Vektor Matematik | Årskurs 8
LÄRARHANDLEDNING
Inger Amberntsson Jonas Bjermo Daniel Domert Jenny Lundin Jakobsson Lars Madej Anita Ristamäki Linda Söderberg Mia Öberg
Innehåll Hej och välkommen till Vektor 1 Tal
6 12
1.1 Primtal Kommentarer till uppgifterna
12 13
1.2 Negativa tal Kommentarer till uppgifterna
14 17
1.3 Multiplikation och division med negativa tal Kommentarer till uppgifterna
19 21
1.4 Potenser Kommentarer till uppgifterna
22 23
Fokus på förmågorna 1 – översikt
25
Fördiagnos med facit
28
Repetitionsblad med facit
30
Arbetsblad med facit
34
Diagnos 1 med facit
45
Provuppgifter 1 med facit och bedömning
47
2 Mönster och samband
54
2.1 Mönster Kommentarer till uppgifterna
54 56
2.2 Koordinatsystem Kommentarer till uppgifterna
57 57
2.3 Funktioner Kommentarer till uppgifterna
59 62
2.4 Formler Kommentarer till uppgifterna Kopieringsunderlag, En funktion – fyra representationer
63 64 65
Fokus på förmågorna 2 – översikt
67
Fördiagnos med facit
68
Repetitionsblad med facit
71
Arbetsblad med facit
78
Diagnos 2 med facit
94
Provuppgifter 2 med facit och bedömning
98
3 Geometri
108
3.1 Cirkeln Kommentarer till uppgifterna
108 110
3.2 Areaenheter Kommentarer till uppgifterna
112 113
3.3 Skala Kommentarer till uppgifterna
114 115
Fokus på förmågorna 3 – översikt
117
Fördiagnos med facit
118
Repetitionsblad med facit
121
Arbetsblad med facit
125
Diagnos 3 med facit
130
Provuppgifter 3 med facit och bedömning
133
4 Procent
Prata matte: Kopieringsunderlag
142 142
4.1 Procent och procentenheter Kommentarer till uppgifterna
145 145
4.2 Promille och ppm Kommentarer till uppgifterna
146 146
4.3 Mer än 100 % Kommentarer till uppgifterna
147 148
4.4 Förändringsfaktor Kommentarer till uppgifterna
149 150
4.5 Det hela och det ursprungliga Kommentarer till uppgifterna
151 152
4.6 Blandade uppgifter Kommentarer till uppgifterna
153 154
Fokus på förmågorna 4 – översikt
155
Fördiagnos med facit
156
Repetitionsblad med facit
159
Arbetsblad med facit
164
Diagnos 4 med facit
176
Provuppgifter 4 med facit och bedömning
179
5 Algebra
186
5.1 Räkneregler och algebraiska uttryck Kommentarer till uppgifterna
186 188
5.2 Ekvationer och olikheter Kommentarer till uppgifterna
189 190
Fokus på förmågorna 5 – översikt
191
Fördiagnos med facit
192
Repetitionsblad med facit
195
Arbetsblad med facit
200
Diagnos 5 med facit
207
Provuppgifter 5 med facit och bedömning
210
6 Problemlösning
218
6.1 Problemlösning Kommentarer till uppgifterna
218 218
Bedömningsmatris 221
Hej och välkommen till Vektor Vektor är ett läromedel i matematik för grundskolans åk 7– 9 som är skrivet helt utifrån Lgr 11, både när det gäller förmågor och centralt innehåll. När du bläddrar igenom boken kommer du märka att vi på olika sätt lyfter fram och tydliggör de förmågor som i slutändan ska bedömas utifrån kunskapskraven. Det är vårt sätt att försöka hjälpa dig som undervisar en bit på väg. Vår förhoppning är att de elever som använder Vektor ska uppleva att de får en lättillgänglig och gedigen teoribakgrund till de moment vi tar upp. För oss som arbetat fram Vektor är det viktigt att ge förklaringar till varför man gör på olika sätt och inte bara ”recept” på hur man gör. Samtidigt strävar vi efter att göra eleven medveten om, och delaktig i, sitt lärande genom att tydliggöra det som eleverna förväntas utveckla, och senare ska bli bedömda utifrån – förmågorna. Vi vill att eleverna ska veta vad de olika förmågorna innebär och hur man visar dem på olika kvalitativa nivåer, så att de själva ska kunna påverka sin utveckling. Till hjälp här har vi tagit fram en bedömningsmatris som utgår ifrån den som finns i Lgr 11, men med ett lite mer elevanpassat tilltal.
