9789152365373

SANOMA UTBILDNING

Postadress: Box 38013, 100 64 Stockholm

Besöksadress: Rosenlundsgatan 54, Stockholm

Hemsida: www.sanomautbildning.se

E-post: info@sanomautbildning.se

Order /Läromedelsinformation

Telefon 08-587 642 10

Redaktion: Emelie Reuterswärd

Grafisk form: Typoform/Andreas Lilius

Layout/produktion: Typoform/Sabina Högnäs

Illustrationer: Typoform/Jakob Robertsson.

Foton: Shutterstock

Matematik Origo 3b, Prov övningsblad och aktiviteter

ISBN 978-91-523-6537-3

© 2023 Niclas Larson, Daniel Dufåker, Emelie Reuterswärd och Sanoma Utbildning AB, Stockholm

Andra upplagan

Rubrik

Övningsblad 1.1 Polynom

1.2 Förenkla och faktorisera 1

1.3 Förenkla och faktorisera 2*

1.4 Polynomekvationer 1

1.5 Polynomekvationer 2

1.6 Grafen till en polynomfunktion 1

1.7 Grafen till en polynomfunktion 2*

1.8 Vilka är polynomfunktionerna? *

1.9 Bråkräkning

1.10 Förkorta rationella uttryck 1

1.11 Förkorta rationella uttryck 2*

1.12 Rationella uttryck och ekvationer*

1.13 Gränsvärden

1.14 Kontinuerliga funktioner

1.15 Repetitionsuppgifter Kapitel 1

Aktiviteter 1.1 Ebolautbrott

1.2 Designa en funktion

1.3 Speed-dejting med rationella uttryck

1.4 Vad kan du om algebraiska uttryck?

1.5 Programmering: Kvadratrötter

1.6 Programmering: Viètes samband

Prov 1 Prov Kapitel 1 och 2

Övningsbladen innehåller i regel uppgifter på en grundläggande nivå. Undantaget är övningsblad markerade med stjärna (*), som även innehåller svårare uppgifter.

