Matte Direkt 9 har tydlig struktur >>
Synnöve Carlsson Karl-Bertil Hake Birgitta Öberg
målbeskrivningar >> vardagsnära uppgifter >> Uppslaget – kommunikation och bedömning >> Svarta sidor – extra utmanande uppgifter >> Genrepet – repetition inför NP >> Styva linan – fördjupning inför och efter NP >> ett kapitel inför gymnasiet >> Läxuppgifter på tre nivåer >> Verktygslådan – en uppslagsdel >>
Matte Direkt 9 består av Lärobok, Lärarhandledning, Träningshäften, IST-stöd och Digital bok.
9 ISBN 978-91-523-0248-4
(523-1596-5)
9
SANOMA UTBILDNING Postadress: Box 30091, 104 25 Stockholm Besöksadress: Alströmergatan 12, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order/Läromedelsinformation Telefon: 08-587 642 10 Telefax: 08-587 642 02 Redaktion: Fredrik Enander, Lotta Zenkert Grafisk form: Typoform, Andreas Lilius Layout: Typoform, Karin Olofsson Omslag: Typoform, Andreas Lilius Illustrationer: Typoform, Jakob Robertsson Bildredaktör: Putte Salminen Matte Direkt 9 ISBN 91-523-0248-4 © 2011 Synnöve Carlsson, Karl-Bertil Hake, Birgitta Öberg och Sanoma Utbildning AB, Stockholm Abels hörna sidorna 41, 71, 105 och 133: Niels Henrik Abels matematikkonkurrense, www.abelkonkurrensen.no Andra upplagan Sjätte tryckningen
Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Tryck: Livonia Print, Lettland 2014
xxxx_MDNY9_6tryck_framvagn.indd 2
2014-03-06 12:50
Välkommen till Matte Direkt! Boken består av sju kapitel. Kapitel 1–4 har följande struktur: grundkurs
diagnos
blå kurs
sammanfattning
röd kurs
Varje kapitel inleds med ett inspirationsuppslag, som också presenterar målen. I Grundkursen går vi igenom de moment, som beskrivs i målen. Vissa uppgifter är markerade med en stjärna – dessa uppgifter kräver lite extra tankemöda. Arbeta tillsammans är övningar där du jobbar med en eller flera kamrater. I slutet av grundkursen hittar du ”Sant eller falskt” – en snabbrepetition inför Diagnosen. Om Diagnosen var för svår behöver du träna mer. Då väljer du Blå kurs. Om Diagnosen gick bra går du direkt vidare till Röd kurs där du får arbeta med fördjupning och svårare uppgifter. Kapitlets viktigaste moment kan du snabbt repetera i Sammanfattningen.
Sist i kapitlet finns Uppslaget. Det innehåller uppgifter av mer öppen karaktär som du kan arbeta med enskilt och som också passar för diskussioner i grupp. Där finns också en Soluppgift och Abels hörna med flervalsuppgifter. Till varje kapitel hör en sida med Svarta uppgifter som ligger efter kapitel 7. Det är uppgifter för dig som vill ha en ordentlig utmaning. Kapitel 5, Genrepet, är en repetition av alla moment i grundkursen – används lämpligen som träning inför nationella provet. Kapitel 6, Styva Linan, är en fördjupning på röd kurs. Kapitel 7, Inför gymnasiet, ger en inblick i matematik på några olika program. Det finns Läxor till kapitel 1–4. Uppgifterna är uppdelade i olika svårighetsgrader. Verktygslådan är en uppslagsdel, som ger dig tips om räkne-
uppställningar, huvudräkning, enhetsomvandlingar mm. Facit hittar du i slutet av boken. Svaren till arbeta tillsammans,
kluringar, diagnoser, uppslagen och läxor har din lärare. Lycka till! Författarna
xxxx_MDNY9_6tryck_framvagn.indd 3
2014-03-06 12:50
Innehåll 1 Tal
6 Grundkurs
22
Blå kurs
24
Röd kurs
32
Sammanfattning
38
Uppslaget 1
40
2 Funktioner och algebra
42
Grundkurs
44
Diagnos
54
Blå kurs
56
Röd kurs
62
Sammanfattning
68
Uppslaget 2
70
3 Geometri
72 Grundkurs
74
Diagnos
88
Blå kurs
90
Röd kurs
96
Sammanfattning
102
Uppslaget 3
104
4 Procent
xxxx_MDNY9_6tryck_framvagn.indd 4
8
Diagnos
106 Grundkurs
108
Diagnos
118
Blå kurs
120
Röd kurs
126
Sammanfattning
130
Uppslaget 4
132
2014-03-06 12:50
5 Genrepet
134 Stordiagnos
136
Tal
142
Prefix och enheter
152
Geometri
160
Funktioner och algebra
172
Bråk och procent
178
Statistik och sannolikhet 186
6 Styva linan
192 Bråk och algebra
194
Ekvationer
200
Ekvationssystem
206
Likformighet
212
7 Inför gymnasiet
220
Bygg och anläggning
222
Vård och omsorg
224
Handel och administration 226
xxxx_MDNY9_6tryck_framvagn.indd 5
Ekonomi/ Samhällskunskap
228
Naturvetenskap/Teknik
230
Svarta sidorna
234
Läxor
238
Verktygslådan
254
Facit
276
Register
295
Bildförteckning
296
2014-03-06 12:50
1
Tal
Mål När du har arbetat med det här kapitlet ska du kunna: sortera tal i olika talmängder >> faktorisera tal >> räkna med negativa tal >> räkna med potenser >> förstå vad som menas med >>
kvadratrot och kunna beräkna kvadratroten av ett tal
använda dig av Pythagoras sats. >>
Talet nio anses i många kulturer vara ett mystiskt och ibland också ett heligt tal. Innan kristendomen infördes i Norden ansågs talet 9 vara det mest heliga talet. På påsken när häxorna for till Blåkulla drogs deras vagnar av 99 svarta katter, som var och en hade 9 liv. En viktig anledning till att 9 anses vara ett lyckotal är att ett människofoster utvecklas under nio månader. Då är det fullt utvecklat och föds. Därför är talet 9 en symbol för fulländning. För 4 000 år sedan upptäckte man i Kina att de 9 första talen kan ordnas i en magisk kvadrat. I en magisk kvadrat ska varje rad, kolumn och diagonal ha samma summa.
