9789152366356

matematik

Niclas Larson

Daniel Dufåker

Attila Szabo

Roger Fermsjö

Innehåll

1 Räta linjer och ekvationssystem 6

1.1 Räta linjens ekvation 8

1.2 Ekvationssystem 17 Historia, Uppslaget, Tankekarta, Blandade uppgifter, Kapiteltest 37

2 Algebra och andragradsekvationer 46

2.1 Algebraiska uttryck 48

2.2 Enkla andragradsekvationer 60

2.3 Fullständiga andragradsekvationer 66

Programmering, Historia, Uppslaget, Tankekarta, Blandade uppgifter, Kapiteltest 84

3 Andragradsfunktioner 94

3.1 Andragradsfunktioner 96

3.2 Andragradsfunktioner och grafritande hjälpmedel 125 Uppslaget, Historia, Tankekarta, Blandade uppgifter, Kapiteltest 136

4

Geometri och bevis 148

4.1 Matematisk bevisföring 150 4.2 Klassiska satser om trianglar 175

4.3 Klassiska satser om cirkeln 191

Programmering, Historia, Uppslaget, Tankekarta, Blandade uppgifter, Kapiteltest 201

5 Logaritmer

Exponentialekvationer

Logaritmlagar

Uppslaget, Historia, Tankekarta, Blandade uppgifter, Kapiteltest 242

och bearbeta

Uppslaget, Historia, Tankekarta, Blandade uppgifter, Kapiteltest 298

Matematik Origo nivå 2c

Matematik Origo är en serie matematikböcker för gymnasiet som gör det lätt att arbeta med problemlösning, resonemang och förståelse. Till Matematik Origo nivå 2c hör en elevbok, en Lärarguide, kopieringsmaterialet Prov, Övningsblad och Aktiviteter och det digitala presentationsmaterialet Lärarstöd+ samt appen Alva. De olika komponenterna ger möjlighet att planera, variera och genomföra undervisningen utifrån elevernas behov.

Elevboken består av sex kapitel och lyfter särskilt fram matematikens relevans. Här finns tydliga genomgångar på ett lättillgängligt språk och varierade uppgiftstyper på tre nivåer.

Lärarguiden följer elevboken uppslag för uppslag med tips, idéer och inspiration till din undervisning.

Prov, Övningsblad och Aktiviteter är ett kopieringsmaterial med prov, övningsblad och aktiviteter till varje kapitel i elevboken. Materialet säljs som nedladdningsbara pdf:er.

Prov, övningsblad och aktiviteter

I Lärarstöd+ har vi samlat elevboken, Lärarguiden och Prov, Övningsblad och Aktiviteter på ett ställe. Allt innehåll från elevboken – teoritext, exempel och uppgifter – kan visas separat och klickas fram stegvis.

I appen Alva får dina elever hjälp när de ska jobba på egen hand efter lektionerna. Där finns förklarande matematikfilmer samt ledtrådar och lösningar till vissa uppgifter.

Logaritmer

Logaritmer

Eleverna har tidigare löst exponentialekvationer grafiskt. I det här kapitlet visar vi hur man kan genomföra en algebraisk lösning med hjälp av logaritmer. Logaritmer var tidigare ett viktigt beräkningsverktyg, men den uppgiften har i dag tagits över av digitala verktyg. Numera används logaritmer förutom vid lösning av exponentialekvationer också i logaritmiska skalor som richterskalan och pH-skalan. Det får eleverna se exempel på i slutet av kapitlet.

Kommentarer till kapitlets innehåll

I delkapitel 5.1 Exponentialekvationer repeterar vi begreppet exponentialfunktion och grafisk lösning av exponentialekvationer och potensekvationer. Dessa moment har behandlats relativt utförligt redan i Matematik nivå 1c, men eftersom de är viktiga för att kunna tillgodogöra sig innehållet i delkapitlet har vi valt att repetera dem. Vi introducerar också tiologaritmer med hjälp av kurvan y = 10x och visar hur den kan användas för att lösa exponentialekvationer algebraiskt. Flera av uppgifterna kräver god förståelse för potenslagarna i kombination med begreppet tiologaritm.

I delkapitel 5.2 Logaritmlagar introducerar vi räknereglerna för logaritmer, även kallade logaritmlagarna. Logaritmlagarna förekommer i det centrala innehållet i sammanhanget lösning av exponentialekvationer. Kapitlet avslutas med tillämpningar där exempelvis exponentialfunktioner och logaritmiska skalor används som modeller för att beskriva verkliga förlopp.

Likheter och skillnader mellan exponential- och potensekvationer. Begreppet logaritm. Motivering och hantering av räkneregler för logaritmer. Metoder för att lösa exponentialekvationer.

Centralt innehåll

Potenser Exponentialfunktioner

Förkunskaper

5.1 Exponentialekvationer

Logaritmlagar

Delkapitel

På 1600-talet började man att använda så kallade logaritmer för att underlätta komplicerade beräkningar. Med hjälp av logaritmer kan man skriva om multiplikationer till additioner. Det var en stor fördel att komplicerade multiplikationer kunde beräknas med addition, som är betydligt enklare att hantera. Med dagens datorer och andra digitala hjälpmedel är avancerade beräkningar enkla att utföra. Logaritmer används dock fortfarande flitigt, till exempel för att lösa exponentialekvationer. Exponentialekvationer är en typ av ekvationer som man möter i både naturvetenskapliga och samhällsvetenskapliga sammanhang, bland annat när man arbetar med matematiska modeller som beskriver radioaktivt sönderfall, hur ett kapital växer med ränta på ränta eller förändringen av en population.

När du är klar med kapitlet ska du kunna lösa exponentialekvationer grafiskt och med hjälp av logaritmer lösa potensekvationer och särskilja dem från exponentialekvationer definiera tiologaritmen för ett tal skriva ett positivt tal som en potens med basen tio använda logaritmlagarna vid förenklingar och vid ekvationslösning använda logaritmer i tillämpningar

Multiplikationstabell

Tabellen här nedanför kan man använda för att utföra multiplikationer. Om du till exempel vill beräkna produkten 4 ∙ 32 gör du så här:

1. Leta reda på talen 4 och 32 i den undre raden i tabellen.

2. Addera talen som står direkt ovanför. Du får 2 + 5 = 7.

3. Leta upp talet 7 på den övre raden. Rakt under står talet 128, som är produkten av 4 och 32. 123456789 248163264 128256512

Använd metoden för att beräkna produkterna 8 ∙ 32 och 2 ∙ 64. Hur hänger talen i de två raderna ihop? Förklara hur tabellen skulle kunna utvidgas med fler tal för att kunna utföra ytterligare multiplikationer. Förklara varför metoden fungerar.

Introduktionsproblem

Introduktionsproblemet Multiplikationstabell passar utmärkt som en introduktion av logaritmer, inte minst för att det förklarar varför logaritmer blev ett sådant användbart verktyg för beräkningar långt in på 1900-talet. Problemet kan även användas för att motivera den första logaritmlagen, som säger att logaritmen av en produkt är summan av logaritmerna för faktorerna.

Svar till Multiplikationstabell

Vi adderar de tal som står direkt ovanför 8 och 32 i tabellen: 3 + 5 = 8. Rakt under 8 i tabellens övre rad står 256, vilket innebär att 8 ∙ 32 = 256. På samma sätt beräknas produkten 2 ∙ 64 genom att först addera talen 1 + 6 = 7 och sedan läsa av att 7 i den övre raden motsvarar talet 128.

I den undre raden anges potenser med basen två, vars exponenter är talen i den övre raden. Tabellen kan utvidgas genom att man fyller på med 0, −1, −2, … respektive 10, 11, 12 osv. i den övre raden och motsvarande 2-potenser i den undre:

20 =1, 2−1 = 1 2 , 2−2 = 1 4 , … respektive

210 = 1 024, 211 = 2 048, 212 = 4 096.

Att metoden fungerar är en konsekvens av regeln för multiplikation av potenser med samma bas: 2a ∙ 2b = 2a + b. Den ger att produkten 2a ∙ 2b kan beräknas genom att addera exponenterna och sedan läsa av vilket tal med basen 2 som har exponenten a + b

Tiologaritmer

Vi har valt att förklara begreppet tiologaritm med hjälp av kurvan y = 10x. Vår förhoppning är att detta angreppssätt ska ge eleverna en grundläggande förståelse för att alla positiva tal kan skrivas som potenser med basen tio.

Det kan vara bra för eleverna att arbeta en del med kurvan till y = 10x innan definitionen av tiologaritm presenteras. Låt dem med hjälp av kurvan t.ex. försöka finna den exponent som 10 ska upphöjas till för att ge 100, 8, 1 3 , 1 10 , 0 eller kanske −1. På så sätt kommer eleverna

sannolikt själva att reflektera över vilka tal som är möjliga att skriva som tiopotenser. Låt eleverna först gissa vad svaret ska bli. Det övar deras taluppfattning. Efter denna inledande övning kan elevernas insikter formaliseras i definitionen av tiologaritmer. Vi visar hur detta kan göras i Lektionsstart här i Lärarguiden.

Viktiga begrepp

tiologaritm, tiologaritmen av ett tal a betecknas lg a och är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få a, dvs. 10lg a = a

Språkbruk

Ordet logaritm är sammansatt av de grekiska orden lógos, som betyder förhållande, och arithmós, som betyder tal. Det var den skotske matematikern John Napier som myntade begreppet. Han härledde logaritmerna som förhållanden mellan sträckor, vilket förklarar benämningen.

Det är lätt att slarva med språkbruket och säga logaritm i stället för tiologaritm. Eftersom de elever som ska läsa Matematik fortsättning nivå 1c ska jobba med logaritmer i basen e, så är det bra att vara noga med språkbruket.

Att tänka på

För vissa elever kan det vara lättare att definiera begreppet tiologaritm med hjälp av sambandet 10lg a = a än med ekvivalensen y = 10x ⇔ x = lg y. Likheten 10lg a = a förstärker det faktum att lg a är ett tal som inte behöver beräknas eller uttryckas på något annat sätt innan det sätts in i exponenten. Det är också ett enkelt sätt att formulera att tiologaritmen av ett tal a är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få a

ordboken

logaritm kommer från två grekiska ord, lógos som betyder förhållande och arithmós som betyder antal.

Tiologaritmer

I figuren till höger har vi ritat grafen till exponentialfunktionen f(x) = 10x Vi ser att om värdet av x ökar, så ökar funktionsvärdet, och om värdet av x minskar, så kommer funktionsvärdet närmare och närmare 0. Funktionen verkar alltså anta alla positiva värden precis en gång. Att exponentialfunktionen f(x) = 10x har den egenskapen innebär att vi kan skriva alla positiva tal som en potens med basen 10.

Du känner säkert redan till några tal som kan skrivas som en potens med basen 10. Tre exempel är

1 = 100 1 000 = 103 0,01 = 10−2

Men med hjälp av figuren kan vi skriva även andra tal, t.ex. 8 och 40, som potenser med basen 10. Vi avläser att 8 ≈ 100,9 och 40 ≈ 101,6

Tiologaritm Den exponent som vi ska upphöja 10 till för att få talet 8 är alltså ett tal nära 0,9. Den exponenten kallas för tiologaritmen för 8. Vi skriver lg 8 ≈ 0,9 Eftersom 100,9 ≈ 8

På samma sätt är tiologaritmen för 100 lika med 2, eftersom 102 = 100. lg 100 = 2 Eftersom 102 = 100

Allmänt gäller att tiologaritmen för ett positivt tal y betecknas lg y och är den exponent som 10 ska upphöjas till för att man ska få y 10lg y = y lg y är den exponent som 10 ska upphöjas till för att man ska få y

Definition av tiologaritm

Tiologaritmen för ett positivt tal y betecknas lg y och är exponenten när talet skrivs som en potens med basen 10. y = 10x ⇔ x = lg y (y > 0)

LOGARITMER u 5.1 ExPOnEnTIALEKvATIOnER 222

Att tänka på

När man definierar tiologaritmer säger man exempelvis att lg 3 är det tal som 10 ska upphöjas till för att ge talet 3. Tiologaritmen av 3 är alltså lösningen till ekvationen 10x = 3. Men det är inte säkert att eleverna tycker att det är självklart att det finns ett tal x sådant att 10x = 3. Hittills i sin skolgång har eleverna främst mött exponenter som är heltal och endast undantagsvis exponenter som är rationella tal skrivna i bråkform. Mycket sällan eller aldrig har de stött på exponenter skrivna i decimalform eller exponenter som är irrationella tal. För att troliggöra för eleverna att det faktiskt finns ett tal x sådant att t.ex. 10x = 3 kan man hänvisa till kurvan y = 10x. Tycker eleverna att detta är för abstrakt kan de lösa ekvationen genom att testa sig fram med ett digitalt verktyg.

Med ditt digitala hjälpmedel

Definitionen på föregående sida innebär att man med hjälp av tiologaritmer kan skriva alla positiva tal som en potens med basen 10. Vi upphöjer bara 10 till tiologaritmen av det önskade talet. Till exempel har vi att

12 = 10lg 12 lg 12 ≈ 1,079

15 079 = 10lg 15 079

lg 15 079 ≈ 4,178. Det är rimligt att lg 15 079 är lite mer än 4, eftersom 104 = 10 000.

Definitionen innebär också att tiologaritmen av en tiopotens är lika med exponenten i tiopotensen.

lg 10a = a Jämför: lg 103 = lg 1 000 = 3

Att alla positiva tal kan skrivas som en potens med basen 10 kommer vi att utnyttja i nästa avsnitt när vi ska lösa exponentialekvationer.

Vill man bestämma ett närmevärde till tiologaritmen av 15 i GeoGebra, så skriver man lg(15) i inmatningsfältet och trycker på Retur.

Man kan också välja knappen log10 på GeoGebras tangentbord under fliken f(x)

Exempel: Bestäm utan digitalt hjälpmedel.

a) lg 100 000 b) lg 10 c) lg 1

d) lg 1 10 000 e) 10lg 3 f) lg100,5

Lösning: a) Tiologaritmen till 100 000 är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få 100 000. Den exponenten är 5 eftersom 105 = 100 000.

lg 100 000 = lg 105 = 5

b) lg 10 = lg 101 = 1

c) lg 1 = lg 100 = 0

d) lg 1 10 000 = = lg 10−4 = −4

e) 10lg 3 = 3

f) lg 100,5 = 0,5

Lektionsstart

lg 10 är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få 10. Den exponenten är 1 eftersom 101 = 10.

lg 1 är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få talet 1. Den exponenten är 0 eftersom 100 = 1.

lg 1 10 000 är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få talet 1 10 000

lg 3 är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få talet 3.

lg 100,5 är den exponent som 10 ska upphöjas till för att man ska få talet 100,5, alltså 0,5.

LOGARITMER u 5.1 ExPOnEnTIALEKvATIOnER 223

Innan du introducerar begreppet tiologaritm kan det vara lärorikt för eleverna att bekanta sig med kurvan y = 10x , till exempel genom att besvara följande frågor.

