9789147085934

M

2c

Den här boken omfattar gymnasieskolans kurs Matematik 2c.

Den riktar sig till naturvetenskaps- och teknikprogrammen.

Boken passar också för vuxenutbildning och basår.

• Bokens tydliga förklaringar ger en djupare förståelse för matematiken.

SON JUNNES JONAS S RÖM HOLMST MARTIN DHAMRE EVA SME

• Nivåindelade uppgifter och fördjupningar gör det lätt att individualisera.

• Laborativa aktiviteter, Upptäck & visa, Digitala rutan samt Kommunicerauppgifter ger möjlighet att träna många förmågor.

• Varje kapitel avslutas med Sammanfattning, Test och Blandade övningar.

M är en matematikserie för gymnasieskolan.

Serien täcker samtliga gymnasieprogram.

Tryck.nr 47-08556-9

M2c

Best.nr 47-08593-4

M2c sa rtryck - omslag.indd 1

r1140-089

Best.nr 47-08556-9

11-09-26 09.04.06

FACIT

R1140-089 Detta är ett särtryck ur ISBN 978-91-47-08593-4 © 2011 Martin Holmström, Eva Smedhamre, Jonas Sjunnesson och Liber AB Projektledare: Calle Gustavsson Formgivning och layout: Cecilia Frank/Frank Etc. AB Omslag: Cecilia Frank Bildredaktör: Marie Olsson Illustrationer: Björn Magnusson, Cecilia Frank Faktor: Adam Dahl Första upplagan 1 Repro: Exaktaprinting AB, Malmö Tryck: Sahara Printing, Egypten 2011

Blandade uppgifter 1 2 3

4

5 6 7 8 9 10 11 12 13

14

a) xy + 12 b) x2 a) 17x2 b) 12x a) (x + 2)(x – 2) b) (x + 5)(x – 5) c) (7 – x )(7 + x ) a) x2(x + 3)(x – 3) b) y(1 + y )(1 – y) c) y(x + 1)(x – 1) a) 10 m b) 51 m (x = 59) 2,5 cm x = –1 x = 13 x=0 a) t = ±1,5 b) x1 ≈ 37,3 x2 ≈ 2,68 a) y1 = –3 y2 = 1 y2 = –2 b) y1 = 8 a) z = 1 ± i b) x1 ≈ –1,62 x2 ≈ 0,618 a) z1 = –0,4 + 0,8i z2 = –0,4 – 0,8i x2 = –2 b) x1 = 4 425 kg

15 113 000 kunder (112 766)

35 x = 15 cm

16

36 x1 = 0 x2 = –1

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

1 a1 = 8, a2 = –13 3 a) r ≈ 12,1 b) y ≈ 1,92 t ex x2 – 6x + 34 = 0 294 m2 96x + 0,4 3 z = –5 ±4i eller z = 0 45 m a = 10 144x2 53 23x + 1 4,9 cm a) x1 = x2 = 0 x3 = 2,5 b) x1 = –5, x2 = 2, x3 = –2 17 cm 7,94 · 10–4 –6 Standardformatet har största bildskärmsytan a) 1,8 och 2,25 b) 238

37 Dubbelrot om a = –2 38 Första parentesen =

39 40 41

42 43 44 45

= (2 + x + 3y)2 = = 4 + 2 · 2(x + 3y) + (x + 3y)2 Hela uttrycket = = 4 + 4x + 12y + (x + 3y)2 – – (x + 3y)2 = 4 + 4x + 12y Uttrycket kan skrivas 4(1 + x + 3y) och är alltså jämnt delbart med 4. VSV a) x = 3 b) x1 = 2 x2 = 6 a > 0,3 eller a < –0,3 1,9 m a > 0,4 eller a < –0,4 –6 x2 – 9x + 18 = 0 eller x2 + 5x – 10 = 0 x2 – 2x – 3 = 0 Kalles ekvation fås genom (x – 4) (x + 2) = 0 som ger p = –2. Pelles ekvation fås genom (x – 1)( x + 3) = 0 som ger q = –3.

Kopieringsförbud Detta verk skyddas av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

M2c sa rtryck - omslag.indd 2

BILDFÖRTECKNING Omslagsfoto: Adam Gault/Matton Images 20 22 2–3 Erich Lessing/IBL 23 2–3 ©20th Century Fox/Everett 25 Collection/IBL 28 3 Science Photo Library/IBL 11 Helena Larsson/Naturfotograferna/ 34 40 IBL 13 Jonathan Nackstrand/AFP/Scanpix 42 44 17 Bo Lindell/Scanpix

Bertil Ericson/Scanpix Shutterstock NASA Filip Singer/EPA/Scanpix Mujo Korach/IBL Hugo Nabo/DN/Scanpix Jan Nordström/Mira/NordicPhotos Bertil Ericson/Scanpix Shutterstock

45 49 50 56 58 59

Bridgeman Library/IBL Photodisc OS 50 Harald Eisenberger/LOOK-foto/IBL Jochen Luebke/Scanpix Age Fotostock/NordicPhotos Harald Eisenberger/LOOK-foto/IBL

11-09-26 09.04.06

September 2011

Hej! Det här särtrycket innehåller första kapitlet i boken Matematik M2c.

Boken i sin helhet består av fyra kapitel.

Vi föreslår att 2c­kursens totala timtal fördelas på ungefär följande sätt: 1

Algebra

30 %

2

Geometri

30 %

3

Funktioner

25 %

4

Statistik

15 %

I planeringen ovan ingår tid för repetition och prov.

Lycka till med kursen!

Författarna

1

M2c - sa rtryck.indb 1

11-09-26 08.57.26

KAPITEL 1

Mål här får du lära dig: • parentesmultiplikation • Använda algebraiska identiteter som t ex kvadreringsreglerna och konjugatregeln • hur talsystemet utvidgas med imaginära tal • vad som menas med ett komplext tal • Lösa andragradsekvationer och rotekvationer • Lösa ekvationer med hjälp av faktorisering • Lösa problem genom att ställa upp andragradsekvationer • Argumentera med stöd av kapitlets begrepp

2

M2c - sa rtryck.indb 2

11-09-26 08.57.30

KAPITEL 1

1 D

en italienska matematikern och uppfinnaren Gerolamo Cardano (1500­talet) sysslade bland annat med lösning av tredjegradsekvationer.

Han påstås också ha studerat ett problem av den här typen:

tal. Mystiken kring de komplexa talen skulle inte skingras förrän Gauss på 1800­talet kunde ge en geometrisk tolkning av de komplexa talen och deras räkneregler.

Kan vi dela talet 8 i två delar så att delarnas produkt blir 25?

Överst: Rhindpapyrusen visar hur man beräknade kvadratrötter i Egypten för 3700 år sedan.

Detta problem kan vi lösa med hjälp av andragradsekvationen x · (8 – x) = 25 Cardano insåg att lösningen till den här andragradsekvationen är x = 4 + −9 och x = 4 − −9 .

Du kan ju själv direkt se att talens summa blir 8. Och produkten blir faktiskt 25!

Cardano tyckte att talen ”saknade mening” eftersom de innehöll kvadratroten ur ett negativt tal. Många matematiker börjar vid den här tiden undersöka hur man kan räkna med kvadratroten ur negativa tal. Med tiden kom sådana tal att kallas imaginära = overkliga.

T.v.: Bild ur filmen Avatar, där man med hjälp av datoranimering skapat en helt ny värld.

Nedan: Gerolamo Cardano (1501 – 1576)

BegrePP binom koefficient polynom dubbla produkten konjugat kvadratkomplettering andragradsekvation diskriminant imaginära enheten komplext tal faktorisering rotekvation falsk rot

I det här kapitlet får du lära dig en del om dessa ”mystiska” tal.

Tal som både var verkliga (reella) och overkliga (imaginära), kallades komplexa

ALGeBRA

M2c - sa rtryck.indb 3

3

11-09-26 08.57.36

KAPITEL 1

1.1 REPETITION Den del av matematiken som sysslar med bokstavsuttryck kallas algebra.

Vi börjar med en kort repetition av grundläggande algebra som togs upp i kurs 1c.

förenkling av uttryck Från en rektangulär plåt skär man bort ett kvadratiskt hål enligt figuren nedan. Figuren är inte skalenligt ritad, men har de mått (cm) som anges i bilden.

Skriv ett uttryck för plåtens area.

x

5+x

x 3x

Plåtens area = rektangelns area – kvadratens area Plåtens area = 3x(5 + x) – x2 = 15x + 3x2 – x2 = 15x + 2x2 Vi har fått ett uttryck för plåtens area.

Arean = 15x + 2x2 Beroende på vilket värde som variabeln x har, får vi olika värden på arean.

Låt oss t ex bestämma plåtens area då x = 7 cm.

Vi sätter in x = 7 i uttrycket och får A = 15 · 7 + 2 · 72 = 105 + 98 = 203 För x = 7 cm är arean alltså 203 cm2.

I det här avsnittet ska vi träna på att förenkla olika uttryck.

I exemplet med plåten använde vi den distributiva lagen.

!

sATs: Distributiva lagen

Distributiva lagen: a · (b + c) = a · b + a · c

3x · (5 + x) = 3x · 5 + 3x · x = 15x + 3x2

4

M2c - sa rtryck.indb 4

1.1

Repetition

11-09-26 08.57.37

KAPITEL 1

eXeMPel 1

Förenkla följande uttryck. a) 9 – (5 + 2x) = 9 – 5 – 2x = 4 – 2x b) 6x – (3 – x) = 6x – 3 + x = 7x – 3 c) 2y – (8y + 5) + 5 = 2y – 8y – 5 + 5 = –6y

Du kommer väl ihåg?

Då det är minustecken framför parentesen, ändras tecknet på termerna inne i parentesen då den tas bort.

Siffertermerna ”försvinner”, eftersom –5 + 5 = 0. eXeMPel 2

Förenkla följande uttryck. a) –2(5 + y) = (–2) · 5 + (–2) · y = – 10 – 2y b) –3(2a – 1) = –6a + 3 Då vi multiplicerar –3 och –1 blir produkten + 3. c) 4(–3 + 5x) = –12 + 20x d) 3x + (x + 2) · 6 – 3(4 – 2x) = 3x + 6x + 12 – 12 + 6x = 15x svar: 15x e) x(x – 6) – x(1 – 8x) = x2 – 6x – x + 8x2 = 9x2 – 7x Förenkling av x2­termerna: x2 + 8x2 = 9x2 Förenkling av x­termerna: – 6x – x = – 7x Svaret 9x2 – 7x kan inte förenklas ytterligare. svar: 9x2 – 7x

Förenkla följande uttryck.

1101

1102

a) 2x + (5 + 7x) b) 10 – (x – 8) a) 3x – (9x – 2) b) x – (2 + 4x) + 7

1103

Titta på uttrycken A och B!

A = 12 – 4x

B = 9 – 3x

Skriv och förenkla det uttryck som visar a) summan A + B b) differensen A – B c) differensen B – A d) Vilket värde får uttrycket A + B då x = 2?

ALGeBRA

M2c - sa rtryck.indb 5

5

11-09-26 08.57.38

KAPITEL 1

1104 Förenkla och beräkna värdet då x = 12.

1113

a) 2x – 9 – x + 5 + 8x + 9x – 5x – 3x + 3 b) 2x – (2 – x) + 3x – (4x + 5) c) –x – (7 – 8x) + (8 + 9x)

1114

a) Förenkla uttrycket 2 y x (9 − 3x + 2 y ) − ( − + 0,5) ⋅ 4 3 3 4 b) Beräkna uttryckets värde då x = –5 och y = 10 –2

1115

Här gäller att A = 3 – 5x och B = x + 3.

Utför följande multiplikationer.

1105 a) 5y · y

b) 2y · 3

1106 a) 5x(x – 1)

b) 4x(0,5 + 2x)

c) x · 8x

c) 2y(3x – 5y)

Skriv ett förenklat uttryck för C med variabel x, då a) C = A – B

1107 Nedan ser du en rektangel där

den ena sidan är a och den andra sidan är b + c.

b

1116

c

b) 4 + 5(y + 3) – 19

1109 a) 2(a – 7) – 2a

b) 15x – 4(x – 5)

1118

Vi utgår från dessa 4 uttryck:

b) 3(4y – 5) – 2(5 – y)

2(1 + x)

3(x – 8)

Bestäm medelvärdet då

a) 9x + (x – 3) · 2 + 6 a) 7 – 4(y + 2) + 1

13 + x

a) Skriv ett nytt uttryck som visar medelvärdet av de 4 uttrycken.

a) x(x – 2) – x(x + 3)

b) x = 9,5

b) 6x – 5(x – 1) – x 1112

2x + 9

2 15

7 − 2x 5 − 2x − 3 3

Förenkla uttrycket

b) y(3y + 2) + (y – 3y2) 1111

c) x = −

1117

Förenkla följande uttryck

1110

a) Förenkla uttrycket x 3x 5 x 7 x 9 x − + − + 2 2 2 2 2 Beräkna uttryckets värde då b) x = 16

a

1108 a) 8x + 3(x – 5)

b) C = 2B – 3A

c) C = 3B – Ax

Förklara den distributiva lagen med hjälp av rektangeln.

2 a) 1, 4 x − ⋅ (5 + 3, 5 x ) 5 b) 1,5(2x – y) – (x – 0,6y) · 3

1119

c) x = −

Beräkna utan räknare. a) 3 ( 12 + 3 ) b)

3 8

2 ( 8 − 18 )

1120 Motivera varför uttrycket

1 + x( 2 – x) · x – x2(1 – x) aldrig har ett negativt värde.

6

M2c - sa rtryck.indb 6

1.1 Repetition

11-09-26 08.57.40

KAPITEL 1

Ekvationer Titta på plåtarna A och B. För vilket värde på x har plåtarna lika stor area?

A

B x

5+x

x 3x

2 x2 + 6

Arean för plåten A har vi tidigare förenklat till 15x + 2x2 Plåt B har arean = 2(x2 + 6) = 2x2 + 12 Areorna är lika stora om 15x + 2x2 = 2x2 + 12 ⇔ 15x = 12 ⇔ x = 12/15 ⇔ x = 0,8

!

Lösning av ekvationer: när vi löser en ekvation, får vi subtrahera, addera, multiplicera och dividera med samma tal i båda leden.

eXeMPel 1

Lös ekvationen 22 – 3(x – 2) = 5(4 – x) lÖsning

Vi börjar med att multiplicera in faktorerna 3 och 5. Samtidigt tar vi bort parenteserna. Observera teckenändringarna i vänstra ledet eftersom det är minus framför parentesen.

22 – 3x + 6 = 20 – 5x 28 – 3x = 20 – 5x –3x + 5x = 20 – 28 2x = –8 −8 x= 2 x = –4 svar: x = –4

ALGeBRA

M2c - sa rtryck.indb 7

7

11-09-26 08.57.41

KAPITEL 1

eXeMPel 2

Lös följande ekvationer. b) x + 5 = x + 8

a) 7x + 5 = 4x + 4 + 1 7x – 4x = 5 – 5

x–x=8–5

3x = 0

0=3

x=0 svar: x = 0

Orimligt!

Ekvationen saknar lösning!

svar: Ekvationen saknar lösning.

eXeMPel 3

Lös ekvationen

5 1 25 + = x 2 4x

lÖsning

Vi multiplicerar med mgn, som är 4x.

2

1

1

4 x ⋅ 5 4 x ⋅1 4 x ⋅ 25 + = x 2 4x 1

1

Vi förkortar med x, 2 och 4x.

1

20 + 2x = 25 2x = 25 – 20 2x = 5 5 x= 2 x = 2,5 svar: x = 2,5

Lös följande ekvationer.

