Värdet av ett polynom 8 Multiplikation av polynom 11 Faktorisering av polynom 13
1.2 Polynomekvationer 15
Enkla polynomekvationer 15 Mer om polynomekvationer 18 Grafen till en polynomfunktion 22 Faktorer och nollställen 25
1.3 Rationella uttryck ....................... 30
Förkortning och förlängning av rationella uttryck 30
Addition och subtraktion av rationella uttryck 34
Multiplikation och division av rationella uttryck 36
Gränsvärden 38 Kontinuerliga funktioner 44
Symbolhanterande hjälpmedel 48
Programmering: Kan man gissa i matematik?
Historia: Sophie German och
2
2.1 Linjär optimering 66
Räta linjens ekvation och lösning av ekvationssystem 66 Olikheter och system av olikheter 71
Linjär optimering 75
2.2 Sekanter och tangenter 83
Sekantens lutning 83 Tangentens lutning 87
2.3 Derivata 93
Derivatans definition 93 Att använda derivata 97
Villkor för deriverbarhet 101
Historia: Att bestämma en tangent 105
3 Deriveringsregler
3.1 Deriveringsregler för potensoch polynomfunktioner 116
Derivatan av enkla potensfunktioner 116
Derivatan av polynomfunktioner 120
Mer om derivatan av potensfunktioner 122
3.2 Exponentialfunktioner och tillämpningar av derivata 126
Derivatan av ex 126 Derivatan av ekx och ax 131
Derivatans tillämpningar 135 Tillämpningar av derivata med digitalt hjälpmedel 139
Programmering: Newton-Raphsons metod 144 Uppslaget 146
Historia: Newton, Leibniz och derivatan
4
Extremvärden, grafen och derivatan 156
4.1 Samband mellan funktionens
graf och derivata 158
Växande eller avtagande funktion 158
Derivatans nollställen 162
4.2 Extremvärden och derivatan .......... 167
Största och minsta värde i ett intervall 167
Andraderivatan och funktionens graf 171
Andraderivatan och lokala extrempunkter 175
Extremvärdesproblem 179 Extremvärdesproblem med digitalt hjälpmedel 182
Historia:
Fermats metod för extrempunkter . 185
Uppslaget 186
Tankekarta 188
Blandade uppgifter 189
Kapiteltest 194
5 Integraler
5.1 Primitiva funktioner 198
Vad är en primitiv funktion? 198 Primitiva funktioner till potensfunktioner och exponentialfunktioner 202
Primitiva funktioner med villkor 205
5.2 Integraler och areor 208
Arean under en kurva 208 Samband mellan derivata och integral 213 Beräkna integraler med digitalt hjälpmedel 218
5.3 Mer om integraler 224
Arean av området mellan två kurvor 224 Tillämpning av integraler i verklighetsbaserade situationer 228
Programmering: Integraler – numerisk metod 232 Historia: Integralkalkylens historia 233
6
Geometrisk
6.1 Geometriska talföljder 246
Talföljder och mönster 246 Geometriska talföljder 249 Nuvärde 252
6.2 Geometriska summor 254
Geometrisk summa 254 Annuitetslån 259
Intelligenstest
talföljd och
summa
av lån
Ledtrådar
1
Algebraiska uttryck
Delkapitel
1.1 Polynom
1.2 Polynomekvationer
1.3 Rationella uttryck
Förkunskaper
■ Grundläggande algebra
■ Konjugatregeln och kvadreringsreglerna
■ Andragradsekvationer
■ Potenser
■ Bråkräkning
■ Funktionsbegreppet
Centralt innehåll
■ Begreppet rationella uttryck. Hantering av rationella uttryck.
■ Begreppet polynom och egenskaper hos polynomfunktioner. Metoder för att lösa enklare polynomekvationer.
■ Begreppet gränsvärde.
■ Användning av digitala verktyg, även symbolhanterande, för att effektivisera beräkningar och komplettera metoder, till exempel vid ekvationslösning, derivering, integrering, hantering av algebraiska uttryck och problemlösning
■ Användning av programmering som verktyg vid problemlösning, databearbeting eller tillämpning av numeriska metoder.
Algebra är ett av matematikens huvudområden. Utvecklingen av den algebra vi använder i dag har skett under lång tid. Den händelse som kommit att kallas den symboliska abstraktionen inledde i början av 1600-talet utvecklingen av det matematiska språket mot det sätt att beteckna tal med bokstäver som vi gör i dag.
I det här kapitlet får du en repetition av några grundläggande algebraiska färdigheter. Vi går sedan vidare och arbetar med egenskaper hos funktioner, polynom och rationella uttryck.
När du är klar med kapitlet ska du kunna
u förenkla och använda uttryck med polynom
u lösa polynomekvationer av högre grad med algebraiska, grafiska och digitala metoder
u använda polynomekvationer vid problemlösning
u rita grafer till polynomfunktioner för hand och med digitala verktyg
u ställa upp, förenkla och använda rationella uttryck
u bestämma definitionsmängd, värdemängd och nollställen till rationella funktioner
u bestämma gränsvärden
u känna till vad som menas med en kontinuerlig funktion
u avgöra om en funktion är kontinuerlig eller diskontinuerlig
Skoj på hoj
Wingströms uthyrning erbjuder olika fordon till turisterna. Att hyra en elsparkcykel kostar 10 kr i grundavgift och 2,50 kr/minut.
u Hur mycket kostar det att hyra en elsparkcykel i en timme?
u Bestäm kostnaden per minut om man hyr elsparkcykel i 14 minuter.
u Skriv ett uttryck för den genomsnittliga hyreskostnaden K(x) kr/minut, om man hyr elsparkcykeln i x minuter.
Ängen
Familjen Åkerholm har på sina ägor en äng, som är nästintill rektangulär.
De vet att ängens långsida är 48 meter längre än kortsidan och att ängens area är 8 500 m2.
u Teckna en ekvation som kan användas för att bestämma ängens längd och bredd.
u Lös ekvationen.
u Bestäm ängens längd respektive bredd.
ordboken
1.1 Polynom
Polynom kommer från de grekiska orden polys som betyder många och nom som betyder namn. Polynom kan sägas betyda många namn eller många termer.
Värdet av ett polynom
En bils koldioxidutsläpp beror av farten som bilen färdas med. Om koldioxidutsläppet p mäts i gram per kilometer och bilens fart v i kilometer per timme, så kan sambandet beskrivas med uttrycket
p(v) = 0,045v2 − 6,75v + 393 för 30 ≤ v ≤ 120
Polynom
Konstantterm
2x4 + 4x3 + 5
(v)
Koefficient Variabel v km/h
Uttrycket 0,045v2 − 6,75v + 393 är ett exempel på ett polynom. Ett annat exempel på polynom är 2x4 + 4x3 + 5. Båda uttrycken innehåller ett antal termer. I uttrycket 2x4 + 4x3 + 5 är termerna 2x4 och 4x3 variabeltermer och termen 5 kallas konstantterm. Variabeltermerna består av produkter av en koefficient och en potens med variabeln x som bas och ett positivt heltal som exponent. Detta polynom är av fjärde graden eftersom 4 är den högsta exponenten. På samma sätt ser vi att polynomet 0,045v2 − 6,75v + 393 är ett andragradspolynom.
Uttrycket 2 x2 är däremot inte ett polynom, eftersom det kan skrivas 2x −2 och exponenten då inte är ett positivt heltal.
Polynomfunktion
Eftersom 0,045v2 − 6,75v + 393 är ett polynom kallas funktionen p för en polynomfunktion. Definitionsmängden 30 ≤ v ≤ 120 betyder att sambandet gäller för hastigheter från och med 30 km/h till och med 120 km/h.
Polynom
Ett polynom är en summa av konstant- och variabeltermer, där varje variabelterm är en produkt av ett tal och en variabel med positiv heltalsexponent.
