9789152364901 by Smakprov Media AB

matematik

Prov, övningsblad och aktiviteter

SANOMA UTBILDNING Postadress: Box 38013, 100 64 Stockholm Besöksadress: Rosenlundsgatan 54, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order /Läromedelsinformation Telefon 08-587 642 10

Redaktion: Emelie Reuterswärd Grafisk form: Typoform/Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform/Sabina Högnäs Illustrationer: Typoform/Jakob Robertsson Foton: Shutterstock

Innehåll

Kapitel 1 Rubrik Övningsblad

Aktiviteter

Prov

1.1

Förenkla uttryck 1

1.2

Förenkla uttryck 2

1.3

Förenkla uttryck med parenteser

1.4

Ekvationer 1

1.5

Ekvationer 2

1.6

Ställa upp och tolka uttryck och formler

1.7

Uttryck av andra graden

1.8

Multiplicera in och förenkla

1.9

Multiplicera ihop och förenkla

1.10

Kvadreringsreglerna

1.11

Konjugatregeln

1.12

Konjugat- och kvadreringsreglerna

1.13

Faktorisera uttryck

1.14

Ekvationer av typen x2 = a

1.15

Faktorisering som lösningsmetod

1.16

pq-formeln

1.17

Andragradsekvationer

1.18

Repetitionsuppgifter Kapitel 1

1.1

Först till 100

1.2

Resultatbudget

1.3

Likviditetsbudget

1.4

Algebrakort

1.5

Koll på kapitlet 1

Prov E Kapitel 1

1 E-A

Prov E-A Kapitel 1

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

Innehåll

Kapitel 2 Rubrik Övningsblad

Aktiviteter

Prov

2.1

Linjära samband

2.2

Från ekvation till graf

2.3

Från graf till ekvation

2.4

Räta linjens ekvation

2.5

Parallella linjer och allmän form

2.6

Ekvationssystem, grafisk lösning

2.7

Ekvationslösning, algebraisk lösning

2.8

Ekvationssystem, tillämpningar

2.9

Repetitionsuppgifter Kapitel 2

2.1

Tårtljuset

2.2

Räta linjer till attack

2.3

Para ihop

2.4

En linjär modell

2.5

Problemlösning: Räta linjer

2.6

Lungkapacitet

2.7

Gruppuppgift: Ekvationssystem

2.8

Problemlösning: Linjära ekvationssystem

2.9

Nollpunktsanalys

2.10

Klasskamp

2.11

Koll på kapitlet 2

Prov E Kapitel 2

2 E-A

Prov E-A Kapitel 2

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

Innehåll

Kapitel 3 Rubrik Övningsblad

Aktiviteter

Prov

3.1

Funktionsbegreppet

3.2

Exponentialfunktioner

3.3

Grafen till en andragradsfunktion

3.4

Mer om grafen till en andragradsfunktion

3.5

Potenser och potenslagar

3.6

Fler potenslagar

3.7

Potenser med rationella exponenter

3.8

Blandat om potenser

3.9

Potensekvationer och potensfunktioner

3.10

Repetitionsuppgifter Kapitel 3

3.1

Gissa regeln

3.2

Grafen till en andragradsfunktion

3.3

Maximera din vinst

3.4

Koll på kapitlet 3

Prov E Kapitel 3

3 E-A

Prov E-A Kapitel 3

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

Innehåll

Kapitel 4 Rubrik Övningsblad

Aktiviteter

Prov

4.1

Lägesmått

4.2

Spridningsmått och lådagram

4.3

Normalfördelning

4.4

Repetitionsuppgifter Kapitel 4

4.1

Tärningskast

4.2

Lika lön

4.3

Poppa popcorn

4.4

Klassens längd

4.5

Koll på kapitlet 4

Prov E Kapitel 4

4 E-A

Prov E-A Kapitel 4

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

Innehåll

Kapitel 5 Rubrik Övningsblad

Aktiviteter

Prov

5.1

Pythagoras sats och avståndsformeln

5.2

Symmetri

5.3

Trigonometri

5.4

Vektorer

5.5

Vektorer i koordinatform

5.6

Repetitionsuppgifter Kapitel 5

5.1

Sant eller falskt?