Vektors struktur Vektor åk 8 består av sex kapitel som i sin tur består av ett antal underavsnitt. Varje avsnitt består av teorigenomgångar, räkneexempel och elevuppgifter. Varje kapitel inleds med en Prata matte. Det är en uppgift eller aktivitet vars syfte är att få eleverna att komma igång och fundera över det som sedan tas upp i kapitlet. Tanken med Prata matte är att den görs gemensamt i klassen och att eleverna ska samarbeta med varandra. I flera avsnitt finns något som vi valt att kalla Undersök. Det är uppgifter som syftar till att eleven, med lite handledning, på egen hand ska komma fram till nya matematiska insikter som är till hjälp i det fortsatta arbetet.
© 2015 Daniel Domert, Jenny Lundin Jakobsson, Lars Madej, Mia Öberg och Natur & Kultur, Stockholm Vektor, Lärarhandledning åk 8, ISBN 978-91-27-44699-1
l ä r a rh a n d l e d nin g 6
Elevuppgifterna är indelade i olika nivåer, genom vilka man kan välja två alternativa vägar.
Starta Alla elever börjar med Starta och möter då uppgifter som tar upp det som är nytt i avsnittet. Uppgifterna på Starta löses oftast i ett steg och eleverna får tydlig ledning i vad de förväntas göra. Till exempel så kan vi be dem att svara med en viss enhet eller avrunda på ett visst sätt, och de beräkningar som görs följer i huvudsak de räkneexempel som finns i samband med teorigenomgången.
Väg 1
Väg 2
Starta
Starta
Ett varv till
Kör vidare
Kör vidare
Öka
I slutet av Starta ligger en pratbubbla med texten: ”Hur gick det? Ta Ett varv till om du behöver repetera, annars Kör vidare”. Tanken är att eleven ska göra en själv-skattning och på egen hand avgöra om hen är redo att gå vidare eller behöver repetera.
Ett varv till I Ett varv till möter eleverna uppgifter med samma karaktär och på samma svårighetsnivå som i Starta. Här får man möjlighet att möta och befästa de nya, grundläggande begreppen i avsnittet ytterligare innan svårighetsnivån ökar. Efter Ett varv till går man vidare till Kör vidare.
Diagnos
Repetera
Fokus på förmågorna
Kör vidare Uppgifterna på Kör vidare löses oftast i flera steg och svårighetsgraden ökar efterhand. Fortfarande tränar uppgifterna de nya begrepp och metoder som tagits upp i avsnittets genomgångar och exempel, men här kan man också möta sådant som man jobbat med tidigare. Öka På Öka fortsätter svårighetsnivån att stiga och här finns möjligheter för eleverna att möta tuffare utmaningar. På Öka blandar vi matematiken i ännu större utsträckning, men huvudfokus ligger på avsnittsinnehållet. På Öka kan det ibland dyka upp matematiskt innehåll som eleven inte stött på tidigare, men då finns det en ”inbyggd” förklaring, en liten handledning, till eleverna som gör det möjligt för dem att arbeta med uppgiften. Diagnos När eleverna arbetat igenom kapitlets olika avsnitt är det dags för Diagnos. Diagnosen testar i första hand det centrala innehåll som tas upp i kapitlet. Varje uppgift i diagnosen är kopplad till uppgifter i Repetera, så att eleven ska veta vad som behöver tränas på ytterligare. Repetera De elever som efter att ha gjort diagnosen behöver repetera kapitlets innehåll gör det i Repetera. Här möter de uppgifter som till syfte och karaktär liknar uppgifterna på Starta och Ett varv till. © 2015 Daniel Domert, Jenny Lundin Jakobsson, Lars Madej, Mia Öberg och Natur & Kultur, Stockholm Vektor, Lärarhandledning åk 8, ISBN 978-91-27-44699-1
l ä r a rh a n d l e d nin g 7
Fokus på förmågorna Sist i kapitlet ligger ett avsnitt som heter Fokus på förmågorna. Syftet med avsnittet är att tydligt arbeta mot förmågorna. Man kan antingen välja uppgift utifrån den eller de förmågor man vill träna på, eller lösa uppgifterna och därefter identifiera de förmågor man har använt i sina lösningar. En förteckning över vilka uppgifter som tränar vilka förmågor finns i lärarhandledningen.
