9789144059723

– för de tidiga skolåren

Lärare kan inspirera och öka elevers förståelse för matematik genom en undervisning som startar i goda läroprocesser. Matematikdidaktik – för de tidiga skolåren beskriver dessa didaktiska frågor kring matematikundervisningen i grundskolans tidiga år.

| Matematikdidaktik

Matematikdidaktik

Anita Sandahl

Anita Sandahl är fil.dr. i matematikämnets didaktik och har varit verksam som universitetslektor vid Högskolan i Jönköping. Hon har lång erfarenhet av forskning och utvecklingsarbete med inriktning mot grundläggande matematikinlärning. Hon har arbetat med utveckling av nationella diagnoser och prov i matematik för grundskolan.

Matematikdidaktik – för de tidiga skolåren

I boken beskrivs vad matematik är och läsaren får följa med på en resa från matematikens ursprung fram till vår kultur. Tal och problem är viktiga begrepp i matematiken och författaren behandlar dessa begrepp från barns tidiga ålder till skolsituationen i matematik.

Boken tar även upp hur viktigt det är att möta dagens barn med de kunskaper och färdigheter de har inom digital teknik.

Boken riktar sig till lärarstudenter och verksamma lärare som vill ge barn och elever ett positivt möte med matematikämnet.

Art.nr 33709 ISBN 978-91-44-05972-3

www.studentlitteratur.se

978-91-44-05972-3_Cover.indd 1

9 789144 059723

Anita Sandahl

2014-06-12 17:06

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.

Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.

Studentlitteratur har både digital och traditionell bok­utgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 33709 ISBN 978-91-44-05972-3 Upplaga 1:1 © Författaren och Studentlitteratur 2014 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Jens Martin, Signalera Omslagsbild: Shutterstock/macknimal Printed by Printed by Eurographic, Denmark 2014

978-91-44-05972-3_book.indd 2

2014-06-27 09:08

Innehåll

Inledning 7 1 Vad är matematik? 9

Var finns matematiken? Vad tänker människor om matematik? 11 Varför ser undervisningen i matematik ut som den gör? 21 Diskussionsuppgifter 23 2 Från praktisk handling till formell matematik 25

Från öst till väst 26 Två spännande objekt i matematiken 42 Diskussionsuppgifter 49 3 Kursplan i matematik 51

Diskussionsuppgifter 55 4 Tal – vad är det? 57

Tidig räkning 64 Att uppfatta tal 69 Diskussionsuppgifter 77 5 Problem – modellering 79

Några exempel på undervisning om problem 83 Diskussionsuppgifter 89

© F ö r fa t t a r en och S t uden t li t t e r at u r

978-91-44-05972-3_book.indd 3

3

2014-06-27 09:08

Innehåll

6 Om undervisning 91

Diskussionsuppgifter 98 7 Om hjälpmedel och digital teknik 101

Några exempel på projekt 105 Diskussionsuppgifter 111 Matematik i oväntade sammanhang 111 Referenser 115 Person- och sakregister 121

4

978-91-44-05972-3_book.indd 4

© F ö r fa t t a r en och S t uden t li t t e r at u r

2014-06-27 09:08

Personally, I’m always ready to learn, although I do not always like being taught.

Winston Churchill

978-91-44-05972-3_book.indd 5

2014-06-27 09:08

978-91-44-05972-3_book.indd 6

2014-06-27 09:08

Inledning

Som barn var jag intresserad av att ”arbeta” tillsammans med de vuxna.

Som de flesta barn är, antar jag. Jag har ibland funderat över varför det var så kul att göra saker tillsammans med min farmor. Naturligtvis hade det många orsaker men en stark känsla säger mig att tillsammans löste vi olika problem. Ibland verkade det svårt, ibland lätt. När jag hade börjat skolan var jag lyhörd för saker som skulle ordnas. Jag ville vara med att fixa så att det blev bra. Genom att jag var nyfiken skaffade jag mig god erfarenhet av situationer som skulle hanteras och olika färdigheter. Som enda barnet i familjen var jag en iakttagare. Jag tror att jag tidigt blev ansvarsfull vilket gav mig en social mognad. Under skoltiden ledde dessa färdigheter till att jag var villig att leda mina kamrater i klassråd och andra föreningar inom skolan.

