Alla rättigheter förbehållna. Ingen text- och datautvinning är tillåten.
Första upplagan
Kapitel 1
Rubrik
Övningsblad 1.1 Räta linjens ekvation 1
1.2 Räta linjens ekvation 2
1.3 Räta linjens ekvation 3
1.4 Grafisk lösning av ekvationssystem
1.5 Linjära ekvationssystem 1
1.6 Linjära ekvationssystem 2*
1.7 Repetitionsuppgifter Kapitel 1
Övningsbladen innehåller i regel uppgifter på en grundläggande nivå.
Undantaget är övningsblad markerade med stjärna (*), som även innehåller svårare uppgifter.
Aktiviteter 1.1 Para ihop
1.2 Magiska kvadrater
1.3 Gruppuppgift: Ekvationssystem
1,4 Nollpunktsanalys
1.5 Klasskamp
Prov 1 Prov Kapitel 1 och 2
Kapitel 2
Rubrik
Övningsblad 2.1 Multiplicera ihop och förenkla 1
2.2 Multiplicera ihop och förenkla 2
2.3 Multiplicera ihop och förenkla 3*
2.4 Konjugatregeln och kvadreringsreglerna 1
2.5 Konjugatregeln och kvadreringsreglerna 2*
2.6 Konjugatregeln och kvadreringsreglerna 3*
2.7 Faktorisera uttryck 1
2.8 Faktorisera uttryck 2*
2.9 Faktorisera och förkorta*
2.10 Ekvationer av typen x2 = a
2.11 Fullständiga andragradsekvationer 1
2.12 Fullständiga andragradsekvationer 2*
2.13 Repetitionsuppgifter Kapitel 2
Aktiviteter 2.1 Algebrakort
2.2 Kvadratkomplettering och konjugatregeln
Prov 1 Prov Kapitel 1 och 2
Kapitel 3
Övningsblad
Rubrik
3.1 Funktionsbegreppet och beteckningen f(x) 1
3.2 Funktionsbegreppet och beteckningen f(x) 2*
3.3 Andragradsfunktioner 1
3.4 Andragradsfunktioner 2*
3.5 Grafisk lösning av andragradsekvationer
3.6 Repetitionsuppgifter Kapitel 3
Aktiviteter 3.1 Grafen till en andragradsfunktion
3.2 Maximera din vinst
3.3 Rita grafen med kvadratkomplettering
Prov 2 Prov Kapitel 3 och 4
Rubrik
Övningsblad 4.1 Implikation och ekvivalens
4.2 Pythagoras sats och avståndsformeln
4.3 Likformighet och kongruens
4.4 Triangelsatser
4.5 Randvinkelsatsen och dess följdsatser
4.6 Visa att*
4.7 Repetitionsuppgifter Kapitel 4
Aktiviteter 4.1 Upptäck och bevisa
4.2 Samband i cirklar
4.3 Begreppsloop: Geometri
Prov 2 Prov Kapitel 3 och 4
Rubrik
Övningsblad 5.1 Tiopotenser
5.2 Tiologaritmer 1
5.3 Tiologaritmer 2*
5.4 Potens- och exponentialekvationer
5.5 Logaritmlagar*
5.6 Logaritmer i andra baser*
5.7 Repetitionsuppgifter Kapitel 5
Aktiviteter 5.1 Logaritmmemory
5.2 Logaritmer i diagram
5.3 Radioaktivt sönderfall
5.4 Logaritmer och exponentiella samband
5.5 Logaritmalias
5.6 Begreppsloop: Logaritmer
5.7 Sant eller falskt
Prov 3 Prov Kapitel 5 och 6
Rubrik
Övningsblad 6.1 Lägesmått och spridningsmått
6.2 Normalfördelning
6.3 Regression
6.4 Repetitionsuppgifter Kapitel 6
Aktiviteter 6.1 Lika lön
6.2 Poppa popcorn
6.3 Klassens längd
6.4 En linjär modell
6.5 Lungkapacitet
6.6 Lufttryck på hög höjd
Prov 3 Prov Kapitel 5 och 6
Linjära ekvationssystem 1
1 Lös ekvationssystemen med någon algebraisk metod
a) { y = 2x + 4 y = x + 5
b) { x + y − 5 = 0 y = x − 3
c) { 2x − y = 8 3x + y = 10
2 Lös ekvationssystemen med någon algebraisk metod
a) { 3x − 2y = −6 x + y = −2
b) { y + 2 = 3x x = 2y − 6
c) { 10x + 6y = 14 5x + 2y = 4,5
3 Visa att
{ x = 0,5 y = −2
är en lösning till ekvationssystemet
5 Till en teater kom det en kväll 235 personer. Vuxna fick betala 170 kronor och barn gick in för halva priset. Totalt fick man in 33 320 kronor i intäkter den kvällen.
