Övningsblad Negativa tal 1 Vilka tal pekar pilarna på? Skriv rätt tal vid pilarna.
3
a) –5
0
5
b) –1
0
–1
0
c)
2 Ringa in det tal som är störst.. a) –2
2
–4
b) 0
–2,5
–0,5
c) 10 000
–1 000 000
9 999
d) –4,5
–5,4
–0,45
3 Temperaturen är 5 °C. Vad blir temperaturen om den
4 Temperaturen är –12 °C. Vad blir temperaturen om den a) stiger 4 grader b) stiger 16 grader c) sjunker 1,5 °C
a) sjunker 5 grader
5 Om mönstret fortsätter, vilket är nästa tal?
b) sjunker 8 grader
a) 18, 12, 6, 0,
b) –20, –17, –14, –11,
c) sjunker 10 grader
c) –1, –5, –9, –13,
d) –1,5; –2, –2,5; –3,
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
Övningsblad Negativa tal
FACI T
1 a) –6
–2 –5
0
–0,9
b)
3
–0,5
5
–0,1
–1
0
–0,8
c)
–0,45
–1
2 a) –2
–0,15 0
2
–4
b) 0
–2,5
–0,5
c) 10 000
–1 000 000
9 999
d) –4,5
–5,4
–0,45
4 a) –8 °C b) 4 °C c) –13,5 °C
5 a) –6 b) –8
3 a) 0 °C b) –3 °C c) –5 °C
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
c) –17 d) –3,5
Övningsblad Multiplikation och division med 10, 100 och 1 000 Beräkna 1 a) 10 ∙ 1,37 = 13,7 b) 100 ∙ 1,37 = 137 c) 1 000 ∙ 1,37 = 1 370
74 8 a) ___ = 7,4 10 74 b) ____ = 0,74 100 74 c) _____ = 0,074 1 000
2 a) 10 ∙ 42,365 = b) 100 ∙ 42,365 = c) 1 000 ∙ 42,365 =
3 a) 10 ∙ 0,29 = b) 100 ∙ 0,29 = c) 1 000 ∙ 0,29 =
4 a) 12 ∙ 100 = b) 1 000 ∙ 1, 076 = c) 0,098 ∙ 10 =
5 a) 4,0032 ∙ 1 000 = b) 10 ∙ 0,2202 = c) 100 ∙ 734,512 =
6 a) 1 000 ∙ 36,7 = b) 4,38 ∙ 100 = c) 10 ∙ 1,0101 =
7 a) 10 ∙ 0,009 = b) 4,009 ∙ 100 = c) 538,2 ∙ 1 000 =
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
0,6 9 a) ___ = 10 0,6 b) ____ = 100 0,6 c) _____ = 1 000 792,1 10 a) _____ = 10 792,1 b) _____ = 100 792,1 c) _____ = 1 000 902 11 a) ____ = 100 1,02 b) ____ = 10 43,108 c) ______ = 1 000 0,02 12 a) ____ = 10 302,01 b) ______ = 100 5,5 c) _____ = 1 000 42 300 13 a) ______ = 1 000 980,1 b) _____ = 100 778 c) ____ = 10
Övningsblad Multiplikation och division med 10, 100 och 1 000 1 a) 13,7
8 a) 7,4
b) 137
b) 0,74
c) 1 370
c) 0,074
2 a) 423,65
9 a) 0,06
b) 4 236,5
b) 0,006
c) 42 365
c) 0,0006
3 a) 2,9
10 a) 79,21
b) 29
b) 7,921
c) 290
c) 0,7921
4 a) 1 200
11 a) 9,02
b) 1 076
b) 0,102
c) 0,98
c) 0,043 108
5 a) 4 003,2
12 a) 0,002
b) 2 202
b) 3,0201
c) 73 451,2
c) 0,0055
6 a) 36 700
13 a) 42,3
b) 438
b) 9,801
c) 10,101
c) 77,8
7 a) 0,09 b) 400,9 c) 538 200
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
FACI T
Övningsblad Värdet av uttryck 1 Beräkna värdet av uttrycket 3n + 2 om a) n = 4
3 ∙ 4 + 2 = 14
b) n = 10
2 Beräkna värdet av uttrycket 15 + 4x om
6 Vilket av uttrycken har störst värde om x = 2? Ringa in rätt svar.
2x + 4
5x – 8
x2 + 1
a) x = 3 b) x = 20
3 Beräkna värdet av uttrycket 30 + 5t om a) t = 0 b) t = –2
7 Beräkna värdet av uttrycken när a = 2. a) 6a b) 6 + a
4 Beräkna värdet av uttrycket 24 – 2x om a) x = 5 b) x = –4
5 Beräkna värdet av uttrycket 3y + 4z om a) y = 2 och z = 5 b) y = 10 och z = –5
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
c) Är värdet av 6a alltid större än värdet av 6 + a? Motivera ditt svar.
