matematik Verner Gerholm Johan Skarp Kerstin Olofsson
2a
Smak prov !
Till läsaren
SANOMA UTBILDNING Postadress: Box 30091, 104 25 Stockholm Besöksadress: Alströmergatan 12, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order/Läromedelsinformation Telefon 08–587 642 10 Fax 08–587 642 02
Redaktion: Emelie Reuterswärd, Lena Bjessmo och Thomas Aidehag Grafisk form: Typoform, Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform, Karin Olofsson Illustrationer: Typoform, Karin Olofsson och Jakob Robertsson Bildredaktör: Emelie Reuterswärd, Lena Bjessmo och Thomas Aidehag
Matematik Origo 2a ISBN 978-91-523-5091-1 © 2019 Verner Gerholm, Johan Skarp, Kerstin Olofsson, Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Daniel Dufåker, Mikael Marklund och Sanoma Utbildning AB, Stockholm Första upplagan Första tryckningen
Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Copyright Access avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.
Printed in Lettland by Livonia Print, 2019
Matematik Origo 2a är skriven för dig som ska läsa kurs Matematik 2a. Boken är helt anpassad till den uppdaterade ämnesplanen 2017/2018, som har syftet att stärka elevernas digitala kompetens. För oss som skrivit den här boken är matematik så mycket mer än att bara räkna. Därför har vi valt att i Matematik Origo 2a lyfta fram problemlösning, förståelse och matematikens användbarhet. Vår förhoppning är att Matematik Origo 2a ska hjälpa dig att se det meningsfulla i matematiken och att den förmedlar samma nyfikenhet och glädje som vi känner inför matematikämnet. • Matematik Origo 2a är indelad i fyra kapitel. I inledningen till varje kapitel beskriver vi vad du ska kunna när du har arbetat färdigt med kapitlet. Där finns också en aktivitet, som du kan genomföra tillsammans med en kamrat. • Varje avsnitt inleds med en teorigenomgång och ett antal lösta exempel. Därefter kommer en Starter. Det är en uppgift som inbjuder till diskussion och som är tänkt att genomföras gemensamt i klassen. • Till varje avsnitt finns uppgifter på tre olika nivåer. Det kan vara bra att göra några uppgifter på den inledande nivån, även om du vill pröva dina kunskaper på de högre nivåerna. På så sätt är du säker på att du får träna på alla de metoder och begrepp som avsnittet behandlar. • En del uppgifter är markerade med förstoringsglas, . Det är uppgifter där det finns flera möjliga svar eller där du behöver uppskatta eller ta reda på någon information som saknas.
• Vissa avsnitt har vi valt att markera som Fördjupning F eller Programanpassning P . Dessa avsnitt är anpassade till olika yrkesprogram. Om du bör läsa dessa avsnitt eller inte, beror på vilket yrkesprogram du läser. Fråga din lärare om du är osäker. • Efter varje delkapitel kommer Resonemang och begrepp. Där möter du frågeställningar som övar din begrepps-, resonemangs- och kommunikationsförmåga. • I slutet av varje kapitel finns Uppslaget. Där finns uppgifter som tränar de olika matematiska förmågorna under rubrikerna Vem har rätt?, Problemlösning, Modellering och Matematik i användning. I Modellering får du själv uppskatta eller ta reda på information för att kunna lösa uppgifterna. • I Samhälle och yrkesliv sätter vi matematiken i ett historiskt sammanhang eller lyfter fram hur den används i samhället. • I sammanfattningen Koll på kapitlet ger vi konkreta exempel på vad du ska kunna. Där finns också en självvärdering, där du kan reflektera över hur säker du känner dig på varje moment. På så sätt kan du få syn på vad du behöver öva mer på. Extra övningsuppgifter finns i Blandade uppgifter. • Kapitlet avslutas med ett Kapiteltest. Där har du möjlighet att själv kontrollera dina kunskaper. Testet är uppdelat i två delar, en del med flervalsfrågor och en del där du ska redovisa dina lösningar. Facit till kapiteltesten finns inte i boken, utan kan hämtas på vår webbsida: www.sanomautbildning.se. Lycka till med dina matematikstudier! Författarna
Till läsaren
SANOMA UTBILDNING Postadress: Box 30091, 104 25 Stockholm Besöksadress: Alströmergatan 12, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order/Läromedelsinformation Telefon 08–587 642 10 Fax 08–587 642 02
Redaktion: Emelie Reuterswärd, Lena Bjessmo och Thomas Aidehag Grafisk form: Typoform, Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform, Karin Olofsson Illustrationer: Typoform, Karin Olofsson och Jakob Robertsson Bildredaktör: Emelie Reuterswärd, Lena Bjessmo och Thomas Aidehag
Matematik Origo 2a ISBN 978-91-523-5091-1 © 2019 Verner Gerholm, Johan Skarp, Kerstin Olofsson, Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Daniel Dufåker, Mikael Marklund och Sanoma Utbildning AB, Stockholm Första upplagan Första tryckningen
Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Copyright Access avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.
Printed in Lettland by Livonia Print, 2019
Matematik Origo 2a är skriven för dig som ska läsa kurs Matematik 2a. Boken är helt anpassad till den uppdaterade ämnesplanen 2017/2018, som har syftet att stärka elevernas digitala kompetens. För oss som skrivit den här boken är matematik så mycket mer än att bara räkna. Därför har vi valt att i Matematik Origo 2a lyfta fram problemlösning, förståelse och matematikens användbarhet. Vår förhoppning är att Matematik Origo 2a ska hjälpa dig att se det meningsfulla i matematiken och att den förmedlar samma nyfikenhet och glädje som vi känner inför matematikämnet. • Matematik Origo 2a är indelad i fyra kapitel. I inledningen till varje kapitel beskriver vi vad du ska kunna när du har arbetat färdigt med kapitlet. Där finns också en aktivitet, som du kan genomföra tillsammans med en kamrat. • Varje avsnitt inleds med en teorigenomgång och ett antal lösta exempel. Därefter kommer en Starter. Det är en uppgift som inbjuder till diskussion och som är tänkt att genomföras gemensamt i klassen. • Till varje avsnitt finns uppgifter på tre olika nivåer. Det kan vara bra att göra några uppgifter på den inledande nivån, även om du vill pröva dina kunskaper på de högre nivåerna. På så sätt är du säker på att du får träna på alla de metoder och begrepp som avsnittet behandlar. • En del uppgifter är markerade med förstoringsglas, . Det är uppgifter där det finns flera möjliga svar eller där du behöver uppskatta eller ta reda på någon information som saknas.
• Vissa avsnitt har vi valt att markera som Fördjupning F eller Programanpassning P . Dessa avsnitt är anpassade till olika yrkesprogram. Om du bör läsa dessa avsnitt eller inte, beror på vilket yrkesprogram du läser. Fråga din lärare om du är osäker. • Efter varje delkapitel kommer Resonemang och begrepp. Där möter du frågeställningar som övar din begrepps-, resonemangs- och kommunikationsförmåga. • I slutet av varje kapitel finns Uppslaget. Där finns uppgifter som tränar de olika matematiska förmågorna under rubrikerna Vem har rätt?, Problemlösning, Modellering och Matematik i användning. I Modellering får du själv uppskatta eller ta reda på information för att kunna lösa uppgifterna. • I Samhälle och yrkesliv sätter vi matematiken i ett historiskt sammanhang eller lyfter fram hur den används i samhället. • I sammanfattningen Koll på kapitlet ger vi konkreta exempel på vad du ska kunna. Där finns också en självvärdering, där du kan reflektera över hur säker du känner dig på varje moment. På så sätt kan du få syn på vad du behöver öva mer på. Extra övningsuppgifter finns i Blandade uppgifter. • Kapitlet avslutas med ett Kapiteltest. Där har du möjlighet att själv kontrollera dina kunskaper. Testet är uppdelat i två delar, en del med flervalsfrågor och en del där du ska redovisa dina lösningar. Facit till kapiteltesten finns inte i boken, utan kan hämtas på vår webbsida: www.sanomautbildning.se. Lycka till med dina matematikstudier! Författarna
Innehåll 1 Algebra 1.1 Uttryck, formler och ekvationer
6 ............
8
Algebraiska uttryck 8 Ekvationer 12 Ställa upp uttryck och formler 16 Budgetering med formler i kalkylprogram 19 Företagsekonomi och budgetering 22
1.2 Andragradsuttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Uttryck av andra graden 27 Multiplikation av uttryck inom parentes 30 Kvadreringsreglerna 34 Konjugatregeln 37 Att faktorisera uttryck 39
1.3 Andragradsekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Ekvationer av typen x2 = a 42 Faktorisering som lösningsmetod 45 pq-formeln 48 Problemlösning med andragradsekvationer 52 F Kvadratkomplettering 56
Samhälle och yrkesliv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Koll på kapitlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2 Räta linjer och
3 Funktioner
ekvationssystem
70
2.1 Koordinatsystem och räta linjer . . . . . . . . . . . 72 Koordinatsystem 72 Linjära samband 75
2.2 Räta linjens ekvation
......................
79
Från ekvation till graf 79 Från graf till ekvation 83 Riktningskoefficienten för en rät linje 87 Bestämma räta linjens ekvation (k-form) 91 Parallella linjer och allmän form 95 F Vinkelräta linjer 99
3.1 Linjära funktioner och
exponentialfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Vad är en funktion? 128 Definitionsmängd och värdemängd 134 Exponentialfunktioner 138
3.2 Andragradsfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Grafen till en andragradsfunktion 144 Mer om grafen till en andragradsfunktion 149 Bestämma största eller minsta värde 155
3.3 Potensfunktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
2.3 Ekvationssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Grafisk lösning av ekvationssystem 102 Substitutionsmetoden 107 Additionsmetoden 111
Samhälle och yrkesliv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koll på kapitlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
115 116 118 121 124
Potenser och potenslagar 160 Fler potenslagar 164 Potenser med rationella exponenter 166 Potensekvationer 169 Potensfunktioner 172
Samhälle och yrkesliv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koll på kapitlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Geometri
4.1 Matematisk argumentation . . . . . . . . . . . . . . 192 Argumentation i vardag och i matematik 192 Implikation och ekvivalens 197 Pythagoras sats 202 Avståndsformeln 206
4.2 P
Symmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
209
Symmetri 209 F Symmetrier i koordinatsystem 213
4.3 P
Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Tangens 218 Sinus och cosinus 222 Beräkna vinklar med trigonometri 225 F Areasatsen 229
4.4 P 177 178 180 184 188
190
Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Vad är en vektor? 232 Addition av vektorer 236 Vinkelräta komposanter 239 F Vektorer i koordinatform 242
Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Samhälle och yrkesliv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Koll på kapitlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Facit
258
Register
285
Innehåll 1 Algebra 1.1 Uttryck, formler och ekvationer
6 ............
