matematik
Kerstin Olofsson Verner Gerholm
1a
Lärarguide
matematik
Kerstin Olofsson Verner Gerholm
1a
Lärarguide SANOMA UTBILDNING
SANOMA UTBILDNING Postadress: Box 38013, 100 64 Stockholm Besöksadress: Rosenlundsgatan 54, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order /Läromedelsinformation Telefon 08-587 642 10
Redaktion: Emelie Reuterswärd Grafisk form: Typoform, Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform, Karin Olofsson Illustrationer: Typoform, Karin Olofsson och Jakob Robertsson. Bildredaktör: Emelie Reuterswärd Grafisk produktion av lösningar: Monica Schmidt, Exakta AB
Matematik Origo 1a Lärarguide ISBN 978-91-523-6191-7 © 2021 Kerstin Olofsson, Verner Gerholm, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Daniel Dufåker och Sanoma Utbildning AB, Stockholm Andra upplagan Första tryckningen
Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Copyright Access, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus Copyright Access. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.
Tryck: Livonia Print, Lettland 2022
Välkommen! ”Teaching is not a science; it is an art. If teaching was a science there would be a best way of teaching and everyone would have to teach like that. Since teaching is not a science, there is great latitude and much possibility for p ersonal differences.” g. polya Lärarguiden är skriven för att göra det lätt för dig att använda Matematik Origo. Här har vi fört samman tips, idéer och inspiration till din undervisning. Bland mycket annat hittar du här extra exempel, förslag på arbetsuppgifter och didaktiska kommentarer. Vi har valt att sortera innehållet i Lärarguiden kring varje uppslag i elevboken, så att du snabbt och enkelt hittar relevanta kommen tarer och användbara arbetsuppgifter. Längst bak i Lärarguiden hittar du dessutom lösningar till uppgifterna på Nivå 3 i elevboken. Vi tror att all undervisning måste anpassas till de förutsättningar som varje situation och varje möte med en elev medför. I Lärarguiden hittar du därför tips på hur du kan utmana dina mest intresserade elever i form av t.ex. problem lösningsuppgifter och fördjupningar, men också kommentarer kring vad som kan vara vanliga missuppfattningar och hur du kan möta de elever som tycker att matematik är svårt. Dessutom hittar du lektionsaktiviteter som involverar hela klassen och diskussionsfrågor som inbjuder till samtal i klassrummet. Vår för hoppning är att Lärarguiden ska vara ett hjälpmedel för att utveckla alla elevers matematiska förmågor. Eftersom varje lärandesituation är unik är det naturligtvis svårt att försöka skapa exakta anvisningar för hur matematikundervisningen ska utformas på bästa sätt. I Lärarguiden finns därför inga regler för hur du ska genomföra din undervis ning, men däremot mängder med tankar och idéer som förhoppningsvis gör din undervisning med Matematik Origo effektivare, roligare och mer varierad. Lycka till med din undervisning! Författarna
Innehåll Inledning
V
6 Funktioner
204
6.1 Grafer och koordinatsystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
1 Matematik i vardag och yrkesliv
6.2 Linjära funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 6
1.1 Matematik i vardag och yrkesliv. . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Uppslaget, Samhälle och yrkesliv, Koll på kapitlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Tal i vardag och yrkesliv
6.3 Exponentialfunktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Uppslaget, Samhälle och yrkesliv, Koll på kapitlet, Blandade uppgifter, Kapiteltest.. 247
7 Statistik
260
22
7.1 Statistiska undersökningar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
2.1 Positionssystemet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7.2 Tolka och granska statistik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
2.2 Bråk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.3 Statistiska samband. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Uppslaget, Samhälle och yrkesliv, Koll på kapitlet, Blandade uppgifter, Kapiteltest.. 288
2.3 Potenser och prefix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Uppslaget, Samhälle och yrkesliv, Koll på kapitlet, Blandade uppgifter, Kapiteltest. . . . 52
3 Algebra
8 Geometri
300
64
8.1 Omkrets, area och volym. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
3.1 Formler, uttryck och mönster. . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.2 Vinklar, likformighet och symmetri. . . . . . . . . . . 318
3.2 Arbeta med uttryck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.3 Rätvinkliga trianglar och trigonometri. . . . . . . 334
3.3 Ekvationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Uppslaget, Samhälle och yrkesliv, Koll på kapitlet, Blandade uppgifter, Kapiteltest. . . 113
8.4 Vektorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 Uppslaget, Samhälle och yrkesliv, Koll på kapitlet, Blandade uppgifter, Kapiteltest. . . 358
4 Procent
124
4.1 Procent och procentberäkningar.. . . . . . . . . . . . . 126 4.2 Procentuella förändringar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.3 Procentberäkningar i samhället. . . . . . . . . . . . . . . 143 Uppslaget, Samhälle och yrkesliv, Koll på kapitlet, Blandade uppgifter, Kapiteltest. . . 162
5 Sannolikhetslära
172
5.1 Enkla slumpförsök. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.2 Slumpförsök i flera steg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Uppslaget, Samhälle och yrkesliv, Koll på kapitlet, Blandade uppgifter, Kapiteltest. . . 195
Lösningar
370
Ämnesplan – matematik
385
Litteraturlista
388
Register
389
Inledning
Matematik Origo 1a Matematik Origo är en serie matematikböcker för gymnasiet som gör det lätt att arbeta med problemlösning, resonemang och förståelse. Till Matematik Origo 1a hör en elevbok, en Lärarguide och kopieringsmaterialet Prov, Övningsblad och Aktiviteter. De olika komponenterna ger möjlighet att planera, variera och genomföra undervisningen utifrån elevernas behov.
Elevboken består av åtta kapitel och lyfter särskilt fram matema tikens relevans. Här finns tydliga genomgångar på ett lättillgängligt språk och varierade uppgifts typer på tre nivåer.
matematik
Kerstin Olofsson Verner Gerholm
1a
Lärarguiden följer elevboken uppslag för uppslag med tips, idéer och inspiration till din undervisning.
matematik
Kerstin Olofsson Verner Gerholm
1a
Lärarguide Prov, Övningsblad och Aktiviteter är ett kopieringsmaterial med prov, övningsblad och aktiviteter till varje kapitel i elevbo ken. Materialet säljs som nedladdningsbara pdf:er.
matematik
Kerstin Olofsson Verner Gerholm
1a
Prov, övningsblad och aktiviteter
LÄRARGUIDE MATEMATIK ORIGO 1A u INLEDNING
V
i
Algebra
3
Algebra
3
Algebrans framskjutna ställning inom matematiken är obestridlig. I vardagslivet och yrkeslivet är algebrans roll också betydelsefull, även om den kanske inte är lika tydlig. Elever som läser matematik- eller teknikintensiva program, till exempel El och energi, Industriteknik eller VVS och fastighet, kommer att möta formler i sina yrkesämnen. Även inom privatekonomi finns användbara formler, till exempel för att beräkna sin lön efter skatt eller sin semesterersättning. Egenföretagare inom alla yrkesgrupper kan både effektivisera och underlätta sitt arbete genom att använda formler i kalkylprogram.
När du är klar med kapitlet ska du kunna uu ge exempel på begreppen variabel,
konstantterm och koefficient
uu beräkna värdet av ett algebraiskt
uttryck
uu använda formler uu tolka uttryck och formler uu beskriva ett mönster med ord eller
med en formel
Inom matematiken är algebran ett viktigt redskap för att bevisa matematiska samband och skapa matematiska modeller. Att lära sig algebrans grunder är ett stort steg mot att förstå matematikens uppbyggnad och struktur.
uu skapa och använda formler i
kalkylprogram
uu förenkla algebraiska uttryck genom att
räkna ihop termer av samma sort
uu förenkla algebraiska uttryck med
parenteser
uu faktorisera algebraiska uttryck uu pröva om en lösning till en ekvation är
Kommentarer till kapitlets innehåll I det första delkapitlet 3.1 Formler, uttryck och mönster får eleverna börja med att tolka och ställa upp enkla uttryck och formler samt beräkna värdet av dem. Exemplen är såväl inom-matematiska som tagna från vardags- och yrkesliv. Därefter har vi valt att behandla talföljder och mönster eftersom det är en bra träning i att se mönster, formalisera dessa och upptäcka något av matematikens generaliserbarhet. Sist i delkapitlet får eleverna se hur ett kalkylprogram använder formler för att effektivt utföra beräkningar. I delkapitel 3.2 Arbeta med uttryck börjar vi med att behandla förenklingar av algebraiska uttryck. Vi förklarar sedan vad som menas med uttryck av andra graden och visar hur man multiplicerar uttryck. Avslutningsvis går vi igenom hur man faktoriserar uttryck genom att bryta ut största möjliga faktor. Delkapitlet 3.3 Ekvationer fokuserar inledningsvis på likhetstecknet och begreppet ekvation. I samband med det introducerar vi övertäckningsmetoden. Därefter behandlar vi den klassiska balansmetoden för lösning av ekvationer och visar hur man kan använda ekvationer vid problemlösning. Sist i kapitlet finns ett avsnitt om att lösa ut variabler ur formler, vilket kan vara nyttig kunskap för vissa program.