Ett polynom kan allmänt skrivas i formen
anxn + an − 1xn − 1 + … + a2x2 + a1x + a0 där n är ett positivt heltal och an, an − 1, …, a2, a1, a0 är konstanter.
Om n är den högsta exponenten i polynomet, så säger man att polynomet är av grad n
Exempel: Låt p(x) = x3 + 5x2 − 7 och bestäm
a) p(3)
b) p(−2)
Lösning: a) p(3) = 33 + 5 ∙ 32 − 7 = 65
b) p(−2) = (−2)3 + 5 ∙ (−2)2 − 7 = 5
c) polynomets grad
c) Eftersom den största exponenten är 3 så är det ett tredjegradspolynom.
Exempel: Markus hyr slalomskidor. Kostnaden för att hyra skidorna beskrivs av
K(x) = 350 + 80x, där K(x) är kostnaden i kr för att hyra skidorna i x dagar.
a) Vad kostar det att hyra skidorna i 7 dagar?
b) Hur många dagar kan han hyra skidorna för 750 kr?
Lösning: a) Vi ska beräkna värdet av K(x) = 350 + 80x för x = 7.
K(7) = 350 + 80 ∙ 7 = 910
Svar: Det kostar 910 kr att hyra skidorna i 7 dagar.
b) Vi ska lösa ekvationen K(x) = 750.
350 + 80x = 750 Eftersom K(x) = 350 + 80x
80x = 400
x = 400 80
x = 5
Svar: Markus kan hyra skidorna i 5 dagar.
Nivå 1
1101 Låt p(x) = 2x2 + 3x − 7 och beräkna
a) p(0) b) p(3) c) p(−2)
1102 Beräkna värdet av polynomet x3 − 2x + 5 för
a) x = 0 b) x = 1
c) x = 5 d) x = −7
1103 Bestäm x om p(x) = 0.
a) p(x) = 40 − 10x b) p(x) = x2 − 25
1104 Ge exempel på ett polynom av tredje graden.
1105 Kostnaden för en taxiresa kan skrivas
K(x) = 55 + 22x, där K(x) är kostnaden i kr och
x är antalet kilometer som man åker.
a) Vad kostar taxiresan om man åker 1,5 mil?
b) Hur långt kan man åka för 200 kr?
1106 Vilka av alternativen A–E visar ett polynom?
A x−2 + x − 3
B x5 + x2 + 4x
C x 1 2 + x3
D x2 + 4x − 8
E 0,5x3 + 0,2x2 + 5
1107 I en rektangel är längden 3 gånger så lång som bredden.
a) Kalla rektangelns bredd för x och teckna ett uttryck för rektangelns omkrets.
b) Beräkna rektangelns omkrets om x = 1,7 cm.
c) Beräkna rektangelns längd om omkretsen är 1,6 m.
1108 Ali och Mohammad arbetar med polynom under matematiklektionen. Mohammad säger att han inte riktigt förstått vad ett polynom är. Ali bestämmer sig för att förklara genom att ge exempel på några polynom och jämföra dem med uttryck som inte är polynom. Hjälp Ali genom att ge exempel på vad han kan nämna i respektive grupp.
1109 Kurvorna visar temperaturen under en dag x timmar efter midnatt på två olika platser, A och B.
Nivå 2
1112 Låt f(x) = x2 − 4x och bestäm
a) f(5)
b) f(−1)
c) värdet av x då f(x) = 0
1113 Ge exempel på en polynomfunktion f av tredje graden, för vilken gäller att f(2) = 6.
1114 För vilka värden på x är f(x) = g(x) om
a) f(x) = 2x2 + 3x − 4 och g(x) = 2x2 − 5x + 2
b) f(x) = 2x2 + 1,5x + 1 och g(x) = 5 + 1,5x
1115 Bestäm det andragradspolynom p som ger följande värdetabell:
x 1 2 3 4 p(x) 2 5 10 17
1116 Kostnaden K kronor för att hyra en bil kan skrivas K(x) = 1 140 + 12x, där x är antalet körda mil.
a) Teckna ett uttryck för genomsnittskostnaden per körd mil.
b) Med hur mycket minskar genomsnittskostnaden per mil då körsträckan ökar från 100 mil till 200 mil?
Bestäm
a) fB(8)
b) x så att fA(x) = 20
c) x så att fA(x) = fB(x)
1110 Ett äpple faller från ett träd. Den sträcka som äpplet faller från grenen kan beskrivas med polynomet s(t) = 4,9t2, där t är tiden i sekunder och s(t) är sträckan i meter.
a) Hur långt har äpplet fallit på 0,20 s?
b) Hur länge dröjer det innan äpplet når marken om det hängde på höjden 2,7 m?
1111 Låt f(x) = x3 − 2x + 1
a) Beräkna f(3) − f(2)
b) Teckna ett uttryck för f(a) − f(b)
Binom
Multiplikation av polynom
Om man multiplicerar två polynom med varandra, så blir produkten ett nytt polynom. Vi tittar på ett exempel med polynomen 3x3 + 1 och x2 − 4:
(3x3 + 1)(x2 − 4) = 3x5 − 12x3 + x2 − 4
Polynomen 3x3 + 1 och x2 − 4 kallas för binom eftersom de består av två termer. Det första binomet är av tredje graden och det andra av andra graden. Produkten är ett polynom av femte graden. Vid multiplikation av binom är konjugat- och kvadreringsreglerna bra att kunna.
Första kvadreringsregeln
Första kvadreringsregeln används när man ska kvadrera ett binom av typen
a + b.
Andra kvadreringsregeln
Andra kvadreringsregeln används när man ska kvadrera ett binom av typen
a − b. (a b)2 = (a b)(a b) = a2 2ab + b2
Konjugatregeln
Uttryck som a + b och a b kallas konjugerade binom och regeln för att multiplicera ihop sådana uttryck kallas därför konjugatregeln.
(a + b)(a b) = a2 b2 (
Exempel: a) Teckna ett polynom som beskriver skillnaden mellan de två kvadraternas areor.
b) Ange polynomets grad.
c) Beräkna polynomets värde för x = 2 och förklara vad det betyder.
a − b är det konjugerade binomet till a + b, det kallas även för konjugatet till a + b x x x + 6 x + 6 (cm)
b) Polynomet 12x + 36 är av första graden, eftersom exponenten i x-termen är 1. 12x = 12x1
c) Om x = 2, så är sidorna i de två kvadraterna 2 cm och 8 cm. Då blir skillnaden i area 12x + 36 = (12 ∙ 2 + 36) cm2 = 60 cm2
Eftersom polynomfunktioner är definierade, kontinuerliga och deriverbara för alla x, så är de relativt enkla att hantera.
Derivatan av polynomfunktioner
Vi ska nu se hur man deriverar funktioner av typen f(x) = x2 − 5x + 3. Funktionen f innehåller flera termer och är ett exempel på en polynomfunktion. Vi bestämmer funktionens derivata på två olika sätt.
1. Vi använder oss av derivatans definition f’(x) = lim h → 0
2. Vi deriverar varje term för sig enligt deriveringsregler för potensfunktioner f’(x) = 2x2 − 1 − 5 ∙ 1 + 0 = 2x − 5
Båda metoderna ger samma resultat. Man kan visa att alla funktioner som består av flera termer kan deriveras term för term.
Derivatan av polynomfunktioner
Derivatan av en polynomfunktion får man genom att derivera varje term för sig.
Exempel: Bestäm derivatan av f(x) = x5 − 4x3 + x − 7.
Lösning: Vi deriverar varje term för sig enligt deriveringsreglerna.
(x) = 5
Svar: f’(x) =
Exempel: Bestäm y’(6) om
Lösning: Vi skriver först y som en summa av termer, så att det blir enklare att derivera. Sedan bestämmer vi y’ och beräknar y’(6).
