kapiteltest
Del 1 1 Uttrycket 3x – x + 2y kan förenklas till
6 Vilket av alternativen är en lösning till ekvationen 7(z – 2) = 21?
1 3 + 2y X 2x + 2y
1 z=5
2 4+x+y
X z=4
matematik
2 z=3
2 Vilket är värdet av uttrycket 2a + 3b om 7 Talföljden 3, 9, 15, 21, 27, … kan beskrivas
a = 5 och b = 1?
med formeln
1 13 X 56
1 a = 3n
2 11
X a = 3 + 6n
Kerstin Olofsson Verner Gerholm
2 a = 6n – 3
3 I uttrycket 17a + 2b + 3 är 1 a och b variabler och 3 är en koefficient
8 Rektangelns area kan beskrivas med uttrycket
X a och b variabler och 3 är en konstantterm
1a
3
2 a och b koefficienter och 3 är en konstantx+5
term
1 2x + 16
4 Med formeln V =
B·h ____ kan man beräkna
3 volymen av en kon. Vilken volym har en kon med B = 10 m och h = 4,5 m? 1 45 m3 X 15 m3 2 4,8 m3
5 Uttrycket 4 – (3y – 9) kan förenklas till 1 –3y – 13 X 13 – 3y 2 3y – 5
130
algebra och ekvationer kapiteltest
X 8+x 2 3(x + 5)
9 Vilket samband beskriver att x är fyra gånger så stort som y? 1 x=y+4 X y=4 4xx 2 x=4 4yy Kapiteltest Sist i varje kapitel ligger ett test, som knyter an till lärande10målen Vilket alternativ är en Det lösning till i kapitlets inledning. ekvationen 4xx + 12 22xx + 12? ger eleverna möjlighet att=själva kontrollera sina kunskaper. 1 x=2 Testet är indelat i två delar: = 0flervalsfrågor och en enXdelxmed del där eleverna ska redovisa 2 x=4 sina lösningar.
Smak prov !
Lärarguide
Exempel
2227 Det finns ett samband mellan talen i raden
Beräkna utan räknare a) 8 · (–3) –36 c) ____ –12
…, 14, –28, 56, –112, … a) Hur får man nästa tal i raden?
b) (–8) · (–3) –25 d) _______ 2 – (–3)
b) Vilka tal saknas i början och slutet av raden?
2228 Nicolina säger att produkten av tre negativa
Exempel
–25 d) _______ = 2 – (–3)
–25 = ____ = –5 5
tal alltid är negativ. Melinda säger att pro produkten av fyra negativa tal alltid är positiv. Har någon av dem rätt? Motivera ditt svar.
I varje avsnitt i Lärarguiden 2229exempel Beräkna utan räknare finns ytterligare att gå 50 En negativ faktor ger en negativigenom med eleverna. a) –4 · (–3) + (5 – 7) – ___ –5 produkt
positiv produkt
Olika tecken på täljare och nämnare ger en negativ kvot
I a)- respektive d)-uppgiften kan man uppmärksamma att 8 · (−3) = (−8) · 3 och −25 25 att ____ = ___ 5 −5
a) ett så stort tal som möjligt
Decimalsystemet
c) ett tal så nära 0 som möjligt
Några tiondelar finns inte i Tancocks rekord, 24,04 s. Därför använder vi siffran 0 för att markera en tom plats. Det är en finurlighet som inte finns i alla talsystem!
utföra beräkningen.
2232 Blir svaret mer än 100? Besvara frågan utan att utföra beräkningen.
Positionssystem
Platsvärde
(–350) · (–470) ______________ (–2) · (–3) · (–4)
Sant eller falskt
Fundera och förklara
Avgör om påståendena är sanna eller falska utan att använda räknare.
˕ Vilka olika betydelser kan minustecknet
ˤ När man räknar ut 12 – 10 + 5 blir svaret
˕ Vilket heltal ligger mitt emellan –3 och 5?
negativt.
ha? ˕ Ola försöker förklara för Pernilla hur man
ˤ När man beräknar –7 – (–9) får man
resultatet 2.
I talet 24,04 förekommer siffran 4 två gånger, som ental och som hundradelar. Det är siffrans position i talet som avgör hur mycket siffran är värd. Därför säger man att vårt talsystem är ett positionssystem. Om vi går från höger till vänster i talet 24,04 har siffrorna platsvärdena hundradel, tiondel, ental och tiotal. Platsvärdet ökar alltså 10 gånger för varje steg vi tar till vänster i ett tal. Det kan man utnyttja vid multiplikation och division med exempelvis talen 10, 100 och 1 000.
