9789127421608

1c

x e r e dd

Bl채

Matematik

5000

M5000_bla_smakprov.indd 1

2011-04-14 18.03

Hej! Vill Du veta vad som är nytt i Matematik 5000 Blå 1c?

Matematik 5000 är skriven till den nya ämnesplanen Gy2011.

Vår utgångspunkt har varit kursens centrala innehåll och de sju olika matematikförmågor som eleverna ska utveckla.

Vi tror på en undervisning där arbetssätt och arbetsformer varieras.

Läroboken innehåller därför fem olika typer av Aktiviteter: Upptäck, Undersök, Laborera, Diskutera och Modellera.

I bokens uppgifter har vi en stor variation av frågeställningar. Förutom ­uppgifter av standardkaraktär finns många uppgifter där eleverna ska skriva motiveringar, förklara innebörden av matematiska begrepp eller analysera och bedöma resonemang och lösningar.

Boken innehåller tio olika Teman, de flesta med teori och uppgifter anpassade till NA- och TE-programmens karaktärsämnen.

I slutet av varje kapitel finns flera nyheter.

Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och strategier, som t ex kan användas vid diskussioner i grupp. Diagnosen är tänkt som en individuell kunskapskontroll.

Kapitlen avslutas med två olika varianter av Blandade övningar. Den första innehåller uppgifter endast från det aktuella kapitlet, i den andra finns även uppgifter från tidigare kapitel. I båda finns uppgifter att lösa med och utan räknare samt utredande uppgifter.

Vi har utvecklat bokens Facit till ett pedagogiskt verktyg. Till många uppgifter finns därför ledtrådar avsedda för elever som har fått fel svar eller för elever som har kört fast. Det finns också ett stort antal förklaringar, motiveringar och lösningar tydligt utskrivna.

Boken kompletteras av en Lärarhandledning. Den innehåller bl a ­ kommentarer till lärobokens aktiviteter, extrauppgifter, ytterligare aktiviteter samt en provbank.

Vi hoppas att Matematik 5000 Blå 1c är en bok för dig och dina elever!

Lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik Erixon Hans Heikne

NYHETER

M5000_bla_smakprov.indd 2

2011-04-14 18.03

lena Alfredsson kajsa Bråting patrik Erixon Hans Heikne

Matematik

5000 kurs 1c Blå lärobok

Natur & kultur

M5000_bla_smakprov.indd 3

2011-04-14 18.03

Innehåll 1. Aritmetik – Om tal 6

Inledande aktivitet: Lägga tal 7 Historik: Från vargben till datorer 8

1.1 Hela tal 9

Olika typer av tal 9 Positiva tal – räkneordning och räknesätt 10 Primtal – delbarhet och faktorisering 13 Negativa tal 16

1.2 Rationella och reella tal 20

Bråkbegreppet 20 Räkna med bråk 23 Tal i decimalform 27 Avrundning och gällande siffror 30 Kvadratrötter 32

1.3 Tal i potensform 34

Positiva heltalsexponenter 34 Negativa heltalsexponenter och exponenten noll 36 Grundpotensform 38 Prefix 40 Tema: Mikrokosmos och makrokosmos 42 Talsystem med olika baser 44 Historik: Olika talsystem 47 Aktivitet: Diskutera – Det är inte bara svaret som räknas 48

1.4 Problemlösning 49

En problemlösningsstrategi 49

Aktivitet: Modellera – Hur många? 52 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 53 Sammanfattning 1 54 Kan du det här? 1 56 Diagnos 1 57 Blandade övningar 1A 58 Blandade övningar 1B 60

2. Procent 62

Inledande aktivitet: Pärlor, plattor och procent 63

2.1 Procentuella beräkningar och jämförelser 64

Tre basproblem 64 Procentenheter 67 Tema: Alkohol och promille 68 Procent utan räknare 70 Aktivitet: Upptäck – Jämförelser 71

2.2 Procentuella förändringar 72

Förändringsfaktor 72 Upprepade procentuella förändringar 75 Problemlösning 79

M5000_bla_smakprov.indd 4

2.3 Lån och index 80

Ränta 80

Amortering 82

Avgifter 84

Index 86 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 88 Sammanfattning 2 89 Kan du det här? 2 90 Diagnos 2 91 Blandade övningar kapitel 2 92 Blandade övningar kapitel 1–2 94

3. Algebra 96

Inledande aktivitet: Räkna med bokstäver 97

3.1 Algebraiska uttryck och förenklingar 98

Algebraiska uttryck 98 Förenkling av utryck 101 Faktorisera 104 Aktivitet: Undersök – Symbolhanterande räknare 106

3.2 Linjära ekvationer och olikheter 107

Ekvationsbegreppet 107 Ekvationslösningens grunder 110 Problemlösning 114 Olikheter 117

3.3 Potensekvationer 120

Enkla x2-ekvationer 120 Potensekvationer 122 Aktivitet: Undersök – Pärlor med x 126

3.4 Formler och mönster 127

Formler 127 Mönster och formler 130 Lösa ut ur formler 132 Tema: Hastighet – sträcka – tid 135

3.5 Undersöka och bevisa 138

Undersöka och bevisa 138

Tema: Decimalutvecklingar 141

Aktivitet: Modellera – Hur mycket och hur länge? 142 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 143 Sammanfattning 3 144 Kan du det här? 3 146 Diagnos 3 147 Blandade övningar kapitel 3 148 Blandade övningar kapitel 1–3 151

innehåll

2011-04-14 18.03

4. Geometri 154

Inledande aktivitet: Omkrets och area 155

4.1 Geometri och algebra 156

Inledning 156 Area och omkrets för några enkla områden 157 Cirkel och cirkelsektor 160 Historik: Talet π – historiska fakta 163 Aktivitet: Laborera – Pucken 164 Area och volym för några enkla kroppar 165 Kon och klot 168

4.2 Geometri och bevis 171

Inledning 171 Vinklar och vinkelsummor 172 Några bevis med vinklar 176 Några bevis med area och volym 178 Likformiga trianglar 180 Implikation och ekvivalens 182 Pythagoras sats 183 Historik: Pythagoras och Pythagoras sats 186 Aktivitet: Undersök – Kvoter i en rätvinklig triangel 187

4.3 Trigonometri 188

Inledning 188 Räkna med tangens 190 Sinus och cosinus 194 Blandade uppgifter 197

4.4 Vektorer 199

Definitioner och räkneoperationer 199 Komposanter, koordinater och vektorlängd 202 Tema: Krafter och hastigheter 205

4.5 Geometri och problemlösning 208

Tema: Geometri i konst och natur 210 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 215 Sammanfattning 4 216 Kan du det här? 4 218 Diagnos 4 219 Blandade övningar kapitel 4 220 Blandade övningar kapitel 1–4 223

5. Sannolikhetslära och statistik 226

Inledande aktivitet: Hur stor är chansen? 227

5.1 Enkla slumpförsök 228

Inledning 228 Den klassiska sannolikhetsmodellen 229 Experimentella sannolikheter 232

5.2 Slumpförsök med flera föremål eller steg 234

Försök med två föremål 234 Aktivitet: Laborera – Kasta två tärningar 236 Träddiagram 237 Aktivitet: Laborera – Lika eller olika färg? 241 Beroende sannolikhet 242 Komplementhändelse 244 Tema: Kombinatorik 246 Historik: Sannolikhetslärans födelse 247