64
korrekt
uu lösa ekvationer av första graden uu använda ekvationer vid problemlösning
64
Centralt innehåll uu Hantering
av formler som är relevanta för karaktärsämnen och yrkesliv.
uu Hantering
av algebraiska uttryck, inklusive att faktorisera och multiplicera uttryck.
uu Metoder
för att lösa linjära ekvationer.
uu Användning
av digitala verktyg för att effektivisera beräkningar och komplettera metoder, till exempel vid ekvationslösning.
uu Problemlösning
som omfattar att upptäcka och uttrycka generella samband.
Algebrakapplöpning Arbeta två och två eller tre och tre. Ni behöver två spelpjäser per spelare och två tärningar i olika färger, t.ex. en röd och en vit tärning. uu Den första spelaren slår båda tärningarna. uu Värdet på den röda tärningen kallar vi för r och värdet på
den vita tärningen kallar vi för v.
uu I alla rutor utom i hörnen står algebraiska uttryck. Spelaren
ska flytta sin pjäs lika många steg som värdet av uttrycket visar. – Om uttryckets värde är negativt backar pjäsen. – Om pjäsen hamnar på någon av rutorna i hörnen måste den pjäsen flyttas tillbaka till Start.
uu I varje spelomgång flyttar spelaren en av sina pjäser.
Spelaren väljer själv vilken pjäs som ska flyttas.
uu Den spelare som först får båda pjäserna i mål vinner. START/MÅL
2r – v
r + v 2(r – 1) v + 1
–2v
r+2
r r –+– 2 2
2r – 3v
4–v
5+v
v–1
6–r
3r – 10
2 + (r –3)
10 – v – r
5 – (v + r) r
(r – v) 3(v – r) 2
–r
r –v 2
2
Algebrakapplöpning Aktiviteten Algebrakapplöpning är en klassisk övning som på ett lekfullt sätt tränar eleverna i att beräkna värdet av ett uttryck. Eleverna behöver två spelpjäser vardera, till exempel färgade gem eller lappar, och två tärningar i olika färger. Har man inte tärningar i olika färger, kan eleverna slå vardera tärningen på ett rött respektive ett vitt papper. För att eleverna ska förstå hur spelet går till kan man inleda med att varje elev bara har en spelpjäs. I kopieringsmaterialet Prov, Övningsblad och Aktiviteter kan du skriva ut spelplanen i A3. Där hittar du också alternativa spelplaner, som spelas med en respektive tre tärningar. Det gör att du enkelt kan variera spelets svårighetsgrad.
Aktivitet ■■ Algebrakapplöpning 1 ■■ Algebrakapplöpning 2 ■■ Algebrakapplöpning 3 65
65
3
3.1
Formler och uttryck
3.1 Formler, uttryck och mönster
Vi har valt att inleda kapitlet med ett avsnitt om formler och uttryck, eftersom formler är ett så tydligt exempel på vad algebra kan användas till. Ett av de viktigaste begreppen i avsnittet är variabel. Variabler utgör en byggsten i uttryck, formler och funktioner. Det kan vara svårt för elever att förstå vad en variabel är, eftersom bokstäver i matematiken används i flera olika betydelser. Bokstäver kan till exempel beteckna tal vars värden kan variera, som i uttrycket 2x + 3y, representera ett obekant tal som i ekvationen 2a = 3 eller vara ett prefix och en enhet som i 5 cm.
3
Även om du sällan tänker på det, används formler och uttryck både till vardags och i yrkeslivet. Vågen i livsmedelsaffären använder en formel för att beräkna rätt pris, en sjuksköterska använder formler för att beräkna mängden medicin som en patient behöver och en hantverkare kan ta hjälp av ett uttryck för att beräkna vad arbetet kommer att kosta för kunden.
Formler och uttryck
3
Formel
Josef är hovslagare. Vid kundbesök tar han 1 050 kronor i grundavgift och dessutom 470 kronor för varje påbörjad timme. Han beräknar kostnaden för kunden i ett datorprogram där han har skrivit in formeln K = 1 050 + 470x
3 timmars arbete ger K = 1 050 + 470 · 3 = 2 460 kr
På sidan 66 i elevboken presenterar vi begreppen variabelterm, konstantterm och koefficient. Det är en smaksak hur mycket man väljer att gå in på denna terminologi, men begreppen gör det lätt att tala om de formler och uttryck som eleverna möter.
5 timmars arbete ger K = 1 050 + 470 · 5 = 3 400 kr 10 timmars arbete ger K = 1 050 + 470 · 10 = 5 750 kr Variabel
Vi ser att kostnaden K och antalet timmar x varierar. Därför kallar man x och K för variabler. Koefficient
Efter att ha arbetat med avsnittet ska eleverna kunna
K = 1 050 + 470x
uu beräkna
Konstantterm
värdet av uttryck och formler Algebraiskt uttryck
Exempel Noel arbetar på ett tryckeri. Han ska lämna en offert till en kund som vill trycka reklambroschyrer. Han använder formeln
470x = 470 ∙ x
I formeln är K kostnaden i kronor och x är antalet arbetstimmar. Beroende på hur många timmar Josef arbetar får kunden betala olika mycket.
Variabelterm
Vi kan också beskriva kostnaden med ett algebraiskt uttryck 1 050 + 470x En skillnad mellan ett uttryck och en formel är att en formel har ett likhetstecken. Ett sådant finns inte i ett uttryck.
66
ALGEBRA u 3.1 foRmLER, uttRycK och mönstER
K = 6 000 + 5x där K kr är kostnaden för att trycka x stycken broschyrer. a) Vad kostar det att trycka 2 000 broschyrer? b) Kommer priset att fördubblas om kunden beställer dubbelt så många broschyrer?
Lösning/Kommentar a) x = 2 000 ger K = 6 000 + 5 ∙ 2 000 = 6 000 + 10 000 = = 16 000 Svar: Att trycka 2 000 broschyrer kostar 16 000 kr.
b) Vi beräknar kostnaden om man beställer 4 000 broschyrer. K = 6 000 + 5 ∙ 4 000 = 26 000 26 000 kr är inte dubbelt så mycket som 16 000 kr. Svar: Kostnaden fördubblas inte.
Uppgiften visar en vanlig prismodell som förekommer inom företag och handel. Diskutera gärna med eleverna varför kostnaden inte blir dubbelt så stor när man trycker dubbelt så många broschyrer. Det beror på att sambandet inte är en proportionalitet, något som vi återkommer till i kapitel 6. Exemplet kan utvidgas genom att låta eleverna undersöka vad som händer med priset per broschyr när man beställer fler och fler broschyrer.
66
ALGEBRA u 3.1 formler, uttryck och mönster
Tips I teoritexten på sidan 66 i elevboken visar vi hur kostnaden K kr varierar med antalet timmar Josef arbetar. Ett sätt att anknyta till elevernas yrkesliv är att låta dem ställa upp egna formler som visar hur mycket de kan fakturera när de har arbetat x timmar, eller hur deras lön varierar med antalet timmar som de arbetar. Om det passar elevgruppen kan man bygga vidare på övningen genom att skapa formler som visar kostnaden inklusive respektive exklusive moms, eller lönen före och efter skatt.
Exempel Beräkna värdet av uttrycket 3b + 2h – 3 om a) b = 4 och h = 7 b) b = 0 och h = –5,5
Lösning/Kommentar a) Vi sätter in b = 4 och h = 7 i uttrycket och får 3 ∙ 4 + 2 ∙ 7 – 3 = 12 + 14 – 3 = 23 b) Vi sätter in b = 0 och h = –5,5 i uttrycket och får 3 ∙ 0 + 2 ∙ (–5,5) – 3 = 0 – 11 – 3 = –14
3.1 Exempel:
Starter
Beräkna värdet av uttrycket
Svar:
a) 7a + 5 om a = 4 b) 2a + b2 om a = –3 och b = –1 Lösning:
a) 5x betyder 5 multiplicerat med x och 5 + x betyder 5 adderat med x.
a) Vi sätter in a = 4 i uttrycket och får 7 · 4 + 5 = 33
I uttrycket 5x är 5:an en koefficient. I uttrycket 5 + x är 5:an en konstantterm.
b) Vi sätter in a = –3 och b = –1 i uttrycket och får 2 · (–3) + (–1)2 = –6 + 1 = –5
Exempel:
3
Amina ska ta körkort. På körskolans hemsida hittar hon formeln K = 4 100 + 800x. Den beskriver den totala kostnaden K kr för att ta körkort om man tar x stycken körlektioner. Beräkna den totala kostnaden för Aminas körkort om hon
b) inte tar några körlektioner a) Vi sätter in x = 15 i formeln K = 4 100 + 800x K = 4 100 + 800 · 15 = 16 100 Svar: Aminas körkort kostar 16 100 kronor om hon tar 15 körlektioner. b) Vi sätter in x = 0 i formeln. K = 4 100 + 800 · 0 = 4 100
I beloppet 4 100 kronor kan t.ex. kostnaden för teori- och riskutbildning ingå
Alternativ starter
Svar: Aminas körkort kostar 4 100 kronor om hon inte tar några körlektioner.
