Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Vid tillämpning av skolkopieringsavtalet (även kallat Bonus-avtalet) är detta verk att se som ett engångsmaterial. Engångsmaterial får enligt avtalet över huvud taget inte kopieras för undervisningsändamål.
Kopiering för undervisningsändamål av denna bok är således helt förbjuden
Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till uppphovsman/rättsinnehavare.
All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise, without the prior permission of Folkuniversitetets förlag.
Tryckt hos KOPA, Litauen 2026.
Du har inte verklig förståelse för något om du inte kan förklara det för din mormor.
– Albert Einstein
Matematik handlar inte om siffror, ekvationer, beräkningar eller formler: det handlar om förståelse.
Multiplicera in i parentes (distributiva lagen) 109
Bryta ut faktorer 110
Kvadreringsreglerna och konjugatregeln 111
DEL 2 – Att lösa problem 112
Ekvationer 114
Vad väger en väska? 115
Ekvationslösning 116
Ekvationslösning – de fyra grundtyperna 118
Ekvationslösning – tänk enkelt 120
Olikheter 123
Proportionalitet 124
Testa dig på högskoleprovet 128
Ekvationssystem 130
Vad väger väskorna? 131
Ekvationssystem – problemlösning 132
Andragradsekvationer 136
Enkla andragradsekvationer 137
Funktioner 140
Koordinatsystem 143
Linjära funktioner 145
Potensfunktioner 152
Geometri – jordnära matte 158
Talet pi 159
Vinklar 161
Geometriska formler 167
DEL 3 – Räkna med förändring 172
Logaritmer 174
Tiologaritmer 175
Exponentialekvationer 176
Derivata 180
Hur snabbt förändras det? 181
Kurvans tangent 182
Så här deriverar du 183
Maxa resultatet 186
Derivera exponentialfunktioner 190
Talet e 191
Deriveringsregler för exponentialfunktioner 193
Trigonometri 194
Sinus och cosinus 195
Enhetscirkeln 196
Tangens 198
Integraler 208
Vad är sträckan när vi vet hastigheten? 209
Primitiva funktioner 211
Marginalkostnad 213
Geometrisk summa 214
Schack matt 215
Fraktaler 219
Framtidsmatte 220
Plötsligt händer det – inte 221
Medelvärde och medianvärde 223
Standardavvikelse 224
Normalfördelning 227
Sannolikhet 229
Träddiagram 231
Komplementhändelse 232
Facit 234
Bildlista 238
Inledning
Har du någon gång känt att matematiken i skolan bara lärde dig att ”göra uppgifter”, utan att du riktigt fattade vad det gick ut på? Med Första mattehjälpen får du verktyg för att förstå varför vi räknar som vi gör, inte bara hur.
Boken innehåller de viktigaste momenten i grundskolans och gymnasiets matematik, med fokus på hur de olika delarna hänger ihop. Samband som får dig att tänka: ”Aha! Så är det ju”.
Här har skolan inte lyckats särskilt bra, anser professorn i matematikdidaktik
Ola Helenius, som efterlyser ett tydligare helhetsgrepp: ”All matematik vi gör på grundskolan och gymnasiet går att sammanfatta i ganska få generella begrepp istället för de tusentals regler som lärs ut i skolan”, menar han.
Första mattehjälpen ger dig en ny chans att friska upp och repetera matten du kanske glömt eller missat. Och du behöver inte plugga en massa formler och konstiga termer utantill. Bokens metodik bygger istället på att ge dig de baskunskaper du behöver för att tänka matte, genom att:
• fokusera på de matematikområden du verkligen har nytta av.
• ge förståelse för begrepp och samband genom konkreta, verklighetsnära förklaringsmodeller.
• använda ett tilltal som avmystifierar matematiken, inte krånglar till den.
Boken riktar sig både till dig som studerar och till dig som av andra skäl vill bli bra på matte. Till exempel om du:
• vill höja eller komplettera ditt gymnasiebetyg.