5.3 Statistik 248

Vad handlar statistik om? 248

Tolka tabeller och diagram 250

Rita diagram med kalkylprogram 254

Vilseledande statistik 256

Tema: Spel om pengar i Sverige 258

Tema: Rädda torsken i Östersjön 261

Tema: Risker i trafiken 264 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 266 Sammanfattning 5 267 Kan du det här? 5 268 Diagnos 5 269 Blandade övningar kapitel 5 270 Blandade övningar kapitel 1–5 273

6. Grafer och funktioner 276

Inledande aktivitet: Finn regeln 277

6.1 Grafer och direkt proportionalitet 278

Koordinatsystem 278 Tolka grafer som beskriver vardagliga förlopp 280 Aktivitet: Laborera – Väg–tid–diagram 283 Direkt proportionalitet 284 Grafritande räknare 285

6.2 Funktioner 288

Funktionsbegreppet 288

Linjära funktioner 292

Exponentialfunktioner 295

Potensfunktioner 298

Räta linjens ekvation 300

Grafisk lösning av linjära ekvationer och olikheter 302

Olika matematiska modeller 304 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 306 Sammanfattning 6 307 Kan du det här? 6 308 Diagnos 6 309 Blandade övningar kapitel 6 310 Blandade övningar kapitel 1–6 312

Repetitionsuppgifter 316 Svar, ledtrådar och lösningar 324 Register 359

innehåll

M5000_bla_smakprov.indd 5

2011-04-14 18.03

1

ARITMETIK – OM TAL

Centralt innehåll ✱ Reella tal skrivna på olika former och metoder för beräkningar. ✱ primtal, delbarhet och olika talbaser. ✱ strategier för problemlösning. ✱ Enheter och enhetsbyten. ✱ Matematiska begrepp och metoder i situationer kopplade till naturvetenskap, teknik, vardags- och samhällsliv.

I kapitel 3 ska vi arbeta med area, omkrets och volym, skala och likformighet samt trigonometri.

M5000_bla_smakprov.indd 6

2011-04-14 18.04

894789475849

89478947584

112 777

1

482398678567

7547 55

238876744

15343274

Inledande aktivitet LÄGGA TAL Arbeta tillsammans två och två.

Skriv upp beräkningar och resultat.

Finns det flera lösningar till några av uppgifterna?

Placera talen 1, 2, 5 och 7 i rutorna så att …

1 summan av de två tvåsiffriga talen + blir så nära 60 som möjligt.

2 produkten ( som möjligt.

3 kvoten

M5000_bla_smakprov.indd 7

( (

+ +

+

)·(

+

) blir så stor

) 2 blir det rationella talet 3 )

4 kvoten

( (

− −

) blir )

a) det naturliga talet 2 b) det negativa talet −2.

5 Placera ut heltalen 1–9 i rutorna så att alla tre likheterna stämmer.

(Obs! Du får bara använda varje siffra en gång.) +

=

−

=

∙

=

2011-04-14 18.04

4.1 Geometri och algebra Inledning Ordet geometri betyder jordmätning och kommer från grekiskans geo = jord och metrein = mäta.

Geometriska metoder utvecklades tidigt för praktiska behov. I det gamla Egypten var man tvungen att mäta upp sina landområden varje år efter Nilens översvämningar och när de fantastiska pyramiderna uppfördes krävdes förfinade metoder.

Tack vare nästan 4 000 år gamla papyrusrullar och lertavlor känner vi till många av egyptiernas och babyloniernas metoder.

I den grekiske matematikern Euklides bok Elementa från 300-talet f Kr (som så sent som på 1950-talet förekom i skolan) kan vi hitta många av de exakta formler vi idag använder.

Detalj av Rhindpapyrusen från ca 1600 f Kr.

Några av de grundläggande geometriska begreppen är kurva, linje och sträcka.

Genom två punkter A och B kan vi dra oändligt många kurvor. En kurva eller en linje kan vara rak (rät) eller böjd (krökt).

A

B

rät linje

En rät linje definieras som en kurva som är rak och obegränsad åt båda håll. Genom A och B kan vi endast dra en rät linje.

Två räta linjer som ligger i samma plan och inte skär varandra är parallella.

A

B

sträcka

En sträcka beskrivs som en rät linje som är begränsad åt båda hållen. Figuren till höger illustrerar sträckan AB.

A

B

kurva linje

4.1 GEOMETRi OCH AlGEBRA

M5000_bla_smakprov.indd 8

2011-04-14 18.04

Area och omkrets för några enkla områden polygon

triangel

Sträckorna AB, BC, CD och DA bildar sidor i en polygon. En polygon är en figur som består av ett antal sträckor som hänger ihop i sina ändpunkter.

Poly är det grekiska ordet för många och gon är det grekiska ordet för vinkel eller hörn. I detta fall har polygonen fyra hörn och kallas därför fyrhörning.

C D A

B

En triangel är en polygon med tre hörn.

Omkretsen = a + b + c Arean =

a

h

b· h 2

c

b

b

parallellogram

En parallellogram är en fyrhörning där motstående sidor är parallella.

Omkretsen = 2a + 2b Arean = b ∙ h

a

a

h b

b

rektangel

kvadrat

parallelltrapets

En rektangel är en fyrhörning med endast räta vinklar.

Omkretsen = 2b + 2h Arean = b ∙ h

h b

En kvadrat är en rektangel med lika långa sidor.

Omkretsen = 4a Arean = a ∙ a = a2

Ett parallelltrapets är en fyrhörning med minst två parallella sidor.

Omkretsen = a + b + c +d Arean = h(a + b) 2

h

a a

a d

h

c

b

4.1 GEOMETRi OCH AlGEBRA

M5000_bla_smakprov.indd 9

2011-04-14 18.04

4101

Beräkna arean av det färgade området.

Vi delar området i två rektanglar och en parallellogram.

Rektanglarnas sammanlagda area = = 2 ∙ 2,0 ∙ 6,0 cm2 = 24 cm2

Parallellogrammens bas = (6,0 – 4,0) cm = 2,0 cm Parallellogrammens höjd = (8,0 – 2 ∙ 2,0) cm = 4,0 cm Parallellogrammens area = (2,0 ∙ 4,0) cm2 = 8,0 cm2

Total area = (24 + 8) cm2 = 32 cm2

Svar: Områdets area är 32 cm2.

4102

I ett parallelltrapets med arean 18 cm2 är de parallella sidorna 3,2 cm och 6,8 cm. Beräkna höjden.

4103

Hur stor andel av figurens area är färgad?

Figuren kan delas upp i en rektangel och en kvadrat.

Hela figurens area = 2a ∙ 3a + a ∙ a = 6a2 + a2 = 7a2

Den färgade arean = Triangelns area = 2a · 3a = 3a2 2 2 3a 3 Andelen som är färgad = 2 = 7 7a

(cm)

6,0

2,0 4,0 8,0 4,0 2,0

Formeln A = h(a + b) ger ekvationen h(3,2 + 6,8) = 18 2 2

5h = 18 h = 3,6 Svar: Höjden är 3,6 cm.

7,8

a)

(cm) (cm) 3,63,6 5,65,6

3,7

M5000_bla_smakprov.indd 10

2a

4105 Beräkna omkrets och area av parallello- grammen och parallelltrapetset.

(m)

a

3a

Svar: 3 av figuren är färgad.

