9789152365397

Prov, övningsblad och aktiviteter

SANOMA UTBILDNING

Postadress: Box 38013, 100 64 Stockholm

Besöksadress: Rosenlundsgatan 54, Stockholm

Hemsida: www.sanomautbildning.se

E-post: info@sanomautbildning.se

Order /Läromedelsinformation

Telefon 08-587 642 10

Redaktion: Emelie Reuterswärd

Grafisk form: Typoform/Andreas Lilius

Layout/produktion: Typoform/Sabina Högnäs

Illustrationer: Typoform/Jakob Robertsson.

Foton: Shutterstock

Matematik Origo 3c, Prov övningsblad och aktiviteter

ISBN 978-91-523-6539-7

© 2023 Niclas Larson, Daniel Dufåker, Emelie Reuterswärd och Sanoma Utbildning AB, Stockholm

Andra upplagan

Kapitel 1

Rubrik

Övningsblad 1.1 Polynom

1.2 Förenkla och faktorisera 1

1.3 Förenkla och faktorisera 2*

1.4 Polynomekvationer 1

1.5 Polynomekvationer 2

1.6 Grafen till en polynomfunktion 1

1.7 Grafen till en polynomfunktion 2*

1.8 Vilka är polynomfunktionerna? *

1.9 Bråkräkning

1.10 Förkorta rationella uttryck 1

1.11 Förkorta rationella uttryck 2*

1.12 Rationella uttryck och ekvationer*

1.13 Gränsvärden

1.14 Kontinuerliga funktioner

1.15 Repetitionsuppgifter Kapitel 1

Aktiviteter 1.1 Ebolautbrott

1.2 Designa en funktion

1.3 Speed-dejting med rationella uttryck

1.4 Vad kan du om algebraiska uttryck?

Prov 1 Prov Kapitel 1 och 2

Övningsbladen innehåller i regel uppgifter på en grundläggande nivå. Undantaget är övningsblad markerade med stjärna (*), som även innehåller svårare uppgifter.