8
Algebraiska uttryck 8 Ekvationer 12 Ställa upp uttryck och formler 16 Budgetering med formler i kalkylprogram 19 Företagsekonomi och budgetering 22
1.2 Andragradsuttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Uttryck av andra graden 27 Multiplikation av uttryck inom parentes 30 Kvadreringsreglerna 34 Konjugatregeln 37 Att faktorisera uttryck 39
1.3 Andragradsekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Ekvationer av typen x2 = a 42 Faktorisering som lösningsmetod 45 pq-formeln 48 Problemlösning med andragradsekvationer 52 F Kvadratkomplettering 56
Samhälle och yrkesliv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Koll på kapitlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2 Räta linjer och
3 Funktioner
ekvationssystem
70
2.1 Koordinatsystem och räta linjer . . . . . . . . . . . 72 Koordinatsystem 72 Linjära samband 75
2.2 Räta linjens ekvation
......................
79
Från ekvation till graf 79 Från graf till ekvation 83 Riktningskoefficienten för en rät linje 87 Bestämma räta linjens ekvation (k-form) 91 Parallella linjer och allmän form 95 F Vinkelräta linjer 99
3.1 Linjära funktioner och
exponentialfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Vad är en funktion? 128 Definitionsmängd och värdemängd 134 Exponentialfunktioner 138
3.2 Andragradsfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Grafen till en andragradsfunktion 144 Mer om grafen till en andragradsfunktion 149 Bestämma största eller minsta värde 155
3.3 Potensfunktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
2.3 Ekvationssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Grafisk lösning av ekvationssystem 102 Substitutionsmetoden 107 Additionsmetoden 111
Samhälle och yrkesliv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koll på kapitlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
115 116 118 121 124
Potenser och potenslagar 160 Fler potenslagar 164 Potenser med rationella exponenter 166 Potensekvationer 169 Potensfunktioner 172
Samhälle och yrkesliv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koll på kapitlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Geometri
4.1 Matematisk argumentation . . . . . . . . . . . . . . 192 Argumentation i vardag och i matematik 192 Implikation och ekvivalens 197 Pythagoras sats 202 Avståndsformeln 206
4.2 P
Symmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
209
Symmetri 209 F Symmetrier i koordinatsystem 213
4.3 P
Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Tangens 218 Sinus och cosinus 222 Beräkna vinklar med trigonometri 225 F Areasatsen 229
4.4 P 177 178 180 184 188
190
Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Vad är en vektor? 232 Addition av vektorer 236 Vinkelräta komposanter 239 F Vektorer i koordinatform 242
Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Samhälle och yrkesliv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Koll på kapitlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Facit
258
Register
285
2
Räta linjer och ekvationssystem
När du är klar med kapitlet ska du kunna ! markera och läsa av punkter i ett koordinatsystem ! beskriva linjära samband med ord, tabeller, grafer och formler ! bestämma och tolka lutningen för en rät linje ! bestämma en rät linjes ekvation
Tårtljuset I den här aktiviteten får ni undersöka hur lång tid det tar för ett tårtljus att brinna ner. Arbeta två och två. Ni behöver ett tårtljus, en linjal och ett tidtagarur. ! Mät höjden på ljuset.
Du ska kunna Vi inleder varje kapitel med att formulera lärandemål. Det hjälper eleven att själv ta ansvar för sina studier.
! Tänd ljuset samtidigt som ni startar tidtagningen. ! Mät höjden på ljuset var 30:e sekund under 3 minuter. Anteckna avläsningarna i en tabell.
! lösa ekvationssystem med grafisk metod ! lösa ekvationssystem med algebraisk metod ! lösa problem med hjälp av ekvationssystem
Tid (s) Höjd (cm) 0 30 60 90 120 150 180
! Rita två koordinataxlar med höjden på y-axeln och tiden på x-axeln. Markera ljusets höjd vid de olika tidpunkterna som punkter i koordinatsystemet. ! Anpassa en linje till punkterna och avgör hur lång tid det tar för ljuset att brinna ner. Inledande aktivitet De inledande aktiviteterna ger eleverna inblick i vad kapitlet kommer att handla om. Aktiviteterna är utmärkta verktyg för att undersöka elevernas förkunskaper.
70
71
2
Räta linjer och ekvationssystem
När du är klar med kapitlet ska du kunna ! markera och läsa av punkter i ett koordinatsystem ! beskriva linjära samband med ord, tabeller, grafer och formler ! bestämma och tolka lutningen för en rät linje ! bestämma en rät linjes ekvation
Tårtljuset I den här aktiviteten får ni undersöka hur lång tid det tar för ett tårtljus att brinna ner. Arbeta två och två. Ni behöver ett tårtljus, en linjal och ett tidtagarur. ! Mät höjden på ljuset.
Du ska kunna Vi inleder varje kapitel med att formulera lärandemål. Det hjälper eleven att själv ta ansvar för sina studier.
! Tänd ljuset samtidigt som ni startar tidtagningen. ! Mät höjden på ljuset var 30:e sekund under 3 minuter. Anteckna avläsningarna i en tabell.
! lösa ekvationssystem med grafisk metod ! lösa ekvationssystem med algebraisk metod ! lösa problem med hjälp av ekvationssystem
Tid (s) Höjd (cm) 0 30 60 90 120 150 180
! Rita två koordinataxlar med höjden på y-axeln och tiden på x-axeln. Markera ljusets höjd vid de olika tidpunkterna som punkter i koordinatsystemet. ! Anpassa en linje till punkterna och avgör hur lång tid det tar för ljuset att brinna ner. Inledande aktivitet De inledande aktiviteterna ger eleverna inblick i vad kapitlet kommer att handla om. Aktiviteterna är utmärkta verktyg för att undersöka elevernas förkunskaper.
70
71
1.1 Uttryck, formler och
Exempel: Förenkla uttrycken så långt som möjligt.
ekvationer
a) 3x + 8y + 5 + 4x – 5y – 2 b) 5(x + 4) – 2(x – 3)
I den här kursen kommer vi ofta att använda oss av algebra. Algebraiska uttryck och formler har du nytta av i matematiken, men också i yrkeslivet. Med hjälp av formler kan t.ex. en elektriker räkna ut spänningen i en krets, en egenföretagare effektivisera sina beräkningar i ett kalkylblad och en sjuksköterska beräkna mängden medicin till en patient. I det här avsnittet repeterar vi några av algebrans grunder från kurs 1a.
c) 7ab + (5a + b) – (12a – 5b + 2ab)
Lösning: a) 3x + 8y + 5 + 4x – 5y – 2 = 7x + 3y + 3 Termer av samma sort har samma färg
Algebraiska uttryck Numeriskt uttryck
Teori och exempel
Alex köper 3 läsk för 8 kr/st, 4 hg cashewnötter för 17,70 kr/hg och en påse för 2 kronor. Det totala priset kan beräknas med uttrycket 3 · 8 + 4 · 17,70 + 2.
b) 5(x + 4) – 2(x – 3) = = 5 · x + 5 · 4 – 2 · x – 2 · (–3) = = 5x + 20 – 2x + 6 = 3x + 26
Multiplicera in i parenteserna
c) 7ab + (5a + b) – (12a – 5b + 2ab) =
Det är ett plustecken framför den första parentesen. Parentesen kan tas bort utan att ändra tecken.
= 7ab + 5a + b – (12a – 5b + 2ab) =
Uttrycket innehåller bara siffertermer. Sådana uttryck kallas numeriska uttryck.
Exempel: Hanna är x år gammal. Hur ska vi tolka att c) Jamie är 2x – 3 år
Starter Lösning: a) Andreas är 32 år yngre äninleds Hanna. Uppgifterna med en Starter. Det är ofta en uppgift av
8x + 17,70y + 2
b) Daniela är hälften såkaraktär gammal som Hanna. öppen som bjuder in till Här är x och y variabler
olika svar. Inte så när som på tre år. c) Jamie är dubbelt sålösningar gammaloch som Hanna, sällan är uppgiften konstruerad för att ge möjlighet att diskutera vanliga missuppfattningar.
Konstantterm
Vi repeterar hur man tolkar och förenklar algebraiska uttryck i några exempel.
NIVÅ 1
Starter För vilka värden på x och y har alla fyra uttrycken samma värde?
algebra & '.' uttryck, formler och ekvationer
x b) Daniela är __ år 2
a) Andreas är x – 32 år
Koefficienter
8
Det är ett minustecken framför parentesen. Tecknen i parentesen ändras när parentesen tas bort.
= 7ab + 5a + b – 12a + 5b – 2ab = = 5ab – 7a + 6b
Att Algebraiskt veta vad matematiken uttryck används Om Alex köper x stycken läsk, y hg cashewnötter och en påse, kan det till skapar motivation. I både teori sammanlagda priset för varorna beskrivas med det algebraiska uttrycket och exempel ger vi exempel på matematikens relevans. Teori- 8x + 17,70y + 2. genomgångarna är skrivna för att Variabel, konstantterm I det algebraiska uttrycket kan antalet läsk x och mängden nötter y hg vara lättaoch att följa, utan att för den koefficient variera. Bokstäverna x och y kallas därför för variabler. Faktorerna 8 och skull väja för det som är svårt. 17,70 framför variablerna kallas för koefficienter. Kostnaden för påsen är Exemplen är rikligt kommenterade och har utförliga förklaringar. alltid 2 kr. Därför är talet 2 i uttrycket en konstantterm.
Variabeltermer
Lägg ihop termer av samma sort
1101 Robert är x år. Hur ska man tolka att a) Gusten är x + 7 år
A 3x + y + 2
C 3x + 5
b) Raisa är 3x år
B 4y – x + 1
D 2y + 5
c) Mia är x – 5 år
algebra & '.' uttryck, formler och ekvationer
9
1.1 Uttryck, formler och
Exempel: Förenkla uttrycken så långt som möjligt.
ekvationer
a) 3x + 8y + 5 + 4x – 5y – 2 b) 5(x + 4) – 2(x – 3)
I den här kursen kommer vi ofta att använda oss av algebra. Algebraiska uttryck och formler har du nytta av i matematiken, men också i yrkeslivet. Med hjälp av formler kan t.ex. en elektriker räkna ut spänningen i en krets, en egenföretagare effektivisera sina beräkningar i ett kalkylblad och en sjuksköterska beräkna mängden medicin till en patient. I det här avsnittet repeterar vi några av algebrans grunder från kurs 1a.
c) 7ab + (5a + b) – (12a – 5b + 2ab)
Lösning: a) 3x + 8y + 5 + 4x – 5y – 2 = 7x + 3y + 3 Termer av samma sort har samma färg
Algebraiska uttryck Numeriskt uttryck
Teori och exempel
Alex köper 3 läsk för 8 kr/st, 4 hg cashewnötter för 17,70 kr/hg och en påse för 2 kronor. Det totala priset kan beräknas med uttrycket 3 · 8 + 4 · 17,70 + 2.
b) 5(x + 4) – 2(x – 3) = = 5 · x + 5 · 4 – 2 · x – 2 · (–3) = = 5x + 20 – 2x + 6 = 3x + 26
Multiplicera in i parenteserna
c) 7ab + (5a + b) – (12a – 5b + 2ab) =
Det är ett plustecken framför den första parentesen. Parentesen kan tas bort utan att ändra tecken.
