matematik
Attila Szabo Niclas Larson Daniel Dufåker Roger Fermsjö
4
matematik
Attila Szabo Niclas Larson Daniel Dufåker Roger Fermsjö
4
SANOMA UTBILDNING
SANOMA UTBILDNING Postadress: Box 38013, 100 64 Stockholm Besöksadress: Rosenlundsgatan 54, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order /Läromedelsinformation Telefon 08-587 642 10
Redaktion: Lena Bjessmo, Emelie Reuterswärd och Thomas Aidehag Grafisk form: Typoform/Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform/Sabina Högnäs Illustrationer: Typoform/Jakob Robertsson.
Matematik Origo 4 ISBN 978-91-523-6497-0 © 2023 Attila Szabo, Niclas Larson, Daniel Dufåker, Roger Fermsjö, Gunilla Viklund, Mikael Marklund och Sanoma Utbildning AB, Stockholm Tredje upplagan Första tryckningen
Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Copyright Access, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus Copyright Access. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.
Tryck: Interak, Polen 2023
Till läsaren Matematik Origo 4 är skriven för dig som ska läsa matematik kurs 4 på Naturvetenskapsprogrammet eller Teknikprogrammet. Boken är helt anpassad efter den reviderade ämnesplanen 2021. För oss som har skrivit den här boken är matematik så mycket mer än att bara räkna. Därför har vi valt att i Matematik Origo lyfta fram problemlösning, förståelse och det matematiska samtalet. Vår förhoppning är att Matematik Origo ska förmedla samma nyfikenhet och glädje som vi känner inför matematikämnet. u
u
Matematik Origo 4 är indelad i fyra kapitel. Varje kapitel inleds med att ange de Förkunskaper som du behöver, det Centrala innehåll som kapitlet tar upp och vad du ska kunna när du har arbetat färdigt med kapitlet. Det gör det lättare för dig att själv ta ansvar för dina studier. I början av varje kapitel finner du också ett eller flera matematiska problem. Varje teorigenomgång följs av lösta Exempel som belyser teorin och förklarar viktiga matematiska färdigheter. I samband med exemplen finns kortfattade instruktioner till hur du kan använda ett digitalt verktyg. Vi utgår från GeoGebra.
u
Till varje avsnitt finns uppgifter av olika karaktär på tre nivåer. På varje nivå finns uppgifter som tränar din förmåga till problemlösning. Öppna uppgifter är uppgifter som inte har ett givet svar och som många gånger kräver en matematisk diskussion. Dessa är markerade med en tonad ruta .
u
Efter varje delkapitel kommer Resonemang och begrepp. Där kan du tillsammans med dina kamrater och din lärare utveckla förmågan att förstå och använda matematiska begrepp, att föra matematiska resonemang och att kommunicera matematik.
u
I de flesta kapitel finns en eller flera aktiviteter med titeln Programmering. Där får du se exempel på hur programmering kan användas som verktyg, bland annat vid problemlösning. Du får också själv prova att programmera med utgångspunkt i färdiga program.
u
I slutet av varje kapitel finner du Uppslaget. Där finns uppgifter som ger möjlighet att utveckla olika matematiska förmågor. Bland annat finns en större uppgift av tematisk karaktär, som vi har valt att kalla Problemlösning och modellering. I Undersök finner du lite mer omfattande och utmanande uppgifter. Där får du träna på problemlösning och ett undersökande arbetssätt. I Rätt eller fel? får du tillfälle att resonera om kapitlets viktiga begrepp.
u
I slutet av varje kapitel finns ett avsnitt om Historia som beskriver matematikens utveckling ur ett idéhistoriskt och kulturellt perspektiv.
u
Tankekartan visar hur de olika matematiska begreppen hänger ihop och kan ses som en sammanfattning av kapitlet.
u
I Blandade uppgifter finns uppgifter på tre nivåer. Uppgifterna behandlar moment både från det innevarande och de föregående kapitlen. Det ger dig möjlighet att kontinuerligt befästa dina kunskaper.
u
Sist i varje kapitel finns ett Kapiteltest. Där har du möjlighet att själv kontrollera dina kunskaper. Testet är uppdelat i två delar, en del som ska lösas utan digitalt verktyg och en del där du får använda ett digitalt verktyg. Lycka till med dina matematikstudier! Författarna
Innehåll 1 Trigonometri
6
1.1 Trigonometriska ekvationer. . . . . . . . . . . . . . . 8 Trigonometri i rätvinkliga trianglar 8 Enhetscirkeln 11 Att lösa trigonometriska ekvationer 13 Mer om trigonometriska ekvationer 15 Radianer 17
64
2.1 Begreppet derivata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Derivatans definition och deriveringsregler 66 Tolkningar av derivatan 69
2.2 Deriveringsregler.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.2 Trigonometriska samband. . . . . . . . . . . . . . . 20 Samband mellan vinklar i enhetscirkeln 20 Trigonometriska ettan 22 Additions och subtraktionsformler 25 Formler och trigonometriska ekvationer 28
1.3 Trigonometriska funktioner.. . . . . . . . . . . . 30 y = sin x och y = cos x 30 Amplitud och period 34 Förskjutning av grafen i x- och y-led 37 Grafen till y = tan x 42 Grafen till y = a sin x + b cos x 46 Tillämpningar av trigonometriska funktioner 48
Programmering: Punkter på cirkeln. . . . Historia: Radianer, nygrader och streck.. . . . . . . . Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tankekarta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Derivata
Derivatan av sammansatta funktioner 72 Tillämpningar av kedjeregeln 76 Derivatan av sin x och cos x 79 Derivatan av exponential- och logaritmfunktioner 83 Derivatan av en produkt och av en kvot 87 Tillämpningar med digitala verktyg 91
2.3 Derivatan och grafen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
54
Maximi- och minimiproblem 94 Maximi- och minimiproblem med digitala verktyg 99 Kurvritning med hjälp av derivata 103 Vertikala och horisontella asymptoter 107 Sneda asymptoter 111 Kurvritning med hjälp av asymptoter 114
55 56 58 59 62
Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Historia: Differentialkalkylen. . . . . . . . . . Tankekarta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118 120 121 122 126
3 Integraler
128
4 Komplexa tal
180
3.1 Areor och integraler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.1 Aritmetik och ekvationer.. . . . . . . . . . . . . . . 182
3.2 Tillämpningar av integraler. . . . . . . . . . . . . 147
4.2 Det komplexa talplanet. . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Primitiva funktioner 130 Att beräkna areor med hjälp av integraler 134 Räkneregler för integraler 140 Arean av områden mellan två kurvor 142
Beräkning av storheter med hjälp av integraler 147 Täthetsfunktioner 152 Rotationskroppar 159 Mer om rotatonskroppar 162
Programmering: Integraler – numerisk metod.. . . . . . . . . Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Historia: Arkimedes och klotets volym. . . . . . . . . Tankekarta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167 168 170 171 172 178
En utvidgning av talsystemet 182 Beräkningar med komplexa tal 185 Andragradsekvationer med komplexa rötter 188 Polynomekvationer av högre grad 191
Komplexa tal som punkter och visare 196 Polär form 199 Multiplikation och division med komplexa tal i polär form 203 Potenser av komplexa tal 206 Ekvationen zn = w 210 Eulers formel och talet ez 214
Programmering: Transformationer av komplexa tal. . . Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Historia: Imaginär hjälp.. . . . . . . . . . . . . . . . . Tankekarta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
218 220 222 223 224 230
Facit
232
Register
262
1
Delkapitel 1.1 Trigonometriska ekvationer 1.2 Trigonometriska samband 1.3 Trigonometriska funktioner
Förkunskaper ■ Trigonometri i rätvinkliga trianglar ■ Enhetscirkeln ■ Algebra och ekvationslösning
Centralt innehåll ■ Hantering av trigonometriska
uttryck. Bevis och hantering av trigonometriska identiteter, inklu sive trigonometriska ettan och additionsformler.
■ Egenskaper hos trigonometriska
funktioner, inklusive period, ampli tud och fasförskjutning. Metoder för att bestämma trigonometriska funktioner. Metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.
■ Begreppet radian.
6
N
är vi i tidigare kurser arbetade med de trigonometriska sambanden sinus, cosinus och tangens, begränsade vi oss till vinklar mellan 0° och 360°. I den här kursen kommer vi att lösa trigonometriska ekvationer och bevisa trigonometriska samband även för vinklar utanför detta intervall. Vi kommer också att rita grafer till trigonometriska funktioner. Det hjälper oss att beskriva periodiska förlopp som till exempel rörelsen av vågor på vatten, växelström och ljud som alstras av en vibrerande sträng. I det här kapitlet får du inledningsvis repetera hur man u
bestämmer okända sidor och vinklar i rätvinkliga trianglar
u
bestämmer trigonometriska värden med hjälp av enhetscirkeln
När du är klar med kapitlet ska du kunna u
ange exakta trigonometriska värden för vissa vinklar
u
lösa trigonometriska ekvationer grafiskt och algebraiskt
u
förenkla uttryck med hjälp av trigonometriska ettan, additions- och subtraktionsformlerna för sinus och cosinus samt med formler för dubbla vinkeln
u
använda vinkelmåtten grader och radianer samt kunna göra omvandlingar mellan dessa
u
använda begreppen amplitud, period och fasförskjutning
u
avläsa och skissa grafer till trigonometriska funktioner, även i de fall där grafen är förskjuten i x-led respektive y-led
u
använda trigonometriska funktioner i tillämpade sammanhang
Enhetscirkeln Punkten P ligger på enhetscirkelns rand och har koordinaterna (cos 20°, sin 20°). u
u
Ange en annan punkt på enhetscirkeln som har samma värde på x-koordinaten som P. Ange en annan punkt på enhetscirkeln som har samma värde på y-koordinaten som P.
1
y
20°
−1
P
x
1
−1
u
Bestäm två lösningar till var och en av ekvationerna sin v = sin 20° och cos v = cos 20°.
u
Undersök om v = 880° är en lösning till någon av ekvationerna.
u
Bestäm ytterligare två lösningar till ekvationerna sin v = sin 20° och cos v = cos 20°.
u
Hur många lösningar har ekvationerna?
7
1.1 Trigonometriska ekvationer Trigonometri i rätvinkliga trianglar Redan i kurs 1c visade vi att kvoten mellan två sidor i en rätvinklig triangel endast beror av den spetsiga vinkeln och inte på triangelns storlek. Det gav oss de tre trigonometriska sambanden sinus, cosinus och tangens.
Sinus, cosinus och tangens för en vinkel För en vinkel v i en rätvinklig triangel gäller att a sin v = __ c b cos v = __ c a tan v = __ b
1 Exakta värden
Exakta värden för några vinklar v
sin v
cos v
tan v
0º
0
1
0
√ 3 ___
1__ ___ √3
30º 45º
1 __ 2 1 ___ __ √ 2
__
60º
√3 ___ 2
90º
1
8
__
2
1__ ___ √2
1
__
1 __
√3
0
Ej def
2
c
a
v b
För en del vinklar, t.ex. 30°, 45° och 60°, är det relativt lätt att bestämma exakta trigonometriska värden. För att undersöka de trigonometriska värdena för vinkeln 45° börjar vi med att rita en likbent rätvinklig triangel med kateterna a och hypotenusan 1 l.e. Eftersom triangeln är likbent och rätvinklig, så är de båda spetsiga vinklarna 45°. Med hjälp av Pythagoras sats bestämmer vi längden av sidan a: a2 + a2 = 12
Pythagoras sats
2a2 = 1 1 a2 = __ 2 1__ a = ± ____ √ 2
Vi löser ut a
45° 1
a
45° a
a > 0, vi kan bortse från den negativa lösningen
De trigonometriska sambanden för rätvinkliga trianglar ger oss 1__ 1 a motstående katet sin 45° = __ = ____ 1 = ____ __ _________________ hypotenusan 1 √ √ 2 2 närliggande katet a 1__ 1 1 = ___ cos 45° = __ = ___ __ _______________________ hypotenusan 1 √ √ 2 2 a motstående katet tan 45° = __ = 1 _________________ närliggande katet a
/ /
Ritar man i stället en liksidig triangel, så kan man bestämma exakta värden för vinklarna 30° och 60°. Dessa värden kan du se i tabellen här intill. Teoretiskt kan vi även tänka oss att vinkeln v är lika med 0°. Vi får då en så kallad urartad triangel, där b = c och a = 0. Med hjälp av de trigonometriska sambanden kan man då inse att sin 0° = 0, cos 0° = 1 och att tan 0° = 0. På motsvarande sätt kan man tänka sig att v = 90° ger a = c och b = 0, som ger värdena du kan se i tabellen.
TRIGONOMETRI 1.1 Trigonometriska ekvationer
Exempel: Bestäm en lösning till ekvationen i intervallet 0° ≤ v ≤ 90°. Svara exakt.
__
√ 3 a) sin v = ____
1 b) tan 2v = ____ __ √ 3
2
__
Lösning:
√ 3 a) sin v = ____ 2
v = 60°
Med hjälp av tabellen för exakta värden
1 b) tan 2v = ____ __ √ 3 2v = 30°
Med hjälp av tabellen för exakta värden
30° v = ____ = 15° 2
__
Exempel:
√ 3 Visa att sin 60° = ____ med hjälp av den liksidiga triangeln.
2
1 C
Lösning: Eftersom triangeln är liksidig, är alla vinklar 60°. Vi drar en höjd från B och bestämmer längden av den med hjälp av Pythagoras sats. 1 2 Lös ut h __ + h2 = 12 2 1 3 h2 = 1 − __ = __ 4 4
__
4
2
√
3 √3 __ h = ± = ± ___
1 A
1 B 1
()
__
1
B
h
1
60°
C
1 __ 2
D
1 __
A
2
Den negativa lösningen förkastas eftersom h är en sträcka
Nu använder vi__definitionen av sinus i den rätvinkliga t riangeln BCD. __ √ √ h 3 3 motstående katet _________________ sin 60° = __ = ___ 1 = ___ hypotenusan 2 2 1
/
__
√3 Alltså är det exakta värdet av sin 60° lika med ___ , v.s.v. 2
Nivå 1
1102 Bestäm de markerade vinklarna.
1101 Bestäm längden av sidan markerad med x i figurerna. a)
b)
a) 24
48
a v
b)
x
v
2a u
9,0 33° 24
58°
x
TRIGONOMETRI 1.1 Trigonometriska ekvationer
9
Använd tabellen på sidan 8 för att lösa u ppgifterna.
nerna och svara exakt.
1103 Ange det exakta värdet av a) sin 60°
b) cos 30°
c) tan 60°
d) sin 30°
1 a) cos (2x + 15°) = __ 2__ b) tan (3x + 30°) = √ 3
1104 Bestäm längden av kateterna a och b exakt. 2
a b
1
c) Bestäm de två spetsiga vinklarna i en egyptisk triangel.
2
+ (cos 30°) .
1106 Ange en exakt lösning till ekvationerna 1 a) sin v = __ 2
1__ b) cos u = ____ √ 2
3 c) (sin w) = __
√ 3 d) sin 2z = ____
2
när man introducerar Pythagoras sats. Triangelns sidor har förhållandena 3 : 4 : 5.
b) Visa att en egyptisk triangel är rätvinklig.
1105 Beräkna det exakta värdet av (sin
1111 En egyptisk triangel används ofta som exempel
a) Ge exempel på sidlängder som en egyptisk triangel kan ha.
30°
30°)2
1110 I ekvationerna är 0° ≤ x < 50°. Lös ekvatio-
__
4
2
1107 Mellan vilka värden varierar sin v och cos v för 0° ≤ v ≤ 90°?
1112 Bestäm det exakta värdet av cos 30° a) _______ sin 45°
1113 Peppe vill tillverka ett mätverktyg i trä som
ser ut som på bilden. Vinklarna ska vara 30°, 60° och 90°. Ge förslag på lämpliga mått på sträckorna a, b och c. c
Nivå 2
a
1108 Använd figuren för att bestämma de exakta
b
värdena av cos 60° och tan 60°.
1
h
1
1 __ 2
Nivå 3 1114 En rät linje genom origo kan beskrivas av
60° 1 __ 2
1109 Anders och Karin diskuterar trigonometri.
Anders har noterat att sinus för en vinkel blir större och större när vinkelns storlek ökar i intervallet 0° ≤ v ≤ 90°. Karin ser också att det stämmer och vill förklara varför det är på det viset. a) Ge förslag på hur Karins förklaring skulle kunna se ut. b) Vad gäller för cosinus för en vinkel, när vinkeln växer i intervallet 0° ≤ v ≤ 90°?
10
b) 2(cos 30° − sin 45°)
TRIGONOMETRI 1.1 Trigonometriska ekvationer
ekvationen y = kx. Ett större värde på k ger en brantare lutning och därmed en större vinkel v mellan linjen och x-axeln. a) Skriv av tabellen och komplettera den där det finns luckor. k
v y
30° 1
__
y = kx 1
√3
v 1
2 80°
b) Ange ett samband mellan k och v.
x
Enhetscirkeln I förra avsnittet påminde vi om de trigonometriska sambanden för rätvinkliga trianglar. De definitionerna gällde endast vinklar i intervallet 0° ≤ v ≤ 90°. I kurs 3c tog vi hjälp av enhetscirkeln och utvidgade definitionerna till att gälla även andra vinklar. Där begränsade vi oss oftast till intervallet 0° ≤ v ≤ 360°, men i denna kurs kommer det att vara lika relevant med vinklar utanför detta intervall.
Definition av sinus, cosinus och tangens för en vinkel Den här definitionen gäller för alla vinklar. Vi är inte begränsade till ett varv i enhetscirkeln eller till att bara använda positiva vinklar.
Vinkeln v bestämmer en punkt P = (x, y) på enhetscirkeln. För alla vinklar v gäller att
1
sin v = y
1
P x
v −1
1
Period för tangens
1
1
−1
Visaren som bildar vinkeln v mot x-axeln bestämmer läget av punkten P på enhetscirkelns rand. Om vi lägger till eller drar ifrån ett helt varv till vinkeln, så kommer vi tillbaka till samma punkt på enhetscirkeln. Samma sak händer om vi lägger till eller drar ifrån två, tre eller fler hela varv. Det betyder att sin v = sin (v + n · 360°), där n är ett heltal cos v = cos (v + n · 360°), där n är ett heltal
−1
x
v
sin v tan v = _____ (cos v ≠ 0) cos v
y
P = (cos v, sin v)
−1
cos v = x
Period för sinus och cosinus
y
Man säger att sin v och cos v har perioden 360°.
Att n är ett heltal betyder att n = 0, ±1, ±2, ±3, ... 1
y (a, b)
Perioden för tan v är inte lika lätt att upptäcka. v + 180° v Med hjälp av enhetscirkeln tecknar vi tangens för −1 v − 180° vinklarna v och v + 180°. (−a, −b) b sin v __ = tan v = _____ −1 cos v a sin (v + 180°) −b __ b Samma resultat får vi om vi tan (v + 180°) = _____ = ___ = drar bort 180° cos (v + 180°) −a a
x 1
Vi får samma värde på tangens om vi till vinkeln v lägger till eller drar ifrån 180°. För tan v är alltså perioden 180°. Det kan skrivas som tan v = tan (v + n ∙ 180°), där n är ett heltal
Perioder för sinus, cosinus och tangens För alla vinklar v och heltal n gäller sin v = sin (v + n · 360°)
sin v har perioden 360°
cos v = cos (v + n · 360°)
cos v har perioden 360°
tan v = tan (v + n · 180°), v ≠ 90° + n · 180°
tan v har perioden 180°
TRIGONOMETRI 1.1 Trigonometriska ekvationer
11
Exempel: Bestäm med hjälp av enhetscirkeln den vinkel mellan 0° och 360° som har visaren i samma läge som visaren till
0
60
15 0
12
−30° 1
–1
0 21
270
0
24
b) −30° + 360° = 330°
0
–1
30
a) 480° − 360° = 120°
x
33 0
Lösning: Vi kan dra bort eller lägga till 360° utan att förändra visarens läge.
480° 0
180
b) −30°
30
a) 480°
y 90 1
Exempel: Visa att
1
a) sin 750° = 0,5 om sin 30° = 0,5
b) tan 585° = 1 om tan 45° = 1
Lösning: a) sin 750° = sin (30° + 2 · 360°) = sin 30° = 0,5 b) tan 585° = tan (45° + 3 · 180°) = tan 45° = 1
Sinus har perioden 360° Tangens har perioden 180°
Nivå 1
Nivå 2
1115 Bestäm den vinkel mellan 0° och 360° som
1121 Använd enhetscirkeln och fyll i de exakta
har visaren i samma läge som vinkeln a) 560° b) −100°
v
a) sin 0°
b) cos 180°
c) sin 450°
d) tan 405°
1117 Bestäm ett närmevärde till tan v om du vet att cos v ≈ −0,629 och sin v ≈ 0,777.
1118 I vilken kvadrant ligger visaren till vinkeln b) 1 000°
c) −265°
1119 Ordna i storleksordning utan att använda digitalt verktyg. A = cos 30°
B = cos 430°
C = cos (−40°)
1120 Ge exempel på en vinkel v < 0° som uppfyller villkoret cos v = cos 110°.
12
sin v
cos v
180°
1116 Bestäm utan digitalt verktyg.
a) 673°
ärdena i tabellen här nedanför. Utgå från v värdena i tabellen på sidan 8.
TRIGONOMETRI 1.1 Trigonometriska ekvationer
210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
1122 Bestäm, utan digitalt hjälpmedel, exakt värde till a) cos 690°
b) sin (−150°)
c) tan 600°
d) cos 660°
Att lösa trigonometriska ekvationer Ekvationen sin v = a
Två olika vinklar i intervallet 0° ≤ v < 360° ger y-värdet 0,80.
