3c matematik Attila Szabo Niclas Larson Daniel Dufåker Roger Fermsjö
3c matematikAttila Szabo Niclas Larson Daniel Dufåker Roger Fermsjö SANOMA UTBILDNING
SANOMA Postadress:UTBILDNING Box 38013, 100 64 Stockholm Besöksadress: Rosenlundsgatan 54, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order /Läromedelsinformation Telefon 08-587 642 10 Redaktion: Lena Bjessmo, Thomas Aidehag Grafisk form: Typoform/Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform/Sabina Högnäs Illustrationer: Typoform/Jakob Robertsson. Matematik Origo 3c ISBN 978-91-523-6190-0 © 2022 Attila Szabo, Niclas Larson, Daniel Dufåker, Roger Fermsjö, Gunilla Viklund, Mikael Marklund och Sanoma Utbildning AB, Stockholm Tredje upplagan Första tryckningen Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Copyright Access, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus Copyright Access. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Tryck: Livonia Print, Lettland 2022
Matematik Origo 3c är skriven för dig som ska läsa matematik kurs 3c på på Naturvetenskapsprogrammet och Teknikprogrammet.
Tankekartan visar hur de olika matematiska begreppen hänger ihop och kan ses som en sammanfattning av kapitlet.
I de flesta kapitel finns en eller flera aktiviteter med titeln Programmering. Där får du se exempel på hur programmering kan användas som verktyg, bland annat vid problemlösning. Du får också själv prova att programmera med utgångspunkt i färdiga program.
I Blandade uppgifter finns uppgifter på tre nivåer. Uppgifterna behandlar moment både från det innevarande och de föregående kapitlen. Det ger dig möjlighet att kontinuerligt befästa dina kunskaper. Sist i varje kapitel finns ett Kapiteltest. Där har du möjlighet att själv kontrollera dina kunskaper.
I slutet av varje kapitel finner du Uppslaget. Där finns uppgifter som ger möjlighet att utveckla olika matematiska förmågor. Bland annat finns en större uppgift av tematisk karaktär, som vi har valt att kalla Problemlösning och modellering.
Testet är uppdelat i två delar, en del som ska lösas utan digitalt verktyg och en del där du får använda ett digitalt verktyg.Lyckatill med dina matematikstudier! Författarna
Till läsaren
I slutet av varje kapitel finns ett avsnitt om Historia som beskriver matematikens utveckling ur ett idéhistoriskt och kulturellt perspektiv.
Boken är helt anpassad efter den reviderade ämnesplanen 2021. För oss som har skrivit den här boken är matematik så mycket mer än att bara räkna. Därför har vi valt att i Matematik Origo lyfta fram problemlösning, förståelse och det matematiska samtalet. Vår förhoppning är att Matematik Origo ska förmedla samma nyfikenhet och glädje som vi känner inför matematikämnet. Matematik Origo 3c är indelad i sex kapitel. Varje kapitel inleds med att ange de Förkunskaper som du behöver, det Centrala innehåll som kapitlet tar upp och vad du ska kunna när du har arbetat färdigt med kapitlet. Det gör det lättare för dig att själv ta ansvar för dina studier. I början av varje kapitel finner du också ett eller flera matematiska problem. Varje teorigenomgång följs av lösta Exempel som belyser teorin och förklarar viktiga matematiska färdigheter. I samband med exemplen finns kortfattade instruktioner till hur du kan använda ett digitalt verktyg. Vi utgår från GeoGebra. Till varje avsnitt finns uppgifter av olika karaktär på tre nivåer. På varje nivå finns uppgifter som tränar din förmåga till problemlösning. Öppna uppgifter är uppgifter som inte har ett givet svar och som många gånger kräver en matematisk diskussion. Dessa är markerade med en tonad ruta . Efter varje delkapitel kommer Resonemang och begrepp. Där kan du tillsammans med dina kamrater och din lärare utveckla förmågan att förstå och använda matematiska begrepp, att föra matematiska resonemang och att kommunicera matematik.
I Undersök finner du lite mer omfattande och utmanande uppgifter. Där får du träna på problem lösning och ett undersökande arbetssätt. I Rätt eller fel? får du tillfälle att resonera om kapitlets viktiga begrepp.
1 Algebraiska uttryck 6 1.1 Polynom 8 Värdet av ett polynom 8 Multiplikation av polynom 11 Faktorisering av polynom 13 1.2 Polynomekvationer 15 Enkla polynomekvationer 15 Mer om polynom ekvationer 18 Grafen till en polynomfunktion 22 Faktorer och nollställen 25 1.3 Rationella uttryck ....................... 30 Förkortning och förlängning av rationella uttryck 30 Addition och subtraktion av rationella uttryck 34 Multiplikation och division av rationella uttryck 36 Gränsvärden 38 Kontinuerliga funktioner 44 Symbolhanterande hjälpmedel 48 Programmering: Kan man gissa i matematik? ........... 53 Uppslaget 54 Historia: Sophie German och Fermats sista sats 56 Tankekarta 58 Blandade uppgifter 59 Kapiteltest 62 2 Ändringskvot och derivata 64 2.1 Sekanter och tangenter 66 Räta linjens ekvation 66 Sekantens lutning 69 Tangentens lutning 73 2.2 Derivata 93 Derivatans definition 79 Att använda derivata 83 Deriverbarhet och absolutbelopp 87 Historia: Att bestämma en tangent 93 Uppslaget 94 Tankekarta 96 Blandade uppgifter 97 Kapiteltest 100 3 Deriveringsregler 102 3.1 Deriveringsregler för potensoch polynomfunktioner 104 Derivatan av enkla potensfunktioner 104 Derivatan av polynomfunktioner 108 Mer om derivatan av potensfunktioner 110 3.2 Exponentialfunktioner och tillämpningar av derivata 114 Derivatan av ex 114 Derivatan av ekx och ax 119 Derivatans tillämpningar 123 Tillämpningar av derivata med digitalt hjälpmedel 127 Programmering: Newton-Raphsons metod 132 Uppslaget 134 Historia: Newton, Leibniz och derivatan 136 Tankekarta 137 Blandade uppgifter 138 Kapiteltest 142 Innehåll
4 Extremvärden, grafen och derivatan 144 4.1 Samband mellan funktionens graf och derivata 146 Växande eller avtagande funktion 146 Derivatans nollställen 150 4.2 Extremvärden och derivatan .......... 155 Största och minsta värde i ett intervall 155 Andraderivatan och funktionens graf 159 Andraderivatan och lokala extrempunkter 163 Extremvärdesproblem 167 Extremvärdesprolem med digitalt hjälpmedel 170 Historia: Fermats metod för extrempunkter . 173 Uppslaget 174 Tankekarta 176 Blandade uppgifter 177 Kapiteltest 182 5 Integraler 184 5.1 Primitiva funktioner 186 Vad är en primitiv funktion? 186 Primitiva funktioner till potensfunktioner och exponentialfunktioner 190 Primitiva funktioner med villkor 193 5.2 Integraler och areor 196 Arean under en kurva 196 Samband mellan derivata och integral 201 Beräkna integraler med digitalt hjälpmedel 206 5.2 Mer om integraler 212 Arean av området mellan två kurvor 212 Tillämpning av integraler i verklighetsbaserade situationer 216 Programmering: Integraler – numerisk metod 220 Historia: Integralkalkylens historia 221 Uppslaget 222 Tankekarta 224 Blandade uppgifter 225 Kapiteltest 230 6 Trigonometri 232 6.1 Trigonometriska samband 234 Trigonometri i rätvinkliga trianglar 234 Enhetscirkeln 238 Trigonometriska ekvationer 241 6.2 Triangelsatserna 246 Areasatsen 246 Sinussatsen 249 Cosinussatsen 253 Att använda triangelsatserna 256 Programmering: Sinussatsen 260 Uppslaget 262 Historia: Var är jag? 264 Tankekarta ............................... 265 Blandade uppgifter 266 Kapiteltest 272 Facit 274 Register 302
1.1 Polynom 1.2 Polynomekvationer 1.3 Rationella uttryck Delkapitel Begreppet rationella uttryck. Hantering av rationella uttryck. Begreppet polynom och egenskaper hos polynomfunktioner. Metoder för att lösa enklare poly
för
vid
AnvändningBegreppetnomekvationer.gränsvärde.avdigitala även symbolhanterande, att effektivisera beräkningar och komplettera metoder, till exempel ekvationslösning, derivering, inteoch hantering iska uttryck. innehåll
verktyg,
FunktionsbegreppetBråkräkningPotenserAndragradsekvationerreglerna
Centralt
grering
av algebra
Grundläggande och kvadrerings
algebra Konjugatregeln
1Förkunskaper
6 uttryckAlgebraiska
Familjen Åkerholm har på sina ägor en äng, som är nästintill rektangulär. De vet att ängens långsida är 48 meter längre än kortsidan och att ängens area är 8 500Tecknam2.
Lös Bestämekvationen.ängenslängd respektive bredd.
Hur mycket kostar det att hyra en elsparkcykel i en timme? Bestäm kostnaden per minut om man hyr elsparkcykel i 14 minuter.
A lgebra är ett av matematikens huvudområden. Utvecklingen av den algebra vi använder i dag har skett under lång tid. Den händelse som kommit att kallas den symboliska abstraktionen inledde i början av 1600-talet utvecklingen av det matematiska språket mot det sätt att beteckna tal med bokstäver som vi gör i dag. I det här kapitlet får du en repetition av några grundläggande algebraiska färdigheter. Vi går sedan vidare och arbetar med egenskaper hos funktioner, polynom och rationella uttryck. När du är klar med kapitlet ska du kunna förenkla och använda uttryck med polynom lösa polynomekvationer av högre grad med algebraiska, grafiska och digitala metoder använda polynomekvationer vid problemlösning rita grafer till polynomfunktioner för hand och med digitala verktyg ställa upp, förenkla och använda rationella uttryck bestämma definitionsmängd, värdemängd och nollställen till rationella kännabestämmafunktionergränsvärdentillvadsommenas med en kontinuerlig funktion avgöra om en funktion är kontinuerlig eller diskontinuerlig
Skriv ett uttryck för den genomsnittliga hyreskostnaden K(x) kr/minut, om man hyr elsparkcykeln i x minuter. Ängen
7
en ekvation som kan användas för att bestämma ängens längd och bredd.
Skoj på hoj Wingströms uthyrning erbjuder olika fordon till turisterna. Att hyra en elsparkcykel kostar 10 kr i grundavgift och 2,50 kr/minut.
1 1.1 Polynom Värdet av ett polynom En bils koldioxidutsläpp beror av farten som bilen färdas med. Om koldioxidutsläppet p mäts i gram per kilometer och bilens fart v i kilome ter per timme, så kan sambandet beskrivas med uttrycket p(v) = 0,045v2 − 6,75v + 393 för 30 ≤ v ≤ 120 Polynom Uttrycket 0,045v2 − 6,75v + 393 är ett exempel på ett polynom. Ett annat exempel på polynom är 2x4 + 4x3 + 5. Båda uttrycken innehåller ett antal termer. I uttrycket 2x4 + 4x3 + 5 är termerna 2x4 och 4x3 variabeltermer och termen 5 kallas konstantterm. Variabeltermerna består av produkter av en koefficient och en potens med variabeln x som bas och ett positivt heltal som exponent. Detta polynom är av fjärde graden eftersom 4 är den högsta exponenten. På samma sätt ser vi att polynomet 0,045v2 − 6,75v + 393 är ett Uttrycketandragradspolynom.2 x2 är däremot inte ett polynom, eftersom det kan skrivas 2x −2 och exponenten då inte är ett positivt heltal. Polynomfunktion Eftersom 0,045v2 − 6,75v + 393 är ett polynom kallas funktionen p för en polynomfunktion. Definitionsmängden 30 ≤ v ≤ 120 betyder att sambandet gäller för hastigheter från och med 30 km/h till och med 120 km/h. Polynom Ett polynom är en summa av konstant- och variabeltermer, där varje variabelterm är en produkt av en konstant och en variabel med positiv Ettheltalsexponent.polynomkan allmänt skrivas i formen anxn + an − 1xn − 1 + … + a2x2 + a1x + a0 där n är ett positivt heltal och an, an − 1, …, a2, a1, a0 är konstanter. Om n är den högsta exponenten i polynomet, så säger man att polynomet är av grad n ordboken Polynom kommer från de grekiska orden polys som betyder många och nom som betyder namn. Poly nom kan sägas betyda många namn eller många termer. Konstantterm 2x4 + 4x3 + 5 Koefficient Variabel v km/h pg/km50100150200250 20406080 100120 p(v) ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.1 PoLYnoM8
1 Exempel: Låt p(x) = x3 + 5x2 − 7 och bestäm a) p(3) b) p(−2) c) polynomets grad Lösning: a) p(3) = 33 + 5 ∙ 32 − 7 = 65 b) p(−2) = (−2)3 + 5 ∙ (−2)2 − 7 = 5 c) Eftersom den största exponenten är 3 så är det ett tredjegradspolynom. Exempel: Markus hyr slalomskidor. Kostnaden för att hyra skidorna beskrivs av K(x) = 350 + 80x, där K(x) är kostnaden i kr för att hyra skidorna i x dagar. a) Vad kostar det att hyra skidorna i 7 dagar? b) Hur många dagar kan han hyra skidorna för 750 kr? Lösning: a) Vi ska beräkna värdet av K(x) = 350 + 80x för x = 7. K(7) = 350 + 80 ∙ 7 = 910 Svar: Det kostar 910 kr att hyra skidorna i 7 dagar. b) Vi ska lösa ekvationen K(x) = 750. 350 + 80x = 750 Eftersom K(x) = 350 + 80x 80x = 400 x = 40080 x = 5 Svar: Markus kan hyra skidorna i 5 dagar. Nivå 1 1101 Låt p(x) = 2x2 + 3x − 7 och beräkna a) p(0) b) p(3) c) p(−2) 1102 Beräkna värdet av polynomet x3 − 2x + 5 för a) x = 0 b) x = 1 c) x = 5 d) x = −7 1103 Bestäm x om p(x) = 0. a) p(x) = 40 − 10x b) p(x) = x2 − 25 1104 Ge exempel på ett polynom av tredje graden. 1105 Kostnaden för en taxiresa kan skrivas K(x) = 55 + 22x, där K(x) är kostnaden i kr och x är antalet kilometer som man åker. a) Vad kostar taxiresan om man åker 1,5 mil? b) Hur långt kan man åka för 200 kr? 1106 Vilka av alternativen A–E visar ett polynom? A x−2 + x − 3 B x5 + x2 + 4x C x 21 + x3 D x2 + 4x − 8 E 0,5x3 + 0,2x2 + 5 ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.1 PoLYnoM 9
1 1107 I en rektangel är längden 3 gånger så lång som bredden. a) Kalla rektangelns bredd för x och teckna ett uttryck för rektangelns omkrets. b) Beräkna rektangelns omkrets om x = 1,7 cm. c) Beräkna rektangelns längd om omkretsen är 1,6 m. 1108 Ali och Mohammad arbetar med polynom under matematiklektionen. Mohammad säger att han inte riktigt förstått vad ett polynom är. Ali bestämmer sig för att förklara genom att ge exempel på några polynom och jämföra dem med uttryck som inte är polynom. Hjälp Ali genom att ge exempel på vad han kan nämna i respektive grupp. 1109 Kurvorna visar temperaturen under en dag x timmar efter midnatt på två olika platser, A och B. T x Tid kl. °C T = fB(x) T = fA(x)302010 42 6 8 10 1214 a)Bestäm fB(8) b) x så att fA(x) = 20 c) x så att fA(x) = fB(x) 1110 Ett äpple faller från ett träd. Den sträcka som äpplet faller från grenen kan beskrivas med polynomet s(t) = 4,9t2, där t är tiden i sekunder och s(t) är sträckan i meter. a) Hur långt har äpplet fallit på 0,20 s? b) Hur länge dröjer det innan äpplet når marken om det hängde på höjden 2,7 m? c) Hur lång sträcka faller äpplet under tidsintervallet 0,10 s ≤ t ≤ 0,20 s? 1111 Låt f(x) = x3 − 2x + 1 a) Beräkna f(3) − f(2) b) Teckna ett uttryck för f(a) − f(b) Nivå 2 1112 Låt f(x) = x2 − 4x och bestäm a) f(5) b) f(−1) c) värdet av x då f(x) = 0 1113 Ge exempel på en polynomfunktion f av tredje graden, för vilken gäller att f(2) = 6. 1114 För vilka värden på x är f(x) = g(x) om a) f(x) = 2x2 + 3x − 4 och g(x) = 2x2 − 5x + 2 b) f(x) = 2x2 + 1,5x + 1 och g(x) = 5 + 1,5x 1115 Bestäm det andragradspolynom p som ger följande värdetabell: x 1234 p(x) 251017 1116 Kostnaden K kronor för att hyra en bil kan skrivas K(x) = 1 140 + 12x, där x är antalet körda mil. a) Teckna ett uttryck för genomsnittskostnaden per körd mil. b) Med hur mycket minskar genomsnittskostnaden per mil då körsträckan ökar från 100 mil till 200 mil? ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.1 PoLYnoM10
1 Multiplikation av polynom Om man multiplicerar två polynom med varandra, så blir produkten ett nytt polynom. Vi tittar på ett exempel med polynomen 3x3 + 1 och x2 − 4: (3x3 + 1)(x2 − 4) = 3x5 − 12x3 + x2 − 4 Binom Polynomen 3x3 + 1 och x2 − 4 kallas för binom eftersom de består av två termer. Det första binomet är av tredje graden och det andra av andra graden. Produkten är ett polynom av femte graden. Vid multiplikation av binom är konjugat- och kvadreringsreglerna bra att kunna. Första kvadreringsregeln Första kvadreringsregeln används när man ska kvadrera ett binom av typen a + b. (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 Andra kvadreringsregeln Andra kvadreringsregeln används när man ska kvadrera ett binom av typen a − b. (a b)2 = (a b)(a b) = a2 2ab + b2 Konjugatregeln Uttryck som a + b och a b kallas konjugerade binom och regeln för att multiplicera ihop sådana uttryck kallas därför konjugatregeln. (a + b)(a b) = a2 b2 (a + b)(a − b) = a2 − ab + ab − b2 = a2 − b2 Exempel: a) Teckna ett polynom som beskriver skillnaden mellan de två kvadraternas areor. b) Ange polynomets grad. c) Beräkna polynomets värde för x = 2 och förklara vad det betyder. Lösning: a) (x + 6)2 − x2 = (x2 + 12x + 36) − x2 = 12x + 36 b) Polynomet 12x + 36 är av första graden, eftersom exponenten i x-termen är 1. 12x = 12x1 c) Om x = 2, så är sidorna i de två kvadraterna 2 cm och 8 cm. Då blir skillnaden i area 12x + 36 = (12 ∙ 2 + 36) cm2 = 60 cm2 a − b är det konjugerade binomet till a + b, det kallas även för konjugatet till a + b x x x + 6 x + (cm)6 Den mindre kvadratens areaDen kvadratensstörrearea ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.1 PoLYnoM 11
1 Nivå 1 Multiplicera ihop och förenkla följande uttryck. 1117 a) x(x − 3) b) x3(2 − 3x) c) 2x2(3x3 − 4x) d) 5x4(2x2 − 1) 1118 a) (t + 3)(t + 7) b) (2t + 3)(t − 1) c) (2x2 − 4x)(3x + x2) d) (4a − b)(5ab − a2) 1119 Utveckla uttrycken med hjälp av konjugat regeln och kvadreringsreglerna a) (x + 3)2 b) (3x − 1)2 c) (x + 3)(x − 3) d) (1,2 − 0,1x)2 1120 Teckna och förenkla uttryck för figurernas area. a) 3x + 1 2x + 5 b) 2x + 5 x + 3 1121 Förenkla följande uttryck. a) (x + 1)2 − (x − 1)2 b) x2 − (x + 2)(x − 2) c) (a − 2)2 + (a − 3)2 − 2a2 1122 Agnes multiplicerar ett polynom av grad 4 med ett polynom av grad 2. Vilken grad kommer produkten att ha? 1123 Förenkla följande uttryck. a) x(x14 + 3x) + 3x15 − x2 b) x(x + 4)(x − 4) + x3 c) 25 − (x4 + 5)(x4 − 5) 1124 Vad ska stå i rutan för att likheten ska stämma? a) x2 + 18x + 81 = (x + )2 b) y2 − 12y + 36 = (y + )2 1125 Lös ekvationerna a) (x + 2)(x − 2) = x(x − 3) b) (2x − 1)2 = 0,5x(8x − 10) c) x(x2 − 4) = 4(2 − x) Nivå 2 1126 Förenkla uttrycket (x + 1)(x − 1) − x(2x + 1) och beräkna dess värde för x = −3. 1127 Elliot har läst att produkten av två polynom alltid är ett nytt polynom, men han förstår inte riktigt varför. Han frågar Matthis om hjälp. Ge förslag på hur Matthis kan förklara detta för Elliot. 1128 Utveckla följande uttryck: a) (a + b)3 b) (a − b)3 1129 Låt p och q vara polynom av grad 3 och r ett polynom av grad 4. Avgör om följande påståenden är sanna. a) pq är ett polynom av grad 6 b) p + q är ett polynom av grad 6 c) p + q är ett polynom av grad 3 d) p − q är ett polynom av grad 3 e) pqr är ett polynom av grad 10 f) p + r + q är ett polynom av grad 4 Exempel: Multiplicera ihop polynomen och förenkla produkten så långt som möjligt. a) (x + 1)(x2 − 4x) b) (2x − 3)(2x + 3) − (x + 3)(x − 2) Lösning: a) (x + 1)(x2 − 4x) = x ∙ x2 − x ∙ 4x + 1 ∙ x2 − 1 ∙ 4x = = x3 − 4x2 + x2 − 4x = x3 − 3x2 − 4x b) (2x − 3)(2x + 3) − (x + 3)(x − 2) = ((2x)2 − 32) − (x2 − 2x + 3x − 6) = = 4x2 − 9 − x2 + 2x − 3x + 6 = 3x2 − x − 3 Här använder vi konjugatregeln och förenklar sedan så långt som möjligt. ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.1 PoLYnoM12
1 Faktorisering av polynom Polynomet x2 + x går att faktorisera genom att bryta ut faktorn x x2 + x = x(x + 1) Faktorform Polynomet är nu skrivet i faktorform. En fördel med att faktorisera polynomet till x(x + 1) är att man direkt ser att polynomets värde är noll för x = 0 eller x = −1, eftersom en av faktorerna då är noll. Ett annat tillfälle när det underlättar att skriva ett polynom i faktorform är när man ska förenkla uttryck som x3 − 2x x x3 − 2x x = x(x2 − 2) x = x2 − 2 Vi bryter först ut x och förkortar sedan med x Man kan även faktorisera polynom med hjälp av konjugatregeln och kvadreringsreglerna. Exempel: Faktorisera polynomen a) 3x3 + 6x b) x2 + 8x + 16 c) 9x3 − 6x2 + x Lösning: a) 3x3 + 6x = 3x(x2 + 2) b) x2 + 8x + 16 = (x + 4)2 c) 9x3 − 6x2 + x = x(9x2 − 6x + 1) = x(3x − 1)2 Exempel: Faktorisera och förenkla uttrycket 2x2 + 4x x + 2 Lösning: 2x2 + 4x x + 2 = 2x(x + 2) x + 2 = 2x Bryt ut den gemensamma faktorn 3x Använd första kvadreringsBrytregelnut x och använd sedan andra kvadreringsregeln Bryt ut 2x ur täljaren och förkorta med x + 2 Nivå 1 1130 Bryt ut 5x ur följande polynom. a) 5x2 + 35x b) 30x3 − 45x c) 20x3 + 15x2 + 5x 1131 Faktorisera uttrycken a) 4x + 20 b) 2x + 4x2 c) 15x2 − 25x d) 2xy − x2y Faktorisera följande polynom med hjälp av konjugat regeln, kvadreringsreglerna eller genom att bryta ut en gemensam faktor. 1132 a) x2 − 1 b) a2 + 6a + 9 c) x2 − 14x + 49 d) 4b2 − 25 1133 a) 16y2 − 4 b) 2y2 − 8 c) x3 + 2x2 + x d) 3x3 − 6x2 + 3x ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.1 PoLYnoM 13
1 1134 Faktorisera och förenkla uttrycken a) 6x2 + 12x 3x b) 15x2 + 20x 5x2 1135 Faktorisera och förenkla följande uttryck. a) 6x − 3 2x − 1 b) (2x + 4)2 4x + 8 c) 5x − 10y x2 − 2xy d) t 2 + t 2t 2 − t 1136 I en fabrik tillverkas stickade halsdukar. Den totala kostnaden i kronor kan beskrivas med uttrycket K(q) = 103q + 0,0002q2 där q är antalet stickade halsdukar. Bestäm ett uttryck för kostnaden per halsduk och förenkla det så långt som möjligt. 1137 Juanita försöker faktorisera polynomet x2 − 6x − 9 med hjälp av andra kvadreringsregeln och får resultatet (x − 3)2. Bianca säger att Juanitas svar inte stämmer. a) Varför stämmer inte Juanitas förslag på faktorisering? b) Bestäm det polynom som kan faktoriseras till (x − 3)2. Nivå 2 1138 Faktorisera uttrycken a) a(2 + b) + 3(2 + b) b) xy(1 + x) − (1 + x) 1139 Binomet 2x + 1 är en faktor i uttrycket 12x2 − 3. Vilka är de två övriga faktorerna? 1140 Arean av en rektangel kan skrivas A(x) = x2 + 6x, där x cm är rektangelns bredd. Hur mycket längre är längden än bredden? 1141 På ett matematiktest gavs uppgiften: Faktorisera och förenkla uttrycket 6x − x2 − 9 2x2 − 18 Här ser du tre lösningar som lämnades in: A −1(x + 3)2 2(x2 − 9) = − x + 3 2(x − 3) B −1(x − 3)2 2(x − 3)(x + 3) = −1(x − 3) x + 3 C −1(x − 3)2 2(x2 − 9) = −(x − 3) 2(x − 3) = 3 − x 2(x − 3) Är någon av lösningarna korrekt? Motivera ditt svar. 1142 Längden av hypotenusan i en rätvinklig triangel kan skrivas √2x2 + 2x + 1 cm. Den ena kateten är x cm. Hur lång är den andra kateten? Varför är p(x) = 4 x3 inte ett polynom? u Hur beräknar man värdet av ett polynom? Vad är det som bestämmer ett polynoms grad? Förklara varför produkten av två polynom också är ett polynom. I vilka sammanhang är det lämpligt att ha ett polynom skrivet på faktorform? Ge exempel på några olika metoder som man kan använda för att faktorisera ett uttryck. Resonemang och begrepp ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.1 PoLYnoM14
. Ekvationen x2 = a
x2 =
x2 − 36 = 0
vi (x − 6)(x + 6) = 0. För
i
i
1 1.2 Polynomekvationer Enkla polynomekvationer Ekvationer där båda leden är polynom, som till exempel 2x3 − 7x2 = 18 − 18x, kallas polynomekvationer. Ofta väljer man att samla alla termer i vänstra ledet och låta det högra ledet vara lika med noll. Ekvationen här ovanför får då formen 2x3 − 7x2 + 18x − 18 = 0. Allmänt kan en polynomekvation skrivas p(x) = 0, där p(x) är ett polynom. I tidigare kurser har du löst polynomekvationer av grad 1 och 2. Det vill säga ekvationer som 3x − 7 = 0 och x2 − 10x + 3 = 0. Att lösa ekvationer av grad 3 eller 4 algebraiskt är för det mesta mycket svårare. Ekvationer av grad 5 eller högre är oftast omöjliga att lösa med algebraiska metoder.
Andragradsekvationer
sedan
Då
antingen x = 6 eller x = −6.
därför x = 6 och x = −6. Faktorisering Andragradsekvationen 2x2 − 9x = 0 saknar konstantterm och kan därför lösas genom faktorisering. Först skriver man om ekvationen till x(2x − 9) = 0. För att produkten i vänstra ledet ska vara noll, måste antingen x = 0 eller 2x − 9 = 0 gälla. Rötterna är därför x = 0 och x = 29 . Exempel: Lös andragradsekvationerna a) 13x − x2 = 0 b) (x + 3)(x − 8) = 0 Lösning: a) 13x − x2 = 0 Bryt ut x ur VL x(13 − x) = 0 VL är en produkt som är 0 x = 0 eller 13 − x = 0 13 − x = 0 ger x = 13 Svar: x1 = 0 och x2 = 13 b) (x + 3)(x − 8) = 0 VL är redan faktoriserat x + 3 = 0 eller x − 8 = 0 någon av faktorerna måste vara noll x = −3 x = 8 Svar: x1 = −3 och x2 = 8 ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.2 PoLYnoMEKVATIonER 15
x = ±6. Vi
Ett viktigt moment i kurs 2 var att lösa andragradsekvationer. Det har du nytta av även i kurs 3. Vi ska repetera olika metoder för att lösa andragradsekvationer algebraiskt. I det här avsnittet genom roturdragning och faktorisering och nästa avsnitt genom kvadratkomplettering och med hjälp av pq-formeln Ekvationen 36 kan vi lösa genom att dra kvadratroten ur 36, vilket ger kan också lösa ekvationen genom att först skriva om den som och faktorisera VL med konjugatregeln. får att produkten vänstra ledet ska bli noll, måste Rötterna är
1 Exempel: Lös andragradsekvationerna. a) x2 = 49 b) 4x2 − 192 = 0 c) (x + 5)2 = 36 Lösning: a) x2 = 49 Vilka tal i kvadrat är 49? x = ±7 Eftersom både 72 = 49 och (−7)2 = 49 Svar: x1 = 7 och x2 = −7 b) 4x2 − 192 = 0 4x2 = 192 x2 = 48 x = ±√48 x = ±4√3 √48 = √16 ∙ 3 = √16 √3 = 4√3 Svar: x1 = 4√3 och x2 = −4√3 c) (x + 5)2 = 36 x + 5 = ±6 Antingen är x + 5 = 6 eller x + 5 = −6 x + 5 = 6 eller x + 5 = −6 x = 1 x = −11 Svar: x1 = 1 och x2 = −11 Nivå 1 Lös ekvationerna 1201 a) x2 = 9 b) y2 = 64 c) x2 = 0,01 d) y2 = 41 1202 a) x2 = 46 b) x2 = −16 c) y2 − 169 = 0 d) 2y2 = 100 1203 Pernilla säger till Anja att lösningen till ekvationen x2 = 16 är x = 8. Anja inser att Pernilla har gjort fel. a) Lös ekvationen x2 = 16. b) Vilket fel har Pernilla troligen gjort? c) Hjälp Anja att förklara för Pernilla hur hon kan tänka för att kunna lösa ekvationen. 1204 Lös ekvationerna a) x(x − 15) = 0 b) t(4 − 8t) = 0 c) 2y(y + 7) = 0 1205 Använd graferna för att lösa ekvationerna a) f(x) = 0 b) f(x) = g(x) y x1 1 y = f(x) y = g(x) ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.2 PoLYnoMEKVATIonER16
1 Lös ekvationerna 1206 a) (x − 3)(x + 5) = 0 b) t(t + 2)(2t − 12) = 0 c) s(s2 − 4) = 0 1207 a) x2 − 20x = 0 b) 3x2 − 15x = 0 c) 4y2 + 3y = 0 d) y2 = 6y 1208 a) (x − 5)2 = 4 b) (x + 8)2 = 100 c) (y − 17)2 = 0 d) (3 − 2y)2 = 25 1209 Beräkna radien av en cirkel med arean 23 cm2. 1210 I en rätvinklig triangel är de två kateterna 3 dm respektive 5 dm. Hur lång är hypotenusan? 1211 Ge exempel på en andragradsekvation som har en dubbelrot, det vill säga två likadana rötter. 1212 Grafen till funktionen y = x2 − 9x skär x axeln för x = 0. Skär grafen x-axeln för något annat värde på x? I så fall vilket? Nivå 2 1213 Lös andragradsekvationerna a) 3(x − 7)2 = 75 b) 4(y + 15)2 + 20 = 0 c) 2(3z − 4)2 − 162 = 0 1214 Om den ena sidan i en kvadrat förlängs så att den blir 1,5 gånger längre, så bildas det en rektangel med 8 cm2 större area än kvadratens area. Bestäm kvadratens sida. 1215 Ange ett värde på a för vilket ekvationen x2 + a = 25 a) saknar reella lösningar b) har exakt en lösning 1216 I en rätvinklig likbent triangel är den längsta sidan 96 cm. Bestäm triangelns area. 1217 Enligt första kvadreringsregeln gäller att (x + 3)2 = x2 + 6x + 9. Använd det för att lösa ekvationen x2 + 6x + 9 = 25. 1218 Ett rör med cirkulär tvärsnittsarea har innerdiametern 28 mm . Hur stor ska rörets ytterdiameter vara, om tvärsnittsarean (det skuggade området) av rörets vägg ska bli 4,5 cm2? Nivå 3 1219 Lös ekvationerna utan att använda digitalt hjälpmedel eller pq-formeln. a) x2 + 2x + 1 = 16 b) x2 − 6x + 9 = 4 1220 Ringo är stjärngosse och hans mössa har formen av en rak cirkulär kon med höjden 4,0 dm och volymen 2,5 dm3. Den storlek som brukar anges på hattar är den inre omkretsen mätt i centimeter. Vilken storlek har Ringos mössa enligt denna princip? 28 (mm) ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.2 PoLYnoMEKVATIonER 17
Variabelsubstitution
x4 − 2x2 − 8 = 0 kan lösas
t2 − 2t − 8 = 0. Vi kan lösa den ekvationen på vanligt sätt och får då rötterna t1 = −2 och t2 = 4. Eftersom t = x2 får vi två nya ekvationer: x2 = −2 och x2 = 4. Ekvationen x2 = −2 har inga reella rötter, medan ekvationen x2 = 4 har rötterna x = ±2. Rötterna till den ursprungliga fjärdegradsekvationen är alltså x = ±2. De polynomekvationer som vi inte kan lösa med algebraiska metoder går dock ofta att lösa med grafiska eller numeriska metoder. Exempel: Lös ekvationen x2 + 12x = 28 Lösning: Vi löser ekvationen med hjälp av kvadratkomplettering x2 + 12x = 28 x2 + 12x + 36 = 28 + 36 Vi adderar 36 till båda leden och kan därmed skriva VL som en kvadrat (x + 6)2 = 64 x + 6 = ±8 Vi får två lösningar x + 6 = 8 x + 6 = −8 x = 2 x = −14 Svar: x1 = 2 och x2 = −14 Vi kan även använda pq formeln för att lösa ALGEBRAISKAekvationen.UTTRYCKu 1.2 PoLYnoMEKVATIonER18
vi
vi ersätter x2 med t
Ekvationen med hjälp
Om får andragradsekvationen
av variabelsubstitution
1 Mer om polynomekvationer Polynomekvationer av grad två kallas ofta för andragradsekvationer. Andragradsekvationer som x2 − 8x + 5 = 0 innehåller såväl x2-term, x-term som konstantterm. De kan lösas algebraiskt med hjälp av kvadratkomplettering eller genom att använda pq-formeln. pq-formeln En andragradsekvation i formen x2 + px + q = 0 har rötterna x = − p 2 ± √ ( p 2 )2 − q För polynomekvationer av högre grad än två finns det ingen enkel algebraisk lösningsformel. En del av dem kan dock lösas via faktorisering eller med hjälp av variabelsubstitution. Faktorisering Vi kan lösa tredjegradsekvationen x3 − 8x2 + 5x = 0 med faktorisering genom att skriva den som x(x2 − 8x + 5) = 0. Om produkten ska bli noll måste någon av faktorerna vara noll. Den ena faktorn ger oss direkt x = 0 som rot. Att den andra faktorn kan vara noll ger oss andragradsekvationen x2 − 8x + 5 = 0, som ger ytterligare rötter till den ursprungliga ekvationen.