Starter Uttrycken 5x och 5 + x ser ganska lika ut. a) Vad är skillnaden mellan uttrycken? b) Vad är värdet av uttrycken om x = 4? c) Är värdet av 5x alltid större än värdet av 5 + x?
c) Nej, för x < 1,25 är 5x < x + 5 Startern utvecklar elevernas förståelse för variabelbegreppet. Det är viktigt att eleverna förstår att värdet på x kan variera, men att x representerar samma tal i båda uttrycken. En strategi för att lösa c)-uppgiften är att undersöka för vilket värde på x som uttrycken är lika.
a) tar 15 körlektioner
Lösning:
b) x = 4 ger 5x = 5 ∙ 4 = 20 och 5 + x = 5 + 4 = 9
Nivå 1
b) För vilket värde på y har uttrycken samma värde?
3101 Beräkna värdet av uttrycken om a = 4.
a) 7 + a a c) __ 2
b) 4a
y c) För vilka värden på y är __ större än y + 3? 4
d) 5 – 3a
3102 Vilka variabler innehåller uttrycket
Svar:
9a + 15b + 17?
ALGEBRA u 3.1 foRmLER, uttRycK och mönstER
3
y Titta på uttrycken __ och y + 3. 4 a) Beräkna värdet av uttrycken om y = 2.
67
y 2 a) Om y = 2, så är __ = __ = 0,5 och y + 3 = 2 + 3 = 5. 4 4 b) Uttrycken har samma värde för y = –4. Det kan eleverna finna genom att pröva sig fram eller genom y att ställa upp och lösa ekvationen __ = y + 3. 4 y c) När y är mindre än –4 så är __ större än y + 3. 4
Att tänka på En möjlig missuppfattning är att betrakta variabeln som representant för en siffra. En sådan missuppfattning kan resultera i att uttryck som 3a ges värdet 34 då a = 4. Elever som har denna missuppfattning kan vara hjälpta av att man i en övergångsperiod skriver ut multiplikationstecknet mellan faktorerna 3 och a. Det är dock viktigt att eleven inte fastnar i skrivsättet 3 · a, utan kommer vidare till att använda och tolka 3a på rätt sätt.
Tips Låt eleverna undersöka formlerna för reaktionssträcka och bromssträcka som vi presenterade på sidan 9 här i Lärarguiden.
ALGEBRA u 3.1 formler, uttryck och mönster
67
3.1 Kommentarer till uppgifterna
3103 Beräkna värdet av y i formeln y = 20x + 50
om
För en del elever kan det vara svårt att beräkna värdet av ett uttryck när variabeln är negativ eller 0. Det får eleverna träna på i 3103, 3108, 3111 och 3117.
b) x = 0
3
I förstoringsglasuppgiften 3115 behöver eleverna uppskatta avståndet och tiden det tar att köra bil från skolan hem till dem. Det är viktigt att eleverna uppmärksammar att tiden ska anges i timmar. Även uppgift 3114 b) är märkt med förstoringsglas, eftersom det finns flera svar. För att lösa förstoringsglasuppgiften 3116 behöver eleverna ta reda på att höjden av Mount Everest är 8 848 meter. Om eleverna får fel svar i uppgiften kan det bero på att de inte har uppmärksammat att höjden h ska anges i kilometer.
Resonemangsuppgift a + b = 25 Vad är värdet av 2a + 2b + 4?
Lösning/Kommentar 2a + 2b + 4 = a + a + b + b + 4 = (a + b) + (a + b) + 4 = = 25 + 25 + 4 = 54 Den här uppgiften gavs på TIMSS 2011 och löstes av 43,9 % av eleverna i årskurs 8. Uppgiften kräver att eleverna uppmärksammar uttryckets struktur och inser att 2a + 2b = 2(a + b).
68
ALGEBRA u 3.1 formler, uttryck och mönster
4
c) x = –0,5
(cm)
V = π ∙ 4 ∙ 2 ∙ 12
12
V = π ∙ 12 ∙ 12 ∙ 4 V = π ∙ 122 ∙ 4 V = π ∙ 4 ∙ 4 ∙ 12
V = π ∙ 42 ∙ 12
3104 Omkretsen av triangeln kan beräknas med
uttrycket 2x + 7. Hur stor är omkretsen om x = 12? (cm)
3
x
3108 Beräkna värdet av uttrycken om
x
a = –3 och b = 6. a) 2a + b
7
c) ab
3105 Vilka av alternativen i rutan är
a) formler
b) a – b b d) __ a
3109 Uttrycken 3 + a och 3a ser ganska lika ut.
a) Vad är skillnaden mellan dem?
b) algebraiska uttryck
b) Vad är värdet av uttrycken om a = 5? y = 2x – 3
2x – 3
U=R∙I
3a + 5b
3113 är en uppgift som anknyter till vardagslivet, men
är särskilt relevant för de elever som utbildar sig inom transport. Det är bra att känna till att bromssträckan fyrdubblas när hastigheten fördubblas. I uppgiften får eleverna visa detta med hjälp av ett räkneexempel. En utvidgning är att låta eleverna motivera tumregeln i b)-uppgiften mer generellt, till exempel genom att jämföra uttrycken om man sätter in v respektive 2v i formeln.
man beräkna volymen av en cylinder med radien r och höjden h. Vilka två beräkningar ger volymen av cylindern i figuren?
a) x = 1
Uppgift 3105 sätter fokus på skillnaden mellan formel och uttryck. Uppgifterna 3109 och 3112 liknar Startern och passar bra att genomföra två och två. Uttrycken ger exempel på de osynliga multiplikationstecken som en del elever har svårt för. Elever som snabbt blir klara kan uppmanas att ge ett mer precist svar i c)-uppgiften: För vilka värden på x är värdet av x2 större än värdet av 2x?
3107 Med hjälp av formeln V = π ∙ r2 ∙ h kan
3106 Kostnaden K kronor för att hyra en moped
i Thailand x dagar kan man beräkna med formeln K = 150 + 50x. a) Vad kostar det att hyra en moped i 3 dagar? b) Vad kostar det att hyra en moped i 3 veckor?
c) Är värdet av 3a alltid större än värdet av 3+a? 3110 Om man säljer a stycken produkter som 71nn
kostar p kronor styck, så kan man beräkna intäkten I kronor med formeln I=p∙a a) Beräkna intäkten om man säljer 1 500 produkter till priset 299 kronor per styck. b) Ge förslag på vilka värden a och p kan ha om I = 100 000 kronor.
Nivå 2 3111 Beräkna värdet av uttrycken för
a = 3 och b = –2.
68
a) a – b
b) 2a – 3b
c) ab + b2
d) 4a2 – ab
ALGEBRA u 3.1 foRmLER, uttRyck och mönstER
Att tänka på I många yrkesämnen skrivs formler med ord i stället för med variabler, till exempel intäkt = försäljningsvolym ∙ pris per styck massa = densitet ∙ volym midjemått (cm) mått på bukfetma = _____________ höftmått (cm) Diskutera gärna med eleverna vad som är vanligt i deras yrkesämnen, och vilka för- och nackdelar det finns med olika skrivsätt.
3.1 med formeln
a) Förklara vad som skiljer uttrycken åt.
c) Är värdet av av 2x?
där K är kostnaden i kronor, x är antalet kilometer och y är tiden i timmar. Vad skulle det kosta att åka taxi från skolan hem till dig?
alltid större än värdet
3113 Bromssträckan s meter för en personbil
med hastigheten v km/h är s = 0,005 ∙ v2
Nivå 3
a) Beräkna bromssträckan för en bil med hastigheten 50 km/h.
3116 Vattnets kokpunkt ändras med höjden över
havet. Den kan beräknas med formeln t = 100 ∙ 0,961h
b) En tumregel säger att om hastigheten fördubblas, så fyrdubblas bromssträckan. Undersök med ett räkneexempel om tumregeln stämmer.
där t är kokpunkten i grader Celsius och h är höjden över havet i kilometer. Äggula koagulerar vid temperaturen 70 grader. Är det möjligt att koka och servera ett hårdkokt ägg på toppen av Mount Everest?
3114 En gris som väger x kg ska enligt 71nn
Jordbruksverket ha ett utrymme som är minst y m2, där x y = 0,20 + ___ 84 a) Hur stort utrymme behöver en gris som väger 50 kg?