Matteord talmängder
primfaktorer
naturliga tal
faktorträd
hela tal
negativa tal
rationella tal
kvadrattal
irrationella tal
kvadratrot
reella tal
Pythagoras sats
primtal
katet
sammansatt tal
hypotenusa
6
1 tal
4
9
2
3
5
7
8
1
6
• Kontrollera om den magiska kvadraten är korrekt. • Gör en egen magisk kvadrat med siffrorna 1 till 9. 1 tal
7
1
Tal
Mål När du har arbetat med det här kapitlet ska du kunna: sortera tal i olika talmängder >> faktorisera tal >> räkna med negativa tal >> räkna med potenser >> förstå vad som menas med >>
kvadratrot och kunna beräkna kvadratroten av ett tal
använda dig av Pythagoras sats. >>
Talet nio anses i många kulturer vara ett mystiskt och ibland också ett heligt tal. Innan kristendomen infördes i Norden ansågs talet 9 vara det mest heliga talet. På påsken när häxorna for till Blåkulla drogs deras vagnar av 99 svarta katter, som var och en hade 9 liv. En viktig anledning till att 9 anses vara ett lyckotal är att ett människofoster utvecklas under nio månader. Då är det fullt utvecklat och föds. Därför är talet 9 en symbol för fulländning. För 4 000 år sedan upptäckte man i Kina att de 9 första talen kan ordnas i en magisk kvadrat. I en magisk kvadrat ska varje rad, kolumn och diagonal ha samma summa.
Matteord talmängder
primfaktorer
naturliga tal
faktorträd
hela tal
negativa tal
rationella tal
kvadrattal
irrationella tal
kvadratrot
reella tal
Pythagoras sats
primtal
katet
sammansatt tal
hypotenusa
6
1 tal
4
9
2
3
5
7
8
1
6
• Kontrollera om den magiska kvadraten är korrekt. • Gör en egen magisk kvadrat med siffrorna 1 till 9. 1 tal
7
Likformighet
49
Trianglarna är likformiga. Hur långa är sidorna x och y? (cm)
a)
G
Föremål eller figurer som har samma form kallas likformiga. Likformiga föremål och figurer är förstoringar eller förminskningar av varandra.
12 9
Hjärtana är likformiga. De har samma form.
46
50 4 cm
B 6 cm
2 2,5
B
E
C
A D
47
51
a) Visa med ett exempel att två likbenta trianglar inte behöver vara likformiga. b) Varför är alla liksidiga trianglar likformiga?
Vilka av rektanglarna är likformiga?
3:9
Sant eller falskt? 1 En kropp som har volymen en kubikmeter ser alltid ut som en kub.
2 En fotboll har formen av ett klot.
3 1 dm3 = 10 cm3 4 1 ml = 1 cm3 5 Ett prismas bottenyta är alltid en triangel.
6 Ett rätblock har sex sidoytor. 7 Det är alltid rät vinkel mellan sidoytorna i ett rätblock.
B
A
Arbetsblad
b)
Vilka av pilarna är likformiga?
x
1 2
3 cm
G
y
10
6
Rita en likformig figur där måtten är 1,5 gånger större.
A
10
8
x
a) 2 cm
y
9
6
Trianglarna är likformiga. Vinklarna i de båda trianglarna är lika stora och sidlängderna är proportionella. Motsvarande sidor är dubbelt så långa i figur B jämfört med i figur A.
(cm)
b)
C
D
Arbeta tillsammans Av ett A4-papper kan man göra en cylinder på två olika sätt. Har cylindrarna samma volym? Diskutera och motivera ert svar.
48 Vilka av trianglarna är likformiga?
8 500 liter = 0,5 m3 9 Om en kon och en cylinder
har lika stor basyta och höjd, så är cylinderns volym dubbelt så stor som konens.
10 En pyramids volym kan
B·h beräknas så här: _____ 3
11 Om sidornas längder i ett 3
4
A 4
4,5 B
C 5
6
rätblock blir dubbelt så långa, så blir volymen dubbelt så stor.
12 Alla rektanglar är likformiga med varandra.
86
3 geometri
3 geometri
87
Likformighet
49
Trianglarna är likformiga. Hur långa är sidorna x och y? (cm)
a)
G
Föremål eller figurer som har samma form kallas likformiga. Likformiga föremål och figurer är förstoringar eller förminskningar av varandra.
12 9
Hjärtana är likformiga. De har samma form.
46
50 4 cm
B 6 cm
2 2,5
B
E
C
A D
47
51
a) Visa med ett exempel att två likbenta trianglar inte behöver vara likformiga. b) Varför är alla liksidiga trianglar likformiga?
Vilka av rektanglarna är likformiga?
3:9
Sant eller falskt? 1 En kropp som har volymen en kubikmeter ser alltid ut som en kub.
2 En fotboll har formen av ett klot.
3 1 dm3 = 10 cm3 4 1 ml = 1 cm3 5 Ett prismas bottenyta är alltid en triangel.
6 Ett rätblock har sex sidoytor. 7 Det är alltid rät vinkel mellan sidoytorna i ett rätblock.
B
A
Arbetsblad
b)
Vilka av pilarna är likformiga?
x
1 2
3 cm
G
y
10
6
Rita en likformig figur där måtten är 1,5 gånger större.
A
10
8
x
a) 2 cm
y
9
6
Trianglarna är likformiga. Vinklarna i de båda trianglarna är lika stora och sidlängderna är proportionella. Motsvarande sidor är dubbelt så långa i figur B jämfört med i figur A.
(cm)
b)
C
D
Arbeta tillsammans Av ett A4-papper kan man göra en cylinder på två olika sätt. Har cylindrarna samma volym? Diskutera och motivera ert svar.
48 Vilka av trianglarna är likformiga?
8 500 liter = 0,5 m3 9 Om en kon och en cylinder
har lika stor basyta och höjd, så är cylinderns volym dubbelt så stor som konens.
10 En pyramids volym kan
B·h beräknas så här: _____ 3
11 Om sidornas längder i ett 3
4
A 4
4,5 B
C 5
6
rätblock blir dubbelt så långa, så blir volymen dubbelt så stor.