1124

1121

a) 8x = 5x + 18

b) 6x + 9 = 4x + 11

1122

a) 7s + 10 = 3s

b) 12 + 4s = 10s – 12

1123

a) –2 – 3 + 4x = 5 – 6x

2

b) 2x – 1 + 4x – 8 = 5x – 9

1125

Vilka av följande ekvationer saknar lösning? a) 4x = 2x

b) x + 9 = x + 8

c) 3x – 5 = 2x – 5

d) 2x – 4 = x + 4

e) 2x – 10 = 2x – 11

f) 2x – 3x = 0

Titta på ekvationen 5x + 4z = 100.

Bestäm x om du vet att a) z = 10

8

M2c - sa rtryck.indb 8

1.1

b) z = –50

Repetition

11-09-26 08.57.42

KAPITEL 1

1126 Ekvationen x + 4 = 12 har roten x = 8.

1137 En summa pengar ska fördelas på följande

sätt: Billy får 5000 kr mer än Emil. Frida får tre gånger så mycket som Emil.

Skriv en liknande ekvation som har roten a) x = 1

b) x = 10

c) x = –5

a) Hur mycket pengar får Billy om man ska dela på 20 000 kr?

1127 Ali ska flytta och hyr en skåpbil. Hyran

H i kr kan beräknas med uttrycket H = 480 + 2,8x där x = körsträckan i km.

Hur många km har Ali kört om hyran blir 1250 kr?

b) Hur mycket får Frida om man ska dela på 40 000 kr?

Lös följande ekvationer x =x 6

b)

y y + = 15 3 2

3p 9 7 p + =

2 10 5

b)

1 2 3 + = x 5 2x

1138 a) 20 +

Lös följande ekvationer.

1128 13 + (x – 13) – (2 – 5x) = 2,8

1139 a)

1129 5(y + 2) = 18 – (1 – 3y)

3(4 x − 2) 2 + x = 5 10 6y − 2 4y − 2 8+ y − = 1− b) 5 3 6

1140 a) 9 −

1130 (2a + 10) – 4(a + 5) = 0 1131 0,5(4x + 1) + 2(2 – 0,5x) = (4,5 – 2,5x) 1132 12 – 1,2(x – 5) = 22 – 2(x + 4)

1141

1133 3(s + 1) – (s – 1) · 2 = 10 – (5 – 3s)

Då jag subtraherar 12 från talet x får jag kvar en tredjedel av x. Bestäm x.

1142 Jim är dubbelt så gammal som Eva. Max

1134 I ekvationen a(x + b) = c gäller att x är

variabel, medan a, b och c är konstanter.

Ekvationen har lösningen x = 3. a) Ge möjliga värden på konstanterna a, b och c. b) Ange ett generellt vilkor för sambandet mellan konstanterna a, b och c då ekvationens lösning är 3.

1135 Den här likbenta triangeln

är 4 år äldre än Jim. Den sammanlagda åldern för Eva, Jim och Max är 64 år.

Hur gammal är Max? x+2 1 = 3x + 6 3 och diskutera resultatet.

1143 Lös ekvationen

1144 Lös ekvationerna

har omkretsen 50 cm.

Beräkna triangelns bas x.

a) x+4

x+4

1 2 =

6 1− x

b)

3 2 = x − 2 x +1

1145 Elias har en motorbåt. Han ska hälla x liter x

1136 Lös ekvationen

(400 + 4x) · 3 + 2(350 + 3x) = 2800

olja i 25 liter bensin så att den oljeblandade bensinen innehåller 2 % olja. Hur många deciliter olja behöver Elias?

1146 Förklara varför ekvationen

saknar reella rötter.

1 2 = 6 3− x2

ALGEBRA

M2c - sa rtryck.indb 9

9

11-09-26 08.57.45

KAPITEL 1

1.2 KVADRERINGs- OCH KONJUGATREGLER Ett av målen med detta kapitel är att du ska lära dig att lösa andragradsekvationer. för att klara dessa är det nödvändigt att kunna algebraiska samband som t ex kvadreringsreglerna.

Parentesmultiplikation

!

Ett uttryck som t ex 5x2 – 8x + 10 kallas ett polynom där x är variabel.

Polynomet ovan består av 3 termer där talen 5 och –8 kallas koefficienter.

Den största exponenten anger polynomets gradtal vilket innebär att detta polynom har grad 2.

Ett polynom som består av bara två termer kallas ett binom.

Exempel på binom är 3x + 4

I det här avsnittet ska vi undersöka vad som händer när vi multiplicerar två binom, (x + 3) · (y + 2) x

Peter har ett trädgårdsland där han odlar potatis.

Trädgårdslandet har längden x meter och bredden y meter. Se figuren. Peter odlar alltså potatis på en area som är x · y kvadratmeter.

Nästa år vill Peter göra trädgårdslandet större, så att han kan odla fler grönsaker.

Totalt har Peter alltså odlat på en area som är xy + 2x + 3y + 6

10

M2c - sa rtryck.indb 10

1.2

KvAdReRinGs- och KonjuGAtReGLeR

y

Potatis

y

x·y x

3

y

Potatis x x·y

Sallad 3 3·y

y

y 2

Potatis x·y Morötter 2·x

Sallad 3·y Persilja 2·3

y

2

x Morötter 2·x

Persilja 3 2·3

x x

3 3

Potatis x x·y

Sallad 3 3·y

Potatis x·y Morötter

Sallad 3·y Persilja 2·3

Det nya landet blir 3 m längre och 2 m bredare.

Se figuren.

Potatisen har fortfarande arean = xy Morötterna har arean = 2x Salladen har arean = 3y Persiljan har arean = 2 · 3 = 6

Potatis x x·y

y

y 2

2·x

2

2

y+2

y +11-09-26 2

08.57.45

x

KAPITEL 1 Potatis

y

x·y

x

3

y

Potatis x·y

Sallad 3·y

2

Morötter 2·x

Persilja 2·3

x

3

x

3

Potatis x·y

Sallad 3·y

Hela trädgårdslandet har längden (x + 3) meter och bredden (y + 2) meter.

Arean kan alltså skrivas A = (x + 3) · (y + 2) Eftersom hela trädgårdslandets area är lika med summan av delarna får vi följande samband: (x + 3) · (y + 2) = xy + 2x + 3y + 6

y

2

Morötter 2·x

Vi får samma resultat om vi multiplicerar i den ordning som pilarna anger: 1

y

2

y+2

Persilja 2·3 x+3

2

(x + 3)(y + 2) = x · y + x · 2 + 3 · y + 3 · 2 = 3

4

= xy + 2x + 3y + 6 Vi kan sammanfatta detta i följande sats.

!

sATs: Multiplikation av två binom

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

eXeMPel 1

Multiplicera parenteserna och förenkla. a) (x + 7)(3 + x) = x · 3 + x · x + 7 · 3 + 7 · x = = 3x + x2 + 21 + 7x = x2 + 10x + 21 b) (3x + 4)(5x + 1) = 15x2 + 3x + 20x + 4 = 15x2 + 23x + 4

ALGeBRA

M2c - sa rtryck.indb 11

11

11-09-26 08.57.48

KAPITEL 1

eXeMPel 2

Skriv som polynom och förenkla. Tänk på teckenreglerna! a) (x + 5) (x – 3) = x2 – 3x + 5x – 15 = x2 + 2x – 15 b) (x – 8) (4 – x) = 4x – x2 – 32 + 8x = 12x – x2 – 32 c) (5x – y) (3x – 4y) = 15x2 – 20xy – 3xy + 4y2 = = 15x2 – 23xy + 4y2 eXeMPel 3

Förenkla 4y(1 – 3x) – (3x – 1)(2 – 4y) Den här parentesen behåller vi eftersom den föregås av minustecken

lÖsning

4y – 12xy – (6x – 12xy – 2 + 4y) = = 4y – 12xy – 6x + 12xy + 2 – 4y = 2 – 6x svar: 2 – 6x

Utför multiplikationerna och förenkla.

1201

a) (y + 8)(y + 2)

1206

a) (x + 4)(x + ) = x2 + 5x + 4

b) (y – 5)(y + 4)

b) (x + 9)(x + ) = x2 + 11x + 

c) (y – 1)(7 + y) 1202

a) (3 + y)(y – 1)

c) (x + 2)( + ) = x2 + 5x + 6

b) (x – 5)(2 + y)

Förenkla så långt som möjligt.

c) (y – 7)(y – 1) 1203

y2 + (2x + y)(3x – y) – 6x2

1204

(x + 2)(4 – x) + (x + 6)(x + 1)

1205

Skriv ett uttryck för summan av areorna.

(cm)

x+3

Fyll i de tomma rutorna.

x x

1207

(5 – x)(x – 3) – (x + 3)(x – 5)

1208

2(4x2 + 7x) – (x + 2)(8x – 2)

1209

10x2 – (x + 4)(4x – 1) – 4

1210

(2x – 3)(x – 5) + (x – 6)(x – 3) – 3(x2 – 1)

1211

3x(2x – 5) – (x + 8 )(x – 1) + + 2(2,5x – 1)(4 – x)

x–1

12

M2c - sa rtryck.indb 12

1.2

KvAdReRinGs- och KonjuGAtReGLeR

11-09-26 08.57.49

KAPITEL 1

1212 Rektangeln nedan består av fyra

1214 Förenkla så långt som möjligt

områden. I tre av områdena finns ett uttryck för arean.

Vilket är uttrycket xy för den fjärde arean? uy

(x + y + 2)(3 + x) – (x – y)( – 3 – x) 1215 Bestäm arean av den blå rektangeln. uz 117 m2

1213 Amir genomför en förenkling

156 m2

135 m2

enligt nedan. Som du kanske ser gör han inte helt rätt. Förklara var felet/felen ligger samt hjälp Amir att förenkla korrekt.

3 – (x – 7)(2x + 6) = 3 – 2x2 + + 6x – 14x – 42 = –2x2 – 8x – 39

ALGEBRA

M2c - sa rtryck.indb 13

13

11-09-26 08.57.51

KAPITEL 1

Kvadreringsregler I det här avsnittet ska vi multiplicera två binom som är lika.

Vad blir (a + b) · (a + b)? Vi multiplicerar på vanligt sätt och får 2

1

(a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 3

4

Lägg märke att ba = ab och att termen 2ab kommer från ab + ba.

2ab kallas här ”dubbla produkten”.

Eftersom (a + b)(a + b) kan skrivas (a + b)2, dvs ”parentesen i kvadrat”, får vi kvadreringsregeln (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Regeln visas geometriskt:

a

a

b

Titta på kvadraten som har sidan (a + b).

a2

ab

Vi ska skriva kvadratens area på två sätt.

1) Hela kvadratens area = sidan · sidan = (a + b)2

b

ab

b2

2) Titta nu på kvadratens delar!

GUL: En kvadrat med arean = a2 RÖD: Två rektanglar som var och en har arean = ab BLÅ: En kvadrat med arean = b2 Summan av delarna = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 Eftersom hela kvadratens area = summan av delarnas area får vi (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

!

sATs: första kvadreringsregeln 2 · första termen · andra termen kallas ”dubbla produkten”

(a + b)2 =

a2

+

Kvadraten på första termen

14

M2c - sa rtryck.indb 14

1.2

2ab

+

b2

Kvadraten på andra termen

KvAdReRinGs- och KonjuGAtReGLeR

11-09-26 08.57.52

KAPITEL 1

Nu ska vi utveckla en kvadrat, där det är minustecken mellan termerna. (x – 3)2 = (x – 3) · (x – 3) = x2 – 3x – 3x + 9 = x2 – 6x + 9 Lägg märke till att här är den dubbla produkten negativ.

!

sATs: Andra kvadreringsregeln Dubbla produkten är negativ

(a – b)2 =

a2

–

2ab

+

b2

Kvadraterna är alltid positiva

eXeMPel 1

Använd kvadreringsregeln och utveckla. a) (x + 3)2 = x2 + 2 · x · 3 + 32 = x2 + 6x + 9 b) (y + 10) 2 = y2 + 20y + 100 Naturligtvis kan vi också skriva kvadraten som två parenteser och multiplicera på vanligt sätt. (y + 10)(y + 10) = y2 + 10y + 10y + 100 = y2 + 20y + 100 Båda metoderna ger samma svar, men det går snabbare att använda kvadreringsregeln. eXeMPel 2

Utveckla med hjälp av kvadreringsreglerna. a) (5x + y)2 = 5x · 5x + 2 · 5x · y + y2 = 25x2 + 10xy + y2 Observera att (5x) 2 = 25x2 Tänk gärna direkt ”kvadraten + 2 · produkten + kvadraten” b) (0,5 + 2x)2 = (0,5)2 + 2 · 0,5 · 2x + (2x)2 = 0,25 + 2x + 4x2 c) (x – 5)2 = x2 – 2 · x · 5 + 52 = x2 – 10x + 25 d) (0,3x – 1)2 = 0,3x · 0,3x – 2 · 0,3x · 1 + 1 · 1 = 0,09x2 – 0,6x + 1 Hoppa över mellanledet när du blir mer van!

ALGeBRA

M2c - sa rtryck.indb 15

15

11-09-26 08.57.53

KAPITEL 1

eXeMPel 3

Utveckla och förenkla uttrycket 3(x + 5) – 5(2x – 1)2 + (3 + x)2. lÖsning

1. Vi börjar med att ”öppna upp” kvadraterna med kvadreringsreglerna 3(x + 5) – 5(4x2 – 4x + 1) + (9 + 6x + x2) 2. Nu multiplicerar vi in talen 3 och 5, men behåller parenteserna.

(3x + 15) – (20x2 – 20x + 5) + (9 + 6x + x2) 3. Till sist tar vi bort parenteserna och ändrar tecken där det behövs.

3x + 15 – 20x2 + 20x – 5 + 9 + 6x + x2 = –19x2 + 29x + 19 svar: –19x2 + 29x + 19 eXeMPel 4

a) (s3 + 8)2 = (s3)2 + 2 · s3 · 8 + 82 = s6 + 16s3 + 64 b) 3(x + h)2 = 3(x2 + 2xh + h2) = 3x2 + 6xh + 3h2 c) (x + 2)3 = (x + 2)(x + 2)2 = (x + 2)(x2 + 4x + 4) = = x3 + 4x2 + 4x + 2x2 + 8x + 8 = x3 + 6x2 + 12x + 8

Använd kvadreringsreglerna och utveckla.

1216

a) (x + 4)2

b) (x + 5)2

c) (x + 7)2

1217

a) (a + 9)2

b) (a + c)2

c) (3 + a)2

1218

a) (3x + 5)2 b) (4x + 1)2 c) (6x + 0,5)2

1219

a) (x – 4)2

1220

a) (2x – 5y)2

b) (x – 10)2 c) (x – y)2 b) (0,5x – 10)2

c) (5x – 0,2)

2

16

M2c - sa rtryck.indb 16

1.2

1221

Förklara vad som menas med ”dubbla produkten”

1222

Utveckla och förenkla följande uttryck. a) 3(3x – 1)2 + 18x b) 2(x – 2)2 – (5 + 2x) c) (a + b)2 – (a – b)2

1223

Utveckla och förenkla följande uttryck a) x(x – 1) – 2(3 + x)2 + (2 – 2x) – (x – 5)2 b) 3a2 – (a + b)2 – 3(2a – 3b)2 – 2(a – b)2

KvAdReRinGs- och KonjuGAtReGLeR

11-09-26 08.57.54

KAPITEL 1

1224

Använd en kvadreringsregel och beräkna utan räknare. a) 412

b) 992

1229

c) 222

2

1226

Visa 2:a kvadreringsregeln genom multiplikation av två binom.

Förklara varför (a – b)2 och (b – a)2 alltid betyder samma sak.

 a + 1  a − 1 d)   −  2   2 

c) (5 – 5 ) 3x

ledning: 412 = (40 + 1)2 1225

Förenkla uttrycken 2 2 a) ( 2 x + 4 , 5 x ) b) ( 20 x − x 5 x )

1230

0,5x 2

2

Bevisa Pythagoras sats med hjälp av bilden.

c

a

b

1227

Beräkna med huvudräkning. a) ( 2 + 8 )2

1228

b) ( 12 − 3 )2

Utveckla och förenkla a) (x + h)3 – (x – h)3 b) (x + 2)3 – (x + 2)2 – (x – 2) TANKENÖT 1

Vilket är årta let på bilden?