Kapitel 2

Övningsblad

Rubrik

2.1 Räta linjens ekvation

2.2 Ekvationssystem och system av olikheter

2.3 Linjär optimering

2.4 Sekanter och tangenter

2.5 Derivatans definition

2.6 Att använda derivata

2.7 Villkor för deriverbarhet

2.8 Repetitionsuppgifter Kapitel 2

Aktiviteter

2.1 Numerisk derivering

2.2 Fylla kärl

Prov 1 Prov Kapitel 1 och 2

Kapitel 3

Övningsblad

Rubrik

3.1 Potenser och rotuttryck

3.2 Deriveringsregler 1

3.3 Deriveringsregler 2*

3.4 Repetition av tiologaritmer

3.5 Naturliga logaritmer

3.6 Derivatans tillämpningar

3.7 Repetitionsuppgifter Kapitel 3

Aktiviteter

3.1 Derivatan av x2

3.2 Ränta med e

3.3 Begreppsloop

Prov 2 Prov Kapitel 3 och 4

Kapitel 4

Övningsblad

Rubrik

4.1 Derivatans nollställen

4.2 Teckentabell 1

4.3 Teckentabell 2

4.4 Största och minsta värde

4.5 Derivatans graf*

4.6 Andraderivata

4.7 Extremvärdesproblem*

4.8 Repetitionsuppgifter Kapitel 4

Aktiviteter

4.1 Folkmängden förändras

4.2 Memory med derivata

4.3 Vilken volym är störst?

4.4 Begreppskarta

Prov 2 Prov Kapitel 3 och 4

Kapitel 5

Övningsblad

Rubrik

5.1 Primitiva funktioner 1

5.2 Primitiva funktioner 2

5.3 Primitiva funktioner 3

5.4 Arean under en kurva

5.5 Samband mellan derivata och integral 1

5.6 Samband mellan derivata och integral 2*

5.7 Arean av området mellan två kurvor

5.8 Tillämpningar av integraler*

5.9 Repetitionsuppgifter Kapitel 5

Aktiviteter 5.1 Ginikoefficienter

Prov 3 Prov Kapitel 5 och 6

Övningsblad

Rubrik

6.1 Talföljder och mönster

6.2 Geometriska talföljder

6.3 Geometrisk summa

6.4 Tillämpningar av talföljder och summor*

6.5 Repetitionsuppgifter Kapitel 6

Aktiviteter 6.1 Annuitet och nuvärde i kalkylprogram

6.2 Geometriska serier

6.3 Räkna med studielån

6.4 Antal foreller

6.5 Programmering: Geometrisk talföljd och summa

6.6 Programmering: Summor och gränsvärden

Prov 3 Prov Kapitel 5 och 6

1:4

Polynomekvationer 1

En andragradsekvation av formen x2 + px + q = 0 har rötterna

x1 = − p 2 + √ ( p 2 ) 2 − q och x2 = − p 2 − √ ( p 2 ) 2 − q

1 Lös andragradsekvationerna.

a) x2 + 6x − 7 = 0

b) x2 + 4,5x + 5 = 0

c) x2 = 4x + 4

d) 100x2 − 30x = −2

2 Lös ekvationerna.

a) x(x − 3) = 0

b) (x + 10)(x − 4) = 0

c) (x + 1)(x − √7 ) = 0

d) 2(x − 4)(2x + 1) = 0

3 Peter säger att 2x(x + 4) = 0 är en andragradsekvation och att (x + 1)(x − 1)(x + 4) = 0 är en tredjegradsekvation.

a) Har Peter rätt? Motivera ditt svar.

b) Lös de två ekvationerna.

4 Lös ekvationerna.

a) x(x − 12)(x − 15) = 0

b) 8(x + 1)(x − 2,5)(x − 13) = 0

c) 5x(3x + 1)(7 − x) = 0

5 Lös ekvationerna genom att först bryta ut x.

a) x3 − 4x = 0

b) x3 + 2x2 − 48x = 0

c) x3 = 8x2 − 16x

6 a) Visa att uttrycket x4 − 16x2 kan skrivas i faktorform x2(x + 4)(x − 4).

b) Lös ekvationen x4 − 16x2 = 0 genom att utnyttja ditt svar i a).

7 a) Varför är det lättare att lösa ekvationen (x + 2)(x − 4)(x − 5) = 0 jämfört med (x + 2)(x − 4)(x − 5) = 10?

b) Varför är det lättare att lösa ekvationen (x + 4)(x − 3)(x − 9) = 0 jämfört med x3 − 8x2 − 21x + 108 = 0?

8 Låt p(x) = x4 + 10x4 − x2 − 10x

a) Visa att polynomet kan skrivas i formen x(x + 1)(x − 1)(x + 10).

b) Lös ekvationen p(x) = 0.

9 Lös tredjegradsekvationen x3 − 16x + 15 = 0 med grafritande hjälpmedel.

Polynomekvationer 1

1 a) x1 = 1; x2 = −7

b) x1 = −2,5; x2 = −2

c) x = −2 (dubbelrot)

d) x1 = 0,1; x2 = 0,2

2 a) x1 = 0; x2 = 3

b) x1 = −10; x2 = 4

c) x1 = −1; x2 = √7

d) x1 = 4; x2 = −0,5

3 a) Ja, för om man förenklar uttrycken i vänsterleden får man ett andragradsuttryck respektive ett tredjegradsuttryck.

b) Ekvationen 2x(x + 4) = 0 har rötterna

x1 = 0 och x2 = −4. Ekvationen

(x + 1)(x − 1)(x + 4) = 0 har rötterna

x1 = −1, x2 = 1 och x3 = −4.

4 a) x1 = 0, x2 = 12 och x3 = 15

b) x1 = −1, x2 = 2,5 och x3 = 13

c) x1 = 0, x2 = − 1 3 och x3 = 7

5 a) x1 = 0, x2 = 2 och x3 = −2

Lösning: x3 − 4x = x(x2 − 4) = 0. Om produkten av två faktorer är noll, så måste någon av faktorerna vara noll. Detta ger

x1 = 0 eller

x2 − 4 = 0 som ger x2 = −2 och x3 = 2.

b) x1 = 0, x2 = 6 och x3 = −8

c) x1 = 0, x2,3 = 4 (dubbelrot)

6 a) x2(x + 4)(x − 4) = x2(x2 − 16) = x4 − 16x2 , v.s.v.

b) x1,2 = 0, x3 = 4 och x4 = −4

Lösning: x4 − 16x2 = 0 ⇔ x2(x + 4)(x − 4) = 0 som ger x1,2 = 0, x3 = 4 och x4 = −4.

7 a) Om produkten av ett antal faktorer är noll, så vet vi att någon av faktorerna måste vara noll. Om produkten av ett antal faktorer är 10, så kan vi inte med säkerhet säga något om värdet av de ingående faktorerna.

b) Det är lättare att lösa den första ekvationen eftersom den står i faktorform och högerledet är noll. Då vet vi att någon av faktorerna i vänsterledet måste vara noll. På så sätt kan vi finna lösningarna till ekvationen.