7

4104 Bestäm arean av husgaveln.

a

4,14,1

b)

5,25,2

4,04,03,83,8

(cm) (cm) 4,14,1

8,08,0

8,2 4.1 GEOMETRI OCH ALGEBRA

2011-04-14 18.04

4106 Vilken är den minsta mängd tyg som krävs

för att sy tältet utan golv?

Svara i hela kvadratmeter.

4113 Visa att 30 % av flaggan är gul.

2a

3,2 m

a

1,9 m

2a

1,1 m

2,5a

0,8 m

a_ 2

4107 En triangel har basen 5,5 cm och arean

9,9 cm2.

b) Vilken area har en kvadrat med ­omkretsen 64 cm?

4110 En rektangel har sidorna x m och (x + 4) m.

Ange en formel för a) rektangelns omkrets p m

b) rektangelns area A m.

h _ 2 b _ 2

b _ 2

4115 En rektangulär inhägnad ska göras av

600 m staket. Den ena sidan är x m.

4109 Är det sant att en rektangel är en ­parallellogram? Motivera ditt svar.

h _ 2

a_ 2

Beräkna höjden.

4108 a) Vilken omkrets har en kvadrat med arean 64 cm2?

4,5a

4114 Hur stor del av triangeln är färgad?

Visa med hjälp av algebra.

3,2 m

a

a) Ställ upp en formel för arean A.

b) Beräkna arean för några olika värden på x.

Vilka mått på rektangeln ger störst area?

4111 Uttryck med en formel arean A av den färgade delen i figuren.

a) 4a

a

b) a

a

1,5x

1,5x

x

3x x

a 5a

x

4112 Arean av ett parallelltrapets är 72 cm2.

Höjden är 6 cm och en av de parallella

sidorna är 15 cm.

Hur lång är den andra sidan?

4.1 GEOMETRI OCH ALGEBRA

M5000_bla_smakprov.indd 11

2011-04-14 18.04

Två sidor av tre ur avsnittet Primtal − delbarhet och faktorisering.

delbarhet

Ett heltal är alltid delbart med primtalsfaktorerna och deras produkter.

Talet 18 kan delas upp i primfaktorerna 2 ∙ 3 ∙ 3. Produkter av dessa tal är 2 ∙ 3 = 6 och 3 ∙ 3 = 9. Talet 18 är alltså delbart med 2, 3 , 6 och 9 (förutom med 1 och 18).

Detta innebär att kvoterna 18/2, 18/3, 18/6 och 18/9 är heltal.

Ytterligare några delbarhetsregler:

1 Vilka tal är delbara med 2?

Svar: Alla jämna tal, t ex 18, 280 och 6 590.

Delbarhetsregler

1119

2 Vilka tal är delbara med 3?

Svar: Alla tal vars siffersumma är delbara med 3, 201 och 642.

3 Vilka tal är delbara med 5?

Svar: Alla tal som slutar på 0 eller 5, t ex 45, 920 och 1 015.

a) Dela upp talet 42 i primfaktorer.

b) Vilka positiva tal är 42 delbart med (utöver 1 och 42)?

a) Faktoruppdelningen underlättas om vi ritar ett s k faktorträd: 42

42

2

42 = 2 · 21

21 3

7

6 2

7

42 = 6 · 7

3

De båda faktorträden ger naturligtvis samma slutresultat.

Svar: 42 = 2 ∙ 3 ∙ 7

b) 42 är delbart med 2, 3, och 7 och med produkter av dessa tal.

2 ∙ 3 = 6

2 ∙ 7 = 14

3 ∙ 7 = 21

Svar: 42 är delbart med 2, 3, 6, 7, 14, 21.

1120 Är talet ett primtal eller ett sammansatt tal?

a) 9

b) 11

c) 21

d) 23

1121 Vilka av talen 165, 168 och 170 är

a) delbara med 2

b) delbara med 5?

1122 Rasmus skriver 60 = 2 ∙ 5 ∙ 6

Har Rasmus delat upp talet 60 i primfaktorer?

Motivera ditt svar.

M5000_bla_smakprov.indd 12

1123 a) Rita av faktorträdet och fyll i de heltal som saknas i rutorna.

2

24

b) Dela upp talet 24 i primfaktorer.

c) Vilka postiva tal är 24 delbart med (utöver 1 och 24)?

1.1 HELA TAL

2011-04-14 18.04

1124 a) Vilken siffersumma har talet 231?

b) Är 231 delbart med 3?

c) Vilken siffersumma har talet 521?

d) Är 521 delbart med 3?

1125 Är talet ett primtal eller ett sammansatta tal?

a) 63 b) 19 c) 592 d) 327 1126 Vilka av talen 135, 235, 448, 640 och 2010

är delbara

a) med 3

b) med 5

c) med 15?

1127 a) Rita av faktorträdet och fyll i de tal som saknas.

b) Dela upp talet 54 i primfaktorer.

1134 Jonas: ”Om ett tal är delbart med både 3

och 4 så är det delbart med 12.”

Jenny: ”Om ett tal är delbart med 2 och 6 så är det delbart med 12.”

Visa med ett exempel att en av dem har fel!

1135 Maria påstår: ”Om talet A är delbart med 4

så är också (A+4) delbart med 4.”

Undersök om detta är sant.

1136 Förklara varför produkten av tre på var­ andra följande heltal alltid är delbar med 6.

54

1137 6

c) Vilka positiva tal är 54 delbart med?

1128 Skriv med hjälp av symbolen { }

mängden av primtal mellan 10 och 30.

1129 Jennie påstår att produkten av två tvåsiffriga

primtal kan ge ett fyrsiffrigt primtal.

Är detta sant? Motivera.

1130 Vilket är det största tvåsiffriga primtalet?

1131 Varför måste ett tal som är delbart med 10 också vara delbart med både 2 och 5?

1132 Dela upp i primfaktorer.

a) 36

1133

b) 68

c) 210

d) 330

48

Antag att du har en korg med 101 äpplen.

Du inser direkt att du inte kan dela upp alla äpplen i 2 eller 5 lika stora högar. Du försöker då att dela upp alla äpplen i 3, 7 och 11 lika stora högar, men du lyckas inte med detta.

Förklara hur du då kan veta att 101 är ett primtal.

1138 Euklides bevisade att antalet primtal är oändligt med ett s k motsägelsebevis: a) Rita av faktorträdet och fyll i de tal

som saknas.

b) Vilka positiva tal är 48 delbart med?

Vi antar t ex att bara primtalen 2, 3, 5 och 7 finns.

Bilda talet n = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 + 1.

Förklara varför n måste vara ytterligare ett primtal och varför vårt antagande är fel.

1.1 HELA TAL

M5000_bla_smakprov.indd 13

2011-04-14 18.04

1.4 Problemlösning En problemlösningsstrategi För att kunna använda dina matematikkunskaper i nya situationer är det viktigt att träna problemlösning.

Hur gör man när man löser ett matematiskt problem?

1 Förstå

Vad ska lösas eller räknas ut?

Var finner jag de tal som krävs?

Kan svaret uppskattas?

3 Genomföra Gör beräkningarna och få fram ett resultat.

Avrunda svaret och välj lämplig enhet.

Presentera en lösning som är lätt att följa.

2 Planera Rita en figur och skriv upp de tal du vet.

Vilka beräkningar kan du göra?

4 Värdera Är svaret rimligt?

Finns det andra sätt att lösa problemet?