5.2

Klippa mönster med symmetri

5.3

Pussla Pythagoras

5.4

Astronomi och trigonometri

5.5

Koll på kapitlet 5

Prov E Kapitel 5

5 E-A

Prov E-A Kapitel 5

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

Övningsblad 1:15

Faktorisering som lösningsmetod Lös andragradsekvationerna med nollprodukt metoden.

1 (x − 1)(x + 4) = 0 Om en produkt är lika med noll, måste någon av faktorerna vara noll

x − 1 = 0 ger x1 = 1 x + 4 = 0 ger x2 = −4

6 x2 − 17x = 0

x(x − 17) = 0 x1 = 0 eller x − 17 = 0 x2 = 17

7 y2 + 4,5y = 0 2 x(x − 6) = 0

8 2x2 + 10x = 0 3 (x − 7)(x − 8) = 0

9 6x − x2 = 0 4 (x − 2)(x + 6) = 0

5 2(5 + x)(x + 12) = 0

10 Ge exempel på en ekvation som har lösningarna x1 = 3 och x2 = −4.

11 Varför kan man inte lösa ekvationen (x – 2)(x + 4) = 1 med nollproduktmetoden?

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

Facit

Övningsblad 1:15

Faktorisering som lösningsmetod 1 x1 = 1 och x2 = −4

7 y1 = 0 och y2 = −4,5

2 x1 = 0 och x2 = 6

8 x1 = 0 och x2 = −5

3 x1 = 7 och x2 = 8

9 x1 = 0 och x2 = 6

4 x1 = 2 och x2 = −6

10 T.ex. (x − 3)(x + 4) = 0

5 x1 = −5 och x2 = −12

11 Eftersom högerledet inte är lika med 0.

6 x1 = 0 och x2 = 17

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

Övningsblad 2:3

Från graf till ekvation Bestäm linjernas ekvationer.

1 a)

5 4 3 2 1

b) 5 4 3 2 1

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5

1 2 3 4 5

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5

2 a)

x 1 2 3 4 5

5 4 3 2 1

b) 5 4 3 2 1

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5

1 2 3 4 5

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5

3 a)

x 1 2 3 4 5

5 4 3 2 1

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

b) 5 4 3 2 1

x 1 2 3 4 5

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5

x 1 2 3 4 5

Övningsblad 2:3

Från graf till ekvation 1 a) y = x + 2 b) y = 3x − 4

2 a) y = −x − 2 b) y = −2x + 3

3 a) y = 0,5x + 2,5 b) y = 2

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

Facit

Övningsblad 4:2

Spridningsmått och lådagram 1 I en stad mätte man halten av marknära ozon vid samma klockslag varje dag i en månad. Man redovisade resultaten i ett lådagram. µg/m3 106 108 110 112 114 116 118 120 122 124 126

a) Vilken var den högsta halten av ozon som uppmättes?

4 a) Rita ett lådagram som uppfyller att  minsta värdet är 10  variationsbredden är 40  medianen är 35  nedre kvartilen är 20  kvartilavståndet är 20

b) Bestäm medianen. c) Bestäm variationsbredden. d) Hur stor andel av mätningarna låg mellan 111 µg/m3 och 120 µg/m3?

b) Om lådagrammet bygger på 200 observa tioner, ungefär hur många av dem är då större än 40?

5 Du får följande mätvärden: 12, 15, 22, 17, 9, 13, 17, 8, 20 och 19. Använd ett digitalt verktyg och bestäm standard avvikelsen om mätvärdena kommer från

2 I rutan ser du sex statistiska begrepp. Typvärde Variationsbredd Kvartilavstånd Medelvärde Median Standardavvikelse

a) Vilka tre av de sex begreppen är lägesmått? b) Vilka tre av de sex begreppen är spridningsmått? c) Vilket av de tre spridningsmåtten anger spridningen kring medelvärdet?

