9789176995013 by Smakprov Media AB

NYA ENKLA SÄTT ATT LÖSA

EKVATIONER

Hur man löser ekvationer med huvudräkning, vilket stärker tankeförmågan och förbättrar minnet EINAR ÖSTMYREN

Nya enkla sätt att lösa ekvationer

NYA ENKLA SÄTT ATT LÖSA

EKVATIONER

Hur man löser ekvationer med huvudräkning, vilket stärker tankeförmågan och förbättrar minnet

EINAR ÖSTMYREN

ISBN: 978-91-7699-501-3 Copyright © 2017 Einar Östmyren Första upplagan: maj 2017 Andraupplagan: mars 2018 Tredjeupplagan: mars 2022 Omslagsdesign: Stefan ”Lillis”Åkesson Förlag: BoD – Books on Demand, Stockholm, Sverige Tryck: BoD – Books on Demand, Norderstedt, Tyskland

INNEHÅLLSFÖRTECKNING Introduktion 7 1. Den nya andragradsformeln 8 Härledning av formeln 8 Konjugatregeln 9 Kvadrering av tal som slutar på fem 9 Tabell för kvadrering och kvadratrötter 10 Den nya formeln blev testad av studenter 11 Övningar under provet 12 Resultatet av provet 18 Fördelar med huvudräkning 18 2. Andragradsekvationer 20 Multiplikation av algebraiska uttryck 20 Tabell hur man delar upp koefficienterna i faktorer 21 Delningsregeln 21 Beräkning och kontroll av svar 22 Sammanfattning 23 Andragradsekvationer kan lösas med faktorisering 24 Andragradsekvationer kan lösas med huvudräkning 27 Polynomets kärna 32 När den ena ytterkoefficienten är 1 35 Identiska binomen 35 Kvadratkomplettering 38 Övningar med svar 41 Multiplikation av tal 55

3. Tredjegradsekvationer 57 Faktoruppdelning 57 Ekvationer när den första koefficienten är 1 58 Ekvationer när den första koefficienten är större än 1 70 Faktorregeln 80 En generell metod för tredje-, fjärde- och femtegradsekvationer Primtalsfaktorisering 82 4. Fjärdegradsekvationer 84 Jämförelse med konventionell metod

5. Femtegradsekvationer 86 Jämförelse med konventionell metod

6. Nordens största matematiker 89 Abelpriset 91 Referenser 92

INTRODUKTION I den här boken presenterar jag en unik andragradsformel, vilken är en omskrivning av p-q-formeln. Omskrivningen ledde till att ekvationerna kunde lösas nästan dubbelt så snabbt med den nya formeln, när den jämfördes i ett test med p-q-formeln. I ett annat test var den nya formeln också betydligt snabbare än den vediska formeln, se sidan 11. Det unika med den nya formeln var att ekvationerna kunde lösas med huvudräkning, vilken förbättrar minnet och ökar mental skärpa och intelligens. När jag upptäckte att den mellersta koefficienten i en andragradsekvation innehöll all information om dess ursprung, ledde detta till regler som skulle förenkla lösningen av alla ekvationer. Ursprunget i en andragradsekvation kunde då lokaliseras, och därmed blev det möjligt att skapa en regel för hur koefficienterna skulle delas upp i faktorer. Med hjälp av denna regel och någon övning kan svaret på en ekvation både beräknas och kontrolleras snabbt, oberoende av hur stora koefficienterna är. Denna universella metod är avsedd att användas innan ekvationen löses med formel, se sidorna 20-23. Eftersom ursprunget till en andragradsekvation kunde lokaliseras blev det också lätt att hitta ursprunget till andra typer av ekvationer, och därmed kunde nya metoder skapas. Det här ledde till att en tredjegradsekvation kunde lösas utan att ta några omvägar som polynomdivision, gissning eller prövning av en rot. När ursprunget till en ekvation kan lokaliseras, är det lika lätt att lösa en femtegradsekvation som en andragradsekvation, på samma enkla sätt som att låsa upp ett kassaskåp med nyckel. Syftet med boken är i första hand att göra det så enkelt som möjligt för studenterna att lösa ekvationer, men också att ge dem en god inblick i ursprunget till en ekvation. Under ett besök i USA träffade jag doktor Anne Dow, professor i matematik på MIU i Iowa, och den nya andragradsformeln blev då verifierad och godkänd.

Jag föddes 1932 i den norska staden Risör, och vid 21års ålder studerade jag i Sverige till kemiingenjör. 7

Kapitel 1 DEN NYA ANDRAGRADSFORMELN Med den nya andragradsformeln har vi sett att ekvationer kan lösas med huvudräkning och nästan dubbelt så snabbt som med p-q-formeln. Resultatet av ett jämförande test på de två formlerna och en vedisk formel redovisas på sidan 18. Jag hade länge funderat på en enklare formel, men då jag kunde lösa många ekvationer med irrationella tal, förstod jag att jag hade lyckats. Det framkom senare att formeln är en omskrivning av p-q-formeln. Formlerna är ekvivalenta och har olika egenskaper. De kan jämföras med två likadana bilar, en av dem med en starkare motor och nästan dubbelt så snabb som den andra. HÄRLEDNING AV DEN NYA ANDRAGRADSFORMELN

Den nya formeln: Ax = − 0,5B ±√(0,5B)2 + A(−C) Vi vill visa att Ax2 + Bx + C = 0 är ekvivalent med den nya andragradsformeln. Ax2 + Bx + C = 0

multiplicera båda leden med A

2 2

A x + ABx + AC = 0 B 𝟐

B 𝟐 𝟐

komplettera båda sidor med ( ) B 𝟐

A2x2 + ABx + (𝟐 ) = (𝟐 ) − AC kvadreringsregeln ger: B 𝟐 𝟐

B 𝟐 𝟐

(𝐴𝑥 + ) = ( ) − AC B 𝟐

Ax + 2 = ±√(𝟐 ) − AC B

B 𝟐

Ax = − 2 ± √(𝟐 ) − AC Ax = − 0,5B ±√(0,5B)2 + A(−C) * Ax2 + Bx + C = 0 är ekvivalent med Ax = − 0,5B ±√(0,5B)2 + A(−C) * Får inte förväxlas med p-q-formeln. Kvadrering av tal som slutar på 5, se sidan 9.

