Gunilla Viklund · Birgit Gustafsson · Anna Norberg
Trianglar C
Triangelns vinkelsumma Vinkelsumman i en triangel är 180°. ^A + ^B + ^C = 180°
A
B
CC
Likformiga trianglar
PROGRAM • UPPDRAG • MODELLER
4,0 4,0
5,0 5,0
FF
2,0 2,0
AC BC AB = = FE DE DF
Matematik 1a
I likformiga trianglar är DD a motsvarande vinklar lika A EE BB a Aförhållandet mellan motsvarande sidor lika.
Matematik 1a Matematik 1a för vuxenutbildning Matematik 1a – program, uppdrag, modeller har
CC
• en Modell för varje viktigt delmoment
EE AA
BB
FF
• typexempel och övningsuppgifter till varje modell DD
• Uppdrag med problemlösning, resonemang och kommunikation • Blandade övningar på tre nivåer
Pythagoras sats a +b =c 2
2
2
• två kontrollstationer Välj rätt svar och Test.
hypotenusa c
katet a
Matematik 1a PROGRAM
UPPDRAG MODELLER
VUX
b katet
PROGRAM UPPDRAG MODELLER
Avståndsformeln d = (x 2 − x 1 ) + ( y 2 − y 1 ) där d är avståndet mellan punkterna (x1 , y1) och (x2 , y2). 2
2
Tangens, sinus och cosinus För de spetsiga vinklarna v i rätvinkliga trianglar gäller att motstående katet tan v = usa ten närliggande katet po motstående sin v = cos v =
motstående katet hypotenusa
närliggande katet
MatematikA_omslag1vux.indd 1
hypotenusa
hy
v
katet till v
närliggande katet till v
Gunilla Viklund Birgit Gustafsson Anna Norberg
ISBN 978-91-523-1736-5
www.sanomautbildning.se
(523-1736-5)
2012-05-24 13.18
Sanoma Utbildning Postadress: Box 3159, 103 63 Stockholm Besöksadress: Sveavägen 56, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order/Läromedelsinformation Telefon 08-696 86 00 Telefax 08-696 86 10
Redaktör: Lena Bjessmo, Karolina Danström Grafisk form, layout och omslag: Kolofon, Lena Eklund Illustrationer: Ingrid Flygare Bildredaktör: Lena Eklund, Lena Nistell Matematik 1a Vux program, uppdrag, modeller isbn 523-1736-5
© 2012 Gunilla Viklund, Birgit Gustafsson, Anna Norberg och Sanoma Utbildning ab, Stockholm Tredje upplagan Första tryckningen
Kopieringsförbud!
Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Tryck: Livonia Print, Lettland 2012
0_Matematik1a_Inledning_vux.indd 2
2012-05-24 15.08
Till läsaren Denna bok är skriven för dig som ska läsa kursen Matematik 1a. Boken innehåller 8 kapitel med samma struktur. Varje kapitel inleds med en beskrivning av det centrala innehåll som behand las i kapitlet. Där hittar du också viktiga begrepp som du bör känna till mer om efter att ha studerat kapitlet. Varje kapitel introduceras med ett Uppdrag. Uppdragen är mer omfattande uppgifter som du kan välja att göra. Dessa finns på flera ställen i kapitlet. Uppdragen kan med fördel lösas i grupp och ger dig möjlighet att utveckla olika matematiska förmågor som att lösa matematiska problem, både teoretiskt och praktiskt och att kommunicera matematik. Det matematiska innehållet i kapitlet presenteras i Modeller. Varje modell består av en kortfattad teorigenomgång med lösta exempel samt uppgifter på olika nivåer. Många uppgifter anknyter till dina karaktärsämnen. Efter kapitlets Modeller kommer en första kontrollstation i form av en tipsrad: Välj rätt svar. Där kan du testa dina kunskaper innan du går vidare till Blandade övningar. Blandade övningar finns på tre nivåer, grundnivå, + och ++. Här finns mer krävande uppgifter som ibland är riktiga utmaningar. I slutet av varje kapitel finns en sammanställning av de begrepp som behandlats i kapitlet. Kapitlet avslutas med ett test där du ska visa dina kunskaper med fullständiga lösningar. Lycka till med dina matematikstudier! Författarna
3
0_Matematik1a_Inledning_vux.indd 3
2012-05-24 15.08
Innehåll 1 • ta l o c h rä k n i n g
Modell 1 Prioriteringsreglerna...................................................................8 Modell 2 Teckna sammansatta uttryck................................................. 10 Modell 3 Avrundning och överslagsräkning........................................12 Modell 4 Negativa tal..................................................................................15 Modell 5 Bråkräkning.................................................................................. 18 Modell 6 Potenser och kvadratrot...........................................................21 Modell 7 Tid och tidsenheter....................................................................23 Modell 8 Problemlösning.......................................................................... 25 Blandade övningar........................................................................................28 Begrepp och test.....................................................................................36–37
2 • pro c e nt o c h l å n