Nu låter det som att jag var en mycket ordentlig, prydlig och duktig flicka, men enligt Schönbeck (2008) är detta bara exempel på ett typiskt endabarn.

Flera av de förmågor som jag tidigt utvecklade har jag haft nytta och glädje av då jag arbetade som lärare i grundskolan och vid högskolan.

Mitt intresse för matematik vaknade då jag i motsvarande skolår till slutet av grundskolan och början av gymnasiet fick inspirerande och kunniga lärare i ämnet. Det ledde till att då jag själv blev lärare ville jag ge mina elever samma möjligheter att bli inspirerade och intresserade av matematiken. Jag drog iväg med eleverna ut i naturen. Ibland hade vi turen att kunna plocka hallon som vi sedan kokade sylt av. Varje elev fick skapa sig en egen ruta där de skulle iaktta vad som hände under ett år. Vi plockade pinnar och stenar med oss in i klassrummet som vi mätte med och angav antal med. Eleverna plockade grankottar och ekollon som de fick torka i klassrummet. De torkade fröna och ekollonen planterade de och skulle sedan ta tid på hur länge det dröjde innan de började gro. Ja, detta var början på mitt stora intresse för © F ö r fa t t a r en och S t uden t li t t e r at u r

978-91-44-05972-3_book.indd 7

7

2014-06-27 09:08

Inledning

skolmatematiken som sedan accelererade. Alla elever var inte alltid intresserade av det vi gjorde så det gällde att hitta varje elevs intresse. Men eftersom vi rörde oss i och utanför skolan hittade alla något de kunde arbeta med.

Jag antar att jag blev så här intresserad av skolmatematiken för att jag blev besviken då jag som nybakad lärare upptäckte att jag skulle undervisa eleverna med samma lärobok som jag själv hade haft i skolan. Har det inte hänt något i skolan sedan jag lämnade den? vet jag att jag tänkte. Detta var en av orsakerna till att jag sökte nya platser för lärandet i matematik. Men vi använde boken också för att öva färdigheter.

Lite då och då inträffade det att plötsligt fungerade inte undervisningen i matematik och eleverna verkade aldrig ha hört, sett eller tränat på det vi höll på att arbeta med. Det fick mig att fundera över mig själv och eleverna. Varför blev det så? 1984 startade vid Linköpings universitet den första matematik­ didaktiska kursen i Sverige och jag anmälde mig till den. Där träffade jag, förutom ett par fantastiska lärare som ledde kursen, andra lärare för att diskutera matematikundervisning från förskola till universitet. Vilken ”kick” det var att tillsammans med andra lärare få tala om det i undervisningen som var svårt men intressant! Jag tror att man som student inte tänker på att när man utbildar sig vid en högskola eller ett unversitet går man en grundutbildning som senare då man fått yrkeserfarenheter ska kompletteras med mer studier. Det är så man blir yrkeskunnig. Som student längtar man efter att ”bli klar” som lärare. Men det blir man aldrig, hoppas jag. Yrket förändras med samhällets förändringar. Mina fortsatta studier har inneburit en fördjupning kring undervisningen i matematik vilket har fått mig att förstå och inse varför jag och eleverna tidigare betedde oss som vi gjorde. Alla medborgare i samhället måste ha en viss kunskap i matematik. Det kräver ett hårt arbete av läraren, men det är en spännande väg till kunskap om den ges på ett bra sätt. Du som håller på att utbilda dig till lärare kommer att få uppleva många roliga stunder med elever som är på väg in i denna kunskap.

Stå på dig och utveckla ett yrkeskunnande i att undervisa i detta skolämne och glöm inte bort att ha roligt på vägen!

