MATTE
Ingrid Olsson · Margareta Forsbäck
LÄRARBOK 4A Omslag_Eldorado4A_Lararboken.indd 1
2011-05-31 11.25
Eldorado_LB_4A_inledning.indd 2
2011-05-30 14.42
Innehåll Grundtankar i Eldorado åk 4−6
4
Extrauppgifter
164
Komponenter i åk 4
5
Kopieringsunderlag
168
Facit till kopieringsunderlagen
168
Matematiken i Eldorado åk 4−6
10
Förmågor i Lgr 11
10
Entreprenörskap i Lgr 11
11
Innehållet i Eldorado åk 4−6
12
Tidsplan för Eldorado 4 A
17
Undervisning – att skapa förutsättningar för elevers lärande
18
Talstigen, spelplan K 7
Den formella matematiken − ett abstrakt språk
18
Gemensam problemlösning, taluppfattning K 8
Från konkret till abstrakt
18
Utvärdering 1 K 9
Variation – kritiska aspekter
19
Repetition, fördiagnos inför kapitel 2 K 10
Fokus på vägen fram till svaret
19
Kommer du ihåg? 1 K 11
Medvetenhet om sitt eget lärande
19
Symboler, räknesätt och räknelagar K 12
Ställ frågor som kräver tankeproduktion
20
Talkombinationer och generaliseringar K 13
Läsning och läsförståelse
20
Uppställning + K 14
Våga ge sig i kast med annorlunda uppgifter
20
Huvudräkningskort + K 15
Aritmetiken – ett system eller en sifferröra?
21
Subtraktion, uppställning alla steg K 16
Elever är olika och lär olika
21
Uppställning − K 17
Matematik är inte bara att räkna
23
Huvudräkningskort − K 18
Förkunskaper i aritmetik
28
Textuppgifter + och − K 19
Viktigt att träna
29
Utvärdering 2 K 20
Repetition, fördiagnos inför kapitel 1 K 1 Positionskort K 2 Talsystemet, underlag med rutor K 3 Tallinjer utan tal K 4 10-hopp och 100-hopp K 5 Störst tal, spelplan K 6
Miniräknaren som metodiskt hjälpmedel
30
Kommer du ihåg? 2 K 22
Tärningsspel och kortspel
32
Månghörningar K 23
Bedömning, diagnoser och prov
35
Kapitel 1
44
Talsystemet 1–100 000
46
Tallinjer och olika hopp
58
Jämföra och storleksordna tal
66
Kapitel 2
76
Gemensam problemlösning, stickor K 30
Symboler, räknesätt och räknelagar
78
Utvärdering 3 K 31
Generalisering av talkombinationer
86
Repetition, fördiagnos inför kapitel 4 K 32
Räknemetoder, addition och subtraktion
92
Kommer du ihåg? 3 K 33
Repetition, fördiagnos inför kapitel 3 K 21
Tangram K 24 Geobräden K 25 Prickpapper K 26 Egenskapsspel K 27 Trianglar K 28 Triangelpapper K 29
Kapitel 3
114
Räknehändelser, alla räknesätt K 34
Tvådimensionella figurer
116
Textuppgifter, flera räknesätt K 35
Vinklar
130
Problemlösningsstrategier K 36
Symmetri
135
Utvärdering 4 K 37
Kapitel 4
142
Räknehändelser, textuppgifter
144
Problemlösningsstrategier
155
Eldorado_LB_4A_inledning.indd 3
Repetition, fördiagnos inför kapitel 1, 4 B K 38 Kommer du ihåg? 4 K 39 Spelplan till Fyra i rad K 40 Läxa 1−13 K 41−K 53
2011-05-30 14.42
Grundtankar i Eldorado åk 4−6 Undervisning i fokus i Lgr 11
Språkets betydelse
Du är den som kan lära eleverna strukturer och bra strategier. Den elev som har minst egen drivkraft behöver mest lärarstöd. Men de som har kommit långt behöver också undervisning för att behålla intresset och lära sig ännu mer. I Eldorado kan alla elever hållas samlade inom varje kapitel och klassen kan alltså arbeta tillsammans med en gemensam grundkurs och sedan välja uppgifter på lämplig nivå.
Språket har en viktig roll i matematikundervisningen, eftersom eleverna utvecklar begreppsförståelse genom att kommunicera och använda sitt språk. Detta innebär att aktiviteter och uppgifter som eleverna gör i par eller i smågrupper har stor betydelse för deras begreppsutveckling i matematik.
Kunskapskrav för åk 6
Eleverna ska utveckla kunskap som håller för fortsatt lärande. Genom laborativa aktiviteter får de möjlighet att skapa egna inre bilder, t ex för positionssystemet. Eleverna ska också kunna se mönster och strukturer i matematiken, se samband mellan räknesätten, mellan uppgifter inom olika talområden, samt se hur olika delar av matematiken kan kopplas till varandra. Ju mer eleverna lär sig, ju viktigare blir det att koppla tillbaka till tidigare kunskap och kunna utnyttja allt som de redan kan, samt att generalisera sina kunskaper. Dessa grunder ger eleverna möjlighet att ”se” i stället för att ”räkna utan att reflektera”.
En undervisning som utgår från elevernas behov och som bygger på arbetssätt och aktiviteter i Eldorado ger möjligheter för alla elever att klara kraven för åk 6 och utveckla de förmågor som kursplanen anger. Var och en efter sina förutsättningar.
Förståelse Förståelse är grunden för att matematiken ska kännas meningsfull och intressant. Förståelse är också grunden för allt lärande. Därför krävs att du samtalar med eleverna så att du vet att de verkligen förstår vad de gör.
Lärandemål och utvärdering I Eldorado ska eleverna bli medvetna om sin egen lärandeprocess. Varje kapitel har därför ett tydligt innehåll som presenteras på introduktionssidan och som utvärderas i slutet. På så sätt hoppas vi att lärandet ska stå i centrum under matematiklektionerna.
Repetition Repetition finns i varje kapitel, dels för att hålla tidigare inlärda kunskaper aktuella, dels som fördiagnos inför nästa kapitel.
Bedömning Bedömning av elevernas kunskaper är viktig och sker genom att observera elevernas arbete, kontinuerlig elevuppföljning, minutare, diagnoser, elevernas självvärdering och prov.
4
Eldorado 4 A Lärarbok
Eldorado_LB_4A_inledning.indd 4
Kunskap som håller
Problemlösning och textuppgifter I varje kapitel finns problemlösning och textuppgifter. Genom att arbeta med problemlösning och successivt bygga upp en progression i att hantera problem, är eleverna väl rustade att möta utmaningar, både i och utanför skolan.
Automatisera kunskaper Kunskaper som talkamrater och multiplikations- och divisionstabeller ska vara automatiserade med förståelse, så att eleverna kan generalisera dem att gälla inom andra talområden. Dessa talfakta behöver ofta repeteras. Du är elevernas professionella mattelärare. Lycka till med din matematikundervisning! Ingrid och Margareta
GRUNDTANKAR I ELDORADO ÅK 4−6
2011-05-30 14.42
Komponenter Grundbok Det finns två grundböcker per läsår och tillsammans tar de upp det centrala innehållet för åk 4−6 i kursplanen i Lgr 11. Aktiviteter och uppgifter i grundböckerna hjälper läraren med undervisningen, vilken ska ge eleverna förutsättningar att klara kunskapskraven för åk 6 och utveckla förmågorna som står i kursplanen.
MATTE
E MATTE
son · Margareta Forsbäck
Olsson · Forsbäck
O grundlägger en god matematisk förståelse på m väcker lust för matematik. Eleverna får upptäcka ken i en undervisning som synliggör begrepp, och samband. apitel får eleverna utforska ett lärandemål i taget, d grundkursen och sedan välja uppgifter på två nivåer – blå sidor på samma nivå som grundkursen sidor med mer utmaningar. Kapitlet avslutas med g, fördiagnos inför nästa kapitel, repetition samt g med klurig problemlösning. oken tydliggörs kopplingen till kursplanens och centrala innehåll samt den matematikdidaktik el bygger på. Här finns handledning med rer till varje elevsida och kopieringsunderlag där at läxor och prov ingår.
O är ett läromedel i matematik med genomtänkt n och samma författare för FK–åk 6. Åk 4 består av: Facit 4 A
Lärarbok 4 B
Facit 4 B
Grundbok 4 A
Lärarbok 4 A
www.nok.se/eldorado
Ingrid Olsson Margareta Forsbäck
ISBN 978-91-27-42020-5
Det finns fyra kapitel i varje elevbok med den här strukturen.
4A
9 789127 420205
2011-04-28 08.09
Kapitel 1 Innehåll: Område A Område B Område C
Utvärdering Område A
Område B
T ex: Talsystemet 1–100 000
Repetition
Område C
T ex: Tallinjer och olika hopp
T ex: Jämföra och storleksordna tal
Hur bra kan eleverna innehållet i kapitlet?
Fördiagnos. Kommer du ihåg?
Kul med matte
Problemlösning, utmaningar.
Varje område ser ut så här. Blå sidor Samma nivå som grundkursen.
Utforska
Grundkurs
Röda sidor Utforska det nya området.
Alla arbetar med området.
Lite mer utmaningar.
Här får eleverna själva välja uppgifter som de tycker är lagom svåra. Ingen måste göra alla uppgifter.
Sist i boken finns de här sidorna. Extrauppgifter
Ett uppslag till varje kapitel.
KOMPONENTER
Eldorado_LB_4A_inledning.indd 5
Viktigt att kunna
Register
Metoder, regler, lagar och termer. Kursplan Lgr 11.
Sidhänvisningar till matteord.
Eldorado 4 A Lärarbok
5 2011-05-30 14.42
Kapitel
Kapitelintroduktion
1
Varje kapitel inleds med ett ”introuppslag”, som ska fånga elevernas intresse för kapitlets innehåll med hjälp av bilder, uppgifter och frågor. Här står vilka olika områden som kapitlet behandlar.
Talsystemet 1– 100 000 Tallinjer och olika hopp Jämföra och storleksordna tal
1 202 + 2 251 = 3 453 I vår kultur använder vi positionssystem och arabiska siffror.
Vilka likheter och skillnader ser du när du jämför de olika uträkningarna av 1 202 + 2 251?
Områden Varje kapitel innehåller 2–4 områden. I den egyptiska kulturen användes en symbol för varje talsort.
I den hinduiska kulturen användes fåror för varje talsort och lösa stenar.
6
7
Eldorado4A.indb 6
2011-04-20 18.42
Eldorado4A.indb 7
2011-04-20 18.42
Talsystemet 1– 100 000 Utforska A Hur många stickor tror du att det är i högen? Skriv upp ditt förslag. Vem kom närmast?
Utforska Varje område startar med sidan Utforska. Eleverna arbetar i par eller i grupp med aktiviteter och frågeställningar kring det nya området kopplat till tidigare kunskaper och erfarenheter.
B Du behöver stickor och gummisnoddar. Gör 15 tiobuntar. Sätt ihop 10 av dem till en hundrabunt.
Grundkurs Böckerna är upplagda så att eleverna kan arbeta inom samma område. Efter sidan Utforska arbetar alla elever med grundkursen. Om du vill förenkla för några elever så låt dem använda konkret material och gör gärna uppgifterna tillsammans med den gruppen.