M = 1000 D = 500 c = 100 l = 50 X = 10 V=5 i=1

ALGeBRA

M2c - sa rtryck.indb 17

17

11-09-26 08.57.57

KAPITEL 1

Konjugatregeln Om vi har binomet x + 3 så kallas x – 3 för dess konjugat.

På motsvarande sätt är 2x + 7 konjugat till 2x – 7.

Här ska vi undersöka vad som händer när vi multiplicerar ett binom med dess konjugat.

Vad blir (x + 3)(x – 3)?

Vi multiplicerar på vanligt sätt och får följande: (x + 3)(x – 3) = x2 + 3x – 3x – 9 = x2 – 9 Observera att x­termerna försvinner.

Blir det alltid så? (x + 4)(x – 4) = x2 + 4x – 4x – 16 = x2 – 16.

Generellt kan vi visa multiplikationen så här: Bevis: (a + b)(a – b) = a2 + ab – ab – b2 = a2 – b2

!

sATs: Konjugatregeln

(a + b)(a – b) =

a2

b2

–

Kvadraten på första termen

Kvadraten andra termen

eXeMPel 1

Utveckla med hjälp av konjugatregeln. a) (x + 5) (x – 5) = x2 – 52 = x2 – 25 b) (x – 6) (x + 6) = x2 – 36 c) (4x + 0,3) (4x – 0,3) = (4x)2 – 0,32 = 16x2 – 0,09

18

M2c - sa rtryck.indb 18

1.2

KvAdReRinGs- och KonjuGAtReGLeR

11-09-26 08.57.58

KAPITEL 1

eXeMPel 2

Utveckla (6 + x)(x – 6) lÖsning

Här är det inte samma termer på samma plats. Kan vi använda konjugatregeln här? Ja, om vi ändrar i ”plus­parentesen” så här: (x + 6)(x – 6) = x2 – 36 svar: x2 – 36 eXeMPel 3

Förenkla 7x2 + 2(x – 2y)2 – (3x – y)(3x + y)

lÖsning

7x2 + 2(x2 – 4xy + 4y2) – (9x2 – y2) =

Observera att parenteserna fortfarande är kvar. Den ena parentesen ska multipliceras med faktorn 2 och den andra har minustecken framför.

= 7x2 + 2x2 – 8xy + 8y2 – 9x2 + y2 = 9y2 – 8xy svar: 9y2 – 8xy

Utveckla med hjälp av konjugatregeln

1236

1231

a) (x + 4)(x – 4)

1232

a) (3x + 2)(3x – 2) b) (5x – y)(5x + y)

1233

a) (9 + x)(x – 9)

b) (3x + 5y )(5y – 3x)

1234

a) (x + 5)

b) (3x – 4)

1235

2

a) ( – 6)( + 6) = 25x2 – 36 9 b) ( x −)( x − ) = x 2 − 4

b) (x – 7)(x + 7)

Här följer några blandade uttryck som ska utvecklas

a) (10 – 4x)2 b) (3x + 0,5)(3x – 0,5)

Vad ska det stå i rutan ?

Förenkla följande uttryck.

1237

(x + 9)(x – 9) + (x – 6)2 + (3x + 2)2

1238

(x + 4)2 – (x – 4)2 – 2(8x – 5)

1239

(2x – 1)2 – (x – 1)(2 – 5x) – (3x – 2)2

1240

34 – (8x – 5)2 + (8x + 3)(8x – 3)

1241

(6x + y)(6x – 3y) – (6x – y)2

2

ALGeBRA

M2c - sa rtryck.indb 19

19

11-09-26 08.57.59

KAPITEL 1

1242 En vän till dig har gjort följande

två förenklingar. Han gör fel i ett av fallen. Vilket? Diskutera och motivera varför bara en av förenklingarna är rätt!

A. a 2 ⋅ b 2 = a ⋅ b B.

a2 + b2 = a + b

1243 För två tal a och b gäller att a – b = 5 och

a2 – b2 = 195. Bestäm summan av a och b.

1244 I den här uppgiften ska du upptäcka en

regel så att du med huvudräkning kan beräkna kvadraten på ett tal.

Vi visar först ett exempel där vi kvadrerar talet 13.

• Utgå från det tal som ska kvadreras, i detta fall 13.

• Öka eller minska med ett tal, så att du får närmaste tiotal. I detta fall blir det ”minus 3” ner till 10.

• Gå sedan från 13 lika många steg upp till talet 16.

• Nu multiplicerar vi våra tal 16 och 10 och lägger till ”förändringen i kvadrat”, dvs 32 . Se figuren nedan.

16 +3

13

16 · 10 + 32 = 160 + 9 = 169

–3

10 a) Kvadrera ytterligare några tal på detta sätt: 182, 142, 392 och 972. b) Visa med algebra varför regeln stämmer.

20

M2c - sa rtryck.indb 20

1.2 Kvadrerings- och konjugatregler

11-09-26 08.58.00

KAPITEL 1

Ekvationer med x2-term Nu ska vi lösa ekvationer som även innehåller x2­termer, men där dessa termer ”försvinner” vid förenklingen. eXeMPel 1

Bestäm längden av sidan BC i triangeln. lÖsning

B

Pythagoras sats ger ekvationen

(cm)

x2 + 52 = (x + 1)2 x2 + 25 = x2 + 2x + 1 25 – 1 = 2x

x+1

x

2x = 24 x = 12 Sidan BC = 12 + 1 svar: Sidan BC är 13 cm.

A

5

C

eXeMPel 2

Lös ekvationen (3x – 4)2 – (x – 7)2 = 8x(x – 2) lÖsning

Behåll Behåll parentesen parentesen då det det är är minustecken minustecken framför. framför.

9x2 – 24x + 16 – (x2 – 14x + 49) = 8x2 – 16x 9x2 – 24x + 16 – x2 + 14x – 49 = 8x2 – 16x 8x2 – 10x – 33 = 8x2 – 16x Nu kan x2­termerna subtraheras och vi får följande ekvation: –10x – 33 = –16x 16x – 10x = 33 6x = 33 33 x= 6 x = 5,5 svar: x = 5,5

ALGeBRA

M2c - sa rtryck.indb 21

21

11-09-26 08.58.02

KAPITEL 1

Lös följande ekvationer.

1252 Lös ekvationen

(2x + 1)(2x – 1) = 4x2 – 3x + 2

1245 (x + 3) – x(x – 4) = 29 2

1253 Hur stor area har trianglarna?

1246 (x + 6)(x – 6) = 10x + (x – 4)2

Måtten är i meter. a)

1247 (x + 4)(x + 7) = (x + 11)(x + 1)

6

x–1

x–2

1248 Titta på den gröna triangeln.

Här gäller att måtten är i cm.

x

x+7

a) Bestäm x. b) Bestäm triangelns omkrets.

6 x+4

12 x – 2

x

b) x–1

20

x

1249 Lös ekvationen

(2x + 1)2 + (x + 2)2 – x(5x + 13) = 0 1250 Lös ekvationen (x – a)2 = x2 med avseende

på x.

1251 En kvadrat har sidan x meter.

En ny kvadrat fås då varje sida förlängs med 5 m. a) Gör en skiss av de två kvadraterna med sidlängderna angivna. b) Visa algebraiskt att skillnaden mellan de två kvadraternas area är 10x + 25.

20

x+7

Lös ekvationerna 1254 (x + 3)2 + 8(3 – x)2 = 43 – (5 + 3x)(5 – 3x) 1255 (3x + 4)2 – (4 – 3x)2 = (2x + 3) 2 – (3 – 2x)2 1256 Bestäm x.

(cm)

x+3

x +19

x

c) Förklara denna skillnad med hjälp av dina figurer.

22

M2c - sa rtryck.indb 22

1.2 Kvadrerings- och konjugatregler

11-09-26 08.58.04

KAPITEL 1 Kometer är små himlakroppar som kretsar runt solen i utsträckta elliptiska banor. När en komet befinner sig nära solen syns kometkärnan följd av en svans. Svansen, som bildas av stråltryck och solvind, riktas alltid bort från solen. Kometkärnan består av is, stoft och mindre stenpartiklar. Kärnans diameter är från några hundra meter till tiotals kilometer.

1257 En ellips kan du rita med hjälp av en

a) Beräkna konens höjd. b) Beräkna volymen.

Svara i hela liter.

(cm)

35 +x

35 – x

penna och en tråd som du spänner mellan två häftstift. Du låter pennan följa tråden så att den hela tiden är sträckt.

Antag att tråden är 10,0 cm och avståndet mellan häftstiften är 5,00 cm. Bestäm avståndet från pennspetsen P till den räta vinkelns spets enligt figuren.

1258 Figuren visar en rät cirkulär kon.

(cm) r = 14

P

5,00

ALGEBRA

M2c - sa rtryck.indb 23

23

11-09-26 08.58.05

KAPITEL 1

Pascals triangel

Tänk dig att du kastar en basketboll och sannolikheten för ”träff” är 0,6.

Träddiagrammet beskriver de olika utfallen om du kastar två gånger.

1

Fyll i de sannolikheter som saknas i de tomma rutorna.

0,4

0,6

0,4

0,6 0,4

0,6

0,4

0,6

0,36

Vi antar nu att sannolikheten för träff är a och sannolikheten för miss är b.

Vi ritar motsvarande träddiagram.

Antal kast n n=0

1 a

b

b

a

a a a2

b

1a

1b

n=1

b 1a2

n=2

n=3

2

Fyll i sannolikheterna i de tomma rutorna i trädet till vänster.

3

Samla ihop lika termer och fyll i ”trädet” (rutorna) till höger.

Om du tittar på trädet till höger verkar det som att summan av termerna i rutorna motsvarar (a + b)n där n är antalet kast.

4

Visa att detta stämmer för n = 1, 2 och 3.

För n = 3 måste du utföra parentesmultiplikationen.

5

Nästa bild visar början till den berömda Pascals triangel.

Fyll i raden där n = 3

24

M2c - sa rtryck.indb 24

1.2 Kvadrerings- och konjugatregler

11-09-26 08.58.06

KAPITEL 1

6

Ser du mönstret? Fyll i resten av triangeln.

Antal kast n

Summa

n=0 n=1 n=2

1

1 1 1

2

1 2

1

4

n=3

?

n=4

?

n=5

?

7

Kontrollera koefficienterna för den rad där n = 4 genom att utveckla (a + b)4.

8

Addera koefficienterna (talen i rutorna) i varje rad och skriv summan i kolumnen till höger. Teckna till sist ett uttryck för summan då antalet kast är x.

ALGEBRA

M2c - sa rtryck.indb 25

25

11-09-26 08.58.07

KAPITEL 1

1.3 ANDRAGRADsEKVATIONER Vi har hittills löst ekvationer av första graden. Ekvationen 2x + 3 = 7 är en förstagradsekvation, eftersom variabeln x är upphöjd till 1.

En andragradsekvation är på motsvarande sätt en ekvation där variabeln är upphöjd till 2. Ekvationen x2 + 10x + 7 = 0 kallas en fullständig andragradsekvation eftersom den innehåller x2–term, x–term och sifferterm. Ekvationen x2 – 36 = 0 kallas ofullständig.

Enkla andragradsekvationer Titta på rektangeln. Hur långa är sidorna? (cm) A = 45

cm2

x

5x

Längd · Bredd = Area 5x · x = 45 5x2 = 45 Båda leden har dividerats med 5. x2 = 9 x2 = ± 9 x = ±3

Vi drar roten ur båda leden.

Lägg märke till att en andragradsekvation av typen x2 = 9 har både ett positivt och ett negativt svar, nämligen x = 3 eller x = –3.

Här förkastas roten x = –3 eftersom en sträcka inte kan vara negativ.

Rektangelns sidor är 3 cm och 5 · 3 cm = 15 cm svar: 3 cm och 15 cm eXeMPel 1

Lös ekvationen (x – 3)2 + 6x = 11 Svara med tre decimaler. lÖsning

x2 – 6x + 9 + 6x = 11 x2 + 9 = 11 x2 = 11 – 9 x2 = 2 x=± 2 x ≈ ±1,414

Vi har utvecklat kvadraten.

Detta är det exakta svaret.

svar: x ≈ ±1,414

26

M2c - sa rtryck.indb 26

1.3

AndRAGRAdseKvAtioneR

11-09-26 08.58.09

KAPITEL 1

eXeMPel 2

Lös ekvationen (y – 3)2 = 16 lÖsning

Den här ekvationen är speciell, eftersom både vänstra ledet och högra ledet är ”kvadrater”. Vi drar roten ur båda leden! ( y − 3)2 = ± 16 y – 3 = ±4 y=3±4

Vi delar upp lösningen i två delar. y1 = 3 + 4 = 7 y1 = 3 – 4 = –1 svar: y1 = 7

y2 = –1

Lös följande ekvationer. Svara med tre decimaler i de uppgifter där du avrundar svaret. a) 2x2 – 14 = 36

b) x2 + 12 = 9

c) 12 + 3x2 = 15

d) 2 – x2 = 26

1302

a) (y – 8)2 = 25

b) (y – 5)2 = 81

1303

a) (z + 3)2 = 100

b) (z + 4)2 = 36

1304

a) 2x2 – 1 = 2 – x2

1301

Om vi istället hade valt att utveckla (y – 3)2 hade vi fått en fullständig andragradsekvation, nämligen y2 – 6y + 9 = 16.

Den typen av ekvationer löser vi i nästa avsnitt.

1306

x 3x

1307

b) 2x(x – 1) + 2(x – 3) = 0

I en rektangel är den ena sidan 3 gånger så lång som den andra sidan. Se figuren.

Rektangelns area är 270 cm2 . Bestäm rektangelns kortaste sida.

a) Bestäm triangelns area. b) Är omkretsen mindre än 25 m?

c) (x – 1) + 2x = 3 2

(m)

d) (2x + 3)2 = 12x + 13 1305

Vilken omkrets har en kvadrat där arean är a) 100 cm2

x

10

b) 225 cm2? x

ALGeBRA

M2c - sa rtryck.indb 27

27

11-09-26 08.58.10

KAPITEL 1

1308 En investeringsfond utlovar att 5 000 kr

1312 I en rätvinklig triangel är sidorna 2x cm,

1309 Utgå från ekvationen px2 – p2 = 0.

1313 Lös ekvationerna.

ska öka till 6 728 kr på två år. Vilken räntesats måste ett bankkonto ha, för att ge motsvarande ökning?

För vilka värden på p kommer ekvationen att sakna reella rötter?

1310 Lös ekvationerna

x + 3 3x + 5 x + 6 2x − 8 = = b) a) x 5 3 x

1311 Några elever diskuterar

kvadratrötter och kommer fram till två påståenden A och B. Är de korrekta? Förklara.

A: Om x2 = 9 så är x = ±3

B:

28

M2c - sa rtryck.indb 28

9 = ±3

4x cm och 15 cm. Beräkna triangelns kortaste sida. Svara i cm med en decimal.

Ledning: Det finns två fall!

a)

x 27 = 3 x

b) 3x = ( x + 3)( x − 3) + 10 1314 Lös ekvationen

3x − 2 x − 1 = exakt. x −1 x

1315 Lös ekvationen (x + a)2 = (2a – 3x)2 med

avseende på x.

1316 Ekvationen (x – a)2 = 16 har en lösning

som är x = 6. Bestäm den andra lösningen.

1.3 Andragradsekvationer

11-09-26 08.58.13

KAPITEL 1

Kvadratkomplettering En lantbrukare har tre hagar enligt figuren.

Hagarnas sammanlagda area är 416 m2.

5

Vilken är sidan i den kvadratiska hagen?