Exempel

En lastbil med 3,5 m3 sand på flaket väger 13,4 ton. Med 6,0 m3 sand väger den 18,9 ton. Hur mycket sand finns på bilen då den väger 22,5 ton?

1 Vi ska beräkna volymen sand. Svaret måste vara större än 6,0 m3.

2

Vi beräknar först vad 1 m3 sand väger. Sedan beräknar vi lastbilens vikt.

Först därefter kan vi besvara frågan!

3 1 m3 sand väger

5,5 (18,9 – 13,4) ton = ton = 2,2 ton 2,5 (6,0 – 3,5)

Lastbilen väger (13,4 – 3,5 ∙ 2,2) ton = 5,7 ton

Sandens vikt = (22,5 – 5,7) ton = 16,8 ton Sandens volym =

16,8 3 m = 7,636 … m3 ≈ 7,6 m3 2,2

4 Svar: Då bilen väger 22,5 ton är det 7,6 m3 sand på flaket.

(Svaret verkar vara rimligt!)

M5000_bla_smakprov.indd 14

1.4 problemlösning

2011-04-14 18.04

överslagsräkning

Exempel

När vi ska kontrollera om resultatet av en beräkning är rimligt kan vi använda oss av överslagsräkning. Vi räknar då med avrundade tal (ofta med endast en gällande siffra) så att kontrollräkningen blir enkel.

532,9 ∙ 7,86 ≈ 500 ∙ 8 = 4 000 2,4 · 10 3 2,437 · 10 3 = 0,6 ∙ 107 = 6 000 000 –4 ≈ 4 · 10 –4 3,681 · 10

Utveckla din problemlösningsförmåga med hjälp av följande uppgifter!

1401 Marcus läser en bok som innehåller

420 sidor. Mellan kl 19.45 och 20.15

läser han 14 sidor.

Hur lång tid tar det att läsa hela boken?

1402 Priset på en påse med 3,45 kg äpplen är

62,10 kr.

1403 Från en läckande kran kommer det en

droppe per sekund.

Hur många liter blir det på ett år om vi antar att det går 2 ∙ 104 droppar på 1 liter?

1404 En äppleodlare har gjort 2 600 liter cider

som ska hällas på flaskor som rymmer

2/3 liter.

Hur många flaskor behövs?

Vad väger samma ask med en boll?

1406 Vi uppfinner ett enkelt talsystem som

inte är ett positionssystem. Talsystemet

innehåller tre ”siffror”:

a) Vad är priset på ett äpple som väger 185 g?

b) Hur många kilo äpplen kan man köpa för 100 kr?

1405 En ask med 6 golfbollar väger 522 g.

Samma ask med 4 bollar väger 418 g.

 = 64

¤

=8

◊ =1

a) Skriv talet 89 med så få av våra ”siffror” som möjligt.

b) Beräkna med de nya siffrorna

 /(◊◊)

1407 En bil har hastigheten 120 km/h.

Hur många meter hinner bilen på

en tiondels sekund?

1408 I ett företag arbetar en grupp på 30

personer med ett projekt. Beräknad

tid för projektet är 60 dagar.

När gruppen arbetat i 10 dagar beslutar

företagets ledning att projektet ska bli

klart 20 dagar tidigare än vad som först

bestämdes.

Med hur många personer måste då projektgruppen utökas?

1409 Talet 138 215 030 är en produkt av

tre primtal. Vilka?

1410 Bara en femtedel av de anställda på ett

företag tar bilen till arbetet. Av de som

inte kör bil cyklar 3/8. Resten åker med

kollektivtrafiken.

Hur stor andel av de anställda är det?

1.4 problemlösning

M5000_bla_smakprov.indd 15

2011-04-14 18.04

1416 Ett schackbräde har 64 rutor. Vi lägger

1 riskorn på första rutan, 2 på andra,

4 på tredje, 8 på fjärde osv.

1411 Jonas kör sin bil samma sträcka varje dag.

Sträckan är en mil och Jonas brukar köra

med hastigheten 90 km/h. En dag kör han

sträckan med hastigheten 100 km/h.

Hur många sekunder ”tjänar” Jonas på det?

1412 Placera siffrorna 5, 6, 7, 8 och 9 i rutorna så

att produkten blir så stor som möjligt.

• 1413 Vilket tal är x?

a) Hur många riskorn blir det på sista rutan?

b) Uppskatta vad riskornen på sista rutan väger.

c) Jämför denna rismängd med den sammanlagda världsproduktionen som är ungefär 6 ∙ 108 ton per år.

1417 Tänk på ett valfritt tresiffrigt tal.

2 ∙ 5 x + 3 ∙ 5 x = 2512

Multiplicera talet med 7.

1414 Finn det största heltal x för vilket 3 > 32

Multiplicera resultatet med 11 och sedan med 13.

1415 a) Gäller följande likhet för så kallade kedjebråk?

Vad blir resultatet? Varför?

20

1 1+

1

1 1

=

2 1

1+ 1+ 1 1 1 1+ 1+ 1 1 1 b) Kan du visa det med beräkningar?

1+

+

M5000_bla_smakprov.indd 16

x

1418 En sandstrand är 2 km lång, 30 m bred

och 3 m djup.

Vi antar att ett sandkorn ryms inom ett kubiskt område med sidan 0,2 mm.

Hur många sandkorn finns det på stranden?

1.4 problemlösning

2011-04-14 18.04

Aktivitet

MODELLERA

Hur många och hur länge? tt ”modellera” inom matematiken betyder att A man gör en matematisk modell som är en förenkling av en verklig situation. Man börjar med att göra några antaganden och uppskattningar och använder sedan överslagsberäkningar.

Arbeta i grupp • Skriv ner de uppskattningar och beräkningar ni gör i gruppen.

• Diskutera om svaret är rimligt.

• Jämför till sist era svar och lösningar med ­övriga gruppers.

1 Hur många steg tar du om du går till skolan?

2 Hur många personer får plats på en fotbollsplan?

3 Den spektakulära byggnaden Turning Torso i Malmö är 54 våningar högt. Konstruktionen bygger på nio kuber med fem våningsplan i varje. Varje våningsplan har omkring 400 m² boyta. Det finns 147 lägenheter från kub tre till kub nio.

Hela konstruktionen vrider sig 90 grader på sin väg upp.

Arkitekten Santiago Calatrava är konstnär, skulptör och ingenjör. Han är verksam i Zürich, Paris, New York och Valencia. Han inspireras av naturliga rörelser hos djur och människor.

a) Hur lång tid tar det att gå uppför trapporna till översta våningen? b) Hur lång tid tar det att åka hiss till översta våningen?

4 Många barn får 10 kr för varje tappad tand.

Enligt myten är det en tandfé som betalar.

Hur mycket pengar måste tandfén betala under ett år till barn i Sverige?

5.1 omkrets och area

M5000_bla_smakprov.indd 17

2011-04-14 18.04

Första och sista sidan av tre ur Tema Rädda torsken i Östersjön.

Tema

Rädda torsken i Östersjön Sedan mitten av 1980-talet har torskbestånden i Östersjön minskat drastiskt. Detta kan bero på ett flertal olika faktorer.

För att torsken ska överleva krävs bland annat att vattnet har en viss halt av salt respektive syre och att temperaturen i vattnet inte är för hög. En annan viktig överlevnadsaspekt är att man inte fiskar upp för mycket torsk. Överfiske innebär att man fiskar upp fler fiskar än vad som är hållbart för fiskartens fortlevnad.