12 Alla rektanglar är likformiga med varandra.
86
3 geometri
3 geometri
87
Kvadratrot
Tal i kvadrat
B 2
9
4
1 1 = 1 ∙ 1 = 1
2
2 = 2 ∙ 2 = 4
b) Hur stor area har kvadraten?
26 a) Rita en kvadrat som har sidlängden 6 cm. b) Hur stor area har kvadraten?
27 Rita en kvadrat som har arean b) 64 cm2
b) 202
c)
29 a) 402
b) 502
c) 1002
30 a)
0,12
b) 0,22
c)
0,32
31 a) 0,52
b) 0,72
c) 0,92
32 a)
b) 1,22
1,12
c)
302
= 3 √9
3
___
√16 = 4
1 =1·1=1 22 = 2 · 2 = 4 32 = 3 · 3 = 9 42 52 62 7
2
82 92 102
32 = 3 ∙ 3 = 9
Roten ur 16 är 4 eftersom 4 ∙ 4 = 16
2
112
Beräkna. 28 a) 102
__
2
3 = 3 ∙ 3 = 9
25 a) Rita en kvadrat som har sidlängden 4 cm.
Roten ur 9 är 3 eftersom 3 ∙ 3 = 9
3 i kvadrat.
2
24 Skriv av tabellen och gör den färdig. Lär dig den.
a) 49 cm2
Roten ur nio.
42 = 4 ∙ 4 = 16
√9 = 3
Vilket värde har kvadratrötterna? Ta hjälp av din tabell från uppgift 24 om du behöver. __
33 a) √4 ___
34 a) √36
___
___
b) √16
c) √25
____
b) √100
___
c) √64
Ta hjälp av rutan till höger om du behöver. ____ ____ ______ 35 a) √169 b) √900 c) √10 000 ____
36 a) √225
____
b) √400
____
c) √625
37 Hur långa är sidorna i en kvadrat om arean är a) 25 cm2
122
B
_______
b) 49 cm2
____
d) √196 ____
d) √121 20 . 20 = 400 25 . 25 = 625 30 . 30 = 900 50 . 50 = 2 500 100 . 100 = 10 000
c) 100 cm2
132 142 152
Man kan använda räknaren för att räkna ut kvadratroten.
2.6 45 7 5 13
__
räknas så här √ 7 eller 7 √ √7
C
__
≈ 2,65 Avrunda till två decimaler: √7
AC
%
MC MR
M–
M+
9
÷
1,52
7
Använd din räknare för att beräkna följande kvadratrötter. Avrunda svaret till två decimaler. ___
38 a) √11 ____
39 a) √120
___
b) √20
___
b) √7,7
40 Avrunda svaret till heltal. ____
a) √150
____
b) √367
8
4
5
6
1
2
3
0
–
.
=
+
√
___
c) √30 ____
c) √42,5 ____
c) √911 Arbetsblad
1:5
28
1 tal
1 tal
29
Kvadratrot
Tal i kvadrat
B 2
9
4
1 1 = 1 ∙ 1 = 1
2
2 = 2 ∙ 2 = 4
b) Hur stor area har kvadraten?
26 a) Rita en kvadrat som har sidlängden 6 cm. b) Hur stor area har kvadraten?
27 Rita en kvadrat som har arean b) 64 cm2
b) 202
c)
29 a) 402
b) 502
c) 1002
30 a)
0,12
b) 0,22
c)
0,32
31 a) 0,52
b) 0,72
c) 0,92
32 a)
b) 1,22
1,12
c)
302
= 3 √9
3
___
√16 = 4
1 =1·1=1 22 = 2 · 2 = 4 32 = 3 · 3 = 9 42 52 62 7
2
82 92 102
32 = 3 ∙ 3 = 9
Roten ur 16 är 4 eftersom 4 ∙ 4 = 16
2
112
Beräkna. 28 a) 102
__
2
3 = 3 ∙ 3 = 9
25 a) Rita en kvadrat som har sidlängden 4 cm.
Roten ur 9 är 3 eftersom 3 ∙ 3 = 9
3 i kvadrat.
2
24 Skriv av tabellen och gör den färdig. Lär dig den.
a) 49 cm2
Roten ur nio.
42 = 4 ∙ 4 = 16
√9 = 3
Vilket värde har kvadratrötterna? Ta hjälp av din tabell från uppgift 24 om du behöver. __
33 a) √4 ___
34 a) √36
___
___
b) √16
c) √25
____
b) √100
___
c) √64
Ta hjälp av rutan till höger om du behöver. ____ ____ ______ 35 a) √169 b) √900 c) √10 000 ____
36 a) √225
____
b) √400
____
c) √625
37 Hur långa är sidorna i en kvadrat om arean är a) 25 cm2
122
B
_______
b) 49 cm2
____
d) √196 ____
d) √121 20 . 20 = 400 25 . 25 = 625 30 . 30 = 900 50 . 50 = 2 500 100 . 100 = 10 000
c) 100 cm2
132 142 152
Man kan använda räknaren för att räkna ut kvadratroten.
2.6 45 7 5 13
__
räknas så här √ 7 eller 7 √ √7
C
__
≈ 2,65 Avrunda till två decimaler: √7
AC
%
MC MR
M–
M+
9
÷
1,52
7
Använd din räknare för att beräkna följande kvadratrötter. Avrunda svaret till två decimaler. ___
38 a) √11 ____
39 a) √120
___
b) √20
___
b) √7,7
40 Avrunda svaret till heltal. ____
a) √150
____
b) √367
8
4
5
6
1
2
3
0
–
.
=
+
√
___
c) √30 ____
c) √42,5 ____
c) √911 Arbetsblad
1:5
28
1 tal
1 tal
29
Röd kurs
R
4 I en skål finns det från början 400 bakterier.
Mål: I den här kursen får du lära dig mer om: att räkna med upprepade förändringar >> problemlösning med procent >>
Om samma förändring sker flera gånger kan man skriva förändringsfaktorn i potensform.