8 a) x(x + 1)(x − 1)(x + 10) = = x(x2 − 1)(x + 10) = (x3 − x)(x + 10) = = x4 + 10x3 − x2 − 10x = p(x)

b) x1 = 0, x2 = −1, x3 = 1 och x4 = −10

Lösning: p(x) = 0 ger x(x + 1)(x − 1)(x + 10) = 0 som ger x1 = 0, x2 = −1, x3 = 1 och x4 = −10. 9

Derivatans definition

1 Låt f(x) = 5x2

a) Bestäm f(1) och f(1 + h)

b) Förenkla uttrycket f(1 + h) − f(1) h så långt som möjligt.

c) Bestäm lim h → 0 f(1 + h) − f(1) h

d) Vad har du beräknat i c)?

2 Låt f(x) = x2 − 4.

a) Bestäm f(2) och f(2 + h).

b) Förenkla uttrycket f(2 + h) − f(2) h så långt som möjligt.

c) Bestäm lim h → 0 f(2 + h) − f(2) h

d) Vad är värdet av f’(2)?

3 Låt f(x) = −2x − 3

a) Bestäm lim h → 0 f(1 + h) − f(1) h

b) Bestäm lim h → 0 f(−3 + h) − f(−3) h

c) Jämför resultaten i uppgift a) och b) och förklara varför det blir så.

4 Bestäm f’(6) = lim h → 0 f(6 + h) − f(6) h för f(x) = x2 + 4x.

5 Låt y = 2x2 + x och beräkna kurvans lutning i den punkt där x = 3.

6 Bestäm f’(2) med hjälp av derivatans definition om f(x) = x3 + 3x − 1. Du kan ha nytta av att känna till att (2 + h)3 = 8 + 12h + 6h2 + h3

7 Visa med hjälp av derivatans definition att för f(x) = x2 + C har f’(−4) samma värde oavsett värdet på C

Derivatans definition

Tips

7 Teckna f’(−4) med hjälp av derivatans definition och förenkla. Vad händer med konstanten

C i beräkningarna?

Svar

1 a) f(1) = 5 och f(1 + h) = 5 + 10h + 5h2

b) 10 + 5h

c) 10

d) Derivatan för f i punkten där x = 1, dvs. f’(1).

Kommentar: Ett annat möjligt svar är att vi har beräknat riktningskoefficienten för tangenten till f i punkten (1, 5).

2 a) f(2) = 0 och f(2 + h) = h2 + 4h

b) h + 4

c) 4

d) f’(2) = 4

3 a) f’(1) = −2

b) f’(−3) = −2

c) f beskriver en rät linje med riktningskoefficient k = −2. Eftersom linjens lutning är konstant så är även derivatan lika för alla värden på x.

4 f’(6) = 16

5 y’(3) = 13

6 f’(2) = 15

Kommentar: f’(2) =

= lim h → 0 (2 + h)3 + 3(2 + h) − 1 − (23 + 3 · 2 − 1) h =

= lim h → 0 8 + 12h + 6h2 + h3 + 6 + 3h − 1 − 13 h =

= lim h → 0 h(15 + 6h + h2) h = lim h → 0 (15 + 6h + h2) = 15

7 f’(−4) = lim h → 0 f(−4 + h) − f(−4) h =

= lim h → 0 (−4 + h)2 + C) − ((−4)2 + C) h =

= lim h → 0 (16 − 8h + h2 + C) − (16 + C) h =

= lim h → 0

−8 + h2 h

I beräkningen ser vi att C i första respektive andra termen i täljaren tar ut varandra. Det ”finns inget C kvar” i uttrycket när man går vidare med beräkningen. Alltså är f’(−4) oberoende av värdet på C

Geometrisk summa

Geometrisk summa

Den geometriska summan sn = a1 + a1 ∙ k + a1 ∙ k2 + … + a1 ∙ kn − 1

kan beräknas med formeln sn = a1(kn − 1) k − 1 (för k ≠ 1)

1 Ange kvoten och antalet termer i den geometriska summan

2 500 ∙ (1,027 − 1) 1,02 − 1

2 Avgör om summorna är geometriska summor.

a) 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 120

b) 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82

c) 3 ∙ 0,9810 + 3 ∙ 0,9811 + … + 3 ∙ 0,9850

3 Den geometriska summan:

3 + 6 + 12 + 24 + 48 kan skrivas

5 3 ∙ 2n − 1

n = 1

Skriv på samma sätt följande geometriska summor med hjälp av summatecknet ∑.

a) 3 + 3 ∙ 1,02 + 3 ∙ 1,022 + 3 ∙ 1,024 + + 3 ∙ 1,025

b) 10 ∙ 1,510 + 10 ∙ 1,511 + … + 10 ∙ 1,530

4 Uttrycket 3,3(2,15 − 1) 2,1 − 1 beskriver en geometrisk summa.

a) Hur många termer innehåller summan?

b) Teckna summan genom att skriva ut varje term.

c) Teckna summan genom att använda skrivsättet med ∑.

d) Beräkna summan.