Resonemang och begrepp
ˤ –30 är mindre än –25
Ett av de äldsta världsrekorden inom simning innehar britten Liam Tancock. Han simmade 50 m ryggsim på tiden 24 sekunder och 4 hundradelar år 2009. I vårt talsystem skriver vi det som
24,04
2231 Vilket tal är störst? Besvara frågan utan att
b = (–19) · (–19) · (–19)
Lika tecken på täljare och nämnare ger en positiv kvot Den underförstådda parentesen i nämnaren beräknas först
Tal i decimalform
några av de fyra räknesätten och skapa
a = (–9) · (–9) · (–9) · (–9)
37 – 39 32 b) –5 – (–5) + ______ + ___ –2 –4 18 – 22 c) ______ – (–7 – 3) – (–3) · (–3) 4
b) (–8) · (–3) = 24 Två negativa faktorer ger en –36 c) ____ = 3 –12
2230 Använd alla talen –8, –10, 2 och 4 samt
räknar med negativa tal. Han säger: ”Om det står minus, minus, så är det plus.” Vad är det han försöker beskriva?
ˤ Om man beräknar 5 + 5 och –5 – 5 får
Tal i decimalform
2.3 Positionssystemet
b) ett så litet tal som möjligt
Lösning/Kommentar a) 8 · (–3) = –24
NIVÅ 3
Multiplikation och division med 10, 100 och 1 000
Tiondel Hundradel
2 4 , 0 4 Tiotal Ental
När ett tal multipliceras med 10 blir talet 10 gånger så stort.
Efter att ha jobbat med avsnittet ska eleven kunna • använda begrepp som tiotal – tiondelar, hundratal – hundradelar osv.
10 · 36,84 = 368,4 Trean som hade värdet 30 i 36,84 är värd 300 i 368,4
När ett tal divideras med 10 blir talet 10 gånger så litet. 36,84 _____ = 3,684 10
Trean som hade värdet 30 i 36,84 är värd 3 i 3,684
På liknande sätt kan vi tänka när vi multiplicerar eller dividerar med 100 och 1 000.
man samma svar.
(–438) · (–377) · 268 ˤ När man räknar ut ________________ blir svaret positivt.
Decimalsystemet, tillsammans med de tio indoarabiska siffrorna, är kanske den mest spridda symbolkonstruktion som finns. Trots skillnader i skrivspråk mellan olika kulturer, så delar de allra flesta samma talsystem och siffror. Majoriteten av alla elever som börjar gymnasiet kan praktiskt hantera decimalsystemet. Däremot är det osäkert hur väl de förstår uppbyggnaden av systemet och om de kan beskriva det med ord. Det här avsnittet syftar till att ge eleverna en ökad begreppsmässig förståelse för vårt talsystem.
–92
• utföra beräkningar med tal i decimalform • utföra multiplikation och division med 10, 100 och 1 000 med hjälp av huvudräkning
ˤ Trettiosju negativa faktorer ger en negativ
produkt.
Svar till Resonemang och begrepp Sant eller falskt • Falskt, 12 – 10 + 5 = 7 • Sant, –30 ligger längre till vänster på tallinjen än –25. • Sant, –7 – (–9) = –7 + 9 = 2. • Falskt, 5 + 5 = 10 medan –5 – 5 = –10. • Falskt, eftersom produkten (–438) · (–377) är positiv, så är täljaren positiv. En positiv täljare och en negativ nämnare ger en negativ kvot. • Sant, ett udda antal negativa faktorer ger en negativ produkt. Fundera och förklara • Minustecknet kan representera räknesättet subtraktion eller ett negativt tal. Minustecknet används också för att beteckna ett
34
tal . negativa tal
34
tal • 2.2 negativa tal
tal • 2.3 positionssystemet
35
Att tänka på
Lösningar I Lärarguiden finns svar till de uppgifter som inte har något facit i elevboken. Längst bak finns även lösningar till elevbokens Nivå 3-uppgifter.
motsatt tal, men denna betydelse har vi valt att inte behandla i elevboken. • Talet 1. • Ola försöker troligen beskriva att en subtraktion med ett negativt tal kan ses som en addition, t.ex. 5 – (–3) = 5 + 3 = 8.
Lästips
tänka på McIntosh, Alistair (2008). Att Förstå och använda I rutorna Att tänka på tal: en handbok. diskuterar vi kritiska punkter i lärandet och ger tips på hur du kan möta elever som tycker att matematik är svårt. Yrkesmatematik – tal i decimalform Både till vardags och i yrkeslivet använder vi ofta tal skrivna i decimalform. Stigningen mellan gängorna på en viss skruv kan vara 0,25 mm, många branscher har 12,48 procent i semestertillägg och när vi köper frukt i matbutiken anges vikten i kilogram med tre decimaler, t.ex. 0,765 kg. Låt eleverna ge fler förslag på tal skrivna i decimalform från sina yrkesämnen.
