9789147100323

Matematik och respekt

C

I praktiken

F I praktiken

håkan lennerstad

Matematik och respekt

ann-louise ljungblad

sätt att göra det lättare för elever att samtala om matematik med varandra och lärare – att upptäcka matematiken i dialog med andra. Det gäller att skapa förutsättningar för matematikdialogen och möjlighet för nyfikenheten att växa.

Boken innehåller fantasifulla kartor med matematiskt innehåll som elever ritat i grupp och tar upp centrala tankar och frågor om siff ror, tal och antal som elever kan vidareutveckla. Dessa tankar fördjupas i nästa kapitel där elever visar en mångfald inom hur de utvecklar en antalsuppfattning. Ett annat kapitel tar upp tankar om tid, som är abstrakt men ändå betyder så mycket för oss, och har en tydlig matematisk sida. Nästa kapitel beskriver ett estetiskt och bildmässigt sätt att använda funktioners grafer för att nå förståelse om funktioner – ikonisk matematik. Boken redogör även för ett sätt att utveckla en fruktbar lyssnande reflektion mellan lärare, forskare, ämnesföreträdare och andra om matematiken i skolan, som alla vinner på.

Tvillingboken heter Matematikens mångfald och lyssnandets konst och går på djupet angående vilka hinder och möjligheter det finns för att alla elever ska kunna gå in i en dialog om sitt matematiska tänkande i skolan, och därmed komma vidare i sitt matematiklärande. Båda böckerna vänder sig till blivande och verksamma matematiklärare, lärarutbildare samt andra intresserade av elevers möte med matematiken.

Boken har en bred erfarenhetsbas. Den består av matematikundervisning och utvecklingsarbete kring matematiksvårigheter i skolan genom Ann-Louise Ljungblad, som är specialpedagog och doktorand i pedagogik. Den består också av forskning i matematik och matematikdidaktik genom Håkan Lennerstad, som är docent i tillämpad matematik. Båda är matematiklärare med lång erfarenhet och författare till böcker om matematik eller matematiklärande.

M

lennerstad & ljungblad

M

atematik och respekt – i praktiken beskriver konkreta

Best.nr 47-10032-3 Tryck.nr 47-10032-3

Matte respekt G5 Omslagsoriginal.indd 1

2012-04-16 10.30

ISBN 978-91-47-10032-3 © 2012 Håkan Lennerstad och Ann-Louise Ljungblad och Liber AB

förläggare: Anna Maria Thunman projektledare: Magnus Winkler omslag: Birgitta Dahlkild produktion: Jürgen Borchert

Första upplagan 1

repro: Repro 8 AB, Stockholm tryck: Indien 2012

kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningssamordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuspresskopia.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

Inlaga Lennerstad G5.indd 2

2012-04-04 12.57

Innehåll Förord 4 Inledning om bokserien 7 1.

Om ett dialogiskt upptäckarparadigm 12

2.

Matematikkartor 36

3.

Tankar om siffror, tal och antal 48

4.

Tankar om tid 83

5.

Ikonisk matematik 107

6.

Att lära av angränsande kompetenser 134

Referenser 152 Register 158

Inlaga Lennerstad G5.indd 3

2012-04-04 12.57

Förord vi som skrivit denna bokserie om elevernas möte med matematik har mycket olika bakgrund. Ann-Louise Ljungblad är matematiklärare och specialpedagog, med särskild inriktning mot komplext lärande i matematik, doktorand i pedagogik samt verksam som rådgivare på Specialpedagogiska skolmyndigheten. Håkan Lennerstad är docent i tillämpad matematik vid Blekinge Tekniska Högskola och forskningsverksam huvudsakligen i matematik, men även i matematikdidaktik och om lärares praxiskunnande. Vi delar flera starka intressen som har gjort skrivarbetet lustfyllt och stundtals överraskande. Det ena är intresset för matematiken och för den mångfald av sätt att uppfatta och förhålla sig till matematiken som framkommer när man lyssnar på olika människors beskrivningar, vilket är otroligt fascinerande i sig. Det andra är en djup önskan om att eleverna ska må bra och verkligen känna att de utifrån sina egna förutsättningar lyckas i sina möten med matematiken. Vi har en vision om att skapa en positiv och utvecklande atmosfär, där elever trivs och känner att de i en gemenskap kan lära och utveckla nytt matematiskt kunnande utifrån sina personliga förutsättningar.