Vektor och färgsnurrorna Vissa uppgifter i Vektor är markerade med en snurra med färgade fält. De olika färgerna är kopplade till de fem förmågorna i matematik enligt Lgr 11. De fem förmågorna återfinns också på fliken till Vektors omslag. I de uppgifterna som är markerade med en snurra framträder en eller flera förmågor extra tydligt, vilket man kan utnyttja på olika sätt. Du kan till exempel använda ”snurruppgifterna” som:
1 Undervisningsuppgift Du ska starta upp ett nytt arbetsområde och vill samtidigt fokusera på någon eller några av de fem förmågorna. Säg att du väljer t ex problemlösning, som är röd i Vektors färgsnurra. Titta igenom vilka uppgifter i kapitlet som har en snurra med röd markering. Låt eleverna lösa en av dessa uppgifter och gå därefter igenom den på tavlan tillsammans med eleverna. Visa lösningar på olika kravnivåer, peka ut kännetecken för problemlösningsförmåga och berätta för eleverna vad du tittar efter i din bedömning av elevens förmåga att lösa problem samt att resonera kring sitt problemlösande. Här kan man ta hjälp av matrisen. 2 Övningsuppgift Efter din genomgång löser eleverna själva uppgifter med röd markering. Genom att lösa övningsuppgifter lär sig eleverna identifiera och använda förmågorna, och till sin hjälp har de matrisen. De tränar också på att själva bedöma vilken kravnivå de ligger på. Titta på och diskutera deras lösningar. Visa vad de kan göra för att komma vidare i sin utveckling av problemlösningsförmågan. 3 Elevdialog För att kunna förklara något för någon annan måste man verkligen förstå det själv. Låt eleverna lösa ett problem och sedan byta lösning med en kompis. Låt dem bedöma varandras lösningar med hjälp av matrisen. När eleven hamnar i bedömarens roll måste han eller hon tänka till ordentligt när det gäller vad de olika förmågorna och kravnivåerna innebär. 4 Skarp bedömning Välj uppgift utifrån den förmåga du vill bedöma. Samla in elevernas lösningar och bedöm dem utifrån kunskapskraven. Du kan också välja att låta eleverna göra en eller flera uppgifter muntligt. Gör du detta med jämna mellanrum, och för olika förmågor, får du en kontinuerlig bedömning. Du kan då upptäcka elever som har svårigheter och kan hjälpa dem i tid. Dessutom blir du inte beroende av summativa prov för att säkerställa var eleven befinner sig. Eleven vet hur hen ligger till, och betyget blir ingen överraskning. Elever som vill nå högre får också insikter och redskap för att ta sig dit under terminen. © 2015 Daniel Domert, Jenny Lundin Jakobsson, Lars Madej, Mia Öberg och Natur & Kultur, Stockholm Vektor, Lärarhandledning åk 8, ISBN 978-91-27-44699-1
l ä r a rh a n d l e d nin g 8
Vektor och kommunikation Vi som arbetar fram Vektor ser matematiken som ett kommunikationsämne och vi tycker att muntlig kommunikation är lika viktig som skriftlig. Vissa uppgifter är markerade med pratbubblor. De uppgifterna bedömer vi som extra lämpliga att jobba med muntligt, i par eller i grupp, för att få möjlighet att träna på att uttrycka sig muntligt med hjälp av det matematiska språket.
Vektor och fördjupningarna På några platser i Vektor har vi valt att fördjupningsmarkera delar av genomgångar. Detta har vi gjort för att vi tycker att momentet som gås igenom är spännande, intressant och viktigt, även om det på den här nivån inte krävs från kursplanens håll att alla elever arbetar med det. Uppgifter som behandlar de fördjupningsmarkerade delarna återfinns bara på Öka.
Vektor och bedömningsmatrisen Till uppgifterna som är markerade med en färgsnurra finns en bedömningsmatris. I matrisen är kunskapskraven i Lgr 11 tolkade med avseende på de olika förmågorna. Matrisens språk är elevanpassat och syftet med den är att eleverna själva ska kunna vara delaktiga i bedömningen av sitt eget arbete. Man ska kunna se på vilken nivå man befinner sig och vad som krävs för att ta steget mot ett högre betyg. Matrisen hittar du här i lärarhandledningen.
Vektor och miniräknaren I Vektor har vi valt att använda en miniräknarsymbol vid uppgifter där vi bedömer att det behövs ett hjälpmedel. Självklart kan du som lärare välja att göra en annan bedömning och bestämma tillsammans med dina elever hur ni använder miniräknaren. I vissa avsnitt sitter symbolen bredvid en nivårubrik. Det betyder att miniräknare kan användas till samtliga uppgifter på den nivån.