• ska förbereda dig inför högskoleprovet.
• går en vuxenutbildning och behöver friska upp din matte från skoltiden.
• är en förälder som vill kunna hjälpa dina barn med skolmatten.
Varför är det då bra att kunna matte? Googla den frågan och du får hur många övertygande svar som helst. Till exempel att kunskap i matematik ökar dina chanser att få ett bra jobb, att matematik stärker hjärnan, hjälper dig med din ekonomi och att förstå världen.
Så nu kör vi!
Calle
Magnell
TACK TILL:
Andreas Landestedt, legitimerad lärare i fysik och matematik på grundskolan och gymnasiet, som jag under många timmar bollat med om vilka moment som bör ingå i en bok som denna.
Nadja Olofsson, ”fullpoängare” (2,0) på Högskoleprovet, som jag har undervisat i mattedelen av provet och som med osviklig språkkänsla och logik granskat manus.
Ulrica Mölstad , läkare och engagerad mamma till en av mina elever, för hjälp med manusgranskning.
Era kloka synpunkter har varit ovärderliga.
Så använder du boken
Första mattehjälpen består av tre delar.
• I del ett – Grunden – får du basverktygen.
• I del två – Att lösa problem – får du sedan lära dig att använda basverktygen och lösa problem med hjälp av ekvationer och funktioner.
• Del tre – Räkna med förändring – tar upp lite mer avancerad matte. Här är målet att du ska förstå och behärska de viktigaste mattemomenten på gymnasiets naturvetenskapliga och tekniska program. I denna del introduceras bland annat derivata, integraler och trigonometri.
Första mattehjälpens mål har varit att förklara så att ”vem som helst” ska kunna förstå. Men också att ge verklig nytta även för den som vill läsa vidare på en matematik tung högskoleutbildning, som till civileller högskoleingenjör.
Ett tips är att läsa boken från början, oavsett vilka förkunskaper du har. Redan i basavsnitten får du lära dig att faktorisera, jobba med algebraiska metoder och att förstå vad en invers är. Saker som återkommer i all fortsatt matte.
Bokens grundtanke är att förklara matematiken som ett sammanhängande system där allting hänger ihop och bygger på vartannat.
När vi förstår sammanhanget blir vi mer motiverade och vi lär oss helt enkelt bättre.
Ta bråktal, decimaltal och procenttal. Det är bara olika sätt att beskriva samma sak, nämligen hur vi kan dela upp saker och ting:
En bild säger mer än tusen ord. En bärande tanke i Första mattehjälpen är att ge bildstöd och underlätta förståelsen.
Här visas vad som händer när vi delar bråket 1/3 med 2 och får 1/6.
Delar med 2.
Att visa vad som händer när vi räknar tillämpas också på svårare matte. En simhoppares bana i luften kan beskrivas både som formel och grafiskt. Ju mer kurvan lutar i en punkt, desto fortare rör sig simhopparen. Voilà! Vi har just upptäckt derivata.
Vi kan på motsvarande sätt förstå grunden för trigonometri om vi ser framför oss hur ett hjul (enhetscirkeln) snurrar i takt med hur en boj i havet guppar upp och ner på vågorna.
Derivata i bild.
Trigonometri i bild.
Matte handlar i grunden om att se samband. Det kan vara samband mellan tal på tallinjen, vinklar i en triangel eller koordinater på en funktionskurva. Vi kan alla träna upp den förmågan. Den här boken hjälper dig med det.
Ofta vill vi göra ett bråk så enkelt som möjligt genom att förkorta det. Då dividerar vi både däruppe (täljaren) och därnere (nämnaren) med ett och samma tal, här med 2:
/2 = 3
För att få en känsla av vad förkortning innebär rent konkret: du gör kakbitarna större, men eftersom bråket fortfarande är lika stort blir bitarna färre.
Tänk att du häller chokladsmet i mellanrummen för att ”sätta ihop” bitar så att de bli dubbelt så stora och hälften så många:
Alltså: Sex 20delar är lika mycket som tre 10delar.