Övningsblad Värdet av uttryck 1 a) 14 b) 32
2 a) 27
FACI T 5 a) 26 b) 10
6 2x + 4
b) 95
7 a) 12 3 a) 30 b) 20
4 a) 14 b) 32
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
b) 8 c) Nej, för till exempel a = 1 är 6a = 6 ∙ 1 = 6 medan 6 + a = 6 + 1 = 7.
Aktivitet Memory med prioriteringsregler Syfte och centralt innehåll Den här aktiviteten syftar till att befästa prioriteringsreglerna. Materiel Aktivitetsstencil Memory med prioriteringsregler, sax Genomförande •• Dela in klassen i grupper om 2–4 elever och dela ut stencilen Memory med prioriteringsregler. •• Uppmana eleverna att klippa ut lapparna, blanda dem och sprida ut dem på bordet med baksidan uppåt, så att eleverna inte ser vad som står på lapparna. Om spelet ska användas flera gånger kan det vara en god idé att laminera lapparna. •• Spelaren som börjar vänder upp två kort. Om det som står på det ena kortet är lika mycket som det som står på det andra kortet, behåller spelaren korten och får vända upp två kort till. Om värdet av korten inte är lika, vänder man tillbaka dem på samma plats som innan. •• Vinnare är den som har flest par när alla kort på bordet är slut.
LÄRARHANDLEDNING
När en elev hittar ett par lappar som hör ihop ska hon motivera sina beräkningar för de andra i gruppen. På så sätt får eleverna kontrollera varandras beräkningar och träna kommunikations- och resonemangsförmågan.
Utvidgning och variation En enklare variant av spelet är att lägga lapparna med framsidan uppåt, så att eleverna ser samtliga lappar. Varje elev får då i tur och ordning välja två lappar som de tycker hör ihop och motivera sitt svar. Då tar aktiviteten kortare tid och man kan inte alltid kora en vinnare. Vi har valt att inkludera potenser i beräkningarna. Om man vill genomföra aktiviteten redan efter delkapitel 2.1 kan man ta bort dessa lappar.
Att lyfta fram Aktiviteten ger möjlighet att lyfta fram prioriteringsreglerna, dvs. att parenteser räknas först, sedan potenser, därefter multiplikation och division och sist addition och subtraktion. Man kan också lyfta fram underförstådda parenteser. I beräkningarna förekommer också division med 1 och multiplikation med 0, vilket kan vålla svårigheter för en del elever.
Lösning 3 + (4 − 1) = 6
10 − (7 + 2) = 1
8+2 _____ = 2
8 6 + 4 ∙ 3 – __ = 10 1
26 – 6 ∙ 3 = 8
5∙3−6∙2=3
7 + 2 ∙ 3 – 12 = 12
10 − (5 + 3) + 2 = 4
(3 + 2) ∙ (4 + 1) _________________ = 5
16 – 32 + 1 ∙ 0 = 7
24 − (3 + 1)2 = 8
(4 + 2) ∙ 4 = 24
2 ∙ (5 + 6) = 22
(2 ∙ 3 + 2) ∙ 2 = 16
4∙5+2∙3 ____________ = 13
20 8 + 5 ∙ ___ – 2 ∙ 32 = 0 10
11 − 6
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
2+3
26 − 24
✂
Aktivitet Memory med prioriteringsregler
8+2 _____ 2+3
8 6 + 4 ∙ 3 – __ 1
3 + (4 − 1)
10 − (7 + 2)
26 – 6 ∙ 3
5∙3−6∙2
7 + 2 ∙ 3 – 12
10 − (5 + 3) + 2
16 – 32 + 1 ∙ 0
24 − (3 + 1)2
(4 + 2) ∙ 4
2 ∙ (5 + 6)
(2 ∙ 3 + 2) ∙ 2
4∙5+2∙3 _________
1
(3 + 2) ∙ (4 + 1) ______________ 11 − 6
26 − 24
20 8 + 5 ∙ ___ – 2 ∙ 32 10
2
10
8
3
12
4
5
7
8
24
22
16
13
6
0
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
Aktivitet Bygg en trappa Du har fått i uppgift av en kund att bygga en trappa. Du funderar på hur många steg trappan ska ha för att vara behaglig att gå i. För att få bra stegrytm när man går i en trappa finns det en regel som beskriver sambandet mellan steghöjd och stegdjup. Den säger att steghöjden adderat med två gånger stegdjupet ska vara ungefär 63 cm. 2 ∙ steghöjd + stegdjup = 63 cm Steghöjden kan i sin tur beräknas med formeln: trappans totala höjd steghöjd = _________________ antalet steg
Planstegsdjup
Steghöjd 160 cm
Stegdjup v