3 Ett sjukhus har fört statistik över längden av nyfödda barn. I deras statistik är p90 = 54 cm. Vad betyder det?

a) en totalundersökning ________________ b) ett stickprov _______________________

6 Ett transportföretag undersökte körtiden för två olika rutter mellan plats A och plats B. De gjorde mätningarna vid olika tider på dygnet. Här nedanför kan du se körtiderna i minuter: Rutt 1

Rutt 2

a) Beräkna den genomsnittliga körtiden för de båda rutterna. b) Beräkna standardavvikelsen för körtiderna för de båda rutterna. c) Förklara vad det betyder att standard avvikelsen för rutt 1 är lägre än för rutt 2. d) För företaget är det viktigt att veta ungefär hur lång tid som körningen tar, oavsett tid på dygnet. Vilken rutt ska de då välja?

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

Facit

Övningsblad 4:2

Spridningsmått och lådagram 1 a) 123 µg/m3

5 a) σ ≈ 4,4

b) 118 µg/m3

b) s ≈ 4,7

c) 16 µg/m3 d) 50 %

2 a) Medelvärde, median och typvärde b) Variationsbredd, kvartilavstånd och standardavvikelse c) Standardavvikelse

3 Det betyder att 90 % av de nyfödda barnen är kortare än 54 cm. (Alternativ: 10 % av de nyfödda barnen är längre än 54 cm.)

4 a) 10 15 20 25 30 35 40 45 50

b) 50 stycken

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

6 a) Medelvärdet för rutt 1 = medelvärdet för rutt 2 ≈ 25 minuter b) Standardavvikelse för rutt 1: s ≈ 2,0 Standardavvikelse för rutt 2: s ≈ 9,2 c) Att standardavvikelsen är lägre för rutt 1 betyder att körtiderna för rutt 1 är mer samlade kring medelvärdet. Man kan säga att spridningen av körtiderna för rutt 1 är lägre. d) De ska välja rutt 1 eftersom körtiderna är väl samlade kring medelvärdet 25 minuter (standardavvikelsen är lägre), medan körtiderna för rutt 2 är mer spridda: ibland tar det 14 minuter, ibland tar det 40 (standardavvikelsen är högre).

Övningsblad 5:6

Repetitionsuppgifter kapitel 5 SIDA 1 AV 3

1 Hur lång är sidan a?

(cm) 27

Funktionsuttrycket y = x2 – 4x + 3 kan skrivas y = (x – 1)(x – 3). a) Ange funktionens symmetrilinje. b) Linus skapar ett translationssymmetriskt mönster genom att förflytta funktionens graf i höjdled. Ange de nya funktionsuttrycken.

2 Lina ska bygga en altan längs med kortsidan av sin sommarstuga. För att vara säker på att hon bygger altanen i rät vinkel mot huset, mäter hon sträckorna i figuren. Är det rät vinkel mellan huset och det som ska bli altanens kant?

y y = x2 – 4x + 3

x 1

4,8 2,0

(m)

5,2

3 Beräkna avståndet mellan punkterna med koordinaterna (6, 9) och (1, 5). 4

Skriv ekvationen för linjen man får då man speglar linjen y = x – 2 i x-axeln.

I en triangel med vinkeln 37° är kateterna ungefär 6,0 cm och 8,0 cm långa.

Vilka typer av symmetri ser du i bilderna? Motivera ditt svar. a)

(cm) 6,0

G G G G G

37°

8,0

a) Uppskatta värdet av tan 37° med hjälp av triangelns sidlängder.

b) Beräkna värdet av tan 37° med hjälp av räknarens TAN-funktion.

Hur många symmetrilinjer kan man dra genom figurerna? a)

Beräkna flodens bredd. 90 m 32° x

b) Romb

Beräkna längden av sidan markerad med x. 14

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

20°

(cm) x

Övningsblad 5:6

Repetitionsuppgifter kapitel 5 SIDA 2 AV 3

Beräkna längden av hypotenusan i triangeln.