Ett annat exempel:
Sex 15delar är lika mycket som två 5delar.
Räkna med hundradelar
När mobilen eller läsplattan är laddad till hundra procent är den fulladdad. Vid 50 procent är den till hälften laddad och vid 5 procent är batteriet snart tömt. Dags att sätta på laddning.
Procent, som betyder del av hundra, är något vi alla måste räkna med, både i vardagslivet och i skolan. Så fort vi vill veta vad en del av något är, kan vi uttrycka det i procent (som förkortas %).
Att räkna ut procenttalet
Det går 15 pojkar och 10 flickor i en klass. Hur många procent av eleverna är pojkar?
Den typen av uppgifter räknar du ut så här:
andelen = delen = antal pojkar = det hela alla elever 15 25
25 -delar gör vi om till till 100 -delar (procent) genom att förlänga med 4:
15 • 4 25 • 4 = 60 100 = 0,60 = 60 %
Med räknare gör du divisionen: 15/25 = 0,6 = 60 %
Alltså: 60 % av eleverna är pojkar.
Vad är en andel?
En andel kan vara ett bråk, ett decimaltal eller ett procenttal och betyder ”del av det hela”.
Moms
På varor vi handlar lägger butiken på 25 procent i moms.
Att räkna med moms kan ibland vara lite klurigt. Men det är något vi alla har nytta av att kunna både ute i verkligheten och i skolan. Här är ett exempel:
När rörläggare Pelle har varit och rensat köksvasken hos en kund skriver han en faktura på jobbet. Den ser ut så här:
PELLES RÖR AB
Faktura
Till Datum
Petra Nilsson 3/4 -25
Nygatan 7
231 94 Klagstorp
Faktura nr 38
Benämning Antal Timpris Belopp Arbete 2 tim 300 kr 600 kr
Belopp före moms
600 kr Moms 25 % 150 kr
Belopp att betala
750 kr
När Pelle räknar ut momsen har han ett knep. Han delar helt enkelt beloppet före moms med 4 eftersom 0,25 är samma sak som 1/4: momsen = 600/4 = 150 (kr)
Är du med?
Hur mycket ska kunden betala om priset är 800 kronor före moms?
(momsen är 200 kr)
Svar: 1 000 kr
Momspålägg och ”baklängesmoms”
När Pelle sedan sitter med sin bokföring måste han redovisa sina momsintäkter. Det ser ut så här:
PELLES
RÖR AB
Bokföring
Intäkter varav moms
Avser faktura 38 750 kr 150 kr
Hur många procent är då 150 kr av 750 kr? Här tänker vi kanske att det också måste vara 25 % , men i så fall tänker vi fel. Vi kollar:
Procenttalet = Delen = 150 = 1 = 20 %
Det hela 750 5
Varför blir det så?
”Baklängesmoms” (också kallad utgående moms) beräknas utifrån ett högre belopp, 750 kr, jämfört med momspålägget (ingående moms) som beräknas utifrån 600 kr.
Därför blir andelen i procent lägre.
Är du med?
Du betalar 500 kronor för en vara i en butik. Hur mycket av priset är moms?
0,20 • 500 = 100
Räkna som baklängesmoms:
Svar: 100 kr.
Algebra – att räkna med bokstäver
Hittills har vi i den här boken mest räknat med siffror. Men ibland kan vi stället för siffror behöva använda symboler som a, x eller π. Den grenen av matematiken heter algebra, ibland också kallad ”bokstavsräkning”.
Det osynliga gångertecknet
Den första algebraregeln vi ska lära oss är när man kan slopa gångertecknet, som här:
4 • x = 4 x
2 • (a + b) = 2(a + b)
4 • x är helt enkelt samma sak som fyra stycken x, alltså 4 x.
2 • (a + b) är två stycken (a + b), alltså 2 (a + b).
Multiplicera in i parentes (distributiva lagen)
a (b + c) = ab + ac
Alltså: Du ”gångar” a först med b, sen med c.