C Använd dina buntar och stickor för att visa olika tal. Skriv talen med siffror och bokstäver på svenska och engelska. T ex
52 135
fem – tio – två ett – hundra – tre – ttio – fem
fiftytwo onehundredthirtyfive
Förklara med hjälp av stickorna vad varje siffra i talet betyder. Förklara hur räkneorden är uppbyggda.
D Kan ni i klassen gemensamt visa tusental med era buntar och stickor? Hur då?
8
KAPITEL 1 ! Talsystemet 1– 100 000
Eldorado4A.indb 8
Blå
Avsnitt Blå och Röd
Röd
36 Skriv talen med siffror på talsortsstreck. __ __ __ __ 10
a)
2011-04-20 18.42
1000 000 11000
100 100
10
1
10
10
1
1 1
1
b)
000 11000 000 11000
e)
000 11000
c)
100 100 100
1000
100 100 100 100
10
100 100
1
49 a)
10
1
10
100 100 100
10 000
10
10
1
b)
10000 000 10
1
e)
10000 000 10
1000
1
100 100 100
10
1
d)
1000
10
10
1
1 1
1
1
f)
1
1000 000 11000
d)
37 Visa talen med pengar. Rita. a) 342
b) 1 531
c) 2 100
d) 3 004
c) 5 037
d) 7 043
38 Skriv talen i utvecklad form. a) 524
b) 2 385
Eleverna väljer sedan själva (med stöd av dig) om de ska arbeta med avsnitt Blå eller Röd för att på lämplig nivå träna och befästa sina kunskaper. De gör alltså ingen diagnos innan de väljer. Eleverna måste bli medvetna om sina kunskaper och träna sig i att arbeta på rätt nivå, vilken kan variera mellan olika moment.
Skriv talen. Rita gärna talsortsstreck.
e) 9 004
10
10
1000
c)
100 100
f)
10000 000 10 10 000
10 000
10
10
10
10
50 a)
b)
c)
d)
51 a)
b)
c)
d)
c) 3 400
d) 10 256
000 11000
1
Skriv talen på talsortsstreck. 39 a) 8 000 + 400 + 60 + 2
b) 7 000 + 400
c) 5 000 + 100 + 4
d) 3 000 + 50
40 a)
b)
c)
52 Rita fåror och stenar för talen. e) 6 000 + 2
a) 1 300
d)
b) 4 230
e) 32 085
53 Rita och pröva vilka tal du kan lägga om du har a) fyra fåror och högst två stenar. b) fyra fåror och högst tre stenar.
e)
f)
g)
54 Skriv talen.
h)
a) 30 000 + 5 000 + 20 + 3 c) 2 000 + 30 + 4
16
18
KAPITEL 1 ! Talsystemet 1– 100 000
Eldorado4A.indb 16
2011-04-20 18.43
b) 50 000 + 2 000 + 300
d) 80 000 + 40 + 9
e) 10 000 + 700
KAPITEL 1 ! Talsystemet 1– 100 000
Eldorado4A.indb 18
2011-04-20 18.43
Om en elev börjat arbeta med avsnitt Blå och känner att det är alltför lätt, så väljer eleven i stället lämpliga uppgifter i avsnitt Röd. En elev som valt avsnitt Röd, men tycker att uppgifterna är för svåra, kan på motsvarande sätt i stället välja uppgifter i avsnitt Blå. Elever som brukar starta med de röda sidorna bör först titta igenom uppgifterna på de blå sidorna för att avgöra om det är något där som de behöver träna på först. Tänk på att ingen elev ska göra både uppgifterna i Blå och i Röd och att alla elever inte hinner göra allt i respektive avsnitt. Se dessa båda avsnitt som en uppgiftsbank, med vilken du avgör hur lång tid klassen ska arbeta. Elever som räknat klart avsnitt Röd kan fortsätta med Extrauppgifterna (till det aktuella kapitlet eller till tidigare kapitel). Det är stora fördelar med att dela upp ett kapitel i områden på detta sätt. Eleverna får möjlighet att koncentrera sig på ett mindre område i taget och inte blanda ihop flera nya begrepp. För läraren blir undervisningen enklare när alla elever arbetar med samma område. Eleverna hålls samman inom området och kapitlet, men innehållet differentieras.
6
Eldorado 4 A Lärarbok
Eldorado_LB_4A_inledning.indd 6
KOMPONENTER
2011-05-30 14.42
Utvärdering
Utvärdering 173 Rätt eller fel? Du ska kunna motivera dina val. a) Ett fyrsiffrigt tal är alltid större än ett tresiffrigt. b) Det tal som ligger längst till höger på en tallinje är alltid störst. c) 6 010 – 100 = 5 990. d) I vårt talsystem behöver vi bara tio olika siffror. e) 3 001 < 2 999 174 1 X 2
1
X
a) En ny cykel kan kosta ungefär
500 kr
b) 6 870 < ______ < 7 010
6 799
c)
↓
2
1 000 kr 4 000 kr 6 901
7 119
300
400
500
d) 3 985, 3 995, ______
4 005
4 015
4 105
e) ______, 7 000, 7 001
6 989
6 990
6 999
|
200
|
|
|
|
1 000
|
►
175 Tänk till och förklara a) Hur avgör du vilket tal som är störst, 4 001 eller 4 010? b) Varför skrivs talet efter 799 som 800? c) Du ska rita en tallinje och markera talen 450 och 1 250. Vad är viktigt att tänka på? 176 Matematiken i kapitlet Är du säker, ganska säker eller osäker på matematiken i kapitlet? a) Talsystemet 1–100 000:
• 1–1 000
b) Tallinjer och olika hopp:
• Tallinjen
c) Jämföra och storleksordna tal: • 1–1 000
• 1–10 000 • 1–100 000 • 1-hopp
• 10-hopp
• 1–10 000 • 1–100 000
KAPITEL 1 ! Utvärdering
Eldorado4A.indb 41
Repetition
A 4+8 b) 9 – 3
c) 4 + 5
d) 10 – 3
178 a) 8 + 5
b) 9 + 7
c) 6 + 7
d) 8 + 8
179 a) 15 – 7
b) 14 – 9
c) 18 – 9
d) 13 – 4
180 a) 70 + 70
b) 600 + 800
c) 7 000 – 4 000 d) 10 000 – 6 000
181 a) 120 – 50
b) 1 300 – 700
c) 1 400 – 500
182 a) 4 ∙ 8 = 8 ∙ ___
b) 50 + 30 = ___ + 50 b) 78 + 5
A 24 – 8
A 2 ∙ 20
c) 27 + 12 = 12 + ___ d) 328 + 541
b) 51 – 4
c) 62 – 58
d) 785 – 234
c) 472 – 138
d) 826 – 378
188 Julia har 250 poäng. Hon får 130 poäng till. Hur många poäng fattas för att hon ska ha 500 poäng? Visa hur du löser uppgiften.
42
Repetition
D 8 4
C 8 + 24
Uppgifterna på vänstersidan av repetitionsuppslaget i slutet av varje kapitel är en fördiagnos till det kapitel som följer. Resultatet från den visar om några elever behöver träna mer på grunderna innan ni börjar med nästa kapitel. Du ser också på vilken nivå som du bör lägga introduktionen och om den passar bäst att göra i grupper eller i helklass.
D 24 8
B 20 2
C 20 – 2 ∙ 8
A
B
C
D
E
F
D 20 – 8 2
1 1 2 2 4 8
193 Beräkna tidsdifferenserna.
187 Ställ upp och räkna ut. b) 67 + 486 + 258
B 8 ∙ 24
192 Till vilka figurer passar bråken?
186 Visa hur du räknar ut 74 – 38.
a) 326 + 248 + 29
C 8–4
191 Sofia köper 2 påsar för 8 kr styck. Hur mycket får hon tillbaka på en tjugokronorssedel?
d) 10 000 – 8 000
c) 450 + 325
B 4∙8
190 Elias betalar 24 kr för sina påsar med klistermärken. Varje påse kostar 8 kr. Hur många påsar köper han?
184 Visa hur du räknar ut 39 + 46. 185 a) 87 – 51
2011-04-20 18.44
189 En påse klistermärken kostar 8 kr. Hur mycket kostar 4 påsar?
177 a) 5 + 3
183 a) 34 + 25
41
a)
b)
d) 15.50 till 16.20
e) 8.40 till 9.15
c) f) 19.55 till 20.35
194 a) 7 ∙ 4
b) 6 ∙ 8
c) 9 ∙ 4
d)
195 a) 3 ∙ 30
b) 4 ∙ 200
c) 3 ∙ 2 000
d)
196 a) 3 ∙ 12
b) 3 ∙ 16
c) 3 · 21
d)
KAPITEL 1 ! Repetition – fördiagnos inför nästa kapitel
24 3 80 4
e)
69 3
56 7 e) 600 3 e) 840 4
KAPITEL 1 ! Repetition – kommer du ihåg?
Eldorado4A.indb 42
2011-04-20 18.44
På utvärderingssidan i slutet av varje kapitel utvärderar eleverna sina kunskaper om innehållet i kapitlets olika områden. Avsikten är att eleverna ska bli medvetna om sitt lärande och reflektera över vad de faktiskt kan och vad de behöver öva mer på. Det ger även dig en god bild över vilken kvalitet eleverna har på sina kunskaper och hur de själva upplever vad de kan. Utvärderingssidan finns även som kopieringsunderlag för att underlätta för dig. Elever som arbetat med Eldorado för åk 1−3 är redan från åk 1 vana vid att utvärdera sina kunskaper.
Eldorado4A.indb 43
43
2011-04-20 18.44
Högersidan innehåller uppgifter som eleverna tidigare mött i Eldorado, eftersom kunskap måste hållas vid liv. Observera vilka elever som klarar dessa sidor utan problem och vilka som behöver träna mer. Repetitionssidorna finns även som kopieringsunderlag i lärarboken.
Kul med matte Kul med matte
Sist i varje kapitel finns ett uppslag med problemlösning. Uppgifterna på vänstersidan har ofta givna svarsalternativ, A, B, C eller D, att välja mellan. Här är det en fördel om eleverna först tänker själva och sedan arbetar i par och diskuterar sina lösningsförslag, för att till sist presentera lösningarna för varandra.
LEK MED TAL
Ser Albins papper likadant ut som Sofias när han viker ut det? Pröva. Vik ett papper på mitten. Klipp genom det dubbla papperet.
• Skriv ett valfritt fyrsiffrigt tal, t ex 4 905. Gör det största möjliga talet med siffrorna. Det är 9 540.
Gör det minsta möjliga talet. Det är 0 459.
Hur ser papperet till vänster ut när man viker ut det? Ställ upp och beräkna skillnaden: 1
A
B
C
D • Fortsätt på samma sätt med de nya talen.
2
A
B
C
D • Elias fortsätter att räkna skillnader. Vad händer vid den femte uppställningen? Räkna själv och se vad han upptäckte.
3
A
B
C
D
• Välj ett eget fyrsiffrigt tal och gör på samma sätt. Hur många uppställningar behöver du göra? Försök att hitta tal som kräver så få uppställningar som möjligt. Försök att hitta tal som kräver många uppställningar.
4
A
B
C
D
• Gör på liknande sätt med ett tresiffrigt tal. Vad händer då?
Gör liknande uppgifter åt varandra.
84
KAPITEL 2 ! Kul med matte
Eldorado4A.indb 84
Facit
• Gör på liknande sätt med ett tvåsiffrigt tal. Vad händer då?