Rita grafen till y = 10x med ett digitalt verktyg. Försök sedan med hjälp av grafen att bestämma den exponent som 10 ska upphöjas till för att ge

a) 100 b) 50 c) 8

d) 1 3 e) 1 10

Utvidga gärna uppgiften till att låta eleverna fundera på om det finns någon exponent som 10 kan upphöjas till för att ge resultatet 0 eller −1. Utifrån elevernas svar kan du sedan introducera begreppet tiologaritm.

Exempel

Lös följande ekvationer utan digitalt verktyg.

a) 2x = 25 b) 3x = 34 c) 4x = 64

d) 10x = 10 000 e) 7x = 55

f) Vilken eller vilka ekvationer tyckte du var svårast att lösa? Varför var den eller de svåra att lösa?

Lösning/Kommentar

Om baserna är lika, så är också exponenterna lika.

a) 2x = 25

x = 5

b) 3x = 34

x = 4

c) 4x = 64

4x = 43 Vi skriver om till samma bas

x = 3

d) 10x = 10 000

10x = 104 x = 4

e) 7x = 55 Vi skriver om till samma bas

( 10lg 7 )x = 10lg 55

10 x · lg 7 = 10lg 55

x · lg 7 = lg 55

x = lg 55 lg 7

Exemplet fungerar bra som en lektionsstart. Förhoppningsvis upplevde eleverna att de fyra första ekvationerna var enkla att lösa, men att den sista var mer utmanande. Hemligheten är att båda leden i de fyra första ekvationerna kan skrivas om med samma bas. Detta ger idén att vi skulle kunna lösa alla exponentialekvationer om vi bara kunde skriva om alla tal som en potens med en och samma bas. Det kan vi göra med hjälp av tiologaritmer.

Logaritmer i andra baser

En mer direkt lösning till exemplets deluppgift e) är

x = log7 55, dvs. x är lika med sjulogaritmen av 55 eller det tal som 7 ska upphöjas till för att resultatet ska vara 55. Miniräknare har oftast inte haft en funktion för att räkna ut närmevärden till t.ex. sjulogaritmer, vilket kan vara en förklaring till att logaritmer med andra baser än 10 och e har undvikits. Men både WolframAlpha och GeoGebra kan beräkna närmevärden till t.ex. sjulogaritmer. I GeoGebra kan du i algebrafältet skriva in log(7, 55) och få närmevärdet 2,059. Det betyder alltså att 72,059 ≈ 55.

Bestäm

a) lg 1 b) lg 104 c) lg 0,001

d) lg √10 e) lg 1 107 f) lg 12

g) 10lg 12 h) 10lg 0,5 i) 10lg (−7)

Lösning/Kommentar

a) lg 1 = 0

b) lg 104 = 4

c) lg 0,001 = −3

d) lg √10 = 1 2

e) lg 1 107 = −7

Eftersom 100 = 1 så är 0 den exponent som 10 ska upphöjas till för att få 1.

Eftersom 4 är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få 104

Eftersom 0,001 = 10−3 så är −3 den exponent som 10 ska upphöjas till för att få 0,001.

Eftersom √10 = 10 1 2 så är 1 2 den exponent som 10 ska upphöjas till för att få √10

Eftersom 1 107 = 10−7 så är −7 den exponent som 10 ska upphöjas till för att få 1 107

f) lg 12 ≈ 1,079 Vi bestämmer ett närmevärde med ett digitalt hjälpmedel.

g) 10lg 12 = 12

h) 10lg 0,5 = 0,5

Eftersom lg 12 är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få 12.

Eftersom lg 0,5 är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få 0,5.

i) 10lg (−7) är inte definierat. lg (−7) är inte definierat, eftersom det inte finns någon exponent som 10 kan upphöjas till för att ge ett negativt tal.

I deluppgift f) blir eleverna varse att inte alla logaritmer enkelt kan bestämmas utan tillgång till digitalt hjälpmedel. Kontrastera gärna deluppgifterna e) och i) mot varandra.

Det är viktigt att eleverna förstår att värdet av en tiologaritm kan vara negativt, men att tiologaritmer inte är definierade för negativa tal.

Aktivitet

Logaritmmemory

Övningsblad

Tiopotenser

Tiologaritmer 1

Tiologaritmer 2

Exempel: Skriv följande tal som en potens med basen 10. a) 10 000 b) 7 c) 22 000 d) −17

Lösning: a) 10 000 = 104 Tiologaritmen för 10 000 är 4

b) 7 = 10lg 7

c) 22 000 = 10lg 22 000

Tiologaritmen för 7 är den exponent som 10 ska upphöjas till för att man ska få 7. (lg 7 ≈ 0,845)

Tiologaritmen för 22 000 är den exponent som 10

upphöjas till för att man ska få

d) Det finns inte något tal som man kan upphöja 10 till för att få −17. lg (−17) är alltså inte definierad.

Tiologaritmen är definierad endast för positiva tal

Lös uppgifterna utan digitalt hjälpmedel, om inte annat anges.

Nivå 1

5124 a) Vilken exponent ska man upphöja 10 till för att få talet 100?

b) Bestäm lg 100.

c) Vilken exponent ska man upphöja 10 till för att talet 1 000?

d) Bestäm lg 1 000.

e) Vilken exponent ska man upphöja 10 till för att få talet 108?

f) Bestäm lg 108

5125 Skriv som en potens med basen 10.

a) 100 000 b) 1 000 000

c) 0,001 d) 1

5126 Bestäm

a) lg 100 000 b) lg 1 000 000

c) lg 0,001 d) lg 1

5127 Bestäm

a) lg 10 000 b) lg 0,01

c) lg 0,1 d) lg 1088

LOGARITMER u 5.1 ExPOnEnTIALEKvATIOnER 224

Att tänka på

5128 Bestäm med hjälp av figuren så noggrant som möjligt

a) det tal man ska upphöja 10 till för att få 200

500 1 000 y = 10x

b) det tal man ska upphöja 10 till för att få 500 c) det tal man ska upphöja 10 till för att få 800 y x 1 2 3

5129 Bestäm med hjälp av figuren så noggrant som möjligt

100 y = 10x

50

a) lg 10 b) lg 20 c) lg 60 y x 1 2

För att förstå logaritmer är det viktigt att kunna betrakta uttryck som 103 och lg 8 som tal och inte endast som operationer som ska utföras. Elever som bara ser 103 som en uppmaning att beräkna produkten 10 ∙ 10 ∙ 10 kommer att ha svårt att genomföra de tankesteg som krävs för att bestämma lg 1 000. Att kunna betrakta lg 8 som ett tal med en viss egenskap, utan att explicit beräkna dess värde, är också nödvändigt för att kunna förstå och använda uttryck av formen 10lg 8. Arbeta gärna genomgående med muntliga beskrivningar och betona att lg 8 är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få 8. Ibland kan eleverna också behöva påminnas om att lg 8 är ett tal som många andra. Det kan göras genom att låta dem ta fram ett närmevärde med hjälp av ett digitalt verktyg.

5130 Bestäm med hjälp av figuren så noggrant som möjligt

1 2 y = 10x

a) lg 0,6 b) lg 1,4 c) lg 0,4 y x 0,5 −0,5

d) Kontrollera dina svar i deluppgifterna a)−c) med ett digitalt hjälpmedel.

5131 Bestäm

a) 10lg 5 b) 10lg 12

c) 10lg 10 d) 10lg (−2)

5132 Skriv som en potens med basen 10. Svara exakt.

a) 20 b) 7

c) 78 d) 20 000

5133 Använd tiologaritmer och skriv talen som en potens med basen 10. Ange exponenten både exakt och med ett närmevärde.

a) 3 b) 13

c) 0,7 d) 5 000

5134 a) Förklara med ord vad lg 6 är för tal.

b) Gissa ungefär hur stort lg 6 är.

c) Kontrollera din gissning i b) genom att beräkna värdet med ett digitalt hjälpmedel.

5135 Tiologaritmen av ett tal är 3. Vilket är talet?

5136 Lös följande exponentialekvationer med hjälp av figuren.

a) 10x = 2 b) 10x = 1,6 c) 4 ∙ 10x = 3,2 d) −0,4 = 10x y x 0,5 −0,5

y = 10x

5137 a) Lös exponentialekvationen 10x = 7 med grafritande hjälpmedel. Svara med tre decimalers noggrannhet.

b) Ange lg 7 med tre decimalers noggrannhet.

5138 Beräkna utan digitalt verktyg.

a) 10lg 64 10lg 2 + lg 10

b) 2 ∙ 10lg 13 + lg 100

c) 10lg 7,2 − lg 10−7,2 + lg 1

Nivå 2

5139 Ordna talen i storleksordning med det minsta först.

lg 98 10lg 2,1 2 lg 982 2,2

5140 Mellan vilka två på varandra följande heltal ligger lg 33 000?

5141 Förklara varför lg (−5) inte är definierat.

5142 Lös ekvationen lg 10x − 2 = 5.

LOGARITMER u 5.1 ExPOnEnTIALEKvATIOnER 225

Exempel

Ordna följande tal i storleksordning. Börja med det minsta talet.

lg 1042,2 42 10lg 41,1 lg 42,2 lg 41,1

Lösning/Kommentar

Från definitionen av tiologaritmer vet vi att

lg 1042,2 = 42,2

10lg 41,1 = 41,1

Vi vet också att lg 10 = 1 och att lg 100 = 2. Eftersom logartimfunktionen är strängt växande, så gäller att lg 41,1 måste vara mindre än lg 42,2 och de måste båda vara större än 1 och mindre än 2. Vi ordnar talen i storleksordning.

Svar: lg 41,1 lg 42,2 10lg 41,1 42 lg 1042,2

Problemlösningsuppgift

a) Lös ekvationen och svara exakt.

100x = 101 + lg 50

b) I vilket av följande intervall A–F finns lösningen till ekvationen 100x = 101 + lg 50 ? Motivera ditt svar.

A −1 ≤ x < −0,5

B −0,5 ≤ x < 0

C 0 ≤ x < 0,5

D 0,5 ≤ x < 1

E 1 ≤ x < 1,5

F 1,5 ≤ x < 2

Lösning/Kommentar

a) 100x = 101 + lg 50

102x = 101 + lg 50

Om två potenser med samma bas är lika, måste exponenterna vara lika. Det ger:

2x = 1 + lg 50

x = 1 + lg 50 2

Svar: x = 1 + lg 50 2

b) Vi vet att lg 10 = 1 och lg 100 = 2. Eftersom logaritmfunktionen är växande måste lg 50 därför ligga någonstans mellan 1 och 2. Det innebär i sin tur att värdet av x = 1 + lg 50 2 måste ligga mellan 1 + 1 2 = 1 och 1 + 2 2 = 1,5. Vi kan alltså säga att ekvationens lösning måste ligga någonstans mellan 1 och 1,5, dvs. i intervallet E 1 ≤ x < 1,5.

Svar: Lösningen till ekvationen kommer att ligga i intervall E 1 ≤ x < 1,5.

Logaritmer av negativa tal

Någon elev undrar kanske om det är möjligt att definiera logaritmer även för negativa tal. Det är möjligt, men dessa får då icke­reella värden. Till exempel är ln (−1) = ln eiπ = iπ. Generellt ges logaritmen av ett negativt tal −a av: ln (−a) = ln (a ∙ (−1)) = ln a + ln (−1) = = ln a + iπ, där a > 0.

Ma2b vt 2016)

Kommentarer till uppgifterna

Flera av uppgifterna kräver god förståelse för potenslagarna i kombination med begreppet tiologaritm, se t.ex. uppgifterna 5143, 5148, 5149, 5151 och 5152. I övriga uppgifter ingår att kunna avgöra när ett uttryck är definierat (5146), kunna lösa ekvationer (5150) och även kunna hantera en logaritmisk skala (5147). Det senare är vanligt i diagram då värdena spänner över flera tiopotenser.

Ledtrådar till uppgifterna

5147 Notera att skalan på y­axeln är logaritmisk, dvs. för varje skalstreck ökar värdet med en faktor 10 i stället för med ett bestämt värde.

5148 Förenkla först med potenslagarna.

5149 Sätt in värdena för a och b i logaritmuttrycket och använd potenslagarna.

5151 Använd potenslagarna för att skriva om uttrycken.

5153 d) Använd resultatet i deluppgift c). Skriv om uttrycket med potenslagarna.

Problemlösningsuppgift

Beräkna 10 3 ∙ lg 27 9 utan att använda ett digitalt hjälpmedel.

Lösning/Kommentar

10 3 ∙ lg 27 9 = 10 lg 27 3 = ( 10lg 27 ) 1 3 = 27 1 3 = 3

Att tänka på

Vi har sett att elever som korrekt kan ange värdet av lg 100 och lg 0,001 ibland felaktigt skriver lg 102 = 100 respektive lg 10−3 = 0,001. Det kan ha att göra med att eleverna är osäkra på logaritmbegreppet eller att de ser 102 och 10−3 som en uppmaning om att potensen ska beräknas. Genom att medvetet variera frågor och uppgifter kan dessa feltyper förhoppningsvis motverkas.

Exituppgift

a) Skriv talet 14 som en potens med basen tio.

b) Bestäm lg 0,01.

Svar:

a) 14 = 10lg 14

b) lg 0,01 = lg 10−2 = −2

5143 Bestäm värdet av

a) lg 10 1 3 b) lg √10 c) lg 10 √10 d) lg (10 ∙ √10 )

5144 Beräkna 10 x om lg x = 0. (np Ma2c vt 2015)

5145 a) Ge exempel på ett tal som har en positiv tiologaritm.

b) Ge exempel på ett tal som har en negativ tiologaritm.

c) Förklara när tiologaritmen för ett tal är positiv och när den är negativ.

5146 För vilka värden på x är följande uttryck definierade?

a) lg x b) lg (x + 3) c) lg (x + 3)2

5147 Diagrammet visar smittsamheten och dödligheten hos några virussjukdomar. Dödligheten på y-axeln anges i logaritmisk skala.

Dödlighet (% av de smittade, logaritmisk skala)

Spanska sjukan

5148 Bestäm värdet av a) lg (100 ∙ √10 ) b) lg (1 000 ∙ 3√10 ) c) lg 10 1 4 100

5149 Beräkna lg ab utan digitalt verktyg om a = 10 5 2 och b = 10 2 3

5150 Lös ekvationen lg (x − 1) = −1. Nivå 3

5151 Bestäm värdet av a) 10lg 5 + lg 9

b) 10lg 30 − lg 3 c) 103 lg 2

5152 Bestäm värdet av a) 10 lg 9 2 b) 10 lg 125 3

c) 10lg 1 + 3 lg 4 − lg 2

Den skuggade ytan anger uppskattade värden för Covid 19. Covid 19 Svininfluensa

Säsongsinfluensa Polio Ebola Fågelinfluensa

Mers Förkylning Vattkoppor Smittkoppor Sars

Mässling

5 10 15

Smittsamhet (genomsnittligt antal smittade per sjuk person)

a) Bestäm dödligheten hos säsongsinfluensa.

b) Hur många gånger dödligare är ebola jämfört med säsongsinfluensa?

c) Boysan och Anneli studerar diagrammet. – Mässling verkar vara en riktigt farlig sjukdom, säger Boysan. – Jag tycker att fågelinfluensa verkar vara mycket farligare, säger Anneli. Hur kan de ha tänkt? Vem av dem har rätt?