Regeln heter distributiva lagen*. Det är inte alls så svårt som det låter. Vi kan lika gärna kalla det för att ”multiplicera in i parentes”.
Du kan testa att det funkar genom att byta ut a, b och c mot siffror:
2 (3 + 4) = 2 • 3 + 2 • 4 = 6 + 8 = 14
Följ prioriteringsreglerna och börja med att räkna ut parentesen. Då får du samma resultat:
2 • 7 = 14
Och så här gör du för att multiplicera två parenteser:
(a + b) (c + d ) = ac + ad + b c + b d
Alltså: Du ”gångar” a först med c och sen med d.
Därefter b med c och sen med d.
Känner du igen det här? Just det, det är samma regel vi använde i avsnittet Smarta knep vid multiplikation på sidan 28 i kapitlet Gånger och delat med
Är du med?
(2 x + 5)( x – 6) = ?
Svar: 2 x 2 – 12 x + 5 x – 30 = 2 x 2 – 7x – 30
* Termen kommer från att distribuera som betyder att fördela, dela ut.
Bryta ut faktorer
ab + ac = a (b + c)
Vad har ab och ac gemensamt? Jo, a. Då kan vi sätta a utanför en parentes med b + c i. Det kallas för att bryta ut faktorn a.
Vi gör alltså precis tvärtom mot tidigare. Här ett konkret exempel:
3 x + 6 = 3( x + 2)
Vi har här brutit ut faktorn 3
Hur bryter vi då ut en så stor faktor som möjligt ur det här uttrycket?
15 x3 ‒ 12 x = ?
Vi börjar med att faktorisera (dela upp i mindre faktorer):
Vilka faktorer är samma på båda sidor om minustecknet? Jo, 3 och x.
3
5
3 x är då den största möjliga faktorn vi kan bryta ut:
3 x (5 • x • x ‒ 2 • 2)
Vilket är lika med:
3 x (5 x 2 ‒ 4). Klart!
Är du med?
Bryt ut så stor faktor som möjligt ur:
a) 6 a 2 + 10 a
b) 12 b 3 ‒ 3 b
3 b (4 b +2 1)
2 a (3 a + 5)
Kvadreringsreglerna och konjugatregeln
De här reglerna är bra att lära sig utantill. De är viktiga verktyg för att kunna lösa många typer av matematiska problem.
Kvadreringsreglerna
(a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2
(a ‒ b)2 = a 2– 2 ab + b 2
Varför blir det så?
Kvadreringsreglerna är egentligen bara specialvarianter av distributiva lagen som vi gått igenom tidigare. Kolla här får du se:
(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2 ab + b 2
(a – b) 2 = (a – b)(a – b) = a 2 – ab – ba + b 2 = a 2 – 2 ab + b 2
Konjugatregeln
(a + b) (a – b) = a 2 ‒ b 2
Varför blir det så?
Även konjugatregeln kan vi härleda ur distributiva lagen:
(a + b)(a – b) = a 2 ‒ ab + ba ‒ b 2
‒ab och ba tar ut varann och vi får: a 2 ‒ b 2
Är du med?
Utveckla med hjälp av reglerna ovan:
a) ( x + 6) 2
b) (2 x – 3)2
c) ( x + 4)( x – 4)
Svar:
Funktioner
En funktion i matematik är som en juicemaskin. Du stoppar in något i ena änden och ut ur den andra får du något annat. I juicemaskinens fall lägger du apelsiner högst upp och längst ner kommer det apelsinjuice. Hur många apelsiner du stoppar in avgör hur mycket juice du får ut.
Ofta kallar vi det som stoppas in i funktionen för x och det vi får ut för y. Funktionen talar då om hur mycket y ökar eller minskar för varje x.
Detta är ett exempel på en funktion:
f ( x) = 50 000 – 5 000 x
Funktionen säger hur mycket en begagnad bil är värd om den köpts in för
50 000 kr och tappar 5 000 kr i värde för varje x antal år som går. f (x) uttalas ”f av x” eller ”funktionen av x”.