1 Hur har värdet ändrats om det beräknas: a) 1,122 · ursprungligt värde
2 Beräkna det nya värdet. a) 1,064 · 10 000 kr
b) 0,963 · 5 000 kr
3 Familjen Alm köpte sin villa för 850 000 kr för tre år sedan. Villapriserna har stigit ungefär 2,8 % per år. Vilka av uttrycken visar hur mycket villan är värd nu?
850 000 + (1,028)3 0,0283 · 850 000 (1,028)3 · 850 000 1,028 · 1,028 · 1,028 · 850 000
126
4 procent
2 000
1 000 500
x 10 20 30 40 50 60 min
b) 4 minuter
6 Yasmine har 250 kr i månadspeng. Hon får välja mellan att få månadspengen höjd med 7 % i månaden i 6 månader eller att få den höjd med 20 kr varje månad i 6 månader. Vilket alternativ ger Yasmine den största månadspengen efter 6 månader?
7 Elin och Adrian ska köpa bil. De vill köpa en bil som kostar 125 000 kr. De räknar med att värdet på bilen ska minska med 15 % per år. De funderar på hur mycket bilen är värd efter 3 år och gör beräkningar på olika sätt:
b) 0,53 · ursprungligt värde
1 500
R
c) Skriv ett uttryck för hur många bakterier det finns efter x minuter.
Efter 3 år: 1,043 ∙ 10 000 kr Efter 5 år: 1,045 ∙ 10 000 kr ≈ 1,22 ∙ 10 000 kr = 12 200 kr.
b) Hur många bakterier finns det efter 50 minuter?
a) 1 minut
1,04 · 1,04 = 1,042
Efter 4 år: 1,044 ∙ 10 000 kr
2 500
3 000
Antalet bakterier ökar med 15 % varje minut. Hur många bakterier finns det i varje ml efter
Efter 1 år: 1,04 ∙ 10 000 kr Efter 2 år: 1,042 ∙ 10 000 kr
a) Hur lång tid tar det innan det finns 1 000 bakterier?
y
5 I en näringslösning finns det 50 bakterier/ml.
Exempel Du har 10 000 kr på banken. Hur mycket pengar har du efter 5 år om räntesatsen är 4 %?
3 500
c) Beräkna hur många bakterier det finns efter 3 minuter. Avrunda svaret till tiotal.
Samma förändring flera gånger
antal
Antalet bakterier ökar med 3,5 % per minut. Läs av i diagrammet.
Adrian gör så här:
Elin gör så här:
15 % + 15 % + 15 % = 45 %
1 – 0,15 = 0,85
100% – 45 % = 55 %
0,853 ∙ 125 000 kr = 76 765 kr
55 % av 125 000 kr = 0,55 ∙ 125 000 kr = 68 750 kr
Vem har räknat rätt? Förklara hur Elin och Adrian har tänkt.
8 Antalet råttor i en stad ökade snabbt – med 10 % per år. Hur länge dröjde det innan antalet råttor fördubblades?
4 procent
127
Röd kurs
R
4 I en skål finns det från början 400 bakterier.
Mål: I den här kursen får du lära dig mer om: att räkna med upprepade förändringar >> problemlösning med procent >>
Om samma förändring sker flera gånger kan man skriva förändringsfaktorn i potensform.
1 Hur har värdet ändrats om det beräknas: a) 1,122 · ursprungligt värde
2 Beräkna det nya värdet. a) 1,064 · 10 000 kr
b) 0,963 · 5 000 kr
3 Familjen Alm köpte sin villa för 850 000 kr för tre år sedan. Villapriserna har stigit ungefär 2,8 % per år. Vilka av uttrycken visar hur mycket villan är värd nu?
850 000 + (1,028)3 0,0283 · 850 000 (1,028)3 · 850 000 1,028 · 1,028 · 1,028 · 850 000
126
4 procent
2 000
1 000 500
x 10 20 30 40 50 60 min
b) 4 minuter
6 Yasmine har 250 kr i månadspeng. Hon får välja mellan att få månadspengen höjd med 7 % i månaden i 6 månader eller att få den höjd med 20 kr varje månad i 6 månader. Vilket alternativ ger Yasmine den största månadspengen efter 6 månader?
7 Elin och Adrian ska köpa bil. De vill köpa en bil som kostar 125 000 kr. De räknar med att värdet på bilen ska minska med 15 % per år. De funderar på hur mycket bilen är värd efter 3 år och gör beräkningar på olika sätt:
b) 0,53 · ursprungligt värde
1 500
R
c) Skriv ett uttryck för hur många bakterier det finns efter x minuter.
Efter 3 år: 1,043 ∙ 10 000 kr Efter 5 år: 1,045 ∙ 10 000 kr ≈ 1,22 ∙ 10 000 kr = 12 200 kr.
b) Hur många bakterier finns det efter 50 minuter?
a) 1 minut
1,04 · 1,04 = 1,042
Efter 4 år: 1,044 ∙ 10 000 kr
2 500
3 000
Antalet bakterier ökar med 15 % varje minut. Hur många bakterier finns det i varje ml efter
Efter 1 år: 1,04 ∙ 10 000 kr Efter 2 år: 1,042 ∙ 10 000 kr
a) Hur lång tid tar det innan det finns 1 000 bakterier?
y
5 I en näringslösning finns det 50 bakterier/ml.
Exempel Du har 10 000 kr på banken. Hur mycket pengar har du efter 5 år om räntesatsen är 4 %?
3 500
c) Beräkna hur många bakterier det finns efter 3 minuter. Avrunda svaret till tiotal.
Samma förändring flera gånger
antal
Antalet bakterier ökar med 3,5 % per minut. Läs av i diagrammet.
Adrian gör så här:
Elin gör så här:
15 % + 15 % + 15 % = 45 %
1 – 0,15 = 0,85
100% – 45 % = 55 %
0,853 ∙ 125 000 kr = 76 765 kr
55 % av 125 000 kr = 0,55 ∙ 125 000 kr = 68 750 kr
Vem har räknat rätt? Förklara hur Elin och Adrian har tänkt.
8 Antalet råttor i en stad ökade snabbt – med 10 % per år. Hur länge dröjde det innan antalet råttor fördubblades?
4 procent
127
Uppslaget 1
U
Soluppgift
A a) Finn minst fem olika fyrsiff riga tal som har siff ersumman 3.