Modell 1 Procenträkning med stödanteckningar............................. 40 Modell 2 Procentberäkningar................................................................... 41 Modell 3 Promille och ppm.......................................................................44 Modell 4 Förändringsfaktor..................................................................... 46 Modell 5 Beräkna ränta............................................................................. 49 Modell 6 Procentenheter............................................................................51 Modell 7 Rak amortering av lån.............................................................. 53 Modell 8 Kreditköp......................................................................................56 Modell 9 Indexserie.....................................................................................59 Blandade övningar....................................................................................... 64 Begrepp och test...................................................................................... 71–73
3 • stati sti k o c h u n d e rs ö k n i n ga r
Modell 1 Tolka och granska diagram......................................................76 Modell 2 Rita diagram med kalkylprogram.........................................82 Modell 3 Lägesmått.....................................................................................87 Modell 4 Granska en statistisk undersökning.................................... 91 Modell 5 Bortfall.......................................................................................... 94 Modell 6 Felmarginal................................................................................. 96 Blandade övningar......................................................................................100 Begrepp och test....................................................................................111–113
4 • san n o l i k h e ts l ä ra
Modell 1 Utfall och sannolikhet..............................................................116 Modell 2 Odds..............................................................................................120 Modell 3 Sannolikhet och riskbedömning......................................... 123 Modell 4 Sannolikheter med diagram................................................ 128 Modell 5 Sannolikheter för slumpförsök i flera steg...................... 132 Modell 6 Beroende händelser................................................................ 137 Blandade övningar...................................................................................... 142 Begrepp och test...................................................................................151–153
0_Matematik1a_Inledning_vux.indd 4
2012-05-24 15.08
5 • e kvati o n e r och formler
Modell 1 Hitta talet x med hjälp av övertäckning........................... 156 Modell 2 Att lösa ekvationer................................................................... 158 Modell 3 Andra typer av ekvationer.....................................................160 Modell 4 Teckna och tolka uttryck........................................................162 Modell 5 Räkna med parenteser............................................................164 Modell 6 Sätt in värden i formler..........................................................166 Modell 7 Lös ut värden ur formler.........................................................168 Modell 8 Enkla andragradsekvationer................................................ 170 Modell 9 Problemlösning med ekvationer.........................................172 Blandade övningar...................................................................................... 176 Begrepp och test................................................................................. 184–185
6 • g e om e tr i o c h e n h e te r
Modell 1 Tiopotenser och prefix............................................................189 Modell 2 Omvandla enheter med olika prefix...................................191 Modell 3 Beräkna omkrets och area.....................................................193 Modell 4 Beräkna volym..........................................................................196 Modell 5 Omvandla area- och volymenheter...................................198 Modell 6 Omvandla mellan olika volymmått...................................199 Modell 7 Problemlösning........................................................................200 Blandade övningar..................................................................................... 204 Begrepp och test.................................................................................. 210–211
7 • mate mati s ka sam ba n d