Denna bok ingår i serien Matematik och respekt, och har undertiteln I praktiken. Den andra, mer teoretiska delen har undertiteln – Matematikens mångfald och lyssnandets konst. Vi vänder oss till verksamma matematiklärare, speciallärare, specialpedagoger, lärarstudenter, matematiker, skolledare, skolpolitiker samt pedagogik- och didaktikforskare, men även till föräldrar, politiker, journalister och alla som har ett intresse eller engagemang för matematiken i skolan och för elevernas bästa. När vi i texten skriver matematiklärare innefattar det alla ovan nämnda lärarroller, oavsett om man går sin lärarutbildning och är ute på olika skolor i varierande arbetslag på sin verksamhetsförlagda utbildning, eller om man som lärare arbetat ett par år eller har lång yrkestid bakom sig. Vi har en önskan om en inbjudande dialog kring att något fundamentalt måste förändras i matematikundervisningen. Vi tror att för elever kan matematiktimmarna vara mycket mera upptäckande av sätt att räkna och tänka matematiskt, på deras villkor, och som möter elevers mångfald på positiva och respektfulla sätt. Detta skulle bidra till ett naturligt större intresse för matematik, ökade kunskaper och skicklighet. Det finns ett flertal exempel på detta ute i praktiken, men de har dessvärre karaktären av undantag. Visst kan det kvalitativa matematiksamtalet och lärandet i stället vara regel i skolan! Vi är övertygade om det. Men detta är en bred och djup fråga som berör såväl skolans organisa4

Inlaga Lennerstad G5.indd 4

2012-04-04 12.57

tion, våra relationer i skolan, matematikens specifika egenskaper som den historia och tradition som lett fram till var vi står i dag. Därför ger vi oss i kast med dessa frågor genom att försöka grunda våra resonemang på fyra plan: pedagogiskt, didaktiskt, kommunikativt samt matematiskt. Vi hoppas på såväl en framtida yrkesövergripande ömsesidig dialog kring dessa tankar som konkreta planer på att driva skolans utveckling i nya riktningar.

Ett stort tack till Eva Riesbeck (lektor i matematikdidaktik), Carl Anders Säfström (professor i pedagogik) och Lars Mouwitz (adjungerad professor i yrkeskunnande och teknologi) som har läst delar av bokserien och på olika sätt gett många värdefulla förbättringsförslag. Vi tackar dem, men naturligtvis står vi som författare ensamt ansvariga för böckernas hela innehåll.

Hur kan man på bästa sätt läsa böckerna i denna serie? Jo, här i den praktiska delen beskriver vi ett antal matematikdialogiska utvecklingsarbeten som vi själva under många år drivit med elever och studenter inom såväl grundskola, särskola som vid universitet. Vi är alla lärare i dagens rådande kultur och vet genom dessa utvecklingsarbeten hur svårt det är att förändra sin lärarroll, dialog och undervisning. Men det är också otroligt spännande och inspirerande när man går in i förändringsarbeten och ser att det tillsammans med elever och kollegor går att skapa förbättringar.

Man kan förundras över att vår undervisningskultur fortfarande står så långt ifrån en levande matematikdialog och god förståelse för matematiken i skolan, trots att sådana mål har varit centrala för skolan sedan 1950-talet och även tidigare. Vi menar att det finns en lång rad ganska djupgående orsaker bakom denna stora klyfta mellan skolans mål och den praktik de flesta elever upplever. Insikten om dessa orsaker är grunden för den praktiska boken, och det är dessa frågor vi synar närgånget och från många synvinklar i den teoretiska boken. Här beskriver vi teoretiskt ingående våra reflektioner och vår analys kring hur ett dialogiskt upptäckarparadigm kan växa fram i vår kultur, utifrån elevernas synvinkel och med respekt för deras behov, i samspel med matematikens komplexitet. Det är upp till dig, kära läsare, om du vill börja med praktiken eller med teorin.

Ett grundantagande för oss författare är att alla elever får möjlighet att under hela sin skolgång känna sig välkomna och delta i en givande dialog om den egna matematiska verksamheten och vad den betyder – utifrån sina personliga förutsättningar. Detta är kärnan i vad vi menar med att mötas med respekt: att bli lyssnad på. Alla inblandade parter i skolmatematikens verksamheter behöver utveckla lyssnandet till varandra och se hur olika vi människor tänker i matematikarbetet. Vi vill beskriva detta som skolmatematikens särskilda problem. Att lyssna kan vara svårt, särskilt när vi delar våra tankar om matematik, vilket gör detta till ett avancerat mål! Men vår 5

Inlaga Lennerstad G5.indd 5

2012-04-04 12.57

förhoppning är att vi kan nå denna vision tillsammans. Du, kära läsare, får gärna bidra med dina erfarenheter och åsikter! För detta finns hemsidan www.matematikochrespekt.se som vi hoppas ska kunna utvecklas till en inspirerande mötesplats där erfarenheter kan utbytas. Varmt välkommen!

Låt matematiken genljuda av verkliga problem, intensivt lyssnande och nyfikna förutsättningslösa samtal och dialoger! Varje gång vi lyckas med det gör vi kulturen öppnare, vi visar att matematisk upptäckarglädje finns.

Gemensamt kan vi göra matematiken alltmer framkomlig för nya generationer elever. Inte minst blir det betydligt mer spännande att vara lärare.

Författarna, Träslövsläge januari 2012

6

Inlaga Lennerstad G5.indd 6

2012-04-04 12.57

Inledning om bokserien denna bok ingår i bokserien Matematik och respekt. Den bok du nu håller i din hand har underrubriken – I praktiken, medan den teoretiska boken har underrubriken – Matematikens mångfald och lyssnandets konst.