Figuren visar en månadskalender. Fyra dagar är markerade som fi guren visar.
b) Finn minst tre olika femsiff riga udda tal med siff ersumman 4.
Må
B Ett tal har fyra olika primtalsfaktorer. Föreslå primtalsfaktorer och tal.
C Placera siff rorna 1, 2, 3 och 4
i rutorna så att diff erensen blir så a) stort positivt tal som möjligt
–
b) litet positivt tal som möjligt
i rutorna så att resultatet blir så
– –
Fr
Lö
Sö
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
alltid stämmer, oberoende vilka kvadrater du väljer.
C Gör en 3 x 3 ruta med nio tal (datum) och
(taltripplar) som är lösning till Pythagoras sats, a2 + b2 = c2 . Två exempel på så kallade Pythagoreiska taltripplar är 3, 4, 5 och 5, 12, 13.
Med hjälp av formlerna i rutan kan man räkna ut heltal som är lösningar till Pythagoras sats. m och n är heltal och m > n. Hitta Pythagoreiska taltripplar till minst tre olika trianglar.
To
B Visa med hjälp av algebra att din slutsats
E Sedan antiken har man letat eft er tre heltal
On
varandra. 10 + 18 och 11 + 17. Jämför svaren med varandra. Markera fyra andra dagar på motsvarande sätt och upprepa räkneoperationerna. Jämför resultaten från de två olika rutorna med varandra. Vad drar du för slutsats?
D Placera siff rorna 1, 2, 3 och 4 b) litet som möjligt
Ti
A Addera talen i varje diagonal med
c) stort negativt tal som möjligt
a) stort som möjligt
U
Kalender
a = m2 – n2 b = 2mn c = m2 + n2
gör på motsvarande sätt som i uppgift A. Vilken slutsats kan du dra? Visa med algebra som i uppgift B.
Abels hörna
1 Ett bestämt år innehåller de 31 dagarna i januari precis fyra torsdagar och fyra söndagar. Vilken veckodag infaller då 1 januari på? A) måndag B) tisdag
C) Onsdag D) torsdag
E) Ingen av dessa dagar
2 I en rektangel är diagonalen 6 och arean 14. Omkretsen är A) 10
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
3 66 + 66 + 66 + 66 + 66 + 66 är detsamma som A) 366
40
1 tal
B) 636
C) 67
D) 76
E) inget av dessa tal
1 tal
41
Uppslaget 1
U
Soluppgift
A a) Finn minst fem olika fyrsiff riga tal som har siff ersumman 3.
Figuren visar en månadskalender. Fyra dagar är markerade som fi guren visar.
b) Finn minst tre olika femsiff riga udda tal med siff ersumman 4.
Må
B Ett tal har fyra olika primtalsfaktorer. Föreslå primtalsfaktorer och tal.
C Placera siff rorna 1, 2, 3 och 4
i rutorna så att diff erensen blir så a) stort positivt tal som möjligt
–
b) litet positivt tal som möjligt
i rutorna så att resultatet blir så
– –
Fr
Lö
Sö
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
alltid stämmer, oberoende vilka kvadrater du väljer.
C Gör en 3 x 3 ruta med nio tal (datum) och
(taltripplar) som är lösning till Pythagoras sats, a2 + b2 = c2 . Två exempel på så kallade Pythagoreiska taltripplar är 3, 4, 5 och 5, 12, 13.
Med hjälp av formlerna i rutan kan man räkna ut heltal som är lösningar till Pythagoras sats. m och n är heltal och m > n. Hitta Pythagoreiska taltripplar till minst tre olika trianglar.
To
B Visa med hjälp av algebra att din slutsats
E Sedan antiken har man letat eft er tre heltal
On
varandra. 10 + 18 och 11 + 17. Jämför svaren med varandra. Markera fyra andra dagar på motsvarande sätt och upprepa räkneoperationerna. Jämför resultaten från de två olika rutorna med varandra. Vad drar du för slutsats?
D Placera siff rorna 1, 2, 3 och 4 b) litet som möjligt
Ti
A Addera talen i varje diagonal med
c) stort negativt tal som möjligt
a) stort som möjligt
U
Kalender
a = m2 – n2 b = 2mn c = m2 + n2
gör på motsvarande sätt som i uppgift A. Vilken slutsats kan du dra? Visa med algebra som i uppgift B.
Abels hörna
1 Ett bestämt år innehåller de 31 dagarna i januari precis fyra torsdagar och fyra söndagar. Vilken veckodag infaller då 1 januari på? A) måndag B) tisdag
C) Onsdag D) torsdag
E) Ingen av dessa dagar
2 I en rektangel är diagonalen 6 och arean 14. Omkretsen är A) 10
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
3 66 + 66 + 66 + 66 + 66 + 66 är detsamma som A) 366
40
1 tal
B) 636
C) 67
D) 76
E) inget av dessa tal
1 tal
41
Genrepet
Genrepet
D
Stordiagnos
x Geometri
12 Hur stor är vinkeln x?
x Tal
a)
b)
1 Skriv med siffror
38°
a) sextiotusen fyra
Beräkna 2 a) 8,5 · 100
x
b) tvåmiljoner femtioåttatusen
110°
x
D
240°
8,5 b) ___ 0,1
c) 0,5 · 12
d) 4,25 + 0,3
3 a) 68 – 8 · 5
1 b) __ + 0,05 4
5 3 c) __ – __ 6 4
3 5 d) __ · __ 4 6
4 a) 5 – 8
b) (–5) + (–8)
c) (–5) – (–8)
d) (–5) · (–8)
5 5,6 kg ris ska förpackas i påsar med 0,4 kg ris i varje. Vilken uträkning ger svar på frågan: ”Hur många påsar går åt”?
6 Hur många miljoner är 3 · 107?
5,6 ____
0,4 · 5,6 0,4 0,4 ____ 5,6 · 0,4 5,6
13 Beräkna omkrets och area av fi gurerna a)
2
(m)
(dm)
b) 2,8
2,8 2,5
5 3
c)
(cm)
5,3
10
6 6
14 En kvadrat har omkretsen 32 cm. Beräkna kvadratens area. 15 En kub har volymen 64 cm3. Hur lång är kubens kant?
? 7 Mellan vilka heltal ligger √55
16 Hur många liter rymmer ett akvarium med måtten
x Prefi x och enheter
17 Lenas rum är ritat i skala 1:20. Hennes säng är 2 m lång och
___
80 cm × 30 cm × 40 cm?
