrunda till hela cm3. Leta reda på formeln för klotets volym. 4 · π · r 3 4 · π · 3,03 Klotets volym V = = cm3 ≈ 113 cm3 3 3
lösn i ng
3,03 = 3,0 ∙ 3,0 ∙ 3,0
Svar: Klotets volym är 113 cm3.
6 25 Beräkna volymen av de geometriska kropparna.
a)
(cm)
b)
c)
(cm)
(dm) 2,5
3,1 4
25 10
5,3
6 26 Hur stor volym har en läkemedelsförpackning som har sidorna 10,5 cm, 5,2 cm och 1,3 cm. 6 27 a) En bur för värphöns har golvmåttet 0,060 m2 per höna och höjden ska vara 0,75 m. Hur stor volym har en burhöna att röra sig på?
b) En bilbur för en normalstor hund har måtten 63 × 48 × 57 cm. Hur stor är volymen? Svara i m3. 628 En metallbehållare i form av en pyramid har en rektangulär bottenarea som är 210 cm2. Den är 2,0 dm hög. Hur många liter rymmer behållaren? 1 liter = 1 dm3. + 629 En foderskopa har formen av ett halvklot. Radien är 6,5 cm. Hur många skopor behöver man ta för att fylla en foderpåse som rymmer 10 liter? + 630 En droppslang har innerdiametern 3 mm och är 2,0 m lång. a) Hur mycket vätska ryms det i slangen?
b) Elsa ska få 100 ml penicillindropp. Hur många procent av droppet får hon inte eftersom det fastnar i slangen?
6 • geometri och enheter
6_matte_1a_gron_Geometri.indd 193
193
2011-07-05 09.51
exempel A
lösn i ng
Rita av figuren nedan och spegla den i linjen L. a)
a)
b)
L
L
L
L
b)
v
v
Figuren ska vara lika långt från linje L i alla punkter. Dra en linje från figuren mot linjen L, den ska ha samma vinkel på andra sidan.
exempel b
a) Vilka av bokstäverna nedan har spegelsymmetri? Rita ut symmetrilinjerna?
b) Vilka har även rotationssymmetri? Vilken är rotationsordningen?
lösn i ng
ADJH a) AD H
J går inte att dela i två lika delar. H kan delas på två sätt.
Svar: A, D och H har spegelsymmetri. b) Om du roterar H ett halvt varv har du ett H igen. Ett halvt varv är 180°. Sätt in θ = 180° 360° 360° n= = =2 θ 180° Svar: H har rotationssymmetri med rotationsordningen n = 2.
827 Tangenterna på ett piano är exem pel på ett mönster med transla tionssymmetri. Fortsätt mönstret.
254
8 • v i n k l a r o c h sym m e tr i e r
8_Matte1a_gron_Vinklar.indd 254
2011-07-05 09.54
828 Rita av figurerna och linjen L. Spegla figurerna i linjen L. a)
L
b)
L
829 Barnen på dagis bygger pärlplattor. Ett par av barnen gör symmetriska figurer. Rita av dem och sätt ut symmetrilinjerna. a)
b)
8 30 Skriv alla bokstäver i svenska alfabetet enligt exempel B. Rita ut symmetrilinjer om det går. Vilka stora bokstäver har a) spegelsymmetri b) spegelsymmetri och rotationssymmetri c) enbart rotationssymmetri 8 31 Vilka av figurerna nedan har spegelsymmetri och/eller rotationssymmetri.
a)
b)
c)
d)
832 Bestäm rotationsordningen n för figurerna nedan. a)
b)
+ 8 33 Rita en figur som har rotationsordningen 59 a) 1
b) 3
c) 4
59
8 • v i n k l a r o c h sym m e tr i e r
8_Matte1a_gron_Vinklar.indd 255
255
2011-07-05 09.54
exempel C
Lättkorv innehåller 10,5 % fett. William köper 300 g. Hur mycket fett har han fått i sig när han har ätit upp all korv? Skriv om 10,5 % till decimalform:
lösn i ng
10,5 % =
10,5 = 0,105 100
10,5 % av 300 g = 0,105 · 300 g = 31,5 g Svar: Han har fått i sig 31,5 g fett.
Delen = Andelen ∙ Det hela
Helen får 8 % rabatt när hon köpte sin nya dator. Rabatten var 1 440 kr. Vilket är det ursprungliga priset?
exempel D lösn i ng
Metod 1:
1 440 Delen Det hela = = kr = 18 000 kr Andelen 0,08 Svar: Priset är 18 000 kr.