Anta att det kom x st vuxna och y st barn till teatern.
a) Ställ upp en ekvation som beskriver att det totalt kom 235 personer till teatern.
b) Ställ upp en ekvation som beskriver att teatern fick in totalt 33 320 kronor i intäkter.
c) De två ekvationerna som du har ställt upp bildar tillsammans ett ekvationssystem. Lös ekvationssystemet och tolka ditt svar.
6 Albin jämför två erbjudanden om att hyra film hos två onlinebutiker. Hos den ena leverantören kostar det 39 kronor per film. Hos den andra leverantören måste man bli medlem för 80 kronor. Sedan betalar man 35 kronor per film.
a) Ställ upp två ekvationer som beskriver den totala kostnaden y kr att hyra x filmer hos de båda leverantörerna.
4x − y = 4
{ y = 2x − 3
4 Summan av två tal är 68. Differensen mellan talen är 10,5. Om vi kallar talen för x och y så kan vi ställa upp ekvationen x + y = 68, som beskriver att summan av talen är 68.
a) Ställ upp en ekvation som beskriver att differensen mellan talen är 10,5.
b) De två ekvationerna bildar tillsammans ett ekvationssystem. Ta reda på vilka de två talen är genom att lösa ekvationssystemet.
b) De båda ekvationerna bildar tillsammans ett ekvationssystem. Lös ekvationssystemet med valfri algebraisk metod.
c) Vilka frågor har du besvarat genom att lösa ekvationssystemet?
7 Under en säsong spelade ett fotbollslag 24 matcher. Tre av matcherna förlorade man. När säsongen var slut hade laget samlat ihop 55 poäng. Hur många matcher hade laget vunnit under säsongen? (Vinst = 3 poäng, Oavgjort = 1 poäng).
Linjära ekvationssystem 1
1 a) { x = 1 y = 6
b) { x = 4 y = 1
c) { x = 3,6 y = −0,8
2 a) { x = −2 y = 0
b) { x = 2 y = 4
c) { x = −0,1 y = 2,5
3 x = 0,5 och y = −2 är en lösning till ekvationssystemet eftersom de satisfierar båda ekvationerna. Insättning ger:
Ekvation 1: y = 2x − 3
VL = −2
HL = 2 ∙ 0,5 − 3 = 1 − 3 = −2
Alltså, VL = HL.
Ekvation 2: 4x − y = 4
VL = 4 ∙ 0,5 − (−2) = 2 + 2 = 4
HL = 4
Alltså, VL = HL.
4 a) Antingen x − y = 10,5 eller y − x = 10,5
b) { x = 39,25 y = 28,75
5 a) x + y = 235
b) 170x + 85y = 33 320
c) { x = 157 y = 78
Det kom 157 vuxna och 78 barn till teatern den kvällen.
6 a) y = 39x respektive y = 35x + 80
b) { x = 20 y = 780
c) Hur många filmer ska man hyra för att den totala kostnaden hos de båda företagen ska vara lika? (20 st) Hur stor blir då den totala kostnaden? (780 kr)
7 Om vi antar att laget vann x matcher och att de spelade y oavgjorda, så kan vi ställa upp ekvationssystemet:
{ x + y = 21
3x + y = 55
Ekvationssystemet har lösningen
{ x = 17 y = 4
Svar: Laget vann 17 matcher och förlorade 4.