Svar: y’(6) = 216
3114 Derivera med hjälp av deriveringsregler.
a) f(x) = x12 + 2x11
b) y = x5 + 5x + 5
c) f(x) = x + 1
d) y = 0,1 − 0,3x + 0,5x2
3115 Låt f(x) = x3 + 9x2 + 5 och bestäm f’(2) genom att
a) först derivera f(x)
b) och sedan beräkna f’(2)
3116 Låt g(t) = 2t3 + t2 − 6t.
a) Derivera g(t).
b) Bestäm g’(−5).
3117 Bestäm f’(3) med hjälp av deriveringsregler.
a) f(x) = x3 − 3x2
b) f(x) = 11 − x − 10x2 + 2x3
3118 Bestäm y’(8) med hjälp av deriveringsregler.
a) y = z − 52 b) y = πt
3119 Derivera
a) y = x4 3 + x3 4 b) V(x) = x5 5 − x4 4 + x3 3
c) z = x 3 + 1 4 d) f(y) = y5 + 5y + 5 5
3120 För vilken eller vilka av följande funktioner gäller att y’(10) = 20?
A y(x) = 10x + 10 B y(x) = 20x + x2
C y(x) = x3 3 − 80 D y(x) = x2 2 + 10x
3121 Para ihop funktionen med sin derivata.
1 y = x4 − 3 A dy dx = 2x 3 + 1 3
2 y = x3 3 + 1 3 B dy dx = x2
3 y = x4 − 3x C dy dx = 4x3 − 3
4 y = x2 3 + x 3 D dy dx = 4x3
Nivå
2
3122 Bestäm D(f(x)).
a) f(x) = (x + 1)2 b) f(x) = (x − 3)(x + 3)
3123 En funktion f anges med funktionsuttrycket
f(x) = x4 − 3x3 + 101. Bestäm riktningskoefficienten för tangenten till funktionens graf i punkten där x = 3.
3124 Ge exempel på en funktion f, sådan att f’(1) = 10.
3125 För funktionen f gäller att f(x) = x2 − 4x + 3. Bestäm funktionens derivata i funktionens nollställen.
3126 Lös ekvationen f’(x) = 0.
a) f(x) = x3 − 3x + 2
b) f(x) = x3 − x2 − x − 11
3127 Anna har fått i uppgift att beräkna derivatan av f(r) = r3 − 6r i den punkt där r = 2. Hon beräknar den med följande metod:
f(2) = 23 − 6 ∙ 2 = −4
f’(2) = D(−4) = 0
a) Vilket fel gör Anna?
b) Vilket är det korrekta sättet att beräkna funktionens derivata där r = 2?
Nivå 3
3128 Ge exempel på två olika funktioner f och g som uppfyller villkoret f’(x) = g’(x) = x2 − 3x.
3129 a) Ge exempel på tre olika funktioner f, g och h som uppfyller villkoret f’(x) = g’(x) = h’(x).
b) Kan det finnas fler funktioner som har samma derivata som f, g och h? Motivera ditt svar.
3130 Tangenten till kurvan y = ax2 + bx i punkten (1, −1) har riktningskoefficienten k = 4. Bestäm talen a och b
6.1 Geometriska talföljder
Talföljder och mönster
I Matematik nivå 1b behandlade vi formler, mönster och talföljder. Vi konstaterade att en talföljd är en följd av tal som oftast beskrivs med en bestämd regel, som till exempel
A: 3, 6, 9, 12, 15, … eller
Rekursiv formel
De tre punkterna visar att talföljden fortsätter enligt samma mönster
B: 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256
Talföljden består endast av de 7 element vi ser här
Talen i en talföljd kallas element. Talföljden A fortsätter enligt samma mönster efter 15 och har inget slut. Den har alltså ett oändligt antal element. Talföljden B har däremot ett ändligt antal element, nämligen de 7 element vi ser här. Elementen i en talföljd kan betecknas med a1, a2, a3, osv. Det nedsänkta talet kallas index. I talföljd A är de tre första elementen a1 = 3, a2 = 6 och a3 = 9.
Talet 1 i a1 kallas index.
Talföljden A: 3, 6, 9, 12, 15, … kan beskrivas på olika sätt. Ett sätt är att säga att det första elementet är 3 och att man får nästa element genom att addera 3 till föregående element. Om vi kallar elementen i talföljden a1, a2, a3, … så kan vi beskriva den genom
{ a1 = 3
an + 1 = an + 3 för n = 1, 2, 3, …
Ett index är alltid ett naturligt tal. Här kunde vi lika väl ha skrivit n > 0.
Vi har här beskrivit talföljden med en rekursiv formel. Med en rekursiv formel beräknar man elementen successivt med hjälp av tidigare element .
Sluten formel Vi kan i stället placera elementen och deras ordningsnummer (index) i talföljd A i en tabell:
n 1 2 3 4
an 3 6 9 12
Vi ser att vi kan beräkna talföljdens element direkt med formeln
an = 3n för n = 1, 2, 3, …
Till exempel är a4 = 3 ∙ 4 = 12
En sådan formel kallas en sluten formel. Med den kan vi direkt beräkna valfritt element i talföljden, utan att vi känner till några andra element.
Nivå 1
Exempel: En talföljd anges med formeln an = 7n − 1 för n > 0, där n är heltal.
a) Har talföljden ett ändligt eller oändligt antal element? Motivera ditt svar.
b) Ange de fem första elementen i talföljden.
c) Är talföljden beskriven med en rekursiv eller en sluten formel?
Lösning: a) Eftersom det inte finns några begränsningar uppåt för n, så har talföljden ett oändligt antal element.
b) a1 = 7 ∙ 1 − 1 = 6
a2 = 7 ∙ 2 − 1 = 13
a3 = 7 ∙ 3 − 1 = 20
a4 = 7 ∙ 4 − 1 = 27
a5 = 7 ∙ 5 − 1 = 34
Svar: 6, 13, 20, 27, 34
c) I formeln an = 7n − 1 får man direkt värdet av ett element genom att sätta in värdet på dess index, alltså är det en sluten formel.
Svar: Det är en sluten formel.
Exempel: Beskriv talföljden 2, 6, 18, 54, 162, 486 med en rekursiv formel.
Lösning: a1 = 2
Det första elementet är 2
Vi noterar att nästa element fås genom att multiplicera det föregående med 3. an = 3an − 1 för n = 2, 3, 4, 5, 6 Tillsammans med a1 ger det totalt 6 element
Svar: a1 = 2; an = 3an − 1 för n = 2, …, 6
6101 Vilka tal saknas i följande talföljder?
a) 5, 10, 20, , 80,
b) 1 2 , 1 4 , , 1 16
c) 2, 5, , 11, , 17
6102 Bestäm de fem första elementen i en talföljd där n = 1, 2, 3, … och
a) an = n − 2 b) an = 5 − 3n
c) an = 2n − 1 d) an = 3 n
6103 Bestäm de fem första elementen i en talföljd där
a) a1 = 2 och an = an − 1 − 2 för n > 1
b) a1 = 1 och an = 5 − 3an − 1 för n > 1
6104 Ge förslag på en rekursiv formel för en talföljd och beräkna sedan de fyra första elementen i talföljden.
6105 Ge förslag på en sluten formel för en talföljd och beräkna sedan de sex första elementen i talföljden.
6106 I en aritmetisk talföljd är differensen mellan
två på varandra följande element konstant. Avgör vilken eller vilka av följande talföljder som är aritmetiska:
A 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48
B 2, 11, 19, 26, 32, 37, 41
C 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
D 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192
6107 Beskriv följande talföljder med en sluten formel.
a) Hur många tändstickor behövs för att bygga figur 4?
b) Hur många tändstickor behövs för att bygga figur 10?
c) Bestäm en sluten formel som beskriver antalet tändstickor i figur n.