Rita resultanten av vektorerna __›

__›

__ ›

a) a1 och a 2 

(cm)

b) a1 och a 3 

8,0

__›

3  a

a 1 

50°

__›

a 2  (cm)

Beräkna vinkeln v. 10

__ __ › ›

18 __ Rita resultanten v 1 + v 2  av vektorerna __› › v1  och v 2 .

v 6

__›

v 2 

Beräkna triangelns area.

__›

v 1 

(cm) 3,7 62°

__›

5,2

I figuren ser du vektorn V  . y

Triangeln har arean 50 cm2. Hur stor är den spetsiga vinkeln markerad med v?

__›

(cm)

x 1

v 20

a) Läs av längden av de vinkelräta komposan-

__ ›

__›

Vilka pilar visar samma vektor? __›

b) Beräkna |V |

__›

v 1 

v 2 

__ ›

terna V x och V y 

__›

v 3  __›

v 5 

__›

v 4 

__ ›

Hur stor är vinkeln v mellan vektorn V  och den vågräta axeln? y

__ ›

Kraften F  i bilden är 28 N. Hur stor är __ › 1 kraften F 2 ?

__›

V  1

v 1

F 1› = 28 N __›

F 2 

Övningsblad 5:6

Repetitionsuppgifter kapitel 5 SIDA 3 AV 3

_ ›

Skriv vektorerna u  och v  i koordinatform. y

Beräkna _resultanten när man adderar › _› vektorerna u  och v  . Svara i koordinatform. y

_›

x _›

v  1

__ ›

Beräkna längden av vektorn w  = (3, –1). Svara exakt.

_›

u  1

x 1

Aktivitet 1:3

Likviditetsbudget Lotta äger ett hunddagis. För att se till att hon kan täcka kostnaderna varje månad vill hon upprätta en likviditetsbudget. Hon har sammanställt föl jande information: u Ingående likvida medel i början av april är 12 000 kronor. u Just nu finns 25 hundar på hunddagiset vars ägare betalar 3 000 kronor

per månad. u Hyran är 8 000 kronor per månad. u Lönekostnaderna är på 42 000 kronor per månad. Till detta kommer

sociala avgifter på 35 %. u Övriga kostnader uppskattas till 30 000 för det andra kvartalet, förde

lade jämnt under perioden. Lotta har ett lån på 100 000 kronor. Räntan är 8,4 % och betalas sista månaden i varje kvartal. Lånet är amorteringsfritt. 1 Gör en likviditetsbudget månadsvis för det andra kvartalet. 2 Lotta funderar på att sätta in en reklamannons i tidningen i maj. Det kostar 12 000 kronor. Har hon råd med annonsen?

Aktivitet 1:3

Lärarhandledning

Likviditetsbudget Syfte och centralt innehåll I den här aktiviteten får eleverna öva på att göra en likviditetsbudget. Syftet är att träna procentbe räkningar och förståelsen av ekonomiska begrepp. Om aktiviteten genomförs med dator får eleverna även träna på att hantera formler i kalkylprogram.

Att lyfta fram Diskutera gärna begreppet likviditet. Det kan vara nytt för många elever. Vad är skillnaden mellan ett företags resultat och dess likviditet? Varför kan det vara viktigt för ett företag att göra en likvidi tetsbudget?

Materiel Aktivitetsblad Likviditetsbudget, eventuellt dator med kalkylprogram.

Utvidgning och variation Aktiviteten kan utvidgas genom att låta eleverna undersöka vad som händer med resultatet om förutsättningarna ändras.