Med hjälp av enhetscirkeln kan vi se att ekvationen sin v = 0,80 har två lösningar i intervallet 0° ≤ v < 360°. v1 ≈ 53°
Digitalt hjälpmedel ger arcsin 0,8 ≈ 53°
1
y
y = sin v = 0,80
v2
x
v1
−1
1
v2 ≈ 180° − 53° = 127° Eftersom sinus har perioden 360°, så kommer samtliga lösningar till ekvationen att bli
−1
v ≈ 53° + n · 360°, där n är ett heltal och v ≈ 127° + n · 360°, där n är ett heltal Ekvationen cos u = b
Med hjälp av enhetscirkeln ser vi att ekvationen cos u = 0,25 har två lösningar i intervallet 0° ≤ u < 360°. u1 ≈ 76°
Med digitalt hjälpmedel
1
y x = 0,25
u2
u1
−1
x 1
u2 ≈ 360° − 76° = 284° −1 Eftersom cos 284° = cos (284° − 360°) = cos (−76°), så kan vi lika gärna skriva lösningarna som u ≈ ±76°. Cosinus har perioden 360°. Samtliga lösningar till ekvationen är därför
u ≈ ±76° + n · 360°, där n är ett heltal Ekvationen tan w = c
Ekvationen tan w = 0,60 har en lösning w ≈ 31°
Med digitalt hjälpmedel
Eftersom tangens har perioden 180°, så blir samtliga lösningar till ekvationen w ≈ 31° + n · 180°, där n är ett heltal
Exempel: Lös ekvationen sin 3x = 0,77 Lösning: Att lösa ekvationen sin 3x = 0,77 betyder att samtliga lösningar till ekvationen ska bestämmas. Eftersom arcsin 0,77 ≈ 50,4°, så har ekvationen lösningarna 3x ≈ 50,4° + n ∙ 360° eller 3x ≈ 180° − 50,4° + n ∙ 360° Här nedanför skiljer vi de båda fallen åt. Observera att även perioden ska delas med 3
3x ≈ 50,4° + n · 360° 50,4° 360° x ≈ _____ + n · _____ 3 3
3x ≈ 129,6 + n · 360° 129,6° 360° x ≈ ______ + n · _____ 3 3
x ≈ 16,8° + n · 120°
x ≈ 43,2° + n · 120°
Svar: x ≈ 17° + n · 120° och x ≈ 43° + n · 120°
TRIGONOMETRI 1.1 Trigonometriska ekvationer
13
1
Exempel: Lös ekvationen cos (2x − 12°) = 0,45 Lösning: Ekvationen cos (2x − 12°) = 0,45 har lösningarna 2x − 12° ≈ ±63,3° + n · 360°
arccos 0,45 ≈ 63,3°
2x ≈ 12° ± 63,3° + n · 360° Vi behandlar de båda fallen var för sig och inleder med att dela båda leden med 2. 12° + 63,3° + n · 360° x ≈ ___________________ 2
12° − 63,3° + n · 360° x ≈ ___________________ 2
x ≈ 37,6° + n · 180°
x ≈ −25,6° + n · 180°
Eftersom perioden är 180°, så kan vi lika gärna skriva lösningen som
1
x ≈ −25,6° + 180° + n · 180° = 154,4° + n · 180° Svar: x ≈ 38° + n · 180° och x ≈ 154° + n · 180°
Nivå 1
Nivå 2
Lös ekvationerna. Svara med en decimal.
1128 Lös ekvationerna. Svara med hela grader.
1123 a) sin x = 0,70 c) tan x = 1,20
1124 a) tan 3x = 0,70 c) sin 3x = −0,45
b) cos x = −0,40 d) sin x = 1 b) cos 2x = 0,35 d) 1 + sin 4x = 0
1 1125 Du har ekvationen sin x = __
2 a) Ange tre rötter till ekvationen. b) Förklara varför ekvationen har oändligt många rötter.
1126 Lös ekvationerna x a) sin __ = 0,80 3 x c) cos __ = −0,12 5
14
b) tan (2u + 30°) = 0,88 c) sin (5w − 122°) = 0,32
1129 Lösningen till en trigonometrisk ekvation är x = 70° + n · 360° och x = 110° + n · 360° a) Hur kan ekvationen se ut? b) Bestäm de lösningar till ekvationen som ligger i intervallet 720° ≤ x ≤ 1 080°.
1130 Ge exempel på en trigonometrisk ekvation med lösningen x = 90° + n · 120°.
x b) cos __ = 0,7 2 x d) tan __ = −1,3 7
1127 Lös ekvationerna och svara exakt. __ 1 a) sin v = __ 2 v 1__ c) tan __ = ___ 3 √ 3
a) cos (x − 42°) = −0,33
√ 3 b) cos 3v = ___ 2 x d) tan __ = 1 4
TRIGONOMETRI 1.1 Trigonometriska ekvationer
1131 Trude och Linda löser trigonometriska ekva-
tioner. De vet att till exempel ekvationen sin x = 0,4 har lösningar med perioden 360°. Men de har svårare att inse att ekvationen x sin __ = 0,4 har lösningar med perioden 720°. 2 Hjälp Trude och Linda genom att ge en förklaring till varför perioden till den sistnämnda ekvationen är 720°.
Mer om trigonometriska ekvationer I förra avsnittet visade vi hur man bestämmer samtliga lösningar till en trigonometrisk ekvation. Här ska vi fortsätta att arbeta med trigonometriska ekvationer och bland annat visa hur man bestämmer lösningar i ett givet intervall.
Exempel: Lös ekvationerna a) sin 3x = sin 159° b) 5 sin x − 8 cos x = 0 Lösning: a) sin 3x = sin 159° Vi får direkt att 3x = 159° är en möjlig lösning. Den lösningen upprepas med perioden 360°, dvs. 3x = 159° + n ∙ 360°. Eftersom sin 3x = sin (180° − 3x), så är även 180° − 159° = 21° en del av lösningen. Den lösningen har också perioden 360°. Vi får två fall: 3x = 159° + n ∙ 360°
3x = 21° + n ∙ 360°
x = 53° + n ∙ 120°
x = 7° + n ∙ 120°
Svar: x = 7° + n ∙ 120° eller x = 53° + n ∙ 120° b) Vi kan skriva ekvationen i formen tan x = c 5 sin x − 8 cos x = 0 5 sin x = 8 cos x sin x __ 8 _____ =
cos x ≠ 0 ger x ≠ ±90° + n ∙ 360°
5 8 __ tan x = 5 cos x
Tangens har perioden 180°
Dela båda led med 5 cos x
x ≈ 58° + n · 180°
sin x tan x = _______ cos x 8 arctan __ ≈ 58° 5
Svar: x ≈ 58° + n · 180°
Exempel: Bestäm de lösningar till ekvationen tan 4x = 1,2 som ligger i intervallet 360° ≤ x ≤ 540°. Ange svaret i hela grader. Lösning: tan 4x = 1,2 4x ≈ 50,2° + n · 180°
arctan 1,2 ≈ 50,2°
x ≈ 13° + n · 45° Lösningarna ligger i intervallet 360° ≤ x ≤ 540° för n = 8 (373°) till och med n = 11 (508°). Svar: De lösningar som ligger i intervallet är 373°, 418°, 463° och 508°.
TRIGONOMETRI 1.1 Trigonometriska ekvationer
15
1
Nivå 1
1139 Bestäm de lösningar till ekvationerna som
1132 En trigonometrisk ekvation har lösningarna
ligger i intervallet 180° < x < 360°. Avrunda till hela grader.
(
x a) sin __ − 25° = 0,75 3
a) 360° ≤ v ≤ 720°
b) cos (6x + 30°) = −0,40
b) 1 080° ≤ v ≤ 1 440°
1140 I en gammal bok om astrologi kan man läsa att
1133 Lös ekvationerna och ange svaret med en decimals noggrannhet.
”… och om man fyrdubblade vinkeln mot den röda stjärnan, så blev sinus för vinkeln lika med 1/3.”
a) 2 sin x = 3 cos x b) 3 sin x − 4 cos x = 0
1
1134 Ekvationerna har två lösningar i intervallet 0° ≤ v < 360°. Bestäm de lösningarna. a) sin x = sin 25°
Vilka vinklar passar in på den beskrivningen?
1141 Lös ekvationerna.
b) cos x = cos 37°
1135 För att lösa ekvationen sin x (cos x − 1) = 0 kan man utnyttja att antingen sin x = 0 eller cos x − 1 = 0. Bestäm de lösningar till ekvationen som ligger i intervallet 0° ≤ x < 360°.
1136 Lös ekvationerna
1 a) (sin x)2 = __ 2 b) cos 2x = cos 40° cos x c) cos x sin x + _____ = 0 2
1142 Lös ekvationen (cos x)2 + 1 + 2 cos x = 1
Nivå 3
a) sin x ∙ cos x = 0 b) cos x (1 − sin x) = 0
1143 Lös ekvationen sin x = sin (x + 30°).
c) sin x cos x − = 0 2
1144 Lös ekvationen cos 3x = cos (x + 40°).
(
__ √3 ____
)
Nivå 2 1137 Bestäm de lösningar till ekvationen som ligger inom det angivna intervallet. Avrunda till hela grader.
a) sin 5x = 0,8 i intervallet 90° < x < 180° b) tan 3x = −1,2 i intervallet 500° < x < 700°
1138 Bestäm de lösningar till ekvationerna som
ligger i intervallet 300° < x < 600°. Avrunda till hela grader.
x a) sin __ = 0,95 5 x b) cos __ = 0,10 2
16
)
v = 40° + n · 180°. Bestäm de lösningar till ekvationen som ligger i intervallet
TRIGONOMETRI 1.1 Trigonometriska ekvationer
1145 Lös ekvationerna a) sin x = sin 3x b) sin x = cos 40°
1146 Trigonometriska ekvationer kan också lösas
med grafiska metoder. Till vilken trigonometrisk ekvation kan man avläsa lösningarna i figuren? y 1
y = sin x
x 180° −1
360°
ordboken
Radianer Hittills har vi uteslutande arbetat med vinklar i enheten grader. Men det finns även andra enheter för vinklar.
Radian kommer från latinets radius, som betyder stråle.
Formellt definieras vinkel enheten 1 radian som den medelpunktsvinkel som spänner upp en cirkelbåge av samma längd som radien
En vanlig enhet för vinklar är radian som betecknas rad. Om man ritar en vinkel med spetsen i enhets cirkelns medelpunkt, så kommer den vinkeln att bestämma en cirkelbåge. Längden av denna cirkelbåge motsvarar vinkeln i radianer. Enhetscirkeln har radien 1 och omkretsen är alltså 2π ∙ r = 2π ∙ 1 = 2π. Vinkeln för ett helt varv motsvarar därför 2π radianer, det vill säga 2π rad = 360°.
Cirkelbåge 1 v 1
360° 180° ≈ 57,3° En radian är alltså 1 rad = _____ = _____ 2π π
π __ 2
1
Radianer till grader
Om vi vill bestämma vinkeln α i grader när vi känner 180° ∙ v vinkeln v i radianer, så får vi sambandet α = _______ π
Grader till radianer
Om α är vinkeln i grader och v är samma vinkel i radianer, så får vi sambandet α πα v __ = _____ som ger v = _____ π 180° 180°
2π
Samband mellan grader och radianer π 180° 1° = ____ rad och 1 rad = _____ ≈ 57,3° 180 π
b
r v r
Många formler blir enklare om vinkeln anges i radianer. Ta som exempel formeln för cirkelbågens längd b. Om vinkeln v anges i grader är formeln v v · 2πr. Samma formel med v i radianer blir b = vr. b = _____ b = ___ · 2πr = vr 360° 2π
Exempel: Ange vinkeln 213° i radianer. π ∙ 213° Lösning: v = _______ rad ≈ 3,72 rad 180°
πα Använd sambandet v = _______ 180°
Exempel: Ange vinklarnas storlek i grader. 2π b) ___ rad 3
a) 2 rad 180° ∙ 2 ≈ 115° Lösning: a) 2 rad = _______ π 2π 180° ∙ ___ 2π _________ 180° · 2π 3 ___ b) = = ________ = 120° 3 3π π
180° ∙ v Använd sambandet α = _________ π 180° · v Använd sambandet α = __________ π
TRIGONOMETRI 1.1 Trigonometriska ekvationer
17
(
)
π Exempel: Lös ekvationen cos 2x − __ = 0,5 där x är uttryckt i radianer. 4 Lösning: Vi löser ekvationen på samma sätt som i tidigare avsnitt. π cos 2x − __ = 0,5 cos v = 0,5 ger v = ±60° + n · 360° 4 π π · 60°
(
)
60° = ________ rad = __ rad 180° 3
π π 2x − __ = ± __ + n ∙ 2π 4
3
π π 2x = __ ± __ + n ∙ 2π 4 3 Vi får två olika fall
1
π π 2x = __ + __ + n ∙ 2π 4 3
π π 2x = __ − __ + n ∙ 2π 4 3
π π x = __ + __ + n ∙ π = 8 6
π π x = __ − __ + n ∙ π = 8 6
3π + 4π 7π = ________ + n ∙ π = ___ + n ∙ π 24 24
3π − 4π π = ________ + n ∙ π = − ___ + n ∙ π 24 24
π 7π Svar: x = ___ + n ∙ π och x = − ____ + n ∙ π 24 24
Nivå 1
1149 Ange vinklarnas storlek i grader. Avrunda till heltal.
1147 Ange vinklarnas storlek i radianer. Avrunda till en decimal. a) 38°
b) 196°
c) 290°
1148 Ange exakta v ärden till vinklarnas storlek i radianer. Vinkel i grader
Vinkel i radianer
Vinkel i grader
0°
135°
30°
150°
45°
180°
60°
210°
90°
270°
120°
360°
Vinkel i radianer
a) 1,5 rad
b) 0,8 rad
c) 6,3 rad
d) 4,1 rad
1150 Vinklarna är angivna i radianer. Bestäm π a) sin __ 3 c) sin 3
π b) cos __ 2 d) cos 4,5
1151 Bestäm storleken av vinkeln v i radianer. a)
(cm)
8,7 v
b)
(m)
3,8
74 v
13
1152 Lös ekvationerna exakt. Ange svaret i radianer. a) sin x = 0,5 c) sin x = −1
18
TRIGONOMETRI 1.1 Trigonometriska ekvationer
b) cos x + 0,5 = 0 1 d) tan x = ___ __ √ 3
1153 Lös ekvationerna exakt. Ange svaret i radianer. __ π
(
) __
a) 2 cos x − __ = √ 2 3
1157 Lisa och Moa har arbetat med följande matte uppgift.
√ 3 b) sin 2x = ___ 2 π = 1 c) tan x + ___ 12
Bestäm längden av sidan markerad med x.
( ) __ π d) tan ( 2x − __ ) = √ 3 3
8,1
1154 Beräkna den skuggade cirkelsektorns area. Vinkeln är angiven i radianer. a)
b) 5π ___
1,7
Lisa har fått svaret x ≈ 5,9 l.e. och Moa har fått x ≈ 0,1 l.e. Moa inser att hon inte har fått rätt svar, men kan inte förstå vad hon har gjort för fel. Ge ett förslag på vad Moas fel aktiga svar sannolikt beror på.
1158 Henrik, Mathias och Margi diskuterar hur man
6
4,0
x
__π5
2,0
omvandlar vinklar från radianer till grader.
a) Mathias ber Margi förklara hur omvandlingen går till. Hjälp Margi med förklaringen.
Nivå 2 1155 Vinkeln är angiven i radianer. Lös ekvationerna och svara med två decimaler. a) tan (2x − 0,2) = 3 b) sin (2x − 0,2) = 3
(
)
x 1 c) cos __ − 0,2 = __ 2 3
1156 Anders säger till Hasse att han inte riktigt har
förstått vinkelmåttet radianer. Hjälp Hasse att förklara för Anders vad radianer är.
b) Henrik säger att han genom att använda sinusfunktionen på ett digitalt hjälpmedel kan göra omvandlingen utan att utföra någon vanlig beräkning. Hur kan Henrik tänkas göra?
1159 Bestäm en formel för cirkelsektorns area A, om vinkeln v mäts i
r
a) grader
v r
b) radianer c) Beräkna vinkeln v i radianer om cirkel sektorns area är 84 cm2 och radien är 6,2 cm.
Resonemang och begrepp u För vilka vinklar x kan man definiera sin x, cos x respektive tan x? u Vilket är det största respektive minsta värde som sin x, cos x respektive tan x kan anta? u Mellan vilka värden varierar tan v för 0° ≤ v < 90°? u Förklara varför ekvationen sin x = 1 bara har en lösning i intervallet 0° till 360°. u Rita en enhetscirkel och förklara varför sinus- och cosinusfunktionen har perioden 2π. u Vilka fördelar kan det finnas med att använda radianer i stället för grader? TRIGONOMETRI 1.1 Trigonometriska ekvationer
19
1
1.2 Trigonometriska samband Samband mellan vinklar i enhetscirkeln Motsatta vinklar
I enhetscirkeln till höger har vi markerat vinklarna v och −v. Summan av vinklarna −v och v är noll och de kallas därför motsatta vinklar.
1
y (a, b) x
v
Studerar vi figuren ser vi att
−1
−v
sin (−v) = −b = −sin v
1 (a, −b)
cos (−v) = a = cos v
−1
För motsatta vinklar gäller alltså att
1
sin (−v) = −sin v och att cos (−v) = cos v Komplementvinklar
I enhetscirkeln till höger har vi markerat vinklarna v och 90° – v. Summan av dessa vinklar är 90°. Sådana vinklar kallas komplementvinklar. För sådana vinklar gäller att
1
y
90° − v v
−1
x 1
sin (90° − v) = cos v och cos (90° − v) = sin v Du får själva bevisa dessa samband i uppgift 1210.
−1
Det finns flera andra samband mellan vinklar, som man relativt lätt kan inse genom att använda kongruens eller symmetri i enhetscirkeln. I regelrutan här nedanför finner du några exempel.
Samband mellan vinklar För alla vinklar v gäller sin (90° − v) = cos v
cos (90° − v) = sin v
sin (−v) = −sin v
cos (−v) = cos v
sin (180° − v) = sin v
cos (180° − v) = −cos v
sin (v + 90°) = cos v
cos (v + 90°) = −sin v
sin (v + 180°) = −sin v
cos (v + 180°) = −cos v
Exempel: Bestäm värdet av sin 50° − cos 40° utan digitalt verktyg. Lösning: Eftersom cos v = sin (90° − v), så är cos 40° = sin 50°. Alltså är sin 50° − cos 40° = sin 50° − sin 50° = 0
20
TRIGONOMETRI 1.2 Trigonometriska samband
__
√ 3 Exempel: Vi vet att cos 30° = ___ . Bestäm
Om inget gradtecken finns är det givet att vinkeln uttrycks i radianer
2
a) cos (−30°)
5π c) sin ___ 3
b) sin 60°
Lösning: a) Vinklarna −30° och 30° är motsatta __ vinklar. Eftersom cos (−v) = cos v, √ 3 ___ så gäller cos (−30°) = cos 30° = . 2 b) Vinklarna 30° och 60° är komplementvinklar. Eftersom
__
√ 3 sin v = cos (90° − v), så gäller sin 60° = cos (90° − 60°) = cos 30° = ___ .
2 5π 5π c) Eftersom sinus har perioden 2π, så gäller sin ___ = sin ___ − 2π = 3 3 π π π __ __ __ = sin − = −sin . Eftersom = 60° kan vi använda resultatet 3 3 3 __ √3 5π π ___ från deluppgift b): sin = −sin __ = − ___ . 3 3 2
(
( )
Nivå 1
)
1
Nivå 2 1 2
1201 Vi vet att cos 60° = __ . Bestäm utan digitalt hjälpmedel
a) cos (−60°)
b) sin 30°
1202 Skriv om regelrutan ”Samband mellan vinklar” på sidan 20 så att den i stället gäller för vinklar i radianer. π 3
__ √3 ____
1203 Vi vet att sin __ = . Bestäm
( )
π a) sin − __ 3
7π 6
2
1204 Vi vet att sin ___ = − __ . Bestäm
( )
( )
7π a) sin − ___ 6
5π b) sin − ___ 6
19π c) sin ____ 6
13π d) sin ____ 6 1 2
1205 Om vi vet att sin 30° = __ , visa att 1 a) sin (−30°) = − __ 2 1 b) sin 330° = − __ 2
vera ett samband som utgår från a) sin (v + π)
b) cos (v + π)
1207 Visa att a) sin (450° − v) = cos v b) cos (v + 270°) = sin v
1208 Visa att inte sin (u + v) = sin u + sin v gäller
π b) cos __ 6 1 2
1206 Använd enhetscirkeln för att hitta och moti-
för alla vinklar u och v.
Nivå 3 1209 Visa att a) tan (180° − v) = −tan v
(
)
π 1 b) tan __ − v = _____ 2 tan v
1210 Visa med hjälp av enhetscirkeln att a) sin (90° − v) = cos v
(
)
π b) cos __ − v = sin v 2 TRIGONOMETRI 1.2 Trigonometriska samband
21
Trigonometriska ettan För varje punkt P = (cos v, sin v) som ligger på enhetscirkeln i första kvadranten kan vi bilda en rätvinklig triangel med kateterna cos v respektive sin v och hypotenusan 1 l.e. Vi får med hjälp av Pythagoras sats
1
y P = (cos v, sin v) 1
−1
(sin v)2 + (cos v)2 = 12
sin v x
v cos v
1
−1
Oavsett hur vi flyttar P utmed hela cirkelns rand, så kommer vi att på mot svarande sätt kunna bilda en rätvinklig triangel vars hypotenusa är 1 l.e. I de fall när cos v eller sin v är negativa, så är katetens längd |cos v| respektive |sin v|. Men eftersom värdena i sambandet kvadreras så spelar det ingen roll om cos v och sin v har negativa värden. Sambandet gäller ändå.
