Hanna Almström Pernilla Tengvall
3A
matematik Lärarguide
Koll på
6344_KPM_LG_3A_Omslag.indd 1
2016-09-15 11:26
INNEHÅLL
KOLL PÅ MATEMATIK
Koll på matematik
2
Välkommen till Lärarguiden
Komponenter
3
Symbolförteckning
4
Elevbok
4
Koll på matematik är ett basläromedel för åk 1-3 och är skrivet utifrån Lgr 11. Materialet lägger tonvikt på de matematiska förmågorna. Metoder för kommunikation och resonemang används löpande och ligger till grund för undervisningen.
Lärarguide
6
Lärande
7
Begrepp
8
Kommunikation
10
Problemlösning
11
Bedömning
14
Beräkningsstrategier
14
Kapitel 1
16
Kapitel 2
42
Kapitel 3
74
Kapitel 4
102
Kapitel 5
130
Kapitel 6
156
Stora begreppskollen
184
Arbetsblad
186
Begreppsblad
246
Underlag för bedömning och lärarreflektion
250
Eleverna ser sitt lärande utvecklas genom formativa metoder för självbedömning och kamratbedömning. De lär både av och tillsammans med andra. Du som lärare är den absolut viktigaste faktorn för vad och hur dina elever lär sig. Genom lärarguiden får du hjälp med att planera och genomföra en kunskaps- och språkutvecklande matematikundervisning. Du får även stöd i hur du löpande och kvalitativt kan följa och bedöma elevernas kunskapsutveckling och förståelse för det matematiska innehållet. Hanna och Pernilla
2 INTRODUKTION
6344_KPM_LG_3A_Intro.indd 2
2016-09-15 11:29
KOMPONENTER Läromedelsserien består av följande komponenter för varje termin:
Hanna Almström Pernilla Tengvall
3A
Hanna Almström Pernilla Tengvall
3A
3A
matematik Lärarguide
Koll på
matematik
Koll på matematik
Koll på
Hanna Almström Pernilla Tengvall
Lärarguide
Elevbok Elevbok med sex kapitel. Elevboken innehåller även en praktisk flik med symbolförteckning och en uppslagsdel utifrån elevbokens innehåll.
Hanna Almström Pernilla Tengvall
Lärarguide med anvisningar till varje kapitel. Lärarguiden ger även ämneskunskap, pedagogiskt och didaktiskt stöd för planering och genomförande av undervisningen, underlag för bedömning i form av lärarreflektion samt arbetsblad och facit.
3A
matematik Läxbok
Koll på
Läxbok Läxbok med två läxor till varje kapitel. I läxboken kan eleverna fortsätta med det matematiska innehåll som behandlats i elevboken. Varje läxa består av ett uppslag. Här finns hänvisning till VIDARE, som är ytterligare uppgifter med högre svårighetsnivå, eller av mer öppen karaktär, längre bak i läxboken. På sista sidan finns fakta, tips och stöd kopplat till varje läxa. Även läxboken har en praktisk flik med en uppslagsdel utifrån läxbokens innehåll.
6344_KPM_LG_3A_Intro.indd 3
Bingel Bingel är en digital värld med färdighetsträning. Den följer elevbokens kapitel och matematiska innehåll. www.bingel.se
INTRODUKTION
3
2016-09-15 11:29
SYMBOLFÖRTECKNING Problemlösning Uppgiften utvecklar problemlösningsförmågan. Begrepp Uppgiften utvecklar begreppsförmågan.
ELEVBOK Koll på matematik 3A innehåller sex kapitel som alla följer samma upplägg. I innehållsförteckningen finns tydlig information om vad varje kapitel innehåller.
4 KAPITEL 4
Metod Uppgiften utvecklar metodfömågan.
4
12 __ =4 3
handlar om:
multiplikation•–•multiplicera•med•2,•4•och•8,• ••multiplicera•med•3•och•6,•se•samband division•–•dividera•med•2,•4•och•8,• ••dividera•med•3•och•6,•se•samband ••välja•räknesätt ••geometriska•objekt•–•omkrets,•area ••problemlösning•–•rita,•pröva,•tabell,•mönster•
12 __ =2 6
Jag ser samband!
Hur kan vi ta reda på vilket fönster som är störst?
Jag ser samband!
Kommunikation och resonemang Uppgiften utvecklar kommunikationsoch resonemangsförmågan. Begreppskoll 1. Självbedömning av förförståelse inför arbete med nytt begrepp. 2. Självbedömning av begreppsförståelse under arbetets gång. 3. Begreppsförståelsen visas och förklaras i Stora begreppskollen. Två Stjärnor Visade kvalitéer i lösningen och/eller problemformuleringen. En Önskan Förslag till förbättring. Nästa steg i lärandet.
5 ∙ 2 = 10 5 ∙ 4 = 20 5 ∙ 8 = 40
Jag har en idé!
92 KAPITEL 4
KAPITEL 4
Startsidorna Startsidorna introducerar kapitlets innehåll. En punktlista visar vad kapitlet handlar om. Bilderna inbjuder till samtal och tankeutbyte som skapar förförståelse inför det fortsatta arbetet. Samtalen ger viktig återkoppling och information från eleverna till läraren om utgångsläget inför kommande undervisning.
4
Geometriska objekt – area
1
Dukens area är: 10 rutor ∙ 10 rutor = 100 rutor
Area
Beräkningsstrategi. Pusselbiten visar att en viss strategi tränas i uppgiften. Enskilt, Par, Alla Kommunikationsmetod som startar i enskilt tänkande, fortsätter med samtal i par eller mindre grupp och slutar med att allas tankar och idéer förs fram i helgrupp.
4
Arean är en kvadratcentimeter.
Nytt för mig
2 cm
Jag vet lite Jag kan förklara
1 cm² 1 cm
4 cm
1 cm
Area•=•ytans•läng d•••ytans•bredd
Figurens area: 4 cm ∙ 2 cm = 8 cm²
En•kvadrat•där•varje•sida•har•längden•1•cm•kallas•en•kvadratcentimeter,•1•cm². Räkna•ut•figurens•area.• 2 cm 2 cm
Area•beskriver•hur•stor•en•yta•är.
5 cm 3 cm
Hur•många•rutor•är•figurens•area?
Area:
cm2
Area: 3 cm ∙ 2 cm =
cm2
5 cm 3 cm
Area:
rutor
Area:
rutor
Area:
rutor
Area:
rutor
Rita•och•måla•flera•olika•figurer.
Hur tänker du? Formulering av egen tanke, idé eller ställningstagande utifrån en given situation.
93
Arean 3 rutor
röd.
Arean 4 rutor
gul.
Arean 5 rutor
svart.
Arean 6 rutor
blå.
4 cm Area:
Area:
3 cm 3 cm
4 cm
3 cm cm2
7 cm
cm2
2 cm
Area:
106 KAPITEL 4
4 cm cm2
Area:
Area:
cm2
cm2
KAPITEL 4
107
Grundsidorna Grundsidorna innehåller sidor för både gemensamt och enskilt arbete. Rosa rutor innebär introduktion och resonemang kring ett matematiskt innehåll, specifika begrepp, metoder eller strategier. Rosa rutor följs ibland av en ritruta, där metoder för kommunikation används för enskilt och gemensamt arbete. Ugglor ger eleven möjlighet att löpande självbedöma sin förståelse för nya begrepp.
Räknare Uppgiften kan behöva lösas med hjälp av kalkylator/miniräknare.
4 INTRODUKTION
6344_KPM_LG_3A_Intro.indd 4
2016-09-15 11:29
4
4
Problemlösning
– rita, pröva, tabell, mönster Första dagen är det en fågel vid fågelbordet. Nästa dag är det två. Tredje dagen är det fyra fåglar. Antalet fåglar ökar på samma sätt varje dag hela veckan.
Visa•din•lösning.
4
Omkrets, area 4 cm 3 cm
5 cm
första•dagen
4
Hur•stor•är•figurens•area?
Räkna•ut•omkretsen.
Hur många fåglar har varit vid fågelbordet efter en vecka?
andra•dagen
3 cm
4 cm
5 cm
4 cm
cm2
cm2
cm2
tredje•dagen 5 cm Omkrets:
Svar:
+
Formulera•ett•liknande•problem.
cm2
Omkrets:
+
=
cm
+
+
+
+
=
cm Rita•en•figur•med•omkretsen•24•cm.
Hur•stor•area•har•varje•fält?•Fyll•i•tabellen.
Visa•din•lösning.
Figur A B
Svar:
110 KAPITEL 4
KAPITEL 4
111
Längd••∙•bredd
∙
=
5 cm2 cm
Räkna•ut•omkretsen. 50 m
F
Area•cm2
5 ∙ 1 = 5
A
30 m
2
C
∙
=
cm2
D
∙
=
cm2
E
∙
=
cm2
F
∙
=
cm2
B
D
C
E
Omkrets:
Hur•många•meter•är•sträckan•mellan:• blå
och
gul?
gul
och
röd?
röd
och
blå?
118 KAPITEL 4
KAPITEL 4
119
Problemlösningssidorna
Gula och gröna sidor
Problemlösningssidorna innehåller ett matematiskt problem där eleven utvecklar kunskaper om och färdigheter i att tolka information, använda lösningsstrategier samt att formulera ett eget liknande problem. Eleverna ges möjlighet att göra kamratbedömningar kring visad lösning och/eller problemformulering.
Gula och gröna sidor följer rubrikerna i Koll på och ger eleven möjlighet att arbeta vidare utifrån sin visade förståelse i självbedömningen. Gul sida ger ytterligare erfarenheter av kapitelinnehållet och grön sida erbjuder fördjupande uppgifter.
4
Handen
4 1
Lustiga huset
1 cm²
Hur•stor•yta•har•din•handflata?•Mät•handens•area. Håll•ihop•fingrarna.• Lägg•handen•på•rutnätet• och•rita•av•handens•kontur.• Måla•alla•hela•rutor• i•handen•gula.• Måla•delar•som•tillsammans• motsvarar•ungefär•en•hel•ruta• i•samma•färg.
Huset•ska•få•nya•fönster.•De•ska•se•olika•ut. Varje•ruta•i•ett•fönster•motsvarar•1•m². Varje•fönster•ska•ha•arean,•6•m². Hur•kan•fönstren•se•ut? Rita•olika•förslag.•
•• ••
Stora begreppskollen
3 Kant och sidoyta Dra streck till rätt begrepp.
•• •• •• ••
••
Stora begreppskollen
3 Omkrets
Hur många av varje? Skriv antal. sidor
sidoytor kanter
Rita en rektangel med omkretsen 12 cm.
Hur stor är omkretsen? Visa hur du räknar. hörn 3 cm
sida
3 cm
2 cm 1 cm
sidoyta
4 cm Omkrets:
Jag visar kant och sidoyta.
Min hands area är ungefär
Jag har förklarat
Alla•fönster•i•Lustiga•huset•har•arean•6•m2.• Jämför•de•olika•fönstrens•omkrets.•Vad•upptäcker•du?
cm².
112 KAPITEL 4
KAPITEL 4
113
Jag har förklarat
Jag visar omkrets.
för:
för:
Signatur
Signatur
Datum
Datum
Kommentar
Kommentar
140 STORA BEGREPPSKOLLEN
STORA BEGREPPSKOLLEN
141
Mixsidorna
Stora begreppskollen
Mixsidorna innehåller aktiviteter där kunskaper och färdigheter från grundsidorna används i uppgifter av mer laborativ och problemlösande karaktär. Symboler visar kopplingen mellan uppgifter och matematiska förmågor.
Stora begreppskollen finns i slutet av boken och ger eleverna möjlighet att rita, skriva och visa sin förståelse för begrepp. Läraren ges möjlighet att datera, signera och kommentera för dokumentation.
4
Geometriska objekt – omkrets, area
Multiplikation, division – se samband Dividera.•Se•samband.•
2∙8=
∙
=
∙
=
4 8
=
∙
=
∙ 6 = 24
∙ 8 = 32
∙ 6 = 48
∙ 8 = 64
∙ 6 = 18
∙ 8 = 24
∙ 6 = 36
∙ 8 = 48
Koll på multiplikation – se samband?
=
6
3 cm
5 cm
6 cm cm
Omkrets:
cm
cm2
Area:
cm2
3
32 kulor
=
=
=
=
12 kulor
18 kulor
=
Begrepp Uppgiften utvecklar begreppsförmågan.
= Omkrets:
16 kulor
Rita•en•figur•med•arean•20•cm2.•Måla•den
röd.
Rita•en•figur•med•omkretsen•20•cm.•Måla•den
gul.
=
=
Koll på division – se samband?
Koll på omkrets?
Koll på area? KAPITEL 4
115
Koll på sidorna Koll på sammanfattar grundsidorna och ger eleven möjlighet att självbedöma sin förståelse och sina färdigheter. Bedömning sker genom att eleven markerar i gul eller grön cirkel. Till varje Koll på finns återkopplingsfrågor här i lärarguiden.
6344_KPM_LG_3A_Intro.indd 5
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
1 000
Storheter
Addition
Längd
Tid
Vikt
Volym
1 m = 1 000 mm
1 h = 60 min
1 kg = 1 000 g
1 l = 1 000 ml
Kommunikation och resonemang Uppgiften utvecklar kommunikations- och resonemangsförmågan.
1 m = 100 cm
1 min = 60 s
1 kg = 10 hg
1 l = 10 dl
1 m = 10 dm
1 halvtimme = 30 min
1 hg = 100 g
1 dl = 100 ml
1 dm = 10 cm
1 kvart = 15 min
Begreppskoll 1. Självbedömning av förförståelse inför arbete med nytt begrepp. 2. Självbedömning av begreppsförståelse under arbetets gång. 3. Begreppsförståelsen visas och förklaras i Stora begreppskollen.
1 cm = 10 mm
Hur tänker du? Formulering av egen tanke, idé eller ställningstagande utifrån en given situation. 6
0
500
Metod Uppgiften utvecklar metodfömågan.
Två Stjärnor Bra saker med lösningen. Visade kvaliteter i lösningen. En Önskan Förslag till förbättring. Nästa steg i lärandet.
=
114 KAPITEL 4
SYMBOLFÖRTECKNING Problemlösning Uppgiften utvecklar problemlösningsförmågan.