Övningsblad

Rubrik

2.1 Räta linjens ekvation

2.2 Sekanter och tangenter

2.3 Derivatans definition

2.4 Att använda derivata

2.5 Deriverbarhet och absolutbelopp

2.6 Repetitionsuppgifter Kapitel 2

Aktiviteter 2.1 Numerisk derivering

2.2 Fylla kärl

Prov 1 Prov Kapitel 1 och 2

Kapitel 3

Övningsblad

Rubrik

3.1 Potenser och rotuttryck

3.2 Deriveringsregler 1

3.3 Deriveringsregler 2*

3.4 Repetition av tiologaritmer

3.5 Naturliga logaritmer

3.6 Derivatans tillämpningar

3.7 Repetitionsuppgifter Kapitel 3

Aktiviteter

3.1 Derivatan av x2

3.2 Ränta med e

3.3 Begreppsloop

Prov 2 Prov Kapitel 3 och 4

Kapitel 4

Övningsblad

Rubrik

4.1 Derivatans nollställen

4.2 Teckentabell 1

4.3 Teckentabell 2

4.4 Största och minsta värde

4.5 Derivatans graf*

4.6 Andraderivata

4.7 Extremvärdesproblem*

4.8 Repetitionsuppgifter Kapitel 4

Aktiviteter

4.1 Folkmängden förändras

4.2 Memory med derivata

4.3 Vilken volym är störst?

4.4 Begreppskarta

Prov 2 Prov Kapitel 3 och 4

Kapitel 5

Övningsblad

Rubrik

5.1 Primitiva funktioner 1

5.2 Primitiva funktioner 2

5.3 Primitiva funktioner 3

5.4 Arean under en kurva

5.5 Samband mellan derivata och integral 1

5.6 Samband mellan derivata och integral 2*

5.7 Arean av området mellan två kurvor

5.8 Tillämpningar av integraler*

5.9 Repetitionsuppgifter Kapitel 5

Aktiviteter 5.1 Ginikoefficienter

Prov 3 Prov Kapitel 5 och 6

Övningsblad

Rubrik

6.1 Trigonometri i rätvinkliga trianglar

6.2 Enhetscirkeln

6.3 Trigonometriska ekvationer 1

6.4 Trigonometriska ekvationer 2*

6.5 Triangelsatserna 1

6.6 Triangelsatserna 2*

6.7 Repetitionsuppgifter Kapitel 6

Aktiviteter

6.1 Trigonometrisk tabell

6.2 Sinussatsen

6.3 Att mäta avstånd

6.4 Programmering: Buffons nålproblem

Prov 3 Prov Kapitel 5 och 6

Polynomekvationer 1

En andragradsekvation av formen x2 + px + q = 0 har rötterna

x1 = − p 2 + √ ( p 2 ) 2 − q och x2 = − p 2 − √ ( p 2 ) 2 − q

1 Lös andragradsekvationerna.

a) x2 + 6x − 7 = 0

b) x2 + 4,5x + 5 = 0

c) x2 = 4x + 4

d) 100x2 − 30x = −2

2 Lös ekvationerna.

a) x(x − 3) = 0

b) (x + 10)(x − 4) = 0

c) (x + 1)(x − √7 ) = 0

d) 2(x − 4)(2x + 1) = 0

3 Peter säger att 2x(x + 4) = 0 är en andragradsekvation och att (x + 1)(x − 1)(x + 4) = 0 är en tredjegradsekvation.

a) Har Peter rätt? Motivera ditt svar.

b) Lös de två ekvationerna.

4 Lös ekvationerna.

a) x(x − 12)(x − 15) = 0

b) 8(x + 1)(x − 2,5)(x − 13) = 0

c) 5x(3x + 1)(7 − x) = 0

5 Lös ekvationerna genom att först bryta ut x.

a) x3 − 4x = 0

b) x3 + 2x2 − 48x = 0

c) x3 = 8x2 − 16x

6 a) Visa att uttrycket x4 − 16x2 kan skrivas i faktorform x2(x + 4)(x − 4).

b) Lös ekvationen x4 − 16x2 = 0 genom att utnyttja ditt svar i a).

7 a) Varför är det lättare att lösa ekvationen (x + 2)(x − 4)(x − 5) = 0 jämfört med (x + 2)(x − 4)(x − 5) = 10?

b) Varför är det lättare att lösa ekvationen (x + 4)(x − 3)(x − 9) = 0 jämfört med x3 − 8x2 − 21x + 108 = 0?

8 Låt p(x) = x4 + 10x4 − x2 − 10x

a) Visa att polynomet kan skrivas i formen x(x + 1)(x − 1)(x + 10).

b) Lös ekvationen p(x) = 0.

9 Lös tredjegradsekvationen x3 − 16x + 15 = 0 med grafritande hjälpmedel.

Polynomekvationer 1

1 a) x1 = 1; x2 = −7

b) x1 = −2,5; x2 = −2

c) x = −2 (dubbelrot)

d) x1 = 0,1; x2 = 0,2

2 a) x1 = 0; x2 = 3

b) x1 = −10; x2 = 4

c) x1 = −1; x2 = √7

d) x1 = 4; x2 = −0,5

3 a) Ja, för om man förenklar uttrycken i vänsterleden får man ett andragradsuttryck respektive ett tredjegradsuttryck.

b) Ekvationen 2x(x + 4) = 0 har rötterna

x1 = 0 och x2 = −4. Ekvationen

(x + 1)(x − 1)(x + 4) = 0 har rötterna

x1 = −1, x2 = 1 och x3 = −4.

4 a) x1 = 0, x2 = 12 och x3 = 15

b) x1 = −1, x2 = 2,5 och x3 = 13

c) x1 = 0, x2 = − 1 3 och x3 = 7

5 a) x1 = 0, x2 = 2 och x3 = −2

Lösning: x3 − 4x = x(x2 − 4) = 0. Om produkten av två faktorer är noll, så måste någon av faktorerna vara noll. Detta ger

x1 = 0 eller

x2 − 4 = 0 som ger x2 = −2 och x3 = 2.

b) x1 = 0, x2 = 6 och x3 = −8

c) x1 = 0, x2,3 = 4 (dubbelrot)

6 a) x2(x + 4)(x − 4) = x2(x2 − 16) = x4 − 16x2 , v.s.v.

b) x1,2 = 0, x3 = 4 och x4 = −4

Lösning: x4 − 16x2 = 0 ⇔ x2(x + 4)(x − 4) = 0 som ger x1,2 = 0, x3 = 4 och x4 = −4.

7 a) Om produkten av ett antal faktorer är noll, så vet vi att någon av faktorerna måste vara noll. Om produkten av ett antal faktorer är 10, så kan vi inte med säkerhet säga något om värdet av de ingående faktorerna.

b) Det är lättare att lösa den första ekvationen eftersom den står i faktorform och högerledet är noll. Då vet vi att någon av faktorerna i vänsterledet måste vara noll. På så sätt kan vi finna lösningarna till ekvationen.

