Martin Holmstrรถm Eva Smedhamre Jonas Sjunnesson
ISBN 978-91-47-08555-2 © 2011 Martin Holmström, Eva Smedhamre, Jonas Sjunnesson och Liber AB Projektledare och redaktör: Anders Ankarberg och Eva-Lisa Nordmark Formgivning och layout: Cecilia Frank/Frank Etc. AB Omslag: Cecilia Frank Bildredaktör: Marie Olsson Illustrationer: Cecilia Frank Faktor: Adam Dahl Första upplagan 1 Repro: Repro 8 AB, Stockholm Tryck: Graphycems, Spanien 2011
Kopieringsförbud Detta verk skyddas av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/ universitet. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se
101 Niklas Larsson/Scanpix 111 Riksbanken Omslagsfoto: Matton Images 113 Johanna Hanno/Scanpix 15 Patrick Endres/Alaska Stock/ 115 Klara Leo/IBL Lucky Look 117 P. Desgrieux/Sucre Salé/IBL 23 Old Visuals/Everett/IBL 119 Jeppe Gustafsson/Scanpix 27 Bengt Nilsson/Scanpix 120 Stockfood/NordicPhotos 31 Adrian Burke/Corbis/Scanpix 121 Kristjan Maack/NordicPhotos 35 Yves Logghe/AP/Scanpix 128, 130 ImageState/IBL 37 Sven-Olof Ahlgren/Scanpix 142 Ole Graf/Corbis/Scanpix 40 Jessica Gow/Scanpix 144 Carl Court/AFP/Scanpix 44 Jeppe Gustafsson/Scanpix 148 Janerik Henriksson/Scanpix 51 Peter Frennesson/Sydsv/Scanpix 149 Mikael Sjöberg/Scanpix 53 André Maslennikov/IBL 154 Johanna Hanno/Scanpix/ 55 Adam Ihse/Scanpix Bildhuset 62 Anders Good/IBL 159 Martin Ruetschi/Keystone/ 64 Pemba Dorje Sherpa/AFP/ Scanpix Scanpix 160 Fred Prouser/Reuters/Scanpix 65 Hoffmann Photography/Scanpix 163 Bo Lindell/Scanpix 67 Malin Hoelstad/SvD/Scanpix 165 F. Lukasseck/Masterfile/Scanpix 68 Anja Callius/Scanpix/Bildhuset 166 Prakash Singh/AFP/Scanpix 72 Staffan Löwstedt/SvD/Scanpix 170 Noel Celis/AFP/Scanpix 73 Patrik Leonardsson/ 171 Björn-Eivind Artun/Scanpix Naturfotograferna/IBL 178 Ulrich Perrey/Scanpix 74 Micah Wright/Age/Scanpix 187 Thomas Peter/Reuters/Scanpix 76 Rex Features/IBL 189 Xavier Cailhol/Age/Scanpix 90 Tommy Svensson/Scanpix 191 Benkt Eurenius/DN/Scanpix 92 Francois Campredon/AFP/ 195 Erich Lessing/IBL Scanpix 198 Nina Indset Andersen/Scanpix 94 Malin Hoelstad/SvD/Scanpix 201 Camilla Cherry/Scanpix 95 Rolf Adlercreutz/IBL 212 Robban Andersson/XP/Scanpix 97 Thomas Henriksson/Scanpix 222 Helena Larsson/ 98 Camilla Cherry/Scanpix Naturfotograferna/IBL 100 Stockfood/NordicPhotos 232 Henrik Montgomery/Scanpix BILDFÖRTECKNING
234 Thomas Winz/Lonely Planet/ Scanpix 242 Ciprian Gorga/Scanpix 245 Anna Peisl/Corbis/Scanpix 251 Lennart Hyse/Scanpix 254 Chris Maluszynski/Scanpix 258 David Lundberg/Scanpix/ Bildhuset 260 David Levene/Eyevine/IBL 263 Rex Features/IBL 265 Nelly Herzberg/Sydsv/IBL 268 Stefan Bladh/Scanpix/Bildhuset 285 John Schults Reuters/Scanpix 289 Radvaner/Sucré Salè/IBL 294 Sheila Terry/Science Library/IBL 299 Pictor/IBL 303 (1) Bengt Ekman/ Naturfotograferna/IBL 303 (2) Science Photo Library/IBL 303 (3) Bridgeman Art Library/IBL 317 Bengt Olof Olsson/Scanpix 318 Tore Hagman/Scanpix 321 Raymond Forbes/AGE/Scanpix 325 Hasse Holmberg/Scanpix Ingressbilder: 7 Image Blue/Matton, 82 Age Fotostock/NordicPhotos, 125 Jann Lipka/NordicPhotos 184, 228, 277, 315 Matton Images Övriga foton: Haléns, Liber arkiv, OPV Online, PhotoAlto och Photodisc. Kartor: Liber
Till elever och lärare Den här boken i serien Matematik M är skriven för gymnasiets matematik kurs 1b och motsvarande kurser inom vuxenutbildning. Exempel
! Antalet värdesiffro
Läs gärna igenom exemplen innan du börjar räkna uppgifterna! I regelrutorna finns det som är extra viktigt. Det finns uppgifter i tre nivåer med olika färg på uppgiftsnumren. Grå uppgifter är grunduppgifter, bland de blå finns något svårare uppgifter och röda uppgifter är ännu svårare. Till de flesta röda uppgifterna finns ledtråd/lösning i slutet av boken.