LOGARITMER u 5.1 ExPOnEnTIALEKvATIOnER 226

5153 Figuren visar grafen till funktionen f(x) = lg x y x 12345678

1 Använd grafen för att bestämma ett närmevärde till a) lg 2 b) det tal man ska upphöja 10 till för att få 4 c) 100,7 d) 101,4

Att lösa exponentialekvationer

Exponentialekvationer och tiologaritmer

Tidigare har vi löst exponentialekvationer grafiskt. I det här avsnittet visar vi hur man kan lösa exponentialekvationer exakt. Vi utgår från följande

exempel:

2x = 16

Ekvationen kan lösas genom att man skriver talet 16 i högerledet som en potens med basen 2.

2x = 24 vi utnyttjar att 16 = 24

Både vänsterled och högerled är nu en potens med basen 2. För att likheten ska gälla måste exponenterna vara lika. Det ger lösningen

x = 4

När vi här ovanför löste ekvationen 2x = 16 utnyttjade vi att vi kunde skriva

båda leden med samma bas och sedan jämföra exponenterna. Vi kan utnyttja samma idé för att lösa andra exponentialekvationer, till exempel

2x = 5

Här är det inte lika enkelt att skriva om det högra ledet till en potens med basen 2. Men med hjälp av tiologaritmer kan vi skriva talen 2 och 5 som potenser med basen 10.

2x = 5

(10lg 2)x = 10lg 5 2 = 10lg 2 och 5 = 10lg 5

10x lg 2 = 10lg 5 I vL har vi använt potenslagen (10a)b = 10ab

För att likheten ska gälla måste exponenterna vara lika, alltså x · lg 2 = lg 5 Dividera båda led med lg 2

x = lg 5 lg 2 ≈ 2,32 lg 5 lg 2 är det exakta värdet

Eftersom alla positiva tal kan skrivas som en potens med basen 10, kan vi lösa alla exponentialekvationer i formen ax = b, genom att skriva om ekvationernas båda led till potenser med basen 10, så länge a och b är positiva tal.

Logaritmtabeller Förr i tiden använde man sig av tabeller när man ville bestämma ett närmevärde till en logaritm. Den första logaritmtabellen konstruerades i början av 1600-talet av den skotske matematikern John Napier. I dag har räknare och datorer ersatt logaritmtabellerna. Här intill har vi lagt in en del av en logaritmtabell. Det inringade talet ger decimaldelen till närmevärdet av lg 17,2.

Exponentialekvationer och tiologaritmer

I detta avsnitt introducerar vi algebraisk lösning av exponentialekvationer med ett exempel där båda leden enkelt kan skrivas om med samma bas. På detta sätt framträder idén bakom införandet av logaritmer. För att exemplet ska vara övertygande är det viktigt att eleverna förstår att likheten 2x = 24 måste innebära att x = 4. Denna slutsats kräver insikt om vad en potens är. När eleverna går vidare och löser allmänna exponentialekvationer med hjälp av tiologaritmer är det viktigt att de på samma sätt förstår varför exponenterna måste vara lika och att vi inte magiskt stryker eller förkortar basen 10.

Exempel

Lös ekvationerna. Svara exakt.

a) 10x = 17 b) 7x = 0,004

c) lg x = 3 d) lg a = −0,5

Lösning/Kommentar

a) 10x = 17

x = lg 17

Att

tänka på

LOGARITMER u 5.1 ExPOnEnTIALEKvATIOnER 227

Det kan vara viktigt att påpeka för eleverna att man vid förenkling av potenser som (10lg 6)x vanligtvis skriver exponenten i formen x ∙ lg 6 eftersom uttrycket lg 6 ∙ x lätt kan misstas för att betyda detsamma som lg 6x.

Övningsblad

Potens- och exponentialekvationer

b) 7x = 0,004

(10lg 7)x = 10lg 0,004

10x ∙ lg 7 = 10lg 0,004

x ∙ lg 7 = lg 0,004

x = lg 0,004 lg 7

c) lg x = 3

x = 103 = 1 000

d) lg a = −0,5

a = 10−0,5 = 1 100,5 = 1 √10

Enligt definitionen av tiologaritm

Vi skriver båda led med basen 10

Exponenterna måste vara lika

Enligt definitionen av tiologaritm

Enligt definitionen av tiologaritm

Deluppgifterna c) och d) kan också lösas genom att upphöja båda led med 10 som bas.

Innan man påbörjar ekvationslösningen kan man låta eleverna uppskatta lösningen till ekvationerna. De kan t.ex. försöka ange om svaret är positivt eller negativt, större eller mindre än 1 osv. Det är ett bra sätt att öva elevernas taluppfattning.

I deluppgift b) kan det vara frestande att felaktigt förenkla lg 0,004 lg 7 till 0,004 7 eller till lg 0,004 7 . Påminn eleverna om att lg 0,004 och lg 7 är tal.

Exempel

Lös ekvationerna. Svara exakt.

a) 2 ∙ 5x + 19 = 33

b) 2x5 + 19 = 33

Lösning/Kommentar

a) 2 ∙ 5x + 19 = 33

2 ∙ 5x = 14

5x = 7

( 10lg 5 )x = 10lg 7 Vi skriver om till samma bas

10x ∙ lg 5 = 10lg 7

x = lg 7 lg 5

b) 2x5 + 19 = 33

2x5 = 14

x5 = 7

x = 5√ 7

Det händer att elever blandar ihop lösningsmetoderna för exponentialekvationer och potensekvationer. I det här exemplet får de urskilja vad som utmärker de olika ekvationerna och deras respektive lösningsmetoder. Liknande ekvationer stöter eleverna på i uppgift 5158 på sidan 229 i elevboken.

Historia: Logaritmer

År 1614 publicerade John Napier (1550–1617) sin bok Mirifico Logarithmorum Canonis Descriptio (En beskrivning av en underbar tabell av logaritmer). Där presenterade han en typ av tal, kallade logaritmer, som syftade till att förenkla de omfattande och omständliga beräkningarna som förekom inom astronomi och sjöfart (navigation). Dessa tillämpningar krävde ofta ansenliga mängder multiplikationer och divisioner av tal med många siffror. En hel del av dessa beräkningar utnyttjade trigonometriska samband och Napiers logaritmer var utformade för att förenkla just sådana beräkningar. Henry Briggs, en engelsk matematiker med en professur i Oxford, insåg att Napiers logaritmer med vissa justeringar kunde användas för aritmetiska beräkningar i mer generell mening. Efter samtal med Napier utvecklade Briggs logaritmer med basen 10, som uppfyller de enkla sambanden lg 1 = 0 och lg 10 = 1 samt de lagar vi i dag kallar logaritmlagarna. Logaritmer med basen 10 kallas därför ibland för briggska logaritmer

Exempel: Lös exponentialekvationerna. Svara med tre decimalers noggrannhet. a) 3x = 22 b) 10x = 5 c) 105x = 180

Lösning: a) 3x = 22 vi skriver om båda leden med basen 10 (10lg 3)x = 10lg 22 3 = 10lg 3 och 22 = 10lg 22

10x lg 3 = 10lg 22 vL har vi använt potenslagen (10a b = 10ab

x ∙ lg 3 = lg 22

x = lg 22 lg 3

Eftersom båda leden har samma bas måste exponenterna vara lika

x ≈ 2,814 Ett närmevärde beräknas med digitalt hjälpmedel

b) 10x = 5 x = lg 5

x ≈ 0,699

c) 105x = 180

105x = 10lg 180

5x = lg 180

x = lg 180 5

Enligt definitionen av tiologaritm. Man kan också skriva om HL till 10lg 5 och jämföra exponenterna. vi skriver 180 som en potens med basen 10. (Man kan också använda definitionen av tiologaritm direkt: 5x = lg 180.)

x ≈ 0,451 närmevärdet beräknas med digitalt hjälpmedel

Exempel: Frida sätter in 20 000 kronor på ett bankkonto där kapitalet växer med 4 % per år. Hur länge dröjer det tills Frida har 30 000 kr på sitt konto?

Eftersom båda leden har samma bas måste exponenterna vara lika vi skriver om båda leden som potenser med basen 10

Eftersom båda leden har samma bas måste exponenterna vara lika

Lösning: Om kapitalet växer med 4 % per år, så är förändringsfaktorn 1,04. Förändringsfaktorn ska verka på kapitalet i x år tills beloppet är 30 000 kr. Det ger ekvationen: 20 000 ∙ 1,04x = 30 000 vi dividerar båda leden med 20 000 1,04x = 1,5 (10lg 1,04)x = 10lg 1,5 vL använder vi potenslagen (10a)b = 10ab 10x lg 1,04 = 10lg 1,5 x lg 1,04 = lg 1,5 vi dividerar båda led med lg 1,04 x = lg 1,5 lg 1,04 ≈ 10,3

Svar: Det tar drygt 10 år tills Frida har 30 000 kr på sitt konto.

Exempel: Lös logaritmekvationen lg x = 2 utan digitalt hjälpmedel.

Lösning: lg x = 2

Enligt definitionen av tiologaritmer är

x = 102 = 100

Vi kan också lösa ekvationen på ett annat sätt.

lg x = 2

Eftersom VL = HL kommer även 10VL = 10HL Det ger 10lg x = 102 vi utnyttjar att 10lg x = x x = 102 = 100

Svar: x = 100

5154 Du ska lösa exponentialekvationen 10x = 25.

a) Skriv först talet 25 som en potens med basen 10.

b) Lös sedan ekvationen genom att jämföra exponenterna.

5155 Lös exponentialekvationerna

a) 10x = 4,5 b) 10x = 0,72

c) 10y = 640 d) 103x = 53

5156 Du ska lösa ekvationen 3x = 6.

a) Skriv talet 3 som en potens med basen 10.

b) Skriv talet 6 som en potens med basen 10.

c) Lös ekvationen 3x = 6 med hjälp av resultaten i deluppgifterna a) och b).

5157 Lös ekvationerna. Svara med en decimal.

a) 5x = 12 b) 13x = 17

c) −3 ∙ 5x = −6 d) 3 ∙ 2x = 15

5158 Lös ekvationerna. Svara exakt.

a) x5 = 17 b) 5x = 17

c) Vad kallas ekvationerna i deluppgifterna a) respektive b)?

5159 Lös ekvationerna. Svara med en decimals noggrannhet

a) 20 000 ∙ 1,06t = 50 000 b) 45 000 ∙ 0,97t = 15 000

5160 Reza sätter in 5 000 kr på banken till 2,9 % årsränta. Hur lång tid tar det innan han har 6 000 kr på banken?

5161 Lös ekvationerna a) lg x = 0,5 b) lg x = 3,2 c) lg 10x = 8 d) lg 102x = 1

5162 Lös ekvationerna. Svara med två decimalers noggrannhet.

a) 3 ∙ 4x + 9 = 30 b) 9 − 2 ∙ 3x = 2

5163 a) Lös ekvationen 10 000 ∙ 1,032x = 15 000. b) Beskriv ett problem från verkligheten som kan lösas med hjälp av ekvationen i deluppgift a).

5164 Astrid köper en ny cykel för 5 000 kr och tecknar samtidigt en försäkring för den. Enligt försäkringsavtalet minskar cykelns värde med 19 % varje år. Efter hur lång tid kommer cykelns värde att vara hälften av nypriset?

LOGARITMER u 5.1 ExPOnEnTIALEKvATIOnER 229

Kommentarer till exemplen

I exemplet på sidan 229 löser vi ekvationen lg x = 2 på två olika sätt. Först med definitionen av tiologaritmer, och sedan genom att använda att 10VL = 10HL. Att använda olika lösningsmetoder utökar elevernas verktygslåda och förmåga att lösa problem. I det här fallet kan det även ge eleverna en känsla för att logaritmfunktionen och exponentialfunktionen med basen 10 är varandras inverser.

En annan möjlig lösningsmetod är att skriva om högerledet enligt 2 = lg 102. Det ger ekvationen lg x = lg 102. Vi kan nu dra slutsatsen att x = 102 = 100, eftersom lg x = lg y medför att x = y. Det kan man övertyga sig om med lite eftertanke, men slutsatsen är ändå inte helt trivial. Det existerar funktioner, såsom t.ex. f(x) = x2, som uppfyller f(x) = f(y) utan att x = y. (Jfr 32 = (−3)2 men 3 ≠ −3.)

Problemlösningsuppgift

Med hjälp av Newtons avsvalningslag kan man fastställa tidpunkten för ett dödsfall. Lagen säger att temperaturdifferensen mellan en kropps temperatur och omgivningens temperatur avtar exponentiellt med tiden. En tekniker på polisens våldsrotel får reda på att kroppstemperaturen hos ett mordoffer var 31,0 °C då kroppen hittades. Vid temperaturmätning 2,5 timmar senare hade temperaturen sjunkit till 28,0 °C. Rumstemperaturen fastställdes till 20,0 °C. När hade dödsfallet inträffat?

Lösning/Kommentar

Låt K(t) vara kroppstemperaturen t timmar efter att kroppen hittades. Newtons avsvalningslag ger

K(t) − 20,0 = Cat där 0 < a < 1

K(t) = 20,0 + Cat

K(0) = 31,0 ger 31,0 = 20,0 + Ca0

C = 11,0

K(2,5) = 28,0 ger 28,0 = 20,0 + 11,0 ∙ a2,5

a = ( 8 11 ) 1 2,5 ≈ 0,880

K(t) = 20,0 + 11,0 ∙ 0,880t

Vi söker tidpunkten t när kroppens temperatur var 37 °C. Ekvationen K(t) = 37 ger

37 = 20,0 + 11,0 ∙ 0,880t

t = lg 17 11 lg 0,880 ≈ −3,4

Svar: Dödsfallet inträffade ca tre och en halv timme innan kroppen upptäcktes.

Tips

I filmklippet How does math guide our ships at sea? visar George Christoph vilken roll Napiers logaritmer spelade för den tidens sjöfart och berättar om hur Napier och Briggs utvecklade logaritmerna. Filmen är animerad, drygt fyra minuter lång och finns på webbsidan ed.ted.com.

Kommentarer till uppgifterna

Syftet med uppgifterna 5165 och 5166 är att eleverna på egen hand ska upptäcka de räkneregler för logaritmer som behandlas i nästa avsnitt.

I uppgift 5172 måste eleverna inse alla termer som innehåller faktorn 7x behöver samlas på samma sida om likhetstecknet. För en del elever är det nog inte självklart hur man sedan förenklar 5 ∙ 7x − 2 ∙ 7x .