Vektor och provfrågor I Vektor har vi valt att tillhandahålla ett antal provuppgifter per kapitel där du som lärare själv väljer vilka uppgifter du vill använda, utifrån de förmågor du vill testa.
Vektor och läxor I Vektor finns många olika typer av uppgifter. Beroende på i vilket syfte du ger dina elever läxor kan du använda dessa uppgifter på olika sätt. Är syftet med läxan att: • eleven ska träna på att använda sina matematiska förmågor? Använd en ”snurruppgift” eller en uppgift från avsnittet Fokus på förmågorna som du väljer utifrån vad som ska tränas. Läxan kan,
© 2015 Daniel Domert, Jenny Lundin Jakobsson, Lars Madej, Mia Öberg och Natur & Kultur, Stockholm Vektor, Lärarhandledning åk 8, ISBN 978-91-27-44699-1
l ä r a rh a n d l e d nin g 9
om man så önskar, utökas med att eleven dessutom gör en bedömning av sin lösning/sina lösningar med hjälp av en bedömningsmatris som läraren och eleven kan diskutera tillsammans. • eleven ska färdighetsträna på något särskilt moment, eller någon särskild metod? Använd något av de arbetsblad som finns till varje avsnitt. • eleven ska repetera ett moment? Använd något at de repetitionsblad som finns till varje avsnitt. • eleven ska träna på att identifiera vilka förmågor som används i en lösning? Använd en valfri uppgift från avsnittet Fokus på förmågorna tillsammans med en generell bedömningsmatris.
Vår målsättning med det här sättet att tänka kring läxor är att möjliggöra en flexibilitet och att erbjuda olika möjligheter för lärare att möta elever på individnivå. Elevers behov varierar och det är sällan alla behöver träna på samma saker vid samma tillfälle. På det här sättet ges varje elev möjlighet att stärka sina kunskaper och förmågor och komma vidare i sin utveckling med utgångspunkt i var just hen befinner sig.
Vektor och filmer I den interaktiva elevboken finns alla teorigenomgångar inspelade på film. Det finns också kompletterande teorigenomgångar kopplade till uppgiftsnivån Ett varv till. Filmerna är tätt kopplade till innehållet i Vektor och är avsedda att öka flexibiliteten i läromedlet. Den första filmen i varje avsnitt visar bokens teorigenomgång med tillhörande exempel. Den andra filmen i varje avsnitt är avsedd för de elever som efter Start behöver en extra genomgång innan de jobbar vidare med Ett varv till. Filmerna finns också på Vektors webbplats. Inloggningsuppgifter till den hittar du på lärarhandledningens titelsida.
Extrablad Till Vektor 8 finns det ett omfattande extramaterial.
Fördiagnos Fördiagnosen görs lämpligen innan arbetet med kapitlet sätts igång. Syftet med testet är att undersöka om eleverna har de förkunskaper som krävs. Det finns en fördiagnos per kapitel. Repetitionsblad Till varje uppgift på fördiagnosen är det kopplat ett antal repetitionsuppgifter. Dessa finns på repetitionsbladen. Tanken är att eleven bara ska behöva repetera de moment som hen hade problem med.
© 2015 Daniel Domert, Jenny Lundin Jakobsson, Lars Madej, Mia Öberg och Natur & Kultur, Stockholm Vektor, Lärarhandledning åk 8, ISBN 978-91-27-44699-1
l ä r a rh a n d l e d nin g 1 0
Arbetsblad Arbetsbladen är tänkta att användas av de elever som behöver ytterligare repetition efter ”Ett varv till”. Det finns 1-2 arbetsblad per avsnitt. Vissa av arbetsbladen är utformade som spel. Dessa blad kan användas av alla elever.
Diagnos Till varje kapitel finns en diagnos som testar kapitlets centrala innehåll. Varje uppgift är kopplade till en eller flera ”Repetera”-uppgifter i elevboken. Provuppgifter Till varje kapitel finns ett antal provuppgifter. Observera att detta inte är ett komplett prov, utan uppgifter som du som lärare kan använda för att konstruera ett eget prov. Till varje uppgift finns det facit och bedömningsstöd.