Konjugatregeln och kvadreringsreglerna 1
Räkneregler för binom
Första kvadreringsregeln
Andra kvadreringsregeln
Konjugatregeln
1 Förenkla med hjälp av konjugatregeln.
a) (x + 2)(x − 2)
b) (x + 1)(x − 1)
c) (y − 7)(y + 7)
d) (2x + 4)(2x − 4)
e) (3x − 5)(3x + 5)
2 Förenkla med hjälp av första kvadreringsregeln.
a) (x + 1)2
b) (x + 6)2
c) (5x + 9)2
d) (3x + 4)2
3 Förenkla med hjälp av andra kvadreringsregeln.
a) (x − 1)2
b) (x − 6)2
c) (2x − 7)2
d) (5x − 3)2
4 Förenklingarna här nedanför är felaktiga. Beskriv vad som är fel och ge det rätta svaret.
a) (x + 3)2 = x2 + 32
b) (4x − y)2 = 4x2 − 8xy + y2
c) (a − 1)2 = a2 − 2a − 1
d) (a − 2)(a + 4) = a2 − 8
5 Ange för vart och ett av uttrycken här nedanför om de kan förenklas med hjälp konjugatregeln eller någon av kvadreringsreglerna. Det kan finnas uttryck som inte kan förenklas med någon av reglerna.
a) (x + 3)2
b) (x − 8)(x − 8)
c) (6x − 10)(6x + 10)
d) (x − 3)(x + 4)
e) (x + 7)(7 + x)
6 Förenkla uttrycken i föregående uppgift.
Konjugatregeln och kvadreringsreglerna 1
1 a) x2 − 4
b) x2 − 1
c) y2 − 49
d) 4x2 − 16
e) 9x2 − 25
2 a) x2 + 2x + 1
b) x2 + 12x + 36
c) 25x2 + 90x + 81
d) 9x2 + 24x + 16
3 a) x2 − 2x + 1
b) x2 − 12x + 36
c) 4x2 − 28x + 49
d) 25x2 − 30x + 9
4 a) I förenklingen saknas den så kallade dubbla produkten: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . Korrekt förenkling är (x + 3)2 = x2 + 6x + 9.
b) Vid användning av kvadreringsreglerna ska första termen inom parentesen kvadreras, dvs. (4x)2 = 4x ∙ 4x = 16x2. Korrekt förenkling är (4x − y)2 = 16x2 − 8xy + y2 .
c) 1:an i förenklingen har felaktigt tecken, (a − b)2 = a2 − 2ab + b2. Korrekt förenkling är (a − 1)2 = a2 − 2a + 1.
d) Vid förenklingen har man multiplicerat den första termen i varje parentes med varandra och den andra termen i respektive parentes med varandra, ungefär som vid konjugatregeln. Men konjugatregeln kan inte användas här eftersom den andra termen i respektive parentes inte är lika (jämför med konjugatregeln:
(a − b)(a + b) = a2 − b2). Korrekt förenkling görs med vanlig parentesmultiplikation:
b) Andra kvadreringsregeln kan användas eftersom (x − 8)(x − 8) = (x − 8)2
c) Konjugatregeln.
d) Varken konjugatregeln eller någon av kvadreringsreglerna. Uttrycket förenklas med vanlig parentesmultiplikation.
e) Första kvadreringsregeln, eftersom (x + 7)(7 + x) = (x + 7)(x + 7) = (x + 7)2.