Uppgift 5174 a) kan lösas genom att dra slutsatsen att lg x2 = lg 49 innebär att x2 = 49 eller genom att upphöja båda leden med 10 som bas. I deluppgift b) är det sistnämnda den mest framkomliga strategin, eftersom vi ännu inte behandlat logaritmlagarna. Det här är en uppgift där eleverna har nytta av att känna till att tiologaritmfunktionen och exponentialfunktionen med basen 10 är varandras inverser.

Svar till Resonemang och begrepp

I en exponentialekvation Cax = b är den obekanta exponent. I en potensekvation Cxa = b är den obekanta i stället bas i potensen.

Vid lösning av potensekvationer drar vi roten ur båda led. Till exempel om exponenten är ett heltal n, så drar vi n:te roten ur båda led. En exponentialekvation kan man lösa genom att skriva om ekvationens båda led i basen 10 med hjälp av logaritmer och sedan jämföra exponenterna. För att likheten ska gälla måste exponenterna ha samma värde.

Tiologaritmen för ett tal a betecknas lg a = x och är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få talet a. Vi har alltså sambandet lg a = x. Till exempel är lg 42 ≈ 1,62 eftersom 101,62 ≈ 42.

I definitionen av tiologaritmer står det att y = 10x ⇔ x = lg y. Det är nödvändigt att y är ett positivt tal eftersom 10x > 0 för alla x.

Ekvationer i formen ax = b kan lösas med hjälp av tiologaritmer endast om konstanterna a och b är större än noll, eftersom tiologaritmer bara är definierade för positiva tal. Exempelvis kan ekvationen (−3)x = 9 inte lösas med tiologaritmer. Vi kan ju inte skriva −3 med basen 10, dvs. lg (−3) är inte definierad.

5165 Beräkna följande uttryck med hjälp av digitalt verktyg

lg (2 3) och lg 2 + lg 3

lg (5 6) och lg 5 + lg 6

lg (8 4) och lg 8 + lg 4 Vilket mönster kan du se i dina beräkningar?

5166 Beräkna följande uttryck med hjälp av digitalt verktyg

lg 8 3 och lg 8 − lg 3

lg 10 2 och lg 10 − lg 2

lg 16 4 och lg 16 − lg 4 Vilket mönster kan du se i dina beräkningar?

Nivå 2

5167 Virkesmängden i familjen Anderssons skog ökar exponentiellt. På 25 år har virkesmängden fördubblats.

a) Hur stor är den årliga procentuella ökningen?

b) Skriv ett funktionsuttryck som beskriver virkesmängden, V(t) m3, som funktion av antalet år t om virkesmängden från början var V0

c) År 2020 var virkesmängden i familjen Anderssons skog 2,4 ∙ 106 m3. När virkesmängden uppgår till 4 ∙ 106 m3 så tänker de avverka skogen. Vilket år kommer familjen att avverka sin skog?

5168 Förklara varför ekvationen 2x = −5 saknar lösning.

5169 Antalet bakterier i en bakterieodling fördubblas varje timme. Hur lång tid tar det för odlingen att växa till 1 000 gånger sitt ursprungliga antal?

5170 Lös ekvationerna. Svara med tre decimalers noggrannhet.

a) 2x + 3 = 11

b) 3 ∙ 42x − 3 = 15 c) 5 − 3 ∙ 23x − 1 = −16

5171 Visa att ekvationen ax = b, där a och b är positiva tal, har lösningen x = lg b lg a

5172 Lös ekvationen 4 + 5 ∙ 7x = 16 + 2 7x

Nivå 3

5173 Värdet av tiologaritmerna lg 7 lg 70 lg 700 lg 7 000 lg 70 000 följer ett visst mönster.

a) Beräkna tiologaritmerna och beskriv mönstret.

b) Förklara varför mönstret ser ut just på detta sätt

5174 Lös ekvationerna utan digitalt verktyg.

a) lg x2 = lg 49

b) 4 + lg 9 = lg x2

Resonemang och begrepp

Beskriv skillnaden mellan en potensekvation och en exponentialekvation.

Förklara hur man löser en potensekvation och hur man löser en exponentialekvation.

Förklara för en kompis, som inte har arbetat med logaritmer, vad tiologaritmer är.

varför är det nödvändigt att y är ett positivt tal i definitionen av tiologaritmer?

Kan alla ekvationer i formen ax = b lösas med hjälp av tiologaritmer?

LOGARITMER u 5.1 ExPOnEnTIALEKvATIOnER 230

Ledtrådar till uppgifterna

5168 Bestäm värdet av 2x för olika värden på x. Vilken slutsats kan du dra?

5173 b) Notera att talet 700 kan skrivas som 7 · 100. Börja med att skriva talet 7 och talet 100 i produkten 7 100 som potenser med basen 10.

5174 a) Använd potenslagarna.

b) Skriv om så att 10VL = 10HL

5.2 Logaritmlagar

Räkneregler för logaritmer

I förra avsnittet använde vi logaritmer vid ekvationslösning. I det här avsnittet ska vi härleda några räkneregler för logaritmer. I uppgifterna 5165 och 5166 fick du jämföra värdet av uttrycken

lg (2 ∙ 3) och lg 2 + lg 3

respektive

lg 8 3 och lg 8 − lg 3

Om du arbetade med uppgifterna, märkte du nog att uttryckens värde var lika.

lg (2 ∙ 3) = lg 2 + lg 3

lg 8 3 = lg 8 − lg 3

De här likheterna är exempel på räkneregler som gäller allmänt för logaritmer. Logaritmen av en produkt kan skrivas som en summa av logaritmer, och logaritmen av en kvot kan skrivas som en differens av logaritmer. Räknereglerna sammanfattas i logaritmlagarna

Logaritmlagar

1. lg AB = lg A + lg B

2. lg A B = lg A − lg B

3. lg Ap = p ∙ lg A där A > 0, B > 0 och p kan vara vilket reellt tal som helst.

potenslagar

Du kanske ser att logaritmlagarna påminner om några av potenslagarna. Man kan använda potenslagarna för att bevisa logaritmlagarna.

Bevis Vi börjar med att skriva de positiva talen A och B som potenser med basen 10

A = 10lg A och B = 10lg B

Därefter bevisar vi i tur och ordning de tre logaritmlagarna.

Första logaritmlagen lg AB = lg (10lg A ∙ 10lg B) = lg 10lg A + lg B = lg A + lg B

Alltså är lg AB = lg A + lg B

Andra logaritmlagen lg A B = lg 10lg A 10lg B = lg 10lg A − lg B = lg A − lg B

Alltså är lg A B = lg A − lg B

LOGARITMER u 5.2 LOGARITMLAGAR 231

Räkneregler för logaritmer

I det centrala innehållet i Matematik nivå 2c anges att räkneregler för logaritmer ska behandlas i samband med lösning av exponentialekvationer. Det kan vara en god idé att låta eleverna själva upptäcka räknereglerna för logaritmer, t.ex. utifrån uppgifterna 5165 och 5166.

På sidorna 221 och 222 i elevboken bevisar vi de tre logaritmlagarna. Låt gärna eleverna själva genomföra beviset för logaritmlag 2 och 3 med inspiration från beviset av logaritmlag 1.

Viktiga begrepp

logaritmlagarna, räkneregler för logaritmen av en produkt, en kvot respektive en potens

1. lg AB = lg A + lg B om A, B > 0

2. lg A B = lg A − lg B om A, B > 0

3. lg Ap = p ∙ lg A om A > 0

Exempel

Lös ekvationerna

a) 2 ∙ 4x = 57 b) lg x + lg 4 = 2 lg 3

Lösning/Kommentar

a) 2 ∙ 4x = 57 b) lg x + lg 4 = 2 lg 3 lg x = 2 lg 3 − lg 4 lg x = lg 32 − lg 4 lg x = lg 9 4 x = 9 4

4x = 28,5

lg 4x = lg 28,5

x lg 4 = lg 28,5

x = lg 28,5 lg 4 ≈ 2,4

Det kan vara instruktivt att lösa exponentialekvationen i deluppgift a) både genom att skriva om båda led med basen 10 och genom att använda logaritmlag 3. Det gör att eleverna lättare kan se kopplingen mellan den nya metoden och den metod de tidigare lärt sig.

Övningsblad

Logaritmlagar

Exempel

Beräkna utan digitalt hjälpmedel.

a) lg 250 + lg 4

b) lg 900 − 2 lg 3

c) lg 10 3 2 + lg 300 3 2 − lg 27 2

Lösning/Kommentar

a) lg 250 + lg 4 = lg (250 ∙ 4) = lg 1 000 = 3

b) lg 900 − 2 lg 3 = lg 900 − lg 32 = = lg 900 − lg 9 = lg 900 9 = lg 100 = 2

c) lg 10 3 2 + lg 300 3 2 − lg 27 2 = 3 2 + lg 300 3 2 –1 2 ∙ lg 27 = = 3 2 + 3 2 ∙ lg 300 − 1 2 ∙ lg 33 = 3 2 + 3 2 ∙ lg 300 − 3 2 ∙ lg 3 = = 3 2 (1 + lg 300 – lg 3) = 3 2 ( 1 + lg 300 3 ) = = 3 2 (1 + lg 100) = 3 2 (1 + 2) = 3 ∙ 3 2 = 9 2 = 4,5

I deluppgift b) måste eleverna inse att vi inte direkt kan använda logaritmlag 2, utan först måste ta hand om faktorn framför lg 3 med hjälp av logaritmlag 3. Den tredje deluppgiften är en utmaning och kan lösas på flera sätt. Lyft gärna till diskussion varför vi direkt kan skriva om lg 10 3 2 till 3 2 , medan denna omskrivning inte är möjlig

med lg 300 3 2

Tredje logaritmlagen

Logaritmlagar och exponentialekvationer

lg Ap = lg (10lg A)p = lg 10p lg A = p ∙ lg A

Alltså är lg Ap = p ∙ lg A

Vi kan använda logaritmlagarna för att lösa exponentialekvationer på ett nytt sätt. I förra avsnittet löste vi exponentialekvationen 2x = 5 genom att skriva om båda leden som potenser med basen 10. Här löser vi samma exponentialekvation men med hjälp av logaritmlagarna.

Jämför gärna med lösningen på sidan 227

2x = 5

lg 2x = lg 5 Använd logaritmlag 3 i vL x lg 2 = lg 5 Dividera båda leden med lg 2

x = lg 5 lg 2 ≈ 2,32

Exempel: Förenkla uttrycket lg a − lg ab + 2 lg b

Ifall två uttryck är lika så är även logaritmerna av uttrycken lika. Man säger att man logaritmerar båda led. lg ab = lg a + lg b

Lösning: lg a − lg ab + 2 lg b = lg a − (lg a + lg b) + 2 lg b = = lg a − lg a − lg b + 2 lg b = lg b

Exempel: Beräkna utan att använda digitalt hjälpmedel.

a) lg 5 + lg 20 b) lg √0,1 c) lg √500 − lg √ 1 2

Lösning: a) lg 5 + lg 20 = lg (5 ∙ 20) = lg 100 = 2

Svar: 2

b) lg √0,1 = lg 0,1 1 2 = 1 2 lg 0,1 = 1 2 (−1) = − 1 2

Svar: − 1 2 c) lg √500 − lg √ 1 2 = lg √500 √ 1 2 = lg √ 500 1 2 = = lg √1 000 = lg 10 3 2 = 3 2 Svar: 3 2

LOGARITMER u 5.2 LOGARITMLAGAR

Att tänka på

Enligt första logaritmlagen, lg AB = lg A + lg B Enligt tredje logaritmlagen, lg Ap = p ∙ lg A

Enligt andra logaritmlagen, lg A B = lg A − lg B √1 000 = √103 = (103)1 2 = 10 3 2

Chua Boon Liang och Eric Wood (2005) visade i sin studie Working with logarithms: Students’ misconceptions and errors att många av elevernas fel och missuppfattningar om logaritmer inte berodde på slarv eller för lite övning. I stället fanns det en systematik i elevernas misstag som tydde på att de försökte förstå den nya kunskapen med hjälp av tidigare inlärda scheman. Till exempel gjorde flera elever den felaktiga förenklingen lg x + lg y = lg (x + y) där de behandlade lg som en faktor som kan brytas ut, precis som 3x + 3y kan faktoriseras till 3(x + y). På samma sätt kan det hända att elever använder strukturer som √ a b = √a √b för att felaktigt göra omskrivningen

lg x y = lg x lg y eller att de lika felaktigt antar att

logaritmen av en differens är differensen av logaritmerna: lg (x − y) = lg x − lg y. För att motverka dessa felaktigheter kan man betona för eleverna att logaritmer är ett nytt begrepp med nya räkneregler som gäller för dessa tal.

Exempel: Lös ekvationerna

a) 3 lg 2 = 1 − lg x b) 53x = 4 ∙ 2x

Lösning: a) 3 lg 2 = 1 – lg x vi vill ha lg x ensamt

lg x = 1 – 3 lg 2

Om vi ska använda logaritmlagarna för att lösa ekvationen, så måste vi skriva 1 som lg 10

lg x = lg 10 – lg 23 3 lg 2 = lg 23 enligt tredje logaritmlagen

lg x = lg 10 – lg 8

lg x = lg 10 8

x = 10 8

Om tiologaritmen för x är lika med tiologaritmen för 10 8 så är x = 10 8

Svar: x = 5 4 Svara enklaste form

b) 53x = 4 ∙ 2x

lg 53x = lg (4 ∙ 2x) Logaritmera båda led

lg 53x = lg 4 + lg 2x Logaritmen av en produkt

3x lg 5 = lg 4 + x lg 2 Logaritmen av en potens

3x lg 5 − x lg 2 = lg 4 vi samlar x-termerna i vL

x(3 lg 5 − lg 2) = lg 4 vi bryter ut x

x = lg 4 3 lg 5 − lg 2

x ≈ 0,34 Med hjälp av digitalt verktyg

Svar: x ≈ 0,34

Nivå 1

5201 Beräkna utan digitalt hjälpmedel.

a) lg 107 b) lg √10 c) lg 1 100

5202 Beräkna utan digitalt hjälpmedel.

a) lg 2 + lg 5 b) lg 750 − lg 75

c) lg 2 − lg 20 d) lg 59 − 9 lg 5

5203 Beräkna utan digitalt hjälpmedel.

a) lg 4 + lg 250 b) lg 8 − lg 800

c) lg 4 + 2 lg 5 d) lg 25 000 − 2 lg 5

5204 Lös exponentialekvationen 3x = 5 på två olika sätt genom att a) först logaritmera båda leden b) först skriva om 3 och 5 som potenser med basen 10

5205 Lös ekvationerna a) 5x = 7 b) 2 ∙ 3x = 17 c) 1 − 2 ∙ 6x = −4

5206 Lös ekvationerna a) 3 ∙ 51,09x = 14 b) 5 − 2 ∙ 143,2x = 4 c) 12 ∙ 35,2x − 2 = 18

LOGARITMER u 5.2 LOGARITMLAGAR 233

Problemlösningsuppgift

Lös ekvationen lg x + lg (x − 3) = 1

Lösning/Kommentar

lg x + lg (x − 3) = 1 Vi noterar att x > 3, eftersom logaritmen av ett negativt tal inte är definierat.

lg (x(x − 3)) = 1

x(x − 3) = 10 Eftersom 1 = lg 10

x2 − 3x = 10

x2 − 3x − 10 = 0

x = 3 2 ± √ ( 3 2 )2 + 10 = 3 2 ± √ 49 4 = 3 2 ± 7 2

x = −2 eller x = 5

Vi bortser från roten x = −2, eftersom x > 3.