1 Exempel: Lös andragradsekvationen 4x2 − 24x + 8 = 0 exakt. Lösning: Vi löser ekvationen med hjälp av pq-formeln. 4x2 − 24x + 8 = 0 x2 − 6x + 2 = 0 Vi använder pq formeln x = 3 ± √(−3)2 − 2 x = 3 ± √7 √7 kan inte uttryckas exakt i decimalform Svar: x1 = 3 + √7 och x2 = 3 − √7 Exempel: Lös ekvationerna a) x3 + x2 − 6x = 0 b) x4 − 2x2 − 3 = 0 Lösning: a) x3 + x2 − 6x = 0 Vi bryter ut x ur VL x(x2 + x − 6) = 0 ger x = 0 eller x2 + x − 6 = 0 x2 + x − 6 = 0 Vi använder pq formeln x = 21 ± √ ( 21 )2 + 6 = 21 ± √ 41 + 244 = 21 ± √ 254 = 21 ± 52 x = 12 + 52 = 2 och x = 21 − 52 = −3 Svar: x1 = 0; x2 = 2; x3 = −3 b) x4 − 2x2 − 3 = 0 Om vi först sätter x2 = t, så blir x4 = t2 och vi får ekvationen t2 − 2t − 3 = 0 Vi använder pq formeln t = 1 ± √(−1)2 + 3 t = 1 ± 2 t1 = 3; t2 = Lösningarna−1till den ursprungliga ekvationen får vi nu genom att utnyttja att x2 = t för t1 och t2. t1 = 3 ger x2 = 3 t2 = −1 ger x2 = −1 x = ±√3 Svar: Ekvationen har två reella lösningar: x1 = √3 ; x2 = √3 Vi dividerar båda leden med 4 för att få ekvationen i formen x2 + px + q = 0 Hälften av −6 med ombytt tecken Hälften av −6 i kvadratKonstanttermen med ombytt tecken Ekvationen saknar reella lösningar ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.2 PoLYnoMEKVATIonER 19
1 Exempel: Lös ekvationen x2 − 4x + 6 = x3 − 3x grafiskt. Lösning: Vi betraktar VL som y1 = x2 − 4x + 6 och HL som y2 = x3 − 3x och ritar graferna till y1 och y2 i GeoGebra. Vi skriver in funktionsuttrycken i inmatningsfältet i GeoGebra. Lösningen till x2 − 4x + 6 = x3 − 3x är x-värdet för grafernas skärningspunkt, dvs. det x som ger samma y-värde för båda graferna. För att bestämma skärningspunkten väljer vi skärning mellan objekt och klickar sedan på grafen till den ena kurvan och därefter på grafen till den andra kurvan. Koordinaterna för skärningspunkten anges då i algebrafönstret. Lösningen till ekvationen är x-koordinaten till skärningspunkten. Svar: Ekvationen har lösningen x = 2. Nivå 1 1221 Lös ekvationerna a) x2 − 18x − 19 = 0 b) x2 − 9x + 8 = 0 c) x2 + 20x + 51 = 0 1222 Lös ekvationerna a) x2 − 16x + 15 = 0 b) x2 + 2x − 63 = 0 c) x2 − x + 41 = 0 d) 2x2 − 8x − 24 = 0 1223 Bestäm rektangelns mått. x + 7 (cm) xArea = 49 cm2 1224 Bestäm koordinaterna för skärningspunkterna mellan kurvorna a) y = 4x − 2x2 och y = 6 − 4x b) y = x2 − 1 och y = 4x + 2 1225 Lös ekvationerna genom att först faktorisera vänsterledet med hjälp av kvadreringsrega)lerna. x2 − 4x + 4 = 9 b) x2 + 16x + 64 = 1 c) x2 + 9x + 20,25 = 100 1226 Vilka tal ska adderas till båda leden i ekvationerna för att det vänstra ledet ska vara möjligt att faktorisera med hjälp av kvadrerings reglerna?a) x2 − 4x = 5 b) x2 + 10x = 11 ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.2 PoLYnoMEKVATIonER20
1 1227 Lös ekvationerna a) y2 + 13 = 14y b) 4x2 − 16x − 20 = 0 1228 Lös följande ekvationer grafiskt, t.ex. med ett digitalt verktyg. a) 2x3 + 2x = 4 b) x3 − 5x + 6 = x2 − 4x + 9 1229 För vilket värde på a har ekvationen x2 − 2x + a = 0 roten x = 4? Vilken är då ekvationens andra rot? 1230 Koldioxidutsläppet från en lastbil kan beskrivas med C(v) = 0,045v2 − 6,75v + 393, där C(v) är utsläppet i gram per kilometer och v är hastigheten i kilometer per timme. Vid vilken hastighet är utsläppet 200 g /km? Nivå 2 1231 Marie tar en åktur på sin motorcykel. Hastigheten v km/h är en funktion av tiden t i sekun der enligt v(t) = 37t − 2,0t2 tills motorcykeln har nått maxfart. a) Hur lång tid tar det för motorcykeln att nå 100 km/h? b) Bestäm motorcykelns högsta möjliga fart. 1232 I en romb är höjden 3,2 dm kortare än sidan. Arean är 86 dm2. Bestäm rombens omkrets. 1233 När man minskar längden av alla sidor i en given kub med 1 cm, så minskar volymen med 91 cm3. Bestäm längden av sidan i den ursprungliga kuben. 1234 Lös ekvationerna a) x3 + 6x2 − 7x = 0 b) x4 − 16x2 = 0 c) x4 + 7x3 − 6x2 = 0 1235 Man kan lösa vissa polynomekvationer genom att göra en variabelsubstitution. Genom att i ekvationen x4 − 6x2 + 5 = 0 göra substitutionen x2 = t får man ekvationen t2 − 6t + 5 = 0. a) Lös ekvationen t2 − 6t + 5 = 0. b) Bestäm rötterna till ekvationen x4 − 6x2 + 5 = 0 med hjälp av resultatet i a). Nivå 3 1236 Lös ekvationerna med variabelsubstitution. a) x4 − 8x2 + 7 = 0 b) 2x4 − 12x2 − 54 = 0 1237 I en parallellogram är basen 4,9 cm längre än höjden. Bestäm den minsta möjliga omkrets parallellogrammen kan ha, om dess area är 77 cm2. 1238 Finns det något värde på a som leder till att ekvationen saknar reella lösningar? Motivera ditt svar. a) x2 − 8x + a = 0 b) x2 + ax − 1 = 0 c) x2 + ax + 9 = 0 d) ax2 + 2x + 1 = 0 ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.2 PoLYnoMEKVATIonER 21
1 Grafen till en polynomfunktion Funktionen p med p(x) = 6x3 + 2x2 − 3x − 5 är ett exempel på en polynomfunktion, eftersom funktionsuttrycket är ett polynom. Polynomet är av grad 3, eftersom den högsta exponenten till variabeln x är just 3. Ett polynoms grad har stor betydelse för grafens utseende, vilket du ser i grafen till vänster. Grafen till ett förstagradspolynom, som till exempel f(x) = 4x + 1, är alltid en rät linje. Andragradspolynom som g(x) = x2 − 3x + 2 beskriver däremot en parabel. Nollställen Att finna nollställen till en polynomfunktion p, innebär att man bestämmer de värden på x som ger p(x) = 0. Det betyder alltså att man ska lösa en polynomekvation. Det kan man göra algebraiskt eller grafiskt som i förra avsnittet. Vi kan bestämma polynomfunktionens nollställen genom att undersöka var dess graf skär x-axeln. Av graferna i den övre figuren framgår det att f har ett nollställe och att g har två. En polynomfunktion av första graden har alltid exakt ett nollställe. En polynomfunktion av andra graden har antingen två, ett eller inget nollställe alls. En polynomfunktion av tredje graden kan ha upp till tre nollställen. Det framgår av grafen till h(x) = x3 − 3x som du ser här till vänster. Men om vi ritar grafen till k(x) = x3 + 1, så ser vi att inte alla tredjegrads funktioner har tre nollställen. Den här funktionen har bara ett nollställe. En tredjegradsfunktion kan alltså ha upp till tre nollställen, men den har alltid minst ett Fjärdegradsfunktionennollställe. i figuren nedanför har fyra nollställen och femtegradsfunktionen har fem nollställen. Antalet nollställen är aldrig fler än polynomets grad. y x1 1 y x1 1
ALGEBRAISKA0 UTTRYCK u 1.2 PoLYnoMEKVATIonER22
En
x
x
Grafen till ett fjärdegradspolynomGrafen till ett femtegradspolynom Antal nollställen och antal rötter En polynomfunktion av grad n har högst n stycken nollställen. polynomekvation av grad n har högst n stycken rötter. Funktionen h har nollställen där h( ) y 1 1 y = x3 + 1 k(x) =
= 0
y x1 1 y = g(x) y = f(x) y x1 1 y = x3 − 3x
1 Exempel: Hur många nollställen har följande polynom? a) p(x) = x2 + 2x + 3 b) q(x) = x3 − 5x2 + 9 c) r(x) = 0,7x − 5 Lösning: Vi ritar grafen till respektive funktion med grafritande hjälpmedel, till exempel a)GeoGebra.Polynomet är av grad två. Vi ser direkt att parabeln inte skär x-axeln. Svar: Polynomet p(x) saknar nollställen. b) Vi ser i ritområdet att q(x) har tre nollställen. Eftersom ett tredjegrads polynom kan ha maximalt tre nollställen, så finns det inga fler. Svar: Polynomet q(x) har tre nollställen. c) Polynomet r(x) är av första graden och har därför precis ett nollställe. Svar: Polynomet r(x) har ett nollställe. Exempel: Bestäm nollställena till p(x) = −2x2 + 6x + 8 och q(x) = x2 − 3x − 4 algebraiskt. Kontrollera resultatet med grafritande hjälpmedel. Lösning: Först löser vi andragradsekvationen p(x) = 0. −2x2 + 6x + 8 = 0 Delar båda led med −2 för att få ekvationen på normalform x2 − 3x − 4 = 0 Ekvationen är nu identisk med q(x) = 0 Vi löser ekvationen med hjälp av pq-formeln x = 23 ± √ ( 23 )2 + 4 √ ( 23 )2 + 164 = √ 254 x = 23 ± 52 x = 4 och x = −1 Nollställena är x = 4 och x = −1. Vi ser att ekvationen q(x) = 0 har samma rötter som p(x) = 0. Polynomen q(x) = x2 − 3x − 4 och p(x) = −2x2 + 6x + 8 har alltså samma nollställen, men de är inte samma polynom. Det syns tydligt när vi ritar dem med GeoGebra. ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.2 PoLYnoMEKVATIonER 23
1246 Ge exempel på en polynomfunktion med fem nollställen, t.ex. genom att testa dig fram på ett digitalt verktyg.
y x f 5 2468 a)
b)
Nivå 3 1248
y x1 1 y = f(x) y = g(x) ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.2 PoLYnoMEKVATIonER24
x
1 Nivå 1 1239 Graferna till två funktioner är ritade i figuren. Vilka nollställen har funktionerna? 1240 Vilken graf hör till vilket funktionsuttryck? A f(x) = x2 − 6x − 8 B g(x) = x3 + 4x + 6 C h(x) = x5 − 3x4 − 4x3 + 12x2 y x I IIIII 1241 Hur många nollställen har funktionerna? a) f(x) = 7x − 21 b) g(x) = −x2 + 13 c) h(x) = 3x3 + 1 d) k(x) = x3 − 3x2 + 4 1242 Ge exempel på en andragradsfunktion som a) saknar nollställen b) har precis ett nollställe Nivå 2 1243 Ett tredjegradspolynom kan allmänt skrivas i formen p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, där a ≠ 0. Hur påverkas grafen till p av tecknet på a, det vill säga om a är positivt eller negativt? 1244 Bestäm rötterna till ekvationerna med graf ritande hjälpmedel. a) 5x4 = 0 b) 4x2 − 6x = 0 c) x3 + 3x2 − 7x − 2 = 0 1245 Figuren visar grafen till f(x) = x3 − 3x2 + 4. y x1 1 y = f(x) a) Ange rötterna till f(x) = 0. b) Ändra konstanttermen i funktions uttrycket, så att ekvationen f(x) = 0 får endast en rot. c) Ändra konstanttermen i funktions uttrycket, så att ekvationen f(x) = 0 får tre rötter.
1247 Jonna har ritat grafen till en tredjegradsfunktion med sitt grafritande hjälpmedel. Hon säger till Songül att funktionen saknar nollställen. Songül säger att det inte kan stämma. Förklara varför Songül kan vara så säker på sin sak. b) Ge en tänkbar förklaring till varför Jonna kan ha dragit den felaktiga slutsatsen. Figuren visar en del av grafen till f(x) = − 3 + 30x2 − 297x + 976. Philippe säger att han utifrån den figuren direkt kan dra slutsatsen att funktionen har precis ett nollställe. Förklara varför Philippe kan dra den slutsatsen. Bestäm funktionens nollställe.
a)
polynom Genom att finna rötterna till en polynomekvation p(x) = 0, får vi även nollställena till polynomet p(x). Dessa nollställen kan
Faktorisera användas som hjälp faktorisera nollställena
av polynomet för något x förutom nollstället, så kan vi bestämma k. Är till exempel p(0) = 4, så får vi k(0 − 2) = 4, som ger k = −2. I detta fall är det sökta polynomet p(x) = −2(x − 2) = −2x + 4. Polynom på faktorform Ett polynom p(x) av grad n, som har nollställena x1, x2, …, xn kan skrivas p(x) = k(x − x1)(x − x2)…(x − xn) där k är en konstant. nollställen till polynomet p(x) y x 2 4 y = x2 − 10x − 11 x = 11x = −1 ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.2 PoLYnoMEKVATIonER 25
Nollställen ger polynomet Om vi vill bestämma ett polynom och vet att ett nollställe är x = 2, så är f(x) = x − 2 ett polynom som uppfyller kravet. Men det finns även andra polynom som uppfyller kravet, t.ex. g(x) = 3x − 6, q(x) = −x2 + 4 och r(x) = (x − 2)3. För att kunna bestämma polynomet p(x) måste vi veta mer. Om vi vet att det sökta polynomet är av grad 1, så kan vi skriva polynomet som p(x) = k(x − 2), där k är en konstant. Om vi dessutom vet värdet
för att
x = −1 och x = 11, så kan polynomet skrivas i faktorform som q(x) = (x + 1)(x − 11).
vi
Det betyder att om känner till samtliga nollställen till ett polynom, så kan faktorisera polynomet. Om är ett nollställe till polynomet p(x), så är (x − a) en faktor i p(x).
1 Faktorer och nollställen Faktorform och nollställen Polynomet p(x) = (x + 1)(x − 1)(x − 3) är skrivet i faktorform. Om man multiplicerar ihop faktorerna, så får man p(x) = x3 − 3x2 − x + 3. När polynomet är skrivet i faktorform, är det enkelt att se att polynomet har nollställena x = −1, x = 1 och x = 3. Sätter man in x = −1, så blir värdet i den första parentesen lika med noll och därmed gäller att p(−1) = 0. På samma sätt ser man att p(1) = p(3) = 0. Ekvationer av högre grad Samma resonemang gäller även för polynomekvationer. Den till synes besvärliga fjärdegradsekvationen x4 − 6x3 + 7x2 + 6x − 8 = 0 är mycket enklare att lösa om VL i stället står i faktorform. Då har samma ekvation utseendet (x + 1)(x − 1)(x − 2)(x − 4) = 0 och vi kan enkelt se att rötterna är x1 = −1, x2 = 1, x3 = 2 och x4 = 4.
vi
polynomet. Eftersom q(x) = x2 − 10x − 11 har
a
1 Faktorisera polynom Om vi vill faktorisera polynomet p(x) = x4 − 10x3 + 9x2, så inleder vi med att bestämma rötterna till ekvationen p(x) = 0. Ekvationen x4 − 10x3 + 9x2 = 0 kan vi lösa genom att börja med att bryta ut x2 i VL. x2(x2 − 10x + 9) = 0 Vi får då x2 = 0, som har dubbelroten x = 0 och x2 − 10x + 9 = 0, som har rötterna x = 1 och x = 9. Ekvationen x4 − 10x3 + 9x2 = 0 har rötterna x = 0, x = 1 och x = 9. Det innebär att VL i ekvationen har faktorerna x, (x − 1) och (x − 9). Eftersom x = 0 är en dubbelrot till ekvationen, så ingår faktorn x två gånger i polynomet p(x) = x4 − 10x3 + 9x2 Faktoriseringen ger alltså p(x) = x2(x − 1)(x − 9) Exempel: För ett andragradspolynom p(x) gäller att p(−1) = p(3) = 0 och p(0) = 9. Bestäm polynomet p(x). Lösning: Eftersom polynomet p(x) är av grad två har det endast två nollställen, x = −1 och x = 3. Det betyder att vi kan skriva p(x) = k(x + 1)(x − 3), för något tal k. Eftersom vi vet att p(0) = 9, så sätter vi in x = 0 i uttrycket och får k(0 + 1)(0 − 3) = 9 −3k = 9 k = Därmed−3 har vi att p(x) = −3(x + 1)(x − 3) Svar: p(x) = −3(x + 1)(x − 3) = −3x2 + 6x + 9 Exempel: Lös ekvationen x5 + 12x4 + 11x3 = 0 Lösning: I VL i ekvationen x5 + 12x4 + 11x3 = 0 kan vi bryta ut faktorn x3 x3(x2 + 12x + 11) = 0 Det betyder att x3 = 0 eller x2 + 12x + 11 = 0 x3 = 0 ger trippelroten x = 0 x2 + 12x + 11 = 0 ger med hjälp av pq-formeln x = −6 ± √36 − 11 = −6 ± 5 x = −1 och x = −11 Svar: Ekvationens rötter är x1 = 0 (trippelrot), x2 = −1 och x3 = −11 ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.2 PoLYnoMEKVATIonER26
1 Exempel: Faktorisera polynomen a) p(x) = x2 + 12x − 28 b) q(x) = 4x3 − 24x2 + 40x Lösning: a) Vi bestämmer först nollställen till p(x) genom att lösa ekvationen p(x) = 0. x2 + 12x − 28 = 0 Lös andragradsekvationen med någon metod x = −6 ± √62 + 28 Vi väljer att lösa ekvationen med hjälp av pq formeln x = −6 ± 8 √64 = 8 x1 = 2 och x2 = −14 Med hjälp av nollställena kan p(x) faktoriseras som k(x − x1)(x − x2) = k(x − 2)(x + 14). Eftersom (x − 2)(x + 14) = x2 + 12x − 28 = p(x), så är k = 1. Svar: p(x) = (x − 2)(x + 14) b) Om vi bryter ut 4x ur q(x), så får vi q(x) = 4x(x2 − 6x + 10) För att gå vidare med faktoriseringen sätter vi x2 − 6x + 10 = 0. Eftersom diskriminanten 32 − 10 < 0, så saknar andragradsekvationen reella lösningar. Uttrycket x2 − 6x + 10 kan därmed inte faktoriseras. Faktoriseringen är färdig. Svar: q(x) = 4x(x2 − 6x + 10) Exempel: Grafen i figuren visar polynomfunktionen p, som är av tredje graden. a) Vilka är polynomfunktionens nollställen? b) Bestäm polynomet p(x). Lösning: a) Vi läser av funktionens nollställen i grafen. Svar: Polynomfunktionens nollställen är x = −4, x = 1 och x = 3. b) Med hjälp av nollställena vet vi att p(x) = k(x + 4)(x − 1)(x − 3), för något värde på k. Eftersom grafen skär y-axeln för y = 6, så kan vi dra slutsatsen att p(0) = 6. Vi sätter in x = 0 i uttrycket och löser ut k. k(0 + 4)(0 − 1)(0 − 3) = 6 k ∙ 4 ∙ (−1) ∙ (−3) = 6 12k = 6 k = 21 Svar: p(x) = 21 (x + 4)(x − 1)(x − 3) Kan också skrivas p(x) = 0,5x3 − 6,5x + 6 x y y = p(x) 1 2 x2 − 6x + 10 = 0 ger x = 3 ± √32 − 10 , där 32 − 10 kallas diskriminant ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.2 PoLYnoMEKVATIonER 27
1 Nivå 1 1249 Bestäm funktionernas nollställen. a) f(x) = x − 3 b) g(x) = (x − 2)(x + 1) c) h(x) = x(x + 3)(x − 3) d) k(x) = x2 − 5 1250 Ge exempel på ett andragradspolynom med nollställena x = 2 och x = 5 skrivet på faktorform. 1251 Faktorisera andragradspolynomen a) p(x) = x2 − 14x + 13 b) q(x) = x2 + 2x − 15 c) r(x) = x2 + 6x + 10 1252 Bestäm rötterna till följande polynom a)ekvationer.( x − 2)(x − 5) = 0 b) x(x + 4)(x − 1) = 0 1253 Grafen till p(x) = x3 + 3x2 − x − 3 är ritad i figuren. Bestäm rötterna till ekvationen x3 + 3x2 − x − 3 = 0 med hjälp av figuren. y x1 1 y = p(x) 1254 Ett andragradspolynom har nollställena x = 4 och x = 2. Ge ett exempel på hur polynomet kan se ut i formen ax2 + bx + c. 1255 Lös ekvationerna a) x3 − 8x2 + 7x = 0 b) 2x4 + 12x3 + 10x2 = 0 1256 För ett förstagradspolynom p(x) gäller att p(5) = 0 och p(1) = 8. Vilket är polynomet? 1257 För ett andragradspolynom p(x) gäller att p(−1) = p(3) = 0 och p(2) = −6. Bestäm p(x). 1258 Grafen till en uttryandragradsfunktionärritadifiguren.Bestämfunktionscket. 1259 Ett tredjegradspolynom har nollställena x = −2, x = 1 och x = 2. Man vet också att p(0) = −8. Vilket är polynomet? Nivå 2 1260 Låt p(x) = x3 − 15x2 + 62x − 72 a) Bestäm rötterna till polynomekvationen p(x) = 0 grafiskt, t.ex. med grafritande hjälpmedel. b) Skriv polynomet p(x) i faktorform. 1261 Grafen i figuren visar polynomfunktionen p, som är av tredje graden. x y 2 2 a) Vilka är polynomfunktionens nollställen? b) Bestäm polynomet p(x). 1262 I Klaras mattebok står det: ”Ett andragrads polynom har nollställena x = −6 och x = 2. Dessutom gäller att p(0) = 0. Vilket är poly nomet? ” Klara vill inte lösa uppgiften eftersom hon anser att något inte stämmer. Har Klara rätt? Motivera ditt svar. 1263 Bestäm ett tal A och ett tal B så att tredjegradsekvationen x(x + A)( 52 + Bx) = 0 får lösningarna x1 = 0, x2 = 5 och x3 = − 37 . (np Ma3c ht 2014) y x2 1 y = f(x) ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.2 PoLYnoMEKVATIonER28
ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.2 PoLYnoMEKVATIonER 29
1 1264 I ekvationen x3 − x2 − 17x − 15 = 0 kan VL skrivas som produkten (x − 5)(x2 + 4x + 3). Bestäm ekvationens samtliga rötter. 1265 Faktorisera polynomen så långt som möjligt. a) r(z) = −z3 + 4z2 − 3z b) q(t) = 2t2 − 14t − 36 c) p(x) = −x2 + 10x + 25 1266 Vilka nollställen har polynomet p(x) = 5x(x + 2)3 − 2(x + 2)3 ? 1267 Ge exempel på ett tredjegradspolynom med endast två nollställen, x = 2 och x = 7. 1268 Låt p(x) = 2x3 − 37x2 + 176x − 240 a) Bestäm rötterna till polynomekvationen p(x) = 0 grafiskt, t.ex. med grafritande hjälpmedel. b) Skriv polynomet p(x) i faktorform. Nivå 3 1269 Enligt faktorsatsen gäller bland annat att ”Om x − a är en faktor i polynomet p(x), så är p(a) = 0.” Visa att påståendet är sant. 1270 I figuren har vi ritat graferna till två polynomfunktioner. Funktionen p har i faktorform utseendet p(x) = (x − 1)(x − 4)2. Att (x − 4)2 är faktor betyder att x = 4 är ett dubbelt nollställe till polynomet. y x2 1 y = q(x) y = p(x) a) Vilken iakttagelse kan du göra med hjälp av grafen om det dubbla nollstället för p(x), där x = 4? b) Vilket tredjegradspolynom visar grafen y = q(x)? 1271 Ett tredjegradspolynom har ett nollställe för x = −1 och ett dubbelt nollställe för x = 3. Grafen går genom punkten med koordinaterna (1, 16). Bestäm polynomet. 1272 Låt p(x) = −x4 + 3x3 + 68x2 + 6x + 140 a) Bestäm två rötter till polynomekvationen p(x) = 0 grafiskt med grafritande verktyg. b) Skriv polynomet p(x) i faktorform om du vet att (x2 + 2) är en faktor i p(x). c) Ditt grafritande verktyg hjälpte dig inte att bestämma faktorn (x2 + 2). Förklara varför.
Varför kan man inleda med att dividera p(x) med 2 om man ska lösa ekvationen p(x) = 0, men inte när man ska beräkna värdet p(5)?
Vilket samband finns det mellan nollställena till polynomet p och rötterna till ekvationen p(x) = 0? Resonemang och begrepp
Vilket är det minsta respektive största antalet nollställen ett sjättegradspolynom kan Förklaraha? hur man kan använda faktorisering av polynom för att konstruera en andragradsekvation med rötterna x = 2 och x = 5. u Varför räcker det inte med att känna till polynomets nollställen och gradtal för att kunna bestämma polynomet?
