9789152359228

matematik

Attila Szabo Niclas Larson Daniel Dufåker Roger Fermsjö

vux 1b /1c

Sm a

kpro v!

SANOMA UTBILDNING Postadress: Box 38013, 100 64 Stockholm Besöksadress: Rosenlundsgatan 54, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order /Läromedelsinformation Telefon 08-587 642 10

Redaktion: Lena Bjessmo, Emelie Reuterswärd, Thomas Aidehag Grafisk form: Typoform/Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform/Andreas Lilius Illustrationer: Typoform/Jakob Robertsson

Matematik Origo 1b/1c vux ISBN 978-91-523-5922-8 © 2021 Attila Szabo, Niclas Larson, Daniel Dufåker, Roger Fermsjö, Gunilla Viklund, Mikael Marklund och Sanoma Utbildning AB, Stockholm Andra upplagan Första tryckningen

Kopieringsförbud!

Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Copyright Access, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus Copyright Access. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Tryck: Livonia Print, Lettland 2022

Till läsaren Matematik Origo vux 1b/1c är skriven för dig som ska läsa matematik kurs 1b eller 1c på komvux, gymnasial nivå. Boken är helt anpassad efter den reviderade ämnesplanen som gäller från 2022. För oss som har skrivit den här boken är matematik så mycket mer än att bara räkna. Därför har vi valt att i Matematik Origo lyfta fram problemlösning, förståelse och det matematiska samtalet. Vår förhoppning är att Matematik Origo ska förmedla samma nyfikenhet och glädje som vi känner inför matematikämnet. u Matematik Origo vux 1b/1c är indelad i sex kapitel.

Varje kapitel inleds med att ange de Förkunskaper som du behöver, det Centrala innehåll som kapitlet tar upp och vad du ska kunna när du har arbetat färdigt med kapitlet. Det gör det lättare för dig att själv ta ansvar för dina studier. I början av varje kapitel finner du också ett eller flera matematiska problem. u I boken finns en tydlig märkning som gör att du

snabbt ser vilka delar av boken som hör till kurs 1b och vilka som hör till kurs 1c. De avsnitt som saknar märkning gäller både kurs 1b och kurs 1c. De avsnitt som endast hör till kurs 1b är märkta med 1b i marginalen och de avsnitt som endast hör till 1c är märkta med 1c . Det finns också uppgifter som i första hand är tänkta för en av kurserna. Sådana uppgifter är märkta med 1b respektive 1c . u Varje Teorigenomgång följs av lösta Exempel

som belyser teorin och förklarar viktiga matema­ tiska färdigheter. I samband med exemplen finns kortfattade instruktioner till hur du kan använda ett digitalt verktyg. Vi utgår från GeoGebra. u Till varje avsnitt finns uppgifter av olika karaktär på

tre nivåer. På varje nivå finns uppgifter som tränar din förmåga till problemlösning. Öppna uppgifter är uppgifter som inte har ett givet svar och som många gånger kräver en matematisk diskussion.

Dessa är markerade med en tonad ruta .

u Efter varje delkapitel kommer Resonemang och

begrepp. Där kan du utveckla förmågan att förstå och använda matematiska begrepp, föra mate­ matiska resonemang och kommunicera matematik. u I de flesta kapitel finns en eller flera aktiviteter med

titeln Programmering, märkta med 1c . Där får du se exempel på hur programmering kan användas som verktyg, bland annat vid problemlösning.

Du får också själv prova att programmera med utgångspunkt i färdiga program. u I slutet av varje kapitel finner du Uppslaget. Där

finns uppgifter som ger möjlighet att utveckla olika matematiska förmågor. I Rätt eller fel? får du tillfälle att resonera om kapitlets viktiga begrepp.

I Undersök finns mer omfattande och utmanande uppgifter. Där får du träna på problemlösning och ett undersökande arbetssätt. Här finns också Problemlösning och modellering, en större uppgift av tematisk karaktär. u I slutet av varje kapitel finns ett avsnitt om

Historia som beskriver matematikens utveckling ur ett idéhistoriskt och kulturellt perspektiv. u Tankekartan visar hur de olika matematiska

begreppen hänger ihop och kan ses som en sammanfattning av kapitlet. u I Blandade uppgifter finns uppgifter på tre nivåer.

Uppgifterna behandlar moment både från det inne­ varande och de föregående kapitlen. Det ger dig möjlighet att kontinuerligt befästa dina kunskaper. u Sist i varje kapitel finns ett Kapiteltest. Där kan

du själv kontrollera dina kunskaper. Testet är uppdelat i två delar, en del som ska lösas utan digitalt verktyg och en del där du får använda ett digitalt verktyg.

Lycka till med dina matematikstudier!

Författarna

Innehåll 1 Tal

6

1.1 Tal i olika former . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Talmängder 8 Negativa tal 9 Bråk 12 Addition och subtraktion av bråk 15 Multiplikation och division av bråk 17 Tal i decimalform 20

1.2 Räkneregler för potenser

...............

25

Potenser med positiva heltalsexponenter 25 Potenser med negativa exponenter och med exponenten noll 29 Potenser med rationella tal i exponenten 33

2 Algebra

2.1 Algebraiska uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Teckna och tolka uttryck 58 Förenkla uttryck 62 Multiplikation av uttryck i parenteser 66 Faktorisera uttryck 70

2.2 Ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Ekvationslösningens grunder 72 Mer om ekvationer 76 Ekvationer med nämnare 79 Problemlösning med ekvationer 82

2.3 Potensekvationer och olikheter. . . . . . . . 87 Enkla andra- och tredjegradsekvationer 87 Potensekvationer 91 Olikheter 95

1.3 Prefix och prioriteringsregler . . . . . . . . . . . 37 Prefix 37 Prioriteringsregler 41

1c

Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Programmering: Gissa ett tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Kvadratrötter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Uppslaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Historia: Talsystem genom historien . . 50 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Nya ämnesplanen Kapiteltest . . . . . . . . .Innehållet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 i Matematik Origo vux 1b/1c är ­anpassat efter den revi­ derade ämnesplanen som gäller för vuxen­ utbildningen från 2022.