8 Skriv vad prefi xen betyder, med siffror och med tiopotens. a) mega
b) giga
c) milli
90 cm bred. Vilka mått får sängen på ritningen? d) mikro
18 Rita av fi guren och rita symmetrilinjerna. Förklara varför fi guren har rotationssymmetri.
9 Shiar har 5 km till skolan. Hur lång tid tar det för honom att cykla till skolan om han cyklar med medelhastigheten 15 km/h?
19 Trianglarna är likformiga.
10 Kerstin cyklar hemifrån till sin farfar. Vägen dit är 18 km lång.
Räkna ut längden av x och y. Alla mått i meter.
Kerstin räknar med att kunna cykla med en medelfart på 10 km/h. Hon startar hemifrån kl. 17.30. Hur dags är Kerstin hemma hos sin farfar?
a) 2,5 liter =
cl
b) 3 hg =
kg
c) 7,5 dm =
mm
d) 1,9 ton =
kg
e) 1,5 h =
min
f) 45 min =
h
5 genrepet
4 6
4
y
8
20 En skål är fylld med saftbål. Skålen har
11 Vad ska stå i stället för rutan?
136
x
höjden 20 cm och diametern 18 cm. Ungefär hur många glas räcker saftbålen till? Glasens diameter är 6 cm och höjden är 8 cm.
5 genrepet
137
Genrepet
Genrepet
D
Stordiagnos
x Geometri
12 Hur stor är vinkeln x?
x Tal
a)
b)
1 Skriv med siffror
38°
a) sextiotusen fyra
Beräkna 2 a) 8,5 · 100
x
b) tvåmiljoner femtioåttatusen
110°
x
D
240°
8,5 b) ___ 0,1
c) 0,5 · 12
d) 4,25 + 0,3
3 a) 68 – 8 · 5
1 b) __ + 0,05 4
5 3 c) __ – __ 6 4
3 5 d) __ · __ 4 6
4 a) 5 – 8
b) (–5) + (–8)
c) (–5) – (–8)
d) (–5) · (–8)
5 5,6 kg ris ska förpackas i påsar med 0,4 kg ris i varje. Vilken uträkning ger svar på frågan: ”Hur många påsar går åt”?
6 Hur många miljoner är 3 · 107?
5,6 ____
0,4 · 5,6 0,4 0,4 ____ 5,6 · 0,4 5,6
13 Beräkna omkrets och area av fi gurerna a)
2
(m)
(dm)
b) 2,8
2,8 2,5
5 3
c)
(cm)
5,3
10
6 6
14 En kvadrat har omkretsen 32 cm. Beräkna kvadratens area. 15 En kub har volymen 64 cm3. Hur lång är kubens kant?
? 7 Mellan vilka heltal ligger √55
16 Hur många liter rymmer ett akvarium med måtten
x Prefi x och enheter
17 Lenas rum är ritat i skala 1:20. Hennes säng är 2 m lång och
___
80 cm × 30 cm × 40 cm?
8 Skriv vad prefi xen betyder, med siffror och med tiopotens. a) mega
b) giga
c) milli
90 cm bred. Vilka mått får sängen på ritningen? d) mikro
18 Rita av fi guren och rita symmetrilinjerna. Förklara varför fi guren har rotationssymmetri.
9 Shiar har 5 km till skolan. Hur lång tid tar det för honom att cykla till skolan om han cyklar med medelhastigheten 15 km/h?
19 Trianglarna är likformiga.
10 Kerstin cyklar hemifrån till sin farfar. Vägen dit är 18 km lång.
Räkna ut längden av x och y. Alla mått i meter.
Kerstin räknar med att kunna cykla med en medelfart på 10 km/h. Hon startar hemifrån kl. 17.30. Hur dags är Kerstin hemma hos sin farfar?
a) 2,5 liter =
cl
b) 3 hg =
kg
c) 7,5 dm =
mm
d) 1,9 ton =
kg
e) 1,5 h =
min
f) 45 min =
h
5 genrepet
4 6
4
y
8
20 En skål är fylld med saftbål. Skålen har
11 Vad ska stå i stället för rutan?
136
x
höjden 20 cm och diametern 18 cm. Ungefär hur många glas räcker saftbålen till? Glasens diameter är 6 cm och höjden är 8 cm.
5 genrepet
137
22 Pinkoden till ett bankkort består av fyra siffror. På hur många olika sätt kan man bilda en fyrsiffrig kod om a) alla siffrorna ska vara olika
Det är rea och Emma ska köpa en topp, en jacka och ett par byxor. Hon har plockat åt sig tre toppar, två jackor och fyra par byxor. Hon ska välja en av varje sort. Hon kan kombinera plaggen på 3 · 2 · 4 = 24 olika sätt.
Arbetsblad
b) siffrorna får vara lika
5:30
Man multiplicerar antalet olika möjligheter med varandra. Denna regel kallas för multiplikationsprincipen.
Test
18 Emma har tre olika tröjor och två olika byxor. På hur många olika sätt kan hon kombinera tröjorna och byxorna?
19 Gustav har tre kepsar, fyra tröjor och två par byxor. På hur många olika sätt kan han kombinera de tre plaggen?
20 Kvarterskrogen har tre förrätter, sex huvudrätter och fyra desserter på sin meny. På hur många olika sätt kan man kombinera sin middag om man vill ha a) huvudrätt och dessert b) förrätt och huvudrätt c) alla tre rätterna
25 elever har besvarat en enkät om datorspel.
1 a) Hur många av de tilfrågade eleverna spelade datorspel? b) Hur många timmar spelade de total per dag? c) Hur lång tid spelade de tillfrågade eleverna i genomsnitt per dag?
2 a) Hur många procent av eleverna spelade inte datorspel? Carl, Emma och Felix står i kö. På hur många olika sätt kan de ställa sig i kön? Man kan pröva sig fram, till exempel genom att notera de olika möjligheterna: CEF, CFE, ECF, EFC, FCE, FEC Man kan också resonera så här: Första platsen i kön kan väljas på tre sätt. När det är bestämt vem som ska stå först, fi nns två personer kvar. Andra platsen kan alltså väljas på två sätt. Den tredje platsen är då bestämd eftersom det bara fi nns en person kvar. 3 · 2 · 1 = 6 sätt
b) Hur många procent spelade minst 2 timmar per dag?