= 7ab + 5a + b – (12a – 5b + 2ab) =
Uttrycket innehåller bara siffertermer. Sådana uttryck kallas numeriska uttryck.
Exempel: Hanna är x år gammal. Hur ska vi tolka att c) Jamie är 2x – 3 år
Starter Lösning: a) Andreas är 32 år yngre äninleds Hanna. Uppgifterna med en Starter. Det är ofta en uppgift av
8x + 17,70y + 2
b) Daniela är hälften såkaraktär gammal som Hanna. öppen som bjuder in till Här är x och y variabler
olika svar. Inte så när som på tre år. c) Jamie är dubbelt sålösningar gammaloch som Hanna, sällan är uppgiften konstruerad för att ge möjlighet att diskutera vanliga missuppfattningar.
Konstantterm
Vi repeterar hur man tolkar och förenklar algebraiska uttryck i några exempel.
NIVÅ 1
Starter För vilka värden på x och y har alla fyra uttrycken samma värde?
algebra # '.' uttryck, formler och ekvationer
x b) Daniela är __ år 2
a) Andreas är x – 32 år
Koefficienter
8
Det är ett minustecken framför parentesen. Tecknen i parentesen ändras när parentesen tas bort.
= 7ab + 5a + b – 12a + 5b – 2ab = = 5ab – 7a + 6b
Att Algebraiskt veta vad matematiken uttryck används Om Alex köper x stycken läsk, y hg cashewnötter och en påse, kan det till skapar motivation. I både teori sammanlagda priset för varorna beskrivas med det algebraiska uttrycket och exempel ger vi exempel på matematikens relevans. Teori- 8x + 17,70y + 2. genomgångarna är skrivna för att Variabel, konstantterm I det algebraiska uttrycket kan antalet läsk x och mängden nötter y hg vara lättaoch att följa, utan att för den koefficient variera. Bokstäverna x och y kallas därför för variabler. Faktorerna 8 och skull väja för det som är svårt. 17,70 framför variablerna kallas för koefficienter. Kostnaden för påsen är Exemplen är rikligt kommenterade och har utförliga förklaringar. alltid 2 kr. Därför är talet 2 i uttrycket en konstantterm.
Variabeltermer
Lägg ihop termer av samma sort
1101 Robert är x år. Hur ska man tolka att a) Gusten är x + 7 år
A 3x + y + 2
C 3x + 5
b) Raisa är 3x år
B 4y – x + 1
D 2y + 5
c) Mia är x – 5 år
algebra # '.' uttryck, formler och ekvationer
9
3132 Grafen visar kostnaden att hyra en bil som funktion av antalet körda kilometer. kr 800
Hyreskostnad
600 400 200 Sträcka 20
40
60
80
100
km
a) Varför utgår inte grafen från origo?
Uppgifter på tre nivåer
b) med Bestäm definitions- och värdemängd. Till varje avsnitt finns rikligt uppgifter, både för den elev c)som Skriv ett funktionsuttryck som beskriver behöver enkla ingångar och för kostnaden att hyra bil som funktion av den elev som behöver körsträckan. utmaningar.
3129 I en annons kan man läsa:
3133 Ett test av bildäck i farter från och med 30 km/h till och med 70 km/h visar att bromssträckan på torrt underlag kan beskrivas som en funktion av farten. I funktionen är f(x) = 0,012x2 bromssträckan i meter och x farten i km/h.
LÖSVIKTSGODIS 3,90 kr/hg Max 1 kg/kund
a) Skriv ett funktionsuttryck som visar hur kostnaden beror av mängden lösgodis man köper. b) Vilken definitionsmängd och värdemängd har funktionen?
3230 Isa är simhoppare och hoppar rakt ut från höjden 5 meter. Efter 1,6 sekunder slår hon i vattnet. Hennes höjd över vattnet är en funktion av tiden. Bestäm funktionens definitionsmängd och värdemängd.
a) Ange funktionens definitionsmängd. b) Ange funktionens värdemängd.
71nn 3135 Du tar ut några isbitar ur frysen och lägger
3138 Adrianna formar cirklar av silvertrådar för att skapa ett smycke. dem i ett tomt glas. Du glömmer bort glaset med isbitar och hittar det fyra a) Skriv ett funktionsuttryck som visar hur timmar senare. Ange definitionsmängd och Förstoringsglas cirklarnas diameter beror av trådens värdemängd för den funktion som Uppgifter märkta med förstoringslängd l. beskriver hur isens temperatur beror glasavär uppgifter där eleverna själva b) Ange tiden. får ta reda på eller uppskatta den funktionens definitionsmängd information som saknas. och värdemängd om trådarna är Uppgifterna övar modellerings5 – 20 cm långa. 3136 En cylindrisk regnvattentunna har förmågan en och lämpar sig för bottenarea som är 0,30 m2. helklassarbete, eftersom olika 3139 För funktionen som beskrivs av f(x) = x2 3 a) Skriv vattenvolymen, V m , somantaganden leder till olika svar. är definitionsmängden alla värden på x. funktion av hur högt vattnet står i Vilken är funktionens värdemängd? tunnan, x m. NIVÅ 3
b) Tunnan rymmer maximalt 0,36 m3. Ange funktionens definitions- och värdemängd.
71nn 3140 Rita grafen till en funktion f med
71nn 3137 Ett badkar är fyllt med vatten. Alf rycker ur proppen och vattnet börjar rinna ut med jämn hastighet. a) Ställ upp ett funktionsuttryck som beskriver mängden vatten i badkaret som en funktion av tiden. b) Ange funktionens värdemängd och definitionsmängd.
definitionsmängden 3 < x < 8 och värdemängden –2 ≤ f(x) ≤ 10 .
3141 I en triangel är vinklarna angivna. y x
35°
a) Skriv y som en funktion av x. b) Ange funktionens värdemängd. (Np Ma1b vt 2012)
NIVÅ 2 3134 Figuren visar grafen till två funktioner.
71nn 3131 Temperaturen på din hemort varierar under en sommardag. a) Rita grafen till en funktion som visar hur temperaturen beror av tiden. Funktionens definitionsmängd ska vara 0 till 24 timmar.
Ange funktionernas definitionsmängd och värdemängd. y y = f(x)
y = g(x) 1
x 1
b) Vilken värdemängd har funktionen?
136
funktioner & 4.' linjära funktioner och expinentialfunktioner
funktioner & 4.' linjära funktioner och expinentialfunktioner
137
3132 Grafen visar kostnaden att hyra en bil som funktion av antalet körda kilometer. kr 800
Hyreskostnad
600 400 200 Sträcka 20
40
60
80
100
km
a) Varför utgår inte grafen från origo?
Uppgifter på tre nivåer
b) med Bestäm definitions- och värdemängd. Till varje avsnitt finns rikligt uppgifter, både för den elev c)som Skriv ett funktionsuttryck som beskriver behöver enkla ingångar och för kostnaden att hyra bil som funktion av den elev som behöver körsträckan. utmaningar.
3129 I en annons kan man läsa:
3133 Ett test av bildäck i farter från och med 30 km/h till och med 70 km/h visar att bromssträckan på torrt underlag kan beskrivas som en funktion av farten. I funktionen är f(x) = 0,012x2 bromssträckan i meter och x farten i km/h.
LÖSVIKTSGODIS 3,90 kr/hg Max 1 kg/kund
a) Skriv ett funktionsuttryck som visar hur kostnaden beror av mängden lösgodis man köper. b) Vilken definitionsmängd och värdemängd har funktionen?
3230 Isa är simhoppare och hoppar rakt ut från höjden 5 meter. Efter 1,6 sekunder slår hon i vattnet. Hennes höjd över vattnet är en funktion av tiden. Bestäm funktionens definitionsmängd och värdemängd.
a) Ange funktionens definitionsmängd. b) Ange funktionens värdemängd.
71nn 3135 Du tar ut några isbitar ur frysen och lägger
3138 Adrianna formar cirklar av silvertrådar för att skapa ett smycke. dem i ett tomt glas. Du glömmer bort glaset med isbitar och hittar det fyra a) Skriv ett funktionsuttryck som visar hur timmar senare. Ange definitionsmängd och Förstoringsglas cirklarnas diameter beror av trådens värdemängd för den funktion som Uppgifter märkta med förstoringslängd l. beskriver hur isens temperatur beror glasavär uppgifter där eleverna själva b) Ange tiden. får ta reda på eller uppskatta den funktionens definitionsmängd information som saknas. och värdemängd om trådarna är Uppgifterna övar modellerings5 – 20 cm långa. 3136 En cylindrisk regnvattentunna har förmågan en och lämpar sig för bottenarea som är 0,30 m2. helklassarbete, eftersom olika 3139 För funktionen som beskrivs av f(x) = x2 3 a) Skriv vattenvolymen, V m , somantaganden leder till olika svar. är definitionsmängden alla värden på x. funktion av hur högt vattnet står i Vilken är funktionens värdemängd? tunnan, x m. NIVÅ 3
b) Tunnan rymmer maximalt 0,36 m3. Ange funktionens definitions- och värdemängd.
71nn 3140 Rita grafen till en funktion f med
71nn 3137 Ett badkar är fyllt med vatten. Alf rycker ur proppen och vattnet börjar rinna ut med jämn hastighet. a) Ställ upp ett funktionsuttryck som beskriver mängden vatten i badkaret som en funktion av tiden. b) Ange funktionens värdemängd och definitionsmängd.
definitionsmängden 3 < x < 8 och värdemängden –2 ≤ f(x) ≤ 10 .
3141 I en triangel är vinklarna angivna. y x
35°
a) Skriv y som en funktion av x. b) Ange funktionens värdemängd. (Np Ma1b vt 2012)
NIVÅ 2 3134 Figuren visar grafen till två funktioner.
71nn 3131 Temperaturen på din hemort varierar under en sommardag. a) Rita grafen till en funktion som visar hur temperaturen beror av tiden. Funktionens definitionsmängd ska vara 0 till 24 timmar.
Ange funktionernas definitionsmängd och värdemängd. y y = f(x)
y = g(x) 1
x 1
b) Vilken värdemängd har funktionen?
136
funktioner + *.+ linjära funktioner och expinentialfunktioner
funktioner + *.+ linjära funktioner och expinentialfunktioner
137
Exempel: Ett UF-företag säljer handkräm i små burkar. De har en uppstartskostnad på 2 500 kr och därefter en rörlig kostnad med 10 kr per burk. De säljer burkarna för 75 kr per styck. Hur många burkar behöver de sälja för att gå med vinst?
Lösning: Vi tecknar ekvationer som beskriver företagets kostnader och
Rader namnges med siffror.
Nya ämnesplaner
inkomster. Kostnader: y = 2 500 + 10x
2303 Lös ekvationssystemen grafiskt, utan att
Starter
använda digitala verktyg.