56

2.4 Formler och talföljder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 1b Att använda formler 100 1c Att använda formler 104 Formler i kalkylprogram 108 Mönster och formler 113 Aritmetiska talföljder 117

1c

Programmering: Fibonaccis talföljd. . 121 Uppslaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Historia: Fibonaccis talföljd. . . . . . . . . . . . 124 Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Kapiteltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

3 Procent

132

3.1 Procentuella förändringar . . . . . . . . . . . . . 134 Procent, promille och ppm 134 Förändringsfaktor 139 Upprepade procentuella förändringar 144 1b Index och KPI 149

3.2 Privatekonomi i kalkylprogram . . . . . . . . 153 Sparande och ränteberäkningar 153 Lån och ränteberäkningar 157

1c

Programmering: Perfekta tal . . . . . . . . . . 162 Historia: Procenttecknet och Big Mac-index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Uppslaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Kapiteltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4 Samband och funktioner

174

4.1 Linjära samband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Koordinatsystem 176 Linjära modeller 179 Proportionalitet 184 1c Mer om proportionaliteter 189

4.2 Räta linjens ekvation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Från ekvation till graf 193 Från graf till ekvation 196 Räta linjens ekvation i k-form och i enpunktsform 202 Parallella och vinkelräta linjer 206

4.3 Funktioner

................................

212

6 Trigonometri 1c

och vektorer

308

6.1 Trigonometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Likformiga trianglar 310 Tangens för en vinkel 314 Sinus och cosinus 318 Att bestämma vinklar med hjälp av inversa funktioner 322 Att bestämma sträckor och vinklar i koordinatsystem 325

6.2 Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 Vektorer och skalärer 328 Räkneoperationer med vektorer 334 Subtraktion av vektorer 337 Vektorer i koordinatform 340 Längden av en vektor 346

Funktion och funktionsvärde 212 Programmering: Approximera π . . . . . . 349 Ekvationslösning med grafritande hjälpmedel 217 Tydlighet Definitionsmängd och värdemängd 222 Uppslaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 I boken finns en tydlig märkning Exponentialfunktioner 226 Potensfunktioner 232

Trigonometri och planeter . . 352 som gör att det går snabbt Historia: att hör Uppslaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .se . . .vilka . . . . . delar . 238 av boken somTankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 respektive 1c. Om Historia: Kryptering . . . . . . . . . . . .till . . . kurs . . . . . 1b . 240 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 någon märkning Kapiteltest så Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .det . . . . inte . . . . .är 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 är innehållet gemensamt.

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Kapiteltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

5 Statistik och sannolikhet

5.1 Statistiska undersökningar

248 ............

250

Felkällor inom statistik 250 Felmarginal och signifikans 256 Korrelation och kausalitet 263

5.2 Enkla slumpförsök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Den klassiska sannolikhetsdefinitionen 270 Sannolikhet som relativ frekvens 274

5.3 Slumpförsök i flera steg . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Produktregeln 279 Träddiagram 284 Komplementhändelse 290

1c

Programmering: Slumpförsök med tärningar.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Historia: Sannolikhetslära och spel . . 295 Uppslaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Kapiteltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Facit

364

Register

402

3

Procent

Delkapitel 3.1 Procentuella förändringar 3.2 Privatekonomi i kalkylprogram

Förkunskaper ■ Tal i bråk- och decimalform ■ Grundläggande procentberäkningar ■ Ekvationslösning ■ Potenser med heltalsexponenter ■ Avrundning

Centralt innehåll ■ Begreppet förändringsfaktor och

beräkning av förändringar i flera steg.

1b■ Begreppet index.

■ Användning av kalkylprogram för

beräkning av ränta och amortering.

1c■ Exempel på hur programmering

kan användas som verktyg vid problemlösning, databearbetning eller tillämpning av numeriska metoder.

132

P

rocenträkning förekommer överallt i samhället. Till exempel uttrycker man valresultat, löneökningar, rabatter, moms och räntekostnader i procent. Förr kallade man till och med en person som lånade ut pengar mot orimligt hög ränta för procentare. Även om det ordet inte längre används, möter vi i dag ständigt erbjudanden om avbetalningsköp och snabba lån. Efter att du har arbetat med det här kapitlet kommer du att bättre kunna avgöra om räntan i sådana erbjudanden är rimlig.

I det här kapitlet får du inledningsvis repetera att du kan

u använda begreppen procent, promille och ppm

När du är klar med kapitlet ska du kunna u utföra beräkningar med förändringsfaktor u hantera upprepade procentuella förändringar med förändringsfaktor 1b u tolka och använda begreppet index u beräkna ränta och amortering med hjälp av kalkylprogram

Du ska kunna

Vi inleder varje kapitel med att formulera Procentfunderingar lärandemål. Det hjälper att sänks själv tapriset från 500 kr Priset på en spikmatta höjs från 400 kr till 500 kr.eleven Därefter ansvar för sina studier.

tillbaka till 400 kr. u Hur

stor var prishöjningen i procent?

u Är den procentuella prishöjningen större än, mindre än eller lika stor som pris­

sänkningen? Motivera ditt val. u Gör om undersökningen men låt prisförändringen vara ett annat antal kronor.

Vad kan du dra för slutsats?

Inledande uppgift

Ungdomar och procent

De inledande uppgifterna I Umeå kommun var år 2018 ca 41 % av invånarna under 30 år. I Stockholms län ger eleverna inblick i vad var motsvarande andel bara 37 %. kapitlet kommer att handla om och utmanar deras u Informationen här ovanför är riktig. Trots det bor det fler personer under 30 år i resonemangs- och Stockholms län än i Umeå. Hur kan det komma sig? problemlösningsförmåga. u Det bodde 2 344 124 personer i Stockholms län i slutet av år 2018.

Hur många av dessa var under 30 år? u Befolkningen i Stockholms län ökade med ca 1,5 % under år 2018. Man antog

att folkmängden skulle fortsätta att öka med 1,5 % varje år under de kommande nio åren. Med hur många procent har då befolkningen ökat från slutet av år 2017 till slutet av år 2027? u Behöver man veta hur stor befolkningen var i slutet av år 2017 för att kunna

svara på föregående fråga? Motivera ditt svar.

133

4.3 Funktioner Funktion och funktionsvärde Tänk dig att två personer är ute och går i solskenet.

Deras skuggor faller på marken. Längden av en persons skugga beror av personens längd. Vid en viss tidpunkt på dagen är skuggan 2,5 gånger så lång som personen.

Funktion

4

Om vi kallar personens längd för x och skuggans längd för y, kan vi beskriva sambandet med ekvationen y = 2,5x. För varje persons längd x ger sambandet precis ett värde på skuggans längd y. Ett sådant samband kallas i matematiken för en funktion. Man säger att skuggans längd y är en funktion av personens längd x.