Modell 1 Koordinatsystem....................................................................... 214 Modell 2 Proportionalitet........................................................................ 218 Modell 3 Linjära samband.......................................................................222 Modell 4 Exponentiella samband........................................................ 226 Modell 5 Problemlösning........................................................................ 229 Blandade övningar..................................................................................... 234 Begrepp och test................................................................................ 243–245
8 • vi n k l a r , tr ig on om e tr i o c h sym m e tr i e r
Modell 1 Beräkna vinklar i trianglar och fyrhörningar.................. 249 Modell 2 Skala............................................................................................. 251 Modell 3 Vektorer.......................................................................................253 Modell 4 Likformighet och kongruens................................................257 Modell 5 Symmetri....................................................................................260 Modell 6 Pythagoras sats....................................................................... 263 Modell 7 Bestäm sidor med trigonometri.........................................267 Modell 8 Bestäm vinklar med trigonometri.................................... 270 Blandade övningar......................................................................................274 Begrepp och test.................................................................................281–283 Facit ................................................................................................................ 284 Register........................................................................................................... 312
0_Matematik1a_Inledning_vux.indd 5
2012-05-24 15.08
7
m at e m at i s k a samband
C e n t r a lt i n n e h å l l a Begreppen förhållande och proportionalitet i resonemang, beräkningar, mätningar och konstruktioner. a Skillnader mellan linjära och exponentiella förlopp. a Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg. Då m å st e d u k u n n a a se samband mellan grafer och händelser a förstå och använda begreppet proportionalitet a ställa upp formler utifrån givna förhållanden a se samband mellan formler, tabeller och grafer a använda linjära och exponentiella modeller för att beskriva förlopp och förstå skillnaden mellan dessa modeller i karaktärsämnen och i vardagen. Begrepp Matematiskt samband Graf Formel Koordinatsystem Origo
Proportionalitet Proportionalitetskonstant Variabel Linjärt samband Exponentiellt samband
212
7_Matte1a_Samband_vux.indd 212
2012-05-24 15.37
haPPY b i rth DaY u ppdrag
Ta fem lika långa tårtljus. Mät och anteckna ljusens längd. a Starta en klocka samtidigt som du tänder ljusen. Efter exakt två minuter blåser du ut det första ljuset. Efter ytterligare två minuter nästa osv. a Mät ljusens längd och gör en tabell med tiden i en kolumn och ljusens längd i en annan. Pricka in dina värden i ett diagram. Hur ser ditt samband mellan tid och ljuslängd ut? a Hur ser diagrammet ut om du istället beräknar hur många centi meter av ljuset som har brunnit ner. Beskriv ditt resultat med ord.
Ç
Milan ska ta körkort. Teoriundervisningen kostar 2 000 kr och varje kör lektion kostar 550 kr. Det fi nns ett matematiskt samband mellan priset för körkortet och det antal lektioner som han behöver.
Du kan beskriva ett matematiskt samband med en tabell, en graf eller en formel.
Sambandet kan beskrivas med talpar i en tabell. tabe ll
Antal körlektioner
5 10 15 20
graf
forme l
Totala kostnaden
2 000 kr + 5 · 550 kr = 4 750 kr
4 750 7 500 10 250 13 000
Om du prickar in dessa talpar i ett koordinatsystem och sam man binder punkterna får du en bild av sambandet. Denna bild kallas för en graf. I detta fall blir grafen en rät linje och beskriver ett linjärt samband. Sambandet mellan den totala kostnaden y kr och antalet kör lek tio ner x st kan även skrivas med en formel: y = 2 000 + 550x 2 000 kr är priset för teoriundervisningen och lektionerna kostar 550 kr/st.
(20, 13 000) är exempel på ett talpar
kr
Totala kostnaden
12 000 10 000 8 000 6 000 4 000 2 000
Antal körlektioner 5
10
15
20
25
7 • m at e m at i s k a s a m b a n d
7_Matte1a_Samband_vux.indd 213
213
2012-05-24 15.37
modell 1
Koordinatsystem Ett matematiskt samband eller en händelse kan beskrivas med en graf i ett koordinatsystem. Ett rätvinkligt koordinatsystem består av två tallinjer som skär varandra så att det bildas en rät vinkel. Den vågräta tallinjen kallas x-axeln och den lodräta y-axeln. Tal linjernas skärningspunkt kallas origo och har koordinaterna (0,0).
exempel A
Ange koordinaterna för punkterna A, B och C. y
4 3 2 1 –3 –2 –1
C lösn i ng exempel B
B
–1 –2 –3
Läs av det första talet på x-axeln och det andra talet på y-axeln.