Det förekommer en mängd formler, både implicit och explicit, i elevernas yrkesämnen. En elev som läser fysik eller ellära kan stöta på formler som:
K = 45 + 11x + 500y
b) Vad är värdet av uttrycken om x = 3? x2
Yrkesmatematik – formler
3115 Kostnaden för att åka taxi kan beräknas 71nn
3112 Jämför uttrycken x2 och 2x.
x = –2, y = 1 och z = –3. a) x + 3xy –
W P = __ t P = U ∙ I
energi effekt = ______ tid effekt = spänning ∙ strömstyrka
En elev som studerar VVS och fastighet kan använda en formel för att beräkna transmissionsförluster: U = U-värde för byggnadsdelen, ∆T = inomhustemperatur minus utomhustemperatur
z2
b) 2xz + 5y – z3
b) En bonde har ett utrymme på 30 m2. Hur många grisar kan han ha där?
spänning = resistans ∙ strömstyrka
P = A ∙ U ∙ ∆T P = effekt, A = area på byggnadsdelen ,
3117 Beräkna värdet av uttrycken för 2
3
U = R ∙ I
c) 4xyz – xz2
och en elev som arbetar med motorer kan vara intresserad av motorns verkningsgrad: nyttiggjord energi verkningsgrad = η = _______________ tillförd energi En del formler innehåller fler variabler och är mer komplicerade än de formler som eleverna möter i matematiken. Med den här formeln kan eleverna exempelvis uppskatta det procentuella felet när de använder sig av ett mätverktyg: ___________________________________
2 + (metodfel)2 + (avläsningsfel)2 Felet = √ (mätarfel) ALGEBRA u 3.1 foRmLER, uttRyck och mönstER
Exituppgift Beräkna värdet av uttrycken om a = 4 och b = –3 a) 2a + 6
b) 5a + 2b
c) 4a – 2b
d) a2 – b2
Svar:
a) 14
b) 14
c) 22
d) 7
69
och i ellära förekommer formeln P IB = ___________ __ 3 ∙ U ∙ cos φ √ för att beräkna belastningsström. Men det är inte bara inom de tekniska yrkesprogrammen som eleverna använder formler. I uppgift 3114 möter eleverna en formel från Jordbruksverket som anger hur stort utrymme ett boskapsdjur ska ha. Även i kurser i företagsekonomi och entreprenörskap förekommer mängder av formler. marginal (kr) = = försäljningspris ex. moms – varukostnad marginal i kr marginal (%) = _____________________ försäljningspris ex. moms Låt eleverna ge exempel på formler som de använder i sina yrkesämnen eller be om exempel från elevernas yrkeslärare. Det är ett enkelt sätt att synliggöra hur matematiken används i elevernas yrkesämnen.
Övningsblad ■■ Värdet av uttryck
Aktivitet ■■ Dosera rätt
ALGEBRA u 3.1 formler, uttryck och mönster
69
3
3.1 Kommentarer till uppgifterna
Programanpassning 3371 Om du tjänar L kr i lön före skatt, så kan
Uppgift 3376 behandlar sambandet mellan andelen, delen och det hela. Det är en stor fördel om eleverna kan arbeta obehindrat med formeln inför nästa kapitel. I 3370, 3375 och 3377 ska eleverna lösa ut variabler från geometriska formler. Dessa uppgifter förbereder eleverna för geometrikapitlet. I 3377 behöver eleverna använda roten ur. För de elever som läser ellära är uppgiften 3278 troligtvis välkänd. Det kan vara värt att poängtera, även för andra elever, att ekvationerna används av yrkesverksamma elektriker och att vår egen säkerhet vilar på att ekvationerna löses på ett korrekt sätt.
beräknas med formeln
E = 0,7L
Lös ut variabeln h.
3372 Om vi kör bil med hastigheten v km/h i
t timmar, så kan sträckan s km beräknas med formeln
P
3
ÓÓ Sant, lösningarna är x1 = 9 och x2 = –9.
Fundera och förklara ÌÌ Eva har gjort rätt. Sofie adderar 6x i vänstra ledet samtidigt som hon subtraherar 6x i det högra ledet. Det gör att hon får fel svar. För att likheten ska gälla, måste hon göra samma räkneoperation i båda led.
Exituppgift Lös ut h ur formeln a) 3h + 5 = T πr2h b) V = ____ 3 Svar:
T–5 a) h = _____ 3
3V b) h = ___ 2 πr
Övningsblad ■■ Lösa ut ur formler
112
ALGEBRA u 3.3 ekvationer
a) Lös ut delen. b) Lös ut det hela.
s=v∙t
Nivå 3
a) Lös ut variabeln t.
3377 Arean A av en cirkel beräknas med formeln
b) Hur lång tid tar det att köra 20 mil med hastigheten 80 km/h?
Nivå 2
A = πr2 där r är cirkelns radie. Lös ut variabeln r. 1 1 1 3378 Formeln ___ = ___ + ___ ger den totala
3373 Lös ut variabeln inom parentes ur formlerna.
U a) R = __ I
(I)
c) W = mgh (h)
a) b(a + x) = 30 1 c) _____ = 2a x+1
Sant eller falskt ÓÓ Sant, x = –1 är en lösning till ekvationen. ÓÓ Falskt, x = 0 är en lösning till ekvationen.
delen det hela man arbetar med procent.
3376 Formeln andelen = _______ används när
b) Vad är din lön före skatt om E = 23 450 kr?
Svar till Resonemang och begrepp
ÓÓ Sant, x = 1 är en lösning till ekvationen.
V = πr2h
a) Lös ut L ur formeln.
3374 Lös ut x ur formeln.
3
3375 Volymen V av en cirkulär cylinder kan
lönen efter skatt E kr beräknas med formeln
s b) v = _ t
Rtot R1 R2 resistansen för kopplingen i figuren.
(t)
R1
d) v = v0 + at (a)
R2
1 1 b) __ = __ x y
a) Beräkna Rtot när R1 = 400 Ω och R2 = 700 Ω. b) Lös ut Rtot ur formeln.
Resonemang och begrepp Sant eller falskt
Avgör om påståendena är sanna eller falska. Ekvationen 2x + 8 = 3x + 9 har lösningen ÓÓ x = –1 x = 1 är en lösning till ekvationen ÓÓ 3x5 + 4 = x3 + 6 Ekvationen 3x + 7x = 9x saknar lösning. ÓÓ Ekvationen x2 = 81 har två lösningar. ÓÓ
112
ALGEBRA u 3.3 EkvAtionER
Fundera och förklara Sofie och Eva har löst ekvationen ÌÓ 30 – 6x = 9x. Har någon av dem gjort rätt? Sofie 30 – 6x = 9x
30 = 3x 10 = x
Eva 30 – 6x = 9x
30 = 15x 2=x
Samhälle & yrkesliv Samhälle & yrkesliv
Fibonaccis talföljd
Vi skriver några av talen i Fibonaccis talföljd:
Leonardo Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
Leonardo Fibonacci levde omkring år 1200. Han skötte uppdrag åt köpmän som bedrev handel med länderna runt Medelhavet. Under sina många resor kom han i kontakt med både arabiska och grekiska matematiker. I boken Liber abbaci, som utkom år 1202, sammanfattade han vad han hade lärt sig om aritmetik (räknekonst) och algebra. I den boken presenterade han också de siffror som vi använder i dag.
Vi ser att f10 = 55 och att f11 = 89.
Fibonaccis talföljd
Fibonaccis talföljd Fibonacci är mest känd för att han har gett namn åt en talföljd. Talföljden börjar med två ettor. Varje tal i följden är sedan summan av de två föregående talen.
Leonardo Fibonacci (1170–1250).
5 3 2 1 1 hanbi
3
&
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
Drönarnas stamtavla
honbi
Fibonaccis talföljd återfinns i många mönster i naturen. Ett exempel är hanbiets stamtavla. Ett hanbi kallas också för drönare. Drönaren föds ur ett obefruktat ägg och har alltså endast en förälder. Ett honbi däremot kommer från befruktade ägg, vilket innebär att ett honbi har två föräldrar. Detta gör att drönarens stamtavla växer precis som Fibonaccis talföljd.
C
B
Fibonaccis talföljd brukar ofta anges med en rekursiv formel där f1 = f2 = 1 fn = fn – 1 + fn – 2 för n ≥ 3 Men det finns även en sluten formel 1 – (f –__1)n fn = __________ fn√5 __
√5 – 1 där f = ______
Gyllene snittet A
Svar till Samhälle och yrkesliv
2
Om vi dividerar två på varandra följande tal i Fibonaccis talföljd, så får vi en ny talföljd:
Den slutna formeln kallas ofta Binets formel efter den franske matematikern Jacques Binet.
2 3 5 8 13 1 __ __ , , __, __, __, ___, … 1 1 2 3 5 8
I pärlbåtsnäckans spiraler ger förhållandet mellan diametrarna gyllene snittet: AB ___ ≈ 1,618. CB
?
Bestäm det 10:e och det 11:e talet i Fibonaccis talföljd.
3
&
Talen i talföljden kommer så småningom att närma sig __ √5 + 1 ______ ≈ 1,618 2 Talet 1,618 brukar kallas för det gyllene snittet. Det gyllene snittets proportioner förekommer i såväl naturen som i konst och arkitektur. ALGEBRA u SAMHÄLLE OCH YRKESLIV
113
ALGEBRA u SAMHÄLLE & YRKESLIV
113
Uppslaget Svar till Vem har rätt?
Uppslaget Vem har rätt?