3 cm
Area:
8
∙ 8 = 16
3
=
Antal påsar
Multiplicera.•Se•samband.•
∙ 6 = 12
Hur•stor•är•figurens•omkrets•och•area?
=
Hur•många•kulor•är•det•i•varje•påse?•
4
∙
4 1
Koll på
Koll på
Hur•många•ben•har•djuren•tillsammans?• Visa•med•multiplikation.
1 matsked = 15 ml 1 tesked = 5 ml 1 kryddmått = 1 ml
600
72 – 10 = 62
term
Multiplikation
term differens
Division
täljare __ 10
2 · 5 = 10
nämnare
faktor faktor produkt
2
= 5
kvot
Hundraruta
Multiplikation och division •
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100
10
9
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
7
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
Beräkningsstrategi. Pusselbiten visar att en viss strategi tränas i uppgiften.
5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Enskilt, Par, Alla Kommunikationsmetod som startar i enskilt tänkande, fortsätter med samtal i par eller mindre grupp och slutar med att allas tankar och idéer förs fram i helgrupp.
4
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Räknare Uppgiften kan behöva lösas med hjälp av kalkylator/miniräknare.
Subtraktion
62 + 10 = 72
term term summa
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99 100
Omslaget Omslaget har en praktisk flik med symbolförteckning. På insidan av den presenteras tal linjen 0–1 000, storheter, multiplikations- och divisionsruta, central begrepp till de fyra räknesätten samt hundraruta.
INTRODUKTION
5
2016-09-15 11:29
LÄRARGUIDE Lärarguiden visar hur varje kapitel är förankrat i Lgr 11, vilket centralt innehåll som behandlas, mot vilka kunskapskrav eleverna arbetar och vilka förmågor som utvecklas. I inledningen finns författarnas tankar om bland annat lärande, kommunikation, problemlösning, bedömning och beräkningsstrategier. I slutet finns arbetsblad, begreppsblad och underlag för bedömning i form av lärarreflektion. Lärarguiden är lätt att följa. Varje uppslag från elevboken visas i mitten av varje uppslag i lärarguiden. Runt elevuppslaget, med facit, får du som lärare hjälp och stöd i att planera, genomföra och utveckla din undervisning under följande rubriker:
4
S. 92-93
I kapitel 4 återkommer multiplikation och division från elevbok 2B. Eleverna tränar på att se och använda sambandet mellan multiplikationstabellerna 2, 4 och 8 samt 3 och 6. I division dividerar eleverna med 2, 4 och 8 samt med 3 och 6. Även här ligger fokus på sambandet mellan divisionstabellerna.
4 KAPITEL 4
4
12 __ =4 3
handlar om:
multiplikation•–•multiplicera•med•2,•4•och•8,• ••multiplicera•med•3•och•6,•se•samband division•–•dividera•med•2,•4•och•8,• ••dividera•med•3•och•6,•se•samband ••välja•räknesätt ••geometriska•objekt•–•omkrets,•area ••problemlösning•–•rita,•pröva,•tabell,•mönster•
12 __ =2 6
Jag ser samband!
Eleverna vidareutvecklar förmågan att välja lämpligt räknesätt av de fyra räknesätten genom textuppgifter. Geometriska mönster samt mönster i talföljder återkommer. Eleverna möter och beräknar omkrets på nytt och area introduceras. Eleverna får erfarenheter av att beräkna area.
Hur kan vi ta reda på vilket fönster som är störst?
5 ∙ 2 = 10 5 ∙ 4 = 20 5 ∙ 8 = 40
Jag har en idé!
92 KAPITEL 4
KAPITEL 4
93
Lgr 11, ur det centrala innehållet
Begrepp
Arbetsgång
Taluppfattning och tals användning. De fyra räknesättens egenskaper och samband samt användning i olika situationer. Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal, vid huvudräkning … Metodernas användning i olika situationer.
Multiplikation. Räknesätt där ett tal adderas med sig självt ett givet antal gånger.
Låt eleverna titta på en bildruta i taget och samtala om innehållet. Syftet är att lyfta fram och öka varje elevs förförståelse för det matematiska innehållet samt ge information från eleverna till läraren om utgångsläget inför kommande undervisning.
Multiplikationstecken. Tecken som symboliserar multiplikation. Faktor. Tal som ska multipliceras.
Algebra. Hur enkla mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas.
Produkt. Resultat av en multiplikation.
Geometri. Grundläggande geometriska objekt [här omkrets och area]. Grundläggande geometriska egenskaper hos dessa objekt. Konstruktion av geometriska objekt.
Division. Räknesätt där man delar ett givet tal med ett bestämt antal lika stora delar [delningsdivision] samt där man finner ett tal som säger hur många gånger ett tal ingår i ett annat tal [innehållsdivision].
Samband och förändringar. Olika proportionella samband, däribland dubbelt och hälften. Problemlösning. Strategier för matematisk problemlösning i enkla situationer. Matematisk formulering av frågeställningar utifrån enkla vardagliga situationer.
Divisionstecken. Tecken som symboliserar division.
Talföljd. [här aritmetisk] En följd av tal där differensen mellan två på varandra följande tal är densamma. Omkrets. Den sammanlagda längden runtomkring något [här sidornas längder]. Area. En ytas storlek. Areaenhet. Enhet för att ange en ytas area. Förkortas a.e.
102 KAPITEL 4
Multiplikation – se samband Titta på bilden där Kim visar tre olika beräkningar i multiplikation. Läs texten tillsammans. Repetera vad räknesättet innebär. Samtala om en beräkning i taget och resonera sedan kring vilka samband de kan ha med varandra. Lyssna till vilka begrepp eleverna använder för att uttrycka samband. Tittar man på beräkningarna uppifrån och ner dubbleras den andra faktorn samt produkten för varje uttryck. På samma sätt halveras istället den andra faktorn samt produkten för varje uttryck om man tittar nerifrån och upp. Ställ till exempel följande frågor: Vilka samband tror du Kim tänker på? Motivera. Varför dubbleras produkterna? Halveras? Motivera. Hur skulle sambandet kunna utökas? (5 · 1 = 5 och 5 · 16 = 80) Hur vet du det?
S. 106-107
På de följande uppslagen introduceras area. Area är ett ytmått som beskriver en ytas storlek, det vill säga hur många areaenheter som får plats på en figur, vars yta man mäter. SI-enheten för area är en kvadratmeter, 1 m2.
4
Geometriska objekt – area
Area
1
2 cm
Jag vet lite Jag kan förklara
1 cm² 1 cm
Den enklaste formen av att mäta area är att göra direkta jämförelser mellan två ytor, till exempel vid en presentinslagning. Presentpapprets yta, area, behöver vara större än till exempel bokens som ska slås in. Jämförelsen sker konkret och återkopplingen är omedelbar. Denna typ av arbete med area kan eleverna ha med sig erfarenheter av sedan tidigare. Ibland gör ytornas form en direktjämförelse omöjlig, till exempel vid en jämförelse av två jämnstora oregelbundna ytor. Behovet av måtttenheter uppstår. Till en början kan ostandardiserade enheter användas. Enheten behöver utgöras av en yta, till exempel en legobit, postit-lapp, A4-papper, tidningssida eller liknande. Eleverna mäter enligt ett-till-ettprincipen. Ena ytan täcks av enheten och ytans storlek bestäms. Enheten flyttas sedan över till den andra ytan. Ytan med störst antal av enheten har störst area. Eleverna möter här först en ostandardiserad areaenhet ”rutor”, som visar areamätningens princip. Eleverna behöver förstå att det är området inuti figuren som ska mätas, inte omkretsen. Därefter presenteras areaenheten cm2.
Tänk på 2 cm
Arbetet tar sin utgångspunkt i elevernas tidigare erfarenheter av area och fortsätter med att eleverna gör jämförelser och mätningar av arean.
• Cm-rutat papper
Figurens area: 4 cm ∙ 2 cm = 8 cm²
Räkna•ut•figurens•area.•
2 cm 5 cm 3 cm
Hur•många•rutor•är•figurens•area?
Material
4 cm
1 cm
En•kvadrat•där•varje•sida•har•längden•1•cm•kallas•en•kvadratcentimeter,•1•cm².
Area•=•ytans•län gd•••ytans•bredd
Area•beskriver•hur•stor•en•yta•är.
Areaenhet. Enhet för att ange en ytas area. Förkortas a.e.
4
Arean är en kvadratcentimeter.
Nytt för mig
Dukens area är: 10 rutor ∙ 10 rutor = 100 rutor
Area. En ytas storlek.
6
Area: 3 cm ∙ 2 cm =
Area:
cm2
10
cm2
Var observant på att eleverna förstår att area är ett ytmått som beskriver en ytas storlek, och var noga med att de kan skilja på begreppen omkrets och area.
5 cm 3 cm
Area:
24
rutor
Area:
25
rutor
Area:
12
rutor
Area:
16
rutor
Rita•och•måla•flera•olika•figurer. Arean 3 rutor
Tips
4 cm Area:
12
Area:
8
4 cm cm2
20
Area:
7 cm
cm2
röd.
Arean 4 rutor
gul.
Arean 5 rutor
svart.
Arean 6 rutor
blå.
3 cm
2 cm
3 cm
4 cm
3 cm cm2
Area:
9
Area:
21
106 KAPITEL 4
KAPITEL 4 107
Arbetsgång
ma ytans storlek, area. (Begreppen längd och bredd användes även kring omkrets på föregående sida.) Här är areaenheten ”rutor”. Ställ till exempel följande frågor:
S. 106
Begreppskoll 1 Låt eleverna självbedöma sin förståelse för begreppet area genom att markera ett av alternativen. Para sedan ihop eleven med en pratkompis utifrån deras förkunskaper (se sidan XX). Förklara att eleverna ska berätta vad de vet om begreppet och lyssna på sin pratkompis sätt att tänka. Uppmana eleverna att ställa frågor till varandra och fundera över vad som är lika i deras sätt att tänka och vad som skiljer.
Vad visar bilden? Beskriv. I vilka andra sammanhang har du mött begreppet yta? Vad kan det betyda? Hur många lika stora rutor består dukens yta av? (100 st) Hur tar du reda på det? Vilka likheter ser du mellan dukens rutor och multiplikation? Förklara.
Rosa resonemangsruta
I vilka sammanhang har du mött begreppet area? Vad kan det betyda?
Titta på bilden där Alex visar en duks area och läs texten tillsammans. Samtala om vad bilden visar. Lyft elevernas tidigare erfarenheter av begreppen yta och area och i vilka sammanhang de hört eller använt orden. Konstatera att dukens yta består av hundra rutor och att ytans storlek därmed kan beskrivas som 100 rutor stor. Betona förutsättningen att alla rutor är lika stora. Resonera kring texten på skylten och vad den kan innebära. Gör kopplingar till elevernas erfarenheter av multiplikation som tvådimensionell figur och av att multiplicera antalet rutor i raderna med antalet rutor i spalterna för att beräkna produkten. Vid areamätning multipliceras ytans längd med ytans bredd för att bestäm-
• Låt eleverna rita kvadrat- och rektangelfor-
made figurer på cm-rutat papper. Eleverna bestämmer sedan figurernas olika areor. Uppmana dem att skriva ut multiplikationen de utför för att beräkna varje area. Var noga med att de skriver ut areaenheten cm2.
• Arbetsblad 4:10, Geometriska objekt –
cm2
cm2
Hur tar man reda på en ytas area? Beskriv. Hur många rutor är figurens area? Här beräknar eleverna figurens area genom att multiplicera antalet rutor på längden med antalet rutor på bredden på figuren. Därefter fyller eleverna i figurens area i rutor på svarsraden. Rita och måla flera olika figurer. Här målar eleverna olika areor med areaenheten rutor, enligt färgkodningen. Uppmana eleverna att måla flera olika figurer med samma area. Eleverna kan upptäcka att en och samma area kan vara formad på olika sätt.
omkrets, area på sidan XX ger möjlighet till ytterligare träning.
Arbetsgång
S. 107
Titta på bilden där Li visar en kvadratcentimeter, cm2. Läs texten tillsammans. Samtala om att figuren har formen av en kvadrat med sidmåttet 1 cm. Kvadratens area är 1 cm2. Den lilla tvåan står för att figuren är tvådimensionell. Arean beräknas genom att de två sidorna (längden ∙ bredden) multipliseras och enheten är cm2, kvadratcentimeter. Den högra figuren har arean 8 cm2 eftersom 4 cm ∙ 2 cm = 8 cm2.. Låt eleverna kontrollmäta figurens sidor med linjal. Det kan förstärka förståelsen av hur figurens area beräknas. Ett annat sätt att förklara multiplikationen är att den uttrycker att det finns 4 cm2 i nedersta raden och att rektangeln har två rader. Antalet cm2 är därför 4 ∙ 2 = 8. Räkna ut figurens area. Här avläser eleverna figurens längd respektive bredd i cm. Därefter multiplicerar de längden med bredden för att bestämma arean. Slutligen fyller de i figurens area i cm2 på svarsraden. Uppmana elever som behöver, att skriva ut multiplikationen.
116 KAPITEL 4
KAPITEL 4
117
Grundsidorna Arbetsgång. Förslag på hur undervisningen kan läggas upp samt kommentarer till uppgifterna. Material. Förslag på material som kan användas i arbetet. Tänk på. Information om vad som kan vara extra viktigt att uppmärksamma.
Material till kapitlet
Tips. Förslag på aktiviteter och praktiska övningar, ofta av laborativ och konkret karaktär. Här finns hänvisningar till arbets- och begreppsblad.
• Räknare • Tiobasmaterial • 6-sidiga tärningar • Stickor • Plockmaterial • Divisionskort • Memorykort • Olika mätverktyg för längd • Cm-rutat papper • Jovoplattor Division – se samband
Jag ser samband!
Slutligen introduceras mönster som en ny problemlösningsstrategi.
4
Titta på bilden där Ella visar två olika beräkningar i division. Läs texten tillsammans. Repetera vad räknesättet innebär. Samtala om en beräkning i taget och resonera sedan kring vilka samband de kan ha med varandra. Lyssna till vilka begrepp eleverna använder för att uttrycka samband. Tittar man på beräkningarna uppifrån och ner dubbleras nämnaren för varje uttryck. Samtidigt halveras kvoten. Tittar man däremot nerifrån och upp sker istället det motsatta. Ställ till exempel följande frågor: Vilka samband tror du Ella tänker på? Motivera. Varför blir kvoten hälften så stor när nämnaren blir dubbelt så stor? Motivera. Varför blir kvoten dubbelt så stor när nämnaren blir hälften så stor? Motivera. 12 = 1) Hur skulle sambandet kunna utökas? (___ 12 Hur vet du det?