Ge exempel på ett ekvationssystem som har lösningen ⎧ x=1 ⎨ ⎩ y=3
2304 Förklara varför ekvationssystemet saknar lösning. ⎧ y = –5x + 13 ⎨ ⎩ y = –5x – 13
NIVÅ 1 2301 Lös ekvationssystemet med hjälp av figuren.
x är antalet sålda burkar
I den nya ämnesplanen i Inkomster: y = 75x Matematik 2a, finns ett tydligare fokus på digitala Företaget börjar gå med vinst från och med att intäkterna är lika stora verktyg. Matematik Origo 2asom kostnaderna, break even. Vi hittar break even genom att är utvecklad i enlighet med bestämma skärningspunkten mellan linjen som beskriver intäkterna den nya ämnesplanen.
5 4 3 2 1
är en lösning till ekvationssystemet y
a) ⎧ y = –3x + 1 ⎨ y = 2x – 4 ⎩ x
–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2
1 2 3 4 5
–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2
Vi ser att linjerna skär varandra i punkten (38,46; 2 884,62). Det betyder att när företaget har sålt 39 burkar (fler än 38,46) kommer inkomsterna att vara större än utgifterna. Svar: Företaget behöver sälja minst 39 burkar för att börja gå med vinst.
b) ⎧ 5x – 7y = 19 ⎨ ⎩ x+y=1
2306 Lös ekvationssystemen grafiskt med hjälp av ett digitalt verktyg. a) ⎧ y = –2x – 1 ⎨ ⎩ y=x–4 b) ⎧ y = 64 000 – 2 000x ⎨ ⎩ y = 500x
b) ⎧ y = –5x + 5 ⎨ ⎩ y = –0,5x + 0,5 5 4 3 2 1
2305 Undersök om ⎧ x = 1
⎨ y = –2 ⎩
a) ⎧ y = 2x + 5 ⎨ ⎩ y = –2x +1
och linjen som beskriver kostnaderna.
Vi ritar linjerna med GeoGebra. Därefter väljer vi kommandot Skärning mellan objekt och klickar i tur och ordning på graferna.
b) ⎧ y = x – 4 ⎨ ⎩ y = 5x + 4
a) ⎧ y = x + 1 ⎨ ⎩ y = 3x – 5
y
71nn I figuren är linjen y = –x + 3 ritad. Det är 2307
x 1 2 3 4 5
den ena av ekvationerna i ett ekvationssystem. Ge förslag på en ekvation så att koordinaterna till punkten P är en lösning till ekvationssystemet. y
2302 Ett ekvationssystem skrivs ⎧ y = 2x ⎨ y = –x + 3 ⎩
P y = –x + 3 1
x 1
a) Rita de linjer som ekvationerna beskriver. b) Läs av skärningspunkten. c) Ange ekvationssystemets lösning.
104
räta linjer och ekvationssystem & :.4 ekvationssystem
räta linjer och ekvationssystem & :.4 ekvationssystem
105
Exempel: Ett UF-företag säljer handkräm i små burkar. De har en uppstartskostnad på 2 500 kr och därefter en rörlig kostnad med 10 kr per burk. De säljer burkarna för 75 kr per styck. Hur många burkar behöver de sälja för att gå med vinst?
Lösning: Vi tecknar ekvationer som beskriver företagets kostnader och
Rader namnges med siffror.
Nya ämnesplaner
inkomster. Kostnader: y = 2 500 + 10x
2303 Lös ekvationssystemen grafiskt, utan att
Starter
använda digitala verktyg.
Ge exempel på ett ekvationssystem som har lösningen ⎧ x=1 ⎨ ⎩ y=3
2304 Förklara varför ekvationssystemet saknar lösning. ⎧ y = –5x + 13 ⎨ ⎩ y = –5x – 13
NIVÅ 1 2301 Lös ekvationssystemet med hjälp av figuren.
x är antalet sålda burkar
I den nya ämnesplanen i Inkomster: y = 75x Matematik 2a, finns ett tydligare fokus på digitala Företaget börjar gå med vinst från och med att intäkterna är lika stora verktyg. Matematik Origo 2asom kostnaderna, break even. Vi hittar break even genom att är utvecklad i enlighet med bestämma skärningspunkten mellan linjen som beskriver intäkterna den nya ämnesplanen.
5 4 3 2 1
är en lösning till ekvationssystemet y
a) ⎧ y = –3x + 1 ⎨ y = 2x – 4 ⎩ x
–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2
1 2 3 4 5
–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2
Vi ser att linjerna skär varandra i punkten (38,46; 2 884,62). Det betyder att när företaget har sålt 39 burkar (fler än 38,46) kommer inkomsterna att vara större än utgifterna. Svar: Företaget behöver sälja minst 39 burkar för att börja gå med vinst.
b) ⎧ 5x – 7y = 19 ⎨ ⎩ x+y=1
2306 Lös ekvationssystemen grafiskt med hjälp av ett digitalt verktyg. a) ⎧ y = –2x – 1 ⎨ ⎩ y=x–4 b) ⎧ y = 64 000 – 2 000x ⎨ ⎩ y = 500x
b) ⎧ y = –5x + 5 ⎨ ⎩ y = –0,5x + 0,5 5 4 3 2 1
2305 Undersök om ⎧ x = 1
⎨ y = –2 ⎩
a) ⎧ y = 2x + 5 ⎨ ⎩ y = –2x +1
och linjen som beskriver kostnaderna.
Vi ritar linjerna med GeoGebra. Därefter väljer vi kommandot Skärning mellan objekt och klickar i tur och ordning på graferna.
b) ⎧ y = x – 4 ⎨ ⎩ y = 5x + 4
a) ⎧ y = x + 1 ⎨ ⎩ y = 3x – 5
y
71nn I figuren är linjen y = –x + 3 ritad. Det är 2307
x 1 2 3 4 5
den ena av ekvationerna i ett ekvationssystem. Ge förslag på en ekvation så att koordinaterna till punkten P är en lösning till ekvationssystemet. y
2302 Ett ekvationssystem skrivs ⎧ y = 2x ⎨ y = –x + 3 ⎩
P y = –x + 3 1
x 1
a) Rita de linjer som ekvationerna beskriver. b) Läs av skärningspunkten. c) Ange ekvationssystemets lösning.
104
räta linjer och ekvationssystem ) 2.3 ekvationssystem
räta linjer och ekvationssystem ) 2.3 ekvationssystem
105
fördjupning
följden här nedanför. Vilken är nästa figur i följden?
Symmetrier i koordinatsystem
4217 Vilka koordinater får punkten (2, 3) om den
Med hjälp av begreppen spegelsymmetri, rotationssymmetri och translationssymmetri kan man beskriva grafer i koordinatsystem.
a) först speglas i x-axeln därefter i y-axeln b) roteras 180° runt origo
Spegelsymmetri
NIVÅ 3
4214 Beskriv mönstrets symmetri.
Grafen till en andragradsfunktion är spegelsymmetrisk eftersom den har en symmetrilinje som går genom extrempunkten. y y = x2 + 2x – 3
4218 Rita av figuren och komplettera den så att 1
den blir rotationssymmetrisk med vinkeln 90°, men att den ändå inte blir spegelsymmetrisk.
1
Rotationssymmetri
4215 Hur många grader ska man minst rotera figurerna för att de ska se likadana ut som från början? a)
b)
c)
4219 Rita av koordinatsystemet. Rita sedan
Potensfunktionen y = x3 är rotationssymmetrisk eftersom vi får samma graf om vi roterar den 180° runt origo.
figuren när den
y
a) har roterats runt origo 90° medurs
en regelbunden n-hörning för att den ska se likadan ut som från början?
y
y = x3
b) först speglats i x-axeln, därefter roterats runt origo 90° moturs
1
1 180°
x
y
4216 Hur många grader måste man minst rotera
x
1
Vi får samma graf om vi roterar varje punkt på grafen 180° kring origo
x 1
x
Translationssymmetri
Vi kan förskjuta grafen till y = x3 i höjdled genom att addera en konstantterm. Då skapar vi ett translationssymmetriskt mönster. y y = x3 + 1 y = x3 – 1
1
x 1
y = x3
212
geometri & ;.: symmetri
Fördjupning En del avsnitt har vi valt att markera som fördjupning. Det ger dig som lärare möjlighet att anpassa innehållet efter din elevgrupp och efter de karaktärsämnen som eleverna läser.
geometri & ;.: symmetri
213
fördjupning
4213 Det finns ett samband mellan figurerna i
fördjupning
följden här nedanför. Vilken är nästa figur i följden?
Symmetrier i koordinatsystem
4217 Vilka koordinater får punkten (2, 3) om den
Med hjälp av begreppen spegelsymmetri, rotationssymmetri och translationssymmetri kan man beskriva grafer i koordinatsystem.
a) först speglas i x-axeln därefter i y-axeln b) roteras 180° runt origo
Spegelsymmetri
NIVÅ 3
4214 Beskriv mönstrets symmetri.
Grafen till en andragradsfunktion är spegelsymmetrisk eftersom den har en symmetrilinje som går genom extrempunkten. y y = x2 + 2x – 3
4218 Rita av figuren och komplettera den så att 1
den blir rotationssymmetrisk med vinkeln 90°, men att den ändå inte blir spegelsymmetrisk.
1
Rotationssymmetri
4215 Hur många grader ska man minst rotera figurerna för att de ska se likadana ut som från början? a)
b)
c)
4219 Rita av koordinatsystemet. Rita sedan
Potensfunktionen y = x3 är rotationssymmetrisk eftersom vi får samma graf om vi roterar den 180° runt origo.
figuren när den
y
a) har roterats runt origo 90° medurs
en regelbunden n-hörning för att den ska se likadan ut som från början?
y
y = x3
b) först speglats i x-axeln, därefter roterats runt origo 90° moturs
1
1 180°
x
y
4216 Hur många grader måste man minst rotera
x
1
Vi får samma graf om vi roterar varje punkt på grafen 180° kring origo
x 1
x
Translationssymmetri
Vi kan förskjuta grafen till y = x3 i höjdled genom att addera en konstantterm. Då skapar vi ett translationssymmetriskt mönster. y y = x3 + 1 y = x3 – 1
1
x 1
y = x3
212
geometri * (.) symmetri
Fördjupning En del avsnitt har vi valt att markera som fördjupning. Det ger dig som lärare möjlighet att anpassa innehållet efter din elevgrupp och efter de karaktärsämnen som eleverna läser.
geometri * (.) symmetri
213
fördjupning
4213 Det finns ett samband mellan figurerna i
ekvationssystem som
Reklam till rätt pris
⎧ y = –3x + 1 ⎨ ⎩ 2y = 6x – 4
a) har oändligt många lösningar
Marknadsföring
b) saknar lösning
Många företag satsar stora summor pengar på marknadsföring. För att veta att man gör rätt satsningar är det viktigt att se vilka resultat marknadsföringen ger i försäljningen. Därför samlar företagen in statistik om sina marknadsföringskostnader och sin försäljning, och använder matematik för att analysera den.
(Np Ma2a vt 2015)
Kommunikationsuppgifter Abborre 0,6 kg Gös med 5,4 kg Varje delkapitel avslutas Resonemang och begrepp. Det är Samtliga 3,6 kg uppgifter som prövar elevernas begreppsförståelse och inbjuder Beräkna antalet abborrar och gösar i eleverna att samtala matematik. fångsten.