I varje kapitel finns sidor med Flera Utmaningar. Dessa uppgifter har samma svårighetsgrad som de röda. Facit till Utmaningar kommer efter kapitelfacit. FördjupnING Det finns också Fördjupningsavsnitt med röda uppgifter. FLERA UTMAN
Med hjälp av Kommunicera-uppgifter kan du träna på att muntligt förklara matematiska begrepp. I varje kapitel finns en större uppgift, Upptäck & visa. Dessa uppgifter har olika tema, alla med en enkel inledning. Den avslutande delen innebär att du ska generalisera ett matematiskt samband. TEST
Tankenöt
Varje kapitel avslutas med två tester, varav ett utan räknare. Många testuppgifter har hänvisning till kapitlens lösta exempel. I slutet av boken finns repetitionsavsnitt. Tankenötter ger extra stimulans. Facit finns! Graf-ikonen visar när grafritande hjälpmedel är lämpligt. Lycka till med kursen! Författarna
3
innehåll Talens historia 6
2
1
Procent betyder hundradel 82 Vi söker procenttalet 84 Ändring i procent 86 Mer än 100 % 87 Vi vet procentsatsen 89
Numerisk räkning
De fyra räknesätten 7 Flera räknesätt i samma uppgift 9 Räknaren 12 Negativa tal 13 Multiplikation och division 19 Primtal och delbarhet 22 Fler utmaningar 1A 24 Bråk 25
Förkortning och förlängning 27 Bråk med samma nämnare 30 Bråk med olika nämnare 32 Multiplikation av bråk 34 Division av bråk 36 Praktisk bråkräkning 38 Bråktal och decimaltal 41 Fler utmaningar 1B 42 Potenser 43
Räkneregler för potenser 44 Tiopotenser 48 Potenser med räknare 51 Prefix 54 Fler utmaningar 1C 57 Binära tal 58 Mer om potenser 60 Avrundning 62 Värdesiffror 65 Upptäck och visa 68 F Mer om negativa tal 69 Sammanfattning 70 Blandade uppgifter 72 Fler utmaningar 1D 78 Test1A 79 Test 1B 80
Procent
Fler utmaningar 2A 91 Förändringsfaktor 92 Index 96 Jämförelser 98 Fler utmaningar 2B 100
Procenträkning med ekvationer 101 Ränta och amortering 104 Procentenheter 107 Promille och ppm 109 Upptäck och visa 112 F Mer om förändringsfaktor 112 Sammanfattning 114 Blandade uppgifter 115 Fler utmaningar 2C 120 Test 2A 122 Test 2B 123
3
Uttryck och ekvationer
Värdet av ett uttryck 125 Förenkla uttryck 128
Fler utmaningar 3A 131 Uttryck med parenteser 132 Multiplikation 134 Fler utmaningar 3B 138 Ekvationer 139 Mer om ekvationer 142
Ekvationer med x i båda leden 146 Olikheter 150 Ekvationer med parenteser 153 Prata algebra 155 Problemlösning med ekvationer 158 Ekvationer med nämnare 161
Fler utmaningar 3C 164 Kvadratrötter 165
4
Andragradsekvationer 167 Ekonomi 170 Ekvationen x5 = 2 172 Upptäck och visa 174 Sammanfattning 175 Blandade uppgifter 176
Cirkeldiagram 260 Vilseledande statistik 262
Fler utmaningar 3D 180 Test 3A 181 Test 3B 182
Fler utmaningar 5B 264 Upptäck och visa 265 Sammanfattning 266 Blandade uppgifter 267 Fler utmaningar 5C 272 Test 5A 273 Test 5B 275
4
6
Funktioner
Avläsning från grafer 184 Koordinatsystem 186 Värdetabeller 188 Rita grafer 191
Fler utmaningar 4A 196 Skrivsättet f(x) 197 Proportionalitet 200 Fler utmaningar 4B 203 Funktionen y = x2 204 Exponentialfunktioner 206
Grafisk lösning av ekvationer 209 Grafisk lösning av olikheter 212 Definitions- och värdemängd 216 Upptäck och visa 217 F Vilken är funktionen? 218 Sammanfattning 219 Blandade uppgifter 220 Fler utmaningar 4C 224 Test 4A 225 Test 4B 226
5
Sannolikhet och statistik
Hur stor är chansen? 228 Koordinatsystem 233 Träddiagram 236 Minst en vinst 242 Hur ofta inträffar en händelse? 244 Fler utmaningar 5A 246 Medelvärde och median 247 Frekvenstabell och diagram 250 Mer om medelvärde 255 Relativ frekvens 256
Geometri
Polygoner och cirkeln 277 Beräkning av volym 282
Fler utmaningar 6A 287 Vinklar 288 Två bevis 293 Pythagoras sats 294 Skala 297
Implikation och ekvivalens 300 Symmetri 302 Upptäck och visa 304 F Geometri och ekvationer 305 Sammanfattning 306 Blandade uppgifter 307
Fler utmaningar 6B 312 Test 6A 313
Test 6B 314
7
Repetitionsuppgifter
Repetition 1 Repetition 2 Repetition 3 Repetition 4 Repetition 5 Repetition 6
315 317 320 323 326 329
Facit
Facit 333 Facit till tankenötter 359 Lösningar och ledtrådar 360 Sakregister 368 5
TALENS HISTORIA Naturliga tal
Vi människor har alltid haft behov av att räkna och kunna bestämma antal. Hur många människor mötte du? Hur många hästar äger du? De positiva heltalen 1, 2, 3,… kallas tillsammans med talet 0 naturliga tal.
Naturliga tal
Hela tal
Hela tal
Det var först på 1600-talet som negativa tal började accepteras i Europa. I Kina och Indien däremot, hade man räknat med dessa tal i mer än 1000 år! Talen … –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 … kallas för hela tal. Rationella tal 1 Talet kallar vi ett bråk. 3 För 2500 år sedan trodde man att alla tal kunde skrivas som bråk. 5 3 Till exempel är ju 5 = och 0, 3 = . 1 10 Men så fick man problem! Irrationella tal
Talet 2 kunde inte skrivas som ett bråk, inte heller talet π. Dessa tal kallas irrationella tal. Reella tal
I den här kursen ska vi räkna med både rationella och irrationella tal t ex 0,5 2 –3, , 2 och π. 7 Tillsammans kallas dessa tal de reella talen.
6
Rationella tal Reella tal
Decimalsystemet
Vårt talsystem kallas decimalsystem. Här använder vi de tio siffrorna 0 – 9. Två tal kan innehålla samma siffror men vara olika stora. Jämför t.ex. 203 kr och 230 kr. Här gäller att siffrornas plats (position) är viktig. Så här kan vi skriva: 203 = 2 · 100 + 0 · 10 + 3 · 1 2 hundralappar + 0 tior + 3 enkronor 230 = 2 · 100 + 3 · 10 + 0 · 1 2 hundralappar + 3 tior + 0 enkronor Decimalsystemet kallas också 10-system, eftersom det är 10 siffror som används och talet 10 är bas. Ett system med 60 som bas fanns för ca 4000 år sedan i Mesopotamien (nuvarande Irak–Iran). Från den här tiden har vi ”ärvt” att det går 60 minuter på en timme och att 1 minut = 60 sekunder.