Med följande ekvation kan sidan (sträckan) x bestämmas:

x

x2 + 5x + 5x = 416

x

x2 + 10x = 416

5

Vi har nu en andragradsekvation med 3 olika typer av termer.

Ekvationen kan lösas med kvadratkomplettering, vilket betyder att vi kompletterar med (lägger till) en kvadrat. Se figuren nedan.

5

x

x

5

Vi har kompletterat med den lilla röda kvadraten som har arean 52 = 25.

Totala arean är nu 416 + 25 = 441 Låt oss nu komplettera på ”samma sätt” i ekvationen! x2 + 10x + 52 = 416 + 52 x2 + 10x + 25 = 441 (x + 5)2 = 441

Lägg märke till att vi kompletterar med ”kvadraten på x-termens halva koefficient”. x-termen är 10x Halva koefficienten = 5 Kvadraten på halva koefficienten = 25

Vi drar roten ur båda leden. x + 5 = ±21 x1 = –5 + 21 = 16 x2 = –5 – 21 = –26 Hagens sida x är alltså 16 m.

ALGeBRA

M2c - sa rtryck.indb 29

29

11-09-26 08.58.14

KAPITEL 1

eXeMPel

Lös ekvationerna med hjälp av kvadratkomplettering. a) x2 + 12x – 13 = 0 x2 + 12x = 13 x2 + 12x +  = 13 + 

x-termen är 12x Halva koefficenten = 6 Komplettera med 62!

(x + 6)2 = 49 x+6=±7 x = –6 ± 7 ⇒



x2 + 12x + 62 = 13 + 62 x1 = –6 + 7 = 1

x2 = –6 – 7 = –13

b) 2x – 6x – 8 = 0 2

2x 2 − 6x − 8 0 = 2 2 x2 – 3x – 4 = 0

Vi dividerar båda leden med 2 så att x2-termen får koefficienten 1.

x2 – 3x = 4 x2 – 3x +  = 4 +  x2 – 3x + 1,52 = 4 + 1,52 x – 1,5 = ±2,5 x = 1,5 ± 2,5 ⇒

1317

Vad ska skrivas i rutan för att uttrycken ska bli ”jämna kvadrater” ? a) x + 8x + 

b) x + 9x + 

c) x + 10x + 

d) x + 11x + 

e) x + 12x + 

f) x2 + px + 

2

2 2

2

a) x2 + 8x – 9 = 0

1319

a) t2 + 5t + 4 = 0

b) t2 – 7t + 12 = 0

c) t2 – 3t + 8 = 0

30

M2c - sa rtryck.indb 30

1.3

x2 = 1,5 – 2,5 = –1

1320

a) 2x2 – 16x – 40 = 0 b) 2x2 – 24x + 72 = 0 c) 3x2 – 30x = 33

1321

a) 4x2 + 8x + 80 = 6x2 – 4x b) x(6 – x) = 3

1322

I en triangel är hypotenusan 20 cm. Den ena kateten är 6 cm längre än den andra.

Bestäm triangelns area.

1323

Lös ekvationen y4 – 10y2 = –9 med hjälp av kvadratkomplettering. ledning: Sätt y2 = x

b) x2 + 4x + 3 = 0

c) x2 – 10x – 11 = 0

Här kompletterar vi med ”kvadraten på hälften av –3”.

x1 = 1,5 + 2,5 = 4

2

Lös följande ekvationer med hjälp av ”kvadratkomplettering” 1318



(x – 1,5)2 = 6,25

AndRAGRAdseKvAtioneR

11-09-26 08.58.15

KAPITEL 1

fullständiga andragradsekvationer Eftersom metoden med kvadratkomplettering är tidskrävande, ska vi nu härleda en formel för ekvationens rötter. Formeln kan vi sedan använda på alla andragradsekvationer.

För att det ska vara lätt att förstå formeln, löser vi två ekvationer parallellt, både den ”vanliga” ekvationen x2 + 10x – 96 = 0 och den allmänna ekvationen x2 + px + q = 0. x2 + 10x – 96 = 0

x2 + px + q = 0

x2 + 10x = 96

x2 + px = –q 2

2

x + 10x + 5 = 5 + 96

 p  p x + px +   =   − q  2  2

(x + 5)2 = 52 + 96

p  p   x +  =   − q 2 2

x + 5 = ± 52 + 96

x+

x = −5 ± 52 + 96

x=−

2

2

2

2

2

!

2

2

p  p = ±   −q  2 2 2

p  p ±   −q  2 2

sATs: Rötter till en fullständig andragradsekvation

x2 + px + q = 0 x=−

p 2

2

±

 p   −q  2

ALGeBRA

M2c - sa rtryck.indb 31

31

11-09-26 08.58.17

KAPITEL 1

eXeMPel 1

Lös ekvationen x2 + 6x + 5 = 0 med hjälp av formeln. x2 + 6x + 5 = 0 Halva koefficienten för x med ombytt tecken

Siffertermen med ombytt tecken

x = −3 ± 9 − 5 Kvadrera!

Lägg märke till att detta tal, –3, ligger mitt emellan rötterna, som här är –1 och –5.

x = −3 ± 4

Värdet –

x = –3 ± 2

p 2

ligger alltid mitt emellan rötterna.

x2 = –3 – 2 = –5

x1 = –3 + 2 = –1

x2 = –5

svar: x1 = –1 eXeMPel 2

Lös ekvationen 2x2 – 2x = 12 lÖsning

2x2 – 2x – 12 = 0 2 x 2 − 2 x − 12 0 = 2 2

x2 – x – 6 = 0

Nu är ekvationen skriven på formen x2 + px + q = 0

x = 0, 5 ± 0, 25 + 6

Observera att x-koefficienten är –1!

x = 0, 5 ± 6, 25

x1 = 0,5 + 2,5 = 3 svar: x1 = 3

32

M2c - sa rtryck.indb 32

1.3

x2 = 0,5 – 2,5 = –2

x2 = –2

AndRAGRAdseKvAtioneR

11-09-26 08.58.20

KAPITEL 1

eXeMPel 3

Lös ekvationen 3x2 + 5x – 2 = 0 exakt. lÖsning

Vi dividerar med 3 och använder formeln för andragradsekvationer: 5 2 x2 + x − = 0 3 3 5 25 2 x=− ± + 6 36 3

Lägg märke till att hälften av

5 25 2 ⋅12 x=− ± + 6 36 3 ⋅12

För att få samma nämnare har vi förlängt med 12

5 3

är

5 6

5 25 24 x=− ± + 6 36 36 5 49 x=− ± 6 36 5 7 x=− ± 6 6

Vi får rötterna x1 = svar: x1 =

1 3

x2 = –2

Lös följande ekvationer. a) x2 + 8x – 9 = 0

b) x2 – 10x + 16 = 0

1325

a) x2 – 2x – 3 = 0

b) x2 + 12x + 11 = 0

1326

a) x + 30x – 64 = 0

1324

1327

2 1 12 = x 2 = − = −2 6 3 6

Lös följande ekvationer. Ange både exakt svar och närmevärde med tre decimaler där detta är aktuellt.

1328

a) 3x2 – 11x + 6 = 0 b) 12x2 – 7x + 1 = 0

1329

a) 18x2 + 3x – 1 = 0 b) 6x2 + x – 1 = 0

b) x2 – x – 20 = 0

1330

a) 2 – 3x – 35x2 = 0 b) 12x2 = 17x – 6

a) x(5 – x) = 7(x – 9)

1331

a) (x – 4)(x + 1) = 6 b) x = 0,4(x2 + 1)

1332

a) 1 + 8x – x2 = 0

1333

Lös ekvationen (n – 3)2 = 2n + 9

2

b) 0,1x2 + x + 0,9 = 0

b) 2 – 7x – 4x2 = 0

(Np Ma B ht 1998)

ALGeBRA

M2c - sa rtryck.indb 33

33

11-09-26 08.58.23

KAPITEL 1

1334 I ett försök att lösa andragrads­

ekvationen x(x + 2) = 10x dividerar Elin med x i båda led och får därmed den enklare ekvationen x + 2 = 10 och lösningen x = 8. a) Lös ekvationen rätt. b) Förklara varför Elins lösning är fel.

1335 Felicia löser en andragradsekvation

x2 + bx + c = 0 och får då lösningarna x = 2 ± 1. Bestäm talen b och c.

1336 Produkten av två på varandra följande

heltal är 1122. Vilka är talen?

1337 Ekvationen x2 + 12x – k = 0 är given.

a) Bestäm konstanten k så att ekvationen får en rot x = 3. b) Bestäm den andra roten.

1338 Ställ upp en andragradsekvation som har

lösningarna x1 = –1 och x2 = 3

1339 En bils bensinförbrukning, y liter/mil,

beskrivs av sambandet y(x) = 0,0001x2 – 0,016x + 1,34 x > 20 där x = hastigheten i km/h.

Ritva påstår att hon aldrig kör för fort.

Hon har under en färd mellan sitt hus och jobbet haft en bensinförbrukning på 1,2 liter/mil. Hur fort har Ritva kört?

1340 Lös ekvationerna

a) x4 – 13x2 + 36 = 0 b) x − 5 x + 4 = 0 1341 a) En andragradsekvation kan också

skrivas på formen ax2 + bx + c = 0, fast det vanligaste skrivsättet är x2 + px + q = 0. Uttryck p och q med hjälp av konstanterna a, b och c.

b) Visa att ekvationen ax2 + bx + c = 0 har rötterna x =

34

M2c - sa rtryck.indb 34

−b ± b 2 − 4ac 2a

1.3 Andragradsekvationer

11-09-26 08.58.26

KAPITEL 1

Andragradsekvationer och rötter En andragradsekvation skriven på formen x2 + px + q = 0 har lösningarna 2

p  p x = − ±   −q  2 2 2

 p Uttrycket under rottecknet, dvs   − q kallas diskriminant.  2

Diskriminanten avgör om en andragradsekvation har två lösningar, en lösning eller saknar reella lösningar. eXeMPel 1

Lös följande ekvationer. a) x2 – 10x + 25 = 0

b) x2 – 10x + 26 = 0

x = 5 ± 25 − 25

x = 5 ± 25 − 26

x =5± 0

x = 5 ± −1

Det blir noll under rottecknet!

Här får vi ett negativt tal under rottecknet!

x=5±0 x1 = 5 x 2 = 5

När vi får noll under rottecknet blir båda rötterna lika, och man säger att ekvationen har dubbelrot.

Eftersom vi inte kan dra roten ur ett negativt tal, saknar ekvationen reella rötter. svar: Ekvationen saknar reella rötter.

svar: x1 = x2 = 5

!

2

 p   −q >0  2

Ekvationen har två reella lösningar

2

 p   −q =0  2

Ekvationen har en lösning

2

 p   −q <0  2

Ekvationen saknar reella lösningar

ALGeBRA

M2c - sa rtryck.indb 35

35

11-09-26 08.58.28

KAPITEL 1

eXeMPel 2

Bestäm konstanten a så att ekvationen x2 – ax + 1 = 0 får två lika rötter, dvs dubbelrot. lÖsning

Vi börjar med att lösa ekvationen på vanligt sätt och får x = 0, 5a ± 0, 25a 2 − 1

Ekvationen får dubbelroten x = 0,5a då uttrycket under rottecknet är lika med noll, dvs 0,25a2 – 1 = 0 0,25a2 = 1 a2 = 4 a = ±2 Ekvationen får alltså dubbelrot i två fall, nämligen om a = 2 eller a = –2. svar: a = ±2

Lös följande ekvationer. Svara med tre värdesiffror i de uppgifter där du avrundar svaren.

1342

a) x2 – 16x + 64 = 0 b) 2t2 + 50 = 20t

1343

a) y2 + 2y + 11 = 0

1344

a) x – 10x + 25 = 0 b) 2x + 12x – 2 = 0

1345

Bestäm konstanten a så att ekvationen x2 – 6x + a = 0 får två lika rötter, dvs dubbelrot.

1346

Ge exempel på en andragradsekvation som

1347

För vilket värde på a får ekvationen dubbelrot?

1348

b) 3p2 = 12p – 12

2

Ekvationen x2 – 16x – 2k = 0 är given.

Bestäm konstanten k så att ekvationen a) får dubbelrot b) saknar reella rötter.

2

a) har två reella rötter.

Utgå från ekvationen x2 + 10ax + 900 = 0.

1349

Ekvationen 25x2 – x + 8a = 0 är given.

För vilka värden på a saknar ekvationen reella rötter?

1350

Hur kan man direkt se, utan att räkna, att ekvationen (x + 7)2 + 3 = 0 saknar lösningar?

b) har en lösning (dubbelrot) c) saknar reella lösningar.

36

M2c - sa rtryck.indb 36

1.3

AndRAGRAdseKvAtioneR

11-09-26 08.58.29

KAPITEL 1

1352 1351

I uppgifterna 1324 och 1325 har du löst ekvationer som var skrivna på formen x2 + px + q = 0.

Om ekvationen x2 + px + q = 0 har rötterna r1 och r2 gäller följande: r1 · r2 = q och r1 + r2 = –p Detta samband formulerades av den franske matematikern Francois Viète (1540–1603).

Det finns ett samband mellan ekvationens rötter och konstanterna p och q. Vilket är sambandet?

a) Använd Viètes sats och bestäm konstanterna a och b så att ekvationen x2 + ax + b = 0 får rötterna x1 = 5 och x2 = 6. b) Visa att Viètes sats alltid stämmer.

AKTIVITET

Bygga torn

Här kan du t ex använda kvadratiska papperslappar som ”byggklossar” för att bygga torn så att du enklare ser ett mönster.

Du ska bygga torn med 1, 2, 3, … våningar enligt bilderna nedan.

n=1

n=2

n=3

n=4

• Hur många klossar finns det om tornet är a) 2 våningar? b) 3 våningar? c) 4 våningar? d) 5 våningar? e) 12 våningar? f) n våningar?

• Bestäm antalet klossar i det torn som är 100 våningar.

• Ett torn består av 861 klossar. Hur många våningar har tornet?

ALGeBRA

M2c - sa rtryck.indb 37

37

11-09-26 08.58.32

KAPITEL 1

Komplexa tal Tidigare har vi sett att andragradsekvationer ibland saknar reella lösningar, 2

 p nämligen då   − q < 0 . I det här avsnittet kommer vi att kunna lösa  2

också dessa ekvationer, nu med hjälp av komplexa tal.

Låt oss börja med ekvationen:

z2 – 6z + 10 = 0 z = 3 ± 9 − 10 z = 3 ± −1

Uttrycket −1 kallas för ett imaginärt tal (overkligt).

Redan på 1500­talet började matematiker räkna med imaginära tal och man definierade ”den imaginära enheten i”.

!

DEfINITION: Imaginära enheten i2 = –1

Definitionen innebär att

Ett tal som t ex

−1 = i

−9 kan skrivas på följande sätt:

−9 = 9 ⋅ −1 = 3 ⋅ i = 3i

Ett tal som t ex 4 + −9 kallas för ett komplext tal.

Ordet komplext betyder sammansatt. Ett komplext tal består av två delar, en reell del och en imaginär del. Komplexa tal betecknas ofta med z.

Lösningen till ekvationen z2 – 6z + 10 = 0 kan nu skrivas som de komplexa talen: z = 3 ± i.

Låt oss titta på rötterna:

z1 = 3 + i

re z1 = 3 (realdelen av z1 är 3)

im z1 = 1 (imaginärdelen av z1 är 1)

z2 = 3 – i

re z2 = 3 (realdelen av z2 är 3)

im z2 = –1 (imaginärdelen av z2 är –1)

!