Area Titta på bilden där Tage och Alex jämför två fönsters storlek med varandra. Samtala om bilden och beskriv de två fönstrens likheter och skillnader. Lyssna till hur eleverna resonerar kring deras storlek i förhållande till varandra och vilka ord de använder för att beskriva yta. Ställ till exempel följande frågor:
4
Vad visar bilden? Beskriv. Vilka likheter ser du mellan fönstren? Skillnader? Vilket fönster tror du är störst? Minst? Motivera. (De är lika stora) Hur skulle du göra för att ta reda på vilket fönster som är störst? Berätta. Vilken idé skulle Alex kunna ha? KAPITEL 4
103
Startsidorna Lgr 11, ur det centrala innehållet. Information om vilket centralt innehåll som behandlas i kapitlet. Begrepp. Förklaringar av centrala begrepp som ingår i kapitlet. Arbetsgång. Förslag på hur samtal med eleverna kring kapitlets innehåll kan skapa förförståelse och ge information om utgångsläget inför kommande undervisning. Material. Förslag på material som kan användas i arbetet med grundsidorna.
S. 110-111
På problemlösningsuppslaget möter eleverna matematiska problem av olika karaktär. De utvecklar kunskaper om och färdigheter i att tolka information, använda lösningsstrategierna rita, pröva och tabell samt att formulera matematiska problem. Eleverna får även träna på att visa sin lösning samt att utveckla den från att vara konkret till att bli abstrakt (se sidan 12). De har möjlighet att göra kamratbedömningar kring visade lösningar och/eller sina egna formulerade problem.
Arbetsgång
4
4
Problemlösning
– rita, pröva, tabell, mönster
Första dagen är det en fågel vid fågelbordet. Nästa dag är det två. Tredje dagen är det fyra fåglar. Antalet fåglar ökar på samma sätt varje dag hela veckan.
Visa•din•lösning.
Hur många fåglar har varit vid fågelbordet efter en vecka?
första•dagen
Svar:
andra•dagen
tredje•dagen
Dag Antal fåglar
1 1
2 2
3 4
4 5 6 7 7 11 16 22
Dag Antal fåglar
1 1
2 2
3 4
4 5 6 7 8 16 32 64
• Låt eleverna lösa varandras formulerade problem.
• Arbetsblad 1:13, Problemlösning på sidan XXX ger möjlighet att formulera och lösa ytterligare problem.
Visa•din•lösning.
Eleven beskriver och samtalar om tillvägagångssätt och använder då konkret material, bilder, symboler och andra matematiska uttrycksformer med viss anpassning till sammanhanget. Eleven för och följer matematiska resonemang om mönster i talföljder genom att ställa och besvara frågor. Eleven kan skapa enkla tabeller.
S. 82-83
Gemensam uppvärmning I uppvärmningen får eleverna först förförståelse och kunskaper om hur lösningar kan visas, lära av varandra och få förebilder och erfarenheter från gemensamt arbete. Läs mer om arbetsgången på sidorna XX-XX.
Uppvärmningsproblem
Här tar eleverna reda på antalet stickor genom att använda lösningsstrategin: Rita/Pröva. Eleverna ritar eller bygger figurerna och räknar stickorna som används. Tabell. Eleverna skapar en tabell och bokför antalet stickor.
Svar:
110 KAPITEL 4
Alex bygger kvadrater i olika storlekar. Varje storlek ökar enligt ett mönster. Första kvadratens sida utgörs av 1 sticka. Den andra kvadratens sida av 2 stickor och så vidare. Hur många stickor består den femte kvadraten av? Figur 1
Antal stickor 4
2
8
3
12
4
16
5
20
Mönster. Eleverna söker efter ett mönster.
KAPITEL 4 111
Här undersöker eleverna hur antalet fåglar ökar genom att tolka texten och informationen i bilden. Mönster. Eleverna söker efter ett mönster. Mönstret kan tolkas på två sätt, se tabellerna. Eleverna tar reda på antalet fåglar varje dag under veckans sju dagar.
Anpassa vid behov problemet efter elevens förutsättningar så att problemet blir givande och utvecklande samt att det innebär en matematisk utmaning för varje elev. Läs mer om anpassningar på sidan XX.
Alternativ 1
•
Dag
1
2
3
4
5
6
7
8
16
32
64
Mönster: Antalet fåglar dubbleras för varje dag.
Alternativ 2
Antal fåglar
1
2
4
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127
1
2
3
4
5
6
7
Antal fåglar
1
2
4
7
11
16
22
Mönster: Ökningen av antalet fåglar ökar med 1 för varje dag. 1 + 2 + 4 + 7 + 11 + 16 + 22 = 63
•
per, hur talen kan användas för att ange antal. kunskap om centrala metoder för beräkningar med naturliga tal vid huvudräkning. kunskap om hur enkla mönster i talföljder kan konstrueras, beskrivas och uttryckas.
• kunskap om proportionella samband [här dubbelt och hälften].
Eleven löser problem med hjälp av matematik samt värderar valda strategier och metoder.
Dag
Visa din lösning. Här visar eleverna sina lösningar på problemet och skriver därefter svar med hel mening på svarsraden.
Kamratbedömning Visade kvalitéer i lösningen och/eller problemformuleringen. Förslag till förbättring. Nästa steg i lärandet.
Planera lärandemål utifrån elevernas
• kunskap om naturliga tal och deras egenska-
Uppslagets problem
Första dagen är det en fågel vid fågelbordet. Nästa dag är det två. Tredje dagen är det fyra fåglar. Antalet fåglar ökar på samma sätt varje dag hela veckan. Hur många fåglar har varit vid fågelbordet efter en vecka?
Anpassning av uppslagets problem
De använder sin aritmetiska kunskap och adderar antalet fåglar varje dag för att få veta det totala antalet.
Samtala tillsammans om elevernas olika förslag till lösningar och resonera kring svagheter och styrkor i olika sätt att visa lösningar på. Här ökar mönstret med fyra för varje ny figur. Låt eleverna lösa problemet i elevboken enskilt, i par eller liten grupp. Läs mer om EPA-metoden på sidan XX.
• Stickor • Post-it-lappar Tips
63 fåglar efter en vecka. 127 fåglar efter en vecka. Det finns flera lösningar.
Formulera•ett•liknande•problem.
Material
Eleven använder och ger exempel på enkla proportionella samband i elevnära situationer. Eleven kan göra enkla beräkningar med naturliga tal.
Här sker kamratbedömning (se sidan XX) med två stjärnor och en önskan. Eleverna skriver antingen direkt på de förtryckta post-it-lapparna i elevboken, alternativt på lösa post-it-lappar som fästs i elevboken.
Liknande problem Formulera ett liknande problem. Läs mer om arbetsgången på sidan XX. Eleverna kan konstruera sina problem genom att till exempel starta med tre fåglar vid fågelbordet. Stickor är tacksamt att använda när mönster i talföljder ska synliggöras. Visa din lösning. Eleverna visar lösningar på sina egna problem och skriver därefter svar med hel mening på svarsraden. För att de ska kunna bedöma rimligheten i sina egna problem är det viktigt att de även får visa sina lösningar. Detta kan leda till att eventuella felaktigheter i problemformuleringen upptäcks.
120 KAPITEL 4
KAPITEL 4
121
Problemlösningssidorna Arbetsgång. Förslag på hur undervisningen i problemlösning kan läggas upp, först med ett uppvärmningsproblem, därefter med elev bokens problem och slutligen med ett problem som eleverna själva formulerar och löser. Tips. Förslag på hur arbetet med problemlösning kan utvecklas.
6 INTRODUKTION
6344_KPM_LG_3A_Intro.indd 6
2016-09-15 11:29
LÄRANDE 4
S. 112-113
4
I mixen finns olika aktiviteter där kunskaper och färdigheter används i ett annat sammanhang än på grundsidorna. Symboler visar kopplingen mellan uppgifter och matematiska förmågor. Uppgifterna är självständiga i förhållande till varandra.
Handen
4 1
Lustiga huset
1 cm²
Hur•stor•yta•har•din•handflata?•Mät•handens•area.
Huset•ska•få•nya•fönster.•De•ska•se•olika•ut. Varje•ruta•i•ett•fönster•motsvarar•1•m². Varje•fönster•ska•ha•arean,•6•m². Hur•kan•fönstren•se•ut? Rita•olika•förslag.•
•• •• •• ••
••Håll•ihop•fingrarna.•
Lägg•handen•på•rutnätet• och•rita•av•handens•kontur.•
••Måla•alla•hela•rutor• i•handen•gula.•
••Måla•delar•som•tillsammans•
• Låt eleverna i par hjälpa varandra att rita av konturen av sina händer. Det är enklare att rita noga runt kompisens hand än sin egen.
Här får eleverna erfarenheter av hur man kan uppskatta och mäta en ungefärlig area på en oregelbunden yta. Eleven lägger sin hand med handflatan nedåt, mot den cm-rutade bakgrunden, och ritar av handens kontur. Samtliga hela cm2-rutor inom konturen målas sedan gula.
Varje elev uppskattar sin hands area i cm2, väljer tillvägagångssätt och löser sedan uppgiften. Eleverna visar och berättar om sina lösningar och tillvägagångssätt för varandra i par eller liten grupp. Resonera tillsammans, kring olika val av metoder för att beräkna handens area, i helgrupp. Eleven använder och beskriver begreppet area med konkret material och bilder. Eleven använder huvudräkning för att beräkna area. Eleven beskriver och samtalar om tillvägagångssätt. Eleven för och följer matematiska resonemang om val av metoder.
• Cm-rutat papper • Snöre • Sax Handen
Handen
Runtom de gulmålade rutorna finns nu en ”ram” kvar, bestående av delar av rutor. Eleverna uppskattar vilka delar som tillsammans motsvarar ungefär en hel ruta och målar dessa i samma valfri färg. Därefter parar de ihop ytterligare delar som tillsammans motsvarar en hel ruta och målar dessa i en annan färg. Eleverna fortsätter på samma sätt tills alla småbitar är målade. Slutligen adderar eleven ihop antalet hela gula rutor med var och en av de övriga färgerna och får veta den totala arean av handflatan som skrivs in på svarsraden. Slutligen berättar eleverna om sina lösningar i par eller mindre grupper. De jämför och samtalar om likheter och skillnader i sina lösningsförslag.
Betydande forskning har under senare år visat en samstämmighet i att det krävs vissa grundförutsättningar för ett effektivt lärande.
Material
Möjligheter
motsvarar•ungefär•en•hel•ruta• i•samma•färg.
• Tipsa eleverna om att måla även två halva
rutor, som tydligt är en hel cm2 tillsammans, gula. Då räcker övriga färger lättare till smådelarna.
• Eleven behöver starta lärandet där han eller
• Pröva att uppskatta, bestämma och jämföra Min hands area är ungefär
andra oregelbundna ytors areor, till exempel olika löv. Använd cm-rutat papper. Använd samma tillvägagångsätt som i Handen.
Alla•fönster•i•Lustiga•huset•har•arean•6•m2.• Jämför•de•olika•fönstrens•omkrets.•Vad•upptäcker•du?
cm².
Lustiga huset 112 KAPITEL 4
KAPITEL 4 113
Lustiga huset
Slutligen berättar eleverna om sina lösningar i par eller mindre grupper. De jämför och samtalar om likheter och skillnader i sina lösningsförslag.
Eleverna använder här sina grundläggande kunskaper om area för att rita fönster på Lustiga huset. Varje ruta i bakgrunden motsvarar 1 m2 i verkligheten. Varje fönster ska ha arean 6 m2 och fönstren ska se olika ut. Uppmana eleverna att rita så många olika fönster som möjligt.
Varje elev ritar flera förslag på hur olika fönster med arean 6 m2 kan se ut samt jämför deras area och omkretsar. Eleverna visar och berättar om sina förslag och upptäckter för varandra i par eller liten grupp.
I uppgiften nedanför jämför eleverna omkretsen på sina olika fönster. De kan nu göra upptäckten att ytor med samma area kan ha olika omkrets. Utmana dem att dra slutsatser om hur area och omkrets förhåller sig till varandra och att skriva om sina upptäckter. Ju mer sammanhållen en area är desto mindre blir dess omkrets. Se bild. Resonera gemensamt kring i vilka sammanhang detta kan ha betydelse. Ett exempel kan vara då man ska inhägna en hage med A = 6 cm2 staket och man vill O = 10 cm köpa så lite staket som möjligt för att spara pengar. Visa även gärna att area förkortas A och att A = 6 cm2 omkrets förkortas O. O = 14 cm
• Låt eleverna pröva samma uppgift, men
bestäm en större area på fönstren. Då kan fönstrens form varieras ytterligare och fler jämförelser med deras olika omkretsar kan göras. Använd cm-rutat papper och låt en ruta motsvara 1 m2 i verkligheten.
hon befinner sig. Nya kunskaper måste kopplas till tidigare kunskaper.
• Jämför area och omkrets, men utgå istället
från samma omkrets och se hur arean kan varieras eller förändras. Klipp till drygt 1 meter långa snören. Knyt ihop ändarna så att omkretsen blir 1 meter. Forma sedan snörena till olika figurer på golvet. Jämför areorna som bildas. Uppskatta vilken yta är störst respektive minst. Motivera.
Resonera tillsammans kring elevernas förslag och upptäckter i helgrupp samt för ett resonemang kring förhållandet mellan area och omkrets.
• Eleven behöver själv vara aktiv i lärprocessen.
Eleven löser problem genom att välja och använda någon strategi med viss anpassning till problemets karaktär. Eleven använder och beskriver begreppet area med bilder samt relaterar area till omkrets. Eleven för och följer matematiska resonemang om area genom att ställa och besvara frågor.
122 KAPITEL 4
KAPITEL 4
123
Mixsidorna Möjligheter. Förslag på hur mixuppgifterna kan förenklas och utvecklas eller utföras i varianter.
Lärandet måste göras av eleven, inte åt eleven.