Alltså: Bilens värde är en funktion av hur många x år den är.
För att slippa skriva ut den lite bökiga beteckningen f (x) används ofta bara ett y. Man säger då att y är en funktion av x och att y = f (x). Funktionen kan alltså lika gärna skrivas som:
y = 50 000 – 5 000 x
Funktionens graf ser då ut så här:
y
Du läser av y-värdet vid x = 5 genom att följa pilarna.
Vi ser då att bilen efter 5 år är värd 25 000 kr.
Är du med?
Vad är bilen värd efter 2 år?
Svar : 40 000 kr
Funktion eller ekvation
Vad skiljer då en funktion från en ekvation?
Detta är en funktion:
f ( x) = 50 000 – 5 000 x (där y = f ( x) )
Medan detta är en ekvation:
15 000 = 50 000 – 5 000 x
Funktionen visar alltså på sambandet mellan alla möjliga x- och y-värden.
Ekvationen däremot används för att räkna ut ett specifikt x-värde. I detta exempel hur många x år efter bilköpet som bilen är värd 15 000 kr.
Så här löser vi den ekvationen:
15 000 = 50 000 – 5 000 x Minus 50 000 i båda leden.
15 000 – 50 000 = 50 000 – 50 000 – 5 000 x
– 35 000 = – 5 000 x Gånger (–1) i båda leden. – 35 000 • (– 1) = – 5 000 x • (– 1)
35 000 = 5 000 x x = 35 000 5 000 x = 7
7 år efter bilköpet är bilen värd 15 000 kr. (Vilket också framgår av funktionens graf när vi följer pilarna.)
Är du med?
Efter hur många år är bilens värde 35 000 kr?
Ställ upp en ekvation. Svar : 3 år
Koordinatsystem
Har du spelat ”Sänka skepp”? Då har du använt ett koordinatsystem. Träffen som är markerad med X betyder att du har sänkt en båt med koordinaterna C och 5.
Vilken som helst av rutorna kan på det sättet namnges med koordinater.
I matematiken används ett liknande system. I koordinatsystemet här nere har vi en liggande x-axel och en stående y-axel. Genom att axlarna är numrerade kan vi precis som när vi spelar sänka skepp bestämma var alla punkter finns.
Koordinaterna för den röda punkten längst till vänster får du så här: följ x-axeln till –3. Gå sedan upp en ruta längs y-axeln till 1. Koordinaterna kan då skrivas som: (–3, 1). Tänk på att x-koordinaten alltid skrivs före y-koordinaten.
Den andra röda punktens koordinater får vi genom att gå till x-värdet 1 och sedan två steg uppåt till y-värdet 2 . Då får vi koordinaterna (1, 2).
Är du med?
Vilka koordinater har de gröna punkterna? Svar : 2,–( 2)– och (1, 3)–
Logaritmer
Hur löste man man en uppgift som 47 998 • 63 445 innan det fanns datorer? Jo, med hjälp av en av tidernas största matematiska uppfinningar, logaritmerna.
Logaritmer är idag viktiga matematiskt verk tyg som bland annat låter oss lösa exponentialekvationer (vi förklarar snart vad det är). Numera tar vi ut logaritmer med en knapptryckning på datorn, medan man tidigare var hänvisad till att slå i tjocka tabellsamlingar.
Tiologaritmer
I kapitlet om potenser lärde vi oss att alla tal kan skrivas som tiopotenser.
Till exempel:
1 000 = 103
100 000 = 10 5
Vill vi multiplicera dessa två tal behöver vi bara lägga ihop exponenterna, (se potensreglerna i kapitel Upphöjd matte - potenser, sidan 100).