Ett komplext tal kan skrivas på formen z = a + bi talet z består av en reell del, re z = a och en imaginär del, im z = b

38

M2c - sa rtryck.indb 38

1.3

AndRAGRAdseKvAtioneR

11-09-26 08.58.34

KAPITEL 1

eXeMPel 1

Lös ekvationen z2 = –9 lÖsning

z2 = –9 z = ± −9

z = ±3i svar: z = ± 3i eXeMPel 2

Lös ekvationen 5z2 + 10z + 15 = 0 lÖsning

5z2 + 10z + 15 = 0 z2 + 2z + 3 = 0 z = −1 ± 1 − 3 z = −1 ± −2 z = −1 ± i 2

svar: z = −1 ± i 2 eXeMPel 3

Lös ekvationen z2 – 8iz – 16 = 0 lÖsning

z2 – 8iz – 16 = 0 z = 4i ± 16i 2 + 16 z = 4i ± −16 + 16 z = 4i ± 0

z = 4i ± 0 svar: z1 = z2 = 4i (dubbelrot)

ALGeBRA

M2c - sa rtryck.indb 39

39

11-09-26 08.58.38

KAPITEL 1

Lös följande ekvationer. Ange svaret på formen a + bi.

1353 a) z = – 25

b) z + 16 = 0

1354 a) 4z2 + 9 = 0

b) z2 + 20 = 5 – 2z2

1355 a) z2 – 10z + 26 = 0

b) z2 + 2z + 10 = 0

1356 a) z2 + 12z + 38 = 0

b) 3z2 – 6z + 15 = 0

1357 a) 2z2 – 8z + 14 = 0

b) (z + 4)2 = –9

2

1360 Är följande påstående rätt eller

fel? Förklara!

2

”Om man vet en av de komplexa lösningarna till en andragradsekvation av typen z2 – az + b = 0 (där a och b är reella tal) så kan man direkt skriva den andra lösningen” 1361 En andragradsekvation har en lösning

x1 = 6 + 3i

a) Vilken är den andra lösningen?

1358 För vissa komplexa tal z (z ≠ 0) gäller att

Re z = 4 · Im z

Ge exempel på ett sådant tal.

b) Ange en möjlig ekvation?

1362 Här ska du undersöka vilka värden som

in antar beroende på värdet på n.

(Np Ma E Vt 2002)

a) Rita av och fyll i tabellen nedan.

1359 Lös ekvationerna

a) 0,1z2 – z + 4 = 0

b) z2 – iz + 6 = 0

n in

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

b) Formulera en regel för när in = 1. c) Använd din regel för att beräkna i87 + i4001 1363 Lös ekvationen 2z2 + 2(4 – 2i)z – 16i = 0 1364 Ekvationen z2 + pz + q = 0 har de

komplexa rötterna z1 och z2. Man vet att summan av rötterna är 12. Hur stora kan de reella talen p och q vara? Visa!

40

M2c - sa rtryck.indb 40

1.3 Andragradsekvationer

11-09-26 08.58.40

KAPITEL 1

Rotekvationer En ekvation där variabeln finns under ett rottecken kallas en rotekvation.

När du löser denna typ av ekvationer gäller givetvis samma regler som vid all ekvationslösning. Man måste dock se upp med falska rötter! eXeMPel 1

Lös ekvationen

x +6 = x

lÖsning

Vi kvadrerar båda leden och får andragradsekvationen x + 6 = x2 x2 − x − 6 = 0

⇒

x = 0, 5 ± 0, 25 + 6

⇒

x = 3 eller x = −2

Eftersom vi kvadrerat ekvationen så måste vi pröva om båda rötterna är korrekta.

Då vi sätter in x = 3 i ekvationens vänstra led (VL) får vi 3 + 6 = 9 = 3 , dvs samma resultat som då x = 3 sätts in i ekvationens högra led (HL).

Vi prövar nu roten x = −2 och får VL =

−2 + 6 = 4 = 2

Men då x = −2 sätts in i högra ledet får vi HL = −2.

Eftersom VL ≠ HL är roten x = −2 falsk. svar: x = 3 Falska rötter kan uppkomma när man kvadrerar ekvationens vänstra och högra led. Kontrollera alltid om rotekvationens lösningar satisfierar den ursprungliga ekvationen. eXeMPel 2

Lös ekvationen

x 2 + 6 x − 18 = x

lÖsning

Vi kvadrerar ekvationens båda led och får x2 + 6x – 18 = x2 6x = 18 x=3 Prövning ger HL = 3 och VL = 32 + 6 ⋅ 3 − 18 = 3 svar: x = 3

ALGeBRA

M2c - sa rtryck.indb 41

41

11-09-26 08.58.42

KAPITEL 1

Lös följande ekvationer.

Bestäm de reella röttena till ekvationerna.

1365

a)

x+2 = x

b)

x +6 = 2

1368

a)

6 x + 1 = x + 1 b)

1366

a)

6− x = x

b)

8 x + 12 = 2 x

1369

a)

x − 1 = 13 − x

1367

Filip får till uppgift att lösa ekvationen x − 3 + x = 5. Nedan ser du hans lösning. Gör han rätt?

b)

3x + 0, 25 = x − 0, 5

a)

3 − x = −x − 9

b)

x 2 + 20 x + 70 = x + 2

x– 3 +x=5 x– 3 =5–x x – 3 = (5 – x)2 x – 3 = 25 – 10x + x2 x2 – 11x + 28 = 0 11 121 ± – 28 2 4 11 3 x= ± 2 2 x1 = 4 x2 = 7

1370

1371

10 x + 1 = 17 − x

Påstående: ”Nedanstående tre ekvationer har exakt samma rötter” Lös ekvationerna och diskutera påståendet.

A:

2x + 5 = x + 1

B:

2 x + 5 = − ( x + 1)

C: 2x + 5 = (x + 1)2

x=

Svar: x = 4 eller x = 7

42

M2c - sa rtryck.indb 42

1.3

AndRAGRAdseKvAtioneR

11-09-26 08.58.48

KAPITEL 1

Problemlösning med ekvationer eXeMPel 1

En rektangulär yta har omkretsen 120 m och arean 800 m2.

Bestäm rektangelns sidor. lÖsning

Om vi antar att rektangelns bas är x m så är dess höjd (60 – x) m.

Vi får följande ekvation: x(60 – x) = 800 60x – x2 = 800 x2 – 60x + 800 = 0 x = 30 ± 302 − 800 x = 30±10 x1 = 40 x2 = 20 Rektangelns sidor blir alltså samma i båda fallen.

(m) 60 – x x

Fall 1: Basen = 40 m ⇒ höjden = 60 m – 40 m = 20 m Fall 2: Basen = 20 m ⇒ höjden = 60 m – 20 m = 40 m svar: Rektangeln har sidorna 20 m och 40 m. eXeMPel 2

Pia stöter kula. Funktionen y = 1,8 + x – 0,1x2 beskriver kulstöten.

Kulans höjd över marken är y meter då kulstötens längd är x meter.

Hur långt stöter Pia enligt funktionen? lÖsning

När kulan tar mark är y = 0. Vi sätter y = 0 och får följande ekvation.

0 = 1,8 + x – 0,1x2

Den negativa lösningen x2 = –1,56 förkastas.

0,1x 2 − x − 1, 8 0 = 0,1 0,1 x2 – 10x – 18 = 0 x = 5 ± 25 + 18 = 5 ± 43 x ≈ 5 ± 6,56 x1 = 11,56

svar: Pias kulstöt blir ca 11,6 m lång

ALGeBRA

M2c - sa rtryck.indb 43

43

11-09-26 08.58.50

KAPITEL 1

1372 En rektangel har arean 275 cm2. Se

figuren. Bestäm rektangelns kortaste sida.

1375 Bestäm omkretsen av trianglarna.

Måtten är i cm. a)

x+2

b)

10

x – 14 x+2

x

x

10

15

x – x3

x

1373 I en triangel med arean 40 cm är

15

2

höjden 2,0 cm längre än basen. Bestäm triangelns höjd.

1374 Erik, Lena och Rita ska dela på 93 000 kr.

Lena ska få 15 000 kr mer än Rita, och Erik ska få dubbelt så mycket som Lena.

Hur mycket pengar får var och en?

x–3

x

1376 En boll skjuts rakt upp och dess höjd h

meter över marken kan beräknas med formeln

h = 20t – 5t2 där t = tiden i sekunder. a) Bestäm bollens höjd över marken efter 2 sekunder. b) Efter hur lång tid befinner sig bollen 10 m över marken? Svara i sekunder med en decimal.

1377 I en rektangel är den ena sidan 6,0 cm

längre än den andra sidan. Rektangelns area är 187 cm2. Bestäm rektangelns sidor.

1378 I en rätvinklig triangel är den ena kateten

8 cm längre än den andra. Hypotenusan är 22 cm. Se figuren. Bestäm triangelns area med tre värdesiffror.

x

22

x+8

1379 En raket skjuts vertikalt upp

i luften. Raketen är h meter över marken efter x sekunder där h(x) = 30x – 5x2. Lös ekvationen 40 = 30x – 5x2 och förklara vad ekvationens lösningar betyder.

44

M2c - sa rtryck.indb 44

1.3 Andragradsekvationer

11-09-26 08.58.52

KAPITEL 1

1380 Sven har en summa pengar och Viktoria

har 15 % mer. Tillsammans har de 75 250 kr. Hur mycket ska Viktoria ge till Sven för att de ska ha lika mycket pengar?

1381 Ludvig tillverkar miljö-schampo. Att

tillverka x flaskor kostar K (kr) enligt K = 1200 + x + 0,05x2 där 0 < x < 320.

a) Hur många flaskor schampo kan tillverkas för 6000 kr? b) Hur många flaskor tillverkas då medelkostnaden blir 22 kr per flaska?

1382 Summan av två tal är 51. Vilka är talen

om talens produkt är 144?

1383 I en rak cirkulär cylinder är höjden

16 cm större än basytans radie.

Bestäm basytans radie om cylinderns totala begränsningsyta har arean 105 cm2.

1384 Gyllene snittet används ofta inom

arkitektur, konst och design för att man ska få harmoniska proportioner. Man tror t ex att Leonardo Da Vinci använde gyllene snittet när han målade Mona Lisas ansikte. Gyllene snittet innebär att förhållandet mellan två längder är ungefär 5/8. Så här kan detta ”gyllene förhållande” bestämmas: Vi tänker oss en sträcka AB som har längden 1 meter, med en punkt P mellan A och B. A

P

B

1m

Det gyllene snittet skrivs då som AP PB förhållandet = AB AP AP PB 5 −1 = = ≈ 0,618 Visa att Gyllene snittet AB AP 2

ALGEBRA

M2c - sa rtryck.indb 45

45

11-09-26 08.58.54

KAPITEL 1

1.4 EKVATIONsLÖsNING MED fAKTORIsERING En del ekvationer går att lösa med hjälp av faktorisering. I det här avsnittet kommer du att träna på faktorisering för att sedan använda detta när du löser ekvationer.

I kurs 1c tränade vi på att bryta ut en gemensam faktor som t ex 6x – 15 = 3(2x – 5).

Observera att vi inte skriver 6x – 15 = 6(x – 2,5). Både talen som bryts ut och de som blir kvar i parentesen ska vara heltal.

Uppdelning i faktorer med konjugatregeln Konjugatregeln ger att (x + 3)(x – 3) = x2 – 9 Med konjugatregeln ”omvänt”, kan vi skriva så här: x 2 − 9 = ( x + 3) ⋅ ( x − 3)  

differens

produkt

Här har vi omvandlat en differens till en produkt.

Vi har alltså faktoriserat med hjälp av konjugatregeln.

! minustecken x2 – 9 = (x + 3)(x + 3) kvadrat

kvadrat

eXeMPel 1

Faktorisera så långt som möjligt. a) x2 – 25 = (x + 5)(x – 5) b) 9 – a2 = (3 + a)(3 – a) c) 25x2 – y2 = (5x + y)(5x – y) d) 5y4 – 10y3 + 15y2 = 5y2(y2 – 2y + 3) e) x2 + 25 Här är det plustecken mellan kvadraterna. Alltså går det inte att faktorisera med konjugatregeln.

46

M2c - sa rtryck.indb 46

1.4

eKvAtionsLÖsninG Med fAKtoRiseRinG

11-09-26 08.58.55

KAPITEL 1

eXeMPel 2

Uttrycket 2x2 + 14x kan faktoriseras på flera sätt: a) 2x2 + 14x = 2(x2 + 7x)

Faktorn 2 har brutits ut.

b) 2x2 + 14x = x(2x + 14)

Faktorn x har brutits ut.

c) Om vi bryter ut så mycket som möjligt får vi: 2x2 + 14x = 2x(x + 7)

Faktorisera så långt som möjligt.

1401

a) y2 – y

b) 12x – 18x2

Faktorisera så långt som möjligt.

1408

c) 4y + 20y + 4xy a) x2 – 4

2

b) y2 – 49

1409

c) 81 – a2 1403

a) 25 – y2

b) x2 + 16

c) 25x – 4y 1405

1410

b) 4x2 – 1

1411

2

a) 25x2 – 15x

b) 4x + 16x2

c) 16x2 – 9 1406

a) 4x + 8 + 8y

a) 8 – 2x2

b) 3x2 – 75

Ali har köpt 8 chokladbitar, 20 klubbor och 16 tablettaskar. a) Hur många lika godispåsar kan det bli som mest? b) Faktorisera uttrycket 8c + 20k + 16t så långt som möjligt.

Att det måste vara något fel i förenklingen nedan är ju uppenbart eftersom 1 ≠ 2. Fundera på vad som sker i varje steg och försök hitta felet. Motivera! a=b a2 = ab 2 a – b2 = ab – b2 (a – b)(a + b) = b(a – b) a+b=b b+b=b 2b = b 2=1

b) x2y – xy

c) 0,09 – x2 1407

b) 2x – 4x2 – 6xy

c) 4x3 – 9xy2

a) x2 – 9y2 2

a) 10xy + 5x + 5y c) 8xy + 12x2 – 4x

c) x2 – 1 1404

b) 2st + 6t

c) 30t – 10t

2

1402

a) 8s + 4t + s2

1412

Faktorisera så långt som möjligt. a) x3 – 81x b) 4(x + 2)(x + 7) – 8(x + 2)(2x + 3) c) (x + 3)2 – 9y2 d) b3n – bn ALGeBRA

M2c - sa rtryck.indb 47

47

11-09-26 08.58.56

KAPITEL 1

Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna Att (x – 3)2 = x2 – 6x + 9 vet vi från tidigare.

Om vi använder kvadreringregeln omvänt kan vi dela upp i faktorer på följande sätt: x2 – 6x + 9 = (x – 3)(x – 3) När kan vi faktorisera med kvadreringsreglerna? svar: Vi måste ha tre termer. Två termer ska vara positiva och jämna kvadrater. Den tredje termen ska vara den dubbla produkten.

För uttrycket x2 – 6x + 9 = x2 – 2 · 3x + 32 gäller att – 6x är den dubbla produkten. eXeMPel 1

Faktorisera om det är möjligt a) x2 + 10x + 25 = x2 + 2 · 5x + 52 = (x + 5)2 b) x2 + 14x – 49

Går inte att faktorisera.

Båda kvadraterna måste vara positiva.

c) y2 – 4y + 16

Går inte att faktorisera.

Den dubbla produkten ska vara 8y.

eXeMPel 2

Faktorisera genom att använda kvadreringsreglerna. a) x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 b) a2 – 4a + 4 = (a – 2)2 c) 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)2 eXeMPel 3

Faktorisera så långt som möjligt. a) x3 – 4x = x(x2 – 4) = x(x + 2)(x – 2) b) a3 + 2a2b + ab2 = a(a2 + 2ab + b2) = a(a + b)2 c) 3x5 – 3x = 3x(x4 – 1) = 3x(x2 + 1)(x2 – 1) = 3x(x2 + 1)(x + 1)(x – 1)

48

M2c - sa rtryck.indb 48

1.4

eKvAtionsLÖsninG Med fAKtoRiseRinG

11-09-26 08.58.57

KAPITEL 1

Faktorisera med hjälp av kvadreringsreglerna.