1 1.3 Rationella uttryck Förkortning och förlängning av rationella uttryck Om vi har två polynom 3x2 + 1 och x − 2 och bildar kvoten 3x2 + 1 x − 2 så har vi bildat ett rationellt uttryck Rationella uttryck Ett rationellt uttryck är ett uttryck av formen p(x) q(x) där p(x) och q(x) är polynom och q(x) ≠ 0. Ett rationellt uttryck har liknande egenskaper som ett bråk. Ett bråk är inte definierat när nämnaren är noll. Uttrycket 3x2 + 1 x − 2 är alltså inte definierat för x = 2. För att förenkla ett rationellt uttryck använder man liknande metoder som när man förenklar bråk. Man kan förkorta ett bråk genom att dividera både täljare och nämnare med en gemensam faktor. På samma sätt kan man förlänga ett bråk genom att multiplicera täljare och nämnare med samma tal. 1812 = 1812/6/6 = 32 37 = 5 ∙ 7 5 ∙ 3 = 1535 Samma principer används för att förkorta eller förlänga rationella uttryck. 5 x + 1 = 5(x − 3) (x + 1)(x − 3) = 5x − 15 x2 − 2x − 3 Här har vi förlängt med x − 3 Vissa rationella uttryck behöver man faktorisera innan man kan förkorta. x3 − x x + 1 = x(x2 − 1) x + 1 = x(x + 1)(x − 1) x + 1 = x(x − 1) Ett uttryck som inte kan förkortas längre är skrivet i sin enklaste form Rationell funktion En rationell funktion är en funktion som definieras av ett rationellt uttryck. Ett exempel på en rationell funktion är f(x) = 3x2 + 1 x − 2 . Definitionsmängd Eftersom uttrycket x2 − 1 x − 1 inte är definierat för x = 1 så är den rationella funktionen f, där f(x) = x2 − 1 x − 1 , inte heller det. Definitionsmängden för f är alla värden på x som inte gör att nämnaren blir noll, dvs. definitionsmängden är alla x ≠ 1. Det är typiskt för rationella funktioner att det kan finnas x-värden som funktionen inte är definierad för. Dessa värden kan vi hitta genom att bestämma nollställena till polynomet i nämnaren. när man förkortar eller förlänger påverkas inte bråkets värde Vi har först brutit ut x, sedan använt konjugatregeln och slutligen förkortat med x + 1 ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.3 RATIonELLA UTTRYCK30
1 Värdemängd Värdemängden för funktionen f är alla värden som funktionen antar då x väljs ur definitionsmängden. Det kan vara lite krångligt att bestämma värdemängden till en rationell funktion algebraiskt, men man kan alltid rita grafen till funktionen för att få en uppfattning om värdemängden. Exempel: Förkorta det rationella uttrycket 3x2 − 3x 2x − 2 Lösning: 3x2 − 3x 2x − 2 = 3x(x − 1) 2(x − 1) = 3x 2 Exempel: Förenkla uttrycket 10x + 50 25 − x2 Lösning: 10x + 50 25 − x2 = 10(x + 5) (5 + x)(5 − x) = 510− x Exempel: Figuren visar grafen till f(x) = x x − 1 a) För vilket värde på x är funktionen inte definierad? b) Hur kan man se svaret till deluppgift a) i grafen? c) Grafen skär x-axeln i origo. Hur kan man se det i funktionsuttrycket? Lösning: a) Division med 0 är inte definierad. Alltså kan nämnaren inte vara 0. Funktionen är inte definierad för x = 1. om x = 1 så är nämnaren 0 b) Vi ser att grafen går mot −∞ när x går mot 1 från vänster och grafen går mot ∞ när x går mot 1 från höger. c) Funktionen har ett nollställe där täljaren är lika med 0, dvs. där x = 0. 3x är gemensam faktor i täljaren 2 är faktorgemensaminämnaren Förkorta med x − 1 Vi faktoriserar uttrycket för att sedan kunna förkorta 10 är gemensam faktor i täljaren Faktorisera nämnaren med hjälp av konjugatregeln. Förkorta med 5 + x y x1 1 y = f(x) ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.3 RATIonELLA UTTRYCK 31
1 Exempel: Rita grafen till f(x) = x2 − 2x − 8 x − 2 och ange funktionens definitionsmängd, värdemängd och nollställen. Lösning: Definitionsmängden är alla reella tal x ≠ 2. Vi ritar grafen med hjälp av digitalt verktyg. Vi ser att när x närmar sig 2 från den negativa sidan växer funktionen och antar mycket stora positiva värden. När x närmar sig 2 från den positiva sidan antar funktionen mycket stora negativa värden. Av grafens utseende och av resone manget ovan drar vi slutsatsen att funk tionens värdemängd är alla reella tal. Funktionen antar värdet noll när täljaren är noll. x2 − 2x − 8 = 0 Använd pq formeln x = 1 ± √(−1)2 + 8 x = 1 ± 3 Eftersom x = 1 ± √9 x = 4 och x = −2 Svar: Definitionsmängden är alla reella tal utom x = 2 och värdemängden är alla reella tal. Funktionens nollställen är x = 4 och x = −2. nämnaren x − 2 är 0 då x = 2. Eftersom division med 0 inte är definierad, så är funktionen inte definierad för x = 2. x y 2−6−4−2 64−15−10−55101520 Nivå 1 1301 För vilka värden på x är följande uttryck inte a)definierade?3 x b) x x + 2 c) 5 x2 − 9 1302 Vilket eller vilka av följande uttryck är inte definierade för x = 2? A 1 x + 2 B 2x 3x − 6 C 5 + 2x x2 − 4 D x 6x + 12 E x2 + 7x 2x F 2x − 4 4 − 2x 1303 Förenkla uttrycken a) 10a2 15a6 b) 3x − 1 6x − 2 c) x2 − 9x 3x d) 4(a + 3) (a + 3)(a − 1) e) b2 + 2b + 1 b + 1 f) a2 − 9 a + 3 1304 a) Rita grafen till f(x) = 1 x med ett digitalt verktyg. b) Bestäm funktionens definitionsmängd. c) Bestäm funktionens värdemängd. ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.3 RATIonELLA UTTRYCK32
1 1305 Bestäm nollställe och definitionsmängd för f(x) = 2 + x x − 4 . 1306 Ge exempel på ett rationellt uttryck som varken är definierat för x = 4 eller x = −4. 1307 Mikael har löst uppgiften: Förenkla uttrycket så långt som möjligt. x2 + 6x + 9 x2 + 3x Han fick svaret 2x + 9. Han tittar i facit och ser att han har fått fel svar. a) Vad kan han ha gjort för fel? b) Lös uppgiften korrekt. Nivå 2 1308 Förenkla uttrycken a) 2(x2 − 4) 4x + 8 b) x2 − 4x + 4 x2 − 4 1309 Ge exempel på ett funktionsuttryck som beskriver en funktion som inte är definierad a)förx = −3 b) x = ±8 c) x = 2 och x = 3 d) x = ±√2 1310 Ange en rationell funktion som inte är definierad för x = 1 och som har nollställena x = 2 och x = −6. 1311 Förläng uttrycken så att de får en gemensam a)nämnare. x2 + 3 2x och x2 + 3x 1 + x b) x + 3 2 − x och x − 1 2x 4 1312 Förklara varför f(x) > 0 för alla x där f(x) = 1 x2 + 1 1313 Vi har f(x) = x2 + 1 x − 1 . a) Bestäm funktionens definitionsmängd. b) Förklara varför funktionen inte har något nollställe. 1314 Bestäm funktionernas definitionsmängd. a) s(t) = t + 3 t 2 − 9 b) f(x) = x2 + 4 x2 − 6x − 27 1315 Vi har f(x) = x2 − 5x + 6 2x − 4 a) Rita grafen till funktionen f och bestäm funktionens definitionsmängd. b) Förklara grafens utseende. 1316 Anta att du vill skriva uttrycket x 2x + 2y + y 2x − 2y med en gemensam nämnare. Du förlänger det första bråket med uttryck A och det andra med uttryck B. Vilka av följande uttryck ska du välja för A och B? I A = x och B = y II A = 2x och B = 2y III A = x − y och B = x + y 1317 Det finns flera rationella uttryck som uppfyller följandeUttrycketvillkor:har värdet 0 endast då x = Uttrycket−5 är inte definierat för x = 10 Ge ett exempel på ett rationellt uttryck som uppfyller båda villkoren. (np Ma3c ht 2014) Nivå 3 1318 Bestäm konstanterna A och B så att 4x + 7 (x + 1)(x + 2) = A x + 1 + B x + 2 ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.3 RATIonELLA UTTRYCK 33
1 Addition och subtraktion av rationella uttryck Vid addition och subtraktion av rationella uttryck gäller samma räkneregler som vid bråkräkning. Bråk med samma nämnare kan adderas eller subtraheras direkt. Bråk som har olika nämnare måste först förlängas eller förkortas, så att nämnarna blir lika innan bråken kan adderas eller subtraheras. Detsamma gäller alltså för rationella uttryck. Om vi till exempel vill utföra subtraktionen 2 x − x + 4 x + 2 så måste vi förlänga uttrycken så att de får samma nämnare. En gemensam nämnare är x(x + 2). Vi får 2 x − x + 4 x + 2 = 2(x + 2) x(x + 2) − x(x + 4) x(x + 2) = 2x + 4 x(x + 2) − x2 + 4x x(x + 2) = = (2x + 4) − (x2 + 4x) x(x + 2) = 2x + 4 − x2 − 4x x(x + 2) = 4 − 2x − x2 x(x + 2) Exempel: Skriv med gemensam nämnare och förkorta om det är möjligt. a) 6 x + 3 + 2x x + 3 b) 4 x + 2 x − 1 c) 1 x − 2 − 1 2 − x Lösning: a) 6 x + 3 + 2x x + 3 = 6 + 2x x + 3 = 2(3 + x) x + 3 = 2 b) 4 x + 2 x − 1 = 4(x − 1) x(x − 1) + 2x x(x − 1) = = 4(x − 1) + 2x x(x − 1) = 4x 4 + 2x x(x − 1) = 6x − 4 x(x − 1) c) 1 x − 2 − 1 2 − x = 1 x − 2 − (−1) · 1 (−1)(2 − x) = 1 x − 2 − −2−1+ x = = 1 x − 2 + 1 x − 2 = 1 + 1 x − 2 = 2 x − 2 Eftersom det är minustecken framför den andra termen, så måste vi i nästa led sätta parentes runt uttrycket i täljaren Termerna har samma nämnare. Täljarna kan adderas direkt. Bryt ut 2 ur täljaren och förkorta med x + 3 En gemensam nämnare är x(x − 1). Förläng första termen med x − 1 och den andra med x Eftersom täljare och nämnare saknar gemensam faktor, så är det inte möjligt att ytterligare förkorta uttrycket Vi förlänger den andra termen med −1 −2−1+ x = −1 x − 2 ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.3 RATIonELLA UTTRYCK34
1 Exempel: Lös ekvationen 1 x − 1 + 1 x + 2 = 21 Lösning: Uttrycken i ekvationen är definierade för x ≠ 1 och x ≠ −2. 1 x − 1 + 1 x + 2 = 21 En gemensam nämnare är 2(x − 1)(x + 2) Om vi multiplicerar alla termer med den gemensamma nämnaren 2(x − 1)(x + 2), så kan vi direkt förkorta med respektive nämnare. 2(x − 1)(x + 2) ∙ 1 x − 1 + 2(x − 1)(x + 2) ∙ 1 x + 2 = 2(x − 1)(x + 2) ∙ 1 2 2(x + 2) + 2(x − 1) = (x − 1)(x + 2) Utför multiplikationerna och förenkla 2x + 4 + 2x − 2 = x2 + 2x − x − 2 4x + 2 = x2 + x − 2 Skriv om ekvationen så att HL = 0 x2 − 3x − 4 = 0 Lös ekvationen med hjälp av pq formeln x = 1,5 ± √(−1,5)2 + 4 x = 1,5 ± 2,5 Svar: x1 = 4 och x2 = −1 Uttrycken i ekvationen är definierade för både x = 4 och x = −1. Alltså är dessa tal ekvationens rötter. Nivå 1 Skriv med gemensam nämnare och förenkla. 1319 a) x 2 + x 3 b) 2a 5 + a 3 c) 4 x + x 3 d) 7 2 + x + 5 x 1320 a) x + 1 5 − x − x 3 b) 2x + 1 x + 6 x + 3 c) 5x − 1 x + 2 + 3x + 1 x + 2 d) 2 x − 3 x − 1 e) x + 3 2 + 3x 4 + x f) x x + 1 − 1 x − 1 1321 Lös ekvationerna a) 8 x + 4 = 0 b) 1 x − 3 + 2 = 3 x − 3 c) x − 1 x + 5 = − 1 x d) x2 x + 3 − 9 x + 3 = 0 1322 Erika, Josefin och Sofia har utfört additionen x x + y + y x − y men alla har fått olika resultat. Erika fick x2 − y2 x2 + y2 , Josefin fick x2 + y2 x2 − y2 och Sofia fick x2 + y2 y2 − x2 . Vem har fått rätt resultat? 1323 Skriv med gemensam nämnare och förenkla. a) 2 5x − 15 + 3 4x − 12 b) x + 1 x2 − x − 2 x − 1 + 1 x Nivå 2 1324 Lös ekvationerna a) x x − 2 − 10 x2 − 2x = 3 x b) 3 x − 1 − 4 x − 2 = 2 x + 1 ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.3 RATIonELLA UTTRYCK 35
1 Multiplikation och division av rationella uttryck För att vi ska kunna analysera olika typer av rationella funktioner så är det bra att även kunna hantera multiplikation och division av rationella uttryck. Multiplikation När vi multiplicerar två rationella uttryck, så multiplicerar vi täljare och nämnare var för sig, på samma sätt som när vi multiplicerar två bråk. x 2 + x ∙ 7 − x2 5 = x ∙ (7 − x2) (2 + x) ∙ 5 = 7x − x3 10 + 5x Division Division av två rationella uttryck följer samma mönster som division av två bråk. x + 3 2x − 2 / x x − 1 = x + 3 2x − 2 · x − 1 x = (x + 3) ∙ (x − 1) (2x − 2) ∙ x = (x + 3) ∙ (x − 1) 2 ∙ (x − 1) ∙ x = x + 3 2x Exempel: Multiplicera 3x + 6 x − 2 med x2 − 4 3 och förkorta så långt som möjligt. Lösning: 3x + 6 x − 2 ∙ x2 − 4 3 = (3x + 6)(x2 − 4) (x − 2) ∙ 3 = 3(x + 2)(x2 − 4) (x − 2) · 3 = = 3(x + 2)(x + 2)(x − 2) (x − 2) ∙ 3 = (x + 2)(x + 2) = (x + 2)2 Exempel: Lös ekvationen x − 2 x − 1 x + 1 = 2. Ange rötterna i exakt form. Lösning: Nämnaren får inte vara noll i något av uttrycken i ekvationen. Uttrycken är därför inte definierade för x = 0 och x = −1. Vi börjar med att skriva om ekvationen så att vi får en ekvation utan bråkuttryck. Det gör vi genom att multiplicera båda led med produkten av nämnarna, alltså med x ∙ (x + 1), och sedan förkorta. (x − 2) ∙ x ∙ (x + 1) x − 1 ∙ x ∙ (x + 1) x + 1 = 2 ∙ x ∙ (x + 1) Förkorta (x − 2) ∙ (x + 1) − 1 ∙ x = 2 ∙ x ∙ (x + 1) Förenkla x2 + x − 2x − 2 − x = 2x2 + 2x För samman likadana termer x2 − 2x − 2 = 2x2 + 2x x2 + 4x + 2 = 0 Lös med hjälp av pq formeln x = −2 ± √22 − 2 ger x = −2 ± √2 Rötterna hör till definitionsmängden Svar: Ekvationen har lösningarna x1 = −2 + √2 och x2 = −2 − √2 Multiplicerar täljare och nämnare för sig Faktoriserar x2 − 4 med hjälp av konjugatregeln x2 − 4 = (x − 2)(x + 2) Förkortar med 3 och med x − 2 ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.3 RATIonELLA UTTRYCK36
1 Nivå 1 Förenkla följande uttryck. 1325 a) 1 x ∙ x22 b) 4 ∙ x 16 c) 5 x / 5 d) 4x 152 ∙ 3 x4 1326 a) x 2 ∙ 5x 9 b) 3x 8 ∙ x + 5 3 c) y 4 / 25y d) y + 1 2y / 37y2 1327 Lös följande ekvationer. a) 5 x = x 2 b) x + 1 5 + 2 x = 2 c) x x − 2 = x + 5 x d) x2 + 2x + 3 x − 1 = 9 − 3x x − 1 1328 Förenkla följande uttryck. a) 3x2y 15 ∙ 5 xy b) 5x + 10y x2 ∙ 3x3 10x + 20y c) 2x x y ∙ 3x 2x + 2y 1329 Vilket av alternativen A–C får man som resultat om man utför divisionen 2x2 − 2 2x2 ? A −1 B 1 − 1 x2 C 0 1330 Låt f(x) = 3 − 2x x och g(x) = 1 x För vilket eller vilka värden på x är f(x) = g(x)? Nivå 2 1331 Förenkla följande uttryck. a) 16x2 / 4yx b) 2a2 5b3 / 10a5 3b c) 2x − 4 x2 / x2 − 4 x4 d) ab + a b − 1 / b2 − 1 a 1332 Förenkla följande uttryck a) ( ab − ab ) · aab b b) 1 ab / ( 1 a + 1 b ) c) (3 + h)2 − 32 h d) ( 1 2 + h − 21 ) / h 1333 Två av sidorna i en rektangel är lika långa som sidorna i en kvadrat. Förhållandet mellan kvadratens och rektangelns areor är x2 x(x + 3) Teckna och förenkla uttrycket som beskriver förhållandet mellan kvadratens och rektangelns omkretsar. 1334 Förenkla följande uttryck. a) a + 1 a a2 + 1 b) 1 x2 − 1 y2 x + y x c) b 21b + 21b 1335 Visa att a b b a = −1 om b ≠ a. 1336 Förenkla uttrycken a) ( 1 a + 1 a )−1 b) 3 b − 3 + b 3 − b c) c (7 + c)6 + 7 (7 + c)6 1337 Beräkna (x + 8)6 − (x + 8)5 (x + 8)5 då x = 2,7. Svara exakt. (np Ma3c vt 2013) 1338 Lös ekvationen 6 x − 3 − 18 x(x − 3) = 2 (np Ma3c ht 2013) 1339 Lös ekvationerna a) 2x − 2 x2 − 2x + 1 = x + 2 x2 + 4x + 4 b) x2 − 9 2x − 6 = 3 + x x Nivå 3 1340 Förenkla uttrycket 1 − a2 − 2ab − b2 1 + a + b ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.3 RATIonELLA UTTRYCK 37
Funktioner som till exempel g där g(x) = 1 x , kan ha gränsvärden både när x går mot ett visst värde eller när x går mot oändligheten. Till exempel när x blir allt större i g(x) = 1 x , så blir g(x) allt mindre.
1 Gränsvärden Vi har i tidigare avsnitt sett att den rationella funktionen f(x) = x2 − 1 x − 1 inte är definierad för x = 1, eftersom nämnaren då får värdet noll. Funktionen är alltså definierad för x ≠ 1. Gränsvärde Vi kan undersöka funktionen i närheten av x = 1 genom att låta x-värdena i f(x) = x2 − 1 x − 1 närma sig 1 från båda hållen. x närmar sig talet 1 från högerx närmar sig talet 1 från vänster x 0,90,990,99911,0011,011,1 f(x) 1,91,991,999 2,0012,012,1 Vi ser att oavsett från vilket håll vi närmar oss x = 1 så verkar det som att funktionsvärdena kommer allt närmare 2. Man kan inse att mönstret fortsätter. Ju närmare x = 1 man kommer, desto närmare 2 kommer värdet av f(x). Vi säger att f har gränsvärdet 2, när x går mot 1. Det skrivs f(x) → 2 när x → 1 limeller x → 1 f(x) = 2, som utläses ”limes av f(x), när x går mot 1, är 2”.
→ ∞
När vi närmar oss 1 från vänster så kommer vi allt närmare talet 2 och vi säger därför att vänstergränsvärdet är 2. Det kan skrivas lim x → 1 f(x) = 2. På samma sätt är även högergränsvärdet 2 och det skrivs lim x → 1+ f(x) = 2. Eftersom både vänster- och högergränsvärdet är 2, så existerar gränsvärdet för x = 1 och är alltså 2.
Vi säger att funktionsvärdet går mot 0 när x går mot oändligheten eller att gränsvärdet för funktionen är 0 när x går mot oändligheten. Det kan vi skriva som lim x → 1 x = 0. På samma sätt ser vi att lim x 1 x = 0. Vi ser att funktionsvärdena g(x) går mot oändligheten när x närmar sig 0 från höger. På samma sätt så kan vi se att att funktionsvärdena g(x)
∞
Som vi ser kan en funktion som inte är definierad i en viss punkt ändå ha ett gränsvärde i den punkten. För att funktionen ska ha ett gränsvärde i en punkt, så måste funktionsvärdena gå mot samma tal både från vänster och från höger.
går mot minus oändligheten när x närmar sig 0 från vänster. Funktionen g saknar alltså gränsvärde för x = 0 eftersom högergränsvärdet inte är lika med vänstergränsvärdet, dvs. lim x → 0+ f(x) ≠ lim x → 0 f(x). x y −2−1121−123 y = f(x) ordboken lim är en förkortning av latinets limes, som betyder gräns eller gränslinje. Jämför även med engelskans limit Gränsvärdenär x gårmot oändligheten x y 1 1 Funktionsvärdetgårmot∞ gårFunktionsvärdetmot∞ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.3 RATIonELLA UTTRYCK38
1 Vi har nu undersökt gränsvärdet genom att beräkna funktionsvärden för x-värden som ligger allt närmare det aktuella talet. Gränsvärdet går också att bestämma på ett mer direkt sätt. Om vi återgår till vårt första exempel och förkortar med hjälp av konjugatregeln, så får vi f(x) = x2 − 1 x − 1 = (x + 1)(x − 1) x − 1 = x + 1 I det förenklade uttrycket kan vi direkt bestämma att gränsvärdet är 2 när x går mot 1, eftersom lim x → 1 (x + 1) = 1 + 1 = 2 Om man vill bestämma gränsvärdet till ett uttryck, så är det därför en vanlig metod att man först förenklar uttrycket. Uttryck som inte kan förenklas direkt, som till exempel 8x − 3 2x − 1 , kan hanteras genom att man dividerar täljare och nämnare med den högsta ingående potensen av x på följande sätt: 8x − 3 2x − 1 = 8x − 3 x 2x − 1 x = 8 − 3 x 2 − 1 x Både 3 x och 1 x går mot 0 när x går mot oändligheten. Alltså gäller: lim x → ∞ 8x − 3 2x − 1 = lim x → ∞ 8 − 3 x 2 − 1 x = 28 = 4 Exempel: Bestäm gränsvärdena a) lim x → 5 2x b) lim x → −3 (x − 2) c) lim x → ∞ 2 x Lösning: a) I detta uttryck kan vi direkt undersöka gränsvärdet när x är 5. lim x → 5 2x = 2 ∙ 5 = 10 Vi ersätter x med 5 i uttrycket b) Även för uttrycket x − 2 kan vi direkt undersöka gränsvärdet när x = −3. lim x → −3 (x − 2) = −3 − 2 = −5 Vi ersätter x med −3 i uttrycket c) Uttrycket 2 x är definierat för alla x och kan skrivas om till 21x lim x → ∞ 2 x = lim x → ∞ 21x = 0 Eftersom 2x växer obegränsat när x går mot oändligheten, så måste 21x gå mot noll då x går mot oändligheten. ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.3 RATIonELLA UTTRYCK 39
1 Exempel: Bestäm lim x → 0 x2 + 3x x Lösning: Uttrycket x2 + 3x x är inte definierat för x = 0, eftersom division med 0 inte är definierad. Därför försöker vi förkorta uttrycket och inleder med att faktorisera i täljaren. x2 + 3x x = x(x + 3) x = x + 3 Nu kan vi enkelt inse att uttrycket x + 3 närmar sig 3, när x närmar sig 0. lim x → 0 x2 + 3x x = lim x → 0 (x + 3) = 3 Vi ersätter x med 0 i uttrycket Exempel: Funktionen f(x) = x + 5 x − 6 är inte definierad för x = 6. a) Har funktionen f något gränsvärde när x → 6 och vilket är i så fall gränsvärdet? b) Har funktionen f något gränsvärde när x → ∞ och vilket är i så fall gränsvärdet? Lösning: a) Vi testar med att sätta in värden nära 6. f(5,9999) = −0,000110,9999 = −109 999 f(6,0001) = 11,00010,0001 = 110 001 Funktionsvärdet blir stort negativt när x är strax under 6 och stort positivt när x är strax över 6. Det är därmed rimligt att anta att f(x) går mot −∞ när x närmar sig 6 från vänster och +∞ när x närmar sig 6 från höger. Eftersom lim x → 6 f(x) ≠ lim x → 6+ f(x), så har funktionen inget gränsvärde i punkten där x = 6. Svar: Gränsvärde saknas för x = 6. b) Vi förkortar f(x) = x + 5 x − 6 med x och får då f(x) = x + 5 x − 6 = 1 + 5 x 1 − 6 x . Vi ser nu att när x närmar sig oändligheten så kommer 5 x och 6 x att närma sig noll. Vi har alltså att lim x → ∞ f(x) = lim x → ∞ x + 5 x − 6 = lim x → ∞ 1 + 5 x 1 − 6 x = 1 + 0 1 − 0 = 11 = 1 Svar: lim x → ∞ f(x) = 1 x2 + 3x x och x + 3 har samma gränsvärde när x närmar sig noll y x5 5 y = f(x) ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.3 RATIonELLA UTTRYCK40
1 Exempel: Låt f(x) = x2 + 2x + 4. a) Teckna uttrycket f(x + h) − f(x) h och förenkla det så långt som möjligt. b) Bestäm lim h → 0 f(x+ h) − f(x) h Lösning: a) f(x + h) − f(x) h = (x + h)2 + 2(x + h) + 4 − (x2 + 2x + 4) h = = x2 + 2xh + h2 + 2x + 2h + 4 − x2 − 2x − 4 h = 2xh + h2 + 2h h = = h(2x + h + 2) h = 2x + h + 2 b) lim h → 0 f(x + h) − f(x) h = lim h → 0 (2x + h + 2) = 2x + 2 Vi sätter in x + h i stället för x i funktionsuttrycketEftersomdetärh som närmar sig 0 så kan gränsvärdet vara ett uttryck som innehåller x Nivå 1 1341 Bestäm följande gränsvärden. a) lim x → 3 (4 + x) b) lim x → 0 (5 + 2x) c) lim x → −2 2x d) lim x → −3 (x2 − 1) 1342 Bestäm följande gränsvärden. a) lim x → ∞ 4 x b) lim x → ∞ 4 x + 3 c) lim x → ∞ ( 4 x + 3 ) 1343 Låt f(x) = 2 x − 2 a) Rita grafen till f med ett digitalt verktyg. b) Har f något gränsvärde när x → 2? Motivera ditt svar. 1344 Bestäm följande gränsvärden. a) lim x → 0 5x b) lim x → 0 53x c) lim x → ∞ 5x d) lim x → ∞ 53x 1345 I figuren nedan är grafen y = f(x) ritad. x y −4−3−11−21−12 y = f(x) a) Bestäm vänstergränsvärdet för x = −2. b) Bestäm högergränsvärdet för x = −2. c) Vad är lim x → −2 f(x)? 1346 Bestäm följande gränsvärden om de existerar. a) lim y → 3 122 y b) lim x → −3 4 x + 3 c) lim x → 0 x2 + 14x x d) lim x → ∞ 1 x2 1347 Bestäm följande gränsvärden. a) lim x → ∞ 3 x b) lim x → ∞ (3 x + 5) c) lim x → ∞ 5 · 3 x d) lim x → ∞ 4 3 x + 5 ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.3 RATIonELLA UTTRYCK 41
1 1348 Låt f(x) = 2x2 − 10x x a) Varför är inte funktionen f definierad för x = 0? b) Förklara varför f(x) har gränsvärdet −10, när x går mot 0. 1349 Ge exempel på en funktion f som har lim x → 4 f(x) = 1. 1350 Bestäm följande gränsvärden. a) lim x → 4 (x − 4)2 x − 4 b) lim x → −7 (x + 7)(x − 7) x + 7 c) lim x → 5 x2 − 25 x − 5 d) lim x → −5 x2 + 10x + 25 x + 5 1351 Funktionen g(x) = x2 − 6x + 9 x − 3 är inte definierad för x = 3. Har g något gränsvärde när x → 3? 1352 a) Bestäm lim h → 0 (2 + h)2 − 4 h b) Bestäm lim h → 0 (3 + h)2 + 4(3 + h) − (32 + 4 · 3) h c) Bestäm lim h → 0 (5h − 6x) d) Bestäm lim h → 0 ( 2x + 3xh − h2 + 5 x ) Nivå 2 1353 Bestäm följande gränsvärden. a) lim x → 4 x − 4 x2 − 16 b) lim x → ∞ ( x − 3 2x3 − 6x2 + 2 ) 1354 Låt f(x) = x2 + 3x. a) Teckna uttrycket f(4 + h) − f(4) h och förenkla det så långt som möjligt. b) Bestäm lim h → 0 f(4 + h) − f(4) h 1355 Bestäm värdet på konstanten a så att lim x → ∞ a 2 + 4 x = 5 (np Ma3c vt 2014) 1356 Bestäm gränsvärdet till funktionen g(x) = 5x + 4 3 + 2x när x → ∞ genom att a) först dividera både täljare och nämnare med x b) och sedan låta x gå mot oändligheten 1357 I figuren nedan är grafen y = f(x) ritad. x y −4−3−11−21−1−22 a) Bestäm lim x → 1 f(x). b) Bestäm lim x → 1+ f(x). c) Existerar gränsvärdet lim x → −1 f(x)? Motivera ditt svar. 1358 Avgör om funktionerna har något gränsvärde när x → 4. Ange i så fall detta gränsvärde. a) f(x) = x + 1 x − 4 b) f(x) = x2 − 6x + 8 x − 4 1359 Funktionen f är definierad av f(x) = x2 + 6x + 4. a) Teckna uttrycket f(2 + h) − f(2) h och förenkla det så långt som möjligt. b) Bestäm lim h → 0 f(2 + h) − f(2) h c) Teckna uttrycket f(x + h) − f(x) h och förenkla det så långt som möjligt. d) Bestäm lim h → 0 f(x + h) − f(x) h 1360 Bestäm gränsvärdet lim x → ∞ √ 5x + 4 2x ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.3 RATIonELLA UTTRYCK42
11361 Enligt en enkel modell kan antalet bakterier i en odling beskrivas med N(t) = 26 4 + 2−0,4t där N är antalet bakterier i tusental och t är tiden i timmar från kl. 12.00, då mätningen a)började.Hurmånga bakterier fanns det i odlingen kl. 12.00 b) Enligt modellen kommer antalet bakterier att närma sig en övre gräns. Bestäm denna övre gräns för antalet bakterier med hjälp av modellen. 1362 Sofia ritar upp grafen till f(x)= x − 1 x − 6 , se figur nedan. x y 26810124−30−20−10100203040 y = f(x) a) Sofia påstår att: ”Största värdet nås när x = 6” Har hon rätt? Motivera. b) Sofia påstår att: ”För x > 6 är funktionens minsta värde 1” Har hon rätt? Motivera. (np Ma3c ht 2014) 1363 Mobiltelefonabonnemanget RingUpp har en fast månadsavgift på 49 kr och en öppningsavgift på 69 öre per samtal. Inga andra avgifter Antagtillkommer.attduringer x samtal under en viss månad. Den totala kostnaden i kr under denna månad är då 0,69x + 49. a) Skriv ett uttryck för kostnaden per samtal under månaden. b) Kostnaden per samtal under en månad närmar sig en undre gräns då antalet samtal ökar. Ange denna undre gräns. Svara i kronor (np Ma3c vt 2014) Nivå 3 1364 Ange en funktion f som inte är definierad för x = 0 och som uppfyller lim x → 0 f(x) = 3. 1365 För en funktion g gäller att lim x → ∞ g(x) = 5. Ge ett exempel på vad g(x) kan vara. 1366 Bestäm konstanten A så att lim x → ∞ Ax 4x + A = 71 (np Ma3c ht 2013) 1367 Funktionen f är definierad av f(x) = ax2 + bx + c a) Teckna uttrycket f(x + h) − f(x) h och förenkla det så långt som möjligt. b) Bestäm lim h → 0 f(x + h) − f(x) h ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.3 RATIonELLA UTTRYCK 43
y x1 1 y = p(x) Kontinuerlig Diskontinuerligfunktionfunktion y x1 1 ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.3 RATIonELLA UTTRYCK44
1 Kontinuerliga funktioner Kontinuerlig funktion Polynomfunktioner, som till exempel p(x) = x3 − 4x + 4, är definierade för alla x, dvs. definitionsmängden är alla värden på x. En polynomfunktions graf är sammanhängande. Det innebär att grafen hänger ihop och inte har några språng. Man kan därför rita grafen till funktionen utan att lyfta pennan. Ett vanligt kännetecken för en kontinuerlig funktion är just att man för varje sammanhängande del av definitionsmängden kan rita grafen utan att lyfta pennan. Styckvis definierad funktion Om vi vill att en funktion f ska utgöras av linjen y = x + 2 för x ≤ 1 och av parabeln y = (x − 1)2 − 2 för x > 1, så kan vi definiera funktionen f i två delar enligt f(x) = { x + 2 för x ≤ 1 (x − 1)2 − 2 för x > 1 Grafen till funktionen kan vi se i figuren här till höger.
x = 1
x = 1.
Diskontinuitet Vi ser att funktionen är definierad för och där har funktionsvärdet Sedan gör grafen ett språng. Grafen är alltså inte samman hängande trots att den är definierad för alla x. Vi säger att funktionen har en diskontinuitet för = 1. I grafen kan vi också se att att vänster- och höger gränsvärdena är olika för Vänstergränsvärdet är 3 och högergräns värdet är Funktionen saknar alltså gränsvärde för
x
3, dvs. f(1) = 3.
x = 1.
−2.
Kontinuerlig i en punkt För att en funktion ska vara kontinuerlig i en punkt så ska den alltså vara definierad i punkten, gränsvärdet ska existera och dessutom vara lika med funktionsvärdet i den punkten. Vi sammanfattar det lite mer formellt här nedanför. Kontinuitet funktion är kontinuerlig funktion som är kontinuerlig för alla punkter i sin definitionsmängd är en kontinuerlig funktion.