Funktion En funktion är ett samband mellan två variabler. Man säger att y är en funktion av x, om det till varje värde på x finns endast ett bestämt värde på y.

Beroende och oberoende variabel

Eftersom värdet på y beror av värdet på x, kallas y för den beroende variabeln och x för den oberoende variabeln. Man liknar ibland en funktion vid en Teori och exempel maskin, som när man sätter in ett värde på den oberoende variabeln, ger Teorigenomgångarna är skrivna för tillbaka ett värde på den beroende variabeln enligt en viss regel. att vara lätta att följa, utan att för den skull väja för det som är svårt.

Funktionsvärde I vårt exempel är regeln att talet som man Regel Exemplen är rikligt kommenterade 120 300 och har utförliga förklaringar.sätter in multipliceras med 2,5. Om man 180 450 sätter in talet 120, så ger funktionen tillbaka I samband med exemplen finns x 2,5x ibland kortfattade instruktioner till funktionsvärdet 2,5 · 120 = 300. Om man hur man använder ett digitaltsätter verk­ in 180, så ger funktionen tillbaka funktionsvärdet 2,5 · 180 = 450 tyg. Vi utgår från GeoGebra.

och om man sätter in x, så ger funktionen tillbaka funktionsvärdet 2,5x.

Funktionsuttryck

För att visa att funktionsvärdet beror av värdet på x, använder man skrivsättet f(x). I vårt exempel är funktionsvärdet av 120 lika med 300. Det skrivs f(120) = 300

Det är vanligt att man väljer beteckningen f för en funktion, men man kan välja andra beteckningar som t.ex. g eller h.

212

och utläses f av 120 är 300. På samma sätt skriver man det allmänna sambandet som f(x) = 2,5x, vilket utläses "f av x är 2,5x". Vi kallar f(x) = 2,5x för funktionsuttryck, där f är funktionens namn.

SAMBAND OCH FUNKTIONER u 4.3 FUNKTIONER

120 x

f

f(120) = 300 f(x) = 2,5x

Förstagradsfunktion, linjär funktion

Funktionsuttryck, tabell och graf

I funktionsuttrycket f(x) = 2,5x är variabeln x upphöjd till 1, eftersom x = x1.

Därför kallas funktioner av formen f(x) = kx + m för förstagradsfunktioner.

Ibland kallas de även för linjära funktioner, eftersom grafen är en rät linje.

En funktion kan beskrivas med hjälp av ett funktionsuttryck, en tabell eller en graf. De beskriver alla den regel som bestämmer funktionen. Grafen till en funktion, till exempel den som bestäms av f(x) = 2,5x, kan vi rita i ett koordinatsystem genom att sätta y = f(x). Det betyder att vi avsätter funktionsvärdena efter y-axeln.

f(x) = 2,5x Skuggan är 2,5 gånger personens längd

x

y = f(x)

120

300

150

375

160

400

180

450

cm

y

500 y = f(x)

250

x 100

200

cm

Exempel: Funktionen f bestäms av funktionsuttrycket f(x) = 3x + 4. a) Bestäm f(3) b) Bestäm f(–3) c) Lös ekvationen f(x) = 10 Lösning: a) Eftersom f(x) = 3x + 4, så är f(3) = 3 · 3 + 4 = 13 För x = 3 är funktionsvärdet 13 Svar: f(3) = 13 b) Eftersom f(x) = 3x + 4, så är f(–3) = 3 · (–3) + 4 = –5 Svar: f(–3) = –5 c) Ekvationen f(x) = 10 är detsamma som 3x + 4 = 10 Vi utnyttjar att f(x) = 3x + 4 3x = 6 x=2 Svar: Ekvationen f(x) = 10 har lösningen x = 2.

När funktionsvärdet är 10, så är x = 2

SAMBAND OCH FUNKTIONER u 4.3 FUNKTIONER

213

4

Exempel: Om man vill åka skridskor på en sjö behöver man vara säker på att isen håller. Den tjocklek h cm som isen behöver ha beror på skridskoåkarens vikt v kg__enligt h kan skrivas som en potensfunktion eftersom √v __ h(v) = ___ √v 1 h(v) = ___ = __v0,5 2 2 2 a) Hur tjock is behövs för att bära en person som väger 80 kg? b) Hur mycket kan skridskoåkaren väga om isen är 10 cm tjock?

___

√80 Lösning: a) h(80) = ____ ≈ 4,5 cm 2 Svar: För att isen ska bära en person som väger 80 kg, måste den vara 4,5 cm tjock.

4

b) Vi__söker den vikt v kg som gör att h(v) __ = 10 cm. Det ger ekvationen √v √v ___ Vi utnyttjar att h(v) = ____ = 10 2 2 Metod 1 – Algebraisk lösning

__

√v ___ = 10

2 __ √v = 20 v=

202

Vi multiplicerar båda led med 2 Vi kvadrerar båda led

= 400

Metod 2 – Grafisk lösning __ √v ___

Vi ritar graferna till h(v) =

och y = 10 i GeoGebra och bestämmer 2 Skärning mellan två objekt. skärningspunkten med verktyget

Svar: En is som är 10 cm tjock tål en person som väger 400 kg.

I praktiken kan alltså vem som helst åka skridskor på den isen.

234

SAMBAND OCH FUNKTIONER u 4.3 FUNKTIONER

Nivå 1

4383 När en sten släpps från en bro har den efter t sekunder fallit s(t) meter, där s(t) = 5t2.

4377 Låt f(x) =

x3.

a) Beräkna s(1,5) och tolka vad resultatet betyder i det här sammanhanget.

a) Bestäm f(2). b) Lös ekvationen f(x) = 64.

4378 Låt f(x) = x4. a) Bestäm f(3). b) Lös ekvationen f(x) = 81.

Enklare ingångar b) Rita för hand en graf som visar stenens

Den nya upplagan innehåller fallsträcka under de första fyra sekunfler enkla inledande uppgifter derna. för att bättre möta elevernas c) Använd grafen du ritade i b)-uppgiften och förkunskaper.

4379 Figuren visar grafen till funktionen f(x) = x4. y 16

f(x) = 3x2 och g(x) = 3x varandra?