A
1
x
2 3
4 5 6
Svar: A = (5,3), B = (2,0) och C = (–2,–3) Vatten rinner med samma hastighet ner i tre olika mätglas. I diagrammet nedan visas grafen för hur vattnet stiger i mätglas C. Rita in graferna för mätglas A och B i samma diagram. Vattnets höjd
C
A
B
C Tid
lösn i ng
När vattnet rinner ner ökar vattnets höjd i mätglasen. Den tid som vattnet runnit kan avläsas på den vågräta axeln (x-axeln) och vattnets höjd på den lodräta axeln (y-axeln). Vattnets höjd
A
C
Vattnet rinner lika fort ner i mätglasen. Nivån stiger därför snabbast i det smalaste mätglaset A. Den grafen ska luta mer än den för mätglas C. Mätglas B tar längst tid att fylla, så den grafen ska luta mindre.
B Tid
214
7 • m at e m at i s k a s a m b a n d
7_Matte1a_Samband_vux.indd 214
2012-05-24 15.37
exempel c
lösn i ng
Rita ett koordinatsystem och markera punkterna (–1, –2 ) och (5, 4). Dra den räta linjen genom punkterna. I vilka punkter skär linjen koordinataxlarna? Rita koordinatsystemet, markera punkterna och dra den räta linjen.
4 3 2 1
Avläs koordinaterna
Den räta linjen skär y-axeln i y = –1 och x-axeln i x = 1.
–3 –2 –1
–1 x–2 (–1, –2)
Svar: Linjen skär koordinataxlarna i punkterna (0, –1) och (1, 0).
Arbeta gärna i grupp med uppgifterna 701–708. 7 01 I en motorsporttidning under sökte man hur snabbt vissa bilar kunde accelerera från 0 km/h till 100 km/h. Använd diagrammet och utläs om det var den blå eller den röda sportbilen som accelererade snabbast.
km/h
100
y
(5, 4) x
x 1
2
3 4
5
Hastighet
Tid
7 • m at e m at i s k a s a m b a n d
7_Matte1a_Samband_vux.indd 215
215
2012-05-24 15.37
+ 3 18 Nedanstående stolpdiagram visar åldern på de antagna till en butikschefsutbildning. Antal 6 5 4 3 2 1 0
19 20
21
22 23 24 25 26
Ålder
a) Ange typvärdet. b) Bestäm medianåldern. c) Beräkna medelåldern. + 3 19 a) Du har 12 kulor. Medelvikten är 130 g. Vad händer med medelvikten om du byter en kula som väger 120 g mot en kula som väger 150 g? b) Du har 12 kulor. Kulorna är blåa, röda och gula. Typvärdet är blå. Hur många av varje färg kan det finnas? Ge minst 5 alternativ. c) Du har 12 kulor. 11 väger lika mycket, den 12:e väger lite mindre. Visa hur du kan ta reda på vilken det är med tre vägningar på en balansvåg.
90
3 • s tat i s t i k o c h u n d e r s ö k n i n g a r
3_Matte1a_Statistik_vux.indd 90
2012-05-24 15.26
modell 4
Granska en statistisk undersökning Om du ska kunna granska en statistisk undersökning måste du känna till något om hur den är genomförd. Du bör också veta syftet med undersökningen och om det är en totalundersökning eller en stickprovsundersökning. Totalundersökning Då undersöks hela populationen, t.ex. alla anställda på ett företag.
Stickprovs- eller urvalsundersökning Vid en stickprovsundersökning gör man ett urval ur populationen. Det kan göras på flera sätt.
Systematiskt urval Välj t.ex. var tredje anställd från en lista.
Obundet slumpmässigt urval De anställda väljs ut med slumptal.