En
f
i punkten x = a om lim x → a f(x) = f(a). En
1 Den rationella funktionen f(x)= x2 + 1 x är inte definierad för x = 0, och funktionens definitions mängd är därför alla x ≠ 0. Studerar vi grafen här till höger kan vi dock se att grafen till funk tionen är sammanhängande i hela definitionsmängden. Grafen till funktionen gör visserligen ett språng vid x = 0, men eftersom detta värde inte ingår i definitionsmängden är funktionen kontinuerlig för alla x i definitionsmängden. Alltså är f en kontinuerlig funktion. På liknande sätt kan man resonera sig fram till att alla rationella funktioner är kontinuerliga funktioner. I stort sett alla funktioner vi har behandlat hittills i gymnasiematematiken, som till exempel polynomfunktioner, exponentialfunktioner och rationella funktioner, är kontinuerliga funktioner. De uppfyller villkoren för kontinuitet för samtliga punkter i hela sin definitionsmängd. Exempel: Om vi ritar grafen till g(x) = x2 − 4 x − 2 , så ser vi att den liknar linjen y = x + 2. a) Visa att för x ≠ 2 så kan uttrycket x2 − 4 x − 2 förenklas till x + 2. b) Bestäm gränsvärdet lim x → 2 g(x). c) Ange funktionens definitionsmängd. d) Är funktionen kontinuerlig för x = 2? e) Är g en kontinuerlig funktion? Lösning: a) Vi använder konjugatregeln för att förenkla uttrycket: x2 − 4 x − 2 = (x + 2)(x − 2) x − 2 = x + 2 b) lim x → 2 g(x) = lim x → 2 x2 − 4 x − 2 = lim x → 2 (x + 2) = 4 c) Funktionens definitionsmängd är alla x ≠ 2 eftersom nämnaren är noll för x = 2. d) Funktionen är inte kontinuerlig för x = 2 eftersom den inte är definierad för x = 2. e) För alla x = a i definitionsmängden gäller att lim x → a g(x) = g(a), dvs. funktionen g uppfyller villkoret för kontinuitet. Därmed är g en kontinuerlig funktion. Rationellafunktionerär kontinuerliga y x1 1 y = x2 + 1 x Rationell funktion y y = x2 − 4 x − 2 x1 1 ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.3 RATIonELLA UTTRYCK 45
1 Exempel: Visa att funktionerna f och g inte är kontinuerliga. a) f(x) = { −1 för x ≤ 2 1 för x > 2 b) g(x) = { 1 för x ≠ 2 −1 för x = 2 Lösning: a) För funktionen f saknas gränsvärde när x går mot 2, eftersom vänstergränsvärdet lim x → 2 f(x) = −1 och högergränsvärdet lim x → 2+ f(x) = 1, dvs. vänstergränsvärdet är inte samma som högergränsvärdet. Funktionen är definierad för x = 2, men den är inte kontinuerlig där. Funktionen är alltså inte kontinuerlig för alla x i sin definitionsmängd och är därför inte heller en kontinuerlig funktion. Svar: Funktionen f är inte kontinuerlig. b) För funktionen g gäller att lim x → 2 g(x) = 1, men g(2) = −1. Gränsvärdet för g(x) när x närmar sig 2 är inte detsamma som funktionsvärdet i x = 2. Funktionen är alltså inte kontinuerlig för x = 2 och är därmed inte kontinuerlig för alla x i sin definitionsmängd. Svar: Funktionen g är inte kontinuerlig. Nivå 1 1368 Vilka av funktionerna är kontinuerliga? y y = g(x) x y = k(x) y = h(x) y y = f(x) x 1369 Vilken eller vilka av funktionerna är konti nuerliga? A f (x) = 10x − 5 B g(x) = 4x2 + 3x − 2 C h(x) = x3 1370 Rita för hand grafen till funktionen a) f(x) = { 2x + 4 för x < 3 −2x + 4 för x ≥ 3 b) g(x) = { x2 − 3x 2x − 6 för x ≠ 3 1 för x = 3 1371 Är funktionerna f och g från föregående uppgift kontinuerliga för x = 3? a) f(x) = { 2x + 4 för x < 3 −2x + 4 för x ≥ 3 b) g(x) = { x2 − 3x 2x − 6 för x ≠ 3 1 för x = 3 1372 Rita grafen till f(x) = 1 x2 med ett digitalt a)verktyg.Bestäm funktionens definitionsmängd. b) Bestäm funktionens värdemängd. c) Är funktionen kontinuerlig? ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.3 RATIonELLA UTTRYCK46
1 1373 Låt h(x) = x2 − 4x 2x − 8 för x ≠ 4 Definiera h(x) för x = 4, så att funktionen h blir kontinuerlig för alla x 1374 För en funktion f gäller att lim x → 2 f(x) = 15, dvs. vänstergränsvärdet då x närmar sig 2 är 15 lim x → 2+ f(x) = 15, dvs. högergränsvärdet då x närmar sig 2 är 15 f(2) = 15 Är funktionen f kontinuerlig för x = 2? Motivera ditt svar. 1375 Bestäm konstanten a så att funktionen f blir kontinuerlig för x = 3. f(x) = { 2x − 4 för x ≤ 3 x + a för x > 3 1376 Ge ett exempel från verkligheten som skulle kunna beskrivas matematiskt med en styckvis definierad funktion. 1377 För en funktion f gäller att lim x → 3 f(x) = 5, dvs. vänstergränsvärdet då x närmar sig 3 är 5 lim x → 3+ f(x) = −2, dvs. högergränsvärdet då x närmar sig 3 är −2 f (3) = 5 Är funktionen f kontinuerlig för x = 3? Motivera ditt svar. 1378 Grafen y = f(x) i figuren här nedanför kan beskrivas med funktionsuttrycket f(x) = { x − 1 för x ≤ 1 x − 3 för x > 1 Beskriv grafen y = g(x) med ett liknande funktionsuttryck. y x1 1 y = g(x) y = f(x) Nivå 2 1379 Avgör om följande funktioner är kontinuerliga. a) f(x) = { 2x för x ≤ 3 6 för x > 3 b) g(x) = { 5x2 x för x ≠ 0 0 för x = 0 c) h(x) = { x2 + 1 för x < 1 x för x ≥ 1 1380 Bestäm konstanten k så att funktionen blir kontinuerlig för alla x. a) f(x) = { x + 1 för x < 2 −x + k för x ≥ 2 b) g(x) = { kx för x ≤ 4 x2 − 1 för x > 4 1381 För en funktion f gäller att både vänster- och högergränsvärdet är 7 då x närmar sig 4. Emil påstår att eftersom vänster- och högergräns värdena är lika, så måste funktionen vara kontinuerlig för x = 4. Har Emil rätt? Motivera ditt svar. ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.3 RATIonELLA UTTRYCK 47
och
I
och
skriver man bara (x + 2)(2x − 5)(2 + x2) i en rad CAS-fönstret och klickar på knappen expandera . Vi får då: Vi ser alltså att (x + 2)(2x − 5)(2 + x2) = 2x4 − x3 − 6x2 − 2x − 20. Det här är ett exempel på hur CAS-funktionen underlättar vid beräkningar. I exemplen som följer visar vi ytterligare situationer där man kan använda CAS-funktionen i GeoGebra. Exempel: Faktorisera polynomet p(x) = x4 + 3x3 − 12x2 − 6x + 20. Lösning: Vi definierar polynomet p genom att skriva in p(x) := x4 + 3x3 12x2 6x + 20 i GeoGebras CAS-fönster. Vi har nu definierat polynomet p och kan då
1
t.ex. multiplicera ihop (x + 2)(2x − 5)(2 + x2). För att
definitionen för att göra ytterligare beräkningar i CAS-fönstret. I CAS fönstret måste man definiera en funktion med hjälp av := . Man skriver : före likhetstecknet för att funktionen ska bli definierad på rätt sätt. Vi faktoriserar polynomet p i GeoGebra genom att skriva Faktorisera(p) i Svar:CAS-fönstret.Polynomet kan faktoriseras till p(x) = (x − 2)(x + 5)(x2 − 2). ordboken CAS är en förkortning av Computer Algebra System och är ett symbolhanterande verktyg eller system. ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.3 RATIonELLA UTTRYCK48
Symbolhanterande hjälpmedel tidigare kurser har vi löst ekvationer grafiskt med grafritande hjälpmedel. de flesta matematikprogram och på en del räknare ingår ofta ett så kallat datoralgebrasystem som kan hantera algebra symboliskt. De datorprogram avancerade räknare som har den här funktionen kallas därför symbolhanterande hjälpmedel. Matematikprogrammet GeoGebra har en inbyggd CAS-funktion som bland annat kan lösa ekvationer algebraiskt, faktorisera förenkla algebraiska uttryck samt beräkna gränsvärden. Vi kan komma åt CAS-funktionen i GeoGebra genom att i menyn välja Visa, CAS. Multiplikation i CAS-fönstret Med CAS kan man bland annat snabbt utföra arbetskrävande algebraiska beräkningar, utföra operationen använda
I
ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.3 RATIonELLA UTTRYCK 49
Svar: p(√5 ) = 9√5 − 15 är det exakta värdet och 5,125 är ett närmevärde med tre decimalers noggrannhet. b) Vi kan ta reda på polynomets nollställen genom att faktorisera poly nomet , som vi visade i exemplet på förra sidan. Här visar vi ett annat sätt att bestämma polynomets nollställen.
Lösning: Vi definierar polynomet p genom att skriva in p(x) := x4 + 3x3 12x2 6x + 20 i GeoGebras CAS-fönster. Vi har nu definierat polynomet p och kan använda definitionen för att göra ytterligare beräkningar i CAS-fönstret.
a) Vi skriver in p(√ 5 ) i en ny rad i CAS-fönstret och får ut ett exakt uttryck. Klicka sedan på det givna uttrycket och på knappen för numerisk beräkning för att få ett närmevärde.
a) Bestäm polynomets värde för x = √5 . Svara först exakt och ange sedan ett närmevärde med tre decimaler. b) Bestäm polynomets nollställen. Svara exakt.
Exempel: Vi fortsätter att titta på polynomet p(x) = x4 + 3x3 − 12x2 − 6x + 20.
1
Vi löser ekvationen p(x) = 0 i GeoGebra genom att skriva Lös(p(x)=0) i EftersomCAS-fönstret.polynomets värde är noll för x = −5, x = −√2 , x = √2 och x = 2 så är dessa lösningar polynomets nollställen. Svar: Polynomets nollställen är x = −5, x = −√2 , x = √2 och x = 2. om du redan har skrivit in p(x) i det förra exemplet, behöver du inte göra det igen Jämför gärna nollställena till p(x) med faktoriseringen av samma polynom i det förra exemplet
1 Exempel: Givet funktionen f(x) = (4 − π) 1 x a) Bestäm ett exakt värde på lim x → 5 f (x). Ange också ett närmevärde med fyra decimalers noggrannhet. b) Undersök gränsvärdena lim x → ∞ f(x) och lim x → 0 f(x). Lösning: Vi definierar funktionen f i GeoGebra genom att skriva f(x):= (4 - π)1x i a)CAS-fönstret.Viskriverin Gränsvärde(f, 5) i CAS-fönstret och får då ett exakt svar. Vi beräknar sedan ett närmevärde genom att klicka på knappen för numerisk beräkning. Svar: lim x → 5 f(x) = (4 − π) 51 och 0,9699 är ett närmevärde med fyra decimalers noggrannhet. b) Vi skriver Gränsvärde(f, ∞) respektive Gränsvärde(f, 0) i var sin rad CAS-fönstret och GeoGebra returnerar Gränsvärdet när x → 0 kan däremot inte beräknas, eftersom gräns värdet inte existerar. Genom att studera grafen till funktionen ser vi att gränsvärde saknas när x går mot 0. Svar: lim x → ∞ f(x) = 1, men funktionen saknar gränsvärde när x går mot 0. Eftersom f är kontinuerlig i x = 5 är lim x → 5 f(x) = f(5)$2 är en hänvisning till rad 2 Tecknet för oändlighet, ∞ hittar du om du klickar på knappen på tangentbordet i GeoGebra. ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.3 RATIonELLA UTTRYCK50
1 Nivå 1 1382 Bestäm följande gränsvärden, både utan och med symbolhanterande hjälpmedel. a) lim x → 3 (4 + x) b) lim x → 0 (5 + 2x) c) lim x → −2 2x d) lim x → −3 x x2 − 9 1383 Faktorisera andragradspolynomen, både utan och med symbolhanterande hjälpmedel. a) p(x) = x2 − 14x + 13 b) q(x) = x2 + 2x − 15 c) r(x) = x2 + 5x + 6 1384 Låt p(x) = x4 − 6x3 + 4x2 + 30x − 45. a) Bestäm polynomets värde för x = √3 . Svara först exakt och sedan med ett närmevärde med tre decimaler. b) Bestäm polynomets nollställen. Svara först exakt och sedan med närmevärden med tre decimaler. 1385 Temperaturen för det nybryggda kaffet kan enligt en enkel modell beskrivas av T(t) = 23 + 71 · 0,96t, där T(t) är kaffets temperatur i °C, t minuter efter att kaffet färdiga)bryggts.Vilken temperatur hade kaffet från början? b) Vilken temperatur får kaffet efter lång tid om det lämnas i koppen? c) Ange definitionsmängd och värdemängd för funktionen T. 1386 Ett andragradspolynom har nollställena x = 4 och x = 2. Ge ett exempel på hur polynomet kan se ut i formen ax2 + bx + c. Lös uppgiften både för hand och med symbolhanterande hjälpmedel. 1387 Lös ekvationen x2 + px + q = 0 med symbolhanterande hjälpmedel. Jämför din lösning med den lösning du får när du använder pq formeln. 1388 Låt f(x) = 4x + 7 3x − 13 och bestäm a) lim x → 78 f (x) b) lim x → 43 f (x) c) lim x → ∞ f (x) d) lim x → -∞ f (x) 1389 Ett fjärdegradspolynom har nollställena x = 3, x = 5, x = −2 och x = 7. Ge ett exempel på hur polynomet kan se ut i formen ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. 1390 För ett förstagradspolynom p(x) gäller att p(5) = 0 och p(1) = 8. Bestäm polynomet på formen ax + b. Lös uppgiften både för hand och med symbolhanterande hjälpmedel. Nivå 2 1391 Låt p(x) = x3 − 15x2 + 62x − 72. a) Bestäm rötterna till polynomekvationen p(x) = 0. b) Skriv polynomet p(x) i faktorform. 1392 Bestäm funktionernas definitionsmängd. a) f(x) = x4 + 3x + 15 x3 − 9x b) f(x) = x2 + 4 x3 − 3x2 + 27x − 81 1393 I en stad som till en början haft en stark befolkningstillväxt som sedan gradvis avtagit för att slutligen avstanna kan folkmängden beskrivas med hjälp av N(t) = 65 000 2 + 3−0,5t , där N(t) är antalet invånare t år efter år 2010. Lös uppgiften både med och utan symbolhanterande hjälpmedel. a) Hur många invånare hade staden enligt modellen år 2010? b) Hur många invånare kommer staden att ha på lång sikt enligt modellen? ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.3 RATIonELLA UTTRYCK 51
Vad menas med höger- respektive vänstergränsvärde?
c) Teckna en formel som beskriver behållningen på kontot efter ett år om räntan betalas ut n gånger under året till en n:te-del av årsräntan.
1 1394 Låt h(x) = (1 + x) 1 x . a) Bestäm lim x → 0 h(x). Svara exakt. b) Gränsvärdet du har bestämt här ovanför är ett av flera olika sätt att bestämma ett närmevärde till talet e. Ange ett närmevärde på talet e med fyra decimalers noggrannhet. c) Bestäm lim x → 0 (ex + 14). d) Bestäm lim x → ∞ (e x + 3). 1395 Låt f(x) = 7x2 + 3x 3x2 − 1 a) Bestäm funktionens definitionsmängd. b) Bestäm lim x → 12 f(x) c) Bestäm lim x → ∞ f(x) d) Bestäm lim x → -∞ f(x) 1396 Låt p(x) = x4 + x3 − 16x2 − 4x + 48. a) Faktorisera polynomet p(x). b) Använd resultatet i a) för att lösa ekvationen p(x) x + 4 = 0 utan digitalt hjälpmedel. Nivå 3 1397 Ett tredjegradspolynom har ett nollställe för x = −1 och ett dubbelt nollställe för x = 3. Grafen går genom punkten (1, 16). Bestäm polynomet. Lös uppgiften både för hand och med symbolhanterande hjälpmedel. 1398 Om vi sätter in K kr på ett bankkonto med en fast räntesats på r %, så kan behållningen B kr på kontot efter ett år beräknas med formeln B = K ( 1 + r 100 )
x →
a) Bestäm två rötter till polynomekvationen p(x) = 0 med hjälp av ett grafritande verktyg.
c)
Resonemang och begrepp ALGEBRAISKA UTTRYCK u 1.3 RATIonELLA UTTRYCK52
1399
b) Skriv polynomet p(x) i faktorform om du vet att x2 + 2 är en faktor i p(x). Faktorn x2 + 2 går inte att bestämma med hjälp av grafritande verktyg. Förklara varför.
Varför måste man ta hänsyn till nämnarens nollställen i ett rationellt uttryck?
b) I den givna formeln räknar man med att räntan betalas ut en gång per år. Hur skulle motsvarande formel för behållningen efter ett år se ut om räntan i stället betalades ut två gånger per år till halva årsräntan?
Hur bestämmer man nollställen till en rationell funktion?
Nämn några anledningar till att en funktion kan vara diskontinuerlig i en viss punkt. Vad menas med gränsvärdet till f(x) när 7?
Vad är skillnaden mellan en rationell funktion och en polynomfunktion?
Varför kan man inte alltid direkt sätta in x = 0 i ett funktionsuttryck om man ska beräkna uttryckets gränsvärde när x går mot 0?
d) Vi sätter in 1 kr på kontot och årsräntan är 100 %. Vilket tal kommer behållningen på kontot efter ett år att närma sig om antalet utbetalningar n går mot oändligheten? Låt p(x) = −x4 + 3x3 + 68x2 + 6x + 140.
a) Förklara varför behållningen kan beräknas med formeln ovan.
1> Ekvationslösning med programmering I boken ”Nio böcker om räknekonsten” sammanfattas den matematik som användes i Kina under århundradet före Kristus. I ett kapitel presenteras metoden dubbel falsk position för att lösa ekvationer på formen f(x) = 0. Metoden går ut på att utifrån två gissningar x = g1 och x = g2 samt funktionsvärdena f(g1) och f(g2) bestämma en bättre gissning till lösningen. Anta att vi vill lösa en ekvation där f(x) = ax + b. Då kan lösningen till ekvationen bestämmas på följande sätt: x = g2 · f1 − g1 · f2 f1 − f2 där g1 och g2 är de två gissningarna samt f1 = f (g1) och f2 = f (g2). Följande program skrivet i Python använder metoden dubbel falsk position för att lösa ekvationen 3x − 8 = 0. #Ekvationer på formen ax + b = 0 a = 3 b = -8 g_1 = int(input("Gissa lösningen till ekvationen: ")) g_2 = int(input("Gissa en gång till: ")) f_1 = a * g_1 + b #Beräknar värdet av vänsterledet med första f_2gissningen=a*g_2 + b #Beräknar värdet av vänsterledet med andra xgissningen=(g_2* f_1 - g_1 * f_2) / (f_1 - f_2) #Dubbel reguala falsi print("Lösningen är x = ", x) 1 Skriv in koden i Python och kör programmet. Arbeta tillsammans med en kompis och kör programmet ett par gånger. Ger programmet en korrekt lösning oavsett vilka tal ni gissat på? 2 Ändra i programmet så att det i stället löser ekvationen 5x − 17 = 0. print skriver ut text eller värdet på variabler int(input()) låter en användare mata in ett heltal Text efter # är kommentarer i koden y xx = g1 y = f(x) x = g2 (g2, f(g2)) (g1, f(g1)) Programmering ALGEBRAISKA UTTRYCK PROGRAMMERING 53
Varje tredjegradspolynom har minst ett nollVärdemängdenställe. anger funktionsvärdena som en funktion f(x) antar, om man låter x anta alla värden i definitionsmängden. Det finns rationella uttryck som inte kan förkortas.
ser ut. Ta hjälp av grafritande verktyg. u Vilket värde närmar sig grafen när x → ∞? A y = x − 3 x B y = x x − 3 C y = x − 5 x − 3 D y = 2x − 3 x E y = 5x + 2 x + 1 F y = x − 4 3 − 2x u Vilken generell slutsats kan du dra om det värde som grafen närmar sig när x → ∞? G y = ax + 2 x H y = ax + b cx + d u Besvara föregående frågor när i stället x → −∞. Hittills har grafen närmat sig ett visst värde, dvs. en vågrät linje. I vissa fall närmar sig grafen i stället en lutande linje. u Figuren visar grafen till y = x2 + 3x − 2 x Vilken närmarlinjesig grafen när x → ∞ eller när x → −∞? u Vilken linje närmar sig grafen när x → ∞? I y = x2 − 2x + 3 x J y = 6x2 − 4x − 1 2x y x1 1 y = x2 + 3x − 2 x Uppslaget ALGEBRAISKA UTTRYCK UPPSLAGET54
rationella
Men
där grafen närmar sig en viss linje när x går mot ∞ eller −∞. Här ska du
1 Rätt eller fel? Polynomet p(x) = 5x3 + 3x2 + 6x − 1 är av grad 5. Varje kontinuerlig funktion är definierad för alla värden på x Produkten av ett tredjegradspolynom och ett andragradspolynom är ett sjättegradsSummanpolynom.av två tredjegradspolynom är alltid ett nytt tredjegradspolynom. om p(−2) = 0, så är x − 2 en faktor i p(x).
Undersök Grafen till rationella funktioner Hur ser grafen till en rationell funktion ut? Vi har sett exempel på när funktionen går mot ett gränsvärde när x går mot ett visst värde eller mot oändligheten. det finns även rationella funktioner undersöka några funktioner
hur grafen till
1 Problemlösning och modellering Golf och golfare En golfspelare slår ett slag från tee (som är nam net på utslagsplatsen i golf). Som modell för golf bollens bana kan man använda parabeln i figuren. Längd 302010 4080120m mHöjd Bollens bana beskrivs av f(x) = 124x − x2 130 där f(x) m är höjden efter att bollen nått x m. om vi faktoriserar funktionsuttrycket, så får vi f(x) = x 130 (124 − x) vilket gör det enkelt att hitta funktionens två nollställen, nämligen x = 0 och x = 124. Detta kan tolkas som att golfspelaren står vid tee (origo i koordinatsystemet) och bollen tar mark 124 meter längre bort. u Uttrycket g(x) = x 90 (58 − x) beskriver bollbanan för en golfboll som slås från x = 0. Hur långt blir slaget? u Laura slår ut bollen från tee på hål 17, ett 131 m långt par 3 hål. Hon ”slicar” tyvärr bollen som får en bana som i höjdled följer h(x) = 110x − x2 110 Göran kommenterar tävlingen och står i bollbanan 108 m från tee. Han hör inte att Laura skriker ”fore”, som betyder ”se upp” på golfspråk. Kommer Göran att träffas av bollen? u Konstruera grafen till ett funktionsuttryck som beskriver banan för en golfboll som slås från tee och tar mark efter 75 meter. Vilken blir bollens maximala höjd med din funktion? u Konstruera ett funktionsuttryck som beskriver banan för en golfboll som slås 46 meter från tee, tar mark 131 meter längre fram och har en maximal höjd på 15 m. u Konstruera ett funktionsuttryck som beskriver banan för en golfboll som slås n meter från tee, tar mark efter k meter och har en maximal höjd på h meter.ALGEBRAISKA UTTRYCK UPPSLAGET 55
Joseph-Louis Lagrange (1736–1813)
Sophie Germain och Fermats sista sats
Sophie Germain förstod att det var något speciellt med ett ämne som kunde fånga en människa så till den grad att det ledde till döden. Hon började läsa böcker om matematik och blev själv uppfylld av ämnet.
Historia ALGEBRAISKA UTTRYCK HISTORIA56
På den tiden ansågs det inte lämpligt för en flicka att studera matematik och hennes föräldrar motarbetade hennes nya intresse. De försökte hindra Sophie Germain från att läsa på nätterna och tände därför inte brasor eller ljus. Till slut förstod föräldrarna att de inte kunde stoppa henne och de kom senare att finansiera hennes forskning. Studier med förhinder École Polytechnique öppnades i Paris år 1795. Där skulle nationens nya matematiker och naturvetare utbildas. Fast kvinnor var inte välkomna.
1
Sophie Germain lyckades få föreläsningsanteckningar utsmugglade av sina vänner och kunde på så vis följa undervisningen. Hon använde till och med en manlig students identitet för att kommunicera med skolan. I det namnet fick hon uppgifter och meddelanden skickade till sig och kunde också själv skicka in lösningar på problem. Det dröjde inte länge förrän hennes briljanta lösningar tilldrog sig uppmärksamhet från den fransk-italienske matemati kern Joseph-Louis Lagrange (1736–1813). Han krävde att få träffa den duktige studenten och Sophie Germain blev avslöjad. Tvärtemot vad hon trott, så blev Lagrange förtjust över att den okände studenten var en kvinna. Sophie hade för första gången en lärare som kunde hjälpa och inspirera henne. Fermats sista sats Till en början arbetade Sophie Germain främst med talteori, den del av mate matiken som behandlar egenskaperna hos de hela talen. Tidigt kom hon i kontakt med det påstående av den franske juristen och matematikern Pierre de Fermat (1601–1665) som brukar kallas Fermats sista sats. Man kan säga Sophie Germain (1776–1831)
Sophie Germain och den franska revolutionen Sophie Germain föddes i Paris år 1776. Den franska revolutionen bröt ut år 1789 och ledde till att Sophie Germain fick vistas en stor del av sin ungdomstid inomhus. Familjen hade ett stort bibliotek där den unga Sophie Germain tillbringade mycket tid. Det sägs att hon blev fascinerad av historien om Arkimedes liv. Den grekiske filosofen, astronomen och matematikern Arkimedes (ca 287–212 f.Kr.) lär ha blivit dödad av en romersk soldat när han studerade ett geometriskt problem som han ritat upp i sanden. Arkimedes hade inte svarat på soldatens tilltal, och när soldaten kom framstör tande mot honom i vredesmod ska han ha skrikit ”Rubba inte mina cirklar!”.
att påståendet bygger vidare på Pythagoras sats x2 + y2 = z2, det vill säga att summan av kvadraterna på kateterna i en rätvinklig triangel är lika med kvadraten på hypotenusan. Fermats sista sats säger att ekvationen xn + yn = zn, där n är ett heltal större än 2, inte har några heltalslösningar skilda från noll. I marginalen till en bok antecknade Fermat att ”Jag har ett i sanning underbart bevis för detta påstående, men marginalen är alltför trång för att rymma detsamma”. Anteckningen hittades först ett par år efter Fermats död. Han tog alltså beviset med sig i graven. Det saknade beviset kom att gäcka matematiker i över 350 år.
Sophie Germains bevis Sophie Germain läste Eulers bevis och förstod att det inte skulle gå att komma fram till ett bevis som gällde alla värden på n om man skulle bevisa för ett tal i taget. Det fanns ju fortfarande ett oändligt antal värden på n kvar som satsen inte var bevisad för. Sophie Germain insåg att man måste behandla grupper av tal. Hon lyckades bevisa att ekvationen saknade lösningar för vissa primtalsvärden på x, y, z och n. Under 1800-talet kom hennes metod att användas för att bevisa Fermats sats för både n = 5 och n = 7. Sophie Germain dog av bröstcancer år 1831 och hann inte ta emot det hedersdoktorat som hon förärats av Göttingens universitet genom hennes vän, den tyske matematikern Carl Friedrich Gauss (1777–1855). Ett bevis till slut Fermats sista sats fortsatte att förbrylla och utmana matematiker genom århundradena. Den som till sist lyckades utföra beviset var engelsmannen Andrew Wiles. Han föddes år 1953 i Cambridge och han blev tidigt fascinerad av Fermats sista sats. Andrew Wiles började studera matematik med ambitio nen att granska alla försök till bevis, hitta deras brister och försöka rätta till dem. Med tiden blev han professor vid Princeton University och fick andra problem att arbeta med. Men det som låg och gnagde i bakhuvudet var Fermats sista sats. Efter många års arbete presenterade han resultatet på en internationell matematik konferens år 1993. Ryktet hade spridit sig att Fermats sista sats skulle bevisas och salen var proppfull av nyfikna och upphetsade åhörare. Det 70 sidor långa beviset visade sig dock innehålla en osäkerhet, vilket gjorde att det underkändes. Nedslagen, men inte knäckt, bestämde sig Andrew Wiles för att göra ett nytt försök och i maj år 1995 publicerade han det 130 sidor långa slutgiltiga beviset till Fermats sista sats.
Andrew Wiles (född 1953)
1
Fermat hade i sina anteckningar bevisat att ekvationen saknar heltals lösningar för n = 4 och i början av 1700-talet bevisade den schweiziske matematikern Leonhard Euler (1707–1783) detsamma för n = 3.
Fermats sista sats Ekvationen xn + yn =
zn där n är ett heltal större än 2, saknar heltalslösningar skilda från 0. Ge förslag på lösningar x, y, z till ekvationen xn + yn = zn för n = 2. ? Ett primtal p kallas ett Sophie Germainprimtal om 2p + 1 också är ett primtal. De första Sophie Germainprimtalen är 2, 3 och 5. Ange de 10 följande. ? Pythagoras sats I en rätvinklig triangel är summan av kvadraterna av kateterna lika med kvadraten av hypotenusan x2 + y2 = z2 a2 = 9 c2 = 25 b2 = 16 c a b ALGEBRAISKA UTTRYCK HISTORIA 57
1 Algebraiska uttryck Kontinuitet funktioner med sammanhängande graf i hela sin definitionsmängd är kontinuerliga för kontinuerliga funktioner gäller att lim x → a f(x) = f(a) för varje punkt i definitionsmängden för diskontinuerliga funktioner gör grafen minst ett språng inom sin definitionsmängd Algebra funktionerekvationerpolynomuttryck Polynomfunktioner kontinuerliga funktioner nollställen och andragradsfunktiondefinitionsmängdfaktorerochvärdemängdtredjegradsfunktion y x1 1 y x1 1 faktorsatsen Polynom variabel, koefficient och gradtaletpolynomekvationpolynomfunktiongradtalkonstanttermgerhögsta antal nollställen Polynomekvationer faktorisering pq engrafiskkvadratkompletteringformelnlösningpolynomekvationav grad n har högst n rötter Rationella uttryck polynom i täljaren och nämnaren ej definierade för 0 i nämnaren förkortning, förlängning och rationellaförenklingfunktioner Gränsvärden omlimesvänster och högergränsvärdena är lika för x = a så existerar gränsvärdet lim x → a f(x) Rationella funktioner värdemängddefinitionsmängd y y = 1 x x1 1 Tankekarta ALGEBRAISKA UTTRYCK TANKEKARTA58
1« Nivå 1 1 Låt f(x) = x2 − 3x + 2 och bestäm a) f(0) b) f(−2) c) x när f(x) = 0 2 Utför multiplikationen och förenkla där det går. a) (5x2 − 3)(7 − 2x) b) (x2 − 4)(x − 5) 3 Kajsa har löst andragradsekvationen x2 + 9x = −20 och fått ekvationens rötter till x1 = 4 och x2 = 5. Pontus säger att det är fel trots att han inte har löst ekvationen. Förklara hur han kan se det. 4 Faktorisera uttrycken a) 8a2 − 12a b) 4x2y − 2x2y2 c) 3x2y + 12xy d) 12ab + 9b2 + 3a2b 5 För vilka värden på variabeln x är uttrycken inte definierade?a)7+4 x x b) x x2 − 9 c) x3 − 8 5x + 1 6 a)Bestämlim x → 5 (2x + 7) b) lim h → ∞ ( 2 x + 4 ) 7 I vilka punkter skär grafen till f(x) = 0,5(x + 2)(x − 7) koordinataxlarna? 8 Vilket av alternativen A–E visar ett polynom? A 4 x3 + 4x3 B x2 + x2,5 C ( 2 + 1 x )3 D 4x3 + 2x2 E 5x 12x − x2 (np Ma3c ht 2012) 9 a)Bestämlim x → ∞ 2 x b) lim x → ∞ (2 x + 3) c) lim x → ∞ 24 2 x + 3 10 I en mattebok finns följande uppgift: Lös ekvationen x − 4/x − 1 = 2 Ola och Mia har löst uppgiften men de har fått helt olika svar. Ola har fått två rötter x1 = −1 och x2 = 4. Mia har bara fått en rot x = −2. När de tittar i böckerna ser de att i Mias bok är parenteser utsatta som inte finns i Olas bok. Sätt ut parenteser i uppgiften så att du får samma svar som Mia. 11 Lös polynomekvationerna med hjälp av grafritande verktyg. a) x3 + 10x2 + 13x − 24 = 0 b) x3 − 5x2 + 2x = −10 12 Lös andragradsekvationerna a) x2 − 4x + 4 = 0 b) t2 + t = 30 13 Bromssträckan för en bil bestäms vid ett visst tillfälle av s(v) = 0,25v + 0,02v2, där s(v) är sträckan i meter och v är bilens hastighet i km/h. a) Bestäm s(90) − s(70) b) Vad innebär resultatet i a)? 14 Bestäm definitionsmängden för de rationella a)funktionerna f(x) = x2 − 3x + 5 2x − 1 b) f(x) = x2 + 6x + 2 x(x − 3) 15 I Klaras mattebok står det: Ett andragradspolynom p(x) har nollställen i punkterna (0, 4) och (0, −2). Den skär y-axeln där y = −8. Vilket är polynomet? Klara vill inte lösa uppgiften, utan menar att något är fel. Har Klara rätt och vilket är i så fall felet? 16 Vilket polynom av grad 2 visar grafen? y x2 2 (4, 0) (7, (10,18) 0) ALGEBRAISKA UTTRYCK BLANDADE UPPGIFTER 59 Blandade uppgifter
De angivna funktionsuttrycken är förenklade matematiska modeller som inte tar hänsyn till t.ex. uppehåll, uppförsbackar och utförslöpor.
Janne? 23 I figuren nedanför är grafen y = f(x) ritad. Svara på uppgifterna med hjälp av figuren. x y 264 642 a) Bestäm vänstergränsvärdet lim x → 2 f(x). b) Bestäm högergränsvärdet lim x → 2+ f(x). c) Existerar gränsvärdet lim x → 2 f(x)? 24 Grafen till ett andragradspolynom tangerar x-axeln i punkten (8, 0) och skär y-axeln i (0, −4). Vilket är polynomet? 25 Bestäm gränsvärdena med och utan symbolhanterande hjälpmedel. a) lim x → ∞ 2x + 4 3x b) lim x → −∞ 2x + 4 3x c) lim x → ∞ 2x + 4 3x + 8 d) lim x → −∞ 2x + 4 3x + 8 ALGEBRAISKA UTTRYCK BLANDADE UPPGIFTER60
c)
a) Använd något av funktionsuttrycken för att bestämma hur långt Vasaloppet är. Beräkna sU(4) − sJ(4) och tala om vad du beräknat. Vilken åktid hade
b)
«1 17 Ange en rationell funktion som har nollställe för x = 4 och som har definitionsmängden x ≠ 5. 18 Rita grafen till funktionen som definieras av a) f (x) = { 2x + 3 för x < 2 x + 5 för x ≥ 2 b) g(x) = { x + 3 för x < 2 2x för x ≥ 2 c) Är funktionerna kontinuerliga eller diskontinuerliga? 19 Förenkla följande uttryck så långt som möjligt . a) 16 + (x3 + 4)(x3 − 4) b) x (x + 4)9 + 4 (x + 4)9 (np Ma3c ht 2013) 20 I figuren nedan är grafen y = f(x) ritad. Lös uppgifterna med hjälp av figuren. y x1 1 a) Bestäm f(−2). b) Bestäm gränsvärdet lim x → 3 f(x) c) Existerar gränsvärdet lim x → −2 f(x)? Motivera ditt svar. d) Är funktionen kontinuerlig? 21 Viggo tillverkar ljusstakar. Han har fasta kostnader på 1 450 kr. Kostnaden för att tillverka en ljusstake är 84 kr. a) Ange ett funktionsuttryck som visar Viggos kostnader K(x) kr, för att tillverka x stycken ljusstakar. b) Ange ett funktionsuttryck som visar genomsnittskostnaden G(x) kr, för att tillverka x st ljusstakar. Nivå 2
22 Ulf och Janne åker Vasaloppet. Ulf kan beskriva den sträcka i kilometer, som han har kvar till målet med uttrycket sU(t) = 90 − 11t + 0,08t2, där t är tiden i timmar efter starten. Motsvarande uttryck för Janne är sJ(t) = 90 − 10t − 0,05t2.