Trappan du ska bygga är 160 cm hög från golv till golv. •• Beräkna steghöjden om du gör 8 trappsteg. •• Beräkna vilket stegdjup trappan ska ha enligt regeln. •• Beräkna på samma sätt steghöjden och stegdjupet om du gör en trappa med – 9 trappsteg – 10 trappsteg För att trappan ska vara behaglig att gå i finns det fler byggrekommendationer. Rekommendationer säger att steghöjden bör vara högst 190 mm och att stegdjupet bör vara minst 250 mm. •• Vilken eller vilka av de tre trapporna (8, 9 respektive 10 trappsteg) uppfyller kriterierna? En annan rekommendation säger att trappans lutning ska vara mellan 21° och 38°. •• Undersök de tre trappornas lutning. Du kan använda en gradskiva eller göra beräkningar med trigonometri. •• Hur många steg kommer din trappa att ha? Motivera ditt svar.
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
Aktivitet Bygg en trappa Syfte och centralt innehåll I den här aktiviteten får eleverna använda formler för att beräkna lämplig steghöjd och lämpligt stegdjup i en trappa. Eleverna får både beräkna värdet av en variabel med hjälp av en formel och använda formeln för att ställa upp en ekvation. Eleverna får också använda mätverktyg eller trigonometri för att bestämma trappans lutning. På så sätt passar aktiviteten bra både i kapitel 3 och kapitel 8. Aktiviteten passar särskilt bra för elever på Byggoch anläggningsprogrammet.
Materiel Aktivitetsstencil Bygg en trappa, gradskiva eller annat mätverktyg. Genomförande Dela ut aktivitetsstencilen Bygg en trappa till eleverna och gå igenom begreppen steghöjd och stegdjup. Eleverna har kanske även stött på begreppen planstegsdjup och sättstegshöjd, men det är inte dem vi använder oss av här. Låt eleverna arbeta med stencilen enskilt eller i grupp. I aktivitetens andra del ska eleverna undersöka trappornas lutning. Om eleverna väljer att undersöka trappornas lutning praktiskt, behöver de ett verktyg för att mäta vinklar, till exempel en gradskiva. Eleverna kan även undersöka trappornas lutning med hjälp av trigonometri. I den sista deluppgiften ska eleverna bestämma sig för hur många steg deras trappa ska ha. Det kan vara intressant att diskutera elevernas val och lyssna på hur de motiverar dem.
Lösningsförslag Trappan är 160 cm hög från golv till golv. 160 cm •• Steghöjd = ______ = 20 cm 8 •• Vi kallar stegdjupet för x och ställer upp ekvationen 2 ∙ 20 + x = 63 som har lösningen x = 23 cm
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
LÄRARHANDLEDNING
•• För en trappa med 9 respektive 10 trappsteg får vi: Trappa
Steghöjd Stegdjup Lutning
8 trappsteg
20 cm
23 cm
41°
9 trappsteg
17,8 cm
27,4 cm
33°
31 cm
27°
10 trappsteg 16 cm
•• En trappa med 9 eller 10 steg uppfyller kriterierna. •• Vi beräknar trappornas lutningar med hjälp av trigonometri. För trappan med 8 trappsteg ser beräkningarna ut så här: 20 tan v = ___ 23 20 v = tan–1 ___ = 41° 23
( )
Utvidgning och variation Aktiviteten kan varieras beroende på elevernas geometrikunskaper. Om aktiviteten görs när eleverna har arbetat med geometrikapitlet, kan de använda trigonometri för att bestämma trappornas lutning, men det går också bra att undersöka trappornas lutning praktiskt, till exempel genom att rita upp trappstegens mått på ett papper och mäta vinkeln med en gradskiva. Det finns fler rekommendationer när man bygger trappor, till exempel rekommendationer för ledstångens höjd och för trappstegens bredd. En utvidgning av aktiviteten är att även diskutera sådana kriterier. I aktiviteten skriver vi att stegdjupet ska vara minst 250 mm, men ett bra stegdjup brukar ligga på 30–40 cm. Aktiviteten kan eventuellt genomföras i samband med ett ämnesintegrerat projekt med byggämnena.