103 • 10 5 = 103 + 5 = 10 8
Skulle vi då kunna multiplicera de stora talen på förra sidan på samma smidiga sätt? Ja, faktiskt. Om vi tar reda på vilket tal 10 ska upphöjas med för att bli
47 998. Och gör likadant med 63 445:
47 998 = 10 något
63 445 = 10 något annat
Nu kan vi skriva 47 998 • 63 445 som:
10 något • 10 något annat = 10 något + något annat
Men hur vi ska veta hur mycket ”något” och ”något annat” är? Här kommer goda nyheter! Det har andra redan räknat ut. Vi har alltså att göra med ännu en sorts matematiska emojis. De kallas tiologaritmer och förkortas lg. (Fast i många andra länder och i räknare används istället förkortningen log).
Så vi ersätter ”något” med lg 47 998 och ”något annat” med lg 63 445 och får:
10 lg47998 • 10 lg63445 = 10 lg47998 + lg63445
Och så här räknar vi ut uppgiften med hjälp av räknarens logaritmfunktion, (där tiologaritmer alltså förkortas log):
Använd räknare med tiologaritmer och räkna på samma sätt ut 63 • 87 = ?
Svar : 5 481
Maxa resultatet
Du är tjänsteman på ett kommunalt bussbolag. Verksamheten dras med stora underskott och något måste göras. En bussbiljett kostar idag 50 kronor och varje månad säljs 7 000 biljetter. Ditt uppdrag är att höja biljettpriset. Men hur mycket ska du våga höja utan att skrämma iväg passagerarna?
Till din hjälp finns statistik från tidigare prishöjningar. Den visar att för varje höjning av biljettpriset med 1 kr försvinner 80 passagerare.
Aha, tänker du och börjar skissa. Vad vet du? Jo att intäkterna (som vi kallar I ) från 7 000 biljetter för 50 kr styck blir så här stor:
I = 7 000 • 50
Om nu priset höjs med x kronor måste intäkterna öka till:
I = 7 000 • (50 + x)
Varför blir det så?
Tänk enkelt: om priset höjs med en krona blir intäkterna 7 000 • (50 + 1) kr.
Men för varje prishöjning på x kronor minskar samtidigt de 7 000 passagerarna med 80 personer. Det får du också ta med i beräkningen. Så här:
I = (7 000 ‒ 80 x)(50 + x)
Nu har du formulerat ett samband som visar intäkterna I som en funktion av biljett prisets höjning x
Maximivärde
Men innan du kan gå vidare får du ”snygga till” funktionen. Använd Distributiva lagen, se kapitlet Algebra - räkna med bokstäver, sidan 109.
I = (7 000 – 80 x)(50 + x)
I = 350 000 + 7 000 x – 4 000 x ‒ 80 x 2
I = 350 000 + 3 000 x ‒ 80 x 2
Multiplicera parenteserna (distributiva lagen).
Om du skriver in funktionen i en grafritare (t.ex. GeoGebra) får du en kurva som visar hur intäkterna I först stiger som en raket när x ökar, når en högsta punkt för att sedan dyka rakt ner. En grov skiss av kurvan ser du här nedanför.
Du vill gärna undvika den där störtdykningen som innebär att intäkterna rasar när x ökar. Du vill inte heller hamna någonstans halvägs mot toppen. Du vill hamna exakt på toppen av kurvan där intäkten I är som störst.
Lösningen är att derivera funktionen och ta reda på när derivatan, alltså kurvans lutning, är noll. Vi får då funktionens största värde som kallas maximivärde
I x 0
Intäkterna är som störst där tangenten, dvs derivatan = 0.
I = 350 000 + 3 000 x ‒ 80x 2
I ' = 3 000 – 2 • 80 x
I ' = 3 000 – 160 x
3 000 – 160 x = 0 –160 x = –3 000 x = 3 000 160 x = 18,75
Derivera funktionen.
Låt I' vara 0.
Dividera båda leden med –160.
Lösning: Du ska höja biljettpriset med 18,75 kr. Det nya priset är alltså 50 kr + 18,75 kr = 68,75 kr.
Integraler
Integralen är liksom derivatan ett kraftfullt matematiskt verktyg som används till allt från väderprognoser till att styra bilens farthållare.