En vanlig missuppfattning när elever arbetar med decimaltal är att de betraktar decimaltecknet som mitten av talet. Det kan leda till svårigheter att tolka platsvärden. Många elever är i stället hjälpta av att betrakta entalssiffran som talets mitt. En position till vänster om entalssiffran är tiotalssiffran, och en position till höger om entalssiffran är tiondelssiffran. På samma sätt är hundratalssiffran två positioner till vänster om entalssiffran, medan hundradelssiffran är två positioner till höger om entalssiffran.Talsystemet kan alltså betraktas som symmetriskt uppbyggt kring entalssiffran. Att hjälpa elever att uppfatta entalssiffran i stället för decimaltecknet som talets mitt, kan hjälpa dem att tolka siffrornas platsvärden.
tal . positionssystemet
35
Exempel
2227 Det finns ett samband mellan talen i raden
Beräkna utan räknare a) 8 · (–3) –36 c) ____ –12
…, 14, –28, 56, –112, … a) Hur får man nästa tal i raden?
b) (–8) · (–3) –25 d) _______ 2 – (–3)
b) Vilka tal saknas i början och slutet av raden?
2228 Nicolina säger att produkten av tre negativa
Exempel
–25 d) _______ = 2 – (–3)
–25 = ____ = –5 5
tal alltid är negativ. Melinda säger att pro produkten av fyra negativa tal alltid är positiv. Har någon av dem rätt? Motivera ditt svar.
I varje avsnitt i Lärarguiden 2229exempel Beräkna utan räknare finns ytterligare att gå 50 En negativ faktor ger en negativigenom med eleverna. a) –4 · (–3) + (5 – 7) – ___ –5 produkt
positiv produkt
Olika tecken på täljare och nämnare ger en negativ kvot
I a)- respektive d)-uppgiften kan man uppmärksamma att 8 · (−3) = (−8) · 3 och −25 25 att ____ = ___ 5 −5
a) ett så stort tal som möjligt
Decimalsystemet
c) ett tal så nära 0 som möjligt
Några tiondelar finns inte i Tancocks rekord, 24,04 s. Därför använder vi siffran 0 för att markera en tom plats. Det är en finurlighet som inte finns i alla talsystem!
utföra beräkningen.
2232 Blir svaret mer än 100? Besvara frågan utan att utföra beräkningen.
Positionssystem
Platsvärde
(–350) · (–470) ______________ (–2) · (–3) · (–4)
Sant eller falskt
Fundera och förklara
Avgör om påståendena är sanna eller falska utan att använda räknare.
˕ Vilka olika betydelser kan minustecknet
ˤ När man räknar ut 12 – 10 + 5 blir svaret
˕ Vilket heltal ligger mitt emellan –3 och 5?
negativt.
ha? ˕ Ola försöker förklara för Pernilla hur man
ˤ När man beräknar –7 – (–9) får man
resultatet 2.
I talet 24,04 förekommer siffran 4 två gånger, som ental och som hundradelar. Det är siffrans position i talet som avgör hur mycket siffran är värd. Därför säger man att vårt talsystem är ett positionssystem. Om vi går från höger till vänster i talet 24,04 har siffrorna platsvärdena hundradel, tiondel, ental och tiotal. Platsvärdet ökar alltså 10 gånger för varje steg vi tar till vänster i ett tal. Det kan man utnyttja vid multiplikation och division med exempelvis talen 10, 100 och 1 000.
Resonemang och begrepp
ˤ –30 är mindre än –25
Ett av de äldsta världsrekorden inom simning innehar britten Liam Tancock. Han simmade 50 m ryggsim på tiden 24 sekunder och 4 hundradelar år 2009. I vårt talsystem skriver vi det som
24,04
2231 Vilket tal är störst? Besvara frågan utan att
b = (–19) · (–19) · (–19)
Lika tecken på täljare och nämnare ger en positiv kvot Den underförstådda parentesen i nämnaren beräknas först
Tal i decimalform
några av de fyra räknesätten och skapa
a = (–9) · (–9) · (–9) · (–9)
37 – 39 32 b) –5 – (–5) + ______ + ___ –2 –4 18 – 22 c) ______ – (–7 – 3) – (–3) · (–3) 4
b) (–8) · (–3) = 24 Två negativa faktorer ger en –36 c) ____ = 3 –12
2230 Använd alla talen –8, –10, 2 och 4 samt
räknar med negativa tal. Han säger: ”Om det står minus, minus, så är det plus.” Vad är det han försöker beskriva?