1413

1414

a) x2 + 4x + 4

b) a2 + 6a + 9

c) p2 + 10p + 25

d) a2 – 12a + 36

a) x2 + x + 0,25

b) x2 – 2x + 1

c) a2 – 8a + 16

d) s2 + 16s + 64

Här följer några blandade uppgifter på faktorisering. Faktorisera följande uttryck så långt som möjligt.

1415

a) 16x – 8x + 8 2

b) 30xy + 20xy

c) 25x – 16 a) 2x2 – 18

b) 100 – 4x2

c) x3 – x 1417

a) 3x – 12x3

b) x2 – x4

c) 2x2 – 200 1418

a) x3y – xy3

a) x4 – 1

b) x4 – 16

c) x4 – y4 1420

a) 25a2 + 10ab + b2

b) 25a2 + 10ab

c) 25a2 – 9b2 1421

a) x2 – 49

b) 4a2 + 4ab – b2

c) 4a2 – 4ab + b2 1422

a) x3 + x2 + 2x

b) 49y2 – 4z2

c) 9z2 + 3z + 1

2

2

1416

1419

1423

a) 25 + 4a2 + 10ab

b) 9a2b2 – 25

c) 36x2 – 9y2 + 36xy 1424

Finns det något värde på talet a så att uttrycket x2 + a innehåller faktorn x + 7?

1425

Faktorisera x80 – 1 så långt som möjligt.

b) x4 – x6

c) x2 – 196

TANKENÖT 2

hur många hu sdjur har jag om al la är katter utom två, alla är hundar utom två och alla är marsvin utom två?

ALGeBRA

M2c - sa rtryck.indb 49

49

11-09-26 08.58.58

KAPITEL 1

faktorisering och ekvationer Vad blir produkten 5 · 7 · 0? svar: Eftersom en av faktorerna är noll, blir även produkten noll.

Vad vet vi om talen x och y då x · y = 0? svar: x = 0 eller y = 0.

Det här kan vi utnyttja när vi löser vissa ekvationer som t ex ekvationen (x + 2)(x – 3) = 0 Vi löser (x + 2)(x – 3) = 0 på två sätt.

1 Vi utnyttjar att vänstra ledet är

en produkt och högra ledet = 0

2 (x + 2) · (x – 3) = 0

(x + 2) · (x – 3) = 0 Vi sätter varje faktor = 0 x+2=0 x1 = –2

x–3=0 x2 = 3

Om ekvationen är faktoriserad och = 0 är den alltså mycket lätt att lösa.

Vi multiplicerar och får: x2 – 3x + 2x – 6 = 0 x2 – x – 6 = 0 Formeln ger: x = 0, 5 ± 0, 5 2 + 6 x = 0,5 ± 2,5 x1 = 3 x2 = –2

! om en produkt = 0, måste minst en av faktorerna vara noll. abc = 0 betyder att a = 0 eller b = 0 eller c = 0

50

M2c - sa rtryck.indb 50

1.4

eKvAtionsLÖsninG Med fAKtoRiseRinG

11-09-26 08.59.00

KAPITEL 1

eXeMPel 1

Lös ekvationen (x – 4)(x + 7) = 0 Vi sätter varje faktor = 0 och får x–4=0 ⇒ x=4 x + 7 = 0 ⇒ x = –7 svar: x = 4 eller x = –7 eXeMPel 2

Lös ekvationen 6s2 – 15s = 0 lÖsning

Vi faktoriserar ekvationen genom att bryta ut 3s som är den största gemensamma faktorn.

3s · (2s – 5) = 0 Vi sätter varje faktor = 0 och får 3s = 0 s=0

2s – 5 = 0 2s = 5 s = 2,5

Ekvationens rötter är alltså 0 och 2,5. svar: s1 = 0

s2 = 2,5

eXeMPel 3

Lös ekvationen t3 – 4t = 0 lÖsning

Vi faktoriserar vänsterledet genom att bryta ut t och sedan använda konjugatregeln. t3 – 4t = t(t2 – 4) = t(t + 2)(t – 2) Ekvationen kan alltså skrivas t(t + 2)(t – 2) = 0 Vi får rötterna t1 = 0 t2 = – 2 t3 = 2 svar: t1 = 0 t2 = – 2 t3 = 2

ALGeBRA

M2c - sa rtryck.indb 51

51

11-09-26 08.59.02

KAPITEL 1

eXeMPel 4

Lös ekvationen x3 – 6x2 + 5x = 0 lÖsning

x3 – 6x2 + 5x = x · (x2 – 6x + 5) Vi har brutit ut faktorn x och vet nu att x1 = 0 är en rot.

Nu löser vi på vanligt sätt andragradsekvationen x2 – 6x + 5 = 0 för att finna ytterligare rötter. x2 – 6x + 5 = 0 x = 3± 9−5 x=3±4 svar: x1 = 0

x2 = 7

Lös följande ekvationer.

1426

x3 = – 1

1436

b) x3 – 10x2 + 25x = 0

a) x(x – 4) = 0 b) (2x – 5) (x + 9) = 0

1437

1427

a) 2(3 – x) (4x – 9) = 0 b) 3x(2x – 3) = 0

1428

a) x2 – 9x = 0

b) x2 + 8x = 0

1429

a) 2x – 5x = 0

b) 4x + x = 0

1430

a) 12x + 15x2 = 0

b) x2 = 6x

1431

a) 4x(2x – 5)(x – 1) = 0

2

x3 – 2x2 – 3x = 0 x 3 − 2 x 2 − 3x 0 = x x x2 – 2x – 3 = 0 x = 1± 1+ 3

1433

Skriv en ekvation som har lösningarna 1 x1 = 0 x 2 = 5 x 3 = – 3

2

Lös följande ekvationer.

1434

a) 2x2 = 4x

b) x3 = 4x

1435

a) x3 + 4x = 0

b) 3x3 = 27x

52

M2c - sa rtryck.indb 52

1.4

x = 3 ⇒  1  x 2 = −1

b) 0,8x + x = 0

a) 10x – 0,1x = 0

b) x3 = x2 + 6x

nedan. Gör han rätt? Motivera.

2

1432

a) 32x = 2x3

1438 Fredrik löser en ekvation enligt

b) (5 + x)(2x – 3)(3x + 6) = 0 2

a) x3 – 11x2 + 10x = 0

1439

Ekvationen z5 – za4 = 0 har en rot z = 7.

Bestäm de övriga rötterna.

1440

För funktionen f(x) gäller att f(x) = ax(x + a) och f(3) = 12.

Lös ekvationen f(x) = 0.

eKvAtionsLÖsninG Med fAKtoRiseRinG

11-09-26 08.59.03

KAPITEL 1

DIGITALA RUTAN

Konsekutiva tal Använd ett kalkylblad för att lösa följande uppgifter. Konsekutiva tal betyder heltal som följer på varandra, t ex talen 5, 6 och 7.

Uppgift 1: • Skriv ett heltal i cell B1.

• I cell B2 ser du hur du kan skriva en formel.

• Skriv formler i cellerna B3–B6 så att beräkningarna i kolumn A görs.

• Prova med olika tal i cell B1 och formulera en slutsats om resultatet i B6.

• Visa din slutsats med algebra.

1 2 3 4 5 6

A Tänk på ett heltal Heltalet före Heltalet efter Heltalet före · Heltalet efter Addera talet 1 Upphöj B5 till 0,5

B ? = B1-1

= B5^0,5

Uppgift 2: • I rutorna B1–B4 skrivs fyra konsekutiva tal, t ex 16, 17, 18 och 19 • Fyll i B5–B7 så att beräkningarna i kolumn A görs.

• Prova med olika tal i cell B1 och kontrollera om det blir ett heltal i B7.

• Visa algebraiskt att B7 alltid blir ett heltal.

1 2 3 4 5 6 7

A Skriv ett heltal Nästa heltal Nästa heltal Nästa heltal Bestäm produkten av de fyra talen Addera talet 1 Bestäm kvadratroten ur summan

B ? = B1 + 1 = B2 + 1

ALGEBRA

M2c - sa rtryck.indb 53

53

11-09-26 08.59.06

KAPITEL 1

sAMMAnfAttninG Multiplikationsregler

5x(2x – 4) = 5x · 2x – 5x · 4 = 10x2 – 20x 1

2

(x + 5)(x – 4) = x2 – 4x + 5x – 20 = x2 + x – 20 3

4

Kvadreringsregel

(y + 5)2 = y2 + 10y + 25 (a – 3)2 = a2 – 6a + 9

Konjugatregel

(x + 6)(x – 6) = x2 – 36

Andragradsekvation

Andragradsekvationen 3x2 – 6x – 24 = 0 är skriven på allmän form.

Normalform betyder att koefficienten för x2 är 1.

Vi dividerar med 3 och får x2 – 2x – 8 = 0 Ekvationens rötter fås med formeln x = 1 ± 12 + 8 Ekvationen har rötterna x1 = 4 x2 = –2 Ekvationen x2 + px + q = 0 har rötterna x=−

2

p  p ±   −q  2 2

Diskriminant

Om uttrycket under rottecknet, dvs diskriminanten, är positivt har ekvationen två reella rötter noll har ekvationen en dubbelrot negativt har ekvationen inga reella rötter

Det imaginära talet i

Den imaginära enheten i = −1 är ett begrepp som definieras enligt i2 = –1

Komplext tal z

z = a + bi där a och b är reella tal exempel: z = 5 – 8i

Rotekvation

Rotekvationen x + 1 = x kan lösas genom att båda leden kvadreras.

Ekvationens rötter måste prövas.

faktorisering

a2 + 10a = a(a + 10) y2 – 49 = (y + 7)(y – 7) x2 – 10x + 25 = (x – 5)2

faktoriserad ekvation

2x(x – 3)(x + 2) = 0 har rötterna x = 0, x = 3 eller x = –2

54

M2c - sa rtryck.indb 54

ALGeBRA

11-09-26 08.59.15

KAPITEL 1

test 1 Utveckla och förenkla 1

a) (5 – y)2

2

Lös ekvationerna

b) (1 – y)2

14

a) x3 – 4x2 = 0

(4x – 3)(4x + 3) + (x – 9)2 – 9(8 – 2x)

15

a) (x – 5) · 3x = 0 b) (x – 2)(x + 7) = 0

3

(x – 4)2 + (x + 1)(x + 10) – 2x(1 + x)

16

a) 4(8 – 4x)(2x + 9)(3x – 1) = 0

4

Simon har förenklat ett uttryck men gjort fel. Förklara vilket fel han har gjort och lös sedan uppgiften rätt.

c) (3y – 2)2

(x + 6)2 + (x + 6)(x – 6) = = x2 + 36 + x2 – 36 = 2x2 5

Lös ekvationerna a) 2x(x – 2) = (x + 4)(2x – 6) b) (3t + 1)(t – 3) – 3(t + 2)(t – 2) = 0

b) x(2x + 7)(5x – 2) = 0 17

a) x4 – 16x2 = 0

18

För vilka värden på konstanten a saknar ekvationen x(x – a) = 3a reella rötter?

19

Lös ekvationen x3 + x + (2x + 1)(x2 + 1) = 0

20

Ekvationen z2 + 2iz + p = 0 har roten z1 = 2 – i. Bestäm den reella konstanten p och ekvationens andra rot.

21

Lös ekvationerna

Lös följande ekvationer exakt.

6

a) 49x2 = 36

b) 81x2 = 4

7

a) 9x2 – 64 = 0

b) 7 – 80x2 = x2 + 6

8

a) x2 + x – 12 = 0

b) x2 – 11x + 10 = 0

9

a) x2 – 6x – 16 = 0

b) x2 + 3x + 2 = 0

10

a) z2 + 12z + 38 = 0 b) 3z2 – 6z + 15 = 0

a)

11

a) 9x – 1

b) x + 9

I en rektangel är den ena sidan 12 cm längre än den andra. Rektangelns area är 189 cm2. Bestäm rektangelns omkrets.

23

Lös ekvationerna. Svara med tre värdesiffror.

a) 5x – 16x2 + x3 c) x3 – x4

b) 0,049h2 + 6,5h + 100 = 0 24

Magnus är 39 år äldre än Kim. Produkten av deras födelseår blir 3 847 102. Vilket år föddes Magnus?

25

I en rätvinklig triangel är en katet 10 m längre än den andra kateten. Triangelns hypotenusa är 25 % längre än den längre av kateterna. Beräkna triangelns omkrets.

b) 3xy + 5y2

c) xy2 – xy 13

x + 6 = 10 x

2

c) x – 16 a) x3 – 2x2

b)

a) 200 – 7000h2 = 100h

2

12

x +6 = x

b) x4 = x2

22

Faktorisera så långt som möjligt.

2

b) x3 – 9x = 0

b) 4x3 + 2x2 – 4x4

ALGeBRA

M2c - sa rtryck.indb 55

55

11-09-26 08.59.25

KAPITEL 1

Blandade uppgifter Förenkla följande uttryck.

1

5

Bestäm triangelns kortaste sida. a)

a) (x + 6)(y + 2) – 2(x + 3y) b) (x + 3)2 – 3(2x + 3)

2

b) 4 – (3x – 2) + 9x 2

2

b)

(m)

Faktorisera så långt som möjligt. x

3

a) x2 – 4

b) x2 – 25

4

a) x4 – 9x2

b) y – y3

85

x + 16

x

a) (x – 4)2 + (4x + 1)2 – 17

(m

(m)

x–

24

x + 16

x+9

(m)

85 x–8

c) 49 – x2

24

c) yx2 – y

6

x+9

I en rätvinklig triangel är den ena kateten 3,5 cm kortare än den andra kateten.

Hypotenusan är 6,5 cm. Bestäm längden av den kortaste kateten.

Lös följande ekvationer.

Avrunda till tre värdesiffror när svaret inte blir exakt.

7

x(x – 4) + 8 = x2 – 6(x – 1)

8

(x – 4)(3x – 2) – (3x + 1)(x – 5) = x

9

(7 – x)2 + (14 – x)(7 – 2x) = (21 – x)(7 – 3x)

10 a) 3t2 + 5 = t2 + 9,5

b) (x – 20)2 = 300

11 a) y2 + 2y = 3

b) y2 – 6y – 16 = 0

12 a) 3z2 – 6z + 6 = 0

b) 1 – x2 = x

13 a) 5z2 + 4z + 4 = 0

b) (x + 4)2 + (x – 6)2 = 68 14 Tre elefanter väger tillsammans 7225 kg.

Santos vikt är 1/3 av Jumbos, och Califas vikt är bara en fjärdedel av Santos. Hur mycket väger Califa?

56

M2c - sa rtryck.indb 56

Blandade uppgifter

11-09-26 08.59.26

KAPITEL 1

15 I en butik hade man ett år 265 000 kunder.

Antalet kunder under det andra halvåret var 35 % flera än under det första halvåret.

Hur många kunder hade man under det första halvåret?

16 Ekvationen x2 – 2ax – 15a2 = 0 är given.

Bestäm a så att ekvationen får roten 40.

24 Bestäm konstanten a så att ekvationen

x(2x – a) = 0 får rötterna 0 och 5.

(

25 Förenkla ( x + 3)2 − ( x − 3) 2

27 Förenkla och skriv svaret som en potens

(4x + 1) + (2x + 22x)2 – (4x + 1)2

28 Beräkna längden av triangelns kortaste sida.

a) πr2 + 48πr = 2280 1 =1 b) 0, 8 y − y − 0, 07

(Np Ma B Vt 2000) (cm) x + 7,2

x

18 Ställ upp en andragradsekvation som har

rötterna 3 ± 5i.

19 Bestäm triangelns area. x+3

2

26 Beräkna (7 + 2i )( 7 – 2i)

17 Bestäm den positiva roten och svara med

tre värdesiffror.