Genom att derivera kan vi räkna ut hur snabbt något förändras. Med integralverktyget kan vi lägga ihop dessa förändringar. Så om vi vet hur snabbt en befolkning växer kan vi ta reda på hur stor befolkningen är. Eller om vi vet hur hastigheten hos ett föremål förändras kan vi ta reda på hur långt det hinner på en viss tid.
Vad är sträckan när vi vet hastigheten?
En cyklist startar från stillastående och cyklar fortare och fortare. De första sekunderna av cykelfärden kan beskrivas med den här funktionen:
v (t) = 0,2 t2
där v är hastigheten i m/s (meter per sekund) och t är tiden i sekunder.
Hur långt har cyklisten kommit efter sju sekunder? Svaret på det kan vi få genom att mäta arean under kurvan (det gröna fältet).
Varför blir det så?
sträckan = hastigheten • tiden
Det betyder att varje ruta i grafen här motsvarar en meters körsträcka (1 m/s • 1 s).
Om vi räknar antalet hela rutor i det gröna fältet är de cirka 22 stycken. Cyklisten har alltså kört ungefär 22 meter under de 7 sekunderna. Men vi kan faktiskt få fram den exakta sträckan, som du snart ska få se!
Testa dig på högskoleprovet
Erik frågade sina 29 klasskamrater hur många timmar de hade pluggat under föregående helg. Svaren redovisas i ett stolpdiagram.
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Antal personer
Vad är medianen för svaren som Erik fick?
A 3 timmar
B 3,5 timmar
C 4 timmar
D 7,5 timmar
Lösning:
Vi har 29 observationer. Lägger vi dem på rad och drar ett streck i mitten hamnar vi på observation nummer 15. Man delar alltså 29 med 2 och får 14,5 observationer på var sida om strecket. 14 15 16 17 13 14 15
Hade antal observationer istället varit ett jämnt tal, t ex 30, hamnar medianen mitt emellan observation 14 och 15.
Nu är det bara att räkna antal observationer i diagrammet, tills vi kommer till nummer 15 som är 4 timmars pluggande (vilket 7 elever hade svarat).
Rätt svar är alltså C.
Observation nr 15
Bilder
Pixabay/Pexels 7
Pixabay/Ελυαν_Νικόλαος (kniv) 9
Författaren (teckningar) 9
Depositphotos/ambrozinio 10
Pixabay/Александр Пургин 13
Pixabay/Luisella Planeta 14
Pixabay/wildeco_design 15
Pixabay/Siggy Nowak 16
Författaren 17
Pixabay/Pexels 19
Piabay/Heejin Jeong 26
Pixabay/Alexandra_Koch 28
Pixabay/Joshya Choate 31
Pixabay/Adina Voicu 35
Pixabay/Bernd Prokop 40
Pixabay/Ελυαν_Νικόλαος 41
OpeClipart-Vectors (bil) 42
OpenClipart-Vectors 45
Pixabay/Esther Merbt 49
Depositphotos/Stas_K 51
Pixabay/Piotr Sadowski 56
Pixabay/Sasa Cakic 57
Pixabay/Claudia 59
Pixabay 60
Författaren 61
Pixabay/Tumisu 62
Pixabay/Varintorn Kantawong 63
Pixabay/Stefan Schweihofer 67
Pixabay/RGMontgomery 68
Pixbay/StockSnap 69
Pixabay/Sergio Pavlishko 71
Pixabay/AS Photograpy 72
Pixabay/LuckyLife11 75
Pixabay/ Alexei 77, 79
Pixabay/congerdesign 80
Pixabay/Tumisu 81
Depositphotos/Niklas Emmoth 83
Pixabay/ Michael Kauer 86
Pixabay/congerdesign (muffins) 87
Pixabay/OpenClipart-Vectors (mått) 87