6 a) x2 + 6x + 9
b) x2 − 16x + 64
c) 36x2 − 100
d) x2 + x − 12
e) x2 + 14x + 49
Andragradsfunktioner 1
1 En andragradsfunktion ges av f(x) = 2x2 + 3x − 5. Bestäm
a) f(2)
b) f(−5)
2 Figuren visar grafen till en andragradsfunktion. y x 1 1 y = f(x)
Bestäm
a) f(−2)
b) lösningarna till ekvationen f(x) = 3
c) funktionens nollställen
d) ekvationen för grafens symmetrilinje
e) koordinaterna för grafens extrempunkt
f) funktionens minsta värde
3 Figuren visar grafen till en andragradsfunktion, y = g(x). y x 1 1 y = f(x)
Bestäm
a) g(1)
b) lösningarna till ekvationen g(x) = 0
c) funktionens nollställen
d) ekvationen för grafens symmetrilinje
e) koordinaterna för funktionens extrempunkt
f) funktionens största värde
4 Rita grafen till en andragradsfunktion f som uppfyller följande tre villkor:
i) f(0) = 5
ii) Grafen har en minimipunkt
iii) Funktionen saknar nollställen
5 Rita grafen till en andragradsfunktion f som uppfyller följande två villkor:
i) Ekvationen f(x) = 0 har lösningarna x1 = −2 och x2 = 4
ii) f(1) = 3
6 Avgör om graferna till följande andragradsfunktioner har en minimi- eller maximipunkt.
a) y = 2x2 − 3x
b) y = −x2 + 8
c) y = 2x + 9 − x2
d) y = −3,5x + 7x2
7 Låt f(x) = x2 + 4x − 12. Bestäm
a) f(0)
b) funktionens nollställen
c) ekvationen för grafens symmetrilinje
d) koordinaterna för grafens extrempunkt
8 Skissa grafen till andragradsfunktionen i föregående uppgift.
9 Låt f(x) = −2x2 + 20x − 32. Bestäm
a) f(1)
b) funktionens nollställen
c) ekvationen för grafens symmetrilinje
d) koordinaterna för grafens extrempunkt
e) funktionens största värde
10 Skissa grafen till andragradsfunktionen i föregående uppgift.
11 Henrik gör ett simhopp från tremeterssvikten.
Hans höjd över vattnet h meter efter t sekunder ges av h(t) = −6t2 + 6t + 3.
a) Bestäm h(0,2) och tolka ditt svar.
b) Lös ekvationen h(t) = 3 och tolka ditt svar.
c) Efter hur många sekunder når Henrik sin högsta höjd?
d) Bestäm Henriks högsta höjd.
Andragradsfunktioner 1
1 a) f(2) = 9
b) f(−5) = 30
2 a) f(−2) = −1
b) x1 = −4; x2 = 0
c) x1 = −3; x2 = −1
d) x = −2
e) (−2, −1)
f) Minsta värde: −1
3 a) g(1) = −4
b) x = 3
c) x = 3
d) x = 3
e) (3, 0)
f) Största värde: 0
4 T.ex. y x 1 1 y = f(x)
5 y x 1 1 y = f(x)
6 a) Minimipunkt, eftersom koefficienten framför x2-termen är positiv (+2)
b) Maximipunkt, eftersom koefficienten framför x2-termen är negativ (−1)
c) Maximipunkt
d) Minimipunkt
7 a) f(0) = −12
b) x1 = −6; x2 = 2
c) x = −2
(Symmetrilinjen ligger mittemellan funktionens nollställen: x = −6 + 2 2 = −2)
d) (−2, −16)
(Funktionen antar sitt minsta värde för x = −2. Insättning ger f(−2) = −16)
8 y x 4 1 y = f(x)
9 a) f(1) = −14
b) x1 = 2; x2 = 8
c) x = 5
(Symmetrilinjen ligger mittemellan funktionens nollställen.)
d) (5, 18)
e) Största värde: 18
10 y x 8 1 y = f(x)
11 a) h(0,2) = 3,96
Efter 0,2 sekunder befinner sig Henrik på ca 4 meters höjd.
b) t1 = 0; t2 = 1
Henrik befinner sig på höjden 3 meter vid starten (efter 0 sekunder) och efter 1 sekund.
c) Efter 0,5 sekunder.