Inledningsvis beskrivs här innehållet i de båda böckerna kortfattat, samt hur de hänger ihop.

Från början hade vi författare enbart tänkt skriva en mindre bok om en diskursändring där upptäckande och förståelseinriktade matematikdialoger skulle bli vanligt och naturligt för alla elever i skolan. Men detta arbete växte och fördjupades genom åren av skrivande. Det blev alltmer klart att steget till lättillgängliga matematikdialoger för elever är ett mycket stort steg. Detta avspeglar i högsta grad klyftan mellan skolans sedan länge uttalade målsättningar just i denna riktning, och den brist på dialog som är väldokumenterad (lysande undantag finns). Vi fann två grundsvårigheter för matematisk kommunikation: att lyssnandet uppenbarligen är särskilt svårt i matematik, och att matematiken själv är långt mer mångfaldig, mångsidig och mångtydig än den vanligen beskrivs. Detta är några grundteman i boken Matematikens mångfald och lyssnandets konst, som försöker ta ett helhetsgrepp om vad som behövs för att göra elevers upptäckande matematikdialoger självklara i skolan. Denna utgångspunkt visade sig peka i många olika riktningar.

Dialog om matematik är ett område som vi författare – trots våra olikheter – fascinerats av under många år. Vi har som matematiklärare utvecklat olika konkreta sätt att stimulera dialog om matematik i vår undervisning på olika nivåer inom undervisningssystemet. Dessa är samlade i denna volym: I praktiken. Här beskriver varje kapitel en utvecklingsidé, men boken har även ett inledande kapitel som teoretiskt sammanfattar dessa tankar liksom grundidéerna i Matematikens mångfald och lyssnandets konst. Men denna bok har i stället fokus på praktiska skolutvecklingsarbeten och ger utrymme åt konkret pedagogisk och didaktisk verksamhet som vi själva arbetat med, gällande ett prövande av utveckling mot ett dialogiskt upptäckarparadigm i praktiken. Detta hoppas vi ska inspirera i skolvardagen.

7

Inlaga Lennerstad G5.indd 7

2012-04-04 12.57

Matematikens mångfald och lyssnandets konst I den teoretiska boken möter läsaren kapitel som behandlar kommunikativa samt etiska och moraliska aspekter av undervisningen som till exempel: Matematiska dialoger - ett mänskligt möte, Lyssnandets komplexitet, Demokrati, Makt och matematik, Matematisk mångfald och Ta skillnaderna seriöst.

Ett viktigt tema som återkommer och problematiseras är just möjligheten att möta elevernas mångfald. Utifrån en sociokulturell teoretisk ansats studerar vi också hur elever lär med hjälp av olika redskap och vikten av lärarens förtolkning (mediering), samt tittar på hur matematiskt lärande kan ske från en generation till en annan. Här återfinner vi följande rubriker: Matematiken lever i ett socialt och kulturellt samspel, Matematikens källa – tillämpningarna och Siffror som tankeredskap. För att förstå varför det är så komplext att undervisa i just ämnet matematik, låter vi också matematiken i sig vara utgångspunkten i några avsnitt under följande tema: Vad är så speciellt med matematiken?, Matematiska resonemang och Synen på matematik. Vi gör också djupare analyser kring matematik som språk i kapitlen Två språk: Matematiska och svenska samt Översättningar – en bro mellan språken. Även om hela boken är fokuserad på att förstå svårigheter på olika nivåer inom matematikundervisningen, för att finna nya möjligheter i dialoger med elever och studenter, så återfinns ett par kapitel som generellt reflekterar kring matematikkulturen gällande dessa aspekter: Elever med särskild fallenhet för matematik och Lärares och matematikers matematiksvårigheter. Vi tar också upp Kreativitet, rädsla, mod och matematik samt det lite ovanliga temat Poesi och matematik, men som ändå berör den uttrycksfrihet vi behöver ge elever tillgång till. Slutligen blickar vi framåt med Matematiken – vi – framtiden. Detta kapitel är mer än de andra lärarnas kapitel. Vad kan lärare som redan är hårt pressade göra och vilka förutsättningar kan skapas för lärarna på sikt?

I praktiken Nu till kapitlens innehåll i denna bok – I praktiken. Metaforer är ett viktigt redskap för lärande i alla ämnen, dock mera sällan förekommande i matematikämnet. Kapitel två beskriver hur elevgrupper på alla nivåer i grundskolan själva har formulerat matematikens samband i den matematik den känner till, med geografi som en så kallad global metafor för matematik. Verksamheten kallas oftast Matematikkartor. Dessa kartor är fyllda av lokala metaforer som till exempel en fiskare vid en sjö där alla tal simmar omkring, och fiskarens krok är ett x, för det kan vara vilket tal som 8

Inlaga Lennerstad G5.indd 8

2012-04-04 12.57

helst. Eller en motorväg som heter miniräknare eftersom man fort kommer fram på den. Detta arbete görs i grupp där man sätter geografiska ord och metaforer på sina personliga matematikerfarenheter, lyssnar på andra elever och formar sin matematikuppfattning till en gemensam helhetsbild.