Facit till grundboken finns i ett separat häfte. KAPITEL 2 ! Kul med matte
2011-04-20 18.47
Eldorado4A.indb 85
85
2011-04-20 18.47
Tidsplan Ett förslag till tidsplan för 4A finns på s 17.
KOMPONENTER
Eldorado_LB_4A_inledning.indd 7
Eldorado 4 A Lärarbok
7 2011-05-30 14.42
Lärarbok med kopieringsunderlag Här i lärarboken finns översikter över innehållet i Eldorado 4−6 kopplat till kursplanens centrala innehåll för åk 4−6. I den inledande delen finns även förslag på hur du kan diagnostisera dina elever. I slutet av lärarboken finns kopieringsunderlag med bland annat läxor. Varje kapitel i grundboken har ett eget kapitel i lärarboken. Här finns först ett uppslag med en översikt över innehållet på sidorna i grundboken kopplade till kapitlets olika områden.
Här står också till vilka sidor det finns kopieringsunderlag och läxor. Förslag på läxor står endast här i översikten.
Kapitel 1 Innehåll
Grundbok
Egyptiska talsymboler, fåror och stenar och vårt talsystem.
K 1 Repetition, fördiagnos inför kapitel 1
Minutare
6–7 Introsidor
Talsystemet 1–100 000 Tio är bas, växla på tio. Symboler för varje talsort. Talsortssymboler kan stå i oordning. Olika tiobasmaterial. Hantera talsorter.
Ett föremål för alla talsorter. Positionen avgör värdet. Nollan. Talsystemet. Tusen, miljon, miljard och antalet nollor. Siffror i stället för stenar. Positionen avgör siffrornas värde. Utvecklad form. Bedöma tals storlek.
Tallinjer och olika hopp
Bestämma avstånden. Bestämma tal på olika tallinjer. Talens grannar, tresiffriga tal.
8 Utforska 9–11 Tiobassystemet 12–13 Positionen avgör värdet Läxa 1 14–15 Talsystemet K 2 Positionskort K 3 Talsystemet, rutor 16–17 Blå 18–21 Röd
Grundbok
Minutare
Jämföra och storleksordna tal
33 Utforska
Skriv eller säg två tal. Eleverna jämför och visar > eller <.
Symbolerna > och <. Jämföra två tal. Storleksordna flera tal. Bilda största och minsta talet av givna siffror. Skriva tal i givna intervaller.
Visa tal med tiobasmaterial och egyptiska symboler. ”Hur många hundratal? Tusental?” Eleverna visar rätt siffra eller visar talen. Säg tal, t ex ”femtusenåttio”. Eleverna visar talen.
34–36 Jämföra tals storlek, bilda största och minsta talet K 6 Störst tal, spelplan
Skriv fyra siffror. Eleverna visar det största/minsta talet.
K 7 Talstigen, spelplan K 8 Gemensam problemlösning 37–38 Blå 39–40 Röd Läxa 4
Utvärdering
Säg t ex ”åtta tusental, sju tiotal”. Eleverna visar talet.
41 Utvärdering av kapitlet K 9 Utvärdering 1
Repetition
Läxa 2
42 Fördiagnos, kapitel 2 Kommer du ihåg? 1 43 Kommer du ihåg? K 10 Repetition, fördiagnos inför kapitel 2
22 Utforska 23 Tallinjer, talens grannar K 4 Tallinjer
Övergångar och växlingar vid hundratal och tusental. Talens grannar, stora tal. Vardagsanknytning.
24–25 Övergångar, växlingar
10- och 100-hopp framåt och bakåt. Fortsätta talföljder, regler. Egna talföljder med regler. Textuppgifter.
28–29 Blå
44
Skriv 52 170. ”Vilken siffra är tusental? Tiotal?” Eleverna visar rätt siffra.
Innehåll
26–27 10-hopp och 100-hopp K 5 10-hopp och 100-hopp
30–32 Röd Läxa 3
Peka på ett tal på tallinjen. Eleverna visar talet.
Kul med matte
Visa ett hopp på tallinjen, framåt eller bakåt. Eleverna visar hoppets längd eller var nästa hopp landar. Skriv t ex 5 999 ______ eller ______ 4 000. Eleverna visar talens granne.
44 Logiskt tänkande, jämvikt, ekvationstänkande 45 Mayakulturens talsymboler med basen 20
Förslag till tidsplan Arbetet med kapitel 1 bör ta ca 5 veckor.
Säg t ex ”fyratusennittionio.” Eleverna visar grannen. Skriv talföljder. Eleverna visar regeln.
Eldorado 4 A Lärarbok
Här kan du läsa vilka områden som kapitlet behandlar, samt vilka delmål som eleverna ska arbeta med.
KAPITEL 1
KAPITEL 1
Eldorado 4 A Lärarbok
45
I varje kapitelöversikt finns exempel på lämpliga minutare, aktiviteter som kan användas på olika sätt. Du ställer en fråga och alla svarar samtidigt genom att visa svaret med t ex sifferkort eller genom att antingen skriva svaret på små kort, skriva med vattenlösliga tuschpennor på kraftigt papper som laminerats eller skriva på små plastskivor. När eleverna visar sina svar ser du vilka som vet svaret direkt, vilka som behöver tänka lite mer, vilka som sneglar på kamraternas svar och vilka som inte kan alls. Minutare kan användas som snabbdiagnos på elevernas kunnande efter en genomgång i slutet på lektionen, som repetition eller som fördiagnos inför något nytt. Men minutare kan även användas för att göra ett litet avbrott när eleverna arbetar självständigt och ser trötta ut. Då vaknar alla till och orkar arbeta lite mer.
8
Eldorado 4 A Lärarbok
Eldorado_LB_4A_inledning.indd 8
KOMPONENTER
2011-05-30 14.42
Till varje nytt område finns här i lärarboken ett utdrag från kursplanens centrala innehåll för åk 4−6, samt vår tolkning av den texten och vad det kan innebära för åk 4. Sedan följer motsvarande text från det centrala innehållet för åk 1−3, vilket visar de förkunskaper vi måste utgå ifrån att eleverna har. Även innehåll i Eldorado 1−3 tas upp inför det aktuella området. Dessutom finns kommentarer till den fördiagnos som eleverna ska göra. Därefter följer en beskrivning av det område eleverna ska arbeta med. Vi lägger fokus på vad eleverna måste kunna och hur de ska kunna detta, beskriver missuppfattningar och där det är lämpligt ger vi en historisk återblick. Till varje sida eller uppslag i grundboken finns kommentarer i lärarboken med följande struktur: Förslag till hur du kan introducera innehållet på sidan och vad eleverna ska lära sig.
Lärandemål, för att du ska kunna synliggöra för dina elever vad de ska lära sig på just den här sidan.
s 23
69 Hur mycket väger varje djur?
Tallinjer och olika hopp a)
Bestämma avstånden på tallinjen.
b)
↓
c)
↓
d)
↓
Vikt kg
↓
►
0
Bestämma tal på olika tallinjer.
2 000
4 000
6 000
70 Vilket tal pekar pilarna på?
Talens grannar, tresiffriga tal.
A ↓
0
Bestämma avstånden på tallinje: Titta t ex på tallinjen i uppgift 69 på IST eller OH-projektor. Där finns streck med tre olika längder. ”Vilka streck bör man titta på först? Vad får man veta? Vad kan då de kort aste 69 Hur mycket väger varje djur? strecken visa?”
100
B ↓
200
C ↓
300
400
500
D ↓
600
700
800
900
►
1 000
Bild på sidan i grundboken.
71 Skriv talet närmast efter: a) 469 ____
b) 789 ____
c) 899 ____
b) ____ 580
c) ____ 800
72 Skriv talet närmast före: a) ____ 320 Vilka tal pekar pilarna på? 73
a)
Bestämma tal på olika tallinjer: När man bestämt avb) c) d) Vikt kg ↓ ↓ ↓ vad alla olika streck ↓ ståndens innebörd och står för, ► kan man bestämma vilka tal som 4pilarna pekar på.6 000 0 2 000 000 A ↓
100
B ↓
200
C ↓
300
400
500
600
D ↓
700
800
900
B ↓
C ↓
2 000
4 000
D ↓
E ↓
6 000
F ↓ ►
8 000
10 000
74 A ↓
70 Vilket tal pekar pilarna på?
0
A ↓
0
0
B ↓
10 000
C ↓
30 000
D ↓
50 000
E ↓
F ↓
80 000
►
100 000
Kommentarer till specifika uppgifter.
►
1 000 KAPITEL 1 ! Tallinjer och olika hopp
23
71 Skriv talet närmast efter:
Bestäm talet A i uppgift 70. Strecken mellan hundratalb) 789 ____ c) 899 ____ a) 469 ____ en står för 50, 150, 250 osv. Avståndet mellan de kortaste strecken är före: alltså 10. A ligger på strecket före 150 72 Skriv talet närmast och amåste alltså varab)140. Talet B ligger på800 strecket före ) ____ 320 ____ 580 c) ____ 300 och måste alltså vara 290. Här har man stor nytta Vilka tal pekar pilarna på? av att behärska talramsor som 290, 300, 310. . . och 73 bakåt 510, 500, 490. . . (Hopp med 10 och 100 kommer A B C D E F ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ på s 26–27.) ►
0
2 000
4 000
6 000
8 000
10 000
Talens grannar, tresiffriga tal: Använd samma tallinje 74 visa att man kan dela in sträckan mellan 40 och 50 och A B C D E F ↓ ↓ ↓ i tio delar ↓för talen↓ 41, 42, 43. . . 48,↓49. Gör motsva► 0 10 000 30 000 50 000tal kommer 80 000 50? 150? 100 000 rande vid 140–150. ”Vilket före 250? 350? osv.” Samtala om att 50, 49, 48 osv blir desamma oavsett vilket hundratal det handlar om, t ex 950, 949 eller 850, 849. Man kan alltså generalisera23 räkneramsan 1–99 på samtliga hundratal och man kan samtidigt även se det som ett mönster eller en talföljd, 49, 149, 249, 349 osv. Det är viktigt att eleverna ser att det är struktur i aritmetiken.
Eldorado4A.indb 23
2011-04-20 18.43
Elevsidor Uppgift 71 och 72: Eleverna kan titta på tallinjen ovanför, där alla tiotal finns med i området 0–1 000.
Förenkla
Arbeta med tallinjer tillsammans med den grupp som behöver lite mer lärarhjälp.
Observera
Hur förklarar eleverna hur de bestämmer tal på olika tallinjer? Kan eleverna förklara hur de kan generalisera vid talens grannar?
KAPITEL 1 ! Tallinjer och olika hopp
Eldorado4A.indb 23
2011-04-20 18.43
Förenkla och Utmana, ger förslag på hur du kan göra uppgifterna enklare eller mer utmanande för de elever som behöver det.
Material och kopieringsunderlag
Tallinje 0–1 000, klädlina, klädnypor och post-it-lappar. K 4 Tallinjer
Observera, tipsar om vad du bör uppmärksamma när eleverna arbetar. Det kan gälla förståelse av något eller att upptäcka missuppfattningar.
Visa på liknande sätt de ”talgrannar” som kommer ett steg efter, t ex 29, 30 och 129, 130 osv.
Material och kopieringsunderlag, beskriver vilket material och vilka kopieringsunderlag som kan behövas. KAPITEL 1
KOMPONENTER
Eldorado_LB_4A_inledning.indd 9
Eldorado 4 A Lärarbok
61
Eldorado 4 A Lärarbok
9 2011-05-30 14.42
Kapitel 1 Innehåll
Grundbok
Egyptiska talsymboler, fåror och stenar och vårt talsystem.