Svar: x = 5

Problemlösningsuppgift

Bestäm med hjälp av tabellen ett närmevärde till

b) lg 130 000 c) lg 16

a) lg 17 9 x lg x (närmevärde) 20,30103 90,95424 171,23045 1 3003,11394

Lösning/Kommentar

a) lg 17 9 = lg 17 − lg 9 ≈ 1,23045 − 0,95424 = 0,27621

b) lg 130 000 = lg (1 300 ∙ 100) = lg 1 300 + lg 100 ≈ ≈ 3,11394 + 2 = 5,11394

c) lg 16 = lg 24 = 4 ∙ lg 2 ≈ 4 ∙ 0,30103 =1,20412

Kommentarer till uppgifterna

I uppgift 5204 får eleverna lösa en exponentialekvation på två sätt: dels genom att skriva om båda led med basen 10, dels genom att använda logaritmlagarna.

Luriga logaritmekvationer

Vid ekvationslösning kan det vara bra att uppmärksamma eleverna på att logaritmlagarna förutsätter att A och B är positiva tal. Ett exempel är ekvationen lg x2 = 6. Använder vi logaritmlag 3 i vänsterledet får vi 2 lg x = 6 som ger x = 1 000. Men logaritmlagen förutsätter att x > 0. Ekvationerna lg x2 = 6 och 2 lg x = 6 är därför inte ekvivalenta och vi missar att även x = −1 000 är en rot till ekvationen. Genom att inse att lg x2 = 6 medför att x2 = 106 kan ekvationen lösas i ekvivalenta steg.

Ett annat exempel är ekvationen lg (x + 1) + lg (x − 3) = = lg (4x − 11). Med logaritmlag 1 kan vi göra omskrivningen lg (x + 1)(x − 3) = lg (4x − 11), som ger (x + 1)(x − 3) = = 4x − 11 med rötterna x1 = 2 och x2 = 4. Men x1 = 2 är inte en rot till den ursprungliga ekvationen eftersom lg (x − 3) inte är definierad för detta värde på x. Vi har vid lösningen fått en ekvation som inte är ekvivalent med den första, vilket resulterar i en falsk rot. Se även problemlösningsuppgiften här i Lärarguiden på sidan 233.

Richterskalan

Richterskalan är en skala som mäter storleken (magnituden) hos jordbävningar. Skalan har namngivits efter den amerikanske seismologen Charles Richter (1900–1985) som utvecklade den första versionen av skalan år 1935. Sedan dess har flera justeringar av skalan gjorts, både av Richter själv och av andra. I dag används främst den skala som kallas momentmagnitudskalan. Den beräknar magnituden utifrån det som kallas det seismiska momentet, som kan beräknas via avläsningar från seismografer. Sambandet mellan det seismiska momentet M0, som mäts i enheten N · m, och jordbävningens magnitud på momentmagnitudskalan Mw ges av formeln

Mw = 2 3 lg M0 − 10,7 Mw blir här dimensionslös, dvs. saknar enhet.

I uppgift 5243 och i problemlösningsuppgiften på s. 237 här i Lärarguiden bestämmer vi magnituden med en annan formel, som bygger på att förhållandena mellan de seismiska energierna som frigörs vid två olika jordbävningar är kända.

Logaritmer i andra baser

Att arbeta med logaritmer i andra baser kan vara ett sätt att befästa logaritmbegreppet. Vi har märkt att variationen av baser kan göra att en del elever för första gången inser att en logaritm motsvarar en exponent. För elever som ska läsa Matematik fortsättning nivå 1c kan det vara en fördel att ha sett logaritmer i andra baser än tio eftersom de där kommer att arbeta med basen e och den naturliga logaritmen. Ett övningsblad med logaritmer i andra baser finns i kopieringsmaterialet Prov, Övningsblad och Aktiviteter.

Övningsblad

Logaritmer i andra baser

Aktivitet

Logaritmalias

5236 En fabrik måste minska sina utsläpp i sjöar och vattendrag med sammanlagt 20 % under de följande fyra åren.

a) Hur stor bör den årliga utsläppsminskningen vara i procent, om man eftersträvar en lika stor relativ minskning under vart och ett av åren?

b) Anta att samma årliga reduktionsmål tilllämpas även efter fyraårsperioden. Hur många år kommer det att ta innan utsläppen minskat till mindre än hälften av de ursprungliga? (Finländsk studentexamen, 2006)

5237 Oljeproduktionen i ett land minskar med 7 % per år. Hur länge dröjer det tills oljeproduktionen halverats om minskningen fortsätter på samma sätt?

5238 Jordbävningen vid Salomonöarna år 2007 hade magnituden 8 på Richterskalan. Magnituden M beräknas med formeln

M = 2 3 (lg E − 4,4) där E är den frigjorda energin i joule. Hur mycket energi frigjordes i jordbävningen vid Salomonöarna?

5239 Magnituden M är ett mått på hur starkt en stjärna lyser och kan beräknas med hjälp av formeln

M − 5 = a − 5 lg r 3 ∙ 1016 där r är avståndet i meter från jorden till stjärnan och a en konstant för en specifik stjärna, se tabell nedan.

Stjärnans namn Ma r Solen 4,80−26,71,50 ∙ 1011 Sirius A −1,468,16 ∙ 1016 Proxima Centauri15,511,1

a) Beräkna magnituden M för stjärnan Sirius A.

b) Beräkna avståndet r till stjärnan Proxima Centauri. (np Ma2c vt 2015)

5240 Antalet isbjörnar i Baffin Bay har under de senaste 30 åren minskat med 30 %. I dag uppskattas antalet isbjörnar i området till 2 100 st. Anta att minskningen fortsätter i samma takt och beskriv isbjörnsbeståndet i Baffin Bay från i dag med en a) exponentiell modell

b) linjär modell

c) Hur länge dröjer det enligt respektive modell innan isbjörnarna i Baffin Bay är utrotade?

Nivå 3

5241 Med kol-14 metoden kan man bestämma hur gammalt ett arkeologiskt fynd är. Metoden bygger på att mängden kol-14 är konstant i allt levande och när organismen dör och inga atomer av kol-14 tillförs, så sönderfaller de kol-14-atomer som då finns i den. Halveringstiden för kol-14 är 5 730 år. Halten kol-14 är 1,2 ∙ 10−6 ppm i levande organismer. Hur gammalt är ett arkeologiskt fynd som innehåller 1,0 ∙ 10−7 ppm kol-14?

5242 I en sjö uppmättes vid ett tillfälle pH-värdet till 6. Tre år senare visade nya mätningar att sjön hade försurats och pH-värdet uppmättes till 4,5. Hur många gånger högre var vätejonkoncentrationen vid den andra mätningen?

5243 En jordbävnings magnitud (styrka) anges med Richterskalan. Magnituden M bestäms enligt M = 2 3 (lg E − K) där E är den frigjorda energin och K är en korrektionskonstant som beror på avståndet till jordbävningens epicentrum. Visa att cirka 32 gånger mer energi frigörs för varje ökning med 1 på Richterskalan.

Kommentarer till uppgifterna

I uppgifterna 5238 och 5243 får eleverna bestämma styrkan på jordbävningars magnitud enligt den så kallade Richterskalan. I uppgift 5239 beräknas ljusstyrkan, eller magnituden, för en stjärna. Richterskalan och magnituden för en stjärna är ytterligare exempel på logaritmiska skalor och visar på matematikens användbarhet.

Ledtrådar till uppgifterna

5239 b) Lös ut r från den givna formeln och använd tabellvärdena.

5241 Att halveringstiden för kol­14 är 5 730 år innebär att mängden kol­14 har halverats efter 5 730 år. Minskningen är exponentiell. Använd det för att ställa upp en ekvation.

5242 Notera att pH­värdet definieras med hjälp av logaritmen av vätejonkoncentrationen. Se exemplet på sidan 236.

5243 Lös ut E från den givna formeln och visa att en ökning med 1 i magnitud motsvarar att kvoten mellan energierna är ungefär lika med 32.

Logaritmer med andra baser

Vi har tidigare visat att man med hjälp av tiologaritmer kan skriva alla positiva tal som en potens med basen 10. Till exempel kan talet 7 skrivas som 10lg 7

Men det är ingenting som säger att man måste ha just talet 10 som bas. Vi kan definiera logaritmer för vilken positiv bas som helst. Vill vi exempelvis skriva talet 7 som en potens med basen 2, så kallar vi den sökta exponenten för tvålogaritmen för 7 och betecknar den log2 7. Enligt denna definition har vi alltså att

7 = 2log2 7 Tvålogaritmen till 7 är det tal vi ska upphöja 2 till för att få talet 7

I figuren här intill har vi ritat grafen till y = 2x och y = 10x. Ur den blå grafen kan vi avläsa att

7 ≈ 22,8

dvs. log2 7 ≈ 2,8. Vi ser också tydligt att log2 7 inte har samma värde som lg 7. Från den röda grafen kan vi avläsa att 7 ≈ 100,85, dvs. lg 7 ≈ 0,85.

7 ≈ 22,8 ⇔ log2 7 ≈ 2,8

7 ≈ 100,85 ⇔ lg 7 ≈ 0,85

Eftersom värdemängden för y = 2x är alla positiva tal, så kan vi skriva alla positiva tal som en potens med basen 2. Enligt samma resonemang kan vi definiera logaritmer även för andra baser än 10 och 2.

Definition av logaritmer c-logaritmen till ett positivt tal y betecknas logc y och är exponenten när talet y skrivs som en potens med basen c y = cx ⇔ x = logc y där y och c är positiva tal samt c ≠ 1

Logaritmer med andra baser

I det centrala innehållet för Matematik nivå 2c anges att undervisningen ska behandla begreppet logaritm samt motivering och hantering av räkneregler för logaritmer. Vi har tolkat detta som att logaritmer i andra baser än tio bör behandlas inom ramen för Matematik nivå 2c. Det är förmodligen en fördel att eleverna har bekantat sig med logaritmer i någon annan bas än tio innan de stöter på den naturliga logaritmen i Matematik fortsättning nivå 1c. Avsnittet är ett utmärkt sätt att repetera och fördjupa logaritmbegreppet och få eleverna att förstå att man kan definiera logaritmer i vilken bas som helst. Vi har märkt att variationen av baser kan leda till att vissa elever för första gången inser att en logaritm motsvarar en exponent.

Viktiga begrepp

Den här definitionen omfattar även tiologaritmen. Men eftersom den är en av de mest använda logaritmerna, har den fått den egna beteckningen lg y i stället för den lite krångligare allmänna beteckningen log10 y

Logaritmlagar Logaritmlagarna gäller för alla baser, även om vi tidigare har härlett dem endast för basen 10. För basen 2 gäller till exempel att log2 12 = log2 (4 ∙ 3) = log2 4 + log2 3 och att

log2 12 − log2 3 = log2 12 3 = log2 4 y x 1 1 y = 10x y = 2 log2 7 ≈ 2,8 22,8 ≈ 7 100,85 ≈ 7 lg 7 ≈ 0,85

LOGARITMER u 5.2 LOGARITMLAGAR 239

Övningsblad

Logaritmer i andra baser

logaritm, c­logaritmen till ett positivt tal y betecknas logc y och är exponenten när talet y skrivs som en potens med basen c y = cx ⇔ x = logc y, där y och c är positiva tal och c ≠ 1.

Att

tänka på

Det är viktigt att eleverna förstår att notationen log2 3 inte är tre separata enheter utan representerar ett tal.

Tips

Introducera gärna logaritmer i andra baser med konkreta exempel som utgår från kända potenser, t.ex.

Om 25 = 32, så är log2 32 = 5

Om 72 = 49, så är log7 49 = 2.

Exempel

Bestäm utan att använda räknare

a) log2 64 b) log3 81

c) log7 1 49 d) log5 1

Lösning/Kommentar

a) log2 64 = 6 Eftersom 64 = 26

b) log3 81 = 4 Eftersom 81 = 34

c) log7 1 49 = −2

d) log5 1 = 0

Eftersom 1 49 7−2

Eftersom 1 = 50

I deluppgift d) kan man uppmärksamma att logc 1 = 0 för alla möjliga baser c.

Resonemangsuppgift

Vilket tal är störst

a) log2 28 eller lg 128

b) log0,5 3 eller log0,5 5

Lösning/Kommentar

a) Eftersom 24 = 16 och 25 = 32 så är

4 < log2 28 < 5. Eftersom 102 = 100 och

103 = 1 000 så är 2 < lg 128 < 3.

Svar: log2 28 är störst

b) Eftersom 0,5−1 = ( 1 2 )−1 = 2 och 0,5−2 = ( 1 2 )−2 = 22 = 4,

så är −2 < log0,5 3 < −1, och eftersom

0,5−3 = ( 1 2 )−3 = 23 = 8, så är −3 < log 0,5 5 < −2.

Svar: log 0,5 3 är störst.

Det här är en uppgift som med fördel kan genomföras i par. Då får eleverna formulera och motivera sina slutsatser för varandra. Deluppgift b) lämpar sig för de elever som behöver en ordentlig utmaning. Svaret förvånar nog många elever eftersom log 0,5 3 > log 0,5 5 trots att 3 < 5.

Aktivitet

Logaritmalias

Tips

Om man vill bestämma värdet av en logaritm med någon annan bas än 10 kan man använda sig av formeln

logc a = lg a lg c . Formeln kan med fördel härledas.

Härledningen kan göras på följande sätt:

Om c x = a så är x = logc a

Löser vi i stället ekvationen c x = a med hjälp av tiologaritmer får vi:

lg c x = lg a som ger x lg c = lg a x = lg a lg c dvs. logc a = lg a lg c

Logaritmlagarna

1. logc AB = logc A + logc B

2. logc A B = logc A − logc B

3. logc Ap = p ∙ logc A där A B > 0 och p kan vara vilket reellt tal som helst

Exempel: Bestäm utan att använda digitalt hjälpmedel. a) log2 8 b) log3 81

Lösning: a) log2 8 är det tal som 2 ska upphöjas till för att få talet 8. Eftersom 23 = 8 så är log2 8 = 3. Enligt definitionen

Svar: log2 8 = 3 b) log3 81 är det tal som 3 ska upphöjas till för att få talet 81. Eftersom 34 = 81 så är log3 81 = 4. Enligt definitionen

Svar: log3 81 = 4

Exempel: Bestäm utan att använda digitalt verktyg. a) 3log3 4 b) 8log8 27

Lösning: a) 3log3 4= 4 b) 8log8 27 = 27

Exempel. Lös ekvationen 3x = 5.

Lösning: Den här ekvationen kan vi lösa algebraiskt på olika sätt.

