Attila Szabo
Niclas Larson
Daniel Dufåker
Roger Fermsjö
Innehåll
1
Räta linjer och
ekvationssystem 6
1.1 Räta linjens ekvation 8
Räta linjens ekvation i k-form 8
Räta linjens ekvation i allmän form 13
1.2 Ekvationssystem 17
Grafisk lösning av linjära ekvationssystem 17
Substitutionsmetoden 23 Additionsmetoden 29
Problemlösning med hjälp av ekvationssystem 34
Historia: Att lösa ekvationssystem 37 Uppslaget 38
40
Blandade uppgifter 41 Kapiteltest 44
2 Algebra och andragradsekvationer
46
2.1 Algebraiska uttryck 48
Multiplicera och faktorisera algebraiska uttryck 48
Kvadreringsreglerna och konjugatregeln 53
Faktorisering av uttryck 57
2.2 Enkla andragradsekvationer ............ 60
Ekvationer av typen x2 = a 60
Att lösa andragradsekvationer med faktorisering 63
2.3 Fullständiga andragradsekvationer 66
Kvadratkomplettering 66
Lösningsformel för andragradsekvationer 70
Antal lösningar till en andragradsekvation 75
Problemlösning med andragradsekvationer 77
Rotekvationer 81
Programmering: Viètes samband 84
Historia: Ekvationer av högre grad 85 Uppslaget 86
3 Andragradsfunktioner 94
3.1 Andragradsfunktioner 96
Funktioner 96 Grafen till en andragradsfunktion 101
Andragradsekvationer och andragradsfunktioner 108
Andragradsfunktioner och kvadratkomplettering 114
Andragradsfunktioner och modellering 117
3.2 Andragradsfunktioner och grafritande hjälpmedel 125
Andragradsekvationer och olikheter 125
Problemlösning med grafritande hjälpmedel 130 Uppslaget 136
Räknehjälpmedel 138
Geometri och bevis 148
4.1 Matematisk bevisföring 150
Olika slags vinklar 150 Vinklar i trianglar och månghörningar 154 Implikation och ekvivalens 158
Satser och bevis 163 Pythagoras sats 169
Koordinatgeometri 172
4.2 Klassiska satser om trianglar 175
Likformiga månghörningar 175
Likformiga trianglar 177 Topptriangelsatsen, transversalsatsen och bisektrissatsen 181
Satser om kongruens 186
4.3 Klassiska satser om cirkeln 191
Satser om vinklar i cirkeln 191 Kordasatsen och vinklar i inskrivna fyrhörningar 197
Programmering: Avstånd ..............
5 Logaritmer
5.1 Exponentialekvationer
Exponential- och potensekvationer 216
Tiologaritmer 222
Exponentialekvationer och tiologaritmer 227
5.2 Logaritmlagar ............................ 231
Räkneregler för logaritmer 231
Tillämpningar av logaritmer 235
Logaritmer med andra baser 239
6.1 Sammanställa och bearbeta
Lägesmått 256 Spridningsmått 261
Statistik med digitala verktyg 267
Standardavvikelse 272 Normalfördelning 277
6.2 Statistiska samband
Linjär regression 285 Olika regressionsmodeller
1
Räta linjer och ekvationssystem
Delkapitel
1.1 Räta linjens ekvation
1.2 Ekvationssystem
Förkunskaper
■ Ekvationslösning
■ Räta linjens ekvation
■ Begreppet linjärt ekvationssystem. Metoder för att lösa linjära ekvationssystem. Centralt innehåll
Ibland kommer rapporter om att en asteroid riskerar att kollidera med jorden. Forskare kan finna modeller för jordens och asteroidens rörelsebanor genom att beskriva dem med ekvationer. Varje punkt i respektive bana är en lösning till den ekvationen och om det finns någon punkt som löser båda ekvationerna, skär banorna varandra i den punkten. Om banorna dessutom skär varandra vid samma tidpunkt är katastrofen ett faktum.
Att hitta en gemensam lösning till två ekvationer kallas att lösa ett ekvationssystem. Ett exempel från vardagen kan uppkomma vid val av elavtal. Ett sätt att jämföra två olika avtal är att ställa upp ekvationer som beskriver kostnaden vid förbrukning av ett visst antal kilowattimmar. För att se vid vilken förbrukning de båda avtalen ger samma kostnad, kan man lösa ekvationssystemet där de tillhörande ekvationerna ingår och därefter avgöra vilket avtal som är bäst.
När du är klar med kapitlet ska du kunna u bestämma en rät linjes ekvation i k-form och i allmän form u lösa ekvationssystem med grafiska och algebraiska metoder u lösa problem med hjälp av ekvationssystem
Att hyra bil
Ekvationerna y = 15x + 300 och y = 11x + 400 beskriver kostnaden att hyra en bil i ett dygn hos biluthyrarna Alfa respektive Beta. Den totala kostnaden y kr beror i båda fallen av antalet körda mil x.
u Vilken av biluthyrarna Alfa eller Beta bör man välja om man ska köra ca 15 mil på ett dygn?
u Vilken av biluthyrarna Alfa eller Beta bör man välja om man ska köra ca 40 mil på ett dygn?
u Red ut för vilka körsträckor per dygn som de olika biluthyrarna är billigast.
Nog med information?
Miriam och Samuel är syskon. Vilken information behöver du som minst känna till för att kunna avgöra hur gamla de är? Välj bland påståendena här nedanför.
A Miriam och Samuel är tillsammans 21 år.
B Miriam är sju år äldre än Samuel.
C Samuel är sju år yngre än Miriam.
D Miriam är dubbelt så gammal som Samuel.
1.1 Räta linjens ekvation
Räta linjens ekvation i k-form
Räta linjer behandlade vi utförligt redan i Matematik nivå 1c. Vi visade då att varje ekvation i formen y = kx + m motsvarar en rät linje i ett koordinatsystem. Ett exempel på en sådan ekvation är y = 3x + 4, där k = 3 och m = 4.
När x = 0 är y = k ∙ 0 + m = m
Från ekvation till graf Om vi vill rita linjen y = 3x + 4 i ett koordinatsystem, räcker det att vi känner till två punkter på linjen. Sätter vi in x = 0 i ekvationen, får vi y = 3 ∙ 0 + 4 = 4
Linjens konstantterm m anger alltså alltid skärningen med y-axeln.
Linjen skär alltså y-axeln vid y = 4, dvs. i punkten med koordinaterna (0, 4).
För att bestämma ytterligare en punkt som ligger på linjen väljer vi ett annat x-värde än 0 och räknar ut motsvarande y-värde. För x = 2 får vi y = 3 ∙ 2 + 4 = 10
Linjen går alltså även genom punkten med koordinaterna (2, 10).
Talparen (0, 4) och (2, 10) utgör alltså var sin lösning till ekvationen y = 3x + 4. Vi markerar punkterna med koordinaterna (0, 4) och (2, 10) i ett koordinatsystem och drar en rät linje genom dem. Den räta linjen består av oändligt många talpar (x, y), som alla är lösningar till ekvationen y = 3x + 4.
Från graf till ekvation Om vi i stället har en rät linje i ett koordinatsystem och vill bestämma linjens ekvation, kan vi börja med att markera två punkter på linjen. I exemplet till höger väljer vi (x1, y1) = (3, 5) och (x2 , y2) = (9, 1).