1
Trigonometriska ettan sin2 v och cos2 v är ett enklare skrivsätt för (sin v)2 och (cos v)2.
Sambandet brukar skrivas sin2 v + cos2 v = 1 och kallas ofta den trigono metriska ettan.
Trigonometriska ettan För alla vinklar v gäller sin2 v + cos2 v = 1 Den trigonometriska ettan kan bland annat användas för att skriva om trigonometriska uttryck och för att bevisa andra trigonometriska formler och samband. 1 Exempel: Använd trigonometriska ettan för att bestämma sin v om cos v = − __ och 2 vinkeln v ligger i andra kvadranten. Lösning: Med hjälp av trigonometriska ettan får vi
( )
1 2 sin2 v + − __ = 1 2
sin2 v + cos2 v = 1
1 sin2 v + __ = 1 4 3 sin2 v = __ 4
__
√
__
√ 3 3 __ sin v = ± = ± ___ 4 2
__
√ 3 Eftersom vinkeln ligger i andra kvadranten så gäller att sin v = ___ 2 __ √ 3 ___ Svar: sin v = 2
22
TRIGONOMETRI 1.2 Trigonometriska samband
Exempel: Visa att (sin v − cos v)2 + 2 sin v cos v = 1 Lösning: Vi ska visa att VL = HL och börjar med att utveckla VL med andra kvadreringsregeln. VL = (sin v − cos v)2 + 2 sin v cos v = = sin2 v − 2 sin v cos v + cos2 v + 2 sin v cos v = = sin2 v + cos2 v = 1 = HL v.s.v.
Trigonometriska ettan: sin2 v + cos2 v = 1
1 Exempel: Visa att ______ = tan2 x + 1 cos2 x
1
Lösning: Vi ska visa att VL = HL. Ofta är det en bra idé att börja med att försöka skriva om den sida som ser krångligast ut. Misslyckas man, kan man försöka från andra hållet. Här väljer vi att börja med VL. 1 = sin2 x + cos2 x
( )
1 sin x 2 sin2 x + cos2 x ______ sin2 x cos2 x VL = ______ 2 = _____________ = 2 + ______ 2 = _____ + 1 = 2 cos x cos x cos x cos x cos x = tan2 x + 1 = HL
Nivå 1
v.s.v.
1214 Bestäm det exakta värdet av sin x om
1211 Beräkna a) sin2 312° + cos2 312° π π b) sin2 __ + cos2 __ 7 7 9π 9π 1 __ ___ c) cos2 + sin2 ___ 2 8 8
(
)
1212 Visa att cos2 30° + sin2 30° = cos2 45° + sin2 45°. 1213 Vinkeln v ligger i första kvadranten. Bestäm det exakta värdet av
a) cos v om sin v = 0,1 b) sin v om cos v = 0,2 c) cos v om sin v = 0,7
2 cos x = − __ och vinkeln x ligger i 3 a) andra kvadranten b) tredje kvadranten
1215 Bestäm det exakta värdet av cos v + sin v 3 om sin v = __ . 5
1216 Vinkeln v ligger i fjärde kvadranten. Beräkna det exakta värdet av
1 a) sin v om cos v = __ 2 2 b) cos v om sin v = − __ 5 1 c) sin v om cos v = ___ __ √ 2
1217 Förenkla uttrycket (sin v − cos v)(sin v + cos v). TRIGONOMETRI 1.2 Trigonometriska samband
23
1218 Visa att (sin x + cos x)2 + (sin x − cos x)2 = 2. cos2 x sin x
1 sin x
1219 Visa att 1 + ______ 2 = ______ 2
(
2
1227 Vilka exakta värden kan tan v anta om
)
sin x 1220 Visa att cos2 x ______ 2 + 1 = 1 för alla x cos x där uttrycken är definierade.
(Np Ma4 vt 2013)
1 sin v = __ ? 5
1 cos x
1228 Visa att tan2 x = ______ 2 − 1. 1 sin x
1 tan x
1221 Visa att _________ = cos v.
______ = 1. 1229 Visa att ______ 2 − 2
Nivå 2
1 1 1230 Visa att _____ + tan x _____ − tan x = 1.
1222 Hur förändras svaret till uppgiften
1231 Visa att cos3 x · tan2 x + cos3 x = cos x.
1 − sin2 v cos v
1
(1 + cos x)(1 − cos x) sin x
1226 Visa att ___________________ = sin x.
(
Bestäm sin v, om cos v = __ 2 5
om man lägger till villkoret att vinkeln v ligger i fjärde kvadranten? 1 1223 Bestäm tan v exakt om sin v = ___ __ och π __ < v < π.
√3
2
1224 En cirkel med medelpunkten i origo ritas i ett
koordinatsystem. Cirkelns radie är 3 l.e. På cirkelns rand markeras en punkt P i första kvadranten. Linjen genom P och origo bildar vinkeln v med x-axeln. Bestäm exakta värden __ √ 3 ___ på koordinaterna för punkten P, om sin v = . 2
1 1 1225 Förenkla ________ + ________ 1 + cos x 1 − cos x
24
TRIGONOMETRI 1.2 Trigonometriska samband
)(
cos x
)
cos x
1232 Visa att cos4 α − sin4 α = 1 − 2 sin2 α.
Nivå 3 1233 Bestäm det exakta värdet på sin v om 1 tan v = __ och 0° < v < 90°. 2
1234 Vilka är de exakta __ värdena på sin v och cos v
√
2 3π __ om tan v = − och ___ < v < 2π? 3 2
1235 Visa att
cos x sin x 1 ___________ + ___________ = _____________ cos x + sin x
cos x − sin x
1 1 + sin v
1 1 − sin v
cos2 x − sin2 x 2 cos v
1236 Visa att ________ + ________ = ______ 2
Additions- och subtraktionsformler Vi har tidigare kommit fram till flera trigonometriska samband genom att studera enhetscirkeln. I det här avsnittet kommer vi att använda några av dessa samband för att härleda formler för sin (u + v), sin (u − v), cos (u + v) och cos (u − v). Dessa formler kallas för additions- och subtraktionsformlerna för sinus och cosinus. sin (u + v)
Areasatsen Vinkeln C ligger mellan sidorna a och b. Triangelns area är a · b · sin C Area = __________ 2
Vi börjar med att visa hur sin (u + v) kan uttryckas med hjälp av sinus och cosinus för de enskilda vinklarna u och v. Till hjälp tar vi areasatsen som introducerades i kurs 3c. Vi tecknar arean av triangeln till höger på två sätt med hjälp av areasatsen. Dels tillämpar vi satsen på hela triangeln, dels tecknar vi arean som summan av de två triangelområdena A1 och A2:
a A1
u h
v
b A2
ab sin (u + v) 1) A = ____________ 2
a C b
ah sin u _______ bh sin v + 2) A1 + A2 = ________ 2 2 Arean är lika stor oavsett hur vi beräknar den. Vi får därför A = A1 + A2 vilket ger ab sin (u + v) ________ ah sin u _______ bh sin v ____________ = + 2 2 2
Multiplicera båda leden med 2
ab sin (u + v) = ah sin u + bh sin v
Dela båda led med ab
h h sin (u + v) = __ sin u + __ sin v b a I de rätvinkliga trianglarna A1 och A2 gäller h h cos u = __ och cos v = __ a b Det ger att sin (u + v) = cos v · sin u + cos u · sin v som vanligen skrivs sin (u + v) = sin u cos v + cos u sin v Denna formel kallas additionsformeln för sinus. Eftersom beviset utgår från areasatsen, så gäller det bara när vinklarna u, v och u + v är positiva och mindre än 180°. Men det är möjligt att bevisa att formeln gäller för alla vinklar. Additionsformeln gäller oavsett om vi använder oss av grader eller av radianer som enhet för vinklarna.
TRIGONOMETRI 1.2 Trigonometriska samband
25
1
sin (u − v)
Man kan använda additionsformeln för sinus för att bevisa övriga tre additions- och subtraktionsformler. Eftersom sin (−v) = −sin v och cos (−v) = cos v så blir till exempel sin (u − v) = sin (u + (−v)) = sin u cos (−v) + cos u sin (−v) = = sin u cos v − cos u sin v På liknande sätt kan man bestämma additionsformeln för cosinus genom att utnyttja att sin (90° − v) = cos v och cos (90° − v) = sin v. Du får själv bevisa additions- och subtraktionsformeln för cosinus i uppgifterna 1251 och 1252.
Formler för dubbla vinkeln
1
Med hjälp av additionsformlerna kan man bestämma formler för sinus och cosinus för den dubbla vinkeln 2v. Sinus för dubbla vinkeln kan härledas från den vanliga additionsformeln för sinus. sin 2v = sin (v + v) = sin v cos v + cos v sin v = 2 sin v cos v
Sinus för dubbla vinkeln
På liknande sätt kan man visa att cos 2v = cos2 v − sin2 v
Cosinus för dubbla vinkeln
Med hjälp av trigonometriska ettan kan höger led i formeln här ovanför skrivas på olika sätt. Detta lämnas som övning i uppgift 1245.
Additions- och subtraktionsformler, formler för dubbla vinkeln Additions- och subtraktionsformler
Formler för dubbla vinkeln
sin (u + v) = sin u cos v + cos u sin v
sin 2v = 2 sin v cos v
sin (u − v) = sin u cos v − cos u sin v
cos2 v − sin2 v cos2 v − 1 cos 2v = 2 1 − 2 sin2 v
cos (u + v) = cos u cos v − sin u sin v
{
cos (u − v) = cos u cos v + sin u sin v
Exempel: Utveckla och förenkla sin (x − 30°) Lösning: Subtraktionsformeln för sinus ger sin (x − 30°) = sin x cos 30° − cos x sin 30° =
__
__
√ 3 sin x − cos x cos x √ 3 = ___ sin x − _____ = ______________ 2
2
__
√ 3 1 cos 30° = ___ och sin 30° = __ 2 2
2
Exempel: Visa att cos (3x + π) = −cos 3x genom att använda additionsformeln för cosinus. Lösning: Additionsformeln för cosinus ger
cos π = −1 och sin π = 0
VL = cos (3x + π) = cos 3x cos π − sin 3x sin π = −cos 3x = HL v.s.v.
26
TRIGONOMETRI 1.2 Trigonometriska samband
sin 2x Exempel: Visa att ______ = 2 tan x cos2 x Lösning: Vi ska visa att VL = HL. Här passar det bra att börja med att utveckla VL. Sinus för dubbla vinkeln: sin 2v = 2 sin v cos v
sin 2x ___________ 2 sin x cos x ______ 2 sin x VL = ______ = = = 2 tan x = HL v.s.v. cos2 x cos2 x cos x sin x _______ = tan x
Förkorta med cos x
Nivå 1
cos x
1
1246 Vilket är det största värde som uttrycket 1 − 2 cos x sin x kan anta?
1237 Utveckla och förenkla a) sin (x + 45°)
(
)
π c) sin x − __ 2
1247 Bestäm cos 2x uttryckt i p om cos x = p.
b) cos (x − 60°)
(Np Ma4 ht 2014)
d) cos (x + π)
Nivå 3
1238 Utveckla och förenkla a) sin (x + 110°) + sin (x − 110°)
1248 Visa att sin 3x = (3 cos2 x − sin2 x) sin x.
3π 3π b) cos x − ___ + cos x − ___ 5 5
1249 Visa att __________ = ______ + __
(
)
(
)
1 1 + cos 2x
1239 Utveckla och förenkla 2 sin (x + 30°). __ Använd 1 √3 att sin 30° = __ och att cos 30° = ___ . 2 2
π 2
1 2
sin x 2 cos (x /2)
1250 Visa att tan __ = ___________ 2 1251 Du ska bevisa additionsformeln för cosinus,
sin 2x cos x
1240 Visa att ______ = 2 sin x.
(
x 2
tan2 x 2
dvs. du ska visa att cos (u + v) = cos u cos v − sin u sin v. Du kan ha hjälp av att cos v = sin (90° − v) och sin v = cos (90° − v).
)
1241 Visa att cos 3x + __ = −sin 3x. 1242 Bestäm det exakta värdet av
3π 3π − cos2 ___ a) cos2 45° − sin2 45° b) sin2 ___ 4
4
1243 Visa att cos 2v = cos2 v − sin2 v genom att
a) Motivera varför cos (u + v) kan skrivas sin ( (90° − u) − v ) . b) Fullfölj beviset genom att använda subtraktionsformeln för sinus.
i formeln för cos (u + v) sätta u = v.
Nivå 2 1244 Förenkla sin 2x + (sin x − cos x)2
1252 Visa att subtraktionsformeln för cosinus
äller, dvs. visa att g cos (u − v) = cos u cos v + sin u sin v. Du kan använda formler och samband som redan är bevisade.
1245 Visa att uttrycken för cos 2v, som anges i regelrutan på s. 26, är ekvivalenta.
TRIGONOMETRI 1.2 Trigonometriska samband
27
Formler och trigonometriska ekvationer Ibland blir en trigonometrisk ekvation enklare att lösa om man först skriver 1 om den. Till exempel kan ekvationen cos2 x − sin2 x = __ se rätt så besvärlig ut 2 vid en första anblick, men om man noterar att VL är en del av cosinus för dubbla 1 vinkeln blir den mer överkomlig. Efter omskrivning får vi cos 2x = __ , som vi 2 kan lösa med tidigare visade metoder. När man vill skriva om trigonometriska uttryck eller ekvationer är trigonometriska ettan, additions- och subtraktions formlerna, samt formlerna för dubbla vinkeln användbara samband.
Exempel: Lös ekvationerna 1 a) sin x cos x = __ 4
1
b) cos 2x = cos x − sin2 x sin 2x = 2 sin x cos x
Lösning: a) Vi jämför VL med formeln för dubbla vinkeln. Om vi multiplicerar båda led med 2, så kan vi skriva om ekvationen till 1 2 sin x cos x = __ 2 1 sin 2x = __ 2 2x = 30° + n ∙ 360° eller
2x = 180° − 30° + n ∙ 360° = 150° + n ∙ 360°
x = 15° + n ∙ 180°
x = 75° + n ∙ 180°
2 sin x cos x = sin 2x
Svar: x = 15° + n ∙ 180° och x = 75° + n ∙ 180° b) cos 2x = cos x − sin2 x
Använd cosinus för dubbla vinkeln i VL
cos2 x − sin2 x = cos x − sin2 x
Addera sin2 x till båda led
cos2 x = cos x cos2 x − cos x = 0 cos x (cos x − 1) = 0 cos x = 0 eller cos x = 1 π x = __ + n · π x = 0 + n · 2π 2 π Svar: x = __ + n · π och x = n · 2π 2
Nivå 1
1254 Lös ekvationerna
1253 Lös ekvationerna 2
a) sin x +
cos2
x = sin x
1 b) sin x cos x = __ 2
28
TRIGONOMETRI 1.2 Trigonometriska samband
a) sin2 x − cos2 x = 1 b) sin (x + 90°) = cos2 x
(
)
x c) cos __ + π = −1 2
Nivå 2
1259 Spänningen u volt i en växelströmskrets kan
1255 Lös ekvationerna a) sin x cos x = 0,1 b) sin2 v = sin 2v x c) sin x = sin __ 2
1256 Lös ekvationerna a) tan x = 4 sin x b) tan x cos x + sin x = 0 c) sin 2x = sin x cos x
1257 Ekvationen 2 cos x sin x = 0 kan lösas för
hand på olika sätt. Ge förslag på två olika metoder som man kan lösa ekvationen med.
1258 Jonte och Clara har fått i uppgift att lösa ekvationen sin 2x = cos x. Jonte löser ekvationen på följande sätt
sin 2x = cos x 2 sin x ∙ cos x = cos x 2 sin x = 1 1 sin x = __ har lösningarna 2 π 5π x = __ + n ∙ 2π och x = ___ + n ∙ 2π 6 6 Clara menar att det är något fel i lösningen. Har hon rätt eller fel? Motivera ditt svar.
( (
))
1 skrivas u = 20 sin 100π t + ____ , där 200 t är tiden i sekunder efter det att kretsen sluts. Efter hur lång tid blir spänningen 15 volt?
1260 I en triangel är två sidor 30 cm och 40 cm.
Den ena av de två motstående vinklarna är dubbelt så stor som den andra. Bestäm triangelns vinklar med hjälp av sinussatsen.
1261 I en triangel är en vinkel 45° större än en av
de andra vinklarna. Sidan som står mot den mindre vinkeln är 10 cm och sidan som står mot den större är 14 cm. Bestäm triangelns vinklar med hjälp av sinussatsen.
Nivå 3 1262 Från två båtar, som rör sig i samma riktning
och längs samma räta linje, ser man samtidigt en fyr. En av båtarna är 1,3 km från fyren och ser fyren under vinkeln v från färdriktningen. Den andra båten befinner sig 0,9 km från fyren och ser den under vinkeln v + 30°. Hur stort är avståndet mellan båtarna?
1263 För vilka x är uttrycket inte definierat? sin x + cos x _________________________ cos 2x + 2 cos x + sin2 x + 1
1264 Lös ekvationerna fullständigt. a) tan2 x + 2 tan x − 1 = 0 b) sin 2x + sin 3x = 0
(
)
(
)
π π c) sin x + __ + cos x + __ = 0 3 3
Resonemang och begrepp u Vilka är likheterna mellan den så kallade trigonometriska ettan och Pythagoras sats? u Rita en enhetscirkel och förklara varför sin (−v) = −sin v och varför cos (−v) = cos v. u Förklara varför cos 25º = cos 335º. u Ge exempel på omskrivningar som du kan ha nytta av om du ska lösa en trigonometrisk ekvation. u Vilket samband finns mellan additionsformeln för sinus och formeln för sinus för den dubbla vinkeln? TRIGONOMETRI 1.2 Trigonometriska samband
29
1
1.3 Trigonometriska funktioner y = sin x och y = cos x Vi har tidigare definierat sinus och cosinus för en godtycklig vinkel v med hjälp av enhetscirkeln. 1
y
P = (cos v, sin v) sin v
v cos v
1
x
cos v = x-koordinaten för P
1
sin v = y-koordinaten för P
I det här delkapitlet ska vi studera grafer till olika typer av trigonometriska funktioner. Om vi väljer att kalla den oberoende variabeln för x och den beroende variabeln för y så kan vi skriva y som en funktion av sinus för x som y = sin x Kallas sinusfunktionen
På samma sätt kan vi skriva y som en funktion av cosinus för x som y = cos x Kallas cosinusfunktionen
y = sin x
x
1
2 3
4 5
30
I tabellen till vänster har vi räknat ut några olika värden på sin x. Vi prickar in värdena från tabellen i ett koordinatsystem och ritar grafen till y = sin x. Samtidigt visar vi kopplingen mellan grafen och enhetscirkeln. y
y = sin x
0
0
30°
0,5
45°
0,71
60°
0,87
90°
1
120°
0,87
135°
0,71
150°
0,5
180°
0
225°
−0,71
270°
−1
360°
0
y = sin x
1
3
Efter x = 360° fortsätter grafen på samma sätt som från x = 0
2 1
x 90°
180°
270°
360°
5 −1
4
1
2 0,5
1 90°
30°
TRIGONOMETRI 1.3 Trigonometriska funktioner
3
0,71 135°
4
5
225°
0 −0,71
360°
y = cos x
1
2 3
4
5
x
y = cos x
−90°
0
−60°
0,5
−45°
0,71
−30°
0,87
0
1
30°
0,87
45°
0,71
60°
0,5
90°
0
135°
−0,71
150°
−0,87
180°
−1
225°
−0,71
270°
0
315°
0,71
360°
1
Det hör ihop med att cos x = sin (x + 90°)
Trigonometriska ekvationer
Vi gör på samma sätt med y = cos x. 1
1
y
2
y = cos x
3
−90°
90°
Efter
5 4
180°
x = 360°
x
270°
fortsätter grafen på samma sätt som från x = 0
360°
−1
1
2 0
3
4
1
0°
5
45°
−90°
150°
270° 0
−0,87
0,71
Graferna kan även ritas med hjälp av digitala verktyg som GeoGebra. Det är inte ovanligt att digitala verktyg använder radianer som standardenhet för vinklar. Vill du använda dig av grader i GeoGebra kan du skriva in ett gradtecken efter den oberoende varibeln x. Här nedanför har vi i samma koordinat system ritat graferna till y = sin x och y = cos x, med vinkeln angiven i grader.
Vi kan se att grafen till y = sin x och grafen till y = cos x har samma form, men att de är förskjutna i förhållande till varandra. Grafen till y = cos x är förskjuten 90° åt vänster jämfört med y = sin x. Tidigare har vi löst ekvationer av typen sin x = 0,5 genom att utföra beräkningar. Nu ska vi undersöka hur man grafiskt kan lösa trigonometriska ekvationer. Om vi ritar kurvorna y = sin x och y = 0,5 i samma koordinatsystem, så kan vi i kurvornas skärningspunkter avläsa lösningarna till ekvationen sin x = 0,5. I figuren här nedanför kan man tydligt se att ekvationen har perio diskt återkommande lösningar. Observera att vi här har valt radianer som enhet. Ekvationen sin x = 0,5 har lösningen π Markerad med x = __ + n ∙ 2π och 6 π 5π x = π − __ + n ∙ 2π = ___ + n ∙ 2π Markerad med 6 6 1
n = −1
y
n=0
n=1 x
−2π
−3π/2
−π
−π/2
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
3π
n=0 −1
TRIGONOMETRI 1.3 Trigonometriska funktioner
31
1
Exempel: Lös ekvationen sin x = −0,5 grafiskt. Lösning: Vi väljer att söka lösningen i grader och skriver i GeoGebra därför in f(x) = sin(x°). Vi skriver även in y = –0.5 och ser till att ett lämpligt område visas i ritfönstret.