5 Beräkna de geometriska summorna.

a) 4 + 4 ∙ 1,15 + … + 4 ∙ 1,1530

b) 53 ∙ 0,91 + 53 ∙ 0,912 + … + 53 ∙ 0,9135

c) (−1) + (−1)2 + … + (−1)70 000

d) 1 − 2 + 4 − 8 + 16 + … + 65 536

6 Beräkna de geometriska summorna

10 1,25m − 1

a) ∑ m = 1

100 5,2 · 1,04n − 1

b) ∑ n = 1

25 3 · (−1,18)k

c) ∑ k = 0

d) ∑ m = 11

20 1 50 · 0,955m

7 a) Ställ upp ett uttryck för den geometriska

b) Vad händer med värdet av summan när n → ∞?

Tips

5 d) När termernas tecken varierar är kvoten negativ.

Svar

1 Det är 7 termer i summan och kvoten är 1,02 dvs. n = 7 och k = 1,02.

2 a) Nej, kvoten mellan två på varandra följande termer är inte konstant. Kvoten mellan de två första termerna är 10/5 = 2, medan kvoten mellan de två sista termerna är 120/80 = 1,5.

b) Nej, kvoten mellan två på varandra följande termer är inte konstant.

c) Ja, kvoten mellan två på varandra följande termer är konstant (i det här fallet 0,98).

Folkmängden förändras

Syfte och centralt innehåll

I den här aktiviteten får eleverna undersöka fyra grafer som var och en beskriver förändringshastigheten för en folkmängd, N’(t) personer/år. Elevernas uppgift är att utifrån derivatans graf beskriva hur folkmängden har förändrats under tidsperioden.

Materiel

Stencil med de fyra graferna y = N’(t).

Genomförande

Det kan vara givande att arbeta med uppgiften enligt modellen enskilt − par − alla

Vid behov kan man tipsa eleverna om att det är derivatans graf de studerar och att det därmed är funktionsvärdena och inte lutningen som är det intressanta. Man kan också ge tipset att fokusera på funktionsvärdenas tecken. När derivatan är noll, så förändras inte folkmängden. När derivatan har ett positivt värde ökar folkmängden och när derivatan är negativ så minskar folkmängden.

Lösning

(1) Derivatan är noll i hela intervallet. Det betyder att folkmängden inte förändras; den är konstant.

(2) Derivatan är positiv och konstant i hela intervallet. Det betyder att folkmängden ökar och att den ökar linjärt, dvs. med samma antal invånare varje år.

(3) Derivatan är negativ i intervallet 0 ≤ x < 3, vilket innebär att folkmängden minskar. Folkmängden minskar i allt långsammare takt, eftersom derivatan närmar sig 0.

Mellan år 3 och år 5 ökar folkmängden eftersom derivatan är positiv. Folkmängden ökar i allt snabbare takt, eftersom derivatan ökar.

(4) Derivatan är positiv i hela intervallet. Det betyder att folkmängden ökar. I slutet av intervallet ser det ut som om derivatan närmar sig noll. Det betyder att folkmängden ökar i allt långsammare takt och att folkmängden närmar sig ett konstant värde.

Utvidgning och variation

Den här uppgiften är en utmaning för många elever, men svårighetsgraden kan enkelt varieras, t.ex. genom att välja att bara diskutera en eller ett par av graferna. Uppgiften kan också utvidgas på flera sätt. Man kan låta eleverna skissa folkmängdsfunktionens graf i vart och ett av de givna fallen, eller diskutera ytterligare grafer till derivatafunktionen. Här följer två förslag.

Folkmängden förändras

Låt N(t) beteckna folkmängden som funktion av tiden t år. Figurerna här nedanför visar grafen till derivatan N’(t) för fyra olika orter. Beskriv hur folkmängden förändras i de fyra orterna under femårsperioden.