Aktivitet Studentfesten När ni går ert tredje år på gymnasiet vill ni kanske ordna en studentfest. Då är det bra om ni beräknar kostnader i förväg så att ni slipper obehagliga överraskningar. I tabellen här nedanför har vi gett förslag på vilka kostnadsposter ni kan komma att ha. •• För in tabellen i ett kalkylprogram. •• Uppskatta kostnaderna i de röda cellerna. •• Använd lämpliga formler för att beräkna värdena i de blåmarkerade cellerna.
•• Kanske vill ni tjäna lite pengar på festen genom att låta gästerna betala för att få komma. Hur mycket ska biljetten kosta för att vinsten ska bli 3 000 kronor? •• Du och tre kompisar har engagerat er extra mycket i festen och ska få gå gratis. Hur påverkar det formlerna och resultatet?
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
Aktivitet Studentfesten
LÄRARHANDLEDNING
Syfte och centralt innehåll I den här aktiviteten får eleverna använda kalkylprogram för att göra en budget för en studentfest. Eleverna får träna på att uppskatta kostnader, göra överslag och skriva formler. Att använda kalkylblad tränar elevernas algebraiska tänkande, eftersom formlerna fokuserar cellernas värde och inte enskilda tal. Aktiviteten ger samtidigt eleverna ett verktyg för att planera sin ekonomi både privat och i yrkeslivet.
Materiel Aktivitetsstencilen Studentfesten, kalkylblad Genomförande Dela ut aktivitetsstencilen till eleverna. Låt dem gärna arbeta två och två; det ger dem stöttning men utmanar samtidigt deras förmåga att kommunicera matematik. I den näst sista deluppgiften ska eleverna undersöka vilket biljettpris som ger en vinst på 3 000 kr. Det innebär att de själva får skriva in rubriker, värden och formler i kalkylbladet. Säkerställ att alla elever känner till att vinst = inkomster – kostnader När eleverna är klara kan de jämföra sina formler och slutsatser med ett annat par. Du kan också gå igenom resultaten i helklass. Diskutera gärna skillnaden mellan fasta och rörliga kostnader.
Lösningsförslag Kostnaderna för de olika utgiftsposterna varierar beroende på hur man vill ha sin fest och vilka möjligheter man har att göra saker själv. •• Se kalkylblad. •• Se kalkylblad.
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
•• I cell B6: =B3+B4+B5 eller =SUMMA(B3:B5) I cell B11: =B9*B10 I cell B13: =B6+B11 I cell B14: =B13/B9 •• Ett biljettpris på 510 kr ger 3 040 kr i vinst enligt förutsättningarna. •• Formeln i cell B13 ändras till = B12/(B9–4), det vill säga den totala kostnaden ska delas på alla gäster utom de fyra som har arrangerat festen. När man beräknar inkomster och vinst, så behöver man ta hänsyn till att antalet betalande gäster minskar med 4.
Utvidgning och variation Aktiviteten kan varieras genom att ge budgetkalkylen en annan kontext. Anpassa gärna kalkylen till elevernas yrkesprogram och beräkna t.ex. materialkostnader, löner, transporter m.m. Aktiviteten kan utvidgas genom att låta eleverna lägga till fler utgiftsposter eller lägga till inkomster i form av försäljning, klasskassa eller eftersläppsbiljetter. Uppmuntra gärna eleverna att själva undersöka hur olika förändringar påverkar slutpriset per gäst.
Aktivitet Koll på lönen Erika Niklasson är anställd som administratör på ett företag. Hon arbetar 08.00–17.00 varje dag och tjänar 28 400 kr i månaden.