ˤ Om man beräknar 5 + 5 och –5 – 5 får
Tal i decimalform
2.3 Positionssystemet
b) ett så litet tal som möjligt
Lösning/Kommentar a) 8 · (–3) = –24
NIVÅ 3
Multiplikation och division med 10, 100 och 1 000
Tiondel Hundradel
2 4 , 0 4 Tiotal Ental
När ett tal multipliceras med 10 blir talet 10 gånger så stort.
Efter att ha jobbat med avsnittet ska eleven kunna • använda begrepp som tiotal – tiondelar, hundratal – hundradelar osv.
10 · 36,84 = 368,4 Trean som hade värdet 30 i 36,84 är värd 300 i 368,4
När ett tal divideras med 10 blir talet 10 gånger så litet. 36,84 _____ = 3,684 10
Trean som hade värdet 30 i 36,84 är värd 3 i 3,684
På liknande sätt kan vi tänka när vi multiplicerar eller dividerar med 100 och 1 000.
man samma svar.
(–438) · (–377) · 268 ˤ När man räknar ut ________________ blir svaret positivt.
Decimalsystemet, tillsammans med de tio indoarabiska siffrorna, är kanske den mest spridda symbolkonstruktion som finns. Trots skillnader i skrivspråk mellan olika kulturer, så delar de allra flesta samma talsystem och siffror. Majoriteten av alla elever som börjar gymnasiet kan praktiskt hantera decimalsystemet. Däremot är det osäkert hur väl de förstår uppbyggnaden av systemet och om de kan beskriva det med ord. Det här avsnittet syftar till att ge eleverna en ökad begreppsmässig förståelse för vårt talsystem.
–92
• utföra beräkningar med tal i decimalform • utföra multiplikation och division med 10, 100 och 1 000 med hjälp av huvudräkning
ˤ Trettiosju negativa faktorer ger en negativ
produkt.
Svar till Resonemang och begrepp Sant eller falskt • Falskt, 12 – 10 + 5 = 7 • Sant, –30 ligger längre till vänster på tallinjen än –25. • Sant, –7 – (–9) = –7 + 9 = 2. • Falskt, 5 + 5 = 10 medan –5 – 5 = –10. • Falskt, eftersom produkten (–438) · (–377) är positiv, så är täljaren positiv. En positiv täljare och en negativ nämnare ger en negativ kvot. • Sant, ett udda antal negativa faktorer ger en negativ produkt. Fundera och förklara • Minustecknet kan representera räknesättet subtraktion eller ett negativt tal. Minustecknet används också för att beteckna ett
34
tal . negativa tal
34
tal • 2.2 negativa tal
tal • 2.3 positionssystemet
35
Att tänka på
Lösningar I Lärarguiden finns svar till de uppgifter som inte har något facit i elevboken. Längst bak finns även lösningar till elevbokens Nivå 3-uppgifter.
motsatt tal, men denna betydelse har vi valt att inte behandla i elevboken. • Talet 1. • Ola försöker troligen beskriva att en subtraktion med ett negativt tal kan ses som en addition, t.ex. 5 – (–3) = 5 + 3 = 8.
Lästips
tänka på McIntosh, Alistair (2008). Att Förstå och använda I rutorna Att tänka på tal: en handbok. diskuterar vi kritiska punkter i lärandet och ger tips på hur du kan möta elever som tycker att matematik är svårt. Yrkesmatematik – tal i decimalform Både till vardags och i yrkeslivet använder vi ofta tal skrivna i decimalform. Stigningen mellan gängorna på en viss skruv kan vara 0,25 mm, många branscher har 12,48 procent i semestertillägg och när vi köper frukt i matbutiken anges vikten i kilogram med tre decimaler, t.ex. 0,765 kg. Låt eleverna ge fler förslag på tal skrivna i decimalform från sina yrkesämnen.