K 1 Repetition, fördiagnos inför kapitel 1
Minutare
6–7 Introsidor
Talsystemet 1–100 000 Tio är bas, växla på tio. Symboler för varje talsort. Talsortssymboler kan stå i oordning. Olika tiobasmaterial. Hantera talsorter.
Ett föremål för alla talsorter. Positionen avgör värdet. Nollan. Talsystemet. Tusen, miljon, miljard och antalet nollor. Siffror i stället för stenar. Positionen avgör siffrornas värde. Utvecklad form. Bedöma tals storlek.
Tallinjer och olika hopp
Bestämma avstånden. Bestämma tal på olika tallinjer. Talens grannar, tresiffriga tal.
8 Utforska 9–11 Tiobassystemet 12–13 Positionen avgör värdet Läxa 1 14–15 Talsystemet K 2 Positionskort K 3 Talsystemet, rutor 16–17 Blå 18–21 Röd
22 Utforska 23 Tallinjer, talens grannar K 4 Tallinjer 24–25 Övergångar, växlingar
10- och 100-hopp framåt och bakåt. Fortsätta talföljder, regler. Egna talföljder med regler. Textuppgifter.
28–29 Blå
Eldorado 4 A Lärarbok
Eldorado_LB_4A_kap1.indd 44
Visa tal med tiobasmaterial och egyptiska symboler. ”Hur många hundratal? Tusental?” Eleverna visar rätt siffra eller visar talen. Säg tal, t ex ”femtusenåttio”. Eleverna visar talen. Säg t ex ”åtta tusental, sju tiotal”. Eleverna visar talet.
Läxa 2
Övergångar och växlingar vid hundratal och tusental. Talens grannar, stora tal. Vardagsanknytning.
44
Skriv 52 170. ”Vilken siffra är tusental? Tiotal?” Eleverna visar rätt siffra.
26–27 10-hopp och 100-hopp K 5 10-hopp och 100-hopp
30–32 Röd Läxa 3
Peka på ett tal på tallinjen. Eleverna visar talet. Visa ett hopp på tallinjen, framåt eller bakåt. Eleverna visar hoppets längd eller var nästa hopp landar. Skriv t ex 5 999 ______ eller ______ 4 000. Eleverna visar talens granne. Säg t ex ”fyratusennittionio.” Eleverna visar grannen. Skriv talföljder. Eleverna visar regeln.
KAPITEL 1
2011-05-30 14.43
Innehåll
Grundbok
Minutare
Jämföra och storleksordna tal
33 Utforska
Skriv eller säg två tal. Eleverna jämför och visar > eller <.
Symbolerna > och <. Jämföra två tal. Storleksordna flera tal. Bilda största och minsta talet av givna siffror. Skriva tal i givna intervaller.
34–36 Jämföra tals storlek, bilda största och minsta talet K 6 Störst tal, spelplan
Skriv fyra siffror. Eleverna visar det största/minsta talet.
K 7 Talstigen, spelplan K 8 Gemensam problemlösning 37–38 Blå 39–40 Röd Läxa 4
Utvärdering
41 Utvärdering av kapitlet K 9 Utvärdering 1
Repetition
42 Fördiagnos, kapitel 2 Kommer du ihåg? 1 43 Kommer du ihåg? K 10 Repetition, fördiagnos inför kapitel 2
Kul med matte
44 Logiskt tänkande, jämvikt, ekvationstänkande 45 Mayakulturens talsymboler med basen 20
Förslag till tidsplan Arbetet med kapitel 1 bör ta ca 5 veckor.
KAPITEL 1
Eldorado_LB_4A_kap1.indd 45
Eldorado 4 A Lärarbok
45 2011-05-30 14.43
Talsystemet 1–100 000 Centralt innehåll i årskurs 4–6 enligt Lgr 11: • Rationella tal och deras egenskaper.
Förkunskaper Centralt innehåll i årskurs 1–3 enligt Lgr 11: • Naturliga tal och deras egenskaper samt hur talen kan delas upp och hur de kan användas för att ange antal och ordning.
• Positionssystemet för tal i decimalform. Det binära talsystemet och talsystem som använts i några kulturer genom historien, till exempel den babyloniska. •
• Hur positionssystemet kan användas för att beskriva naturliga tal. Symboler för tal och symbolernas utveckling i några olika kulturer genom historien.
Vår tolkning är att:
Vår tolkning är att eleverna ska ha följande förkunskaper:
Rationella tal är alla tal som är en kvot av två heltal, varav det andra inte är noll t ex 4 (4/1), 3/7 och 0,5 (½). Innan vi tar upp bråk och decimaltal i grundbok 4 B vill vi att eleverna med säkerhet ska kunna hantera de naturliga talen 0, 1, 2, 3. . . vilka tas upp här i kapitlet. Eleverna ska möta talsystem från gamla kulturer för att förstå den historiska utvecklingen av talsystemet med tiobassystemet, positionens betydelse för värdet, samt behovet av siffran noll. Eleverna ska med säkerhet kunna förklara en siffras platsvärde och talens uppbyggnad och inse att man kan skriva oändligt stora tal. Eleverna ska kunna visa och rita tal med tiobasmaterial, tiobassymboler och siffror, samt skriva tal i utvecklad form. Eleverna ska kunna läsa och skriva tal med siffror respektive bokstäver. Eleverna ska ha kunskap om tals värde och deras användning i vardagssituationer.
Kunna läsa och skriva tal inom heltalsområdet 1–10 000. Förstå relationen mellan tal och omvärld i talområdet 1–1 000. Använda positionssystemet med växlingar mellan ental, tiotal, hundratal och tusental och att t ex 235 kan delas upp i 200, 30 och 5. Positionen avgör en siffras värde.
Eldorado 1–3
I Eldorado för åk 1–3 har eleverna arbetat med växling vid tio med olika tiobasmaterial och med egyptiska symboler, fåror och i positionssystemet upp till 10 000 vid flera olika tillfällen. De har även mött generalisering av talkombinationer och tabeller, t ex 300 + 400 är 3 hundratal + 4 hundratal, respektive 3 ∙ 500 är 3 ∙ 5 hundratal, vilket är 15 hundratal eller 1 500.
Repetition/fördiagnos inför kapitel 1
Kopieringsunderlag K1 innehåller repetition att använda som en fördiagnos till kapitel 1 i grundboken. Starta med den för att veta hur du ska planera undervisning och elevgrupper. När du tittat på elevernas lösningar är det bra att även ställa några muntliga frågor till en del elever om hur de kommit fram till sina svar. Allt du vet om elevernas kunnande är värdefullt för upplägget av undervisningen. I den första uppgiften ska läraren läsa upp fem tal som eleverna skriver med siffror, övriga uppgifter får eleverna lösa individuellt. Läs upp talen a) trehundrafyrtionio b) femhundraåtta c) sjutusen d) femtusentvåhundra e) fyratusenfemtio
46
Eldorado 4 A Lärarbok
Eldorado_LB_4A_kap1.indd 46
KAPITEL 1
2011-05-30 14.43
Uppgift 1 och 2: Hur klarar eleverna de olika talsorterna och hur hanterar de nollor? Uppgift 3: Hur hanterar eleverna talsorterna vid utvecklad form? Uppgift 8: Hur gör eleverna när de storleksordnar tal?
Talsystemet 1–100 000 i Eldorado 4 A Eftersom talsystemet är grundläggande för hela aritmetiken så måste eleverna få möjlighet att utveckla förståelse av det. Den tid du lägger ned på arbete med talsystemet har du igen flera gånger om senare och framför allt ger det eleverna trygghet i aritmetik. En del har säkert arbetat med talsystemet inom ett lägre talområde tidigare, men kanske inte förstått allt fullt ut. De får nu en ny möjlighet. Det är vanligt att svårigheter inom aritmetik beror på bristande kunskaper om talsystemet. Gör därför intensivsatsningar för de elever som har sådana svårigheter. Det kan innebära en vändpunkt för dem och matematik kan bli roligt och intressant igen. För de elever som redan kan mycket finns utmanande uppgifter i grundboken, så att även de får utveckla sitt kunnande och tänkande. På översikten, s 44–45, finns de olika delbegrepp som tas upp kring talsystemet och som tydligt förklaras i lärarboken. Dessa kunskaper kan sedan generaliseras till att förstå hur man kan bilda oändligt stora tal, liksom decimaltal.
Räknekonstens historia
Människans behov av att kunna räkna är orsaken till att räknekonsten utvecklats. Den har utvecklats under lång tid och fortsätter att utvecklas än i dag. Så länge människan var jägare och samlare behövdes knappt något räknande. Omkring 10 000 f Kr började människorna odla jord och ha husdjur. Då uppstod ett behov av att kunna visa och ange antal, mäta sina marker och bestämma tider efter solen och månen. Det innebar att talskrivning, räknande och mätning utvecklades.
Segelfartygen gav möjlighet att göra långa handelsresor. För att navigera fartygen behövdes räknekunskaper, vilket också behövdes vid den handel som var målet för resorna. Genom handelsresorna spreds även kunskaper i matematik mellan världsdelar och länder och mycket kunnande kom till Europa från Kina.
På 1600-talet fick naturvetenskapen stor betydelse och många mätinstrument konstruerades. Nu behövdes kunskaper i matematik för att behandla mätresultaten. Matematiken utvecklas ständigt och det finns gåtor som fortfarande inte är lösta. Men den matematiken är på en hög nivå och att använda den kräver många års universitetsstudier.
De första pyramiderna byggdes omkring 2 700 f Kr. Den största, Cheopspyramiden, är drygt 146 m hög och består av 2 300 000 stenblock. Enligt gamla berättelser ska det ha varit 100 000 arbetare som under 30 år byggde pyramiden. För att åstadkomma ett sådant byggnadsverk behövdes ritningar över pyramiden och mått på olika stenblock som skulle ingå. Till detta anställdes skrivare, vilka också hade i uppgift att ge råd när det var dags att så och som även räknade ut hur mycket skatt folket skulle betala till sin Farao.
KAPITEL 1
Eldorado_LB_4A_kap1.indd 47
Eldorado 4 A Lärarbok
47 2011-05-30 14.43
Tal och talnamn utvecklas Innan människorna kunde räkna och använda räkneord ristade de t ex skåror på en pinne som de bar med sig. Det kunde visa hur många pilspetsar de hade eller hur många djur de fällt. Ett vargben, som är mer än 30 000 år gammalt, hittades år 1937 i dåvarande Tjeckoslovakien. Det är 17 cm långt och har 55 skåror i två rader. I den ena raden är skårorna ristade i 5-grupper.
Gruppera på olika sätt Låtsas att vår räkneramsa 1, 2, 3 . . . inte finns och att ni ska hitta på ett eget system och med det tala om hur många makaroner det är i ett paket. Låt gärna eleverna fundera över hur en fungerande räkneramsa skulle kunna se ut. Det är lätt att inse att man inte kan hitta på nya räkneord hela tiden i en oändligt lång ramsa, det skulle inte gå att komma ihåg. Lösningen är att gruppera på något sätt.