Felkällor Vanliga felkällor vid statistiska undersökningar är att man inte gjort ett korrekt urval eller ett till räckligt stort urval. Det kan även bero på att man ställt svårtolkade frågor, att många tillfrågade låtit bli att svara eller har svarat ofullständigt på en enkät.
Stratifierat urval När man har olika delgrup per och vill att alla ska vara representerade i urvalet.
3 • s tat i s t i k o c h u n d e r s ö k n i n g a r
3_Matte1a_Statistik_vux.indd 91
91
2012-05-24 15.26
4 38 Mimmi förvarar trasiga lampor ihop med nya i en låda. Hon behöver tre nya lampor till sin badrumsbelysning. Hur stor är chansen att hon direkt får belysningen att fungera om det finns 5 nya och 12 trasiga lampor i lådan? 4 39 Du drar tre kort ur en vanlig kortlek. Vad är sannolikheten att du får triss i ess om du
a) varje gång lägger tillbaka det dragna kortet i kortleken innan du tar ett nytt? b) tar alla tre kort på en gång?
+ 4 40 Är följande två händelser beroende eller oberoende, eller kan de vara både och? Motivera. a) Att få klave även andra gången om man kastar ett mynt två gånger.
b) Att smöret hamnar nedåt båda gångerna om man tappar sin smörgås två gånger. c) Att dra två kungar ur en kortlek utan återläggning. d) Att missa två bussar i rad.
e) Att vara med om samma typ av olycka två gånger. f) Att vinna på två trisslotter.
+ 4 41 ”Betala 10 kr och dra tre kort ur en vanlig kortlek. Om alla tre korten har samma färg (röd eller svart) vinner du 200 kr.” Hur ska du göra? Spela eller avstå? Motivera ditt val med resonemang och beräkningar! Spela kula u ppdrag
Arvid och Frans spelar ett spel. De lägger tre kulor, två röda och en blå, i en burk. Arvid skakar burken och Frans drar kulor utan att titta. Först drar han en kula och sedan en till utan att lägga tillbaka den första. Om Frans får två kulor av samma färg så vinner han och annars vinner Arvid. a Är det lika stor chans för båda att vinna? a Därefter lägger de dit en blå kula till. Ändras chansen för Frans att vinna? I så fall hur? a Ge ett förslag på hur många kulor man ska ta totalt, och hur många av varje färg för att spelet ska bli rättvist.
140
4 • san noli kh etslära
4_Matte1a_Sannolikhet_vux.indd 140
2012-05-24 15.30
Välj rätt svar 1 Hur stor är sannolikheten att Maja tar en röd kula ur påsen? 5 3 1 X. 2. 1. 8 8 2
2 Maja tar en röd kula. Hur stor är sannolikheten att nästa kula hon tar också blir en röd? 2 3 2 X. 2. 1. 8 7 7 3 Vad är komplementhändelsen till fråga 1?
1. Hon tar en röd X. Hon tar en röd eller vit kula 2. Hon tar en vit 4 Evelina kastar en tärning två gånger och får en etta båda gångerna. Hur stor är sannolikheten att hon även får en etta i nästa kast? 1 1 1 1. > X. < 2. 9 0 6 6 6 8 1 5 Niklas ska snurra på lyckohjulet. Ska han 7 2 välja högre eller lägre än 5 för att ha störst chans att vinna? 6 3 1. lägre
X. högre 2. lika stor chans på båda
5
4
6 Ludvig ska ta jägarexamen och tränar skytte på lerduvor. Efter första dagen summerar han resultatet. Han har 20 % chans att träffa. Hur stor är chansen att han träffar två lerduvor med två skott? 1. 40 %
X. 4 %
2. 20 %
7 Hur högt är oddset att Ludvig inte lyckas träffa någon lerduva med två skott? 1. 1,04
X. 1,25
2. 1,56
8 Hur stor är sannolikheten att få två kungar när man drar två kort ur en kortlek 2 12 8 1. X. 2. 52 ⋅ 52 52 ⋅ 51 52 ⋅ 51 9 Vilket är mest troligt?
1. Du vinner ett tärningsspel med två andra deltagare. X. Du vinner i ett lotteri med 30 % vinstchans. 2. Du drar ett kort högre än nio ur en kortlek.
