9789144116068 by Smakprov Media AB

MATEMATIK â&#x20AC;&#x201C; SPECIALISERING

Lars-Anders Callenberg

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 37353 ISBN 978-91-44-11606-8 Upplaga 2:1 © Författaren och Studentlitteratur 2013, 2017 studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Francisco Ortega Omslagsbild: Paperboat/Shutterstock Printed by Holmbergs i Malmö AB, Sweden 2017

INNEHÅLL

Förord 7

KAPITEL 1

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Grundläggande begrepp, skrivtecken och symboler 9 Funktion 14 Polynomfunktioner 17 Kontinuitet 19 Deriverbarhet 22 Rationella funktioner 26 Inversa funktioner 33 MacLaurinutveckling 44 Blandade övningar 49

KAPITEL 2

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Integraler 55

Primitiva funktioner 55 Allmänna egenskaper hos integraler 61 Variabelsubstitution 68 Partiell integration 72 Partialbråksuppdelning 75 Generaliserade integraler 87 Blandade övningar 90

KAPITEL 3

3.1 3.2

Funktioner 9

Matriser 95

Matrisoperationer 95 Ekvationssystem 100

innehåll

3.3 3.4 3.5 3.6

Elementära radoperationer 106 Kvadratiska matriser och matrisinvers 113 Determinanter 122 Blandade övningar 126

KAPITEL 4

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

Grundläggande vektoroperationer 129 Basvektorer och vektorkoordinater 134 Skalärprodukt 141 Räta linjen i planet på parameterform 150 Vektorer i rummet 155 Vektorgeometri i tre dimensioner 159 Vektorprodukt 174 Linjära avbildningar i ett plan 179 Blandade övningar 187

KAPITEL 5

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

Kryptering 231

Introduktion 231 Affina monoalfabetiska krypton 232 Polyalfabetiska krypton 240 Blandade övningar 249

KAPITEL 7

7.1

Gruppteori 191

Talmängden Zn 191 Största gemensamma delare 196 Algebraiska strukturer 202 Neutralt element och invers 206 Grupper 210 Undergrupper 219 Blandade övningar 227

KAPITEL 6

6.1 6.2 6.3 6.4

Vektorer I 129

Vektorer II 253

Vektorrum 253 © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

innehåll

7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

Bas och dimension 263 Nollrummet 269 Skalärprodukt och ortogonalitet 283 Projektioner 295 Funktionsanpassning 307 Blandade övningar 319

Facit 325

Litteraturförteckning 381

Sakregister 383

KAPITEL 3

Matriser

3.1 Matrisoperationer Matriser är matematiska objekt som har ett stort användsområde och som verktyg har de stor flexibilitet. Kapitlet inleds här med dess definition.

Definition 3.1 Matris

En reell matris är ett rektangulärt schema av reella tal. En matris består därför av rader och kolonner. Talen i en matris kallas element.

Låt matrisen A=[

a 11 a 21

a 12 a 22

a 13 ] a 23

vara given. Varje element har indicerats på så sätt att a i j är elementet i i:te raden och j:te kolonnen. Matrisen sägs vara av typen r × k, vilket innebär att den har r rader och k kolonner. Matrisen A är av matristyp 2 × 3. En matris bestående av endast en rad kallas för en radmatris. Denna är alltså av typen 1 × k. På samma sätt kallas en matris bestående av endast en kolonn för en kolonnmatris. Matriser är användbara i många sammanhang. Ett område är när man vill redovisa något i tabellform. Antag att en tröjaffärskedja vill göra en tabell över vilken typ av tröjor de olika affärerna i kedjan har sålt. För enkelhets skull består kedjan av tre butiker och endast två typer av tröjor säljs: röda och gula. Vanligtvis kan detta redovisas i en tabell av den typ som redovisas i tabell 3.1. Om man varje månad gör en likadan tabell behöver man inte ange att rad 1 är försäljning från affär 1 och att första kolonnen är antalet röda tröjor osv. © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

3 matriser

Januari

Röd

Gul

Affär 1

Affär 2

Affär 3

TABELL 3.1

Tröjförsäljning i januari.

Därför räcker det att ange försäljningssiffrorna i matrisform. Detta blir då en matris av typen 3 × 2. Försäljningsmatrisen F för januari blir alltså ⎡ 6 3 ⎢ ⎢ F1 = ⎢ 5 1 ⎢ ⎢ 0 7 ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Antag att motsvarande försäljningsmatris för februari är ⎡ 4 2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ F2 = ⎢ 9 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 2 ⎥ ⎣ ⎦ Utifrån denna matris kan man lätt dra slutsatsen att under februari såldes 9 röda tröjor av butik 2. Vill man beräkna den totala försäljningen under de två första månaderna måste man addera matriserna. Vid matrisaddition adderas varje element för sig: ⎡ 6+4 3+2 ⎢ ⎢ F1 + F2 = ⎢ 5 + 9 1 + 0 ⎢ ⎢ 0+1 7+2 ⎣