• Eleven behöver förstå syftet med det som ska läras, veta vad god kvalitet på kunskapen är och ha en uppfattning av vad han eller hon kan i förhållande till kunskapskraven.
• Eleven behöver få tala om sitt lärande och om
4
S. 114-115
Koll på sammanfattar grundsidorna och ger eleverna möjlighet till självbedömning av förståelse och färdigheter. Eleverna arbetar självständigt med uppgifterna och markerar i grön cirkel om de visar förståelse för innehållet eller i gul cirkel om de behöver ytterligare erfarenheter av innehållet.
4
2 ∙ 8 = 16
Multiplikation Här tolkar eleven bilden på småkrypen och skriver multiplikationsuttrycket som bilden illustrerar. Observera om eleven grupperar antalet ben som två åttor eller om de räknar ett ben i taget. Tipsa gärna eleven om att det underlättar att gruppera benen och att använda sig av 8-hoppen respektive 6-hoppen. Det gäller framför allt när antalen blir fler och risken för felräkning ökar. I nästa uppgift skriver eleven den faktor som saknas för att produkten ska stämma. Tankestöd: _ ∙ 6 = 12, hur många sexor är tillsammans lika med tolv?
Division Här tolkar eleven en bild som visar antalet, täljaren, som ska användas i samtliga fyra divisionsuttryck. Eleven fyller i täljaren (24), utför beräkningen och skriver kvoten. I uppgiften nederst på sidan fyller eleven i tabellen och utför divisionerna. Den vänstra kolumnen visar nämnaren, eleven ska dividera med 4 och 8 respektive 3 och 6. De övriga två kolumnerna visar täljaren, det antal divisionen utgår ifrån. Eleven skriver uttrycket, utför beräkningen och skriver kvoten. Var uppmärksam på om eleven fastnar på själva tabellens utformning. Fyll då i uttrycken tillsammans men låt eleven utföra beräkningarna på egen hand.
4
24 4
∙
8 = 32
8
∙
8 = 64
3
∙
6 = 18
6
∙
6 = 36
8
=
6
=
3
Hur•stor•är•figurens•omkrets•och•area?
24 3
24 6
=
8
=
4
3 cm
Antal påsar
16 kulor
16
4
4 16
8
8
Multiplicera.•Se•samband.•
2 4
∙ 6 = 24
2 ∙ 8 = 16 4 ∙ 8 = 32
8
∙ 6 = 48
8 ∙ 8 = 64
3
∙ 6 = 18
3 ∙ 8 = 24
6
∙ 6 = 36
6 ∙ 8 = 48
∙ 6 = 12
32 kulor
=
4
=
2
32 4 32 8
12 kulor
12
3
3 12
6
6
Koll på multiplikation – se samband?
3 cm
5 cm
Hur•många•kulor•är•det•i•varje•påse?•
Multiplikation, division – se samband Syfte: Eleven självbedömer sin förståelse för räknesätten multiplikation och division samt sin förmåga att utföra beräkningar i multiplikation och division.
Geometriska objekt – omkrets, area
Dividera.•Se•samband.•
24
4 1
Koll på
Koll på
Multiplikation, division – se samband
Hur•många•ben•har•djuren•tillsammans?• Visa•med•multiplikation.
8
=
4
15
cm
18
Omkrets:
cm2
Rita•en•figur•med•arean•20•cm2.•Måla•den
18
Area:
Jag ser att du räknar ett ben i taget. Jag ska visa dig hur du kan gruppera benen och använda hopp så det blir enklare för dig.
gul.
Förklara sambanden när du multiplicerar med 2, 4 och 8 respektive 3 och 6.
18 kulor
=
4
=
2
18 3 18 6
• Eleven behöver få återkoppling som fokuse-
Berätta för mig hur du gör när du ska ta reda på djurens antal ben.
cm cm2
röd.
Rita•en•figur•med•omkretsen•20•cm.•Måla•den
I Koll på finns möjlighet att ställa frågor som uppmanar eleven till reflektion och som klargör hur elevens lärande kan utvecklas vidare. Här följer exempel på kommentarer och återkopplingsfrågor:
Multiplikation
6 cm
16
Omkrets: Area:
=
eventuella missuppfattningar samt utveckla ett, i detta sammanhang, matematisk språk.
Återkoppling
Division
=
6
=
3
Koll på division – se samband?
Koll på omkrets?
Koll på area?
114 KAPITEL 4
KAPITEL 4 115
Berätta för mig hur du tänker eller gör när du ska dividera med 3 och 6. Förklara sambanden när du dividerar med 2, 4 och 8 respektive 3 och 6. Jag ser att du är osäker på var du ska skriva täljaren och nämnaren. Jag vill visa dig hur du ska tänka.
rar på styrkor och svagheter, i avseende att synliggöra vad som kan förbättras och hur det kan åtgärdas.
Geometriska objekt – omkrets, area Beskriv skillnaden mellan omkrets och area.
Geometriska objekt – omkrets, area
Lgr 11 Ur kunskapskrav för godtagbara kunskaper i slutet av årskurs 3
Syfte: Eleven självbedömer sin begreppsförståelse för omkrets och area samt sin säkerhet i att beräkna en figurs omkrets och area.
Eleven kan lösa enkla problem i elevnära situationer genom att välja och använda någon strategi med viss anpassning till problemets karaktär. Eleven beskriver tillvägagångssätt och ger enkla omdömen om resultatens rimlighet.
Eleven adderar sidornas längder för att bestämma omkretsen samt fyller i figurens omkrets på svarsraden. Därefter multiplicerar de längden med bredden för att bestämma arean samt fyller i figurens area i cm2 på svarsraden. Observera hur eleven gör för att bestämma omkrets respektive area.
Eleven har grundläggande kunskaper om matematiska begrepp och visar det genom att använda dem i vanligt förekommande sammanhang på ett i huvudsak fungerande sätt. Eleven kan beskriva begreppens egenskaper med hjälp av symboler och konkret material eller bilder. Eleven kan även ge exempel på hur några begrepp relaterar till varandra. Eleven har grundläggande kunskaper om naturliga tal och kan visa det genom att beskriva tals inbördes relation … Dessutom kan eleven använda grundläggande geometriska begrepp … för att beskriva geometriska objekts egenskaper … och inbördes relationer.
I uppgiften nederst på sidan läser och tolkar eleven först texten. Därefter ritar eleven en figur med arean 20 cm2 och en figur med omkretsen 20 cm samt målar dem enligt färgkodningen. Var uppmärksam på hur eleven skiljer på och visar förståelse för begreppen area och omkrets.
Eleven kan välja och använda i huvudsak fungerande matematiska metoder med viss anpassning till sammanhanget för att göra enkla beräkningar med naturliga tal och lösa enkla rutinuppgifter med tillfredsställande resultat.
Jag ser att omkretsen inte stämmer. Tänk på att rektangeln har två motstående sidor med samma längdmått, det är fyra sidors längder som ska adderas. Hur vet du att det är omkretsen du har beräknat? Arean? Förklara.
Eleven kan använda huvudräkning för att genomföra beräkningar med de fyra räknesätten när talen och svaren ligger inom heltalsområdet 0–20, samt för beräkningar av enkla tal i ett utvidgat talområde. Eleven kan även avbilda och, utifrån instruktioner, konstruera enkla geometriska objekt. Eleven kan beskriva och samtala om tillvägagångssätt på ett i huvudsak fungerande sätt och använder då konkret material, bilder, symboler och andra matematiska uttrycksformer med viss anpassning till sammanhanget. Eleven kan dessutom vid olika slag av undersökningar i välkända situationer avläsa och skapa enkla tabeller … för att sortera och redovisa resultat. Eleven kan föra och följa matematiska resonemang om val av metoder och räknesätt samt om resultats rimlighet … och mönster i talföljder genom att ställa och besvara frågor som i huvudsak hör till ämnet.
124 KAPITEL 4
KAPITEL 4
125
Koll på sidorna Lgr 11, ur kunskapskrav för godtagbara kunskaper i slutet av åk 3. Information om vilka kunskapskrav eleverna arbetar mot i kapitlet. Återkoppling. Förslag på frågor och kommentarer som kan användas i samtal med eleven för att klargöra var eleven befinner sig i sitt lärande samt vad nästa steg bör bli.
4
S. 118-119
Gula och gröna sidor följer rubrikerna i Koll på. Gul sida ger ytterligare erfarenheter av grundsidorna och grön sida erbjuder fördjupande uppgifter.
4
Omkrets, area
Vid varje uppgift finns möjlighet att markera vilka uppgifter som eleven kan eller bör göra.
Omkrets Gul sida Eleven utgår från de givna måtten, adderar sidornas längder och skriver omkretsens längd i cm på svarsraden.
Grön sida Eleven ritar en figur med omkretsen 24 cm på den triangelmönstrade bakgrunden. Varje sida i trianglarna är 1 cm. Eleven kan välja att rita på fri hand eller att ta hjälp av en linjal. I uppgiften bredvid utgår eleven från de givna måtten. Eleven använder sina kunskaper om att motstående sidor har samma längd eller bredd, adderar sidornas längder och skriver omkretsens längd på svarsraden. Därefter utför eleven beräkningar och svarar på frågorna. Sträckan mellan blå och gul: Eleven adderar 50 meter med hälften av sträckan 30 meter, 15 m. 50 m + 15 m = 65 m. Sträckan mellan gul och röd: Eleven adderar 15 meter med hälften av sträckan 50 meter, 25 m. 15 m + 25 m = 40 m. Sträckan mellan röd och blå: Eleven adderar 25 meter med 30 meter. 25 m + 30 m = 55 m.
Area
4
Hur•stor•är•figurens•area?
Räkna•ut•omkretsen. 4 cm 3 cm
5 cm
Här följer grundläggande och fördjupande uppgifter om omkrets och area.
3 cm
4 cm
5 cm
4 cm
7 cm2
• Linjal • Jovoplattor • Cm-rutat papper
5 cm
5 cm2
5 + 5 + 4 = 14 cm
5 + 4 + 3 + 3 + 4 = 19 cm
Figur
Längd••∙•bredd
Area•cm2
5 ∙ 1 = 5
5 cm2
3 ∙ 2 = 6
6 cm2
C
3 ∙ 3 = 9
9 cm2
D
5 ∙ 4 = 20
20 cm2
A B
E
5 ∙ 2 = 10
10 cm2
F
7 ∙ 2 = 14
14 cm2
Tänk på Rita•en•figur•med•omkretsen•24•cm.
Hur•stor•area•har•varje•fält?•Fyll•i•tabellen.
Uppmana elever som arbetat med gul sida, att även pröva uppgifter på grön sida.
Räkna•ut•omkretsen. 50 m
F A
30 m
B
D
Omkrets:
Tips
160 m
Hur•många•meter•är•sträckan•mellan:• C
E
65 m
blå
och
gul?
gul
och
röd?
95 m
blå?
110m
röd
och
118 KAPITEL 4
KAPITEL 4 119
• Låt eleverna beräkna arean på hela figurens
area (färgfältens sammanlagda area) längst ned på sidan 118. Arean kan beräknas på flera sätt, till exempel genom att alla färgfälts areor adderas eller genom att längden på den stora figuren multipliceras med dess bredd. I uppgiften längst ned till höger på sidan 119 kan alternativa lösningar hittas:
Oktogon: De fyra ”blå hörnen” utgör tillsammans 2 cm2. Hela figurens area är därmed 4 + 2 = 6 cm2. Kvadrat: De fyra ”blå hörnen” utgör tillsammans 4 cm2. Hela figurens area är därmed 4 + 4 = 8 cm2. Rätvinklig triangel: Om figuren först ritas dubbelt så stor får den istället formen av en rektangel vars area enklare kan beräknas, 2 ∙ 5 = 10 cm2. Triangelns area är sedan hälften av rektangelns 10 cm2, det vill säga 5 cm2. Parallellogram: Om figuren delas på mitten och den ena halvan ”flyttas” får figuren istället formen av en rektangel vars area enklare kan beräknas, 3 ∙ 4 = 12 cm2.
Sträckan mellan blå och gul: Om eleven tar vägen över röd är istället sträckan 95 cm. Sträckan mellan gul och röd: Om eleven tar vägen över blå är istället sträckan 120 cm. Sträckan mellan röd och blå: Om eleven tar vägen över gul är istället sträckan 105 cm.
• Låt eleverna i par eller små grupper jämföra
begreppen area och omkrets. Vad händer med en figurs omkrets om dess area ändrar form? Använd till exempel Jovoplattor. Ge varje grupp ett visst antal Jovoplattor, samtliga i samma form. Låt sedan gruppen bygga ihop plattorna. Uppmana dem att bestämma omkretsen. Eleverna bygger därefter om figuren. Hur förändras omkretsen? Areaenheten är här ostandardiserad, Jovoplattor. Omkretsen kan däremot mätas i cm. Låt eleverna göra upptäckten att omkretsen kan variera. Så länge samma antal plattor används är arean fortfarande densamma.
Gul sida Eleven tolkar figuren och tabellen och fyller i de data som fattas i tabellen. Varje ruta i figuren är 1 cm2. Eleven multiplicerar längden med bredden i varje färgfält för att ta reda på respektive fälts area.
Material
8 cm2
Omkrets:
____ cm2
____ cm2
Grön sida
Vilken är den minsta respektive största omkrets de lyckats få fram? För ett gemensamt resonemang kring upptäckten och vad den innebär.
Eleven bestämmer varje figurs area och fyller i arean i cm2 på svarsraden. Varje ruta i bakgrunden är 1 cm2. Se bild. ____ cm2
____ cm2
128 KAPITEL 4
Som alternativ kan eleverna rita figurer på cm-rutat papper. Areaenheten är då cm2 och omkretsen mäts i cm. KAPITEL 4
129
Gula och gröna sidor Material. Förslag på material som kan användas i arbetet. Tips. Förslag på hur uppgifterna på gul och grön sida kan förenklas, försvåras eller utföras i varianter. Förslag på aktiviteter och praktiska övningar, ofta av laborativ och konkret karaktär.