KAPITEL 5
5 Sannolikhet och statistik Hur stor är chansen? Tänk dig att du kommer att vinna ett spel, om ditt nästa tärningskast ger ”femma eller sexa”. Tärningskastet kan utfalla på 6 möjliga sätt, (1, 2, 3, 4, 5 eller 6) och alla utfall är lika troliga. Två av utfallen, nämligen ”femman och sexan” är gynnsamma (bra) för dig. 2 1 Chansen att få en femma eller en sexa är alltså (kan förkortas till ) 6 3 Ett annat ord för chans är sannolikhet. 1 Alltså gäller att sannolikheten att få en femma eller en sexa är . 3 När alla utfall är lika sannolika, har vi en likformig sannolikhetsfördelning. Då kan sannolikhet definieras så här:
! antal gynnsamma utfall Sannolikheten för en händelse = — ————————————————— antal möjliga utfall
228
SANNOLIKHET OCH STATISTIK
KAPITEL 5
ExEmpEl 2
I en påse finns det 10 kulor som har samma form. Det finns 6 röda kulor, 3 blå och 1 gul kula. Utan att titta tar man upp en av kulorna ur påsen. a) Vilken är sannolikheten att kulan är röd? Svara i procent.
Gynnsamma utfall = 6
Möjliga utfall = 10
6 = 0, 6 = 60 % 10 svar: 60 % P ( röd ) =
b) Vilken är sannolikheten att kulan är röd eller gul? Svara i procent.
Det finns 6 röda kulor och 1 gul kula. Gynnsamma utfall = 6 + 1 Möjliga utfall = 10 6 +1 7 P ( röd eller gul ) = = = 70 % 10 10 svar: 70 %
Alternativ lösning:
Beräkna P(röd) och P(gul). Addera sedan sannolikheterna.
P(röd eller gul) = P(röd) + P(gul) = 0,6 + 0,1 = 0,7
c) Vilken är sannolikheten att kulan inte är röd? Svara i procent.
P(inte röd) = 1 – P(röd) = 1 – 0,6 = 0,4 = 40 %
svar: 40 %
! P(röd kula eller gul kula) = P(röd kula) + P(gul kula) Då flera utfall ingår i en händelse, kan man addera sannolikheterna för dessa utfall.
5001 Daniel gör ett tärningskast. Hur stor är sannolikheten att han får
a) en trea b) en fyra eller en femma?
230
SANNOLIKHET OCH STATISTIK
KAPITEL 5
ExEmpEl 2
Tilde kastar två tärningar, en röd och en blå. Hur stor är sannolikheten att poängsumman blir 5? Svara i bråkform. I koordinatsystemet har vi ritat 36 ”punkter” som motsvarar de möjliga utfallen. T ex betyder punkten (6, 4) att den röda tärningen visar 6 och den blå visar 4. De händelser som ger poängsumman 5 är gröna. Gynnsamma utfall = 4 Möjliga utfall = 36 P(poängsumman 5) = svar:
4 1 = 36 9
1 9
blå tärning punkten (6, 4)
6 5 4 3 2 1
röd tärning 1 2 3 4 5 6
5015 Två tärningar kastas. Hur stor är sannolikheten att båda tärningarna
visar 6:a?
5016 Cassandra kastar två mynt. Vilken är sannolikheteten att båda
mynten visar samma sida?
234
SANNOLIKHET OCH STATISTIK
KAPITEL 5
5026 Hur stor är sannolikheten att man i en syskonskara på fyra barn finner
a) fyra pojkar
b) två pojkar och två flickor
c) fler flickor än pojkar? ExEmpEl 3
Vid en match i basketboll fick Jim två straffkast. Hur stor är sannolikheten att han vid båda kasten får bollen i korgen? Sedan tidigare vet Jim att 80 % av hans straffkast går i korgen.
1:a kastet 80%
80%
20%
poäng 20%
80%
miss 20%
2:a kastet
Antag att Jim under en säsong får 100 straffar med två kast i vardera, och att sannolikheten för poäng i varje kast är 80 %. Man kan då förvänta sig att Jim kommer att göra poäng i första kastet (bollen går i korgen) i 80 % av försöken, dvs i 80 kast. Av dessa lyckade straffkast som gav poäng i första kastet, bör 80 % ge poäng även i andra kastet. 80 % av 80 straffkast = 0,80 · 80 = 64 Av totalt 100 straffar blir det alltså 64 som ger ”poäng i båda kasten”. P(poäng, poäng) =
64 = 0, 64 100
svar: Sannolikheten är 64 % Vi får samma resultat om vi i träddiagrammet följer vägen för ”poäng, poäng” och multiplicerar sannolikheterna. P(poäng, poäng) = 0,8 · 0,8 = 0,64
! Sannolikheten för en ”väg” i diagrammet = = produkten av sannolikheterna längs vägen
238
SANNOLIKHET OCH STATISTIK
KAPITEL 5
5035 Man surrar dessa tre lyckohjul. Hur stor är sannolikheten att
a) alla hjulen visar ”etta” b) alla hjulen visar samma siffra? 8
2
7
4
1
1
4
1
2
2
3
6
3
3
5
4
5036 På sex små lappar har man skrivit tal. Av dessa är två tal negativa
och fyra positiva. Man drar två lappar. Bestäm sannolikheten att de två talens produkt blir a) positiv
b) negativ.
5 2
–3 –2
4
1
5037 Tre resor ska lottas ut till 17-åringar i Sverige. Ett år finns det 57 821
pojkar och 54 259 flickor som är 17 år. Hur stor är sannolikheten att a) den första resan går till en flicka b) av de tre resorna går två till flickor? Svara i procent med en decimal.
5038 På en stryktipskupong ska man välja
1, X eller 2 för tretton matcher. Bestäm den slumpmässiga sannolikheten att få a) 13 rätt b) 0 rätt
c) Vilken är sannolikheten att få 13 rätt när du har garderat som på bildens tipskupong?
SANNOLIKHET OCH STATISTIK
241
KAPITEL 5
Minst en vinst Exempel
Hur stor är chansen att få minst en 6:a, då man kastar två tärningar? Ett bra sätt att tänka här, när det handlar om ”minst en sexa”, är att titta på komplementhändelsen, som är ”ingen sexa”. Första tärningen: P(inte sexa) =
5 6
Andra tärningen: P(inte sexa) =
5 6
P(ingen av de två tärningarna visar sexa) = Nu använder vi att P(A) = 1 – P(inte A)
5 5 25 ⋅ = 6 6 36
P(minst en av tärningarna visar en sexa) = 1– P(ingen visar sexa) 1–
25 ≈ 0, 31 36
svar: Chansen är 31 %
! Komplementhändelse till ”A” är ”inte A”. T ex ”vinst på lotto” har komplementhändelsen ”inte vinst på lotto”.
Det var fransmannen Blaise Pascal (1623 –1662) som ”uppfann” rouletten. Under sitt 39-åriga liv ägnade sig Pascal åt fysik, matematik och filosofi. Idag mäter vi tryck i enheten Pa (Pascal) och använder oss av Pascals upptäkter inom sannolikhetsläran. Det sägs att det var ett brev från en spelintresserad greve som fick Pascal att ägna sig åt sannolikhetslära. I brevet ställde greven samma fråga som finns i uppgift 5117. Pascal kunde lösa grevens problem. Kan du?