1 Calle har löst ekvationen rätt. Agneta utför multiplikationen 5(2x – 8) felaktigt. Hon multiplicerar bara 5 med den första termen i parentesen, men inte med den andra. Därefter stämmer hennes lösning. Beata subtraherar 10 från högerledet och får 35, i stället för att addera 10 och få 55. 2 a) Robin ersätter bokstaven a med siffran 4, så att 3a blir 34. Han vet inte att 3a betyder 3 ∙ a. Ivan tror att a:na tar ut varandra, dvs. att 3a – a + 8 = 3 + 8. Han vet inte att 3a – a = 2a. b) a = 4 ger 3a – a + 8 = 2a + 8 = 2 ∙ 4 + 8 = 16
3
3 Almas och Toruns formler är rätt, men Bahrams formel är fel. Alma kan ha tänkt att den nedre raden består av n + 1 rutor och att kvadraten ovanpå består av n2 rutor. Torun kan ha tänkt att om man lägger till n rutor, så får man en kvadrat med sidan (n + 1) rutor. Antalet rutor är därför (n + 1)2 – n. Bahram kan ha tänkt att om man flyttar den övre kvadraten med rutor åt vänster, så får man en rektangel med sidorna n och (n + 1) och en ruta som sticker ut. Antalet rutor är därför n(n + 1) + 1, men Bahram har gjort fel och lagt till n rutor i stället för 1 ruta. Kommentar: Uppgift 3 kan utvidgas till att algebraiskt visa vilka uttryck som är ekvivalenta. En alternativ ingång till uppgift 3 är att låta eleverna själva finna en formel för antalet rutor i figur n. Den aktiviteten (Problemlösningsuppgift 3) finns i kopieringsmaterialet Prov, Övningsblad och Aktiviteter.
1 Tre personer har försökt lösa ekvationen 5(2x – 8) + 30 = 45
2 Robin och Ivan beräknar värdet av uttrycket 3a – a + 8 för a = 4. De gör på olika sätt. Robin: 34 – 4 + 8 = 38
Vem har löst ekvationen korrekt? Vilka fel har de andra gjort?
Ivan:
Agneta 10x – 8 + 30 = 45
a) Vilka fel har Robin och Ivan gjort?
10x + 22 = 45
b) Beräkna värdet av uttrycket.
10x = 23
3 Alma, Torun och Bahram har skrivit var sin formel för hur många rutor som finns i figur n. Hur kan de ha tänkt? Har någon av dem gjort rätt?
x = 2,3
3
Beata
10x – 40 + 30 = 45 10x – 10 = 45 10x = 35 x = 3,5
Calle
3 + 8 = 11
5(2x – 8) + 30 = 45 5(2x – 8) = 15
Alma
n + 1 + n2
Torun
(n + 1)2 – n
Bahram
n(n + 1) + n
2x – 8 = 3 2x = 11 x = 5,5
n=1
n=2
n=3
Problemlösning 1 Ett tåg startar från Stockholm. uu I Sala ökar antalet passagerare med 10. uu I Krylbo blir antalet passagerare hälften
så stort. uu I Säter minskar antalet passagerare
med 5. Därefter finns det 102 passagerare på tåget. Hur många passagerare fanns på tåget när det lämnade Stockholm?
114
2 I en frågesport får du 3 poäng om du ger rätt svar, men ett minuspoäng om du svarar fel eller inte svarar alls. Kan du få 16 poäng om du har svarat på tio frågor? 3 Det är rea på varuhuset. Amanda köper ett par byxor, en tröja och ett par skor och får betala 1 180 kr. Byxorna kostar 100 kr mer än tröjan. Byxorna och tröjan kostar tillsammans 180 kronor mer än skorna. Hur mycket kostar varje plagg?
ALGEBRA u UPPSLAGET
Svar till Problemlösning 1 Låt x vara antalet passagerare från början. Det ger ekvationen x + 10 ______ – 5 = 102 2 som har lösningen x = 204 Svar: Det var 204 passagerare på tåget när det lämnade Stockholm. Kommentar: En alternativ lösningsmetod är att arbeta baklänges. Det kan vara intressant att visa att de beräkningar man gör då, är precis desamma som man gör vid ekvationslösningen. Eleverna kan få skapa liknande uppgifter till varandra, där de utgår från tåg- eller busstationer i närheten. 2 Anta att antalet rätta svar är x. Då är antalet felaktiga svar 10 – x. Eftersom vi får 3 poäng för rätt svar och –1 för ett felaktigt svar, kommer det totala antalet poäng att ges av uttrycket 3x – 1(10 – x). Vi undersöker om ekvationen 3x – 1(10 – x) = 16 har någon heltalslösning. 3x – 1(10 – x) = 16 3x – 10 + x = 16 4x = 26 x = 6,5 Ekvationen har lösningen x = 6,5 som inte är ett heltal. Det betyder att resultatet 16 inte är möjligt.
114
ALGEBRA u UPPSLAGET
Kommentar: Eftersom antalet frågor är begränsat kan problemet också lösas med en tabell:
Antal rätt
Antal fel
Poäng
0
10
–10
1
9
–6
2
8
–2
3
7
2
4
6
6
5
5
10
6
4
14
7
3
18
8
2
22
9
1
26
10
0
30
3 Anta att tröjan kostar x kr. Då kostar byxorna x + 100 kr och
skorna x + (x + 100) – 180 kr = 2x – 80 kr. Det ger ekvationen x + (x + 100) + (2x – 80) = 1 180 som har lösningen x = 290. Svar: Tröjan kostar 290 kr, byxorna kostar 390 kr och skorna kostar 500 kr. Kommentar: Elever som löser uppgiften på det här sättet kan få i uppgift att lösa den på nytt genom att låta byxorna eller skornas pris vara x kr.
Uppslaget Svar till Modellering
Modellering
Matematik i användning
1 Titi hyr en glasskiosk en sommar. Hjälp henne att ställa upp en formel som visar hur hennes vinst beror av antalet glassar hon säljer. Du får själv uppskatta vilka kostnader och intäkter Titi har, men listan här nedanför kan ge lite inspiration.
På många hemsidor kan du få hjälp att göra beräkningar. Du kan exempelvis få hjälp att beräkna din lön efter skatt eller beräkna hur många liter vatten som ryms i en pool med vissa mått. Hemsidornas beräkningsverktyg har skapats med hjälp av formler. I den här uppgiften får du hjälpa en förening att skapa sådana formler.
Arbetstid Timlön Hyra för lokal Kostnader för glass och strutar Försäljning av glass
En förening hyr ut sin klubbstuga för 600 kronor i grundavgift och sedan 50 kronor per gäst och dygn. Föreningen vill att de som bokar via hemsidan snabbt ska kunna beräkna vad det kostar att hyra stugan.
uu Hjälp föreningen genom att ange vilka
2 Med body mass index, BMI, kan man bedöma om en person är underviktig eller överviktig. Formeln för BMI är m BMI = __ l2 där m är personens vikt i kilogram och l är längden i meter. I USA bestämmer man BMI med vikt i pounds och längd i inches. Gör om formeln så att den ger samma svar med pounds och inches.
formler som ska stå i cell B3–B5. Använd gärna ett kalkylprogram för att testa dina formler. A 1
Antal gäster
2
Antal nätter
3
Total summa
4
Total summa per gäst
5
Total summa per natt för varje gäst
B
ALGEBRA u UPPSLAGET
115
Uppslaget Uppgifterna på Uppslaget kan användas i slutet av varje kapitel, men de passar också bra att arbeta med under kapitlets gång. I tabellen ser du i vilket avsnitt som uppgifterna passar särskilt bra. Rubrik
Uppgift
Delkapitel och avsnitt
Vem har rätt?