•• På sitt lönebesked ser Erika att hon betalar 7 478 kr av lönen i skatt varje månad. Hur många procent av lönen motsvarar det? •• Vid nästa löneförhandling hoppas fackföreningen kunna höja lönerna med 2,5 %. Vad blir i så fall Erikas nya månadslön? •• Om Erika arbetar ett helt år har hon tjänat in 25 betalda semesterdagar. Men hon är ganska nyanställd och har bara arbetat fyra månader, september–december. Hur många betalda semesterdagar har hon fått ihop? •• Erika får influensa i december och måste stanna hemma en vecka. Hennes avtal säger att hon först har en karensdag då hon inte får någon lön. Resten av veckan har hon 80 % av sin normala lön i sjukersättning. Hur många procent lägre lön får hon den månaden? •• Om Erika måste jobba extra någon helg, har hon rätt till övertidsersättning. Enligt kollektivavtalet är övertidsersättningen månadslönen i kr _______________ 72 för varje timme som hon arbetar på helgen. En månad arbetar hon totalt 7 timmar på helger. Med hur många procent ökar hennes lön före skatt?
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
Aktivitet Koll på lönen Syfte och centralt innehåll I den här aktiviteten får eleverna använda sina kunskaper om procent för att beräkna skatt, semesterdagar och övertidsersättning. Aktiviteten är relevant för alla elever som i framtiden kommer att ha en anställning, men den är kanske särskilt relevant för elever på Handels- och administrationsprogrammet. Materiel Aktivitetsstencil Koll på lönen. Genomförande Låt gärna eleverna arbeta med aktiviteten i par. Det gör att de kan stötta varandra samtidigt som de tränar på att kommunicera matematik. Lösning •• Ca 26 % •• 29 110 kr •• 1 September–31 december motsvarar totalt 30 + 31 + 30 + 31 = 122 dagar. 122 Det är ____ ≈ 0,33 = 33 % av ett helt år. 365 33 % av 25 semesterdagar = 0,33 ∙ 25 dagar ≈ ≈ 8 dagar
LÄRARHANDLEDNING
•• 1 dags ersättning motsvarar 28 400 kr ________ ≈ 916,13 kr 31 20 % av 4 dagars ersättning motsvarar 28 400 kr 0,2 ∙ 4 ∙ ________ ≈ 732,90 kr 31 Erikas lön minskar alltså med 916,13 + 732,90 = 1 649,03 kr vilket motsvarar 1 649,03 _______ ≈ 0,058 = 5,8 % 28 400 28 400 kr •• Erikas får 7 ∙ ________ ≈ 2 761,11 kr i övertids72 ersättning. Det motsvarar en ökning med 2 761,11 _______ ≈ 0,097 = 9,7 %. 28 400
Utvidgning och variation Arbeta gärna med aktiviteten i samarbete med något av yrkesämnena på Handels- och administrationsprogrammet. En utvidgning av uppgiften är att låta eleverna skapa ett kalkylblad där man med hjälp av formler kan beräkna •• sin lön efter skatt •• antal intjänade semesterdagar •• sin sjukersättning •• sin övertidsersättning
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
Aktivitet Monty Hall-problemet Arbeta tillsammans med en kamrat. Ni behöver tre ogenomskinliga plastmuggar och en markör av något slag, till exempel ett gem. •• Börja med att bestämma vem av er som ska börja som spelledare och vem av er som ska börja spela. •• Spelledaren placerar de tre plastmuggarna upp och ner och lägger markören under en av plastmuggarna, utan att spelaren ser.
•• Spelaren gissar under vilken av de tre muggarna som markören ligger. •• Spelledaren lyfter då på en av de muggar där markören inte ligger och ger spelaren två val: behåll den mugg du tidigare har valt eller byt till den andra (ej öppnade) muggen. •• Efter att spelaren har gjort sitt val, avslöjar spelledaren var markören finns. Därefter antecknar ni i frekvenstabellen vilken strategi (byta eller inte byta) som var den vinnande strategin. •• Upprepa spelet minst 15 gånger. Omgång
Vinnande strategi Byta
Inte byta
Omgång
1
11
2
12
3
13
4
14
5
15
6
16
7
17
8
18
9
19
10
20
Vinnande strategi
1 Baserat på er undersökning, vilken strategi är mest framgångsrik – att byta eller att inte byta? 2 Hur säkra kan ni vara på ert resultat? 3 Förklara resultatet.