Med hjälp av punkternas koordinater bestämmer vi linjens riktningskoefficient, k. k
3 Om x-värdet ökar med 3, så minskar y-värdet med 2
I grafen kan vi avläsa att den räta linjen skär y-axeln i punkten med koordinaterna (0, 7). Det ger att m = 7. Ekvationen för den räta linjen blir alltså y = − 2 3 x + 7
k-form Ekvationerna y = 3x + 4 och y = − 2 3 x + 7 är skrivna i formen y = kx + m, så kallad k-form. Det är ett vanligt sätt att ange ekvationen för en linje.
Räta linjens ekvation i k-form
u Ekvationen y = kx + m, där k och m är konstanter, kallas räta linjens ekvation i k-form.
u Riktningskoefficienten k anger linjens lutning (riktning) i förhållande till x-axeln. Värdet av m anger y-koordinaten för linjens skärningspunkt med y-axeln.
u Riktningskoefficienten för en linje genom två olika punkter med koordinaterna (x1, y1) och (x2, y2) är
Exempel: I figuren är en rät linje ritad. Bestäm linjens ekvation.
Lösning: Linjen skär y-axeln för y = 5. Det ger att m = 5 i ekvationen y = kx + m
Vi bestämmer riktningskoefficienten k genom att välja två punkter på linjen, t.ex. skärningspunkten med y-axeln (0, 5) och punkten med koordinaterna (3, −1), och beräkna
k = ∆y ∆x = y2 − y1
= −2
Svar: Ekvationen för linjen är y = −2x + 5.
Exempel: Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna med koordinaterna (1; 3,5) och (4; 12,5).
Lösning: Linjen går genom punkterna (1; 3,5) och (4; 12,5). Vi använder punkternas koordinater för att bestämma linjens riktningskoefficient.
k = ∆y ∆x = y2 − y1 x2 − x1 = 12,5 − 3,5 4 − 1 = 9 3 = 3
Vi sätter in värdet på riktningskoefficienten tillsammans med koordinaterna för en av de givna punkterna i räta linjens ekvation.
3,5 = 3 ∙ 1 + m
m = 3,5 − 3 = 0,5
Vi sätter in koordinaterna x = 1 och y = 3,5
Svar: Ekvationen för den räta linjen är y = 3x + 0,5.
Exempel: Rita linjen y = − 4 3 x − 1 i ett koordinatsystem.
Lösning: Metod 1: Utan värdetabell
Av ekvationen ser vi att m = −1. Alltså skär linjen y-axeln i punkten med koordinaterna (0, −1).
Vi markerar den punkten i koordinatsystemet.
Riktningskoefficienten ges av
Nivå 1
1101 I koordinatsystemet är en rät linje ritad.
Den räta linjen kan beskrivas
med en ekvation i formen y = kx + m.
a) Bestäm värdet av konstanten m
b) Bestäm riktningskoefficienten k.
c) Ange linjens ekvation.
Det betyder att om vi utgår från (0, −1) och tar tre steg åt höger i x-led (∆x = 3), så behöver vi gå fyra steg nedåt (∆y = −4) för att åter nå en punkt på linjen. Vi markerar den punkten. Nu kan vi rita den räta linjen med hjälp av de två punkterna.
Metod 2: Med värdetabell
Vi gör en värdetabell:
= 0 ger y = − 4
=
− 1 = −1
Vi markerar punkterna i ett koordinatsystem och drar en rät linje genom dem.
1102 Bestäm ekvationen för den räta linjen. a) y x 1
b) y x
1103 Rita följande linjer för hand i ett koordinatsystem.
a) y = x + 2
b) y = −2x + 3
c) y = 1 2 x − 3
1104 Ge exempel på ett talpar x och y som är en lösning till ekvationen y = 3x − 4.
1105 Ligger punkten med koordinaterna (−2, 6) på den räta linje som beskrivs av ekvationen y = −3x + 1?
1106 En rät linje med riktningskoefficienten k = 3 går genom punkten med koordinaterna (1, 4). Bestäm linjens ekvation.
1107 Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna med koordinaterna a) (1, 3) och (3, 7) b) (−1, −2) och (1, 3)
1108 Den räta linjen y = x 2 + 3 går genom punkten med koordinaterna (2, 4). Ange ekvationen för en annan rät linje som går genom samma punkt.
1109 Punkten med koordinaterna (2, b) ligger på linjen med ekvationen y = 2x + 7. Bestäm b.
1110 Vi har ekvationen y = −2x + 5.
a) Bestäm det värde på x som löser ekvationen om y = −3.
b) Bestäm ytterligare en lösning till ekvationen.
1111 Tabellen visar vilken skostorlek som passar respektive fotlängd.
Fotlängd (cm) Skostorlek
22,8 36
23,6 37
24,4 38
25,2 39
26,0 40
26,8 41
27,6 42
a) Ange en ekvation y = kx + m som beskriver hur skostorleken y beror av fotlängden x cm.
b) Använd din ekvation och bestäm skostorleken för en person som fotlängden 20,4 cm.
c) Använd din ekvation och bestäm fotlängden för en person som har storlek 47.
1112 Givet ekvationen y + 2 3 x = 6
a) Bestäm värdet på x som löser ekvationen om y = 1 4
b) Bestäm ytterligare en lösning till ekvationen där ett av talen är ett bråk.
1113 En ekvation i formen y = kx + m har en lösning x = 3 och y = −2.
a) Bestäm en ekvation som har dessa värden som en lösning.
b) Bestäm ytterligare en ekvation som har dessa värden som en lösning.
1114 Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna med koordinaterna
a) (−2, −1) och (1, −2)
b) (1; 2,5) och (5; 6,5)
c) ( 1, 1 3 ) och ( 4, 1 2 )
Problemlösning med grafritande hjälpmedel
En nyårsrakets höjd över marken kan beskrivas med funktionsuttrycket
h(t) = −4,9t2 + 23t + 0,3
där h(t) är höjden i meter t sekunder efter att raketen skjutits upp. För att bestämma raketens högsta höjd över marken ritar vi grafen till funktionen i GeoGebra.
Bestämma extrempunkt Vi skriver sedan Extrempunkt(h) i inmatningsfältet för att bestämma funktionens största värde.
Du kan också välja verktyget Extrempunkt
Extrempunktens koordinater är ca (2,3; 27). Vi tolkar detta som att raketen når sin högsta höjd, 27 m, efter 2,3 sekunder.
Välj metod Om det krävs en exakt lösning på ett matematiskt problem bör man lösa det algebraiskt, t.ex. med någon av de metoder som du fick lära dig i förra delkapitlet. För praktiska problem räcker det oftast med ett närmevärde. Då kan man nöja sig med en numerisk lösning från sitt grafritande hjälpmedel.
Exempel: Låt f(x) = −0,5x2 − x + 2. Bestäm symmetrilinjens ekvation samt koordinaterna för extrempunkten och extrempunktens karaktär.
Du kan också skriva Extrempunkt(f) direkt i inmatningsfältet
Lösning: Vi ritar grafen till f(x) = −0,5x2 − x + 2 i GeoGebra. Vi väljer verktyget Extrempunkt och klickar på grafen till funktionen. Då markeras extrempunkten i grafen och koordinaterna visas i algebrafönstret.