6344_KPM_LG_3A_Intro.indd 7
Formativ bedömning innebär att kontinuerligt och frekvent tydliggöra var eleven står, vart eleven är på väg och hur eleven ska nå dit. Bäst effekt uppnås när återkoppling sker, både från lärare till elev, från elev till lärare samt mellan elever. Återkopplingen ska vara fokuserad på aktuellt lärandemål och få eleven att tänka och reflektera. När formativ bedömning verkligen fungerar avgör den vilket nästa steg i undervisningen bör bli. Professor Dylan Wiliam (Wiliam & Thompson, 2007) visar på några olika didaktiska nyckelstrategier i matematikundervisning som visat sig ge mycket goda resultat för elevers prestationer. Nedan presenteras nyckelstrategierna kopplade till Koll på matematik 1–3.
12 cm2 Omkrets:
Formativ bedömning – bedömning för lärande, BFL
Klargöra, delge och förstå lärandemål och kriterier för framsteg Materialet utgår från Lgr 11. I elevböckerna är det centrala innehållet nedbrutet till ett elevnära språk och de matematiska förmågorna har fått egna symboler. I lärarguiden finns även syftestexter och utdrag ur Lgr 11, både från det centrala innehållet och kunskapskraven för årskurs 3. Ett underlag för bedömning och lärarreflektion ger möjlighet att kommentera och reflektera kring en elevs eller en elevgrupps lärande mot kunskapskraven (se sidorna 194–199). INTRODUKTION
7
2016-09-15 11:29
BEGREPP Genomföra effektiva diskussioner, aktiviteter och inlärningsuppgifter som tar fram belägg för lärande Olika kommunikativa metoder används löpande genom materialet för att främja diskussioner, samtal och resonemang och för att synliggöra lärande. EPA och Hur tänker du? ger möjligheter till samtal och reflektioner både enskilt, i par, i mindre grupper och i helgrupp. Metoderna bygger på elevernas tankar och att de i samspel med andra använder språket som ett verktyg för att tänka och prata matematik. Även elevernas fortsatta lärandebehov synliggörs. Tanketavlor utvecklar elevernas förmåga att använda matematikens uttrycksformer med konkret material, bilder och symboler.
Ge feedback som för lärandet framåt Återkoppling är viktig för att utveckla elevernas lärande. Den ska ge information om hur varje elev kan förbättra sina prestationer och eleverna ska ges tid till att göra det. I Koll på synliggör och självbedömer eleven sin egen kunskap och förståelse för det aktuella innehållet. I lärarguiden ges förslag på frågor och kommentarer som kan ställas till den enskilde eleven för att klargöra var eleven befinner sig i sitt lärande samt vad nästa steg bör bli. Problemlösningssidorna ger möjlighet till kamratbedömning och lärarguiden ger handledning som underlättar planeringen av och undervisningen i problemlösning. I underlag för bedömning och lärarreflektion ges möjlighet att skriva ned vad den fortsatta undervisningen kan fokusera på.
Aktivera eleverna att bli läranderesurser för varandra Koll på matematik tar vara på olika elevers kompetenser. Genom metoden Pratkompis får eleven ta del av andra elevers kunnande och kompetens samt får sätta ord på sina egna frågor och sin egen förståelse. Detta gör att såväl elevens egen som kamratens förförståelse ökar och att lärandet når längre än det annars hade gjort.
Aktivera eleverna till att äga sitt eget lärande Att bli medveten om sitt lärande och vad nästa steg är leder till att eleverna tar större ansvar för sina prestationer och resultat. I Begreppskoll 1 och 2 självbedömer eleverna sin förståelse för utvalt aktuellt matematiskt begrepp för att slutligen, i Stora begreppskollen, visa och förklara sin förståelse för begreppet.
Eleverna ska utveckla förståelse för samt kunna uttrycka sig muntligt och skriftligt i och kring matematiska sammanhang. Därför behöver de arbeta systematiskt med matematikens begrepp och uttrycksformer. När ett begrepp har integrerats i elevernas vardagliga språk kan de generalisera och använda begreppet i nya sammanhang och situationer.
Begreppskoll 1 När vissa utvalda matematiska begrepp lanseras för första gången i läromedlet får eleverna möjlighet att tänka till och reflektera över aktuellt begrepp. Inför ett begreppsavsnitt självbedömer eleverna sin förförståelse för begreppet genom att markera ett av alternativen vid uggla 1.
1
Nytt för mig Jag vet lite Jag kan förklara
Markeringen visar vilket utgångsläge varje elev har för lärandet. För att få så mycket förförståelse som möjligt inför fortsatt arbete kan eleverna samtala och resonera med varandra i par (se Pratkompis sidan 10). Para ihop elever utifrån behov, till exempel: Röd med gul eller grön. Elever som markerat gult eller grönt blir en resurs som med egna ord kan berätta om eller förklara begreppets innebörd för de elever som markerat rött. De som markerat rött kan ställa frågor. Gul med grön. Elever som markerat gult får berätta vad de vet för någon som är säker. Elever som markerat grönt får möjlighet att förklara. Grön med grön. Elever som markerat grönt får utbyta sina olika erfarenheter kring begreppet med exempel hämtade ur deras egen vardag och verklighet för att på så sätt vidga sitt kunnande.
8 INTRODUKTION
6344_KPM_LG_3A_Intro.indd 8
2016-09-15 11:29
Skala
Area
Begreppskoll 2 Efter grundsidorna kring begreppet följer en andra begreppskoll som stödjer lärandet mitt i processen. Eleverna har fått arbeta med begreppet och provat dess innebörd på olika sätt i läromedlet och gör nu en ny självbedömning inför fortsatt arbete genom att markera ett av alternativen vid uggla 2.
2
Begreppsburken Jag vet lite Jag kan förklara
Även här gynnas eleverna av att få samtala med en Pratkompis för att få fler erfarenheter samt formulera vad de nu vet om begreppet. Elever som markerat grönt behöver få möjlighet att visa sin förmåga att förklara begreppet. Lyssna till förklaringen för att se på vilket sätt dessa elever kan utgöra en läranderesurs för någon annan.
När ett nytt begrepp lanseras kan motsvarande begreppskort läggas i en burk. Arbeta med begreppsburken som introduktion till en lektion eller då det blir en stund över. Förslag till arbetsgång: 1. Låt någon elev slumpvis dra ett kort ur burken. Läs ordet högt. 2. Låt varje elev tänka enskilt kring vad han eller hon vet eller undrar kring begreppet. 3. Låt eleverna diskutera sina tankar om begreppet i par. 4. Välj ut några par som får berätta om begreppet för alla.
Stora begreppskollen
3
Jag kan förklara
Stora begreppskollen Visar en elev stor förståelse för ett begrepp finns möjlighet för eleven att arbeta direkt med begreppet i Koll på och sedan arbeta vidare med Stora begreppskollen längst bak i elevboken. Där finns möjlighet att rita, skriva och visa sin förståelse. Plats för att kommentera, datera och signera finns för den som lyssnat till en förklaring som håller och är generaliserbar. Stora begreppskollen kan klippas ut ur elevboken och sparas som dokumentation. På så sätt kan en begreppssamling byggas upp för varje elev, gärna sorterad efter vardagsbegrepp, ämnesspecifika begrepp och begrepp med flera betydelser. Elever som behöver fler erfarenheter av ett begrepp kan arbeta med begreppsblad som finns här i lärarguiden.
6344_KPM_LG_3A_Intro.indd 9
5. Låt sedan elever som kan bidra med ytterligare kunskap i form av andra exempel, förklaringar, erfarenheter eller fakta göra det. 6. Sammanfatta vad gruppen har berättat om begreppet. Resonera kring nya frågeställningar som eventuellt uppkommit. Det strategiska arbetet med att kontinuerligt låta eleverna formulera sig kring begrepp stärker deras begreppsförståelse. Arbetsgången är tänkt utifrån EPA (se sidan 10).
• Begreppsblad 1-4 på sidorna 246–249. Tanketavlor
Tanketavlor ger eleverna möjlighet att träna på att uttrycka en given matematisk situation eller idé på tre olika sätt, genom ord, med bild samt genom att skriva matematiska uttryck. Eleverna utvecklar även kunskaper om hur räknesätten förhåller sig till och har samband med varandra. Tanketavlor fungerar att använda för elever enskilt, men även i par/mindre grupper samt i helgrupp. De kan även användas i syfte att analysera elevers kunnande. Tanketavlan som arbetsform lämpar sig väl ihop med kommunikationsmetoden EPA (se sidan 10). INTRODUKTION
9
2016-09-15 11:29
KOMMUNIKATION Eleverna ska utveckla sin förmåga att använda matematikens uttrycksformer för att kommunicera genom enkla beskrivningar av tillvägagångssätt med bland annat konkret material, bilder och symboler.
Pratkompis
Språk och tanke samverkar och leder till att eleven utvecklar ett brett och djupt kunnande samt ökad förståelse för olika begrepp. Undervisningen kan därigenom ta avstamp från en högre nivå. EPA bidrar även till att eleven utvecklar tilltro till sin egen förmåga, tillit till sig själv och ger en upplevelse av att vara en viktig del i det gemensamma lärandet i klassrummet.
Pratkompis är en form av effektivt kamratlärande som syftar till att en elev får hjälp av en annan elevs kompetens inom ett område. Pratkompis används med fördel i elevboken i samband med begreppskoll 1 och 2.
Holmegaard och Wikström (2004) presenterar EPA- modellen bestående av tre faser som innebär:
Ett samtal med en pratkompis hjälper till att öka elevens egen förförståelse. Eleven får pröva olika tankar, reflektera, ställa frågor och kanske omvärdera sin kunskap. Även om eleven inte befinner sig på kompisens kunskapsnivå när arbetet startar så kan han eller hon göra det vid arbetets slut. Den elev som för vidare sin kompetens till en annan elev utvecklar sin egen förmåga att kommunicera i matematik. Att beskriva tankesätt, sätta ord på kunskaper, förklara hur man kommit fram till ett resultat och inte bara ge ett rätt svar är viktiga färdigheter. Bilda pratkompispar utifrån aktuellt behov och syfte. Variera hur paren delas in. Då förs lärandet framåt för alla.
Par
Leif Strandberg (2009) använder uttrycket Fiffig kompis.
Par Paren utbyter idéer och enas eventuellt om en gemensam lösning.
EPA – eget, par och allas tänkande Lärande och språk hör starkt samman. Språket är det verktyg vi använder för att utvecklas kognitivt och för att samspela med andra. Utbyte av erfarenheter och tankar leder till vidgade perspektiv, omvärderingar och nya kunskaper. Eleverna ska få möjlighet att lära av varandra och delta i olika samtal och situationer. Pratbubblan är elevbokens symbol för arbetssättet EPA.
EPA är ett språkutvecklande arbetssätt som leder till att samtliga elever blir delaktiga och bidrar med sina erfarenheter och kunskaper. EPA kan användas på ett varierat sätt i matematikundervisningen.
Enskilt Varje elev skriver ned svar på lärarens fråga under en kort stund. En diskussion i par om det nedskrivna.
Alla Läraren skriver ner elevernas tankar på tavlan så att alla får ta del av dem. alternativt, Enskilt Tänka själv utifrån sin förförståelse. Par Tänka tillsammans och lära av en eller flera klasskamrater. Alla Lära av de andra paren/grupperna i klassen. EPA kan i problemlösning innebära: Enskilt Varje elev funderar över en idé till en lösning utifrån sin egen förförståelse.
Alla Resonera tillsammans kring elevernas lösningar i helgrupp.
Hur tänker du? Hur tänker du? lyfter aktuellt matematiskt innehåll, väcker intresse samt stimulerar till eget tänkande och gemensamt resonemang. Barnen i boken är med om en händelse i en vardaglig situation. De har pratbubblor med olika påståenden, ställningstaganden eller ståndpunkter. Eleverna ska ta ställning till dessa och resonera kring varför barnen säger som de gör. Diskussioner som uppstår skapar behov av att utforska nya frågeställningar. Förslag till arbetsgång är:
• Titta på bilden och läs pratbubblorna tillsammans.
• Låt varje elev tänka enskilt och reflektera en
stund kring innehållet, för att sedan resonera i par eller mindre grupp.
10 INTRODUKTION
6344_KPM_LG_3A_Intro.indd 10
2016-09-15 11:29
PROBLEMLÖSNING
• Resonera tillsammans kring pratbubb-
lornas innehåll och hur de olika barnen kan tänka. Samtala om detaljer som händer på bilden.
• Låt varje elev skriva eller muntligt formulera
en egen ståndpunkt i den tomma tankebubblan. Som alternativ kan detta moment göras tidigare beroende på vilket syftet är.
Eleverna lär av varandra och kan ändra ståndpunkt när de lyssnar till varandras resonemang. Här finns möjlighet att utforska, utmana och befästa elevers idéer samt avslöja grundläggande missuppfattningar. Hur tänker du? kan även vara ett verktyg för bedömning och ge vägledning om var eleverna befinner sig i sitt lärande.
3
Problemlösning är ett samlingsnamn över uppgifter av problemlösande karaktär där eleverna inte direkt ser lösningen, utan behöver undersöka och pröva sig fram. Ofta finns flera alternativa lösningar och lösningsmetoder. Om en uppgift klassificeras som problemlösning eller rutinuppgift beror på elevens tidigare erfarenheter och var eleven befinner sig i sin kunskapsutveckling. En och samma uppgift kan upplevas som problemlösning för en elev men som rutinuppgift för en annan elev.
Att undervisa i problemlösning För att eleverna ska utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem och vidga sitt matematiska kunnande krävs förberedelse av läraren.
• Formulera tydliga lärandemål, vilken mate-
Hur tänker du?
matisk kunskap och förståelse eleverna bör få av undervisningen.
• Skapa klassrumsdiskussioner utifrån elevernas egna idéer och lösningar.
• Styra diskussionerna så att de leder fram mot det uppsatta lärandemålet.
• Koppla ihop strategier och lösningar med 13:45
Tretton minuter i två.
Fyrtiosju minuter över ett.
Snart tio i två.
varandra så de visar på generella matematiska principer, samband eller mönster.
När lärandemålen är formulerade kan följande fem praktiker handleda läraren vid planeringen inför och i undervisningen. (M.S. Smith och M.K. Stein 2014).
Förutse 76 KAPITEL 3
• vilka strategier eleverna troligast kommer att använda, både felaktiga och korrekta.
• vilka utmaningar uppgiften kan innebära och vad som kan missuppfattas.
• vilka lösningar eleverna kan tänkas föreslå och vilka som kan leda mot lärandemålet.