Genomförande Aktiviteten kan genomföras enskilt eller i par. Om eleverna arbetar med dator kan det vara lämpligt att repetera hur man genomför enklare beräk ningar i kalkylblad.

april i stället är 15 000 kr? u Hur många hundar behöver gå på dagiset för

att Lotta ska ha råd med reklamannonsen? u Lotta hoppas hyra ut hunddagiset till en hund

Lösning 1

u Vad händer om de likvida medlen i början av

Likviditetsbudget

April

Maj

Juni

Ingående likvida medel

12 000

12 300

12 600

Dagisavgifter

75 000

Summa inbetalningar

75 000

Hyra

8 000

Löner

57 600

Ränta

2 100

Övrigt

10 000

Summa utbetalningar

74 700

76 800

Utgående likvida medel

12 300

12 600

10 800

Inbetalningar

Utbetalningar

2 Om Lotta köper annonsen för 12 000 kronor klarar hon visserligen betalningarna för maj månad, men i juni kommer det att saknas 1 200 kronor. Svar: Nej, Lotta har inte råd.

klubb på helgerna för 5 000 kr per månad. Hur ska detta bokföras? Ett annat sätt att utvidga aktiviteten är att låta eleverna göra en likviditetsbudget som är relevant för just deras yrkesprogram. Bjud gärna in en yrkeslärare som kan vara med och svara på frågor.

Aktivitet 3:1

Gissa regeln Om vi matar in ett tal i den här maskinen, skriver den ut ett annat tal enligt en hemlig regel.

Matar vi in talet –2 skriver maskinen ut –4. Matar vi in talet 1 skriver maskinen ut talet 2, och matar vi in 13 får vi resultatet 26. Maskinens regel verkar vara att dubblera alla tal vi matar in.

–2

–4

u Det går att programmera maskinen så att den använder andra regler.

Vilken regel använder maskinen när den ger följande tabell? In (x)

Ut (y)

In (x)

Ut (y)

In (x)

100

In (x)

regel

Ut (y)

u Arbeta två och två. Hitta på en egen regel. Skriv ner några olika värden

på x och beräkna de värden på y som regeln ger. Kan din kompis gissa din regel? Byt roller.

Aktivitet 5:1

Sant eller falskt? I den här aktiviteten får du ta ställning till olika påståenden och argumentera för din slutsats. u Arbeta två och två eller tre och tre. Dela upp de sex påståendena mellan er. u Ge var och en tid att fundera på sina tilldelade påståenden. Är de sanna

eller falska? Förbered er på att argumentera för era slutsatser för era kamrater. 1 Män är bättre än kvinnor på att laga mat. 2 Triangeln i figuren är rätvinklig. 50° 135°

3 Om a och b är tal, så är (a + b)3 = a3 + b3. 4 Om summan av två tal är udda, så måste ett av talen vara jämnt. 5 Om man går ut utan mössa när det är minusgrader ute blir man förkyld. 6 Man kan rita en triangel med sidlängderna 10 cm, 15 cm och 26 cm. u Turas om att läsa påståendena högt och argumentera för er slutsats.

Lyckades ni övertyga varandra? u Några av påståendena är matematiska och några är av mer vardaglig

karaktär. Är det någon skillnad på hur ni argumenterar i vardagliga och matematiska sammanhang?

Aktivitet 5:1

Lärarhandledning

Sant eller falskt? SIDA 1 AV 2

Syfte och centralt innehåll I den här aktiviteten får eleverna öva på att argumentera matematiskt och samtidigt reflektera kring skillnaden mellan matematiska och vardagliga resonemang. Aktiviteten passar bra som inledning till kapitel 5 eller i samband med en lektion om matematiska resonemang och bevis.

3 Om a och b är tal, så är (a + b)3 = a3 + b3.

Materiel Aktivitetsbladet Sant eller falskt?

Alternativ 1: Båda talen är jämna.

Genomförande Gå igenom instruktionen gemensamt och dela därefter in klassen i grupper om 2–3 elever. Ge eleverna tid att fundera på sina påståenden och argumentera för sina ståndpunkter. Sammanfatta aktiviteten i helklass genom att låta några elever dela med sig av hur de har argumenterat. Diskutera skillnaden mellan vardaglig och matematisk argumentation.

Alternativ 3: Ett av talen är jämnt och ett av talen är udda.