1« 26 Förklara varför uttrycket x + 1 x2 + 1 är definierat för alla x. 27 För en funktion f gäller att funktionsvärdet närmar sig 4 när x närmar sig 5 från vänster, och att funktionsvärdet närmar sig 7 när x närmar sig 5 från höger. Skissa grafen till en funktion som uppfyller dessa villkor och dessutom är definierad för x = 5. 28 Hur många nollställen har en polynomfunktion av andra graden? Motivera genom att ge exempel. 29 Ange en rationell funktion där nämnaren inte är ett konstant polynom, men där den rationella funktionen är definierad för alla x. 30 För en funktion f gäller att lim x → 3 f(x) = 11 Åke påstår att eftersom gränsvärdet existerar för x = 3 så måste funktionen vara kontinuerlig för x = 3. Har Åke rätt? Motivera ditt svar. 31 Låt f(x) = x2 + 4x + 2. a) Teckna uttrycket f(5 + h) − f(5) h och förenkla det så långt som möjligt. b) Bestäm lim h → 0 f(5 + h) − f(5) h c) Teckna uttrycket f(x + h) − f(x) h och förenkla det så långt som möjligt. d) Bestäm lim h → 0 f(x + h) − f(x) h 32 Har uttrycken något gränsvärde när x → −3? Motivera ditt svar. a) x2 + 3 x + 3 b) x2 − 9 x + 3 c) x2 + 6x + 9 x + 3 d) x2 − 6x + 9 3 − x 33 Låt p(x) = x4 + 5x3 + 5x2 − 5x − 6. a) Faktorisera p(x) med symbolhanterande hjälpmedel. b) Lös ekvationen p(x) = 0. 34 Summan av längden och bredden i en rektangel är 18,00 cm. Beräkna längden om arean är 74,75 cm2 35 a) Faktorisera uttrycket x2 + 5x 6 + 61 med ett symbolhanterande hjälpmedel. b) Lös ekvationen x2 + 5x 6 + 61 = 0 utan digitalt hjälpmedel. c) Bestäm nollställena till funktionen f(x) = x2 + 5x 6 + 61 . d) Faktorisera 2x3 + x2 − 7x − 6 med ett symbolhanterande hjälpmedel. e) Lös ekvationen 2x3 + x2 − 7x − 6 = 0 utan digitalt hjälpmedel. f) Ange ett uttryck på formen ax3 + bx2 + cx + d som har nollställen för x = 2, x = 32 och x = − 57 Nivå 3 36 Faktorisera polynomet p(x) = 2x4 − 8x2 − 24 med hjälp av variabelsubstitution. 37 a) Faktorisera uttrycket x2 − 1 utan ett digitalt hjälpmedel b) Faktorisera uttrycket x4 − 1 utan ett digitalt hjälpmedel c) Faktorisera uttrycket x3 − 1 med ett symbolhanterande hjälpmedel. d) Faktorisera uttrycket x7 − 1 med ett symbolhanterande hjälpmedel. e) Formulera en regel för faktoriseringen av uttryck på formen xn − 1 om n är ett udda tal. 38 En möbeltillverkare beskriver kostnaden K kronor för en serie stolar med formeln K(x) = 9 000 + 20x + 0,8x2, där x är antalet stolar och 100 ≤ x ≤ 500. Hur många stolar finns i serien om han beräknar att varje stol i genomsnitt kostar 200 kr att tillverka? ALGEBRAISKA UTTRYCK BLANDADE UPPGIFTER 61
1 Del 1 Utan digitalt hjälpmedel 1 Ett polynom bestäms av p(x) = x3 − 4x2 + 8. Beräkna a) p(1) b) p(−2) 2 Bestäm gränsvärdet av f(x) = 3x − 7 när x → 5. 3 Förenkla uttrycken så långt som möjligt. a) 6a2 5 · 23a b) 5x3 − 25x2 5x2 c) x2 − 4 x2 + 2x 4 Vad ska stå i rutan för att uttrycket ska kunna faktoriseras med kvadreringsa)reglerna? x2 − 18x + b) 4x2 + x + 9 5 Ange definitionsmängd och nollställen till funktionen f(x) = x2 − 4x − 5 x − 1 6 Lös ekvationerna a) x3 + x2 − 2x = 0 b) 31x − 65x = 101 7 Skriv uttrycket som en kvot av två polynom a) 2x − 1 x + 3 − 4 − x x − 2 b) a a − b · a2 − b2 2b c) (x − 2)2 x / x2 − 4 x 8 I ekvationen x3 − 17x2 + 71x − 55 = 0 kan VL skrivas som produkten (x − 1)(x2 − 16x + 55). Bestäm ekvationens samtliga rötter. 9 Ge exempel på en polynomfunktion av andra graden som saknar nollställen. 10 Doris har fått uppgiften att finna vilket andragradspolynom p som har nollställena x1 = −2 och x2 = 3 och som uppfyller p(0) = 6. Här ser du hennes lösning: Nollställena x = −2 och x = 3 ger att polynomets faktorer är (x + 2) och (x − 3). p(x) = (x + 2)(x − 3) = x2 − x − 6 Svar: p(x) = x2 − x − 6 Ge Doris återkoppling på lösningen. Kapiteltest ALGEBRAISKA UTTRYCK KAPITELTEST62
1 Del 2 Med digitalt hjälpmedel 11 Figuren visar grafen till en funktion f. a) Ange definitionsmängd och värdemängd för funktionen. b) Ange vänster- och högergränsvärdet för x = 2. c) Bestäm f(2). d) Är funktionen kontinuerlig? Motivera ditt svar. 12 Kostnaden K kronor för att framställa ett reklamblad kan beskrivas med K(x) = 1 100 + 0,1x + 0,0005x2, där x är antalet blad som trycks. a) Beräkna K(1 000). b) Beskriv med ord vad K(1 000) betyder. c) Hur många reklamblad kan man trycka för 10 000 kr? 13 Bestäm följande gränsvärden. a) lim x → 2 x4 − 16 x2 − 4 b) lim h → 0 (3 + h)2 − 9 h 14 Polynomet p ges av p(x) = x3 + 2x2 − 25x − 50. a) Fakorisera polynomet. b) Ange polynomets nollställen. 15 Johanna jobbar extra i en korvkiosk. I januari är hennes timlön x kr och hon får totalt 2 520 kr i lön. I februari höjs timlönen med 3,50 kr per timme men hon jobbar färre timmar och hon tjänar totalt 2 394 kr. Teckna ett uttryck för antalet timmar, som hon har jobbat under de två månaderna. Skriv som ett rationellt uttryck. 16 Här nedanför har vi ritat graferna som bestäms av polynomen f(x), g(x) och h(x). y x1 1 y = f(x) y x1 1 y = g(x) y x1 1 y = h(x) Förklara hur man med hjälp av grafen y = f(x) kan bestämma polynomet f(x) = (x + 1)(x − 1)(x + 3). Bestäm polynomet g(x) med hjälp av grafen y = g(x). Bestäm polynomet h(x) med hjälp av grafen y = h(x). y x1 1 ALGEBRAISKA UTTRYCK KAPITELTEST 63
Begreppet gränsvärde. Begreppen sekant, tangent, förändringshastighet, ändringskvot och derivata för en Grafiskafunktion.och digitala metoder för att derivera funktioner. Villkor för Begreppetderiverbarhet.absolutbelopp. Centralt innehåll 2.1 Sekanter och tangenter 2.2 Derivata Delkapitel Algebraiska FunktionerRätaEkvationslösninguttrycklinjensekvationochderas grafer Begreppet gränsvärde Förkunskaper 64 2 ochÄndringskvotderivata
För att matematiskt kunna beskriva hastigheten i ett visst ögonblick, använder man begreppet derivata. Derivatan beskriver generellt den momentana förändringshastigheten för ett visst förlopp. I vårt fall beskriver den bilens hastighet i ett givet ögonblick, den så kallade Imomentanhastigheten.dethärkapitletfårduinledningsvis
Vattenhastighet
Med vilken medelhastighet stiger vattennivåns höjd om behållaren fylls på 90 sekunMedder? vilken medelhastighet stiger vattennivåns höjd h i intervallet 10 ≤ t ≤ 30?
När stiger vattennivåns höjd som snabbast?
Ge förslag på vilken form vattenbehållaren kan ha.
h t 5040302010 s cm 20 40 60 80 65
O m man åker bil 100 km och hela färden tar en timme, så har man färdats med medelhastigheten 100 km/h. Men när man tittar på hastighetsmätaren under färden, så ser man att hastigheten ändras både vid inbromsningar och omkörningar. Hastighetsmätaren visar bilens hastighet i ett visst ögonblick.
En behållare med höjden 45 cm fylls med vatten med ett jämnt flöde. Diagrammet visar hur vattennivåns höjd h beror av tiden t.
repetera att du kan bestämma och tolka en linjes ekvation När du är klar med kapitlet ska du kunna förklara och använda begreppen lutning, ändringskvot och derivata bestämma ändringskvot och derivata med hjälp av en graf eller ett beräknafunktionsuttryckgenomsnittliga förändringshastigheter bestämma förändringshastigheten i ett givet ögonblick beräkna derivatan genom att använda derivatans definition avgöra om en funktion är deriverbar i en viss punkt använda begreppet absolutbelopp i samband med ekvationer och funktioner
(x1, y1)
Sekanter och tangenter
En rät linje har samma lutning längs hela linjen. Lutningen kan anges med linjens riktningskoefficient k. Riktningskoefficienten k beräknas enligt förändring hjälp av koordinaterna och punkter beräknas med formeln
Räta linjens ekvation
k = förändring i y led
2.1
på linjen kan riktningskoefficienten k
k = Δy Δx = y2 − y1 x2 − x1 = y1 − y2 x1 − x2 Ju större värde på k, desto mer lutar linjen. Om k < 0, så lutar linjen nedåt. Riktningskoefficienten k = 0 innebär att linjen är parallell med x axeln. ordboken Sekant och tangent kommer från latin. Sekant kommer från secare, som betyder skära. Tangent kommer från tangens som betyder röra vid y x Sekant y x Tangent Tangeringspunkt Skärningmed koordinataxlarna y x (0, m) y x 1 1 ∆x = x2 − x1 ∆y = y2 − y1(x1, y1) (x2, y2) ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.1 SEKANTER OCH TANGENTER66 2
Riktningskoefficient
i x led = Δy Δx Med
Om vi tittar på en kurva, så kan vi ungefärligt beskriva hur kurvan lutar på olika ställen. För att beskriva lutningen matematiskt tar vi hjälp av sekanter och tangenter. Sekant En sekant är en rät linje som skär en kurva i minst två punkter. Tangent En tangent är en rät linje som endast vidrör kurvan i en punkt. Den punkt där tangenten tangerar kurvan kallas tangeringspunkt. Kurvans lutning i en punkt motsvaras av tangentens lutning i samma punkt. Eftersom både sekanter och tangenter är räta linjer, så börjar vi med att repetera räta linjens ekvation.
(x2, y2) för två
Rät linje Lösningar till räta linjens ekvation y = kx + m, där k och m är konstanter, är par av tal x och y. Om man markerar alla dessa talpar (x, y) i ett koordinatsystem, så får man en rät linje. Linjen skär y axeln i punkten där x = 0 och x axeln i punkten där y = 0. Värdet av konstanten m i y = kx + m är y koordinaten för punkten där linjen skär y axeln.
k-form och allmän form Räta linjens ekvation kan skrivas på olika sätt: y = kx + m är räta linjens ekvation i k-form ax + by + c = 0 är räta linjens ekvation i allmän form Räta linjens ekvation Ekvationen y = kx + m, där k och m är konstanter, kallas räta linjens ekvation. Riktningskoefficienten k beskriver linjens lutning och m är y koordinaten för den punkt där linjen skär y axeln. Exempel: Ange ekvationen för den räta linje som går genom punkterna (1, −3) och (4, 3). Lösning: Vi börjar med att beräkna riktningskoefficienten k. k = y2 − y1 x2 − x1 = 3 − (−3) 4 − 1 = 36 = 2 (x1, y1) = (1, −3) och (x2, y2) = (4, 3) Sedan bestämmer vi linjens ekvation genom att sätta in k = 2 och koordinaterna för punkten (4, 3) i räta linjens ekvation y = kx + m. 3 = 2 ∙ 4 + m y = 3, k = 2 och x = 4 3 = 8 + m m = −5 Nu får vi linjens ekvation genom att sätta in k = 2 och m = −5 i y = kx + m Det ger y = 2x − 5. Svar: Linjens ekvation är y = 2x − 5. Exempel: En rät linje går genom punkten (−4, 5) och är parallell med linjen y = 6x − 7. Bestäm linjens ekvation i formen y = kx + m. Lösning: Om två räta linjer är parallella, så har de samma lutning. Linjen y = 6x − 7 har lutningen k = 6. För att bestämma m värdet i den sökta linjens ekvation sätter vi in k = 6 och (−4, 5) i räta linjens ekvation. y = kx + m Vi sätter k = 6, x = −4 och y = 5 5 = 6 ∙ (−4) + m Lös ut m m = 29 Sätt in k och m i räta linjens ekvation: y = 6x + 29 Svar: Linjens ekvation är y = 6x + 29. (0, m) y x ∆y ∆x y = kx + m k = ∆y ∆x Man kan också välja att använda punkten (1, −3) eftersom ekvationen gäller för alla talpar på linjen ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.1 SEKANTER OCH TANGENTER 67 2
Nivå 1 2101 Vilka grafer och ekvationer hör ihop? 1 y = −3x + 1 2 y = x 3 y = − 31 x + 1 4 y = 3x + 1 2102 Bestäm koordinaterna för punkten där linjen y = −3x + 4 skär y-axeln. 2103 Beräkna riktningskoefficienten för linjen som går genom a) punkterna (−1, 3) och (−4, 12) b) punkterna (1,5; 2) och (2,5; 4) 2104 Grafen visar hur priset på bananer varierar med vikten. a) Bestäm linjens ningskoefficient.riktb) Förklara vad betyderningskoefficientenrikthär. 2105 Bestäm ekvationen för den räta linje som har lutningen 21 och går genom punkten (−2, 1). 2106 Ligger punkten (4, −1) på följande linjer? a) y = − 21 x + 1 b) y = 21 x − 1 2107 En rät linje går genom punkterna (4, −3) och (2, 1). Bestäm linjens ekvation. 2108 Kostnaden y kronor för att anlita en plattsättare kan beskrivas med ekvationen y = 500 + 320x, där x är antalet timmar som hon arbetar. a) Ange linjens riktningskoefficient och förklara vad den betyder. b) Rita grafen som beskriver kostnaden för att anlita en plattsättare. Nivå 2 2109 Enligt Ohms lag är U = R ∙ I, där U är spänningen i volt, I strömstyrkan i ampere och R resistansen i ohm. Peter och Moa gör en fysik laboration där de mäter spänning och strömstyrka i en elektrisk krets. Resultatet ser du i tabellen: U (V) 2131,542 I (A) 0,050,0750,1 a) Pricka in talparen i ett koordinatsystem med strömstyrkan på den vågräta axeln och spänningen på den lodräta axeln. Dra en linje genom punkterna. b) Beräkna linjens riktningskoefficient och ange vad den betyder här. 2110 Bestäm linjernas skärningspunkter med koordinataxlarna.a)5 y − 3x + 12 = 0 b) x + 6y + 3 = 0 2111 Bestäm talet a, så att den räta linjen genom punkterna ( a 2 , 5) och (a, −3) får lutningen 4. 2112 Avgör om punkterna (4, 4), (−2, 1) och (10, 7) ligger på samma linje. 2113 Skriv linjens ekvation i k form. 4x + 3 5 = 4y − 2 2 2114 Linjerna y = −x + 6 och y = −2x + 8 begränsar tillsammans med y axeln ett område. Bestäm områdets area. Nivå 3 2115 I ett koordinatsystem utgör sträckan mellan punkterna (1, 2) och (5, 6) basen i en likbent a)triangel.Ivilken punkt möter triangelns höjd basen? b) Triangelns höjd är en del av en linje. Bestäm den linjens ekvation. y x1 1 AD C B Pris Vikt 40302010 kg kr 123 68 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.1 SEKANTER OCH TANGENTER
Sekantens lutning Sekant En rät linje har samma lutning överallt. En kurvas lutning kan däremot variera. En rät linje som går genom två punkter på en kurva kallas sekant. Med hjälp av en sekant kan vi bestämma en kurvas genomsnittliga lutning i ett Kurvanintervall.idiagrammet till höger visar hur antalet fåglar y av en viss art i ett område ändras med tiden x år. Av kurvans form ser vi att förändringshastigheten för antalet fåglar inte är lika stor hela tiden. Om vi vill bestämma den genomsnittliga förändringshastigheten av antalet fåglar mellan tidpunkterna 15 och 25 år, så drar vi först en sekant genom de punkter på kurvan där x = 15 och x = 25. Sedan avläser vi de y värden som motsvarar x = 15 och x = 25 i diagrammet och beräknar sekantens riktningskoefficient:Δ y Δx = 1 100 − 400 25 − 15 = 70010 = 70 Kurvans genomsnittliga lutning i intervallet är 70. Det betyder att den genomsnittliga förändringshastigheten i tidsintervallet mellan 15 och 25 år är 70 fåglar per år. Den genomsnittliga förändringshastigheten Δy Δx kallas ändringskvot eller differenskvot och beskriver kurvans genomsnittliga lutning i ett intervall. Ändringskvot En sekant som går genom punkterna (x1, y1) och (x2, y2) på kurvan y = f(x) har lutningen Δy Δx = y2 − y1 x2 − x1 Kvoten Δy Δx = y2 − y1 x2 − x1 = f(x2) − f(x1) x2 − x1 kallas ändringskvoten för funktionen f mellan x1 och x2 y x år st 5 10 15 20 2530 800600400200 1 000 1 200 En sekant är en rät linje som skär en kurva i två punkter y x Sekant y x år st 5 10 15 20 2530 800600400200 1 000 1 200 y x1 1 ∆x = x2 − x1 ∆y = y2 − y1 y = f(x) ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.1 SEKANTER OCH TANGENTER 69 2
Exempel: Ett äpple faller från ett träd. Äpplets läge som en funktion av falltiden kan beskrivas med grafen till höger, där s är läget i meter och t är falltiden i sekunder. Bestäm äpplets medelhastighet i intervallet 0,1 s ≤ t ≤ 0,2 s. Lösning: Medelhastigheten får vi genom att först dra en sekant som skär kurvan där t1 = 0,1 och t2 = 0,2. Sedan avläser vi s koordinaterna och beräknar sekantens riktningskoefficient. k = Δs Δt = s2 − s1 t2 − t1 = 0,2 − 0,05 0,2 − 0,1 = 0,150,1 = 1,5 Enheten för k är m/s Svar: Äpplets medelhastighet mellan 0,1 och 0,2 sekunder är 1,5 m/s. Exempel: Bestäm ändringskvoten för f(x) = x2 + 2, då x ändras från 3 till 3 + h Lösning: Metod 1 Ändringskvoten blir f(x2) − f(x1) x2 − x1 = f(3 + h) − f(3) (3 + h) − 3 = ((3 + h)2 + 2) − (32 + 2) h = = (9 + 6h + h2 + 2) − 11 h = 6h + h2 h = h(6 + h) h = 6 + h Svar: Ändringskvoten är 6 + h Metod 2 Vi definerar funktionen f i CAS och skriver sedan in ändringskvoten. Svar: Ändringskvoten är 6 + h. s t 0,20,1 s m 0,10,2 För x = 3 + h är f(3 + h) = (3 + h)2 + 2 kvadreringsAnvändregelnochförenkla Bryt ut h i täljaren och förkorta ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.1 SEKANTER OCH TANGENTER70 2
Exempel: Ekvationen y = 3x2 + 2x beskriver en kurva. Bestäm ekvationen för den sekant som går genom punkterna där x1 = −1 och x2 = 1. Lösning: Metod 1 Vi börjar med att beräkna y värdena för x1 = −1 och x2 = 1. y1 = 3 ∙ (−1)2 + 2 ∙ (−1) = 1 y2 = 3 ∙ 12 + 2 ∙ 1 = 5 Sedan beräknar vi riktningskoefficienten k k = y2 − y1 x2 − x1 = 5 − 1 1 − (−1) = 24 = 2 Koordinaterna för punkten (1, 5) och k = 2 sätts in i räta linjens ekvation. y = kx + m 5 = 2 ∙ 1 + m m = Svar:3Sekantens ekvation är y = 2x + 3. Metod 2 Vi börjar med att skriva in funktionsuttrycket y = 3x2 + 2x i GeoGebra och bestämmer sedan koordinaterna för punkterna där x1 = −1 och x2 = 1. Därefter kan vi bestämma sekantens ekvation med kommandot Linje Om vi vill få ekvationen i k form, så högerklickar vi på uttrycket och väljer Ekvation y = kx + m Vi får då Svar: Sekantens ekvation är y = 2x + 3. Du kan också välja verktyget Linje ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.1 SEKANTER OCH TANGENTER 71 2
Nivå 1 2116 Bestäm riktningskoefficienterna för sekanterna s1 och s2 y x 1 1 s1 s2 2117 En sekant går genom punkterna (2, 4) och (5, −2) på en kurva. Bestäm sekantens ekvation. 2118 En sekant går genom punkterna (0, −1) och (2, 3) på kurvan y = x2 − 1. Bestäm sekantens ändringskvot Δy Δx . 2119 Josefin har satt in 6 000 kr på ett bankkonto. Efter 4 år har hon 6 885 kr på kontot. Med hur många kronor har kapitalet ökat i genomsnitt per år? 2120 Albin hade sått broccoli. Han valde ut den planta som först kom upp och mätte höjden på den varje dag under en period. Hans resultat ser du i diagrammet. Höjd Tid 252015105 dagar cm 5 10 15 20 25 a) Hur mycket växte plantan i genomsnitt per dag de första 10 dagarna? b) Hur mycket växte plantan i genomsnitt per dag från den 10:e dagen till den 20:e? 2121 Värdet av ändringskvoten för y = f(x) mellan x = −1 och x = 1,5 är 4. Bestäm Δy. 2122 Beräkna ändringskvoten mellan x = 1 och x = 1,1 för f(x) = 0,7x . 2123 Lisa har fått en lådbil i födelsedagspresent. Hon startar högst upp i en backe och rullar ner. Lådbilens läge som funktion av tiden kan beskrivas med funktionsuttrycket s(t) = 0,15t 2, där s(t) meter är lådbilens läge i backen efter t sekunder. Beräkna lådbilens medelhastighet i intervallet t = 2 s till t = 22 s. 2124 Använd ett symbolhanterande verktyg (CAS) för att bestämma ändringskvoten för funktionen f, då x ändras från 4 till 4 + h om a) f(x) = x2 − 3 b) f(x) = 2x2 + 4x c) f(x) = 7 d) Förklara resultatet du fick i deluppgift c). Nivå 2 2125 Beräkna ändringskvoten för f(x) = 3x2 då x ändras a) från 2 till 2,01 b) från 2 till 2 + h 2126 Beräkna ändringskvoten för f(x) = x3 då x ändras från x till x + h a) utan digitalt verktyg b) med digitalt verktyg 2127 Ett ämne bryts ner enligt formeln y = 12 · 0,95x , där y är mängden i gram av ämnet som återstår och x tiden i månader. Bestäm den genomsnittliga nedbrytningshastigheten under det första året. Nivå 3 2128 Linjen y = kx + m är sekant till kurvan f(x) = 20,5x. Skärningspunkterna har y koordinaterna 1 respektive 10. a) Bestäm sekantens ekvation. b) Förklara varför kurvan y = f(x) inte kan ha två sekanter som är vinkelräta mot varandra. 72 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.1 SEKANTER OCH TANGENTER
Efteriktningskoefficient.rsomviendasthar
Tangentens lutning En tangent är en rät linje som vidrör kurvan endast i en punkt. Den punkt där tangenten vidrör kurvan kallas tangeringspunkt. Kurvans lutning i en punkt motsvaras av tangentes lutning i samma punkt. I föregående avsnitt bestämde vi den genomsnittliga förändringshastigheten genom att beräkna en kurvas genomsnittliga lutning i ett intervall, dvs. en sekants lutning i ett intervall. Om vi i stället vill ta reda på förändringshastigheten i ett givet ögonblick, så måste vi bestämma kurvans lutning i en given punkt. Det kan vi göra genom att beräkna tangentens lutning i den givna Vipunkten.villtareda på förändringshastigheten av antalet fåglar vid tidpunkten x = 15 år. Det innebär att vi måste bestämma kurvans lutning för x = 15. Ett sätt att göra det är att så noga som möjligt rita en tangent till kurvan i punkten med koordinaterna (15, 400) bestämma den tangentens en given punkt så måste läsa av koordinaterna ytterligare en punkt kunna beräkna
för
vi
riktningskoefficienten. Vi väljer punkten (25, 800) och får k = ∆y ∆x = 800 − 400 25 − 15 = 40010 = 40 Förändringshastigheten efter 15 år är alltså ungefär 40 fåglar/år. Tangentoch tangeringspunkt y x Förändringshastigheten i ett visst ögonblick kallas ibland för momentanhastighet y x år st 5 10 15 20 2530 800600400200 1 000 1 200 (15, 400) Tangentens riktningskoefficient y x år st 5 10 15 20 2530 800600400200 1 000 1 200 (15, 400) (25, 800) ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.1 SEKANTER OCH TANGENTER 73 2
och sedan
för att
på tangenten,
x = 2.
f i den punkt där x = 2 skrivs f’(2) och utläses ”f prim två”. En kurvas lutning Funktionens derivata beskriver en kurvas lutning i en punkt. Om derivatan i en punkt på kurvan är negativ, så lutar kurvan nedåt. Om derivatan är positiv, så lutar kurvan uppåt. Där kurvan är horisontell, dvs. parallell med x axeln, är derivatan noll. y x P1 = (x1, f(x1)) P2 = (x2, f(x2)) y = f(x) Sekant Tangent Närma sig betyder, i det här fallet, att vi väljer en rad olika punkter som ligger närmare och närmare P1 (2,1; 4,41) (2, 4) y x y = f(x) 2 2,1 4 x = 2,001 ligger närmare x = 2 än vad x = 2,01 gör y = f(x) y x ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.1 SEKANTER OCH TANGENTER74 2
(2, 4)
För att bestämma tangentens lutning kan man utgå från en sekant och låta avståndet mellan de två skärningspunkterna bli mindre och mindre genom att stegvis flytta den ena skärningspunkten närmare den andra. Se figur. Om vi vill beräkna tangentens riktningskoefficient i punkten P1 = (x1, f(x1)) på kurvan, så kan vi låta en annan punkt P2 = (x2, f(x2)) närma sig P1. När punkterna till slut sammanfaller, så övergår sekanten till en tangent. Tangentens riktningskoefficient får vi genom att beräkna sekanternas riktningskoefficienter och därefter undersöka vilket värde de närmar sig.
En tangent till kurvan y = x2 Vi söker lutningen
av
Från sekant till tangent Svårigheten med att rita en tangent till en kurva är att hitta en linje med rätt lutning och som bara har en punkt gemensam med kurvan.
Derivata att värdet sekanternas riktningskoefficient värde punkten och derivata punkten där Derivatan av funktionen
närmar sig 4. Detta
i punkten (2, 4) på kurvan y = f(x), där f(x) = x2. Se figuren till höger. Punkten (2, 4) är given. Som andra punkt väljer vi först punkten med x = 2,1. Genom de två punkterna drar vi en sekant och beräknar riktningskoefficienten. f(2,1) − f(2) 2,1 − 2 = 2,12 − 22 2,1 − 2 = 0,410,1 = 4,1 Därefter väljer vi punkter som ligger närmare och närmare den givna punkten (2, 4) och beräknar de nya sekanternas riktningskoefficienter. f(2,01) − f(2) 2,01 − 2 = 2,012 − 22 0,01 = 4,01 Vi har valt x = 2,01 f(2,001) − f(2) 2,001 − 2 = 4,001 Vi har valt x = 2,001 f(2,0001) − f(2) 2,0001 − 2 = 4,0001 Vi har valt x = 2,0001
Vi ser
är riktningskoefficienten för tangenten i
kallas funktionens
i
Lösning: Kurvan lutar uppåt intervallen Tangentens riktningskoefficient positiv i dessa intervall. är parallell med axeln för −1,5 och Där vänder Tangentens riktningskoefficient i dessa punkter. lutar nedåt intervallet Tangentens riktningskoefficient är negativ i intervallet.
på
cient positiv, noll
på x är
på x har kurvan i figuren en tangent med
Kurvan
−1,5 < x < 0.
x < −1,5 och x > 0.
f
är 0
negativ?
Kurvan
x = 0.
Exempel: För vilket eller vilka värden riktningskoefficienten : Där en kurva har en tangent med riktnings koefficienten noll är tangenten med axeln. Det inträffar oftast där kurvan vänder. här
m
parallell
Det gäller
kurvan.
x
kx
x
i
Exempel: För vilka värden tangentens riktingskoeffi respektive
är
u
i
Exempel: I figuren syns tangenten till kurvan y = (x) i punkten (0,5; 2). Bestäm ekvationen y = + för tangenten. Bestäm f’(0,5). Lösning: Vi läser av koordinaterna för ytterligare en punkt tangenten. Eftersom tangenten är en rät linje kan vi välja vilken punkt som helst på linjen.
Vi väljer (0; −0,5) och beräknar tangentens riktningskoefficient k. k = y2 − y1 x2 − x1 = 2 − 0,5(−0,5)−0 = 2 + 0,50,5 = 0,52,5 = 5 Vi avläser värdet av m ur grafen. m = −0,5 Linjen skär y axeln i punkten (0; −0,5) Sätt in k = 5 och m = −0,5 i räta linjens ekvation y = kx + m. y = 5x − 0,5 Svar: Tangentens ekvation är y = 5x − 0,5. b) Derivatan f’(0,5) har samma värde som riktingskoefficienten för tangenten i punkten (0,5; 2). Svar: f’(0,5) = 5 y x 1 1 y x 1 1−1 y x 42 12 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.1 SEKANTER OCH TANGENTER 75 2
a)
noll? Lösning
x =
a)
b)
för x = 2 och x = −2.
Exempel: Diagrammet beskriver läget som funktion av tiden för ett tåg som just startat från en station. Bestäm tågets hastighet efter exakt en minut. Lösning: Eftersom det frågas efter tågets hastighet i ett visst ögonblick, det vill säga 60 sekunder efter start, så ritar vi en tangent till kurvan där x = 60, dvs. i punkten (60, 850). Hastigheten bestäms av tangentens riktningskoefficient. Därför måste vi avläsa koordinaterna för ytterligare en punkt på tangenten. Vi avläser (40, 300). Tangentens riktningskoefficient är 850 − 300 60 − 40 = 55020 = 27,5 Hastigheten är 27,5 m/s = 27,5 · 3 600 1 000 km /h = 27,5 · 3,6 km/h = 99 km/h Svar: Tågets hastighet en minut efter starten är ca 100 km/h. Sträcka Tids m 102030405060 800600400200 1 000 Sträcka Tids m 102030405060 800600400200 1 000 (60,(40,850)300) Nivå 1 2129 Figuren visar grafen till en tredjegradsfunktion. y x 1 1 För vilka värden på x är kurvans lutning a) noll b) positiv c) negativ 2130 Diagrammet visar en motorcykels hastighet som funktion av tiden. En tangent till kurvan är dragen i punkten (5,5; 12,5). Hastighet Tid 2010 s m/s 2468 a) Vilken fråga kan du få svar på genom att bestämma tangentens lutning? b) Bestäm tangentens lutning. c) Är kurvans lutning vid tiden 8 s större eller mindre än vid tiden 5 s? ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.1 SEKANTER OCH TANGENTER76 2
2131 Bestäm riktningskoefficienten för tangenten i figuren. y x 1 1 2132 Höjden av en tall, h(t) meter, mättes varje år efter plantering. Grafen beskriver tallens höjd under t år. Höjd Tid 642 år m 510152025 Bestäm förändringshastigheten vid t = 15 år. 2133 Rita grafen till y = −x2 + 3x. a) Dra en tangent till kurvan i punkten (1, 2) och bestäm tangentens riktningskoefficient. b) I vilken eller vilka punkter på kurvan är tangentens riktningskoefficient noll? c) För vilka värden på x är tangentens riktningskoefficient negativ? 2134 Vid testkörning av en bil ville man veta hur snabbt den accelererade. Man avsatte därför hastigheten som funktion av tiden i ett diagram. Hastighet Tid 15105 s m/s 2 4 6 8 10 Bestäm accelerationen vid tidpunkten 2 sekunder. Nivå 2 2135 Kurvorna visar nedbrytningen av glukos efter ett glukosbelastningsprov hos en person med lindrig diabetes jämfört med en person som inte har diabetes. Hur skiljer sig nedbrytningshastigheterna åt en timme efter provets start? Glukos i blodet Tid efter provets start 21 h g/l 1 2persondiabetesmedpersonsom ej har diabetes 2136 Derivatan i punkten (2, 3) på en andragradskurva är noll. För x < 2 är derivatan positiv. Skissa en kurva som uppfyller dessa villkor. 77 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.1 SEKANTER OCH TANGENTER
2137 Derivatan till en funktion är noll i punkterna (−1, 2) och (1, 0). Skissa två olika förslag på hur grafen till funktionen kan se ut. 2138 Johanna vill bestämma lutningen för kurvan y = √5x då x = 3. Hon bestämmer ett närmevärde till derivatan genom att beräkna ändringskvoten√5·3,1−√5 · 3 3,1 − 3 Teckna en ny ändringskvot som bör ge ett bättre närmevärde till derivatan. 2139 Kurvan y = x2 − 1 har en tangent i punkten (0, −1). Bestäm ekvationen för den tangenten. 2140 Punkten P ligger på kurvan y = x2 − x. Tangen ten i P har ekvationen y = 3x − 4. Bestäm koordinaterna för punkten P 2141 Ett föremål faller s(t) meter på t sekunder enligt s(t) = 5t2. Rita en graf i intervallet 0 ≤ t ≤ 5 och bestäm a) medelhastigheten i intervallet 1 s ≤ t ≤ 3 s b) hastigheten vid t = 3. Nivå 3 2142 Låt f(x) = −x2 + 5x − 1. Bestäm f’(2) genom att beräkna ändringskvoten f(b) f(2) b 2 för några lämpliga värden på b.