Programmet här nedanför beräknar det n:te elementet i en geometrisk talföljd.

n = int(input("Ange elementets index n:")) print("Elementet med index", n, "i talföljden är", 5 * 2**(n - 1))

1 Ange talföljdens

a) första element

b) kvot

2 Ändra i programmet så att det skriver ut det n:te elementet i den geometriska talföljden

1, 1 3 , 1 9 , 1 27 , …

3 Ändra programmet som du skrev i uppgift 2, så att det skriver ut de

a) 100 första elementen i talföljden

b) m första elementen i talföljden, där användaren matar in talet m

Om man adderar elementen i en geometrisk talföljd, får man en geometrisk summa.

4 Skriv ett program som adderar de m första termerna i den geometriska summan

1 + 1 3 + 1 9 + 1 27 + …

5 Undersök värdet av den geometriska summan i uppgift 4 för

m = 10, 20, 30, 40, …

a) Vilken slutsats drar du?

b) Bevisa din slutsats.

Syfte och centralt innehåll

Den här aktiviteten syftar till att fördjupa elevernas kunskaper om programmering, geometriska talföljder och summor.

För att aktiviteten ska vara lämplig att använda i Matematik Origo 3b, där eleverna inte tidigare har arbetat med programmering som problemlösningsverktyg i gymnasieskolan, har vi valt att presentera ett färdigt program som eleverna får modifiera och bygga vidare på.

Materiel

Dator med lämplig kompilator (t.ex. IDLE). Förslag på kod som presenteras här nedanför är gjord i Python 3.

Lämpliga förkunskaper i programmering

Det är en fördel om eleverna är bekanta med kommandona print och input() och att de känner till hur man skriver for-satser.

Genomförande

Hur aktiviteten ska genomföras beror på elevernas förkunskaper i programmering. Här presenteras ett förslag på hur aktiviteten kan genomföras för elever som inte har så stor erfarenhet av programmering.

u Gå igenom koden som presenteras i aktivitetens inledning och diskutera vad varje rad i koden gör. Förklara kommandona print(), input() och int() och betydelsen av tecken som citattecken och kommatecken. Kör koden och diskutera den första uppgiften.

u Låt eleverna arbeta med aktiviteten två och två med en dator. Uppmana dem att låta den som känner sig minst van vid datorer och programmering sköta datorn. Är båda lika vana kan de turas om.

u När eleverna löser uppgift 3 behöver de använda sig av en for­ sats. Gå vid behov gemensamt igenom hur man använder for­ satser för att upprepa kod.

Lösning

1 a) 5 b) 2 2 Ändra uttrycket 5 * 2**(n - 1)

på sista raden i programmet till 1 * (1/3)**(n - 1).

3 a) for n in range (1, 101): print(“Element", n, “är", 1 * (1/3)**(n - 1))

b) m = int(input("Ange m:"))

for n in range (1, m + 1):

print("Element", n, "är", 1 * (1/3)**(n - 1))

4 T.ex.

m = int(input(”Ange m:”))

summa = 0

for n in range (1, m + 1):

summa = summa + 1 * (1/3)**(n - 1)

print(summa)

Eller med listor:

m = int(input("Ange m:"))

lista = []

for n in range (1, m + 1):

lista.append(1 * (1/3)**(n - 1))

print(sum(lista))

5 a) Summan verkar konvergera mot 1,5.

b) Med formeln för geometrisk summa får vi:

Att lyfta fram

Aktiviteten ger möjlighet att introducera och befästa programmeringskommandon som print(), input(), int() och for­ satser.

Den geometriska summan i uppgift 5 närmar sig 3/2 när antalet termer ökar. Att serien konvergerar mot 3/2 kan eleverna bevisa med formeln för geometrisk summa och ett gränsvärdesresonemang. Det är värt att lyfta fram att programmet ger resultatet 1,5 redan för m = 40, men att serien i verkligheten aldrig når 1,5. Att programmet ändå ger svaret 1,5, beror på att det utför beräkningarna med begränsad noggrannhet.

Aktiviteten är ett exempel på hur programmering kan användas för att göra hypoteser som sedan bevisas matematiskt.

Utvidgning och variation

Elever som behöver extra utmaning kan få använda programmering för att undersöka konvergensen av andra serier, t.ex.

Eleverna kan också använda programmering för att beräkna element i aritmetiska talföljder, eller i talföljder som varken är geometriska eller aritmetiska, t.ex. Fibonaccis talföljd.

Aktiviteten kan även utvidgas till att lösa problem relaterade till annuitetslån. (Se aktiviteten Olika typer av lån)