Eleverna själva beskriver detta arbete som både roligt och lärorikt, genom att de får en bredare kunskap om matematiska begrepp som annars är ganska svåra att förstå och ta till sig. Lärare säger att de genom att lyssna till elevernas reflektioner under skapandet av sin mattekarta har fått nya intressanta och berikande insikter om elevernas lärande och utveckling.

Tankar om siffror, tal och antal är det tredje kapitlet. Det beskriver ett stort tillgängligt material av elevintervjuer och didaktiska implikationer för skolpraktiken, som är resultatet från ett mångårigt dialogiskt skolutvecklingsarbete i grundskolan. Syftet för det arbetet har varit att skapa förståelse för varför elever i behov av särskilt didaktiskt stöd i matematik uppvisar stora svårigheter inom grundläggande aritmetikarbete (Ljungblad, 2003a).

Det gör att lärare och elever ofta hamnar i kommunikationssvårigheter och har svårt att förstå varandra i gemensamma matematikdialoger. Här beskrivs hur svårigheterna kan förstås rent didaktiskt och hur skolor med fokus på detta kan utveckla dialogen i skolmiljön, så att nya möjligheter skapas för elevernas lärande och utveckling inom ”Antalsuppfattning” och matematiskt processtänkande. Detta kapitel är kopplat till kapitel sex, Siffror som tankeredskap i bokvolymen Matematikens mångfald och lyssnandets konst, där en inkluderande teoretisk modell ingående beskrivs utifrån resultatet av analysen kring dessa elevintervjuer.

Vi betonar också vid ett flertal tillfällen i Matematikens mångfald och lyssnandets konst vikten av en utvecklad lärarkompetens både gällande hur vi ställer frågor och inte minst lyssnandet till elevers olikheter. Därför har kapitel fyra i denna praktiknära bok rubriken Tankar om tid, och ägnas helt åt temaområdet tidsuppfattning. Här återfinns massor av konkreta frågor kring tid – en tidstankebank – som lärare och lärarstudenter i matematik direkt kan använda i praktiken för att pröva ett större utbud av varierande frågor gällande tidsuppfattning. Utbudet ger möjlighet för pedagogen att utveckla sin professionella kompetens att fråga, möta och lyssna till varierande svar när man ger sig in ett liknande dialogarbete. När det gäller begreppet ”rätt svar” kan man från ett något ovanligare perspektiv närma sig detta på följande sätt, nämligen: att det inte alltid finns rätta eller felaktiga svar. Man kan alternativt se det som så att man som lärare ännu inte nått fram till rätt frågor för just den eleven – att hitta de frågor som öppnar upp det matematiska förståelseproblemet. Det kanske inte handlar om att svaret är fel utan mer om att rätt fråga saknas. Vi hoppas professionellt kunna stödja en ökad mångfald med frågorna i tidstankebanken, 9

Inlaga Lennerstad G5.indd 9

2012-04-04 12.57

eftersom människor har högst personliga upplevelser och tankar om tid, vilket behöver förstås och mötas med respekt i undervisningen.

Matematisk estetik och geometri är centralt i kapitel fem under rubriken Ikonisk matematik. Bildmässighet är här en utgångspunkt för att beskriva funktionsbegreppet, som ju spelar en central roll för hela matematiken, med början i grundskolans senare del. Funktioner kan ses som bilder i termer av grafer, och då är nästan alla av de viktigaste egenskaperna lätt formulerade egenskaper i dessa bilder. Här är grafer av de viktigaste funktionerna liksom funktionernas viktigaste egenskaper noterade med lättbegripliga geometriska ikoner i respektive ruta, samt sammanbindande relationer mellan funktionerna. Allt bildar en enda geometrisk och konceptuell helhetsbild över matematikens funktionsbegrepp.

Det är inte någon revolutionerande observation att säga att bristen på matematisk dialog i skolan hänger samman med en brist på matematisk dialog i andra matematiska sammanhang. Lärarutbildningen är inte fattig på dialog men, troligtvis, på matematisk dialog, sett ur lärarstudenters synvinkel. Kapitel sex Att lära av angränsande kompetenser handlar om att skapa konstruktiva dialoger och ömsesidigt lärande mellan skilda matematiska kompetenser. Det gäller kanske här främst följande matematikkompetenser: matematiklärare, matematikstudenter, forskare i matematikdidaktik och pedagogik samt matematiker. Detta kan på flera plan i förlängningen underlätta dialogen mellan matematiklärare och matematikelever. Kapitlet beskriver en framgångsrik metod, kallad dialogseminariet, som är utvecklad inom forskningsområdet yrkeskunnande och teknologi. Liknande utvecklingsarbete kan användas för att nämnda kompetenser samarbetar på ett lyssnande och ömsesidigt fruktbart sätt runt till exempel centrala frågor som matematiklärare möter i sin praktik och försöker finna lösningar och möjligheter kring. I sådana dialoger kan forskare i matematikdidaktik och matematiker delta och ge mycket värdefull hjälp, men återigen beror det i hög grad på lyssnandet från alla parter. Även andra yrkeskategorier, såsom skolledare och ingenjörer, kan delta om det behövs för det mål man har för det specifika dialogseminariet.