242
SANNOLIKHET OCH STATISTIK
KAPITEL 5
5055 Bestäm medelvärde, median och variationsbredd.
a) 7, 8, 3
b) 10, 4, 6, 8
5056 Bestäm medelålder och medianålder.
a) 16 år, 30 år, 20 år
b) 5 år, 4 år, 8 år, 7 år
5057 Marie och Julia jämför priset på fem cyklar.
4500 kr
3900 kr
2900 kr
3800 kr
2100 kr
Är det sant att medelpriset är mindre än medianpriset? 5058 Bestäm typvärde och variationsbredd till talen.
a) 5, 4, 3, 2, 0, 3
b) 100, 300, 150, 100
5059 Tre syskon har medelåldern 15 år. Ge ett exempel på hur gamla
syskonen kan vara.
5060 Rätt eller fel?
a) Medelvärdet kan aldrig vara mindre än medianen. b) Ibland är medianen noll. c) Medelvärdet kan aldrig vara större än den största observationen. d) Medianen är alltid en av observationerna. e) Ibland är medelvärdet < 0. 5061 Man har uppmätt följande temperaturer: –2°, 9°, –6°, –4°, 12°
Bestäm a) medeltemperatur
b) mediantemperatur
c) variationsbredd. 5062 Medelvärdet av fem olika positiva heltal är 12 och medianen är 15.
a) Ge ett exempel på vilka de fem talen kan vara. b) Hur stort kan det största talet högst vara? Motivera ditt svar.
• Nämn några utfall A där P(A) = 1 • Varför redovisar man ibland både medelvärde och median?
SANNOLIKHET OCH STATISTIK
249
KAPITEL 5
Sammanfattning Sannolikhet
antal gynnsamma utfall antal möjliga utfall exempel: Man kastar en tärning en gång. P=
1 6
Komplement- händelser
P(fyra) =
Kast med två tärningar
Se sidan 234.
Träddiagram
1:a kulan
1 — 4
P(inte fyra) = 1 −
1 6
2 — 5
3 — 5
3 — 4
2 — 4
2 — 4
2:a kulan
2 3 3 2 12 3 P ( olika färg ) = ⋅ + ⋅ = = 5 4 5 4 20 5 summan av observationerna antalet observationer
Medelvärde
Medelvärde =
Median
När observationerna har ordnats i storleksordning, är medianen det värde som ligger i mitten.
Typvärde
Det värde som har största frekvensen.
Variationsbredd
Differensen av största och minsta värdet.
Cirkeldiagram
I ett cirkeldiagram motsvaras varje del av en cirkelsektor.
266
SANNOLIKHET OCH STATISTIK
ja 25% nej 75%
KAPITEL 5
Blandade uppgifter 5092 Hur stor är sannolikheten att få ”femma eller sexa” när man kastar
en tärning en gång?
5093 Vid ett spel kan man få tre olika resultat A, B eller C.
Sannolikheten för A är
4 2 och för B . Hur stor är P(C)? 7 7
5094 Bestäm sannolikheten att få poängsumman 11 vid kast
med två tärningar.
5095 I en ask finns tio nummerbrickor som är numrerade från 1 till 10.
Hugo tar en nummerbricka utan att titta. Bestäm följande sannolikheter. a) P(1)
b) P(två eller tre)
c) P(mer än 4)
d) P(mer än 11)
5096 Titta på bilden.
a) Bestäm P(gul kula) om man tar en kula. Antag att man tar två kulor. Bestäm b) P(båda är röda) c) P(en gul och en röd) d) Man tar tre kulor. Vilken är sannolikheten, att alla är röda? 5097 Bestäm talens medelvärde och variationsbredd. 14,6 17,0 13,7 13,9 5098 Bestäm medianen till följande tal:
a) 172 166 158 225 149 b) 135 158 149 166 225 172
SANNOLIKHET OCH STATISTIK
267
KAPITEL 1
Primtal och delbarhet Följande 3 delbarhetsregler är det bra att kunna:
! 1 Jämna tal, dvs tal som slutar på 0, 2, 4, 6 eller 8, är delbara med 2. Observera att vi med ordet ”delbar” egentligen menar ”jämnt delbar”, dvs att svaret ska bli ett heltal! 2 Tal som slutar med 0 eller 5 är delbara med 5. 3 Ett tal är delbart med 3, om talets siffersumma är delbar med 3.
Primtal kallas de positiva heltal > 1, som endast är delbara med 1 och med talet själv. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, …. Exempel 1
Är talet 1104 delbart med 3? Siffersumman = 1 + 1 + 0 + 4 = 6 Eftersom 6 är delbart med 3 så är talet 1104 delbart med 3. svar: Ja E X E MP E L 2
Dela upp talet 140 i primtalsfaktorer. 140 = 14 · 10 = 2 · 7 · 2 · 5 = 2 · 2 · 5 · 7
1086 Skriv talen som en produkt av två faktorer.
a) 15
b) 21
c) 55
1087 Skriv alla primtal mellan 0 och 30. 1088 Vilka av talen 105, 236, 441, 462, och 1020 är delbara med
a) 2
b) 3
c) 5?
1089 Vilka av följande tal är primtal?
a) 41 22
b) 51
NUMERISK RÄKNING
c) 71
KAPITEL 1
1090 Dela upp följande tal i primtalsfaktorer.
a) 12
b) 32
c) 99
1091 Vilka av följande tal är delbara med både 2 och 3?
Räknare ska ej användas! a) 246
b) 346
c) 546
d) 1212
1092 Är alla primtal udda? 1093 Skriv talet 46 som summan av två olika primtal. 1094 Skriv följande tal som produkter av primtal.
a) 45
b) 105
c) 209
1095 Skriv alla primtal mellan 30 och 100. 1096 Är talet 8331 ett primtal? 1097 När är det skottår? Vi har skottår då årtalet är jämnt delbart med 4.
Om årtalet slutar med 00 måste det vara delbart med 400 för att det ska vara skottår. Vilka av följande år är skottår? a) 1942
b) 2200
c) 2054
d) 2216
Jorden går ett varv kring solen på 365,2422 dygn. Det tar alltså lite längre tid än ett år, 365 dygn. Därför vi har en extra dag (skottdagen) vart fjärde år. Har du funderat på varför skottdagen ligger i slutet av februari? Förklaringen ligger 2000 år tillbaka i tiden och beror på att man då firade nyår den 1:a mars. Förr var det oftast männen som friade till kvinnorna. Men under skottåret var det även tillåtet för kvinnor att fria till män.