Varför bestämma kurvas lutning sekant tangent kurva.
Hur kan grafen till en sådan funktion se ut? I vilka verkliga situationer kan man vara intresserad av att veta lutningen på tangen ten till en kurva i en viss punkt? Resonemang och begrepp 78 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.1 SEKANTER OCH TANGENTER
är det lättare att rita en sekant än att rita en tangent till en kurva? På vilket sätt kan man bestämma en kurvas medellutning i ett intervall? På vilket sätt kan man
en
till en
i en punkt? En rät linje kan i vissa fall vara både en
och en
uttrycket för
s t s 2010m 1 2 3 ∆s = s(1 + h) − s(1) ∆t = (1 + h) − 1 (1, s(1(1))+h, s(1 + h)) ordboken Ordet derivata kommer närmast från franskans dérivée och betyder ungefär härledd. Härledd innebär i det här fallet som en natur lig följd av något. ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.2 DERIVATA 79 2
vi hur
s’(1)
2.2 Derivata Derivatans definition För att bestämma en kurvas lutning i en punkt behöver vi bestämma tangen tens lutning i den punkten. Det har vi löst i tidigare avsnitt genom att låta sekanterna övergå till en tangent. Sekanternas lutning ger en följd av ändrings kvoter som närmar sig ett visst värde. Det värdet är riktningskoefficienten för tangenten och kallas för funktionens derivata i den givna punkten. y x y = f(x)
Derivatan som gränsvärde Värdet av h ska vara så litet som möjligt. Men vi kan inte sätta h = 0, eftersom division med 0 inte är definierad. Om vi i stället låter h bli mindre och mindre, så kommer sekantens lutning att närma sig tangentens lutning. Om värdet av h går mot noll, så kommer sekanten att sammanfalla med tangenten i punkten (1, s(1)). Detta gränsvärde av ändringskvoten är derivatan av s i punkten t = 1. skriver det som s’(1) nästa sida visar man kan bestämma genom att utveckla ändringskvoten.
Derivatan i en punkt Funktionsuttrycket s(t) = 4,9t2 beskriver läget s(t) meter för en fritt fallande sten efter tiden t sekunder. Vi söker stenens hastighet när den fallit exakt 1 Derivatansekund. beskriver hastigheten vid en given tidpunkt. Vi söker alltså s’(1), derivatan av s för t = 1 s. För att bestämma derivatan börjar vi med att teckna ändringskvoten som beskriver lutningen för en sekant genom punkterna (1, s(1)) och (1 + h, s(1 + h)), där h är ett litet tal. Δs Δt = s(1 + h) − s(1) (1 + h) − 1 = s(1 + h) − s(1) h
Vi
= lim h → 0 s(1 + h) − s(1) h På
Vi får att s’(1) = lim h → 0 Δs Δt = lim h → 0 s(1 + h) − s(1) h = lim h → 0 4,9(1 + h)2 − 4,9 ∙ 12 h = = lim h → 0 4,9(12 + 2h + h2) − 4,9 h = lim h → 0 4,9 + 9,8h + 4,9h2 − 4,9 h = = lim h → 0 9,8h + 4,9h2 h = lim h → 0 h(9,8 + 4,9h) h = lim h → 0 (9,8 + 4,9h) = 9,8 Alltså är s’(1) = Derivatan9,8 s’(t) i punkten där t = 1 är 9,8. Det betyder att stenens hastighet vid tiden 1 sekund är 9,8 m/s. Derivatans definition Gränsvärdet lim h → 0 f(a + h) − f(a) h är derivatan av funktionen f i punkten där x = a och betecknas f’(a), dvs. f’(a) = lim h → 0 f(a + h) − f(a) h Exempel: Beräkna följande gränsvärden. a) lim h → 0 4h b) lim h → 0 (6h + 14) c) lim h → 0 (4 + h)2 − 42 h Lösning: a) När h går mot 0 går värdet av 4h också mot 0. Svar: lim h → 0 4h = 0 b) När h går mot 0 går värdet av 6h + 14 mot 14. Svar: lim h → 0 (6h + 14) = 14 c) Här finns h i nämnaren. För att beräkna gränsvärdet, är det enklast att först förkorta med h för att sedan låta h gå mot 0. lim h → 0 (4 + h)2 − 42 h = lim h → 0 (16 + 8h + h2) − 16 h = lim h → 0 8h + h2 h = = lim h → 0 h(8 + h) h = lim h → 0 (8 + h) = 8 Värdet för 9,8 + 4,9h går mot 9,8 när h går mot 0 Eftersom 4 · 0 = 0 Eftersom 6 · 0 + 14 = 14 Utveckla med kvadreringsregeln och förenkla Låt beteckningen lim stå med tills gränsvärdet är beräknat Bryt ut h och förkorta Alla exempel i detta avsnitt går även att lösa med digitala hjälpmedel, men vi väljer här att lösa dem för hand. Förkorta med h ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.2 DERIVATA80 2
Exempel: Låt f(x) = 2x2 − 3 och beräkna f’(5), det vill säga derivatan av f för x = 5. Lösning: Vi beräknar f’(5) med hjälp av derivatans definition f’(5) = lim h → 0 f(5 + h) − f(5) h = lim h → 0 (2(5 + h)2 − 3) − (2 ∙ 52 − 3) h = = lim h → 0 (2(25 + 10h + h2) − 3) − (50 − 3) h = lim h → 0 50 + 20h + 2h2 − 3 − 47 h = = lim h → 0 20h + 2h2 h = lim h → 0 h(20 + 2h) h = lim h → 0 (20 + 2h) = 20 Svar: f’(5) = 20. Exempel: Grafen y = f(x) har en tangent i punkten (2, 3). Bestäm tangentens riktningskoefficient om f(x) = x3 − 5. Lösning: Riktningskoefficienten för kurvans tangent är derivatan av f(x) = x3 − 5 i punkten (2, 3). Vi beräknar derivatan med hjälp av definitionen f’(2) = lim h → 0 f(2 + h) − f(2) h = lim h → 0 ((2 + h)3 − 5) − (23 − 5) h = = lim h → 0 (23 + 3 ∙ 22 ∙ h + 3 ∙ 2 ∙ h2 + h3 − 5) − (8 − 5) h = = lim h → 0 8 + 12h + 6h2 + h3 − 5 − 3 h = lim h → 0 12h + 6h2 + h3 h = = lim h → 0 h(12 + 6h + h2) h = lim h → 0 (12 + 6h + h2) = 12 Svar: Tangentens riktningskoefficient är 12. Utveckla (5 + h)2 Faktorisera täljaren Förkorta med h 20 + 2h går mot 20 när h går mot noll (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b Bryt3 ut h Förkorta med h 12 + 6h + h2 går mot 12 när h går mot 0 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.2 DERIVATA 81 2
Nivå 1 2201 Beräkna följande gränsvärden. a) lim h → 0 (h + 1) b) lim h → 0 (2h − 5) c) lim h → 0 (h2 + 3) d) lim h → 0 (8 + h)2 − 82 h 2202 Låt f(x) = 2x och bestäm f(5 + h). 2203 Bestäm f’(3) = lim h → 0 f(3 + h) − f(3) h för f(x) = 5x 2204 Låt f(x) = 2x2 a) Bestäm f(1 + h). b) Förenkla f(1 + h) f(1) h så långt som möjligt. c) Bestäm lim h → 0 f(1 + h) f(1) h d) Vad har du fått svar på genom de beräkningar du gjort i deluppgifterna b) till c)? 2205 Beräkna f’(1) = lim h → 0 f(1 + h) − f(1) h för f(x) = x2 − 4x 2206 Beräkna f’(3) = lim h → 0 f(3 + h) − f(3) h om a) f(x) = 2x + 1 b) f(x) = x2 c) f(x) = x2 + 2x Nivå 2 2207 Låt y = 3x2 + 5 och bestäm med hjälp av derivatans definition kurvans lutning i den punkt där x koordinaten är −2. 2208 Låt f(x) = x2 och bestäm lim h → 0 f(a + h) − f(a) h 2209 Ange två olika funktioner som har derivatan 2 för x = 0. 2210 Robin och Sander har fått i uppgift att bestämma i vilken punkt grafen till f(x) = x2 − 8x + 13 har en horisontell tangent. Sander säger att man kan undersöka derivatan i punkten där x = a och se vilket värde som ger f’(a) = 0. Därför ställer han upp uttrycket f’(a) = lim h → 0 f(a + h ) − f(a) h a) Bestäm f’(a). b) För vilket värde på a gäller f’(a) = 0? c) Vilka koordinater har punkten där f’(a) = 0? d) Hjälp Sander att förklara för Robin varför grafen har en horisontell tangent i den punkten. e) För vilka värden på x har grafen positiv respektive negativ lutning? 2211 Bestäm f’(1) för f(x) = x3 med hjälp av derivatans definition. 2212 Visa att y = 2x − 3 är en tangent till grafen f(x) = 0,5x2 − 1. 2213 Visa att derivatan i punkten där x = 4 är lika för både f(x) = x2 + 3x och g(x) = x2 + 3x + 8. Nivå 3 2214 Låt f(x) = x3 + C, där C är en konstant. Visa att derivatan i punkten x = a är oberoende av värdet av konstanten C. 2215 Derivatan i den punkt där x = a kan även definieras som f’(a) = lim b → a f(b) − f(a) b − a . Använd denna defini tion för att visa att f’(a) = 2a om f(x) = x2. 2216 Låt f(x) = x3 − 12x + 1. Använd derivatans definition för att ta reda på vilka värden på a som ger f’(a) = −6. 2217 Låt f(x) = 1 1 + x och beräkna funktionens derivata i punkten (1, 21 ) med hjälp av derivatans definition. 82 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.2 DERIVATA
Att använda derivata Att kunna skapa matematiska modeller som beskriver förändringar är centralt inom många vetenskaper. Till exempel kan en fysiker vilja veta hur hastigheten hos ett föremål förändras i ett visst ögonblick, en biolog vill kanske ta reda på tillväxthastigheten hos en bakteriekultur vid en viss tidpunkt och en socionom vill känna till befolkningens tillväxthastighet vid ett visst årtal. Man kan säga att de alla vill veta förändringshastigheten hos någon företeelse vid en viss tidpunkt. De vill alla bestämma en given funktions derivata i en punkt.
Om f(x) till exempel beskriver den sträcka som en kropp har färdats, antalet bakterier i en bakteriekultur eller befolkningens storlek, så kan förändringshastigheten i x = a betecknas som f’(a) = lim h → 0 f(a + h) − f(a) h
Det är tidskrävande att beräkna ett värde på derivatan med hjälp av en serie ändringskvoter eller genom att använda derivatans definition. Med ett digitalt hjälpmedel blir beräkningarna ofta enklare att utföra. Det digitala hjälpmedlet har en inbyggd funktion för numerisk derivering, som beräknar derivatans värde. Om du vill beräkna derivatan av f(x) = x3 + 3x för x = 5 med hjälp av GeoGebra, skriver du först in funktionsuttrycket i inmatningsfältet och trycker på Enter. Därefter skriver du f’(5) i inmatningsfältet och derivatans värde visas direkt. Med ditt hjälpmedeldigitala
ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.2 DERIVATA 83 2
Kroppens hastighet efter 4 s, bakteriekulturens tillväxt efter 4 h eller befolkningstillväxten efter 4 år kan i detta fall beräknas med f’(4) = lim h → 0 f(4 + h) − f(4) h
a) Vad kommer att hända med elevantalet under de kommande 6 åren? Martin har beräknat N’(3), som är ungefär −32. Förklara vad det är som Martin har räknat ut. Lösning: a) Förändringsfaktorn är 0,95, det innebär en minskning med 5 % per år. Svar: Elevantalet kommer att minska med 5 % per år under de närmaste 6 åren.
b) Derivatan visar förändringshastigheten av elevantalet vid en viss tidpunkt. N’(3) ≈ −32 betyder att elevantalet minskar med 32 elever/år vid tidpunkten t = 3 år efter att mätningen startade. Värdet av 0,752 + 0,0076h går mot 0,752 när h går mot 0
Exempel: En varmluftsballong stiger mot himlen. Ballongens höjd s(t) meter över marken beskrivs av funktionsuttrycket s(t) = 0,0076t2 + 0,6t, där t är tiden i a)sekunder.Beräkna s’(10). b) Förklara med ord vad du har beräknat i a). a) Metod 1 Vi använder derivatans definition för att beräkna s’(10) s’(10) = lim h → 0 s(10 + h) − s(10) h = = lim h → 0 (0,0076(10 + h)2 + 0,6(10 + h)) − (0,0076 ∙ 102 + 0,6 ∙ 10) h = = lim h → 0 0,0076(100 + 20h + h2) + 6 + 0,6h − 0,76 − 6 h = = lim h → 0 0,76 + 0,152h + 0,0076h2 + 0,6h − 0,76 h = = lim h → 0 0,752h + 0,0076h2 h = lim h → 0 h(0,752 + 0,0076h) h = = lim h → 0 (0,752 + 0,0076h) = 0,752 Metod 2 Vi använder GeoGebra för att beräkna s’(10). Vi skriver in funktionen i algebrafönstret och trycker Enter. Därefter skriver vi s’(10) på raden nedanför. Värdet 0,752 visas då direkt i algebrafönstret. b) s’(10) ≈ 0,75 betyder att ballongen stiger med hastigheten 0,75 m/s vid tidpunkten t = 10 sekunder. En skola har 732 elever. Antalet elever N(t) kan beskrivas med N(t) = 732 ∙ 0,95t för 0 ≤ t ≤ 6, där t är tiden i år.
b)
ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.2 DERIVATA84 2
Exempel: Grafen till f(x) = 3x2 har en tangent i punkten (−1, 3). Bestäm tangentens ekvation. Lösning: Riktningskoefficienten k för kurvans tangent i en punkt är detsamma som funktionens derivata i den punkten. Derivatan av f(x) = 3x2 i punkten (−1, 3) är enligt derivatans definition f’(−1) = lim h → 0 f(−1 + h) − f(−1) h = lim h → 0 3(−1 + h)2 − 3 ∙ (−1)2 h = = lim h → 0 3(1 − 2h + h2) − 3 h = lim h → 0 3 − 6h + 3h2 − 3 h = = lim h → 0 −6h + 3h2 h = lim h → 0 h(−6 + 3h) h = lim h → 0 (−6 + 3h) = −6 Värdet av −6 + 3h går mot −6 när h går mot 0 Förkorta med h Riktningskoefficienten för grafens tangent i punkten (−1, 3) är −6. Vi sätter in k = −6, x = −1 och y = 3 i räta linjens ekvation. y = kx + m 3 = −6 · (−1) + m m = −3 Sätt in k = − 6 och m = −3 i y = kx + m Tangentens ekvation är y = −6x − 3. Svar: Tangenten i punkten (−1, 3) har ekvationen y = −6x − 3. Man kan också lösa uppgiften med hjälp av GeoGebra, som vi visar till höger. Nivå 1 2218 Värdet av en bil kan beskrivas med V(t) = 137 000 ∙ 0,85t, där V(t) är värdet i kr och t är bilens ålder i antal år. Vad betyder V’(3)? 2219 Den sträcka s(t) meter som Ewa cyklar är en funktion av tiden t sekunder. Tolka följande a)uttryck. s(10) = 48 b) s’(10) = 5,6 2220 Kurvan visar viktökningenhosenkattungeunderdeförstamånaderna.Vadbeskrivertangentensriktningskoefficientifiguren? Vikt Ålder 100200300400 dagar g 10 20 30 40 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.2 DERIVATA 85 2
a) Vilken hastighet har bollen efter 5 sekunder? b) Vilken hastighet har bollen just innan den tar mark? 2223 Temperaturen en sommardag är T °C x timmar efter midnatt. Skriv ett uttryck för a) kl . 7.00 är temperaturen 14 °C b) kl . 18.00 sjunker temperaturen med 2 °C per timme 2224 När en sten faller från en hög klippa kan stenens hastighet v(t) m/s beskrivas med formeln v(t) = 9,8t, där t är tiden i sekunder. a) Beräkna v’(1) och v’(3).
2221 Antalet bakterier N(t) i en försöksodling kan beräknas med hjälp av N(t) = 1 200 ∙ 1,08t , där t är tiden i timmar efter det att man startat odlingen. Vad betyder N’(4) = 126? 2222 Om man släpper en tennisboll från toppen av Eiffeltornet, så tar det ungefär 8 sekunder innan den når marken. Sträckan s(t) meter som en kropp faller under t sekunder kan beskrivas med formeln s(t) = 4,9t2.
2227 Grafen till f(x) = 2x2 + 2 har en tangent i punkten (0, f(0)). Bestäm tangentens ekvation. Nivå 2 2228 Kurvan till ekvationen y = −4x2 + x + 5 har en tangent i den punkt där x = −1. Bestäm tangentens ekvation. 2229 Om Salomon blåser upp en rund ballong, så ändras ballongens diameter d cm enligt d(t) = 12,43√t , där t är tiden i sekunder. Hur tolkar man d’(1) ≈ 4,1?
2230 En rät linje går genom punkten (3, 0) och är parallell med tangenten till kurvan y = 2x3 i punkten (1, 2). Bestäm linjens ekvation. 2231 Abebe springer ett maratonlopp. Hans löptempo beskrivs av funktionsuttrycket T(s) = 5,22 + s 60 där T(s) är hans kilometertid i enheten minuter per kilometer, när han sprungit s km av loppet. Vilken kilometertid har Abebe när han har sprungit två mil? b) Hur förändras Abebes kilometertid vid s = 35 km? c) Hur kan du teckna resultatet i b) med hjälp av derivata? 2232 Låt y = x2. Bestäm skärningspunkten mellan tangenterna till kurvan i ( 1, 1) och (2, 4).
b) Vad är det som du har beräknat i a)? c) Vad kan du dra för slutsats av resultatet i a)? 2225 Elin cyklar till kiosken. Diagrammet visar hennes hastighet som funktion av tiden. Hastighet Tid 108642 s m/s 50 100 a) Bestäm v’(120) med hjälp av grafen. b) Vad har du beräknat i deluppgift a)? 2226 Funktionen f ges av f(x) = x2 − 6. a) Beräkna f’(−2). b) Bestäm ekvationen för tangenten i punkten (−2, −2).
a)
86 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.2 DERIVATA
Deriverbarhet och absolutbelopp För att man ska kunna bestämma derivatan av en funktion i en punkt där x = a, måste det vara möjligt att bestämma gränsvärdet lim h → 0 f(a + h) − f(a) h . Om gränsvärdet existerar, så är funktionen deriverbar i den punkten. De flesta funktioner vi behandlar i gymnasiematematiken är deriverbara för alla x. Det gäller till exempel alla polynomfunktioner. Även alla rationella funk tioner är deriverbara för alla x i sin definitionsmängd, men de går förstås inte att derivera i punkter där de inte är definierade. Till exempel är funktionen f där f(x) = x2 + 2x x − 1 deriverbar för alla x ≠ 1. y y = f(x) x2 2 I förra kapitlet introducerade vi styckvis definierade funktioner. Dessa funktioner kan innehålla diskontinuiteter. Till exempel har funktionen g där g(x) = { 2 för x ≤ 0 4 för x > 0 en diskontinuitet för x = 0. y x1 1 y = g(x) Vi undersöker om funktionen har en derivata där x = 0, dvs. om g’(0) = lim h → 0 g(0 + h) − g(0) h existerar. På det sättet upptäcker vi att uttryckets vänstergränsvärde är 0 medan högergränsvärdet går mot oändligheten. h närmar sig 0 från högerh närmar sig 0 från vänster h −0,1−0,01−0,00100,0010,010,1 g(0 + h) − g(0) h 000 2 000 200 20 Gränsvärdet existerar alltså inte och funktionen g är därmed inte deriverbar för x = 0. Vi kan allmänt säga att om en funktion inte är kontinuerlig i en punkt, så är den inte deriverbar i den punkten. För x = 1 är f inte definierad och och funktionen är därför inte deriverbar där Vid x = 0 gör grafen till g ett språng, dvs. g är inte kontinuerlig i den punkten. Observera att t.ex g( 0,1) = g(0) = 2 och g(0,1) = 4 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.2 DERIVATA 87 2
För att en funktion ska vara deriverbar i en viss punkt, krävs det att den är kontinuerlig i denna punkt. Det finns dock funktioner som är kontinuerliga, men inte deriverbara för alla x. Vi ska snart visa ett exempel på en funktion som är kontinuerlig för alla x, men som ändå har en punkt där den inte är deriverbar. Absolutbelopp Absolutbeloppet av ett tal kan beskrivas som talets avstånd till origo. Absolutbeloppet av −4 är alltså 4 och absolutbeloppet av 5,7 är 5,7. Talen ligger 4 respektive 5,7 längdenheter från origo. Vi skriver |−4| = 4 och |5,7| = 5,7. |−4| = 4 |5,7| = 01234565,7−5−6−4−3−2−1 Absolutbelopp Absolutbeloppet av ett reellt tal a är talets avstånd till origo och betecknas |a|. Absolutbeloppet av a definieras |a| = a för a ≥ 0 |a| = −a för a < 0 Här till vänster har vi ritat grafen till funktionen f(x) = |x|. Funktionen är kontinuerlig eftersom den uppfyller villkoret för kontinuitet i varje punkt, även för x = 0. Funktionsvärdet går mot noll både när x närmar sig 0 från höger och när x närmar sig 0 från vänster. Vi undersöker funktionens derivata där x = 0, dvs. f’(0) = lim h → 0 f(0 + h) − f(0) h , och presenterar resultatet i en tabell. h närmar sig 0 från högerh närmar sig 0 från vänster h −0,1−0,01−0,00100,0010,010,1 f(0 + h) − f(0) h −1−1−1 111 Vi ser i tabellen att lim h → 0 f(0 + h) − f(0) h = −1, dvs. vänstergränsvärdet är −1 och lim h → 0+ f(0 + h) − f(0) h = 1, dvs. högergränsvärdet är 1. Eftersom vänster och högergränsvärde inte är lika, så existerar inte gränsvärdet där x = 0 och därmed är inte funktionen deriverbar för x = 0. Om vi tittar på funktionens graf, så ser vi att den har en spets i punkten (0, 0). Det förklarar varför det är omöjligt att dra en entydig tangent i denna punkt. Det finns helt enkelt ingen rät linje som beskriver lutningen i punkten (0, 0). Vi kan allmänt säga att en funktion inte är deriverbar i en punkt där grafen är spetsig. y x1 1 y = |x| Grafen till f(x) = IxI är spetsig i origo och funktionen är därför inte deriverbar i den ÄNDRINGSKVOTpunkten.OCH DERIVATA u 2.2 DERIVATA88 2
Exempel: För funktionerna f och g gäller att f(x) = |x − 6| och g(x) = |x2 − 4|. a) Bestäm f(4) respektive g(3). b) Lös ekvationen f(x) = 4. c) För vilka x är f (x) < 3? d) Rita graferna till f och g med ett digitalt hjälpmedel och avgör för vilka x respektive funktion är kontinuerlig. Bestäm också för vilka x funktionerna är deriverbara. Lösning: a) f(4) = |4 − 6| = |−2| = 2 Enligt definitionen av absolutbelopp g(3) = |32 − 4| = |9 − 4| = |5| = 5 Enligt definitionen av absolutbelopp Svar: f(4) = 2 och g(3) = 5 b) Om |x − 6| = 4, så är x − 6 antingen lika med 4 eller −4. Vi delar därför upp lösningen i två fall. x − 6 = 4 eller x − 6 = −4 x = 10 x = 2 Svar: Lösningarna är x1 = 10 och x2 = 2. c) f(x) < 3 ger olikheten |x − 6| < 3. Det betyder grafiskt att avståndet från talet x − 6 till origo på tallinjen är mindre än 3. Det betyder i sin tur att −3 < x − 6 < 3 01234−4−3−2−1 Genom att addera 6 till alla led i dubbelolikheten −3 < x − 6 < 3 får vi 3 < x < 9 Svar: f(x) < 3 för alla 3 < x < 9 d) Vi ritar funktionerna med hjälp av GeoGebra. Graferna till f och g är sammanhängande i hela sin definitionsmängd och är därmed kontinuerliga funktioner. Grafen till f har en spets för x = 6. Funktionen f är därmed deriverbar för alla x ≠ 6. Grafen till g har spetsar för x = ±2. Funktionen g är därmed deriverbar för alla x ≠ ±2. Svar: Funktionerna f och g är kontinuerliga funktioner. f är deriverbar för alla x ≠ 6 och g är deriverbar för alla x ≠ ±2. Intervallet visar alla tal x − 6 vars avstånd till origo är mindre än 3 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.2 DERIVATA 89 2
Exempel: Använd ett symbolhanterande verktyg för att undersöka om funktionen f(x) = { x2 + 2x när x < 0 3x − x2 när x ≥ 0 a) är kontinuerlig för x = 0 b) är deriverbar för x = 0 Lösning: Vi skriver funktionsuttrycket i GeoGebras CAS fönster som f(x) := Om(x < 0, x^2 + 2x, 3x - x^2). Vi ser då grafen i ritfönstret. Grafen ser ut att vara sammanhängande och inte ha några spetsar, men vi kan undersöka detta mer noggrant. a) Funktionen är kontinuerlig för x = 0 om lim x → 0 f(x) = f(0). Vi undersöker villkoren i CAS fönstret: Vi ser nu att gränsvärdet överensstämmer med funktionsvärdet för x = 0. Svar: Funktionen f är kontinuerlig för x = 0. b) Eftersom funktionen är kontinuerlig för x = 0 så kan den vara deriverbar där. Vi undersöker genom derivatans definition om derivatan existerar då x = GeoGebra0. svarar med ett frågetecken, vilket betyder att det gränsvärde vi frågar efter inte existerar. Svar: Eftersom gränsvärdet för ändringskvoten inte existerar för x = 0 är funktionen inte deriverbar för x = 0. För att skriva in styckvis definierade funktioner i GeoGebrafunktionenanvändsOm() Om vi zoomar in grafen här ovanför tillräckligt mycket, så kan vi se att grafen har en liten knix där x = 0. Nivå 1 2233 Figuren visar grafen till en funktion. Är funktionen deriverbar för alla x? Motivera ditt svar. y x1 1 2234 Figuren visar grafen till en funktion. För vilka värden på x är funktionen inte deriverbar? y x1 1 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.2 DERIVATA90 2
2235 Figurerna visar grafer till två funktioner. Varför är funktionerna inte deriverbara för alla x? b)a) 2236 Bestäm värdet av a) |7| b) |−7| c) |0| d) |−0,01| 2237 På tallinjen är två tal x1 och x2 markerade. −7 0123−5−6−4−3−2−1 x1 x2 Bestäm |x1 − x2| (Np Ma3c ht 2012) 2238 Beräkna |x2 − 4x| om a) x = −2 b) x = 2 c) x = 4 2239 Undersök om f(x) = { 2x − 2 för x < 1 −2x + 2 för x ≥ 1 a) är kontinuerlig för x = 1 b) är deriverbar för x = 1 2240 Ge exempel på två funktioner som är deriverbara för alla x. Nivå 2 2241 Lös ekvationen |x + 2| = 5 (Np Ma3c vt 2014) 2242 Rita grafen till y = |x − 2| utan att använda ett digitalt hjälpmedel. 2243 Kattmaten i en konservburk ska enligt tillverkarens uppgifter väga 450 gram. Eftersom det inte går att få exakt 450 g kattmat i samtliga burkar så tycker tillverkaren att vikten är godkänd om den ligger maximalt 5 g ifrån den angivna vikten på 450 g. Beteckna kattmatens vikt med V och teckna detta villkor som en olikhet med hjälp av absolutbelopp. 2244 Lös ekvationerna a) 6 = |2 + x| b) |2x − 3| = −4 2245 Lös olikheten |x − 1| > 2 2246 Ge exempel på två funktioner som inte är deriverbara för alla x samt i vilken eller vilka punkter de inte är deriverbara. 2247 Undersök om f(x) = { x2 för x < 0 x 3 för x ≥ 0 a) är kontinuerlig för x = 0 b) är deriverbar för x = 0 2248 Bestäm nollställena till funktionen f(x) = |3x + 2| − 4 y x1 1 y x1 1 91 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.2 DERIVATA
Vilket samband finns mellan en funktions derivata och lutningen hos dess graf? Hur kan man använda derivata för att bestämma hastigheten i ett givet ögonblick? Vad är det för skillnad mellan medelhastighet och momentanhastighet? Vad beskriver gränsvärdet lim h → 0 f(a + h) − f(a) h ? Förklara vad absolutbeloppet av ett tal innebär. Nämn två orsaker till att en funktion inte är deriverbar i en viss punkt. Resonemang och begrepp 2249 Lös ekvationerna a) |x2 + 2x| = 15 b) |x2 − 6x| = 7 2250 Steven säger att |x| = √x2 för alla värden på x. a) Har Steven rätt i sitt påstående? Motivera. b) Wayne säger att då måste det ju också gälla att |x| = (√x )2. Har Wayne rätt? 2251 Rita grafen till f(x) = |x2 − 8| med ditt digitala hjälpmedel. Förklara grafens utseende. 2252 Vilka av följande funktioner är deriverbara i punkten där x = 0? f (x) = { x för x < 0 x2 för x ≥ 0 g(x) = { x2 för x < 0 x2 för x ≥ 0 h(x) = { x2 för x < 2 x2 för x ≥ 2 2253 Låt g(x) = { 7 för x < 2 x2 + 3x − 3 för x ≥ 2 Vilket eller vilka av följande påståenden är korrekta? Motivera ditt svar. A g är kontinuerlig, men inte deriverbar i hela definitionsmängden. B g är deriverbar i hela definitionsmängden, men däremot inte kontinuerlig. C g är kontinuerlig och deriverbar i hela definitionsmängden. D Det finns en punkt där g varken är kontinuerlig eller deriverbar. 2254 Är följande funktioner deriverbara i origo? Motivera ditt svar. a) y = { x2 för x ≤ 0 0 för x > 0 b) y = { x2 för x ≤ 0 x för x > 0 2255 Skissa grafen till f(x) = 2|x + 3| + 4 utan att använda digitalt hjälpmedel. Nivå 3 2256 I figuren nedan är grafen till funktionen f ritad. Definiera f med ett funktionsuttryck som innehåller absolutbelopp. y x1 1 2257 Låt f(x) = { x2 − x − 1 för x ≥ 4 g(x) för x < 4 a) Ge ett exempel på en funktion g så att f blir kontinuerlig för x = 4. b) Bestäm g(x) på formen kx + m så att f blir deriverbar för x = 4. 2258 Skissa grafen till funktionerna utan att använda digitalt hjälpmedel. a) f(x) = |x2 − 6x − 7| b) g(x) = |x2 − 6x| − 7 92 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA u 2.2 DERIVATA
Se figuren till vänster. y = √x ger y2 = x (y + a)2 = x + e För små värden på a och e y2 + 2ya + a2 = x + e Eftersom y2 = x kan man subtrahera y2 från VL och x från HL 2ya + a2 = e Dividera alla termer med a 2y + a = ae a försummas i VL eftersom det är litet 2y = ae PQy = ae ger PQy = 2y På grund av likformiga trianglar och likheten e a = 2y PQ = 2y2 = 2x Eftersom y2 = x Det innebär att PO = OQ = x och tangenten kan bestämmas. Isaac Barrow (1630 –1677) Rita en kurva med en tangent som inte uppfyller Apollonios krav på en tangent ? Visa hur man kan bestämma riktningskoefficienten till alla tangenter till kurvan y = √x med hjälp av Isaac Barrows slutsats, dvs. att PO i figuren är lika med OQ ? x y y = √x e Ra POxQ y Historia 93ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA HISTORIA
Att bestämma en tangent Euklides, Apollonios och Descartes
2
x
1. Linjen ska ha en punkt gemensam med kurvan. 2. Inga andra punkter på tangenten ligger på kurvan. Apollonios bestämde sedan en tangent till en kurva genom att med linjal och passare konstruera en linje som uppfyllde de villkoren. Nya metoder arbetades fram först långt senare. En av dem som intresserade sig för saken var den franske filosofen och matematikern René Descartes (1596–1650).
av P
Den grekiske matematikern Euklides (ca 325–265 f.Kr.) beskriver i sitt verk Elementa en tangent till en cirkel som den räta linje som vidrör cirkeln i en punkt utan att skära den. Euklides landsman Apollonios (ca 262–190 f.Kr.) utgick från detta när han ställde upp två krav för att en rät linje skulle godkännas som tangent till en kurva
y = √x
Descartes var framför allt filosof, men i ett appendix till hans bok Discours de la Métode från år 1637 beskriver han sin metod att hitta tangenten till en kurva. Han bestämde tangenten till en kurva genom att söka en cirkel med samma tangent i tangeringspunkten. För att bestämma tangenten drog han normalen till kurvan i tangeringspunkten. Därför kallas hans metod normalmetoden. Det är en arbetsam metod, men den ledde fram till en intressant diskussion bland 1600 talets matematiker och har haft stor betydelse för matematikens utveckling. Isaac Barrow Isaac Barrow (1630–1677) var professor i Cambridge och lärare till bland annat Isaac Newton. Han bestämde år 1669 en tangent till kurvan genom att först bestämma läget , tangentens skärningspunkt med axeln.