Överfiske leder till att det blir svårare för arten att föröka sig. För att undvika att en fiskart i ett visst område blir utfiskad har man infört så kallade fiskekvoter.

Skarpsill i Östersjön ICES råd Beslutat TAC

tusen ton

700 500 300

Den högsta tillåtna fångstmängden för olika fiskarter fördelas mellan EU:s medlemsländer så att varje land får en viss andel av TAC. Det är dessa andelar som kallas fiskekvoter.

100 Figur 1.

Varje år fattar EU:s jordbruks- och fiskeministrar beslut om den högsta tillåtna fångstmängden, TAC (Total Allowable Catch), för de viktigaste fiskebestånden. Besluten är baserade på Internationella havsforskningsrådet (ICES) vetenskapliga råd.

1988

1993

1998

2003

2008

Torsk i Östersjön 250

ICES råd Beslutat TAC

tusen ton

200

förvaltningsplan införd

150 100 50

Figur 2.

M5000_bla_smakprov.indd 18

1988

1993

1998

2003

Diagrammen visar ICES vetenskapliga råd och EU:s ministerråds beslutade TAC (Total Allowable Catch) av skarpsill och torsk i Östersjön under tidsperioden 1987–2010. ICES råd för torsk har varit noll år 1993, 2002, 2005, 2007 och 2008. I övrigt betyder frånvaro av stapel att inget beslut eller råd har getts det året.

2008

5.3 statistik

2011-04-14 18.04

Lös följande uppgifter med hjälp av figur 1 och 2.

1 Hur stort var det beslutade TAC för a) skarpsill år 1990 b) torsk år 2009?

2 a) Hur stort ansåg ICES att TAC för skarpsill skulle vara år 1999? b) Hur stort ansåg ICES att TAC för torsk skulle vara år 2000? c) Erik påstår att det beslutade TAC för skarpsill respektive torsk år 1992 var ungefär lika stora.

Varför har Erik fel? Kan du förklara hur han troligen har tänkt?

3 Julia och Adrian har fått i uppgift att räkna ut hur många procent mindre ICES vetenskapliga råd var jämfört med det beslutade TAC för skarpsill år 1992.

Julia svarar 50 % medan Adrian svarar 100%.

Vem har rätt och hur har var och en tänkt, tror du?

4 Ungefär hur många ton a) strömming fanns det i Östersjön 1994 b) skarpsill fanns det i Östersjön 2003?

5 a) Mellan vilka årtal inträffade den största minskningen av mängden torsk? b) Mellan vilka årtal inträffade den största ökningen av mängden skarpsill? c) Karl tycker att minskningen av torsk respektive ökningen av skarpsill borde ske exakt samtidigt, medan Anna menar att det är naturligt att ökningen av skarpsill är lite förskjuten framåt i tiden jämfört med minskningen av torsk.

Förklara varför Anna tänker rätt.

6 Ludvig anser att medelvärdet respektive medianen för det beslutade TAC för skarpsill mellan åren 1989-1994 är ungefär lika.

Håller du med Ludvig?

7 a) Under vilka år har mängden strömming varit större än mängden skarpsill? b) Under vilka år har mängden torsk varit mindre än mängden skarpsill?

8 a) När var skillnaden i mängden skarpsill och mängden torsk störst? b) När var skillnaden i mängden skarpsill och strömming störst?

5.3 sTATisTik

M5000_bla_smakprov.indd 19

2011-04-14 18.05

Tema

Risker i trafiken

I en rapport från Vägverket ”Trafikskador ur ett genusperspektiv” (2008), kartläggs mäns och kvinnors trafikskador inom olika färdsätt, för att se var risken är störst att skada sig.

I rapporten visas att de flesta män och kvinnor som dör i trafiken gör det i personbil, men risken att omkomma är inte störst i bil. Detta beror på att trafikanter färdas olika långt med olika färdsätt.

I rapporten definieras risk som ”antal omkomna per miljoner kilometer med respektive färdsätt”.

Följande två tabeller är från rapporten.

Tabell 1.

Färdlängd (km) per person och dag uppdelat efter använt färdsätt, redovisat för män och kvinnor.

Färdsätt

Män

Kvinnor

Tabell 2.

Antalet dödade per miljon personkilometer* uppdelat efter färdsätt, redovisat för män och kvinnor.

Färdsätt

Män

Kvinnor

Gång

1,17

1,44

Gång

0,0256

0,0136

Cykel

0,71

0,51

Cykel

0,0262

0,0123

MC

0,27

0,05

MC

0,1022

0,0476

Lokal kollektivtrafik

2,44

3,15

Förare personbil

0,0047

0,0022

26,21

12,07

Passagerare personbil

0,0050

0,0024

6,55

11,65

Förare personbil Passagerare personbil

M5000_bla_smakprov.indd 20

*Om t ex 25 personer färdas 4 km så är antalet personkilometer 100.

5.3 statistik

2011-04-14 18.05

1 a) Hur många kilometer cyklar kvinnor i genomsnitt per dag?

3 a) Med vilket färdsätt är risken störst respektive minst att omkomma för män?

b) Hur många kilometer färdas män i genomsnitt i trafiken per dag?

b) Med vilket färdsätt är risken störst respektive minst att omkomma för kvinnor?

c) För vilket färdsätt är skillnaden i färdlängd störst mellan män och kvinnor?

c) Med vilket färdsätt är skillnaden i risk mellan män och kvinnor minst?

d) Hur stor andel av den totala färdlängden utgör färdsättet ”förare i personbil” för män respektive kvinnor?

4 Är det sant att

e) Hur många kilometer (i genomsnitt) kör en man bil under ett år? f) Hur många kilometer går (i genomsnitt) en kvinna i trafiken under ett år? g) Hur många ”personkilometer” färdas en miljon kvinnor på cykel under ett år?

2 Är det sant att

a) män löper dubbelt så stor risk som kvinnor att omkomma i alla trafikslag? b) kvinnor löper mindre risk som förare i personbil än som passagerare i personbil? c) det är drygt 5 gånger så stor risk för en man att cykla som att köra bil samma sträcka? d) det är drygt 20 gånger så stor risk för en kvinna att köra MC som att köra bil?

a) män kör bil nästan dubbelt så långt som kvinnor?

5 a) Antag att 4 miljoner män kör i genomsnitt 1 000 mil per år som bilförare.

b) kvinnor färdas som bilpassagerare drygt 300 mil mer än män per år?

Hur många av dessa kan befaras omkomma?

c) män färdas ca 50 gånger längre sträcka som personbilsförare än som cyklister?

b) Antag att 4 miljoner kvinnor cyklar i genomsnitt 20 mil per år.

d) kvinnor färdas ca 3 gånger längre sträcka som gångtrafikanter än som cyklister?

Hur många av dessa kan befaras omkomma?

5.3 statistik

M5000_bla_smakprov.indd 21

2011-04-14 18.05

Aktivitet

Sant eller falskt?

Diskutera i par eller grupp. Sant eller falskt?

Motivera svaret!