8

4385 En förenklad modell för en ballongs volym

4 -1

d) Lös ekvationen s(t) = 125 algebraiskt och tolka resultatet.

4384 I vilka punkter skär graferna till funktionerna

12

-2

bestäm hur lång tid tar det för stenen att falla 30 meter.

x 1

2

Använd figuren och a) bestäm f(–2) b) lös ekvationen f(x) = 16

4380 Vilka två av funktionsuttrycken visar potensfunktioner?

A f(x) = 3x B f(x) = x5 – x2 + 2 C f(x) = 3x 2,5 D f(x) = x100 – 1 E f(x) = 5x30

4381 Låt f(x) = x2 och g(x) = x3. Sätt ut rätt tecken (<, > eller =) mellan funktionsvärdena. Lös uppgiften utan grafritande hjälpmedel. a) f(–4)

g(–4)

b) f(2) c) f(0)

ges av

d3 V(d) = ______ 2 000 där V(d) är ballongens volym i liter och d är ballongens diameter i cm. a) Vilken volym har en ballong med diametern 10 cm enligt modellen? b) En jätteballong rymmer 1 540 liter. Vilken diameter har ballongen enligt modellen?

4386 En projektors bildstorlek A(s) uttryckt i dm2

kan beskrivas med sambandet A(s) = 4s2 där s meter är projektorns avstånd från duken.

Skriv av tabellen och fyll i de tomma rutorna.

g(2)

Avstånd från projektor (m)

Bildens area (dm2)

g(0)

1

4

4382 För en potensfunktion f i formen __1

f(x) = C ∙ x 2 gäller att f(9) = 12. Bestäm konstanten C i funktionsuttrycket.

2 38 303,75 Projektordukens area

SAMBAND OCH FUNKTIONER u 4.3 FUNKTIONER

235

4

Nivå 1

Nivå 2

3208 Återskapa kalkylbladet i exemplet på förra

3212 Kalkylbladet här nedanför kan användas för

sidan och besvara frågorna.

Uppgifter på tre nivåer

a) Hur stor bli räntan vid inbetal­ Tillden varje15:e avsnitt finns varierade ningen? uppgifter på tre nivåer, både

att beräkna den totala månadskostnaden för ett bolån den första månaden.

den elev som behöver b) Hur stor är den 17:eför inbetalningen?

enkla ingångar och för den elev behöver 3209 Gå tillbaka till exemplet på som sidan 158. utmaningar.

a) Hur stor är räntan vid den första inbetal­ ningen om årsräntan i stället är 7,95 %?

3

b) Vad ska de betala vid första inbetalningen om de i stället amorterar lånet på 10 år?

3210 Josefin och Carina lånar 240 000 kr för att

köpa en bil. Årsräntan på lånet är 6 % och amorteringstiden är 10 år. Amorteringen sker månadsvis. a) Hur mycket ska de amortera varje månad? b) Hur mycket ska de betala vid den första inbetalningen? c) Hur stor blir räntekostnaden vid den 15:e inbetalningen?

Skapa ett kalkylblad enligt mallen här ovan­ för. Celler som är markerade med grå färg ska kunna ändras, medan övriga celler ska beräk­ nas automatiskt med hjälp av formler.

3213 Använd kalkylbladet i föregående uppgift för att besvara följande frågor.

a) För en viss lägenhet är köpeskillingen 1 675 000 kr och avgiften till föreningen 3 807 kr. Räntesatsen för lånet är 2,3 %.

Hur stor blir den totala kostnaden för lägenheten den första månaden?

3211 Erik har köpt en lägenhet där kontantinsatsen är 675 000 kr. Han får låna 80 % av insatsen. a) Hur mycket pengar får han låna? b) Erik ska amortera 3 000 kr varje månad.

Hur lång tid tar det innan lånet är betalt? c) Årsräntan på lånet är 4,29 %. Hur stor är räntekostnaden första månaden? d) Hur mycket kommer Erik betala i ränte­ kostnader totalt?

160

PROCENT u 3.2 PRiVATEKONOMi i KALKyLPROGRAM

b) Hur förändras kostnaden i uppgift a) om räntesatsen sänks med 0,5 procentenheter? c) Hur förändras kostnaden i uppgift a) om räntesatsen ökar med 1,5 procentenheter? d) Hur förändras kostnaden i uppgift a) om du köper en lägenhet som är dubbelt så dyr, men med en hälften så hög avgift till föreningen? Räntesatsen är 2,3 % och amorteringstiden är 40 år.

3214 Hitta en bostadsrätt i din kommun som du

skulle kunna tänka dig att köpa. Ta reda på aktuella räntor och använd ett kalkylprogram för att beräkna vad månadskostnaden för bostadsrätten skulle bli.

Nivå 3

Öppna uppgifter En färgad 3215 Robin och Sander lånar 240 ruta 000 signalerar kr för att att

uppgiften ärär öppen. köpa en bil. Amorteringstiden 10 årDet ochinnebär att6 den inte har ett givet svar årsäntan på lånet är %. Bilfirman erbjuder och många gånger kräver ett så kallat annuitetslån, vilket innebär att en matematisk diskussion. samma belopp betalas varje månad. I det fasta beloppet ingår både ränta och amortering.

3216 Två lån är beskrivna i nedanstående diagram, ett annuitetslån och ett lån med rak amorte­ ring. Betalningen (räntekostnad och amorte­ ring) sker varje månad under 4 år. I varje dia­ gram presenteras varje månads amorterings­ och räntekostnad. Lånebeloppen är 84 000 kr och räntesatserna är lika för de båda lånen. kr

Annuitetslån

2 500 2 000 1 500 1 000 500

För att bestämma hur stort belopp som ska betalas in varje månad (annuiteten) kan föl­ jande formel användas

1 4 kr

r(1 + r)n a = L ∙ __________ (1 + r)n – 1

3 500

där a är annuiteten, L är lånebeloppet, r är månadsräntan i decimalform och n är antalet inbetalningar.

2 500

8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

mån

Lån med rak amortering

3 000

a) Skriv in formeln i ett kalkylprogram och beräkna hur stor annuitet som Robin och Sander ska betala varje månad. b) Hur stor blir den totala räntekostnaden för lånet?

2 000 1 500 1 000 500 1 4

8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 Räntekostnad

mån

Amortering

c) Beräkna den totala räntekostnaden för lånet i uppgift 3210 (Josefin och Carina).