Delen är rabatten: 1 440 kr Andelen är 8 % = 0,08
Metod 2: Du kan också använda metoden att först hitta 1 %: 8 % motsvarar 1 440 kr 1 % motsvarar
1 440 kr = 180 kr 8
100 % motsvarar 100 · 180 kr = 18 000 kr Svar: Priset är 18 000 kr.
Du kan tänka så här.
1%
r
0k
18
8%
40
14
100 %
50 %
kr
2 06 Hur mycket är
a) 8 % av 30 kr
18 000 kr
b) 140 % av 600 kg
2 07 Hur många procent är
a) 4 liter av 16 liter b) 24 m av 800 m 2 08 Beräkna det ursprungliga värdet när
a) 5 % är 75 kg
42
Det ursprungliga priset, ”det hela”, motsvaras av 100 %.
b) 17 % är 12 376 kr
c) 0,5 % av 200 kr c) 3 kg av 50 kg c) 6,25 % är 12 cm
2 • procent och lån
2_Matte1a_gron_Procent.indd 42
2011-07-05 09.40
2 09 Kon Rosa på Lönneberga gård i Småland mjölkar 38 liter per dag. Bonden vet att Rosa brukar mjölka bättre och det visar sig mycket riktigt att Rosa har en infektion. Efter antibiotikabehandling mjölkar hon 40 % mer. a) Beräkna ökningen i mjölkproduktion per dag för Rosa. b) Beräkna den nya mjölkproduktionen.
2 10 Calle jobbar som föreståndare på ett äldreboende. Efter att ha löneförhandlat med sin chef fick han en löneökning med 3 %. Hans gamla lön var 28 320 kr/månad. Hur stor blev hans månadslön efter höjningen? 2 11 På nästan allt vi köper får vi betala en skatt till staten som kallas mervärdesskatt eller moms. Jordbrukaren Persson köper konstgödsel på Granngården för 12 600 kr exklusive moms (utan moms)
a) Beräkna momsen som är 25 % av priset. b) Beräkna hur mycket Persson ska betala inklusive moms (med moms). 2 12 Personalen på ett badhus minskade från 15 till 12 personer. Med hur många procent minskade personalstyrkan? 2 13 I en tub med 20 g salva mot klåda finns 0,2 g verksam substans. a) Beräkna styrkan i procentform.
b) Hur många gram verksam substans finns det i en större förpackning som väger 100 g med samma styrka. + 214 Sanna ska göra en saltlösning. Hon löser 10 g salt i 400 g vatten. Hur många procent salt innehåller lösningen? + 215 Hugo tränar inför en orienteringstävling. En kväll förbättra de han sitt personbästa på 1 mil terränglöpning med 4 %. Han sprang sträckan på 2 minuter kortare tid. Vad var hans tidigare tid? Vad är hans nya tid? + 2 16 Fardowsa är undersköterska. Hon har en 20 % glukoslösning. Av den ska hon bereda 0,5 liter 10 % glukoslösning till ett dropp. a) Hur mycket glukos behövs det till 0,5 liter 10 % lösning?
b) Hur mycket av 20 %-lösningen behöver hon ta för att få tillräcklig mängd glukos?
c) Hur mycket sterilt vatten behöver hon tillsätta för att det ska bli 0,5 liter? 2 • procent och lån
2_Matte1a_gron_Procent.indd 43
43
2011-07-05 09.40
3 33 Inför ett val gjordes en undersökning av hur 2 000 personer skulle rösta. 46 % tänkte rösta på det röda partiet och 44 % på det blå. I en tidning beskrevs ställningen som lika. Varför? + 3 34 Vård- och omsorgsarbete är utsatt när det gäller arbetsrela terade besvär och arbetsolyckor. Det kan bland annat bero på tunga lyft och felaktig arbetsställning.
a) Ungefär 4 % av de kvinnor som arbetar med dessa arbeten uppger att de har arbetsrelaterade besvär orsakade av arbetsplatsolycka. Det är totalt 381 000 kvinnor som arbetar med dessa arbeten. Beräkna och ange med felmarginal antal kvinnor med besvär från en arbetsplatsolycka.
b) Ungefär 17 % av männen inom samma arbeten uppger att de har arbetsrelaterade besvär. Det motsvarar ungefär 11 000 män. Beräkna och ange med felmarginal antal män som lider av arbetsrelaterade besvär från den här typen av arbete.