8

978-91-44-05972-3_book.indd 8

© F ö r fa t t a r en och S t uden t li t t e r at u r

2014-06-27 09:08

K A P I T EL 3

Kursplan i matematik

Den första moderna kursplanen i matematik konstruerades i England år 1760 av den berömde kemisten Joseph Priestley. År 1774 upptäckte han grund­ ämnet syre. Den första skolförordningen i Sverige kom 1571. Där nämns ingen räkning eller matematik. Den första folkskolestadgan i Sverige kom år 1842 och där fanns vissa nödvändiga kunskaper och mål angivna. Folkskole­ stadgan var centralt fastställd av ”Kongl. Maj:t”, som var den förste Berna­ dotten, kung Carl XVI Johan. I planen angavs att: Eleverna bör, då de lämnar skolan åtminstone hafwa inhemtat nödig kunskap i följande ämnen: a) ren och flytande innanläsning av Swenska språket, så latinsk som Swensk stil; b) religionskunskap och Bibliska historia, till den grad som erfordras för att kunna hos Presterskapet börja den egentliga Nattwardsläsningen; c) kyrkosång, med undantag för dem som dertill sakna allt anlag; d) skrifwa; e) de fyra Räknesätten i hela tal.

I stadgan finns inte ordet räkning med, utan ”räknesätten i hela tal” kom ämnet att kallas. Man kan inte låta bli att dra på munnen då man läser innehållet i punkt c. Men samtidigt kan man ana att det måste ha funnits elever som inte tyckte att det var så kul att drabbas av den skrivelsen. Ämnet matematik diskuterades med splittrat intresse inför folkskolestarten. Kravet kom från adeln men bönderna tyckte det var onödigt med skolgång för barnen då de behövdes hemma för att hjälpa till med olika sysslor.

1878 kom den första normalplanen och där diskuterades matematikens praktiska betydelse för eleverna, texten angav vad undervisningen skulle © F ö r fa t t a r en och S t uden t li t t e r at u r

978-91-44-05972-3_book.indd 51

51

2014-06-27 09:08

3 Kursplan i matematik

syfta till och hur elevens förmåga skulle utvecklas. Orden känns bekanta i kursplanen 2011.

Barnen böra nemligen icke tröttas med allt för stora tal och allt för länge ­sysselsättas med ett enda räknesätt. Undervisningen skall i första rummet åsyfta att öfva barnens förmåga att behandla praktiska uppgifter hvilkas lösning kräfver klar uppfattning och eftertanke; och öfningarna att bibringa dem nödig räknefärdighet få icke nedsjunka till ett blott mekaniskt sysslande med uträkning af vissa tal efter gifven regel och uppställning.

Normalplan 1878, Lindroth, s. 57

Redan vid denna tidpunkt diskuterades att eleverna skulle möta matematiken i praktiska situationer.

Läroplaner och kursplaner är styrdokument för skolan och är fastställda av regering och/eller riksdag. Ett styrdokument är ett tidsdokument. I det fastställs de förväntningar som samhället har på medborgaren i framtiden och inte bara för skoltiden. Dokumentet anger de värden som skolan ska bygga sin undervisning på och de mål som ska genomsyra undervisningen. Därför är det nödvändigt att verksamma lärare arbetar utifrån styr­dokumenten för att eleverna oavsett var de går i skolan i Sverige ska ha samma möjligheter att utveckla angivna kunskaper. Läraren kan naturligtvis ha privata synpunkter på vilka kunskaper som eleverna bör ha men i tjänsteutövningen får läraren sätta dessa synpunkter åt sidan. Läraren kan framföra dem till myndigheter och politiker och därmed försöka påverka beslut.