Du kan skriva gradtecknet med hjälp av GeoGebras tangentbord. Tecknet finns under fliken f(x). Du kan även skriva
y = sin(x deg).
Skärningspunkterna återkommer parvis. Vi bestämmer koordinaterna för Skärning mellan två intilliggande skärningspunkter med verktyget två objekt.
1
Vi får lösningarna x = 210° och x = 330°. Lösningarna är periodiska med perioden 360°. Svar: x = 210° + n ∙ 360° och x = 330° + n ∙ 360°
Nivå 1
1303 I figuren här nedanför ser du grafen till y = sin x och linjen y = 0,87.
1301 Vilken graf visar y = sin x respektive y = cos x? y 1 −90°
y
y = sin x
x 90°
−1
y = 0,87
1
180°
270°
360°
180°
x 360°
540°
−1
1302 Till vilken funktion hör grafen i figuren? 1
y
a) Ange en ekvation som man kan lösa med hjälp av figuren. b) Lös ekvationen med hjälp av figuren.
x −π
π
2π
3π
4π
5π
1304 Lös ekvationen sin x = 0,3 grafiskt. Ange svaret i radianer.
−1
1305 Lös ekvationen cos x = −0,5 grafiskt. Ange svaret i grader.
32
TRIGONOMETRI 1.3 Trigonometriska funktioner
1306 Rita graferna till y = sin x och y = −sin x
i samma koordinatsystem. Vilka likheter och skillnader kan du se mellan graferna?
Nivå 2
1312 En funktion vars graf för x < 0 är en 180°
rotation kring origo av grafen för x > 0, kallas för en udda funktion. Avgör om f(x) = sin x och g(x) = cos x är udda funktioner.
1313 För en jämn funktion gäller att för alla x är
1307 En trigonometrisk ekvation i formen
sin x = b har bland annat lösningarna x = n ∙ 2π, där n är ett godtyckligt heltal. a) Rita grafen till y = sin x. b) Vilket värde har b? c) Har ekvationen fler lösningar än de som angetts? I så fall vilka?
f(−x) = f(x). För en udda funktion gäller att för alla x är f(−x) = −f(x). Avgör om följande funktioner är jämna, udda eller varken jämna eller udda. A f(x) = x2
B g(x) = x3
C h(x) = −4x
D k(x) = x + 1
E s(x) = sin x
F c(x) = cos x
1308 Lös ekvationen sin x = cos x grafiskt.
Nivå 3
1309 I figuren här nedanför är grafen till y = sin x
1314 Rita graferna till funktionerna och resonera
ritad.
y
kring varför de ser ut som de gör. a) f(x) = x + cos x
x π
2π
3π
4π
a) För vilka värden på x är y’ = 0? b) Gör en uppskattning av var y’ har sitt största respektive minsta värde. c) Skissa grafen till y’.
1310 I figuren här nedanför är grafen till y = cos x
b) g(x) = x ∙ sin x 1 c) h(x) = sin __ x d) k(x) = sin2 x
1315 Rita graferna till y = sin x och y = sin 2x i
samma koordinatsystem. Vilka likheter och skillnader kan du se mellan graferna? Förklara varför graferna skiljer sig åt på det vis de gör.
ritad.
y x π
2π
3π
4π
a) För vilka värden på x är y’ = 0? b) Gör en uppskattning av var y’ har sitt största respektive minsta värde. c) Skissa grafen till y’.
1311 En funktion vars graf för x < 0 är en spegling i y-axeln av grafen för x > 0, kallas för en jämn funktion. Avgör om f(x) = sin x och g(x) = cos x är jämna funktioner.
TRIGONOMETRI 1.3 Trigonometriska funktioner
33
1
Amplitud och period Testa gärna själv genom att rita graferna i t.ex. GeoGebra
ordboken
Amplitud Amplitud kommer från latinets amplitudo som betyder vidd, omfång.
Vi ska nu undersöka hur koefficienten A i y = A sin x påverkar grafens utseende. Vi väljer därför ut några värden på A och ritar motsvarande grafer med ett digitalt verktyg. När vi ändrar koefficienten A i y = A sin x upptäcker vi att ju större värdet på A är, desto större svängningar i y-led gör grafen till funktionen. Ett exempel på det ser du i figuren här nedanför där vi har ritat graferna till funktionerna y = sin x och y = 3 sin x. Man säger att grafen y = 3 sin x har större amplitud än grafen till y = sin x. y = 3 sin x har största värdet 3 och minsta värdet −3
y 1
1
x 180°
360°
540°
720°
900°
y = sin x har största värdet 1 och minsta värdet −1
Amplituden beskriver hur mycket kurvan avviker från sitt mittenläge och kan beräknas som hälften av skillnaden mellan funktionens max- och minvärde. Alltså har y = sin x amplituden 1 och y = 3 sin x har amplituden 3. Om vi ritar grafen till y = −3 sin x, så ser vi att den har samma amplitud som y = 3 sin x. Amplituden är alltid ett positivt tal, dvs. y = A sin x har amplituden |A|. Grafen till y = sin Bx
−180°
y
ordboken
34
grekiskans periodos som betyder omlopp.
1 −180°
−1
y = sin 2x
x 180°
−1
y = sin x x
180°
Perioden för y = sin x
Period kommer från
y = −3 sin x
360°
540°
Hur ändras utseendet på grafen till y = sin x om man sätter en koefficient B > 0 framför variabeln x, dvs. om vi ser på grafen till y = sin Bx? Återigen väljer vi några värden på B och ritar motsvarande grafer med ett digitalt verktyg. Här nedanför har vi ritat graferna till y = sin x och y = sin 2x. 1
Period
y
360°
540°
Grafen till y = sin 2x har avståndet 180° i x-led mellan två vågtoppar/vågdalar
Perioden för y = sin 2x
I det här fallet har graferna samma amplitud, men y = sin 2x svänger dubbelt så snabbt som y = sin x. Man säger att y = sin 2x har hälften så lång period. En period kan avläsas i grafen t.ex. genom att undersöka skillnaden mellan x-koordinaterna för två intilliggande toppar. Funktionen y = sin x har alltså 360° = 180°. Allmänt kan perioden 360°, medan y = sin 2x har perioden _____ 2 360° man säga att funktionen y = sin Bx har perioden _____ , där B > 0. B
TRIGONOMETRI 1.3 Trigonometriska funktioner
Om man i stället arbetar med radianer, så har y = sin x perioden 2π och 2π y = sin 2x perioden ___ = π. På liknande sätt som när vi arbetar med grader, 2 2π gäller allmänt att y = sin Bx har perioden ___ , där B > 0. B
Amplitud och period Grafen till funktionen y = A sin Bx, där B > 0, har amplituden |A| och 360° ___ 2π perioden _____ = . B B Precis som för sinus, så gäller att A bestämmer amplituden och B bestämmer perioden för y = A cos Bx.
1
Exempel: Vilken amplitud och vilken period har kurvan y = 6 cos 3x? Lösning: Koefficienten 6 framför cos 3x visar att amplituden är 6. 360° = 120°. Koefficienten framför x är 3. Perioden är _____ 3
Exempel: Vilken amplitud och period har grafen till funktionen f? 1
y
ymax = 0,5
y = f(x) x
−π
π − __ 2
π __ 2 –1
π
ymin = −0,5
2π motsvarar 5 perioder
Lösning: Vi ser att grafen svänger kring funktionsvärdet 0 och avläser i grafen att maximivärdet är 0,5 och att minimivärdet är −0,5. Alltså är amplituden 0,5. Vi ser också i grafen att 2π motsvarar 5 perioder. 2π En period blir ___ . 5 2π Svar: Grafen till funktionen f har amplituden 0,5 och perioden ___ . 5
Exempel: Ange en trigonometrisk funktion med amplituden 5 och perioden 4π. 2π Lösning: Funktionen y = A sin Bx har amplituden |A| och perioden ___ . Det ger oss B 2π 2π 1 alternativet A = 5 och 4π = ___ , som ger B = ___ = __ . B 4π 2 x Svar: T.ex. y = 5 sin __ 2
TRIGONOMETRI 1.3 Trigonometriska funktioner
35
Nivå 1
1321 Ange två olika värden på a, som ger funktionen y = a sin x amplituden 7.
1316 Vilka amplituder har graferna till funktio-
1322 Skissa graferna till funktionerna i intervallet
nerna f och g? 3
y
π − __ ≤ x ≤ 3π. 2 x a) y = cos __ 3
y = f(x)
2 y = g(x)
1 −180°
x 180°
−1
360°
1323 Ange en funktion i formen y = A sin Bx med a) amplituden 2 och perioden 120°
540°
2 b) amplituden __ och perioden 4π 3
−2 −3
1
1324 Grafen till funktionen y = A cos Bx är ritad i figuren. Bestäm konstanterna A och B.
1317 Vilket är det största respektive minsta värde
y
som funktionerna antar? a) y = 3 sin x
b) y = cos 3x
x c) y = −3 sin __ 5
3 cos x d) y = _______ 2
2 x −180°
180°
1318 Vilka perioder har funktionerna f, g och h? 1
b) y = 4 sin 2x
y
180°
−2
360°
540°
−1 y 1
y = h(x)
π
2π
1325 Ange funktionsuttryck till två olika trigonometriska funktioner med amplituden 4 och 5π perioden ___ . 4
1326 Vilket värde på B gör att y = cos Bx får perio-
y = g(x)
den 2,8 radianer?
x −π
540°
y = f(x) x
−180°
360°
3π
−1
1 3 Den blå grafen visar en funktion i formen y = A sin Bx. Bestäm konstanterna A och B.
1327 Den röda grafen visar funktionen y = __ cos 2x.
y 1
1319 Vilka perioder har funktionerna? a) y = sin 2x
x b) y = sin __ 4
x
Nivå 2
−1
1320 Vilket värde på k gör att funktionen får
36
π perioden __ ? 2 a) y = 2 cos kx
b) y = sin 2kx
x c) y = cos __ k
3x d) y = 5 sin ___ 2k
Nivå 3
TRIGONOMETRI 1.3 Trigonometriska funktioner
1328 Vilken period har funktionen f(x) = sin Bx om B < 0?
Förskjutning av grafen i x- och y-led I förra avsnittet undersökte vi hur konstanterna A och B påverkar utseendet av kurvan y = A sin Bx. I detta avsnitt ska vi införa ytterligare två konstanter och undersöka grafen till funktionen y = A sin (Bx + C) + D. Som i förra avsnittet ritar vi graferna med grafritande verktyg. Konstanten D
Om vi sätter A = B = 1 och C = D = 0, så får vi funktionen y = sin x. Genom att variera en av konstanterna i taget, kan vi se hur just den konstanten påverkar grafens utseende. I figuren här nedanför ser vi hur grafen ser ut när y = sin x + 1, dvs. om D = 1. y 2
y = sin x + 1
1
1 x −540° −450° −360° −270° −180° −90° y = sin x
Förskjutning i y-led Att en konstant förskjuter grafen i y-led gäller för alla typer av funktioner. Till exempel gäller ju att polynomfunktionen y = x2 − 2 är förskjuten 2 steg nedåt jämfört med y = x2.
Konstanten C
90°
180°
270°
−1
Vi ser att grafen till y = sin x + 1 är förskjuten uppåt ett steg jämfört med y = sin x. Man kan även beskriva det som att funktionsvärdet svänger kring linjen y = 1. Motsvarande gäller om man subtraherar med en konstant. T.ex. är y = cos 2x − 3 förskjuten 3 steg nedåt jämfört med y = cos 2x och svänger kring linjen y = −3. Allmänt gäller att grafen till y = A sin (Bx + C) + D svänger kring linjen y = D. För att se hur värdet på konstanten C påverkar grafen till funktionen y = sin (x + C) jämfört med y = sin x, sätter vi D = 0 och justerar enbart C. Notera att vi här har valt att ange både variabeln x och konstanten C i grader. Här nedanför ser du hur grafen ser ut om C = 60°. y y = sin x
y = sin (x + 60°)
1
x −360° −270° −180° −90°
90°
180°
270°
360°
450°
−1
Förskjutning i x-led
Ser vi på grafen till y = sin (x + 60°) här ovanför, så noterar vi att den är förskjuten i sidled jämfört med y = sin x. Vi ser att grafen till y = sin (x + 60°) är förskjuten 60° åt vänster. I det här fallet ges alltså förskjutningen av konstanten C i funktionsuttrycket. TRIGONOMETRI 1.3 Trigonometriska funktioner
37
Lite klurigare blir det om vi även ändrar konstanten B. Här nedanför ser du hur grafen till y = sin (2x + 60°) ser ut jämfört med grafen till y = sin 2x. 1
y y = sin (2x + 60°)
y = sin 2x x
−45°
45°
90°
135°
180°
225°
270°
315°
360°
405°
−1
Grafen till y = sin (2x + 60°) är förskjuten 30° åt vänster jämfört med grafen till y = sin 2x. Det kan vi avläsa i funktionsuttrycket om vi skriver det som y = sin 2(x + 30°). Vi kan också se det genom att jämföra funktionernas maximipunkter. Maximipunkterna till y = sin (2x + 60°) finns där 2x + 60° = 90° + n ∙ 360°, dvs. där x = 15° + n ∙ 180°, medan y = sin 2x har maximipunkter där x = 45° + n ∙ 180°. Maximipunkterna är alltså förskjutna 30° i förhållande till varandra. Allmänt gäller att funktionen C C + D är förskjuten __ grader (eller radianer) i x-led. Om y = A sin B x + __ B B C < 0 förskjuts grafen till höger.
1
( )
Grafen till y = A sin (Bx + C) + D Grafen till funktionen y = A sin (Bx + C) + D, där B > 0 u u u
u
har amplituden |A| 360° 2π har perioden _____ eller ___ rad B B C __ är förskjuten grader eller radianer i x-led jämfört med grafen till B y = sin Bx är förskjuten D enheter i y-led jämfört med grafen till y = sin x
Motsvarande gäller för grafen till y = A cos (Bx + C) + D.
Exempel: Bestäm funktionsuttrycket för funktionen f, vars graf är ritad i figuren. 1 −1 −2 −3
y
x 180°
360°
540°
720°
900°
Lösning: Grafen visar en sinuskurva f(x) = A sin Bx + D med amplituden 1 och 1 perioden 720° som är förskjuten 2 enheter nedåt. Dvs. A = 1, B = __ och 2 D = −2. x Svar: Funktionsuttrycket är f(x) = sin __ − 2, där x anges i grader. 2
38
TRIGONOMETRI 1.3 Trigonometriska funktioner
Exempel: Figuren visar grafen till y = sin x och grafen till en trigonometrisk funktion av formen y = A sin (Bx + C) + D. Bestäm konstanterna A, B, C och D med hjälp av figuren. y 3 2 y = A sin (Bx + C) + D
1 −π
x π
−1
2π
3π
y = sin x
Lösning: Grafen till y = A sin (Bx + C) + D svänger kring linjen y = 1. Det ger D = 1.
1
största värdet − minsta värdet ________ 3 − (−1) Amplituden = ___________________________ = = 2 2 2 Det ger A = 2. Avståndet mellan två på varandra följande vågtoppar ger perioden. Perioden är 2π. Alltså är B = 1.
2π Perioden = ____ B
π Grafen till y = A sin (Bx + C) + D är förskjuten __ åt höger jämfört med 3 π C __ __ B=1 y = sin x. Det ger = C = − . B 3 π Svar: A = 2, B = 1, C = − __ och D = 1. 3
Exempel: Bestäm en trigonometrisk funktion med perioden 8π och värdemängden 3π 1 ≤ y ≤ 4 som antar sitt största värde för x = ___ . 2 Lösning: Vi ska bestämma konstanterna A–D i y = A sin (Bx + C) + D. Eftersom värdemängden är 1 ≤ y ≤ 4 så är differensen mellan största och minsta 5 3 värde 3. Det ger A = __ . Eftersom __ ligger mitt emellan 1 och 4 så är 2 2 5 5 __ förskjutningen i y-led steg uppåt, så D = __ . Vidare ger perioden 8π att 2 2 1 B = __ . 4 x Funktionen antar sitt största värde när sin __ + C = 1. Enligt förutsätt4
(
/
)
3π π π 3π ningarna sker detta för x = ___ . Det ger att ___ 4 + C = __ , som ger C = __ . 2 8 2 2
(
)
3 x π 5 Svar: y = __ sin __ + __ + __ är en funktion som uppfyller villkoren. 2 4 8 2
TRIGONOMETRI 1.3 Trigonometriska funktioner
39
Nivå 1
1333 Grafen till y = sin x är ritad i rött. Graferna till två andra funktioner av formen y = sin (x + C) är ritade i samma figur. Bestäm funktions uttrycken.
1329 Bestäm konstanten D så att grafen till funktionen y = sin x + D i förhållande till y = sin x f örskjuts
y
a) 2 enheter uppåt b) 1,2 enheter nedåt
1330 Bestäm C så att grafen till funktionen
y = sin (x + C) i förhållande till y = sin x förskjuts
1
a) 25° åt vänster
b) 90° åt höger
c) π åt vänster
π d) __ åt höger 4
π c) __ åt vänster 6
2π d) ___ åt höger 5
−1
(
a) 5 sin x = 3
(
h(x) = sin x + 0,5
)
1336 Figuren visar grafen till funktionen
y = A sin kx + B. Bestäm konstanterna A, B och k.
y 1
x 180°
360°
2
540°
−180°−150°−120° −90° −60° −30° −2
b) y
x 30° 60° 90° 120° 150° 180°
x 180°
360°
(Np Ma4 ht 2013)
540°
Nivå 2
c)
1337 Beskriv , utan att ta hjälp av grafritande hjälp-
y 1
−1
y
−4
1
40
__
√ 3 b) sin (2x + 40°) = ___ πx π c) 2 cos __ − __ + 1 = 0 4 3
a)
−180°
)
π c) y = sin 2x + __ 3 1 3 __ d) y = sin 3x + __ 2 2
2
g(x) = sin (x + 20°)
−1
540°
1335 Lös ekvationerna med grafritande hjälpmedel.
f(x) = sin (x − 20°)
−1
360°
b) y = 3 cos (x + 10°)
graf.
−180°
180°
a) y = cos x + 37
1332 Para ihop funktionsuttrycket med tillhörande
−180°
−180° b)
x
funktionen
vars graf i förhållande till y = cos x är förskjuten b) 25° åt vänster
1
1334 Ange amplitud och period för grafen till
1331 Ange en funktion av formen y = cos (x + C) a) 40° åt höger
a)
x 180°
360°
540°
TRIGONOMETRI 1.3 Trigonometriska funktioner
(
)
π medel, hur grafen till y = sin 2x + __ är 4 förskjuten i jämförelse med y = sin 2x.
1338 Den röda grafen visar y = sin 2x. I figuren
finns även grafen till två andra funktioner av formen y = sin (Bx + C) + D. Bestäm funktionsuttrycken. y
1345 En trigonometrisk kurva har en maximipunkt i
( )
( )
2π 5π ___ , 5 och en minimipunkt i ___ , 1 . Kurvan 3 3 har inga extrempunkter mellan dessa två punkter. Bestäm en ekvation för kurvan.
(Np Ma4 vt 2014)
3
a)
1346 I Lisas matematikbok finns följande uppgift:
2 1
x
Figuren visar kurvan y = A sin2 x + B Bestäm konstanterna A och B.
−1
b)
y
1
1339 Bestäm största och minsta värde för funktionen
(
)
3 2x 5 y = __ sin ___ − 0,68 + __ 2 2 3
−2
y = A sin (Bx + C) + D är ritade i figuren. Bestäm funktionsuttrycken.
Lisa löser uppgiften så här:
y
3 1 − (−2) __ = = 1,5 A = ________ 2 2 1________ + (−2) __ 1 = − = −0,5 B = 2 2
4 3 b)
2 1
−π
−1
a)
1
−1
1340 Graferna till två funktioner av formen
5
x
x π
2π
(
3π
π 3
Lisas lösning är inte korrekt. Hjälp Lisa att lösa uppgiften korrekt.
)
1341 Uttryck funktionen y = cos 2x + __ + 1 med hjälp av en sinusfunktion.
Svar: A = 1,5 och B = −0,5
(Np Ma4 vt 2013)
1342 Ange en funktion i formen f(x) = A cos (Bx + C) + D med perioden 3π, minsta värde −4, och där (−3π, 2) är en maximipunkt.
Nivå 3 1343 Ange ett funktionsuttryck f(x) till en trigono-
()
( )
π π metrisk funktion som har f __ = 2, f __ = 3 6 2 och f(π) = 1.