Mer om fel m a rg i nal u ppdrag
Tabellen med felmarginaler på sidan 96 gäller om man gör ett stickprov på minst 1 000 personer. a Blir felmarginalerna större eller mindre om stickprovet minskar till 500 personer? a Gör en ny tabell för ett stickprov på 500 personer med hjälp av formeln för felmarginaler: p(100 – p ) där n är stickprovets storlek n och p andelen som ger ett visst svar i procent. f = 1,96
a I en undersökning frågade man 500 gymnasieelever om de kunde tänka sig att gå en militär utbildning. 273 svarade nej. Ange ett intervall för Nej-svaren i procent om undersökningen gäller alla Sveriges gymnasieelever.
98
3 • s tat i s t i k o c h u n d e r s ö k n i n g a r
3_Matte1a_gron_Statistik.indd 98
2011-07-05 09.43
Välj rätt svar
1 Du har följande tal: 3, 8, 7, 8, 6, 8, 11, 5. Vilket lägesmått är 7? 1. Typvärde
X. Medelvärde
2. Median
2 Vilket av följande påstående är sant?
1. Medelvärde och median har alltid samma enhet. X. Medelvärdet är alltid ett av värdena i datamängden. 2. Medianen är alltid ett av värdena i datamängden. 3 Du ska beskriva prisutvecklingen under en femårsperiod. Vilken typ av diagram är lämpligast att använda?
1. Cirkeldiagram
X. Linjediagram
4 Hur många personer på företaget deltog i undersökningen?
1. 44
X. 52
2. 60
2. Stapeldiagram
Antal personer Antal dagar personalen cyklar 10 8 6 4 2 0
1
2
3
4
5
6
7
dagar
5 I en klass har man mätt hur långa eleverna är. Resultatet är (i cm) 158, 192, 187, 164, 153, 177, 175, 172, 167, 177, 165. Vilket är typvärdet?
1. 177
X. 192
2. 172
6 Med vilken typ av diagram är det lämpligast att beskriva elevernas längd i uppgift 5?
1. Histogram
X. Stolpdiagram
2. Linjediagram
7 Du ska granska en statistisk undersökning. Vilket av följande behöver du inte känna till?
1. Hur den är genomförd X. Vilka som svarat 2. Om det är en stickprovsundersökning eller en totalundersökning
8 Om man gör en stickprovsundersökning så medför resultatet en viss osäkerhet som kallas
1. Statistisk osäkerhet X. Felmarginal
2. Bortfall
9 6 000 enkäter skickades ut. 4 800 svarade, varav 2 300 svarade Nej. Bortfallet är
1. 4 800
X. 2 300
2. 1 200
3 • s tat i s t i k o c h u n d e r s ö k n i n g a r
3_Matte1a_gron_Statistik.indd 99
99
2011-07-05 09.44
+ 7 53 I en rapport finns följande figur och tabell som visar hur höjden av ett ungt träd förändras. Trädets höjd är 1,00 m till att börja med. Tiden t år 0 1 2
3
4 5
6
Trädets höjd h i m 1,00 1,20 1,44
2
1,73
1
2,49
0
2,07
2,99
Trädets höjd h i m
3
Tiden t i år 0
2
4
6
a) Hur många procent har trädets höjd förändrats under det andra året? b) Undersök för flera år hur trädets höjd förändras och beskriv med ord hur den förändras varje år. c) Teckna en formel som kan användas för att beräkna trädets höjd, h m, efter en viss tid, t år.
d) Hur förändras formeln om trädet från början är 2,00 m högt?
e) Formeln i c) är en matematisk modell för hur träds höjd förändras. Vilken begränsning har modellen?
Np Ma A vt 97
fågel holka r u ppdrag
Petter, Albin och Viktoria går kursen Ung företagsamhet. De ska ge nomföra en affärsidé och har bestämt sig för att tillverka fågelholkar och sälja på höstmarknaden. De får hyra Petters farbrors garage två veckor för 250 kr och de åker till returmarknaden där de köper virke till holkarna. De hinner inte göra fler än 600 holkar på två veckor. a Rita en graf som visar sambandet mellan kostnaden för till verkningen och antalet holkar om materialet kostar 5 kr/holk.
a De vill inte förlora pengar även om de inte får sälja alla holkar. Sätt ett pris på holkarna som gör att de inte förlorar pengar även om de bara får sälja hälften av holkarna. Att delta som försäljare på höstmarknaden kostar 200 kr.
a Ge förslag på förändringar i kalkylen så att de får en rimlig vinst.