2 Rätt eller fel? Differenskvoten ∆y ∆x beräknas med formeln x2 x1 y2 − y Sekant1ens lutning är lika med kurvans medellutning i intervallet. En kurvas lutning i en punkt är lika med sekantens riktningskoefficient. Derivatan i en punkt är lika med kurvans lutning i den punkten. Derivatan definieras som gränsvärdet av ändringskvoten ∆y ∆x när ∆x → 0. För att beräkna derivatan numeriskt räcker det med att bestämma en enda ändringskvot om man väljer ett tillräckligt litet värde på h Om en funktion är kontinuerlig i en punkt är den också deriverbar i punkten. Absolutbeloppet av ett tal är alltid ett positivt tal. Undersök Samband funktion – derivata u Till en funktion kan man skissa derivatans graf genom att bestämma värdet av derivatan i olika punkter på grafen till funktionen. Uppskatta värdet av derivatan f' i minst fem punkter på kurvan y = f(x). y x 1 1 y = f(x) Använd de värden du fått till att skissa derivatans graf. u Du vet följande om funktionen g g'(−1) = g'(3) = −3, g'(0) = g'(2) = 0, g'(1) = 2, g(0) = −2 och g(2) = 2 Skissa grafen till funktionen. u Grafen visar derivatan h' av en funktion h Skissa en möjlig graf till funktionen h y x 1 1 y = h'(x) u Vilket samband tycks finnas mellan graden av en polynomfunktion och graden av dess derivata? Uppslaget 94 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA UPPSLAGET
95ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA UPPSLAGET
Problemlösning och modellering HB HomeSafe Patrik och Klara har läst kursen Ung Företagsamhet. Där fick de en inblick i hur ett företag drivs. När de nu har gått ut gymnasiet bestämmer de sig för att bilda ett handelsbolag. De kallar företaget HB HomeSafe och där ska de montera och sälja enklare hemlarm. De börjar med att ta reda på priset på de delar som behövs och får sedan hjälp med att göra en budget. Funktionen K(q) = 1 500 + 600q − 0,02q2 beskriver kostnaden K(q) kr för att tillverka q st larm. Efter en enkel marknadsundersökning bestämmer de sig för att sätta försäljningspriset av sina larm till 995 kr/st. För att få en uppfattning om företagets ekonomiska förutsättningar ska du hjälpa dem genom att göra följande beräkningar: u Beräkna genomsnittskostnaden för de 25 först tillverkade larmen. u Hur ser funktionen ut som beskriver vinsten om de tillverkar och säljer q st larm? u Hur många larm ska de tillverka för att vinsten ska bli 15 000 kr, under förutsättning att de säljer alla larm de sätter ihop?
u Hur stor är den genomsnittliga vinstökningen per larm om försäljningen ökar från 100 till 200 Marginalkostnadlarm? är en ekonomisk term som anger den extra kostnad som tillkommer till totalkostnaden för att tillverka ytterligare en enhet av en produkt. u Bestäm marginalkostnaden vid en produktion av 200 enheter. u Beskriv hur marginalkostnaden förändras när produktionen ändras. u Hur förändras vinsten om försäljningspriset ökar med 20 % och man fortfarande säljer alla larm?
2
2 Ändringskvot och derivata Räta linjens ekvation y = kx + m linjens riktningskoefficient k = y2 − y1 x2 − x1 tangentsekant Sekant rät skärlinjeen kurva i två punkter sekantens riktningskoefficient är ändringskvoten ∆y ∆x genomsnittligmedellutning förändringshastighet Tangent rät vidrörlinjeen kurva i en förändringshastighetenpunkti en punkt en kurvas lutning i en punkt tangentens riktningskoefficient är värdet av derivatan Deriverbarhet funktionen är definierad funktionen är kontinuerlig grafen till funktionen är inte spetsig Derivata en kurvas lutning i en given punkt gränsvärde av en ändringskvot derivatan av f(x) i x = a skrivs f'(a) derivatans definition f'(a) = lim h → 0 f(a + h) − f(a) h Tillämpningar tangentens hastighetenlutningiettgivet ögonblick förändringshastighet i en punkt Absolutbelopp avstånd till origo |a| = a för a ≥ 0 |a| = −a för a < 0 Tankekarta 96 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA TANKEKARTA
2« Nivå 1 1 Vilket av alternativen A–E är korrekt? A |3| = −3 B |−3| = 3 C |−3| = −3 D −|3| = 3 E −|−3| = 3 (Np Ma3c vt 2013) 2 I diagrammet ser du en kurva med en utritad sekant. Bestäm sekantens lutning. y x 1 1 3 Vad ska stå i för att likheterna ska gälla? a) (2x + )2 = 4x2 + 12x + 9 b) ( − 4)( + 4) = 16x2 − 16 4 Mia och Andreas har vägt sin baby varje månad under det första halvåret och antecknat resultatet. Så här blev resultatet x (mån) 0123456 y (kg) 3,63,84,75,66,16,87,4 a) Bestäm Δy för hela perioden. b) Bestäm Δx för hela perioden. c) Hur stor var babyns genomsnittliga viktökning per månad under det första halvåret? 5 Faktorisera polynomen a) p(x) = x2 − 12x − 13 b) q(x) = 2x2 + 4x − 48 c) r(x) = x2 − 64 d) s(x) = x5 − 9x 6 I figuren är kurvans tangent i punkten (1, 2) utritad. Bestäm tangentens ekvation. y x 1 1 7 Beräkna |3 − 32| (Np Ma3c ht 2014) 8 Beräkna |2x − 8| om a) x = 5 b) x = 2 c) x = −4 9 Skissa grafen till en funktion som uppfyller följande villkor: a) Deriverbar för alla x. b) Ej deriverbar för x = 2. 10 Figuren visar den titrerkurva som Malin fick fram då hon titrerade ättiksyra med natriumhydroxidlösning. pH Volym 108642 ml10 20 30 Hur mycket steg pH värdet i genomsnitt under tillsats av 20 ml natriumhydroxidlösning? Ange förändringshastigheten i pH enheter/ml. 97ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA BLANDADE UPPGIFTER Blandade uppgifter
«2 11 Diagrammet visar den sönderfallskurva för kol 14 som används för att datera gamla föremål. 1017 st Antal partiklar i ett prov Tid 102030 år10 000 20 000 30 000 a) Vilket typ av samband beskriver grafen? b) Hur många partiklar sönderfaller i genomsnitt per år under de första 5 000 åren? 12 Tabellen visar antalet bakterier N(t) i en bakterieodling vid några tidpunkter t timmar. t 246810 N(t) 5 000 15 00040 000 109 000 300 000 Använd tabellen till att ge en så bra uppskattning som möjligt av N’(7), dvs. uppskatta tillväxthastigheten vid tiden t = 7 timmar. (Np MaC ht 2000) 13 Grafen i diagrammet nedan beskriver körsträckan för en rallybil under en del av en tävling. Efter tiden t sekunder har bilen hunnit sträckan s(t) meter. Beräkna med hjälp av diagrammet följande två uttryck och förklara vad värdena säger om bilens rörelse. a) s(12) − s(10) 12 − 10 b) s’(5) c) Hur tror du att den del av rallybanan som motsvaras av diagrammet ser ut? 2201801401006020 t/s s/m 2 4 6 8 10 12 (Np MaC ht 1996) 14 Lös ekvationen |x| = 3. (Np Ma3c ht 2013) 15 Ett andragradspolynom har nollställena x = −5 och x = 7. Grafen skär y axeln i punkten (0, −35). Vilket är polynomet? 16 I koordinatsystemet nedan är grafen till funktionen f(x) = x 25 ritad. Bestäm f’(0,6) a) med hjälp av grafen b) numeriskt med ett digitalt verktyg y x 0,2 0,2 17 Förenkla så långt som möjligt a) (x − 3)(x + 2) 2x 6 b) x2 + 8x + 16 2x2 − 32 (Np Ma3c ht 2012) 18 En sekant skär kurvan y = x2 + 2x − 3 i x1 = −3 och x2 = 2. Bestäm sekantens ekvation. 19 Agrin ska faktorisera p(x) = x3 + 6x2 − 9x − 14 och har inlett med att skriva om p som p(x) = (x − 2)(x2 + 8x + 7). Hjälp Agrin att fullfölja faktoriseringen. 98 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA BLANDADE UPPGIFTER
2«20 Bestäm följande gränsvärden: a) lim x → 5 (x2 + x) b) lim h → 0 h2 + 3h h Nivå 2 21 Faktorisera polynomet p(x) = 3x2 + 3x − 18. 22 Ett polynom av grad 2 har sina nollställen i x = −4 och x = 2. Polynomets minsta värde är −27. Vilket är polynomet? 23 Låt f(x) = x2 + 3x och förenkla f(2 + h) − f(2) h . 24 Josefins mormor har satt in 10 000 kr i en fond vars värde har vuxit med 6 % för varje år under 5 år. Bestäm den genomsnittliga ökningen uttryckt i kronor per år. 25 Funktionen f bestäms av f(x) = { x2 för x ≤ 2 2x + 2 för x > 2 Är funktionen deriverbar för x = 2? Motivera ditt svar. 26 För en funktion f gäller att y = f (x). Grafen till funktionen har en tangent i den punkt där x = 5. Tangentens ekvation är 3x + 2y −10 = 0. a) Bestäm f’(5) b) Bestäm f (5) (Np Ma3c vt 2014) 27 Låt p(x) = lg x och q(x) = x ∙ p(x) −1. Lös ekvationen p(x) = q(x) med symbolhanterande verktyg och svara med tre decimalers noggrannhet. Nivå 3 28 När ett tåg bromsar in, så beskrivs sträckan tåget färdats sedan inbromsningens början av s(t) = 25t − 0,2t2, där s(t) är sträckan i meter och t är tiden i sekunder. a) Vilken är tågets hastighet när det bromsat i 3 sekunder? b) Hur lång tid tar inbromsningen? c) Hur lång är bromssträckan? d) Bestäm medelhastigheten under inbromsningen. 29 Låt f(x) = 2x2 och bestäm lim b → a f(b) − f(a) b − a 30 Bestäm derivatan till f(x) = Ax med hjälp av derivatans definition. (Np Ma3c ht 2012) 31 Figuren visar graferna till funktionerna f och g y x 54321 1 2 345 y = f(x) y = g(x) För funktionen h gäller att h(x) = f (x) − g(x). Bestäm h’(2). (Np Ma3c ht 2014) 99ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA BLANDADE UPPGIFTER
2 Del 1 Utan digitalt verktyg 1 Grafen visar hur temperaturen varierar under en sommardag i Stockholm. a) I vilket intervall är grafens lutning positiv? b) Bestäm den mellantemperaturändringengenomsnittligapertimmeklockan14.00och16.00. 2 Punkterna (2, 1) och (4, 4) ligger på kurvan y = x42 a) Bestäm Δy Δx mellan de givna punkterna. b) Förklara med ord vad du har beräknat i deluppgift a). 3 Grafen till en funktion har negativ lutning i intervallen x < −3 och x > 5, lutningen är noll i punkterna där x = −3 och x = 5, och i intervallet −3 < x < 5 är lutningen positiv. Skissa en graf som uppfyller dessa villkor. 4 För att bestämma f’(4) till funktionen f(x) = x2 − 1 ställer man upp uttrycket f’(4) = lim h → 0 ((4 + h)2 − 1) − (42 − 1) h Vilket av följande uttryck beskriver kommande steg? A lim h → 0 (16 + 4h + h2) − 16 h = 4 B lim h → 0 (16 + 8h + h2 − 1) − 15 h = 8 C lim h → 0 (16 − 8h + h2 − 1) − 16 + 1 h = −8 5 Antalet råttor i en population efter att man har lagt ut råttgift kan beskrivas med funktionsuttrycket N(t) = 200 ∙ 0,98t, där N(t) är antalet råttor och t är tiden i dagar efter det att giftet placerades ut. Beskriv vad N’(3) betyder. 6 Beräkna ändringskvoten mellan x = 1 och x = 3 för f(x) = x2 + 2. 7 Undersök om f(x) = { 0,5x för x < 2 2x för x ≥ 2 a) är kontinuerlig för x = 2 b) är deriverbar för x = 2 8 För vilka värden på x gäller likheten x + 3 = |x + 3|? 9 För V(x) = x3 + 2x2 − 4x + 2 gäller att V’(0) = lim h → 0 h3 + 2h2 − 4h + 2 − 2 h . Bestäm V’(0). Temp Tid 302010 kl.°C8.00 12.00 16.00 20.00 Kapiteltest 100 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITELTEST
2 Del 2 Med digitalt hjälpmedel 10 Kanadagåsen infördes till Sverige på 1930 talet. Därefter har populationen ökat. Vid samma tidpunkt varje år görs en inventering av antalet kanadagäss. Populationens tillväxt kan beskrivas med en exponentiell modell. Diagrammet nedan visar antalet kanadagäss K som funktion av tiden t år, där t = 0 motsvarar år 1977. 10 000 20 000 30 000 t/år K 10 20 30 a) Bestäm ett närmevärde till K’ (30) med hjälp av grafen. b) Ge en tolkning av vad K’ (20) = 800 betyder för antalet kanadagäss i detta sammanhang. (Np Ma3c ht 2012) 11 Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan f(x) = x2 − 2 för x = −2. 12 Bestäm riktningskoefficienten till tangenten i punkten där x = −2. y x1 1 13 Låt f(x) = 2x2 − 7. a) Bestäm f’(5) = lim h → 0 f(5 + h) − f(5) h b) Förklara vad det är som beräknas i deluppgift a). 14 Figuren visar grafen till y = f(x) där f(x) = x2. Bestäm ekvationen för grafens tangent i origo. Bestäm ekvationen för grafens tangent för x = Bestäm1.ekvationen för tangenten för ytterligare några positiva heltalsvärden på x. Vilka slutsatser kan du dra? y x1 1 101ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITELTEST
= 1 utAlgebraiskatryck 1101 a) −7 b) 20 c) −5 1102 a) 5 b) 4 c) 120 d) −324 1103 a) x = 4 b) x = 5 och x = −5 1104 T.ex. x3 + 2 1105 a) 385 kr b) 6,6 km 1106 B, D och E 1107 a) 8x b) 13,6 cm c) 0,6 m 1108 Exempel på uttryck som är polynom: x4 − 5x3 + 3 5x − 7 Exempel8 uttryck som inte är polynom:1 x 52x − 7 x 2x7 − x2,3 + 3 1109 a) Ca 28 °C b) Ca kl. 04.45 och 12.30 c) Ca kl. 07.00 1110 a) 0,20 m b) 0,74 s c) 0,15 m 1111 a) 17 b) a3 − 2a − b3 + 2b 1112 a) 5 b) 5 c) x = 0 och x = 4 1113 T.ex. p(x) = x3 − 2 1114 a) x = 34 b) x = ±√2 1115 p(x) = x2 + 1 1116 a) 1 140 + 12x x b) 5,70 kr 1117 a) x2 − 3x b) 2x3 − 3x4 c) 6x5 − 8x3 d) 10x6 − 5x4 1118 a) t 2 + 10t + 21 b) 2t 2 + t − 3 c) 2x4 + 2x3 − 12x2 d) 21a2b − 4a3 − 5ab2 1119 a) x2 + 6x + 9 b) 9x2 − 6x + 1 c) x2 − 9 d) 1,44 − 0,24x + 0,01x2 1120 a) 6x2 + 17x + 5 b) x2 + 5,5x + 7,5 1121 a) 4x b) 4 c) 13 − 10a 1122 Grad 6 1123 a) 4x15 + 2x2 b) 2x3 − 16x c) 50 − x8 1124 a) 9 b) −6 1125 a) x = 43 b) x = −1 c) x = 2 1126 x2 − x − 1; −7 1127 Termerna i faktorerna är antingen en konstant (ett tal) eller av formen ajx j, där j är ett positivt heltal. Därför måste även produkten ha termer som är på någon av dessa former. 1128 a) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 b) a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 1129 a) Påståendet är alltid sant, produkten av två polynom av grad 3 är alltid ett polynom av grad 6. b) Påståendet är falskt, summan av två polynom av grad 3 kan aldrig vara ett polynom av grad 6. c) Påståendet kan vara sant. Koefficienten för tredjegradstermen kan dock bli 0, vilket leder till ett polynom av lägre grad. d) Påståendet kan vara sant. Koefficienten för tredjegradstermen kan dock bli 0, vilket leder till ett polynom av lägre grad. e) Påståendet är alltid sant, produkten av polynomen ger ett nytt polynom som är av grad 10. f) Påståendet är alltid sant, eftersom det bara finns en term av grad 4 så kommer den alltid finnas med i summan. 1130 a) 5x(x + 7) b) 5x(6x2 + 9) c) 5x(4x2 + 3x + 1) 1131 a) 4(x + 5) b) 2x(1 + 2x) c) 5x(3x − 5) d) xy(2 − x) 1132 a) (x + 1)(x − 1) b) (a + 3)2 c) (x − 7)2 d) (2b + 5)(2b − 5) 1133 a) 4(2y + 1)(2y − 1) b) 2(y + 2)(y − 2) c) x(x + 1)2 d) 3x(x − 1)2 1134 a) 2(x + 2) b) 3x + 4 x 1135 a) 3 b) 2x + 4 2 = x + 2 c) 5 x d) t + 1 2t − 1 1136 q(103 + 0,0002q) q = = 103 + 0,0002q Facit FACIT 1. AlgebrAIskA uTTryCk274
= 1137 a) Enligt kvadreringsregeln är (a − b)2 = a2 − 2ab + b2. Juanitas faktorisering kan därför inte stämma. b) x2 − 6x + 9 1138 a) (a + 3)(2 + b) b) (xy − 1)(1 + x) 1139 3 och 2x − 1 1140 Rektangelns längd är 6 cm längre än bredden. 1141 Alla tre svar är fel. Rätt svar: 3 − x 2(x + 3) 1142 (x + 1) cm 1201 a) x1 = 3; x2 = −3 b) y1 = 8; y2 = −8 c) x1 = 0,1; x2 = −0,1 d) y1 = 21 ; y2 = − 12 1202 a) x = ±√46 b) Saknar reella lösningar c) y = ±13 d) y = √50 = ±5√2 1203 a) x = ±4 b) Hon kan ha misstolkat ekvationen och löst 2x = 16. c) Sök de tal vars kvadrat är 16. 1204 a) x1 = 0; x2 = 15 b) t1 = 0; t2 = 21 c) y1 = 0; y2 = −7 1205 a) x1 = −3; x2 = 2 b) x1 = −1; x2 = 3 1206 a) x1= 3; x2 = −5 b) t1 = 0; t2 = −2; t3 = 6 c) s1 = 0; s2 = −2; s3 = 2 1207 a) x1 = 0; x2 = 20 b) x1 = 0; x2 = 5 c) y1 = 0; y2 = − 34 d) y1 = 0; y2 = 6 1208 a) x1 = 7; x2 = 3 b) x1 = 2; x2 = −18 c) y = 17 d) y1 = −1; y2 = 4 1209 2,7 cm 1210 √34 dm ≈ 5,83 dm 1211 T.ex. (x − 31)2 = 0 som har dubbelroten x = 31. 1212 Ja, för x = 9 1213 a) x1 = 12; x2 = 2 b) Saknar reella lösningar c) z1 = 133 ; z2 = − 53 1214 4 cm 1215 a) T.ex. a = 26 b) a = 25 1216 2 300 cm2 (2 304) 1217 x1 = 2; x2 = −8 1218 37 mm 1219 a) x1 = 3; x2 = −5 b) x1 = 5; x2 = 1 1220 Storlek 49 1221 a) x1 = 19; x2 = −1 b) x1 = 8; x2 = 1 c) x1 = −3; x2 = −17 1222 a) x1 = 15; x2 = 1 b) x1 = 7; x2 = −9 c) x = 21 d) x1 = 6; x2 = −2 1223 Basen ≈ 11,3 cm Höjden ≈ 4,3 cm 1224 a) (1, 2) och (3, −6) b) (−0,65; −0,58) och (4,65; 20,6) 1225 a) (x − 2)2 = 9 x1 = −1; x2 = 5 b) (x + 8)2 = 1 x1 = −9; x2 = −7 c) (x + 4,5)2 = 100 x1 = 5,5; x2 = −14,5 1226 a) 4 b) 25 1227 a) y1 = 13; y2 = 1 b) x1 = 5; x2 = −1 1228 a) x = 1 b) x ≈ 2,13 1229 a = −8; x2 = −2 1230 38 km/h och 112 km/h 1231 a) 3,3 s b) 170 km /h 1232 44 dm (sidan 11,0 dm) 1233 6 cm 1234 a) x1 = 0; x2 = 1; x3 = −7 b) x1, 2 = 0; x3 = 4; x4 = −4 c) x1, 2 = 0; x3 = 1; x4 = 6 1235 a) t1 = 5 och t2 = 1 b) x1 = √5 , x2 = −√5 , x3 = 1 och x4 = −1 1236 a) x1, 2 = ±√7 ; x3, 4 = ±1 b) x1, 2 = ±3 1237 36,4 cm (en rektangel) 1238 a) Ja, för a > 16 b) Nej c) Ja , för −6 < a < 6 d) Ja , för a > 1 1239 Nollställen till f: x1 = −2 och x2 = Nollställen2 till g: x1 = −2; x2 = 1 och x3 = 3 1240 A III; B I; C II 1241 a) Ett b) Två c) Ett d) Två 1242 a) T.ex. f(x) = x2 + 1 b) T.ex. f(x) = x2 1243 Grafen kan göra svängningar på vägen men allmänt gäller att om a > 0, så går grafen med stigande värden på x från stora negativa tal till stora positiva tal. T.ex. y x a < 0: grafen går med stigande värden på x från stora positiva tal till stora negativa tal. T.ex. y x 1244 a) x = 0 b) x1 = 0 och x2 = 1,5 c) x1 ≈ −4,5; x2 ≈ −0,3 och x3 ≈ 1,7 1245 a) x1 = −1 och x2, 3 = 2 b) T.ex. f(x) = x3 − 3x2 + 5 c) T.ex. f(x) = x3 − 3x2 + 3 1246 T.ex. f(x) = x5 − 5x3 + 4x FACIT 1. AlgebrAIskA uTTryCk 275
= 1247 a) En tredjegradekvation har minst en reell rot. Därmed har en tredjegradsfunktion alltid minst ett nollställe. b) Hon har troligen ritat grafen utan att fundera över om de väsentliga delarna av grafen (i detta fall skärningen med x axeln) syns på skärmen. Efter tillräcklig utzoomning kommer hon att hitta minst ett nollställe. 1248 a) En tredjegradsfunktion har minst ett nollställe och högst tre nollställen. En tredjegradsfunktion där koefficienten framför x3 termen är negativ går, med stigande värde på x, från stora positiva värden till stora negativa värden. Av bilden kan vi därför dra slutsatsen att funktionen har endast ett nollställe (som ligger till höger i bild). y x b) x ≈ 12,36 1249 a) x = 3 b) x1 = −1 och x2 = 2 c) x1 = 0, x2 = 3 och x3 = −3 d) x1 = −√5 och x2 = √5 1250 T.ex. (x − 2)(x − 5) 1251 a) p(x) = (x − 1)(x − 13) b) q(x) = (x − 3)(x + 5) c) Går ej att faktorisera 1252 a) x = 2 och x = 5 b) x = −4, x = 0 och x = 1 1253 x = −3, x = −1 och x = 1 1254 T.ex. x2 − 6x + 8 1255 a) x = 0, x = 7 och x = 1 b) x = 0, x = −1 och x = −5 1256 p(x) = −2(x − 5) = −2x + 10 1257 p(x) = 2(x + 1)(x − 3) = = 2x2 − 4x − 6 1258 f(x) = x2 + 3x − 10 1259 p(x) = −2x3 + 2x2 + 8x − 8 1260 a) x1 = 2, x2 = 4 och x3 = 9 b) p(x) = (x − 2)(x − 4)(x − 9) 1261 a) x = −2, x = 2 och x = 10 b) p(x) = = −0,05(x + 2)(x − 2)(x − 10) kan även skrivas p(x) = = −0,05x3 + 0,5x2 + 0,2x − 2 1262 Klara har rätt. Ett andragradspolynom kan inte ha tre nollställen. 1263 A = 73 och B = − 252 eller A = −5 och B = 356 1264 x1 = 5, x2 = −1 och x3 = −3 1265 a) r(z) = z(z − 3)(z − 1) b) q(t) = 2(t − 9)(t + 2) c) p(x) = = −(x − 5 − 5√2 )(x − 5 + 5√2 ) 1266 x1 = 52 och x2 = −2 1267 T.ex. p(x) = (x − 7)(x − 2)2 1268 a) x1 = 2,5; x2 = 4 och x3 = 12 b) p(x) = 2(x − 2,5)(x − 4)(x − 12) 1269 Enligt förutsättningen är p(x) = (x − a) ∙ q(x), där q(x) är något polynom av en grad lägre än p(x). Då gäller p(a) = (a − a) ∙ q(a) = 0 ∙ q(a) = 0, v.s.b. 1270 a) Grafen skär inte x axeln utan tangerar den i det dubbla nollstället x = 4. Funktionen har en extrempunkt (minimipunkt) för x = 4. b) q(x) = 2(x + 1)2(x − 2) 1271 p(x) = 2(x + 1)(x − 3)2 = = 2x3 − 10x2 + 6x + 18 1272 a) x = −7 och x = 10 b) p(x) = −(x2 + 2)(x + 7)(x − 10) c) Med grafisk lösning kan man endast bestämma reella rötter till en ekvation, och faktorn x2 + 2 har inga reella rötter. 1301 a) x = 0 b) x = −2 c) x = ±3 1302 B, C och F 1303 a) 32a4 b) 12 c) x − 9 3 d) 4 a − 1 e) b + 1 f) a − 3 1304 a) y x1 1 b) Definitionsmängd: x ≠ 0 c) Värdemängd: f(x) ≠ 0 1305 Definitionsmängd: x ≠ 4 Nollställe: x = −2 1306 T.ex. 1 x2 − 16 1307 a) Han har förmodligen inte faktoriserat först, utan direkt strukit x2 i täljaren mot x2 i nämnaren och även 6x mot 3x och fick då 2x. Det stämmer inte. b) (x + 3)2 x(x + 3) = x + 3 x 1308 a) x − 2 2 b) x − 2 x + 2 1309 a) T.ex. f(x) = (x − 2)(x + 6) x + 3 b) T.ex. f(x) = 3 (x − 8)(x + 8) c) T.ex. f(x) = x + 6 (x − 3)(x − 2) d) T.ex. f(x) = 16 x2 − 2 1310 T.ex. f(x) = (x − 2)(x + 6) x − 1 1311 a) x3 + x2 + 3x + 3 2x2 + 2x och 2x3 + 6x2 2x2 + 2x b) 2x + 6 4 − 2x och 1 − x 4 − 2x 1312 Både täljaren och nämnaren är positiva för alla x. Värdet på x2 kommer alltid att vara ett positivt tal oavsett värde på x vilket medför att funktionen endast kommer att anta positiva värden. 1313 a) x ≠ 1 b) Täljaren är positiv för alla x Därför blir funktionsvärdet aldrig 0. 1314 a) t ≠ ±3 b) Alla x utom x = 9 och x = −3 FACIT 1. AlgebrAIskA uTTryCk276
= 1315 a) Definitionsmängd: x ≠ 2 y x1 1 b) x2 − 5x + 6 2x − 4 = (x − 2)(x − 3) 2(x − 2) = = x − 3 2 som är en linje. Men det ursprungliga uttrycket är inte definierat för x = 2, så den punkten ingår inte i grafen. 1316 III 1317 T.ex. 2(x + 5) x − 10 1318 A = 3 och B = 1 1319 a) 5x 6 b) 11a 15 c) 12 + x2 3x d) 12x + 10 x(2 + x) 1320 a) 3 − 2x + x2 3(5 − x) b) 2x2 + 13x + 3 x(x + 3) c) 8x x + 2 d) x − 2 x2 − x = x + 2 x − x2 e) x2 + 13x + 12 8 + 2x f) x2 − 2x − 1 x2 − 1 1321 a) x = −2 b) x = 4 c) Saknar lösning d) x = 3 1322 Josefin 1323 a) 23 20x − 60 b) 0 1324 a) x1 = 4; x2 = −1 b) Ekvationen saknar reella rötter. 1325 a) x 2 b) x 4 c) 1 x d) 54 x2 1326 a) 5x 182 b) x2 + 5x 8 c) y 102 d) 3y2 + 3y 14 1327 a) x = ±√10 b) x = 9 ± 2√41 c) x = 103 d) x = −6 1328 a) x b) 3x 2 c) 3x2 x2 − y2 1329 B 1330 x = 1 1331 a) 4xy b) 3 25a3b2 c) 2x2 x + 2 d) a2 b2 − 2b + 1 1332 a) a + b b) 1 a + b c) 6 + h d) 1 4 + 2h 1333 2x 2x + 3 1334 a) 1 a b) y − x xy2 c) b2 1335 VL = a − b b − a = −(b − a) b − a = −1 = HL , v.s.v. 1336 a) a 2 b) −1 c) 1 (7 + c)5 1337 9,7 1338 Ekvationen saknar lösning. 1339 a) x = −5 b) x1 = 2 och x2 = −3 1340 1 − a − b 1341 a) 7 b) 5 c) −4 d) 8 1342 a) 0 b) 0 c) 3 1343 a) y x1 1 b) ±∞, beroende från vilket håll man närmar sig x = 2, så det saknas ett gränsvärde för x = 2. 1344 a) 1 b) 3 c) ∞ (Saknar egentligt gränsvärde) d) 0 1345 a) Vänstergränsvärdet för x = −2 är 1 b) Högergränsvärdet för x = −2 är 1 c) 1 1346 a) 2 b) Saknar gränsvärde c) 14 d) 0 1347 a) 0 b) 5 c) 0 d) 45 1348 a) Division med 0 är inte definierad. b) Därför att lim x → 0 2x2 − 10x x = = lim x → 0 x(2x − 10) x = = lim x → 0 (2x − 10) = −10 1349 T.ex. f(x) = 2x − 7 1350 a) 0 b) −14 c) 10 d) 0 1351 Ja, g(x) → 0 då x → 3 1352 a) 4 b) 10 c) −6x d) 2x + 5 x 1353 a) 18 b) 2 1354 a) 11 + h b) 11 1355 a = 10 1356 a) 5 + 4 x 3 x + 2 b) 25 1357 a) Vänstergränsvärdet för x = −1 är −1 b) Högergränsvärdet för x = −1 är 2 c) Gränsvärdet existerar inte eftersom vänstergränsvärdet inte är lika med högergränsvärdet. 1358 a) Gränsvärdet existerar inte. b) 2 1359 a) h + 10 b) 10 c) h + 2x + 6 d) 2x + 6 1360 √ 52 FACIT 1. AlgebrAIskA uTTryCk 277