Metod 1 – Använd logaritm med basen 3 3x = 5 x = log3 5

Det går även att skriva om båda led till basen 10

Metod 2 – Med logaritmlagarna 3x = 5 Logaritmera båda led lg 3x = lg 5 Eftersom 3 = 5 så är också lg 3 = lg 5

x lg 3 = lg 5 Enligt tredje logaritmlagen: lg Ap = p lg A

x = lg 5 lg 3 ≈ 1,5 log3 4 är den exponent som 3 ska upphöjas till för att få talet 4 log8 27 är den exponent som 8 ska upphöjas till för att få talet 27 Det här är en exakt lösning. vissa digitala verktyg (t.ex. GeoGebra) kan även ge log3 5 ≈ 1,5.

LOGARITMER u 5.2 LOGARITMLAGAR 240

Nivå 1

Lös följande uppgifter utan att använda digitalt hjälpmedel.

5244 a) Skriv 27 som en potens med basen 3. b) Bestäm log3 27.

5245 a) Skriv 64 som en potens med basen 2 b) Bestäm log2 64.

5246 Skriv 28 561 som en potens med basen 13 om du vet att log13 28 561 = 4.

5247 Bestäm a) log3 9 b) log4 64 c) log7 49 d) log2 32

5248 Bestäm med hjälp av figuren så noggrant som möjligt värdet av a) lg 3 b) log3 3 c) log2 3 d) log3 5 y x 1 2 2 4 6 8

5249 Skriv talen som en potens med basen 3. a) 20 b) 7 c) 20 000

5250 Bestäm om möjligt a) 2log2 5 b) 3log3 (−2) c) 5log5 4 d) 8log8 12

Nivå 2

5251 Lös ekvationen 7x = 343 på två olika sätt. Ta hjälp av exemplet på föregående sida.

5252 Visa att log3 AB = log3 A + log3 B, dvs. visa att den första logaritmlagen gäller för logaritmer med basen 3.

5253 Visa att log2 A B = log2 A − log2 B, dvs. visa att den andra logaritmlagen gäller för logaritmer med basen 2.

Nivå 3

5254 Lös ekvationerna a) log2 64 = x ∙ log8 64 b) x ∙ log3 9 = log4 16 log2 16

5255 Visa att

a) loga x = lg x lg a

b) loga b ∙ logb a = 1

5256 Visa att om a > 0, så gäller att a = x√b ⇔ loga b = x

Resonemang och begrepp

Förklara varför lg AB = lg A + lg B endast gäller för positiva tal A och B Rita graferna till y = lg x och y = lg 10 x. Beskriv likheter och skillnader mellan de två graferna och förklara varför graferna ser ut som de gör.

Förklara hur man med logaritmers hjälp kan göra om beräkningar så att multiplikation och division blir till addition och subtraktion.

Går det att definiera logaritmer med en bas som inte är ett heltal?

Ledtrådar

till uppgifterna

LOGARITMER u 5.2 LOGARITMLAGAR 241

5249 Ta hjälp av det andra exemplet på sidan 240.

5252 Skriv om A och b enligt det andra exemplet på sidan 240. Använd sedan potensreglerna.

5254 Skriv om logaritmerna enligt logaritmlag 3 och förenkla.

5255 a) Sätt y = loga x. Vad blir då x?

5256 Använd att x√b = b 1 x

Svar till Resonemang och begrepp

Tiologaritmer är bara definierade för positiva tal A och B, eftersom ingen potens av 10 är ett negativt tal. Alltså är inte högerledet i sambandet lg AB = lg A + lg B definierat om något av talen A och B är negativt.

Grafen till y = lg 10x kommer att ligga exakt 1 enhet ovanför kurvan y = lg x, eftersom lg 10x kan skrivas om till lg 10 + lg x = 1 + lg x med hjälp av logaritmlagarna. Se graferna i figuren här nedanför.

lg 10x

= lg

Vi konstruerar en tabell där ena raden består av positiva heltal 1–8 och raden under består av t.ex. 3 upphöjt till respektive heltal på raden ovanför.

12345678 1927812437292 1876 561

Vill man t.ex. beräkna 243 ∙ 27, så skriver man först om det till 35 ∙ 33. Sedan kan man i stället beräkna 5 + 3 = 8 och läsa av resultatet som står rakt under talet 8 i den övre raden. Man får att 35 ∙ 33 = 6 561. Om man vill

beräkna 2 187 9 så kan man läsa av exponenten som står rakt ovanför respektive tal. Vi får då 37 32 , och nu kan man i stället beräkna 7 – 2 = 5 och läsa av resultatet som står rakt under talet 5 i övre raden, dvs. 243.

Att dessa metoder fungerar följer direkt av potenslagarna 3a ∙ 3b = 3a + b respektive 3a 3b = 3a – b. Basen 3 kan bytas ut mot en annan godtycklig bas.

Ja, det går att definiera logaritmer för andra baser än heltalsbaser, till exempel 0,3­logaritmer.

Kommentarer till uppgifterna

Uppgifterna på Nivå 1 fokuserar på definitionen av logaritmer med olika baser. De är valda så att de ska vara relativt enkla när man väl förstått betydelsen av definitionen y = cx ⇔ x = logc y. I uppgift 5251 får eleverna lösa en enkel exponentialekvation på två olika sätt. På det sättet befästs metoderna i kapitlet. I 5252 och 5253 får eleverna själva härleda logaritmlagarna för andra baser än 10. De kan då vara hjälpta av motsvarande härledningar för basen 10 på sidan 231 i elevboken.

Uppslaget

Svar till Undersök

Poängräkning i sjukamp

Ur tabellen får vi a = 0,188807, b = 210 och c = 1,41.

Med M = 699 får vi poängen:

P = 0,188807(699 − 210)1,41 ≈ 1 169

Svar: Deltagaren får 1 169 poäng.

Ur tabellen får vi a = 15,9803 och b = 3,8.

M = 48 och P = 822 ger ekvationen

822 = 15,9803(48 − 3,8)c 822

15,9803 = 44,2c

c = lg 822 15,9803 lg 44,2 ≈ 1,04

Svar: Värdet av konstanten c är 1,04.

Carolina Klüft hade behövt ta 7 009 − 6 047 = = 962 poäng i sista grenen. Med a = 0,11193, b = 254 och c = 1,88 får vi ekvationen

962 = 0,11193(254 − M)1,88 962

0,11193 = (254 − M)1,88 ( 962 0,11193 ) 1 1,88 = 254 − M

M = 254 − ( 962 0,11193 ) 1 1,88 ≈ 130

Svar: Hon hade behövt springa på ca 2 minuter och 10 sekunder eller snabbare.

Ju snabbare man springer i löpgrenarna, desto högre poäng ska man få. I hopp­ och kastgrenar är det i stället så att du ska få mer poäng ju högre det uppmätta resultatet är. Därför behövs två olika formler, en som avtar med värdet på M och en som växer med värdet på M.

Rätt eller fel?

I en exponentialfunktion är den oberoende variabeln i exponenten.

En exponentiell modell beskriver ett förlopp där något minskar eller ökar med samma antal hela tiden.

Tiologaritmer är definierade bara för positiva tal.

1 2 3 4 5 6 7 8

Om lg x = A, så är lg 10x = A + 1.

Undersök

Poängräkning i sjukamp I sjukamp tävlar deltagarna i olika grenar. För att kunna summera resultaten från dessa grenar räknas resultatet i varje gren om till poäng. Internationella friidrottsförbundet (IAAF) har bestämt de två formler som används för poängberäkning.

För löpgrenar används:

Poäng = a ∙ (b − M)c För kast- och hoppgrenar används: Poäng = a ∙ (M − b)c

Förklaring:

M = Uppmätt resultat (löpning i sekunder, hopp i centimeter, kast i meter) a b c = konstanter, se tabellen (b är det sämsta resultat som ger poäng) u Det svenska rekordet i längdhopp för damer är 699 cm. Hur många poäng får en deltagare om hon hoppar så långt i en sjukamp?

Tiologaritmen för ett tal a, lg a är alltid större än noll.

I en potensekvation är den obekanta i exponenten.

Logaritmlagen lg AB = lg A + lg B gäller även då både A och B är mindre än noll.

Man kan lösa potensekvationer med hjälp av logaritmer.

u värdet på konstanten c för spjutkastning har fallit bort i tabellen. Bestäm c om du vet att ett kast på 48 meter ger 822 poäng.

u vid OS i Aten 2004 hade Carolina Klüft 6 047 poäng inför sista grenen som var 800 meter. vilken tid hade hon behövt springa på för att slå det då gällande europarekordet på 7 009 poäng?

u varför används två olika formler? (np MaC vt 2005)

Gren Konstanter a bc

200 m 4,9908742,51,81

800 m 0,111932541,88

100 m häck9,2307626,71,835

Höjdhopp1,84523751,348

Längdhopp0,1888072101,41

Kula 56,02111,51,05

Spjut 15,98033,8

Svar till Rätt eller fel?

1 Rätt. En exponentialfunktion skrivs y = Cax, där x är den oberoende variabeln.

2 Fel. Exponentiella modeller beskriver förlopp där något ökar eller minskar med lika många procent hela tiden (inte med samma antal).

3 Rätt. Det finns ingen potens av 10 som har ett negativt värde.

4 Rätt. Enligt första logaritmlagen gäller att lg AB = lg A + lg B, vilket i det här fallet ger lg 10x = lg x + lg 10 = A + 1.

5 Fel. Till exempel så är lg 0,1 = −1 eftersom 0,1 = 1 10 = 10−1.

6 Fel. En potensekvation skrivs Cxa = b, där x är den obekanta.

7 Fel. Om både A och B är mindre än noll så är inte lg A och lg B definierade. Det beror på att det inte finns någon potens av 10 som har ett negativt värde.

8 Rätt (och fel). Det går att lösa potensekvationer med logaritmer, men det är omständligt. Det är framförallt exponentialekvationer man löser med hjälp av logaritmer.

Problemlösning och modellering

Konserten

Eva och Per ska gå på en konsert.

– Spelar dom högt, undrar Eva oroligt.

– nja, det är förbjudet att ha en ljudnivå som är högre än 115 decibel. Jag vet inte hur noga man är med att följa de reglerna på rockkonserter. Jag har hört att man på vissa ställen har ljudblockerare som helt enkelt stänger av strömmen när ljudet blir för starkt.

– Hur mycket är 115 dB? Jag vill inte ha ont i huvudet i en vecka efteråt.

– Smärtgränsen, dvs. när det börjar göra ont i öronen, ligger vid 130 dB.

– Oj, det är ju jättenära 115 dB!

– Jag har hört att en ökning på 3 dB innebär en fördubbling av ljudintensiteten. Den högsta uppmätta ljudnivån under ett musikevenemang var under en konsert med Dire Straits 1992. Då uppmättes 134 dB.

– Tur att vi inte var där, då hade vi kanske haft tinnitus nu. Du vet när det ringer i öronen hela tiden.

– vi kan ju ta öronproppar med oss för säkerhets skull.

– Bra idé! Jag vill ju inte missa konserten.

Ljudnivån, L dB, beräknas enligt nedanstående formel där I är ljudintensiteten i W/m2 och

I0 = 10−12 W/m2 är ljudintensiteten hos det svagaste ljud örat anses kunna uppfatta.

L = 10 ∙ lg I 0

Ungefärliga decibelvärden för olika ljud

0 dBdet svagaste ljud örat kan uppfatta

10 dBen andning på 3 m avstånd

20 dBen viskning

60 dB normalt samtal

90 dBgräsklippare

115 dBkonsert eller motorsåg på 1 m avstånd

130 dBsmärtgräns

190 dB trumhinnan kan spricka

u vilken ljudnivå har en viskning som har ljudintensiteten 10−9 W/m2?

u vilken ljudintensitet är det i en industrilokal där ljudnivån är 75 dB?

u Hur många gånger högre ljudintensitet har smärtgränsen jämfört med den högst tillåtna ljudnivån vid en konsert?

u Per säger att en fördubbling av ljudintensiteten innebär en höjning av ljudnivån med 3 dB. Undersök om detta är sant. välj flera olika intensiteter.

u visa med hjälp av logaritmlagarna att Pers påstående alltid stämmer.

Enheten bel

Ljudstyrka mäts vanligtvis i enheten decibel (dB), som är en tiondels bel (B). Enheten är uppkallad efter uppfinnaren och vetenskapsmannen Alexander Graham Bell.

Fechners lag

Under 1800 ­ talet undersökte Gustav Theodor Fechner hur våra sinnen reagerar på intryck. Han fann att vår upplevelse av ljud är proportionell mot logaritmen av ljudets intensitet. Detta överensstämmer med den logaritmiska skalan för ljudnivå: L = 10 ∙ lg I I0 . Att vår upplevelse av styrkan hos ljud är logaritmisk möjliggör att vi kan uppfatta en bred skala av ljudintensiteter. Det innebär också att vi uppfattar en relativ förändring av ljudintensiteten som en absolut höjning av ljudnivån. Vi uppfattar alltså förhållanden mellan ljudintensiteter som skillnader i ljudnivå (jfr logaritmlag 2).

Det blir eleverna varse i punkt 4 i uppgiften Konserten, där en fördubbling av ljudintensiteten motsvarar en absolut höjning av den upplevda ljudnivån med 3 dB.

Svar till Problemlösning och modellering

Konserten

L = 10 lg 10−9 10−12 = 10 lg 103 = 10 ∙ 3 = 30 dB

75 = 10 lg I 10−12 ger 7,5 = lg I − lg 10−12

7,5 = lg I − (−12) medför lg I = 7,5 − 12 = −4,5

I = 10−4,5 W/m2 ≈ 3,2 ∙ 10−5 W/m2

Ekvationen 115 = 10 lg I 10−12 har lösningen

I = 10−0,5 W/m2 ≈ 0,3 W/m2

Ekvationen 130 = 10 lg I 10−12 har lösningen

I = 10 W/m2

10

10−0,5 = 101,5 ≈ 32

Svar: Intensiteten är ca 32 gånger högre vid smärtgränsen jämfört med vid den högsta tillåtna ljudnivån vid konsert.

I = 10−10 ger L = 20 dB och I = 2 ∙ 10−10 ger L = 23 dB

I = 10−2 ger L = 100 dB och I = 2 ∙ 10−2 ger L = 103 dB

En fördubbling av ljudintensiteten ger i båda dessa exempel en ökning av ljudnivån med 3 dB.