Utveckling på alla nivåer inom matematikkulturen är synnerligen viktigt framöver, och vi kommer därmed I praktiken att röra oss alltifrån yngre elevers grundläggande aritmetikarbete upp till matematik på gymnasienivå samt med konkreta exempel på utvecklingsarbete inom universitetsvärlden.

Så låt oss nu i första kapitlet börja med en sammanfattning om våra tankar och visioner kring ett dialogiskt upptäckarparadigm. Kapitlets innehåll fördjupas teoretiskt på många sätt i Matematikens mångfald och lyssnandets konst. Samtidigt kan det konkretiseras av kapitel två till kapitel sex i denna praktiknära bok. Det är viktigt att betona att den fulla förståelsen 10

Inlaga Lennerstad G5.indd 10

2012-04-04 12.57

kring paradigmet vi beskriver erövras av såväl djup teoretisk analys som i relation till praktiknära utvecklingsarbeten, där en upptäckande dialog getts möjlighet att växa fram. Det är när teori och praktik samverkar och bekräftar varandra som ett resultat blir trovärdigt, och dessutom kan det återupprepas och utvecklas än mer.

Vi vill välkomna till en ömsesidig dialog om dessa tankar. Allt för att fler elever lättare ska bli lyssnade på, finna matematiskt självförtroende och känna sig respekterade utifrån sina personliga sätt att fördjupa det matematiska tänkandet och kunnandet.

11

Inlaga Lennerstad G5.indd 11

2012-04-04 12.57

1. Om ett dialogiskt

upptäckarparadigm Det är inte allt som kan räknas som räknas, och inte allt som räknas som kan räknas. albert einstein

Demokratins grunder, matematiken och eleven

V

år undervisningskultur utgår från en värdegrund som tydligt säger att alla medborgare har rätt till utbildning, vilket naturligtvis också gäller ämnet matematik. Dessa fundamentala demokratiska värderingar genomsyrar våra läroplaner.

Det finns också andra styrdokument som till exempel barnkonventionen (2006, 2007, 2008), vilken betonar barnets rätt till utbildning (artikel 28), och där utbildningen ska syfta till att utveckla barnets fulla möjligheter i fråga om personlighet, anlag samt fysisk och psykisk förmåga (artikel 29).

Dessa demokratiska visioner är vi överens om i vår kultur. Låt oss känna oss tillfreds med att vårt samhälle har nått så här långt.

Man kanske kan sammanfatta denna värdegrund med att varje elev ska mötas med respekt. Vi vill dock utveckla det ovan nämnda till att även inkludera att varje elev ska bli lyssnad på när det gäller lärande i matematik.

Det handlar om ett ansvarsfullt lyssnande på vad elever har att säga och deras rätt att uttrycka sig inom matematikundervisningen. Vuxnas lyssnande på barn är inte alltid så lätt eftersom barn inte sällan behöver hjälp med att formulera sig när de försöker erövra ny kunskap. Man kan inte vänta sig matematiskt fulländade frågor och svar från elever, utan lärare måste vara beredda på ett dialogiskt bollande av matematiska tankar, ett successivt formulerande. Respektfullt lyssnande är därför ett av de absolut viktigaste fundamenten i en god dialog.

Här finns också en grundläggande potential för skolan att fortlöpande utveckla lärarens skicklighet som didaktiker. Klyftan mellan vad läraren avser att förklara i en undervisande situation, jämfört med vad eleven verkligen förstår, kan i realiteten krympa om det finns plats för ett gott 12

Inlaga Lennerstad G5.indd 12

2012-04-04 12.57

ämnesmässigt lyssnande. En lärare kan ständigt erövra nyvunnen kompetens i mötet med varje elev eller student, vilket ger aktuella insikter i elevers verkliga svårigheter och möjligheter att lära matematik. Lärarens lärande är dessutom långsiktigt genom att det kan influera många elevers lärande under åtskilliga år. En god ämnesdialog innebär att både elev och lärare lär sig mer. För eleven gäller detta lärande ämnet matematik, och för lärarens del gäller det hur elever förstår ämnet i sig. Om detta ömsesidiga lärande sker på ett öppet sätt kan en elev dessutom känna att dennes aktivitet inte bara bidrar till det egna lärandet, utan även till klasskamraters och kommande klassers. Det leder till att eleven kan känna att det egna tänkandet är värdefullt, inte bara för eleven själv utan också för andra människor. Vi menar alltså att kvalitén på det ämnesmässiga samtalet spelar en central roll för såväl elevens lärande och utveckling som för lärarens kompetensutveckling. Men dialog tycks vara särskilt svårt just när det gäller matematik.