Vi ser att extrempunktens koordinater är (−1; 2,5). Av grafens form framgår att det är en maximipunkt. Eftersom extrempunkten ligger på symmetrilinjen är symmetrilinjens ekvation x = −1.
Svar: Symmetrilinjens ekvation är x = −1. Koordinaterna för extrempunkten är (−1; 2,5) och det är en maximipunkt.
Exempel: Höjden för nyårsraketen på föregående sida beskrivs med funktionsuttrycket h(t) = 4,9t2 + 23t + 0,3, där h(t) är höjden i meter t sekunder efter att raketen skjutits upp. Hur länge befinner sig raketen på minst 15 meters höjd över marken?
Lösning: Vi ritar grafen till funktionen h(t) = −4,9t2 + 23t + 0,3 i GeoGebra. Vi ritar även in linjen y = 15.
Vi bestämmer skärningspunkterna mellan andragradskurvan och linjen med verktyget Skärning mellan objekt och får t1 ≈ 0,76 och t2 ≈ 3,93 t2 − t1 ≈ 3,93 − 0,76 = 3,17 ≈ 3,2
Svar: Nyårsraketen befinner sig på minst 15 meters höjd under ca 3,2 sekunder.
Exempel: En av bågarna på Sydney Harbour Bridge kan enligt en matematisk modell beskrivas med funktionen
f(x) = −0,001834x2 + 0,9225x
där x är avståndet i meter från den vänstra bropelaren och f(x) är bågens höjd i meter över vattnet.
a) Hur högt över vattnet är bågens högsta punkt enligt modellen?
b) Hur långt är det mellan bropelarna enligt modellen?
Lösning: a) Vi ritar grafen till f(x) = −0,001834x2 + 0,9225x i GeoGebra och skriver sedan Extrempunkt(f) i inmatningsfältet.
Du kan också välja verktyget och klicka på grafen
I detta exempel har vi valt att ändra inställningen till tre decimalers noggrannhet
Funktionens största värde är ca 116 m, vilket motsvarar bågens höjd över vattenytan.
Svar: Bågens höjd över vattnet är cirka 116 meter.
b) Differensen mellan nollställena motsvarar avståndet mellan bropelarna. Vi bestämmer därför funktionens nollställen med hjälp av verktyget
Rot(f) och får resultatet (0, 0) och ca (503, 0). Nollställena är alltså x = 0 och x = 503.
Svar: Avståndet mellan bropelarna är cirka 503 meter.
Lös uppgifterna med grafritande hjälpmedel.
Nivå 1
3219 Ange koordinaterna för grafens extrempunkt.
a) f(x) = 2x2 − 11x − 21
b) g(x) = −(3x − 2)(7x + 11)
3220 Låt f(x) = x2 + 2x − 3.
a) Bestäm funktionens nollställen.
b) Ange symmetrilinjens ekvation.
c) Bestäm funktionens största eller minsta värde.
3221 Låt f(x) = −x2 + 2x − 249 250
a) Bestäm funktionens största eller minsta värde. Svara med tre decimaler.
b) Ange symmetrilinjens ekvation .
c) Bestäm funktionens nollställen. Svara med tre decimaler.
3222 Diskuskastaren Ricky får i väg en diskus som befinner sig h(s) meter över marken, då den flugit s meter horisontellt. Diskusen bana kan förenklat beskrivas av funktionen
h(s) = −0,01s2 + 0,52s + 1,94
a) Rita funktionens graf.
b) Hur högt över marken når diskusen som högst?
c) Hur långt blev kastet?
3224 Vid ett växtodlingsförsök undersökte man avkastningen av korn som funktion av mängden kväve som tillfördes på en försöksyta. Den funktion f man fann kunde skrivas
f(x) = 3 270 + 18,9x − 0,058x2
där f(x) är avkastningen av korn i ton och x är tillsatsen av kväve i kg. Hur stor var den maximala avkastningen?
3225 Martin ska tillverka och sälja fågelholkar. Han vet att försäljningspriset påverkar hur många holkar han kan sälja och därmed också vinsten. För att kunna sätta ett rimligt pris använder han en funktion V för att beskriva vinsten:
V(x) = 70x − 0,25x2 − 3 150
där x är priset per holk och V(x) kr är den vinst han kan beräknas göra om han kan sälja alla holkar han tillverkar.
a) Vilket pris ska han sätta på holkarna för att få maximal vinst?
b) Hur stor blir den maximala vinsten?
3226 En traktors bränsleförbrukning beror bland annat på traktorns hastighet.
Under vissa förhållanden kan en traktors bränsleförbrukning beskrivas med modellen
B(v) = 0,0010v2 − 0,040v + 0,92 v > 0
3223 Kristina har forskat på hur ett visst ämne bryts ner i laboratoriemiljö. Hon fann att nedbrytningen enligt en enkel modell kan beskrivas med
y = 10 − 2x + 0,1x2
där y är massan av ämnet i gram och x är antalet månader efter försökets start.
a) Rita funktionens graf.
b) Hur länge dröjde det enligt modellen innan ämnet var helt nedbrutet?
där B (liter/km) är bränsleförbrukningen och v (km/h) är traktorns hastighet.
a) Beräkna traktorns bränsleförbrukning vid hastigheten 10 km/h.
b) Bestäm den lägsta bränsleförbrukning traktorn kan ha enligt modellen.
(Np ma2c ht 2013)
3227 Sandöbron är en bro över Ångermanälven.
Bron byggdes 1943 och var fram till 1964 världens största betongbro med endast ett brospann.
Brospann y x
Ångermanälvens bredd
Formen på brospannet kan beskrivas med andragradsfunktionen h där
h(x) = −0,0023x2 + 40
h(x) är höjden i meter över vattnet.
x är avståndet i meter längs vattenytan från mitten av bron.
a) Hur högt över vattnet kör bilarna när de passerar brons högsta punkt?
b) Beräkna bredden på Ångermanälven under bron.
(Np ma2c ht 2012)
3228 Låt f(x) = x2 − 3,2x + 12 . Funktionen f är definierad i intervallet −3,5 ≤ x ≤ 12. Bestäm funktionens största värde.
3229 Ett företags vinst, y miljoner kronor, varierar med antalet sålda enheter av en produkt. Om företaget säljer x tusen enheter ges vinsten av
y = −0,05x2 + 0,55x − 0,5 för 0 ≤ x ≤ 11
a) Bestäm extrempunktens koordinater och tolka ditt svar.
b) Ange funktionens värdemängd.
3230 En bils bensinförbrukning B(v) liter/mil, beror på hastigheten v km/h enligt
B(v) = 1,5 v 50 + v2 8 000 för 70 ≤ v ≤ 180
a) Vid vilken hastighet förbrukar bilen 1,0 liter/mil?
b) Vid vilken hastighet förbrukar bilen minst bensin?
c) Mellan vilka värden varierar bensinförbrukningen?
3231 Antalet sumatraelefanter har minskat i antal de senaste 75 åren. År 2020 beräknades beståndet vara bara 2 600 individer. Två forskare har beskrivit elefantbeståndet med var sin matematisk modell , där P(t) är antalet elefanter t år efter 1945.
Modell 1: P(t) = 0,1t2 − 200t + 17 000
Modell 2: P(t) = 17 000 − 200t
a) Beskriv två likheter mellan de båda modellerna.
b) Båda modellerna har begränsningar. Ge exempel.