Antal elever Datorspelsvanor
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
1
2
3
Timmar/ dag
3 Beräkna medelvärdet och bestäm medianen av talen a) 2, 7, 10 och 5
b) 5, –3, 0, –1, 7
4 Hur stor är chansen att vinna i ett lotteri med 200 lotter där 16 är vinstlotter?
5 Ta de tretton hjärterkorten ur en kortlek. Dra två kort av hjärterkorten. Hur stor är chansen att det andra kortet är mer än fem om det första du drar är en åtta och ess räknas som ett?
6 I en skål fi nns det tre blåa och två röda kulor. Man tar upp en a) På hur många sätt kan man bilda en kö med fyra personer?
kula, noterar färgen och lägger tillbaka den i skålen. Sedan tar man upp en kula till och noterar färgen. Rita ett träddiagram och beräkna.
b) I hur många av sätten står Veronica först i kön?
a) P(först blå, sedan röd) b) P(en av varje färg)
21 Veronica ska också vara med och stå i kö.
190
5 genrepet
statistik och sannolikhet
statistik och sannolikhet
5 genrepet
191
Genrepet
Genrepet
Kombinatorik
22 Pinkoden till ett bankkort består av fyra siffror. På hur många olika sätt kan man bilda en fyrsiffrig kod om a) alla siffrorna ska vara olika
Det är rea och Emma ska köpa en topp, en jacka och ett par byxor. Hon har plockat åt sig tre toppar, två jackor och fyra par byxor. Hon ska välja en av varje sort. Hon kan kombinera plaggen på 3 · 2 · 4 = 24 olika sätt.
Arbetsblad
b) siffrorna får vara lika
5:30
Man multiplicerar antalet olika möjligheter med varandra. Denna regel kallas för multiplikationsprincipen.
Test
18 Emma har tre olika tröjor och två olika byxor. På hur många olika sätt kan hon kombinera tröjorna och byxorna?
19 Gustav har tre kepsar, fyra tröjor och två par byxor. På hur många olika sätt kan han kombinera de tre plaggen?
20 Kvarterskrogen har tre förrätter, sex huvudrätter och fyra desserter på sin meny. På hur många olika sätt kan man kombinera sin middag om man vill ha a) huvudrätt och dessert b) förrätt och huvudrätt c) alla tre rätterna
25 elever har besvarat en enkät om datorspel.
1 a) Hur många av de tilfrågade eleverna spelade datorspel? b) Hur många timmar spelade de total per dag? c) Hur lång tid spelade de tillfrågade eleverna i genomsnitt per dag?
2 a) Hur många procent av eleverna spelade inte datorspel? Carl, Emma och Felix står i kö. På hur många olika sätt kan de ställa sig i kön? Man kan pröva sig fram, till exempel genom att notera de olika möjligheterna: CEF, CFE, ECF, EFC, FCE, FEC Man kan också resonera så här: Första platsen i kön kan väljas på tre sätt. När det är bestämt vem som ska stå först, fi nns två personer kvar. Andra platsen kan alltså väljas på två sätt. Den tredje platsen är då bestämd eftersom det bara fi nns en person kvar. 3 · 2 · 1 = 6 sätt
b) Hur många procent spelade minst 2 timmar per dag?
Antal elever Datorspelsvanor
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
1
2
3
Timmar/ dag
3 Beräkna medelvärdet och bestäm medianen av talen a) 2, 7, 10 och 5
b) 5, –3, 0, –1, 7
4 Hur stor är chansen att vinna i ett lotteri med 200 lotter där 16 är vinstlotter?
5 Ta de tretton hjärterkorten ur en kortlek. Dra två kort av hjärterkorten. Hur stor är chansen att det andra kortet är mer än fem om det första du drar är en åtta och ess räknas som ett?
6 I en skål fi nns det tre blåa och två röda kulor. Man tar upp en a) På hur många sätt kan man bilda en kö med fyra personer?
kula, noterar färgen och lägger tillbaka den i skålen. Sedan tar man upp en kula till och noterar färgen. Rita ett träddiagram och beräkna.
b) I hur många av sätten står Veronica först i kön?
a) P(först blå, sedan röd) b) P(en av varje färg)
21 Veronica ska också vara med och stå i kö.
190
5 genrepet
statistik och sannolikhet
statistik och sannolikhet
5 genrepet
191
Genrepet
Genrepet
Kombinatorik
Exempel
När man multiplicerar in i ett parentesuttryck så multipliceras faktorn framför parentesen med varje term inuti parentesen.
4x – 12 Förenkla a) ______ 4
Man kan ofta förenkla parentesuttryck genom att göra ”tvärtom”, det vill säga bryta ut en gemensam faktor.
8x2 + 20x 3x + 8x2 b) _________ c) _________ 2 12x 6x + 16x3
1
4x – 12 _______ 4(x – 3) _______ 4(x – 3) a) ______ = = = x – 3 4
a(a –5) = a(a – 5) = a · a – a · 5 = a2 – 5a
Styva linan
Styva linan
Gemensam faktor
4
Bryt ut den gemensamma faktorn och förkorta.
41
1 1
2
4x(2x + 5) _________ 4x(2x + 5) ______ 2x + 5 8x + 20x _________ = = = b) ________ 12x
12x
12x
3
3 1
Här är den gemensamma faktorn a.