Om man hade en skuld under medeltiden ristades skulden in på en trästicka, en karvstock. När skulden betalades så delades stickan på längden och det blev två ”kvitton”. Karvstockar var rättsgiltiga dokument i England ända till år 1828. I parlamentshusets källare i London fanns då mängder av karvstockar, vilka var gamla kravbrev och skattekvitton. Man beslöt att bära ut och elda upp allt, vilket slutade med att hela byggnaden brann upp. Ett problem med karvstockarna var att skårorna kunde ha olika betydelser i olika delar av landet och t ex talet tio kunde ha en symbol när det gällde tio kor och en annan vid tio hölass. En gammal kultur på Nya Guinea visade talen 1–22 på kroppen. Talet 1 var lillfingret på höger hand och talet 22 var lillfingret på vänster hand. Pekade man t ex på munnen så betydde det talet 12 och höger axel var talet 8. Det fanns t ex ett jägarfolk i Australien som hade endast två räkneord i sitt språk. Det var ninta (ett) och tara (två). Eftersom ordet och hette ma så var talet tre tara-ma-ninta och talet fyra tara-ma-tara. För större antal än fyra användes ett ord som betydde många. (Ifrah, G: Räknekonstens kulturhistoria. Wahlström & Widstrand 2004 Lindberg–Kuijl: Fakta om hur man räknade förr. Almqvist & Wiksell 1991)
I olika kulturer utvecklades räkneord och talsymboler som byggde på grupperingar. Babylonierna hade grupperingar med 6 och 60, Mayafolket bildade grupper om 20, medan många kulturer tog fingrarna som grund och gjorde tiogrupper. I avsnittet Utforska i grundboken får eleverna gruppera stickor för att alla verkligen ska förstå strukturen av talsystemet och räkneordens koppling till språket i talramsan.
Positionssystemet är en viktig grundpelare i taluppfattning Det har tagit lång tid för mänskligheten att utveckla det positionssystem som vi har i dag, vilket innebär att det måste vara tämligen komplicerat. Vi kan därför inte begära att våra elever vid en genomgång ska förstå något som tagit tusentals år att utveckla. Alla dina elever kan troligen peka på siffrorna i ett tal som 573 och säga ental, tiotal och hundratal, men alla har troligen inte förstått de olika aspekterna av positionssystemet. Så länge eleverna arbetar med heltal märks inte alltid missuppfattningarna, men när de börjar med decimaltal kan de få problem. Därför är det viktigt att se till att eleverna behärskar positionssystemet med heltal innan de möter decimaltal. Kapitel 1 tar därför upp olika aspekter för att ge alla möjlighet att förstå positionssystemet och decimaltal tas inte upp förrän i Eldorado 4 B.
48
Eldorado 4 A Lärarbok
Eldorado_LB_4A_kap1.indd 48
KAPITEL 1
2011-05-30 14.43
Ett bra sätt att repetera positionssystemet är att presentera ett historiskt perspektiv och uppmärksamma olika steg i utvecklingen.
i entalsfåran växlas tio stycken till en sten som representerar tio och därför placeras i tiotalsfåran. (Jämför med additionsalgoritmen.)
Tiobassystemet i den egyptiska kulturen Att gruppera är alltså utgångspunkten. Vi har valt att arbeta med de egyptiska talsymbolerna, eftersom dessa är grupperade på tio precis som vårt eget talsystem. Högen med makaroner delas alltså först upp i tiogrupper. Tio grupper blir till en hundragrupp och tio hundragrupper blir till en tusengrupp. Talsorterna blir alltså hela tiden tio gånger större. På s 9 i grundboken finns en förteckning över de egyptiska symbolerna för talsorter upp till 100 000. Det är lätt att addera och subtrahera med dessa eftersom det bara är att rita alla symboler tillsammans, t ex
Siffror som representerar tal
+ eller stryka, t ex
MI L JARD
HUNDRATA L MILJONER
T I OTA L MILJONER
MILJON
HUNDRATUSENTA L
TIOTUSENTA L
1 miljard
miljon
T U S E N TA L
HUNDRATA L
2
3
T I OTA L
4
E N TA L
5
tusen
Fårorna har här krympt ihop till talsortsrutor, eftersom vi nu inte behöver rymma nio stenar utan i stället använder siffror för att representera olika antal. Riklig tillgång på de tio olika siffrorna 0–9 ger oss möjlighet att visa oändligt stora tal. Miljon kommer från tusen tusental och för att visa på mönstret fick nästa tusen heta miljard, där suffixet -ard fick ersätta -on i miljon. Fortsättningsvis blir det då biljon och biljard. ”Hur många nollor har tusen, miljon och miljard?” Det är bra att veta att det är 3, 6 och 9 nollor. Om eleverna vill veta fler namn på stora tal så kan de söka på nätet.
I detta system behövdes ingen nolla eftersom man direkt ser att det t ex inte finns några tiotal.
Hinduisk kultur med fåror och stenar Det speciella med den hinduiska kulturens sätt att räkna var att en sten såg likadan ut vare sig den representerade ett hundratal eller ett ental. Värdet avgjordes av var stenen fanns. Låg stenen i entalsfåran var den värd ett, men i hundratalsfåran var den värd hundra. Se inforuta på s 12 i grundboken. När man senare började skriva talen uppstod ett nytt problem. På marken syntes när en fåra var tom, men när talen i stället skulle skrivas ned måste man på något sätt visa när en fåra var tom. Talet kunde annars tolkas som 2, 20 eller 200. Därför uppfanns nollan. Berätta gärna intressanta och spännande berättelser om nollan och om hur den kom till Europa. Berättelser finns på nätet och i kulturhistorisk litteratur. Nollan brukar ibland benämnas som den viktigaste siffran, eftersom den gav helt nya möjligheter vid talskrivning och räknande.
Kinesiska talsystemet Jämför med det egyptiska talsystemet. Talsorterna, de olika tiopotenserna, skrivs ut. Men i stället för att t ex vid talet 300 rita tre symboler för hundratal används i detta system en siffra för att tala om hur många hundratal det gäller. Jämför med vårt talsystem. Det kinesiska fungerar som när vi använder utvecklad form, men vi skulle även skriva ut antal för varje talsort som finns i talet, t ex talet 300 skulle skrivas 3 ∙ 100. Huvudräkning blir ofta mycket tydlig i det kinesiska talsystemet. T ex 24 + 35 blir 2 tiotal 4 ental + 3 tiotal 5 ental. Ingen skulle komma på tanken att räkna ett och ett steg på fingrarna, 25, 26, 27. . . 59, utan alla adderar tiotalen och sedan entalen. Det är enkelt att generalisera talfakta, t ex 300 + 500 blir 3 hundratal + 5 hundratal och 4 ∙ 700 blir 4 ∙ 7 hundratal, alltså 28 hundratal.
Tusen, miljon, miljard och antalet nollor Uppmärksamma intervallerna på tre rutor för tusen, miljon, miljard o.s.v.
För att få en ny talsort, tio gånger större, var det enkelt att bara dra en ny fåra. Här blir det även väldigt tydligt vad växling innebär. Så fort det blir fler än nio stenar
KAPITEL 1
Eldorado_LB_4A_kap1.indd 49
Eldorado 4 A Lärarbok
49 2011-05-30 14.43
Kapitel
1
Talsystemet 1– 100 000 Tallinjer och olika hopp Jämföra och storleksordna tal
1 202 + 2 251 = 3 453 I vår kultur använder vi positionssystem och arabiska siffror.
Vilka likheter och skillnader ser du när du jämför de olika uträkningarna av 1 202 + 2 251?
I den egyptiska kulturen användes en symbol för varje talsort.
I den hinduiska kulturen användes fåror för varje talsort och lösa stenar.
6
7
Eldorado4A.indb 6
2011-04-20 18.42
s 6–7 Introsidor Introbilden ska väcka elevernas nyfikenhet för siffror och tal och göra dem intresserade av att ta reda på mer om räknekonstens historia. Matematiken har ju utvecklats utifrån människornas behov av att kunna räkna och talsystemets historiska utveckling finns kortfattat beskriven på s 47–49 här i lärarboken. Även om det står i kursplanen i Lgr 11 att eleverna i åk 1−3 ska arbeta med ”symboler för tal och symbolernas utveckling i några olika kulturer genom historien” är det inte säkert att dina elever mött de två kulturer som tas upp här. I Eldorado åk 1–3 har eleverna arbetat mycket med båda dessa talsystem. De två eleverna på bilden ställer frågan: Vilka likheter och skillnader ser du när du jämför de olika uträkningarna av 1 202 + 2 251? Låt eleverna jämföra uträkningarna och föreslå likheter och skillnader. Följande bör sedan lyftas fram och diskuteras: • Alla tre talsystemen har basen tio och talsorterna utgörs av tiopotenser.
50
Eldorado 4 A Lärarbok
Eldorado_LB_4A_kap1.indd 50
Eldorado4A.indb 7
2011-04-20 18.42
• I det egyptiska talsystemet finns en speciell symbol för varje talsort, medan platsen/positionen avgör talsort i de två andra. • I det hinduiska och i vårt talsystem avgör positionen värdet av sten respektive siffra. En skillnad är att i vårt talsystem använder vi en siffra i stället för att ha motsvarande antal stenar på en viss position eller antal talsortssymboler, som i det egyptiska systemet. • I vilka talsystem behövs nollan? I de egyptiska behövs ingen nolla, eftersom man där kunde utelämna talsorter. Så länge hinduerna räknade i fåror behövdes ingen nolla, för man såg när en fåra var tom. Men när man i den kulturen började skriva ned tal, var en symbol för noll nödvändig för att visa att en fåra var tom. • Hur gjorde man i de olika kulturerna för att få ännu större tal? I den egyptiska kulturen skapade man nya symboler för större talsorter. I den hinduiska kulturen ritade man fler fåror och i vår kultur skriver man siffror på positionerna för större talsorter. • Jämför hur det fungerar att göra 10-hopp och 100hopp i de olika talsystemen. • Jämför att storleksordna tal i de olika talsystemen.
KAPITEL 1
2011-05-30 14.44
Även om eleverna arbetat mycket med talsorter så är det nyttigt att göra denna aktivitet för att sedan kunna resonera och reflektera över talsorter och talnamn.
Talsystemet 1– 100 000 Utforska A Hur många stickor tror du att det är i högen? Skriv upp ditt förslag. Vem kom närmast?
C. Räkneorden i talramsan Låt eleverna visa talen 52 och 135 med stickorna och förklara hur de två räkneorden är uppbyggda. Samtala om talramsan och om hur räkneorden borde vara. Jämför denna översikt med vår talramsa:
B Du behöver stickor och gummisnoddar. Gör 15 tiobuntar. Sätt ihop 10 av dem till en hundrabunt.
C Använd dina buntar och stickor för att visa olika tal. Skriv talen med siffror och bokstäver på svenska och engelska. T ex
52 135
fem – tio – två ett – hundra – tre – ttio – fem
fiftytwo onehundredthirtyfive
ett
två
tre
fyra
fem sex sju
tio
tio-ett
tio-två
tiotre
tiofyra
osv
tvåtio
tvåtio-ett
två-tiotvå
osv
två-tionio
tretio
tretio-ett
tre-tiotvå
osv
tre-tionio
fyratio
fyratio-ett
fyratio-två
osv
fyratio-nio
femtio
femtio-ett
femtio-två
osv
femtio-nio
Förklara med hjälp av stickorna vad varje siffra i talet betyder. Förklara hur räkneorden är uppbyggda.
D Kan ni i klassen gemensamt visa tusental med era buntar och stickor? Hur då?