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
Byta
Inte byta
Turas gärna om att vara spelare och spelledare.
Aktivitet Monty Hall-problemet
LÄRARHANDLEDNING Sida 1 av 2
Bakgrund Det så kallade Monty Hall-problemet blev känt genom ett amerikanskt tv-program och har fått sitt namn av tv-programmets programledare, Monty Hall. I programmet får den tävlande välja mellan tre dörrar. Bakom en av dörrarna finns en bil och bakom de andra två dörrarna finns en get. Den tävlande får välja en dörr, som förblir stängd. Programledaren öppnar en av de andra två dörrarna, där han vet att det finns en get. Den tävlande får nu välja mellan att behålla den dörr som han eller hon ursprungligen valde eller byta till den andra stängda dörren. I den här aktiviteten får eleverna undersöka vilken strategi (byta eller inte byta) som är bäst. Syfte och centralt innehåll Syftet med aktiviteten är att visa hur man kan bestämma sannolikheter med hjälp av experiment. Sannolikheten kan även bestämmas teoretiskt och resultaten kan jämföras. Eftersom resultatet motsäger många elevers intuition kan experimentet vara ett sätt att övertyga dem om resultatets riktighet. Materiel Varje grupp behöver tre ogenomskinliga plasteller pappmuggar, en markör (t.ex. ett gem) och aktivitetsstencilen Monty Hall-problemet. Genomförande •• Beskriv hur spelet från tv-programmet går till och fråga eleverna vilken strategi de skulle välja: byta eller inte byta. Berätta att de i dag ska få undersöka sannolikheten för vinst när man använder respektive strategi. •• Dela in eleverna i par och dela ut tre muggar och en markör till varje par. •• Gå igenom instruktionerna gemensamt. Visa gärna praktiskt tillsammans med en elev hur spelet går till och påminn eleverna om att de ska fylla i frekvenstabellen. Efter varje omgång fyller de i den strategi som skulle ha gett vinst. •• Enbart 15 försök är inte tillräckligt för att ge ett tillförlitligt resultat. Därför är det en god idé att sammanställa hela klassens resultat i en frekvenstabell innan eleverna går vidare med fråga 1–3. Samla in parens resultat i ett kalkylprogram och beräkna gemensamt den relativa frekvensen för att vinna med respektive matematik origo © sanoma utbildning och författarna
strategi. Diskutera med eleverna hur säkra ni kan vara på resultatet. •• Ge eleverna lite tid att fundera över hur man kan förklara att det faktiskt är strategin ”byta” som är bäst. Gå igenom elevernas tankar och visa lösningen.
Lösning Enligt den teoretiska sannolikheten är chansen att 1 2 du vinner __ om du inte byter men __ om du 3 3 byter. Så här kan man förklara det: Om du väljer att inte byta dörr, så är enda chansen till vinst att du valde rätt dörr från 1 början. Sannolikheten för det är __ . Om du väljer 3 att byta dörr, så vinner du om du valde fel dörr från början, dvs. om du från början valde en dörr 2 med en get bakom. Sannolikheten för det är __ . 3 Med strategin att byta dörr kommer du alltså teoretiskt sett att vinna i två tredjedelar av fallen, medan du bara vinner i en tredjedel av fallen om du väljer att inte byta dörr.
Utvidgning och variation Monty Hall-problemet har en fascinerande historia. I artikeln Behind Monty Hall’s Doors: Puzzle, Debate and Answer? (New York Times, 21 juli 1991) redogör journalisten John Tierney för hur problemet vilselett, inte bara allmänheten, utan även yrkesverksamma matematiker. Det kan vara intressant att visa några utdrag ur artikeln, som går att hitta på nätet. Ett annat sätt att utföra aktiviteten är att låta varje elev spela spelet mot en dator. Nedanstående programkod i Python3 kan användas. Dela klassen i två delar. Låt ena hälften använda strategin ”byta” och den andra hälften använda strategin ”inte byta”. Låt varje elev spela spelet 10 gånger mot programmet och notera varje vinst. Undersök sedan gemensamt den relativa frekvensen för vinst med respektive strategi. På det här sättet får man snabbt en ganska stor mängd data. En del elever kan dock vara mindre övertygade av att spela spelet mot en dator, eftersom det kan vara ogenomsynligt för dem hur programmet fungerar. Om eleverna har erfarenhet av programmering, kan man titta närmare på programkoden för att skingra deras tvivel.