1098 Primtal som ligger på avståndet 2 från varandra som t ex 11
och 13 kallas primtalstvillingar. Ge exempel på ytterligare 2 par primtalstvillingar.
1099 Talet 2581 är en produkt av två primtal. Vilka? 1100 Välj ett jämnt tvåsiffrigt tal.
Skriv ditt tal som summan av två primtal.
NUMERISK RÄKNING
23
KAPITEL 1
Exempel
Utför följande divisioner 5 5 4 5 1 5 4= = ⋅ = a) 3 3 1 3 4 12 1 4 Eftersom 4 = så blir det inverterade värdet 4 1 b) 3
3 1 18 2 = 5 4 5
9 18 ⋅ 4 8 3 = = =1 4 5 ⋅9 5 5
Beräkna och förenkla svaret så långt som möjligt. 1136 a)
2 3
1137 a)
5 7
b)
1 1 6 3
c)
1 3 2
b)
8 5
c) 3
1 1 1 2 6
1 4
b)
3 1 4 8 2
c) 4
2 5 7
1138 a) 8 1
4 3
4 9
2 3
Tänk dig att du har en chokladkaka som är indelad i 24 små rutor. Rita och förklara hur du kan visa bråkräkning med hjälp av chokladkakan.
NUMERISK RÄKNING
37
KAPITEL 1
Binära tal Vårt ”vanliga” talsystem kallas 10-system eller decimalsystem. Här använder vi de tio siffrorna 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. Varje tal i tiosystemet kan skrivas i s.k utvecklad form. Till exempel talet 1534 skrivs i utvecklad form så här: 1534 = 1 · 1000 + 5 · 100 + 3 · 10 + 4 · 1 Om vi skriver med tio-potenser blir det: 1534 = 1 · 103 + 5 · 102 + 3 · 101 + 4 · 100 Då man är extra noggrann anges basen som ett index. Man skriver 153410 eller 1534tio . Lägg märke till att ordet ”10-system” kommer från basen 10. Om vi istället för 10 använder siffran 2 som bas, får vi ett system som kallas det binära talsystemet. Se tabellen som visar några två-potenser. Börja från höger i tabellen då du läser. 27
26
25
24
23
22
21
20
128
64
32
16
8
4
2
1
Hur skrivs t ex talet 8 i binär form? Eftersom 8 = 1 · 23 + 0 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20 får vi det binära talet 1000. Talet 9 skrivs som det binära talet 1001 eftersom 9 = 1 · 23 + 0 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 Lägg märke till att binära tal endast består av siffrorna 0 och 1. EXEMPEL 1
Skriv det binära talet 10010 som ett tal i tiosystemet. Vi använder tabellen för två-potenser och ”fyller i” talet 10010. 128
64
32
16
8
4
2
1
1
0
0
1
0
Sedan beräknar vi: 1 · 16 + 0 · 8 + 0 · 4 + 1 · 2 + 0 · 1 = 18 Förenkla gärna beräkningen direkt till 16 + 2 = 18 svar: 10010två = 18tio
58
NUMERISK RÄKNING
KAPITEL 3
Ekvationen x 5 = 2 Ett kapital på 400 kr fördubblas på 5 år. Hur stor är räntesatsen? Vi kallar förändringsfaktorn för x och får ekvationen tiden i år
400 · kapitalet från början
x5
=
förändringsfaktorn
800 det slutliga kapitalet
Vi dividerar ekvationens båda led med 400 och får x5 = 2 Båda leden upphöjs till 1/5 så att vi får x1 i vänstra ledet. (x5)1/5 = 21/5
!
x1= 21/5 x = 21/5 x ≈ 1,15 Räntesatsen är 15 %.
^
2
(
1
. — .
x5 = 2
har lösningen x = 21/5
x9 = 6
har lösningen x = 61/9
5
=
)
EXEMPEL
Lös ekvationen x3 – 8 = 30. Avrunda svaret till 2 värdesiffror. x3 – 8 = 30 x3 = 30 + 8
Båda leden har adderats med 8
x3 = 38 x = 381/3 Detta skrivs även 3 38 och kallas ”kubikroten ur 38” eller ”tredje roten ur 38”. 3
På många räknare finns en tangent för kubikroten, √— x = 3,36… svar: x = 3,4
172
UTTRYCK OCH EKVATIONER
KAPITEL 3
obser v er a !
Då exponenten är ett jämnt tal, har ekvationen både en positiv och en negativ rot. T ex har ekvationen x4 = 16 rötterna x = 2 och x = –2. I det här avsnittet bestämmer vi endast den positiva roten.
Bestäm den positiva roten till följande ekvationer. Avrunda svaren till tre värdesiffror. 3208 a) x4 = 100
b) y5 = 19
3209 a) 5x3 = 180
b) x3 + 15 = 21
3210 a) 2y4 – 16 = 1
b)
x3 = 65 3
3211 a) Bestäm kubikroten ur talet 729.
c) Bestäm kantlängden hos en kub som har volymen 134 cm3. 3212 Ett kapital ökade från 2000 kr till 5000 kr
på tre år. Bestäm den årliga procentuella ökningen i hela procent.
3213 Folkmängden i en kommun ökade från 23 000 till 45 000 invånare
på sju år. Bestäm den årliga procentuella ökningen. Svara i hela procent.
3214 Bestäm den totala arean av en kub med volymen 512 cm3. 3215 En bil minskade i värde från 164 000 kr till 70 000 kr på 6,0 år.
Bestäm den årliga minskningen i procent.
3216 Ett klot har volymen 478 cm3. Med ekvationen
kan man bestämma klotets radie. Lös ekvationen.
4 ⋅π ⋅ r 3 = 478 3
3217 En bank utlovade följande:
Vilken årlig ränta motsvarar detta?
UTTRYCK OCH EKVATIONER
173
KAPITEL 3
3030 a) Ge exempel på ett uttryck som består av en sifferterm och två
x-termer.
b) Skriv ett uttryck med 2 stycken x-termer, så att uttryckets värde blir 20 då x = 4. 3031 Beräkna värdet av uttrycket 5x + xy då
a) x = 10 och y = 2
b) x = 0,6 och y = –2
c) x = 3/2 och y = 1/3 3032 Beräkna värdet av uttrycket 2,8x + 0,3x + 1,9x då
a) x = 0,2
b) x = –10
c) x = 3/5
3033 Bestäm värdet av uttrycket då y = 10–2.
y + 2y + 3y + 4y + 5y + 6y + 7y + 8y + 9y 3034 Beräkna uttryckets exakta värde då x = 1/3 och y = 1/9:
1,5x + 0,5y – 0,8x + 0,2y + 0,3x + 1,3y 3035 Tänk dig att du börjar träningscykla.
vecka 1: Varje dag cyklar du x km. vecka 2 och följande: Varje dag cyklar du 2x km. Skriv ett uttryck som visar hur långt du har cyklat på a) 2 veckor b) 3 veckor. Beräkna hur långt du har cyklat på 2 veckor om c) x = 2 km d) x = 3,5 km
130
UTTRYCK OCH EKVATIONER
KAPITEL 3
Magiska kvadrater
1
Titta på kvadraten nedan. Summorna vågrätt, lodrätt och diagonalt blir alla lika stora. En sådan kvadrat kallas för magisk kvadrat. I den här kvadraten blir varje summa 12.
