9789147100224 by Smakprov Media AB

JOHANNESSON VRETBLAD

Denna bok är avsedd att vara ett hjälpmedel vid undervisning i byggämnen i högskolan, vid byggteknisk utbildning i gymnasieskolan och vuxenutbildning, samt vid fortbildning för yrkesverksamma. Den är också en lätthanterlig handbok vid praktiskt ingenjörsarbete. I denna elfte upplaga av boken har innehållet omarbetats och anpassats till Eurokoder som från och med år 2011 är obligatoriska vid dimensionering av bärande konstruktioner inom hela EU.

Byggformler och tabeller

PAUL JOHANNESSON BENGT VRETBLAD

Byggformler och tabeller Best.nr 47-10022-4 Tryck.nr 47-10022-4

Paul Johannesson Bengt Vretblad

Byggformler och tabeller

Liber

9789147100224b1-184c.indb i

27/09/11 3:46 PM

Förord Den första upplagan av Byggformler och tabeller utkom 1969 med Lektor Paul Johannesson som författare. Det är naturligtvis viktigt att Byggformler och tabeller kan användas både i undervisning och av aktiva konstruktörer. Boken har därför successivt förnyats med hänsyn till ändringar i gällande bestämmelser, först av Lektor Erik Vretblad och senare av undertecknad. Införandet av Eurokoder för dimensionering av bärande konstruktioner i Sverige har medfört en omfattande omarbetning till föreliggande upplaga. Ett varmt tack till de läsare som framfört värdefulla synpunkter på Byggformler och tabeller. Täby i maj 2011 Bengt Vretblad

9789147100224b1-184c.indb iii

27/09/11 3:46 PM

1 1.1 1.2 1.3

2 2.1 2.2 2.3

Innehåll 2.4

3 3.1

3.2 3.3

3.4

4 4.1 4.2 4.3 4.4

4.5

9789147100224b1-184c.indb iv

Matematik Algebra 1 Geometri 2 Trigonometri 7

Mekanik Jämviktsvillkor för kraftsystem 9 Friktion 10 Lutande planet, kilen och skruven 12 Dynamik 14

Hållfasthetslära Påkänningar och formändringar 16 Tvärsnittskonstanter 20 Tillämpningar av elasticitetsteorin 24 Tillämpningar av plasticitetsteorin 32

Byggstatik Beteckningar 34 Balkar 35 Ramar 43 Stödmoment till kontinuerlig balk enligt primärmomentmetoden 46 Stödmoment till kontinuerlig balk enligt Cross metod (successiv momentutjämning) 49

27/09/11 3:46 PM

Grundläggande dimensioneringsregler

5.1

Dimensioneringsprinciper. Partialkoefficienter. Säkerhetsklasser. 52

9 9.1

9.2

9.3

6 6.1 6.2

6.3 6.4

Geoteknik och grundläggning Materialkonstanter m.m. 56 Jordtryck mot stödmur eller vägg 57 Grundläggning på plattor 59 Grundläggning på pålar 60

9.4 9.5

10 10.1 10.2

7 7.1

7.2 7.3 7.4 7.5

Träkonstruktioner Grundvärden. Partialkoefficienter 63 Beräkning av bärförmåga 66 Spikförband 68 Skruvförband 69 Virkestabeller 71

Betongkonstruktioner

8.1

Betong och armering 75 Böjning 82 Tvärkraft 85 Vridande moment 89 Förankring, avslutning och skarvning av armering 90 Pelare och väggar 101 Plattor 103 Beräkningar i bruksgränstillståndet 110

8.2 8.3 8.4 8.5

8.6 8.7 8.8

9789147100224b1-184c.indb v

10.3

Stålkonstruktioner Partialkoefficienter. Grundvärden på hållfasthet m.m. 115 Konstruktionsdelars kapacitet 117 Svetsförband 124 Skruvförband 126 Gängprofiler och standardprofiler 127

Hydraulik Hydrostatik 152 Hydrodynamik 155 Grundvattenströmning 170 Omvandlingstabeller och enheter 172

Sakregister 174

27/09/11 3:46 PM

9789147100224b1-184c.indb vi

27/09/11 3:46 PM

1.1 1.2 1.3

Algebra Geometri Trigonometri

1. Matematik

1.1 Algebra 1.1.1 Ekvationer

1.1.3 Approximativa uttryck

Ekvationen av första graden: c bx + c = 0 har roten x = − b

Om ε är ett litet tal i förhållande till 1 (ε << 1) gäller:

Ekvationen av andra graden: ax2 + bx + c = 0 har rötterna b b2 c x1,2 = − ± − 2a 4a2 a

1.1.2 Potenser (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b 4 (a − b)4 = a4 − 4a3b + 6a2b2 − 4ab3 + b 4

1 ≈1−ε 1+ ε 1 ≈1+ε 1− ε (1 + ε)2 ≈ 1 + 2ε (1 − ε)2 ≈ 1 − 2ε ε 1+ ε ≈ 1 + 2 1− ε ≈ 1 −

ε 2

ε 1 ≈1− 2 1+ ε 1 ε ≈1+ 2 1− ε

a2 − b2 = (a + b) (a − b) (konjugatregeln) a3 + b3 = (a + b) (a2 − ab + b2) a3 − b3 = (a − b) (a2 + ab + b2)

9789147100224b1-184c.indb 1

27/09/11 3:46 PM

1. MATEMATIK

1.2 Geometri 1.2.1 Linjer a)

Cirkelbåge

α° ⋅ 2π r = α rad r 360

rk s

Specialfall: Halvcirkelbåge. s = πr = e=

πd 2

2r d = π π

b) Parabel

Konstruktion av parabelbåge med vertikal axel.

1.2.2 Ytor Hänvisningar: Tröghetsmoment m.m. för cirkel, halvcirkel, rektangel, kvadrat och triangel, se 3.2.3, sid 21–23. Stålprofiler, se sid. 130–151. a)

Triangel

b⋅h 2

h 3

9789147100224b1-184c.indb 2

27/09/11 3:46 PM

1. MATEMATIK

b) Parallellogram, rektangel

A = bh TP i diagonalernas skärningspunkt. c)

Parallelltrapets

A = h⋅ e=

a+b 2

h(2a + b) 3(a + b)

d) Cirkelsektor

s= A= e=

α° ⋅2πr = α rad .r 360 1 α° sr = ⋅ π r 2 = aradr 2 2 2 360 2 rk ⋅ 3 s

Specialfall:

Cirkel: A = π r 2 =

πd2 4

Omkrets u = 2π r = π d Halvcirkelyta: e =

4r 3π

Regelbunden 6-hörning

h2 3 3a2 3 = 2 2

h=a 3 f)

Regelbunden 8-hörning

( 2 + 1) ≈ 4,828 a A = 2 ( 2 − 1) h ≈ 0,828 h a = ( 2 − 1) h ≈ 0,414 h A = 2ah = 2a2

9789147100224b1-184c.indb 3

27/09/11 3:46 PM

1. MATEMATIK

g) Parabelyta

2 bh 3

ex =

3 b 8

ey =

2 h 5

Konstruktion av parabel, se 1.2.1 b), sid. 2

1.2.3 Kroppar a)

Pyramid

Basytans area = A Volym = e=

Ah 3

h 4

(h och e mäts vinkelrätt mot basytan) b) Stympad pyramid, avskuren parallellt med basytan

Volym = e=

(

)

h B + AB + A 3

h B + 2 AB + 3 A ⋅ 4 B + AB + A

(h och e mäts vinkelrätt mot bas- och överytan)

9789147100224b1-184c.indb 4

27/09/11 3:46 PM

1. MATEMATIK

Kon

Basytans area = A Ah Volym = 3 h e= 4 (h och e mäts vinkelrätt mot basytan) Specialfall: Rät cirkulär kon 2 2 Mantelyta = πrs = πr r + h