En vanlig missuppfattning när elever arbetar med decimaltal är att de betraktar decimaltecknet som mitten av talet. Det kan leda till svårigheter att tolka platsvärden. Många elever är i stället hjälpta av att betrakta entalssiffran som talets mitt. En position till vänster om entalssiffran är tiotalssiffran, och en position till höger om entalssiffran är tiondelssiffran. På samma sätt är hundratalssiffran två positioner till vänster om entalssiffran, medan hundradelssiffran är två positioner till höger om entalssiffran.Talsystemet kan alltså betraktas som symmetriskt uppbyggt kring entalssiffran. Att hjälpa elever att uppfatta entalssiffran i stället för decimaltecknet som talets mitt, kan hjälpa dem att tolka siffrornas platsvärden.
tal . positionssystemet
35
Starter
2427 Bestäm förhållandet mellan spolarvätska
Starter
a) Förhållandet mellan antalet barn och antalet vuxna är 32:56. I enklaste form skriver vi 4:7. b) Nästa föreställning kan ha setts av 4 barn och 7 vuxna, eller multiplar av den fördelningen, t.ex. 8 och 14, 12 och 21 eller 100 och 175.
och vatten vid 12 minusgrader.
På en teaterföreställning fanns det 32 barn och 56 vuxna i publiken. a) Bestäm förhållandet mellan antalet barn och antalet vuxna. b) Nästa föreställning var förhållandet mellan antalet barn och vuxna i publiken detsamma. Hur många barn och vuxna kan ha suttit i publiken?
I restauranger och gatukök samlar man upp överblivet matfett för återvinning. Behållarna finns i två storlekar där volymerna förhåller sig till varandra som 3:5. Den ena behållaren rymmer 120 liter. Hur mycket rymmer den andra?
–12°C –19°C
NIVÅ 1 2422 I vilka av rektanglarna förhåller sidorna sig
2433 Sidorna i en rektangel förhåller sig till
2434 I juni var förhållandet mellan antalet dagar då det regnade och antalet dagar då det var uppehåll 2:3. Hur många av dagarna regnade det?
–35°C Delar koncentrerad spolarvätska
2438 I instruktionsboken till en gräsklippare står
varandra som 3:5. Om den korta sidan är 15 mm, hur lång är då den långa sidan?
Delar vatten
2428 Till 2 dl mjölk går det åt 3 skedar chokladpulver. Hur många skedar chokladpulver går det åt till 6 dl mjölk?
som 3:7?
Alternativ starter
–8°C
NIVÅ 2
2429 Längderna av två plankor förhåller sig som
2435 Figuren visar en så kallad egyptisk triangel. I en sådan förhåller sig sidorna till varandra som 3:4:5. Beräkna längderna för de två okända sidorna. (cm)
1:3. Hur lång är den längsta plankan om den kortare är 1,2 meter? 9
A
2430 I figuren är några rutor gröna och några
28
C B
25
vita.
14
2436 Karim ska göra älgfärsbiffar i ett storkök. 12
6
5
2423 Bestäm förhållandet mellan talen a) 10 och 30
b) 8 och 20
71nn 2424 Bestäm förhållandet mellan sidorna a) i Japans flagga
Svar: 72 liter eller 200 liter.
Bestäm a) förhållandet mellan gröna och vita rutor b) andelen gröna rutor i figuren
2431 Hur många tjejer och killar kan det vara i 160 cm
en klass om förhållandet mellan antalet tjejer och antalet killar är a) 1:1
b) 1:2
I receptet står det att man ska blanda 2 kg fläskfärs med 5 kg älgfärs. Karim vill använda 7 kg älgfärs. Hur mycket fläskfärs behöver han?
2437 Vikterna hos två paket förhåller sig som 2:5. Om det ena paketet väger 10 kg, vad kan det andra paketet väga då?
Gyllene snittet
det att förhållandet mellan olja och bensin i bensinblandningen ska vara 1:50.
Det gyllene snittet är ett välkänt förhållande mellan sträckor. När två sträckor förhåller sig A Det är 1 dl olja och 50 dl bensin i till varandra som det gyllene snittet är blandningen. __ B Det är 50 gånger så mycket bensin 1 + √5 som olja i blandningen. förhållandet mellan sidorna ______ Tips 2 C 1/50 av den färdiga bensinblandningen är olja. Det betyder att den längre sidan är ungefär Ta del av mängder av tips b) Hur stor andel olja är det i den färdiga bensinblandningen? till din undervisning! Vi ger 1,618 gånger så lång som den kortare sidan. förslag resonemangsoch 2439 När man blandar linoljefärgpå tar man 1 del linolja till 2 delar färgpigment. problemlösningsuppgifter, En rektangel där sidorna förhåller sig som det a) Vad är förhållandet mellan linolja och historiska utvikningar och gyllene snittet kallas för en gyllene rektangel. färgpigment? b) Hur mycketanknytning linolja finns det i 12till liter yrkesämnena. Det sägs att en sådan är särskilt tilltalande för färdigblandad färg? ögat, men undersökningar i olika folkgrupper NIVÅ 3 och kulturer har inte varit entydiga. Genomför 2440 Yris ska designa två prydnadslådor i trä. Yris har bestämt att förhållandet mellan gärna en undersökning i klassen! Vilka av reklådornas höjd, längd och bredd ska vara samma. Den minsta lådan har måtten tanglarna här nedanför tycker eleverna är mest 10 cm × 12 cm × 8 cm. Vilka mått kan Yris välja för den stora lådan om en av sidorna tilltalande? Vilket är förhållandet mellan rekska vara 20 cm? tangelns sidor? a) Vad innebär det?