3232 Åsa vill göra ett inhägnat trädgårdsland mot en betongmur. Landet ska vara rektangulärt och Åsa har ett 16 meter långt staket att sätta upp. Hur stor kan arean bli maximalt?
Nivå 3
3233 En kula skjuts uppåt från en 80 meter hög byggnad. Kulan når maxhöjden 144 meter efter 2 sekunder. Under hur många sekunder befinner sig kulan över 130 meter?
3234 Ragnar ska kasta in en fil till Sickan, som är på andra sidan av en 5 meter hög mur. Ragnars bästa kast beskrivs av modellen
h(s) = 2,0 + 3,3s − 0,75s2
där h meter är kastets höjd efter s meter horisontell rörelse.
a) Bestäm definitionsmängd och värdemängd för Ragnars bästa kast.
b) Hur långt från staketet ska Ragnar stå för att lyckas kasta över filen till Sickan?
3235 Marit ska dela upp ett område i tre lika stora fårhagar enligt figuren. Hon har 1 500 m stängsel att tillgå y y y y x x x x x x
a) Beskriv hagarnas totala area med ett funktionsuttryck i en variabel.
b) Bestäm funktionens definitionsmängd.
c) Bestäm hagarnas maximala totala area.
3236 Kristin ska sälja glass vid stranden. Inköpspriset är 4 kr per glass. Hon räknar med att sälja x stycken glassar per dag, där x beror av försäljningspriset a kr enligt formeln
x = 310 − 12a.
a) Skriv ett funktionsuttryck för hur vinsten V(a) beror av försäljningspriset a.
b) Vilket pris ska Kristin sätta på glassarna för att maximera sin vinst?
Resonemang och begrepp
är maximipunkt och maximivärde samma sak för en andragradsfunktion?
Vilka fördelar finns det med att lösa en ekvation grafiskt respektive algebraiskt?
Nämn två olika sätt att bestämma symmetrilinjens ekvation med ett grafritande hjälpmedel
hur gör man för att grafiskt lösa en olikhet av typen f(x) > g(x)?
Beskriv hur man gör för att bestämma en andragradsfunktions största värde grafiskt respektive algebraiskt.
Programmering
Viètes samband
Francois Viète (1540−1603) var en fransk matematiker och jurist, som bland annat studerade ekvationer. Ett av hans viktigaste bidrag till algebran är de så kallade Viètesambanden.
Viètesambanden
Om x1 och x2 är rötter till ekvationen x2 + px + q = 0, så gäller följande samband:
x1 + x2 = −p och x1 ∙ x2 = q
Om man vill ställa upp en andragradsekvation x2 + px + q = 0 som har rötterna, x1 och x2, så kan man använda Viètesambanden för att bestämma konstanterna p och q
1 Använd Viètes samband för att teckna en andragradsekvation x2 + px + q = 0 med rötterna x1 = 3 och x2 = 4.
Programmet här nedanför är skrivet i Python 3. Det konstruerar en andragradsekvation utifrån dess rötter.
skriver ut text eller värdet på variabler
input
låter användaren mata in text eller tal i ett program
float
anger att den inmatade variabeln är ett decimaltal
for
upprepar en bit kod ett angivet antal gånger if
utför en bit kod endast om ett visst villkor är uppfyllt
print(”Ange ekvationens rötter (x1 och x2).”)
x1 = float(input(“x1:”))
x2 = float(input(“x2:”))
p = −(x1 + x2)
q = x1 * x2
print(”Ett exempel på en ekvation med rötterna x =”,x1,”och x =”,x2,”är x^2 +”,p,”x +”,q,”= 0”)
2 Kontrollera lösningen till uppgift 1 genom att köra programmet.
3 Ändra programmet så att ekvationen skrivs i formen x2 + px = 0 om q = 0 och i formen x2 + q = 0 om p = 0.
4 Testa programmet genom att mata in följande rötter och anteckna de andragradsekvationer som programmet tar fram. Kontrollera att ekvationerna verkligen har de givna rötterna.
a) x1 = 1 och x2 = 2 b) x1 = 1 och x2 = −1 c) x1 = −4 och x2 = 0
5 Ge exempel på tre andra ekvationer i formen ax2 + bx + c = 0, som har rötterna x1 = 1 och x2 = 2.
6 Ändra i programmet så att det ger 10 olika andragradsekvationer ax2 + bx + c = 0 som har de rötter som matas in.
Ekvationer av högre grad
Gerolamo Cardano (1501−1576)
Ferros lösning till tredjegradsekvationen
x3 + px = q:
x = 3√ q 2 + √ q2 4 + p3 27 + + 3√ q 2 − √ q2 4 + p3 27
Évariste Galois (1811−1832)
Lös ekvationen
x3 + 6x = 20 med Ferros lösningsformel. ?
Matematisk duell
I början av 1500-talet arbetade flera italienska matematiker, bl.a. Cardano, Ferro och Tartaglia, med att finna fullständiga lösningar till den allmänna tredjegradsekvationen. De arbetade var för sig och blev ofta oense om vem som upptäckt vad. På den tiden var det viktigt att hålla sina resultat hemliga, för att sedan kunna trumfa med dem i rätt ögonblick.
Ferro var den förste att lösa en ekvation av typen x3 + px = q omkring år 1515. Han gav lösningen till sina elever vid universitetet i Bologna under tystnadslöfte. Så var nämligen den pythagoreiska traditionen.
Samtidigt arbetade Tartaglia med lösningen till en ekvation av typen x3 + px2 = q och långt senare, år 1535, annonserade han att han hade hittat lösningen. En av Ferros elever, Fiore, som hade fått lösningsmetoden av Ferro, antog att det bara var tomt skryt från Tartaglias sida och utmanade honom på en matematisk duell. Deltagarna skulle ge varandra 30 problem att lösa på kortast tid. Duellen ägde rum i Venedig samma år. Under de 50 dagar som duellen pågick lyckades Tartaglia lösa ekvationer av Ferros typ. Fiore kunde däremot inte hitta lösningen till de problem som krävde Tartaglias lösning. Det hela blev mycket förnedrande för Fiore.
Resultatet av duellen väckte intresse hos matematikern Cardano. Han hade nämligen bestämt sig för att skriva ett matematiskt verk och fick, mot tystnadslöfte, reda på lösningen från Tartaglia. Cardano svek dock Tartaglia och offentliggjorde lösningsmetoden år 1545 i sin bok Ars Magna
Ekvationer av grad 4 och högre
Ferrari, som var Cardanos elev, visade sedan hur man kan lösa fjärdegradsekvationer redan när han var 23 år gammal. Han omvandlade fjärdegradsekvationer till tredjegradsekvationer, vars lösning ju redan var känd. Även lösningsmetoden för fjärdegradsekvationer presenterades i Ars Magna.
Lösningsformlerna för polynomekvationer av grad 3 och 4 var betydelsefulla och banade väg för nya upptäckter inom matematiken. Emellertid lyckades man inte hitta någon lösning till den allmänna femtegradsekvationen. År 1824 bevisade norrmannen Abel att det inte finns någon allmän lösning till femtegradsekvationer. Det beviset får även tillskrivas fransmannen Galois. Både Abel och Galois dog unga, men hann ändå presentera en rad viktiga resultat. Abel dog i tuberkulos vid 26 års ålder i april 1829. Galois dödades i en framprovocerad duell om en flicka i maj 1832, endast 20 år gammal. Natten innan duellen tecknade han ner flera av sina matematiska resultat.