8
KAPITEL 1 ! Talsystemet 1– 100 000
Eldorado4A.indb 8
2011-04-20 18.42
s 8 Utforska Eleverna arbetar med sidan Utforska i par eller i grupp. Här följer förslag till den gemensamma uppföljningen.
A. Uppskatta antal Det är 134 stickor i högen. Låt eleverna berätta vilken strategi de hade när de bestämde sig för ett tal. Vilka strategier gav bra resultat? Ett sätt är att räkna en grupp stickor på bilden och sedan uppskatta hur många sådana grupper det kan vara och på så sätt bedöma hela antalet stickor. Elevernas förslag ger en fingervisning om deras taluppfattning. Förslag under 50 och över 500 bör noteras.
B. Tio är basen Vårt talsystem bygger på att växla vid tio. Entalen kan vara högst 9. Så fort vi får tio så växlar vi och de tio entalen blir ett tiotal. Så fort vi får tio tiotal så växlar vi och de tio tiotalen blir ett hundratal osv.
KAPITEL 1
Eldorado_LB_4A_kap1.indd 51
åtta
nio tio-nio
Den absolut svåraste delen av räkneramsan är 11–30, eftersom det inte är konsekvent där. Efter 30 kan man däremot höra på räkneorden vilka talsorter orden består av. Räkneorden 13–19 är de enda räkneorden där entalen uttalas före tiotalet. Det kan vara intressant att ta reda på hur räkneorden är uppbyggda i olika språk och jämföra. Kanske har du elever som behärskar räkneramsan på andra modersmål än svenska. Det finns asiatiska språk där räkneorden har samma konsekventa uppbyggnad som i tabellen. Att förstå räkneordens uppbyggnad kan hjälpa elever att behärska räkneramsan och därmed även talraden och övergångar.
D. Uttrycka tusen på olika sätt Låt eleverna fundera över om de gemensamt kan visa ett tusental med sina stickor. Hur många tiobuntar har klassen gemensamt? Hur många tiobuntar behövs till ett tusental? Eleverna behöver veta att 1 000 ental är 100 tiotal eller 10 hundratal. När tabellkunskaper generaliseras vid uppgifter som 3 ∙ 500 kan det förklaras som att 3 ∙ 5 hundratal är 15 hundratal och det skrivs 1 500.
Material
Gummisnoddar och stickor, t ex läggstickor eller tandpetare.
Eldorado 4 A Lärarbok
51 2011-05-30 14.44
Tiobassymboler I det gamla egyptiska talsystemet hade varje talsort en egen symbol. Ett fyrsiffrigt tal har fyra talsorter: tusental, hundratal, tiotal och ental. Jag skriver t ex talet tretusenfemtiotvå på fyra talsortsstreck 3 0 5 2.
EGYPTISKA TALSYMBOLER 1=
finger
10=
åsnehov
1 0 0 =
tusenkub
1 0 0 0 0 =
Faraos spira
a)
b)
c)
a)
b)
b) 2 130
a) 1 345
c)
10 10
10
10
100
1
10
1
10
1
6 Rita pengar som visar talen.
b)
000 11000
d)
10 000
100 100 100 100
a) 2 143
1
100 100
10
10
1
b)
100
10
10
1000
100
1
1
1
b)
1
1
100
10
1000
1000
10
10
10
1
b) 42 000
Eldorado4A.indb 9
c) 31 024 9
2011-04-20 18.42
s 9–11 Talsystemet 1–100 000 Tio är bas, växla på tio. Symboler för varje talsort. Talsortssymboler kan stå i oordning. Olika tiobasmaterial. Hantera talsorter.
Skriv några tal med egyptiska symboler och låt eleverna skriva samma tal med siffror. Skriv sedan t ex 47 003 med symboler och samtala om hur man kan underlätta med talsortsstreck när man ska skriva med siffror, så att alla siffror och framför allt nollor kommer med. Börja med ental och rita ett streck för varje talsort. Skriv talsortens namn under, ental, tiotal, hundratal osv. Detta är enklare för eleverna än att rita rutor med talsorterna från ental till hundratusental. Skriv sedan de egyptiska symbolerna i oordning och låt eleverna upptäcka att de kan tolka talen ändå. Låt gärna eleverna föreslå tal som ni skriver gemensamt med symboler.
Eldorado_LB_4A_kap1.indd 52
10 a)
1
KAPITEL 1 ! Talsystemet 1– 100 000
Eldorado 4 A Lärarbok
c) 2 123
1 10
1000 000 11000
b) 1 342
b)
11 a)
1 1
a) 1 235
9 a)
c) 1 023
5 Skriv talen på talsortsstreck.
52
d)
Skriv talen på talsortsstreck.
4 Välj tre egna tal och skriv dem med egyptiska symboler och med siffror.
000 11000
c)
8 Rita talen.
3 Skriv talen med egyptiska symboler.
10000 000 10 10 000
b)
d)
2 Skriv talen på talsortsstreck.
c)
a)
grodyngel
1 Skriv talen med siffror på talsortsstreck.
100 100
entalskub
7 Skriv talen på talsortsstreck.
lotusblomma
1 0 0 0 0 0 =
1000 000 11000
tiostav
hårlock
1 0 0 0 =
a)
hundraplatta
10
KAPITEL 1 ! Talsystemet 1– 100 000
Eldorado4A.indb 10
2011-04-20 18.43
Samtala om vilka olika tiobasmaterial som eleverna kommit i kontakt med, t ex pengar, centimo, abakus och jämför hur de visar talsorter med olika tiobasmaterial. I grundboken finns uppgifter med pengar och centimo. Låt eleverna visa ett och samma tal med olika material. Låt en elev visa ett tal med en sorts tiobasmaterial och kamraten ska sedan visa samma tal med ett annat material. I Tiobasaffären finns fyra olika sorters förpackningar som innehåller antingen 1 kula, 10 kulor, 100 kulor eller 1 000 kulor. Genom att välja lämpliga förpackningar kan olika beställningar packas och levereras med så få förpackningar som möjligt. Detta ger ytterligare en variation av träning på tiobassystemet. Låt eleverna föreslå hur Tiobasaffären löser problemet med beställningar på 25 000 eller 75 000 kulor, när de vill använda så få förpackningar som möjligt. En förpackning på 10 000 kulor skulle då vara bra.
Elevsidor S 9: De egyptiska symbolerna för talsorter upp till tusental fanns med på introsidan. Här tillkommer symboler för 10 000 och 100 000.
KAPITEL 1
2011-05-30 14.44
Grattis till ditt nya jobb i Tiobasaffären!
Du ska packa rätt antal glaskulor och skicka till kunderna. Det finns fyra olika sorters förpackningar med glaskulor. Med dem ska du klara alla olika beställningar.
1 000 kulor
1 T ex: 2 135 kulor Packa ned 2 Kontrollräkna 2 000 + 100 + 30 + 5 = 2 135
100 kulor
3
10 kulor
1 kula
5
12 Skriv på samma sätt för följande beställningar: a) 3 020 kulor
b) 5 300 kulor
c) 8 052 kulor
d) 905 kulor
13 Skriv de tal som stod på beställningarna. a) 4 c) 8
1 5
2
b) 7
5
d) 9
8
4
14 På några beställningar stod det lite klurigt. Hur många kulor är det? a) 5 hundratal 3 tusental 2 ental 4 tiotal b) 4 tiotal 8 tusental c) 6 tiotal 7 tusental 1 hundratal
d) 9 hundratal 2 tusental 5 ental
15 Hitta på egna symboler för olika talsorter och skriv tal och uppgifter. Byt gärna uppgifter med en kamrat.
KAPITEL 1 ! Talsystemet 1– 100 000
Eldorado4A.indb 11
11
2011-04-20 18.43
S 10: Eleverna bör rita talsortsstreck till uppgifterna även på denna sida, så att de blir säkra på antalet siffror i stora tal. S 11: I den sista uppgiften ska eleverna göra egna symboler för talsorter, samt skriva tal med siffror och rita talen med sina symboler. Denna uppgift avslöjar tydligt vilken begreppsförståelse eleverna har, så satsa tid på att observera hur varje elev löser uppgiften.
Om du har elever som är osäkra på tiobassystemet och talsorter så försök få specialundervisningstimmar med intensivinsats, t ex 20 minuter/dag i några veckor. Det ger störst nytta att sätta in träning nu när det är aktuellt.
Material
Olika tiobasmaterial.
Förenkla
Låt eleverna använda tiobasmaterial. Samla helst eleverna i grupp och använd tiobasmaterial, samtala kring tiobasbegreppet och lös uppgifterna gemensamt.
Utmana
Låt eleverna redan nu göra uppgifterna med kinesiska talsymboler på s 21, avsnitt Röd.
Observera
Hur förklarar eleverna hur de placerar siffror när de skriver på talsortsstreck? Fungerar elevernas egna symboler för talsorter och hur förklarar de sina tal i uppgift 15? Detta är grundkunskaper som alla behöver ha med sig för fortsatt lärande.
KAPITEL 1
Eldorado_LB_4A_kap1.indd 53
Eldorado 4 A Lärarbok
53 2011-05-30 14.44
Positionen avgör värdet 16 Skriv talen. Rita gärna talsortsstreck. b)
a)
Tu H Ti E
Rita fåror och stenar för talen. Du kan enkelt rita så här:
c)
d)
19 a) 421
b) 305
c) 200
d) 150
20 a) 2 134
b) 3 100
c) 4 030
d) 1 002
21 Välj tre egna tal. Skriv talen med siffror och rita fåror och stenar.
EN SMART UPPFINNING! När köpmännen skrev talen ritade de ett streck för varje sten, t ex
Men
kunde t ex vara
210 eller
201
22 Du har fem fåror och en sten. Vilka olika tal kan du lägga? Skriv talen med siffror.
213 .
21 .
eller
Tänk att du med en enda sten kan visa så många olika tal.
Vilka talbilder visar samma tal?
23 A
B
C
Man måste se stenarna och fårorna för att veta vilket tal det var. Detta problem löstes när man uppfann ett tecken för en tom fåra, nämligen •. Det blev sedan siffran 0, noll, som betyder tom. Nu kunde de skriva alla tal. I dag använder vi siffror i stället för att rita lika många streck som antalet stenar, t ex 3 är .
D
1000
10
10
E
1000
10
10
1
F
Skriv talen med siffror. Rita talsortsstreck så att du inte glömmer nollorna. 17 a)
b)
c)
d)
18 a)
b)
c)
d)
24 A
D
12
1000 000 11000
100 100
KAPITEL 1 ! Talsystemet 1– 100 000
Eldorado4A.indb 12
B
C
E
F
1000
100 100
10
KAPITEL 1 ! Talsystemet 1– 100 000
2011-04-20 18.43
s 12–13 Talsystemet 1–100 000 Samma föremål visar alla talsorter. Positionen avgör värdet. Nollan.
Eldorado4A.indb 13
13
2011-04-20 18.43
I uppgift 21 ska eleverna välja egna tal att skriva och rita. När de själva ska välja så bör de ta chansen att visa vad de verkligen kan, vilket innebär att en del kanske skriver fyrsiffriga tal utan nollor, medan andra skriver åttasiffriga tal med nollor på lite svåra ställen. För att få höga betyg krävs att kunna visa sin kunskap. På de nationella proven ges uppgifter av liknande sort som uppgift 21, där eleverna kan visa sina starka sidor.