6109 Sten har byggt en pyramid av kulor. Varje lager i pyramiden har formen av en kvadrat.
Nivå 2
6111 Konstruera en talföljd genom att räkna upp de fyra inledande elementen. Beskriv talföljden med en
a) rekursiv formel b) sluten formel
6112 Vilket element har värdet 98 i talföljden som beskrivs av formeln
a) an = 22 + 4n för n = 1, 2, 3, …
b) bn = 2 ∙ 7n − 1 för n = 1, 2, 3, …
6113 Fibonaccis talföljd beskrivs av den rekursiva formeln
f1 = f2 = 1 och fn = fn − 1 + fn − 2 för n > 2
a) Beskriv med ord hur Fibonaccis talföljd är uppbyggd.
b) Bestäm f9, dvs. det nionde elementet i Fibonaccis talföljd.
6114 Gun har byggt den pyramid av kulor som syns på bilden. Varje lager i pyramiden bildar en liksidig triangel.
a) Hur många kulor finns det i lager 4?
b) Ange en rekursiv formel för den talföljd som beskriver antalet kulor i respektive lager från toppen räknat.
Nivå 3
6115 Hur många stickor finns det i den
a) 4:e figuren
a) Hur många kulor finns det i lager 2, från toppen räknat?
b) Hur många kulor finns det i lager 3?
c) Hur många kulor finns det i lager n, om man bygger vidare på pyramiden enligt samma mönster?
6110 Beskriv med ord hur man får nästa element i talföljden 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, …
b) n:te figuren
Figur 1 Figur 2
3
Figur
År Kapital (kr)
0 9 500
1 9 500 ∙ 1,04 = 9 880
2 9 500 ∙ 1,042 ≈ 10 275
3 9 500 ∙ 1,043 ≈ 10 686
4 9 500 ∙ 1,044 ≈ 11 114
5 9 500 ∙ 1,045 ≈ 11 558
En tillväxt på 4 % ger förändringsfaktorn 1,04
Geometriska talföljder
Erik sätter in 9 500 kr på ett sparkonto där den årliga räntan är 4 %. Räntan adderas i slutet av varje år till kapitalet. Man säger då att kapitalet växer med ränta på ränta.
Kapitalet i tabellen till vänster bildar en talföljd med elementen
Vi ser att kvoten k mellan två på varandra följande element är konstant k = 1,04.
Vi har ju till exempel
k = 9 500 ∙ 1,04 9 500 = 1,04 och k = 9 500 ∙ 1,044 9 500 ∙ 1,043 = 1,04
En talföljd där kvoten av två på varandra följande element är konstant kallas en geometrisk talföljd.
Elementen i talföljden kan beskrivas med en sluten formel:
an = 9 500 · 1,04n − 1, för n = 1, 2, 3,
Det första elementet a1 Kvoten k
Det är inte ovanligt att elementen i en geometrisk talföljd skrivs på potensform, som i exemplet här ovanför.
Geometrisk talföljd
En geometrisk talföljd är en talföljd a1, a2, a3, … där kvoten an an − 1 av två på varandra följande element är konstant.
Varje element an kan skrivas
an = a1 ∙ kn − 1 för n = 1, 2, 3, …
a1 = 3 och k = 4, som ger
a2 = 3 ∙ 4 = 12
a3 = 3 ∙ 42 = 48 och an = 3 ∙ 4n − 1
b1 = (−1) och k = (−2), som ger
b2 = (−1) ∙ (−2) = 2
b3 = (−1) ∙ (−2)2 = −4
b4 = (−1) ∙ (−2)3 = 8 och bn = (−1) ∙ (−2)n − 1
Här ser du ytterligare några exempel på geometriska talföljder. Kontrollera gärna själv att kvoten av två på varandra följande element verkligen är konstant.
Här är A och B talföljder med ett ändligt antal element, medan C och D har ett oändligt antal element.
Nuvärde
Tänk dig att du har tagit ett lån som ska betalas tillbaka med 80 000 kr inklusive ränta om fem år. Men du bestämmer dig för att betala tillbaka hela lånet redan i dag. Du kommer överens med din fordringsägare att den årliga räntan på lånet är 2,1 %. För att veta hur mycket du ska betala, så måste du bestämma vilket belopp som med ränta på ränta blir 80 000 kr till återbetalningsdagen. Vi betecknar det beloppet med K kr. Om ett år kommer beloppet att ha ett värde av 1,021 K kr, efter två år 1,0212 K kr, osv. Det belopp som du ska återbetala i dag kan i så fall bestämmas av ekvationen
1,0215 · K = 80 000 som ger
K = 80 000 1,0215 ≈ 72 100
Ett belopp på 72 100 kr i dag motsvarar alltså 80 000 kr om fem år, om årsräntan är 2,1 %. Därför säger man att 72 100 kr är nuvärdet av 80 000 kr. Nuvärdet är dagens värde av en framtida betalning eller ett framtida kapital när man har tagit hänsyn till den gällande räntesatsen.
Exempel: Torun har blivit lovad 15 000 kr av sina föräldrar om tre år. Föräldrarna har hittat en räntefond med 4,7 % årlig tillväxt. Hur mycket pengar ska de sätta in i fonden, för att värdet ska vara 15 000 kr tre år senare?
Lösning: Anta att föräldrarna sätter in x kr. Förändringsfaktorn är 1,047.
x ∙ 1,0473 = 15 000
x = 15 000 1,0473 ≈ 13 070
13 070 kr är nuvärdet av presenten
Svar: Föräldrarna bör sätta in 13 070 kr.
Exempel: Claire har lånat pengar och får två valmöjligheter: antingen betala tillbaka 16 000 kr i dag eller 18 000 kr om två år. Ge Claire ett råd om hur hon bör göra för att det ska bli mer lönsamt för henne.
Lösning: Claire kan fundera över om hon i stället för att betala tillbaka lånet omgående kan investera pengarna och därmed ha mer än 18 000 kr om två år. Vilken genomsnittlig tillväxt behövs för detta?
Anta att förändringsfaktorn är x. Kapitalet växer med ränta på ränta under två år. Vi får ekvationen
16 000 ∙ x2 = 18 000 som ger x = ±√ 18 000 16 000 ≈ ±1,061
Den negativa roten förkastas
För att det ska vara mer lönsamt att betala tillbaka lånet om två år krävs en årlig tillväxt på minst 6,1 %. Om Claire inte hittar en investering som ger 6,1 % i årlig tillväxt, så bör hon betala tillbaka 16 000 kr i dag.
Nivå 1
6127 Bruno har en skuld som ska betalas tillbaka med 90 000 kr om 5 år. Bestäm nuvärdet av skulden i hela kronor om skulden växer med 3,5 % per år.
6128 Ali sätter in pengar på ett konto som ger 1,75 % i ränta. Räntan tillförs kapitalet i slutet av varje år. Efter fyra år har Ali 2 144 kr på sitt konto. Hur mycket pengar satte Ali in på sparkontot?
6129 Martin har en räntefond med värdet 39 246 kr. Fondens avkastning per månad är 0,38 % av kapitalet och avkastningen tillförs fonden i slutet av varje månad. Hur mycket pengar fanns det på kontot ett år tidigare? Avrunda till hela kronor.
Nivå 2
6130 Elisabet har tagit ett lån från Klokbanken som ska betalas tillbaka med 120 000 kr om sju år. Hon får ett erbjudande från Klokbanken att betala tillbaka lånet med 108 000 kr i dag. Samtidigt får hon reda på att en annan bank, Storbanken, har ett sparkonto där årsräntan är 1,8 % under de närmaste sju åren. Vilket av alternativen är mest ekonomiskt fördelaktigt för Elisabet? Motivera ditt svar.