Rätt eller fel?
En andragradsfunktion har alltid ett största värde.
En andragradsfunktion kan sakna nollställen
Funktionen f som bestäms av f(x) = 5x + 32 är ett exempel på en andragradsfunktion
Alla andragradsfunktioner som har ett största värde har två nollställen
En andragradsfunktion skär alltid y-axeln.
Om en extrempunkts y-koordinat är negativ, så vet man att det är en minimipunkt
Om en andragradsfunktion saknar nollställen, så kan man inte bestämma ekvationen för grafens symmetrilinje.
Om man känner till nollställena till en andragradsfunktion, så kan funktionsuttrycket bestämmas
Undersök
Grafen till en andragradsfunktion
Din uppgift är ett ta reda på hur grafen till en andragradsfunktion f påverkas av faktorn b i funktionsuttrycket f(x) = x2 + bx
u Rita graferna y = x2 , y = x2 + x och y = x2 − x med ett digitalt verktyg.
u Gissa hur grafen y = x2 + 2x ser ut. Rita därefter grafen med hjälp av det digitala verktyget.
u Rita grafen till y = x2 + bx för några olika värden på b. Fundera varje gång på hur grafen kommer att se ut innan du ritar grafen. Vilken betydelse har faktorn b för grafens utseende?
u Förklara med hjälp av algebra hur faktorn b påverkar grafens utseende. Ta till exempel hjälp av funktionens nollställen.
Symmetrilinje och extrempunkt
u Rita graferna till y = (x − 1)2 + 2 y = (x + 1)2 + 2
y = (x − 3)2 + 2 y = ( x + 1 2 )2 − 3
u Bestäm symmetrilinjen och minimivärdet för var och en av graferna
u Rita sedan grafen till y = (x − a)2 + b för ytterligare några värden på a och b
u Vad kan du säga om symmetrilinjen och minimivärdet? Förklara.
u Förklara hur man kan gå till väga för att hitta en funktion med maximipunkten i (2, 3).
Problemlösning och modellering
Profit i solsken
Anders och Berit gör ett projektarbete i företagsekonomi, där de undersöker omsättningen hos två företag. Företagen Laerol och Sevy tillverkar lyxig solkräm och säljer den vidare till butiker. Tillverkningskostnaden per liter solkräm under ett kvartal är olika för de båda företagen och beskrivs av två andragradsfunktioner.
Kostnad per liter vid tillverkning av x liter solkräm är
Laerol: K(x) = 0,000 001 25x2 − 0,045x + 420
Sevy: K(x) = 0,000 002x2 − 0,092x + 1 070
Vid försäljning till butikerna är intäkten per liter solkräm densamma för de båda företagen. Intäkterna är 45 kr/l.
u Hur stor är tillverkningskostnaden per liter för företagen, om de tillverkar 20 000 liter under ett kvartal?
u Hur många liter solkräm ska respektive företag tillverka för att tillverkningskostnaden per liter ska bli så låg som möjligt? Vilken blir då literkostnaden?
u Hur många liter solkräm ska företagen tillverka och sälja, för att intäkterna per liter precis ska motsvara kostnaderna per liter?
u Hur stor är vinsten per liter för Laerol, om de tillverkar och säljer 20 000 liter under ett kvartal?
u Teckna ett förenklat uttryck för de båda företagens vinst per liter solkräm.
Logaritmer
Exponentialfunktioner
u f(x) = Cax, där a > 0
u upprepade procentuella förändringar med konstant förändringsfaktor
Potensekvationer
u ekvationer av formen xn = a
u den obekanta är bas i en potens
u grafisk lösning
u algebraisk lösning: x = a1/n = n√a , där n ≥ 2 är ett heltal Om n är jämnt är även x = n√a en lösning.
Tillämpningar
u populationsförändringar
u logaritmiska mått
Logaritmer i andra baser
u y = cx ⇔ x = logc y
Exponentialekvationer
u ekvationer av formen ax = b
u den obekanta i exponenten
u grafisk lösning
u algebraisk lösning med hjälp av logaritmer
Tiologaritmer
u y = 10x ⇔ x = lg y (y > 0)
u tal skrivna som en potens med basen 10: y = 10lg y
Logaritmlagarna
u 1. lg AB = lg A + lg B
2. lg A B = lg A lg B
3. lg Ap = p · lg A
där A > 0, B > 0 och p kan vara vilket tal som helst
1 Bestäm utan att använda digitalt hjälpmedel.
a) lg 10 000 b) 10lg 0,1 c) lg 1
2 Bestäm vinkeln x a) b) 2x x
x + 6° 76°
3 Lös ekvationerna utan att använda digitalt hjälpmedel .
a) 10x = 100 b) x2 = 100
4 Är månghörningarna likformiga? Motivera ditt svar.
5 Använd tiologaritmer och skriv talen som en potens med basen 10. Ange exponenten både exakt och med ett närmevärde.
a) 5 b) 19
c) 0,4 d) 7 000
6 För en andragradsfunktion f gäller att f(x) = x2 − 2x − 3.
a) Lös ekvationen f(x) = 0.
b) Ange funktionens nollställen.
c) Bestäm symmetrilinjens ekvation.
d) Ange koordinaterna för funktionens extrempunkt och ange extrempunktens karaktär.
7 Hur många lösningar finns det till var och en av ekvationerna
a) x13 = 81
b) x14 = 81
c) x15 − 81 = 0
8 Är triangeln i figuren rätvinklig? Motivera ditt svar.
22 45 51 (cm)
9 Beräkna utan att använda digitalt hjälpmedel. a) 23 b) (23) 1 3 c) 3√ ( 23 )2
10 Lös ekvationerna.
a) 10x = 121 b) 17 = 2 · 10x c) 103x = 3 728
11 Lös följande ekvationer och svara exakt.
a) 8x = 22 b) x8 = 22 c) 8x = 22
12 Trianglarna i figuren är likformiga. Bestäm sidan x. 10 16 (cm)
18 x
13 Lös ekvationerna
a) 3x = 7
b) 8 = 3 · 4x
c) 5 + 2 · 3x = 14
14 Lös ekvationerna algebraiskt. Svara exakt.
a) x2 − 7 = 0
b) ( x − 1 4 ) ( x + 2 3 ) = 0
c) x2 − 2x − 22 = 14
15 Annas aktier är värda 5 000 kr. De minskar i värde under en arbetsvecka (5 dagar) med 2,3 % per dag.
a) Hur mycket är de värda efter den arbetsveckan?
b) Hur länge dröjer det tills aktierna är värda 1 000 kr om vi antar att de fortsätter att minska i värde på samma sätt?
17 Avgör om det ska stå ⇒ eller ⇔ mellan följande utsagor. Motivera ditt svar. ”R > r” ”A1 > A2 ”
20 Lös ekvationerna med hjälp av logaritmlagarna.
Svara exakt.
a) lg x = lg 8 + lg 2
b) 3 lg x = lg 16 − lg 2
c) lg x − 1 = lg 2
21 Förenkla
a) x2 + 49 − (x − 7)2
b) ( x + 1 4 ) 2 − ( x 2 + 1 16 )
c) (x + 52)(x − 52) + 522
18 I början av år 2017 köpte Ylvali andelar i en aktiefond till ett värde av 2 000 kr. Fyra år senare hade värdet minskat till 1 640 kr. Beräkna den genomsnittliga procentuella värdeminskningen per år för hennes fondandelar.