⎤ ⎡ 10 5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ 14 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 9 ⎦ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

När två matriser adderas måste dessa vara av exakt samma typ, dvs. ha lika många rader och kolonner. Nu är det dags att definiera fem matrisoperationer. Den första, matrisaddition, är redan visad. Om man vill multiplicera en matris med ett reellt tal, den andra matrisoperationen, innebär det att varje element i matrisen ska multipliceras med talet. Subtraktion mellan två matriser, den tredje matrisoperationen, är en kombination av de båda första. Detta innebär addition mellan den första matrisen och den andra multiplicerad med −1. A − B = A + (−1) ⋅ B 96

3 matriser

I detta sammanhang kan också nämnas att om två matriser ska vara lika måste de vara av samma typ och bestå av lika element på exakt samma platser. Multiplikation mellan matriser, den fjärde matrisoperationen, är lite mer komplicerad. För det första är det inte alltid som matrismultiplikation är möjlig. Den första matrisens kolonnantal måste överensstämma med den andras radantal, annars går det inte utföra multiplikationen. Det innebär också att matrismultiplikation inte är en kommutativ räkneoperation, dvs. A⋅B behöver inte ge samma resultat som B⋅A. Den ena multiplikationen kanske inte ens är genomförbar. En beskrivning av hur man utför en multiplikation visas bäst med ett exempel. Exempel 3.2 Undersök om man kan multiplicera följande matriser och utför, om möjligt, multiplikationen. ⎡ 3 1 ⎤ ⎢ ⎥ 0 5 6 1 ⎢ ⎥ ⎢ 0 2 ⎥⋅[ ] ⎢ ⎥ 3 0 −1 4 ⎢ 3 0 ⎥ ⎣ ⎦ ↓

↓

Lösning. Den första är av typ 3 × 2 och den andra av typ 2 × 4. De markerade talen är lika, alltså är multiplikationen möjlig att utföra. Resultatet blir en matris av typen 3 × 4, den första matrisens rader gånger den andra matrisens kolonner. Lämpligt är nu att rita upp en 3 × 4-matris och sedan fylla den. ⎡ 3 1 ⎤ ⎡ . ⎢ ⎥ ⎢ 0 5 6 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 0 2 ⎥⋅[ ]=⎢ . ⎢ ⎥ ⎢ 3 0 −1 4 ⎢ 3 0 ⎥ ⎢ . ⎣ ⎦ ⎣

. . .

. a 23 .

. . .

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Elementet a 23 fås genom att multiplicera den 2:a raden i den första matrisen termvis med den 3:e kolonnen i den andra matrisen. Här ger 0 ⋅ 6 + 2 ⋅ (−1) = −2 det sökta elementet. ⎡ 3 1 ⎤ ⎡ . ⎢ ⎥ ⎢ 0 5 6 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 0 2 ⎥⋅[ ]=⎢ . ⎢ ⎥ ⎢ 3 0 −1 4 ⎢ 3 0 ⎥ ⎢ . ⎣ ⎦ ⎣

. . . . −2 . . . .

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

3 matriser

På samma sätt utförs alla 12 deloperationerna. Utför dessa och kontrollera att resultatet blir ⎡ 3 15 17 7 ⎢ ⎢ ⎢ 6 0 −2 8 ⎢ ⎢ 0 15 18 3 ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ◊

Avancerade miniräknare kan utföra matrisoperationer.

Den femte och sista matrisoperationen är transponering. När en matris transponeras byts rader mot kolonner och tvärtom. Om matrisen A är av typen p × q blir transponatet AT av typen q × p. Exempel 3.3 Bestäm AT om ⎡ 1 −4 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ A=⎢ 0 5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −3 1 ⎥ ⎣ ⎦ Lösning. Den första raden, [1 −4], blir första kolonnen i transponatet osv. AT = [

1 0 −3 ] −4 5 1

◊

Lars-Anders Callenberg är gymnasielärare i matematik och fysik på Peder Skrivares skola i Varberg.

MATEMATIK – specialisering

Matematik – specialisering introducerar avancerad matematik på ett lättillgängligt sätt kombinerat med en stor mängd övningar och lösta exempel. I boken presenteras matriser, vektorer och vektorrum i linjär algebra. Inom matematisk analys fördjupas funktionsbegreppet och teorin om integraler breddas. Dessutom behandlas gruppteori, kongruens räkning, delbarhet och kryptering inom den elementära talteorin. Matematik – specialisering är en kurs på gymnasiet som förbereder elever för högskolestudier i matematik. Med anledning av de områden som boken erbjuder är den en av de första böcker som kan användas både på gymnasiet och i vidare studier på universitet och högskola. I denna andra upplaga har ordningen på ett par moment i kapitel ett ändrats. Begrepp, skrivtecken och symboler kommer först och funktionens definition har fått en egen underavdelning. För hela boken gäller att några övningar plockats bort och några nya till kommit. Boken innehåller många lösta exempel och fler än 600 övnings uppgifter.

Andra upplagan

Art.nr 37353

studentlitteratur.se