c) 3:1
3
240 cm
Kroppsproportioner När illustratörer ska rita 1 actionfigurer till dataspel 2 och filmer behöver kroppens 3 proportioner vara rätt. För 4 att få lämpliga kroppspro5 portioner kan man ta hjälp 6 av en modell där man räknar 7 med att en kroppslängd motsvarar ungefär 8 huvud8 längder. Förhållandet mellan sträckan från höften till knät och sträckan från knät till golvet är 1:1, och förhållandet mellan axelbredd och huvudets bredd är ungefär 5:2. En trevlig lektionsaktivitet är att låta eleverna undersöka hur väl deras kroppsproportioner stämmer överens med de givna proportionerna. En sådan aktivitet hittar du i kopieringsmaterialet Prov, Övningsblad och Aktiviteter.
Aktivitet Kroppsproportioner
52
tal . bråk
b) för bordet som du sitter vid
Starter och Exituppgift 2425 Ange två tal vars förhållande är 1:2.
I Lärarguiden definierar vi lärandemål Evas tv är cm hög och 105 cm bred.kan och ger2426 förslag på65 uppgifter som Skriv förhållandet mellan höjd och bredd. Svara i enklaste form. inleda respektive avsluta lektionen. Det underlättar ett formativt arbets52 sätt. Vi ger även kommentarer till uppgifterna i elevboken. Det hjälper dig att förstå de utmaningar eleverna kommer att ställas inför.
2432 Sofia har ritat en rektangel med sidorna
3
39 cm och 13 cm. Hon säger att sidorna förhåller sig till varandra som 3:1. När Niclas ser rektangeln säger han att sidorna förhåller sig som 1:3. Har någon av dem rätt?
tal • 2.4 bråk
Kommentarer till uppgifterna Uppgift 2424 är markerad med förstoringsglas. Där ska eleverna mäta bordet som de sitter vid. Därför kan det vara bra att ha några mätverktyg till hands. Utvidga gärna uppgiften till en gruppaktivitet, där eleverna mäter och beräknar förhållandet mellan längd och bredd hos ett fönster, en vägg eller en tavla i klassrummet. Flera av uppgifterna på Nivå 2, till exempel 2431 och 2437, liknar exemplet på sidan 51 i elevboken och kan lösas med flera olika metoder. De kan därför passa bra för grupp- eller pararbete. Uppgift 2439 tar ännu en gång upp skillnaden mellan att beräkna förhållandet mellan delarna och att beräkna andelen.
3
5
6 8
tal • 2.4 bråk
53
Yrkesmatematik – förhållande Många yrken arbetar med blandningsförhållanden. Det kan vara förhållandet mellan olja och vinäger i en dressing, förhållandet mellan nyanser i en färgblandning eller förhållandet mellan olika näringsämnen i ett foder. Andra exempel är förhållandet mellan torrbetong och vatten, förhållandet mellan pojkar och flickor i en förskolegrupp eller mellan glykol och vatten i spolarvätska. Låt gärna eleverna själva försöka ge exempel från sina yrkesämnen eller från sitt vardagsliv. Även elever som arbetar med hantverk kan ha användning för begreppet förhållande. När
Om man låter sidorna i en rektangel vara två konsekutiva Fibonaccital är rektangeln nära en gyllene rektangel (åtminstone om man bortser från de allra första elementen i talföljden). På sidan 126 i elevboken kan eleverna läsa mer om det gyllene snittet och Fibonnaccitalen.
Exituppgift Sidorna på en tavla förhåller sig som 4:5. Den långa sidan är 40 cm. Hur lång är den korta sidan? A 50 cm
B 30 cm
C 32 cm
man ska göra ett föremål i samma utförande men i en annan storlek måste längderna göras i samma förhållande till varandra. Begreppet förhållande förekommer också i skalor på ritningar. Skalan anger förhållandet mellan en sträcka på bilden och längden av motsvarande sträcka i verkligheten.
tal . bråk
53
Starter
2427 Bestäm förhållandet mellan spolarvätska
Starter
a) Förhållandet mellan antalet barn och antalet vuxna är 32:56. I enklaste form skriver vi 4:7. b) Nästa föreställning kan ha setts av 4 barn och 7 vuxna, eller multiplar av den fördelningen, t.ex. 8 och 14, 12 och 21 eller 100 och 175.
och vatten vid 12 minusgrader.