© 2015 Daniel Domert, Jenny Lundin Jakobsson, Lars Madej, Mia Öberg och Natur & Kultur, Stockholm Vektor, Lärarhandledning åk 8, ISBN 978-91-27-44699-1
l ä r a rh a n d l e d nin g 1 1
1.1 Primtal
s8
Allmänt
s8
Primtal är troligtvis ett nytt begrepp för många av eleverna. En viktig egenskap hos primtalen är att de fungerar som byggstenar för de positiva heltalen. Alla positiva heltal är antingen primtal eller sammansatta tal, där de sistnämnda på ett unikt sätt kan skrivas som en produkt av primtal. Eleverna behöver kunna och förstå definitionen av primtal och med lämpliga metoder dela upp sammansatta tal i primtalsfaktorer. Det kan vara bra att repetera begreppet delbarhet i detta skede. Ett heltal a är delbart med ett heltal b om kvoten a/b är ett heltal (eller alternativt att a kan skrivas som produkten av b och ett heltal). Ge gärna konkreta exempel på delbarhet och icke-delbarhet. Tillämpningar av primtalsfaktorisering är framför allt ett viktigt verktyg i olika talteoretiska sammanhang, men för att ge eleverna ett mer konkret exempel på vad det kan utnyttjas till, kan du som lärare diskutera förkortning av bråk i termer av primtalsfaktorisering. Att förkorta bråk med hjälp av faktorisering är för övrigt en mer användbar strategi än att dela med ett gemensamt tal när det kommer till algebraiska uttryck. Exempelvis kan vi förkorta 105/525 till 1/5 genom att dela upp i primtalsfaktorerna 3 ∙ 5 ∙ 7 respektive 3 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 7 och sedan eliminera gemensamma faktorer.
Att avgöra om ett tal är ett primtal eller inte
s 10
Grundidén för att avgöra om ett tal är ett primtal eller inte, är att helt enkelt avgöra om talet är delbart med något annat än 1 och sig självt. Det första steget är att påpeka och förklara för eleverna att eftersom sammansatta tal kan skrivas som en produkt av primtal, så räcker det med att testa delbarhet med dessa. Är ett tal delbart med 6, så är det delbart med såväl 2 som 3, som är primtal. Är ett tal delbart med 35, så är det delbart med såväl 5 som 7, som är primtal. Vi utnyttjar alltså att primtalen är multiplikativa byggstenar för de positiva heltalen. Vi börjar därför med att testa delbarhet med de första tre primtalen; 2, 3 och 5. För dessa finns delbarhetsregler som eleverna stött på tidigare, men som är bra att repetera i detta läge. Om talet vi vill testa inte är delbart med något av dessa tal, måste vi testa delbarhet med allt större primtal. För stora tal kan det bli ganska många primtal som vi måste testa. Vi kan dock reducera arbetsbördan om vi inser att vi inte behöver testa med primtal som är större än kvadratroten ur det tal vi undersöker. Någon av de möjliga primtalsfaktorerna i talet måste ju vara mindre än detta tal, eftersom vi får talet självt om vi multiplicerar kvadratroten av talet med sig självt.
© 2015 Daniel Domert, Jenny Lundin Jakobsson, Lars Madej, Mia Öberg och Natur & Kultur, Stockholm Vektor, Lärarhandledning åk 8, ISBN 978-91-27-44699-1
l ä r a rh a n d l e d nin g 12
Eftersom kvadratrötter ännu inte finns i elevernas verktygslåda, så kan vi formulera detta ekvivalent genom att säga att vi inte behöver testa med primtal för vilka produkten av primtalet med sig självt blir större än det tal vi undersöker. Illustrera gärna detta med konkreta exempel så att eleven får en förståelse för varför detta är tillräckligt. Strategin för att undersöka om ett tal är ett primtal blir alltså: • Avgör om talet är delbart med 2, 3 eller 5 med hjälp av delbarhetsreglerna. • Testa delbarhet med större primtal, men sluta när kvadraten av primtalet du testar med blir större än talet du undersöker. Ett exempel på en generell algoritm för att hitta vilka tal som är primtal är Eratosthenes såll, som eleverna får stifta bekantskap med i uppgift 1115.
Uppgift 1116
s 12
Här får vi stegvis reducera antalet möjliga kandidater. Eftersom talet skall vara delbart med 2 så är bara de jämna talen aktuella. Om talet dessutom skall vara delbart med 3 så medför dessa båda tillsammans att talet måste vara delbart med 6 (det kan ju skrivas som 2 ∙ 3 ∙ ett heltal = 6 ∙ ett heltal). Vilka tal i sexans multiplikationstabell finns mellan 15 och 100? Jo 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96. Nu återstår att kontrollera vilka av dessa tal som har två primtal som grannar.