Resonemang och begrepp Fundera och förklara
Sant eller falskt
0 Vad innebär det att lösa ett
Avgör om påståendena är sanna eller falska. 1 Ekvationen y = 4x – 10 har oändligt många lösningar. ⎧ y = 5 – 4x 1 Ekvationssystemet ⎨ ⎩ y = 5x – 4 saknar lösning.
ekvationssystem? 0 Förklara hur man använder
substitutionsmetoden. 0 Vad innebär det att ett ekvationssystem
inte har någon lösning? 0 Är en algebraisk metod bättre än en
grafisk när man löser ekvationssystem? 114
räta linjer och ekvationssystem & :.4 ekvationssytem
1 Det finns ekvationssystem som bara kan
lösas med additionsmetoden.
? I texten ges ekvationen till en rät linje. a) Tolka vad värdet av riktningskoefficienten k betyder i sammanhanget. b) Använd ekvationen och uppskatta marknadsföringskostnaderna för att öka intäkterna till 2 000 000 kr. ? Tänk dig att företaget fortsätter att satsa mer på marknadsföring. Hur tror du att diagrammet i texten skulle komma att se ut? Finns det begränsningar i den linjära modellen?
0
00
0
10
0
00
00
Medelvikt
0
⎧ (x + 4)(y – 2) = (x – 5)(y + 4) ⎨ ⎩ 6y – x – 6 = 2x – y – 2
dagsfångst av 72 fiskar.
0
metod.
2351 Tabellen visar medelvikten hos en
00
det ena talet och adderar hälften av det 1 andra talet får man __ . Vilka är talen? 4
0
2347 Summan av två tal är 2. Om man dubblar
50
⎧ y + 3x = 9 ⎨ ⎩ 3x + y = 8
Ett företag satsade under fem månader successivt allt mer på marknadsföring. Samtidigt noterade de månadernas intäkter. Spridningsdiagrammet visar resultatet. Kostnad, x Om du studerar markeringarna, ser kr du att det verkar som om mer pengar Samhälle och yrkesliv till marknadsföring också ledde till I avsnittet Samhälle och yrkesökade intäkter. Det ser faktiskt ut som liv sätter vi matematiken i ett historiskt eller samhälleligt om sambandet mellan marknadskr Intäkt, y 1 400 000och lyfter fram föringskostnader och intäkter är nästan sammanhang hur den används 1 200 000 i yrkeslivet. linjärt. För att beskriva sambandet 1 000 000 matematiskt kan företaget med hjälp av 800 000 600 000 digitala hjälpmedel anpassa en rät linje 400 000 till punkterna och bestämma den räta 200 000 Kostnad, x linjens ekvation. Man säger att man gör kr en linjär regression. Ekvationen y = 3,16x + 763 600 är en linjär modell som visar hur intäkterna y kr ökar i takt med marknadsföringskostnaderna x kr. Med den matematiska modellen kan företaget t.ex. uppskatta hur stora marknadsföringssatsningar man skulle behöva göra för att öka intäkterna till 2 000 000 kr. 0
rågmjöl och 5 dl vetemjöl. Till en vetelimpa behövs 2 dl rågmjöl och 10 dl vetemjöl. Det finns totalt 9,9 kg rågmjöl och 24 kg vetemjöl kvar. Hur många av bröd av varje sort kan man baka?
2346 Lös ekvationssystemet.
Intäkt, y
00
71nn 2350 Till ett klassiskt bondbröd behövs 7 dl
kr 1 400 000 1 200 000 1 000 000 800 000 600 000 400 000 200 000
10 0
NIVÅ 2
2348 Lös ekvationssystemet med algebraisk
En linjär modell
NIVÅ 3
b) Lös ekvationssystemet på valfritt sätt.
0
5y = 10x + 20 –y = 4 – 2x y = 2x + 4 y + 2x = 4
a) Förklara hur de tre eleverna kan ha tänkt.
15
c) har en lösning
00
Sagal vill multiplicera ekvation (1) med –2. Tiamo vill dividera ekvation (2) med 2. Matteo vill göra på ett tredje sätt.
50
(1) (2)
15 0
2349 Välj två ekvationer i rutan och bilda ett
samhälle och yrekesliv
ekvationssystemet
71nn 2345 Sagal, Tiamo och Matteo ska lösa
En nypa salt Men precis som med alla matematiska modeller, måste man vara försiktig när man tolkar dem. Kan det finnas andra faktorer än marknadsföring som har gjort att försäljningen har ökat? Kanske har produkten förbättrats? Om man är medveten om modellens begränsningar, är den ett effektivt verktyg för att utvärdera företagets marknadsföringsinsatser och fatta kloka beslut framåt. räta linjer och ekvationssystem & samhälle och yrkesliv
115
ekvationssystem som
Reklam till rätt pris
⎧ y = –3x + 1 ⎨ ⎩ 2y = 6x – 4
a) har oändligt många lösningar
Marknadsföring
b) saknar lösning
Många företag satsar stora summor pengar på marknadsföring. För att veta att man gör rätt satsningar är det viktigt att se vilka resultat marknadsföringen ger i försäljningen. Därför samlar företagen in statistik om sina marknadsföringskostnader och sin försäljning, och använder matematik för att analysera den.
(Np Ma2a vt 2015)
Kommunikationsuppgifter Abborre 0,6 kg Gös med 5,4 kg Varje delkapitel avslutas Resonemang och begrepp. Det är Samtliga 3,6 kg uppgifter som prövar elevernas begreppsförståelse och inbjuder Beräkna antalet abborrar och gösar i eleverna att samtala matematik. fångsten.
Resonemang och begrepp Fundera och förklara
Sant eller falskt
& Vad innebär det att lösa ett
Avgör om påståendena är sanna eller falska. ' Ekvationen y = 4x – 10 har oändligt många lösningar. ⎧ y = 5 – 4x ' Ekvationssystemet ⎨ ⎩ y = 5x – 4 saknar lösning.
ekvationssystem? & Förklara hur man använder
substitutionsmetoden. & Vad innebär det att ett ekvationssystem
inte har någon lösning? & Är en algebraisk metod bättre än en
grafisk när man löser ekvationssystem? 114
räta linjer och ekvationssystem + 2.3 ekvationssytem
' Det finns ekvationssystem som bara kan
lösas med additionsmetoden.
? I texten ges ekvationen till en rät linje. a) Tolka vad värdet av riktningskoefficienten k betyder i sammanhanget. b) Använd ekvationen och uppskatta marknadsföringskostnaderna för att öka intäkterna till 2 000 000 kr. ? Tänk dig att företaget fortsätter att satsa mer på marknadsföring. Hur tror du att diagrammet i texten skulle komma att se ut? Finns det begränsningar i den linjära modellen?
0
00
0
10
0
00
00
Medelvikt
0
⎧ (x + 4)(y – 2) = (x – 5)(y + 4) ⎨ ⎩ 6y – x – 6 = 2x – y – 2
dagsfångst av 72 fiskar.
0
metod.
2351 Tabellen visar medelvikten hos en
00
det ena talet och adderar hälften av det 1 andra talet får man __ . Vilka är talen? 4
0
2347 Summan av två tal är 2. Om man dubblar
50
⎧ y + 3x = 9 ⎨ ⎩ 3x + y = 8
Ett företag satsade under fem månader successivt allt mer på marknadsföring. Samtidigt noterade de månadernas intäkter. Spridningsdiagrammet visar resultatet. Kostnad, x Om du studerar markeringarna, ser kr du att det verkar som om mer pengar Samhälle och yrkesliv till marknadsföring också ledde till I avsnittet Samhälle och yrkesökade intäkter. Det ser faktiskt ut som liv sätter vi matematiken i ett historiskt eller samhälleligt om sambandet mellan marknadskr Intäkt, y 1 400 000och lyfter fram föringskostnader och intäkter är nästan sammanhang hur den används 1 200 000 i yrkeslivet. linjärt. För att beskriva sambandet 1 000 000 matematiskt kan företaget med hjälp av 800 000 600 000 digitala hjälpmedel anpassa en rät linje 400 000 till punkterna och bestämma den räta 200 000 Kostnad, x linjens ekvation. Man säger att man gör kr en linjär regression. Ekvationen y = 3,16x + 763 600 är en linjär modell som visar hur intäkterna y kr ökar i takt med marknadsföringskostnaderna x kr. Med den matematiska modellen kan företaget t.ex. uppskatta hur stora marknadsföringssatsningar man skulle behöva göra för att öka intäkterna till 2 000 000 kr. 0
rågmjöl och 5 dl vetemjöl. Till en vetelimpa behövs 2 dl rågmjöl och 10 dl vetemjöl. Det finns totalt 9,9 kg rågmjöl och 24 kg vetemjöl kvar. Hur många av bröd av varje sort kan man baka?
2346 Lös ekvationssystemet.
Intäkt, y
00
71nn 2350 Till ett klassiskt bondbröd behövs 7 dl
kr 1 400 000 1 200 000 1 000 000 800 000 600 000 400 000 200 000
10 0
NIVÅ 2
2348 Lös ekvationssystemet med algebraisk
En linjär modell
NIVÅ 3
b) Lös ekvationssystemet på valfritt sätt.
0
5y = 10x + 20 –y = 4 – 2x y = 2x + 4 y + 2x = 4
a) Förklara hur de tre eleverna kan ha tänkt.
15
c) har en lösning
00
Sagal vill multiplicera ekvation (1) med –2. Tiamo vill dividera ekvation (2) med 2. Matteo vill göra på ett tredje sätt.
50
(1) (2)
15 0
2349 Välj två ekvationer i rutan och bilda ett
samhälle och yrekesliv
ekvationssystemet
71nn 2345 Sagal, Tiamo och Matteo ska lösa
En nypa salt Men precis som med alla matematiska modeller, måste man vara försiktig när man tolkar dem. Kan det finnas andra faktorer än marknadsföring som har gjort att försäljningen har ökat? Kanske har produkten förbättrats? Om man är medveten om modellens begränsningar, är den ett effektivt verktyg för att utvärdera företagets marknadsföringsinsatser och fatta kloka beslut framåt. räta linjer och ekvationssystem + samhälle och yrkesliv
115
uppslaget
uppslaget
U
Uppslaget
Vem har rätt?
Problemlösning
Modellering
1 Lina, Amir och Joel diskuterar vilken av 1 När vi tidigare i kapitlet bevisade symbolerna ⇒ och ⇔ man kan sätta ut Pythagoras sats visade vi inte att den mellan påståendena: röda figuren i mitten verkligen har räta vinklar. Kan du bevisa det? Uppslaget Triangelns sidor är lika långa. b Alla vinklar i triangeln är lika stora. På Uppslaget finns uppgif-a – Rätt symbol är ⇒ , säger Lina.
ter som särskilt tränar b de c matematiska förmågorna.