Aktivitet Monty Hall-problemet
LÄRARHANDLEDNING Sida 2 av 2
import random Lådor=[1,2,3] Vinst=random.choice(Lådor) print("Framför dig ser du tre dörrar. Bakom en av dörrarna finns en bil. Vilken av dörrarna vill du välja?") Gissning=int(input("Skriv 1, 2 eller 3.")) if Gissning==Vinst: Lådor.remove(Gissning) Öppna=random.choice(Lådor) print("Du har gissat på dörr "+ str(Gissning) +". Bilen finns inte bakom dörr "+ str(Öppna) +". Vill du byta dörr?") Svar=input("Skriv Ja eller Nej") if Svar=="Nej": print("Grattis! Bilen är din.") else: print("Tyvärr. Du förlorade.") else: Lådor.remove(Gissning) Lådor.remove(Vinst) Öppna=Lådor[0] print("Du har gissat på dörr "+ str(Gissning) +". Jag kan berätta att bilen inte finns bakom dörr "+ str(Öppna) +". Vill du ändra din gissning?") Svar=input("Skriv Ja eller Nej",) if Svar=="Ja": print("Grattis! Bilen är din.") else: print("Tyvärr. Du förlorade.")
Man kan också lägga till raden print(Vinst)
efter rad 3 i programkoden. Då kommer programmet börja med att skriva ut vilken låda som vinsten finns i. På det sättet kan eleverna kontrollera att programmet fungerar på rätt sätt. De kommer då snart att märka att de vinner på att byta låda, så fort de inledningsvis gör fel gissning. Med hjälp av programmering kan man även simulera många försök av Monty Hall-problemet och låta programmet beräkna den relativa frekvensen för vinst med respektive strategi. Låt eleverna skriva ett eget sådant program eller visa resultatet när man kör följande program, skrivet i programmeringsspråket Python3. Programmet beräknar antalet vinster och förluster om du slumpmässigt väljer en av de tre dörrarna och spelar 1 000 gånger. Du får själv ange vilken strategi (Byta eller Inte byta) som du vill använda. matematik origo © sanoma utbildning och författarna
import random v = 0 f = 0 print("Vi ska simulera 1 000 försök av Monty Hall-problemet. Vilken strategi vill du använda?") Svar=input("Skriv Byta eller Inte byta",) if Svar=="Byta": for x in range (1, 1001): Lådor = [1, 2, 3] Vinst = (random.choice(Lådor)) Gissning = (random.choice(Lådor)) if Vinst==Gissning: Lådor.remove(Vinst) Öppna=random.choice(Lådor) Lådor.remove(Öppna) Gissning = Lådor[0] else: Lådor.remove(Vinst) Lådor.remove(Gissning) Öppna=Lådor[0] Gissning=Vinst if Gissning == Vinst: print ("Vinst!") v = v + 1 else: f = f + 1 print ("Förlust!") print ("Antal vinster är ", v) print ("Antal förluster är ", f) else: for x in range (1, 1001): Lådor = [1, 2, 3] Vinst = (random.choice(Lådor)) Gissning = (random.choice(Lådor)) if Gissning == Vinst: print ("Vinst!") v = v + 1 else: f = f + 1 print ("Förlust!") print ("Antal vinster är ", v) print ("Antal förluster är ", f) När man kopierar en programkod från en pdf kan man bli tvungen att själv göra nödvändiga indrag för att programmet ska fungera korrekt.
Låt gärna eleverna ändra koden, så att programmet simulerar 10 000 försök. Man kan också ändra i koden så att programmet skriver ut den relativa frekvensen, i stället för antalet vinster och förluster.
Aktivitet Koll på kapitlet 6 Du ska kunna
Själv skattning
Exempel
blandade uppgifter
Enkla slumpförsök s. 216–224 använda begreppen slumpförsök, utfall och händelse
Ett slumpförsök är ett försök som kan upprepas flera gånger och där man inte kan förutse resultatet av varje enskilt försök. Exempel: Ett kast med en tärning.