4 • san noli kh etslära
4_Matte1a_Sannolikhet_vux.indd 141
141
2012-05-24 15.30
Blandade övningar 5
3 35 Du har fem minuter på dig att lösa följande uppgifter.
1. Malin har frågat 20 personer hur många veckotidningar de läser varje vecka. Hon fick följande svar: 1 0 3 5 2 1 1 3 4 3 2 6 4 3 2 2 1 1 3 6. Vilket diagram är lämpligt att hon ritar för att visa resultatet? 2. Beräkna medelvärdet i uppgift 1.
3. Vad innebär ett stratifierat urval?
4. Varför är det viktigt att veta hur stort bortfallet är?
3 36 En affär har undersökt hur deras jeansförsäljning varierat mellan åren 2000 och 2010. Två försäljare har gjort var sitt diagram och bägge diagrammen visar hur stor andel av för säljningssumman som utgörs av jeansförsäljningen. Vad skiljer de två diagrammen från varandra? Jeansförsäljning andel i procent
Jeansförsäljning andel i procent
100
70
80
60
60
50
40 20 0 1994
40
1996
1998
2000
2002
337 Linda är 16 år och sommarjobbar åt kommunen som assistent på ekonomikontoret. Hon får 53 kronor/timme. Hennes 18-årige kompis som sommarjobbat på samma ställe i tre år får 73 kronor/timme. Linda tycker att det är orättvist och ritar ett diagram för att visa det. Hennes kompis tycker att diagrammet är felaktigt. Vad är det som är missvisande i Lindas diagram?
100
År
1994 1996 1998 2000 2002
År
Lön kr/h 75 65 55 50
Linda
Lindas kompis
3 • s tat i s t i k o c h u n d e r s ö k n i n g a r
3_Matte1a_Statistik_vux.indd 100
2012-05-24 15.26
3 38 Anders försöker varje vecka förbättra sina rekord på 100 meter simning. Diagrammet visar hans bästa tid i tre simsätt under två olika veckor.
Anders tider
Första veckan Andra veckan
Bröstsim
Ryggsim
Fjärilsim 75.0
0
75.5
76.0
76.5
77.0
sekunder
a) I vilket simsätt förbättrade Anders sin tid mest från första till andra veckan?
b) Vilken var Anders bästa tid på 100 m bröstsim under den första veckan? c) Vilket simsätt ska Anders välja om han vill simma 100 m så fort som möjligt? 3 39 Diagrammet visar brottsmönstret för ungdomar mellan 15 och 20 år. Procent 50 40 30 20 10 0
Våldsbrott
Stöldbrott Bedrägerier Skadegörelse Trafikbrott
Narkotika- Övriga brott brott
a) Uppskatta hur stor del av brotten som utgörs av trafikbrott. b) Vilka är de vanligaste brottstyperna bland 15–20-åringar? c) Ungefär hur många gånger vanligare är stöldbrott jämfört med narkotikabrott?
3 40 a) Beräkna medelvärde, median och typvärde för följande tal: 3 8 7 8 6 8 11 5
b) Ge exempel på åtta tal som har samma medelvärde och samma median som i a). 3 • s tat i s t i k o c h u n d e r s ö k n i n g a r
3_Matte1a_Statistik_vux.indd 101
101
2012-05-24 15.26
bakn i ng u ppdrag
Du har lovat att baka en morotskaka till en fest. Det kommer 45 personer till festen. Det recept du har ser du nedan. a Hur skulle ditt recept se ut om det ska räcka till 45 personer. a Hur stor långpanna behöver du för att kakan ska bli lika tjock? a Du har ingen sådan långpanna utan din har måtten 30 cm × 40 cm. Hur många procent tunnare blir din kaka jämfört med den i ursprungsreceptet. Om du vill använda din långpanna men ändå få en kaka med samma tjocklek, vad måste du då göra?