1
2
1
x(3 + 8x) 1 3x + 8x x(3 + 8x) = __________ 2 = ___ c) _________ 2 = __________ 2 3
a2 – 5a = a · a – 5 · a = a(a – 5)
6x + 16x
Exempel
2x (3 + 8x)
2x (3 + 8x) 1
1
2x
Bryt ut den största gemensamma faktorn. a) 4x – 12 4x – 12 = 4 · x – 4 · 3 = 4 · (x – 3) = 4(x – 3) 4 är gemensam faktor
b) 5a2 + 20a
Förenkla uttrycken genom att bryta ut en så stor gemensam faktor som möjligt och sedan förkorta. 2x – 4 x2 – 6x 3x + 6 b) _____ c) ______ 29 a) ______ 3 2 x 2
5y + 15y3 b) ________ 10y
x2 + x c) _____ x2
2
4x2 – 28x b) ________ 4xy
6a3 + 24a2 c) _________ 12a2
xy – y2 b) ______ x – y
3a2 – 12a c) ________ 7ab – 28b
6x – 6y b) __________ 12x2 – 12xy
18a2 + 9a c) _________ 12a3 + 6a2
9x – 3x 30 a) _______ 3x
5a2 + 20a = 5a · a + 5a · 4 = 5a(a + 4)
2
a + ab 31 a) _______
5a är gemensam faktor
ab
2
x y + xy 32 a) _______ xy
Vilken är den största gemensamma faktorn?
2
xy 33 a) ________ 2 2 2
24 a) 3x och 6
xy + x y
b) 3a2 och a3 c) 12x4 och 18x3
Sant eller falskt?
25 a) 6a2b och 9ab2 b) xy2z3 och x3y2z
1 När man multiplicerar två bråk
c) 24a3b2 och 36a2b3 Bryt ut största gemensamma faktor.
26 a) 16x – 20
b) 45x – 18
c) 5y + y2
27 a) 8ab + 6b
b) a3 – 3a
c) 3a5 – 6a
28 a) x2 + xy
b) x2y + xy2
c) 2xy – 4x2
198
6 styva linan
bråk och algebra
2 3
med varandra måste man först se till att båda bråken har samma nämnare. 1 __ 1 __ ger ett svar som är 2 4 större än 2. 1 Att dividera med __ är detsamma 3 som att multiplicera med 3.
/
4 ab + 2b = b(a + 2) 5
2
5x + 10 _________ =x+2 5x
6 Den största gemensamma faktorn i uttrycket
6x2y – 3xy3 är 3xy
bråk och algebra
6 styva linan
199
Exempel
När man multiplicerar in i ett parentesuttryck så multipliceras faktorn framför parentesen med varje term inuti parentesen.
4x – 12 Förenkla a) ______ 4
Man kan ofta förenkla parentesuttryck genom att göra ”tvärtom”, det vill säga bryta ut en gemensam faktor.
8x2 + 20x 3x + 8x2 b) _________ c) _________ 2 12x 6x + 16x3
1
4x – 12 _______ 4(x – 3) _______ 4(x – 3) a) ______ = = = x – 3 4
a(a –5) = a(a – 5) = a · a – a · 5 = a2 – 5a
Styva linan
Styva linan
Gemensam faktor
4
Bryt ut den gemensamma faktorn och förkorta.
41
1 1
2
4x(2x + 5) _________ 4x(2x + 5) ______ 2x + 5 8x + 20x _________ = = = b) ________ 12x
12x
12x
3
3 1
Här är den gemensamma faktorn a.
1
2
1
x(3 + 8x) 1 3x + 8x x(3 + 8x) = __________ 2 = ___ c) _________ 2 = __________ 2 3
a2 – 5a = a · a – 5 · a = a(a – 5)
6x + 16x
Exempel
2x (3 + 8x)
2x (3 + 8x) 1
1
2x
Bryt ut den största gemensamma faktorn. a) 4x – 12 4x – 12 = 4 · x – 4 · 3 = 4 · (x – 3) = 4(x – 3) 4 är gemensam faktor
b) 5a2 + 20a
Förenkla uttrycken genom att bryta ut en så stor gemensam faktor som möjligt och sedan förkorta. 2x – 4 x2 – 6x 3x + 6 b) _____ c) ______ 29 a) ______ 3 2 x 2
5y + 15y3 b) ________ 10y
x2 + x c) _____ x2
2
4x2 – 28x b) ________ 4xy
6a3 + 24a2 c) _________ 12a2
xy – y2 b) ______ x – y
3a2 – 12a c) ________ 7ab – 28b
6x – 6y b) __________ 12x2 – 12xy
18a2 + 9a c) _________ 12a3 + 6a2
9x – 3x 30 a) _______ 3x
5a2 + 20a = 5a · a + 5a · 4 = 5a(a + 4)
2
a + ab 31 a) _______
5a är gemensam faktor
ab
2
x y + xy 32 a) _______ xy
Vilken är den största gemensamma faktorn?
2
xy 33 a) ________ 2 2 2
24 a) 3x och 6
xy + x y
b) 3a2 och a3 c) 12x4 och 18x3
Sant eller falskt?
25 a) 6a2b och 9ab2 b) xy2z3 och x3y2z
1 När man multiplicerar två bråk
c) 24a3b2 och 36a2b3 Bryt ut största gemensamma faktor.
26 a) 16x – 20
b) 45x – 18
c) 5y + y2
27 a) 8ab + 6b
b) a3 – 3a
c) 3a5 – 6a
28 a) x2 + xy
b) x2y + xy2
c) 2xy – 4x2
198
6 styva linan
bråk och algebra
2 3
med varandra måste man först se till att båda bråken har samma nämnare. 1 __ 1 __ ger ett svar som är 2 4 större än 2. 1 Att dividera med __ är detsamma 3 som att multiplicera med 3.
/
4 ab + 2b = b(a + 2) 5
2
5x + 10 _________ =x+2 5x
6 Den största gemensamma faktorn i uttrycket
6x2y – 3xy3 är 3xy
bråk och algebra
6 styva linan
199
Matte Direkt 9 har tydlig struktur >>
Synnöve Carlsson Karl-Bertil Hake Birgitta Öberg
målbeskrivningar >> vardagsnära uppgifter >> Uppslaget – kommunikation och bedömning >> Svarta sidor – extra utmanande uppgifter >> Genrepet – repetition inför NP >> Styva linan – fördjupning inför och efter NP >> ett kapitel inför gymnasiet >> Läxuppgifter på tre nivåer >> Verktygslådan – en uppslagsdel >>
Matte Direkt 9 består av Lärobok, Lärarhandledning, Träningshäften, IST-stöd och Digital bok.
9
9
ISBN 978-91-523-0248-4
(523-2835-4)
MDNY9_6tryck_omslag.indd 1
2014-03-06 13:06