Resonemang och begrepp
6131 Marina har lovat att i slutet av år 2030 betala 12 000 kr för en skuld. Men redan i slutet av år 2026 vill Marina göra sig fri från sin skuld. Hur mycket ska hon betala i slutet av år 2026 om de har kommit överens om en årlig ränta på 4 %?
6132 Elin har en skuld, som ska betalas tillbaka med 7 500 kr om ett år. Nu vill hon lösa återbetalningen omgående och räknar ut att nuvärdet av skulden är 6 880 kr.
a) Vilken räntesats har Elin använt när hon räknat ut nuvärdet?
b) Vilket blir nuvärdet av skulden om räntesatsen är en procentenhet lägre?
6133 Ibens mormor satte in 8 000 kr på ett bankkonto när Iben föddes. Kontot har en fast räntesats och kapitalet kommer att fördubblas till Ibens 15-årsdag.
a) Vilken räntesats har kontot?
b) Anta att Iben vill ta ut pengarna på sin 13-årsdag. Hur mycket pengar finns på kontot då?
c) Hur mycket pengar finns på kontot, om Iben väntar med uttaget till sin 18-årsdag?
d) Hur mycket skulle Ibens mormor ha satt in på kontot om det i stället skulle finnas 20 000 kr på kontot till Ibens 18-årsdag?
u Vad är skillnaden mellan en ändlig talföljd och en oändlig talföljd?
u Hur beräknas elementen i en talföljd som beskrivs av en rekursiv formel?
u Hur beräknas elementen i en talföljd som beskrivs av en sluten formel?
u Vad utmärker en geometrisk talföljd?
u Förklara begreppet nuvärde.
u På vilket sätt bestämmer man nuvärde på ett lån som ska betalas tillbaka om sju år?
u Hur uttrycker man en geometrisk talföljd med elementen an = a1 ∙ kn − 1 med hjälp av en rekursiv formel?
print
skriver ut text eller värden på variabler for upprepar en del av koden ett angivet antal gånger **2
betyder upphöjt till 2
def, return används för att skapa en funktion
Integraler − numerisk metod
Daryan vill bestämma ett närmevärde till ∫ 0 2 e2x 1 + ex dx genom att approximera arean under grafen med fyra parallelltrapetser.
Arean av ett parallelltrapets: A = Δx · f(xm) + f(xm + Δx) 2
För att utföra beräkningen skriver Daryan följande program i Python.
from math import e def f(x): return e**(2*x)/(1 + e**x)
a = 0 b = 2 n = 4
delta_x = (b - a)/n
trapetssumma = 0 x_m = a
for m in range(n): trapetsarea = delta_x * (f(x_m) + f(x_m + delta_x))/2 x_m = x_m + delta_x
trapetssumma = trapetssumma + trapetsarea print("Integralens värde är ca", trapetssumma)
1 Förklara vad variablerna a, b, n och delta_x står för.
2 Skriv in och kör Daryans program. Jämför hans resultat med det värde du får med ett digitalt hjälpmedel, t.ex. GeoGebra.
3 Ändra i koden så att arean under grafen i stället approximeras med 10 parallelltrapetser. Vilket värde får du?
4 Undersök hur många parallelltrapetser som behövs för att approximera arean med 3 decimalers noggrannhet?
Integralkalkylens historia
Den tidiga integralkalkylen
Det var den grekiske matematikern och astronomen Eudoxos (runt 390–340 f.Kr.) som lade grunderna till den sortens integralkalkyl som vi använder i våra dagar. Han använde en metod som gick ut på att uppskatta arean eller volymen hos ett objekt genom att dela in det i många små objekt med kända areor eller volymer.
Arkimedes (287–212 f.Kr.), som var en av antikens mest framstående vetenskapsmän, utvecklade sedan Eudoxos metod. Han uppskattade cirkelns omkrets genom att rita en regelbunden månghörning såväl i cirkeln som runt cirkeln. Genom upprepad fördubbling av antalet sidor i dessa månghörningar fick han allt bättre värden på cirkelns omkrets.
Metoden ger en mycket god uppskattning av talet π. Arkimedes konstaterade att ”förhållandet mellan omkretsen av varje cirkel och dess diameter är mindre än 3 1 7 men större än 3 10 71 ”. Det var en uppskattning som placerade π mellan talen 3,141 och 3,143.
Integralkalkylen i Asien
Cirkeln är omskriven av en sexhörning och i cirkeln är en annan sexhörning inskriven.
Några hundra år senare, under 300 talet i Kina, använde matematikern Liu Hui liknande metoder för att uppskatta cirkelns area. Liu Huis metoder förbättrades sedan av Zu Chongzi, som under 500 talet lyckades med att uppskatta klotets volym. Sedan dröjde det ända fram till 1100 talet tills integralkalkylen återigen utvecklades. Det var då den indiske matematikern Bhaskara (1114–1185) presenterade några idéer som anses vara grundläggande inom läran om integraler. Och det var också i Indien (under 1300talet) som matematikern och astronomen Madhava betraktade areor som integraler. Enligt Madhavas skrifter är ”integralen av pada (en variabel) hälften av varga (kvadraten på samma variabel)”. Detta skulle vi i dag uttrycka som ”integralen av x är x2 2 ”.
Den moderna integralkalkylen
Uppskatta π med Arkimedes metod. Låt en cirkel med radien 1 l.e. omskriva en regelbunden sexhörning (se figuren här ovanför). Använd sedan sexhörningen för att uppskatta ett värde på π. ?
Den mest framgångsrika perioden i integralkalkylens historia har sin början i 1600 talets Europa, när italienaren Bonaventura Cavalieri vidareutvecklade Arkimedes idéer. Cavalieris arbete ledde till att de brittiska matematikerna John Wallis och Isaac Barrow samt fransmannen Pierre de Fermat kunde lägga grunderna till läran om oändligt små delar, så kallade infinitesimaler Vid slutet av 1600 talet sammanfattade Isaac Newton och Gottfried Wilhelm von Leibniz oberoende av varandra alla tidigare kända insatser inom området, vilket ledde till den moderna integralkalkylens uppkomst. Deras banbrytande upptäckt kan formuleras som att ”funktionen är integralen av derivatan”, vilket i dag även kallas för integralkalkylens fundamentalsats.
Arkimedes (287–212 f.Kr.)
Rätt eller fel?
Om derivatan till en funktion är positiv för alla punkter i ett visst intervall, så är funktionen växande i intervallet.
Om grafen till en funktion sedd underifrån buktar utåt, så är funktionen konvex.
En funktion kan ha lokala extrempunkter bara i punkter där förstaderivatan är 0.
Man kan använda andraderivatan för att undersöka om en punkt är en terrasspunkt.
Om f är en förstagradsfunktion (linjär funktion) så har derivatan f' inga nollställen.
Undersök
Förstaderivatan och grafen
Förstaderivatan till funktionen f kan skrivas f'(x) = kx + m. Sätt m = 1 och undersök, genom att följa instruktionerna här nedanför, hur utseendet av grafen till f förändras då k varierar.
u Sätt k = 1 och skissa grafen till f
u Ändra värdet på k till 2, 3, 4, …
u Hur ändras grafens utseende om värdet på k är negativt?
u Sammanfatta hur utseendet på grafen till f förändras då k varierar.
En terrasspunkt är en lokal extrempunkt.
En fjärdegradsfunktion som är definierad på intervallet a ≤ x ≤ b kan som mest ha fem lokala extrempunkter.
En tredjegradsfunktion som är definierad på intervallet a < x < b kan som mest ha två lokala extrempunkter.
Om andraderivatan är noll i en punkt, så är den punkten en inflexionspunkt.
En inflexionspunkt är alltid en terrasspunkt.