1344 Förklara varför f(x) = sin (x + 10°) och
g(x) = cos (x − 80°) ger likadana grafer. TRIGONOMETRI 1.3 Trigonometriska funktioner
41
Grafen till y = tan x Den trigonometriska funktionen sin v y = tan v är definierad som tan v = _____ . cos v
tan v är inte definierad för cos v = 0, π dvs. för v = 90° + n ∙ 180° = __ + n ∙ π 2
Med hjälp av enhetscirkeln kan vi tolka betydelsen av funktionen y = tan v. Om vi drar en tangent till cirkeln i punkten (1, 0) och förlänger vinkelbenet, så kan vi bilda två likformiga trianglar:
Förlängda vinkelbenet y 1 y v
y sin v __ = Likformighet ger _____ cos v
x
(1, 0)
cos v
1
1
sin v det vill säga att y = 1 · _____ = tan v. cos v
1
sin v
Tangent till cirkeln i (1, 0)
Vi ser att y-koordinaten för skärningspunkten mellan tangenten och det förlängda vinkelbenet ger tangensvärdet för vinkeln. Att tangenten ger värdet på tangens är också bakgrunden till att det heter just tangens. y = tan x
x
Vi betecknar nu vinkeln med x och ritar grafen till y = tan x med hjälp av en värdetabell. I enhetscirklarna till höger tolkas tan x med hjälp av skärningspunkten mellan det förlängda vinkelbenet och tangenten.
y = tan x
y
−90°
Ej def
5
−60°
−1,73
4
−45°
−1
3
−0,58
2
0
0
1
30°
0,58
45°
1
60°
1,73
90°
Ej def
−3
3
120°
−1,73
−4
4
180°
0
−5
1
−30°
2
−90°
1
−45°
−1 −2
y = tan x
1
−60° −1,73
2
1
4 45°
90°
135°
180°
x
45°
2
225°
3 120°
3 −1,73
−6
4
90°
42
180°
Vi ser att grafen till funktionen y = tan x inte är sammanhängande utan gör ett språng för t.ex. x = 90°. Det förlängda vinkelbenet för x = 90° är parallellt med tangenten och vi får därför ingen skärningspunkt mellan tangenten och det förlängda vinkelbenet. Det förklarar varför y = tan x inte är definierad π för x = 90° + n · 180°, eller för x = __ + n · π om vi använder radianer. 2
TRIGONOMETRI 1.3 Trigonometriska funktioner
0
Period
Studerar vi grafen till funktionen y = tan x ser vi också att den upprepar sig med en period på 180°. Precis som för sinus- och cosinusfunktioner påverkar koefficienter i funktionsuttrycket y = A tan (Bx + C) + D grafens utseende. Att notera för vilka värden som funktionsutrycket inte är definierat är ofta ett bra sätt att koppla ihop graf med funktionsuttryck.
Exempel: För vilka värden på x är funktionen inte definierad?
(
)
π a) y = tan x + __ 6
b) y = tan 3x
π Lösning: a) Eftersom tan x inte är definierat för x = __ + n · π, så är funktionen 2 π π __ π __ __ y = tan x + inte definierad för x + = + n · π 6 6 2 π π Vi löser ekvationen x + __ = __ + n · π. 6 2 π π π __ __ __ x = − + n · π = + n · π 2 6 3
(
1
)
Vi kan även rita grafen i GeoGebra. Då ser vi att grafen inte är π sammanhängande för x = __ + n ∙ π, det vill säga där funktionen inte 3 är definierad.
π x = __ 3
( )
π Märk att kurvan y = tan x + __ är förskjuten 6 π __ åt vänster i jämförelse med y = tan x. 6
π Svar: Funktionen är inte definierad för x = __ + n ∙ π. 3 π b) Funktionen y = tan 3x är inte definierad för 3x = __ + n ∙ π. 2 π __ Vi löser ekvationen 3x = + n ∙ π genom att dela båda leden med 3. 2 π π __ __ x = + n ∙ 6 3 π π Svar: Funktionen är inte definierad för x = __ + n ∙ __ 6 3
TRIGONOMETRI 1.3 Trigonometriska funktioner
43
Exempel: Grafen till en trigonometrisk funktion är ritad i figuren. Bestäm funktionsuttrycket till funktionen.
y 3 2 1
x
−90° −1
90° 180° 270° 360°
−2 −3
Lösning: Vi ser att grafen inte är sammanhängande för x = 90° + n ∙ 180° och bör därför vara en tangensfunktion utan förskjutning i sidled. Vi ser också att grafen har perioden 180° och inte är förskjuten vertikalt. Alltså bör funktionen vara av typen y = A tan x.
1
Funktionen har negativa värden för 0° < x < 90°. Vi vet dock att tan x > 0 i detta intervall. Alltså är A < 0. Vi kan bestämma A genom att kontrollera funktionsvärdet i x = 45°, eftersom vi vet att tan 45° = 1. Avläsning ger y(45°) = −2. Det ger A = −2. Svar: y = −2 tan x
Nivå 1
1349 Skissa för hand grafen till funktionen
1347 För vilka värden på x är funktionerna f och g inte definierade?
2 −180°
x 180°
−2
b) y = tan 2x x c) y = tan __ 2
y
y = f(x)
a) y = tan x
y = g(x)
1350 Ange funktionernas period. x a) y = tan __ 3 b) y = 5 tan (x − 180°)
1351 Ange funktionens definitions- och värde1348 För vilka värden på x är funktionerna inte definierade?
(
)
π a) f(x) = tan x − __ 4 b) g(x) = 3 tan (2x − 30°)
44
TRIGONOMETRI 1.3 Trigonometriska funktioner
mängd.
a) y = tan 3x b) y = −2 tan (45° − x)
(
)
π c) y = 6 cos 2x + __ 6
1352 Beskriv hur grafen till funktionen är förskjuten i jämförelse med grafen till y = tan x.
(
)
b) tan x = cos x
)
2π b) y = tan x − ___ 5
1358 Lös ekvationerna grafiskt.
c) y = tan x + 2
(
vallet 0° ≤ x ≤ 180° a) tan x = sin x
π a) y = tan x + __ 7
(
1357 Bestäm lösningarna till ekvationerna i inter-
a) tan x = sin (x + 45°)
)
b) tan x = cos 2x
3π − 1 d) y = tan x + ___ 8
1353 Ange hur många lösningar tan 2v = 0,7 har i intervallet 0° ≤ v ≤ 360°.
(Np Ma4 vt 2014)
(
1359 Vilket av alternativen A–F är lika med cos 25°? A 1 − sin2 25°
1354 Vilket värde på C gör att grafen till funktionen
sin 25° B _______ tan 25°
π a) __ åt höger jämfört med y = tan x 3 b) 0,93 radianer åt vänster jämfört med y = tan x
cos 75° C _______ 3
y = tan (x + C) förskjuts
1355 Lös ekvationerna med hjälp av grafritande verktyg.
__ x a) tan __ = −√3 2 b) 4 tan x − 4 = 0
)
x c) 2 tan __ + 30° = sin (x − 30°) + 1 2
1
D cos 75° − cos 50° sin 50° E _________ 2 cos 25° tan 25° F _______ sin 25°
(Np Ma4 vt 2014)
1360 Ange en funktion y = tan (Bx + C) + D med y(0) = 0 som inte är definierad för
c) −tan 3x = 5
a) x = 60° + n ∙ 180°
Nivå 2 1356 Grafen till en funktion av formen
y = tan (Bx + C) är ritad i figuren. Bestäm med hjälp av figuren a) perioden
b) x = 45° + n ∙ 60° π c) x = __ + n · 2π 2
1361 Visa att tan (x + π) = tan x genom att
använda definitionen av tangens och additionsformler för sinus och cosinus.
b) koefficienten B
Nivå 3
c) vinkeln C y
π 2
1362 Visa att tan x > sin x för alla x i 0 < x < __ .
2 −π
−2
x π
tan u + tan v 1 − tan u tan v
1363 Visa att tan (u + v) = _____________
TRIGONOMETRI 1.3 Trigonometriska funktioner
45
Grafen till y = a sin x + b cos x Vi ska nu undersöka hur grafen till en trigonometrisk funktion ser ut, om funktionen består av en summa av två trigonometriska uttryck a sin x och b cos x. Vi väljer några lämpliga värden på a och b och ritar sedan grafen till y = a sin x + b cos x. Väljer vi a = 2 och b = 0,5 får vi y = 2 sin x + 0,5 cos x och väljer vi a = 1 och b = 3 får vi y = sin x + 3 cos x. y 2
–2
y = sin x + 3 cos x x 2π
π
3π
y = 2 sin x + 0,5 cos x
1
Grafen till den trigonometriska funktionen y = a sin x + b cos x ser ut som grafen till en sinusfunktion av formen y = A sin (x + C). Finns det något sätt att ta reda på konstanterna A och C? Additionsformeln för sinus sin (u + v) = sin u cos v + cos u sin v
Vi prövar att utveckla y = A sin (x + C) med hjälp av additionsformeln: y = A sin (x + C) = A cos C sin x + A sin C cos x. Jämför vi med y = a sin x + b cos x, ser vi att om vi väljer a = A cos C och b = A sin C, så får vi a sin x + b cos x = A cos C sin x + A sin C cos x a
A C
a
b
b sin C = __ A a cos C = __ A
b
π Vi antar att 0 < C < __ . Då kan vi utifrån sambanden a = A cos C och 2 a b b = A sin C, som kan skrivas cos C = __ respektive sin C = __ , rita en rätvinklig A A triangel med hypotenusan A, kateterna a och b, samt den spetsiga vinkeln C.
_______
Pythagoras sats ger oss att A = √a2 + b2 . Definitionen av tangens ger i sin tur b att vi kan bestämma C med ekvationen tan C = __ . Funktionen a
_______
y = a sin x + b cos x kan alltså skrivas som y = √a2 + b2 sin (x + C).
y = a sin x + b cos x Funktionen y = a sin x + b cos x kan skrivas som _______ b y=√ a2 + b2 sin (x + C), där tan C = __ a På samma sätt kan man troliggöra att
_______
y = a sin x − b cos x = √a2 + b2 sin (x − C)
46
TRIGONOMETRI 1.3 Trigonometriska funktioner
Exempel: Ange ett exakt värde för funktionens amplitud. 1 a) y = 4 sin x + 2 cos x b) y = __ sin x − cos x 2
_______
Lösning: Amplituden till funktionen y = a sin x + b cos x är A = √a2 + b2 .
_______
______
___
____
__
a) A = √ 42 + 22 = √16 + 4 = √20 = √4 · 5 = 2√5
___________
√( )
_____
√
__
__
4
2
√
1 2 1 5 √ 5 b) A = __ + (−1)2 = __ + 1 = __ = ___ 2
4
Exempel: Skriv funktionen y = sin x + 3 cos x i formen y = A sin (x + C). Lösning: Funktionen y = a sin x + b cos x kan skrivas som y = A sin (x + C) där
1
_______
b A=√ a2 + b2 och C uppfyller tan C = __ a
_______
___
A = √12 + 32 = √10 3 tan C = __ ger C ≈ 1,2 rad 1
___
Svar: y ≈ √ 10 sin (x + 1,2)
Nivå 1
Nivå 2
1364 Ange kurvornas amplitud.
1368 Bestäm funktionernas största och minsta värde.
a) y = sin x − cos x
b) y = 3 cos x + 4 sin x
a) y = 3 sin x + 7 cos x
cos x + sin x c) y = ___________ 2
1 d) y = sin x + __ cos x 3
b) y = 2 sin x − √ 5 cos x
1365 Ange vinkeln C så att funktionerna kan skrivas i formen y = A sin (x + C). a) y = 2 sin x + 5 cos x b) y = 3 sin x − 2 cos x c) y = cos x + 2 sin x
1366 Vilket värde ska a ha för att kurvans amplitud ska bli 5?
a) y = 3 sin x + a cos x b) y = a sin x − 5 cos x
__
1369 Bestäm a i y = a(sin x + cos x) så att funktionens största värde blir 1.
1370 Låt f(x) = 2 sin (x + 45°). Ange funktions
uttrycket i formen f(x) = a sin x + b cos x.
(
)
π 3 a) Ge ett förslag på hur f(x) kan se ut i formen f(x) = a sin x + b cos x.
1371 Låt f(x) = A sin x + __ .
b) Hur ser f(x) ut i formen f(x) = a sin x + b cos x om A = 16?
c) y = 7 sin x − a cos x
1367 Skriv funktionen y = 5 sin x − 2 cos x i formen y = A sin (x + C).
1372 Lös ekvationerna a) sin x + cos x = 1
__
b) 3 sin x + √ 7 cos x = 2 TRIGONOMETRI 1.3 Trigonometriska funktioner
47
Tillämpningar av trigonometriska funktioner I många sammanhang inom naturvetenskapen används trigonometriska funktioner för att beskriva periodiska förlopp. Till exempel kan man beskriva ljudet som alstras av en vibrerande sträng, spänningen i en växelströmskrets eller hur ventilen på ett cykeldäck rör sig när hjulet roterar med konstant fart. Ibland används också trigonometriska funktioner för att beskriva till exempel temperaturvariationer eller blodtryckets variation under en viss tid. I sådana sammanhang handlar det ofta om förenklade matematiska modeller som gäller under ett begränsat tidsintervall. Vinkelhastighet y
1
α = ωt
x
Vill man beskriva hur en ventil på ett cykeldäck rör sig då hjulet snurrar med konstant fart, kan man använda sig av vinkelhastigheten ω, som anger med vilken hastighet en vinkel ändras. Titta på figuren här intill. Om ventilen befinner sig på en tänkt x-axel vid tiden t = 0 och hjulet roterar moturs, så kommer visaren som pekar på ventilen efter tiden t ha vridit sig med vinkeln α = ωt radianer. Om hjulets radie är 30 cm och ω är vinkelhastigheten i rad/s, så kan ventilens läge i y-led beskrivas med funktionen y(t) = 0,30 sin ωt där y(t) m är ventilens vertikala avstånd från hjulets centrum efter t s.
Jämför α = ωt med s = vt
Periodtid
Ventilen rör sig ett helt varv, alltså 2π radianer, under tiden för en period. I fall där perioden är en tid benämner man den ofta som periodtid eller omloppstid. Betecknar vi periodtiden med T innebär detta att 2π ωT = 2π som ger ω = ___ T
Vinkelhastigheten ω har enheten radianer per sekund
Om hjulet roterar precis 2,5 varv på 1 s, så blir periodtiden T = 0,4 s och 2π vinkelhastigheten därmed ω = ___ = 5π rad/s. Ventilens läge i y-led kan då 0,4 beskrivas med funktionen y(t) = 0,30 sin 5πt. På samma hjul och på samma avstånd från hjulets mitt är ett rött klistermärke fäst. Det sitter dock ett fjärdedels varv medurs från ventilen, och kommer på π så sätt att ligga __ efter ventilen i rotationen. Klistermärkets läge i y-led kan 2 π då beskrivas med funktionen k(t) = 0,30 sin 5πt − __ , där t är tiden från att 2 ventilen passerar x-axeln.
(
)
Här nedanför har vi ritat graferna till båda funktionerna i samma koordinatsystem. m 0,4 0,3 0,2 0,1 −0,1−0,1 −0,2 −0,3
48
y
t 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1
TRIGONOMETRI 1.3 Trigonometriska funktioner
s
Fasförskjutning Notera att fasförskjut ningen ofta anges som en vinkel, trots att enheten på den oberoende variabeln vare sig är grader eller radianer
Att klistermärket ligger ett fjärdedels varv efter ventilen beskriver man som π en fasförskjutning på 90° eller __ mellan ventilens och klistermärkets läge. 2 I diagrammet visar sig fasförskjutningen som en förskjutning i sidled med 0,1 s. Det motsvarar en fjärdedel av perioden 0,4 s. Om man låter perioden motsvara ett helt varv, så kan man ur diagrammet bestämma fasförskjut360° 2π π ningen som en fjärdedel av ett helt varv, dvs. _____ = 90° eller ___ = __ . 2 4 4
Exempel: För en passagerare i ett pariserhjul varierar höjden enligt π h(t) = 12,5 sin 0,08πt − __ + 13, där h(t) meter är höjden över marken 2 vid tiden t sekunder.
(
)
a) Hur högt över marken är hjulets lägsta punkt?
1
b) Bestäm hjulets omloppstid. Lösning: a) Hjulets lägsta punkt får man då sinusfunktionen antar sitt minsta π värde, alltså då sin 0,08π t − __ = −1. Vi får 12,5 · (−1) + 13 = 0,5. 2
(
)
Svar: Hjulets lägsta punkt är 0,5 meter över marken. b) Omloppstiden är tiden för ett helt varv och ges av periodtiden 2π T = ______ = 25 0,08π
2π sin Bt har perioden ____ B
Svar: Hjulets omloppstid är 25 s.
Exempel: En ingenjör mäter ström och spänning i en växelströmskrets. Resultatet visas i figuren här nedanför. Den röda kurvan visar spänningen och den blå kurvan visar strömmen.
tid 25
30
35
40
45
50
55
60 ms
a) Bestäm periodtiden för kurvorna. b) Strömmen är fasförskjuten till höger jämfört med spänningen. Ange fasförskjutningen i radianer. Lösning: a) Vi ser att periodtiden är densamma hos båda kurvorna. Strömkurvan skär den h orisontella axeln på samma sätt vid 32 ms och vid 52 ms. Det medför att perioden är 52 ms − 32 ms = 20 ms. 1 b) Strömkurvan ligger 1 ms efter spänningskurvan, dvs. 1 ms utgör ___ av 20 1 π perioden 20 ms. Fasförskjutningen är alltså ___ · 2π = ___ . 20 10
TRIGONOMETRI 1.3 Trigonometriska funktioner
49
Exempel: En ton uppstår genom att det blir ytterst små variationer i lufttrycket runt det som alstrar tonen. Dessa lufttrycksvariationer sprider sig och kan fångas upp av en mikrofon och omvandlas till spänning. Bilden visar den elektriska utsignalen från en mikrofon som fångat upp tonen ettstrukna a. Denna ton har frekvensen 440 Hz, dvs. 440 svängningar per sekund. mV
u
0,2 0,1
−0,1
t 2
4
6
8
10
ms
−0,2
1
a) Beskriv signalen med ett funktionsuttryck av formen u(t) = A sin ωt. b) En ton från ett instrument består ofta av en grundton tillsammans med en eller flera övertoner. Första övertonen har dubbelt så hög frekvens och i det här fallet är amplituden 0,15 mV. Rita med ett digitalt verktyg grafen till den funktion som är summan av funktionerna som beskriver första övertonen och grundtonen. Bestäm funktionens största värde. Lösning: a) Amplituden avläses i figuren till 0,2 mV. Enligt förutsättningarna gör kurvan 440 svängningar per sekund. Periodtiden för en svängning är alltså T = 1/440 s. Det ger 2π 2π = 880π rad/s. ω motsvarar den konstant som vi ω = ___ = ___ T 1/400 tidigare har kallat B Funktionen kan skrivas u(t) = 0,2 ∙ sin 880πt om tiden anges i sekunder. b) Första övertonen har dubbelt så hög frekvens. Alltså ω = 2 ∙ 880π = 1 760π. Eftersom övertonen har amplituden 0,15 mV, så kan vi beskriva den med funktionsuttrycket u(t) = 0,15 ∙ sin 1 760πt. Vi ritar funktionen f(t) = 0,2 ∙ sin 880πt + 0,15 ∙ sin 1 760πt i GeoGebra och noterar att funktionen är periodisk med samma period som u(t) = 0,2 ∙ sin 880πt. Sen använder vi kommandot Extrempunkt och får då att största värdet är 0,30 mV.
Grundtonen gör 440 svängningar per sekund. Det betyder att 1 perioden är T = ____ s ≈ 0,0023 s. 440
Svar: Det största värdet är 0,30 mV.
50
TRIGONOMETRI 1.3 Trigonometriska funktioner
Nivå 1
1377 Fredrik testar sitt blodtryck med en blod-
1373 Membranet i en högtalare svänger harmo-
niskt enligt sambandet y = 1,5 sin 880πt där y mäts i mm och t i sekunder. Ange a) svängningens amplitud b) svängningens periodtid
1374 En våg har amplituden 0,3 cm och perioden
0,70 s. Beskriv svängningen med en funktion av formen y = A sin Bt.
1375 Spänningen u(t) V vid tiden t s i en växel-
trycksmätare. Han observerar att blodtryckets högsta värde är 129 mm Hg och att dess lägsta värde är 83 mm Hg. Fredrik vill ställa upp en funktion som beskriver blodtrycket och antar att trycket y mm Hg varierar enligt sambandet y = A sin kt + B, där t är tiden i sekunder. Fredrik konstaterar också att tiden mellan två hjärtslag är 1,2 sekunder, vilket motsvarar perioden för denna funktion. Bestäm konstanterna A, B och k. (Np Ma4 ht 2014)
1378 I figuren nedan syns hur två signaler fångas
strömskrets beskrivs av u(t) = 37 sin 100πt.
1
upp på en oscilloskopskärm. Bestäm fas förskjutningen mellan signalerna i radianer.
a) Bestäm amplituden. b) Bestäm perioden T. c) När kommer spänningen i kretsen att vara noll?
t −10
1376 Ljudet från en blockflöjt saknar nästan helt
övertoner. Fångar man upp ljudet med en mikrofon kommer svängningen att mycket nära kunna beskrivas med en sinusfunktion. Figuren här nedanför visar spänningen u(t) V som en ljudvåg alstrar i en mikrofon vid tiden t ms.
mV
u
2 1
−1
t 2
4
6
8
10
ms
10 20 30 40 50 60 70 80 90 ms
1379 Maria har drabbats av en lång sjukdomspe-
riod med återkommande febertoppar. Hennes matematikintresserade läkare beskriver feberkurvan med hjälp av funktionen πt T(t) = 38,7 + 1,7 sin ___ 8 där T är kroppstemperaturen i °C och t är tiden i dygn efter det att sjukdomen bröt ut. a) Vilken är Marias lägsta kroppstemperatur?