Vilka slutsatser kan du dra?

a) Trots att räntesats och lånebelopp är lika för de båda lånen, är räntekostnaden för lånen olika. Bestäm räntekostnaden för Kommunikationsuppgifter Vilka fördelar och nackdelar finns det med varje lån.

Varje delkapitel avslutas med d) rak amortering Resonemang och begrepp.

Det är är olika för de två lånen b) Räntekostnaden e) annuitetslån

uppgifter som prövar elevernas trots att räntesatsen och lånebeloppen är begreppsförståelselika. ochFörklara inbjuder varför. dem att samtala om matematik.

(Np Ma1b ht 2012, omarbetad)

Resonemang och begrepp u I vilka sammanhang används ränta? u Förklara vad som menas med att ett kapital växer med ränta på ränta. u Vad innebär det att amortera på ett lån? u Varför blir inbetalningarna olika stora vid så kallad rak amortering? u Vad menas med en absolut referens i ett kalkylblad?

PROCENT u 3.2 PRiVATEKONOMi i KALKyLPROGRAM

161

3

Programmering

Gissa ett tal Här nedanför ser du ett program skrivet i programspråket Python 3. print skriver ut text eller värdet på variabler

while upprepar en bit kod så länge ett villkor är uppfyllt

1c

1

>

if, elif, else utför en bit kod endast om ett visst villkor är uppfyllt

!= betyder ”ej lika med” (≠)

import random tal = random.randint(0,100) gissning = int(input("Gissa talet som datorn slumpat fram:")) antal_gissningar = 1 while gissning != tal: if gissning < tal: gissning = int(input("För litet! Gissa igen.")) elif gissning > tal: gissning = int(input("För stort! Gissa igen.")) antal_gissningar = antal_gissningar + 1 print("Rätt! Det framslumpade talet var", tal) print("Du behövde", antal_gissningar, "gissningar.")

1 Kör programmet ett par gånger. Vad gör det?

2 Förklara vad varje del av programkoden gör.

3 Kör programmet 10 gånger. Notera hur många gissningar du behöver varje gång.

4 Hur många gissningar behövde du i genomsnitt?

5 Oskar säger att han aldrig behöver mer än 7 gissningar för att gissa rätt tal.

Det visar sig att det stämmer. Kan du komma på hur Oskar gör?

Programmerings­ 6 Hur många gissningar behöver man som mest med Oskars strategi, om talet aktiviteter ligger mellan

Till nästan varje kapitel finns a) 1 och 1 000 b) 1 och 10 000 för kurs c en eller flera programmeringsaktiviteter.

7 Vad finns det för samband mellan det högsta antalet gissningar som behövs Där får eleverna se exempel och potenser med basen 2? på hur programmering kan användas som verktyg vid till exempel problemlösning.

46

TAL  PROGRAMMERING

Programmering

Kvadratrötter I den här aktiviteten får du skriva program som beräknar ett närmevärde till kvadratroten av ett positivt tal.

För att beräkna ett närmevärde till kvadratroten ur 2 kan man först göra en gissning och därefter använda följande formel: gissning + 2/gissning Nästa värde = ___________________ 2

__

Nästa värde kommer att vara ett bättre närmevärde till √2 än gissningen.

Genom att sätta in detta Nästa värde som gissning i formeln, får man ett ännu bättre närmevärde. Man __ kan sedan upprepa proceduren tills man får ett så bra närmevärde till √2 som man önskar.

Programmet här nedanför är skrivet i programspråket Python 3. Det ger först variabeln gissning värdet 1,5. Sedan ger det instruktion om att koden på följande tre rader ska upprepas tre gånger. Dessa __ tre rader skapar en ny vari­ abel nästa_värde, ger den ett värde närmare √2 enligt formeln här ovanför och skriver därefter ut det värdet. Slutligen ges variabeln gissning samma värdet som nästa_värde innan koden upprepas. print skriver ut text eller värdet på variabler

for upprepar en bit kod ett angivet antal gånger

gissning = 1.5 for i in range(3): nästa_värde = (gissning + 2/gissning)/2 print(nästa_värde) gissning = nästa_värde

1 Skriv__in och kör programmet. Kontrollera att de utskrivna värdena närmar sig √2 .

__ 2 Ändra i programmet så att den första gissningen är mindre än √2 . Kör

__

programmet och kontrollera att de utskrivna värdena även nu närmar sig √2 .

__ 3 Ändra i programmet så att programmet skriver__ut tio närmevärden till √2 Med hur många korrekta värdesiffror ger det √2 ?

__ 4 Hur många upprepningar krävs för att (den usla) gissningen 100 ska ge √2

med lika många korrekta värdesiffror som det tionde närmevärdet i uppgift 3?

__ 5 Förklara varför formeln ger ett värde som är närmare √2 än vad gissning är.

(Ledtråd: Formeln beräknar medelvärdet av två tal.)

__ 6 Ändra i programmet så att det i stället ger ett närmevärde till √3 .

TAL  PROGRAMMERING

47

1c

1

>

Uppslaget Rätt eller fel?

Rätt eller fel?

Värdet av 2n + 3 är alltid större än värdet av n + 3.

2

I Rätt eller fel? får eleverna tillfälle att Kvadratroten ur 121 är ± 11. resonera om kapitlets viktiga begrepp.

a2 är alltid ett positivt tal, oberoende av värdet på a.

om du dividerar båda sidorna i en olikhet med samma tal, så måste du vända på olikhetstecknet.

Ekvationen 4x = x saknar lösningar.

–2, 0, 2, 4, 6, … är en aritmetisk talföljd.

Det finns ekvationer som har oändligt många lösningar.

Figuren visar talen som uppfyller olikheten 2x + 1 ≥ –5 x –4 –3 –2 –1 0

Ekvationen x + 1 = x + 2 saknar lösningar.

1

2

3

4

5

Undersök Klubbstugan

Omvänd sifferföljd

En förening har en klubbstuga med 30 säng­ platser, vackert belägen vid en sjö. På förening­ ens hemsida kan man läsa att stugan hyrs ut för 700 kr per dygn med ett tillägg på 120 kr per gäst. Där vill man också lägga ut en kalkylator som snabbt beräknar kostnaden om man knappar in antalet nätter och gäster. u Hjälp föreningen genom att ange vilka formler

som ska stå i cell B3–B5. testa gärna dina formler i ett kalkylprogram.