(Symmetrilinjen: t = 0,5)
d) 4,5 meter
(h(0,5) = 4,5)
Triangelsatser
Triangelsatser
Topptriangelsatsen
Varje topptriangel som bildas av en parallelltransversal är likformig med hela triangeln. ΔADE ~ ΔABC
Topptriangelsatsen
En parallelltransversal delar två sidor i en triangel enligt samma förhållande. a b = c d eller b a = d c
1 I figuren är DE parallell med BC. Enligt topptriangelsatsen är topptriangeln ADE likformig med hela triangeln ABC. A
a) Bestäm längden av sträckan x.
b) Bestäm längden av sträckan AC
2 I figuren är sträckan MN parallell med sträckan BC. (cm) 10 3,8 6,7 63° A B C M N x 80°
a) Motivera att triangeln AMN är likformig med triangeln ABC.
b) Bestäm längden av sträckan x.
c) Bestäm ∧AMN
3 I figuren är DE en parallelltransversal. A B C D E x (cm) 6,3 6,9 1,4
Bestäm längden av sträckan x
4 Din kompis Hedvig vill använda topptriangelsatsen för att beräkna sträckan y i figuren här nedanför. Förklara för Hedvig varför det inte går.
B C M N y (cm) 4,0 3,9 9,0
5 I den rätvinkliga triangeln ABC här nedanför är sträckan MN en parallelltransversal.
C M N y x (cm) 12,0 2,5 6,5 10,83
a) Bestäm längden av sträckan x på två sätt.
b) Bestäm längden av sträckan y på två sätt.
c) Kan man bestämma längden av sträckan y med hjälp av transversalsatsen? Motivera ditt svar.
Triangelsatser
Tips
5 Fundera på om du kan använda topptriangelsatsen, transversalsatsen eller kanske Pythagoras sats.
Svar
1 a) x = 6 cm
b) AC = 9,4 cm
2 a) Triangeln AMN är likformig med triangel ABC enligt topptriangelsatsen.
b) x ≈ 2,5 cm (2,546)
c) 63°
3 x = 1,5 cm (1,533…)
4 Hedvig kan inte använda topptriangelsatsen eftersom transversalen MN inte är en parallelltransversal; den är inte parallell med någon av triangelns sidor.
5 a) x ≈ 4,2 cm
Lösning:
1) Transversalsatsen ger ekvationen x 10,83 = 2,5 6,5
2) Enligt topptriangelsatsen är triangeln BMN likformig med hela triangeln. Likformighet ger ekvationen:
1) Enligt topptriangelsatsen är triangeln BMN likformig med hela triangeln. Likformighet ger ekvationen:
6,5 9 = y 12
2) Pythagoras sats ger ekvationen: 6,52 + y2 = 10,832
c) Nej, transversalsatsen säger att BM AM = BN NC . Den säger ingenting om sträckorna MN respektive AC i triangeln.
Gruppuppgift: Ekvationssystem
Syfte och centralt innehåll
Den här aktiviteten består av ett antal gruppuppgifter som alla kan lösas med hjälp av ett ekvationssystem. Varje elev i respektive grupp får en lapp med information, som kan bidra till lösningen av problemet. Elevernas lösningar kan sedan redovisas i helklass eller i tvärgrupper.
Genomförande
Förbered aktiviteten genom att välja ut vilken eller vilka uppgifter som du vill att eleverna ska arbeta med. Det finns tre gruppuppgifter att välja bland: Vad kostar resan?, Blanda te och En påse nötter. De två senare uppgifterna leder till ekvationssystem med tre obekanta. Till var och en av uppgifterna finns sex lappar med nödvändig information och två (valfria) lappar med överflödig information. Lapparna med överflödig information erbjuder möjligheten att göra uppgiften något svårare. Då tvingas eleverna att själva plocka ut den information som är relevant för att lösa problemet. (Se mer under rubriken Utvidgning och variation.) Klipp ut lapparna och problemformuleringen till respektive grupp.