5
1
6
5
4
3
2
7
3
Här nedan finns två påbörjade kvadrater. Försök att fylla i de tomma rutorna med tal så att summorna i var och en av kvadraterna blir 18. Går det i båda figurerna? A
B 6 3
2
5 5
4
6
Nej, i B går det inte att göra en magisk kvadrat med summan 18. Vi ska nu undersöka om det kan fungera med en annan summa för kvadraten B. Om vi kallar summan för s får vi följande: s–11
s–9 5
4
s–10
6
Ställ upp en ekvation och bestäm s. Fyll sedan i de rätta talen.
3
Bestäm summan till den här kvadraten.
7
6
5
4
Jämför summan i kvadraterna med talet i mitten. Formulera en regel för summan.
5
Visa att detta alltid stämmer, oavsett vilka tal man startar med. Sätt summan = s och de tre godtyckliga talen a, b och c.
174
UTTRYCK OCH EKVATIONER
KAPITEL 3
TEST 3B 1
2
Förenkla a) 8 – (2a + 3) – (5 – 9a)
ex 2 sid 133
b) 10x + (x + 6) · 2 – 4(3 – 2x)
ex 4 sid 136
c) x(x – 3) – x(1 – 4x)
ex 4 sid 136
Beräkna värdet av 7x + x2 då a) x = 3
b) x = –5
Lös följande ekvationer.
ex 5 sid 137
3
a) 12 = 5z + 12
b)
x + 12 = 10 3
ex s 142,143
4
a) 104 + 2x = 4 · 103
b) 28 – 3x = x + 8
ex s 145,147
5
a) 4(3x – 1) = 8x – 2
b)
6
a)
7
a) x2 = 9
8
Axel, Bertil och David har vunnit 8000 kr på tips. Vinsten ska delas så att Bertil får dubbelt så mycket som Axel, och David får 1000 kr mer än Axel. Hur mycket får Axel?
ex 1 sid 158
Ida och Linus ska dela 9000 kr så att Ida får 25 % mer än Linus. Hur mycket får Ida?
ex 2 sid 159
9 10
x x + = 15 3 2
b) 6x2 – 40 = x2
ex s 153,161 ex s 161,162 ex 1,2 sid 167
Lös olikheterna. a) x + 2 ≤ 2x – 8
11
x 8 = 10 5 20 5 = b) x 7
b) 1 – 2x > 7
Bestäm rektangelns sidor då arean är 243 cm2.
ex sid 151,152 ex 3 sid 168
x
3x
12
182
Vilken är den årliga räntesatsen då 8000 kr växer till 9000 kr på 2 år?
UTTRYCK OCH EKVATIONER
ex sid 170
KAPITEL 3
Lös följande ekvationer. 13
a) 0,5x2 = 0,045
b) x7 = 16384
14
a) 20 + (x + 4) · x = x2
b) 102 = 50x · 10–2
15
a)
x 4,5 = 50 x
b)
16
Beräkna värdet av
xy − x för x = 102 och y = 4 · 102 y
17
Ett nystartat företag planerar att öka sin personal från 20 personer till 60 under de kommande 4 åren. Hur stor blir den årliga procentuella ökningen?
18
Det finns två rötter till ekvationen x = x . Vilka?
19
Carmen använder bil i sitt arbete och är ofta ute i sista sekunden. Den tidsvinst t minuter som hon gör om hon ska åka x km och ökar hastigheten från u km/h till v km/h kan fås med formeln
x2 = x 2 − 54 3
x x t = − ⋅60 u v
Vilken tidsvinst gör hon om hon a) ökar farten från 80 km/h till 90 km/h på en sträcka som är 70 km lång? b) ska åka 25 km och kör med hastigheten 100 km/h istället för 90 km/h? 20
Anders hade 110 kr mer i sin plånbok än vad Britta hade. Sedan Anders handlat för 75 kr, var hälften av hans pengar lika mycket som 3/5 av Brittas pengar. Hur mycket pengar hade Anders från början?
repetitionsuppgifter till kapitel 3 finns på sidan 320.
Tankenöt 8
En tegelsten väger 3 kilogram pl us halva sin vikt. Vad vä ger tegelstenen?
UTTRYCK OCH EKVATIONER
183
KAPITEL 4
Grafisk lösning av ekvationer I det här avsnittet ska vi lösa ekvationer med hjälp av grafer. Bilden visar grafen till y = 2x – 6 Vilket är x-värdet där linjen skär x-axeln? svar: x = 3 x = 3 kallas funktionens nollställe. På x-axeln gäller ju att y = 0. Vad blir svaret när vi på vanligt sätt löser ekvationen 2x – 6 = 0 ?
y
4 3 2 1
x
–2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 –6
1 2 3 4 5 6
y = 2x – 6
2x = 6 ger x = 3 Vi får samma svar som skärningspunktens x-värde! exempel
Den här bilden visar grafen till andragradsfunktionen y = x2 – 4 Här ser vi att grafen skär x-axeln i två punkter, nämligen där x = 2 och x = –2
y
Kanske har du redan gissat svaret till ekvationen x2 – 4 = 0 ? x2 – 4 = 0 x2 = 4
1 –1
x=± 4
x 1
y = x2 – 4
x=±2
! Ekvationer kan lösas på två sätt: 1) Räkna på vanligt sätt. Detta kallas algebraisk lösning. 2) Rita grafer och avläsa x för en eller flera skärningspunkter. Detta kallas grafisk lösning.
FUNKTIONER
209
KAPITEL 4
fördjupning Vilken är funktionen? EXEMPEL
a) Sofia köper ett hus för 900 000 kr. Husets värde beräknas öka med 4 % varje år. Teckna det funktionssamband som visar värdet y (kr) som en funktion av tiden x (år).
svar: y = 900 000 · 1,04x
b) För vattenförbrukningen får Lukas betala en fast avgift på 280 kr och en rörlig kostnad på 11 kr/m3. Vilken är funktionen?
svar: y = 280 + 11x (x står för antalet m3)
4085 Linus blir erbjuden en månadslön på 17 400 kr och att lönen ska
öka med 3 % varje år. Teckna det uttryck som visar hur lönen y (kr) är en funktion av tiden x (år).