Att förena respektfull dialog med att matematiken blir mer lättillgänglig för eleverna – det är syftet med bokserien Matematik och respekt.

Men som vi vet finns det i dag stora problem i skolan när det gäller matematikundervisningen gällande dessa mål. Matematikdelegationen (SOU, 2004) visade på stora brister runt omkring i landet, och ännu mer kritisk var Skolinspektionens rapport Undervisningen i matematik i gymnasieskolan (Skolinspektionen, 2010). Denna senare undersökning gäller Matematik A som till stor del är en repetition av grundskolans matematik.

Man säger i rapporten att lärarna tenderar att inrikta lektionerna alltför mycket på mekanisk räkning och ha för lite fokus på förståelseinriktad undervisning. Till dessa problem kommer en växande grupp elever som årligen lämnar skolan men som ännu inte erövrat tillräckligt matematiskt kunnande för att som vuxna självständigt kunna hantera arbete, familjeliv och fritid (Ljungblad, 2006). Det avspeglar sig i resultatuppföljningen av elevernas uppnåendemål skolår nio, där matematik är det ämne som under lång tid kämpat med de sämsta siff rorna (se www.skolverket.se).

Matematiskt kunnande är viktigt ur många aspekter. Tine Wedege vid Malmö högskola har betonat att ”matematik är maktens språk”. Matematiskt kunnande ger makt i den bemärkelsen att den som kan mer matematik är i överläge mot den som kan mindre när man diskuterar och ska arbeta tillsammans. Matematik kan också utestänga folk från utbildningar och yrken genom att ens liv kan avsevärt begränsas om man inte erövrat en viss matematik. Det är naturligtvis också oerhört viktigt för samhället att fler studenter behåller sitt intresse för matematik och att tillräckligt många läser vidare på universitet och tekniska högskolor med goda resultat. Men det finns också en annan aspekt som är vacker, och det är att matematiskt kunnande ger frihet i tankeprocesser, frihet för individen att med mate13

Inlaga Lennerstad G5.indd 13

2012-04-04 12.57

matiken som redskap ta sig in i nya fält och ämnen, eftersom matematik är ett språk som ständigt finns runt omkring oss i livet.

Undervisningssystemet uppvisar i dag grundläggande motsägelser: höga mål, resultat som tycks vara oförändrat långt ifrån målen, och en mycket hårt arbetande lärarkår som sliter för att förverkliga läroplanens intentioner på alla plan. Klyftan mellan skolans allmänna kunskapsmål i matematik och resultat är entydig, men den är ännu tydligare vad gäller skolans mål gällande kommunikationsförmågan. Ensamräknandet har ökat medan den verbala matematiska verksamheten snarare har minskat, trots att lärare säkert gör allt vad de kan för att nå målen. Därför tar denna bokserie sin utgångspunkt i frågan om matematisk förståelse och insisterar på att den viktigaste grunden för förståelse är en god och respektfull ämnesdialog mellan elever och lärare. Vi lärare behöver utveckla ökat kunnande kring hur våra elever kan uppfatta matematiken på en mängd skilda sätt. Centrala frågor blir därmed: Hur bejakar man elevernas mångfald? Hur bejakar man lyssnandet i matematik så att elever och lärare bättre förstår varandra i ömsesidiga dialoger? Målet är att elever utvecklar en god förståelse i matematik och att vi lärare ökar vår professionella kompetens när det gäller att på varierande sätt stödja elevers matematiska tänkande och görande.

Sammanfattningsvis kan man säga att skolans resultat är långt ifrån sina mål. Det gäller inte minst de grundläggande demokratiska värderingarna om att alla medborgare ska ges möjlighet att erövra ett matematiskt kunnande som är välfungerande och ger livskvalitet. På nationell nivå har under senare år stora ekonomiska medel tilldelats skolutvecklingsarbeten i matematik (se www.skolverket.se). Dessutom har den angelägna diskussionen förts om vikten av dialog i matematikundervisningen bland såväl lärare som forskare i pedagogik och didaktik under många år. Det råder koncensus om att det behöver satsas på ökad matematisk förståelse i skolan, ändå finns det inte någon generell påtaglig utveckling åt detta håll, mer än exempel på enstaka lärares insatser.

Frågar man eleverna hur de upplever sin matematikundervisning, så beskrivs en huvudsaklig inriktning mot att de förväntas finna rätt svar på matematiska frågor eller problem, och att eleven känner sig relativt ensam i denna arbetsuppgift. En beskrivning som måste tas på största allvar. Man kan ana att motivationen lätt försvinner när målet för problemlösandet, som så ofta i dagens praktik, är ett görande där man letar efter det rätta svaret och sedan så snabbt som möjligt tar sig an nästa uppgift. Förståelsen för vad man själv gör som elev kan till följd av detta kännas tunnare och tunnare. Hur många av oss vuxna skulle tycka att ett liknande arbete vore berikande och något vi själva skulle vilja engagera oss i? Vi menar att det är tydligt att dagens skola (inte bara i Sverige) har en stark slagsida åt 14

Inlaga Lennerstad G5.indd 14

2012-04-04 12.57

sökande efter rätt svar, och utifrån elevers perspektiv kan man därmed tala om att ett rätt-svar-paradigm dominerar. Rätt svar är naturligtvis alltid viktigt, men alltför ensidigt fokus på detta kan försvåra utvecklandet av en god matematisk förståelse. dialogiska funderingar • Hur ser du som lärare eller student på barnkonventionen?