Dela in eleverna i grupper. För att alla elever ska vara aktiva i problemlösningen kan det vara en god idé att hålla nere elevantalet i grupperna. Tre elever per grupp kan vara lagom. Dela ut lapparna med information så att varje elev i gruppen får två (eller ev. tre) lappar var. Problemformuleringen blir en egen lapp. Varje elev redogör muntligt för vad som står på hans eller hennes lappar och gruppen utnyttjar informationen för att tillsammans försöka lösa det givna problemet. Elevernas lösningar kan lämnas in, redovisas i helklass eller presenteras i tvärgrupper.
Lösning
Vad kostar resan?
Om v betecknar priset för en vuxen och b betecknar priset för ett barn, så får vi ekvationssystemet:
{ 0,75(v + b) = 9,30 ∙ 660
2v + 3b = 18 312
som har lösningen b = 1 944 och v = 6 240.
Svar: Resan kostar 1 944 kr för ett barn och
6 240 kr för en vuxen.
Blanda te
Om a, b och c betecknar vikten av de tre tesorterna mätt i kg, så får vi ekvationssystemet:
{ a + b + c = 0,5
155a + 130b + 190c = 75,50
b = c + 0,1
som har lösningen: a = 0,3, b = 0,15 och
c = 0,05.
Svar: Presentförpackningen ska innehålla 0,3 kg av sort A, 0,15 kg av sort B och 0,05 kg av sort C.
En påse nötter
Om s betecknar vikten av sötmandeln, j betecknar vikten av jordnötterna och c betecknar vikten av cashewnötterna mätt i gram, så får vi ekvationssystemet:
{ s + j + c = 175
0,2s + 0,25j + 0,15c = 30
s = 2j
som har lösningen: s = 37,5, j = 18,75 och c = 118,75.
Svar: Nötblandningen ska innehålla 37,5 g sötmandel, 18,75 g jordnötter och 118,75 g cashewnötter.
Gruppuppgift: Ekvationssystem
Utvidgning och variation
Det finns tre olika gruppuppgifter att välja bland: Vad kostar resan?, Blanda te och En påse nötter. Välj om du vill att alla elevgrupper ska arbeta med samma problem eller om du vill dela ut olika problem till olika grupper.
Eleverna kan få redovisa lösningarna i helklass eller i tvärgrupper. Väljer du att låta eleverna redovisa för varandra i tvärgrupper, är det den ursprungliga gruppens ansvar att alla förstår lösningen så bra att de senare kan redovisa den för andra.
Längst ner på varje uppgiftsblad finns två rutor med information som inte behövs för att lösa uppgiften. Om man vill kan man dela ut även dessa lappar till eleverna. På så sätt behöver eleverna fundera över vilken information som de behöver för att lösa uppgiften.
En annan variant är att inte dela ut alla de sex lappar som eleverna behöver för att kunna lösa problemet. Då får eleverna fundera på vilken information de saknar och fråga efter ytterligare information eller göra egna antaganden.
Gruppuppgift: Ekvationssystem
Vad kostar resan?
Vad kostar resan till Kanarieöarna för en vuxen och vad kostar den för ett barn?
Familjen Davidson köper en resa till Kanarieöarna från resebyrån Reseguiden till ordinarie pris och betalar 18 312 kronor.
Lisa och Maria köper en ”sista-minutenresa” till Kanarieöarna från resebyrån Reseguiden och får 25 % rabatt på ordinarie pris.
Familjen Davidsson består av mamma, pappa och tre barn.
Lisa och Maria betalar tillsammans 660 euro.
Lisa är 32 år och Maria är 5 år.
Överflödig information:
Pappan i familjen Davidsson tjänar 28 000 kronor per månad.
En euro är värd 9,30 kronor.
Lisa betalar 30 % skatt på sin lön.