Nivå 1: 7, 14 Nivå 2: 18, 22 Nivå 3: 31
Resultatet av ett slumpförsök kallas utfall. Exempel: Att få en trea vid ett tärningskast. Ett eller flera utfall utgör en händelse. Exempel: Att få ”udda antal prickar” vid ett tärningskast. beräkna sannolikheten för en händelse när alla utfall är lika sannolika antalet gynnsamma utfall P(händelse) = ____________________ antalet möjliga utfall
uppskatta sannolikheten för en händelse med hjälp av relativ frekvens
En påse innehåller 11 gula och 14 röda kulor. Sannolikheten att få en gul kula om man plockar upp en kula utan 11 att titta är ___ = 0,44 = 44 % 25
Nivå 1: 1, 2, 3, 4, 12, 14
Av 3 600 tillverkade bilar har 3 st fabrikationsfel. Sannolikheten att en bil har ett fabrikationsfel är 3 1 _____ = _____ ≈ 0,0008 = 0,08 % 3 600 1 200
Nivå 1: 5, 7, 10, 13 Nivå 2: 25, 30 Nivå 3: 31, 33
Slumpförsök i flera steg s. 225–236 beräkna sannolikheten för slumpförsök i flera steg
Sannolikheten att slå en fyra med en tärning tre gånger i rad är 1 1 __ 1 1 __ ∙ __ ∙ = ____ 6 6 6 216
Nivå 1: 6, 8, 11, 15, 16, 17, 19, 20 Nivå 2: 21, 23, 26, 27, 28, 29 Nivå 3: 32
rita och använda träddiagram
Diagrammet visar utfallen när man singlar slant två gånger. P(klave, klave) = = 0,5 ∙ 0,5 = 0,25
Nivå 1: 6, 15, 16, 19 Nivå 2: 23, 27, 28 Nivå 3: 32
förklara skillnaden mellan oberoende och beroende händelser
0,5
0,5
Klave 0,5
0,5 0,5
Krona 0,5
Klave
Krona Klave
Krona
Två händelser är oberoende, när sannolikheterna i det andra försöket inte beror av utfallet i det första försöket. Exempel: Ur en kortlek drar du två kort med återläggning.
Nivå 1: 18, 19
Två händelser är beroende, när sannolikheterna i det andra försöket beror av utfallet i det första försöket. Exempel: Ur en kortlek drar du två kort utan återläggning. beräkna sannolikheten för en händelse med hjälp av komplementhändelse
Sannolikheten för att minst en pojke föds i en trebarnsfamilj är 1 – P(bara flickor) = 1 – 0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 = = 1 – 0,125 = 0,875 P(händelse) = 1 – P(komplementhändelse)
Kan inte Känner igen men behöver repetera
Känner mig ganska säker Är helt säker
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
Nivå 1: 9 Nivå 2: 21, 24, 29 Nivå 3: 33
Aktivitet Koll på kapitel 6 Syfte och centralt innehåll Koll på kapitlet har vi hämtat från elevbokens sammanfattning. Här har vi konkretiserat vad eleverna ska lära sig i ett antal lärandemål. Vi ger konkreta exempel på vad varje lärandemål innebär och ger eleverna möjlighet att värdera hur väl de kan respektive moment. På så sätt kan eleverna få syn på sitt eget lärande. Genom att erbjuda Koll på kapitlet som kopieringsmaterial kan eleverna göra självvärderingen på ett separat papper. I tabellen på aktivitetsstencilen har vi även lagt till en kolumn där eleverna kan se vilka uppgifter i Blandade uppgifter, som behandlar respektive moment. På så sätt kan eleverna välja ut de uppgifter de behöver träna mer på.
Materiel Aktivitetsstencil Koll på kapitlet.
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
LÄRARHANDLEDNING
Genomförande Dela ut aktivitetsstencilen Koll på kapitlet till eleverna och låt dem värdera hur säkra de känner sig på respektive moment genom att fylla i självskattningen till höger i tabellen. Låt eleverna arbeta vidare med Blandade uppgifter. Där kan de särskilt fokusera på de uppgifter som behandlar moment som de skattat som röda, orange eller gula. Vilka uppgifter som behandlar respektive moment ser eleverna i tabellen.
Utvidgning eller variation Samla gärna in elevernas självvärderingar vid lektionens slut. Det kan ge dig en bra bild av vilka moment som klassen behöver repetera lite extra. På så sätt är aktiviteten ett bra verktyg för formativ bedömning.