• Vilka hinder ser du och vilka möjligheter finns för att stödja barns rättigheter även i matematikundervisningen?

• När det gäller demokratiska aspekter av matematiskt kunnande i samhället är det en viktig diskussion som förs i dag. Men hur kan demokrati förverkligas naturligt även i matematikundervisningen?

• En god och respektfull ämnesdialog mellan elever och lärare – vad betyder det för dina elever? Dig och ditt arbetslag? Din skola?

• Det ansvarsfulla och respektfulla lyssnandet i matematikundervisningen – hur kan det se ut?

Dialogiskt upptäckande ur elevers perspektiv Därmed låter vi elevernas upplevelser av matematikarbetet också bli utgångspunkten för nya tankar kring utvecklingsarbetet av matematikundervisningen. Motivation och lust att lära matematik kan skapas i mänskliga möten, i en gemenskap mellan elever och lärare med kompetens att möta matematisk mångfald. Vi hoppas på att ett dialogiskt upptäckarparadigm kan ges möjlighet att växa fram i skolan. Med det menar vi en verksamhet där elever uttrycker förväntningar på kommande matematiktimmar som ”Jag undrar vad vi ska upptäcka för matematik i dag?”. Snarare än ”Jag undrar vilka nya problem jag måste hitta rätt svar på?”, som är mer karaktäristiskt för dagens dominerande rätt-svar-paradigm. Den väg vi vill gå är att utveckla en skolpraktik som bättre förstår dialog och respekterar elevers mångfald. Mycket talar för att matematik är särskilt svårt att ha en bra dialog omkring, och för att lyckas måste vi i samklang med detta utveckla djupare förståelse för matematiken och dess kultur. Det betyder inte att ta bort arbete som innebär att ”jag måste beräkna”. Ytterst handlar detta om tyngdpunkter, och vi menar att dagens situation kännetecknas av ett extremt ensidigt ”jag beräknar”, och synnerligen sällsynt av ”vi upptäcker”.

Kunskaper behöver förankras både i ett ”vi” och i ett ”jag”. Styrkan ligger i ”vi:et” som kan stödja ett upptäckande av matematisk förståelse, något 15

Inlaga Lennerstad G5.indd 15

2012-04-04 12.57

som ”jaget” inte självt kan göra i samma utsträckning.

Vi matematiklärare känner dagligen hur komplicerat det är att gå djupare i matematikdialoger med våra elever och studenter. Kanske är den demokratiska dialogen i matematik den svåraste av alla undervisande dialoger att realisera? Vi kan se ett generellt, nationellt mönster där vi är överens om vilket håll skolutvecklingen bör sikta mot – en ökad kommunikation som är berikande för eleven, men som trots det fortsätter att vara envist långt från verkligheten. Här finns en stor didaktisk potential till utveckling och den nöten har vi lärare inte lyckats knäcka, ännu.

Kapitlen i denna bok innehåller ett antal olika sätt att ge den lyssnande matematikupptäckande dialogen nya möjligheter, och det finns naturligtvis många fler varianter. Förhoppningen är att dessa sätt som vi själva arbetat med ska inspirera lärare till att pröva liknande idéer. Möjligtvis är dagens otillfredsställande resultat en konsekvens av att matematiken fortfarande är en mycket konservativ kultur som vi alla är en del av. När vi har dessa rådande kulturella glasögon på oss kanske nya uppslag aldrig prövas. Då kan inte heller en utveckling bli verklighet. Det kommer att krävas ett fundamentalt, hårt skolutvecklingsarbete av oss alla för att kunna vrida undervisningen mot ett dialogiskt upptäckande synsätt. Vi står inför en mångårig arbetsprocess där en mångfald av idéer, aspekter och perspektiv behöver prövas, diskuteras och analyseras samt beforskas.

I återstoden av detta kapitel diskuterar vi några huvudpunkter gällande hur man kan komma vidare med frågan om hur dialogiskt upptäckande kan bli karaktäristiskt för elever inom matematikämnet. Det är också huvudtemat bakom tankarna som vi teoretiskt fördjupar i Matematikens mångfald och lyssnandets konst. Vi menar att ett dialogiskt upptäckande är något som alla lärare ganska självklart vill ha tillgång till i sin matematikverksamhet! Som vi ser det är ett dialogiskt upptäckande till stor del intressant, roligt och berikande för alla inblandade parter. Det ömsesidiga arbetet skapar gemenskap genom att omgivningen tar hänsyn till individers olikheter, och det leder till nya upptäckter kring människors varierande sätt att se matematiska förhållanden. Dessutom utvecklas samtidigt individens självförtroende och respekt om sitt eget och andras tänkande. Det ger också goda matematiska ämneskunskaper om dialogen leds mot skolans mål i matematik. Som en ytterligare poäng har matematiken genom sin logiska struktur en stor möjlighet att utbilda eleverna i argumentation och logiska resonemang. Här finns en demokratisk potential som matematiken kan vara en del i. Men det kräver dialog och prövande om de matematiska påståendena, och hur de eventuellt hänger ihop. Ett öppet prövande är för oss karaktäristiskt för en dialogiskt upptäckande verksamhet.