Överblicka
• och notera hur eleverna resonerar och arbetar med problemet under lektionen.
• och ställa frågor som stödjer, utmanar, fördjupar och vidgar elevernas tankeprocess.
Välja ut
• de arbeten som lämpar sig att presentera och diskutera i klassen.
• de lösningar som bidrar till att belysa lektionens matematiska idéer.
6344_KPM_LG_3A_Intro.indd 11
INTRODUKTION
11
2016-09-15 11:29
Ordna
•
presentationerna så att de bygger på varandra och på bästa sätt fördjupar elevernas förståelse.
Koppla ihop
• olika strategier och idéer för att hjälpa eleverna att förstå matematiska samband och upptäcka mönster.
Ställa bra frågor För att vidga elevernas perspektiv, utmana dem kognitivt och leda dem in i djupare matematisk förståelse, är konsten att ställa bra frågor ett viktigt verktyg i undervisning i problemlösning. Möjliga frågetyper kan planeras i förväg. Att ha förberedda frågor med sig in i undervisningen kan underlätta för läraren att hålla fokus på elevernas lösningsprocesser och diskussioner, och att ställa rätt typ av fråga i rätt situation. Elevernas svar på olika typer av frågor kan även ge läraren en uppfattning om enskilda elevers styrkor respektive svagheter och genom det underlätta planeringen av den fortsatta undervisningen.
Från konkret till abstrakt När yngre elever utvecklar sin förmåga att uttrycka sig matematiskt använder de ofta laborativt material och ritar så småningom sina lösningar. Att rita är en effektiv strategi, om bilderna enbart utgör ett stöd för tänkandet och förståelsen samt är ett snabbt verktyg i lösningsfasen. Handlar uppgiften om till exempel ett antal bilar kan utvecklingen från konkret till abstrakt ske enligt följande. Eleven använder: 1. Konkreta föremål (riktiga leksaksbilar) 2. Konkreta modeller (andra föremål: klossar) 3. Bilder (ritade, avbildade bilar) 4. Ikoner (utan visuell likhet: streck, cirklar) 5. Symboler eller siffror utan egen innebörd Eleverna behöver även utveckla sin förmåga att kunna växla mellan olika uttrycksformer. Ett och samma problem kan ofta lösas med flera olika strategier och uttrycksformer. En matematisk uttrycksform kan vara Konkret. Lösningen uttrycks med konkret material, med en bild eller genom att eleven prövat sig fram.
Logisk/språklig. Lösningen uttrycks i löptext, med matematiska begrepp, med olika symboler etc. Algebraisk/aritmetisk. Lösningen uttrycks med till exempel matematiska symboler, formler, ekvationer eller matematiska uttryck. Grafisk/geometrisk. Lösningen uttrycks med standardiserad figur som till exempel tallinje, med grafer, tabeller eller diagram. I elevbok 3A presenteras problemlösningsstrategierna tabell och mönster. Rita och pröva återkommer från tidigare elevböcker. Dessa grundläggande strategier härleds ur uttrycksformerna ovan.
Problemlösningssidorna På problemlösningssidorna i elevboken ges eleverna möjlighet att utveckla sin förmåga att matematiskt visa lösningar och formulera egna problem, genom att träna i tre steg. 1. Uppvärmningsproblem. Eleverna möter först ett likartat men enklare problem än det ursprungliga i elevboken. Förslag på uppvärmningsproblem finns formulerat här i lärarguiden och är tänkt att eleverna kan lösa gemensamt med läraren. Syftet är att eleverna genom stöttning ska få syn på mönster och metoder som sedan kan användas till det ursprungliga problemet. De ska även få förförståelse för och kunskaper om det matematiska innehåll som ska behandlas. Arbetet tar sin utgångspunkt i elevernas tankar och lösningsförslag. Genom att läraren formulerar frågor utifrån dessa, kan eleverna stöttas mot att hitta lösningsstrategier och nå aktuella lärandemål. Eleverna får även stöttning i och erfarenheter av hur en vald lösningsstrategi kan visas effektivt på olika sätt och behöver förstå att det är fritt fram att inspireras av och använda andras idéer. 2. Elevbokens problem. Därefter löser eleverna det ursprungliga problemet i par eller mindre grupp. Problemet är avsett att användas av hela elevgruppen. Genom att alla arbetar med samma grundproblem kan diskussionerna kring lösningarna bli givande för alla då de kan ha kommit olika långt mot en lösning. Genom att arbeta tillsammans ges eleverna möjlighet att kommunicera samt att lära av varandras kompetenser. Eleverna visar sina
12 INTRODUKTION
6344_KPM_LG_3A_Intro.indd 12
2016-09-15 11:29
lösningar i den vita rutan. Det är bra om läraren själv löst problemet på olika sätt i förväg, för att vara förberedd på elevers tänkbara lösningar och lösningsstrategier. 3. Eget liknande problem. Slutligen tar eleverna hjälp av tidigare erfarenheter för att formulera och lösa ett eget liknande problem. Det bör innehålla samma matematiska idé, men kan utgå från ett annat talområde eller vara satt i en annan kontext. Självklart kan eleverna göra även detta tredje steg tillsammans i par eller liten grupp. Genom att arbeta igenom alla tre steg får eleverna gradvis utveckla säkerhet i att visa lösningar matematiskt och formulera egna liknande problem. För att eleverna ska se sitt lärande i djupare perspektiv och för att öka tilltron till sin egen förmåga kan det vara klokt att koppla på även ett fjärde steg: 4. Reflektion. Genom att låta eleverna besvara frågor som till exempel Vad lärde jag mig? Hur lärde jag mig? Vad kan jag lära mig mer om, samt hur? ges eleverna möjlighet att reflektera både över det matematiska innehållet, valet av lösningsstrategi och även över vad nästa steg i lärandet bör bli.
Anpassning av problem För att ett problem verkligen ska uppfattas som ett problem och inte som en rutinuppgift, behöver det utgöra en utmaning. Problemet kan ibland behöva anpassas för enskilda elever eller grupper av elever, till exempel utifrån Språk och begrepp. Eleverna behöver språkligt förstå problemets innehåll samt frågeställning. Det bör presenteras så eleverna får stöttning i förståelsen samt att centrala begrepp klargörs. Talområde. Talen kan behöva ändras så att det behandlar ett talområde som stödjer eller utmanar de elever som ska lösa problemet. Det matematiska innehållet kan ofta bibehållas. Kontext. Eleverna behöver förstå eller känna igen det sammanhang problemet rör eller utspelar sig i. Kontexten kan behöva förändras eller förklaras för att eleverna ska kunna hantera problemet. Förkunskap. Ny kunskap behöver haka i eller bygga vidare utifrån elevernas tidigare visade kunskaper och förståelse. Fundera över hur
6344_KPM_LG_3A_Intro.indd 13
problemet tar vara på detta och anpassa vid behov innehållet så att det knyter an till tidigare erfarenheter. Uttrycksform. Analysera hur bild och text hör ihop. Ibland kan en illustration vilseleda snarare än att stötta förståelsen.
Kamratbedömning En av grundförutsättningarna för effektivt lärande är, enligt betydande forskning (Wiliam & Thompson, 2007), att eleven får återkoppling som fokuserar på visade styrkor och svagheter i avseende att synliggöra vad som kan förbättras och hur. Ett sätt att aktivera eleverna att bli läranderesurser för varandra kan vara att använda sig av kamratbedömning. Att först träna gemensamt utvecklar elevernas säkerhet och vilja att sedan pröva själva. Avidentifierade elevexempel från den egna eller en annan klass kan användas att resonera kring. Tekniken två stjärnor och en önskan lämpar sig bra för yngre elever. Den innebär att en elev ger återkoppling på en annan elevs arbete genom att visa på två saker som är bra med arbetet, kvalitéer, (de två stjärnorna) och ett förslag till förbättring (önskningen). I elevboken återfinns denna metod på problemlösningsuppslagen. Eleverna skriver antingen direkt på de förtryckta post-it–lapparna alternativt på lösa post-it-lappar som fästs i elevboken. Lösa post-it-lappar gör att flera elever kan bedöma en och samma lösning. Post-it-lapparna kan även samlas in för sortering och sammanställning. De stjärnor eleverna formulerat vid olika kamratbedömningar vid problemlösning kan ligga till grund för olika checklistor med kriterier för god kvalitet på lösningar och problemformuleringar. På samma sätt kan de hjärtan eleverna formulerat utgöra checklistor för utvecklingsområden. Checklistorna kan sedan användas av eleverna då de löser olika problem i fortsättningen. Eleverna tar med sig självförtroende från visade kvaliteter samt förslag de fått till förbättringar, från ett kapitel in i nästa. Genom att se tillbaka på föregående problemlösningsuppslag och använda lärdomar från dessa ser eleverna sitt lärande utvecklas över tid. INTRODUKTION
13
2016-09-15 16:40
BEDÖMNING
BERÄKNINGSSTRATEGIER
Koll på sidorna
Den del av matematiken som handlar om beräkningar kallas aritmetik. Att eleverna har god taluppfattning och att de kan använda strategier för huvudräkning är viktigt för den aritmetiska förmågans utveckling. Eleverna ska kunna använda huvudräkning för att utföra beräkningar med de fyra räknesätten inom talområdet 0-20, samt för beräkningar av enkla tal i ett utvidgat talområde. En god huvudräknare studerar först uttrycket som ska lösas och väljer därefter den metod eller strategi som verkar vara mest effektiv.
En viktig del i att följa elevernas kunskapsutveckling i matematik är att löpande och kvalitativt bedöma deras lärande och visade kunskaper. Formativ bedömning handlar för läraren om att skaffa belägg och underlag för att kunna fatta beslut om fortsatt undervisning. På Koll på sidorna visar eleverna färdigheter och kunskaper samt beskriver skriftligt och muntligt sin nuvarande förståelse för det matematiska innehållet. Uppgifterna avser att ha en formativ funktion och är tänkta att användas som grund för beslut och ge en riktning för kommande undervisning. De kan dessutom göra eleverna medvetna om sitt nuläge och sitt lärande. För att klargöra detta finns här i lärar guiden återkopplingsfrågor och kommentarer, kopplade till elevbokens uppgifter. Dessa kan läraren använda för att analysera styrkor och eventuella svagheter i elevernas kunskaper samt för att hjälpa eleven att reflektera över sitt lärande. På sidorna 250–253 finns ett underlag för bedömning och reflektion kopplat till varje kapitel. Syftet är att:
• Läraren kan kommentera eller sammanfatta
nuläget i elevens/elevernas lärande och därigenom få en tydlig bild av visade kunskaper kopplade till varje kapitels innehåll samt de matematiska förmågorna.
• Läraren kan dokumentera vad undervisning-
en framöver kan fokusera på utifrån vad eleven/eleverna visat.
Addition och subtraktion För att eleverna ska kunna bli skickliga huvudräknare i addition och subtraktion krävs att de
• behärskar talraden framåt och bakåt • vet talens grannar • förstå det proportionella sambandet dubbelt och hälften.
• kan tio- och hundrakamraterna • visar säkerhet vid tiotals- och hundratalsövergångar
• delar upp tal i olika talsorter • använder kommutativa- och associativa lagen (i addition)
• har automatiserat additions- och subtraktionstabellerna inom talområdet 0–18
En central skriftlig räknemetod som används för beräkningar i addition och subtraktion inom talområdet 0-200, samt i ett utvidgat talområde är uppställning (standardalgoritm). Eleverna använder huvudräkning för att addera respektive subtrahera varje talsort för sig i uppställningarna. Addition 1+9 2+9
9+1
9+2
3+8
3+9
4+7
4+8
4+9
5+6
5+7
5+8
5+9
6+5
6+6
6+7
6+8
6+9
7+4
7+5
7+6
7+7
7+8
7+9
8+3
8+4
8+5
8+6
8+7
8+8
8+9
9+3
9+4
9+5
9+6
9+7
9+8
9+9
14 INTRODUKTION
6344_KPM_LG_3A_Intro.indd 14
2016-09-15 11:29
Subtraktion 18-9
11-2
17-8
17-9
16-7
16-8
16-9
15-6
15-7
15-8
15-9
14-5
14-6
14-7
14-8
14-9
13-4
13-5
13-6
13-7
13-8
13-9
12-3
12-4
12-5
12-6
12-7
12-8
12-9
11-3
11-4
11-5
11-6
11-7
11-8
11-9
10–1 10–2 10–3 10–4 10–5 10–6 10–7 10–8 10–9
Pusselbitar är elevbokens symbol för olika strategier. Eftersom subtraktion kan uppfattas på olika sätt förekommer fler strategier vid huvudräkning i subtraktion jämfört med i addition. I Koll på matematik 1–3 presenteras utvecklingsbara beräkningsstrategier som är generaliserbara i flera talområden. De återkommer vid flera tillfällen i elevböckerna och i samband med nya talområden. Addition Öka Tiokamrater Dubbelt Addera 0, Addera 10 ddera ental, tiotal, A hundratal eller tusental Förändra Addera varje talsort för sig Subtraktion Minska
ubtrahera alla ental eller S subtrahera nästan alla ental Subtrahera alla tiotal Liten skillnad
Multiplikation och division I koll på matematik 1-3 presenteras dessa räknesätt parallellt för att sambanden mellan dem ska bli tydlig.
Multiplikation Eleverna ska utveckla förståelse för multiplikation och de olika situationer räknesättet används i. De möter multiplikation som upprepad addition, endimensionell framställning, samt som tvådimensionell framställning där den kommutativa lagen synliggörs. Vid tabeller som har samband med varandra, till exempel 2, 4 och 8, kan eleverna använda additionsstrategin Dubbelt och dubbelt igen för att utföra beräkningar.
Division Eleverna ska utveckla förståelse för division och de olika situationer räknesättet används i. De möter delningsdivision och innehållsdivision, två aspekter av division. Vid tabeller som har samband med varandra, till exempel 3 och 6, kan eleverna använda subtraktionsstrategin Hälften och hälften igen för att utföra beräkningar. Eleverna kan även dra nytta av sambandet med multiplikation. Eleverna använder automatiserade tabellkunskaper i multiplikation och i division för att avlasta sitt arbetsminne och för att utföra beräkningar även i andra räknesätt.