På en teaterföreställning fanns det 32 barn och 56 vuxna i publiken. a) Bestäm förhållandet mellan antalet barn och antalet vuxna. b) Nästa föreställning var förhållandet mellan antalet barn och vuxna i publiken detsamma. Hur många barn och vuxna kan ha suttit i publiken?
I restauranger och gatukök samlar man upp överblivet matfett för återvinning. Behållarna finns i två storlekar där volymerna förhåller sig till varandra som 3:5. Den ena behållaren rymmer 120 liter. Hur mycket rymmer den andra?
–12°C –19°C
NIVÅ 1 2422 I vilka av rektanglarna förhåller sidorna sig
2433 Sidorna i en rektangel förhåller sig till
2434 I juni var förhållandet mellan antalet dagar då det regnade och antalet dagar då det var uppehåll 2:3. Hur många av dagarna regnade det?
–35°C Delar koncentrerad spolarvätska
2438 I instruktionsboken till en gräsklippare står
varandra som 3:5. Om den korta sidan är 15 mm, hur lång är då den långa sidan?
Delar vatten
2428 Till 2 dl mjölk går det åt 3 skedar chokladpulver. Hur många skedar chokladpulver går det åt till 6 dl mjölk?
som 3:7?
Alternativ starter
–8°C
NIVÅ 2
2429 Längderna av två plankor förhåller sig som
2435 Figuren visar en så kallad egyptisk triangel. I en sådan förhåller sig sidorna till varandra som 3:4:5. Beräkna längderna för de två okända sidorna. (cm)
1:3. Hur lång är den längsta plankan om den kortare är 1,2 meter? 9
A
2430 I figuren är några rutor gröna och några
28
C B
25
vita.
14
2436 Karim ska göra älgfärsbiffar i ett storkök. 12
6
5
2423 Bestäm förhållandet mellan talen a) 10 och 30
b) 8 och 20
71nn 2424 Bestäm förhållandet mellan sidorna a) i Japans flagga
Svar: 72 liter eller 200 liter.
Bestäm a) förhållandet mellan gröna och vita rutor b) andelen gröna rutor i figuren
2431 Hur många tjejer och killar kan det vara i 160 cm
en klass om förhållandet mellan antalet tjejer och antalet killar är a) 1:1
b) 1:2
I receptet står det att man ska blanda 2 kg fläskfärs med 5 kg älgfärs. Karim vill använda 7 kg älgfärs. Hur mycket fläskfärs behöver han?
2437 Vikterna hos två paket förhåller sig som 2:5. Om det ena paketet väger 10 kg, vad kan det andra paketet väga då?
Gyllene snittet
det att förhållandet mellan olja och bensin i bensinblandningen ska vara 1:50.
Det gyllene snittet är ett välkänt förhållande mellan sträckor. När två sträckor förhåller sig A Det är 1 dl olja och 50 dl bensin i till varandra som det gyllene snittet är blandningen. __ B Det är 50 gånger så mycket bensin 1 + √5 som olja i blandningen. förhållandet mellan sidorna ______ Tips 2 C 1/50 av den färdiga bensinblandningen är olja. Det betyder att den längre sidan är ungefär Ta del av mängder av tips b) Hur stor andel olja är det i den färdiga bensinblandningen? till din undervisning! Vi ger 1,618 gånger så lång som den kortare sidan. förslag resonemangsoch 2439 När man blandar linoljefärgpå tar man 1 del linolja till 2 delar färgpigment. problemlösningsuppgifter, En rektangel där sidorna förhåller sig som det a) Vad är förhållandet mellan linolja och historiska utvikningar och gyllene snittet kallas för en gyllene rektangel. färgpigment? b) Hur mycketanknytning linolja finns det i 12till liter yrkesämnena. Det sägs att en sådan är särskilt tilltalande för färdigblandad färg? ögat, men undersökningar i olika folkgrupper NIVÅ 3 och kulturer har inte varit entydiga. Genomför 2440 Yris ska designa två prydnadslådor i trä. Yris har bestämt att förhållandet mellan gärna en undersökning i klassen! Vilka av reklådornas höjd, längd och bredd ska vara samma. Den minsta lådan har måtten tanglarna här nedanför tycker eleverna är mest 10 cm × 12 cm × 8 cm. Vilka mått kan Yris välja för den stora lådan om en av sidorna tilltalande? Vilket är förhållandet mellan rekska vara 20 cm? tangelns sidor? a) Vad innebär det?