4086 I en butik kostar päron 18 kr per kg. Skriv funktionen som visar hur
kostnaden y kr beror av mängden x kg.
4087 Mikaela köper en dator som kostar 4990 kr. Mikaela tror att värdet
på datorn kommer att minska med 35 % för varje år.
a) Skriv den funktion som visar värdet y (kr) som en funktion av tiden x (år). b) Efter 4 år säljer Mikaela sin dator för 900 kr. Hade hon rätt vad gäller värdeminskningen? 4088 Antag att kostnaden att trycka en bok består av en fast kostnad
på 280 000 kr och en rörlig kostnad på 25 kr/bok. Kostnaden y (kr) blir en funktion av antalet böcker x som förlaget trycker. Teckna kostnadsfunktionen.
4089 En vattencistern innehåller 45 000 liter vatten. Man tappar ut vatten
med hastigheten 900 liter/timme. Teckna ett uttryck där vattenmängden y (liter) i cisternen är en funktion av tiden x (timmar).
4090 Antalet bakterier i en odling är ca 2000 st. Teckna ett uttryck för
antalet bakterier y (st) som en funktion av tiden x (timmar) om antalet bakterier varje timma a) ökar med 50 %
218
FUNKTIONER
b) fördubblas
c) ökar med 1000 st.
KAPITEL 4
Grafisk lösning av olikheter Olikheten x + 3 < 5 har svaret x < 2. Det betyder att olikheten är sann för alla x-värden som är mindre än 2. Svaret kan visas som ett intervall på tallinjen. x –1
0
1
2
3
4
5
Här har vi markerat de tal som är mindre än 2. Den ofyllda ringen kring 2 visar att talet 2 inte tillhör lösningen. Intervallet skrivs x < 2. EXEMPEL 1
Skriv intervallen med olikhetstecken a)
x –2
–1
0
1
2
3
4
Den fyllda ringen betyder att –1 tillhör lösningen. Intervallet skrivs x ≥ –1 b)
x –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Intervallet skrivs 2 < x ≤ 7
212
FUNKTIONER
KAPITEL 4
4076 Bilden nedan till vänster visar grafen till y = x2 – 4. Använd grafen
och lös olikheterna.
a) y < 0
b) y > 0 y
1
x
–1
1
y = x2 – 4
y = 0,5x + 1
5 4 3 2 1
y
–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3
x 1 2 3
4077 Bilden ovan till höger visar grafen till f(x). Använd grafen och lös
a) f(x) < 0
b) f(x) > 0
4078 Funktionen är y = 9 – x2 .
y = 0,5x + 1
6 5 4 3 2 1
–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5
y
9 8 7 6 5 4 3 2 1
x 1 2 3
–4 –3 –2 –1 –1 –2
y y=9–
x2
Använd grafen och lös olikheterna. a) 9 – x2 > 0 b) 9 – x2 < 0
x 1 2 3 4
4079 Grafen visar y = 4x – x2 4
y
y = 4x – x2
Lös med hjälp av grafen a) 4x – x2 = 0
1
x 1
b) 4x – x2 < 0 c) 4x – x2 > 0
FUNKTIONER
215
KAPITEL 6
Den stora pyramiden vid konstmuséet Louvren i Paris består av 673 glasplattor (603 romber och 70 trianglar). Konst, arkitektur och matematik i en lyckad kombination. Eller hur? 6018 Malins rum har form av ett rätblock. Golvet är en rektangel med
sidorna 3 m och 4 m. Takhöjden är 2,5 m. a) Bestäm golvets area. b) Vilken volym har rummet?
c) Kan någon av väggarna ha arean 12 m2? d) Malin ska sätta en slinga med små lampor runt rummets tak. Hur långt är det runt taket i Malins rum? 6019 Globen i Stockholm har en diameter som är 110 m. Beräkna
volymen av ett klot med diametern 110 m.
6020 Keopspyramiden i Egypten har en kvadratisk basyta vars sida är
ungefär 230 m. Pyramidens höjd är 140 m. Bestäm Keopspyramidens volym.
6021 Rätt eller fel?
a) 1 cm3 = 1 ml
b) 105 m = 1 mil
c) 1 dl = 100 ml
d) 1 kvm = 100 dm2
e) 102 cm = 1 m 6022 En frysbox har följande mått invändigt: höjd 880 mm, bredd
650 mm och djup 620 mm. Hur många liter rymmer frysboxen? Avrunda till tiotal liter. GEOMETRI
285
KAPITEL 6
Implikation och ekvivalens En implikation betecknas med den här pilen ⇒ och utläses ”medför att”. Titta på följande implikationer: Vi har en kvadrat ⇒ vi har en fyrhörning
Detta kan utläsas som ”Vi har en kvadrat, det medför att vi har en fyrhörning” Vi har fyra tal ⇒ vi kan beräkna ett medelvärde
Lägg märke till att vi inte kan ”vända på” implikationen, det omvända gäller inte. 1) Att vi har en fyrhörning innebär ju inte att vi har en kvadrat. Det kan ju istället vara en romb eller ett parallelltrapets. 2) Om vi kan beräkna ett medelvärde kan det ju vara nio tal istället för fyra. Implikationer kan användas även om det inte handlar om matematik! Några exempel: Ali bor i Sundsvall ⇒ Ali bor i Sverige Mias familj har en Volvo ⇒ Mias familj har bil
En ekvivalens betecknas med en dubbelpil ⇔ och kan ses som en implikation åt båda håll. Matematiskt kan ekvivalens användas så här: 1+x=4⇔x=3 2x < 10 ⇔ x < 5
Två ekvationer A och B, är ekvivalenta om • varje lösning till A också är en lösning till B och • varje lösning till B också är en lösning till A Detta gäller också för olikheter.
300
GEOMETRI
KAPITEL 6
Symmetri Bilden visar tre kvadrater.
A
B
C
I kvadraterna B och C har vi ritat en symmetrilinje. En symmetrilinje delar en figur i 2 identiska halvor. Om man viker ihop kvadraten längs en symmetrilinje så täcker halvorna varandra. En symmetrilinje är en spegellinje, eftersom varje halva är spegelbild av den andra halvan. Kan vi rita någon mer symmetrilinje i en kvadrat? Ja, titta på bilderna D och E.
D
E
F
Bilden F visar en kvadrat med samtliga 4 symmetrilinjer ritade. 6077 Hur många symmetrilinjer har
a) en rektangel b) bildens parallelltrapets c) en liksidig triangel?