Tiokamrater Hälften Subtrahera 0, Subtrahera 10 ubtrahera ental, tiotal, S hundratal eller tusental Förändra
6344_KPM_LG_3A_Intro.indd 15
INTRODUKTION
15
2016-09-15 11:29
1
S. 6–7
1 KAPITEL 1 handlar om:
volym•–•uppskatta,•jämföra•och•mäta• ••liter,•deciliter,•milliliter ••hela•tusental•0-10•000 addition•–•tusental,•hundratal,•tiotal•och•ental ••talområde•0–10•000 ••addition•–•strategier•talområde•0–10•000 ••addition,•subtraktion•–•se•samband•talområde•0–10•000 ••likheter,•= ••problemlösning•–•rita,•pröva,•tabell••
I kapitel 1 möter eleverna storheten volym på nytt genom uppskattningar och jämförelser. Avläsningar i liter och deciliter återkommer, nu även med halva liter, 0,5 l. De möter den stan dardiserade enheten milliliter för första gången.
De hela tusentalen inom talområdet 0–10 000 och den svenska femhundrakronorssedeln presenteras. Eleverna vidareutvecklar sina kunskaper om positionssystemet och arbetar med tal i utvecklad form, beräknar dem och skriver summor. Strategin Addera varje talsort för sig intro duceras. Strategierna Minska och Öka med 1 och 2 återkommer, nu inom talområdet 0–1 000. Eleverna tränar även på att se samband mellan beräkningar.
Vad kan vi mäta med de här måtten? Jag har en idé!
De möter mönster i talföljder, matematiska likheter och likhetstecknet på nytt. Slutligen introduceras tabell som en ny problemlösningsstrategi.
6
KAPITEL 1
Lgr 11, ur det centrala innehållet
Begrepp
Taluppfattning och tals användning. Naturli ga tal och deras egenskaper samt hur talen kan delas upp och hur de kan användas för att ange antal och ordning. Hur positionssystemet kan användas för att beskriva naturliga tal. Symboler för tal och symbolernas utveckling i några olika kulturer genom historien. De fyra räknesättens [här addition och subtraktion] egenskaper och samband samt användning i olika situationer. Centrala metoder för beräkningar med naturli ga tal, vid huvudräkning och … vid beräkningar med skriftliga metoder. Metodernas användning i olika situationer.
Volym. Storleken på en kropp.
Algebra. Matematiska likheter och likhetsteck nets betydelse. Hur enkla mönster i talföljder … kan konstrueras, beskrivas och uttryckas. Geometri. Jämförelser och uppskattningar av matematiska storheter [här volym]. Mätning av … volym … med vanliga nutida … måttenheter. Problemlösning. Strategier för matematisk pro blemlösning i enkla situationer. Matematisk for mulering av frågeställningar utifrån enkla var dagliga situationer.
16 KAPITEL 1
Rymmer. Innehåller, ger plats för. Uppskatta. Göra en klok gissning. Jämföra. Se likheter och skillnader [här mellan volymer]. Positionssystem. Talsystem där en siffras värde beror på vilken plats den har i talet. Talsort. Ental, tiotal, hundratal och tusental är exempel på talsorter. En siffras platsvärde motsvaras av talsorten den representerar. Strategi. Metod att utföra en beräkning. Metod att lösa ett problem. Talföljd. [här aritmetisk] En följd av tal där differensen mellan två på varandra följande tal är densamma. Tabell. Data som är ordnad i rader och kolumner.
0
1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000 10 000
0
2 000
1 000
4 000
3 000
6 000
5 000
8 000
7 000
10 000
1
9 000
5 000
Hm ... vilka tal kan stå på pilarna?
Material till kapitlet
• Kärl i olika storlekar • Olika typer av litermått och decilitermått • Tomma mjölkpaket (1 l) • Måttsats • Små kärl som passar för att mäta milliliter, till exempel sked, kapsyl, skruvkork till petflaska, fingerborg och medicinkopp
• Vatten eller sand att laborera med • Mynt och sedlar i olika valörer • Tiobasmaterial • Talplattor • Dragspelskort med tal i utvecklad form • A4-papper • Olika recept
Vilket tal stämmer?
Hela tusental 0-10 000 KAPITEL 1
7
Arbetsgång Låt eleverna titta på en bildruta i taget och sam tala om innehållet. Syftet är att lyfta fram och öka varje elevs förförståelse för det matematiska innehållet samt ge information från eleverna till läraren om utgångsläget inför kommande undervisning.
Volym Titta på bilden där Ella och Kim samtalar om måttsatsen som innehåller ett kryddmått (krm), ett teskedsmått (tsk), ett matskedsmått (msk) samt ett decilitermått (dl). Läs texten tillsam mans. Lyft elevernas tidigare erfarenheter av måtten. Resonera kring varför måtten ser olika ut och att de har olika funktioner. Berätta att de tillsammans kallas en måttsats. Lyssna efter vilka volymbegrepp eleverna använder för att beskriva sina tankar och kunskaper. Ställ till exempel följande frågor: Känner du igen något av måtten? Vilket? Vad kan de olika måtten användas till, tror du? När? Har du använt en måttsats någon gång? När? Berätta. Kan du namnet på något av måtten? Berätta. Hur mycket tror du att varje mått rymmer?
Titta på bilden där Tage tittar fundersamt på talraden med talet 5 000 upphängt. Läs texten tillsammans. Nu har eleverna erfarenheter av många talföljder och av att de kan vara uppbygg da med olika aritmetiska mönster. Utmana dem att tänka på olika sätt innan de hela tusentalen presenteras. Ställ till exempel följande frågor: Vilket tal hänger på talraden? Vilka tal kan Tage skriva på pilarna? Samla elevernas olika förslag på talföljder på tavlan. Det finns många talföljder han kan välja mellan. Vilken väljer du? Är någon talföljd mer rätt än någon annan? Motivera.
Tusental, hundratal, tiotal och ental Titta på bilden där Alex visar ett tal med två tusenkuber, fyra hundraplattor, tre tiostavar och fem ental. Läs texten tillsammans. Resonera gemensamt kring de fyra talen som Alex håller upp. Lyssna till hur eleverna beskriver talen för att veta vilket som passar till tavlan och hur de uttrycker sig kring de olika talsorterna. Ställ till exempel följande frågor: Vilka tal har Alex på sina talkort? Vilket stämmer? Motivera! Hur skulle övriga tal kunna visas med tusenkuber, hundraplattor, tiostavar och ental? Hur skulle han kunna visa talet med mynt och sedlar? Jämför de fyra talen, vilket är störst? Minst? Varför? Motivera. KAPITEL 1
17
1
S. 8–9
1
Volym
– liter och deciliter Hur många deciliter är en halv liter?
På de följande uppslagen återkommer storhe ten volym. Arbetet tar sin utgångspunkt i elev ernas tidigare erfarenheter av volymmätning genom uppskattningar och jämförelser. I elevbok 2A arbetade eleverna med mätverkty gen liter (l) och deciliter (dl) och här möter de dem på nytt. Nu blir litermåtten fler än ett och eleverna får även träna på att avläsa halva liter. De har tidigare avläst och skrivit en halv som tal i bråkform, __ 1 eller som hälften i en division. Nu 2 presenteras sättet att uttrycka en halv liter med decimaltal (0,5 l). Eleverna får även erfarenheter av att göra enhetsomvandlingar mellan liter och deciliter.
1•liter•är•samma•volym•som•10•deciliter.•1•l•=•10•dl. 0,5•liter•(en•halv•liter)•är•samma•volym•som•5•deciliter.•0,5•l•=•5•dl. Jämför.•Vad•rymmer•minst?•Ringa•in.
Vilken•volym•är•rimlig?•Uppskatta.
De möter den standardiserade enheten milliliter (ml) för första gången samt vanliga volymmått kopplade till enheten. Slutligen tillämpar de avsnittets innehåll genom att lösa textuppgifter. Repetera innebörden av begreppen volym och rymmer, eftersom orden är homonymer. Volym. Storleken på en kropp.
Jämför.•Vad•rymmer•mest?•Ringa•in.
8
2 dl
3 dl
5 dl
2l
3l
5l
4 dl
10 dl
0,5 dl
4l
10 l
0,5 l
KAPITEL 1
Rymmer. Innehåller, ger plats för.
Arbetsgång
S. 8
Rosa resonemangsruta Titta på bilden med litermåtten. Repetera med eleverna vad litermått kan användas till och vad markeringarna på dem betyder. Konstatera igen att litermått kan ha olika form, men ändå rymma samma volym genom att markering arna är olika placerade. Mjölkpaketet på bil den rymmer en liter mjölk. Samtala kring hur mycket mjölk som rimligen finns kvar i paketet om det från början var fullt och mjölken sedan har hällts upp antingen i det vänstra eller i det högra litermåttet. Det högra är fyllt till hälften (en halv liter). Läs texten i pratbubblan och tex ten längst ned i rosa rutan. Samtala om att efter som tio deciliter är lika med en liter är en halv liter lika med fem deciliter. Här skrivs en halv med decimaltal. Berätta att prefixet deci betyder tiondel. Alltså utgör varje deciliter en tiondel av en hel liter. Fem tiondels liter skrivs 0,5 l och uttalas noll komma fem liter eller en halv liter. Ställ till exempel följande frågor: Hur mycket mjölk rymmer mjölkpaketet? Hur vet du det?
18 KAPITEL 1
Hur mycket rymmer måtten? (1 liter eller 10 deciliter) Hur många deciliter är en liter? Hur många deciliter är en halv liter? Hur tar du reda på det? Hur mycket mjölk finns kvar i mjölkpaketet när du fyllt upp ett helt litermått? Ett halvt litermått? Hur kan man skriva en halv med siffror? Visa gärna olika sätt! Hur skrivs en och en halv liter med siffror, tror du? Två och en halv liter? Vad betyder 3,5 l? Jämför. Vad rymmer minst? Ringa in. Här jämför eleverna de tre sakernas volymer, upp skattar och ringar sedan in vad som rymmer minst. Jämför. Vad rymmer mest? Ringa in. Här jäm för eleverna de tre sakernas volymer, uppskattar och ringar sedan in vad som rymmer mest. Vilken volym är rimlig? Uppskatta. Eleverna uppskattar vilken volym som är rimlig på före målet i rutan genom att markera med kryss.
Hur många deciliter är en och en halv liter?
1
1,5•liter•(en•och•en•halv•liter)•är•samma•volym•som•15•deciliter.•1,5•l•=•15•dl.
Material
• Kärl i olika storlekar • Olika typer av litermått och decilitermått • Tomma mjölkpaket (1 l)
Skriv•så•volymen•stämmer.
1 l
4 dl
1 l
6 dl
1 l
9 dl
Måla•så•volymen•stämmer.
1 l och 8 dl
Tänk på
1 l och 7 dl
Hur•mycket?•Skriv. 1 l och 6 dl = 1 l och 3 dl = 1 l och 9 dl = 1 l och 4 dl =
16 13 19 14
dl
2 l och 4 dl =
dl
2 l och 6 dl =
dl
2 l och 7 dl =
dl
2 l och 2 dl =
Elever kan behöva många praktiska erfarenhe ter av laborationer med olika former på kärl för att inse att formen kan vilseleda då de jämför och uppskattar volym.
2 l och 3 dl
24 26 27 22
dl
12 dl =
dl
18 dl =
dl
20 dl =
dl
25 dl =
1 1 2 2
l och l och l och l och
2 8 0 5
dl dl dl dl
KAPITEL 1
Arbetsgång
S. 9
Titta på bilden där Alex visar en hel liter (1 l) och en halv liter (5 dl). Läs texten tillsammans. Samtala om hur många deciliter det är tillsam mans (10 dl + 5 dl = 15 dl) och hur en och en halv liter skrivs med decimaltal (1,5 l), det vill säga en hel liter och fem tiondels liter. Skriv så volymen stämmer. Här avläser elev erna hur många hela liter respektive deciliter vatten det finns och skriver antalet i respektive enhetsruta. Måla så volymen stämmer. Här målar eleverna i de tomma liter- och decilitermåtten utifrån måttangivelserna intill. Uppmana eleverna att måla vågräta streck så exakt vid markeringarna som möjligt. Hur mycket? Skriv. Här tolkar först eleverna antalet liter och deciliter och omvandlar den totala volymen till deciliter. Därefter omvandlar de antalet deciliter till hela liter och deciliter.
9
Mötet med tal i decimalform är nytt för elev erna. Det kan språkligt vara svårt att förstå hur ”noll komma fem” kan betyda samma sak som ”en halv”. Var noga med att uttala ”noll hela liter och fem tiondels liter” till en början och betona att en tiondel av en liter är en deciliter.
Tips
• Ta fram och jämför olika typer av litermått
och decilitermått. Hur ser de ut? Varför? (olika praktiska tillämpningsområden) Hur ser mätskalorna ut? Det är inte självklart för alla elever att mätverktygen kan se olika ut men ändå rymma lika mycket. Låt elever na göra jämförelser praktiskt genom att till exempel fylla ett litermått med vatten och sedan hälla över vattnet i ett annat.
• Låt eleverna på olika sätt laborera med liter
mått, decilitermått, tomma mjölkförpackning ar (1 l) och vatten, så de får en fysisk erfaren het av att tio deciliter verkligen tillsammans rymmer lika mycket som en liter. I laboratio nen kommer även mätnoggrannhetens bety delse bli tydlig. Begreppen knappt, drygt och exakt kan bli användbara vid avläsningarna.
• Arbetsblad 1:1, Volym – liter och deciliter
på sidan 186 ger möjlighet till ytterligare trä ning.