1 Två rektanglar med samma omkrets kan ha olika area.

2 En triangel med sidorna 4 cm, 5 cm och 6 cm är rätvinklig.

DISKUTERA

7 En miljon kubikcentimeter är mer än en liter.

8 Känner vi till en kvot mellan två sidor i en rätvinklig triangel så kan vi alltid räkna ut triangelns alla vinklar.

9 Om radien i ett klot fördubblas så blir volymen 6 gånger så stor.

3 Om längden på alla sidor i ett rätblock för dubblas, blir volymen 8 gånger större.

10 Mellan påståendet ”Triangeln är rätvinklig och likbent” och påståendet ”Triangelns vinklar är 45°, 45° och 90° ” kan man skriva en ekvivalenspil (⇔).

4 Ett rätblock har lika många sidor som hörn.

11 Om a = (4,4) och b = (5,3) så är |b | > |a |.

5 En liksidig triangel har tre symmetrilinjer.

12 En rektangulärt formad gräsmatta med arean 60 m2 kan ha omkretsen 34 m.

6 Värdet på sin v i en rätvinklig triangel är ­alltid mindre än 1, men värdet på tan v kan vara hur stort som helst.

7 Vinkelsumman i en sexhörning är dubbelt så stor som i en fyrhörning.

M5000_bla_smakprov.indd 22

13 En kvadrat kan beskrivas som

A en rektangel med lika långa sidor eller

B en parallellogram med lika långa sidor och räta vinklar eller

C ett parallelltrapets med lika långa sidor och räta vinklar.

4 geometri

2011-04-14 18.05

En sida av två ur Sammanfattning 4.

Sammanfattning 4 Area, omkrets och volym

Rak cirkulär cylinder

Parallellogram Area = bh

h

Specialfall: Rektangel (räta vinklar) och kvadrat (även alla sidor lika).

Parallelltrapets h

c

h

Totalarean = 2 π rh + 2π r 2 = 2 π r(h + r ) 2 B r 2 π rh + 2π r = 2 π r(h + r )

b

Pyramid

Triangel

a

d

Volym = B · h = π r 2 h Mantelarean = 2 π rh

b

Volym =

a

h

c

B·h 3

h B

b

b

Area =

h(a + b) 2

Area =

b· h 2

Cirkel Omkrets = π · d = 2π r 2 Area = π r = πd 2

4

radie d M v

cirkelbåge

Rak cirkulär kon 2 Volym = Bh = π r h 3

3 Mantelarea = π rs

s

h r

B sektor

r

medelpunktsvinkel

Klot

Cirkelsektor v Bågen, b = · 2πr 360

b v

Volym =

4π r 3 3

r

Area = 4 π r2

r

v b·r · πr2 = Area = 360 2

Enhetsomvandlingar 1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2 1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3 = 109 mm3

Prisma Volym = Bh

Logiska symboler

Specialfall: Rätblock (6 rektanglar som begränsningsytor) och kub (6 kvadrater som begränsningsytor).

h B

Dubbelpilen ⇔ är en ekvivalenspil. Den utläses ”om och endast om”.

Enkelpilen ⇒ är en implikationspil. Den utläses ”medför”.

4 GEOMETRI

M5000_bla_smakprov.indd 23

2011-04-14 18.05

Kan du det här? 4 Moment Geometri och algebra

Begrepp som du ska kunna använda och beskriva Kurva, rät linje och sträcka Polygon, triangel, rektangel, kvadrat, parallellogram och parallelltrapets Cirkel och cirkelsektor Radie och diameter Omkrets och area Prisma, rätblock, kub, cylinder och pyramid Basyta och mantelyta

Du ska ha strategier för att kunna • använda formler för omkrets, area och volym • omvandla mellan olika längdenheter, olika areaenheter och mellan olika volymenheter • ställa upp en formel för area och volym av enkla geometriska figurer • ställa upp och förenkla uttryck för förhållandet mellan två areor eller två volymer.

Kon och klot Volym och begränsningsarea Mätetal, längd-, area- och volymenhet Geometri och bevis

Definition, sats och bevis Implikation och ekvivalens Rak, rät, spetsig och trubbig vinkel Sido-, vertikal- , alternat- och likbelägna vinklar Rätvinklig, likbent och liksidig triangel

• skilja gissningar från välgrundade påståenden • föra, följa och bedöma matematiska resonemang • beräkna vinklar i månghörningar • genomföra några enkla bevis • använda Pythagoras sats.

Bisektris Regelbunden månghörning Likformig Katet och hypotenusa Trigonometri

Motstående och närliggande katet Sinus, cosinus och tangens

Vektorer

Vektor och skalär Resultant och komposant

• beräkna vinklar och längder i rätvinkliga trianglar.

• beräkna summan och differensen av två vektorer • beräkna produkten av en vektor och ett tal • räkna med vektorer i koordinatform

M5000_bla_smakprov.indd 24

4 geometri

2011-04-14 18.05

Diagnos 4 Geometri och algebra

7 Basytan i en cylinder har samma radie r som ett klot. Visa att cylindern och klotet

1 Triangelns area är 72 cm2.

Beräkna höjden.

a) har samma volym då cylinderns höjd är fyra tredjedelar av radien

h 18 cm

2 En klotformad glasskula har diametern 5 cm.

Till hur många kulor räcker ett halvliterspaket med glass?

3 Beräkna sidan i pyramidens kvadratiska basyta.

b) har samma area då cylinderns höjd är densamma som radien.

Trigonometri (cm) 8 Bestäm den sida som markerats med x.

x

960 cm3

6,4

16

12

21

53°

39°

(cm)

4 a) Skriv en formel för det färgade områdets area. b) Hur många procent av kvadratens area är färgad?

2a

2a

x

9 I en rätvinklig triangel är sidorna 16,8 cm, 22,4 cm och 28,0 cm.

Beräkna triangelns vinklar.

10 Bestäm resultantens storlek och riktning.

5 Visa att vinkeln x är 30°. a)

x

Vektorer

Geometri och bevis

(cm)

V

230 N

b)

x 150°

150° v 380 N

2x

2x

x

x

6 Bestäm sidan x.

(cm) x

11,1

11 a = (2,3) och b = (3,–1)

a) Bestäm |b|.

b) Bestäm koordinaterna för 2a – b .

c) Bestäm vinkeln mellan 2a och b .

11,7

Om du behöver repetera delar av kapitlet så finns repetitionsuppgifter på sidan 319.

4 geometri

M5000_bla_smakprov.indd 25

2011-04-14 18.05

Två sidor av tre ur Blandade övningar kapitel 4.

Blandade övningar kapitel 4

Del I:

Utan räknare

8 Hur många procent av rektangeln är färgad?

1 Vilket tal ska stå i stället för

a) 3,5 km =

m

?

b) 200 cm2 =

dm2 2a

2 Hur mycket vatten ryms ungefär i ett dricksglas?

9

200 ml 200 cl 200 dl 200 hl 200 kl

v 43˚

4 Rita en triangel och en rektangel som båda har arean 12 cm2.

5 Bestäm a) sidan x b) tan v c) sin v + cos v

Bas

(NP)

3 Beräkna vinkeln v.

b

h

Triangel B

1,5b

0,6h

a) Hur många procent kortare höjd har triangel B än triangel A?

b) Hur många procent mindre area har triangel B än triangel A?

10 (cm) 4

6

2

6 Du ska öka längd, bredd eller höjd med 1 cm hos detta rätblock. Vilket mått ska du ändra för att volymen ska ändras så lite som möjligt?

(NP) 3 cm

x

Visa att x = 8 cm.

v 8

Höjd

Triangel A

3

x

3a

11 Lös ut a ur formeln A =

h(a + b) 2

12 Skissa en rätvinklig triangel med en vinkel v så att cos v < sin v.

13 Ett klot har volymen B cm3 och arean B cm2.

Bestäm klotets radie och det exakta värdet på B.