Samband i cirklar 1
Materiel: Gradskiva
u Dra radierna AM och MB. Vinkeln AMB är medelpunktsvinkel till cirkelbågen AB. Mät storleken av ∧AMB
u Dra sträckorna AC och BC. Vinkeln ACB är randvinkel till cirkelbågen AB. Mät storleken av ∧ACB .
u Vilket samband verkar finnas mellan randvinkeln ACB och medelpunktsvinkeln AMB?
u Sätt ut två punkter D och E någonstans på den övre cirkelbågen mellan punkterna A och B. Vinklarna ADB och AEB är randvinklar till cirkelbågen AB. Vilket samband verkar finnas mellan randvinklarna ADB, AEB och ACB? Formulera en slutsats.
u I cirkeln här nedanför har vi ritat ut diametern AB. Hur stor är medelpunktsvinkeln AMB?
u Sätt ut en punkt C någonstans på cirkeln och mät randvinkeln ACB. Stämmer resultatet med dina tidigare slutsatser?
Samband i cirklar 1
u Sätt ut fyra punkter A, B, C och D på cirkeln här nedanför. Sammanbind punkterna så att det bildas en fyrhörning. Mät vinklarna A och B och vinklarna C och D. Beräkna summan av de motstående vinklarna. Vad finner du?
Logaritmmemory
Syfte och centralt innehåll
Den här aktiviteten syftar till att befästa logaritmbegreppet. Eleverna får ett antal lappar med matematiska uttryck och ska para ihop de lappar som hör ihop. Två lappar hör ihop om talen på lapparna har samma värde eller om uttrycken på lapparna är ekvivalenta. När en elev hittar ett par av lappar som hör ihop, ska han eller hon motivera sitt val för de andra i gruppen. På det sättet tränas både begrepps- och kommunikationsförmågan.
Materiel
Aktivitetsstencil Logaritmmemory 1, 2, 3 eller 4; sax
Genomförande
Dela in klassen i grupper om 2–4 elever och dela ut någon av stencilerna Logaritmmemory 1, 2, 3 eller 4. Samtliga stenciler behandlar tiologaritmer men har lite olika inriktning och svårighetsgrad (se Variation och utvidgning). Uppmana eleverna att klippa ut lapparna och att sprida ut dem på bordet med framsidan uppåt, så att de ser vad som står på dem. Eleverna turas sedan om att försöka hitta lappar som hör ihop. Två lappar hör ihop om talen på lapparna har samma värde eller om uttrycken på lapparna är ekvivalenta. När en elev hittar ett par av lappar som hör ihop ska hon motivera sitt val för de andra i gruppen. Om de övriga eleverna godtar motiveringen får eleven ta de två lapparna och räkna dem som ett ”par”.
Sedan går turen över till nästa elev. Aktiviteten fortsätter tills alla lapparna har parats ihop, och den elev vinner som har samlat ihop flest ”par”.
Om en elev inte kan hitta två lappar som hör ihop säger eleven pass och turen går över. Vill man kunna använda spelet flera gånger kan det vara en god idé att plasta in lapparna.
Utvidgning och variation
u Ett sätt att variera svårighetsgraden i aktiviteten är att välja bland de fyra varianter av logaritmmemory som finns tillgängliga.
• Logaritmmemory 1 övar elevernas grundläggande förståelse för definitionen av tiologaritm.
• Logaritmmemory 2 övar elevernas förståelse för logaritmlagarna.
• Logaritmmemory 3 övar elevernas förståelse för både logaritmbegreppet och logaritmlagarna och är mer utmanande än de två tidigare versionerna. I den här versionen är det tre eller fyra lappar som hör ihop, i stället för bara två.
• Logaritmmemory 4 övar elevernas förståelse för tiologaritmer och deras taluppfattning. Här får eleverna uppskatta storleken av tiologaritmer.
u Man kan spela det här spelet som ett riktigt memory, dvs. lägga lapparna upp och ner och låta eleverna vända på två lappar i taget och avgöra om de hör ihop. Då tar aktiviteten något längre tid.