Andraderivatan och grafen
Andraderivatan till funktionen f kan skrivas f''(x) = kx + m. Sätt m = 1 och undersök hur utseendet av grafen till f förändras då k varierar.
u Sätt k = 1 och skissa grafen till f
u Ändra värdet på k till 2, 3, 4, …
u Hur ändras grafens utseende om värdet på k
är negativt?
u Sammanfatta hur utseendet på grafen till f förändras då k varierar.
Problemlösning och modellering
Olivolja – grekiskt guld
Kalamata, som är huvudstad i provinsen Messinia i södra Grekland, är bland annat känd för sina goda oliver och olivoljor. I staden bodde olivodlaren Christos Papaloukas och han hade ett problem när han skulle välja lämpliga förpackningar till sin olja. Olika affärsinnehavare föredrog olika former på förpackningarna och han ville förstås vara alla till lags. Samtidigt var han en ekonomiskt sinnad affärsman och det var viktigt för honom att minimera materialåtgången, för att på så sätt hålla kostnaderna nere.
Först tillverkade Papaloukas en kub med sidan 10 cm. Den har volymen 1 liter eftersom Vkub = sida3 = 103 cm3 = 1 000 cm3 = 1 liter.
Problemet var att kunderna inte köpte de kubformade förpackningarna. De var visserligen väldigt lätta att transportera och packa, men kunderna ville ha lite rundare former på förpackningarna.
u Då prövade Papaloukas att tillverka en sfärisk förpackning. Även den skulle rymma 1 liter olivolja. Vilken radie skulle den förpackningen ha?
Nu menade affärsinnehavarna att det var för svårt att lägga ut sfäriska oljeförpackningar i butikshyllorna. De rullade hela tiden ner och gick sönder. Man ville i stället ha cylindriska förpackningar med cirkulär botten. Papaloukas bestämde sig för att tillverka cylindriska förpackningar som rymmer 1 liter.
u Beteckna radien med r och bestäm ett funktionsuttryck A(r) för cylinderns begränsningsarea A cm2
u Vilken radie ger cylinderns minsta begränsningsarea?
u Var det kuben, sfären eller cylindern som krävde minst material?
Extremvärden, grafen och derivatan
Samband mellan funktion och derivata
u om f'(x) > 0 i ett intervall
a ≤ x ≤ b, så är funktionen strängt växande i intervallet
u om f'(x) < 0 i ett intervall
a ≤ x ≤ b, så är funktionen strängt avtagande i intervallet
Derivatans nollställen
u extrempunkter lokal maximipunkt och lokal minimipunkt
u extremvärde lokalt maximivärde och lokalt minimivärde
u terrasspunkt
u f'(a) = 0 betyder antingen att (a, f(a)) är en lokal extrempunkt eller att (a, f(a)) är en terrasspunkt
Derivatan och funktionens graf
u derivatans nollställen
u derivatans teckenväxling
u teckentabell
u lokal extrempunkt och terrasspunkt
Andraderivatan och funktionens graf
u andraderivatans betydelse för grafens utseende
f''(a) > 0, funktionen är konvex
f''(a) < 0, funktionen är konkav
u lokal maximi- och minimipunkt
u inflexionspunkt
Extremvärdesproblem
u funktionsuttryck som beskriver händelseförloppet
u definitionsmängd
u funktionens extremvärden
u största och minsta värdet i intervallet
u intervallets ändpunkter
1 Grafen y = f(x) är ritad i figuren. y x −1 3 y = f(x)
I vilket eller vilka intervall
a) är f strängt växande
b) är f strängt avtagande
2 Bestäm derivatan av följande funktioner med hjälp av deriveringsreglerna.
a) f(x) = x3 − 3x + 3
b) g(x) = x9 − x7
c) h(x) = 7x6 + 5x4 − x
3 Arvid står högst upp i ett torn och släpper en sten. Efter t sekunder är stenens höjd h(t) meter över marken, där h(t) = 9,8 − 4,9t2. Hur lång tid tar det för stenen att falla till marken?
4 Teckna ett uttryck för rektangelns area och beräkna för vilket värde på x som arean blir störst.
10 − x x
5 Mia har beräknat minsta värdet av funktionen
f(x) = x3 − 3x2 i intervallet −2 ≤ x ≤ 5 och fått svaret −4. Men i facit står att det ska vara −20. Vilket fel kan Mia ha gjort?
6 Vilken av följande funktioner har derivatan 4x − x2?
A k(x) = 2x2 − x3
B f(x) = 4x − 3x2
C g(x) = 2x2 –x3 3
D h(x) = 2x2 –x3 2
7 Låt f(x) = −2x + 1.
a) Hur vet man att grafen till funktionen är en rät linje?
b) Vad i funktionsuttrycket bestämmer linjens lutning?
c) I vilken punkt skär linjen y-axeln?
8 Funktionen f(x) = x3 3 − x2 − 3x + 5 går genom punkten (3, −4), där derivatan är noll. Undersök om punkten är en lokal maximi eller minimipunkt.
9 Bestäm riktningskoefficienten för tangenten till kurvan y = 5e2x + 5, där x = 1, genom att
a) först bestämma y’
b) därefter beräkna y’(1)
10 Ungdomarna på 4Hgården har fått i uppdrag att hägna in ett rektangulärt område med ett stängsel som är 680 m långt. Vilka mått på inhägnaden ger den största möjliga arean?
11 Låt f(x) = −x2 + 2x + 1.
Vad kan du ta reda på genom att beräkna f (3) − f (1) 3 – 1 ?
12 Ange eventuella lokala maximi, lokala minimioch inflexionspunkter till funktionen
f(x) = 4x3 − 3x2 .
13 Skriv 4 a2 − b2 − 2 ab − b2 med gemensam nämnare och förenkla så långt som möjligt.
14 För en funktion f gäller att f(3) = −1 och f (1) = 3. Bestäm ekvationen för den sekant som går genom punkterna (1, 3) och (3, −1).
15 Bestäm x när f’(x) = 0 i följande funktioner.
a) f(x) = x2 + 12x
b) f(x) = ex − 7x + 11
16 Förenkla uttrycken så långt som möjligt.
a) (x + 3)10 (x + 3)5
b) a 1 2a + 1 2a
(Np Ma3b vt 2014)
17 En ljusraket avfyras från en väderstation. Raketens hastighet v m/s anges med formeln
v(t) = 40t − 4t2, där t är tiden räknat i sekunder.
a) Under hur många sekunder kommer raketens hastighet att öka?
b) Hur lång tid tar det från att raketen har sin högsta hastighet, till att den har hastigheten 0?
c) Vad händer efter att raketen har haft hastigheten 0?
18 Lös ekvationerna
a) (x − 1)(x + 99) = 0
b) x3 − x2 = 0
c) 5x(x + 4)(x − 2)2 = 0
19 Bestäm
a) lim x → 0 (ex + 7) b) lim x → ∞ √ 16x 4x + 9
(Np Ma3b ht 2012)
20 Bestäm det största möjliga värdet som funktionen M = 10x + 23y kan anta för de möjliga värdena på x och y som är markerade i koordinatsystemet nedan.
y x
Nivå 2
21 Figuren visar grafen till f’(x) som är derivatan av f(x). y x 1 y = f'(x)
a) För vilket värde på x är f’(x) = 0?
b) För vilka värden på x är funktionen f strängt växande respektive strängt avtagande?
c) Skissa grafen till f om f(0) = 0.