A

122

1

Antal gäster

2

Antal nätter

3

Total summa

4

Total summa per gäst

5

Total summa per natt för varje gäst

ALGEBRA  UPPSLAGET

u Välj ett tvåsiffrigt tal u Kasta om ordningen

mellan siffrorna

u Bilda differensen av

de två talen

59 95 95 – 59 = 36

u Välj nya tvåsiffriga tal och upprepa

proceduren. Vilket mönster ser du?

u Visa att mönstret du ser gäller för alla tvåsiff­ B

riga tal. Du kan utnyttja att ett tvåsiffrigt tal Undersök kan skrivas 10a + b, där a och b är ensiffriga Under rubriken Undersök heltal och a ≠finns 0. undersökande och utmanande uppgifter.

Här får eleverna träna på problemlösning och ett undersökande arbetssätt.

Problemlösning och modellering Mount Everest – världens tak ”Vilken idiot som helst kan nå toppen, tricket är att ta sig ner.” citatet är från Rob Hall, som omkom år 1996 på världens högsta berg Mount Everest, efter att ha bestigit toppen för sent på eftermiddagen.

Regeln är att inte nå toppen senare än klockan 14.00. Då riskerar man att behöva övernatta nära toppen, vilket är väldigt riskabelt.

Man kan dela in berget i olika zoner: Zon I: upp till 3 600 m

u När behöver man lämna läger 4 för att inte nå

toppen för sent?

u skriv ett numeriskt uttryck för höjdskillnaden

mellan toppen av Mount Everest och baslä­ gret.

u Lufttrycket ändras med höjden över havet h – ___

enligt formeln p = 1 013 · 2,72 8,6 där p är luft­ trycket i millibar och h är höjden över havet i kilometer. Beräkna lufttrycket vid toppen av Mount Everest, vid baslägret och vid havsytan.

u Vilken genomsnittlig hastighet i höjdled har en

Zon II: 3 600 till 5 500 meter

klättrare på vägen mellan läger 4 och toppen?

Baslägret ligger på 5 200 m.

u En klättrare är på väg ner från toppen. Anta att

Zon III: 5 500 till 7 000 meter Här är risken för att få höjdsjuka stor. Det är möj­ ligt att befinna sig på dessa höjder endast under kortare tider.

Zon IV: över 7 000 meter Denna zon kallas också dödszonen. Man kan överleva högst fem dygn på denna höjd. Läger 4 finns på 8 300 m. Därifrån är det cirka 12 h klätt­ ring kvar till toppen. Mount Everests topp ligger på 8 848 m.

det tar lika lång tid att ta sig ner till läger 4 som att ta sig upp. skriv en formel för höjden y meter som klättraren befinner sig på efter x minuter.

u Hitta på en och egen formel utifrån texten. Formu­ Problemlösning lera ett problem där formeln kan användas. Låt modellering

På Uppslaget finnslösa uppgifter en kamrat problemet. som särskilt tränar de mate­ matiska förmågorna. Bland annat finns en större uppgift av tematisk karaktär, som vi har valt att kalla Problemlösning och modellering.

ALGEBRA  UPPSLAGET

123

2

Historia

Kryptering

Historia

I avsnittet Historia sätter vi matematiken i ett historiskt sammanhang och lyfter fram Ordet kryptering kommer från grekiskans krypto som betyder dölja. Behovet hur den används i samhälle av att kryptera information man skickar, att skapa hemlig skrift, har ochgenom vetenskap.

Hemlig skrift

4

Definitionsmängden för en funktion behöver inte alltid vara tal utan kan, som här, t.ex. vara bokstäver.

f

Klartext

Kryptotext

f –1

alltid varit stort. Ofta är ett krypterat meddelande arrangerat så att varje bokstav i klartexten, alltså den okrypterade texten, byts ut mot en annan bokstav.

Det kallas för ett substitutionskrypto. Ett sådant omnämns redan i Julius Caesars skildring av sitt fälttåg i Gallien. Han lät bokstäverna i alfabetet förskjutas ett visst antal steg. En förskjutning med två steg gav exempelvis ett C i stället för A och ett F i stället för D. Den här formen av krypto kallas därför ofta för ett Caesarkrypto.

Den regel som används för att överföra en klartext till en kryptotext är ett exempel på en funktion. För funktionen som beskriver kryptotexten här ovanför gäller exempelvis att f(A) = C och f(D) = F. För att avkryptera meddelandet används en omvänd funktion (invers), f –1, som kallas nyckel. Den omvända funktionen visar vad varje bokstav i kryptotexten ska ersättas med för att få klartexten. Exempelvis gäller för den omvända funktionen att f –1(C) = A och f –1(F) = D. Om man flyttar om bokstäverna i stället för att förskjuta dem, har man fått ett transpositionskrypto. Ett exempel på ett sådant är brädgården. Där skriver man meddelandet på två rader med varannan bokstav på övre och varannan på undre raden. Sedan sätter man ihop övre och undre raden efter varandra.

Om meddelandet som ska krypteras är ”vi anfaller i gryningen” så blir det krypterat ”vafleirnneinalrgyign”.

Rad 1 v a f l e i r n n e Rad 2 i n a l r g y i g n

Krypteringsmaskiner

?

Försök att lista ut Caesarkoden. Ge en algoritm och en nyckel för att få klartext.

TGIPGV UVÖT UQO URBP K DCEMGP

?

Tyd meddelandet som är ett brädgårdskrypto.

HMITEDLNEELGMDEAD

240

Genom århundradena har allt mer komplicerade krypton tagits fram, men det har också utvecklats allt mer avancerade metoder för att knäcka koderna. Under 1900-talet tillverkades maskiner för att underlätta krypteringen. En känd sådan krypteringsmaskin är Enigma. Det var den som gav den tyska armén en mycket svårforcerad kod under andra världskriget. Enigmakoden knäcktes till slut av matematiker och detta hade stor betydelse för slutfasen av kriget och de allierades seger. I dag krypteras stora mängder information med hjälp av datorer. Det är exempelvis tack vare den krypteringen som vi kan betala för saker via nätet utan att någon utomstående kommer åt våra betalningsuppgifter.

SAMBAND OCH FUNKTIONER  HISTORIA

Tankekarta

Samband och funktioner Tankekarta

Vi sammanfattar innehållet i kapitlet i en tankekarta.

Det ger möjlighet att ­repetera kapitlets viktiga begrepp och schematiskt visa hur de hör ihop.