c) 3:1
3
240 cm
Kroppsproportioner När illustratörer ska rita 1 actionfigurer till dataspel 2 och filmer behöver kroppens 3 proportioner vara rätt. För 4 att få lämpliga kroppspro5 portioner kan man ta hjälp 6 av en modell där man räknar 7 med att en kroppslängd motsvarar ungefär 8 huvud8 längder. Förhållandet mellan sträckan från höften till knät och sträckan från knät till golvet är 1:1, och förhållandet mellan axelbredd och huvudets bredd är ungefär 5:2. En trevlig lektionsaktivitet är att låta eleverna undersöka hur väl deras kroppsproportioner stämmer överens med de givna proportionerna. En sådan aktivitet hittar du i kopieringsmaterialet Prov, Övningsblad och Aktiviteter.
Aktivitet Kroppsproportioner
52
tal . bråk
b) för bordet som du sitter vid
Starter och Exituppgift 2425 Ange två tal vars förhållande är 1:2.
I Lärarguiden definierar vi lärandemål Evas tv är cm hög och 105 cm bred.kan och ger2426 förslag på65 uppgifter som Skriv förhållandet mellan höjd och bredd. Svara i enklaste form. inleda respektive avsluta lektionen. Det underlättar ett formativt arbets52 sätt. Vi ger även kommentarer till uppgifterna i elevboken. Det hjälper dig att förstå de utmaningar eleverna kommer att ställas inför.
2432 Sofia har ritat en rektangel med sidorna
3
39 cm och 13 cm. Hon säger att sidorna förhåller sig till varandra som 3:1. När Niclas ser rektangeln säger han att sidorna förhåller sig som 1:3. Har någon av dem rätt?
tal • 2.4 bråk
Kommentarer till uppgifterna Uppgift 2424 är markerad med förstoringsglas. Där ska eleverna mäta bordet som de sitter vid. Därför kan det vara bra att ha några mätverktyg till hands. Utvidga gärna uppgiften till en gruppaktivitet, där eleverna mäter och beräknar förhållandet mellan längd och bredd hos ett fönster, en vägg eller en tavla i klassrummet. Flera av uppgifterna på Nivå 2, till exempel 2431 och 2437, liknar exemplet på sidan 51 i elevboken och kan lösas med flera olika metoder. De kan därför passa bra för grupp- eller pararbete. Uppgift 2439 tar ännu en gång upp skillnaden mellan att beräkna förhållandet mellan delarna och att beräkna andelen.
3
5
6 8
tal • 2.4 bråk
53
Yrkesmatematik – förhållande Många yrken arbetar med blandningsförhållanden. Det kan vara förhållandet mellan olja och vinäger i en dressing, förhållandet mellan nyanser i en färgblandning eller förhållandet mellan olika näringsämnen i ett foder. Andra exempel är förhållandet mellan torrbetong och vatten, förhållandet mellan pojkar och flickor i en förskolegrupp eller mellan glykol och vatten i spolarvätska. Låt gärna eleverna själva försöka ge exempel från sina yrkesämnen eller från sitt vardagsliv. Även elever som arbetar med hantverk kan ha användning för begreppet förhållande. När
Om man låter sidorna i en rektangel vara två konsekutiva Fibonaccital är rektangeln nära en gyllene rektangel (åtminstone om man bortser från de allra första elementen i talföljden). På sidan 126 i elevboken kan eleverna läsa mer om det gyllene snittet och Fibonnaccitalen.
Exituppgift Sidorna på en tavla förhåller sig som 4:5. Den långa sidan är 40 cm. Hur lång är den korta sidan? A 50 cm
B 30 cm
C 32 cm
man ska göra ett föremål i samma utförande men i en annan storlek måste längderna göras i samma förhållande till varandra. Begreppet förhållande förekommer också i skalor på ritningar. Skalan anger förhållandet mellan en sträcka på bilden och längden av motsvarande sträcka i verkligheten.
tal . bråk
53
matematik
1a Matematik Origo är moderna läroböcker skrivna för Gy 2011 med Utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter Matematisk modellering, kommunikationsuppgifter och problemlösning för alla Målbeskrivningar, sammanfattning och test till varje kapitel Serien består av Matematik Origo 1a och 2a för yrkesprogrammen Matematik Origo 1b, 2b och 3b för Samhällsvetenskapsprogrammet, Ekonomiprogrammet, Humanistiska programmet och Estetiska programmet Matematik Origo 1c, 2c, 3c, 4 och 5 för Naturvetenskapsprogrammet och Teknikprogrammet
ISBN 978-91-523-4574-0