1
3.3 Mer om ekvationslösning
2
3.2 Att förenkla uttryck
3
3.1 Mönster och formler
Problemlösning
1, 2, 3
3.3 Problemlösning med ekvationer
Modellering
1
3.1 Ställa upp och tolka formler och uttryck
2
3.1 Ställa upp och tolka formler och uttryck
Matematik i användning
3.1 Formler i kalkylprogram
3
1 Vi väljer att göra följande antaganden och uppskattningar: Kostnader: Personal: 1 200 kr per person och dag Hyra: 9 000 kr per månad Glasskula: 3 kr per styck Strut: 2 kr per styck Prissättning: Strut med 1 kula: 30 kr Strut med 2 kulor: 35 kr Strut med 3 kulor: 40 kr Vinsten för en glass med en kula är 25 kr. För två kulor är vinsten 27 kr och för tre kulor är vinsten 29 kr. Låt x, y och z vara antalet glassar med en, två respektive tre kulor en dag. Om p är antalet anställda så ges vinsten, V kr per dag, av formeln 9 000 V = 25x + 27y + 29z – 1 200p – _____ 30 Kommentar: Här har vi valt att införa en variabel för varje typ av glass. Formeln blir enklare om man antar att man säljer ungefär lika många glassar av varje sort. Då är vinsten i genomsnitt 27 kr per glass och man behöver bara ha en variabel som anger det totala antalet glassar. Diskutera gärna med eleverna vad som är viktigast – enkelhet eller precision? Det beror kanske på om Titi vill ha en grov uppskattning av om verksamheten går runt, eller om hon vill ha precisa formler till sina budgetberäkningar. Det är relativt enkelt att anpassa svårighetsgraden genom att lägga till eller dra ifrån parametrar i uppgiften. Vi har till exempel valt att inte ha med några bägare. Eftersom eleverna själva väljer kostnadsposter och intäktsposter, kan de också själva välja hur komplicerad modell de vill göra. Vi har valt att göra vinstberäkningen per dag, men eleverna kan också välja att göra den per månad. Hur ser formeln ut då? En utvidgning av uppgiften är att låta eleverna implementera sina formler i ett kalkylprogram och undersöka hur många glassar Titi måste sälja för att gå med vinst. 2 1 pound ≈ 0,454 kg och 1 inch ≈ 2,54 cm = 0,0254 m ger formeln 0,454m BMI = _________ m är vikten i pounds och (0,0254l)2 l är längden i inches
Svar till Matematik i användning
A
B
1
Antal gäster
2
Antal nätter
3
Total summa
=600+B1*B2*50
4
Total summa per gäst
=B3/B1
5
Total summa per natt för varje gäst
=B4/B2
ALGEBRA u UPPSLAGET
115
3
Koll på kapitlet Koll på kapitlet Du ska kunna
Själv skattning
Exempel
Själv skattning
Exempel
3.1 Formler, uttryck och mönster s. 66–80
3.2 Att arbeta med uttryck s. 81–96
ge exempel på begreppen variabel, konstantterm och koefficient
förenkla algebraiska uttryck genom att räkna ihop termer av samma sort
4x + 3 – 2x + x2 + 5 – 3x2 = 4x + 3 – 2x + x2 + 5 – 3x2 = 2x + 8 – 2x2
förenkla algebraiska uttryck med parenteser
5 + (a – 3) = 5 + a – 3 = a + 2
koefficient
3 + 4x konstantterm
beräkna värdet av ett algebraiskt uttryck
4
Du ska kunna
variabel
5 – (a – 3) = 5 – a + 3 = 8 – a 5(a – 3) = 5 ∙ a – 5 ∙ 3 = 5a – 15
Värdet av uttrycket 4a – 3b + 6
(3 + x)(x – 10) = 3x – 30 + x2 – 10x = x2 – 7x – 30
för a = 5 och b = 2 är
4
4 ∙ 5 – 3 ∙ 2 + 6 = 20 – 6 + 6 = 20 använda formler
faktorisera algebraiska uttryck
Beräkna klotets volym om r = 5 dm 4 ∙ π ∙ r3 4 ∙ 3,14 ∙ 53 Vklot = _______ ≈ __________ dm3 ≈ 523 dm3 3 3
tolka uttryck och formler
Sören är x år.
pröva om en lösning till en ekvation är korrekt
Är x = 5 en lösning till ekvationen 3,4(x + 2) = 28,8 – x? VL = 3,4(5 + 2) = 23,8 HL = 28,8 – 5 = 23,8 Eftersom VL = HL, så är x = 5 en lösning till ekvationen.
Beskriv talföljden 5, 11, 17, 23, 29, … Med ord: Talföljden börjar med 5 och ökar sedan med 6 för varje nytt tal.
lösa ekvationer av första graden
Med en formel: a = 5 + 6(n – 1) = 6n – 1 där n = 1, 2, 3, … skapa och använda formler i kalkylprogram
Vi har brutit ut den gemensamma faktorn 3x
3.3 Ekvationer s. 97–112
Om Bosse är 3x år, så betyder det att han är tre gånger så gammal som Sören. beskriva ett mönster med ord eller med en formel
3x2 + 9x = 3x(x + 3)
7x – 6 = 3x + 28
Det är flest x i vänstra ledet. Vi samlar därför x-termerna där.
7x – 6 – 3x = 3x + 28 – 3x
Subtrahera båda leden med 3x
4x – 6 = 28
Den totala intäkten beräknas i cell C2 med formeln
=A2*B2
använda ekvationer vid problemlösning
4x – 6 + 6 = 28 + 6
Addera båda leden med 6
4x = 34 34 4x ___ ___ = 4 4 x = 8,5
Dividera båda leden med 4 Ekvationens lösning är x = 8,5
På badhuset betalar man en medlemsavgift på 300 kr och sedan 25 kr per besök. Till hur många besök räcker 550 kr om man är medlem? Anta att du kan göra x besök. Du kan lösa problemet genom att ställa upp ekvationen
3
300 + 25x = 550 25x = 250 x = 10 Du kan besöka badhuset 10 gånger.
116
ALGEBRA u KOLL PÅ KAPITLET
Kan inte
Känner mig ganska säker
Känner igen men behöver repetera
Är helt säker
ALGEBRA u KOLL PÅ KAPITLET
117
Koll på kapitlet Moment
Avsnitt
Blandade uppgifter
Moment
Avsnitt
Blandade u ppgifter
Ge exempel på begreppen variabel, konstantterm och koefficient
3.1
Nivå 1: 8, 9
Förenkla algebraiska uttryck genom att räkna ihop term av samma sort
3.2
Nivå 1: 2, 7
Beräkna värdet av ett algebraiskt uttryck
3.1
Nivå 1: 1, 8, 15 Nivå 2: 29, 30, 31 Nivå 3: 41
Förenkla algebraiska uttryck med parenteser
3.2
Nivå 1: 3, 16, 20, 26 Nivå 2: 28, 31, 33 Nivå 3: 40, 41
Faktorisera algebraiska uttryck
3.2
Nivå 1: 17 Nivå 2: 32 Nivå 3: 40
Pröva om en lösning till en ekvation är rätt
3.3
Nivå 1: 4 Nivå 2: 34
Lösa ekvationer av första graden
3.3
Nivå 1: 5, 6 Nivå 2: 27
Använda ekvationer vid problemlösning
3.3
Nivå 1: 12, 13, 18, 23, 24 Nivå 2: 34, 35, 36 Nivå 3: 42
Använda formler
3.1
Nivå 1: 8, 10, 11, 12
Tolka uttryck och formler
3.1
Nivå 1: 12, 13, 14, 19, 25 Nivå 3: 42
Beskriva ett mönster med ord eller med en formel
3.1
Nivå 1: 22, 25 Nivå 2: 37, 38
Skapa och använda formler i kalkylprogram
3.1
Nivå 1: 21 Nivå 2: 39
Aktivitet ■■ Koll på kapitlet 3
116–117
ALGEBRA u KOLL PÅ KAPITLET
Blandade uppgifter Blandade uppgifter 8 Kostnaden K kr per månad för att ringa och
Nivå 1 1 Beräkna värdet av uttrycket 5x + 8 om
a) x = 5
b) x = –2
c) x = 0
2 Förenkla uttrycken
a) y + 2y + 3y
K = 150 + 1,29x + 0,99y
med formeln E = 0,44 ∙ t, där E är energiförbrukningen i kilowattimmar (kWh) och t är tiden i minuter.
där x är antalet samtalsminuter och y är antalet skickade sms.
a) Hur mycket energi använder Pär om han duschar i 5 minuter?
a) Vilka variabler finns i formeln?
b) Hur länge har Pär duschat om han använt 6,7 kWh?
b) Vad blir månadskostnaden om du ringer 35 minuter och skickar 17 sms?
b) 2 – 6y + 3 + 2y c) 3y + 8 + 2 – 4y
«
15 Beräkna värdet av uttrycket x2 – 2x om
b) konstantterm
a) 10 + (4b – 7)
a) x = 3
c) koefficient
b) x = –3
c) x = 0
b) 18m – (13n + 10m) 10 Skriv formler som visar följande samband
c) 12x – 3(x + 5)
16 Utför multiplikationerna
a) x(x + 3)
a) y är 18 mindre än x 4 Pröva om x = 4,5 är en lösning till
ekvationen 4x + 9 = 32 – x.
b) x är en tredjedel så stort som y
a) a = 2n
b) 12 = 18 – 1,2y 4x c) ___ = –16 3
b) 10a – a2
c) a = 2n – 1
a) 4(x – 3) + 7 = 35 b) 5x – 12 = 24 – x c) 3x + 17 = 6x + 26 7 Teckna ett uttryck för fyrhörningens omkrets
och förenkla uttrycket så långt som möjligt. 3x + 1
b) a = n – 1
18 Erik har köpt två påsar med fågelfrön. En av
påsarna väger 3 kg mer än den andra. Tillsammans väger påsarna 19 kg. Hur mycket väger den tyngre påsen?
2
d) a = n + 1
(m/s) och kilometer i timmen (km/h). För att omvandla mellan enheterna använder man formeln
'
b) Hur många meter per sekund är 72 km/h?
ALGEBRA u BLANDADE UPPGIFTER
21 Företaget IceCold säljer is i olika former. De
använder ett kalkylprogram för att få koll på sitt lager.
3
Ta hjälp av ett kalkylblad och beräkna a) det totala värdet av isbitarna
«
b) det sammanlagda värdet av företagets samtliga produkter 22 Titta på talföljden 3, 6, 9, 12, …
b) Beskriv talföljden med ord eller med en formel. c) Vilket är det tjugonde talet i talföljden? 23 Lisa arbetar som säljare av mobilabonne-
mang. Hon får 5 000 kr i månaden och dessutom 150 kr för varje abonnemang hon säljer. Hur många abonnemang måste Lisa sälja för att tjäna minst 12 000 kr per månad?