6078 a) Vad kallas cirkelns symmetrilinje?
b) Hur många symmetrilinjer har en cirkel? 6079 Hur många symmetrilinjer har en
a) regelbunden sexhörning b) regelbunden femhörning c) romb?
302
GEOMETRI
KAPITEL 6
6080 Bilden visar en ellips.
Är det sant att en ellips har två symmetrilinjer? 6081 a) Hur många symmetrilinjer har stjärnan?
b) Hur stor är den spetsiga vinkeln mellan två närliggande symmetrilinjer? 6082 Rita grafen till funktionen y = 2x – x2 .
Grafen är symmetrisk kring linjen x = a. Bestäm a. 6083 Dessa bilder ger exempel på symmetriska kroppar. I matematiken
betyder symmetri att en likadan form upprepas enligt vissa regler. Här har vi sett hur spegling i symmetrilinje ger reflektionssymmetri. Andra typer av symmetrier kallas rotation, translation och glidreflektion. Man kan kombinera symmetrier och skapa de mest fantastiska mönster. Samla egna bilder som visar symmetri. Redovisa och diskutera i grupp.
GEOMETRI
303
KAPITEL 6
FLER UTMANINGAR 6A 1
En rektangel har sidorna x och y. Med hur många procent förändras rektangelns area om a) x ökar med 30 % och y ökar med 20 % b) x ökar med 20 % och y minskar med 20 %? c) Om en rektangels bas ökar med 25 % och höjden ökar med x %, så ökar arean med 40 %. Bestäm x.
2
I en cirkel är en regelbunden 6-hörning inskriven. Se bilden. Cirkelns diameter är 12 m. Bestäm med 3 värdesiffror arean av
a) den röda triangeln b) det blå cirkelsegmentet. 3
Bilden visar en rätvinklig triangel. Punkterna M och N är sidornas mittpunkter. Hur stor del av hela triangelns area är gul?
x N x M
y
4
y
Här följer en 2000 år gammal formel för beräkning av en triangels area. Herons formel:
a
A = p( p − a)( p − b )( p − c )
b c
Här betyder a, b och c sidornas längder. a+b+c Dessutom gäller att p = 2 Beräkna arean av den gröna triangeln
(cm)
a) på ”vanligt” sätt
5
3
b) med Herons formel Beräkna arean om en triangel har sidorna
4
c) 8 m, 9 m och 13 m d) 4 m, 7 m och 15 m e) varför kan inte arean i uppgift d) beräknas? Facit finns på sidan 359.
GEOMETRI
287
Ledtrådar och lösningar Kapitel 1 1005 Antingen är alla barnen 2 – 12 år eller
också är 1 barn mer än 12 år och det minsta barnet under 2 år. Om minsta barnet är 2 till 12 år kostar det 120 kr + 60 kr = 180 kr. Om minsta barnet är under 2 år kostar det 120 kr + 0 kr = 120 kr.
1006 Tåg: 10 st åker för
10 · 120 kr – 120 kr = 1080 kr 20 st åker för 2160 kr Tåg för 21 st kostar 2280 kr Taxi: Det behövs 6 bilar. 6 · 380 kr = 2280 kr
1019 b) 3 · 100 = 300
c) noll gånger ett tal = 0
1020 a) 145 – 45 + 32 + 50 = 100 + 82
b) 5,8 – 2,8 + 1,6 – 0,7 = 3 + 0,9
1029 a) 36 – 5 1030 a)
12 ⋅ 5 12
1031 a) 8 +
b) 2 · (18 – 5) = 2 · 13 12 12
b)
6 15 b) + 2 3 15
1040 a) Beräkna medelvärdet
118 + 202 320 = 2 2 1041 Dela vinsten i 4 delar. Inger får två delar. 1072 a) –10 + 15 = 5 1073 –3 + 18 = 15 1074 Beräkna medelvärdet
(−8, 2) + (−9, 4 ) −17 , 6 = 2 2 1099 Dividera talet 2581 med primtalen 7,11,13…
1134 a)
360
2 1 2 1 2 b) 4 + 1 c) 4 − 3 9 9 7 7
3 10 4 ⋅ ⋅ 2 3 1
b)
hälften av
3 1 = 10 10
1 1 = 10 20
alternativ:
1 1 3 1 ⋅ ⋅ = 2 3 10 20
b) pojkar = hälften av flickor:
1 1 = 3 6
11 22 11 22 11 av av == ⋅ ⋅ == 44 33 44 33 66
1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 1147 Övertidstimme =
= 133,50 kr
21360 kr = 160
12 · 21 360 kr + 96 · 133,50 kr 1148 30 + 40 + 50 = 120
Oscar får 30/120 = 1/4 av vinsten
1152 a) 18 karat = 18/24
18/24 av 12 gram = = 9 gram
18 ⋅12 gram = 24
1161 Beräkna alla potenserna och jämför. 1162 a) 43 = 64 b) hälften av 64 = 32
c) 32 = 16 · 2 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25
1171 a) 8 + 4 · 2 b) 16 – 8 · 2
c) 10 – 1 · 100
1172 a) (–2)(–2)(–2) + 25 = –8 + 25
b) 9 – (–3)(–3) = 9 – 9 = 0 c) 10 – (–1000) = 10 + 1000
b) –8 – (–8) = 0
1123 a) 5 − 1
1135 a) en tredjedel av
20 1 9 ⋅ ⋅ 3 5 2
1177 a)
102 105
b)
10−4 10−1
c)
10−4 10−4
1178 Addera exponenterna
c) – 2 + 1 + (–2) = –3
1197 c) 2 900 000 < 3 000 000 1198 c)
0, 01 + 1 (beräkna medelvärdet) 2
1199 4 · 104 · 9 · 106 = 36 · 1010 = 3,6 · 1011 1230 I ett binärt tal är värdet på ”platserna”
…. 64 32 16 8 4 2 1 Då ett binärt
M1b – Matematik för gymnasiet Den här boken är avsedd för gymnasieskolans kurs Matematik 1b. Den riktar sig till samhällsvetenskaps- och ekonomiprogrammet, samt estetiska och humanistiska programmet. Boken passar också för vuxenutbildning. • Bokens enkla språk och tydliga förklaringar gör matematiken begriplig. • Nivåindelade uppgifter gör det lätt att individualisera. • Här finns många lösta typexempel, tester, repetitioner och utmaningar. • I facit finns ledtrådar och lösningar till många uppgifter. M-serien är en matematikserie för gymnasieskolan. I serien finns böcker för samtliga gymnasieprogram.
Best.nr 47-08555-2 Tryck.nr 47-08555-2