– Nej, ⇒ kan du bara sätta ut om du byter plats på påståendena, säger Amir. – Ni har fel båda två, säger Joel. Rätt symbol är ⇔. Vem har rätt? triangel är höjden 2 – I en liksidig __ alltid √3 ∙ hälften av sidan, säger Noah. – Det måste jag pröva, säger Agnes. Hon ritar en liksidig triangel med sidan 2 dm och mäter höjden till 1,73 dm. Ja, det stämmer! säger hon. a) Kan Agnes vara säker på att Noahs påstående stämmer? Motivera ditt svar.
c
c
a
______________
Helene: |AB| = ____ √(2 + 3)2 + (5 + 6)2 = _______ = √52 + 112 = √146 l.e. ______________
400 m
2 Punkt A och B ligger så långt ifrån varandra som möjligt på både rätblocket och cylindern. Hur långt måste en myra som startar vid A krypa för att komma till B? B
4
B
(cm)
8 12 8 12
A
3 Ett tunt snöre är 24 m långt. Snöret kan formas till olika geometriska figurer.
a) Hela snöret formas till en liksidig triangel, se Figur 1. Bestäm triangelns area.
Har någon av dem gjort rätt? Motivera.
(Np Ma2b vt 2012)
__________
geometri & uppslaget
__
Gångväg
Stig genom skog Gångväg 900 m
2
Du ser ett par exempel på tesselering i figurerna här nedanför.
Skolan
George vill ta ner ett träd på tomten. För att veta ungefär var trädets topp kommer att hamna när trädet fälls, vill han uppskatta trädets höjd. Han tillverkar en enkel vinkelmätare av en gradskiva, ett sugrör, ett snöre och ett gem. Han stegar ut 20 steg från trädets stam och siktar med vinkelmätaren mot trädets topp. Han avläser vinkeln mellan det vågräta planet och hans siktlinje mot trädets topp till 35°. Ungefär hur högt är trädet? P
Figur 2
= √(–1)2 + (–1)2 = √2 l.e.
______________
Sanne: |AB| = √(2 – 3)2 + (5 – 6)2 =
246
Figur 1
b) Snöret delas sedan i två olika långa delar. Av varje del formas en kvadrat, se Figur 2. Undersök om det är möjligt att kvadraterna tillsammans får arean 17 m2.
Malin: |AB| = √(2 ___ + 3)2 – (5 – 6)2 = _________ = √(5)2 – (–1)2 = √26 l.e.
Innertaket på British Museum.
b
b) Bevisa Noahs påstående. 3 Helene, Malin och Sanne beräknar avståndet mellan två punkter, A = (2, 5) och B = (–3, 6).
Många mönster är uppbyggda av en eller ett fåtal former som tillsammans täcker en yta. Innertaket på British Museum består till exempel av trianglar. Detta kallas för tesselering.
Jennies hus
a
b
A
1 Klockan är 07.58 och Jennie skyndar sig till skolan som börjar 08.10. Hon kan välja mellan att ta gångvägen eller stigen genom den snåriga skogen. Hinner hon i tid?
a
c
Matematik i användning
Relevans
1 En enkel form av tesselering kan ske med regelbundna månghörningar. Vilka figurer bygger upp mönstret här nedanför? Vilka symmetrier finns i dessa figurer?
2 I mönstren här nedanför har man utgått regelbundna månghörningar som man sedan förvrängt en aning. Hur många olika figurer bygger upp mönstren? Vilka symmetrier finns i dessa figurer?
I Matematik i användning får eleverna se konkreta exempel på hur matematiken används i samhället.
3 Skapa ett eget mönster med hjälp av tesselering.
geometri & uppslaget
247
uppslaget
uppslaget
U
Uppslaget
Vem har rätt?
Problemlösning
Modellering
1 Lina, Amir och Joel diskuterar vilken av 1 När vi tidigare i kapitlet bevisade symbolerna ⇒ och ⇔ man kan sätta ut Pythagoras sats visade vi inte att den mellan påståendena: röda figuren i mitten verkligen har räta vinklar. Kan du bevisa det? Uppslaget Triangelns sidor är lika långa. b Alla vinklar i triangeln är lika stora. På Uppslaget finns uppgif-a – Rätt symbol är ⇒ , säger Lina.
ter som särskilt tränar b de c matematiska förmågorna.
– Nej, ⇒ kan du bara sätta ut om du byter plats på påståendena, säger Amir. – Ni har fel båda två, säger Joel. Rätt symbol är ⇔. Vem har rätt? triangel är höjden 2 – I en liksidig __ alltid √3 ∙ hälften av sidan, säger Noah. – Det måste jag pröva, säger Agnes. Hon ritar en liksidig triangel med sidan 2 dm och mäter höjden till 1,73 dm. Ja, det stämmer! säger hon. a) Kan Agnes vara säker på att Noahs påstående stämmer? Motivera ditt svar.
c
c
a
______________
Helene: |AB| = ____ √(2 + 3)2 + (5 + 6)2 = _______ = √52 + 112 = √146 l.e. ______________
400 m
2 Punkt A och B ligger så långt ifrån varandra som möjligt på både rätblocket och cylindern. Hur långt måste en myra som startar vid A krypa för att komma till B? B
4
B
(cm)
8 12 8 12
A
3 Ett tunt snöre är 24 m långt. Snöret kan formas till olika geometriska figurer.
a) Hela snöret formas till en liksidig triangel, se Figur 1. Bestäm triangelns area.
Har någon av dem gjort rätt? Motivera.
(Np Ma2b vt 2012)
__________
geometri $ uppslaget
__
Gångväg
Stig genom skog Gångväg 900 m
2
Du ser ett par exempel på tesselering i figurerna här nedanför.
Skolan
George vill ta ner ett träd på tomten. För att veta ungefär var trädets topp kommer att hamna när trädet fälls, vill han uppskatta trädets höjd. Han tillverkar en enkel vinkelmätare av en gradskiva, ett sugrör, ett snöre och ett gem. Han stegar ut 20 steg från trädets stam och siktar med vinkelmätaren mot trädets topp. Han avläser vinkeln mellan det vågräta planet och hans siktlinje mot trädets topp till 35°. Ungefär hur högt är trädet? P
Figur 2
= √(–1)2 + (–1)2 = √2 l.e.
______________
Sanne: |AB| = √(2 – 3)2 + (5 – 6)2 =
246
Figur 1
b) Snöret delas sedan i två olika långa delar. Av varje del formas en kvadrat, se Figur 2. Undersök om det är möjligt att kvadraterna tillsammans får arean 17 m2.
Malin: |AB| = √(2 ___ + 3)2 – (5 – 6)2 = _________ = √(5)2 – (–1)2 = √26 l.e.
Innertaket på British Museum.
b
b) Bevisa Noahs påstående. 3 Helene, Malin och Sanne beräknar avståndet mellan två punkter, A = (2, 5) och B = (–3, 6).
Många mönster är uppbyggda av en eller ett fåtal former som tillsammans täcker en yta. Innertaket på British Museum består till exempel av trianglar. Detta kallas för tesselering.
Jennies hus
a
b
A
1 Klockan är 07.58 och Jennie skyndar sig till skolan som börjar 08.10. Hon kan välja mellan att ta gångvägen eller stigen genom den snåriga skogen. Hinner hon i tid?
a
c
Matematik i användning
Relevans
1 En enkel form av tesselering kan ske med regelbundna månghörningar. Vilka figurer bygger upp mönstret här nedanför? Vilka symmetrier finns i dessa figurer?
2 I mönstren här nedanför har man utgått regelbundna månghörningar som man sedan förvrängt en aning. Hur många olika figurer bygger upp mönstren? Vilka symmetrier finns i dessa figurer?
I Matematik i användning får eleverna se konkreta exempel på hur matematiken används i samhället.
3 Skapa ett eget mönster med hjälp av tesselering.
geometri $ uppslaget
247
koll på kapitlet
självskattning
exempel
För att lösa andragradsekvationen 14x2 – 128x = 336 grafiskt ritar vi y = 14x2 – 128x och y = 336 i samma koordinatsystem. 1 000 (–2,1; 336)
använda potenslagarna
–10
(5x2)3 = 53 ∙ (x2)3 = 125 ∙ x2 ∙ 3 = 125x6
Vi använder (a · b)n = an · bn och (an)m = an · m
500
–5
( 100x ) 2
____
(11,3; 336) 5
10
lösa potensekvationer grafiskt och algebraiskt
Låt y = x2 – 6x + 8
Nollställen
x1 = 2 och x2 = 4
Symmetrilinjen
beskriva vad som utmärker en potensfunktion
Du kan också läsa av ______ symmetrilinjen som talet framför rottecknet i pq-formeln x = 3 ± √32 – 8
Extrempunkt
Känner mig ganska säker Är helt säker
2 000
y
1 000 x 1
1
Den oberoende variabeln x är bas i en potens y
y = x2
__
y = √x = x1/2x
1 y = x3
använda funktioner som matematiska modeller
2
En potensfunktion kan skrivas f(x) = C ∙ xa Grafen till en potensfunktion ser olika ut beroende på om exponenten är ett jämnt tal, ett udda tal eller ett bråktal.
Symmetrilinjen ligger mitt emellan nollställena. 2+4 xsymmetri = ____ = 3 2
Andragradsfunktionen har en minimipunkt eftersom koefficienten framför x2 är positiv (1). Eftersom minimipunkten ligger på symmetrilinjen är dess Sammanfattning x-koordinat x = 3. Vi beräknar y-koordinaten: 2 I Koll på kapitlet sammanfattar y = 3 – 6 ∙ 3 + 8 = –1 vi innehållet Minimipunktens koordinater är (3, –1).i kapitlet utifrån de lärandemål vi formulerade i inledningen. Till varje lärandemål finns både konkreta exempel och en självvärdering.
Lös ekvationen 1 000x4 = 1 500 x4 = 1,5 (x4)1/4 = ±1,51/4 x ≈ ±1,1 En potensekvation med jämn exponent har två lösningar.
x2 – 6x + 8 = 0
Kan inte Känner igen men behöver repetera
(x2)1/2 _____ x2 ∙ 1/2 ___ x = ______ = = 1/2 100 10 10
()
Nollställena är de värden på x där y = 0 _____ x = 3 ± √32 – 8 = 3 ± 1 Vi löser ekvationen med pq-formeln.
funktioner & koll på kapitlet
1/2
__ a n an Vi använder a1/2 = √ a och __ = __n b b
15
Lösningarna ges av x-koordinaterna i skärningspunkterna. x ≈ –2,1 och x ≈ 11,3.