Eva ska få dubbelt så mycket som Lina, men innan de delar vinsten måste de betala tillbaka 700 kr till Linas mamma. Ställ upp en ekvation och beräkna hur mycket Eva får.
a) När det blåser 25 m/s är det storm. Hur många kilometer i timmen är det?
3x
d) (2y + 8)(3y – 1)
24 Eva och Lina har vunnit 4 300 kr på tipset.
3,6 ∙ hastigheten i m/s = hastigheten i km/h
x+2
b) (x – 2)(x + 5)
c) (y – 4)(y – 6)
a) Vilket är nästa tal i talföljden? c) 22y + 11y2
12 Man mäter hastighet i både meter per sekund
6 Lös ekvationerna
118
a) 6x + 12
Bestäm de tre första talen i talföljden
a) 5x + 3 = 38
x
b) 4y(y – 2)
17 Bryt ut största möjliga faktor
11 Formeln beskriver det n:te talet i en talföljd.
5 Lös ekvationerna
a) (x + 3)(x + 7)
x timmar ges av K = 450x + 300. Vad betyder talen 450 och 300 i formeln?
a) variabel 3 Förenkla uttrycken
20 Multiplicera och förenkla uttrycken
14 Kostnaden K kr för att anlita en tekniker i
9 Vad i uttrycket 25x + 7y + 4 är
d) a2 + 4a + 3a2
3
13 Energiåtgången när Pär duschar kan beräknas
skicka sms från Polen till Sverige kan man beräkna med formeln
19 I ett skogsområde finns x stycken kaniner och
y stycken rävar. Tolka vad det betyder att a) x + y = 110
b) x = 10y
25 Titta på talföljden 5, 8, 13, 20, … Vilken
formel beskriver tal nummer n i talföljden? a = 4n + 1
a = 3n + 2
a = n2 + 4
ALGEBRA u BLANDADE UPPGIFTER
119
Övningsblad ■■ Repetitionsuppgifter Kapitel 3
ALGEBRA u BLANDADE UPPGIFTER
118–119
3
«
Blandade uppgifter 26 Förenkla uttrycket så långt som möjligt.
(x + 3)(5x – 1) – x2
a) (x + y)(x – y) + (x – y)
x 5x b) ___ = 19,2 – __ 2 2
a) 12 – 6x = 3,5 – x
28 Vilket tal ska stå i stället för rutan?
a) 5y + 30 = 5(y + b) 4xy + 36x = c) 3x + 6y + 9 =
)
(2xy + 18x) (x + 2y +
)
29 Beräkna värdet av uttrycket
–6(2a – 7) – 5(a + 8) för a = 2 30 Beräkna värdet av uttrycken för a = 3 och
b = –2. a) a2 – b b) ab + b2 a c) __ + ab2 b
(m) x+2 2x – 4
a) Skriv ett uttryck för triangelns area.
«
34 Ron har fått uppgiften:
”Albus är 3 år äldre än sin bror Severus. Minerva är dubbelt så gammal som Albus. Tillsammans är de 29 år. Hur gammal är Albus?” Ron väljer att lösa uppgiften med hjälp av en ekvation och hans lösning ser ut så här: x + (x – 3) + 2x = 29 x + x – 3 + 2x = 29 4x – 3 = 29 4x = 32 x=8 Svar: x = 8 Ge Ron återkoppling på lösningen. Vad har han gjort som är bra? Vad kan förbättras?
31 En tomt har formen av en rätvinklig triangel.
3
b) Förenkla uttrycket så långt som möjligt.
35 Maria, Andreas och Patrik springer stafett.
Andreas springer på dubbelt så lång tid som Maria och Patrik har 27 minuter längre tid än Andreas. Sammanlagt har de sprungit i 2 timmar och 22 minuter. Hur lång tid behövde var och en på sin sträcka?
…
3
…
32 Faktorisera uttrycken
a) Fyll i tabellen. Figurens nummer
Antal rutor
1
Nivå 3 40 Förenkla uttrycken
4x2 – 8x a) _______ 2x – 4 9y2 + 12y b) ________ 3y + 4 (3x – 4)(2x + 4) c) ____________________ 2x(1 – 1,5x) – (–8 + 4x)
2 3
41 Låt A = 2x2 + 3x – 4 och B = 3x + 14. Avgör
4
om påståendena är sanna eller falska och motivera dina svar.
5
b) Beskriv hur man kan räkna ut antalet rutor om man vet figurens nummer.
a) Värdet av A är –5 för x = –1.
c) Skriv en formel för antalet rutor i figur n.
c) Det finns ett tal a, så att värdet av A och B är lika för x = a.
d) Hur många rutor finns det i figur 13?
b) –2A – B = –4x2 – 9x + 22
42 Pernilla säljer tidningar. Om Pernilla säljer 39 Fibonaccis talföljd börjar 1, 1, 2, 3, 5 … Varje
tal i talföljden är summan av de två föregående talen. Till exempel får man det tredje talet 2 genom att lägga ihop de två föregående talen, 1 + 1 = 2. Leon vill använda ett kalkylprogram för att bestämma fortsättningen av talföljden. an betecknar det n:te talet i talföljden
tidningar för x kronor, så får hon lönen x 600 + ___ 10 a) Beskriv Pernillas lön med ord. b) Hon kan också välja att få 300 kr i grundlön och en åttondel av det belopp hon säljer tidningar för. Skriv ett uttryck som beskriver Pernillas lön om hon väljer detta alternativ. c) Hur mycket ska Pernilla sälja tidningar för, för att hon ska tjäna på det andra alternativet?
111. Ställ upp en ekvation och bestäm talen. 37 Titta på talföljden 100, 104, 108, …
a) 12x3 – 20x2
a) Beskriv talföljden med ord eller med en formel.
b) –15y2 + 30x2y
b) Bestäm det tionde talet i talföljden.
c) 8x3 + 2x2 – 4x
a) Vilken formel ska Leon skriva i cell B5 för att det fjärde talet i talföljden ska beräknas? b) Vilket värde har det tjugonde talet i Fibonaccis talföljd? c) Vilket tal i talföljden är det första som överstiger 1 000 000?
ALGEBRA u BLANDADE UPPGIFTER
120–121
2
36 Summan av tre på varandra följande heltal är
c) Beräkna tomtens area om x = 30.
120
1
c) (3a + 2b)(–b + 4a) – (13ab + 2)
27 Lös ekvationerna
«
38 De här figurerna består av rutor.
b) 3(a + b) – b(4 – b) – (9 + b2)
Nivå 2
3
33 Förenkla uttrycken
ALGEBRA u BLANDADE UPPGIFTER
ALGEBRA u BLANDADE UPPGIFTER
121
3
«
Kapiteltest Kapiteltest Del 1 1 Uttrycket 3x – x + 2y kan förenklas till 1
3 + 2y
6 Vilket av alternativen är en lösning till
ekvationen 7(z – 2) = 21?
X
2x + 2y
1
2
4+x+y
X
z=4
2
z=3
2 Vilket är värdet av uttrycket 2a + 3b om
a = 5 och b = 1?
3
Del 2
z=5
kan beskrivas med formeln
13 56
1
a = 3n
11
X
a = 3 + 6n
2
a = 6n – 3
3 I uttrycket 17a + 2b + 3 är 1
a och b variabler och 3 är en koefficient
X
a och b variabler och 3 är en konstantterm
2
a och b koefficienter och 3 är en konstantterm
B∙h 4 Med formeln V = ____ kan man beräkna
3 volymen av en kon. Vilken volym har en kon med B = 10 m2 och h = 4,5 m?
12 Lös ekvationerna
1
x2 + 8x + 15
X
x2
2
x2 + 15
x+3 x+5
så stort som y? 1
x=y+4 y = 4x
X
15 m3
2
x = 4y
2
4,8 m3 10 Uttrycket 6x + x2 kan faktoriseras till 1
6∙x+x∙x
–3y – 13
X
(6 + x)(x + x)
X
13 – 3y
2
x(6 + x)
2
3y – 5
1
U R I strömstyrka, U elektrisk spänning och R resistans. Hur förändras strömstyrkan om resistansen fördubblas?
14 Formeln I = __ kallas Ohms lag. I formeln är
15 Faktorisera uttrycket 5x2 + x.
n=4
20 Viktor och Sanna ska arrangera en fest. De
har fasta kostnader på 3 250 kronor och rörliga kostnader på 125 kronor per gäst. a) Ställ upp ett uttryck för den totala kostnaden för festen. b) Ställ upp ett uttryck för kostnaden per person. c) Vilket biljettpris ska de välja om det kommer 65 personer och de varken ska gå med vinst eller förlust?
Arvid är dubbelt så gammal som Vincent. Tillsammans är de 44 år. Vilken av ekvationerna kan du använda för att ta reda på hur gammal Vincent är? x + 2x + 4x = 44 x + 2x + 8x = 44 x + 4x + 8x = 44
17 a) Förenkla uttrycket så långt som möjligt.
2x2
b) Beräkna värdet av uttrycket om x = –3.
21 Lisa och Amin bor 20 km ifrån varandra.
De startar samtidigt och springer tills de möts. Lisa springer med 11 km/h och Amin med 13 km/h. Var och efter hur lång tid kommer de att mötas?