19 Koordinatsystemet visar en rät linje L och en punkt P som ligger på linjen. y P L x 2 2
a) Ange ekvationen för den räta linjen L
b) Ange ekvationen för en annan rät linje så att den tillsammans med linjen L bildar ett ekvationssystem som har sin lösning i punkten P
(Np Ma2c vt 2015)
22 Lös ekvationerna
a) 5 · 31,2x = 2
b) 2 − 42x = 1
c) 9 · 121,35x − 4 = 23
23 För en andragradsfunktion f gäller att
f(x) = (x − 3)(x + 6).
a) Ange symmetrilinjens ekvation.
b) För vilket värde på x har grafen till funktionen en minimipunkt.
24 Arean som täcks av vattenväxter i en sjö mellan den 1 juni och 1 september kan beskrivas med modellen A(t) = 45 · 1,03t där A(t) m2 är arean t dagar efter den 1 juni.
a) Hur stor area täcks enligt modellen av vattenväxter den 1 juni?
b) Hur stor area täcks den 1 juli?
c) Hur lång tid tar det innan 100 m2 täcks av vattenväxter?
25 Beskriv en verklig situation där något
a) ökar exponentiellt
b) minskar exponentiellt
26 Ge ett förslag på vad funktionen y = 20 000 · 0,97x kan beskriva.
27 Stefan köper aktier för 10 000 kr. Det går dåligt på börsen, så Stefans aktier minskar i värde med i genomsnitt 5 % varje månad. Hur lång tid tar det innan värdet på aktierna har halverats?
Nivå 2
28 Bestäm längden av alla sidorna i trianglarna.
a) 6,0 x 2x (cm)
b) (cm)
√2 x
√3 x 10,0
29 Folkmängden i Umeå har från den 31 december år 2015 till den 31 december år 2020 ökat med 7,8 %. Hur stor genomsnittlig procentuell ökning per år motsvarar det?
30 För en andragradsfunktion gäller att funktionen har ett nollställe för x = −3 och att den antar sitt minsta värde för x = 1. Ange funktionens andra nollställe.
31 I figuren är linjerna K och L parallella och vinkeln v = 72°. Bestäm vinkeln u och motivera hur du kan veta hur stor vinkeln är.
32 Punkten (a, 5) ligger lika långt från punkten (4, 2) som från (2, 3). Bestäm talet a.
33 Värdet av Pers pengar V kr växer på banken under t år enligt modellen V(t) = 2 500 · 100,015t
a) Hur stor är räntesatsen?
b) Hur länge tar det innan värdet av Pers pengar har fördubblats?
34 Vi har funktionerna f(x) = x2 − 4 och
g(x) = x − 2.
a) Bestäm g(3)
b) Bestäm f(g(3))
c) Bestäm f(g(x)).
35 En person tar 4,0 mg av ett läkemedel. Läkemedlet tas upp av kroppen och mängden minskar exponentiellt med tiden. Efter 12 timmar återstår halva mängden. Hur lång tid efter det att personen tagit läkemedlet återstår det 0,1 mg?
36 Lös ekvationerna
a) (x + 7)(x − 7) = 6x + 34
b) (x + 5)2 − 2(x + 5) = 0
37 Beräkna utan att använda digitalt hjälpmedel
a) 16 3 2 b) 27 4 3
c) lg 1 √10 d) lg 400 − lg 4
38 Undersök om det är möjligt att sätta ut implikationstecken eller ekvivalenstecken mellan följande utsagor.
a) x2 = 9 x = 3
b) man är hungrig man äter maten i skolans matsal
40 Förenkla
a) (x + √7 )2 − (x − √7 )2
b) b(x + √a )(x − √a ) x2 − a
41 År 1900 var koldioxidhalten i atmosfären 280 ppm. År 2000 hade koldioxidhalten stigit till 370 ppm.
a) Anta att förändringen var exponentiell. Med hur många procent ökade koldioxidhalten per år i genomsnitt under perioden?
b) Mellan 2010 och 2020 ökade koldioxidhalten med ca 6,5 %. Hur lång tid tar det med denna exponentiella ökningstakt för koldioxidhalten att öka med lika många procent som mellan 1900 och 2000?
42 Det största djur som någonsin funnits på jorden är blåvalen. Under de senaste hundra åren har antalet blåvalar minskat kraftigt på grund av jakt.
År 1900 fanns det ungefär 239 000 blåvalar i världshaven och hundra år senare var antalet ungefär 2 300. Anta att antalet blåvalar minskar exponentiellt med tiden.
Bestäm vilket år det för första gången kommer att vara färre än 200 blåvalar om minskningen fortsätter i samma takt.
(Np Ma2b vt 2015)
45 Varje plats på jorden kan positionsbestämmas med longitud och latitud. Med koordinaternas hjälp kan man därmed bestämma avståndet mellan två platser. I nord sydlig riktning motsvarar en breddgrad alltid ca 11 mil. I östvästlig riktning varierar det med latituden, men där London och Paris ligger motsvarar en längdgrad ca 7,1 mil. Bestäm avståndet mellan de två städerna.
London Paris Lat: 51,51 Lat: 48,86 Long: −0,13 Long: 2,35
43 Bestäm de värden på x där graferna till andragradsfunktionen f(x) = 3x2 4x 29 och linjen g(x) = 2x + 16 skär varandra.
(Np Ma2c vt 2013)
44 Är log8 9 större eller mindre än 1? Motivera ditt svar.
46 Bestäm funktionsuttrycket för exponentialfunktionen y = f(x) som är ritad i figuren. y x 1 1 y = f(x)
47 Lös ekvationssystemet algebraiskt. Svara exakt. { lg x + lg y = 12 2 lg x − lg y = 6
48 Antalet huggormar h på en skärgårdsö antas växa med antalet år x enligt sambandet h = 650 · 1,03x. Antalet sorkar s på samma ö antas i stället minska enligt s = 12 000 · 0,93x . När kan man enligt sambanden förvänta sig att antalet huggormar och antalet sorkar är lika?
49 Thales från Miletos var en grekisk matematiker som levde för 2 600 år sedan. Han formulerade en sats med följande innebörd:
Varje triangel som är inskriven i en cirkel har en rät vinkel om en av triangelns sidor är diameter i cirkeln.
Triangeln ABC är inskriven i en cirkel på ett sådant sätt. Sidan AC är en diameter i cirkeln.
Punkten M är mittpunkt på sträckan AC. I figuren är även sträckan BM inritad. x x B M A C
a) Förklara varför de två vinklarna markerade med x är lika stora.
b) Visa, utan att använda randvinkelsatsen, att Thales sats är korrekt.
(Np Ma2c vt 2012)
50 För vilka värden på det reella talet a har ekvationen x2 + ax + a = 0
a) två reella rötter
b) en reell dubbelrot
c) ingen reell rot
51 Sveriges befolkning var 5,14 miljoner år 1900 och 8,86 miljoner år 2000. Hur många bodde i Sverige då Karl XII dog år 1718 om befolkningsökningen har varit exponentiell sedan dess?