Lösningsförslag 1 Män är bättre än kvinnor på att laga mat.

Oklart. Man kan inte säga att alla män är bättre än alla kvinnor på att laga mat. Däremot har majoriteten av Sveriges kocklandslag genom tiderna varit män. Det skulle kunna tala för att påståendet är sant, men det kan man inte säga med säkerhet. Det skulle t.ex. kunna vara en effekt av att män är mer intresserade av att laga mat än kvinnor. 2 Triangeln i figuren är rätvinklig. 50° u

135°

Falskt. Yttervinkeln 135° och vinkeln v bildar tillsammans en rak vinkel. Det ger

Falskt. Låt t.ex. a = 1 och b = 2. Då är VL = (1 + 2)3 = 33 = 27, medan HL = 13 + 23 = 9. Det visar att påståendet är falskt. 4 Om summan av två tal är udda, så måste ett av talen vara jämnt.

Sant. För två heltal finns tre alternativ: Alternativ 2: Båda talen är udda.

Alternativ 3 är det enda alternativet där summan av talen är udda. Om summan av talen är udda, kan vi därför vara säkra på att precis ett av talen är jämnt. 5 Om man går ut utan mössa när det är minusgrader ute blir man förkyld.

Falskt. För att falsifiera påståendet räcker det med ett motexempel, dvs. att någon har erfarenhet av att ha varit ute utan mössa när det varit minusgrader ute utan att bli förkyld. Man kan också motivera att påståendet är falskt genom att förklara att en förkylning orsakas av bakterier eller virus och inte av kyla. 6 Man kan rita en triangel med sidlängderna 10 cm, 15 cm och 26 cm.

Falskt. Tänk dig en triangel där två av sidorna är 10 cm och 15 cm. Längden av den tredje sidan kommer att bero av vinkeln mellan de två andra sidorna. Ju närmare vinkeln kommer 180°, desto längre blir den tredje sidan. Som störst kan vinkeln bli 180° (i vilket fall vi får en urartad triangel). Då antar längden av den tredje sidan sitt största värde 10 cm + 15 cm = 25 cm. Det betyder i sin tur att det inte existerar en triangel där den tredje sidan är 26 cm.

v + 135° = 180° v = 45°

10 cm

157° 15 cm

Vinkelsumman i en triangel ger 180°

50° + 45° + u = 180° u = 85° Eftersom ingen av vinklarna i triangeln är 90°, så är triangeln inte rätvinklig.

10 cm

15 cm

Aktivitet 5:1

Lärarhandledning

Sant eller falskt? SIDA 2 AV 2

Att lyfta fram Ett av syftena med den här aktiviteten är att eleverna ska få syn på skillnaden mellan matematisk och vardaglig argumentation. Lyft gärna fram den skillnaden genom att förklara att vi i matematiken kräver formella bevis för att avgöra om ett påstående är sant eller falskt, medan vi i vardagen nöjer oss med mer informella resonemang.

Utvidgning och variation Aktiviteten kan utvidgas med fler påståenden. Välj gärna påståenden som repeterar innehåll från tidigare moment i kursen, till exempel

Betona också att det räcker med ett enda motexempel för att motivera att ett påstående är falskt (jfr påstående 3), medan det i regel krävs ett längre resonemang för att bevisa att ett påstående är sant.

3 4 1 1    ). punkten ( __ , __ 4 3 Blanda gärna in vardagliga påståenden för att kunna kontrastera vardaglig och matematisk argumentation.

Om du vill kan du nämna att resultatet i påstående 6 är ett exempel på den så kallade triangel olikheten, som säger att en sida i en triangel alltid är mindre än eller lika med summan av de två övriga sidorna.

u Funktionen f(x) = x2 + 4x + 5 saknar nollställen. u En potensekvation har alltid precis en lösning.

__x  + __  1  går genom

u Den räta linjen y =

u Det är möjligt att hoppa 3 meter i höjdhopp. u Om man badar direkt efter maten, så får man

kramp.