ALGEBRA u KAPITELTEST
Facit till Kapiteltest
ALGEBRA u KAPITELTEST
13 x är antalet hg godis, y är antalet hg nötmix
2 1 (13)
14 Strömstyrkan halveras när resistansen fördubblas.
3 X (a och b är variabler och 3 är en konstantterm)
15 x(5x + 1)
4 X (15 m3)
16 x + 2x + 8x = 44
5 X (13 – 3y)
17 a) 2x2 – 11x – 3 b) 48
7 2 (a = 6n – 3) 8 1 (x2 + 8x + 15) 9 2 (x = 4y) 10 2 (x(6 + x)) 11 a) 6x + 2y – 6 b) 16 12 a) x = 7,5 b) x = 0,5
123
ALGEBRA u BLANDADE UPPGIFTER
1 X (2x + 2y)
6 1 (z = 5)
3
16 Martina är 4 gånger så gammal som Arvid.
(x – 3)(4x + 1) –
122
n=3
19 Lös ekvationen
för 12,50 kr/hg. Den totala kostnaden för godis och nötter beskrivs av uttrycket 7,90x + 12,50y. Vad står x och y för i uttrycket?
9 Vilket samband beskriver att x är fyra gånger
X
n=2
3(2x + 4) – 4(3 – 4x) = 2(x + 7)
+8
45 m3
b) 8x – 4 = 3 – (2x + 2) 13 Nino köper godis för 7,90 kr/hg och nötmix
8 Rektangelns area kan beskrivas med uttrycket
1
5 Uttrycket 4 – (3y – 9) kan förenklas till
n=1
a) 3x – 8 = 14,5
1
18 Här nedanför ser du ett mönster med rutor.
Beskriv med ord eller med en formel hur du kan beräkna antalet rutor om du vet figurens nummer.
b) Beräkna värdet av uttrycket om x = 2 och y = 5.
7 Det n:te talet i talföljden 3, 9, 15, 21, 27, …
X 2
11 a) Förenkla uttrycket 2x – 3y + 4x + 5y – 6
18 Antalet rutor a kan beräknas med formeln a = 2n – 1. Med ord: Antalet rutor får du om du multiplicerar figurens nummer med två och sedan subtraherar med 1. 7 19 x = ___ = 0,7 10 20 a) 3 250 + 125x där x är antalet gäster 3 250 + 125x b) ___________ där x är antalet gäster x c) 175 kronor 21 De möts efter 50 minuter. Ungefär 10,8 km från Amin och 9,2 km från Lisa.
Prov ■■ Prov Kapitel 3 ■■ E-prov Kapitel 3
ALGEBRA u KAPITELTEST
122–123
3
Lösningar Här följer lösningar till Nivå 3-uppgifterna i läroboken Matematik Origo 1a. Vi presenterar för det mesta en lösning till varje uppgift. Inte sällan finns det flera möjliga lösningar som är lika bra – eller kanske till och med bättre. Utrymmet tvingar oss att skriva kortfattat. I många fall finns liknande uppgifter lösta i läroboken. De lösningarna innehåller som regel fler steg och är dessutom mer utförligt kommenterade. Lösningar till Uppslaget, Samhälle och yrkesliv och Kapiteltest finner du på motsvarande uppslag i Lärarguiden. I Lärarguiden finns även förslag på svar till diskussionsfrågorna i Resonemang och begrepp.
=
Innehåll 2 Tal i vardag och yrkesliv
371
Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
3 Algebra
372
Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
4 Procent
375
Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
5 Sannolikhetslära
377
Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
370
LÖSNINGAR
6 Funktioner
378
Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
7 Statistik
381
Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
8 Geometri
381
Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
Lösningar Nivå 3-uppgifter
Man kan också lösa uppgiften genom att rita bilder: Den ena behållaren rymmer en tredjedel vinäger. Den andra, lika stora behållaren, rymmer en fjärdedel vinäger.
2 Tal i vardag och yrkesliv
2135 a) Det kan vara klokt att avrunda uppåt när man beräknar
åtgång av material, till exempel brädor, tyg eller färg, så att man vet att det räcker. Det kan också vara bra att avrunda uppåt när man handlar i affären, så att man vet att man har tillräckligt med pengar.
b) Om man är 17 år och 11 månader och det är en ålders gräns på 18 år, så hjälper det inte att avrunda uppåt. Inte heller om man vi slå ett rekord inom exempelvis idrott. 2150 Sverige är ungefär 160 mil långt, dvs. 1 600 km långt.
1 600 000 Om man flyger med hastigheten 680 m/s tar det ________ 680 m/s sekunder att flyga från norr till söder. Det motsvarar 1 600 000 ________ 1 600 000 16 000 4 000 680 _________ min = ________ min = ______ min = _____ ≈ 60 680 · 60 68 · 6 32 · 3 4 000 _____ ≈ min = 40 min 100 Alternativ lösning: Hastigheten 680 m/s motsvarar
Om vi delar in varje behållare i tolv delar, kan vi lättare jämföra andelarna. Då ser vi att den vänstra bägaren 4 1 innehåller 4 delar vinäger av 12 delar ( ___ = __ ) och att den 12 3 1 3 högra bägaren innehåller 3 delar vinäger av 12 delar ( __ = ___ ). 4 12
Om vi häller ihop blandningarna får vi totalt 24 delar och 3 + 4 = 7 delar vinäger.
680 · 3,6 km/h ≈ 600 · 4 = 2 400 km/h Det innebär att det skulle ta 1 600 km 2 ca _________ = __ h =40 min 2 400 km/h 3 att flyga över Sverige från norr till söder. Svar: Det tar ca 40 minuter. 2224 En gemensam nämnare är alltid delbar med de andra
nämnarna. De andra alternativen kan också stämma, men inte alltid. Svar: Alternativ C
2225 Lösning 1: När Majken och Arvid möts (vid det rosa krysset)
har de båda lika lång väg kvar till badhuset. För Majken motsvarar den sträckan 3/4 av hennes totala väg, medan den för Arvid motsvarar 4/5. Det kan vi illustrera så här.
Hem
Hem
Majken
Arvid
Badhus
Badhus
Vi ser att Majken har längre väg till badhuset. Lösning 2: Låt säga att Majken och Arvid har 1 200 meter kvar till badhuset när de möts. Det är 3/4 av Majkens väg, vilket innebär att hennes totala väg är 1 600 meter. Det är 4/5 av Arvids väg, vilket innebär att hans totala väg är 1 500 meter. Vi ser att Majken har längst väg till badhuset. Svar: Majken har längre väg till badhuset. 2244 Förhållandet vinäger:olja = 1:2 innebär att vi har 1 del
vinäger och 2 delar olja, dvs. totalt 3 delar. Andelen vinäger 1 i den behållaren är alltså __ . På samma sätt inser man att 3 1 andelen vinäger i den andra behållaren är __ . Om man häller 4 ihop blandningarna blir andelen vinäger medelvärdet av dessa två andelar, dvs. 1 1 ___ 4 3 7 __ + __ + ___ ___ 7 1 ___ 7 3 4 12 12 12 _____ = _______ = ___ = ___ · __ = 2 2 2 12 2 24
7 Andelen vinäger blir alltså ___ . 24 7 Svar: Andelen vinäger blir ___ . 24 2318 a) 26 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = (2 · 2) · (2 · 2) · (2 · 2) = 4 · 4 · 4 = 43
Alltså är 26 = 43, dvs. m = 3
b) 64 = 6 · 6 · 6 · 6 = (6 · 6) · (6 · 6) = 36 · 36 = 362 Alltså är 64 = 362, dvs. m = 2 2319 a) 51 = 5
52 = 5 · 5 = 25 53 = 5 · 25 = 125 54 =5 · 125 = 625 55 = 5 · 625 = 3 125, osv. Fem upphöjt till ett positivt heltal ger alltid ett resultat som slutar på fem. Svar: 5100 har slutsiffran 5.
b) 91 = 9 92 = 9 · 9 = 81 93 = 9 · 81 = 729 94 = 9 · 729 = 6 561 95 = 9 · 6 561 = 59 049, osv. När nio upphöjs till en jämn exponent får man ett resultat som slutar på ett. När exponenten är ett udda tal slutar resultatet på nio. Svar: 9100 har slutsiffran 1
LÖSNINGAR NIVÅ 3-UPPGIFTER u 2. Tal i vardag och yrkesliv
371
=
1a Matematik Origo är moderna läroböcker för gymnasiet skrivna för ämnesplanen som trädde i kraft 2021. Serien består av Matematik Origo 1a och 2a för yrkesprogrammen Matematik Origo 1b, 2b och 3b för Samhällsvetenskapsprogrammet, Ekonomiprogrammet, Humanistiska programmet och Estetiska programmet Matematik Origo 1c, 2c, 3c, 4 och 5 för Naturvetenskapsprogrammet och Teknikprogrammet Lärarguider som följer elevböckerna uppslag för uppslag med tips, idéer och inspiration till undervisningen Kopieringsmaterial med prov, övningsblad och aktiviteter
ISBN 978-91-523-6191-7