Pixabay/ OpenClipart-Vectors (våg) 88
Pixbay/David Ehret (måttband) 88
Pixabay/Neo_Artemis (rum) 89
Pixabay/Clker-Free-Vector-Images (stoppur) 89
Pixabay/Pexels 90, 91
Pixabay/motionstock 92
Pixabay/giorgio giannone (Rubiks kub) 93
Svenska Spel (spelkupong) 93
Pixabay/Guillaume Preat 95
Pixabay/Jan Mateboer 97
Författaren 98
Pixabay/Sharon Ang 99
Pixabay/Clker-Free-Vector-Images 102
Pixabay/Roy Guisinger 104
Författaren 107
Pixabay/deFerrer 108
iStock/Wirestock 112
Pixabay/Arek Socha 114
Pixabay/Matthias Böckel 116
Pixabay/congerdesign (bakning) 120
Pixabay/AVAKA (potatis) 120
Pixabay/Franz Bachinger (ljus) 121
Pixabay/heberhard (burkar) 121
Pixabay/Fynn 122
Pixabay/artistlike 123
Pixabay/Mircea Iancu 124
Pixabay/Pexels (foto cykel) 126
Författaren (teckningar) 126
Pixabay/eatde 127
Pixabay/Gerd Altmann 130
Pixabay/Adina Voicu 132
Pixabya/david ramon 134
Pixabay/Gerd Altmann 136
Pixabay/red_sponge 140
Pixabay/M W 144
Pixabay/ Lena Nilsson 145
Depositphotos/frenta 152
Pixabay/Anemone123 156
Pixabay/C. Wahl 157
Pixabay/ javi melia 158
Författaren 159
Pixabay/Ben Kerckx f (foto) 160
Författaren (siluetter) 166
Centrum för näringslivshistoria (foto) 166
Pixabay/Thierry Milherou 172
Depositphotos/stevanovicigor 174
Pixabay/Chokniti Khongchum 176
Pixabay/Pexels 180
Pixabay/Engin Akyurt 185
Pixabay/Pasi Mämmelä 186
Pixabay/Lena Lindell 192
Pixabay/RENE RAUSCHENBERGER 194
Pixabay/Elsemargriet 195
Pixabay/Matthias Groeneveld 197
ChatGPT 198
Pixabay/OpenClipart-Vectors 200
ChatGPT 201
Pixabay/alba1970 208
Pixabay/GioeleFazzeri 209
Pixabay/Daniel Agrelo 212
Pixabay/Nattanan Kanchanaprat 214
Pixabay/schach100 215
Pixabay/Rudi Arlt 218
Pixabay 219
Pixabay/Alexa 220
Författaren 221
Pixabay/Rudy and Peter Skitterians 223
ChatGPT 225
Pixabay/Jan (flicka) 227
Pixabay/ Lena Nilsson (kanelbulle) 227
Pixabay/Alexa (tärningar) 229
Författaren (hallonbåtar) 229
Pixabay/Peggy und Marco Lachmann-Anke 231
Pixabay/Horacio Lozada 232
Första matte -hjälpen
Att tänka matte i stället för att rabbla formler …
• Vill du höja eller komplettera ditt gymnasiebetyg?
• Ska du förbereda dig inför högskoleprovet?
• Går du en vuxenutbildning och behöver friska upp din matte från skoltiden?
• Är du en förälder som vill kunna hjälpa dina barn med skolmatten?
Första Mattehjälpen innehåller de viktigaste momenten i grundskolans och gymnasiets matematik, med fokus på hur olika delar hänger ihop och bygger på varandra. Samband som får dig att tänka: ”Aha! Så är det ju”.
Boken ger dig verktygen för att förstå varför vi räknar som vi gör, inte bara hur. Och en ny chans att enkelt lära dig matten du glömt, missat eller inte orkade med.
10 + % 8 6 8√ x3 2 7
Calle Magnell är lärare i matematik på högstadie- och gymnasienivå och ger kurser i Högskoleprovet. Han har också utvecklat appserien Mattebageriet . Calle Magnell är även erfaren journalist med bakgrund på bland annat SVT, TV4 och Dagens industri.