22 För en funktion f gäller att y = f(x). Grafen till funktionen har en tangent i den punkt där x = 5.
Tangentens ekvation är 3x + 2y − 10 = 0
a) Bestäm f’(5)
b) Bestäm f(5)
(Np Ma3b vt 2014)
23 Figuren visar grafen till f’(x) som är derivatan av f(x). Skissa grafen till f(x) om f(0) = 3.
y x 1 y = f'(x)
24 Bestäm riktningskoefficienten k för tangenten till kurvan y = 7e3x + e i den punkt där y = 7 + e.
25 För funktionerna f och g gäller att f(x) = x2 + 3 och g(x) = −x2 – 3x + 1. Bestäm med hjälp av symbolhanterande verktyg det minsta vertikala avståndet mellan graferna som ges av funktionerna.
26 I vilken punkt på kurvan y = −2x3 + 4x – 1 har funktionens derivata sitt största värde?
27 Diagrammet visar hur en bil i en dragracingtävling accelererar.
Hastighet
20 40 60 80 s m/s 1 2 3 4 5
a) Bestäm bilens medelacceleration under de fem första sekunderna.
b) Hur stor är accelerationen efter 2 sekunder?
28 Ildi vill vika en kvadratisk pappskiva med sidan 30 cm till en låda. För att kunna vika den, så klipper hon bort fyra kvadratiska bitar enligt figuren. Vilken höjd på lådan ger maximal volym?
29 Varför kan man inte beräkna derivatan av funktionen i x = 0?
a)
30 Låt f(x) = x3 + ax + b.
a) Hur många nollställen kan f’(x) ha? Motivera ditt svar.
b) För vilket värde på a har grafen y = f(x) en terrasspunkt? Motivera ditt svar.
31 Värdet av en målning antas öka exponentiellt med tiden. Den köptes år 1988 på en auktion för 110 000 kr och år 2008 var den värd 240 000 kr.
a) Bestäm en exponentialfunktion med basen e som beskriver målningens värde.
b) Hur många år efter köpet kommer värdet att öka med 15 000 kr per år?
32 I figuren är linjen y = 7 − 2x ritad i första kvadranten. Rektangeln har ett hörn P på linjen. När punkten P varierar, så varierar också rektangelns area. P y x 1 1
a) Bestäm funktionsuttrycket A(x) som beskriver rektangelns area.
b) Bestäm det största värdet som rektangelns area kan anta.
Del
1 Grafen visar hur temperaturen varierar under en sommardag i Stockholm.
a) I vilket intervall är grafens lutning positiv?
b) Bestäm den genomsnittliga temperaturändringen per timme mellan klockan 14.00 och 16.00.
2 Punkterna (2, 1) och (4, 4) ligger på kurvan y = x2 4
a) Bestäm Δy Δx mellan de givna punkterna.
b) Förklara med ord vad du har beräknat i deluppgift a).
3 Bestäm det största värdet som funktionen M = 5x + 7y kan anta för de möjliga värdena på x och y som är markerade i koordinatsystemet.
4 Grafen till en funktion har negativ lutning i intervallen x < −3 och x > 5, lutningen är noll i punkterna där x = −3 och x = 5, och i intervallet −3 < x < 5 är lutningen positiv. Skissa en graf som uppfyller dessa villkor.
5 Antalet råttor i en population efter att man har lagt ut råttgift kan beskrivas med funktionsuttrycket N(t) = 200 ∙ 0,98t, där N(t) är antalet råttor och t är tiden i dagar efter det att giftet placerades ut. Beskriv vad N’(3) betyder.
6 Beräkna ändringskvoten mellan x = 1 och x = 3 för f(x) = x2 + 2.
7 Undersök om f(x) = { 0,5x för x < 2 2x för x ≥ 2
a) är kontinuerlig för x = 2
b) är deriverbar för x = 2
8 För V(x) = x3 + 2x2 − 4x + 2 gäller att V’(0) = lim h → 0 h3 + 2h2 − 4h + 2 − 2 h
Bestäm V’(0).
Del 2 Med digitalt hjälpmedel
9 På Kalles chokladfabrik har man ett par dagar före semestern kvar 7,5 kg kakaomassa och 10 kg kakaosmör. Fabriken stänger under semestern och man vill därför använda råvarorna så att vinsten blir så stor som möjligt. Man ska tillverka två sorters chokladkakor med olika smak. I tabellen sammanfattas vad som gäller om man tillverkar x kakor med apelsinsmak och y kakor med mintsmak.
Kakaomassa/kaka Kakaosmör/kaka Vinst/kaka
Apelsinsmak 50 g 40 g 5 kr
Mintsmak 25 g 40 g 7 kr
Villkor 50x + 25y ≤ 7 500 40x + 40y ≤ 10 000
a) Markera i ett koordinatsystem det område som begränsas av olikheterna under förutsättning att både x och y är större än eller lika med noll.
b) Hur många chokladkakor av vardera sort ska man tillverka för att vinsten ska bli så stor som möjligt?
c) Hur stor blir vinsten?
10 Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan f(x) = x2 − 2 för x = −2.
11 Bestäm riktningskoefficienten till tangenten i punkten där x = −2. y x 1 1
12 Låt f(x) = 2x2 − 7.
a) Bestäm f’(5) = lim h → 0 f(5 + h) − f(5) h
b) Förklara vad det är som beräknas i deluppgift a).
13 Figuren visar grafen till y = f(x) där f(x) = x2 .
u Bestäm ekvationen för grafens tangent i origo.
u Bestäm ekvationen för grafens tangent för x = 1.
u Bestäm ekvationen för tangenten för ytterligare några positiva heltalsvärden på x. Vilka slutsatser kan du dra? y x 1 1
&
Ledtrådar
1 Algebraiska uttryck
1.1 Polynom
1113 Tänk på att du kan välja ett tredjegradspolynom med en variabelterm och en konstantterm.
1114 Lös ekvationen f(x) = g(x) genom att sätta de båda funktionsuttrycken lika med varandra.
1115 Teckna ett allmänt andragradspolynom p(x) = ax2 + bx + c och använd tabellen för att bestämma värdet på konstanterna. Exempelvis vet du att p(1) = 2. Hur kan du uttrycka det med hjälp av ditt tecknade polynom?
1128 Tänk på att (a + b)3 = (a + b)(a + b)2 och att (a − b)3 = (a − b)(a − b)2.
1129 Undersök med exempel på p(x) och q(x) som uppfyller de givna villkoren.
1136 Kostnaden per halsduk ges av uttrycket K(q) q
1138 Vilken gemensam faktor har uttrycken? Bryt ut den och skriv i faktoriserad form.
1140 Faktorisera A(x).
1142 Tänk på att uttrycket under rottecknet ska vara lika med summan av kvadraterna på kateterna.
1.2 Polynomekvationer
1214 Anta att kvadratens sidor är x cm Hur långa är då rektangelns sidor? Vilken ekvation kan du ställa upp utifrån den givna informationen?
1215 Börja med att lösa ut x2. Vilket värde kan x2 ha för att lösning ska saknas? Vilket värde kan x2 ha för att lösningen ska vara unik?
1216 Rita en figur enligt den givna informationen. Hur förhåller sig sidlängderna till varandra? Vilken ekvation kan du ställa upp?
1217 Tänk på att en andragradsekvation kan ha två lösningar.
1218 Tvärsnittsarean ges här av den yttre cirkelns area subtraherat med den inre cirkelns area. Använd det för att ställa upp lämplig ekvation.
1219 Börja med att faktorisera VL med hjälp av någon av kvadreringsreglerna.
1220 Bestäm radien med hjälp av formeln för volymen av en kon.
1233 Anta att kubens sidor är x cm från början. Vilken ekvation kan du ställa upp utifrån den givna informationen?
1234 Börja med att faktorisera VL. Bryt ut största gemensamma faktor.
1236 Hur löste du uppgift 1235? Gör på samma sätt här: Ersätt x2 med t och lös först ekvationerna för t
Bestäm sedan x
1237 Rita först en figur. Uttryck sedan basen med hjälp av höjden och ställ upp en ekvation utifrån den givna informationen.