52 Sträckorna AD och BD är bisektriser i triangeln ABC. Bestäm vinkeln ADB
53 Halten av kol 14 i en levande organism ligger på en stabil nivå. När organismen dör minskar halten exponentiellt med tiden. Halveringstiden för kol 14 är ca 5 730 år. Ett arkeologiskt fynd innehåller 15 % av den halt av kol 14 som levande organiskt material innehåller. Hur gammalt är fyndet?
Del 1 Utan digitalt hjälpmedel
1 I en påse ligger fem apelsiner. Apelsinernas vikt är 234 g, 219 g, 258 g, 210 g och 248 g. Hur ändras medianvikten och medelvikten om man byter ut den apelsin som väger 210 g mot en som väger 260 g?
2 Lönerna i ett företag med sju anställda är 24 000 kr, 22 000 kr, 27 000 kr, 25 000 kr, 68 000 kr, 24 000 kr och 27 000 kr. Vilket lägesmått beskriver lönerna bäst? Motivera ditt svar.
3 Lådagrammet visar resultatet av ett lopp på skidor. 60 70 80 90 100 110 120 130 140 Minuter
a) Vilken tid hade segraren?
b) Efter hur lång tid hade hälften av deltagarna kommit i mål?
c) Bestäm kvartilavståndet.
4 Avgör om det finns någon korrelation mellan variablerna x och y och ange i så fall om korrelationen är positiv eller negativ.
5 I en djuraffär paketerar man hundgodis i påsar för att sälja på en hundutställning. En eftermiddag visar det sig att vågen man använt inte har nollställts på morgonen. Vågen har därför visat 150 g för mycket. Hur ändras medelvärde, median, kvartilavstånd och variationsbredd på de redan vägda påsarna?
6 Tolka begreppet percentil i följande exempel.
a) Lenas lön ligger ovanför 90:e percentilen i företagets lönejämförelse.
b) Ett sängföretag använder den 95:e percentilen av vuxnas längd som ett mått på sängens längd.
c) I en affär finns jeans från 5:e till 95:e percentilen av alla storlekar som tillverkas av ett visst märke.
d) En students resultat ligger på den 82:a percentilen.
7 En maskin som fyller mjölkförpackningar är inställd så att medelvolymen är µ = 1 040 ml och standardavvikelsen σ = 20 ml. Hur stor är risken att du får mindre än 1 liter mjölk när du köper en förpackning som den maskinen har fyllt på?
Del 2 Med digitalt hjälpmedel
8 Amanda hade plockat äpplen. Histogrammet visar äpplenas vikt.
Uppskatta äpplenas medelvikt.
9 På ett dagis ville man köpa in stövlar som barnen kunde låna. Därför antecknade man barnens skostorlek. Resultatet ser du i frekvenstabellen. Rita ett lådagram som visar spridningen av stövlarnas storlek.
Skostorlek 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
Frekvens 2 0 4 6 2 0 6 2 4 1 4 5
10 Beräkna kvartilavstånd, standardavvikelse och variationsbredd för följande serier. Diskutera spridningen.
A: 5, 7, 4, 4, 5, 6, 3, 5, 5, 4 B: 4, 6, 15, 3, 3, 4, 3, 3, 4, 3
11 Använd ett digitalt hjälpmedel och för in följande mätvärden som punkter i ett diagram.
x 2 4 5 7 11 y 23 50 65 100 178
a) Anpassa en rät linje till mätpunkterna och ange linjens ekvation.
b) Hitta en annan regressionsmodell som passar mätpunkterna bättre än den linjära. Ange funktionsuttrycket till den anpassade funktionen.
12 För att söka till en elitutbildning i USA, fick Ebbe göra ett prov i tre delar. Resultatet anses vara normalfördelat. Medelvärde och standardavvikelse beräknades för varje delprov.
Muntlig del Matematisk del Logiska resonemang
Medelvärde 84 118 14
Standardavvikelse 10 18 4
a) Ebbes resultat var 90 på den muntliga delen, 133 på den matematiska och 18 på delen med logiska resonemang. På vilken del lyckades Ebbe bäst?
b) 16 % av alla sökande kom in. Vilka poänggränser borde de olika delproven haft? Kom Ebbe in? Motivera ditt svar.
Ledtrådar
1 Räta linjer och ekvationssystem
1.1 Räta linjens ekvation
1104 Välj ett värde på x och räkna ut vilket värde på y som gör att likheten stämmer. Då har du funnit en lösning till ekvationen.
1108 Rita en rät linje som går genom punkten (2, 4). Bestäm den räta linjens ekvation.
1111 Vi kan tolka varje par av värden i tabellen som koordinater: Fotlängden 22,8 cm och skostorleken 36 motsvarar t.ex. punkten (22,8; 36). Välj ut två av punkterna i tabellen och använd dem för att bestämma k och m i ekvationen y = kx + m
1113 Att bestämma en ekvation y = kx + m som har lösningen x = 3 och y = −2 är detsamma som att bestämma ekvationen för en valfri rät linje som går genom punkten (3, −2).
1116 Anta att linjens ekvation är y = kx + m. Vad kan du säga om linjens m-värde? Använd Pythagoras sats för att skriva ett uttryck för avståndet från origo till B. Vad vet du om det avståndet?
1117 Ställ upp en ekvation med a som obekant genom att sätta in de givna värdena i formeln k = y2 – y1 x2 – x1
1118 Vilken är triangelns höjd? Använd formeln för triangelns area för att ställa upp en andragradsekvation med a som obekant.
1119 Använd sambandet k = ∆y ∆x = y2 – y1 x2 – x1 . Låt en av punkterna vara obestämd, dvs. ha koordinaterna (x, y).
1122 b) Inled med att multiplicera båda leden i ekvationen med 3.
1126 I vilka punkter skär den röda och blå linjen y- respektive x-axeln? Dessa två punkter ligger på den tredje linjen.
1127 b) Börja med att skriva ekvationen i k-form. Då kan du avläsa linjens k-värde (lutning).
1129 Skriv om 2x + 3y + 6 = 0 och ekvation D i k-form.
1132 Börja med att skriva ax + 2y +4 = 0 i k-form.
1134 Eftersom skärningspunkten ligger på linjen y = 3x kan du ersätta y med 3x i båda ekvationerna.
1137 Den gemensamma lösningen till ekvationerna ges av koordinaterna för den punkt där linjerna skär varandra.
1139 Börja med att finna riktningskoefficienten för respektive linje.
1.2 Ekvationssystem
1213 Jämför linjernas riktningskoefficienter. Vad ska gälla för linjernas k-värden om ekvationssystemet ska ha noll, en eller ett oändligt antal lösningar?
1215 Skriv om alla ekvationer i k-form och jämför linjernas riktningskoefficienter. Vad ska gälla för linjernas k-värden om ekvationssystemet ska ha noll, en eller ett oändligt antal lösningar?
1218 Skriv om den nedre ekvationen i k-form och jämför sedan linjernas riktningskoefficienter.
1219 Ställ upp två ekvationer, som representerar kostnaderna för hyrbilsalternativen. Undersök sedan vilken körsträcka som ger lika kostnad för båda alternativen.