Linjära funktioner u räta linjens ekvation i

k-form: y = kx + m allmän form: ax + by + c = 0

u riktningskoefficienten k beskriver

linjens lutning

u parallella linjer, k1 = k2 u vinkelräta linjer, k1 ∙ k2 = -1

Koordinatsystem

u konstanttermen m anger linjens skärning

u x-axel och y-axel

u förstagradsfunktion

u origo

u grafen är en rät linje

u fyra kvadranter

u proportionalitet: y = kx

u en punkts läge beskrivs

u linjära modeller beskriver situationer där

Funktion

Exponentialfunktioner

u samband

u f(x) = Cax

u regel

u variabeln x är i exponenten

u oberoende och

u a>1

av två koordinater (x, y)

beroende variabel

4

med y-axeln

något ökar eller minskar i jämn takt

0<a<1 y

y

u definitionsmängd och

värdemängd

u funktionsuttryck

x

x

u exponentiella modeller beskriver

situationer där något ökar eller minskar med lika många procent

Representation av funktioner

Potensfunktioner

u funktionsuttryck

u f(x) = Cxa

u ekvation

u variabeln x är bas i en potens

u graf

u proportionaliteter: y = kx,

u värdetabell

1 1 y = k ∙ __, y = k ∙ ___2 x x

y = kx2,

SAMBAND OCH FUNKTIONER  TANKEKARTA

241

Blandade uppgifter 9 Beräkna utan digitalt hjälpmedel _____

Nivå 1

a)

1 Ett kort dras slumpmässigt ur en vanlig kortlek.

√0,36

_______

b) √4 ∙ 100

Hur stor är sannolikheten att det är en hjärter?

10 Bestäm ekvationen för den räta linje som har Blandade uppgifter 2 Av 3 000 bilförare som passerade en kontroll­ a) riktningskoefficienten 3 och går genom I Blandade uppgifter finns extra

station saknade 143 förare bilbälte. Hur stor är punkten med koordinaterna (2, 1) övningsuppgifter till kapitlet. Här får sannolikheten att en slumpvis utvald bilförare –2 och går genom eleverna öva b) påriktningskoefficienten samtliga begrepp saknar bilbälte? punkten med koordinaterna (–1, –4)

5

«

och metoder, utan någon inbördes ordning. En nyhet i den här upplagan 3 Webbtidningen ”E­sport” ställde frågan är att uppgifterna är hämtade 11 En maskin vid enbåde konservfabrik fyller 1 700 ”Tycker du att Sverige bör satsa mer pengar påfrån det aktuella kapitlet, och frånvarje dag. För att kontrollera burkar med tonfisk att arrangera tävlingar inom e­sport?” på sin de föregående kapitlen i boken. gör man varje månad en vikten på burkarna

hemsida. Kommentera urvalsmetoden.

4 Ett västerbottniskt uttryck lyder ”harta borti

harta och harta borti he”. Det betyder ”hälften av hälften och hälften av det”. Tolka uttrycket och tala om hur många procent det motsvarar.

5 Timo går i en klass med 14 pojkar och 11 flickor.

Två slumpmässigt valda elever, en pojke och en flicka, ska få åka till London. a) Hur stor är sannolikheten att Timo får åka? b) Är det större chans att få åka om man är flicka än om man är pojke? Motivera ditt svar.

stickprovsundersökning. Hur ska man göra urvalet?

12 En rektangel har tre av sina hörn i punkterna

(7, 5), (–2,5; 5) och (7, –1). Bestäm rektangelns omkrets.

13 Ange ekvationen för den linje som går genom punkten med koordinaterna (2, 4) och är a) parallell med x­axeln b) parallell med y­axeln

14 Använd träddiagrammet och svara på frågorna.

6 Ekvationerna är av formen y = kx + m. Vilket

0,3

värde har riktningskoefficienten och vilken är y­koordinaten för skärningspunkten med y­axeln?

0,6

0,7

0,4

0,2

0,8

a) y = –4x + 1 b) y = 7 + 3,5x 5x 1 c) y = ___ – __ 2 3 –2x ____ d) y = 9

7 I en besticklåda finns 5 gafflar, 3 skedar och

7 knivar. Hur stor är sannolikheten att du får upp en gaffel när du slumpmässigt väljer ett bestick? Svara med ett bråk.

A

B

C

D

a) Beräkna sannolikheten för händelse A. b) Beräkna sannolikheten att antingen händelse C eller D inträffar.

15 Beräkna med hjälp av komplementhändelse

sannolikheten för minst en klave om du singlar slant tre gånger.

8 Rita en graf som visar hastigheten som funktion av tiden, när en bil accelererar upp till 80 km/h och sedan fortsätter att köra med samma fart.

Klave

300

STATISTIK OCH SANNOLIKHET  BLANDADE UPPGIFTER

Krona

16 De båda diagrammen beskriver utvandringen från Sverige.

19 Bestäm vilken typ av korrelation som finns mellan värdena.

Antal utvandrare/år

x

2,1

4,8

7,2

8,8

50 000

y

2,7

10,8

16,9

23,3

40 000 30 000

20 Diagrammet visar luftens koldioxidhalt.

20 000

Koncentration CO2 (ppm)

10 000

År 0 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

355

600

350

Män Kvinnor

400

365 360

Antal utvandrare/åldersgrupp 2002 500

370

340

300

335

200

330

100 0

Ålder 0

5

345

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 +

a) Under vilka perioder var utvandringen från Sverige som störst?

325

1976

1980

1984

1988

1992

1996

2000 År

b) Hur många utvandrade år 2002?

a) Hur många procent av luften bestod av koldioxid år 2000?

c) Hur stor andel av de som utvandrade år 2002 var 30 år?

b) Med hur många procent ökade koldioxid­ halten från år 1976 till år 2000?

d) Beskriv utvandrarnas ålders­ och köns­ fördelning år 2002.

c) Ge en förklaring till kurvans taggiga utseende.

17 Förenkla så långt som möjligt 2

a) 2x – 2x –

(x2

– 2x)

2

b) a(a – b) – a – ab

18 2,85 kg vindruvor i lösvikt kostar 70,99 kr.

21 Annas aktier är värda 5 000 kr. De ökar i värde under en vecka (5 dagar) med 2,3 % per dag.

Hur mycket är de värda efter den veckan?