−2
b) Hur långt är det mellan febertopparna? a) Vilken amplitud har spänningen? b) Uppskatta perioden. c) Beskriv spänningen u(t) som ljudvågen alstrar med en funktion av formen u(t) = A sin Bt.
c) När börjar temperaturen sjunka för första gången efter det att sjukdomen bröt ut? x 5 Samtliga lösningar ligger i intervallet −20 ≤ x ≤ 20.
1380 Ekvationen __ + cos 2x = 2 har flera lösningar.
a) Bestäm den minsta lösningen till ekva tionen. Svara med tre värdesiffror. b) Bestäm antalet lösningar till ekvationen. (Np Ma4 vt 2013)
TRIGONOMETRI 1.3 Trigonometriska funktioner
51
Nivå 2
1385 En förenklad modell för hur vattenståndet på
1381 En vikt som är upphängd i en fjäder sätts i
rörelse. Viktens maximala avstånd från jämviktsläget är 12 cm och den gör 10 svängningar på 14 sekunder. Om man bortser från friktion och luftmotstånd kan rörelsen beskrivas med funktionen y = A sin ωt. a) Bestäm A och ω. b) Hur långt rör sig vikten under en hel svängning?
1382 I Malmö ställde värmeverket upp en modell för hur utomhustemperaturen varierade under ett år π(x − 7) T(x) = 8 + 8,6 ∙ cos ________ 6 T är temperaturen i grader Celsius och x är månadens nummer. Använd den givna modellen och bestäm
1
a) medeltemperaturen under året b) årets högsta och lägsta temperatur
1383 Växelspänning och växelström kan ofta
beskrivas med en sinusfunktion. I våra eluttag har vi växelspänning med frekvensen 50 Hz. Effektivvärdet på spänningen är 230 V. Det innebär att amplituden på funktionen __ som beskriver växelspänningen är 230√2 V. Teckna en funktion u, som beskriver växelspänningen u(t) volt.
1384 På breddgraden 60° N kan dagens längd
beskrivas med funktionen 2π T(d) = 6,5 sin ____ (d − 80) + 12, där T är 365 dagens längd i antal timmar d dygn efter nyår. Förklara varför funktionsuttrycket ger att
(
)
a) funktionens period är 365 dygn b) den längsta dagen är 18,5 timmar och infaller dygn 171, och den kortaste dagen är 5,5 timmar och infaller dygn 354 c) T(80) ≈ T(263) ≈ 12 och beskriv vad det innebär d) Hur ser motsvarande formel ut för breddgraden 60° S, där dagen är som kortast när vi har årets längsta dag?
52
TRIGONOMETRI 1.3 Trigonometriska funktioner
en plats varierar på grund av tidvattnet kan π(t − 1) skrivas y = 2 + 3,5 ∙ sin _______ , där y är 6 vattendjupet i meter och t är tiden i timmar efter midnatt.
a) Vilken tid på dagen är det bäst att vara ute om man vill plocka snäckor? b) När börjar vattnet dra sig tillbaka första gången efter midnatt?
1386 När en person hoppar bungyjump så kan
rörelsen beskrivas som en dämpad svängning. För en person som väger 70 kg kan rörelsen efter uthoppet beskrivas med sambandet y = 28 + 32,5e−0,06t ∙ cos 0,8t där y är höjden i meter ovanför vattenytan och t är tiden i sekunder. a) Från vilken höjd startar hoppet? b) Hur högt över marken vänder personen uppåt efter uthoppet? c) Hur lång tid tar det innan personen vänder efter uthoppet?
1387 Växelströmmen i en
elektrisk krets visas på skärmen till ett oscilloskop. Strömmen i(t) som funktion av tiden t beskrivs av i(t) = î ∙ sin ωt. Oscilloskopet är inställt på 0,5 mA per ruta i y-led och 0,2 ms per ruta i x-led. a) Bestäm î och ω. b) Spänningen i volt beskrivs av grafen π till u(t) = 4 ∙ sin ωt + __ . Rita den grafen 2 om oscilloskopet är inställt så att varje ruta i y-led är 2 V och 0,2 ms i x-led.
(
)
1388 I en normal andningscykel andas man in och
ut ungefär 0,5 liter luft ur lungorna. Efter en normal utandning har man kvar ungefär 2 liter luft i lungorna. En normal in- och utandning tar ungefär 4 sekunder. Ange en trigonometrisk modell för hur stor luftvolymen V(t) liter i lungorna är vid tiden t sekunder.
1389 G-strängen på en gitarr har frekvensen 196 Hz. Svängningen kan beskrivas med hjälp av en sinusfunktion. För att beskriva amplituden t sekunder efter att man knäppt på strängen kan man använda modellen 4 A(t) = _____ t+1 för 0 ≤ t ≤ 5, där amplituden är A(t) mm. a) Hur långt från viloläget befinner sig strängen när man släpper den vid en knäppning? b) Ge en förklaring till modellen som beskriver amplituden. c) Varför gäller modellen inte för alla positiva värden på t, utan endast för 0 ≤ t ≤ 5? d) Ange en modell som beskriver strängens vibration.
Nivå 3 1390 I figuren visas grafen till funktionen y = 2x3 − 3x2 − 3x + 2. y x
1 1
2
Uppgiften förekom på del C av det nationella provet, där inga digitala hjälpmedel är tillåtna
Lös ekvationen 2 cos3 x − 3 cos2 x − 3 cos x + 2 = 0. (Np Ma4 vt 2014)
1391 Mitt på dagen den 21 juni, dvs. under dag 172
på året, når solen sin högsta höjd över horisonten under året. I Kiruna står den som högst 55° över horisonten. Under 28 dagar kring 21 december, dvs. dag 355 på året, når solen aldrig upp över horisonten. Enligt en enkel modell kan solens högsta höjd h° över horisonten under årets dag n beskrivas med en trigonometrisk funktion h(n) = A sin (Bn + C) + D. Bestäm konstanterna A, B, C och D som gäller för Kiruna.
Resonemang och begrepp u Hur kan man uttrycka en sinusfunktion med hjälp av en cosinusfunktion? u Varför har y = sin 2x en kortare period än y = sin x? u Varför förskjuts grafen till y = tan (x + C) i x-led jämfört med y = tan x för de flesta värden på C? u Vad betyder amplitud och period för grafen till en trigonometrisk funktion? u Ge exempel på några verkliga förlopp som kan åskådliggöras med en matematisk modell som innehåller en trigonometrisk funktion. u Varför har inte ekvationerna sin x = cos x och cos x = tan x någon gemensam lösning? u Kan man välja a och b (a ≠ b) så att graferna till funktionerna y = sin (x + a) och y = sin (x + b) blir identiska? Ge i så fall exempel på a och b som fungerar. TRIGONOMETRI 1.3 Trigonometriska funktioner
53
1
Programmering
Punkter på cirkeln Inom programmering använder man sig ofta av nästlade loopar, dvs. en loop i en loop. I koden här nedanför finns en sådan nästlad loop, nämligen en forsats i en annan for-sats. print
for x in range(-2, 3): for y in range(-2, 3): print("(", x , ",", y, ")")
skriver ut text eller värdet på variabler
for upprepar en bit kod ett angivet antal gånger
1
>
1 Skriv in och kör programmet. Beskriv vad programmet gör.
range(-2, 3)
2 Ändra i programmet så att det skriver ut fler punkter.
är en talföljd med elemen ten −2, −1, ..., 2
Vi ska nu använda nästlade loopar för att undersöka om några givna punkter ligger på en cirkel. Koordinaterna (x, y) för varje punkt som ligger på en cirkel med centrum i origo och radien 5 l.e. uppfyller ekvationen x2 + y2 = 25. Programmet här nedanför utnyttjar detta för att kontrollera om det finns några punkter med heltalskoordinater som ligger på cirkeln.
**2 betyder upphöjt till 2
y (x, y) 1
x 1
for x in range(-5, 6): for y in range(-5, 6): if x**2 + y**2 == 25: print("(", x , ",", y, ")")
3 Skriv in och kör programmet. Hur många punkter med heltalskoordinater finns det på en cirkel med radien 5 l.e. och centrum i origo?
4 Ändra i programmet så att det undersöker hur många punkter med heltals koordinater finns det på en cirkel med radien 3 l.e. och centrum i origo.
5 Tänk dig att vi ritar fler cirklar i koordinatsystemet. Var och en av cirklarna
har medelpunkt i origo och en heltalsradie mellan 1 l.e. och 30 l.e. Vilken av cirklarna har flest punkter med heltalskoordinater? Hur många punkter med heltalskoordinater har den cirkeln? Använd dig av programmering för att besvara frågan. Tips! Du kan använda dig av ytterligare en nästling för att slippa skriva och köra ett program 30 gånger.
54
TRIGONOMETRI PROGRAMMERING
Historia
Radianer, nygrader och streck Grader och radianer Ursprunget till att vi mäter vinklar i enheten grader är inte är helt klarlagt. Troligtvis kommer värdet 360° för ett helt varv av att året hade 360 dagar i vissa tidiga kalendrar. Förut var det vanligt att man delade in en grad i båg minuter och bågsekunder, där en bågminut är (1/60)° och en bågsekund är (1/3 600)°. I dag betecknas oftast delar av en grad med hjälp av det vanliga decimalsystemet, även om bågsekunder fortfarande används inom t.ex. astronomi. Inom matematiken använder man ofta vinkelenheten radianer, som bygger på förhållandet mellan längden av en cirkelbåge och cirkelns radie. Medelpunktsvinkeln uttryckt i radianer är lika med båglängden dividerat med radien. För en cirkel med radien 1, betyder det att båglängden och medelpunktsvinkeln har samma mätetal. Ett varv är således 2π radianer.
Nygrader och streck
?
Hur stort avstånd är det mellan två föremål, om avståndet till dem är 6 km och avståndet mellan dem är ”tre knogar”?
F
Ett mer sällsynt vinkelmått är nygrader eller gon. Ett varv är 400 gon och en rät vinkel är 100 gon, som i decimalsystemet är ett mer passande tal än 90. Gon används främst inom byggsektorn och inom en vetenskap som heter geodesi. I GeoGebra kan man ställa in grader och radianer, men inte gon. Vissa gamla miniräknare kan dock ställas in på enheten gon, och då används ofta förkortningarna DEG, RAD och GRA, för grader, radianer respektive gon. I militära sammanhang används ibland enheten streck. Enheten bygger på samma princip som radianer, men med ungefär en faktor 1 000 som skillnad. Ett varv är cirka 6,28 radianer och genom att multiplicera med 1 000 och avrunda till närmaste hundratal, så får man 6 300 streck på ett varv. För att uppskatta avstånd i sidled brukar militärer hålla ut armen och se hur många knogar som ryms mellan två föremål. Tre knogar innebär en vinkel på ca 100 streck och på 1 km avstånd innebär detta att det är 100 meter mellan föremålen.
Rymdvinklar 1
Sfärens radie är 1 l.e. Föremålet F upptar rymdvinkeln ω sr.
Om man vill ange hur stor del av synfältet som ett föremål upptar, så kan man ange det med en rymdvinkel. Rymdvinklar mäts i enheten steradian som förkortas sr. Tänk dig att du skär ut en cirkulär del från ytan av en sfär och snett ner mot sfärens medelpunkt. Då får du en slags kon med buktig basyta. Rymdvinkeln för den konen är arean av den buktiga basytan dividerat med kvadraten på radien. Hela sfären har alltså rymdvinkeln 4π sr, eftersom arean är 4πr2. TRIGONOMETRI HISTORIA
55
1
Uppslaget Rätt eller fel? Sinus, cosinus och tangens är periodiska funktioner.
En trigonometrisk ekvation har alltid precis två lösningar i intervallet 0 ≤ x < 2π.
En cosinusfunktion kan alltid skrivas om så att den blir en sinusfunktion.
Funktionen f(x) = sin (2x − π) är förskjuten π enheter åt höger jämfört med funktionen g(x) = sin 2x.
Fasförskjutning av en trigonometrisk funk tion är detsamma som förskjutning i x-led.
1
Det finns ingen övre gräns för vilket värde tan x kan anta.
Grafen till f(x) = cos (−x) har y-axeln som symmetrilinje.
f(x) = tan x är som bekant inte definierad för alla värden på x, men för g(x) = tan x2 är defi nitionsmängden alla värden på x.
Undersök Tangens med tangenten Tangens för en vinkel v kan bestämmas med hjälp av metoden som beskrivs på sidan 42. Genom att avläsa y-koordinaten för skärningspunkten mellan tangenten och det förlängda vinkelbenet ser man att tan 50° ≈ 1,2.
y
90°
30° 0,2
50° 0,2
u Förklara varför tangensfunktionen har perio
den 180°.
56
TRIGONOMETRI UPPSLAGET
x
50° 90° 130°
u Beräkna tan v för vinklarna i tabellen med hjälp
av digitalt verktyg och jämför ditt resultat med det tidigare resultatet.
0°
180°
u Använd figuren för att med samma metod
bestämma tangensvärdet för vinklarna i tabellen. Fyll gärna på med fler vinklar.
v
270°
150°
tan v
Problemlösning och modellering Dagens längd
u Göteborg ligger på 57,7° nordlig bredd.
Som du säkert känner till varierar längden på dagen med årstiden. Dagens längd varierar också mellan olika orter i Sverige. Variationen mellan orterna beror på vilken breddgrad orten ligger på. Se figuren här nedanför.
Beräkna dagens längd under vecka 1.
u Vilken vecka är dagen som kortast i Göteborg? u Lund ligger på breddgraden 55,7°. Under vilka
veckor är dagen längre än 16 timmar i Lund?
u Under vår- och höstdagjämning är dag och
natt lika långa. Vilka veckor infaller vår- och höstdagjämningen enligt modellen?
u Eftersom dagens längd varierar även inom en
B
En orts breddgrad B är vinkeln mellan orten och ekvatorn.
En matematisk modell för att beräkna dagens längd behöver alltså innehålla både ortens breddgrad och vilken tid på året det gäller. Ett exempel på en modell för dagens längd är π(v − 12) D = 12 + (0,35B − 14) sin ___________ 26 Modellen beskriver dagens längd D timmar på en ort som ligger på breddgraden B grader i veckan med veckonummer v.
1
viss vecka, så är modellen inte särskilt nog grann. Förändra modellen, så att den i stället anger dagens längd beroende på vilken dag det är på året.
u Som de flesta modeller ger den här inte exakta
värden och har dessutom andra begränsningar. Ge exempel på några begränsningar som modellen har.
TRIGONOMETRI UPPSLAGET
57
Tankekarta
Trigonometri Trigonometri i rätvinkliga trianglar a motstående katet __ _______________________
u sin v = =
hypotenusan
u sin v = y
c
hypotenusan
närliggande katet
1
c
c
a motstående katet __ _______________________
u tan v = =
b
1
u cos v = x
b närliggande katet __ _______________________
u cos v = =
Enhetscirkeln
a
u exakta värden
1
y sin v __ ________ =
u tan v =
v
P(x, y) v
cos v x
b
Radianer
Trigonometriska formler
u enhet för vinkelstorlek
u sin (180° − v) = sin v
πα u v = _______ (v angiven i radianer, α angiven i grader) 180° u 1 rad ≈ 57°
π __
u ett varv = 2π, 90° =
2
u cos (180° − v) = −cos v u sin (90° − v) = cos v u cos (90° − v) = sin v u sin (−v) = −sin v u cos (−v) = cos v u trigonometriska ettan
Trigonometriska funktioner u y = sin x, y = cos x
och y = tan x
u grafisk lösning av trigonometriska ekvationer u modeller för periodiska förlopp u För
y = A sin (Bx + C) + D gäller att - |A| är amplituden - B styr perioden - C styr förskjutning i x-led - D är förskjutning i y-led
58
TRIGONOMETRI TANKEKARTA
sin2 v + cos2 v = 1 u additions- och subtraktionsformler
sin (u + v) = sin u cos v + cos u sin v sin (u − v) = sin u cos v − cos u sin v cos (u + v) = cos u cos v − sin u sin v cos (u − v) = cos u cos v + sin u sin v u formler för dubbla vinkeln
sin 2v = 2 sin v cos v
{
cos2 v − sin2 v cos 2v = 2 cos2 v − 1 1 − 2 sin2 v
Blandade uppgifter Nivå 1
8 Vilken amplitud och period har kurvorna? a)
1 Para ihop de uttryck som har samma värde: A sin 270°
B sin 90°
C tan 200°
D cos 360°
E tan 150°
F tan 20°
G cos 180°
H tan 330°
y
1
2 Ge en exakt lösning till ekvationen __
√ 3 a) sin v = ___ 2
__
3 Lös ekvationerna
180°
360°
540°
180°
360°
540°
b)
1 b) cos v = __ 2 d) cos v = 1
c) tan v = √3
x
−180°
y 1
x
−180°
a) sin x = 0,80 b) cos x = 0,40 c) tan x = 1,2
a)
d) sin 2x = 0,30
y
4 Ange två andra vinklar som har samma sinus-
1
värde som vinkeln 35° har.
x
−π
π
2π
3π
π
2π
3π
5 Ange fyra olika vinklar v som uppfyller 1 a) cos v = ___ __ √ 2
__
b)
√ 3 b) sin v = − ___ 2
y
c) sin 2v = 0
1
d) cos 3v = −1
x
−π
6 I en triangel är två av vinklarna 94° och 73°.
Längden av den sida som står mot vinkeln 73° är 14,0 cm. Bestäm längden av sidan som står mot vinkeln 94°. 73° 94°
10 Vid en fysiklaboration studerade man harmo-
niska svängningsrörelser genom att låta en vikt upphängd i en fjäder svänga upp och ner. Figuren visar tre gruppers resultat där axlarnas skalor är lika i samtliga fall. cm 20
14 cm
7 Ange vinkelns storlek i grader π a) v = − __ 4
b) v = 3π
7π c) v = ___ 6
17π d) v = ____ 12
y
10
t 1
2
3
4
s
a) Vilken av svängningarna har störst amplitud? b) Vilken period är längst? TRIGONOMETRI BLANDADE UPPGIFTER
1
«
9 Vilken amplitud och period har kurvorna?
59
11 Utveckla och förenkla
17 Bestäm de lösningar till ekvationerna som
a) sin (x − 180°)
ligger i intervallet 180° ≤ x ≤ 360°.
b) cos (x − 90°)
a) sin 3x = 0,70
sin x 12 Visa att ___________________ = cos x för alla x tan x (cos2 x + sin2 x) där uttrycken är definierade. (Np Ma4 ht 2014)
13 Lös ekvationerna
cos x b) _____ = 0,20 3 c) tan (3x − 14°) = 1,8
18 Bestäm koordinaterna för punkterna P, Q och R. 1
y
R
a) sin (x + 15°) = 0,20
Q
b) tan (x − 30°) = 2,0
1
14 I en växelströmskrets kan spänningen i volt
uttryckas med sambandet π u = 3,0 sin 100πt − __ där t är tiden i sekunder 2 från det att spänningskällan slogs på. Bestäm
(
«
)
a) spänningen vid tidpunkten t = 4,0 ms b) växelspänningens periodtid c) växelspänningens frekvens, dvs. antalet svängningar per sekund.
1
1 2
19 Bestäm sin 2x om cos x = __ 1 2
x 2
20 För funktionen f gäller att f(x) = __ tan __ . Ange funktionens
a) definitionsmängd b) värdemängd 1 cos x
15 Förenkla följande uttryck.
22 Lös ekvationen 3 sin2 x = 5 sin x.
a) (sin x + cos x)2
23 Melissa har fått uppgiften att bestämma värdet
b) (sin x − cos x)2 c) (sin x + cos x)(sin x − cos x)
16 Ekvationerna för kurvorna i figurerna nedan kan skrivas i formen y = A sin (kx + v) + C. Bestäm kurvornas ekvationer. 4
y
x π
−2
b)
2π
(1) Perioden för f är π.
π (2) f(x) = 0 har rötterna x = n · __ 2
3π
B i (2) men ej i (1) C i (1) tillsammans med (2) D i (1) och (2) var för sig E ej genom de båda påståndena
y 2
−2
av B i funktionsuttrycket f(x) = sin Bx. Vilken eller vilka av informationspunkterna (1) och (2) behöver hon för att säkert finna rätt värde på B? Välj bland alternativen A–E.
A i (1) men ej i (2)
2
60
−1
2 21 Visa att ______ 2 − tan x = 1.
Nivå 2
a)
P x
45°
x π
2π
3π
TRIGONOMETRI BLANDADE UPPGIFTER
24 Här nedanför ser du grafen till funktionen
f(x) = a sin x + b cos x. Bestäm konstanterna a och b. y 2
−2
x π
cos2 x sin x
x 2
sin x cos x + 1
28 Visa att tan __ = ________ 29 Figuren visar dels grafen till en andragradsfunktion, dels grafen till y = tan x. Kan man vara säker på att graferna inte skär varandra?
2π
y
1 sin x
25 Visa att sin x + ______ = _____ 26 Beräkna det exakta värdet av a) sin v då cos v = −0,2 och 180° < v < 270° 1 b) cos v då sin v = __ och v ligger i andra 3 kvadranten
1 π − __ 4
x π __ 4
π __ 2
3π π __ 4
5π __ 4
1
3 c) sin v då cos v = ___ och 270° < v < 360° 12
Nivå 3 27 Solen belyser alltid hälften av månens yta. Hur
stor andel av den ytan som är riktad mot oss på jorden bestämmer månens faser. Vid fullmåne är 100 % av den belysta sidan vänd mot oss. Vid nymåne är motsvarande andel 0 %. Tiden mellan två nymånar är 29,53 dygn.