1220 Skriv ekvationerna i k-form och jämför sedan riktningskoefficienterna.
1222 Lös ekvationssystemet grafiskt t.ex. genom att skriva ekvationerna i inmatningsfältet i GeoGebra, en i taget.
1236 Rita båda linjerna i ett koordinatsystem. Vilka två punkter passar bäst för att bestämma triangelns bas? Vilken punkt kan då användas för att bestämma triangelns höjd?
1237 Vilken sorts linje representerar hastigheten? Vad betyder i så fall a i linjens ekvation?
1242 Hur kan man uttrycka Andres fart om den adderas med strömmens fart, respektive om den minskas med strömmens fart?
1251 Hur anges lösningen till ett linjärt ekvationssystem med två obekanta?
1255 Ställ upp ett linjärt ekvationssystem där den ena ekvationen visar hur intäkten beror av antalet hamburgare och antalet läsk, och den andra ekvationen visar hur vinsten beror av antalet hamburgare och antalet läsk.
1257 Förenkla först den övre ekvationen. Samla sedan x- och y-termerna i VL och konstanttermerna i HL för båda ekvationerna.
1258 Lösningen till ekvationssystemet är den punkt där linjerna skär varandra. Vilka linjer går genom punkten (12, −7)?
1259 Börja med att skriva ekvationerna i k-form. Vad ska gälla för ekvationernas k- och m-värden för att ekvationssystemet ska ha oändligt många lösningar?
1260 Anta att antalet barn i morfars by var x och antalet barn i grannbyn var y. Hur kan du nu uttrycka att det sammanlagt fanns 127 barn? Hur kan du uttrycka att det fanns 19 fler barn i morfars by?
1261 Kalla de två övriga vinklarna för x och y. Hur kan du uttrycka att skillnaden mellan dem är 32°? Hur kan du uttrycka att vinkelsumman i en triangel är 180°?
1262 Kalla kostnaden för mjukglassen för x kr och kostnaden för toppingen för y kr. Hur kan du nu uttrycka informationen i uppgiften?
1264 Börja med att bestämma den första linjens ekvation. Koordinaterna för linjernas skärningspunkt är ekvationssystemets lösning.
1265 Anta att det finns x ankor och y får på gården. Hur kan du då uttrycka att
• det finns totalt 28 djur
• djuren har totalt 78 ben
1268 Räkna insekternas ben i bilden.
1270 Anta att chokladkakan kostar p kr. Hur kan du då uttrycka hur mycket Maria respektive Peter har i kronor? Vilka samband kan du sedan ställa upp utifrån den givna informationen?
1271 Börja med att rita linjerna för hand i ett koordinatsystem.
1272 Börja med att ta reda på vad en läsk kostar.
1275 Att lösa ekvationssystemet betyder i det här fallet att du uttrycker lösningarna x och y i variabeln a.
1276 Vi vet att s = v ∙ t. Att Pontus cyklade totalt 23 km kan vi uttrycka med ekvationen 2 3 ∙ v + 1 2 ∙ w = 23, där talet 2 3 anger att han cyklade i två tredjedels timme med hastigheten v km/h. Hur kan du på liknande sätt uttrycka att Kristina cyklade i totalt 3,5 timme?
2 Algebra och andragradsekvationer
2.1 Algebraiska uttryck
2116 Det sökta området kan tecknas som en subtraktion.
2118 c) Multiplicera två av faktorerna först, t.ex. (y + 2)(y2 – 2). Multiplicera sedan resultatet med den tredje faktorn 2y
2119 Bryt först ut x i nämnaren innan du ersätter x med (a – 1).
2120 a) Börja med att skriva uttrycken med gemensam nämnare.
(En gemensam nämnare är (x − 1)(x + 1).) b) Bryt ut −1 i täljaren eller nämnaren.
2125 För att visa att VL = HL förenklar du vänsterledet (VL) till ett uttryck som är lika med högerledet (HL).
2126 a) (x − )(x + ) = x2 – 3x – 18 b) (x )(x + ) = x2 + x – 6
2138 b) Tänk på att potenser beräknas före multiplikation.
2143 För att visa att VL = HL förenklar du vänsterledet (VL) till ett uttryck som är lika med högerledet (HL).
2144 Pussla ihop de fyra bitarna till en kvadratisk hage. Hur stor blir den kvadratiska hagens sida?
2150 Använd att 1002 = 10 000 och att 32 = 9.
2151 Använd att x2 – 6x + 10 = x2 – 6x + 9 + 1.
2166 a) Tänk på att 4 9 = 22 32 = ( 2 3 ) 2 .
2170 Titta på exemplet på sidan 58.
2172 a) Tänk på att xa ∙ xb = xa + b .
2174 Börja med att skriva termerna i täljaren respektive termerna i nämnaren med samma nämnare.
2175 a) Börja med att bryta ut gemensamma faktorer. b) Börja med att skriva x2 + 12x + 36 som en kvadrat. Använd sedan konjugatregeln.
2.2 Enkla andragradsekvationer
2213 Kvadraten på kateterna är (3x)2 och (4x)2.
2216 a) Ersätt (x – 2) med y.
2217 Tänk på att √ a b = √a √b .
2218 Rita en figur och inför beteckningar för sidlängderna.
2219 Rita en figur. Hur kan du uttrycka sidlängderna?
2228 Vilket värde har h(t) då raketen slår ner i vattnet?
2231 Att x = 1 är en lösning till den givna ekvationen innebär att (a + 2)(b – 5) = 0. Vilka värden på a och b är då möjliga? Vilka värden på a och b är möjliga då x = 5 är en lösning?
2.3 Fullständiga andragradsekvationer
2324 a) Vilket värde har x när Fanny stöter i väg kulan?
b) Vilket värde har y där kulan landar?
2327 Ekvationen (x – r)(x – s) = 0 har rötterna x1 = r och x2 = s.
2329 Lös först ekvationen t2 – 20t + 19 = 0 och bestäm sedan x.
2330 Dividera båda leden i ekvationen ax2 + bx + c = 0 med a och sätt sedan in i pq-formeln.
2331 Uttryck x1 och x2 med hjälp av pq-formeln.
2332 Jämför √ ( p 2 ) 2 – q med p 2 om q < 0.
2336 a) Ange en ekvation i formen (x – a)(x – b) = 0.
2346 a) Bestäm h(0).
c) Vilken höjd har bollen när den landar?
2349 Vilket värde ska diskriminanten ha för att ekvationen ska få exakt en lösning?
2350 Ett inverterat tal är det tal som multiplicerat med det givna talet ger 1, dvs. b a är det inverterade talet till a b
2351 Sätt in x = −6 i ekvationen och bestäm konstanten a 2352 Använd konjugatregeln.
2353 Två på varandra följande positiva heltal kan t.ex. skrivas som x och x + 1.
2354 Faktorisera först och bestäm en rot. Bestäm sedan de övriga rötterna.
2355 Anta att familjen köpte x liter mjölk under första månaden.
2c nivå
Matematik Origo nivå 2c är en modern lärobok anpassad till Gy25 med
utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter
matematisk modellering, kommunikationsuppgifter och problemlösning för alla
målbeskrivningar, sammanfattning och test till varje kapitel
Till Matematik Origo nivå 2c finns även komponenterna Lärarguide, Lärarstöd+ samt kopieringsmaterialet Prov, övningsblad och aktiviteter.
Serien Matematik Origo finns till samtliga gymnasieprogram.