4 cm

8 cm

7 a = (3,2) och b = (4,–1) Visa att |a | < |b |.

M5000_bla_smakprov.indd 26

4 geometri

2011-04-14 18.05

Del II:

17 En kraft på 850 N delas upp i två vinkelräta komposanter. Den horisontala komposanten är 340 N.

Med räknare

a) Beräkna storleken av den vertikala komposanten.

14

b) Beräkna vinkeln mellan kraften och den horisontala komposanten.

18 En geometrisk metod för att bestämma ett närmevärde till π bygger på figuren nedan.

Där är en cirkel uppritad med medelpunkt i A. I figuren är också en åttahörning inritad.

Varje ruta i figuren är en kvadrat med sidan 1 cm.

Diametern på en basketboll ska vara mellan 23,8 cm och 24,8 cm.

Hur stor är den maximala arean på en godkänd basketboll?

+A

15 En glass säljs i tre olika former. Priset är detsamma. Vilken ska du välja för att få så mycket glass som möjligt för pengarna?

2,0

8,0

2,9

2,0 2,0

a) Bestäm åttahörningens area.

b) Vilket närmevärde till π får du om du antar att cirkelarean är lika stor som åttahörningens area?

(NP)

(cm)

16 I en affär säljer man måttbeställda mattor.

Priset för en matta är 295 kr/m2 och att sätta kant på mattan kostar 120 kr/m.

a) Vad kostar en rektangulär matta med ­måtten 2,50 m × 3,20 m som skall kantas runt om? b) I mattaffären vill man använda sin dator för att skriva ut räkningar. Då behövs en formel för beräkning av priset på kantade mattor av olika längd och bredd.

Ställ upp en sådan formel.

(NP)

19 Katarina säger: (cm) 5,5

7,0

– Jag kan beräkna triangelns area om jag får veta vinkeln mellan sidorna som jag vet längden på. Hon får vinkeln och löser uppgiften korrekt.

Beskriv hur du skulle göra detta.

(NP)

4 geometri

M5000_bla_smakprov.indd 27

2011-04-14 18.05

Två sidor av tre ur Blandade övningar kapitel 1−4.

Del II:

20 År 2008 var kostnaden för den svenska gymnasieskolan 36 miljarder kr. Antalet elever var 396 000 och personaltätheten var i genomsnitt 8,4 lärare på 100 elever.

Med räknare

7 15 Beräkna 8,65 · 10–2 2,50 · 10

16 71 % av jordens yta är hav. Beräkna hur många kvadratmil jordens landyta är.

Antag att ­jorden har radien 637 mil.

17 För ett snabblån på 2 000 kr är kostnaden 295 kr för 30 dagar.

Vilken årsränta i procent motsvarar detta om kostnaden är lika stor varje månad?

18 Johan, som är 175 cm lång, vill bestämma ­höjden av ett träd. Han mäter då trädets skugga och sin egen skugga enligt figuren.

a) Hur högt är trädet? b) Beräkna triangelns minsta vinkel.

24,0 m

19 Det regnar 10 mm en dag.

Hur många liter vatten får en rektangulär tomt med måtten 40 m × 50 m?

2,0 m

a) Beräkna genomsnittskostnaden per elev.

b) Beräkna antalet lärare på en skola med 940 elever om personaltätheten är densamma som genomsnittet.

21 Utanför en skola finns en rektangulär gräs matta, 250 m lång och 100 m bred. På en idrottslektion har Erik mätt sin steglängd till 75 cm. (m)

250

B

100

A a) Hur många steg tar Erik när han går från A till B längs gräsmattans kant? b) Hur många steg skulle han spara genom att snedda diagonalt från A till B istället för att följa gräsmattans kant?

(NP)

M5000_bla_smakprov.indd 28

4 geometri

2011-04-14 18.05

Utredande uppgifter

22 Lös ekvationen a) x = x + 1 3 4 3 x b) = 7 x–5

Den här typen av uppgifter brukar bedömas efter följande kriterier • vilka matematiska kunskaper du har visat • hur väl du har förklarat ditt arbete och motiverat dina slutsatser

23 Undersök likbenta trianglar som har en vinkel som är 50o . Bestäm övriga vinklar i de trianglar som du hittar. Motivera med figurer eller beräkningar.

(NP)

• hur väl du har redovisat ditt arbete och genomfört dina beräkningar.

28 Figuren visar en likbent rätvinklig triangel.

Två av triangelns sidor är delade i fyra lika stora delar.

24 En rund pizza för en person har diametern 24 cm.

Hur stor ska diametern vara om pizzan ska vara för två personer?

Hur stor del av triangelns area är skuggad?

Motivera ditt svar.

29 En kompis hävdar att formeln för ett h(a + b) också går 2 att använda för andra fyrhörningar.

parallelltrapets area A = 25 Beräkna vinkeln v.

Undersök din kompis påstående. Jämför med kända formler för andra fyrhörningar.

(m) h

10°

v

300

1000

26 En pyramid med kvadratisk basyta har en höjd som är lika med basytans omkrets.

Bestäm bassidans längd samt pyramidens höjd om vi vet att volymen är 100 dm3.

30 • Jämför en cirkel med en kvadrat. Är det sant att cirkeln har störst area i förhållande till omkretsen?

• I naturen finns många klotformade föremål. Jämför ett klot med en kub. Är det sant att klotet har störst volym i förhållande till begränsningsarean?

27 Beräkna längden av diagonalen i det likbenta parallelltrapetset nedan.

10,0 17, 0

x

(cm) 17,0

26, 0

4 GEOMETRi

M5000_bla_smakprov.indd 29

2011-04-14 18.06

SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR Svaren står med svart text. Ledtrådar och lösningar står med blå text.

1

Historik: Från vargben till datorer 1 a) 37 = XXXVII

1116 a) T ex (15 – 1) ∙ (33 + 1)

b) 59 = LIX c) 61 = LXI Ledtråd: Summan av 33 och 28 är 61. d) 108 = CVIII e) 330 = CCCXXX 2 13 Ledtråd: 1101 = 1 ∙ 8 + 1 ∙ 4 + 0 ∙ 2 + 1 ∙ 1 1103 a) 15

c) 9

d) 9

b) 10

1104 a) CBA

b) BADC

1105 a) 52

c) 3 510

1115 Förklaring:

Antalet föremål i 3 rader med

4 i varje är lika med antalet i

4 kolumner med 3 i varje.

3 ∙ 4 = 4 + 4 + 4 = 12

4 ∙ 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

b) 5 920 d) 351 000

1106 5 494 /(41 ∙ 67) = 2 1107 a) 5

b) 42

1108 a) 23

b) 33

b) T ex (500 – 22) ∙ (500 – 56)

1117 a) 28

Ledtråd: a = 12

c) 28

b) 13

1118 a) För a större än 360 Ledtråd: Kvoten har värdet 1 då a = 360.

b) För alla positiva heltal mindre än 10.

1120 11 och 23 är primtal.

9 och 21 är sammansatta tal.

1121 a) 168 och 170 Motivering: Alla jämna heltal är delbara med 2.

b) 165 och 170 Motivering: Alla heltal som slutar på 0 eller 5 är delbara med 5.