= 1361 a) 5 200 st ( 26 5000 ) b) 6 500 st (gränsvärdet då t går mot oändligheten är 6 500) 1362 a) Nej, Sofia har fel. Funktionen är inte definierad för x = 6 och kan således inte ha något funktionsvärde för x = 6. Dessutom växer funktionsvär dena obegränsat då x värdena närmar sig 6 från höger så funktionen har inte något största värde. b) Nej, Sofia har fel. Gränsvärdet för funktionen då x går mot oändligheten är visserligen 1, men funktionen antar dock aldrig värdet 1. 1363 a) 0,69x + 49 x b) 0,69 kr (Gränsvärdet för 0,69x + 49 x då x går mot oändligheten är 0,69) 1364 T.ex. f(x) = 3xx 1365 T.ex. g(x) = 5x + 2 x 1366 A = 47 1367 a) ah + 2ax + b b) 2ax + b 1368 g och h 1369 A, B och C är kontinuerliga 1370 a) y x2 1 b) y x1 1 1371 a) Nej. Funktionen är inte kontinuerlig för x = 3. b) Nej. Funktionen är inte kontinuerlig för x = 3. 1372 a) Definitionsmängd: x ≠ 0 b) Värdemängd: f(x) > 0 c) Ja , eftersom funktionen är kontinuerlig för alla punkter i sin definitionsmängd. 1373 h(4) = 2 för x = 4 1374 Ja, funktionen är kontinuerlig för x = 2. Eftersom vänster och högergränsvärdet är lika, så är gränsvärdet 15 när x närmar sig 2. Och eftersom f(2) = 15, så är funk tionen kontinuerlig i punkten. 1375 a = 5 1376 T.ex. hur månadshyran ökar för en lägenhet. Hyreshöjningar sker ju normalt en gång per år och är sedan konstant under hela året fram tills nästa hyreshöjning. 1377 Nej. Funktionen är inte kontinuerlig eftersom högergränsvärdet inte är lika med f(3). 1378 g(x) = { 2x + 3 för x ≤ 0 x + 3 för x > 0 1379 a) Ja, den är kontinuerlig. b) Ja , den är kontinuerlig. c) Nej, den är inte (Vänstergränsvärdetkontinuerlig.för x = 1 är 2 medan funktionsvärdet för x = 1 är 1). 1380 a) k = 5 b) k = 154 1381 Nej funktionen behöver inte vara kontinuerlig för att vänstergränsvärdet = högergränsvärdet. Om funktionen är definierad är det ett nödvändigt villkor men inte ett tillräckligt villkor. För att den ska vara kontinuerlig i x = 4 så behöver f(4) = 7 också gälla. 1382 a) 7 b) 5 c) −4 d) Gränsvärde saknas 1383 a) p(x) = (x − 13)(x − 1) b) q(x) = (x − 3)(x + 5) c) r(x) = (x + 2)(x + 3) 1384 a) Exakt: p(√3 ) = 12√3 − 24 Närmevärde med tre decimaler: p(√3 ) ≈ −3,215 b) Exakt: x = −√5 , x = √5 och x = 3. Närmevärde med tre decimaler: x ≈ −2,236; x ≈ 2,236 och x = 3,000 1385 a) 94 °C b) 23 °C (gränsvärdet då t går mot oändligheten är 23) c) Definitionsmängd: t ≥ 0 Värdemängd: 23 < T(t) ≤ 94 1386 T.ex. 5x2 − 30x + 40 1387 Lös (x2 + px + q = 0) i GeoGebra ger x = p − √p2 − 4q 2 och x = p + √p2 − 4q 2 Det är samma resultat som man får med pq formeln fast skrivet i en annan form. 1388 a) 319221 b) 116179 c) 34 d) 34 1389 T.ex. x 4 − 13x3 + 41x2 + 37x − 210 1390 p(x) = −2x + 10 1391 a) x = 2, x = 4 och x = 9 b) p(x) = (x − 2)(x − 4)(x − 9) 1392 a) Alla x utom x = 0 och x = ±3 b) x ≠ 3 1393 a) Ca 21 700 st ( 65 3000 ) b) 32 500 ( gränsvärdet då t går mot oändligheten) 1394 a) e b) e ≈ 2,7183 c) 15 d) 3 1395 a) Definitionsmängd: x ≠ ± √13 b) Ca 2,42 c) 73 d) 37 1396 a) p(x) = (x − 3)(x − 2)(x + 2)(x + 4) b) x1 = −2, x2 = 2, x3 = 3 1397 2(x + 1)(x − 3)2 FACIT 1. AlgebrAIskA uTTryCk278
= 1398 a) Om räntesatsen t.ex. är 2 % så får vi K ( 1 + 1002 ) = K · 1,02, så värdet i parentesen ger alltså förändringsfaktorn för en ökning på r %. b) K ( 1 + r 200 )2 c) K ( 1 + r n · 100 )n d) ( 1 + 1 n )n är en formel som beskriver räntan. Gränsvärdet då n går mot oändligheten blir då e. 1399 a) x1 = −7 och x2 = 10 b) p(x) = (x2 + 1)(x + 7)(x − 10) c) Den går inte att bestämma eftersom x2 + 1 inte kan bli 0 om x är ett reellt tal. Därmed medför inte den faktorn att grafen skär x axeln på fler ställen. « Blandade uppgifter 1 a) 2 b) 12 c) x1 = 1; x2 = 2 2 a) −10x3 + 35x2 + 6x − 21 b) x3 − 5x2 − 4x + 20 3 VL > 0 om x > 0 4 a) 4a(2a − 3) b) 2x2y(2 − y) c) 3xy(x + 4) d) 3b(4a + 3b + a2) 5 a) x = 0 b) x = 3 och x = −3 c) x = − 15 6 a) 17 b) 4 7 x axeln i (−2, 0) och (7, 0); y axeln i (0, −7) 8 D 9 a) 0 b) 3 c) 8 10 (x − 4)/(x − 1) = 2 11 a) x1 = −8; x2 = −3; x3 = 1 b) x1 ≈ −1,1; x2 ≈ 2,4; x3 ≈ 3,8 12 a) x1,2 = 2 b) t1 = −6; t2 = 5 13 a) 69 b) Det innebär att bromssträckan blir 69 meter längre om hastigheten ökar från 70 km/h till 90 km/h. 14 a) x ≠ 21 b) x ≠ 0; x ≠ 3 15 Klara har rätt. (0, 4) och (0, −2) kan inte vara nollställen eftersom de ligger på y axeln (och inte i origo). 16 −2x2 + 28x − 80 17 T.ex. f(x) = x − 4 x − 5 18 a) y x1 1 b) y x1 1 c) Funktionen i uppgift a) är kontinuerlig men funktionen i uppgift b) är diskontinuerlig. 19 a) x6 b) 1 (x + 4)8 20 a) 1 b) 3 c) Nej. Högergränsvärdet är 3, men vänstergränsvärdet är 1. d) Nej 21 a) K(x) = 84x + 1 450 b) G(x) = 84x + 1 450 x 22 a) 90 km b) −1,92. Ulf ligger 1,9 km framför Janne fyra timmar efter starten. c) 8 h 38 min (8,63 h) 23 a) 2 b) 6 c) Nej 24 x 162 + x − 4 25 a) 32 b) 32 c) 32 d) 32 26 Både täljaren och nämnaren är definierade för alla x och nämnaren är aldrig 0, eftersom x2 + 1 ≥ 1 för alla värden på x. 27 T.ex. y x1 1 28 0, 1 eller 2. T.ex. y = x2 + 1, y = x2 resp. y = x2 − 1. 29 T.ex. x + 3 x2 + 1 30 Åke har fel. Funktionen behöver t .ex. inte vara definierad för x = 3. 31 a) 14 + h b) 14 c) 2x + 4 + h d) 2x + 4 32 a) Nej b) Ja , gränsvärdet är −6 c) Ja , gränsvärdet är 0 d) Ja , gränsvärdet är 6 33 a) (x − 1)(x + 1)(x + 2)(x + 3) b) x1 = 1; x2 = −1; x3 = −2; x4 = −3 34 6,5 cm eller 11,5 cm 35 a) (2x + 1) · 3x + 1 6 b) x1 = − 12 ; x2 = − 13 c) x1 = − 12 ; x2 = − 13 d) (x − 2)(x + 1)(2x + 3) e) x1 = 2; x2 = −1; x3 = − 32 f) x3 − 1519 x2 − 125 x + 1528 36 p(x) = 2(x2 − 6)(x2 + 2) 37 a) (x + 1)(x − 1) b) (x + 1)(x − 1)(x2 + 1) c) (x − 1)(x2 + x + 1) d) (x − 1)(x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) e) xn − 1 = (x − 1)(xn − 1 + xn − 2 + … + x3 + x2 + x + 1) om n är udda. 38 150 st Kapiteltest 1 a) 5 b) −16 2 8 3 a) 9a 5 b) x − 5 c) x − 2 x 4 a) 81 b) 12 FACIT 1. AlgebrAIskA uTTryCk 279
= 5 Definitionsmängd: x ≠ 1 Nollställen: x1 = 5 och x2 = −1 6 a) x1 = 0; x2 = 1; x3 = −2 b) x = −5 7 a) 3x2 − 6x − 10 x2 + x − 6 b) a(a + b) 2b c) x − 2 x + 2 8 x1 = 1, x2 = 5 och x3 = 11 9 T.ex. p(x) = x2 + 2 10 Doris polynom har korrekta nollställen men uppfyller inte villkoret p(0) = 6. Ett korrekt polynom skulle vara p(x) = −x2 + x + 6. Dvs. Doris förslag ska multipliceras med −1. 11 a) Definitionsmängd: Alla x Värdemängd: f(x) ≤ 3 och f(x) = 4 b) Vänstergränsvärdet för x = 2 är 3 och högergränsvärdet för x = 2 är 4. c) f(2) = 3 d) Eftersom högergränsvärdet inte är lika med f(2) så är funktionen inte kontinuerlig. 12 a) 1 700 b) Det kostar 1 700 kr att trycka 1 000 blad. c) 4 120 st 13 a) 8 b) 6 14 a) p(x) = (x − 5)(x + 5)(x + 2) b) x = 5, x = −5 och x = −2 15 4 914x + 8 820 x2 + 3,5x 16 Om f(x) har ett nollställe för x = a, så är (x − a) en faktor i f(x). Med hjälp av grafen kan vi alltså se att f(x) har faktorerna (x + 1), (x − 1) och (x + 3). Och eftersom f(0) motsvarar grafens skärning med y axeln, så kan vi dra slutsatsen att f(x) är det avbildade polynomet. g(x) = −0,25(x − 4)(x + 1)(x + 3) = = −0,25x3 + 3,25x + 3 h(x) = (x − 2)(x − 1)(x + 2) + 3 = = x3 − x2 − 4x + 7 2 Ändringskvotochderivata 2101 1 – B 2 – A 3 – C 2102 (0, 4) 2103 a) k = −3 b) k = 2 2104 a) k = 17,5 b) Jämförpriset kr/kg 2105 y = 12 x + 2 2106 a) Ja b) Nej 2107 y = −2x + 5 2108 a) Linjens riktningskoefficient är 320 och den betyder i det här sammanhanget att kostnaden per timme för att anlita en plattsättare är 320 kr. b) Kostnad Tid 1 000 2 000 3 000 4 000 h kr 246810 2109 a) U I 604020 A V 0,050,10,15 b) k = 420 Resistansen är 420 ohm. 2110 a) (0; −2,4) och (4, 0) b) (0; −0,5) och (−3, 0) 2111 a = −4 2112 Ja 2113 y = 25 x + 54 2114 x1 y 1 Arean = 2 a.e. 2115 a) (3, 4) b) y = −x + 7 2116 s1 har k = −1, s2 har k = 1 2117 y = −2x + 8 2118 Δy Δx = 2 2119 221 kr (221,25) 2120 a) Ca 0,7 cm/dag b) 1,5 cm /dag 2121 Δy = 10 2122 Δy Δx ≈ −0,25 2123 3 m/s 2124 a) h + 8 b) 2h + 20 c) 0 d) Eftersom funktionen f är konstant blir ändringskvoten 0. 2125 a) 12,03 b) 12 + 3h 2126 a) 3x2 + 3xh + h2 b) Se svar i a) 2127 0,46 g/mån 2128 a) y = lg 5122 x + 1 b) Om två linjer är vinkelräta är k1 ∙ k2 = −1, men eftersom funktionen växer hela tiden kan grafen aldrig ha en sekant med negativ riktningskoefficient. 2129 a) x = 0 och x = 2 b) x < 0 och x > 2 c) 0 < x < 2 2130 a) Motorcykelns accelerationen vid 5,5 s. b) k ≈ 5 c) Mindre 2131 k = 94 = 2,25 2132 Ca 0,5 m/år FACIT 2. lInjär opTImerIng, ändrIngskvoT oCh derIvATA280
= 2133 a) k = 1 y x1 1 b) ( 32 , 49 ) c) x > 32 2134 Ca 1,3 m/s2 2135 För en person som inte har diabetes är nedbrytningshastigheten ca 0,5 g per timme, för en med diabetes är den ca 0,2 g per timme. 2136 T.ex. y x1 1 2137 T.ex. y x1 1 2138 T.ex. √5 ∙ 3,01 − √5 ∙ 3 3,01 − 3 2139 y = −1 2140 (2, 2) 2141 a) 20 m/s b) 30 m/s s t1401006020m 1357s 2142 f’(2) ≈ 1 (0,999 för b = 2,001) 2201 a) 1 b) −5 c) 3 d) 16 2202 10 + 2h 2203 5 2204 a) −2 − 4h − 2h2 b) −4 − 2h c) −4 d) Funktionens derivata där x = 1 och tangentens lutning i punkten där x = 1. 2205 −2 2206 a) 2 b) 6 c) 8 2207 −12 2208 2a 2209 T.ex. f(x) = 2x + 5 och g(x) = 2x − 3 2210 a) 2a − 8 b) a = 4 c) (4, −3) d) Grafen har en horisontell tangent i punkten (4, −3) eftersom derivatan till funktionen är noll för x = 4, vilket innebär att tangenten i den nämnda punkten har riktningskoefficienten noll. e) För x > 4 har grafen positiv lutning och för x < 4 har grafen negativ lutning. 2211 f’(1) = 3 2212 Sätt 2x − 3 = 0,5x2 − 1 för att visa att kurvan och linjen har punkten (2, 1) gemensam. I den punkten har kurvans riktningskoefficiententangent2,som är lika med linjens (y = 2x − 3) riktningskoefficient. 2213 f’(4) = = lim h → 0 ((4 + h)2 + 3(4 + h)) − (42 + 3 ∙ 4) h = = lim h → 0 16 + 8h + h2 + 12 + 3h − 28 h = = lim h → 0 h2 + 11h h = lim h → 0 h(h + 11) h = = lim h → 0 (h + 11) = 11 g’(4) = lim h → 0 ((4 + h)2 + 3(4 + h) + 8) − (42 + 3 · 4 + 8) h == lim h → 0 16 + 8h + h2 + 12 + 8 + 3h − 36 h = = lim h → 0 h2 + 11h h = lim h → 0 h(h + 11) h = = lim h → 0 (h + 11) = 11 Alltså f’(4) = g’(4) = 11 v.s.v. 2214 f’(a) = = lim h → 0 ((a + h)3 + C) − (a3 + C) h = lim h → 0 a3 + 3a2h + 3ah2 + h3 + C − a3 − C h = = lim h → 0 3a2h + 3ah2 + h3 h Det sista ledet innehåller inte C, alltså är derivatans värde obero ende av värdet på C. 2215 f’(a) = lim b → a b2 − a2 b − a = = lim b → a (b + a)(b − a) b − a = = lim b → a (b + a) = a + a = 2a v.s.v. 2216 a = ±√2 2217 f’(1) = − 14 2218 Hur snabbt bilens värde ändras per år efter 3 år. 2219 a) Den sträcka som Ewa cyklat efter 10 sekunder. b) Ewas hastighet efter 10 sekunder. 2220 Hur snabbt vikten ökar efter ca 2 veckor. 2221 Att förändringshastigheten efter 4 timmar är 126 bakterier/timme. 2222 a) 49 m/s b) 78 m/s 2223 a) T(7) = 14 b) T’(18) = −2 2224 a) v’(1) = v’(3) = 9,8 b) Accelerationen efter 1 respektive 3 sekunder. c) Att accelerationen är konstant. 2225 a) v’(120) ≈ 0 b) Elins acceleration efter 2 minuter är ungefär 0 m/s2 (dvs. ingen acceleration). 2226 a) f’(−2) = −4 b) y = −4x − 10 2227 y = 2 2228 y = 9x + 9 2229 Diameterns förändringshastighet efter 1 s är 4,1 cm/s. 2230 y = 6x − 18 FACIT 2. lInjär opTImerIng, ändrIngskvoT oCh derIvATA 281
= 2231 a) 5,55 min/ km b) Den förändras 0,017 min/km per km när han sprungit 35 km. c) T’(35) = = lim h → 0 5,22 + 35 + h 60 − ( 5,22 + 3560 ) h 2232 (0,5; −2) 2233 Ja, funktionen är deriverbar eftersom den är kontinuerlig och grafen saknar spetsar. 2234 Funktionen är ej deriverbar för x = 3 och x = 7. 2235 a) Funktionen är inte kontinuerlig för x = 3. b) Funktionen är inte definierad för x = 0. 2236 a) 7 b) 7 c) 0 d) 0,01 2237 5 2238 a) 12 b) 4 c) 0 2239 a) Funktionen är kontinuerlig för x = 1 eftersom f(x) närmar sig 0 när x närmar sig 1 både från höger och från vänster och f(1) = 0. b) Funktionen är inte deriverbar för x = 1, eftersom ändringskvotens gränsvärde är −2 när x närmar sig 1 från höger, men 2 när x närmar sig 1 från vänster. 2240 Till exempel f(x) = x2 och g(x) = x3 2241 x1 = 3 och x2 = −7 2242 1 x y 1 2243 |V − 450| ≤ 5 (eller |450 − V| ≤ 5) 2244 a) x1 = 4 och x2 = −8 b) Saknar lösning 2245 x < −1 och x > 3 2246 Till exempel f(x) = 1 x som inte är deriverbar för x = 0 och g(x) = |x| som inte är deriverbar för x = 0. 2247 a) Funktionen är kontinuerlig för x = 0 eftersom f(x) närmar sig 0 när x närmar sig 0 både från höger och från vänster och f(0) = 0. b) Funktionen är inte deriverbar för x = 0, eftersom ändrings kvotens gränsvärde är 13 när x närmar sig 0 från höger, men 0 när x närmar sig 0 från vänster. 2248 x1 = −2 och x2 = 32 2249 a) x1 = 3 och x2 = −5 b) x1 = 7, x2 = −1, x3 = 3 + √2 , x4 = 3 − √2 2250 a) Ja. Om man först kvadrerar ett tal och sen drar kvadratroten ur resultatet, så får man absolutbeloppet av talet. T.ex. √42 = √16 = 4 = |4| och √(−3)2 = √9 = 3 = |−3|. b) Nej. Kvadratroten ar inte definierad för negativa tal, så t.ex. uttrycket ( √−4 )2 saknar mening. 2251 1 x y 1 Om vi jämför grafen till funktionen f med grafen till funktionen g, där g(x) = x 2 − 8, så ser vi att alla punkter som ligger under x axeln är speglade i x axeln. 2252 Funktionerna g och h. (Funktionen h är dock inte deriverbar för x = 2.) 2253 A är korrekt. B är inkorrekt. C är inkorrekt. D är Funktioneninkorrekt.är kontinuerlig för alla x, även för x = 2. Gränsvärdet för g är 7 när x närmar sig 2 både från höger och från vänster. Funktionen är dock inte deriverbar för x = 2, eftersom ändringskvotens gränsvärde är 7 när x närmar sig 2 från höger, men är 0 när x närmar sig 2 från vänster. 2254 a) Funktionen är deriverbar i origo eftersom funktionen är kontinuerlig för x = 0 och ändringskvotens gränsvärde är 0 när x närmar sig 0 både från höger och från vänster. b) Funktionen är inte deriverbar för x = 0, eftersom ändringskvotens gränsvärde är 1 när x närmar sig 0 från höger, men 0 när x närmar sig 0 från vänster. 2255 2 x y 1 y = f(x) Om x + 3 > 0 får vi uttrycket 2x + 10. Om x + 3 < 0 får vi uttrycket −2x − 2. Grafen till funktionen kan alltså skrivas som f(x) = { 2x + 10 för x ≥ −3 −2x − 2 för x < −3 2256 f(x) = 2|x − 2| − 3 2257 a) T.ex. g(x) = 11 b) g(x) = 7x − 17 FACIT 2. lInjär opTImerIng, ändrIngskvoT oCh derIvATA282
= 2258 a) Vi skissar först grafen till h(x) = x2 − 6x − 7. 5 1 y x Sedan speglar vi alla punkter som ligger under x axeln i x axeln. 5 1 y x b) Vi skissar först grafen till p(x) = x 2 − 6x. 5 1 y x Sedan speglar vi alla punkter som ligger under x axeln i x axeln. 5 1 y x Sedan förskjuter vi denna graf 7 steg nedåt. 5 1 y x « Blandade uppgifter 1 B 2 2 3 a) 3 b) 4x och 4x (eller −4x och −4x) 4 a) Δy = 3,8 kg. Babyns viktökning under hela 6 månadersperioden. b) Δx = 6 månader c) 0,63 kg /månad 5 a) p(x) = (x − 13)(x + 1) b) q(x) = 2(x + 6)(x − 4) c) r(x) = (x + 8)(x − 8) d) s(x) = x(x2 + 3)(x2 − 3) 6 y = 2x 7 6 8 a) 2 b) 4 c) 16 9 a) T.ex. y x1 1 b) T.ex. y x1 1 10 Ca 0,1 pH enheter/ml 11 a) Ett exponentiellt samband. Grafen visar en exponentialfunktion. b) Ca 3 ∙ 1014 st 12 34 500 bakterier/h 13 a) Ca 25 m/s b) Ca 11 m /s c) Bilens hastighet minskar efter ca 5 s för att sedan öka igen. Därför är det troligt att det är en kurva (eller en kraftig backe) på banan. 14 x1 = 3 och x2 = −3 15 x2 − 2x − 35 16 a) och b) f’(0,6) ≈ 1,2 17 a) x + 2 2 (eller x 2 + 1) b) x + 4 2(x − 4) 18 y = x + 3 19 p(x) = (x − 2)(x + 1)(x + 7) 20 a) 30 b) 3 21 p(x) = 3(x − 2)(x + 3) 22 3x2 + 6x − 24 23 h + 7 24 676 kr/år 25 Funktionen är inte deriverbar för x = 2 eftersom grafen till funktionen inte är kontinuerlig där. 26 a) f’(5) = −1,5 b) f(5) = −2,5 27 x ≈ 0,082 och x ≈ 3,059 28 a) 23,8 m/s b) 62,5 s c) 780 m d) 12,5 m/s 29 4a 30 f’(x) = xA 2 31 h’(2) ≈ −2,2 Kapiteltest 1 a) Från kl. 8.00 till kl. 13.00 b) −2,5 °C/h 2 a) Δy Δx = 23 b) Kurvans medellutning mellan punkterna. 3 T.ex. y x1 1 4 B 5 Förändringshastigheten av antalet råttor efter 3 dagar. 6 4 7 a) Funktionen är inte kontinuerlig för x = 2 eftersom f(x) närmar sig 1 när x närmar sig 2 från vänster och f(2) = 4. b) Funktionen är inte deriverbar för x = 2, eftersom funktionen inte är kontinuerlig för x = 2. 8 x ≥ −3 9 V’(0) = −4 10 a) K’(30) ≈ 1 700 b) Antalet kanadagäss ökar med 800 per år då t = 20 år. 11 y = −4x − 6 12 −3 FACIT 2. lInjär opTImerIng, ändrIngskvoT oCh derIvATA 283
= 13 a) f’(5) = 20 b) Tangentens riktningskoefficient i punkten där x = 5 är 20. 14 Tangentens ekvation i origo är y = 0 x = 1 ger tangentens ekvation y = 2x − 1 x = 2 ger tangentens ekvation y = 4x − 4 x = 3 ger tangentens ekvation y = 6x − 9 x = 4 ger tangentens ekvation y = 8x − 16 Slutsats: k = 2x och m = −x2 3 reglerDeriverings3101 a) 8x7 b) 12x c) 12x5 d) 21x2 e) 0 f) 300x99 3102 a) 1 b) 12 c) 13 d) 25 e) 0 f) 2t3 3103 C 3104 a) f’(x) = x b) f’(5) = 5 3105 a) 8 b) 96 c) 6 d) 0 3106 a) π b) 40 c) −100 000 d) 21√5 3107 g(x) = −x2 3108 T.ex. f(x) = x62 3109 B och C 3110 f’(x) = lim h → 0 f(x + h) − f(x) h = = lim h → 0 9(x + h) − 9x h = lim h → 0 9hh = = lim h → 0 9 = 9 3111 k = f’(2) = 19,2 3112 (2, 40) och (−2, −40) 3113 g’(x) = lim h → 0 k ∙ f(x + h) − k ∙ f(x) h = = lim h → 0 k ∙ (2(x + h) − 3) − k ∙ (2x − 3) h = = lim h → 0 k ∙ 2h h = lim h → 0 2k = 2k Vi har f’(x) = 2, vilket ger k ∙ f’(x) = 2k = g’(x) v.s.v. 3114 a) f’(x) = 12x11 + 22x10 b) y’ = 5x4 + 5 c) f’(x) = 1 d) y’ = x − 0,3 3115 a) f’(x) = 3x2 + 18x b) f’(2) = 48 3116 a) g’(t) = 6t2 + 2t − 6 b) g’(−5) = 134 3117 a) f’(3) = 9 b) f’(3) = −7 3118 a) y’(8) = 1 b) y’(8) = π 3119 a) y’ = 4x3 3 + 3x2 4 b) V’(x) = x4 − x3 + x2 c) z’ = 13 d) f’(y) = y4 + 1 3120 D 3121 1 D, 2 B, 3 C och 4 A 3122 a) f’(x) = 2x + 2 b) f’(x) = 2x 3123 k = f’(3) = 27 3124 T.ex. f(x) = 5x2 + 3 3125 f’(1) = − 2 och f’(3) = 2 3126 a) x1 = −1 och x2 = 1 b) x1 = − 13 och x2 = 1 3127 a) Anna beräknar funktionsvärdet i r = 2 och deriverar sedan ett tal, vilket alltid ger resultatet noll. b) Man bestämmer funktionens derivata först och sätter sedan in r = 2 i derivatans funktion. 3128 T.ex. f(x) = x33 − 3x2 2 och g(x) = x33 − 3x2 2 + 1 3129 a) T.ex. f(x) = x2 − 5, g(x) = x2 och h(x) = x2 + 3 som alla har derivatan f’(x) = g’(x) = h’(x) = 2x b) Ja, alla funktioner f(x) = x2 + C, där C är en konstant, har derivatan 2x 3130 a = 5 och b = −6 3131 a) f’(x) = 12 x 21 = 1 2√x b) g’(x) = − 2 x3 c) g’(x) = − 3 x4 d) f’(t) = 13 t 32 = 1 33√t2 3132 a) f’(x) = 3x2 − 3 2√x b) g’(t) = t2 + 9 t 4 3133 a) f’(x) = 4x3 + √1x + 6 x2 b) f’(v) = 6v2 + √2v − 4 v5 FACIT 2. lInjär opTImerIng, ändrIngskvoT oCh derIvATA284
= 3134 a) g’(x) = 2,826x−0,686 b) f’(x) = 3√x 2 + 7 x2 c) g’(s) = − 3 s2 d) L’(x) = 1 2√x − 1 2x√x 3135 a) y’(1) = 6 b) y’(1) = 0 3136 k = y’(3) = − 19 3137 y = 3 3138 Varken f(x) = 3 x + 0,3 eller dess derivata f’(x) = − 3 x2 är definierad för x = 0. 3139 0,11 kg/vecka 3140 Derivatan till funktionen, y’ = 2x + 1 2√x , är inte definierad för x = 0. 3141 a) dFdr = −2G m ∙ M r3 Det betyder att dragningskraften mellan två kroppar avtar med en hastighet som är direkt proportionell mot produkten av kropparnas massor och omvänt proportionell mot kuben på avståndet mellan dem. Minustecknet betyder att kraften avtar med avståndet mellan kropparna. b) Jordens dragningskraft mot kometen avtar med 16 N/km på 10 000 km avstånd. 3142 T.ex f(x) = x2 − x − 2 3143 f’(x) = lim h → 0 f(x + h) − f(x) h = = lim h → 0 1 (x + h)2 − 1 x2 h = = lim h → 0 x2 − (x + h)2 x2(x + h)2h = = lim h → 0 − 2xh + h2 x2(x + h)2h = = lim h → 0 − h(2x + h) x2(x + h)2h = = lim h → 0 − 2x + h x2(x + h)2 = = − 2x x2x2 = − 2 x3 v.s.v. 3201 a) f’(x) = ex b) g’(x) = ex c) h’(x) = 6ex − 3 3202 a) f’(t) = 4et − 21t2 b) g’(x) = ex − 5 c) h’(x) = ex 2 + 6x 3203 f’(0) = 1 3204 a) f’(x) = ex − 11 och g’(x) = 13 − ex b) f’(2) = e2 − 11 (≈ −3,61) och g’(2) = 13 − e2 (≈ −7,06) 3205 a) f’(0) = 0 b) f’(0) = 1 3206 g (g’(1) = 2e + 2 och f’(1) = 2e + 1) 3207 (0, 0) 3208 a) Eftersom f(0) = −e0 + 2 · 02 = −1 b) f’(0) är lika med riktningskoefficienten för tangenten, som vi kan se är −1 3209 De är lika. D(ex) = ex 3210 a) 2,70,01 − 1 0,01 ≈ 0,998; 2,70,001 − 1 0,001 ≈ 0,994; 2,70,0001 − 1 0,0001 ≈ 0,993 och 2,80,01 − 1 0,01 ≈ 1,035; 2,80,001 − 1 0,001 ≈ 1,030; 2,80,0001 − 1 0,0001 ≈ 1,030 b) f’(x) ≈ 0,99 ∙ 2,7x och g’(x) ≈ 1,03 ∙ 2,8x 3211 k = f’(2) = 12 − e2 (≈ 4,61) 3212 C och D 3213 Nej, eftersom derivatan y’ = ex är positiv för alla x. 3214 y = 5x − 5 3215 a) 1,611; 1,610; 1,609 b) Att D(5x) ≈ 1,61 · 5x 3216 x = 1 och x = 5 3217 a) f’(−1) = = 3e−1 − 6 · (−1)2 + 2 · (−1) = = 3e−1 − 8 ≈ −6,896 b) f’(−1) = 3e−1 − 8 ≈ −6,896 3218 a) f’1 = ex, f’2 = ex, f’3 = ex, f’4 = ex b) Grafen har samma form för samtliga funktioner och för derivatan, men de är förskjutna i y led i förhållande till varandra. 3219 a) f’(x) = D(8ex) = = D(ex + ex + ex + ex + ex + + ex + ex + ex) = = ex + ex + ex + ex + ex + + ex + ex + ex = 8ex b) f’(x) = D(n · ex) = = D(ex + ex + ex + … + ex) = = D(ex) + D(ex) + … + D(ex) = = ex + ex + ex + … + ex = = n · ex 3220 a) 1,609 b) 3,219 c) 3,219 3221 a) 1 b) 8 c) 0 d) −1 e) Ej definierat f) −2 3222 a) f’(x) = 5e5x b) g’(x) = 6x · ln 6 c) f’(t) = 12e3t d) h’(x) = 2 ln 5 · 52x 3223 a) f’(x) = e3x 2 b) g’(x) = 6 ln 4 · 43x c) h’(r) = 3e3r − 3e−3r d) s’(t) = 14e2t − 2 ln 7 · 72t 3224 a) f’(y) = 0,1e0,02y − 0,03e−0,01y b) f’(t) = −3,5e−0,05t c) f’(x) = = 36x2 − 0,4 ln 0,8 · 0,8−0,4x 3225 a) y’(x) = 30e6x + 9x · ln 9 b) y’(1) = 30e6 + 9 · ln 9 (≈ 12 123) 3226 a) f’(0) = 2 b) f’(0) = ln 12 + ln 3 − 12 (≈ −8,42) 3227 a) a = 2 b) a = 101 3228 g’(t) = 2e 7t2 3229 a) e − 1 e b) 8 ln 3 3 c) C ∙ k ∙ ek 3230 a) Kvoten går mot närmevärdet 2,079 när h går mot 0. b) D(23x) ≈ 2,079 ∙ 23x n termer n termer n termer FACIT 3. derIverIngsregler 285
ISBN 978-91-523-6190-0 3c Matematik Origo är moderna läroböcker skrivna för den reviderade ämnesplanen 2021 Utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade Matematiskövningsuppgiftermodellering,kommunikationsuppgifter och problemlösning för alla Målbeskrivningar, sammanfattning och test till varje kapitel Serien består av Matematik Origo 1a och 2a för yrkesprogrammen Matematik Origo 1b, 2b och 3b för programmetEkonomiprogrammet,Samhällsvetenskapsprogrammet,HumanistiskaochEstetiskaprogrammet Matematik Origo 1c, 2c, 3c, 4 och 5 för Naturvetenskapsprogrammet och Teknikprogrammet