)

13,0

(m)

29 Lös ekvationerna med hjälp av faktorisering.

a) 2x3 – 5x2 = 0

x–4

b) x(x2 – 4) + 5(x2 – 4) = 0 30 I en rätvinklig triangel är omkretsen 40 cm

x + 10

och en katet 8 cm. Hur lång är triangelns hypotenusa?

20 Förenkla

10(x – 0,2)2 – 100(0,3x + 5)(0,3x – 5) – (x – 50)2

31 På en kemilektion kom man fram till

ekvationen x2 = 1,5 ·10 −4 0,0050 − x

21 Beräkna utan räknare ( 3 – 12 )2 22 Lös andragradsekvationen 2z3 + 20z2 = –82z 23 Du står i toppen av en hög fyr och tittar ut

över havet. Du kan då maximalt se 24 km.

Jordens radie är 6370 km. Hur hög är fyren?

Maximal siktsträcka

där den positiva roten x anger vätejonkoncentrationen. Bestäm vätejonkoncentrationen med tre värdesiffror.

32 Ekvationen (x – 2)(x8 – 81) = 0 har tre reella

rötter.

Bestäm produkten av rötterna.

ALGEBRA

M2c - sa rtryck.indb 57

57

11-09-26 08.59.27

KAPITEL 1

33 De två vanligaste bildformaten för

en tv-apparat är standardformat och bredbildsformat (wide-screen).

För att beskriva storleken på en tv-apparat används längden av bildskärmens diagonal mätt i tum, se figur nedan. En tum är ungefär 2,54 centimeter. exempel: Ett vanligt format på en tv är 28" (28 tum).

En tv i standardformat har en bildskärm där 4 av höjden. bredden är 3 En tv i bredbildsformat har en bildskärm där 16 av höjden. bredden är 9 Utgå från två tv-apparater som båda har samma storlek, dvs. bildskärmens diagonal är lika stor för båda apparaterna, men där den ena är i standardformat och den andra i bredbildsformat. Bestäm vilket format som ger den största bildskärmsarean.

(Np Ma B Vt 2005)

35 Rektanglarna har var och en omkretsen

64 cm. Bestäm x om deras sammanlagda area är 510 cm2.

bredd

(cm)

28’’

x

höjd

x+2

36 Lös ekvationen (x + 1)3 = x3 + 1

34 a) För två tal gäller att det ena talet är 25 %

mer än det andra talet och att talens summa är lika med talens produkt.

Vilka är talen?

b) För fyra positiva tal gäller att talen förhåller sig som 2:3:4:5. Produkten av de två största talen är 4046 mer än produkten av de två minsta talen.

Bestäm summan av de fyra talen.

37 För vilket värde på talet a har ekvationen

(x + a)(x – 4) = a(x – 2) dubbelrot?

38 Visa att värdet av uttrycket

(x + 2 + 3y)2 – (x + 3y)2 alltid är jämnt delbart med 4, oberoende av värdet på x och y.

39 Lös ekvationerna

a) 1 −

6−x x 5− x + =3 = x − 3 b) x 2 2

40 Bestäm konstanten a så att ekvationen

ax2 + 25a = 3x saknar reella rötter.

58

M2c - sa rtryck.indb 58

Blandade uppgifter

11-09-26 08.59.30

KAPITEL 1

41 Här följer ett problem som sägs ha sitt

ursprung i Kina. Ett rakt vass­strå står mitt i en kvadratisk damm med sidan 4,0 m. Strået höjer sig 1,5 m över vattenytan. Om man sträcker strået mot dammens ena hörn når det precis vattenytan. Hur djupt var vattnet i dammen?

42 För vilka värden på a har ekvationen

x2 – 15ax + 9 = 0 två reella rötter?

43 Lös ekvationen ( x 2 – 2 x )0 ,5 = −5 och

bestäm summan av rötternas kvadrater.

45 Kalle och Pelle löser båda

samma andragradsekvation som är skriven på formen x2 + px + q = 0.

Båda två är något slarviga.

Kalle skriver av värdet på q fel och får lösningarna x1 = 4 och x2 = –2.

Pelle skriver av värdet på p fel och får lösningarna x1 = 1 och x2 = –3.

Vilken var ekvationen som de skulle lösa.

Motivera!

44 Summan av kvadraterna på rötterna till en

andragradsekvation är 45 och summan av 1 rötternas inverterade värden är . Bestäm 2 andragradsekvationen.

TANKENÖT 3

hur många st ora och små kvad rater kan ses på et t schackbräde?

ALGeBRA

M2c - sa rtryck.indb 59

59

11-09-26 08.59.35

FACIT

Facit och lösningar 1120 Det förenklade uttrycket

KAPITEL 1 1101 a) 9x + 5

b) 18 – x

1102 a) 2 – 6x

b) 5 – 3x

1103 a) 21 – 7x b) 3 – x

c) x – 3

d) 7

1104 a) 10x – 1; 119

b) 2x – 7; 17 c) 16x + 1; 193

1105 a) 5y2 b) 6y c) 8x2 1106 a) 5x2 – 5x b) 2x + 8x2

c) 6xy – 10y

2

1107 Hela rektangelns area är

a(b + c). De två delarnas areor = ab och ac. Vi ser då att a(b + c) = ab + ac.

1108 a) 11x – 15 b) 5y 1109 a) –14

b) 11x + 20

1110 a) –5x

b) 3y

1111 a) 11x

b) 5

1112 a) –4y

b) 14y – 25

1113 a) –2

b) 0,3y

1114 a) 4 – x

b) 9

1115 a) –6x

b) 17x – 3

c) 5x2 + 9

5x 1 1116 a) b) 40 c) – 2 3 2 1117 3 1118 a) 2x

c) −

1119 a) 9

b) 19

3 4

b) –2

blir 1 + x2, vilket aldrig kan vara negativt.

1121 a) x = 6

b) x = 1

1122 a) s = –25 b) s = 4 1123 a) x = 1

b) x = 0

1124 b och e 1125 a) x =12

b) x = 60

1126 t ex

a) x + 5 = 6 b) x + 2 = 12 c) x + 20 = 15

1127 275 km

blir resultatet 0 = 0.

Eftersom detta alltid är sant, finns det oändligt många lösningar till ekvationen. Ekvationens vänstra led kan förenklas x+2 x+2 1 = = 3x + 6 3( x + 2) 3 Detta visar att ekvationens vänstra led = 1/3, oberoende av värdet på x.

1144 a) x = –11 b) x = –7 1145 ca 5,1 dl 1146 Ekvationen kan skrivas

x2 = –9, som saknar reella rötter

1128 x = 0,8 1129 y = 3,5

1201 a) y2 + 10y + 16

1130 a = –5

b) y2 – y – 20 c) y2 + 6y – 7

1131 x = 0 1132 x = –5

1202 a) y2 + 2y – 3

1133 s = 0 1134 a) t ex a = 1, b = 2 och

b)

1143 När du löser ekvationen

b) xy + 2x – 5y – 10 c) y2 – 8y + 7

c=5

1203 xy

c −b = 3 a

1204 9x + 14 1205 2x2 + 2x – 3

1135 x = 14 cm

1206 a) 1

b) 2 och 18 c) (x + 2)( x + 3 )= = x2 + 5x + 6

1136 x = 50 1137 a) 8000 kr

1207 10x – 2x2

b) 21 000 kr

1138 a) x = 24

b) y = 18

1208 4

1139 a) p = –9

b) x = 1,25

1209 6x2 – 15x

1140 a) x = 4

b) y = –18

1210 36 – 22x

1141 x = 18

1211 0

1142 28 år

1212 xz

60

M2c - sa rtryck.indb 60

11-09-26 08.59.36

FACIT

1213 Minustecknet framför

binomen behandlas fel.

Det bästa är att utföra parentesmultiplikationen och samtidigt behålla parentesen. Därefter tas parentesen bort.

3 – (2x2 + 6x –14x – 42) = = 3 – 2x2 – 6x + 14x + 42 = = –2x2 + 8x + 45

1214 6 + 8x + 2x2 1215 180 m2 1216 a) x + 8x + 16 2

b) x2 + 10x + 25 c) x2 + 14x + 49

1217 a) a2 + 18a + 81

b) a2 + 2ac + c2 c) 9 + 6a + a2

1218 a) 9x2 + 30x + 25

b) 16x2 + 8x + 1 c) 36x2 + 6x + 0,25

1219 a) x2 – 8x + 16

b) x – 20x + 100 c) x2 – 2xy + y2 2

1220 a) 4x2 – 20xy + 25y2

b) 0,25x2 – 10x + 100 c) 25x2 – 2x + 0,04

1221 I kvadreringsreglerna är

det termen 2ab som är den dubbla produkten

1223 a) –2x2 – 5x – 41

b) –12a + 38ab – 30b 2

= a2 – ab – ba + b2 = = a2 – 2ab + b2

1226 2:a kvadreringsregeln ger

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 och (b – a)2 = b2 – 2ab + a2 Alltså gäller att (a – b)2 = = (b – a)2

1227 a) 18

sidan c. Kvadraten består av 4 lika stora trianglar samt den lilla röda kvadraten.

Varje triangel har sidorna a, b och c.

Lilla kvadratens sida = = (a – b) Lilla kvadratens area = = (a – b)2 Varje triangel har arean a ⋅b 2 Den stora kvadraten består alltså av de fyra trianglarna och den lilla kvadraten.

Stora kvadratens area kan därför skrivas ab c 2 = 4 ⋅ + (a − b)2 2 c2 = 2ab + a2 – 2ab + b2 c2 = a2 + b2 Vilket skulle bevisas!

1231 a) x2 – 16

b) x2 – 49

1232 a) 9x2 – 4

b) 25x2 – y2

b) 3

2

b) 9x2 – 24x + 16

1225 (a – b)2 = (a – b)(a – b) =

0,5

= a2 · 0,5 · b2 · 0,5 = ab B är fel eftersom ”den dubbla produkten” saknas. Om det hade stått

1230 Den stora kvadraten har

1234 a) x2 + 10x + 25

b) 9801

a 2 ⋅ b 2 = ( a 2 ⋅ b 2 ) = a 2⋅0,5 ⋅ b 2⋅0,5 = ab

b) 5x3 – 20x2 + 20x c) 56x – 2 · 53,5x + 5x d) a

b) 25y – 9x

2

1242 A är rätt. Potenslagarna ger

1229 a) 12,5x

2

b) 2x2 – 10x + 3 c) 4ab

c) 484

b) x3 + 5x2 + 7x + 6

1233 a) x2 – 81

1222 a) 27x2 + 3

1224 a) 1681

1228 a) 6hx2 + 2h3

1235 a) 100 – 80x + 16x2

b) 9x2 – 0,25

1236 a) 5x i båda rutorna

b)

3 i båda rutorna 2

1237 11x2 – 41 1238 10 1239 x – 1 1240 80x 1241 –4y2

a 2 + 2ab + b 2 = a + b hade likheten varit korrekt.

1243 Summan är 39 1244 a) 182 = 324, 142 = 196,

392 = 1521, 972 = 9409 b) Antag att vi ska bestämma x2. Det ”steg” som vi går upp respektive ner kallas a. Vår regel innebär följande: (x + a) · (x – a) + a2 = = x2 – a2 + a2 = x2 v.s.b.

1245 x = 2 1246 x = –26 1247 x = 17 1248 a) x = 16 cm b) 48 cm 1249 x = 1 1250 x = 0,5a 1251 a)

5x

52 = 25

5x

x

x

x+5

x+5

b) Differensen mellan de två areorna = = (x + 5)2 – x2 = = x2 + 10x + 25 – x2 = = 10x + 25 c) Figuren ovan visar att den större kvadraten är 5x + 5x + 25 större, dvs 10x + 25.

1252 x = 1 1253 a) 24 cm2 (x = 10)

b) 210 cm2 (x = 22)

1254 x = 1,5

61

M2c - sa rtryck.indb 61

11-09-26 08.59.38

FACIT

1255 x = 0

c) Minus under rottecknet gör att ekvationen saknar reella lösningar.

1256 x = 2 cm 1257 3,75 cm 1258 a) 33,6 cm b) 7 liter 1301 a) x = ±5

b) lösning saknas c) x = ±1 d) lösning saknas

1302 a) y1 = 13 y2 = 3

b) y1 = 14 y2 = –4

1303 a) z1 = 7

b) z1 = 2

z2 = –13 z2 = –10

1304 a) x = ±1

b) x ≈ ±1,732 c) x ≈ ±1,414 d) x = ±1

1305 a) 40 cm

b) 60 cm

1306 ca 9,5 cm 1307 a) 25 m2

b) ja

1308 16 % 1309 p < 0 1310 a) x ≈ ±2,236

b) saknar lösning

1311 A är korrekt eftersom

både 3 och –3 är lösningar till ekvationen. B är fel eftersom kvadratroten ur ett tal alltid är positiv.

1312 6,7 cm eller 8,7 cm 1313 a) x1 = 9 x2 = –9

b) x = 0,5

1314 x = ± 0,5 1315 x1 = 0,25a x2 = 1,5a

1320 a) x1 = –2, x2 = 10

b) x1 = x2 = 6 c) x1 = –1, x2 = 11

1321 a) x1 = 10 x2 = –4

b) x = 3 ± 6 1322 ca 91 cm

1324 a) x1 = 1

b) x1 = 8

x2 = –9 x2 = 2

1337 a) k = 45

1338 t ex x – 2x – 3 = 0 1339 ca 150 km/h

x = –2 b) x = 1 eller x = 16

b) x1= 5

x2 = –32 x2 = – 4

1327 a) x1 = 7

x2 = –9 b) x1 = –1 x2 = –9 2 1328 a) x1 = 3 x2 = 3 1 1 b b) x1 = x 2 = x=− ± 3 4 2a 1 1 2 b c b 1329 a) x1 = − x 2b = x 3= − ±6 − =− ± 2 2 a 4 a a 2 a 1 1 b) x1 = x 2 = − 1342 3 2 2 1 1330 a) x1 = − x 2 = 1343 7 5 2 3 b) x1 = x 2 = 3 4 1344 1331 a) x1 = 5

b) x1 = 2

x2 = –2 x2 = 0,5

1332 a) x1 = 4 + 17 ≈ 8,123

x 2 = 4 – 17 ≈ –0,123 b) x1 = 0,25 x2 = –2 1334 a) Den korrekta lösningen är

x2 + 2x = 10x x2 – 8x = 0 x = 4 ± 16 − 0 x1 = 8 x2 = 0 b) När Elin dividerar med x på båda sidor, tappar hon en av lösningarna

b c q= a a ax 2 + bx + c =0 ⇔ b) a b c ⇔ x2 + x + = 0 ⇒ a a

1341 a) p =

x2 = –1 b) x1 = –1 x2 = –11

1326 a) x1 = 2

b) x = –15

2

1325 a) x1 = 3

1317 a) 42

b) t1 = 3, t2 = 4

1336 33 och 34 eller –34 och –33

1323 y = 1 y = –1 y = 3 y = –3

1333 n = 8 eller n = 0

1319 a) t1 = –4, t2 = –1

1335 b = –4 och c = 3

1340 a) x = 3, x = –3, x = 2 eller

2

1316 x = –2 eller x = 14

b) 4,52 c) 52 2  p

d) 5,52 e) 62 f)    2 1318 a) x1 = –9, x2 = 1 b) x1 = –3, x2 = –1 c) x1 = –1, x2 = 11

nämligen x = 0. Man får aldrig dividera med noll!

⇒ x=−

b b2 c b b 2 − 4ac –b ± ± − =− ± = 2 2a 4a a 2a 4a 2

b2 c b b 2 − 4ac –b ± b 2 − 4ac −x =− ± = ⇒ 2 4 a a 2a 4a 2 2a b 2 − 4ac –b ± b 2 − 4ac ⇒ x= 2 2a 4a

a) x1 = x2 = 8 b) t1 = t2 = 5

a) Saknar lösning b) p1 = p2 = 2 a) x1 = x2 = 5 b) x1 = –3 + 10 ≈ 0,162

x 2 = –3– 10 ≈ –6,16

1345 a = 9 1346 a) t ex x2 + 16x + 1 = 0

b) t ex x2 – 12x + 36 = 0 c) t ex x2 + 10x + 26 = 0

1347 a = 6 eller a = –6 1348 a) k = –32 b) k < –32 1349 a > 1,25 · 10–3 1350 (x + 7)2 = –3 men (x + 7)2

kan aldrig vara negativt.