Volym = e=

π r 2h 3

h 4

d) Rät cirkulär cylinder

Mantelyta = 2π rh Volym = π r 2h e=

h 2

9789147100224b1-184c.indb 5

27/09/11 3:46 PM

1. MATEMATIK

Klotsektor

Mantelyta = πr(2h + a) a = h (2 r − h ) 2 Volym = π r 2h 3 e=

3 (2r − h ) 8

Klotkalott

Mantelyta = 2πrh h⎞ ⎛ Volym = π h2 ⎜ r − ⎟ 3⎠ ⎝ 2

3 (2 r − h ) e= ⋅ 4 3r − h

Specialfall: Halvklot Mantelyta = 2π r 2 2 Volym = π r 3 3 3 e= r 8

9789147100224b1-184c.indb 6

27/09/11 3:46 PM

1. MATEMATIK

1.3 Trigonometri 1.3.1 Deﬁnitioner sin α =

a a = ; a = c sin α 2 c a + b2

cos α =

b b = ; b = c cos α 2 c a + b2

a tan α = ; a = b tan α b b cot α = ; b = a cot α a

Specialfall: sin 45° = cos 45° =

1 ≈ 0,707 2

tan 45° = cot 45° = 1

sin 30° = cos 60° = 0,5 cos 30° = sin 60° =

3 ≈ 0,866 2

tan 30° = cot 60° =

1 ≈ 0,577 3

cot 30° = tan 60° = 3 ≈ 1,732

För små vinklar är sin α ≈ α rad ≈ tan α

9789147100224b1-184c.indb 7

27/09/11 3:46 PM

1. MATEMATIK

1.3.2 Trigonometriska formler sin α = cos(90° − α) cos α = sin(90° − α) tan α = cot(90°− α) cot α = tan(90° − α) sin2 α + cos2 α = 1 sin α = sin(180° − α) cos α = −cos(180° − α) tan α = −tan(180° − α) cot α = −cot(180° − α) tan α

sin α = tan α =

1 + tan α

; cos α =

1 1 + tan2 α

sin α 1 ; tan α = cot α cos α

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α tan 2α =

tan

2 tan α 1 − tan2α

sin α 1 − cos α α = = sin α 2 1 + cos α

sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

tan (α ± β ) =

cos (α ± β) = cos α cos β

sin α sin β

tan α ± tan β 1+ tan α tan β

1.3.3 Triangelsolvering sin α = sin(β + γ ); cos α = −cos(β + γ ) a b c (sinussatsen) = = sinα sinβ sinγ a2 = b2 + c2 − 2bc cos α (cosinussatsen) A=

1 ab sin γ 2

9789147100224b1-184c.indb 8

27/09/11 3:46 PM

2.1 2.2 2.3 2.4

Jämviktsvillkor för kraftsystem Friktion och rullningsmotstånd Lutande planet, kilen och skruven Dynamik

2. Mekanik

2.1 Jämviktsvillkor för kraftsystem 2.1.1 Beteckningar Storhet

Beteckning

Koordinater Vinklar Kraft, allmän beteckning Tyngdkraft Kraftresultant Moment

x, y, z α, β F, P G R M

2.1.2 Krafter i ett plan För varje kraft är Fx = F . cos α, Fy = F . sin α, 2

F = Fx + Fy

MF = F .r = Fy . x − Fx.y Ett system av krafter är i jämvikt om ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣMF = 0

9789147100224b1-184c.indb 9

27/09/11 3:47 PM

2. MEKANIK

2.1.3 Krafter i rymden För varje kraft är: Fx = F ⋅ cos αx, Fy = F ⋅ cos αy, Fz = F ⋅ cos αz 2

F = F x + Fy + F z FFx = Fy . z − Fz .y FFy = Fz .x − Fx .z FFz = Fx. y − Fy.x M=

M Fx + M Fy + M Fz

Momentaxeln är vinkelrät såväl mot kraften F som mot momentarmen, dvs. normalen r från momentpunkten (origo) mot kraftens verkningslinje. Momentaxeln för momentet M bildar vinklarna βxy, βy och βz med koordinataxlarna, där M M M cosβ x = Fx , cosβ y = Fy , cosβ z = Fz M M M Ett kraftsystem är i jämvikt om ∑Fy = 0, ∑Fz = 0 ∑Fx = 0, ∑MFx = 0, ∑MFy = 0, ∑MFz = 0

2.2 Friktion 2.2.1 Glidfriktion Friktionskraften Ff och normalkraften N är komponenter till reaktionskraften R från underlaget mot kroppen med tyngden G och påverkad av P. N=G Ff = P så länge kroppen inte glider.

9789147100224b1-184c.indb 10

27/09/11 3:47 PM

2. MEKANIK

Vid gränsvärdet för glidning, dvs. då kroppen glider med konstant hastighet, gäller alltjämt Ff = P. Då är Ff = μN, där μ är (glid)friktionstalet. Vinkeln α mellan reaktionskraften R:s verkningslinje och normalen till beröringsytan är då lika med friktionsvinkeln ϕ. Mellan μ och ϕ råder sambandet: μ = tan ϕ Villkoret för att kroppen inte skall glida är P = Ff < μN eller α < ϕ. Friktionstalet är beroende av materialkombination, ytbeskaffenhet m.m. Den är större vid vila än vid rörelse och minskar vid stora hastigheter. Ungefärliga värden på μ anges i nedanstående tabell.