Vid ljudintensiteten I = a är ljudnivån

L1 = 10 ∙ lg a 10−12

Fördubblar vi ljudintensiteten blir ljudnivån

L2 = 10 ∙ lg 2a 10−12

Skillnaden i ljudnivå ges av:

L2 − L1 = 10 ∙ lg 2a 10−12 − 10 ∙ lg a 10−12 =

= 10 ( lg 2a 10−12 − lg a 10−12 ) = 10 lg ( 2a 10−12 / a 10−12 ) = = 10 ∙ lg 2 ≈ 3 dB

Kommentar: Uppgiften kan utvidgas till att låta eleverna visa att formeln för ljudnivå kan skrivas:

L = 120 + 10 ∙ lg I

LOGARITMER  UPPSLAGET 243

Vi avläser i den första kolumnen på rad 3 värdet 0792 (som motsvarar 12) och på rad 7 i samma kolumn värdet 2041 (som motsvarar 16). Vi adderar dem och får 2833. Talet 2833 hittar vi i den tredje kolumnen på rad 10 (som motsvarar 19) och vi avläser att det motsvarar talet 19,2. Eftersom 10 ∙ 10 = 100 och 20 ∙ 20 = 400 kan vi sluta oss till att vårt svar ska ligga någonstans däremellan och att decimalkommat därför ska flyttas ett steg åt höger. Svaret blir 192.

Att beräkningen fungerar kan vi motivera på följande vis: lg 12 ≈ 1,0792 och lg 16 ≈ 1,2041.

Alltså är lg (12 ∙ 16) = lg 12 + lg 16 ≈ 1,0792 + 1,2041 = = 2,2833.

12 ∙ 16 är då 10lg (12 ∙ 16) = 102,2833 = 101 + 1,2833 = = 101 ∙ 101,2833 = 10 ∙ 19,2 = 192.

Vi beräknar 4 ∙ 1,3 med hjälp av räknestickan och multiplicerar sedan resultatet med 10. 1:an på skala C är redan placerad över 1,3 på skala D, så vi för (i tanken) slidern till 4:an på skala C och avläser 5,2 nedanför 4:an.

Vi multiplicerar svaret med 10 och får 10 ∙ 5,2 = 52.

För att beräkna 18 ∙ 13 börjar vi med att utföra beräkningen 1,8 ∙ 1,3 med hjälp av räknestickan. Eftersom 1:an på skala C redan är placerad över 1,3 på skala D, så för vi slidern till 1,8 på skala C och avläser 2,34 nedanför 1,8. Detta är produkten av 1,8 och 1,3. Multiplicerar vi resultatet med 100 får vi 2,34 ∙ 100 = 234.

Detta är produkten av 18 och 13 eftersom 18 ∙ 13 = = 1,8 ∙ 10 ∙ 1,3 ∙ 10 = 1,8

1,3

100.

Från logaritmtabell till räknesticka

Räkneproblem

Det var inte lätt att utföra komplicerade beräkningar före 1600-talet. Om matematiker, astronomer eller fysiker behövde multiplicera stora tal med varandra, så fick de lägga ner massor av tid på det. Därför var det en fullkomlig revolution när John Napier (1550−1617) och Henry Briggs (1561−1630) i början av 1600-talet introducerade logaritmtabeller. Det innebar kanske ett lika stort framsteg för matematiken som datorernas intåg. Den franske astronomen och matematikern Pierre Simon de Laplace (1748−1827) påstod till exempel att logaritmtabellernas förenkling av beräkningarna fördubblade en astronoms livslängd.

John Napier

John Napier var en skotsk matematiker, fysiker, astronom och astrolog. Hans fullständiga namn var John Napier of Merchiston och han kallades ofta för ”Marvellous Merchiston” av sin beundrande omvärld. Han delade sin tid mellan vetenskapliga och teologiska studier. Teologin var ofta uppblandad med magi och tro på allehanda ockulta företeelser. Han använde sin matematiska begåvning till att beräkna tiden för världens undergång, som han förutspådde till antingen år 1688 eller år 1700. Han var av många ansedd som en trollkarl, och en av de många historierna om honom handlar om att han med hjälp av en tupp lyckades avslöja en tjuv bland sina tjänare. Han stängde in tjänarna, en åt gången, i en kammare med en tupp. Tjänarna hade blivit tillsagda att stryka tuppen över ryggen varvid tuppen skulle kunna tala om för Napier om tjänaren var skyldig eller inte. Det hela lyckades och tjuven blev avslöjad. Inte med hjälp av magi den här gången, utan det hade gått till så att Napier hade behandlat tuppen med kol och alla tjänarna hade svarta händer utom den som var skyldig, eftersom han av rädsla att bli avslöjad inte hade strukit tuppen över ryggen.

”Napiers bones” var ett räknehjälpmedel konstruerat av John Napier.

Skala D

Slider Skala C

John Napier (1550−1617)

Beräkna 12 ∙ 16 med hjälp av logaritmtabellen.

?

Använd bilden av räknestickan och beräkna 4 ∙ 13 och 18 ∙ 13. Tänk på att du själv måste placera decimalkommat rätt.

På internet kan du hitta räknestickor att öva på.

Logaritmtabeller

Napiers bok Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, vars svenska titel närmast skulle vara En beskrivning av en underbar tabell av logaritmer, publicerades år 1614 och innehöll bl.a. 90 sidor med logaritmtabeller. Ett av problemen med tabellerna var att Napier inte definierade logaritmen på samma sätt som vi har gjort. Det var inte förrän man räknade om logaritmtabellerna till tiologaritmer som logaritmer fick sitt stora genomslag. Med en logaritmtabell kan man utföra svåra multiplikationer och divisioner med hjälp av addition och subtraktion. Vi ska beräkna 13,3 21,2 med hjälp av logaritmtabellen här till vänster. Logaritmen för talet 13,3 är 1,1239. Observera att tabellen ger decimalerna. Heltalsdelen får man själv lista ut.

Enligt logaritmlagarna är lg (13,3 ∙ 21,2) = lg 13,3 + lg 21,2. Vi letar reda på motsvarande värden i logaritmtabellen och adderar dem: 1239 + 3263 = 4502. Vi hittar värdet 4502 i logaritmtabellen och avläser resultatet till 282. Var decimaltecknet ska placeras måsta man sedan tänka ut. Eftersom 13,3 ∙ 21,2 ≈ 13 20 = 260, så bör produkten vara just 282. På samma sätt kan vi beräkna 19 ∙ 1,11 som 2788 + 0453 = 3241. Vi hittar värdet 3243 (som är det värde som ligger närmast 3241) och avläser och tolkar svaret till 21,1 (med räknaren 19 ∙ 1,11 = 21,09).

Räknestickan

Räknestickan kan ses som en utveckling av logaritmtabellerna. Den bestod av logaritmiska skalor som kunde röras i förhållande till varandra. En föregångare var antagligen engelsmannen William Gunthers ”line of numbers”. Han konstruerade ett antal trälinjaler med logaritmiska skalor som kunde förskjutas i förhållande till varandra och därmed utföra multiplikationer och divisioner. Den första verkliga räknestickan brukar dock anses vara konstruerad av den engelske prästen och matematikern William Oughtred år 1622. Ständiga förbättringar ledde sedan fram till det verktyg som kom att vara centralt inom matematiken i över 300 år, ända in på 1970-talet då miniräknarna tog över. När vi utför multiplikationen 2 ∙ 1,3 med hjälp av räknestickan, så börjar vi med att sätta 1:an på skala C över 1,3 på skala D och sedan föra slidern till 2:an på skala C. Resultatet 2,6 kan avläsas under 2:an.

Räknestickan

En räknesticka består av en avlång rektangel indelad horisontellt i tre delar. På varje del är en logaritmisk skala ingraverad. Om man avläser graveringen från 1 till 2,1 på stickan så är den biten av stickan lg 2,1 enheter lång. Avläser man från 1 till 1,6 på stickan så är den lg 1,6 enheter lång. Vill man beräkna produkten 2,1 ∙ 1,6 använder man den rörliga delen av stickan för att placera de två sträckorna efter varandra. På så sätt skapar man en sträcka som är lg 2,1 + lg 1,6 enheter lång. På räknestickan kan man avläsa detta till 3,36. Det betyder att den sammanlagda sträckan är lg 3,36 enheter lång, dvs. lg 2,1 + lg 1,6 = = lg 3,36. Första logaritmlagen ger lg (2,1 ∙ 1,6) = lg 3,36 och vi kan därför dra slutsatsen att 2,1 ∙ 1,6 = 3,36.

Vill man i stället beräkna 210 ∙ 160 utnyttjar man att 210 ∙ 160 = 2,1 ∙ 100 ∙ 1,6 ∙ 100 och multiplicerar resultatet från beräkningen 2,1 ∙ 1,6 med 10 000.

Tankekarta

Logaritmer

Exponentialfunktioner

f x = Ca där a > 0

upprepade procentuella förändringar med konstant förändringsfaktor

Potensekvationer

ekvationer i formen xn = a den obekanta är bas i en potens grafisk lösning algebraisk lösning: x a1/ = n√a där n ≥ 2 är ett heltal. Om n är jämnt är även x = − n√a en lösning.

Tillämpningar

populationsförändringar logaritmiska mått

Logaritmer i andra baser y = cx ⇔ x = logc y

Exponentialekvationer

ekvationer i formen ax = b den obekanta exponenten grafisk lösning algebraisk lösning med hjälp av logaritmer

Tiologaritmer

y = 10x ⇔ x = lg y (y > 0) tal skrivna som en potens med basen 10: y = 10lg y

Logaritmlagarna

1. lg AB = lg A + lg B 2. lg A B = lg A − lg B 3. lg Ap = p ∙ lg A där A > 0, B > 0 och p kan vara vilket tal som helst

Nivå 1

1 Bestäm utan att använda digitalt hjälpmedel.

a) lg 10 000 b) 10lg 0,1 c) lg 1

2 Bestäm vinkeln x a) b) 2x x

3 Lös ekvationerna utan att använda digitalt hjälpmedel.

a) 10x = 100 b) x2 = 100

4 Är månghörningarna likformiga? Motivera ditt svar.

16 6 9 (cm)

5 Använd tiologaritmer och skriv talen som en potens med basen 10. Ange exponenten både exakt och med ett närmevärde.

a) 5 b) 19

c) 0,4 d) 7 000

6 För en andragradsfunktion f gäller att f(x) = x2 − 2x − 3.

a) Lös ekvationen f(x) = 0.

b) Ange funktionens nollställen.

c) Bestäm symmetrilinjens ekvation.

d) Ange koordinaterna för funktionens extrempunkt och ange extrempunktens karaktär.

7 Hur många lösningar finns det till var och en av ekvationerna

a) x13 = 81

b) x14 = 81

c) x15 − 81 = 0

8 Är triangeln i figuren rätvinklig? Motivera ditt svar. 22 45 51 (cm)

9 Beräkna utan att använda digitalt hjälpmedel. a) 23 b) (23)3 c) 3√ ( 23 )

10 Lös ekvationerna. a) 10x = 121 b) 17 = 2 · 10x c) 103x = 3 728

11 Lös följande ekvationer och svara exakt. a) 8x = 22 b) x8 = 22 c) 8x = 22

12 Trianglarna i figuren är likformiga. Bestäm sidan x 10 16 (cm) 18 x

13 Lös ekvationerna a) 3x = 7 b) 8 = 3 · 4x c) 5 + 2 · 3x = 14

14 Lös ekvationerna algebraiskt. Svara exakt. a) x2 − 7 = 0 b) (

15 Annas aktier är värda 5 000 kr. De minskar i värde under en arbetsvecka (5

Arbetsförslag

Ett bra sätt att repetera viktiga begrepp och synliggöra vanliga missuppfattningar är att kontrastera olika begrepp och metoder från tankekartan mot varandra. Låt t.ex. eleverna beskriva skillnaderna mellan

 potensekvationer och exponentialekvationer

 en grafisk och en algebraisk lösning

 att lösa en exponentialekvation genom att skriva om båda led med basen 10 och att lösa ekvationen genom att använda logaritmlag 3

Begreppsloop

Ett annat sätt att repetera viktiga begrepp om logaritmer och deras egenskaper är att göra en så kallad begreppsloop. I kopieringsmaterialet Prov, Övningsblad och Aktiviteter finns en begreppsloop till kapitlet. Där finns också en aktivitet där eleverna får ta ställning till om påståenden är sanna eller falska och motivera sina svar.

Aktivitet

Begreppsloop – Logaritmer Sant eller falskt

16 Förenkla √x x + √x5 x2 17 Avgör om det ska stå ⇒ eller ⇔ mellan följande utsagor. Motivera ditt svar.

”R > r” ”A1 > A2 ” R A1 r A2

18 I början av år 2017 köpte Ylvali andelar i en aktiefond till ett värde av 2 000 kr. Fyra år senare hade värdet minskat till 1 640 kr. Beräkna den genomsnittliga procentuella värdeminskningen per år för hennes fondandelar.

19 Koordinatsystemet visar en rät linje L och en punkt P som ligger på linjen. y P L 2 2 a) Ange ekvationen för den räta linjen L b) Ange ekvationen för en annan rät linje så att den tillsammans med linjen L bildar ett ekvationssystem som har sin lösning i punkten P (np Ma2c vt 2015)

20 Lös ekvationerna med hjälp av logaritmlagarna.

Svara exakt.

a) lg x = lg 8 + lg 2

b) 3 lg x = lg 16 − lg 2

c) lg x − 1 = lg 2

21 Förenkla

a) x2 + 49 − (x − 7)2

b) ( x + 1 4 ) 2 ( x 2 + 1 16 )

c) (x + 52)(x − 52) + 522

22 Lös ekvationerna

a) 5 31,2x = 2

b) 2 − 42x = 1

c) 9 121,35x − 4 = 23

23 För en andragradsfunktion f gäller att f(x) = (x − 3)(x + 6).

a) Ange symmetrilinjens ekvation.

b) För vilket värde på x har grafen till funktionen en minimipunkt.

24 Arean som täcks av vattenväxter i en sjö mellan den 1 juni och 1 september kan beskrivas med modellen A(t) = 45 1,03 där A(t) m2 är arean t dagar efter den 1 juni.

a) Hur stor area täcks enligt modellen av vattenväxter den 1 juni?

b) Hur stor area täcks den 1 juli?

c) Hur lång tid tar det innan 100 m2 täcks av vattenväxter?

25 Beskriv en verklig situation där något a) ökar exponentiellt b) minskar exponentiellt

26 Ge ett förslag på vad funktionen y = 20 000 0,97x kan beskriva.

27 Stefan köper aktier för 10 000 kr. Det går dåligt på börsen, så Stefans aktier minskar i värde med i genomsnitt 5 % varje månad. Hur lång tid tar det innan värdet på aktierna har halverats?

Nivå 2

28 Bestäm längden av alla sidorna i trianglarna. a) 6,0 x 2 (cm)

b) (cm) √ 3 x 10,0 √ 2 x

29 Folkmängden i Umeå har från den 31 december år 2015 till den 31 december år 2020 ökat med 7,8 %. Hur stor genomsnittlig procentuell ökning per år motsvarar det?

30 För en andragradsfunktion gäller att funktionen har ett nollställe för x = −3 och att den antar sitt minsta värde för x = 1. Ange funktionens andra nollställe.

31 I figuren är linjerna K och L parallella och vinkeln v = 72°. Bestäm vinkeln u och motivera hur du kan veta hur stor vinkeln är.