1110 a) 78

c) 1 080

d) 3

1123 a)

b) 150

1111 a) 5 ∙ a

24

b) 5 ∙ (a + b)

c) 5 ∙ a ∙ b

d) π ∙ r ∙ s + π r2

6 2

3

1112 a) 49

d) 4 355

b) 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3

b) 49

e) a(b + c) = ab + bc

c) 2, 3, 4, 6, 8 och 12

c) 4 355

1114 a) 2 ∙ (52 + 3) ∙ 4 = 224

b) Ja Ledtråd: Om siffersumman är delbar med 3, så är talet delbart med 3.

d) 20 000

b) 73 000

b) 2 ∙ (52 + 3 ∙ 4) = 74

M5000_bla_smakprov.indd 30

c) 8

b) 135, 235, 640 och 2010

c) 135 och 2010 Ledtråd: Tal som är delbara med 3 och med 5 är också delbara med 15.

1127 a)

54 6

2

9 3

3

3

b) 54 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3

c) 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54

1128 {11,13,17,19,23,29} 1129 Nej det är inte sant.

Motivering:

Det fyrsiffriga talet

är en produkt av två tal och är

därför ett sammansatt tal.

1131 Förklaring:

Eftersom 10 = 2 ∙ 5 så måste ett

tal som är delbart med 10 ha

både 2 och 5 som primfaktorer.

1132 a) 36 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3

1124 a) 6 c) 240

d) 327 är ett sammansatt tal eftersom siffersumman är delbar med 3.

12 2

1113 a) 500

b) 19 är ett primtal.

1130 97

2

c) 592 är ett sammansatt tal eftersom det är ett jämnt tal.

1126 a) 135 och 2010

1122 Nej

Motivering:

6 är ej ett primtal, det kan

skrivas 6 = 3 ∙ 2

1109 a) 2 686 b) 2 686

1125 a) 63 är ett sammansatt tal eftersom siffersumman är delbar med 3.

b) 68 = 2 ∙ 2 ∙ 17

c) 210 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

d) 330 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙11

d) Nej svar, ledtrådar och lösningar

2011-04-14 18.06

1133 a)

48 12

2

2

4 3

2

2

b) 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

1134 Jenny har fel.

Motivering:

T ex talet 18 är delbart med

2 och 6 men inte med 12.

1135 Ja, det är sant.

Motivering:

T ex 12 + 4 = 16. Både 12 och

16 är delbara med 4.

Med algebra:

A + 4 = 4 ∙ b + 4 = (b + 1) ∙ 4 1136 Förklaring:

Av tre på varandra följande tal

är (minst) ett jämnt (delbart

med 2) och ett delbart med 3.

Produkten är därför delbar med 2·3=6 1137 Förklaring: 101 är inte delbart med något av primtalen mindre än 11 (2, 3, 5, 7). Om 101 är ett sammansatt tal så har det två primfaktorer större än 11 vars produkt är 101.

Detta är omöjligt eftersom

11 ∙ 11 = 121.

1138 Förklaring: Talet n = 211 är inte delbart

med 2, 3, 5 eller 7. Vi får vid

alla divisionerna en rest 1.

Det måste då vara ytterligare

ett primtal, vilket motsäger

vårt antagande som alltså

är fel.

1142 a) 7 > 3

d) 0 < 5

b) 5 > –2

e) –2 > –5

c) –2 < 5

f) 0 > –7

1143 a) 5

c) –14

d) –60

b) 17

1144 a) –28

c) 48

d) –20

b) 54

1145 a) –5

c) –6

d) –3

b) 4

1146 a) –19

c) 6

1207 2/3 = 4/6 = 10/15

d) 24

1208 a) 9/24

b) 24/64

1209 a) 6/21

b) 16/56

b) 2

1147 173 och –273 1148 a) +11 ºC

c) +14 ºC

d) –26 ºC

b) –8 ºC

1149 a) 5

d) –5

b) 2

e) –2,5

c) 1

f) –14

1210 b)

13 12 6 = > 22 11 22

1211 Standard.

Motivering:

56 /42 kan t ex förkortas först

med 2 och sedan med 7.

1150 a) T ex (–4) ∙ (–8) = 32

1212 a) 1:4

b) T ex (–4) + (–6) = –10

c) T ex (–4) – (–12) = 8

1213 a) 19/36 b) 17/36

1151 0 1152 a) –14

b) –7

1153 a) Ja, 6 rätt och 4 fel ger 0 poäng.

b) Nej, det krävs 5 frågor, 3 rätt för varje 2 fel om summan ska bli noll.

Antalet frågor måste vara 5, 10, 15 ...

1154 Han har rätt.

Motivering:

Skillnaden mellan två på

varandra följande udda tal är 2.

Skillnaden mellan två udda tal

är därför alltid något tal

multiplicerat med 2, vilket är

ett jämnt tal.

1155 a = 1

Lösning:

a –(–a) = 2a = jämnt tal

Det enda jämna primtalet är 2,

därför måste a vara 1.

1156 Förklaring:

(–3) ∙ (–4) = 12 kan tolkas

”För tre dagar sedan var

glaciären 12 dm längre fram

eftersom den minskar 4 dm

varje dag.”

3 1 1204 a) = 9 3

5 b) 8

1205 a) 1 1206 a) 6 3

b) 4

b)

b) 5:3

1214 a) 11/25

b) I A Motivering: I B är andelen 20/50 = 10/25 1215 Förklaring: 9 8 3 1 = = och

8 24 3 24 1216 Talen är 12 och 16.

Ledtråd:

Summan består av 7 lika stora

delar. Talen är 3 respektive 4 av

dessa delar.

1217 36 cm och 84 cm

Lösning:

2 sidor = halva omkretsen =

= 120 cm = 10 delar

1 del = 12 cm, 3 delar = 36 cm,

7 delar = 84 cm.

1218 a) T ex 5/12 b) T ex 33/56

Ledning:

Förläng bråken så att de får

större nämnare.

1219 13, 14, 15, 16, 17

Ledtråd: 1 12 1 18

= och = 3 36 2 36 35 5∙7 = 66 2 ∙ 3 ∙ 11 Förklaring: 35 kan inte förkortas eftersom 66 täljaren och nämnaren inte har någon gemensam primfaktor.

1220

1

20 1 d) 12 c)

svar, ledtrådar och lösningar

M5000_bla_smakprov.indd 31

2011-04-14 18.06

LENA ALFREDSSON Kajsa Bråting PATRIK ERIXON HANS HEIKNE

Matematik 5000

är ett helt nytt läromedel, anpassat till ämnesplanen Gy2011.

Det täcker alla program på gymnasieskolan och finns nu även för introduktionsprogrammen och komvux.

Matematik 5000 ger, liksom sin föregångare Matematik 4000, eleverna mycket goda förutsättningar att utveckla sina förmågor genom en stor variation av arbetssätt, frågeställningar och uppgiftstyper.

Läromedlet aktiverar och engagerar eleverna samtidigt som det befäster viktiga kunskaper.

Sist men inte minst: det har en tydlig struktur och är lätt att arbeta med.

Välj mellan Röd serie

för serviceinriktade yrkesprogram

Gul serie för tekniskt inriktade yrkesprogram Grön serie för SA, EK, ES, HU samt komvux Blå serie för NA och TE Basböcker för elever som behöver en enklare framställning

För aktuell information om serien och digitalt material, besök www.nok.se/matematik5000

M5000_bla_smakprov.indd 32

2011-04-14 18.06