Rita fåror till IST eller på en plastfilm till OH-projektorn och arbeta tillsammans med att lägga stenar i fårorna och läsa av tal eller att lägga givna tal. Samtala om hur detta system fungerar så att eleverna inser att man kan rita till en ny fåra för varje högre talsort som man behöver. Repetera också hur många stenar det får ligga i en fåra så att alla är säkra på att så fort det blir fler än nio så växlar man tio stycken till ett tiotal, vilket innebär en ny sten i tiotalsfåran.
Elevsidor
Visa också hur människorna i den hinduiska kulturen gjorde när de så småningom började skriva tal och då hade behov av en symbol för en tom fåra, vilket gjorde att nollan uppfanns. Detta står beskrivet i kapitlets inledning och kortfattat i inforutan i grundboken, s 12. Lägg tillsammans flera tal med fåror och stenar där just behovet av en eller flera nollor kommer i fokus.
Hur förklarar eleverna nollorna med hjälp av fåror? Ta reda på om eleverna kan namnen på de olika talsorterna och kan säga dem i rätt ordning från ental och uppåt. Arbetar eleverna strukturerat med uppgift 22? Låt gärna en del elever göra uppgift 57, i avsnitt Röd, med fler stenar om de behöver utmaningar nu.
S 12: Här ska eleverna tolka tal som visas med fåror och då använda siffran noll korrekt. S 13: Eleverna visar nu tal genom att rita stenar i fåror. Låt eleverna förenkla fårorna genom att utnyttja rutorna och rita ”fack” som i exemplet längst upp på s 13.
Observera
Material
Fåror och stenar.
54
Eldorado 4 A Lärarbok
Eldorado_LB_4A_kap1.indd 54
KAPITEL 1
2011-05-30 14.44
Talsystemet MI L JAR D
HUNDRATA L MILJONER
T I OTA L MILJONER
Skriv talen med siffror. MILJON
miljard
HUNDRAT U S E N TA L
TIOT U S E N TA L
T U S E N TA L
1
2
miljon
10 000 2 000 300 40 5
HUNDRATA L
T I OTA L
3
4
E N TA L
30 a) 3 tusental 2 hundratal 5 tiotal 9 ental b) 8 tusental 4 hundratal
5
31 a) 5 tiotusental 6 tusental 7 hundratal
32 Skriv talen med siffror. Kontrollera genom att räkna uttrycken på miniräknaren.
Positionskorten visar talet 12 345. I utvecklad form skriver man talet med varje talsort för sig:
a) b) c) d)
12 345 = 10 000 + 2 000 + 300 + 40 + 5 Om det är en nolla i talet så hoppar man över den talsorten, t ex: 25 041 = 20 000 + 5 000 + 40 + 1
c) 9 304
26 a) 32 462
b) 79 126
c) 80 431
d) 62 050
a)
4 000 kr
600 kr
50 kr
27 a) 3 000 + 200 + 10 + 4
b) 8 000 + 40 + 7
28 a) 40 000 + 5 000 + 200
b) 60 000 + 400 + 50 c) 50 000 + 700 + 5
c)
b) Ungefär hur många personer bor det på din ort? c) Ungefär hur många meter har du till skolan?
c) 7 000 + 300
35 Arbeta gärna i par. Tryck in t ex talet 6 915 på miniräknaren. Turas om att
ta bort alla siffrorna genom att subtrahera ”siffrorna” i storleksordning. Börja med 9, sedan 6, 5 och sist 1. Pröva på samma sätt med talen 8 472, 3 471 och 25 719 eller bestäm egna tal.
KAPITEL 1 ! Talsystemet 1– 100 000
Eldorado4A.indb 14
b)
34 a) Ungefär hur många elever finns det på din skola?
29 Gör den här uppgiften med en kamrat. Du behöver sifferkort och talsortsrutor. Turas om att lägga sifferkort i talsortsrutorna och att läsa varandras tal. Gör tal med olika antal siffror. Använd många nollor.
14
3 867 + 4 667 25 ∙ 212 36 ∙ 468 19 237 + 16 163
d) 2 065
Fortsätt gärna att rita talsortsstreck om du tycker att det är enklare.
Skriv talen.
åttatusenfemhundratrettiofyra femtusentrehundra sextontusenåttahundrafyrtioåtta trettiofemtusenfyrahundra
33 Vilket pris passar till de olika sakerna? 100 000 kr 70 000 kr 20 000 kr
Skriv talen i utvecklad form, varje talsort för sig. b) 8 472
c) 8 tiotusental 4 tusental
b) 9 tusental 5 tiotal
tusen
25 a) 4 123
c) 2 tusental 3 hundratal 7 tiotal
KAPITEL 1 ! Talsystemet 1– 100 000
2011-04-20 18.43
s 14–15 Talsystemet 1–100 000 Tusen, miljon, miljard och antalet nollor. Siffror i stället för stenar. Positionen avgör en siffras värde.
Eldorado4A.indb 15
15
2011-04-20 18.43
Utvecklad form − Det innebär att man skriver varje talsort för sig och börjar med den största talsorten. Uppskatta antal − Eleverna behöver mycket träning på att uppskatta och bedöma rimlighet med stora tal. Inled gärna med några sådana uppgifter varje mattelektion under en tid. Välj också Minutare där eleverna ska svara på om ett föreslaget antal är rimligt eller orimligt.
Tal i utvecklad form. Uppskatta antal.
Arbeta konkret och placera siffror i rutorna för de olika talsorterna på OH-projektor/ IST, samtala om:
Elevsidor Uppgift 35: När eleverna tar bort siffrorna på miniräknaren efter givna regler måste de alltså hoppa mellan olika positioner, vilket ger bra träning.
Tusen, miljon, miljard och antalet nollor − Uppmärksamma intervallerna på tre rutor för tusen, miljon, miljard osv.
Förenkla
Siffror i stället för stenar − Rutorna kan liknas vid förkortade fåror. I vårt talsystem har vi bytt ut stenarna i en fåra mot en enda siffra som visar antalet stenar.
Observera
Positionen avgör siffrornas värde − I fårorna användes samma sorts stenar och en stens värde bestämdes av i vilken fåra den låg. I alla talsortsrutorna använder vi samma sorts siffror och en siffras värde avgörs av i vilken ruta den ligger, vilken position den har.
KAPITEL 1
Eldorado_LB_4A_kap1.indd 55
Låt eleverna använda positionskort i uppgift 25–26.
Hur gör eleverna med nollor vid utvecklad form? På vilken nivå gör de uppgifter i uppgift 29? Blir det rätt när de inte använder talsortsstreck? Hur förklarar de sina skrivna tal? Hur klarar de miniräknaruppgiften?
Material och kopieringsunderlag
Fåror, stenar, siffror, positionskort och miniräknare. K 2 Positionskort K 3 Talsystemet, rutor
Eldorado 4 A Lärarbok
55 2011-05-30 14.44
Blå
41 Rita fåror och stenar för talen.
10
a)
1000 000 11000
100 100
10
1
10
10
1
1 1
1
b)
000 11000 000 11000
1000
10
10
1
e)
000 11000
1 1
c)
100 100 100
1
d)
b) 2 500
a) 324
36 Skriv talen med siffror på talsortsstreck. __ __ __ __
1
1000
100 100 100 100
10
f)
1000 000 11000
100 100
1
43 Skriv talen. Kontrollera med miniräknare. a) femtusentrehundra b) sextusenfemtiotre c) fyrahundraåtta
37 Visa talen med pengar. Rita. a) 342
b) 1 531
c) 2 100
d) 3 004
b) 2 385
a) 381 c) 5 037
d) 7 043
e) 9 004
a) 4 652 b) 7 000 + 400
c) 5 000 + 100 + 4
d) 3 000 + 50
40 a)
b)
b) 4 200
c)
c) 2 532
45 Dela upp i talsorter. Skriv t ex 5 378 = 5 tusental 3 hundratal 7 tiotal 8 ental.
Skriv talen på talsortsstreck. 39 a) 8 000 + 400 + 60 + 2
2 687 + 2 613 4 054 + 1 999 189 + 219
44 Skriv talen med bokstäver.
38 Skriv talen i utvecklad form. a) 524
d) 4 203
42 Rita fyra fåror. Vilka olika tal kan du lägga om du har en enda sten? Pröva.
10
1 1
c) 3 021
b) 7 025
c) 9 003
46 Skriv talen.
e) 6 000 + 2 d)
a) 4 tusental 2 hundratal 8 tiotal 5 ental
b) 5 tusental 3 ental
c) 9 tusental 6 hundratal 4 ental
d) 7 tusental 5 tiotal 9 ental
47 Skriv talen. a) 7 e)
f)
g)
100
och 8
b) 9
10
100
och
1
c) 5
1
100
och 3
10
h) 48 Arbeta i par. Tryck in talet 825 på miniräknaren. Turas om att säga vad kamraten ska ändra, t ex ändra 8:an till en 7:a eller ändra 2:an till en 9:a. Välj siffror så att det alltid är olika siffror i miniräknarfönstret. Välj egna starttal med 2, 3, 4 eller 5 siffror.
16
KAPITEL 1 ! Talsystemet 1– 100 000
Eldorado4A.indb 16
17
KAPITEL 1 ! Talsystemet 1– 100 000
2011-04-20 18.43
Eldorado4A.indb 17
s 16–17
2011-04-20 18.43
Röd
Blå
Skriv talen. Rita gärna talsortsstreck. 49 a)
1
1
10
b)
100 100 100
10000 000 10
1
1
100 100 100
10
Uppgifterna på uppslaget är av samma typ som tidigare. Det enda nya är miniräknaruppgiften som ligger sist. Gör gärna den gemensamt, eftersom samma uppgiftstyp finns med även i avsnitt Röd. Uppgiften är lämplig att göra när det är några minuter över. En fördel med den är att alla kan få passande utmaning, eftersom en del kan utgå från tresiffriga tal, andra från femsiffriga och några från hur stora tal som helst eller decimaltal.
d)
10 000
10
e)
10
10000 000 10
1000
10
10
1000
c)
100 100
f)
10000 000 10 10 000
10 000
10
10
10
10
50 a)
b)
c)
d)
51 a)
b)
c)
d)
c) 3 400
d) 10 256
000 11000
1
52 Rita fåror och stenar för talen. a) 1 300
b) 4 230
e) 32 085
53 Rita och pröva vilka tal du kan lägga om du har
Se till att det finns konkret tiobasmaterial, samt fåror och stenar att tillgå för de elever som behöver.
a) fyra fåror och högst två stenar. b) fyra fåror och högst tre stenar. 54 Skriv talen.
Försök att få tid att prata med eleverna en och en eller i grupp för att ta reda på om de verkligen förstått alla aspekter av positionssystemet. Positionssystemet är en grundkunskap, som alla måste känna sig trygga med. Satsa på extraundervisning en stund varje dag för elever som fortfarande är osäkra. Eleverna får då en stabil grund att bygga vidare på, känner att de lyckas och kan behålla sitt självförtroende.