Uppgift 1120
s 13
Eftersom primtalstvillingar är primtal som har differensen 2, så betyder det att tvillingarna är ungefär lika stora. Vi behöver alltså börja med att försöka få koll på hur stora de båda primtalen kan vara. 70 ∙ 70 = 4 900 och 80 ∙ 80 = 6 400, så bör vi leta mellan 70 och 80. Vi vet dessutom att eftersom 5 183 slutar på talet 3, så måste våra tal sluta på 1 och 3. Det ger oss svaret 71 och 73.
Uppgift 1124
s 13
Vi letar efter ett sätt att dela upp talet 435 så att detta tal blir antal sidor per dag ∙ antal dagar, där antal sidor per dag blir större än 20. Vi ser att 435 är delbart med 5, och får då 435 = 5 ∙ 87. Nu är dock 87 inget primtal, utan vi ser att det är delbart med 3 och får då 435 = 5 ∙ 3 ∙ 29. Vi kan inte primtalsfaktorisera längre och vi ser alltså att svaret är att vi läser 29 sidor om dagen i 15 dagar.
Uppgift 1125
s 13
De siffror vi kan använda som är primtal, är 2, 3, 5 och 7. Det minsta tal vi kan bilda är 222. Vi kan dock inte låta vårt tal sluta på en tvåa, eftersom det då blir jämnt och därmed inte ett primtal. Det näst minsta är 223. Detta är inte delbart med 2, 3 eller 5. Testar vi delbarhet med större primtal (upp till och med 13 eftersom nästa primtal 17 har en kvadrat som är större än 223), så visar det sig att detta tal är ett primtal.
© 2015 Daniel Domert, Jenny Lundin Jakobsson, Lars Madej, Mia Öberg och Natur & Kultur, Stockholm Vektor, Lärarhandledning åk 8, ISBN 978-91-27-44699-1
l ä r a rh a n d l e d nin g 13
Fokus på förmågorna 1 I tabellen visas de förmågor som eleverna tränar i uppgifterna till avsnittet Fokus på förmågorna på s. 36 i elevboken.
Kapitel 1
1601
Problemlösning (inkl Resonemang)
X
Begrepp (inkl Resonemang)
X
Metod
X
Kommunikation (inkl Resonemang)
1602
X
1603
1604
X
X
X
X
1605
1606
X
1607
X
X
1608
1609
X
X
X
X
1610
X
X X
X
© 2015 Daniel Domert, Jenny Lundin Jakobsson, Lars Madej, Mia Öberg och Natur & Kultur, Stockholm Vektor, Lärarhandledning åk 8, ISBN 978-91-27-44699-1
X
l ä r a rh a n d l e d nin g 2 7
fördiagnos 1 Tal 1 Vilka tal är delbara med
14
18
a) 2
9
39
26
b) 3
70
2 Vilka tal är delbara med
15
a) 5
40
29
b) 10
150
3 Vilka tal pekar pilarna på?
-5
-4
a)
-3
-2
Rep 7 – 9
b)
c)
-1
0
b)
d)
1
c)
2
3
4
5
d)
4 Ringa in det största talet.
a) -1
0
b) -10
-9
c) 1,5
-2,5
Rep 10 – 11
5 Beräkna
a) (-3) + 2 =
Rep 12 – 14
b) (-5) + 5 =
c) (-4) + 7 =
6 Beräkna
a) 11 – 3 =
Rep 4 – 6
85
67
a)
Rep 1 – 3
Rep 15 – 17
b) 0 – 9 =
c) (-4) – 3 =
7 a) Skriv 4 + 4 + 4 som en multiplikation.
Rep 18
b) Skriv 9 + 9 + 9 + 9 + 9 som en multiplikation. 8 Beräkna
Rep 19
a) 10 + 2 · 3 = b) 20 – 8 / 4 = c) 9 / 3 + 5 · 6 =
kopieringsunderl ag © 2015 Daniel Domert, Jenny Lundin Jakobsson, Lars Madej, Mia Öberg och Natur & Kultur, Stockholm. Vektor, Lärarhandledning åk 8, ISBN 978-91-27-44699-1
f ö rd i agn o s 2 8
Sid 1 (3)
repetitionsblad 1
Tal
1 a) Hur kan du avgöra om ett tal är delbart med 2?
14
250 93
b) Vilka av talen är delbara med 2?
8
36
167
102
21
2 a) Hur kan du avgöra om ett tal är delbart med 3?
15
64
b) Vilka av talen är delbara med 3?