8 a) x(x + 1)(x − 1)(x + 10) = = x(x2 − 1)(x + 10) = (x3 − x)(x + 10) = = x4 + 10x3 − x2 − 10x = p(x)

b) x1 = 0, x2 = −1, x3 = 1 och x4 = −10

Lösning: p(x) = 0 ger x(x + 1)(x − 1)(x + 10) = 0 som ger x1 = 0, x2 = −1, x3 = 1 och x4 = −10. 9

Derivatans definition

1 Låt f(x) = 5x2

a) Bestäm f(1) och f(1 + h)

b) Förenkla uttrycket f(1 + h) − f(1) h så långt som möjligt.

c) Bestäm lim h → 0 f(1 + h) − f(1) h

d) Vad har du beräknat i c)?

2 Låt f(x) = x2 − 4.

a) Bestäm f(2) och f(2 + h).

b) Förenkla uttrycket f(2 + h) − f(2) h så långt som möjligt.

c) Bestäm lim h → 0 f(2 + h) − f(2) h

d) Vad är värdet av f’(2)?

3 Låt f(x) = −2x − 3

a) Bestäm lim h → 0 f(1 + h) − f(1) h

b) Bestäm lim h → 0 f(−3 + h) − f(−3) h

c) Jämför resultaten i uppgift a) och b) och förklara varför det blir så.

4 Bestäm f’(6) = lim h → 0 f(6 + h) − f(6) h för f(x) = x2 + 4x.

5 Låt y = 2x2 + x och beräkna kurvans lutning i den punkt där x = 3.

6 Bestäm f’(2) med hjälp av derivatans definition om f(x) = x3 + 3x − 1. Du kan ha nytta av att känna till att (2 + h)3 = 8 + 12h + 6h2 + h3

7 Visa med hjälp av derivatans definition att för f(x) = x2 + C har f’(−4) samma värde oavsett värdet på C

Derivatans definition

Tips

7 Teckna f’(−4) med hjälp av derivatans definition och förenkla. Vad händer med konstanten

C i beräkningarna?

Svar

1 a) f(1) = 5 och f(1 + h) = 5 + 10h + 5h2

b) 10 + 5h

c) 10

d) Derivatan för f i punkten där x = 1, dvs. f’(1).

Kommentar: Ett annat möjligt svar är att vi har beräknat riktningskoefficienten för tangenten till f i punkten (1, 5).

2 a) f(2) = 0 och f(2 + h) = h2 + 4h

b) h + 4

c) 4

d) f’(2) = 4

3 a) f’(1) = −2

b) f’(−3) = −2

c) f beskriver en rät linje med riktningskoefficient k = −2. Eftersom linjens lutning är konstant så är även derivatan lika för alla värden på x.

4 f’(6) = 16

5 y’(3) = 13

6 f’(2) = 15

Kommentar: f’(2) =

= lim h → 0 (2 + h)3 + 3(2 + h) − 1 − (23 + 3 · 2 − 1) h =

= lim h → 0 8 + 12h + 6h2 + h3 + 6 + 3h − 1 − 13 h =

= lim h → 0 h(15 + 6h + h2) h = lim h → 0 (15 + 6h + h2) = 15

7 f’(−4) = lim h → 0 f(−4 + h) − f(−4) h =

= lim h → 0 (−4 + h)2 + C) − ((−4)2 + C) h =

= lim h → 0 (16 − 8h + h2 + C) − (16 + C) h =

= lim h → 0

−8 + h2 h

I beräkningen ser vi att C i första respektive andra termen i täljaren tar ut varandra. Det ”finns inget C kvar” i uttrycket när man går vidare med beräkningen. Alltså är f’(−4) oberoende av värdet på C