56
Eldorado 4 A Lärarbok
Eldorado_LB_4A_kap1.indd 56
a) 30 000 + 5 000 + 20 + 3 c) 2 000 + 30 + 4
18
b) 50 000 + 2 000 + 300
d) 80 000 + 40 + 9
e) 10 000 + 700
KAPITEL 1 ! Talsystemet 1– 100 000
Eldorado4A.indb 18
2011-04-20 18.43
KAPITEL 1
2011-05-30 14.44
55 Skriv talen i utvecklad form. a) 7 425
b) 10 703
c) 9 045
d) 58 075
c) 14 058
d) 95 305
61 Vilket är talet? Alla siffror i talet är udda. Alla siffror i talet är olika. Summan av tusentalssiffran och hundratalssiffran är 8. Produkten av entalssiffran och tiotalssiffran är 63.
e) 80 309
56 Skriv talen med bokstäver. a) 5 340
b) 30 500
A 7 159
57 Skriv talen med siffror. Kontrollera med miniräknare. a) femtiotvåtusenfyrtio b) fyrtiotusentrehundra c) åttatusenfemtio
28 625 + 23 415 25 ∙ 1 612 72 450 9
A 3
B 50 635
C 50 235
B 32 641
C 32 647
B 4
A 100
D 50 365
D 3 579
C 9
D 26
B 864
C 800
D 885
E 899
64 I landet Fantasia används de här symbolerna för att skriva tal: ental, 1
59 Entalssiffran är störst. Tiotusentalssiffran är större än tusentalssiffran. Tusentalssiffran är hälften av tiotalssiffran. Vilket är talet? A 53 649
C 5 797
63 Ta det största tresiffriga tal som finns och som har alla tre siffrorna olika. Ta sedan det minsta tresiffriga tal som finns och som har alla tre siffrorna olika. Hur stor är skillnaden?
58 Entalssiffran och tiotusentalssiffran är lika. Hundratalssiffran är hälften av tiotalssiffran. Vilket är talet? A 5 365
B 9 745
62 Skriv det minsta tvåsiffriga tal som finns. Lägg till 26. Dividera summan med det största ensiffriga tal som finns. Vilket blir slutresultatet?
tiotal, 10
trettiotal, 30
Talet 23 skrivs:
D 34 829
Talet 42 skrivs:
a) Hur skrivs talet 84?
60 Arbeta i par. Tryck in talet 37 915 på miniräknaren. Turas om att säga vad
kamraten ska ändra, t ex ändra 7:an till en 4:a eller ändra 1:an till en 8:a. Välj siffror så att det alltid är olika siffror i miniräknarfönstret.
A
B
C
D
b) Hur skrivs talet 124? A
B
C
D
c) Skriv några egna tal med siffror och med symboler från landet Fantasia.
KAPITEL 1 ! Talsystemet 1– 100 000
Eldorado4A.indb 19
19
2011-04-20 18.43
20
KAPITEL 1 ! Talsystemet 1– 100 000
Eldorado4A.indb 20
2011-04-20 18.43
s 18–21 I Kinas talsystem finns symboler för entalen 0−9 och för varje talsort, som tiotal, hundratal, tusental, tiotusental osv.
Röd
Siffror 0−9 0 1
I de uppgifter som är av samma typ som tidigare är skillnaden att talen är större här. Uppgifterna 58 och 59 har fyra svarsalternativ, varav endast ett är rätt. Genom att läsa en mening i taget kan eleverna utesluta tal efter tal tills endast ett tal återstår. De kontrollerar då att det talet stämmer med alla påståenden. Uppgift 60, miniräknaruppgiften, är samma som den i avsnitt Blå på s 17, men talet att utgå ifrån innehåller fler talsorter här. I uppgift 62 frågas det efter det minsta tvåsiffriga tal som finns, vilket är 10. Tal som 01 och 02 räknas inte som tvåsiffriga tal. I uppgift 64 finns ett påhittat talsystem med även grupperingen trettio. Talet 42 är alltså en trettiogrupp, ett tiotal och två ental, vilket kräver förståelse av olika grupperingar.
Kinesiska talsystemet
2 3 4
〇 一 二 三 四
Talsorter 5 6 7 8 9
五 六 七 八 九
T ex talet 72 skrivs: 7 · 10 och 2
十 百 千 万
10 tiotal 100 hundratal 1 000 tusental 10 000 tiotusental
七十二
T ex talet 2 345 skrivs: 2 · 1 000, 3 · 100, 4 · 10 och 5
二千三百四十五
Skriv talen med siffror. 65 a) 九千四百二十五
b) 七千八百
c) 六千九十二
66 a) 八万六千一百
b) 九万三百
c) 四万七千八十
67 a) 二万七百一
b) 六万五千三十
c) 四千八十五
68 Skriv egna tal med siffror och med kinesiska symboler.
KAPITEL 1 ! Talsystemet 1– 100 000
Eldorado4A.indb 21
21
2011-04-20 18.43
Jämför det kinesiska talsystemet med det egyptiska och även med vårt talsystem, se s 49.
KAPITEL 1
Eldorado_LB_4A_kap1.indd 57
Eldorado 4 A Lärarbok
57 2011-05-30 14.44
Tallinjer och olika hopp Centralt innehåll i årskurs 4–6 enligt Lgr 11: • Rationella tal och deras egenskaper. • Positionssystemet för tal i decimalform . . . • Tal i bråk- och decimalform och deras användning i vardagliga situationer. [ ... ] • Hur mönster i talföljder och geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas.
Vår tolkning är att: Eleverna ska med säkerhet kunna placera naturliga tal på tallinje. De ska även kunna rita egna tallinjer, lämpade för givna tal. Detta innebär även att behärska hopp med t ex 1, 10 och 100 åt såväl höger som vänster på talraden. Eleverna ska veta att talen ökar i storlek när man går åt höger på tallinjen och att de minskar när man går åt vänster. De ska ha kunskap om naturliga tals användning i vardagssituationer. Eleverna ska kunna fortsätta givna talföljder, samt konstruera egna.
Förkunskaper Centralt innehåll i åk 1–3 enligt Lgr 11: • Naturliga tal och deras egenskaper. . . • Hur positionssystemet kan användas för att beskriva naturliga tal. [ ... ] • Hur enkla mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas.
Vår tolkning är att eleverna ska ha följande förkunskaper: Kunna dela upp talen 1–1 000, samt jämföra, storleksordna och placera tal på tallinjen. Detta innebär att förstå hur man bestämmer vilka tal strecken representerar och att det är lika långt mellan varje litet streck. Kunna beskriva, fortsätta och konstruera enkla talföljder, som t ex 310, 305, 300, 295 . . . och 25, 125, 225 osv.
Eldorado 1–3
Eleverna har mött tallinjer ända från åk 1 och har förhoppningsvis fått arbeta mycket konkret med sådana. De har mött olika indelningar av tallinjer, uppmärksammats på att avstånden mellan strecken på en tallinje måste vara lika men att det kan vara helt andra avstånd på en annan tallinje, att talen blir större åt höger och att tallinjen kan fortsätta till vänster efter talet 0. Eleverna bör dessutom vara vana vid att redovisa på en tom tallinje hur de tänkt vid huvudräkning.
Repetition/fördiagnos inför kapitel 1
Kopieringsunderlag K1 innehåller repetition att använda som en fördiagnos till kapitel 1 i grundboken Uppgift 4: Hur har eleverna tolkat tallinjerna? Är tolkningen konsekvent? Uppgift 5–6: Stämmer hundratalsövergångarna? Klarar de hopp bakåt lika bra som framåt? Det brukar vara svårare bakåt. Hur förklarar de övergångarna? Uppgift 7: Hur avgör eleverna vilka regler som gäller för talföljderna?
58
Eldorado 4 A Lärarbok
Eldorado_LB_4A_kap1.indd 58
KAPITEL 1
2011-05-30 14.44
Tallinjer och olika hopp i Eldorado 4 A För att känna trygghet i aritmetik behöver eleverna förstå talramsans struktur och hur den kan ritas på en linje, s k tallinje. Att ha inre bilder av tallinjer underlättar att t ex se talens grannar __, 80, __ eller att vid t ex 72 − 69 eller 501 − 498 se att här är det enkelt att räkna upp skillnaden eftersom talen ligger nära varandra. Många elever upplever tallinjen som abstrakt och svår, eftersom de kanske bara mött tallinjer som en linje med tal på papper. Det behövs mycket konkret arbete med tallinjer för att uppnå säkerhet och att kunna ”tänka” kring tal med hjälp av tallinjer. Elevernas förkunskaper avgör hur och hur mycket du bör arbeta med tallinjer. På översikten, s 44, finns alla delbegrepp kring tallinjer som tas upp i grundboken och som förklaras i lärarboken.
Eftersom en upprepning av lika långa hopp är en typ av talföljd tas sådana upp här. Det är viktigt att eleverna kan identifiera den regel som gäller genom att jämföra de olika talen i en talföljd. Eleverna ska även kunna konstruera egna talföljder och skriva vilken regel de använt.
Om eleverna inte är vana vid tallinjer så bör de få börja konkret med t ex en tallinje 0–100 eller 0–1 000 ute på skolgården, antingen på en målad tallinje eller med hjälp av ett hundrametersmåttband. Eleverna kan t ex arbeta gruppvis och få talkort som de ska placera ut. Pröva även att använda en klädlina, markera 0 och 100 med klädnypor som har talen skrivna på klädnypan eller på en lapp som är fäst i klädnypan. Dela ut klädnypor med tal eller med talkort som eleverna ska sätta på lämplig plats och motivera platsen. Det är sedan lätt att flytta klädnypan med 0 eller 100 och ge den utmanande frågan: ”Vad händer om 0 är här? Eller här?” Eleverna får då konkret erfara att avstånden på en tallinje ska vara lika mellan t ex alla tiotal och att om nollan flyttas så måste också markeringarna för alla tiotal flyttas. Detta går bra att göra såväl ute som inne i klassrummet, i helklass eller i grupper. Sedan kan eleverna rita olika tallinjer och då möta de delbegrepp som tas upp på sidan Utforska. Begreppen förtydligas här i lärarboken. För att klara 10-hopp och 100-hopp krävs säkerhet på tallinjen och på hur övergångar fungerar när man hoppar framåt och bakåt. Att hoppa bakåt brukar upplevas svårare, varför detta kräver mer träning. Miniräknaren ger här den bästa färdighetsträningen, eftersom eleverna efter varje hopp får feedback på om de sagt rätt tal eller inte.
KAPITEL 1
Eldorado_LB_4A_kap1.indd 59
Eldorado 4 A Lärarbok
59 2011-05-30 14.44
MATTE
Ingrid Olsson · Margareta Forsbäck ELDORADO grundlägger en god matematisk förståelse på ett sätt som väcker lust för matematik. Eleverna får upptäcka matematiken i en undervisning som synliggör begrepp, strukturer och samband. I varje kapitel får eleverna utforska ett lärandemål i taget, arbeta med grundkursen och sedan välja uppgifter på två svårighetsnivåer – blå sidor på samma nivå som grundkursen eller röda sidor med mer utmaningar. Kapitlet avslutas med utvärdering, fördiagnos inför nästa kapitel, repetition samt ett uppslag med klurig problemlösning. I Lärarboken tydliggörs kopplingen till kursplanens förmågor och centrala innehåll samt den matematikdidaktik varje kapitel bygger på. Här finns handledning med kommentarer till varje elevsida och kopieringsunderlag där bland annat läxor och prov ingår. ELDORADO är ett läromedel i matematik med genomtänkt progression och samma författare för FK–åk 6. Åk 4 består av:
Grundbok 4 A
Lärarbok 4 A
Facit 4 A
Grundbok 4 B
Lärarbok 4 B
Facit 4 B
Läs mer på www.nok.se/eldorado
ISBN 978-91-27-42021-2
9 789127 420212
Omslag_Eldorado4A_Lararboken.indd 2
2011-05-31 11.25