22 Vilket värde ska t ha om punkten (2, 3) ska ligga på linjen 3x – ty + 7 = 0?

a) Vilket är jämförpriset? b) Skriv priset y kr som en funktion av vikten x kg.

STATISTIK OCH SANNOLIKHET  BLANDADE UPPGIFTER

301

«

Kapiteltest Del 1 Utan digitalt hjälpmedel 1 På ett tivoli finns ett chokladhjul som ser ut som ST

cho kla

EdNkaka

LIT

b) Hur stor är sannolikheten att vinna två stora chokladkakor på två försök?

cho kla

EdNkaka

a) Hur stor är sannolikheten att vinna en liten chokladkaka på ett försök?

LIT

R Odkaka

cho kla

på bilden.

2 Sannolikheten för att man ska få någon vinst på en lott är 20 %. Hur många vinster finns det på 1 200 lotter?

3 När man gör en statistisk undersökning kan man välja att göra en

5

totalundersökning eller en stickprovsundersökning.

a) Vilka för­ respektive nackdelar har en totalundersökning jämfört med en stickprovsundersökning? b) Nämn något sammanhang där det är möjligt att göra en totalundersökning. c) Ge exempel på ett sammanhang där bara en stickprovsundersökning är möjlig.

Sist i varje kapitel ligger ett test,

Kapiteltest

som knyter an till lärandemålen i 4 Avgör kapitlets inledning. Det ger elev­ om det finns någon korrelation mellan variablerna som i ett spridnings­ diagram beskrivs av punkterna (2, 6), (4, 3), (7, 4), (9, 2) och (11, 1). Ange i så erna möjlighet att själva kontrol­ fall om korrelationen är positiv eller negativ. lera sina kunskaper. Testet är indelat i två delar: en del med och en del utan digitalt hjälpmedel.

5 Ungdomars motionsvanor undersöktes två år i rad genom att man frågade

1 000 ungdomar om de tränade mer än två gånger i veckan. Vid den första undersökningen svarade 18 % Ja. Vid den andra undersökningen svarade 16 % Ja. Är det statistiskt säkerställt att ungdomar har börjat träna mindre?

Använd den nedre tabellen på sidan 257.

6 Beskriv hur man kan bestämma sannolikheten för att en plastmugg ska hamna på sidan efter att man kastat den rakt upp i luften.

7 I en stickprovsundersökning fick det gröna partiet 17,0 % av rösterna.

Felmarginalen var 2,3 procentenheter på 95 %­nivån. Tolka vad det betyder.

8 En snurra är en leksak som kan rotera runt sin egen axel.

2

3

1

4

När snurran stannar landar den på ett av fyra lika stora fält som är numrerade från 1 till 4.

Försöket med snurran upprepas två gånger och resultatet antecknas.

a) Hur stor är sannolikheten att summan av de två resultaten blir 8? b) Vilken summa är den mest sannolika efter två försök? Motivera ditt svar.

306

STATISTIK OCH SANNOLIKHET  KAPITELTEST

Del 2 Med digitalt hjälpmedel 9 Från en stad med fyra gymnasieskolor ska man skicka 25 elever till en miljökonferens. Antalet elever vid skolorna är 372, 912, 217 och 632.

På vilket sätt ska man göra urvalet?

10 För att få reda på vad passagerarna tyckte om servicen, lämnade ett flygbolag

ut en enkät till 800 personer. Av de 336 personer som besvarade enkäten tyckte 188 personer att servicen var bra eller mycket bra. Mellan vilka värden skulle resultatet kunnat ligga om alla tillfrågade hade besvarat enkäten?

11 Sannolikheten att träffa en måltavla vid luftgevärsskytte är 0,7. Beräkna hur stor sannolikheten är att få två träffar och en miss på tre skott.

12 Ett läxförhör består av 5 frågor. Varje fråga har tre svarsalternativ varav ett är

rätt. Beräkna sannolikheten för att åtminstone få ett rätt om man bara chansar.

13 Roulett är ett hasardspel där en kula faller ner i ett av 37 fack i ett snurrande

hjul. Facken är numrerade från 0 till 36. Tre personer spelar roulett och satsar en mark var per spelomgång. Spelare A satsar på nummer 17. Spelare B satsar på fyra nummer och spelare C satsar på att det ska bli ett udda nummer. Alla tre har betalt lika mycket för sin spelmark.

22

19

16

13

10

7

4

26

23

20

17

14

11

8

5

2

24

21

18

15

12

9

6

3

18 — 36

u Beräkna u Borde

2nd 12 ODDC

0

27

30

33

3rd 12

A

1

25

32

36

29

35

2 to 1

28

34

2 to 1

31

2 to 1

B

1st 12 EVEN

1 — 18

de tre sannolikheterna för att spelare A, B respektive C vinner.

vinsten bli lika stor för de tre spelarna? Motivera ditt svar.

Putte har funderat länge på hur man kan kamma hem storvinsten från kasinot. Han vet att om man satsar på rött och vinner, så får man tillbaka dubbla insatsen. Han säger att om man använder sig av följande strategi så kommer man alltid att vinna i längden.

Satsa lägsta möjliga insats så länge som du vinner och dubbla insatsen varje gång du förlorar ända tills du vinner igen. Genom dubbleringen så vinner du till­ baka allt du har förlorat när du vinner nästa gång. Efter varje vinst börjar du om och satsar den lägsta möjliga insatsen igen. u Putte

testar sin teori. Han satsar minsta insatsen 10 kronor på rött och tänker sedan dubbla ända tills han vinner. Vilken är sannolikheten att han vinner innan han gjort av med de 1 000 kronor han har med sig till kasinot?

u Är

det troligt att Putte kommer att bli miljonär genom att använda sig av sin strategi? Motivera ditt svar.

STATISTIK OCH SANNOLIKHET  KAPITELTEST

307

5

vux

1b/1c

Matematik Origo vux är moderna läroböcker skrivna för den reviderade ämnesplanen för vuxenutbildning på gymnaial nivå som gäller från 2022 Utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter Matematisk modellering, kommunikationsuppgifter och problemlösning för alla Målbeskrivningar, sammanfattning och test till varje kapitel Serien består av Matematik Origo vux 1b/1c Matematik Origo vux 2b/2c Matematik Origo vux 3b/3c Matematik Origo 4 och Matematik Origo 5 Matematik Origo finns även för alla kurser på gymnasiets a-, b- och c-spår

ISBN 978-91-523-5922-8