236
7 • m at e m at i s k a s a m b a n d
7_Matte1a_gron_Samband.indd 236
2011-07-05 09.57
+ + 7 54 Karolina och Attila tar en cykeltur. Tiden de cyklar kan du läsa av på x-axeln och sträckan på y-axeln.
km 4
Avstånd hemifrån
C
3
a) Beräkna hur långt 2 de har cyklat när de kommer hem igen. B 1 b) Bestäm deras medel- A hastighet mellan A 0,1 0,2 0,3 och B. c) Bestäm deras medelhastighet mellan C och E.
D
0,4
0,5
E
0,6
Tid h
+ + 7 55 Jokkmokks kommun i Norrbotten hade 5 210 invånare den 1 januari 2010. Vid samma tidpunkt ett år tidigare var invånar antalet 5 305 personer.
a) Hur många invånare kan förväntas bo i Jokkmokk år 2025 om den procentuella minskningen fortsätter i samma takt? b) Gör en uppskattning om när Jokkmokks befolkning är halverad om ingen förändring sker. Utgå från invånar- antalet januari 2010.
+ + 7 56 Företaget Du och din trädgård skickar ut en katalog som väger 210 g enligt ett särskilt avtal med Posten. Varje katalog kostar 3,90 kr/st att skicka och sedan tillkommer en avgift på 23 kr/kg.
a) Hur mycket kostar det att sända ut 5 000 exemplar?
b) Antag att det kostar y kr att sända ut x exemplar av katalogen. Beskriv med en formel hur y är beroende av x.
+ + 7 57 På en sjukhusavdelning köpte man in röntgenutrustning för 250 000 kr. Utrustningens värde minskar det första året till 200 000 kr. Den ekonomiansvarige som sköter avskrivningarna åt sjukhusledningen ställer upp två olika modeller för värdet K efter x år. En linjär modell och en exponentiell modell.
a) Av budgetskäl vill sjukhusledningen visa på så stor minskning som möjligt av värdet under de första åren. Skriv upp ett samband för den modell som sjukhus- ledningen bör välja. Motivera ditt svar.
b) Efter hur många år är värdet på utrustningen 50 000 kr eller mindre för var och en av modellerna?
7 • m at e m at i s k a s a m b a n d
7_Matte1a_gron_Samband.indd 237
237
2011-07-05 09.58
Begrepp
Betydelse
Sidan
Likhet
I en likhet är värdet av uttrycken på båda sidor av likhetstecknet alltid lika stort.
155
Ekvation
En ekvation är en likhet där ett eller flera tal är okända och har ersatts med en bokstav eller en symbol. Till exempel: x + 5 = 10
155
Algebra
Algebra är ett område inom matematiken där man använder bokstäver eller symboler för att beteckna tal.
155
Variabel
Ett okänt tal som kan anta olika värden. I uttrycket 2x + 7 är x variabel.
162
Koefficient
Det tal som en variabel multipliceras med. I uttrycket 2x + 7 är 2 koefficient.
162
Konstant term
Ett tal som är känt i en summa. I uttrycket 2x + 7 är 7 konstant term.
162
Algebraiska uttryck
Uttryck som innehåller godtyckliga tal, där vissa skrivs med bokstäver, och tecken för räkneoperationer. Till exempel 3x + 5
162
Förenkla
Skriva om ett uttryck till enklare form. Till exempel: 5(x + y) – 2x = 5x + 5y – 2x = 3x + 5y
164
Formel
Beskriver ett samband mellan olika s variabler. Formeln v = anger t hur hastigheten v är beroende av sträckan s och tiden t.
166
B e g r e p p s k a rta a Gör en begreppskarta utifrån dessa begrepp. Försök att binda samman så många begrepp som möjligt med varandra. Hur hänger begreppen ihop? a Jämför din begreppskarta med några klasskompisars. Finns det några skillnader eller likheter? Diskutera och försök enas om en gemensam begreppskarta.