1351 Produkten av rötterna = q

Summan av rötterna = –p

62

M2c - sa rtryck.indb 62

11-09-26 08.59.43

FACIT

1352 a) a = –11 och b = 30

b) Ekvationen x2 + px + q = 0 har rötterna x = t och x = r Följande ska visas: p = – (r + t) och q = tr t2 + pt = r2 + pr ger p = (r2 – t2) / ( t – r) = = –(r + t) VSV q = – r2 – pr = = – r2 – (–(r + t)) · r = = –r2 + r2 + tr = tr VSV 1353 a) z = ±5i b) z = ±4i

1363 z1 = 2i z2 = –4 1364 p = –12 och q > 36

Rötternas summa = = a + bi + a – bi = 2a.

Detta ger 2a = 12 dvs a = 6 p Men − = a , alltså p = –12 2 Ekvationen har lösningen z = 6 ± 36 − q Komplexa rötter om 36 – q < 0, dvs q > 36

1365 a) x = 2

b) x = –2

1366 a) x = 2

b) x = 3

1367

1354 a) z = ±1,5i b) z = ± i 5 1355 a) z = 5 ± i b) z = –1 ± 3i 1356 a) z = −6 ± i 2

1368

1357 a) z = 2 ± i 3

1369

b) z = 1 ± 2i

b) z = –4 ± 3i

1370

1358 z = 8 + 2i

1371

1359 a) z = 5 ± i 15

b) z1 = 3i z2 = –2i

1360 Rätt. Lösningarna till en

andragradsekvation av den här typen, är alltid varandras konjugat. Om den ena lösningen är 8 + 2i vet vi direkt att den andra är 8 – 2i.

1372 11 cm 1373 10 cm 1374 Rita 12 000 kr, Lena 27 000 1375 a) 24 cm (x = 6)

b) x2 – 12x + 45 = 0

1362 a) Här visas första halvan

av tabellen. n

1

2

3

4

5

6

in

i

–1

–i

1

i

–1

b) När n är jämnt delbart med 4! c) i87 + i4001 = 0 i84 · i3 + i4000 · i1 = = 1 · (–i) + 1 · i = –i + i

1380 2625 kr 1381 a) 300 st

b) 68 st

1382 3 och 48 1383 r = 0,94 cm 1384 Sätt AP = x ⇔

⇔

AP PB x 1− x = ⇔ = AB AP 1 x

⇔ x2 = 1 – x ⇔ x2 + x – 1 = 0 ⇒ Han glömmer att 1 1 1 1 4 1 5 1± 5 kontrollera om någon av x=− ± +1 = − ± + x=− ± = rötterna är falsk. I detta fall 2 4 2 4 4 2 4 2 är x = 7 en falsk 1 rot.1 1 1 1 41 4 1 15 1 5± 51 ± 5 x = − x =± − ±+ 1 = − + 1 =± − ±+ x + = − x =± − ±⇒ = x == a) x = 0 eller x2= 4 24 4 2 24 4 4 4 2 24 42 2 b) x = 8 Här väljer vi den positiva roten och får då a) x = 10 b) x = 4 AP PB 1 + 5 = = ≈ 0,618 VSV a) x = –13 b) x = 1,5 AB AP 2 VSV Om vi löser dessa tre ekvationer får vi i samtliga 1401 a) y(y – 1) fall x = ±2. Men, det är b) 6x(2 – 3x) bara lösningen till C som c) 4y(1 + 5y + x) inte innehåller några falska 1402 a) (x + 2)(x – 2) rötter. I ekvation A är b) (y + 7)(y – 7) x = –2 en falsk rot och c) (9 + a)(9 – a) i B är x = 2 en falsk rot.

kr och Erik 54 000 kr

1361 a) x1 = 6 – 3i

(på väg upp) och efter 4 sekunder är den igen på höjden 40 m, nu på väg ned.

b) 90 cm (x = 39)

1376 a) 20 m över marken

b) Efter 0,6 s (bollen på väg upp) och efter 3,4 s (bollen på väg ned)

1377 17 cm och 11 cm 1378 105 cm2 (x ≈ 11,0) 1379 Lösningarna är x = 2 och

x = 4. Detta betyder att raketen är på 40 meters höjd efter 2 sekunder

1403 a) (5 + y)(5 – y)

b) Kan inte faktoriseras c) (x + 1)(x – 1)

1404 a) (x + 3y)(x – 3y)

b) (2x + 1)(2x – 1) c) (5x + 2y)(5x – 2y)

1405 a) 5x(5x – 3)

b) 4x(1 + 4x) c) (4x + 3)(4x – 3)

1406 a) 4(x + 2 + 2y)

b) xy(x – 1) c) (0,3 + x)(0,3 – x)

1407 a) 4 st

b) 4(2c + 5k + 4t)

1408 a) Går ej att faktorisera

b) 2t(s + 3) c) 10t(3t – 1)

63

M2c - sa rtryck.indb 63

11-09-26 08.59.46

FACIT

1409 a) 5(2xy + x + y)

b) 2x(1 – 2x – 3y) c) 4x(2y + 3x – 1)

1425 (x40 + 1)(x20 + 1)(x10 + 1)

(x5 + 1)(x5 – 1)

1410 a) 2(2 + x)(2 – x)

1426 a) x1 = 0

x2 = 4 b) x1 = 2,5 x2 = –9

b) 3(x + 5)(x – 5) c) x(2x + 3y)(2x – 3y)

1411 Från rad 4 till rad 5 görs

ett fel då vi dividerar med (a – b). Eftersom a = b blir a – b = 0. Det blir alltså en division med noll vilket inte är tillåtet.

1412 a) x(x + 9)(x – 9)

b) 4(x + 2)(1 – 3x) c) (x + 3 – 3y)(x + 3 + 3y) d) bn(bn – 1)(bn + 1)

1413 a) (x + 2) 2

c) (p + 5)2

b) (a + 3) d) (a – 6)2

1427 a) x1 = 3

x2 = 2,25 x2 = 1,5

1428 a) x1 = 0

x2 = 9 x2 = –8

b) x1 = 0

b) x1 = 0

d) (s + 8)2

1415 a) 8(2x2 – x + 1)

b) 10xy(3y + 2) c) (5x + 4)(5x – 4)

1416 a) 2(x + 3)(x – 3)

b) 4(5 + x)(5 – x) c) x(x + 1)(x – 1)

1417 a) 3x(1 + 2x)(1 – 2x)

b) x2(1 + x)(1 – x) c) 2(x + 10)(x – 10)

1418 a) xy(x + y)(x – y)

b) x 4(1 + x)(1 – x) c) (x + 14)(x – 14)

1421 a) (x + 7)(x – 7)

b) går ej

1430 a) x1 = 0

x2 = –0,8 x2 = 6

9

b) x1 = 0

1431 a) x1 = 0, x2 = 2,5 och x3 = 1

b) x1 = –5, x2 = 1,5 och x3 = –2

1432 a) x1 = 0

b) x1 = 0

b) (7y + 2z)(7y – 2z) c) går ej

1423 a) går ej

b) (3ab + 5)(3ab – 5) c) 9(4x2 – y2 + 4xy)

x2 = 100 x2 = –1,25

1433 t ex x(x – 5)(3x + 1) = 0 1434 a) x1 = 0

x2 = 2 b) x1 = 0, x2 = 2, x3 = –2

b) x1 = 0, x2 = 3, x3 = –3

1436 a) x1 = 0, x2 = 10, x3 = 1

b) x1 = 0, x2 = 5, x3 = 5

1437 a) x1 = 0, x2 = 4, x3 = –4

b) x1 = 0, x2 = 3, x3 = –2

1438 Fredrik gör fel då han

dividerar med x, eftersom x = 0 är en rot. Om han först faktoriserat till x(x2 – 2x – 3) = 0, skulle han inte ha missat den tredje lösningen x = 0.

1439 z = 0, z = –7, z = 7i, z = –7i

11

12 13

14 15

17 18 19 20 21

x1 = 0, x2 = –1

1

2 3

a) 25 – 10y + y2 b) 1 – 2y + y2 c) 9y2 – 12y + 4 17x2 26 + x

8

3 a) x1 = 3 b) x1 = 10 a) x1 = 8 b) x1 = –1

a) x = ±

b) x = ± x2 = –4 x2 = 1 x2 = –2 x2 = –2

1 9

b) z = 1 ± 2i a) (3x + 1)(3x – 1) b) går ej c) (x + 4)(x – 4) a) x2(x – 2) b) y(3x + 5y) c) xy(y – 1) a) x(5 – 16x + x2) b) 2x2(2x + 1 – 2x2) c) x3(1 – x) a) x1 = 0, x2 = 0, x3 = 4 b) x1 = 0, x2 = 3, x3 = –3 a) x1 = 5 x2 = 0 x2 = –7 b) x1 = 2

1 3 b) x1 = 0 x2 = –3,5 x3 = 0,4 a) x1 = 0, x2 = 0, x3 = 4, x4 = –4 b) x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1, x3 = –1 –12 < a < 0 x1 = –1/3 x2 = i x3 = –i p = –5 z2 = –2 – i a) x = 3 (x = –2 är en falsk rot) b) x = 0,25 (x = –0,24 är en falsk rot) 60 cm a) h1 = 0,162 h2 = –0,176 b) h1 = –17,8 h2 = –115 år 1942 120 m

16 a) x1 = 2 x2 = –4,5

1440 x1 = 0, x2 = 4 eller

Test 1

Simon har ”glömt” termen 12x i kvadreringsregeln. Så här ska lösningen vara: (x + 6)2 + (x + 6)(x – 6) = = x2 + 12x + 36 + x2 – 36 = = 2x2 + 12x a) x = 4 b) t = 1,125 6 2 a) x = ± b) x = ± 7 9

10 a) z = −6 ± i 2

1435 a) x = 0

c) (2a – b)2

1422 a) x(x2 + x + 2)

7 8

b) (x + 2)(x – 2)(x2 + 4) c) (x + y)(x – y)(x2 + y2) b) 5a(5a + 2b) c) (5a + 3b)(5a – 3b)

6

x2 = 2,5 x2 = –4

b) x1 = 0

1419 a) (x + 1)(x – 1)(x2 + 1)

1420 a) (5a + b)2

5

1429 a) x1 = 0

2

1414 a) (x + 0,5)2 b) (x – 1)2

c) (a – 4)2

4

1424 a = –49

22 23 24 25

x3 =

64

M2c - sa rtryck.indb 64

11-09-26 08.59.47

FACIT

R1140-089 Detta är ett särtryck ur ISBN 978-91-47-08593-4 © 2011 Martin Holmström, Eva Smedhamre, Jonas Sjunnesson och Liber AB Projektledare: Calle Gustavsson Formgivning och layout: Cecilia Frank/Frank Etc. AB Omslag: Cecilia Frank Bildredaktör: Marie Olsson Illustrationer: Björn Magnusson, Cecilia Frank Faktor: Adam Dahl Första upplagan 1 Repro: Exaktaprinting AB, Malmö Tryck: Sahara Printing, Egypten 2011

Blandade uppgifter 1 2 3

4

5 6 7 8 9 10 11 12 13

14

a) xy + 12 b) x2 a) 17x2 b) 12x a) (x + 2)(x – 2) b) (x + 5)(x – 5) c) (7 – x )(7 + x ) a) x2(x + 3)(x – 3) b) y(1 + y )(1 – y) c) y(x + 1)(x – 1) a) 10 m b) 51 m (x = 59) 2,5 cm x = –1 x = 13 x=0 a) t = ±1,5 b) x1 ≈ 37,3 x2 ≈ 2,68 a) y1 = –3 y2 = 1 y2 = –2 b) y1 = 8 a) z = 1 ± i b) x1 ≈ –1,62 x2 ≈ 0,618 a) z1 = –0,4 + 0,8i z2 = –0,4 – 0,8i x2 = –2 b) x1 = 4 425 kg

15 113 000 kunder (112 766)

35 x = 15 cm

16

36 x1 = 0 x2 = –1

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

1 a1 = 8, a2 = –13 3 a) r ≈ 12,1 b) y ≈ 1,92 t ex x2 – 6x + 34 = 0 294 m2 96x + 0,4 3 z = –5 ±4i eller z = 0 45 m a = 10 144x2 53 23x + 1 4,9 cm a) x1 = x2 = 0 x3 = 2,5 b) x1 = –5, x2 = 2, x3 = –2 17 cm 7,94 · 10–4 –6 Standardformatet har största bildskärmsytan a) 1,8 och 2,25 b) 238

37 Dubbelrot om a = –2 38 Första parentesen =

39 40 41

42 43 44 45

= (2 + x + 3y)2 = = 4 + 2 · 2(x + 3y) + (x + 3y)2 Hela uttrycket = = 4 + 4x + 12y + (x + 3y)2 – – (x + 3y)2 = 4 + 4x + 12y Uttrycket kan skrivas 4(1 + x + 3y) och är alltså jämnt delbart med 4. VSV a) x = 3 b) x1 = 2 x2 = 6 a > 0,3 eller a < –0,3 1,9 m a > 0,4 eller a < –0,4 –6 x2 – 9x + 18 = 0 eller x2 + 5x – 10 = 0 x2 – 2x – 3 = 0 Kalles ekvation fås genom (x – 4) (x + 2) = 0 som ger p = –2. Pelles ekvation fås genom (x – 1)( x + 3) = 0 som ger q = –3.

Kopieringsförbud Detta verk skyddas av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

M2c sa rtryck - omslag.indd 2

BILDFÖRTECKNING Omslagsfoto: Adam Gault/Matton Images 20 22 2–3 Erich Lessing/IBL 23 2–3 ©20th Century Fox/Everett 25 Collection/IBL 28 3 Science Photo Library/IBL 11 Helena Larsson/Naturfotograferna/ 34 40 IBL 13 Jonathan Nackstrand/AFP/Scanpix 42 44 17 Bo Lindell/Scanpix

Bertil Ericson/Scanpix Shutterstock NASA Filip Singer/EPA/Scanpix Mujo Korach/IBL Hugo Nabo/DN/Scanpix Jan Nordström/Mira/NordicPhotos Bertil Ericson/Scanpix Shutterstock

45 49 50 56 58 59

Bridgeman Library/IBL Photodisc OS 50 Harald Eisenberger/LOOK-foto/IBL Jochen Luebke/Scanpix Age Fotostock/NordicPhotos Harald Eisenberger/LOOK-foto/IBL

11-09-26 09.04.06

M

2c

Den här boken omfattar gymnasieskolans kurs Matematik 2c.

Den riktar sig till naturvetenskaps- och teknikprogrammen.

Boken passar också för vuxenutbildning och basår.

• Bokens tydliga förklaringar ger en djupare förståelse för matematiken.

SON JUNNES JONAS S RÖM HOLMST MARTIN DHAMRE EVA SME

• Nivåindelade uppgifter och fördjupningar gör det lätt att individualisera.

• Laborativa aktiviteter, Upptäck & visa, Digitala rutan samt Kommunicerauppgifter ger möjlighet att träna många förmågor.

• Varje kapitel avslutas med Sammanfattning, Test och Blandade övningar.

M är en matematikserie för gymnasieskolan.

Serien täcker samtliga gymnasieprogram.

Tryck.nr 47-08556-9

M2c

Best.nr 47-08593-4

M2c sa rtryck - omslag.indd 1

r1140-089

Best.nr 47-08556-9

11-09-26 09.04.06