Att förändra en läroplan med kursplaner kräver ett ingående analysarbete av den skola och undervisning som råder. Under 1900-talet var det vanligt att regeringen tillsatte en grupp som fick hantera detta och senare komma med förslag på ändringar som de ansåg skulle göras. De som utsågs till gruppen var det man kallade experter inom skola. Ofta leddes gruppen av en politiker eller central myndighet. I det omfattande analysarbetet av svensk skola som gjordes inför införandet av svensk grundskola 1962, skrev 1946 års skolkommission följande i sitt betänkande om arbetsformer. (Förste ordförande var ecklesiastikminister Tage Erlander som senare utsågs till statsminister. Ecklesiastikminister var en ministerpost för skolväsende och kyrka i Sverige.)

52

978-91-44-05972-3_book.indd 52

© F ö r fa t t a r en och S t uden t li t t e r at u r

2014-06-27 09:08

3 Kursplan i matematik

En förutsättning för den fria personlighetsdaningen i skolan är en omläggning av undervisningsmetoderna. Den svenska skolan bär i fråga om metodik på ett betungande arv från medeltidens och den gamla ämbetsmannastatens skola. Den förhärskande metoden torde fortfarande vara den med klassundervisningen sammanhängande ”frågor och svar!-metoden”: läraren frågar och eleven svarar. Den har hittills varit tämligen allenarådande i svenska skolor och det är på denna punkt en radikal förändring är önskvärd. Metoden är ägnad att skapa osjälvständighet, auktoritetstro, passivitet, i värsta fall leda vid skola och arbete överhuvud. Den ger föga möjlighet till initiativ från elevens sida och den ger föga utrymme för samarbete mellan eleverna. Den befordrar inte lusten till fortsatta studier på egen hand. Till sin inre syftning är metoden auktoritär.

(SOU, 1948:27)

Detta handlade om själva metoden och den arbetsform man tillämpade i skolan och som man under 1900-talets mitt önskade förändra. Efter 1962 har skolan reformerats med nya läroplaner och kursplaner år 1967, 1980, 1994 och 2011.

I de kursplaner i matematik som skrevs under 1900-talet nämns ordet undervisning men det används mest som ett inledande ord, som motivering till att själva ämnet matematik ska finnas i skolan och som inledning för målet med ämnet. ”Matematik ingår i grundskolans undervisning därför att […] Undervisningen i matematik skall utgå från elevernas erfarenheter och behov […] ” (Lgr 80, s. 98).

Läroplan för grundskolan, Lgr 11

I arbetet med kursplanerna till Lgr 11 arbetade forskare, lärarutbildare och verksamma lärare tillsammans. Innan själva skrivandet började hade Skolverket vid ett flertal tillfällen lyssnat in på olika möten vad som borde förändras enligt olika avnämare. Därefter fick en liten grupp uppdraget att komma med förslag och formulera det. Sedan sändes förslaget ut på remiss ett antal gånger till alla som ville ta del i arbetet. Det var ett oerhört intensivt arbete som engagerade många människor inom skolan och även i övriga samhället.

En radikal förändring gjordes i de olika ämnenas kursplaner i Lgr 11. Samtliga skolämnen följer en enhetlig ny struktur, ordet undervisning betonas och används på ett framträdande sätt. I kursplanernas syftestext anges hur eleverna ska möta ämnet i undervisningen. Lärares planering ska alltså utgå © F ö r fa t t a r en och S t uden t li t t e r at u r

978-91-44-05972-3_book.indd 53

53

2014-06-27 09:08

3 Kursplan i matematik

från syftet med undervisningen. Sist i syftestexten preciseras vilka för­mågor eleverna ska utveckla under de nio skolåren, förmågor som ligger till grund för kunskapskraven vid bedöming för de olika årskurserna. En central fråga för lärare måste därför vara: Vilka krav ställer kunskapskraven på min undervisning? Kunskapskraven ger ett stöd och ligger till grund för bedömning av elevernas kunskaper.