Amerikansk morotskaka (ca 30 st) Botten 6 dl rivna morötter 2 1/2 dl smält smör 4 ägg 4 dl socker 4 dl vetemjöl 2 tsk bakpulver 2 tsk bikarbonat 2 tsk vanillinsocker kanel att strö över kakan Kräm 2 pkt a 60 g Philadelphia cream cheese 2 1/2 dl florsocker Gräddas i en mjölad långpanna (20 cm × 30 cm).
206
6 • geometri och enheter
6_matte_1a_Geometri_vux.indd 206
2012-05-24 15.35
+ 6 62 Martin och Helena har var sitt styvt A4-papper. De ska båda göra en låda av pappret genom att klippa bort en kvadrat i varje hörn och sedan vika upp sidorna – Jag vill att min låda ska rymma ungefär 1 liter så jag ska klippa bort kvadrater med sidan 5 cm. – Men det spelar väl ingen roll hur stora kvadrater man klipper bort. Vi har ju ett lika stort papper då måste väl lådorna rymma lika mycket.
Hur blir det? Helena klippte bort kvadrater med sidan 4 cm. Kommer hennes låda att rymma lika mycket som Martins?
+ 6 63 Tim ska måla mantelarean på en cylinderformad oljecistern. Cisternens höjd är 25 m och diametern är ungefär 20 m. Han har 200 liter färg och på färghinken står att 1 liter täcker 8 m2. Kommer färgen att räcka? + 664 Det hygieniska gränsvärdet för aceton är 600 μg/dm3. Hur många gram får det högst finnas i ett rum som är 42 m3? + 665 Lisa har i 30 år rökt ett cigarettmärke där varje cigarett innehåller 12 mg tjära. Hennes syster som försöker övertala henne att sluta röka har räknat ut att hon fått i sig 2,5 kg tjära. Är det rimligt att hon fått i sig så mycket? + 6 66 För att driva en elektrisk apparat med effekten 1 kW under en timme krävs energimängden 1 kilowattimme. Hur mycket energi förbrukas om man använder en elvisp som har effekten 400 W i 20 minuter? + 667 Du har ett A4-papper. Gör ett cirkelformat rör.
a) Hur ska du vända papperet för att rörets volym ska bli så stor som möjligt? b) Hur mycket större blir volymen i detta fall jämfört med det andra?
c) Varför får rören olika volymer?
6 • geometri och enheter
6_matte_1a_Geometri_vux.indd 207
207
2012-05-24 15.35
Begrepp
Betydelse
Sidan
Likhet
I en likhet är värdet av uttrycken på båda sidor av likhetstecknet alltid lika stort.
155
Ekvation
En ekvation är en likhet där ett eller flera tal är okända och har ersatts med en bokstav eller en symbol. Till exempel: x + 5 = 10
155
Algebra
Algebra är ett område inom matematiken där man använder bokstäver eller symboler för att beteckna tal.
155
Variabel
Ett okänt tal som kan anta olika värden. I uttrycket 2x + 7 är x variabel.
162
Koefficient
Det tal som en variabel multipliceras med. I uttrycket 2x + 7 är 2 koefficient.
162
Konstant term
Ett tal som är känt i en summa. I uttrycket 2x + 7 är 7 konstant term.
162
Algebraiska uttryck
Uttryck som innehåller godtyckliga tal, där vissa skrivs med bokstäver, och tecken för räkneoperationer. Till exempel 3x + 5
162
Förenkla
Skriva om ett uttryck till enklare form. Till exempel: 5(x + y) – 2x = 5x + 5y – 2x = 3x + 5y
164
Formel
Beskriver ett samband mellan olika s variabler. Formeln v = anger t hur hastigheten v är beroende av sträckan s och tiden t.
166
Andragradsekvation
En ekvation som innehåller ett okänt tal multiplicerat med sig självt. Till exempel x2 + 4 = 13
170
B e g r e p p s k a rta Gör en begreppskarta utifrån dessa begrepp. Försök att binda samman så många begrepp som möjligt med varandra. Hur hänger begreppen ihop?