Enligt en enkel modell kan andelen i procent av månens belysta sida som är vänd mot oss beskrivas med funktionen f(t) = A cos kt + B, där t är tiden i dygn efter senaste nymåne. Bestäm konstanterna A, k och B.
30 Vilket är det största värde 3 − 4 sin x cos x kan anta?
Uppgiften förekom på del B av det nationella provet, där inga digitala hjälpmedel är tillåtna (Np Ma4 ht 2014)
31 Bestäm ett uttryck för det skuggade områdets area om vinkeln v anges i radianer.
r v r
TRIGONOMETRI BLANDADE UPPGIFTER
61
«
Kapiteltest Del 1 Utan digitalt hjälpmedel 1 Bestäm a) sin (−90°)
b) cos 450°
3π c) tan ___ 2
d) sin 5π
2 En lösning till ekvationen sin x = 0,3 är x ≈ 17°. Bestäm ytterligare en lösning till ekvationen i intervallet 0° ≤ x ≤ 360°. π 6
3 I figuren är vinkeln v = __ . Bestäm koordinaterna till punkten a) P
1
b) Q 1 v+π
y P x
v 1
Q
4 Ange amplitud och period till kurvorna 3x b) y = −cos ___ 5
a) y = 2 sin 3x
5 Lös ekvationerna
(
__
)
π 1 b) cos x + __ = __ 6 2
a) sin x = sin 43°
c) 2 sin 3x + √ 3 = 0
6 Förenkla sin (x + 60°) − sin (x − 60°). 7 Bestäm konstanterna a och b i g(x) = sin (2x + a) + b, för grafen y = g(x) som är ritad i figuren.
y 1 −180°
sin x cos x
y = g(x) 180°
−1
cos x sin x
2 sin 2x
8 Visa att _____ + _____ = ______ 9 Lös ekvationen 3 sin x = 2 sin x ∙ cos x.
62
TRIGONOMETRI KAPITELTEST
x
Del 2 Med digitalt hjälpmedel 10 Lös ekvationerna a) 2 sin x = 0,43
(
)
π b) cos 3x + __ = 0,50 5 2π 3
11 Cirkeln i figuren har radien 3,7 cm och vinkeln v är ___ rad.
v
a) Bestäm längden av den cirkelbåge som vinkeln v spänner upp. b) Bestäm den skuggade cirkelsektorns area.
12 Enligt en enkel modell kan rörelsen efter uthoppet hos en person som gör ett bungyjump beskrivas av y(t)= 32,5 + 28 cos 1,4t, där y(t) är höjden över marken efter t sekunder. a) Hur högt över marken vänder personen enligt modellen? b) Hur lång tid tar det enligt modellen för personen att röra sig från den högsta punkten till den lägsta?
13 Bestäm de lösningar till ekvationerna som ligger i intervallet 0° ≤ v ≤ 360°. Svara med en decimals noggrannhet. a) cos 2x = 0,59 b) 2,2 + tan 1,2x = 1,5 3 4
14 Du vet att sin v = __ . Bestäm det exakta värdet av a) cos v b) tan v c) sin 2v
15 Antalet nollställen till funktionen f(x) = sin bx − c i intervallet 0 < x < 2π beror av värdet av konstanterna b och c.
u
Bestäm samtliga nollställen till funktionen f(x) = sin 2x − 0,5 i intervallet 0 < x < 2π.
u
Hur många nollställen har funktionen f(x) = sin 3x − 0,5 i intervallet 0 < x < 2π?
u
Hur påverkar konstanten c antalet nollställen till funktionen f(x) = sin 3x − c i intervallet 0 < x < 2π?
TRIGONOMETRI KAPITELTEST
63
1
Facit 1 Trigonometri 1101 a) 16 l.e. 1102 a) v = 30°
=
__ √3 ___
1103 a) 2 __ c) √3
__ √ 3 ___
b) 2 1 __ d) 2
__ 1104 a = 1 l.e. och b = √ 3 l.e.
1106 a) v = 30°
b) u = 45°
c) w = 60°
d) z = 30°
__ √ 3 ___
1108 Pythagoras sats ger h = 1 __ 2 1 ___ cos 60° = = __ 1 2
1111 a) En triangel med sidorna 3 cm, 4 cm och 5 cm
c) 37° och 53°
1105 1
1107 Mellan 0 och 1
2
__ __ √ 3 ___ 6 __ 1112 a) = 2 2 __ __ 2 b) √3 − √
√
1113 T.ex. 2,00 dm; 3,46 dm och
4,00 dm ger rätt vinklar och en lämplig storlek.
1114 a)
__ √ 3 ___
__ h 2 = √ tan 60° = ___ = ____ 3 1 1 __ __ 2 2 tenusan har konstant längd. När en vinkel växer så växer även den motstående sidan, i detta fall den motstående kateten. Sinusvärdet ges av kvoten mellan längden av motstående katet och hypote nusan och när längden på den motstående kateten växer, så växer även sinus värdet.
b) Cosinusvärdet för vinkeln avtar. Om hypotenusan har konstant längd och en vinkel växer, så måste den närlig gande katetens längd avta. Cosinusvärdet för vinkeln ges av kvoten mellan längden på närliggande katet och hypote nusan. Därmed avtar även cosinusvärdet, när längden på närliggande katet avtar.
FACIT 1. Trigonometri
k
30°
1
45°
√ 3
60°
2
63°
5,7
80°
v
sin v
cos v
180°
0
−1
1 − __ 2 1__ − ____ √ 2
√3 − ___ 2 1__ ____ − √ 2
240°
√ 3 − ___ 2
1 − __ 2
270°
−1
0
300°
√ 3 − ___
1 __ 2
315°
1__ − ____ √ 2
1__ ____ √ 2
330°
1 − __ 2
√ 3 ___
360°
0
1
210° 225°
__
__
2
__
__
2
__ √3 1122 a) cos 690° = cos 330° = ___ 2
1 b) sin (−150°) = sin 210° = − __ 2 c) tan 600° = tan 60° = √ 3 d) cos 660° = cos 300° = 1 = cos (−60°) = __ 2
1123 a) x ≈ 44,4° + n ∙ 360° och x ≈ 135,6° + n ∙ 360°
b) x ≈ ±113,6° + n ∙ 360°
b) k = tan v
1115 a) 200°
b) 260°
1116 a) 0
b) −1
c) 1
1121
__
v
1__ ___ √3
__
1109 a) Utgå från en triangel där hypo
232
b) x = 10°
b) En godtycklig egyptisk tri angel har sidlängderna 3k, 4k och 5k för något tal k ≠ 0. En sådan triangeln är rätvinklig om sidlängderna uppfyller Pythagoras sats, dvs. om (3k)2 + (4k)2 = (5k)2 VL = (3k)2 + (4k)2 = = 9k2 + 16k2 = 25k2 = (5k)2 = = HL, v.s.v.
b) 11 l.e. b) u = 30°; v = 60°
1110 a) x = 22,5°
d) 1
1117 −1,24 1118 a) Fjärde kvadranten b) Fjärde kvadranten c) Andra kvadranten
1119 cos 30° > cos (−40°) > cos 430° Kommentar: Ett sätt att komma fram till denna storleksordning är att notera att cos (−40°) = cos (40°) och att cos 430° = cos (430° − 360°) = = cos 70°.
1120 T.ex. v = −250° eller v = −110°
c) x ≈ 50,2° + n ∙ 180° d) x = 90° + n ∙ 360°
1124 a) x ≈ 11,7° + n ∙ 60° b) x ≈ ±34,8° + n ∙ 180° c) x ≈ 111,1° + n ∙ 120° (x ≈ −8,9° + n ∙ 120°) och x ≈ 68,9° + n ∙ 120° d) x = 67,5° + n ∙ 90°
1125 a) T.ex. x = 30°, x = 150° och x = 390°
b) Ekvationen har två lösningar i intervallet 0° ≤ x ≤ 360°. Till var och en av de lösningarna kan man lägga till eller dra ifrån multipler av 360°. Det ger oändligt många lösningar.
1126 a) x ≈ 159,4° + n ∙ 1 080° och x ≈ 380,6° + n ∙ 1 080°
b) x ≈ ±91,1° + n ∙ 720° c) x ≈ ±484,5° + n ∙ 1 800° d) x ≈ −367,0° + n ∙ 1 260°
1127 a) x = 30° + n ∙ 360° och x = 150° + n ∙ 360°
b) x = ±10° + n ∙ 120°
1137 a) 97°, 155° och 169° b) 523°, 583° och 643°
1138 a) 359° och 541° b) 552°
1139 a) 221° b) 194°, 216°, 254°, 276°, 314° och 336°
c) x = 90° + n ∙ 540°
1140 4,87° och 40,13°
d) x = 180° + n ∙ 720°
1141 a) x = 45° + n ∙ 360°,
1128 a) x ≈ 151° + n ∙ 360° och x ≈ 293° + n ∙ 360° (x ≈ −67° + n ∙ 360°)
b) u ≈ 6° + n ∙ 90° c) w ≈ 28° + n ∙ 72° och w ≈ 57° + n ∙ 72°
1129 a) T.ex. sin x = 0,94 b) x = 790° och x = 830° 3π 1130 T.ex. cos 3v = ___ 2 x 2 har bl.a. lösningarna v ≈ 24° + n ∙ 360°, dvs. v har perioden 360°. Det innebär att n = 0 och n = 1 ger v ≈ 24° och v ≈ 384° som två på varandra föl jande lösningar och differensen mellan dem är 360°. Men efter som x = 2v, så betyder det att lösningarna för n = 0 och n = 1 kommer att vara x = 48° och x = 768°. Differensen mellan dem är alltså 720° och det bety der att perioden är 720°.
1131 Sätt v = __ . Ekvationen sin v = 0,4
1132 a) v = 400° och v = 580°
x = 135° + n ∙ 360°, x = 225° + n ∙ 360° och x = 315° + n ∙ 360° (x = −45° + n ∙ 360°)
b) x = ±20° + n ∙ 180° c) x = 90° + n ∙ 180°, x = 210° + n ∙ 360° och x = 330° + n ∙ 360° (x = −30° + n ∙ 360°)
1142 x = 90° + n ∙ 180°
(x = ±90° + n ∙ 360°)
1143 x = 75° + n ∙ 180° 1144 x = 20° + n ∙ 180° och x = 80° + n ∙ 90° (x = −10° + n ∙ 90°)
1145 a) x = n ∙ 180° och
x = 45° + n ∙ 90°
b) x ≈ 50° + n ∙ 360° och x ≈ 130° + n ∙ 360°
1147 a) 0,7 rad
b) 3,4 rad
c) 5,1 rad
1148 Grader Radianer
180
b) x = 90° + n ∙ 180° (x = ±90° + n ∙ 360°)
210
7π ___
c) x = n ∙ 360°, x = 180° + n ∙ 360° och x = ±30° + n ∙ 360°
270
3π ___
1133 a) x ≈ 56,3° + n ∙ 180° b) x ≈ 53,1° + n ∙ 180°
1134 a) x = 25° och x = 155° b) x = 37° och x = 323°
1135 x = 0° och x = 180° 1136 a) x = n ∙ 360°, x = 90° + n ∙ 180° (x = ±90° + n ∙ 360°) och x = 180° + n ∙ 360° Kommentar: Samtliga lös ningar kan sammanfattas x = n ∙ 90°.
0 30 45 60 90 120 135 150
360
b) 46°
c) 361°
d) 235°
__
√3 1150 a) ___
b) 0
2 c) 0,14
d) −0,21
1151 a) 2,3 rad 1152 a)
b) c) d)
b) 0,6 rad
π x = __ + n ∙ 2π och 6 5π x = ___ + n ∙ 2π 6 2π x = ± ___ + n ∙ 2π 3 3π ___ x = + n ∙ 2π 2 π __ x = + n ∙ π 6
=
π 12 7π x = ___ + n ∙ 2π 12 π __ b) x = + n ∙ π och 6 π __ x = + n ∙ π 3 π __ c) x = + n ∙ π 6 π π __ d) x = + n ∙ __ 3 2
1153 a) x = ___ + n ∙ 2π och
1154 a) 14 a.e.
(
)
5π b) 5,2 a.e. ___ a.e. 3 π 2 b) Saknar lösning
1155 a) x ≈ 0,72 + n ∙ __
1146 sin 2x = sin x
0 π __ 6 π __ 4 π __ 3 π __ 2 2π ___ 3 3π ___ 4 5π ___ 6 π
b) v = 1 120° och v = 1 300°
1149 a) 86°
6
2 2π
c) x ≈ 2,86 + n ∙ 4π och x ≈ −2,06 + n ∙ 4π
1156 Radianer är ett vinkelmått där
vinkelns storlek v anges som för hållandet mellan längden b av den cirkelbåge som vinkeln spänner upp och cirkelns radie r, b dvs. v = __ . b r r v r
I enhetscirkeln är radien r = 1. Det innebär att vinkelns storlek överensstämmer med cirkelb b bågens längd, v = __ = __ = b . En r 1 vinkel som i grader motsvarar 360° ges alltså i radianer av hela enhetscirkelns omkrets, 2π. På motsvarande sätt motsvarar en vinkel på 180° halva enhetscir kelns omkrets, dvs. π rad, och en vinkel 90° en fjärdedel av enhets π cirkelns omkrets, dvs. __ rad. 2 FACIT 1. Trigonometri
233
1157 Moa har förmodligen haft sitt
digitala verktyg inställt på grader.
1158 a) Vinkeln v i radianer
180v är _____ grader. π b) Henrik använder ett digitalt verktyg, inställt på radianer, för att beräkna sin v. Han ser sedan till att verktyget ger svar i grader när han använ der sin−1 (eller arcsin).
πr2v 1159 a) A = _____
r2v b) A = ___
360 c) 4,4 rad
2
1 2
1 b) __ 2
1201 a) __
=
1202
(2 )
(2 )
π π sin __ − v = cos v cos __ − v = sin v sin (−v) = −sin v
cos (−v) = cos v
sin (π − v) = sin v
cos (π − v) = −cos v
(
)
(
)
π π = cos v cos v + __ = −sin v sin v + __ 2 2 sin (v + π) = −sin v cos (v + π) = −cos v
__ √3 ___
__ √ 3 ___
1203 a) −
b) 2
2
1 2
1 b) − __ 2 1 d) __ 2
1204 a) __ 1 c) − __ 2
1 2 b) sin 330° = sin (330° − 360°) = 1 = sin (−30°) = − __ 2
1205 a) sin (−30°) = −sin 30° = − __
1206
(a, b) v+π
v
(−a, −b) I enhetscirkeln är vinklarna v och v + π markerade. Vi ser att (cos v, sin v) = (a, b) och (cos (v + π), sin(v + π)) = (−a, −b). Alltså gäller
1208 Vi väljer att hitta ett motexempel för att visa att sambandet inte gäller för alla vinklar u och v. Vi sätter t.ex. u = v = 30°. Då blir VL = sin (30° + 30°) =
__ √3 ___
= sin 60° = och 2 1 1 = HL = sin 30° + sin 30° = __ + __ 2 2 = 1, dvs. VL ≠ HL. Det visar att sambandet inte gäller för alla vinklar u och v.
1209 a) tan (180° − v) =
sin (180° − v) sin v = ______ = = _____________ cos (180° − v) −cos v sin v = − _____ = −tan v v.s.v. cos v π sin __ − v 2 π b) tan __ − v = ___________ = π 2 __ cos − v 2 1 cos v ______ 1 _____ _____ = = = v.s.v. sin v _____ tan v sin v cos v
(
1207 a) sin (450° − v) =
= sin (450° − v − 360°) = = sin (90° − v) = cos v
b) cos (v + 270°) = = cos (v + 180° + 90°) = = −sin(v + 180°) = −(−sin v) = = sin v
234
FACIT 1. Trigonometri
) )
1210 a) När vi ritar vinklarna i enhets cirkeln bildas två trianglar som är kongruenta enligt VSV. Om vi kallar kateternas läng der för a respektive b får vi följande figur. 1
y v
−1
(b, a) (a, b) x v 1
Ur figuren kan vi avläsa att sin (90° − v) = a = cos v b) När vi ritar vinklarna i enhets cirkeln bildas två trianglar som är kongruenta enligt VSV. Om vi kallar kateternas läng der för a respektive b får vi följande figur. 1
y v
−1
(b, a) (a, b) x v 1
c) √0,51
__
__
√5 1214 a) ___
√5 b) − ___
3
3
7 1 1215 __ eller − __ 5 5
__ √3 1216 a) − ___
___
√ 21 b) ____ 5
2
1__ c) − ___
√ 2
1217
sin2
v − cos2 v
1218 VL = (sin x + cos x)2 +
+ (sin x − cos x)2 = = sin2 x + 2 sin x cos x + cos2 x + + sin2 x − 2 sin x cos x + cos2 x = = 2(sin2 x + cos2 x) = 2 = = HL v.s.v. cos2 x sin x 2 x + cos2 x sin 1 = _____________ = ______ = sin2 x sin2 x = HL v.s.v.
1219 VL = 1 + ______ 2 =
(
)
sin2 x 1220 VL = cos2 x ______ 2 + 1 = cos x
= sin2 x + cos2 x = 1 = HL 2
v.s.v.
2
1 − sin v cos v cos v cos v = HL v.s.v. ___ √21 1222 Från ___ sin v = ± ____ till sin v = 5 √21 ____ = − 5
1221 VL = _________ = ______ = cos v =
Ur figuren kan vi avläsa att cos (90° − v ) = b = sin v b) 1
__ 1223 − ___ √ 2
__ 3 3√3 1224 __ , ____
(
2
2
)
2 sin x
1225 ______ 2 (1 + cos x)(1 − cos x) sin x 1 − cos2 x ______ sin2 x _________ = = = sin x = sin x sin x = HL v.s.v.
1226 VL = ___________________ =
1 1 ___ ___ eller − ____ 1227 ____ √ √ 24 24 sin2 x cos x 1 − cos2 x ______ 1 = _________ = 2 − 1= cos2 x cos x = HL v.s.v.
1228 VL = tan2 x = ______ 2 =
−1
1211 a) 1
_____
b) √0,96
1
−1
a) sin (v + π) = −sin v b) cos (v + π) = −cos v
( (
)
_____ 1213 a) √_____ 0,99
1 c) __ 2
1212 Genom att använda trigonome
triska ettan i både VL och HL, ser vi att VL = HL = 1, v.s.v.
1 1 sin x tan x 1 cos2 x 1 − cos2 x = ______ 2 − ______ 2 = _________ = sin x sin x sin2 x sin2 x = ______ = 1 = HL v.s.v. sin2 x
______ = 1229 VL = ______ 2 − 2
1230 VL =
(
)(
)
1 1 = _____ + tan x _____ − tan x = cos x cos x 1 1 − sin2 x ______ 2 = 2 − tan x = _________ = cos x cos2 x
cos2 x = ______ 2 = 1 = HL cos x
v.s.v.
1231 VL = cos3 x · tan2 x + cos3 x =
sin2 x 2 + cos3 x = = cos3 x · ______ cos x = cos x (sin2 x + cos2 x) = cos x = = HL v.s.v.
1232 VL = cos4 α − sin4 α = =
(cos2
sin2
α)(cos2
sin2
α+ α− = cos2 α − sin2 α = 1 − − sin2 α − sin2 α = = 1 − 2 sin2 α = HL v.s.v.
α) =
__
√
√
= cos v cos v − sin v sin v = = cos2 v − sin2 v = HL v.s.v.
1244 1 1245 Trigonometriska ettan ger
sin2 v = 1 − cos2 v, alternativt cos2 v = 1 − sin2 v. Det leder till cos2 v − sin2 v = cos2 v − (1 − cos2 v) = 2 cos2 v − 1, alternativt till cos2 v − sin2 v = = 1 − sin2 v − sin2 v = 1 − 2 sin2 v.
1246 2
3 5
1235 VL = cos x sin x = = ___________ + ___________ cos x − sin x
1
sin x + cos x = ___________________________ = cos2 x − cos x sin x + cos x sin x + sin2 x sin2 x + cos2 x + cos2 x − sin2 x = ___________________________________ = cos2 x − sin2 x sin2 x cos2 x tan2 x __ 1 _______ ______ = _______ 1 2 x + 2 cos2 x = 2 + 2 = 2 cos = _____________ = HL v.s.v. 2 2 cos x − sin x = HL v.s.v. 1 1 1236 VL = ________ + ________ = x sin __ 1 + sin v 1 − sin v x ______ 2 __ = 1250 VL = tan = 1 − sin v + 1 + sin v x 2 cos __ = __________________ = (1 + sin v)(1 − sin v) 2 x x 2 2 sin __ ∙ 2 cos __ = _________ = ______ = HL v.s.v. 2 2 1 − sin2 v cos2 v ______________ = = x x cos __ ∙ 2 cos __ cos__x sin__x _____ _____ 2 2 + 1237 a) √ √ 2 2 sin x __ = ________ √ cos x _______ 3 sin x x = HL v.s.v. _____ b) + 2 cos2 __ 2 2 2 c) −cos x 1251 a) Från cos x = sin (90° − x) får vi
cos (u + v) = sin (90° − (u + v)) = = sin (90° − u − v) = = sin ((90° − u) − v) v.s.v.
1238 a) 2 sin x cos 110° 3π b) 2 cos x cos ___ 5
__ 1239 √3 sin x + cos x
sin 2x 2 sin x cos x cos x cos x = 2 sin x = HL v.s.v.
1240 VL = ______ = ___________ =
(
2
)
π π = cos 3x cos __ − sin 3x sin __ = 2 = −sin 3x = HL
2
v.s.v.
b) cos (u + v) = sin ((90° − u) − v) = = sin (90° − u) cos v + − cos (90° − u) sin v = = cos u cos v − sin u sin v v.s.b.