En av förändringarna i kursplanen gäller hur det centrala innehållet ska bearbetas. Läroböcker och lärares planeringar har tidigare oftast arbetat med kanske ett enda område i matematik, till exempel naturliga tal. Nu förväntas lärare att arbeta utifrån ett valt område i ett sammanhang . Matematiken måste handla om något! Läraren kanske väljer området skolvägen. Från det centrala innehållet i kursplanen kan läraren då se att eleverna i arbetet med det valda området kan möta: • naturliga tal

• uppgiften att ange tal och ordning

• centrala metoder för beräkningar med naturliga tal i olika situationer • enkla tabeller och diagram och hur de kan användas för att sortera

efter data och beskriva resultat från enkla underökningar

• matematisk formulering av frågeställningar utifrån enkla vardagliga

situationer.

Från innehållet i det valda området – skolvägen – möter eleverna fyra av de sex delområdena som finns i det centrala området.

Därefter måste läraren tydliggöra vilka kunskaper och förmågor som eleverna under arbetet ska ges förutsättningar att utveckla. Vilka av för­ mågorna som avslutar syftestexten ska läraren konkretisera?

De förmågor som eleven ska utveckla enligt syftextexten bör även eleverna och deras föräldrar känna till. Nu kommer kanske den viktigaste uppgiften: hur ska lärarna fortlöpande arbeta med bedömning och dokumentation för arbetsområdet och hur ska de göra eleverna delaktiga i detta? Att bedöma elevers kunskaper handlar om att samla in olika typer av information om elevers prestationer och att analysera och tolka den. Läraren kan finna stöd i läroplanens kapitel 2.7, i skrivningarna om kunskapskraven och i olika dokument från Skolverket och dess webbplats.

Man kan summera kursplanen i Lgr 11 på följande sätt. Den didaktiska 54

978-91-44-05972-3_book.indd 54

© F ö r fa t t a r en och S t uden t li t t e r at u r

2014-06-27 09:08

3 Kursplan i matematik

hur-frågan är i fokus i läroplanen och kursplanerna i stället för vad-frågan, det vill säga det handlar om hur undervisningen ska ges och inte bara vad lektionen ska innehålla.

Diskussionsuppgifter 1 Som lärarstuderande möter du säkert många nya ord i olika dokument och böcker. Vad innehåller en läroplan och en kursplan?

2 Fundera över beskrivningen av innehållet i SOU 1948:27 och hur du ser på det i detta århundrade.

3 Vilka sex områden i matematik finns i det centrala innehållet i Lgr 11 och vilka fyra delområden passar in på det valda exemplet här ovan?

4 Vilka förmågor kan utvecklas i det valda området – skolvägen – anser du?

© F ö r fa t t a r en och S t uden t li t t e r at u r

978-91-44-05972-3_book.indd 55

55

2014-06-27 09:08

– för de tidiga skolåren

Lärare kan inspirera och öka elevers förståelse för matematik genom en undervisning som startar i goda läroprocesser. Matematikdidaktik – för de tidiga skolåren beskriver dessa didaktiska frågor kring matematikundervisningen i grundskolans tidiga år.

| Matematikdidaktik

Matematikdidaktik

Anita Sandahl

Anita Sandahl är fil.dr. i matematikämnets didaktik och har varit verksam som universitetslektor vid Högskolan i Jönköping. Hon har lång erfarenhet av forskning och utvecklingsarbete med inriktning mot grundläggande matematikinlärning. Hon har arbetat med utveckling av nationella diagnoser och prov i matematik för grundskolan.

Matematikdidaktik – för de tidiga skolåren

I boken beskrivs vad matematik är och läsaren får följa med på en resa från matematikens ursprung fram till vår kultur. Tal och problem är viktiga begrepp i matematiken och författaren behandlar dessa begrepp från barns tidiga ålder till skolsituationen i matematik.

Boken tar även upp hur viktigt det är att möta dagens barn med de kunskaper och färdigheter de har inom digital teknik.

Boken riktar sig till lärarstudenter och verksamma lärare som vill ge barn och elever ett positivt möte med matematikämnet.

Art.nr 33709 ISBN 978-91-44-05972-3

www.studentlitteratur.se

978-91-44-05972-3_Cover.indd 1

9 789144 059723

Anita Sandahl

2014-06-12 17:06