1 Använd enhetscirkeln här nedanför och bestäm

a) sin 30°

b) sin 120°

c) cos 60°

d) cos 245°

2 Använd enhetscirkeln och bestäm den eller de vinklar mellan 0° och 360° som uppfyller att sin v = −0,5.

3 Punkten P = (−0,6; −0,8) ligger på enhetscirkeln. Bestäm

a) sin v

b) cos v

c) tan v

4 Ange koordinaterna för den punkt på enhetscirkeln som motsvarar vinkeln

a) 0°

b) 90°

c) 180°

d) 270°

e) 360°

5 Bestäm den vinkel mellan 0° och 360° som har visaren i samma läge som visaren till

a) −40°

b) 430°

c) 540°

6 Bestäm med hjälp av enhetscirkeln

a) sin 90° + sin 270°

b) sin 90° − sin 270°

c) cos 0° + sin 90°

d) cos 180° − sin 90°

7 Bestäm med hjälp av enhetscirkeln

a) sin 30° + sin 210°

b) sin 30° + sin 150°

c) cos 60° + sin 210°

d) cos 60° + sin 90°

8 Ordna följande tal i storleksordning. Börja med det minsta.

sin 3°, sin 93°, sin 183°, sin 272°

Enhetscirkeln

1 a) sin 30° = 0,5

b) sin 120° ≈ 0,85

c) cos 60° = 0,5

d) cos 245° ≈ −0,4

2 v = 210° och v = 330°

3 a) sin v = −0,8

b) cos v = −0,6

c) tan v = 4 3

4 a) (1, 0)

b) (0, 1)

c) (−1, 0)

d) (0, −1)

e) (1, 0)

5 a) 320°

b) 70°

c) 180°

6 a) 0

b) 2

c) 2

d) −2

7 a) 0

b) 1

c) 0

d) 1,5

8 sin 273°, sin 183°, sin 3°, sin 93°

Folkmängden förändras

Syfte och centralt innehåll

I den här aktiviteten får eleverna undersöka fyra grafer som var och en beskriver förändringshastigheten för en folkmängd, N’(t) personer/år. Elevernas uppgift är att utifrån derivatans graf beskriva hur folkmängden har förändrats under tidsperioden.

Materiel

Stencil med de fyra graferna y = N’(t).

Genomförande

Det kan vara givande att arbeta med uppgiften enligt modellen enskilt − par − alla

Vid behov kan man tipsa eleverna om att det är derivatans graf de studerar och att det därmed är funktionsvärdena och inte lutningen som är det intressanta. Man kan också ge tipset att fokusera på funktionsvärdenas tecken. När derivatan är noll, så förändras inte folkmängden. När derivatan har ett positivt värde ökar folkmängden och när derivatan är negativ så minskar folkmängden.

Lösning

(1) Derivatan är noll i hela intervallet. Det betyder att folkmängden inte förändras; den är konstant.

(2) Derivatan är positiv och konstant i hela intervallet. Det betyder att folkmängden ökar och att den ökar linjärt, dvs. med samma antal invånare varje år.

(3) Derivatan är negativ i intervallet 0 ≤ x < 3, vilket innebär att folkmängden minskar. Folkmängden minskar i allt långsammare takt, eftersom derivatan närmar sig 0.

Mellan år 3 och år 5 ökar folkmängden eftersom derivatan är positiv. Folkmängden ökar i allt snabbare takt, eftersom derivatan ökar.

(4) Derivatan är positiv i hela intervallet. Det betyder att folkmängden ökar. I slutet av intervallet ser det ut som om derivatan närmar sig noll. Det betyder att folkmängden ökar i allt långsammare takt och att folkmängden närmar sig ett konstant värde.

Utvidgning och variation

Den här uppgiften är en utmaning för många elever, men svårighetsgraden kan enkelt varieras, t.ex. genom att välja att bara diskutera en eller ett par av graferna. Uppgiften kan också utvidgas på flera sätt. Man kan låta eleverna skissa folkmängdsfunktionens graf i vart och ett av de givna fallen, eller diskutera ytterligare grafer till derivatafunktionen. Här följer två förslag.

Folkmängden förändras

Låt N(t) beteckna folkmängden som funktion av tiden t år. Figurerna här nedanför visar grafen till derivatan N’(t) för fyra olika orter. Beskriv hur folkmängden förändras i de fyra orterna under femårsperioden.

u Mät vinklarna i triangel ABC. Mät också sidlängderna i triangeln.

A ≈ _____° a ≈ _____ cm

B ≈ _____° b ≈ _____ cm

C ≈ _____° c ≈ _____ cm

u Beräkna kvoten mellan sinusvärdet för vinkeln och motstående sida. sin A a ≈ ______ sin B b ≈ ______ sin C c ≈ ______

u Förmodligen har du hittat ett samband mellan vinklar och motstående sidor. Hur ser sambandet ut? Det samband som du har troliggjort på det här sättet kallas sinussatsen.

u I figuren här nedanför är vinkel C spetsig. Utgå från figuren och visa att sin A a = sin B b genom att uttrycka höjden h på två olika sätt.

u Använd resultatet i föregående uppgift och slutför beviset av sinussatsen

sin A a = sin B b = sin C c

u Bevisa satsen med förutsättningen att vinkel C är trubbig.