Lösning
Logaritmmemory 1 lg 1000 och 3 lg 10 och 1 lg 1 och 0 lg 100 och 2
lg 0,1 och −1 lg 0,01 och −2 lg 100,6 och 0,6 lg 10−3 och −3
lg 0,0001 och −4 lg 100 000 och 5 10lg 12 och 12 102 och 100 10−4 och 0,0001 10lg 4,5 och 4,5 10lg a och a lg 0 och Ej definierat 107 och 10 000 000 7 och 10lg 7
Logaritmmemory 2
lg 20 + lg 5 och lg 100 lg 2 500 − lg 2,5 och lg 1 000 lg 8 och lg 24 − lg 3 2 lg 3 och lg 9 0,5 och lg √10 lg a = 0 och a = 1 lg 125 och 3 lg 5 4 lg a och lg a4 , a > 0 8 lg a och lg a7 + lg a 5 och lg (1 000 ∙ 100) lg a = 2,1 och a = 102,1 a = 100 och lg a = 2
lg a = 4 och a = 10 000 lg 1 000 ∙ lg 100 och 6
Logaritmmemory
Logaritmmemory 3
lg 25 + lg 4 och
lg 100 och 2 lg 1 000 lg 100 och lg 10√10 och 3 2 lg √10 och 1 2 och lg 10 2 lg 3 000 − lg 3 och 3 och lg 1 000
lg x + lg x och
lg x2 , x > 0 och
2 lg x lg 64 och 2 lg 4 + lg 4 och 2 lg 8 10lg 15 och 10lg 3 + lg 5 och 15 lg 1 √10 och −0,5 och lg 10−0,5
−lg 4 och
lg 0,25 och
lg 2−2 och
lg 25 − 2
Logaritmmemory 4
lg 9 och ≈ 0,95 lg 100 och 2 lg 5 000 och ≈ 3,70 lg 0,01 och −2
lg (−5) och Ej definierat lg 0,1 och −1 lg 10 och 1 lg 900 och ≈ 2,95
lg 88 och 1,94 lg 5 och ≈ 0,70 lg 500 och ≈ 2,70 lg 1 och 0
lg 1 050 och ≈ 3,02 lg 0,000 003 och ≈ −5,52
Att lyfta fram
u I Logaritmmemory 1 kan man lyfta till diskussion vad det innebär att lg 0 inte är definierat. Man kan också kontrastera lapparna 102, 100, lg 100 och 2 mot varandra.
u I Logaritmmemory 2 och 3 förekommer lappar som lg a2 , a > 0. Den lappen ska paras ihop med 2 ∙ lg a. De två uttrycken är bara ekvivalenta om a > 0. Om man vill kan man diskutera med eleverna varför vi lagt till villkoret a > 0 i dessa fall och på så sätt uppmärksamma eleverna på vilka villkor som måste vara uppfyllda för att logaritmlagarna ska gälla.
u I Logaritmmemory 3 kan man lyfta fram att −lg x = lg x −1 = lg 1 x . Det kommer till användning när eleverna ska tolka −lg 4. Man kan också be eleverna att visa hur man kan beräkna 10lg 3 + lg 5 genom att använda potenslagarna. En annan utmanande uppgift i detta memory är att förklara varför lg 25 − 2 = lg 0,25. Så här kan en härledning se ut: lg 25 − 2 = lg 25 − lg 100 = lg 25 100 = lg 0,25.
u I Logaritmmemory 4 finns mycket utrymme till diskussion. Här behöver eleverna utnyttja jämförelsepunkter som lg 0,1 = −1, lg 100 = 2, lg 1 000 = 3 osv. för att uppskatta storleken av tiologaritmer. Några elever märker kanske att lg 5, lg 500 och lg 5 000 respektive lg 9 och lg 900 har samma slutsiffror och att differensen mellan dem är heltal. Utmana gärna eleverna att motivera detta samband, t.ex. med hjälp av logaritmlagarna.
Logaritmmemory 1
Para ihop de lappar som har samma värde, eller där uttrycken som står på lapparna är ekvivalenta.