Friktionstalet för några vanliga material

Material Stål mot stål Stål mot is Sten mot betong Sten mot tegel eller tegel mot tegel Sten mot stål Sten mot trä

9789147100224b1-184c.indb 11

Friktionstal μ Vila

Rörelse

0,15 0,03 0,75 0,5–0,7 0,4–0,5 0,45–0,60

0,10 0,015 – – – –

27/09/11 3:47 PM

2. MEKANIK

2.3 Lutande planet, kilen och skruven Hänvisning: friktionsvinkeln ϕ, se 2.2.1 sid. 11

2.3.1 Lutande planet En kropp med tyngden G på ett lutande plan ligger nätt och jämnt kvar eller börjar glida utför planet då P=G

sin(α − ϕ) cos(β − ϕ)

Anm. Om α < ϕ blir P negativ, vilket betyder att P skall ha motsatt riktning mot vad figuren visar.

Kroppen ligger nätt och jämnt kvar eller börjar glida uppför planet då P=G

sin(α + ϕ) cos(β + ϕ)

Specialfall 1. Kraften P parallell med planet (β = 0) Rörelse nedåt: P=G

sin(α − ϕ) cos ϕ

Rörelse uppåt: P=G

sin(α + ϕ) cos ϕ

Specialfall 2. Kraften P horisontell (P = H) Rörelse nedåt: H = G tan(α − ϕ) Rörelse uppåt: H = G tan(α + ϕ)

9789147100224b1-184c.indb 12

27/09/11 3:47 PM

2. MEKANIK

2.3.2 Kilen Då kilen drivs in med kraften P blir horisontalkraften H: H=

P 2 tan(α + ϕ)

Kilen lossnar, om ϕ < α och P ≤ 2 H tan (α − ϕ) Om ϕ > α måste kilen dras ut med en kraft Pd ≥ 2 H tan (ϕ − α)

2.3.3 Skruven Hänvisning: Gängdimensioner, se 9.5, s. 127–128. Då en skruv dras åt med momentet M blir presskraften M P= rm tan(α + ϕ1) Skruven kan lossas med momentet M1 = Prm tan (α − ϕ1) Härvid är: rm = 1 d m 2 α = gängans lutning tanα =

s π dm

tanϕ1 =

μ cosβ

För plattgängad skruv (β = 0) är ϕ1 = ϕ

9789147100224b1-184c.indb 13

27/09/11 3:47 PM

2. MEKANIK

2.4 Dynamik 2.4.1 Samband mellan väg, hastighet och acceleration a)

Beteckningar

b) Linjär rörelse

Storhet

Beteckning

Tid Väg Hastighet Acceleration Acceleration vid fritt fall

t s v, v0 a g

Omvandlingsfaktorer: 1 m/s = 3,6 km/h 1 km/h = 0,278 m/s 1 mile = 1,609 km 1 mile/h = 1,609 km/h 1 sjömil = 1,852 km 1 knop = 1,852 km/h

ds ; dt

dv d 2 s = dt dt 2

Likformigt accelererad rörelse (a = konstant): v = v0 + at s = v0t + c)

v 2− v02 at 2 v0 + v = t= 2a 2 2

Fallrörelse

Fritt fall: v = gt;

Lodrätt kast: v = v0 + gt;

gt 2 2 s = v0t +

gt 2 2

Medelvärde för accelerationen vid fritt fall i Sverige: g = 9,82 m/s2

Kastparabeln: x = v0t cos α y = v0t sinα − y = x sinα −

9789147100224b1-184c.indb 14

gt 2 2

gx2 2v02 cos 2α

27/09/11 3:47 PM

2. MEKANIK

2.4.2 Samband mellan kraft och rörelse a)

Beteckningar

Storhet

Beteckning

Massa Kraft Väg Hastighet Acceleration Energi, arbete

m F s v, v0 a W

b) Kraftekvationen

F = ma c)