Konjugatregeln Den nya andragradsformeln bygger på konjugatregeln, som ofta används för att skriva om skillnaden till en produkt. Om a och b är två tal får vi: (a + b)(a − b) = a2 − b2 Denna identitet omfattar alla tal a och b. Konjugatregeln kan skrivas om till en produkt där den ena faktorn har ett plus och den andra ett minus mellan parentesuttrycken. a2 − b2 = (a + b)(a − b) När vi till exempel skall multiplicera 27 ∙ 33, är medelvärdet 30 och avvikelsen 3. När a = 30 och b = 3 fås (30 + 3)(30 − 3) = 302 − 32 = 900 − 9 = 891, dvs. 27 x 33 = 891.

Konjugatregeln används ofta för att ge snabba och eleganta lösningar och det visar vi i följande exempel. Exempel 1 712 − 692

Differens mellan två kvadrater

712 − 692 = (71 + 69)(71− 69) = 140 x 2 = 280 Exempel 2

x2 = 292 − 212 Pythagoras sats x2 = (29 + 21)(29 − 21) = 50 x 8 = 400 x = 20

Kvadrering av tal som slutar på fem Eftersom den mellersta koefficienten halveras i den nya andragradsformeln, kommer udda tal att sluta på 5. Ett enkelt sätt att kvadrera sådana tal med huvudräkning är att använda ordformeln: ”Med ett mer än föregående”. När vi till exempel skall kvadrera 5,5, multipliceras 5 med 6, d.v.s. det tal som kommer efter 5. Vi multiplicerar 5 med 6 vilket blir 30 och sedan adderas 25 i rätt decimalposition och vi får då 30,25. Vi tar ett exempel och multiplicerar 5 + 0,5 med 6 − 0,5 = 30,25 och 5,52 = 30,25.

Lös ekvationen: 4x2 + 15x + 9 = 0 Den mellersta koefficienten 15 halverar vi till 7,5. För att kvadrera 7,5 multipliceras 7 med 8 vilket blir 56. Därefter lägger vi till 25 i rätt decimalposition och 7,52 = 56,25. Ax = − 0,5B ±√(0,5B)2 + A(−C) 4x = − 7,5 ± √(56,25 + 4(−9) = − 7,5 ±√20,25 = − 7,5 ± 4,5 x1 = − 3, x2 = − 3/4 Tabell för kvadrering och kvadratrötter 0,52 = 0,25 1,52 = 2,25 2,52 = 6,25 3,52 = 12,25 4,52 = 20,25 5,52 = 30,25 6,52 = 42,25 7,52 = 56,25 8,52 = 72,25 9,52 = 90,25 10,52 = 110,25 11,52 = 132,25

√0,25 = 0,5 √2,25 = 1,5 √6,25 = 2,5 √12,25 = 3,5 √20,25 = 4,5 √30,25 = 5,5 √42,25 = 6,5 √56,25 = 7,5 √72,25 = 8,5 √90,25 = 9,5 √110,25 = 10,5 √132,25 = 11,5

12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81 102 = 100 112 = 121 122 = 144

√1 = 1 √4 = 2 √9 = 3 √16 = 4 √25 = 5 √36 = 6 √49 = 7 √64 = 8 √81 = 9 √100 = 10 √121 = 11 √144 = 12

Denna tabell visar de tal som normalt krävs för att lösa andragradsekvationer med den nya formeln. När man kan den lilla multiplikationstabellen, är det lätt att kvadrera och beräkna kvadratroten med huvudräkning. Låt oss beräkna kvadratroten ur 12,25. Man inser att talet blir något högre än 3 och mindre än 4 närmare bestämt 3,5. Kvadratroten ur 72,25 bör ligga emellan 8 och 9 och kan verifieras till 8,5. Med någon övning löser man ekvationer snabbare med huvudräkning än med ett artificiellt hjälpmedel.

“Vi lever i en tid där alltmer digitaliseras och vi blir mer och mer beroende av våra elektroniska apparater. Då kommer Einar Östmyrens bok som en frisk fläkt med nya perspektiv på matematik och hjälp med hederlig huvudräkning.” Stefan Lagrosen, Ph.D. Professor of Marketing and Management “Einar Östmyren har på ett kreativt sätt hittat nya sätt att lösa ekvationer. Dels har han kommit på en egen formel för att lösa andragradsekvationer på ett snabbare sätt med huvudräkning. Dels har han hittat nya sätt att faktorisera andra-, tredje-, fjärde-, och femtegradspolynom, och därigenom lösa motsvarande ekvationer med huvudräkning. Han har på ett imponerande sätt lyckats se bakomliggande mönster och underliggande strukturer inom matematikgrenen algebra och sedan omvandlat dessa insikter till praktiskt användbara metoder, där man kan uppleva glädjen av att lösa ekvationer med sin egen hjärna som instrument och utan andra tekniska hjälpmedel som räknare och datorer.” Daniel Bengtsson Gymnasielärare i matematik och fysik

ISBN: 9789176995013