K u v L

32 Punkten (a 5) ligger lika långt från punkten (4, 2) som från (2, 3). Bestäm talet a.

33 Värdet av Pers pengar V kr växer på banken under t år enligt modellen V(t) = 2 500 100,015t a) Hur stor är räntesatsen? b) Hur länge tar det innan värdet av Pers pengar har fördubblats?

34 Vi har funktionerna f(x) = x2 − 4 och g(x) = x − 2. a) Bestäm g(3) b) Bestäm f(g(3)) c) Bestäm f(g(x)).

35 En person tar 4,0 mg av ett läkemedel. Läkemedlet tas upp av kroppen och mängden minskar exponentiellt med tiden. Efter 12 timmar återstår halva mängden. Hur lång tid efter det att personen tagit läkemedlet återstår det 0,1 mg?

36 Lös ekvationerna a) (x + 7)(x − 7) = 6x + 34 b) (x + 5)2 − 2(x + 5) = 0

37 Beräkna utan att använda digitalt hjälpmedel. a) 16 3 b) 27 4 c) lg 1 √10 d) lg 400 − lg 4

38 Undersök om det är möjligt att sätta ut implikationstecken eller ekvivalenstecken mellan följande utsagor. a) x2 = 9 x = 3 b) man är hungrig man äter maten i skolans matsal

Övningsblad

Repetitionsuppgifter Kapitel 5

Blandade uppgifter

39 Visa att om B = 2A så är lg A B = −lg 2.

40 Förenkla

a) (x + √ 7 )2 − (x √ 7 )2

b) b(x + √a )(x − √a ) x2 a

41 År 1900 var koldioxidhalten i atmosfären 280 ppm. År 2000 hade koldioxidhalten stigit till 370 ppm.

a) Anta att förändringen var exponentiell. Med hur många procent ökade koldioxidhalten per år i genomsnitt under perioden?

b) Mellan 2010 och 2020 ökade koldioxidhalten med ca 6,5 %. Hur lång tid tar det med denna exponentiella ökningstakt för koldioxidhalten att öka med lika många procent som mellan 1900 och 2000?

42 Det största djur som någonsin funnits på jorden är blåvalen. Under de senaste hundra åren har antalet blåvalar minskat kraftigt på grund av jakt.

År 1900 fanns det ungefär 239 000 blåvalar i världshaven och hundra år senare var antalet ungefär 2 300. Anta att antalet blåvalar minskar exponentiellt med tiden. Bestäm vilket år det för första gången kommer att vara färre än 200 blåvalar om minskningen fortsätter i samma takt. (np Ma2b vt 2015)

45 Varje plats på jorden kan positionsbestämmas med longitud och latitud. Med koordinaternas hjälp kan man därmed bestämma avståndet mellan två platser. I nord-sydlig riktning motsvarar en breddgrad alltid ca 11 mil. I öst-västlig riktning varierar det med latituden, men där London och Paris ligger motsvarar en längdgrad ca 7,1 mil. Bestäm avståndet mellan de två städerna.

London Paris Lat: 51,51 Lat: 48,86 Long: −0,13 Long: 2,35

43 Bestäm de värden på x där graferna till andragradsfunktionen f(x) = 3x2 − 4x − 29 och linjen g(x) = 2x + 16 skär varandra. (np Ma2c vt 2013)

44 Är log8 9 större eller mindre än 1? Motivera ditt svar.

46 Bestäm funktionsuttrycket för exponentialfunktionen y = f(x) som är ritad i figuren. y x 1 1 y = f x

47 Lös ekvationssystemet algebraiskt. Svara exakt. { lg x + lg y = 12 2 lg x − lg y = 6

48 Antalet huggormar h på en skärgårdsö antas växa med antalet år x enligt sambandet h = 650 · 1,03x. Antalet sorkar s på samma ö antas i stället minska enligt s = 12 000 · 0,93x När kan man enligt sambanden förvänta sig att antalet huggormar och antalet sorkar är lika?

Nivå 3

49 Thales från Miletos var en grekisk matematiker som levde för 2 600 år sedan. Han formulerade en sats med följande innebörd: Varje triangel som är inskriven i en cirkel har en rät vinkel om en av triangelns sidor är diameter i cirkeln. Triangeln ABC är inskriven i en cirkel på ett sådant sätt. Sidan AC är en diameter i cirkeln. Punkten M är mittpunkt på sträckan AC. I figuren är även sträckan BM inritad.

x x B M A C

a) Förklara varför de två vinklarna markerade med x är lika stora.

b) Visa, utan att använda randvinkelsatsen, att Thales sats är korrekt. (np Ma2c vt 2012)

50 För vilka värden på det reella talet a har ekvationen x2 + ax + a = 0 a) två rötter b) en dubbelrot c) ingen rot

51 Sveriges befolkning var 5,14 miljoner år 1900 och 8,86 miljoner år 2000. Hur många bodde i Sverige då Karl XII dog år 1718 om befolkningsökningen har varit exponentiell sedan dess?

52 Sträckorna AD och BD är bisektriser i triangeln ABC Bestäm vinkeln ADB A D B C 50°

53 Halten av kol-14 i en levande organism ligger på en stabil nivå. När organismen dör minskar halten exponentiellt med tiden. Halveringstiden för kol-14 är ca 5 730 år. Ett arkeologiskt fynd innehåller 15 % av den halt av kol-14 som levande organiskt material innehåller. Hur gammalt är fyndet?

Del 1 Utan digitalt hjälpmedel

1 Bestäm a) lg 100 b) 10lg 14 c) lg 10−3

2 Skriv som en potens med basen 10. a) 4 b) 0,02 c) 1

3 Lös ekvationerna och svara exakt.

a) 2 = 10x b) x3 = 10 c) 2x = 3

4 Bestäm med hjälp av figuren så noggrant som möjligt a) lg 4 b) lg 0,4

5 Ordna följande tal i storleksordning med det minsta talet först. 1,01 lg 10 0 lg 0,1 lg 0,99

6 Lös följande ekvationer. a) 2 lg x − lg x = 3 b) lg x + lg 3 = lg (x + 3) c) lg x = −lg 2

Del 2 Med digitalt hjälpmedel

9 Ange med tre värdesiffrors noggrannhet ett närmevärde till a) lg 3 b) lg 0,003

10 Klara vill skriva talet 37 som en potens med basen 10. Hjälp Klara att bestämma ett närmevärde till exponenten med två värdesiffror.

11 Lös ekvationerna. Svara med tre värdesiffror. a) 10 = 0,7 b) 22 = 5

12 Alpha har satt in 10 000 kr på ett konto. Han har låtit pengarna växa med ränta på ränta i 15 år. Det har till slut gett honom 14 272 kr på kontot. Hur stor har räntesatsen varit i genomsnitt?

13 Enligt en matematisk modell halveras priset på hårddiskar för datorer var fjortonde månad. En hårddisk på 26 MB kostade 35 000 kr i januari 1980. a) Vad skulle hårddisken ha kostat 40 år senare enligt modellen? b) Hur lång tid skulle det ta för en hårddisk som i dag kostar 3 200 kr att kosta mindre än 10 kr enligt modellen?

14 Ställ upp en ekvation och bestäm a) räntesatsen på ett bankkonto där kapitalet på kontot fördubblas på 20 år b) efter hur många år värdet på ett bankkonto fördubblas om räntesatsen är 3 %

7 Elina har satt in 60 000 kr på ett konto med räntesatsen 2 %. Efter t år fanns det 73 140 kr på kontot. Du kan bestämma t med hjälp av en ekvation. Teckna den ekvationen.

8 I tabellen hittar du närmevärden av tiologaritmen för positiva heltal upp till 9. x 123456789 lg x 00,300,480,600,700,780,850,900,95 Bestäm med hjälp av tabellen ett närmevärde till a) lg 800 b) lg 0,75 c) lg 64 y x 1 −1

Facit till Kapiteltest

1 a) 2 b) 14 c) −3

2 a) 10lg 4 b) 10lg 0,02 c) 100

3 a) x = lg 2

b) x = 3√10

c) x = lg 3 lg 2

4 a) 0,6 b) −0,4

5 lg 0,1 lg 0,99 0 lg 10 1,01

6 a) x = 1 000

b) x = 3 2

c) x = 1 2

7 60 000 · 1,02t = 73 140

8 a) lg 800 = lg (8 · 100) = lg 8 + lg 100 ≈ 0,90 + 2 = 2,90

b) lg 0,75 = lg 3 4 = lg 3 − lg 4 ≈ 0,48 − 0,60 = −0,12

c) lg 64 = lg 82 = 2 lg 8 ≈ 2 · 0,90 = 1,80

9 a) lg 3 ≈ 0,477

b) lg 0,003 ≈ −2,523

10 Vi vet att 37 = 10lg 37, så det tal Klara söker är lg 37 ≈ 1,6.

11 a) x ≈ −0,155 b) x ≈ 1,16

12 2,4 %

13 a) 1,7 · 10−6 kr (alltså i princip 0 kr)

b) Ca 9,7 år

15 Kalle löser ekvationen lg x2 = 4 så här: lg x2 = 4 2 lg x = 4 lg x = 2 x = 102 = 100

Svar: Ekvationen har lösningen x = 100.

Kalle tycker sedan att det är konstigt att ekvationen inte har två lösningar eftersom ”x är i kvadrat”. Visa genom prövning att ekvationen har rötterna x = −100 och x = 100. Lös ekvationen på ett sådant sätt att du får med båda rötterna. Förklara varför Kalles lösning blir fel.

14 a) Vi löser ekvationen a20 = 2 där a är förändringsfaktorn och får a ≈ ±1,035 vilket ger en årlig ränta på ca 3,5 %.

b) Vi löser ekvationen 1,03t = 2 och får att t ≈ 23,4 år.

15  x = −100 ger VL = lg (−100)2 = lg 10 000 = 4 = HL

x = 100 ger VL = lg 1002 = lg 10 000 = 4 = HL

Alltså är x = −100 och x = 100 rötter till ekvationen.

 lg x2 = 4

x2 = 104

x = ±100

 När Kalle flyttar ner 2:an i exponenten med hjälp av den tredje logaritmlagen, så förutsätter han att x är ett positivt tal. Det behöver det inte vara i det här fallet, eftersom det kvadreras innan man tar logaritmen av det.

Prov

Prov 3 Kapitel 5 och 6

Lösningar

Här följer lösningarna till Nivå 3-uppgifterna och Kapiteltesten i elevboken Matematik Origo nivå 2c. Vi presenterar för det mesta en lösning till varje uppgift. Inte sällan finns det flera möjliga lösningar som är lika bra – eller kanske till och med bättre. Utrymmet tvingar oss att skriva kortfattat. I många fall finns liknande uppgifter lösta i läroboken. De lösningarna innehåller som regel fler steg och är dessutom mer utförligt kommenterade. Lösningar till Uppslaget och Historia finner du på motsvarande uppslag i Lärarguiden.

I Lärarguiden finns även förslag på svar till diskussionsfrågorna i Resonemang och begrepp

Innehåll

1 Räta linjer och

2 Algebra och

3 Andragradsfunktioner

1 Räta linjer och ekvationssystem

1.1 Räta linjens ekvation

1119 Den räta linjen har riktningskoefficienten k och går genom punkten med koordinaterna (x1, y1). Vi väljer en godtycklig punkt på linjen (x, y) och tecknar följande uttryck för riktningskoefficienten

k = y − y1

x − x1

Vi multiplicerar sedan båda leden med (x − x1) och får

k(x − x1) = (y − y1) v.s.v.

1137 Den gemensamma lösningen till ekvationerna ges av koordinaterna (x, y) i den punkt där linjerna skär varandra. För att kunna rita linjerna i ett koordinatsystem, skriver vi ekvationerna i k-form.

2x + y = 7

y = −2x + 7

3x + 2y = 12

2y = −3x + 12

y = −1,5x + 6

Vi ritar linjerna i ett koordinatsystem och bestämmer koordinaterna för skärningspunkten.

y x y = −1,5x + 6 y = −2x + 7 1 1

Svar: x = 2 och y = 3 är den gemensamma lösningen till ekvationerna.

1138 a) Linjen x = a går genom alla punkter (a, y) där y kan vara vilket värde som helst. På samma sätt går linjen y = b igenom alla punkter (x, b) där x kan anta vilket värde som helst. Det innebär att deras skärningspunkt måste vara punkten där x = a och y = b, dvs. punkten med koordinaterna (a, b).

b) Vi vet att linjen går genom punkterna (a, b) och (0, 0). Det ger

k = y1 − y2 x1 − x2 = b − 0 a − 0 = b a

Eftersom linjen går igenom origo är dess m-värde 0.

Linjens ekvation i k-form är alltså y = b a x. Vi skriver ekvationen i allmän form:

y = b a x

ay = bx bx − ay = 0

Svar: bx − ay = 0

1139 Linjen L1 går genom punkterna (a, b) och origo och har därmed riktningskoefficienten

k1 = b − 0 a − 0 = b a

Linjen L2 går genom punkterna (b, −a) och origo och har därmed riktningskoefficienten

k2 = a − 0 b − 0 = − a b

Det ger

k1 ∙ k2 = b a ∙ ( − a b ) = − a ∙ b a ∙ b = −1 v.s.v.

1140 a) För t = 0 är x = 0 och y = 0 + 1 = 1. Sätter vi in det i linjens ekvation y = x + 1 får vi

VL = 1 = 0 + 1 = HL. Punkten (0, 1) ligger alltså på linjen.

Provar vi i stället t = 4 får vi koordinaterna x = 4 och y = 4 + 1 = 5. Den punkten ligger också på linjen eftersom insättning i linjens ekvation ger

VL = 5 = 4 + 1 = HL.

b) Vi börjar med att lösa ut t från x = t + 2. Det ger

t = x − 2. Insättning i y = t − 1 ger:

y = t − 1

y = (x − 2) − 1

y = x − 3 som i allmän form kan skrivas x − y − 3 = 0.

c) Vi börjar med att ansätta en parameter: x = t

Insättning i ekvationen ger t + y − 10 = 0. Löser vi ut y från ekvationen får vi: y = 10 − t. Alltså är ekvationen i parameterform

{ x = t y = 10 − t

1.2 Ekvationssystem

1220 Vi börjar med att skriva ekvationerna i k-form:

{ 3y = ax + 3

2y = 3x + b

{ y = a 3 x + 1

y = 3 2 x + b 2

Ekvationssystemet har oändligt många lösningar när linjerna är sammanfallande, dvs. när ekvationerna är identiska. Det ger

a 3 = 3 2 , dvs. a = 9 2 och

b 2 = 1, dvs. b = 2

Svar: a = 9 2 och b = 2

nivå

Lärarguiden till Matematik Origo nivå 2c följer elevboken uppslag för uppslag med tips, idéer och inspiration till din undervisning.

Här finns bland annat extra exempel didaktiska tips och kommentarer förslag på hur du kan inleda och avsluta lektionen lösningar till flera av elevbokens uppgifter

Till Matematik Origo nivå 2c finns även komponenterna elevbok, Lärarstöd+ samt kopieringsmaterialet Prov, övningsblad och aktiviteter.