Mekaniskt arbete

W = Fs cos α d) Rörelseenergi

Ändringen Δ W av rörelseenergin när hastigheten ändras från begynnelsehastigheten v0 till hastigheten v: ΔW =

mv mv0 − 2 2

Centralrörelse (cirkelrörelse)

Fc = centripetalkraft (den mot rotationscentrum riktade kraft, som erfordras för att hålla kroppen kvar i den cirkulära banan) v = periferihastighet (konstant) w = vinkelhastighet, rad/s mv 2 mw 2r Fc = r = Anm. I rad/s = 9,55 varv/min 1 varv/min = 0,105 rad/s

9789147100224b1-184c.indb 15

27/09/11 3:47 PM

3.1 3.2 3.3 3.4

3. Hållfasthetslära

Påkänningar och formändringar Tvärsnittskonstanter Tillämpningar av elasticitetsteorin Tillämpningar av plasticitetsteorin

3.1 Påkänningar och formändringar 3.1.1 Beteckningar Storhet

Beteckning

Normalpåkänning Dragpåkänning Tryckpåkänning Skjuvpåkänning Sträckgräns 0,2-gräns Brottgräns Elasticitetsmodul Skjuvmodul Töjning (stukning) Kontraktionstal Vinkeländring vid skjuvning

σ σl(+σ) σc(−σ) τ fy f0,2 fu E G ε v γ

Omvandlingsfaktorer: 1° =

π rad ≈ 0,0175 rad 180

1 rad =

180° ≈ 57, 3° π

Se i övrigt sid. 172–173.

3.1.2 Elasticitetsteorins grundformler För ett elastiskt material gäller, att deformationer och påkänningar är proportionella (Hookes lag gäller). Om deformationerna växer vid en konstant påkänningsnivå kallas materialet plastiskt.

9789147100224b1-184c.indb 16

27/09/11 3:47 PM

3. HÅLLFASTHETSLÄRA

Normalpåkänning

ε=

σ E

(Hookes lag)

b) Skjuvpåkänning

γ =

τ G

Anm: Formlerna gäller så länge E resp. G är konstanta, dvs. upp till proportionalitetsgränsen.

3.1.3 Plant påkänningstillstånd a) I en punkt råder påkänningarna σ och τ enligt figuren (τ är lika i båda riktningarna).

9789147100224b1-184c.indb 17

27/09/11 3:47 PM

3. HÅLLFASTHETSLÄRA

b) I riktningar som bildar vinkeln ϕ med de ursprungliga riktningarna blir σ1ϕ = σcos2ϕ + τ sin 2ϕ σ2ϕ = σ sin2ϕ − τ sin 2ϕ τϕ = −

σ sin 2ϕ + τ cos 2ϕ 2

c) För huvudaxlarna är ϕ = ϕ1 och huvudpåkänningarna σ1 respektive σ11 ⋅ σ1 är maximivärde och σ11 minimivärde eller omvänt. För vinkeln σ1 gäller 2τ tan 2σ11 = σ Då blir

d) Specialfall.

σ 1 σ1 = + σ 2+ 4τ 2 2 2

Om σ = 0 blir

σ 1 σ11 = − σ 2 + 4τ2 2 2 samtidigt som τϕ1= 0

σ1 = τ och σ11 = −τ dvs. största drag- och tryckpåkänningarna är numeriskt lika med skjuvpåkänningen τ, och vinkeln ϕ1 = 45°.

3.1.4 Materialdata a)

Konstruktionsstål

E = 210 000 MPa = 210 GPa* G = 81 000 MPa = 81 GPa v = 0,3 * för armeringsstål i betong, se kapitel 8

Sträckgräns, fy, 235–400 MPa Brottgräns, fu, 360–540 MPa

Se vidare kapitel 9.

9789147100224b1-184c.indb 18

27/09/11 3:47 PM

3. HÅLLFASTHETSLÄRA

b) Aluminiumlegeringar

Legering

f0,2 MPa

fu MPa

E GPa

G GPa

SS 4212-6 SS 4338-6

250 380–410

300 440–470

70 70

26 26

Betong

Kubhållfasthet vid 28 dygns ålder normalt fcc = 16–80 MPa Draghållfasthet vid 28 dygns ålder normalt fct = 1,0–4,0 MPa Elasticitetsmodul Ec = 25 000–40 000 MPa = 25–40 GPa Gc = 0,4 Ec ν = 0,2 Se vidare kapitel 8.

d) Trä

För felfritt virke av furu och gran gäller för hållfastheten vid korttidsbelastning följande ungefärliga värden: Draghållfasthet // fiberriktningen = 100 MPa Tryckhållfasthet // fiberriktningen = 50 MPa Böjhållfasthet = 80 MPa Skjuvhållfasthet = 10 MPa E = 7 000–20 000 MPa = 7–20 GPa Se vidare kapitel 7.