1252 Vi använder additionsformeln
π 1241 VL = cos 3x + __ =
b) x = 45° + n ∙ 180°
1254 a) x = ±90° + n ∙ 180° b) x = n ∙ 360° och x = ±90° + n ∙ 360° = = 90° + n ∙ 180° c) x = n ∙ 4π
1255 a) x ≈ 5,8° + n ∙ 180° och x ≈ 84° + n ∙ 180°
b) x = n ∙ 180° och x ≈ 63,4° + n ∙ 180° c) x = n ∙ 360° och x = ±120° + n ∙ 720° x ≈ ±76° + n ∙ 360°
1249 VL = __________ = cos x (cos x − sin x) + sin x (cos x + sin x) = ____________________________________ = 1 + cos 2x 2 2 cos x − sin x 2 2
d) −cos x
1253 a) x = 90° + n ∙ 360°
1256 a) x = n ∙ 180° och
= sin x cos 2x + cos x sin 2x = = sin x (cos2 x − sin2 x) + + cos x ∙ 2 sin x cos x = = sin x (cos2 x − sin2 x + + 2 cos2 x) = = (3 cos2 x − sin2 x) sin x = = HL v.s.v.
__ , cos v = 1234 sin v = − __
cos x + sin x
1243 VL = cos 2v = cos (v + v) =
1248 VL = sin 3x = sin (x + 2x) =
__
2 5
b) 0
1247 2p2 − 1
1
__ 1233 ___ √ 5
1242 a) 0
för cosinus: cos (u − v) = = cos (u + (−v)) = = cos u cos (−v) − sin u sin (−v) = = cos u cos v + sin u sin v v.s.v.
b) x = n ∙ 180° c) x = n ∙ 180° och x = 90° + n ∙ 180° som tillsam mans kan skrivas x = n ∙ 90°
1257 Man kan skriva om som sin 2x = 0 eller använda nollprodukts metoden, dvs. att antingen är cos x = 0 eller sin x = 0.
1258 Jonte förkortar med cos x i sin
lösning och det kan man göra endast om cos x ≠ 0. Men efter som cos x = 0 faktiskt är en lös ning, så tappar Jonte bort den lösningen när han delar båda led med cos x. Clara har alltså rätt. En bättre metod är att i stället bryta ut cos x.
2 sin x cos x − cos x = 0 1 2 cos x sin x − __ = 0 2 cos x = 0 ger
(
)
x = ±90° + n ∙ 360° = 90 + n ∙ 180° 1 sin x − __ = 0 ger 2 x = 30° + n ∙ 360° och x = 150° + n ∙ 360°
1259 Första gången efter 2,3 ms. 1260 36°, 48° och 96° 1261 43°, 46° och 91° 1262 0,69 km 1263 x = 180° + n ∙ 360° 1264 a) x = 22,5° + n ∙ 90° b) x = 180° + n · 360° och x = n · 72° 5π c) ___ + n ∙ π 12
1301 Gul graf hör till y = sin x och blå graf hör till y = cos x.
FACIT 1. Trigonometri
235
=
1302 y = sin x (med vinkeln i radianer)
1314 a)
1303 a) sin x = 0,87 −π
1304 x ≈ 0,30 + n ∙ 2π och x ≈ 2,84 + n ∙ 2π
x = 240° + n ∙ 360°
1306 Graferna har samma form och samma period. Graferna är varandras spegelbilder med avseende på x-axeln.
2π
3π
y
y
π
−10
π __
3π ___ 2
π
2
Grafen är en sinusfunktion där man kan säga att x bestämmer amplituden. Det blir därför liten amplitud när x är nära 0 och större och större amplitud ju längre bort från y-axeln man kommer.
2π
b) b = 0 c) x = π + n ∙ 2π
(
)
π 4
1308 x = 45° + n ∙ 180° x = __ + n ∙ π π 2 b) Största värde för x = n ∙ 2π. Minsta värde för x = π + n ∙ 2π.
y
g: 0,5
1317 a) 3 och −3
b) 1 och −1
x
1
2
3
y
d) 1,5 och −1,5
4π g: ___ 3
1318 f: 60°
h: 4π
1319 a) 180°
b) 1 440°
1320 a) k = 4
b) k = 2 3 d) k = __ 8
1 c) k = __ 4
1321 a = ±7 1322 4 a)
−1
y = sin 2x
1316 f: 3
c)
1309 a) x = __ + n ∙ π
c)
2π 3π 4π 4π
−20
x
−1
x
2π
Båda graferna svänger mellan funktionsvärdena −1 och 1, men eftersom 2x ändras dubbelt så snabbt som x, så svänger y = sin 2x dubbelt så snabbt som y = sin x.
c) 3 och −3
−π
1
x π
−1
4π
10
1307 a)
y
2
x π
b) −2
2π
3π
−4 x π
||
1 __ växer snabbt när x går x mot 0, och det förklarar varför grafen svänger snabbare nära y-axeln. För stora positiva eller 1 negativa värden på x är __ x 1 nära 0 och grafen y = sin __ x närmar sig därför x-axeln när x går mot ±∞ (jfr sin 0 = 0).
2π
Kommentar: Notera att detta är grafen till y = cos x.
||
1310 a) x = n ∙ π b) Största värde för 3π x = ___ + n ∙ 2π. 2 Minsta värde för π x = __ + n ∙ 2π. 2 y c)
d)
x π
2π
Kommentar: Notera att detta är grafen till y = −sin x.
1311 g(x) = cos x är en jämn funktion, men f(x) = sin x är det inte.
1312 f(x) = sin x är en udda funktion. 1313 A och F är jämna funktioner. B, C och E är udda funktioner. D är varken udda eller jämn.
236
π
−5
b)
y = sin x
x
Funktionen är en kombina tion av en trigonometrisk funktion och en linjär funk tion med riktningskoefficient 1. Därför kan man säga att grafen liknar en sinusfunk tion som stiger linjärt.
1305 x = 120° + n ∙ 360° och
y 1
5
b) x ≈ 60° + n ∙ 360° och x ≈ 120° + n ∙ 360°
=
1315
y 10
FACIT 1. Trigonometri
1
y x π
2π
Eftersom sin x kvadreras så svänger grafen mellan 0 och 1 med dubbelt så stor frekvens som sin x svänger mellan −1 och 1.
1323 a) y = 2 sin 3x x 2 b) y = __ sin __ 3 2 2 3
(
2x 3
)
1324 A = 2, B = __ , y = 2 cos ___ 8x 8x 1325 y = 4 sin ___ och y = 4 cos ___ 5 5 π 1,4
1326 B = ___ 1327 A = 1, B = 8 (y = sin 8x) 2π |B|
1328 ___ 1329 a) D = 2
b) D = −1,2
1330 a) C = 25°
b) C = −90° π d) C = − __ 4
c) C = π
1331 a) y = cos (x − 40°) b) y = cos (x + 25°) π c) y = cos x + __ 6 2π ___ d) y = cos x − 5
(
(
)
)
1332 a) f(x)
b) h(x)
c) g(x)
3π 4 b) x = 60° + n ∙ 90°
1333 a) y = sin (x − 30°) b) y = sin (x + 60°)
1334 a) Amplitud 1, period 360°
y 4
c) Amplitud 1, period π 3 2π d) Amplitud __ , period ___ 2 3
2 90°
1335 a) x ≈ 37° + n ∙ 360° eller
x 90°
−2
x ≈ 143° + n ∙ 360°
b) x = 45° + n ∙ 180°
3
1338 a) y = sin 2x + 2
1357 a) x = 0 och x = 180°
2
b) y = sin (2x − 120°)
b) x ≈ 38° och x ≈ 142°
1
1339 Största värde är 4. Minsta värde
x
är 1.
1340 a) y = 3 sin __ + 2
)
1359 Alternativ B 1
__ 1360 a) T.ex. y = tan (x + 30°) − ___ √3 b) T.ex. y = tan (3x − 45°) + 1 x π c) T.ex. y = tan __ + __ − 1 2 4
c)
(
y
1343 T.ex. y = 2 sin x + 1 g(x) = cos (x − 80°) = = sin ((x − 80°) + 90°) = = sin (x + 10°) = f(x) π 6
3 2
)
1345 T.ex. f(x) = 2 sin x − __ + 3
−1
Kommentar: Eftersom sin2 x ≥ 0 för alla värden på x, antar funk tionen sitt minsta värde då sin2 x = 0. Det värdet är
180°
360°
sin (u + v) cos (u + v)
sin u cos v + cos u sin v = _____________________ . Vi förkortar cos u cos v − sin u sin v uttrycket med cos u cos v och får
−4
1350 a) 540°
y = A sin2
1351
sin x > 0 för 0 < x < 90°, så sin x _____ sin x gäller att tan x = _____ > = cos x 1 = sin x v.s.v.
1363 VL = tan (u + v) = __________ =
−3
Vi avläser i grafen att detta värde är −2, vilket ger B = −2. Funktio nen antar sitt största värde när sin2 x = 1. Då är funktionsvärdet x+B=A∙1+B=A−2
x
−2
x+B=A∙0+B=B
Vi avläser i grafen att detta värde är 1, dvs. A − 2 = 1, vilket ger A = 3.
1362 Eftersom 0 < cos x < 1 och
1
1346 A = 3, B = −2
)
sin (x + π) 1361 tan (x + π) = __________ = cos (x + π) −sin x _____ sin x = ______ = = tan x v.s.v. −cos x cos x
4
1344 cos x = sin (x + 90°) ger att
1347 f: x = 90° + n ∙ 180°
c) x = 300° + n ∙ 360°
−4
2x 3
y=A
b) x ≈ 29° + n ∙ 180°
−3
1342 f(x) = 3 cos ___ − 1
1358 a) x = 45° + n ∙ 360° och x ≈ 158° + n ∙ 360°
360°
−2
5π 1341 y = sin 2x + ___ + 1
sin2
180°
−1
π b) y = 2 sin x + __ + 2 6
=
b) B = 2 π π c) C = __ eller C = − __ 2 2
4
π 8
(
π 2
1356 a) Period: __
y
1337 Den förskjuts __ rad åt vänster
)
b) C = 0,93
1355 a) x = −120° + n ∙ 360°
b)
1336 A = 3, B = −1, k = 4
6
π 3
c) x ≈ 34° + n ∙ 60°
c) x ≈ 2,8 + n ∙ 6 eller x ≈ 4,8 + n ∙ 6
(
1353 4 st 1354 a) C = − __
180°
−4
b) x = 10° + n ∙ 180° eller x = 40° + n ∙ 180°
(
1352 a) __ rad åt vänster
1349 a)
b) Amplitud 3, period 360°
x 2
π 7 2π ___ b) rad åt höger 5 c) 2 enheter uppåt 3π d) ___ rad åt vänster och 8 1 enhet nedåt
1348 a) x = ___ + n ∙ π
sin u sin v _____ + _____
tan u + tan v cos u cos v ______________ = _____________
b) 180°
sin u sin v 1 − __________ cos u cos v
Definitionsmängd Värdemängd a)
x ≠ 30° + n · 60°
Alla y
b)
x ≠ 135° + n · 180°
Alla y
c)
Alla x
−6 ≤ y ≤ 6
__ 1364 a) √2 1__ c) ___ √2
1 − tan u tan v
b) 5
v.s.v.
___
√10 d) ____ 3
g: x = 45° + n ∙ 180°
FACIT 1. Trigonometri
237
1365 a) 68°
b) −34°
c) 27°
1366 a) a = 4 b) a = 0 c) Ej möjligt
1367 y ≈ 5,4 sin (x − 22°) ___ ___ 1368 a) √58 och −√58 b) 3 och −3 1
__ 1369 ___ √ 2
__ __ 1370 f(x) = √2 sin x + √ 2 cos x __ 1371 a) f(x) = sin x + √3 cos __ x b) f(x) = 8 sin x + 8√3 cos x
=
1372 a) x = n ∙ 360° och
x = 90° + n ∙ 360°
b) x ≈ −11° + n ∙ 360° och x ≈ 109° + n ∙ 360°
1373 a) 1,5 mm
1 b) ____ ms = 2,3 ms 440
1374 y ≈ 0,3 sin 2,9πt 1 b) ___ s = 0,02 s 50 c) Med 0,01 s mellanrum
1375 a) 37 V
1376 a) 2 mV
b) 3,8 ms
2π c) u(t) = 2 sin ___ t 3,8
5π 3
1377 A = 23, B = 106, k = ___ ≈ 5,2
2π ω där ω är koefficienten för den oberoende variabeln i det trigonometriska uttrycket. 2π Eftersom ω = ____ gäller att 365 2π ___ = 365 v.s.v. ω b) Sinusuttrycket är 1 när värdet π i parentesen är __ och det 2 365 inträffar när d − 80 = ____ , 4 dvs. när d ≈ 171. Då är funk tionsvärdet 6,5 + 12 = 18,5. På motsvarande sätt är värdet av sinusuttrycket −1 när 3π parentesen är ___ , vilket inträf2 3 ∙ 365 , dvs. far när d − 80 = _______ 4 när d ≈ 354. Då är funktions värdet −6,5 + 12 = 5,5.
1384 a) Det gäller att perioden är ___ ,
c) När d = 80 är uttrycket inom parentesen 0 och när d = 263 så är uttryckets värde ungefär π. Eftersom sin 0 = sin π = 0 är funktionens värde 12 för dessa värden på d. Det betyder att vår- respektive höstdag jämningen infaller dygn 80 respektive dygn 263. Då är dag och natt lika långa. d) T(d) =
π 3
1378 __ rad 1379 a) 37,0 °C
b) 16 dygn
c) Efter 4 dygn
1380 a) 5,97
b) 7 st
1381 a) A = 12 cm,
10π ω = ____ rad/s ≈ 4,49 rad/s 7
b) 48 cm
1382 a) 8 °C b) 16,6 °C och −0,6 °C
(
)
2π = −6,5 sin ____ (d − 80) + 12 365 Kommentar: Tack vare minus tecknet framför 6,5 ger model len att dagen är kort där när den är lång här och tvärtom.
1389 a) 4,0 mm b) Nämnaren växer när t växer och då avtar A. Eftersom amp lituden för t = 0 är 4, så ingår termen 1 i nämnaren. Det gör ju att nämnaren växer från 1 och A avtar från 4. c) T.ex. att strängen slutar vibrera efter en stund och det visar inte modellen. En viss modell gäller oftast under ett begränsat intervall. 4 d) y(t) = _____ sin 392πt t+1 π 1390 x = π + n ∙ 2π och x = ± __ + n ∙ 2π 3 2π 161,5π ____ 1391 A ≈ 27,9°, B ≈ , C ≈ − _____ 365 365 och D ≈ 27,1° Negativa funktionsvärden betyder att solen står under horisonten.
«
Blandade uppgifter
1 sin 270° = cos 180° (A, G) sin 90° = cos 360° (B, D) tan 200° = tan 20° (C, F) tan 150° = tan 330° (E, H)
2 a) v = 60° c) v = 60°
b) v = 60° d) v = 0°
3 a) x ≈ 53° + n ∙ 360° och x ≈ 127° + n ∙ 360°
b) x ≈ ±66° + n ∙ 360° c) x ≈ 50° + n ∙ 180° d) x ≈ 9° + n ∙ 180° och x ≈ 81° + n ∙ 180°
1385 a) Kl. 10.00
b) Kl. 4.00
4 T.ex. 145° och 395°
1386 a) 60,5 m
b) 2,3 m
5 a) T.ex. −45°, 45°, 315° och 405° b) T.ex. −60°, 240°, 300° och 600°
c) 3,8 s 5000π 3
1387 a) î ≈ 1,5 mA; ω = _______ ≈ ≈ 5,2 · 103 rad/s b)
__ 1383 u(t) = 230√2 sin 100πt
c) T.ex. 0°, 90°, 180° och 360° d) T.ex. −180°, −60°, 60° och 180°
6 15 cm (14,6) 7 a) −45°
b) 540°
c) 210°
d) 255°
8 a) Amplitud 3; period 720° b) Amplitud 1,5; period 180°
9 a) Amplitud 4; period 2π b) Amplitud 2; period π πt 1388 V(t) = 0,25 sin ___ + 2,25 2
10 a) Den röda gruppens b) Den svarta gruppens
11 a) −sin x
238
FACIT 1. Trigonometri
b) sin x
sin x 12 VL = ___________________ 2 2 =
tan x (cos x + sin x) sin x __________ sin x _____ = = = cos x = tan x sin x/cos x = HL v.s.v.
13 a) x ≈ 153° + n ∙ 360° och x ≈ 357° + n ∙ 360° (x ≈ −3° + n ∙ 360°)
b) x ≈ 93° + n ∙ 180° 1 b) ___ s = 20 ms 50
14 a) −0,93 V c) 50 Hz
15 a) 1 + sin 2x
b) 1 − sin 2x
c) −cos 2x
16 a) y = 3 sin 2x + 1 b) y = 2 sin (2x + 180°)
17 a) x ≈ 255° och x ≈ 285° b) x ≈ 307° c) x ≈ 205°, x ≈ 265° och x ≈ 325°
( )
)
1 1__ ___ , __ och 18 P = (1, 0), Q = ___ √ 2 √ 2
(
1 1__ ___ R = − ___ , __ √2 √2
__
√3 19 ± ___ 2
20 a) Alla x ≠ π + n · 2π b) Alla reella tal 1 cos x 1 sin2 x _________ 1 − sin2 x = ______ 2 − ______ = = cos x cos2 x cos2 x 2x cos = ______ 2 = 1 = HL v.s.v. cos x
21 VL = ______ 2 − tan2 x =
22 x = n ∙ 180° __ 24 a = 1, b = √ 3 cos2 x sin x
sin2 x + cos2 x sin x
25 VL = sin x + ______ = _____________ = 1 = _____ = HL v.s.v. sin x
_____ 26 a) −√0,96 __ __ √ 8 2√2 b) − ___ = − ____ 3 3 ____ √135 ______
12
2π 29,53
27 A = −50; k = ______ ≈ 0,213; B = 50
5 a) x = 43° + n ∙ 360° och
x = 137° + n ∙ 360° π b) x = − __ + n ∙ 2π och 2 π x = __ + n ∙ 2π 6 c) x = 100° + n ∙ 120° och x = 80° + n ∙ 120°
2
x För att finna ett uttryck för sin __ 2
utnyttjar vi formeln för dubbla vinkeln för sinus. Vi får att x x sin x = 2 sin __ cos __ 2 2 som ger sin x x sin __ = ________ x 2 2 cos __ 2 Insättning i (1) ger x sin __ sin x 2 ________ ______ __x = x cos 2 = x cos __ 2 cos __ 2 2
__ 6 √3 ∙ cos x
7 a = 30°, b = −1 sin x cos x cos x sin x sin2 x + cos2 x __________ 1 = _____________ = = sin x cos x sin x cos x 2 2 = ___________ = ______ = HL v.s.v. 2 sin x cos x sin 2x
8 VL = _____ + _____ =
/
sin x sin x ________ = ______________ x x = x (2) __ __ 2 cos ∙ cos 2 cos2 __ 2 2 2 På liknande sätt utnyttjar vi formeln för dubbla vinkeln för cosinus för att x finna ett uttryck för cos __ . Vi har att 2 x – 1 cos x = 2 cos2 __ 2 som ger x 2 cos2 __ = cos x + 1 2 Insättning i (2) ger: sin x sin x ________ ________ x = cos x + 1 = HL __ 2 2 cos 2 Alltså är VL = HL, v.s.v.
9 x = n ∙ 180° 10 a) x ≈ 12,4° + n ∙ 360° och x ≈ 167,6° + n ∙ 360° 2π b) x ≈ 0,14 + n ∙ ___ och 3 2π x ≈ −0,56 + n ∙ ___ 3
11 a) 7,7 cm
b) 28,7 cm2
12 a) 4,5 m
b) 2,2 s
13 a) 26,9°; 153,1°; 206,9°; 333,1° b) 120,8°; 270,8°
__
√ 7 14 a) ± ___
4 __ 3√7 ____ c) ± 8
29 Nej, graferna kommer säkert att skära varandra eftersom en andragrads funktion är definierad för alla x.
3__ b) ± ___ √ 7
π 5π 13π 17π x = ___ , x = ___ , x = ____ , x = ____ 12 12 12 12
30 5
u
6 nollställen
31 Area = __ r2(v − sin v)
u
−1 < c < 1 → 6 nollställen c = ±1 → 3 nollställen c < −1, c > 1 → 0 nollställen
1 2
23 D
c) −
x sin __ x ______ 2 __ (1) 28 VL = tan = x 2 cos __
15
Kapiteltest 1 a) −1 b) 0 c) Ej definierat d) 0
2 x ≈ 163° __ 1 √3 3 a) ___ , __
( ) 2 2
(
__
)
1 √3 b) − ___ , − __ 2 2
2π 3 10π b) Amplitud 1; period 600° = ____ 3
4 a) Amplitud 2; period 120° = ___
FACIT 1. Trigonometri
239
=
4 Matematik Origo är moderna läroböcker skrivna för den reviderade ämnesplanen 2021 Utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter Matematisk modellering, kommunikationsuppgifter och problemlösning för alla Målbeskrivningar, sammanfattning och test till varje kapitel Serien består av Matematik Origo 1a och 2a för yrkesprogrammen Matematik Origo 1b, 2b och 3b för Samhällsvetenskapsprogrammet, Ekonomiprogrammet, Humanistiska programmet och Estetiska programmet Matematik Origo 1c, 2c, 3c, 4 och 5 för Naturvetenskapsprogrammet och Teknikprogrammet
ISBN 978-91-523-6497-0