KAPITEL 1
19
1
S. 10–11
I volym används mått härledda ur både metern och litern. Grundenheten för volym är liter (l). Det är den mängd vatten som ryms i 1 kubikdecimeter (dm3). SI-enheten för volym är kubikmeter (m3). För mindre enheter delas litern upp i tio-, hundra- och tusendelar (dl, cl och ml). Vilka måttenheter man väljer att använda beror på situationen och formen på det objekt vars volym ska mätas. Vanligen används m3, dm3 och cm3 för att beskriva större föremål och volymer samt regelbundna former. l, dl, cl och ml beskri ver mindre volymer samt oregelbundna former såsom ryggsäckar och bagageutrymmen. Här möter eleverna den standardiserade enheten milliliter (ml) för första gången samt vanliga volymmått kopplade till enheten. Elev erna har med all sannolikhet tidigare erfaren heter av att ha använt en måttsats, till exempel vid bakning och matlagning efter recept. Mått satsen innehåller 1 kryddmått (1 krm)
1
Volym
– milliliter Vi använder f lera volymmått när vi bakar.
kryddmått krm = 1 ml tesked tsk-mått = 5 ml
matsked msk-mått = 15 ml
deciliter dl-mått = 100 ml
100•milliliter•är•samma•volym•som•1•deciliter.•100•ml•=•1•dl 1•000•milliliter•är•samma•volym•som•1•liter.•1•000•ml•=•1•l
1•kladdkak a•till•8•pers oner
2 ägg 1 krm salt
2 tsk vaniljs ocker 4 msk kaka o
1,5 dl vete mjöl 3 dl socker
1 dl smält
smör
2•kladdkakor•
3•kladdkakor•
till•
till•
4 2 4 8 3 6 2
16
•personer
24 •personer
krm salt
6 3
krm salt
tsk vaniljsocker
6
tsk vaniljsocker
ägg
msk kakao dl vetemjöl dl socker dl smält smör
12 4,5 9 3
ägg
msk kakao dl vetemjöl
Fyll•i•tabellen.• Mått
Antal•ml
1 krm
1
ml
1 tsk
5
ml
15
ml
100
ml
1 000
ml
1 msk
dl socker
1 dl
dl smält smör
1l
10 KAPITEL 1
1 teskedsmått (1 tsk) 1 matskedsmått (1 msk) 1 decilitermått (1 dl) Denna standardiserade måttsats, som introdu cerades av KF:s provkök på 1950-talet, används fortfarande i Sverige. I de flesta svenska kok böcker mäts det som går att mäta i volym med dessa volymmått. Måttsatsens volymmått utgår från enheten mil liliter. 1 krm = 1 ml 1 tsk = 5 ml 1 msk = 15 ml 1 dl = 100 ml Milliliter beskriver mindre volymer. Eleverna behöver, oavsett förförståelse, få genomföra olika typer av mätningar med en måttsats och enheten milliliter för att skaffa sig vida ramar och referenspunkter för vad måttenheterna bety der. Detta för att så småningom kunna bedöma ett mätresultats rimlighet.
Arbetsgång
S. 10
Rosa resonemangsruta Titta på bilden där Kim visar en måttsats med olika volymmått i milliliter. Samtala om vad ni ser. Lyft elevernas tidigare erfarenheter av att ha sett eller använt de olika måtten och lyft tillsam mans hur deras namn förkortas. Samtala om hur många milliliter varje mått rymmer och i vilka sammanhang man kan ha nytta eller behov av att mäta volym i enheten milliliter. Läs texten tillsammans. Samtala om hur många milliliter som är samma volym som en liter (1 000 ml). Berätta att prefixet milli betyder tusendel. Alltså utgör varje milliliter en tusendel av en hel liter. Ställ till exempel följande frågor: Vilka mått känner du igen? När använder du en måttsats? Ge olika exempel. Hur mycket rymmer varje mått i måttsatsen? Hur många kryddmått har tillsammans samma volym som en tesked? Som en matsked? Som en deciliter? Hur många teskedar har tillsammans samma volym som en matsked? En deciliter? 2 kladdkakor. Här läser och tolkar eleverna först receptet på en kladdkaka för åtta personer.
20 KAPITEL 1
Du bakar kladdkakor till 32 gäster. Hur många ägg behövs?
Svar:
8 ägg
Hur många deciliter socker behövs?
Svar:
1
12 dl socker
Svar:
64 dl
Hur många liter och dl är det?
Svar:
• Måttsats • Små kärl som passar för att mäta milliliter, till exempel sked, kapsyl, skruvkork till petflaska, fingerborg och medicinkopp
Gästerna dricker ett glas saft var. Ett glas rymmer 2 dl. Hur många deciliter saft behövs?
Material
• Vatten eller sand att laborera med
6 liter 4 dl
Li köper 2 paket mjölk. Hur många deciliter mjölk är det?
Svar:
20 dl
Hur många liter och dl är det?
Svar:
2 liter 0 dl
Tage köper 6 paket pärondryck. Hur många deciliter är det?
Svar:
12 dl
Hur många liter och dl är det?
Svar:
Tänk på Måttsatsens volymmått används enbart i Sve rige. Det är med andra ord inte säkert att elever med annat modersmål har mött eller använt dem tidigare.
1 liter 2 dl
Ella har 5 flaskor vatten. Hur många deciliter är det?
Svar:
25 dl
Hur många liter och dl är det?
Svar:
2 liter 5 dl
Tips KAPITEL 1
Arbetsgång
11
S. 11
Textuppgifter. Här läser eleverna textuppgif terna, väljer räknesätt, använder sina kunska per om liter och deciliter för att komma fram till lösningarna och skriver svar. I den högra spal ten gör eleverna omvandlingar från deciliter till hela liter och deciliter. I den första uppgiften tar eleverna hjälp av ingredienslistorna i recepten för en alternativt två kladdkakor på föregående sida, för att komma fram till lösningen.
• Låt eleverna ta fram ett bestämt antal små
kärl, till exempel sked, kapsyl, skruvkork till petflaska, fingerborg och medicinkopp. Upp mana dem att uppskatta deras volym i förhål lande till varandra. Utifrån det storleksordnar de sedan dem från minst till störst volym. Därefter jämför och prövar de sina antagan den genom att fylla kärlen med vatten eller sand och mäta volymen med ett kryddmått (1 ml) eller ett teskedsmått (5 ml). Om sand används bör ett resonemang ske kring hur ett ”rågat” kärl påverkar mätnoggranheten. Elev erna kan föra in sina mätningar i en tabell. Kärl
Jag uppskattar i ml Jag mäter i ml
sked kapsyl
Därefter dubblerar de receptet för att få veta hur mycket ingredienser som behövs till två kladdkakor. De skriver klart receptet och anger antalet personer det räcker till. 3 kladdkakor. Här adderar eleverna ihop ingre dienserna i receptet för en kladdkaka med receptet för två kladdkakor, för att få veta hur mycket ingredienser som behövs till tre kladd kakor. De skriver klart receptet och anger anta let personer det räcker till. Fyll i tabellen. Här utgår eleverna från texten i den rosa resonemangsrutan för att omvandla måttsatsens olika volymmått till milliliter och skriver klart tabellen.
skruvkork fingerborg etc.
Låt dem sedan två och två beskriva volymerna för varandra. Till exempel ”Kapsylen har mindre volym än skeden. Skeden har större volym än kapsylen men har mindre volym än skruvkor ken. Kapsylen har minst volym och skruvkorken har störst volym”.
• Arbetsblad 1:2, Volym – omvandling på
sidan 187 ger möjlighet till ytterligare trä ning. KAPITEL 1
21
1
S. 12–13
Tidigare har eleverna mött hela hundratal samt tal inom talområdet 0–1 000. Här möter eleverna hela tusental inom talområdet 0–10 000. Talet tusen spelar, liksom talen tio och hundra, en viktig roll i vårt positionssystem. I Sverige använder vi ett talsystem med basen 10. Tio ental bildar ett tiotal, tio tiotal bildar ett hundra tal och tio hundratal bildar ett tusental osv.
I beräkningar med hela tusental utnyttjar elever na sin talkunskap om att 3 + 4 = 7 har samband med 30 + 40 = 70, 300 + 400 = 700 samt 3 000 + 4 000 = 7 000. Eleverna möter talraden med de hela tusentalen för första gången. Talen är ordnade enligt tal följden. För att storleksordna tal behöver elev erna kunna talföljden och förstå att talen alltid följer på varandra i en given ordning. Räkneor den bildar en ramsa som alltid är densamma. Räkneramsan ger eleverna erfarenhet av talens placering i talföljden och talens ordningsföljd. Eleverna får även träna på att göra hundrahopp inom talområdet.
Arbetsgång
S. 12
Titta på bilden och läs texten tillsammans. Sam tala om vilka sedlar vi har i Sverige och hur de ser ut, storlek, form, material, färg etc. Påminn om att kronor förkortas kr. Här introduceras femhundrakronorssedeln och tusenkronorsse deln. Samtala om begreppet värde och i vilka sammanhang eleverna hört begreppet tidigare samt sedlarnas värden i förhållande till varan dra. Ställ till exempel följande frågor: Vilka sedlar ser du? Beskriv hur en hundrakronorssedel respektive en femhundrakronorssedel ser ut. Vilka likheter ser du? Skillnader?
22 KAPITEL 1
1
Hela tusental 0-10 000 Tio hundrakronorssedlar har samma värde som en tusenkronorssedel.
tio•hundrakronorssedlar•=•två•femhundrakronorssedlar•=•en•tusenkronorssedel Skriv•talet•som•visas.
4 0 0 0 kr
8 0 0 0 kr
5 0 0 0 kr
3 0 0 0 kr
7 0 0 0 kr
9 0 0 0 kr
7 000 7 000 3 000 + 2 000 = 5 000 5 000 + 3 000 = 8 000 6 000 + 1 000 = 2 000 + 5 000 =
4 000 = 8 000 5 000 = 6 000 7 000 + 2 000 = 9 000 2 000 + 8 000 = 10 000 4 000 +
9 000 – 4 000 =
1 000 +
6 000 – 2 000 =
5 000 4 000
4 000 = 3 000 5 000 – 3 000 = 2 000 7 000 –
12 KAPITEL 1
Beskriv tusenkronorssedeln. Vilka likheter ser du med övriga sedlar? Skillnader? Vad kan Li mena med att tio hundrakronorssedlar har samma värde som en tusenkronorssedel? Hur många femhundrakronorssedlar har tillsammans samma värde som en tusenkronorssedel? Hur mycket är alla sedlarna som Li visar värda tillsammans? (3 000 kr) Skriv talet som visas. Här skriver eleverna talet som visas med tusenkronorssedlarna. Rutinuppgifter. Här utför eleverna beräkningar i addition och subtraktion med hela tusental.
1
0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000 10 000 0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000 10 000 Skriv•tusentalen•som•fattas.
0 0
1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000 10 000
2 000
4 000
6 000
8 000
0
1 000 3 000 5 000 7 000 9 000 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000 10 000
Tänk på Många elever vet sedan länge att talet 1 000 har tre nollor och vet därmed hur talet skrivs med siffror. Det är däremot inte självklart att de vet vad de tre nollorna står för, att de visar posi tionsvärden för ental, tiotal och hundratal. Reso nera mycket tillsammans kring detta.
5 000 5 000
4 000 10 000
2 000
8 000
2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 4 000
7 000
10 000
2 000
6 000
9 000
1 000
5 000
7 000
3 000
1 000 3 000 5 000 7 000 9 000 9 000
3 000
1 000
8 000
5 000
Tips
1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000 10 000
• Låt eleverna tillverka egna bingobrickor med
Fortsätt•talföljden.•
1 100
1 200
1 300
1 400
1 500
1 600
1 700
5 300
5 400
5 500
5 600
5 700
5 800
5 900
3 900
3 800
3 700
3 600
3 500
3 400
3 300 KAPITEL 1
Arbetsgång
• Sedlar i olika valörer
10 000
Storleksordna•talen.•Börja•med•det•minsta.•
6 000
Material
13
S. 13
Skriv tusentalen som fattas. Här skriver elev erna talen som fattas i talföljden. Talraden med de hela tusentalen inom talområdet 0–10 000 finns som stöd längst upp på sidan. Storleksordna talen. Börja med det minsta. Här storleksordnar eleverna tal från talra den. I den sista uppgiften storleksordnar elev erna samtliga hela tusental inom talområdet 0-10 000. Det minsta talet i respektive uppgift skrivs först. Fortsätt talföljden. Här skriver eleverna talen som fattas i talföljden. De två översta talföljder na ökar med 100 och den nedersta minskar med 100.
4x4 rutor. De skriver de hela tusentalen i val fri ordning, vissa tusental behöver förekom ma två gånger. Förbered kort med uttryck som har summor eller differenser med hela tusental 0-10 000. Det ska finnas två uttryck till varje helt tusental. Dra ett kort i taget. Läs upp uttrycket. Eleven utför sedan beräkning en och markerar summan eller differensen en gång på sin bingobricka. Först till full bricka vinner. 6 000
8 000
5 000
1 000 10 000 4 000
0 1 000
7 000
3 000
9 000
2 000
5 000
3 000 +
5 000
8 000 – 8 000
6 000 –
2 000
4 000 10 000 3 000
• Samla gemensamt alla tiokamrater på tavlan.
Gör likadant med motsvarande hundra- och tusenkamrater. Låt eleverna jämföra och se likheter och samband mellan uttrycken, till exempel 2 + 8 = 10, 20 + 80 = 100, 200 + 800 = 1 000, 2 000 + 8 000 = 10 000. De kan visa talen i uttrycken med olika repre sentationsformer som tiobasmaterial eller mynt och sedlar. Eleverna får på det här sättet göra jämförelser mellan uttryck i olika talom råden.
• Arbetsblad 1:3, Talområde 0-10 000 på
sidan 188 ger möjlighet till ytterligare trä ning.
• Arbetsblad 1:4, Mönster i talföljder, addition och subtraktion – strategier på sidan 189 ger möjlighet till ytterligare träning.
KAPITEL 1
23
3A
Koll på matematik är ett läromedel för årskurs 1–6.
Med Koll på matematik 1–3 arbetar eleverna enligt det centrala innehållet i Lgr 11, mot kunskapskraven i årskurs 3. Tonvikten läggs på de matematiska förmågorna och i läromedlet används metoder för att utveckla kommunikation och självbedömning. Koll på matematik 3A består av en elevbok, en läxbok och en lärarguide. Till materialet följer även en digital värld fylld med färdighetsträning.
Lärarguide Pernilla Tengvall och Hanna Almström är legitimerade lärare för åk 1–7. De är verksamma inom grundskolans årskurser 1–6 samt arbetar med skolutvecklingsuppdrag som utvecklingslärare respektive förstelärare inom Nässjö kommun. De har även under de senaste åren föreläst om sin matematikundervisning.
ISBN 978-91-523-3825-4
(523-3825-4)
6344_KPM_LG_3A_Omslag.indd 2
2016-09-15 11:26