9789147100224b1-184c.indb 19

27/09/11 3:47 PM

3. HÅLLFASTHETSLÄRA

3.2 Tvärsnittskonstanter 3.2.1 Beteckningar Storhet

Beteckning

Tvärsnittsarea Yttröghetsmoment Böjmotstånd (tvärsnittsmotstånd) Tröghetsradie

A I W i

3.2.2 Räknelagar för tröghetsmoment a)

Additionslagen

Yttröghetsmoment kan adderas resp. subtraheras om de hänför sig till samma axel. b) Steiners sats

Yttröghetsmomentets ändring vid parallellförskjutning av axlarna kan beräknas enligt formlerna nedan: I1 = I 0 + Aa12 I 2 = I 0 + Aa22

I 2 = I1 + A( a22 − a12 )

För ett tvärsnitt som kan uppdelas i delar med yta Aa respektive Ab och kända yttröghetsmoment Ia och Ib blir då Ia+b = Ia + Aa ⋅ a2 + Ib + Ab ⋅ b2

9789147100224b1-184c.indb 20

27/09/11 3:47 PM

3. HÅLLFASTHETSLÄRA

3.2.3 Tvärsnittsdata Hänvisningar: Tyngdpunktslägen, se 1.2. Stålprofiler, se 9.5. Sågat trävirke, se 7.5. a)

Cirkel

πd 4

Iz = I y =

πd4 64

Wz = Wy = iz = iy =

π d3 32

d 4

b) Halvcirkel

πd2 8

4 ⎛ e1 = r ⎜1 − ⎝ 3π

⎞ ⎟ ≈ 0,576 r ⎠

e2 =

4r ≈ 0, 424 r 3π

Iz =

πd 4 ⎛ 64 ⎞ 4 ⎜1 − 2 ⎟ ≈ 0,00686 d 128 ⎝ 9π ⎠

W1 =

Iz ≈ 0, 0238 d 3 e1

W2 =

Iz ≈ 0, 0324 d 3 e2

iz =

Iz ≈ 0, 296 d A

9789147100224b1-184c.indb 21

27/09/11 3:47 PM

3. HÅLLFASTHETSLÄRA

Cirkelring

π 2 d1 − d22 4

(

Iz = Iy =

)

π (d 4 − d24 ) 64 1

Wz = Wy =

π d14 − d24 ⋅ 32 d1

d) Rektangel

A= bh Iz =

b h3 hb 3 ; Iy = 12 12

Wz =

bh2 hb2 ; Wy = 6 6

iz =

h ≈ 0, 289 h 12

Kvadrat

A = a2 I z = I y = Iz1 = Iy1 = Wz = Wy =

a4 12

a3 6

Wz1 = Wy1 =

a3 6 2

iz = iy = iz1 = iy1 =

9789147100224b1-184c.indb 22

a ≈ 0, 289 a 12

27/09/11 3:47 PM

ISBN 978-91-47-10022-4 © 1980, 1995, 2005, 2011, Paul Johannesson, Bengt Vretblad och Liber AB Förläggare: Peter Rajan Omslag och graﬁsk formgivning: Nette Lövgren Ombrytning: OKS Prepress Services, Indien Illustrationer: Bertil Bengtsson, Sten Nyström, Karl Weisshappel, Inger Jäderberg, Hans Sandqvist Omslagsbild: Vladitto/Shutterstock Elfte upplagan 1 Repro: OKS Prepress Services, Indien Tryck: Sahara Printing, Egypten 2011

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 Kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01, E-post: kundservice.liber@liber.se www.liber.se

9789147100224b1-184c.indb ii

27/09/11 3:46 PM

JOHANNESSON VRETBLAD

Byggformler och tabeller

PAUL JOHANNESSON BENGT VRETBLAD

Byggformler och tabeller Best.nr 47-10022-4 Tryck.nr 47-10022-4