182
Uttrycken här nedanför förenklas med potenslagarna. x3 ∙ x4 ____ x3 + 4 x7 _____ = 2 = __2 = x7 – 2 = x5 2 x x x an Vi använder an · am = an + m och ___ = an – m am
y
x
rita grafen till en andragradsfunktion och bestämma nollställen, symmetrilinje och extrempunkt
självskattning
exempel
Potensfunktioner s. 160–176
Andragradsfunktioner s. 144–159 lösa andragradsekvationer grafiskt
du ska kunna
1
Ett utslag i golf kan beskrivas med andragradsfunktionen h(x) = –0,01x2 + 0,8x, där x meter är avståndet längs marken och h(x) är bollens höjd i meter. Vilken är bollens högsta höjd? Ekvationen h(x) = 0 ger nollställena x1 = 0 och x2 = 80. Bollen antar sin högsta höjd på symmetrilinjen, dvs. för x = 40. Där är höjden h(40) = –0,01 ∙ 402 + 0,8 ∙ 40 = 16 meter.
funktioner & koll på kapitlet
183
koll på kapitlet
du ska kunna
koll på kapitlet
självskattning
exempel
För att lösa andragradsekvationen 14x2 – 128x = 336 grafiskt ritar vi y = 14x2 – 128x och y = 336 i samma koordinatsystem. 1 000 (–2,1; 336)
använda potenslagarna
–10
(5x2)3 = 53 ∙ (x2)3 = 125 ∙ x2 ∙ 3 = 125x6
Vi använder (a · b)n = an · bn och (an)m = an · m
500
–5
( 100x ) 2
____
(11,3; 336) 5
10
lösa potensekvationer grafiskt och algebraiskt
Låt y = x2 – 6x + 8
Nollställen
x1 = 2 och x2 = 4
Symmetrilinjen
beskriva vad som utmärker en potensfunktion
Du kan också läsa av ______ symmetrilinjen som talet framför rottecknet i pq-formeln x = 3 ± √32 – 8
Extrempunkt
Känner mig ganska säker Är helt säker
2 000
y
1 000 x 1
1
Den oberoende variabeln x är bas i en potens y
y = x2
__
y = √x = x1/2x
1 y = x3
använda funktioner som matematiska modeller
2
En potensfunktion kan skrivas f(x) = C ∙ xa Grafen till en potensfunktion ser olika ut beroende på om exponenten är ett jämnt tal, ett udda tal eller ett bråktal.
Symmetrilinjen ligger mitt emellan nollställena. 2+4 xsymmetri = ____ = 3 2
Andragradsfunktionen har en minimipunkt eftersom koefficienten framför x2 är positiv (1). Eftersom minimipunkten ligger på symmetrilinjen är dess Sammanfattning x-koordinat x = 3. Vi beräknar y-koordinaten: 2 I Koll på kapitlet sammanfattar y = 3 – 6 ∙ 3 + 8 = –1 vi innehållet Minimipunktens koordinater är (3, –1).i kapitlet utifrån de lärandemål vi formulerade i inledningen. Till varje lärandemål finns både konkreta exempel och en självvärdering.
Lös ekvationen 1 000x4 = 1 500 x4 = 1,5 (x4)1/4 = ±1,51/4 x ≈ ±1,1 En potensekvation med jämn exponent har två lösningar.
x2 – 6x + 8 = 0
Kan inte Känner igen men behöver repetera
(x2)1/2 _____ x2 ∙ 1/2 ___ x = ______ = = 1/2 100 10 10
()
Nollställena är de värden på x där y = 0 _____ x = 3 ± √32 – 8 = 3 ± 1 Vi löser ekvationen med pq-formeln.
funktioner 2 koll på kapitlet
1/2
__ a n an Vi använder a1/2 = √ a och __ = __n b b
15
Lösningarna ges av x-koordinaterna i skärningspunkterna. x ≈ –2,1 och x ≈ 11,3.
182
Uttrycken här nedanför förenklas med potenslagarna. x3 ∙ x4 ____ x3 + 4 x7 _____ = 2 = __2 = x7 – 2 = x5 2 x x x an Vi använder an · am = an + m och ___ = an – m am
y
x
rita grafen till en andragradsfunktion och bestämma nollställen, symmetrilinje och extrempunkt
självskattning
exempel
Potensfunktioner s. 160–176
Andragradsfunktioner s. 144–159 lösa andragradsekvationer grafiskt
du ska kunna
1
Ett utslag i golf kan beskrivas med andragradsfunktionen h(x) = –0,01x2 + 0,8x, där x meter är avståndet längs marken och h(x) är bollens höjd i meter. Vilken är bollens högsta höjd? Ekvationen h(x) = 0 ger nollställena x1 = 0 och x2 = 80. Bollen antar sin högsta höjd på symmetrilinjen, dvs. för x = 40. Där är höjden h(40) = –0,01 ∙ 402 + 0,8 ∙ 40 = 16 meter.
funktioner 2 koll på kapitlet
183
koll på kapitlet
du ska kunna
blandade uppgifter
30 Använd grafen för att bestämma
sidan 2 cm.
b) f(4) – f(2) c) a så att f(a – 1) = 3
b) Ange funktionens definitionsmängd och värdemängd.
1
x = 3. Punkterna (0, 7) och (5, 2) ligger på kurvan. Ange koordinaterna för ytterligare två punkter på kurvan.
24 Ange extrempunktens koordinater och karaktär för grafen till funktionerna.
h(t) = 3 + 5t – 4,5t2
b) y = –x2 + 4x + 4 c) y =
där Greg var h(t) meter över vattenytan efter t sekunder. Efter hur lång tid når Greg vattenytan?
+ 12x + 30
25 En portal har en form som beskrivs av 28 Mauri kastar iväg en gummiboll, så att bollens
h(x) = –0,59x2 + 3,1 där h(x) är portalens höjd i meter x meter längs underlaget mätt från mitten av portalen. Hur bred är portalen längs underlaget?
26 Hanna åker skateboard i en halfpipe. Hon startar från stillastående uppe på ena kanten och rullar ner. Hennes lodräta avstånd, d meter från kanten är en funktion av hastigheten v m/s enligt d = 0,05v2.
bana beskrivs av h(x) = –0,020x2 + 0,55x + 1,65 där h(x) m är bollens höjd över marken då den rört sig x m horisontellt. a) På vilken höjd befinner sig bollen i kastögonblicket? b) Vilken höjd har bollen då den har rört sig 5,0 m i horisontalled? c) Vilken är bollens högsta höjd?
beskrivs av formeln K(t) = 10 000 · 1,042t. a) Hur mycket sattes in i fonden från början? b) Vilken är den genomsnittliga årliga räntesatsen? c) Hur lång tid tar det innan kapitalet överstiger 15 000 kronor?
a) Hur högt är kulan efter 1,5 sekunder? a) Rita grafen till funktionen.
b) Hur högt når kulan som högst?
b) Vilken är Hannas högsta hastighet?
c) Hur länge är kulan i luften? d) När är kulan 80 meter över marken?
186
funktioner & blandade uppgifter
NIVÅ 3 37 Värdet av en elcykel antas minska exponentiellt med tiden. En elcykel köptes för 21 400 kr. Fem år senare var värdet 14 900 kr. Uppskatta elcykelns värde 10 år efter att den köptes.
exponentiellt med tiden. Hur stor är den årliga procentuella värdeminskningen, om mopeden är värd 7 300 kr efter tre år och kostade 11 900 kr som ny?
15 33 a) Ge ett exempel på en verklig fråga som kan besvaras med hjälp av potensekvationen 12 000 = 15 000 · x6
29 En kula skjuts rakt uppåt. Dess höjd över 2m
c) När fungerar inte Marias metod?
32 Värdet på en moped antas minska
b) Lös ekvationen och besvara din fråga. marken kan beskrivas med funktionen h som ges av h(t) = 50t – 5t2, där t är tiden i sekunder efter uppskjutningen och höjden h anges i meter.
a) Ge en förklaring till varför Jocke tycker att man behöver finna den linjen. b) Varför säger Maria att man först måste bestämma funktionens nollställen?
31 Kapitalet K kronor efter t år i en räntefond hoppet med funktionsuttrycket
a) y = 5 – 3x2
x 1
27 Vid ett simhopp från tremeterssvikten beskrevs
– Då behöver vi hitta den lodräta linjen som kurvan är symmetrisk kring, säger Jocke. – Det gör vi genom att först bestämma funktionens nollställen, inflikar Maria.
y
23 En andragradskurva har symmetrilinjen
x2
bestämma det minsta värdet till en andragradsfunktion.
a) 2 · f(4)
a) Skriv en funktion som beskriver cirkelns omkrets som funktion av radien.
36 Maria och Jocke har fått i uppgift att
34 Vilken eller vilka av funktionsuttrycken kan skrivas som potensfunktioner? Blandade uppgifter x171 A y = ____ 10 C y = x2 + 3x
35 Lös ekvationen
1 flera sidor Till varje kapitel hör B y = __ med Blandade uppgifter. Det är x en blandning av uppgifter som 3 D ybehandlar = ___ 4 __ tillsammans hela √x kapitlets innehåll. 7/2
x ____ = 36 x6/2
38 En rät linje kan beskrivas f(x) = kx + m. Du vet att f(2x – 1) = 8x + 10. Bestäm den räta linjens ekvation.
39 När sidan på en kub minskas med 1 cm, minskar volymen med 91 cm3. Hur stor är volymen av den mindre kuben?
40 f(x) = 2x – 1 och g(x) = a – 3x. Bestäm a då f(g(x)) = g(f(x)).
41 Visa att funktionen f(x) = x2 + px + q har p2 minsta värdet – __ + q. 4
funktioner & blandade uppgifter
187
blandade uppgifter
22 Matteo ritar en cirkel inuti en kvadrat med
blandade uppgifter
30 Använd grafen för att bestämma
sidan 2 cm.
b) f(4) – f(2) c) a så att f(a – 1) = 3
b) Ange funktionens definitionsmängd och värdemängd.
1
x = 3. Punkterna (0, 7) och (5, 2) ligger på kurvan. Ange koordinaterna för ytterligare två punkter på kurvan.
24 Ange extrempunktens koordinater och karaktär för grafen till funktionerna.
h(t) = 3 + 5t – 4,5t2
b) y = –x2 + 4x + 4 c) y =
där Greg var h(t) meter över vattenytan efter t sekunder. Efter hur lång tid når Greg vattenytan?
+ 12x + 30
25 En portal har en form som beskrivs av 28 Mauri kastar iväg en gummiboll, så att bollens
h(x) = –0,59x2 + 3,1 där h(x) är portalens höjd i meter x meter längs underlaget mätt från mitten av portalen. Hur bred är portalen längs underlaget?
26 Hanna åker skateboard i en halfpipe. Hon startar från stillastående uppe på ena kanten och rullar ner. Hennes lodräta avstånd, d meter från kanten är en funktion av hastigheten v m/s enligt d = 0,05v2.
bana beskrivs av h(x) = –0,020x2 + 0,55x + 1,65 där h(x) m är bollens höjd över marken då den rört sig x m horisontellt. a) På vilken höjd befinner sig bollen i kastögonblicket? b) Vilken höjd har bollen då den har rört sig 5,0 m i horisontalled? c) Vilken är bollens högsta höjd?
beskrivs av formeln K(t) = 10 000 · 1,042t. a) Hur mycket sattes in i fonden från början? b) Vilken är den genomsnittliga årliga räntesatsen? c) Hur lång tid tar det innan kapitalet överstiger 15 000 kronor?
a) Hur högt är kulan efter 1,5 sekunder? a) Rita grafen till funktionen.
b) Hur högt når kulan som högst?
b) Vilken är Hannas högsta hastighet?
c) Hur länge är kulan i luften? d) När är kulan 80 meter över marken?