24
71 98
3
57
45
3 Stryk det tal som inte är delbart med
a) 2
144
b) 3
36
c) 2 eller 3
46
28
16
102
61
73
111
282
51
125
27
18
93
4 a) Hur kan du avgöra om ett tal är delbart med 5?
100
89 125
b) Vilka av talen är delbara med 5?
60
18
35 5
77
5 a) Hur kan du avgöra om ett tal är delbart med 10?
34
b) Vilka av talen är delbara med 10?
20
105 49
190
70 65
10
6 Stryk det tal som inte är delbart med
a) 5
15
40
334
90
25
b) 10
30
280
45
1 000
c) 5 eller 10
110
55
314
20
510 95
kopieringsunderl ag © 2015 Daniel Domert, Jenny Lundin Jakobsson, Lars Madej, Mia Öberg och Natur & Kultur, Stockholm. Vektor, Lärarhandledning åk 8, ISBN 978-91-27-44699-1
re pe t i t i o n sbl a d 3 0
arbetsblad 1.2
Negativa tal
Tärningsspel – Addera och subtrahera med negativa tal I detta spel tränar du förmågan att addera och subtrahera med negativa tal. Ni spelar parvis och använder två tärningar med olika färg samt nedanstående tabell. Regler: • Spelare 1 inleder med att kasta de två tärningarna. En tärning visar ett positivt tal, den andra tärningen visar ett negativt tal. Spelare 1 bestämmer, efter att tärningarna är kastade, vilken tärning som visar ett positivt/negativt tal. Talens värde adderas och förs in i tabellen. • Spelare 2 gör samma sak som spelare 1. • Spelare 1 gör sitt andra kast osv. • När båda spelarna har kastat tärningarna 10 gånger var summeras svaren och spelaren med högst summa har vunnit.
Här är ett exempel på hur man kan tänka om ett kast ger siffrorna 3 och 5. Alternativ 1: (-5) + 3 = -2 Alternativ 2: (-3) + 5 = 2 I det här fallet är alternativ 2 det bästa eftersom den beräkningen ger den största summan. Spelplan Spelare 1 Tärning 1
Tärning 2
TOTALT
Spelare 2 Summa
Tärning 1
Tärning 2
Summa
TOTALT
kopieringsunderl ag © 2015 Daniel Domert, Jenny Lundin Jakobsson, Lars Madej, Mia Öberg och Natur & Kultur, Stockholm. Vektor, Lärarhandledning åk 8, ISBN 978-91-27-44699-1
a rbe t sbl a d 36
Sida 1 (2)
diagnos 2 Mönster och samband
1
2501
Figur 1
Figur 3
Figur 2
a) Fortsätt mönstret genom att rita figur nummer 4 och 5.
b) Rita av och fyll i tabellen. Figur nr
1
2
3
Antal kulor
5
10
15
2 a) Vilka är talen a5 och a6 i talföljden -2, 3, 8, 13, …?
2502 – 2504
b) Vilka är talen b5 och b6 i talföljden 10, 20, 40, 80, …? c) Vilken av talföljderna ovan är aritmetisk? Förklara hur du kan avgöra det. d) Den talföljd som inte är aritmetisk, vilken slags talföljd är den? Hur känner man igen den typen av talföljd? Förklara 3
2505 – 2507
Figur 1
Figur 2
Figur 3
a) Beskriv mönstret med ord. b) Vilken av beräkningarna passar för att beräkna antalet stickor i figur nummer 10? A a10 = 10 · 3 B a10 = 10 · 2 – 1 C a10 = 10 · 2 + 1 c)
Vilken av formlerna passar för att beräkna antalet stickor i figur an? A an = n · 3 B an = n · 2 – 1 C an = n · 2 + 1
4
2505, 2508
Figur 1
Figur 2
Figur 3
a) Skriv en formel för mönstret. b) Räcker 126 kulor för att bygga figur nummer 42? Förklara hur du tänker.
kopieringsunderl ag © 2015 Daniel Domert, Jenny Lundin Jakobsson, Lars Madej, Mia Öberg och Natur & Kultur, Stockholm. Vektor, Lärarhandledning åk 8, ISBN 978-91-27-44699-1
d i agn o s 9 4
Sid 1 (2)
provuppgifter 3
Geometri
1 Tomtens bageri gör pepparkakor till julförsäljningen. Man bakar två olika storlekar,
där båda har samma form och tjocklek. För att göra 8 små pepparkakor behövs det 100 g pepparkaksdeg.