16

Inlaga Lennerstad G5.indd 16

2012-04-04 12.57

dialogiska funderingar • Ett dialogiskt upptäckarparadigm – vad kan det betyda för elever?

För lärare? Skolledare och skolpolitiker? Föräldrar? Didaktiker och forskare?

• Hur kan man som lärare tänka nytt och arbeta för att skapa ett öppet prövande klimat i klassen?

• Hur utvecklar man i gruppen en respekt för andras tankar – som inte liknar ens egna?

Vad hindrar ett dialogiskt upptäckande av matematik?

Vår utgångspunkt är alltså den centrala målsättningen att fördjupa den matematiska dialogen mellan lärare och elever. Detta handlar inte bara om utveckling mot större matematisk förståelse, utan även om högre säkerhet i räknandet. I Matematikens mångfald och lyssnandets konst utvecklar vi synsätt om hur dialogiskt upptäckande kan bli möjligt med hjälp av många olika perspektiv. Upptäckande dialoger bör naturligt och till stor del handla om vad som händer under elevers räknande – själva processtänkandet. Här är några frågor som blir aktuella om vi vill komma vidare i vår undervisning och stödja utvecklingen i liknande riktning: 1. Vad innebär dialog som möter elevers olikheter och skillnader?

2. Hur kan man som lärare i dialogen stödja elevernas upptäckande av nya matematiska strukturer?

3. Vilka former av ämnesmässig dialog är möjliga att organisera?

4. Vilka speciella egenskaper har matematiken?

5. Vilka speciella kännetecken har matematikkulturen?

6. Hur kan de matematiska yrkeskompetenserna inom matematikkulturen samarbeta och lära av varandra? (Exempelvis matematiklärare, lärarstudenter i matematik, forskare i matematikdidaktik och pedagogik, matematiker samt lärarutbildare.)

Dessa frågor har mycket olika karaktär. Vi menar att en stor svårighet för dagens matematikutbildning är att de alla hänger ihop inom matematikkulturen och samtliga behöver lösas parallellt. Det är ett viktigt skäl till att vi 17

Inlaga Lennerstad G5.indd 17

2012-04-04 12.57

Matematik och respekt

C

I praktiken

F I praktiken

håkan lennerstad

Matematik och respekt

ann-louise ljungblad

sätt att göra det lättare för elever att samtala om matematik med varandra och lärare – att upptäcka matematiken i dialog med andra. Det gäller att skapa förutsättningar för matematikdialogen och möjlighet för nyfikenheten att växa.

Boken innehåller fantasifulla kartor med matematiskt innehåll som elever ritat i grupp och tar upp centrala tankar och frågor om siff ror, tal och antal som elever kan vidareutveckla. Dessa tankar fördjupas i nästa kapitel där elever visar en mångfald inom hur de utvecklar en antalsuppfattning. Ett annat kapitel tar upp tankar om tid, som är abstrakt men ändå betyder så mycket för oss, och har en tydlig matematisk sida. Nästa kapitel beskriver ett estetiskt och bildmässigt sätt att använda funktioners grafer för att nå förståelse om funktioner – ikonisk matematik. Boken redogör även för ett sätt att utveckla en fruktbar lyssnande reflektion mellan lärare, forskare, ämnesföreträdare och andra om matematiken i skolan, som alla vinner på.

Tvillingboken heter Matematikens mångfald och lyssnandets konst och går på djupet angående vilka hinder och möjligheter det finns för att alla elever ska kunna gå in i en dialog om sitt matematiska tänkande i skolan, och därmed komma vidare i sitt matematiklärande. Båda böckerna vänder sig till blivande och verksamma matematiklärare, lärarutbildare samt andra intresserade av elevers möte med matematiken.

Boken har en bred erfarenhetsbas. Den består av matematikundervisning och utvecklingsarbete kring matematiksvårigheter i skolan genom Ann-Louise Ljungblad, som är specialpedagog och doktorand i pedagogik. Den består också av forskning i matematik och matematikdidaktik genom Håkan Lennerstad, som är docent i tillämpad matematik. Båda är matematiklärare med lång erfarenhet och författare till böcker om matematik eller matematiklärande.

M

lennerstad & ljungblad

M

atematik och respekt – i praktiken beskriver konkreta

Best.nr 47-10032-3 Tryck.nr 47-10032-3

Matte respekt G5 Omslagsoriginal.indd 1

2012-04-16 10.30