180
5 • e k vat i o n e r o c h f o r m l e r
5_Matte1a_gron_Ekvation.indd 180
2011-07-05 09.50
Test Lös ekvationerna 1 a) x + 23 = 41 2 a) 3x + 2 = 2x + 5
x = 13 14 b) 7x – 3 = 6x b)
c) 17x + 12 = 97 c) 5(x – 4) = 20
3 Frida och Stina löser ekvationen: 5 – 3(1 – 2x) = 8. Frida får svaret x = 1 och Stina x = –1.
a) Vem har rätt?
b) Vilket fel kan den andra ha gjort?
4 Familjens tre barn har feber. Frans som är yngst ska ha x mg av det febernedsättande medlet. Arvid ska ha 40 mg mer än Frans och Hugo ska ha dubbelt så mycket som Frans. Vilket eller vilka av följande uttryck bestämmer hur mycket de ska ha tillsammans?
a) 3x + 40
b) x + x + 40 + 2x
c) 4x + 40
5 Ett positivt heltal multipliceras med 7 och därefter dividerar man med 11. Kvoten multiplicerar man med 5. Svaret blir 175. Vilket är det okända talet? 6 En kostnad K kan beskrivas med en formel K = 130 + 50x. Beskriv med egna ord vad formeln skulle kunna beskriva. 7 Layal får 12 % rabatt på sportkläder. Rabatten på ett par shorts blir 16,20 kr. Hur mycket kostade shortsen före rabatten? 8 Anders säljer begagnade trädgårdstidningar för halva nypriset. Victor köper en ny tidning i kiosken och fyra begagnade av Anders. Det kostar sammanlagt 117 kr. Hur mycket kostar en ny trädgårdstidning? 9 En cappuccino kostar 5 kr mer än en muffins. Sven serverar 13 personer som vill ha både cappuccino och muffins. De betalar 559 kr. Vad kostar en cappuccino? 10 Klädaffären ”Gul och Blå” har rea och sänker priset med 20 % efter en vecka sänker de priset ytterligare 10 %. Evelina köper ett par jeans för 1 044 kr. Vad kostade jeansen innan rean?
5 • e k vat i o n e r o c h f o r m l e r
5_Matte1a_gron_Ekvation.indd 181
181
2011-07-05 09.50
Gunilla Viklund · Birgit Gustafsson · Anna Norberg
Trianglar C
Triangelns vinkelsumma Vinkelsumman i en triangel är 180°. ^A + ^B + ^C = 180° CC
A
B
Likformiga trianglar
4,0 4,0
5,0 5,0
FF
2,0 2,0
Matematik 1a Grön för Barn- och fritidsprogrammet, Naturbruksprogrammet och Vård- och omsorgsprogrammet.
CC
Matematik 1a – program, uppdrag, modeller har
EE AA
BB
Pythagoras sats a +b =c 2
2
2
katet a
FF
PROGRAM • UPPDRAG • MODELLER
Matematik 1a
DD I likformiga trianglar är a motsvarande vinklar lika EE AA BB a förhållandet mellan motsvarande sidor lika. AC BC AB = = FE DE DF
Matematik 1a
• en Modell för varje viktigt delmoment DD
• typexempel och övningsuppgifter till varje modell
• Uppdrag med problemlösning, resonemang och kommunikation • Blandade övningar på tre nivåer
hypotenusa c
• två kontrollstationer Välj rätt svar och Test.
b katet
I samma serie fi nns
Skala
Matematik 1a Gul (Bygg- och anläggningsprogrammet, El- och energiprogrammet, Fordons- och transportprogrammet, VVS- och fastighetsprogrammet)
Längd i bild:Längd i verklighet 30:1 är en förstoring. 1:1 000 är en förminskning. Symmetri a Om en fi gur har spegelsymmetri delar en symmetrilinje fi guren i två lika delar. a Om en fi gur har rotationssymmetri kan den rotera θ° utan att ändras. 360 där n är rotationsordningen n = θ Stjärnan har n = 5 eftersom θ = 72°.
❤
Matematik 1a Orange (Handels- och administrationsprogrammet, Hantverksprogrammet, Hotell- och turismprogrammet, Restaurang- och livsmedelsprogrammet)
«
ISBN 91-523-0809-7
www.bonnierutbildning.se
MatematikA_omslag1gron.indd 1
(523-0809-7)
PROGRAM
UPPDRAG MODELLER
PROGRAM UPPDRAG MODELLER
Skala och symmetri
Matematik 1a
Gunilla Viklund Birgit Gustafsson Anna Norberg
GRÖN
2011-07-05 10.03