186
funktioner ! blandade uppgifter
NIVÅ 3 37 Värdet av en elcykel antas minska exponentiellt med tiden. En elcykel köptes för 21 400 kr. Fem år senare var värdet 14 900 kr. Uppskatta elcykelns värde 10 år efter att den köptes.
exponentiellt med tiden. Hur stor är den årliga procentuella värdeminskningen, om mopeden är värd 7 300 kr efter tre år och kostade 11 900 kr som ny?
15 33 a) Ge ett exempel på en verklig fråga som kan besvaras med hjälp av potensekvationen 12 000 = 15 000 · x6
29 En kula skjuts rakt uppåt. Dess höjd över 2m
c) När fungerar inte Marias metod?
32 Värdet på en moped antas minska
b) Lös ekvationen och besvara din fråga. marken kan beskrivas med funktionen h som ges av h(t) = 50t – 5t2, där t är tiden i sekunder efter uppskjutningen och höjden h anges i meter.
a) Ge en förklaring till varför Jocke tycker att man behöver finna den linjen. b) Varför säger Maria att man först måste bestämma funktionens nollställen?
31 Kapitalet K kronor efter t år i en räntefond hoppet med funktionsuttrycket
a) y = 5 – 3x2
x 1
27 Vid ett simhopp från tremeterssvikten beskrevs
– Då behöver vi hitta den lodräta linjen som kurvan är symmetrisk kring, säger Jocke. – Det gör vi genom att först bestämma funktionens nollställen, inflikar Maria.
y
23 En andragradskurva har symmetrilinjen
x2
bestämma det minsta värdet till en andragradsfunktion.
a) 2 · f(4)
a) Skriv en funktion som beskriver cirkelns omkrets som funktion av radien.
36 Maria och Jocke har fått i uppgift att
34 Vilken eller vilka av funktionsuttrycken kan skrivas som potensfunktioner? Blandade uppgifter x171 A y = ____ 10 C y = x2 + 3x
35 Lös ekvationen
1 flera sidor Till varje kapitel hör B y = __ med Blandade uppgifter. Det är x en blandning av uppgifter som 3 D ybehandlar = ___ 4 __ tillsammans hela √x kapitlets innehåll. 7/2
x ____ = 36 x6/2
38 En rät linje kan beskrivas f(x) = kx + m. Du vet att f(2x – 1) = 8x + 10. Bestäm den räta linjens ekvation.
39 När sidan på en kub minskas med 1 cm, minskar volymen med 91 cm3. Hur stor är volymen av den mindre kuben?
40 f(x) = 2x – 1 och g(x) = a – 3x. Bestäm a då f(g(x)) = g(f(x)).
41 Visa att funktionen f(x) = x2 + px + q har p2 minsta värdet – __ + q. 4
funktioner ! blandade uppgifter
187
blandade uppgifter
22 Matteo ritar en cirkel inuti en kvadrat med
kapiteltest 1 En funktion beskrivs av funktionsuttrycket
Del 2 5 En andragradsfunktion ges av f(x) = x2 – 2x.
2
f(x) = –4x + 3x. Bestäm f(–2).
9 Figuren visar grafen till en andragradsfunktion.
Vilket påstående är falskt? 1 Funktionen har en minimipunkt.
X –10
X Funktionens nollställen är x = 0 och
y = f(x)
x = 2. 2 Funktionens största värde kan bestämmas
2 En orienteringsklubb har 450 medlemmar. Under en period ökade antalet medlemmar med 15 % per år. Vilket funktionsuttryck beskriver antalet medlemmar efter x år?
6 Skriv 1 72
1 f(x) = 450 · 0,15x
5
7
b) funktionens nollställen c) symmetrilinjen
1 x=5
1 x=1 1
X x=2
10 Beräkna utan räknare.
X x = 53
y = g(x) x
a) 161/4
125 3
2 x = ____
1
2 x=3
8 Vilken graf visar en potensfunktion? 4 Använd grafen för att bestämma f(0).
y II
III
y y = f(x) 1
1 –3 X –2 2 1
188
1
x 1
funktioner & kapiteltest
Läkemedlet tas upp av kroppen och mängden minskar exponentiellt med tiden. Efter 12 timmar återstår halva mängden. Hur lång tid efter det att personen tagit läkemedlet återstår det 0,10 mg?
a) f(0)
7 Lös ekvationen 2x3 = 250. y
14 En person får 4,0 mg av ett läkemedel.
Bestäm
2 f(x) = 450 · 1,15x
med hjälp av figuren.
b) Bestäm funktionens definitionsmängd och värdemängd.
7·7 _____ –3 som en potens.
2 79
3 Lös ekvationen g(x) = 3
v
x 1
X 73
X f(x) = 450 · 1,15x
w
1
genom att beräkna f(1)
13 a) Skriv ett funktionsuttryck som visar hur storleken av vinkeln v beror av storleken på vinkeln w.
y
1 –22 2 10
kapiteltest
Del 1
Kapiteltest I
x 1
Sist i varje kapitel ligger ett test, som knyter an till lärandemålen 1 I i kapitlets inledning. Det ger eleverna möjlighet att själva X II kontrollera sina kunskaper. Testet är indelat i två delar: 2 III en del med flervalsfrågor och en del där eleverna ska redovisa sina lösningar.
b) 5–2
c) 8–2/3
11 Agnes och Ken betalade 1 250 000 kr för sin
15 Candia ska sälja karamellstrutar och har fått tipset att antalet sålda strutar n st är en funktion av priset p kr/st enligt n(p) = 98 – 2,1p.
lägenhet. Priset på bostäder i deras område har sedan dess stigit med 8 % per år.
• Gäller funktionen för alla värden på p? Motivera.
a) Skriv ett funktionsuttryck som beskriver hur priset på deras bostad, p(t) kr, beror av tiden t år.
• Ange ett funktionsuttryck k som beskriver kostnaden att tillverka n strutar om tillverkningskostnaden är 9,70 kr/strut och hon har fasta kostnader på 45 kr.
b) Efter hur lång tid är värdet av bostaden 2 000 000 kr?
• Vilket pris ska Candia sätta på strutarna för att göra sin vinst så stor som möjligt?
12 Låt f(x) = –x2 – 3x + 4. Bestäm a) f(–1) b) funktionens nollställen c) funktionens största värde
funktioner & kapiteltest
189
kapiteltest 1 En funktion beskrivs av funktionsuttrycket
Del 2 5 En andragradsfunktion ges av f(x) = x2 – 2x.
2
f(x) = –4x + 3x. Bestäm f(–2).
9 Figuren visar grafen till en andragradsfunktion.
Vilket påstående är falskt? 1 Funktionen har en minimipunkt.
X –10
X Funktionens nollställen är x = 0 och
y = f(x)
x = 2. 2 Funktionens största värde kan bestämmas
2 En orienteringsklubb har 450 medlemmar. Under en period ökade antalet medlemmar med 15 % per år. Vilket funktionsuttryck beskriver antalet medlemmar efter x år?
6 Skriv 1 72
1 f(x) = 450 · 0,15x
5
7
b) funktionens nollställen c) symmetrilinjen
1 x=5
1 x=1 1
X x=2
10 Beräkna utan räknare.
X x = 53
y = g(x) x
a) 161/4
125 3
2 x = ____
1
2 x=3
8 Vilken graf visar en potensfunktion? 4 Använd grafen för att bestämma f(0).
y II
III
y y = f(x) 1
1 –3 X –2 21
188
1
x 1
funktioner ! kapiteltest
Läkemedlet tas upp av kroppen och mängden minskar exponentiellt med tiden. Efter 12 timmar återstår halva mängden. Hur lång tid efter det att personen tagit läkemedlet återstår det 0,10 mg?
a) f(0)
7 Lös ekvationen 2x3 = 250. y
14 En person får 4,0 mg av ett läkemedel.
Bestäm
2 f(x) = 450 · 1,15x
med hjälp av figuren.
b) Bestäm funktionens definitionsmängd och värdemängd.
7 ·7 _____ –3 som en potens.
2 79
3 Lös ekvationen g(x) = 3
v
x 1
X 73
X f(x) = 450 · 1,15x
w
1
genom att beräkna f(1)
13 a) Skriv ett funktionsuttryck som visar hur storleken av vinkeln v beror av storleken på vinkeln w.
y
1 –22 2 10
kapiteltest
Del 1
Kapiteltest I
x 1
Sist i varje kapitel ligger ett test, som knyter an till lärandemålen 1 I i kapitlets inledning. Det ger eleverna möjlighet att själva X II kontrollera sina kunskaper. Testet är indelat i två delar: 2 III en del med flervalsfrågor och en del där eleverna ska redovisa sina lösningar.
b) 5–2
c) 8–2/3
11 Agnes och Ken betalade 1 250 000 kr för sin
15 Candia ska sälja karamellstrutar och har fått tipset att antalet sålda strutar n st är en funktion av priset p kr/st enligt n(p) = 98 – 2,1p.
lägenhet. Priset på bostäder i deras område har sedan dess stigit med 8 % per år.
• Gäller funktionen för alla värden på p? Motivera.
a) Skriv ett funktionsuttryck som beskriver hur priset på deras bostad, p(t) kr, beror av tiden t år.
• Ange ett funktionsuttryck k som beskriver kostnaden att tillverka n strutar om tillverkningskostnaden är 9,70 kr/strut och hon har fasta kostnader på 45 kr.
b) Efter hur lång tid är värdet av bostaden 2 000 000 kr?
• Vilket pris ska Candia sätta på strutarna för att göra sin vinst så stor som möjligt?
12 Låt f(x) = –x2 – 3x + 4. Bestäm a) f(–1) b) funktionens nollställen c) funktionens största värde
funktioner ! kapiteltest
189
matematik
2a Matematik Origo är moderna läroböcker med Utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter Tematiska uppgifter, kommunikationsuppgifter och problemlösning för alla Målbeskrivningar, sammanfattning och test till varje kapitel Serien består av
Beställ ditt eget personliga utvärderingsexemplar på vår hemsida: www.sanomautbildning.se/ matematikorigo2a
Matematik Origo 1a och 2a
Beställningsinformation Matematik Origo 2a 523-5091-1 336 kr
Kontakt Emelie Reuterswärd, förlagsredaktör emelie.reutersward@sanomautbildning.se
Matematik Origo 2a Lärarguide 523-5092-8 645 kr Utkommer vt 2020
Thomas Aidehag, förlagsredaktör thomas.aidehag@sanomautbildning.se
Lena bjessmo, förläggare Prov, Övningsblad och Aktiviteter 2a lena.bjessmo@sanomautbildning.se 523-5093-5 930 kr Mikaela Norlander, marknadsförare Utkommer ht 2019 mikaela.norlander@sanomautbildning.se ISBN 978-91-523-5091-1