1238 Lös ekvationerna så långt det är möjligt, t.ex. med pq-formeln. Fundera sedan på vad olika värden på konstanten a betyder för lösningen.
1243 Använd ett digitalt hjälpmedel för att rita några olika tredjegradsfunktioner, där du varierar tecknet på koefficienten för x3. Vilka slutsatser kan du dra?
1248 a) Fundera över hur grafen till en tredjegradsfunktion kan se ut.
1263 Tänk på att en av faktorerna ska bli 0 då x ersätts med en av lösningarna. Kan det finnas flera olika värden på A och B?
1265 a) Börja med att ta reda på polynomets nollställen genom att lösa ekvationen r(z) = 0. Faktorisera sedan genom att använda faktorsatsen på sidan 25.
1266 Vilken gemensam faktor finns i p(x)? Bryt ut den och faktorisera p(x).
1267 Vilka faktorer måste ingå i tredjegradspolynomet enligt den givna informationen?
1269 Vilket värde får faktorn x – a för x = a?
1270 b) Läs av funktionens nollställen och teckna ett funktionsuttryck med hjälp av dem.
1271 Vilka faktorer finns i funktionsuttrycket? Använd faktorsatsen på sidan 25 och den givna informationen för att bestämma värdet på konstanten k. (Du kan ha nytta av att titta på uppgift 1270.)
1.3 Rationella uttryck
1306 Vilka faktorer måste ingå i nämnaren?
1308 Faktorisera med hjälp av t.ex. konjugat- och kvadreringsreglerna.
1310 Vilken faktor måste ingå i nämnaren? Vilka faktorer måste ingå i täljaren?
1315 b) Förenkla f(x). Vilken typ av funktion är f?
1318 Börja med att skriva uttrycket i HL med gemensam nämnare. Jämför sedan VL och HL.
1324 b) Läs exemplet på sidan 35. Multiplicera båda leden med den gemensamma nämnaren som ges av produkten av alla termers nämnare.
1333 Rita figurer av kvadraten och rektangeln utifrån den givna informationen.
1335 Bryt ut −1 ur täljaren eller nämnaren.
1337 Börja med att förenkla uttrycket.
1338 Multiplicera båda leden med bråkuttryckens gemensamma nämnare.
1340 Faktorisera täljaren i uttrycket så att en faktor i täljaren blir 1 + a + b. Du kan börja med att skriva täljaren som 1 − (a2 + 2ab + b2).
1347 Tänk på att 3 x = 1 3x
1350 Börja med att faktorisera och förenkla uttrycken så långt som möjligt. Bestäm sedan gränsvärdet.
1358 b) Faktorisera täljaren genom att ta reda på motsvarande polynoms nollställen.
1360 Tänk på att 5x + 4 2x = 5x 2x + 4 2x = 5 2 + 2 x
1361 b) Bestäm gränsvärdet för N(t) då t går mot oändligheten.
1366 Dela alla termer i uttrycket med x. Bestäm sedan gränsvärdet med A som en konstant.
1376 Kan du komma på något händelseförlopp som inte förändras lika mycket varje tidsperiod, utan där förändringshastigheten i stället ändras vid vissa enstaka tidpunkter?
1379 Börja med att identifiera för vilket värde på x som funktionen byter funktionsuttryck. Undersök sedan om vänster- och högergränsvärdet är lika i den punkten samt om gränsvärdet är lika med funktionsvärdet i den punkten. Om svaret är ja, så är funktionen kontinuerlig.
1381 Måste funktionsvärdet för x = 4 vara 7 om vänster- och högergränsvärdena är lika med 7?
1389 Vilka faktorer måste ingå i polynomet? Skriv polynomet i faktoriserad form i CAS-fönstret. Använd sedan Expandera
1392 Vad har nämnarna för nollställen?
1397 Börja med att skriva ett uttryck för polynomet i faktorform utifrån den givna informationen. Fundera sedan på hur du får grafen att gå genom punkten (1,16).
1399 c) Tänk på faktorsatsen på sidan 25. Hur många lösningar har ekvationen x2 + 1 = 0? Vad innebär det för grafen till p(x)?
2
Linjär optimering, ändringskvot och derivata
2.1 Linjär optimering
2107 Ställ upp ett ekvationssystem, där de obekanta motsvarar antalet enkelrum respektive antalet dubbelrum.
2108 Insättning av y = 0 ger skärningen med x-axeln och insättning av x = 0 ger skärningen med y-axeln.
2110 Anta att blandningen t.ex. väger 1 kg.
2112 Börja med att rita båda linjerna i ett koordinatsystem och markera det sökta området. Hur många längdenheter är basen? Hur många längdenheter är höjden?
2113 b) Tänk på att höjden är vinkelrät mot basen. Rita ut linjen genom triangelns höjd i ett koordinatsystem.
2114 Vilka villkor gäller för att ekvationssystem ska ha oändligt många lösningar?
2115 Vilka villkor gäller för att ekvationssystem ska sakna lösning respektive ha exakt en lösning?
2121 Börja med att rita ett område som har arean 4 a.e. i ett koordinatsystem. Ange sedan alla de olikheter som begränsar området.
2123 a) Börja med att skriva om de två översta olikheterna till räta linjer i k-form. Rita sedan de linjer som ramar in området.
2124 Börja med att ställa upp ett system av olikheter enligt den givna informationen. Lös ut y ur olikheterna och rita sedan det område som uppfyller alla olikheter.
2125 De räta linjernas ekvationer kan bestämmas med hjälp av två punkters koordinater.
2131 Undersök värdet av målfunktionen i alla hörnpunkter.
2134 a) Vad blir arbetstiden i timmar för montering och lackering av 40 pallar och 10 byråer?
b) Börja med att ställa upp ett system av olikheter enligt den givna informationen. Rita sedan det område som uppfyller alla olikheter och bestäm målfunktionens största värde i området.
2135 Teckna olikheter för tillgängligt kapital respektive lagerutrymmets storlek av x st av den ena möbeltypen respektive y st av den andra.
2136 Teckna olikheter för mängden guld respektive silver om guldsmeden tillverkar och säljer x st fåglar och y st blommor.
2137 Teckna olikheter för vikten respektive inköpspriset av x kg hjortron respektive y kg blåbär.
2138 Teckna olikheter för vikten av fosfor respektive svavel om bonden köper x kg Bio-Aqua respektive y kg Bio-Flow.
2140 Det finns flera punkter som ger maximal vinst.
2213 b) Tänk på att k1 ∙ k2 = −1 för två linjer som är vinkelräta mot varandra.
2219 Accelerationen a i en viss tidpunkt t ges av hastighetens förändring i den tidpunkten, dvs. a ges av lutningen för kurvan y = v(t) i den punkten.
2221 I vilken typ av punkter är derivatan noll?
2222 Börja med att markera de två angivna punkterna i ett koordinatsystem. I vilken typ av punkter är derivatan noll? Skissa sedan två olika förslag på hur grafen till funktionen kan se ut, som går genom dessa punkter.
2223 Vilka två punkter går Johannas sekant genom? Kan du hitta en ny punkt där x är ännu närmare 3 än 3,1?
2224 Börja med att rita kurvan y = x2 – 1. Vilken typ av punkt är (0, −1)? Vilken är lutningen i den punkten?
1b nivå fortsättning
Matematik Origo fortsättning nivå 1b är en modern lärobok anpassad till Gy25 med utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter
matematisk modellering, kommunikationsuppgifter och problemlösning för alla
målbeskrivningar, sammanfattning och test till varje kapitel
Till Matematik Origo fortsättning nivå 1b finns även komponenterna Lärarguide, Lärarstöd+ samt kopieringsmaterialet Prov, övningsblad och aktiviteter.
Serien Matematik Origo finns till samtliga gymnasieprogram.