184
5 • e k vat i o n e r o c h f o r m l e r
5_Matte1a_Ekvation_vux.indd 184
2012-05-24 15.33
Test Lös ekvationerna 1 a) x + 23 = 41 2 a) 3x + 2 = 2x + 5
x = 13 14 b) 7x 2 – 3 = 60 b)
c) 17x + 12 = 97 c) 5(x – 4) = 20
3 Frida och Stina löser ekvationen: 5 – 3(1 – 2x) = 8. Frida får svaret x = 1 och Stina x = –1. a) Vem har rätt? b) Vilket fel kan den andra ha gjort? 4 Ett varuhus behöver hyra in personal. En person som ska sitta i kassan, en som packar upp varor och en till kund tjänst. En person som packar upp varor kostar 200 kr/timme och övriga kostar 350 kr/timme. Varuhuset hyr en person för uppackning i x timmar, kassapersonal i y timmar och en till kundtjänst i z timmar. Vilket eller vilka uttryck beskriver den totala kostnaden för varuhuset?
a) 200x + 350y + 350z b) 200x + 350(y + z)
c) 200 (z + y) + 350x
5 Ett positivt heltal multipliceras med 7 och därefter dividerar man med 11. Kvoten multiplicerar man med 5. Svaret blir 175. Vilket är det okända talet? 6 En kostnad K kan beskrivas med en formel K = 130 + 50x. Beskriv med egna ord vad formeln skulle kunna beskriva. 7 Layal får 12 % rabatt på sportkläder. Rabatten på ett par shorts blir 16,20 kr. Hur mycket kostade shortsen före rabatten? 8 Anders säljer begagnade resetidningar för halva nypriset. Victor köper en ny tidning i kiosken och fyra begagnade av Anders. Det kostar sammanlagt 117 kr. Hur mycket kostar en ny resetidning? 9 En cappuccino kostar 5 kr mer än en muffins. Sven serverar 13 personer som vill ha både cappuccino och muffins. De betalar 559 kr. Vad kostar en cappuccino? 10 Klädaffären ”Gul och Blå” har rea och sänker priset med 20 % efter en vecka sänker de priset ytterligare 10 %. Evelina köper ett par jeans för 1 044 kr. Vad kostade jeansen innan rean?
5 • e k vat i o n e r o c h f o r m l e r
5_Matte1a_Ekvation_vux.indd 185
185
2012-05-24 15.33
Gunilla Viklund · Birgit Gustafsson · Anna Norberg
Trianglar C
Triangelns vinkelsumma Vinkelsumman i en triangel är 180°. ^A + ^B + ^C = 180°
A
B
CC
Likformiga trianglar
PROGRAM • UPPDRAG • MODELLER
4,0 4,0
5,0 5,0
FF
2,0 2,0
AC BC AB = = FE DE DF
Matematik 1a
I likformiga trianglar är DD a motsvarande vinklar lika A EE BB a Aförhållandet mellan motsvarande sidor lika.
Matematik 1a Matematik 1a för vuxenutbildning Matematik 1a – program, uppdrag, modeller har
CC
• en Modell för varje viktigt delmoment
EE AA
BB
FF
• typexempel och övningsuppgifter till varje modell DD
• Uppdrag med problemlösning, resonemang och kommunikation • Blandade övningar på tre nivåer
Pythagoras sats a +b =c 2
2
2
• två kontrollstationer Välj rätt svar och Test.
hypotenusa c
katet a
Matematik 1a PROGRAM
UPPDRAG MODELLER
VUX
b katet
PROGRAM UPPDRAG MODELLER
Avståndsformeln d = (x 2 − x 1 ) + ( y 2 − y 1 ) där d är avståndet mellan punkterna (x1 , y1) och (x2 , y2). 2
2
Tangens, sinus och cosinus För de spetsiga vinklarna v i rätvinkliga trianglar gäller att motstående katet tan v = usa ten närliggande katet po motstående sin v = cos v =
motstående katet hypotenusa
närliggande katet
MatematikA_omslag1vux.indd 1
hypotenusa
hy
v
katet till v
närliggande katet till v
Gunilla Viklund Birgit Gustafsson Anna Norberg
ISBN 978-91-523-1736-5
www.sanomautbildning.se
(523-1736-5)
2012-05-24 13.18