5 cm 10 cm
a) En liten pepparkaka kostar 4 kr. Vad blir kilopriset? b) Till hur många stora pepparkakor räcker 100 g pepparkaksdeg?
2 Inuti en rektangel är två cirklar utritade.
Beräkna arean av det skuggade området.
2 cm
3 cm
3 Frans vill mäta hur långt hans skolhus är. Till hjälp har han en cykel med däck som har
diametern 26 tum. En tum är 2,54 cm. När Frans cyklar från ena änden av skolan till den andra så snurrar cykelhjulet 30 varv.
Hur lång är skolan?
4 En hönsuppfödare har köpt 200 meter staket för att göra en inhägnad till sina höns.
Hon funderar på hur den ska se ut för att hönsen ska få största möjliga yta att röra sig på, kvadratisk eller cirkelformad.
Vilket alternativt ska hon välja?
5 Feliz gick vilse på sin skogspromenad och fick därför gå en ordentlig omväg.
Hon gick i en halvcirkel istället för att gå raka vägen.
Hur många procent längre blev vägen?
6 Du har två lika långa ståltrådar. Av den ena formar du en cirkel. Den andra
tråden ska du klippa i bitar som är lika långa som cirkelns diameter.
Hur många sådana bitar räcker ståltråden till? Förklara hur du tänker.
kopieringsunderl ag © 2015 Daniel Domert, Jenny Lundin Jakobsson, Lars Madej, Mia Öberg och Natur & Kultur, Stockholm. Vektor, Lärarhandledning åk 8, ISBN 978-91-27-44699-1
prov upp gif t e r 133
Sid 1 (7)
provuppgifter 3
Facit och bedömning
1 Facit a) 320 kr/kg
b) 2 stora pepparkakor
Bedömning
E
C
A
Problemlösning Begrepp Metod Resonemang Kommunikation
CM Eleven gör en godtagbar ansats, till exempel beräknar vikten av en pepparkaka eller beräknar hur mycket 100 g pepparkaka kostar. CP Eleven beräknar ett korrekt kilopris.
AP Eleven anger med godtagbar motivering ett korrekt antal.
AB Eleven motiverar på ett godtagbart sätt genom utnyttjande av areaskalan att den stora pepparkakan är 4 gånger större. 2 Facit Arean är 2,1 cm2
Bedömning
E
C
A
Problemlösning Begrepp Metod Resonemang Kommunikation
EM Eleven beräknar rektangelns area till 6 cm2.
CM Eleven beräknar arean av den större cirkeln till 3,14 cm2.
CP Eleven beräknar arean av den mindre cirkeln till 0,785 cm2. AP Eleven beräknar det skuggade områdes area korrekt.
© 2015 Daniel Domert, Jenny Lundin Jakobsson, Lars Madej, Mia Öberg och Natur & Kultur, Stockholm Vektor, Lärarhandledning åk 8, ISBN 978-91-27-44699-1
l ä r a rh a n d l e d nin g 135
sid 1 (3)
kopieringsunderlag 4 Prata matte: Procentmemory, s 132 Förbered spelet till eleverna så de slipper skriva ut och/eller klippa ut korten. Använd gärna lite tjockare papper till korten.
0,01
1 / 100
10 / 1 000
1 %
0,02
2 / 100
1 / 50
2 %
0,04
4 / 100
1 / 25
4 %
0,05
5 / 100
1 / 20
5 %
0,1
10 / 100
1 / 10
10 %
0,2
20 / 100
1 / 5
20 %
0,25
25 / 100
1 / 4
25 %
142
Inger Amberntsson Jonas Bjermo Daniel Domert Jenny Lundin Jakobsson Lars Madej Anita Ristamäki Linda Söderberg Mia Öberg
Vektor Matematik | Årskurs 8
Vektors strävan är att tydligöra de matematiska förmågorna enligt Lgr 11 och synliggöra varje elevs lärande och utveckling. Vektors lärarhandledning ger läraren möjlighet att skapa en flexibel undervisning genom att till varje kapitel i elevboken erbjuda • Fördiagnos • Filmade teorigenomgångar • Didaktiska tips och kommentarer utifrån den aktuella teorin • Kommentarer till uppgifterna • Bedömningsmatris • Diagnos med facit • Provfrågor med bedömningsstöd • Kopieringsunderlag med repetitonsuppgifter • Kopieringsunderlag med extra färdighetsträning Vektor är ett läromedel i matematik för grundskolans åk 7-9. För mer information se nok.se/vektor